Краевые задачи с обобщенными операторами дробного интегродифференцирования для уравнений гиперболического и смешанного типов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Гайсина, Лилия Рамильевна

• Гайсина, Лилия Рамильевна
• кандидат физико-математических наук
• 2004

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Гайсина, Лилия Рамильевна

Введение.

Глава 1. Композиционные свойства обобщенных операторов дробного интегродифференцирования с гипергеометрической функцией в ядре.

§ 1.1. Обобщенные операторы дробного интегродифференцирования.

§ 1.2. Преобразование Меллина.

§ 1.3. Вывод композиционных свойств. ol в у

1.3.1. Формулы-композиции для оператора Iq ^ /(х). ее В у

1.3.2. Формулы-композиции для оператора I f(x).

Глава 2. Локальные и нелокальные задачи для гиперболических уравнений.

§ 2.1. Задачи Дарбу и краевые задачи для уравнения гиперболического типа с сингулярным коэффициентом.

2.1.1. ПостановкаЪадач.

2.1.2. Решение задач Д&рбу.

2.1.3. Разрешимость задач с обобщенным оператором дробного интегродифференцирования в краевом условии.

§ 2.2. Нелокальные задачи с интегральным условием.

2.2.1. Постановка задач и решение задачи Коши.

2.2.2. Сведение задачи I к интегральному уравнению.

2.2.3. Разрешимость задачи II.

Глава 3. Нелокальные задачи для уравнения смешанного типа в неограниченной области.

§ 3.1. Постановка задач Г, и Т2.

§ 3.2. Эллиптические задачи.

3.2.1. Решение задачи Г, в области эллиптичности.

3.2.2. Решение задачи Тг в области эллиптичности

§ 3.3. Единственность решений задач Г, и Т

§ 3.4. Существование решения задачи Тх.

§ 3.5. Существование решения задачи Т2.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Краевые задачи с обобщенными операторами дробного интегродифференцирования для уравнений гиперболического и смешанного типов»

Теория краевых задач для уравнений гиперболического и смешанного типов является одним из важнейших разделов современной теории дифференциальных уравнений в частных производных. Практический интерес к данной области связан с применением уравнений гиперболического и смешанного типов в газовой динамике трансзвуковых течений, в математической биологии, в теории лазерного излучения, в теории упругости, в теории оболочек, в теории плазмы и других разделах науки и техники.

Впервые на важность уравнений смешанного типа обратил внимание С.А.Чаплыгин в 1902 году в работе «О газовых струях». Он показал, что движение газа в условиях перехода от дозвуковой к сверхзвуковой скорости описывается уравнением смешанного типа, которое в настоящее время называется уравнением Чаплыгина.

Первыми систематическими исследованиями в области уравнений смешанного типа являются работы Ф. Трикоми. В работе [78] он рассмотрел теперь хорошо известную задачу Трикоми - задачу отыскания решения уравнения смешанного типа с двумя переменными yU +U = 0,

XX уу принимающего заданные значения на эллиптической части сг границы 3D области D задания уравнения и на одной из двух характеристик АС или ВС образующих гиперболическую часть Г = AC U ВС границы 3D = a U Г.

Результаты Ф. Трикоми в тридцатые годы обобщил С. Геллерстедт [83]. Для уравнения ymU +U = 0,

XX уу где т - натуральное нечетное число, С. Геллерстедт исследовал задачи, краевые условия которых задаются на двух кусках характеристик различных семейств, выходящих из внутренней точки линии вырождения уравнения или на кусках этих характеристик. Используя идею Ф. Трикоми, С. Геллерстедт свел решение этих задач к вопросу разрешимости сингулярных интегральных уравнений.

Следующим этапом в развитии исследований в теории уравнений смешанного типа явились работы Ф.И. Франкля [79,80], в которых он разработал важные практические применения задач для уравнений смешанного типа в газовой динамике. Так, если рассмотреть задачу перехода через звуковой барьер установившихся двухмерных безвихревых течений идеального газа в соплах, когда сверхзвуковые зоны примыкают к стенкам сопла вблизи минимального сечения, то она сводится для линейных уравнений смешанного типа с частными производными второго порядка, в упрощенной постановке, к задаче Трикоми.

В 60-х годах прошлого столетия А.В. Бицадзе была выдвинута проблема поиска корректно поставленных краевых задач для уравнений смешанного типа с двумя независимыми переменными, когда все точки гиперболической части границы равноправны как носители граничных условий.

