Задачи со смещением для уравнений смешанного типа с двумя линиями вырождения тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Шувалова, Татьяна Витальевна

• Шувалова, Татьяна Витальевна
• кандидат физико-математических наук
• 2008

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Шувалова, Татьяна Витальевна

Введение.

Глава 1. Композиционные свойства обобщенных операторов дробного интегродифференцирования с гипергеометрической функцией Гаусса в ядре.

1.1 Основные определения и обозначения.

1.2 Вывод формул-композиций обобщенных операторов laof'cxdf{t)\x) при а < 0.

1.3 Таблица преобразований Меллина некоторых интегральных операторов.

Глава 2. Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа с двумя линиями вырождения.

2.1 Постановка задачи.

2.2 Задача Дирихле-Неймана.

2.3 Исследование уравнения (2.1) в гиперболической области. Доказательство единственности решения задачи 1.

2.4 Доказательство существования решения задачи 1.

2.5 Частный случай задачи 1 (ос - р).

Глава 3. Задача со смещением для уравнения смешанного типа с двумя линиями вырояедения.

3.1 Постановка задачи.

3.2 Задача Неймана.

3.3 Исследование уравнения (3.1) в гиперболической области. Доказательство единственности решения задачи 2.

3.4 Доказательство существования решения задачи 2.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Задачи со смещением для уравнений смешанного типа с двумя линиями вырождения»

Изучение краевых задач для уравнений смешанного типа находится в центре внимания специалистов по дифференциальным уравнениям с частными производными благодаря глубокому математическому содержанию этих задач и наличию многочисленных приложений при исследовании проблем математической физики. Эта теория включает рассмотрение ряда трудных и интересных задач. К их числу относятся краевые задачи для уравнений смешанного типа с двумя линиями вырождения.

Исследования диссертационной работы примыкают с одной стороны к направлениям, связанным с краевыми задачами для уравнений смешанного типа, а с другой - к направлению, связанному с теорией дробного интегро-дифференцирования. Теория краевых задач для уравнений смешанного типа является одним из важных разделов современной теории дифференциальных уравнений с частными производными, который интенсивно развивается. Такой интерес объясняется как теоретической значимостью получаемых результатов, так и их важными практическими приложениями. Возникшая в начале 20-ых годов прошлого столетия теория уравнений смешанного типа получила значительное развитие благодаря многочисленным приложениям в газовой динамике, в магнитной гидродинамике, в теории бесконечно малых изгибаний поверхностей, в теории оболочек, в прогнозировании уровня грунтовых вод и других областях науки и техники (см. JI. Берс [6], И.Н. Векуа [7], М.Н. Коган [20], Ф.И. Франкль [64]).

Начиная с известных работ Ф. Трикоми и С. Геллерстедта [61, 62, 67], систематическое изучение краевых задач для уравнений смешанного типа проводилось в работах М.А. Лаврентьева, Ф.И. Франкля, И.Н. Векуа, А.В. Бицадзе, К.И. Бабенко, Т.Д. Джураева, В.Ф. Волкодавова, С.П. Пуль-кина, М.М. Смирнова, М.С. Салахитдинова, В.И. Жегалова, A.M. Нахушева, Е.И. Моисеева, А.П. Солдатова, А.Н. Зарубина, К.Б. Сабитова и других математиков.

В 60-ые годы прошлого столетия А.В. Бицадзе была выдвинута проблема поиска корректно поставленных краевых задач для уравнений смешанного типа с двумя независимыми переменными, когда все точки гиперболической части границы равноправны как носители граничных условий.

Исследования A.M. Нахушева и В.И. Жегалова сыграли важную роль при решении данной проблемы. В 1969 году A.M. Нахушев предложил ряд нелокальных задач нового типа [28, 29], которые явились непосредственным обобщением задачи Трикоми и вошли в математическую литературу под названием краевых задач со смещением. В отличии от задачи Трикоми здесь задается условие, связывающее значение искомого решения или его производной, вообще говоря, дробной, в трех точках, две из которых лежат на граничных характеристиках из разных семейств, а третья на линии вырождения уравнения.

