Ковариантные эволюционные системы уравнений в пространствах векторных полей на R3 тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Субботин Андрей Валерьевич

• Субботин Андрей Валерьевич
• кандидат наук
• 2022

Оглавление диссертации кандидат наук Субботин Андрей Валерьевич

Введение

Глава 1 Эволюционные уравнения математической физики

1.1 Эволюционные системы уравнений математической физики

1.2 Задача конструирования систем эволюционных уравнений

1.3 Ковариантные динамические системы в пространствах

векторных полей на М3

1.4 Выводы

Глава 2 Ковариантные дифференциальные операторы

в пространствах С^ДМ3) и С^ДМ3) векторных полей

2.1 Ковариантные тензор-функции полярных векторов

2.2 Дифференциальные операторы класса К^(М3) в пространстве С^ДМ3)

2.3 Дифференциальные операторы класса К^а^М3) в пространстве С^ДМ3)

2.4 Выводы

Глава 3 Ковариантные дифференциальные операторы

в пространствах С^ДМ3) и С^ДМ3) псевдовекторных полей

3.1 Ковариантные тензор-функции аксиальных векторов

3.2 Дифференциальные операторы класса Я^гДМ3) в пространстве С^ОДМ3)

3.3 Выводы

Глава 4 Ковариантные дифференциальные операторы дивергентного типа

на специальных многообразиях в пространствах С^ДМ3) и С^ДМ3)

4.1 Ковариантные дифференциальные операторы класса К^сИу(М3)

4.2 Ковариантные дифференциальные операторы класса К^у(М3)

4.3 Ковариантные дифференциальные операторы класса (М3)

4.4 Эволюционные ковариантные изотропные уравнения ферродинамики

4.5 Выводы

Заключение

Список обозначений

Список литературы

Приложение А. Тензорная алгебра

Приложение Б. Алгебры ©[X]

Приложение В. Тензорные представления группы О3

Приложение Г. Инвариантные тензоры и ковариантные тензор-функции группы О3

Приложение Д. Пространство С2 ьс(М3)

Введение

Актуальность темы. Настоящая диссертационная работа посвящена развитию метода конструирования эволюционных уравнений математической физики, предназначенных для математического моделирования динамики конденсированных сред с учетом их физических особенностей, в частности, при наличии т.н. параметра порядка в описании их макроскопических состояний. Положим, что для описания локальный состояний каждой физической среды в любой пространственной точке в каждый момент времени достаточно выбрать полный набор термодинамических параметров, характеризующих эти состояния. Этот набор является главной отличительной особенностью каждой среды и он обладает теми или иными трансформационными свойствами при вращениях евклидова пространства. В нашей работе эти свойства кладутся в основу классификации всех допустимых эволюционных уравнений. По этой причине, развиваемый в диссертации метод основан на описании классов всех дифференциальных операторов, которые преобразуются, при применении к ним преобразований группы Оз, как «тензорные представления». Принимается, что только такие операторы могут служить генераторами сдвигов по параметру £ функций {фа(х,Ь); а = 1 + Щ, которые являются полями, описывающими мгновенное локальное макроскопическое состояние исследуемой физической системы. Параметр £ интерпретируется как физическое время.

Основываясь на постулативной формулировке трансформационных свойств физических полей по отношению к поворотам пространства, выражающейся в указании того тензорного представления группы Оз, по которому преобразуется каждое из них, а также на указании совокупности независящих от времени функциональных связей между этими полями, метод состоит в описании класса всех тех дифференциальных операторов наперед заданного порядка, которые обладают указанными трансформационными свойствами и подчинены требуемым связям. Если ограничить порядок дифференциальных операторов, которые могут служить генератором сдвига по времени заданного конечного набора полей на Мз, то этот класс представляется конечномерным линейным пространством. Тогда все допустимые генераторы эволюции, представляются в

виде конечных линейных разложений по набору некоторых базисных операторов. Математическая задача, которая лежит в основе метода, состоит в определении размерности этого линейного пространства и определении его базисных элементов.