Важную роль при решении данной проблемы сыграли исследования A.M. Нахушева. В 1969 году A.M. Нахушев предложил ряд нелокальных задач нового типа [52,54], которые явились непосредственным обобщением задачи Трикоми и вошли в математическую литературу под названием краевых задач со смещением. В отличие от задачи Трикоми здесь задается условие, связывающее значение искомого решения или его производной, вообще говоря, дробной, в трех точках, две из которых лежат на граничных характеристиках из разных семейств, а третья - на линии вырождения уравнения.

Подобные граничные условия возникают при изучении вопросов тепло и массообмена в капилляро-пористых средах, математическом моделировании задач газовой динамики, теории плазмы, излучения лазера, при изучении процессов размножения клеток, в теории распространения электромагнитного поля в неоднородной среде [58].

В направлении развития теории краевых задач со смещением появилась серия работ A.M. Нахушева [52-54,57,58], В.И.Жегалова [25], В.Ф. Волкодавова [16-17], М.М.Смирнова [75,76], М.С. Салахитдинова и Б. Исломова [73], Т.Д.Джураева [23], Е.И.Моисеева [48], С.К.Кумыковой [36], О.А.Репина [6369], А.А.Андреева [5], их учеников и последователей.

Первые работы по исследованию задач со смещением в краевых условиях содержали классические операторы Римана-Лиувилля. Естественным обобщением этих операторов являются операторы, введенные Э.Лавом (E.R.Love,Австралия) [85,86], А.Мак-Брайдом (A.C.McBride, Англия) [87], М.Сайго (M.Saigo, Япония) [90].

Д.Аманов [4], Б.Исломов [28], А.Хасанов [81], С.И.Макаров [41,42] изучали задачи с нелокальными краевыми условиями, содержащими операторы, введенные Э.Лавом, для уравнения с двумя линиями вырождения в случае, когда порядок вырождения различен.

Краевые задачи для вырождающихся гиперболических уравнений с нелокальными краевыми условиями, содержащими операторы Сайго, рассматривали М.Сайго [88-93], О.А.Репин [63-69]. В работе А.А.Андреева и Е.Н.Огородникова [5] получены законы композиций для операторов М.Сайго на матричный случай и исследованы нелокальные краевые задачи для вырождающихся систем гиперболического типа, где широко используются операторы Римана-Лиувилля, Эрдейи-Кобера, М.Сайго в матричном представлении.

В совместных работах М.Сайго, А.А.Килбаса и О.А.Репина [84,88] рассмотрены краевые задачи, содержащие операторы в смысле М.Сайго для уравнения Бицадзе-Лыкова и параболо-гиперболических уравнений.

И все-таки, в настоящее время, нелокальным задачам, содержащим обобщенные операторы дробного интегродифференцирования посвящено меньше работ, чем задачам с граничными условиями, содержащими классические операторы. В связи с этим исследование таких задач является важным и актуальным.

Настоящая диссертация посвящена изучению новых нелокальных и локальных краевых задач для уравнений гиперболического и смешанного типов с вырождением первого и второго рода. Поставленные и исследованные в работе задачи характерны тем, что содержат в краевых условиях производные и интегралы дробного порядка с гипергеометрической функцией Гаусса в ядре.

Методы исследования. В работе используется аппарат специальных функций, методы теории интегральных уравнений, дифференциальных уравнений с частными производными, операторов дробного интегродифференцирования, известные принципы экстремума для гиперболических и смешанных уравнений.

Научная новизна. Результаты работы примыкают с одной стороны к направлениям, связанным с краевыми задачами для уравнений гиперболического и смешанного типов, с другой - к направлению, связанному с теорией дробного интегродифференцирования.

1. Получены новые формулы для композиций обобщенных операторов дробного интегродифференцирования, которые широко применяются при решении задач со смещением.

2. Исследованы новые нелокальные краевые задачи для уравнений гиперболического и смешанного типов.

Положения, выносимые на защиту:

1. Новые композиционные свойства для интегралов и производных дробного порядка с гипергеометрической функцией Гаусса в ядре, полученные на основании аппарата специальных функций и преобразования Меллина.

2. Постановка и исследование новых нелокальных задач для уравнений гиперболического и смешанного типов, краевые условия которых содержат обобщенные операторы дробного интегродифференцирования.