Подобные граничные условия возникают при изучении вопросов тепло и массообмена в капилляро-пористых средах, математическом моделировании задач газовой динамики, теории плазмы, излучения лазера, при изучении процессов размножения клеток, в теории распространения электромагнитного поля в неоднородной среде [32].

В направлении развития теории краевых задач со смещением появилась серия работ A.M. Нахушева [30-33], В.И. Жегалова [13], М.М. Смирнова [57-59], Е.И. Моисеева [26], О.А. Репина [36, 38, 41, 43] их учеников и последователей.

Классические и современные результаты теории дробного интегродиффе-ренцирования и ее приложений к интегральным и дифференциальным уравнениям и теории функций изложены в монографии С.Г. Самко, А.А. Килбаса, О.И. Маричева [55]. Среди математических объектов дифференциальные и интегральные уравнения и интегральные преобразования являются наиболее близкими к конструкциям дробного интегроднфференцирования. А поскольку дифференциальные и интегральные уравнения имеют многочисленные приложения в естественных науках, то и дробное интегродифференциро-вание находит важные приложения. Например, в математической биологии, что нашло отражение в монографии A.M. Нахушева [32].

Первые работы по исследованию задач со смещением в краевых условиях содержали классические операторы Римана-Лиувилля. Естественным обобщением этих операторов стали операторы, введенные Э. Лавом (E.R Love, Австралия) [69, 70], А. Мак-Брайдом (А.С. McBride, Англия) [71], М. Сайго

M.Saigo, Япония) [72].

Отметим, что при исследовании краевых задач для уравнений смешанного типа с необходимостью возникает проблема изучения свойств и законов композиции обобщенных операторов дробного интегродифференцирования с одинаковыми и различными началами, ядра которых содержат гипергеометрические функции Гаусса и Мейера.

В работах М.С. Салахитдинова и A.M. Нахушева [53], Б. Исломова [17], О.А. Репина и Л.Р. Гайсиной [42] найдены различные свойства и законы композиции операторов обобщенного интегродифференцирования дробного порядка, которые широко применяются при изучении краевых задач.

Исследованием нелокальных задач с обобщенными операторами в краевых условиях занимались многие математики.

Д. Аманов [2], В. Исломов [16], А. Хасанов [65], С.И. Макаров [23, 24] изучали задачи с нелокальными краевыми условиями, содержащими операторы, введенные Э. Лавом, для уравнения с двумя линиями вырождения в случае, когда порядок вырождения различен.

О.А. Репин [45], Е.В. Филимонова [63] исследовали задачи для уравнений гиперболического и смешанного типов, краевые условия которых содержат линейную комбинацию обобщенных дробных интегродифференциальных операторов с гипергеометрической функцией Гаусса в ядре. О.А. Репиным получен явный вид решения такой задачи.

В работах О.А. Репина [44], С.В. Ефимовой [12], А.В. Ефимова [11] поставлены и изучены задачи, характерной особенностью которых является наличие в краевых условиях операторов Сайго, с помощью которых связываются след искомого решения на характеристике и нормальная производная на линии вырождения уравнения.

Заметим, что подобные операторы широко используются в работах М.С. Салахитдинова и его учеников [48-52, 54].

Краевые задачи для вырождающихся гиперболических уравнений с нелокальными краевыми условиями, содержащими операторы Сайго, рассматривали М. Сайго [72-76], О.А. Репин [35, 37, 39, 40], А.А. Килбас [18, 19].

В работе А.А. Андреева и Е.Н. Огородникова [3] получены законы композиций для операторов М. Caxtro на матричный случай и исследованы нелокальные краевые задачи для вырождающихся систем гиперболического типа, где широко используются операторы Римана-Лиувилля, Эрдейи-Кобера, М. Сайго в матричном представлении.