В рамках описанного подхода к конструированию уравнений математической физики, ограничиваясь дифференциальными операторами не выше второго порядка, в диссертации решаются задачи об установлении общего вида построенных, согласно указанному методу, эволюционных уравнений для векторных полей на Мз как полярных, так и аксиальных, а также решаются задачи о выделении из всего класса допустимых уравнений тех из них, которые сохраняют свойства соленоидальности и/или унимодальности векторных полей.

Когда в теоретической физике необходимо решать задачи, формулирующиеся с помощью дифференциальных уравнений в частных производных, возникает проблема: как на основе принципов, справедливых с точки зрения физики, сконструировать эволюционные уравнения. Надо, однако, заметить, что в теории дифференциальных уравнений не исследуются положения, на основе которых строятся физически обоснованные уравнения, что связано с исключительно историческим принципом данного раздела математики. Кроме того, наиболее известные классические уравнения, на основании которых строится математическая физика, описывающие эволюцию физических полей, в частности, уравнения, исследуемые в динамике сплошных сред, такие как, например система уравнений Максвелла, система уравнений Навье-Стокса гидродинамики жидкостей, уравнение теплопроводности, уравнение Ландау-Лифшица и т.д., в настоящее время считаются в достаточной степени обоснованными с физической точки зрения, поэтому с математической точки зрения проблемы, решаемые первооткрывателями этих уравнений, не представляются сейчас важными.

Если же задача отличается от классической, то физикам-теоретикам для исследования новых физических эффектов и систем приходится решать проблему адекватности дифференциальных уравнений возникающим условиям. Обычно, при решении таких задач, применялись устоявшиеся шаблоны рассуждений, принятые в таком разделе теоретической физики, как теория поля. К такого рода построениям мы относим, например, гамильтонов (лагранжев) формализм.

К такого рода построениям мы относим, например, гамильтонов (лагранжев) формализм, который применяется не для изучения фундаментальных физических полей, а для описания динамики сплошных сред. Примерами такого положения служат, например, работы [1] - [17]. Идеологическая схема рассуждений в этих работах примерно следующая. Предполагается, что при конструировании подходящей системы эволюционных уравнений достаточно установить ее общий вид без учета диссипативных физических процессов. Тогда, считается, что, после установления генератора эволюции в отсутствии механизмов диссипации, для учета ее влияния на эволюцию физической системы, достаточно добавить к установленному генератору эволюции дифференциальный оператор второго порядка с подходящими коэффициентами. Для построения же бездис-сипативной системы уравнений применяется формализм функций Гамильтона (функций Лагранжа), аналогичный тому, используется в классической механике (см., например, [18]). Однако, в процессе развития механики и электродинамики сплошных сред, оказалось, что такой традиционный в теоретической физике подход к конструированию динамических уравнений может не приводить к адекватным, с точки зрения физики, результатам при описании динамики сред, упорядоченных ферромагнитным [14], [19] или ферроэлектрическим [20], [21] образом, а также в задачах, связанных с описанием динамики разнообразных мезофазных жидкостей [13] (см. также [22]).

Для того чтобы прояснить проблемы, которые возникают в рамках традиционного метода конструирования эволюционных уравнений, описывающих динамику конденсированных сред с внутренним параметром порядка, дадим его краткое описание.

Пусть зафиксировано фазовое пространство всех допустимых в каждый момент времени £ € М+ динамических состояний изучаемой системы. Оно состоит из наборов Ф = (фа(х,1); а = 1 + N подходящей размерности, состоящих из возможных значений функций, которые описывают мгновенное состояние физической среды при фиксированном значении £ € М+ в каждой точке пространства с радиус-вектором х € М3.