3. Доказательство существования и единственности решений задач со смещением на основании метода редукции этих задач к сингулярным интегральным уравнениям или интегральным уравнениям Вольтерра и Фредгольма.

Практическая и теоретическая ценность. Результаты работы носят теоретический характер и являются важным вкладом во внутреннюю завершенность соответствующего раздела дифференциальных уравнений с частными производными; они могут быть использованы для дальнейшей разработки теории краевых задач для уравнений гиперболического и смешанного типов, а также для решения прикладных задач, приводящихся к таким уравнениям.

Апробация работы. По теме диссертации опубликовано одиннадцать печатных работ. Результаты исследований докладывались и обсуждались на X Научной межвузовской конференции «Математическое моделирование и краевые задачи» (Самара, 2000г.), на Международной конференции молодых ученых «Актуальные проблемы современной науки» (Самара, 2000г.), на XXVII Самарской областной студенческой научной конференции (2001г.), на Международной конференции «Математическое моделирование, статистика и информатика в современном управлении экономикой» (Самара, 2001г.), на V Международной конференции «Дифференциальные уравнения и их приложения» (Саранск, 2002г.), на Всероссийской Научной конференции «Математической моделирование и краевые задачи» (Самара, 2004г.), на семинарах кафедры «Прикладная математика и информатика» Самарского государственного технического университета (руководитель - профессор, доктор физико-математических наук В.П.Радченко, 2003-2004гг.), на научных семинарах кафедр МА, ПМиИ и ТФ физико-математического факультета Стерлитамакского государственного педагогического института (руководитель - профессор, доктор физико-математических наук К.Б.Сабитов, 2004г.), на научном семинаре Института механики УНЦ РАН (руководители - профессор, доктор физико-математических наук С.В.Хабиров, профессор, доктор физико-математических наук Т.А.Акрамов, г.Уфа, 2004г.).

Диссертация состоит из введения, трех глав и девяти параграфов. В каждой главе своя нумерация параграфов, а в каждом параграфе своя нумерация формул и теорем.

Заключение диссертации по теме «Дифференциальные уравнения», Гайсина, Лилия Рамильевна

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Выполненные в настоящей диссертационной работе исследования позволяют сформулировать следующие основные результаты:

1. С помощью аппарата специальных функций получены формулы композиций для интегралов и производных дробного порядка с гипергеометрической функцией Гаусса в ядре.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Гайсина, Лилия Рамильевна, 2004 год

1. Азовский В.В. О решении задачи Т^ для одного уравнения смешанноготипа с двумя линиями вырождения // Дифференц. уравнения. Рязань. Радиотехнический институт. 1971.- С.158-163.

2. Азовский В.В. Решение задачи Т для одного уравнения смешанного типас двумя линиями вырождения // Материалы итоговой научной конференции Куйбышевского пединститута. Куйбышев. 1970. С.3-7.

3. Азовский В. В. Решение обобщенной задачи Трикоми для одного уравнения смешанного типа в полуплоскости // Волжский математически сборник. Куйбышев. 1971. Выпуск 9.- С.3-7.

4. Аманов Д. Краевая задача для уравнения sgn y\y\mU + xnU =0 вхх уунеограниченной области // Известия АН Уз.ССР. Серия физ.-мат. наук. 1984. №2. С.8-10.

5. Андреев А.А., Огородников Е.Н. Матричные интегродифференциальные операторы и их применения // Вестник СГТУ. Самара. Выпуск 7. Серия "Физико-математические науки". 1999. С.27-37.

6. Бабенко К.И. К теории уравнений смешанного типа // Успехи математических наук. 1953.Т.8. №2. С. 160.

7. Бабенко К.И. О принципе максимума для уравнения Эйлера-Трикоми // Доклады АН СССР.1985.Т.285. №4 С.777-782.

8. Бакиевич Н.И. Сингулярные задачи Трикоми для уравненияг/ 2 2п U>- +U ц п U =0 // Волжский математический сборник 1963.пл1. Вып.1. С.42-52.

9. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Т.1: Гипергеометрическая функция. Функции Лежандра // М.:Наука. 1973.-296с.

10. Бицадзе А.В. Некорректность задачи Дирихле для уравнений смешанноготипа // Доклады АН СССР. 1953. Т.122.№2. С. 167-170. ХЪ.Бицадзе А.В. Некоторые классы уравнений в частных производных // М.:Наука. 1981. -448с.