В совместных работах М. Сайго, А.А. Килбаса, О.А. Репина [68, 76] рассмотрены краевые задачи, содержащие операторы в смысле Сайго, для уравнения Бицадзе-Лыкова,и параболо-гиперболических уравнений.

Отметим некоторые статьи, связанные с тематикой нашего исследования.

В работе [23] доказаны единственность и существование решения задачи Бицадзе-Самарского для уравнения смешанного типа хихх + yiiyy + аих + риу = 0, ^ < а < (3 < 1.

Проблема однозначной разрешимости исследуемой задачи сводится к вопросу о разрешимости эквивалентного интегрального уравнения Фредгольма II рода с регулярным ядром и непрерывной правой частью.

В работе [65] исследованы две задачи типа задачи Бицадзе-Самарского для уравнения гиперболического типа

Утихх — хпиуу = 0, га > п > 0.

В статье [44] доказана однозначная разрешимость задачи для уравнения гиперболического типа

1 3 хихх + уиуу + аих -1- fitly = 0, - < а, /3 < с операторами М. Сайго в краевом условии.

Вопрос об однозначной разрешимости задачи эквивалентно сводится к вопросу разрешимости интегрального уравнения Вольтерра второго рода.

В работе [8] для уравнения I ихх

Щ+уЩ У > о, 0 < а < 1, \ ихх - (-у)тиуу, у < 0, 0 < т < 1, где Dq+v - частная производная Римана-Лиувилля порядка а от функции и(х, у) по второй переменной, изучена нелокальная задача, краевое условие которой содержит линейную комбинацию обобщенных операторов в смысле

М. Сайго. Решение исследуемой задачи получено в явном виде через специальную функцию Миттаг-Леффлера.

Настоящая диссертация посвящена изучению новых нелокальных краевых задач для уравнений смешанного типа с двумя линиями изменения типа. Поставленные и исследованные в работе задачи характерны тем, что содержат в краевых условиях обобщенные операторы дробного интегродифферен-цирования в смысле М. Сайго с гипергеометрической функцией Гаусса в ядре.

Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, включающих двенадцать параграфов, заключения и списка литературы. Объем диссертации - 129 страниц. Список использованных источников на 10 страницах содержит 87 наименований, при этом работы автора по теме диссертации приведены в конце списка.

Заключение диссертации по теме «Дифференциальные уравнения», Шувалова, Татьяна Витальевна

Заключение

Настоящая диссертационная работа является продолжением исследований задач для уравнений смешанного типа с двумя линиями изменения типа. Характерной особенностью поставленных и изученных в работе задач является наличие в краевых условиях обобщенных операторов дробного ин-тегродифференцирования с гипергеометрической функцией Гаусса в ядре, введенных японским математиком М. Сайго, с помощью которых связываются след искомого решения на характеристике и нормальная производная на линии вырождения уравнения. Выполненные в диссертации исследования позволяют сформулировать следующие достигнутые результаты.

1. С помощью аппарата специальных функций и преобразования Меллина получены важные формулы композиций обобщенных дробных производных в смысле М. Сайго.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Шувалова, Татьяна Витальевна, 2008 год

1. Азовский В.В. Решение обобщенной задачи Трикоми для одного уравнения смешанного типа в полуплоскости. / В.В. Азовский // Волжский математический сборник. - Куйбышев, 1971. - Выпуск 9. - С. 3-7.

2. Аманов Д. Краевая задача для уравнения sgny\y\muxx + хпиуу = 0 в неограниченной области. / Д. Аманов j j Известия АН Уз.ССР. Серия физ.-мат. наук, 1984. №2. С. 8-10.

3. Андреев А.А. Матричные интегродифференциальные операторы и их приложение. / А.А. Андреев, Е.Н. Огородников // Вестник СГТУ. Самара. Выпуск 7. Серия "Физико-математические науки". 1999. - С. 27-37.

4. Бейтмен Г. Таблицы интегральных преобразований. / Г. Бейтмен, А. Эр-дейи. М.: Наука, 1969. - Т. 1. - 343 с.