Значения этих наборов представляют мгновенные значения термодинамических параметров фа, а = 1 ^ N, полностью характеризующих состояний

среды в малой окрестности точки x. Обозначим посредством CNloc(R3) - пространство наборов р-кратно непрерывно дифференцируемых по компонентам вектора x £ R3 функций фа(х], a = 1 — N на R3, которые мы, в дальнейшем, называем полями. Тогда, подразумевается, что изменение состояния среды с течением времени описывается системой эволюционных уравнений на этом пространстве

ф>а(х,г)= (Fa[Ф])(x,t) , a = 1 - N, (0.1)

которой подчинен набор полей фа(х,Ь), a = 1 — N. Здесь точка обозначает дифференцирование по t и (Fa; a = 1 — N) - дифференциальный оператор в пространстве CNloc(R3). Действие этого, в общем случае, нелинейного оператора на набор полей фа(х, t), a = 1 — N дается разложением

(Fa[ ф ])(x,t) =

s N

ЕЕ Е Ф x,t)x (0.2)

J1 v • iJ ki ">" ">J 1 ' * " "'-'hi

l=0 ai,...,ai=1 (ki,...,ki) :kjGN+,

ki+...+ki<p

l

x П j-j ^,

Ш=1

к0 = 0, а = 1 + N с определенным набором коэффициентов р{щах,...^,) ^ ^ (ф, х,Ь). Здесь и далее, V обозначает операцию градиента в

К3 и по нижним «пространственным» индексам р = 1 ^ кч, д = 1 ^ I в каждом слагаемом предполагается суммирование со значениями 1,2,3.

В рамках упомянутого выше гамильтонова (лагранжева) формализма конструирование системы эволюционных уравнений в случае, если коэффициенты Р'..'^ .(I) .(I) (ф, х,Ь) не зависят ни от х ни от Ь, сводится к вы-• 1 '''''jkl к,

бору т.н. функции Гамильтона Н[ ф ] (соответственно, функции Лагранжа), которая является функционалом от функций фа(х,Ь), а = 1 ^ N при каждом фиксированном Ь, и, дополнительно, к определению, подходящим образом, билинейной антисимметричной операции [•, •] на пространстве С^1ос(К3), которая удовлетворяет тождествам Лейбница [АВ, С] = [А, С]В + А[В, С] и Якоби [А[В,С]] + [В, [С, А]] + [С, [А, В]] = 0. Тогда класс гамильтоновых (лагран-жевых) уравнений состоит из таких уравнений (0.1), определяемых формулой

(0.2), которые представимы в виде

фа(х,£) = [Н,фа](х,£), а = 1 - N, (0.3)

где Н — некоторый функционал от набора полей ф(х,£).

Именно такой подход реализуется во всех работах из указанного списка [1] - [17]. Идеология, основанная на гамильтоновом (лагранжевом) формализме, является привычной в математической физике. Она удобна с точки зрения учета в ее рамках тех симметрий, которыми, из физических соображений, с необходимостью должна обладать конструируемая система. В частности, структура уравнений (0.3) автоматически предполагает наличие, по крайней мере, одного инварианта движения, а именно, функционала Н, который отождествляется с энергией физической системы в состоянии ф(х,£).

Описанный метод конструирования эволюционных уравнений основан на двух существенных допущениях. Во-первых, неявно предполагается, что в классе гамильтоновых (лагранжевых) уравнений, заведомо, содержится та система уравнений, которая адекватно описывает изучаемую физическую ситуацию при исключении из рассмотрения математических механизмов, описывающих диссипацию энергии. Во-вторых, считается, что учет диссипации в конструируемой системе уравнений представляет из себя тривиальную в математическом отношении операцию, которую нужно применить после построения системы эволюционных уравнений в виде (0.3).

Однако, при построении динамических уравнений, моделирующих с математической точки зрения эволюцию конденсированных сред, термодинамическое описание которых включает в себя характерный для каждой из них т.н. внутренний параметр порядка, возникают такие ситуации, когда указанные допущения приводят к физически неадекватным выводам. В частности, таковыми оказались получаемые на основе гамильтонова (лагранжева) формализма эволюционные уравнения для нематических жидких кристаллов (см., например, [13]). Кроме того, учет диссипативных процессов не всегда возможен по указанной выше схеме, как, например, это имеет место при описании динамики магнитоупорядоченных сред (см., например, [14]). В связи с этим, возникла потребность разработки более общего метода конструирования адекватных с

физической точки зрения эволюционных уравнений.