11. Бицадзе А.В., Самарский А.А. О некоторых простейших обобщениях линейных эллиптических краевых задач // Доклады АН СССР. 1969. Т. 185. №4. С.739-740.

12. Векуа И.Н. Обобщенные аналитические функции // М.: ГИФМЛ.1959. -628с.

13. Волкодавов В.Ф., Репин О.А. Об одной краевой задаче для уравнения Эйлера-Дарбу с положительными параметрами // Дифференц. уравнения. 1982. Т. 18. №7. С. 1275-1277.

14. Вольтерра В. Теория функционалов, интегральных и интегродиф-ференциальных уравнений // М.: Наука. 1982. -304с.

15. Гахов Ф. Д. Краевые задачи // М.: Наука.1977. 640 с.

16. Жегалов В.И. Задача с несколькими смещениями для уравнения смешанно-составного типа // Изв. вузов. Математика. 1982. №10. С. 1518.

17. Капилевич М.Б. Об одном классе гипергеометрических функций Горна // Дифференц. уравнения. Т. 4. №8. 1968. С. 1405-1483.

18. Килбас А.А. Асимптотические разложения дробных интегралов и решений уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу // Дифференц. уравнения. 1986. Т.24. №10.-С. 1764-1777.

19. Лернер М.Е. О функциях, определяемых формулами решений задач Коши и Коши-Гурса для уравнения Эйлера- Дарбу в случае 0 < р < 1 // Волжский математический сборник. Куйбышев. 1965.Вып.3. С.241-254.

20. Лернер М.Е., Репин О.А. Краевая задача с оператором М. Сайго для уравнения смешанного типа, эллиптического в вертикальной полуполосе

21. Макаров С.И. Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа с негладкой линией вырождения // Вестник ЛГУ. Серия 1. Выпуск 1. 1987.- С.117-118.

22. Маричев О.И. Весовые задачи Неймана и Дирихле в полуплоскости для обобщенного уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу // Известия АН БССР. Серия физ.-мат.наук. 1976. №4. -С.128-131.

23. А А.Маричев О.И. Краевые задачи для уравнения смешанного типа с двумя линиями вырождения // Известия АН БССР. Серия физ.-мат. наук. 1970. №5. С.21-29.

24. Маричев О.И. Метод вычисления интегралов от специальных функций (теория и таблицы формул) // Минск: Наука и техника. 1978.-310с.

25. Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения // 3-е изд., исправленное и дополненное. М.: Наука. 1968. 512с.

26. Нахушев A.M. Критерий единственности решения задачи Дарбу для одного вырождающегося гиперболического уравнения влагопереноса // Дифференц. уравнения. 1980. Т.16. №9. С.1643-1649.

27. Нахушев A.M. Элементы дробного исчисления и их применение // Нальчик: Издательство КБНЦ РАН. 2000. 299с.

28. Нахушев A.M. Новая краевая задача для одного вырождающегося гиперболического уравнения // ДАН СССР. 1969. Т. 187. №4. С.736-739.

29. Нахушев A.M. О задаче Дарбу для гиперболических уравнений // ДАН СССР. 1970. Т. 195.№4. С.776-779.

30. Нахушев A.M. О некоторых краевых задачах для гиперболических уравнений и уравнений смешанного типа // Дифференц. уравнения. 1969. Т.5. №1. С.44-59.

31. Нахушев A.M. Об одном классе линейных краевых задач для гиперболического и смешанного типов уравнений второго порядка // Нальчик. 1992.-155с.

32. Нахушев A.M. Уравнения математической биологии // М.: Высшая школа. 1995.-301с.

33. Нахушева З.А. Нелокальная задача с оператором Эрдейи-Кобера для уравнения Лаврентьева-Бицадзе // Доклады Адыгейской (Черкесской) Международной Академии Наук.2001. Т.5. №2. Нальчик. С.44.

34. Прудников А. П., Брычков Ю. А., Маричев О. И. Интегралы и ряды. Специальные функции //М.: Наука. 1983. 752 с.6\.Прудников А.П. Брычков Ю.А. Маричев О.И. Интегралы и ряды. Дополнительные главы // М.:Наука. 1986.- 801с.

35. Прудников А.П. Брычков Ю.А. Маричев О.И. Интегралы и ряды. Элементарные функции // М.:Наука. 1981.-800с.