5. Бейтмен Г. Высшие трансцендентные функции. / Г. Бейтмен, А. Эрдейи. М.: Наука, 1973. - Т. 1. - 294 с.

6. Берс JI. Математические вопросы дозвуковой и околозвуковой газовой динамики. / А. Берс. М.: ИЛ, 1961. - 208 с.

7. Векуа И.Н. Обобщенные аналитические функции. / И.Н. Векуа. М.: Фитматгиз, 1959. - 628 с.

8. Вирченко Н.А. О разрешимости в замкнутой форме нелокальной задачи для уравнения смешанного типа второго рода. / Н.А. Вирченко, О.А. Репин // Долов1д1 НАН Укршни, 2007. №10. - С. 15-23.

9. Гахов Ф.Д. Краевые задачи. / Ф.Д. Гахов. М.: Наука, 1977. - 640 с.

10. Гордеев A.M. Некоторые краевые задачи для обобщенного уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу / A.M. Гордеев // Волжский математический сборник. Куйбышев, 1968. - Вып. 6. - С. 56-61.

11. Ефимов А.В. О постановке и разрешимости краевой задачи для уравнения смешанного типа с дробной производной. / А.В. Ефимов // Труды

12. Международной научной конференции "Современные проблемы математической физики и информационной технологии". Ташкент, 2003. -Т. 1. - С. 27-33.

13. Жегалов В.И. Задача с несколькими смещениями для уравнения смешано-составного типа. / В.И. Жегалов // Изв. вузов. Математика, 1982. МО. - С. 15-18.

14. Зайнулабидов М.М. О некоторых краевых задачах для уравнений смешанного типа с двумя перпендикулярными линиями вырождения. / М.М. Зайнулабидов // Дифференц. уравнения. 1969. - Т. 5. - №1. - С. 91-99.

15. Зайнулабидов М.М. Краевая задача для уравнения смешанного типа с двумя пересекающимися линиями вырождения. / М.М. Зайнулабидов // Дифференц. уравнения. 1970. - Т. 6. - №1. С. 99-108.

16. Исломов Б. Краевые задачи типа задачи Трикоми для уравнения смешанного типа с негладкой линией вырождения. / Б. Исломов // Известия АН Уз.ССР. 1985. - Т. 6. - С. 12-17.

17. Исломов Б. Свойства операторов обобщенного интегродифференцирова-ния дробного порядка с одинаковыми и различными началами. / Б. Исломов // Дифференц. уравнения и их приложения. Сборник научных трудов. Самара, 2002. - С. 412-416.

18. Килбас А.А. Асимптотические разложения дробных интегралов и решений уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу. / А.А. Килбас // Дифференц. уравнения. 1986. - т. 24. - №10. - С. 1764-1777.

19. Килбас А.А. Задача со смещением для параболо-гиперболического уравнения. // А.А. Килбас, О.А. Репин // Дифференц. уравнения. 1998. -Т. 34. - №6. - С. 799-805.

20. Коган М.Н. О магнитогидродинамических течениях смешанного типа. / М.Н. Коган // Прикладная математика и механика. 1961. - Т. 25. -С. 132-137.

21. Макаров И.А. Теория потенциала для уравнений с двумя линиями вырождения. / И.А. Макаров // Дифференц. уравнения. Сборник трудов математических кафедр пединститутов РСФСР. 1973. - Вып. 2. -С. 145-155.

22. Макаров С.И. Вычисление композиций и формулы обращения некоторых интегродифференциальных операторов. / С.И. Макаров. Деп. в ВИНИТИ 1.10.86, №6942-886. - 12 с.

23. Макаров С.И. Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа с негладкой линией вырождения. / С.И. Макаров // Вестник ЛГУ. Серия 1. Выпуск 1. - 1987. - С. 117-118. '

24. Макаров С.И. Задача Трикоми с комбинированными условиями склеивания для уравнения смешанного типа с двумя линиями вырождения. / С.И. Макаров // Аналитические методы решения дифференциальных уравнений. Куйбышев: Издательство КГУ, 1988. С. 105-111.