Ввиду того, что класс эволюционных уравнений, основанный на гамиль-тоновом (лагранжевом) формализме оказывается стеснительным при конструировании динамики сложных конденсированных сред, то естественным кажется путь к преодолению недостатков метода, основанный на существенном расширении класса гамильтоновых (лагранжевых) систем уравнений. В настоящей работе анализируются задачи, связанные с таким расширением класса допустимых уравнений, который является максимальным с точки зрения учета фундаментальных симметрий физических уравнений по отношению к группе пространственных движений. А именно, мы будем требовать, чтобы набор операторов Ра, а =1 — N был инвариантен по отношению преобразований группы Т 0 Т(М3), где Т — группа трансляций по переменной £, Т(М3) — группа трансляций пространства М3. Кроме того, и это требование является центральным при постановке задач, решаемых в диссертации, набор операторов Ра, а = 1 — N должен преобразовываться ковариантным образом по отношению к преобразованиям группы 03 ортогональных преобразований пространства М3. При этом линейное пространство значений наборов полей фа(х, £), а =1 — N должно преобразовываться по, вообще говоря, приводимому представлению этой группы (по поводу используемой терминологии см., например, [23], а также Приложение В). Разумеется, эти требования, которые мы предъявляем к эволюционным уравнениям, автоматически учитываются в рамках гамильтонова (лагранже-ва) формализма. Однако, при этом класс гамильтоновых систем уравнений, оказывается намного уже, чем класс всех систем уравнений, удовлетворяющих указанным требованиям.

Требования инвариантности уравнений (0.2) по отношению к группе Т 0 Т(М3) легко выполнить. Их учет приводит к тому, что коэффициенты Е^Ф х,Ь) оператора (Ра, а =1 — N не зависят явным образом ни от £ € М, ни от х € М3, а зависят только лишь от значений набора ф = (фа(х,Ь), а =1 — N) в текущей пространственно-временной точке (х,Ь). В этом случае мы будем писать е]?' а ]\ф) = Р]^1^'^(Ф, х,£). Требование же ковариантности уравнений сводится к тому, что коэффициенты е]^' а ]',а1\х) должны

преобразовываться по тензорным представлениям группы 03,:), что приводит к ограничениям на вид их функциональной зависимости от набора ф.

Таким образом, задача описания линейного многообразия Кр^^(М3) всех допустимых дифференциальных операторов (Ра, а = 1 — N) фиксированного порядка р, определяющих эволюционные уравнения (0.2), сводится к описанию ковариантных коэффициентов е]^' а 1у,а''\ф). Идейно такой поход к конструированию динамических уравнений близок к подходу, который применялся в [24], [25] (см. также [26], [27]). Его развитие при построении эволюционных уравнений в механике вязкоупругих сплошных сред было осуществлено в большом цикле работ американских и английских механиков [28]-[39].

Требование ковариантности коэффициентов \ф), хотя и накла-

дывает ограничения на их функциональную зависимость от ф, но оно оставляет большую возможность для их выбора в виде линейной суперпозиции

|а I

Е(:ага1)(.ф=е ^х^ф,8) , (°-4) в=1

где Е^Х^ф^) — некоторые фиксированные ковариантные тензор-функции (см., например, [26], где они называются форм-инвариантными тензорами) со значениями в виде тензоров г-го ранга таких, которые составляют базисы йг = йг(ф), г = 1, ...,р, а а^(ф), в = 1 — |ПГ| — произвольные функции от инвариантов набора ф тензоров. Эти инварианты составляют максимальный функционально независимый набор - т.н. целый рациональный базис (см., например, [40]). Описание базиса Пг линейно независимых тензор-функций для каждого г = 0 — р равно как и целого рационального базиса составляет предмет алгебраической теории инвариантов (см. по этому поводу [26]). Их построение решает задачу об внутреннем описании класса дифференциальных операторов К>Ж)(М3) на основе формул (0.1), (0.2) и разложения (0.4). При этом, так как мы не интересуемся в настоящей работе корректностью постановок каких-либо начально-краевых задач для уравнений типа (0.1), то не возникает никаких дополнительных ограничений на коэффициенты е]^' а 1,.",аг)(ф), определяющие операторы класса Кр^)(М3). Таким образом, с математической точки зрения,

В общем случае, спинтензорным представлениям группы О3 (см. [23]). В настоящей работе мы рассматриваем только векторные представления, то есть тензорные представления первого ранга.