36. Репин О.А. О задаче типа Бицадце-Самарского для вырождающегося гиперболического уравнения // Математическая физика. 1987. Межвузовский сборник. Ленинград. С.71-74.

37. Сабитов КБ. Построение в явном виде решений задач Дарбу для телеграфного уравнения и их применение при обращении интегральных уравнений. II // Дифференц. уравнения. 1992. Т.28. №7. С.1138-1145.

38. Неклассические уравнения математической физики и задачи теории ветвления. Ташкент. ФАН. 1988. С. 24-34.

39. Самко С.Г., Килбас А.А., Маричев О.И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения // Минск: Наука и техника. 1987. 688с.

40. Смирнов М.М. Уравнения смешанного типа // М.: Наука. 1970. 295с.

41. Хе Кан Чер О задаче Трикоми для одного уравнения смешанного типа с двумя перпендикулярными линиями вырождения // Динамика сплошной среды. Новосибирск. 1974. Вып.16. С.112-119.

42. Gellerstedt S. Sur une equation lineaire aux derivees partielles de type mixte // Arciv Mat.,Astr.och.fisik.l937.25A. 29. P.l-23.

43. Kilbas A.A.,Repin O.A.,Saigo M. Solution in Closed Form of Boundary Value Problem for Degenerate Equation of Hyperbolic Type // Kyungpook. Mathematical Journal. 1996. Vol.36. №2. P.-261-273.

44. Love E.R. Two more hypergeometric integral equations // Proc.combridge Phil. Soc. 1967. Vol 63. №4. P.241-259.86Love E.R. Some integral equations involving hypergeometric functions // Proc. Edinburgh Math. Soc. 1967.Vol.15. №3. P.169-198.

45. McBride A.C. Solution of hypergeometric integral equations involving generalised functions // Proc. Edinbourgh Math. Soc. 1975. Vol.19. №3. -P.265-285.

46. Saigo M, Repin OA., Kilbas A.A. On a non local boundary value problem for an equation of mixed parabolic-hyperbolic type // Internatioal Jounal of Mathemat. and Statistical. 1996. Vol.5. № 1. P.104-117.

47. Saigo M. A certain boundary value problem for the Euler Poisson - Darboux equation // Math. Japan. 1979. Vol. 24. №4. - P.377-385.

48. Гайсина JI.P. Некоторые свойства для операторов с гипергеометрической функцией Гаусса в ядре // Актуальные проблемы современной науки. Тезисы докладов Международной конференции молодых ученых. Часть 1. Математика. Механика. Самара: СамГТУ. 2000. С.17.

49. Репин О.А., Гайсина JI.P. О композиционных свойствах для операторов дробного интегродифференцирования // Математическое моделирование и краевые задачи. Труды 10-й научной межвузовской конференции. Часть 3. Самара: СамГТУ. 2000. С.135-146.

50. Гайсина JI.P. Аналог задачи Бицадзе Самарского для гиперболического уравнения с двумя линиями вырождения // Тезисы докладов XXVII Самарской областной студенческой научной конференции. Часть 1. Общественные и технические науки. 2001. - С.81.

51. Гайсина Л.Р. О краевой задаче с оператором М.Сайго для вырождающегося уравнения гиперболического типа // Обозрение прикладной и промышленной математики. Т.8. Выпуск 2. М.: ТВП. 2001. -С.562-563.

52. Адыгейской (Черкесской) Международной Академии Наук. 2001. Т.5. №2. Нальчик. С. 11-17.

53. Гайсина Л.Р. Краевые задачи со смещением для вырождающегося уравнения гиперболического типа // Вестник Самарской Государственной Экономической Академии. Самара: СГЭА. 2004. С.221-230.

54. Гайсина Л.Р. Решение задач Дарбу для обобщенного волнового уравнения // Материалы международной научной конференции, посвященной юбилею академика М.Кравчука. Киев. 2004. С.69-70.

55. Гайсина Л.Р. Об одной задаче со смещением для уравнения смешанного типа с бесконечной подобластью эллиптичности // Материалы международного российско-казахского симпозиума. Нальчик-Эльбрус. 2004. С.45-46.

56. Гайсина Л.Р. Нелокальная задача с интегральным условием // Математическое моделирование и краевые задачи. Труды Всероссийской научной конференции. Самара: СамГТУ. 2004. С.54-56.