25. Маричев О.И. Метод вычисления интегралов от специальных функций. / О.И. Маричев. Минск: Наука и техника, 1978. - 310 с.

26. Моисеев Е.И. О некоторых краевых задачах для уравнений смешанного типа. / Е.И. Моисеев // Дифференц. уравнения. 1992. - Т. 28. - №1.-С. 110-121.

27. Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения. Граничные задачи теории функций и некоторые их приложения к математической физике / Н.И. Мусхелишвили // М.: Наука, 1968. 511 с.

28. Нахушев A.M. О некоторых краевых задачах для гиперболических уравнений и уравнений смешанного типа. / A.M. Нахушев // Дифференц. уравнения. 1969. - Т. 5. - №1. - С. 44-59.

29. Нахушев A.M. Новая краевая задача для одного вырождающегося гиперболического уранвения. / A.M. Нахушев // ДАН СССР. 1969. - Т. 187.- №4. С. 736-739.

30. Нахушев A.M. О нелокальных краевых задачах со смещением и их связи с нагруженными уравнениями. / A.M. Нахушев // Дифференц. уравнения.- 1985. Т. 21. - т. - С. 92-101.

31. Нахушев A.M. Об одном классе линейных краевых задач для гиперболического и смешанного типов уравнений второго порядка. / A.M. Нахушев.- Нальчик, 1992. 155 с.

32. Нахушев A.M. Уравнения математической биологии. / A.M. Нахушев. -М.: Высшая школа, 1995. 301 с.

33. Нахушев A.M. Задачи со смещением для уранвений в частных производных. / A.M. Нахушев. М.: Наука, 2006. - 287 с.

34. Прудников А.П. Интегралы иряды. Дополнительные главы. / А.П. Прудников, Ю.А. Брычков, О.И. Маричев. М.: Наука, 1986. - 800 с.

35. Репин О.А. О задаче типа Бицадзе-Самарского для вырождающегося гиперболического уравнения. / О.А. Репин // Математическая физика. Межвузовский сборник. Ленинград, 1987. - С. 71-74.

36. Репин О.А. Краевая задача со смещением для уравнений гиперболического и смешанного типов. / О.А. Репин // Саратовский государственный университет, 1992. 161 с.

37. Репин О.А. О краевой задаче со смещением для вырождающегося уравнения гиперболического типа. / О.А. Репин // Интегральные уравнения и краевые задачи математической физики. Сборник трудов всесоюзной конференции. Владивосток, 1992. - С. 92-97.

38. Репин О.А. О разрешимости задачи с краевым условием на характеристиках для вырождающегося гиперболического уравнения . / О.А. Репин // Дифференц. уравнения. 1998. - Т. 34. - №1. - С. 110-113.

39. Репин О.А. О смешанной задаче для вырождающегося нагруженного ин-тегродифференциального уравнения второго порядка. // О.А. Репин // Труды третьей международной конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения". Саранск, 1998. - С. 161-162.

40. Репин О.А. Задача со смещением для гиперболического уравнения с двумя линиями вырождения. / О.А. Репин // Вестник Самарской государственной экономической академии. 1999. - №1. - С. 208-213.

41. Репин О.А. Об одной задаче со смещением с оператором М. Сайго и Римана-Лиувилля. / О.А. Репин, Е.В. Филимонова // Докл. Адыг. (Черкес.) Междунар. акад. наук. 2003. - Т. 6. - №2. - С. 74-77.

42. Репин О.А. О задаче с обобщенными операторами дробного интегродиф-ференцирования для уравнения гиперболического типа. / О.А. Репин // Вестник СамГТУ. № 30. - Серия "Физико-математ. науки". - 2004. -С. 70-72.