задача описания класса Кр ^(К3) сводится к построению целого рационального базиса для коэффициентов (0.4) и доказательства линейной независимости слагаемых в формуле (0.2), описывающей общий вид дифференциального оператора.

В рамках указанного выше внутреннего описания класса Кр^^(К3) уже возможна постановка задачи об описании класса всех эволюционных уравнений, описывающего конкретную модель физической сплошной среды. Сложность использования такого подхода для применения к конкретным физическим задачам в том случае, когда набор ф преобразуется по приводимому представлению группы 03, то есть когда он состоит из суммы нескольких неприводимых представлений, связана с наличием довольно большого набора базисных функций, то есть довольно большого числа линейно независимых слагаемых в формуле (0.2), даже при р < 2. Число образующих тензорной алгебры, которые определяются набором ф определяет размерность й класса Кр^^(К3) дифференциальных операторов, которая, согласно (0.2), (0.4), равна й = 1 + \ |.

Если набор ф преобразуется по неприводимому представлению группы вращений, то есть состоит из компонент одного тензора (псевдотензора), то набор базисных функций существенно сокращается. В этом случае описание класса Кр^^(К3) существенно упрощается за счет уменьшения числа образующих тензорной алгебры, который состоит из набора ф и некоторого набора тензоров, которые не входят в состав ф, то есть не изменяются со временем. Соответственно, уменьшается размерность й пространства Кр^\ф). В частности, размерность й будет наименьшей (при фиксированном наборе постоянных тензоров), если тензор ф является вектором в К3, то есть размерность набора ф равна

Набор постоянных тензоров, наверняка, содержит пару универсальных инвариантных тензоров в К3 - символ Кронекера д и символ Леви-Чивита е. В простейшем случае, он состоит только из этой пары. С физической точки зрения такое положение соответствует случаю, когда физическая среда является изотропной. Поэтому соответствующие дифференциальные операторы мы будем называть изотропными или сферически симметричными. Размерность пространства Кр^^(К3) в этом случае будет минимальной, то есть минимальным

будет набор базисных ковариантных тензор-функций (форм-инвариантных тензоров).

Формулы (0.2), (0.4) с известными базисными функциями 1'''''ar\ф),

в =1 + \ПГ\, г = 1 + р дают возможность решать, вообще говоря, содержательную математическую задачу о выделении в каждом из классов Кр^^(К3) подклассов таких операторов (Ра; а = 1 + N), которые обладают наперед заданными специальными свойствами. При этом класс допустимых операторов оказывается существенно более узким по сравнению с классом ^(К3).

Решение такого рода задач связано с выделением класса всех эволюционных уравнений (0.1), которые адекватны конкретной физической ситуации. Наиболее просто в этом случае решается задача о выделении в Кр^^(К3) линейного подпространства операторов дивергентного типа. Более сложными являются задачи о выделении классов таких операторов, которые, будучи генераторами (Ра; а =1 + N) эволюции, описываемой уравнением (0.1), обеспечивают инвариантность того или иного многообразия в пространстве С^г1ос(К3). Такая постановка задачи связана с задачей описания класса всех таких операторов заданного порядка, для которых решения уравнения (0.1) обладают инвариантами, которые соответствуют физически обусловленным законам сохранения. Таким образом, в рамках развиваемого в диссертации подхода к конструированию физически адекватных систем уравнений в пространствах С{^Ос(К3), в отличие от гамильтонова формализма, когда наличие того или иного инварианта J учитывается автоматически, посредством выбора гамильтониана Н, так как оно связано с его «коммутацией» [Н, J] = 0, предлагается сначала описать класс всех систем, допустимых с точки зрения фундаментальных физических симметрий, а затем внутри этого класса выделить те, для которых J является инвариантом движения. Такое положение подразумевает, что набор всех инвариантов, присущих моделируемой физической системе, определяется аксиоматически.

В диссертации дается описание набора ковариантных сферически симметричных дифференциальных операторов Ра, а =1 + N первого и второго порядка, составляющие, соответственно, операторные классы К1Г)(К3), К^^К3) и КГ^у(К3), связанные с векторным представлением N = 3) группы

O3, как с полярным, так и с аксиальным (псевдовекторным).

На основе этого описания мы даем решение задачи об описании классов изотропных дифференциальных операторов из этих классов, удовлетворяющих условиям сохранения: унимодальности векторного поля ф(x,t), ф2(x,t) = const и/или его соленоидальности, (V, ф) =

Решение таких задач оказывается востребованным в электродинамике сплошных сред. В частности, полученное в диссертации эволюционное уравнение для псевдовекторного поля представляет собой обобщение известного уравнения Ландау-Лифшица [41] (см. также [42], [43], [44], [45]) для описания эволюции плотности магнитного момента в изотропной ферромагнитным образом упорядоченной среде.

Степень разработанности темы исследования. Задачами, которые возникают в связи с проблемой разработки общего подхода к конструированию эволюционных дифференциальных уравнений в частных производных, адекватных физической реальности и предназначенных для описания динамики конденсированных сред, стали интересоваться в 50-х годах прошлого столетия. В то время стало ясным, что математические построения, на основе которых были сконструированы классические эволюционные уравнения такие как уравнение теплопроводности [46] и уравнения самодиффузии и взаимодиффузии газов и примесей в жидкостях [47], [48], динамические уравнения линейной теории упругости [49]-[52], уравнение динамики простых (ньютоновских) жидкостей [51], [53], а также уравнения макроскопической электродинамики металлов и диэлектриков [54]-[56] не позволяют конструировать адекватные эволюционные уравнения в более сложных с физической точки зрения ситуациях.

Однако, нужно отметить, что в классических работах выкристаллизовалась идея конструирования динамических уравнений в указанных областях математической физики, которая основывалась на простом принципе. Упрощенно, ее можно сформулировать таким образом, что «самосогласованная часть» динамики полностью должна определяться дивергенцией плотности потока, состоящего из суммы слагаемых, пропорциональных градиентам всех влияющих друг на друга физических полей, которые составляют изучаемую систему. В результате, эволюционные уравнения должны иметь дивергентный тип при под-

ходящим образом выбранном наборе полей, описывающих мгновенное термодинамическое состояние системы. Оказалось, однако, что для описания динамики конденсированных сред с памятью и неньютоновских жидкостей такая конструкция является слишком упрощенной. В связи с необходимостью решения физических задач, связанных со средами указанного типа, для дальнейшего развития теории конденсированных сред в континуальном приближении, потребовалось развитие теории тензорных полей, которое бы представило более гибкий математический аппарат для построения плотностей потоков физических полей, имеющих более сложный вид. Именно такое развитие теории представлено указанными выше работами [24]-[27], а также с большим циклом работ [57]-[79] выполненных в 50-е годы прошлого столетия. Основная идея этих работ состоит в описании всех дифференциальных операторов, допустимых с точки зрения требования ковариантности конструируемой системы эволюционных уравнений при движениях М3.

В дальнейшем, оказалось, что подход развитый в указанном цикле работ не обеспечил решение задач, которые были поставлены развитием физики конденсированного состояния в 20-м столетии. Проблемы возникли при попытках математического описания динамики конденсированных сред с внутренними параметрами порядка. Такого рода дополнительные переменные, описывающие мгновенное состояние среды проявляются вследствие происходящих в ней физических фазовых переходов, сопровождающихся какими-либо нарушениями симметрий, связанными с движениями М3. Возникшие проблемы связаны с необходимостью учета динамических инвариантов параметров порядка. Первая такая проблема, которая была решена на чисто физическом уровне, с математической точки зрения заключалась в построении уравнения динамики псевдовекторного поля ф(х, £), сохраняющего свойство его унимодальности, т.е. обладающего инвариантом ф2(х,1) = ф2. Динамическим уравнением, которое обладает указанным свойством, является т.н. уравнение Ландау-Лифшица [41]. В дальнейшем, последовательная теория решения указанного круга задач, как уже было сказано выше, получила развитие в работах [1]-[12] на основе подхода, принятого в классической теорией поля. На этом пути решались задачи построения уравнений гидродинамики спиновых волн, гидродинамики жидкого 3Не,