43. Сабитов К.Б. Задача Трикоми для уравнения смешанного типа с двумя перпендикулярными линиями вырождения. / К.Б. Сабитов, Г.Г. Шара-футдинова // Дифференц. уравнения. 2003. - Т. 39. -№6. - С. 788-800.

44. Сабитов К.Б. К теории уравнений смешанного типа с двумя линиями изменения типа. / К.Б. Сабитов, Г.Г. Бикулова, А.А. Гималтдинова. -Уфа: Гилем, 2006. 150 с.

45. Салахитдинов М.С. Уравнения смешанно-составного типа. / М.С. Сала-хитдинов. Ташкент: Фан, 1974. - 156 с.

46. Салахитдинов М.С. Задача Трикоми для уравнения смешанного типа с негладкой линией вырождения. / М.С. Салахитдинов, А. Хасанов // Дифференц. уравнения. 1983. - Т. 19. - №1. С. 110-119.

47. Салахитдинов М.С. Задача Трикоми для общего линейного уравнения смешанного типа с негладкой линией вырождения. /М.С. Салахитдинов, Б. Исломов // Доклады АН СССР. 1986. - Т. 289. - №3. - С. 549-553.

48. Салахитдинов М.С. Задача с нормальной производной для уравнения смешанного типа с негладкими линиями вырождения. / М.С. Салахитдинов, 3. Кадыров // Дифференц. уравнения. 1986. Т. 22. №1. - С. 103-114.

49. Салахитдинов М.С. О некоторых краевых задачах со смещением для уравнения {—у)тихх + хпиуу — \2хп(—у)ти = 0. / М.С. Салахитдинов, Б. Исломов // Неклассические уравнения математической физики и задачи теории ветвления. Ташкент. ФАН, 1988. - С. 24-34.

50. Салахитдинов М.С. О законе композиции операторов дробного интегродифференцирования с различными началами. / М.С. Салахитдинов, A.M. Нахушев // Доклады АН СССР. 1988. - Т. 299. - С. 1313-1316.

51. Салахитдинов М.С. Краевые задачи для уравнения смешанного типа с двумя внутренними линиями вырождения. /М.С. Салахитдинов // Доклады АН СССР. 1991. - Т. 316. - №5. - С. 1051-1054.

52. Самко С.Г. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. / С.Г. Самко, А.А. Килбас, О.И. Маричев. Минск: Наука и техника, 1987. - 688 с.

53. Смирнов М.М. Вырождающиеся эллиптические и гиперболические уравнения. / М.М. Смирнов. М.: Наука, 1966. - 292 с.

54. Смирнов М.М. Уравнения смешанного типа. / М.М. Смирнов. М.: Наука, 1970. - 295 с.

55. Смирнов М.М. Об одной задаче со смещением для уравнения смешанного типа второго рода с двумя линиями вырождения. / М.М. Смирнов. Изв. вузов. Математика. - 1982. - №3. - С. 68-75.

56. Смирнов М.М. Уравнения смешанного типа. / М.М. Смирнов. М.: Высшая школа, 1985. - 304 с.

57. Терсенов С.А. Введение в теорию уравнений вырождающихся на границе. / С.А. Терсенов. Новосибирск: НГУ, 1973. - 144 с.

58. Трикоми Ф. О линейных уравнениях в частных производных второго порядка смешанного типа. / Ф. Трикоми. МЛ. - Гостехиздат, 1947. -192 с.

59. Трикоми Ф. Лекции по уравнениям в частных производных. / Ф. Трикоми. М.: Наука, 1957. - 443 с.

60. Филимонова Е.В. Краевая задача с оператором М. Сайго для параболо-гиперболического уравнения. / Е.В. Филимонова // Вестник СамГТУ. -Серия "Физико-математ. науки": 2004. - №30. - С. 78-82.

61. Франкль Ф.И. Избранные труды по газовой динамике. / Ф.И. Франкль. М.: Наука, 1973. - 771 с.

62. Хасанов А. О некоторых задачах типа Бицадзе-Самарского для уравнения гиперболического типа. / А. Хасанов // Краевые задачи для уравнений математической физики и их приложения. Ташкент, ФАН, 1983. -С. 45-49.

63. Хе Кан Чер. О единственности решения задачи Трикоми для уравнения с двумя линиями вырождения. / Хе Кан Чер // Дифференц. уравнения с частными производными. Новосибирск: ИМ СО АН СССР, 1980. -С. 64-67.

64. Gellerstedt S. Quelques problems michtes pour l'equation ymzxx + zyy — 0./ S. Gellerstedt // Arciv Math., Astr. och. F>sik. 1938/ - B. 26 A. - № 3. -P. 1-32.

65. Kilbass A. A. Solution in closed form of boundary value problem for degenerate equation of hyperbolic type. / A.A. Kilbas, O.A. Repin, M. Saigo // Kyungpook. Mathematical Journal. 1996. - Vol. 36. - №2. - P. 261-273.

66. Love E.R. Two more hypergeometric integral equations. / E.R. Love // Proc. Combridge Phil. Soc. 1967. - Vol. 63. - №4. - P. 241-259.

67. Love E.R. Some integral equations involving hypergeometric functions. / E.R. Love // Proc. Edinburgh Math. Soc. 1967. - Vol. 15. - №3. - P. 169-198.

68. McBride A.C. Solution of hypergeometric integral equations involving generalized functions. / A.C. McBride // Proc Edinbourgh Math. Soc. 1975.- Vol. 19. №3. - P. 265-285.

69. Saigo M. A remark on integral operators involving the Gauss hypergeometric functions. / M. Saigo // Math. Rep. Kyushu Univ 1978. - Vol. 11. - №2. -P. 135-143.

70. Saigo M. A certain boundary value problem for the Euler-Poisson-Darboux equation / M. Saigo // Math. Japan. 1979. - Vol. 24. - №4. - P. 377-385.

71. Saigo M. On the Holder continuity of the generalized fractional integrals and derivatives. / M. Saigo // Math. Rep. Kyushu Univ. 1980. - Vol. 12. - №2.- P. 55-62.

72. Saigo M. Generalized fractional integrals and derivatives in Holder spaces. / M. Saigo, A.A. Kilbas // Transform Methods and Special Functions. Sofia 94. (Proceeding of International Workshop). Sci. Cult. Tech. Publ. Singapore. -1995. P. 282-293.

73. Saigo M. On a non local boundary value problem for an equation of mixed parabolic-hyperbolic type. / M. Saigo, O.A. Repin, a,A, Kilbas // International Journal of Mathemat. and Statistical. 1996. - Vol. 5. - №1. -P. 104-117.

74. Saigo M. More generalization of fractional calculus. / M. Saigo, N. Maeda // Transform. Methods. Functions. Varna. 1996. - P. 386-400.

75. Srivastava H.M. Multiplication of Fractional Calculus Operators and Boundary Value Problems involving the Euler-Darboux equation. / H.M. Srivastava, M. Saigo // J. Math. Anal, and Appl. 1987. - Vol. 121. - №2. -P. 325-369.

76. Шувалова T.B. Некоторые композиционные свойства обобщенных операторов дробного дифференцирования. / Т.В. Шувалова // Вестник Самарского государственного технического университета. Выпуск 42, Серия "Физико-математические науки". 2006. - С. 45-48.

77. Шувалова Т.В'. Об одном эффективном методе получения сингулярногоинтегрального уранения. / Т.В. Шувалова // Материалы 12-ой международной научной конференции имени академика М. Кравчука. Киев, 2008. - С. 869.

78. Шувалова Т.В. К вопросу о единственности решения задачи со смещением для уравнения смешанного типа. / Т.В. Шувалова // Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. 2008. - Т. 10. - №1. -С. 87-91.

79. Репин О.А. Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа с двумя линиями вырождения. / О.А. Репин, Т.В. Шувалова // Дифферент уравнения. 2008. - Т. 44. - №6. - С. 848-851.