гидродинамики нематических жидких кристаллов, динамики спиновых стекол. В результате, был сформулирован общий математический метод конструирования динамических уравнений для описания динамики конденсированных сред с внутренними параметрами порядка, основанный на широко используемом в теоретической физике гамильтоновом формализме, дополненным подходящей пуассоновой алгеброй для набора полей [8], [15]—[17]. В рамках гамильтонова формализма конструируются подходящие для рассматриваемой физической ситуации эволюционные уравнения, обладающие инвариантностью относительно обращения времени, т.е. имеющие гиперболический тип. На следующем этапе построений дифференциальный оператор, который служит генератором сдвига по времени, изменяется посредством добавления к нему дифференциального оператора второго порядка так, чтобы эволюционное уравнение превращалось в уравнение параболического типа.

В процессе развития описанного метода конструирования динамических уравнений оказалось, что в ряде случаев он не приводит к адекватным, с точки зрения физики конденсированных сред, эволюционным уравнениям. В связи с этим в настоящей работе, предлагается другой математический метод, который получается модификацией первоначального подхода, основанного на описании классов всех возможных генераторов сдвигов во времени, удовлетворяющих условию ковариантности. Такой метод не предполагает привлечения, в процессе математического анализа, каких-либо физических предположений о виде конструируемого оператора. Используются только самые общие «аксиоматические» предположения о его структуре. С математической точки зрения задача сводится к описанию всего класса операторов, удовлетворяющих предположениям такого рода. При этом не возникает, как это имеет место при использовании гамильтонова подхода, необходимости в какой-то дополнительной модификации получаемых операторов с целью превращения получаемых эволюционных уравнений в уравнения параболического типа.

Для того чтобы получить уравнения, обладающие требуемым набором инвариантов движения, необходимо только лишь выделить из полученного класса допустимых генераторов сдвига во времени такие, которые обладают этими априорными инвариантами. Именно решению такого типа задач посвящена на-

стоящая работа.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Ковариантные эволюционные системы уравнений в пространствах векторных полей на R3»

Целью работы является:

Разработка математически обоснованного метода конструирования дифференциальных уравнений в частных производных на пространстве дважды непрерывно дифференцируемых векторных (псевдовекторных) полей, предназначенных для описания эволюции систем математической физики, например, таких, каковыми являются поля электрической (магнитной) поляризации в электрополяризованных (магнитоупорядоченных) сплошных средах.

Тема диссертации находится в соответствии с пп. 1, 6, 17 паспорта специальности «Дифференциальные уравнения и математическая физика».

Задачи исследования. Исходя из указанной общей цели исследования, в диссертации решались следующие задачи.

1. Поставить задачу об описании класса автономных эволюционных квазилинейных дифференциальных уравнений с частными производными в пространстве С^1ос(М3) р-кратно непрерывно дифференцируемых полей на М3, имеющих размерность N и преобразующихся по представлениям групп 03 таким образом, чтобы эти уравнения обладали свойствами трансляционной инвариантности и ковариантности относительно вращений М3.

2. Сформулировать понятие о ковариантных дифференциальных операторах в пространствах С^О^М3) и с2^Ос(М3) векторных полей на М3.

3. Перечислить базисные ковариантные тензор-функций векторных полей на М3.

4. Построить описание класса К^М3) трансляционно инвариантных, ко-вариантных квазилинейных дифференциальных операторов первого порядка в пространстве С^О^М3) непрерывно дифференцируемых векторных полей на М3.

5. Построить описание класса К^Сиу (М3) трансляционно инвариантных, ко-вариантных квазилинейных дифференциальных операторов второго порядка дивергентного типа в пространстве с2и1Ос(М3) дважды непрерывно дифференцируемых векторных полей на М3.

6. Перечислить базисные ковариантные тензор-функции для аксиальных

векторных полей на К3.

7. Построить описание класса трансляционно инвариантных, ко-вариантных квазилинейных дифференциальных операторов первого порядка в пространстве С^О^К3) непрерывно дифференцируемых аксиальных векторных полей на К3.

8. Построить описание класса К^у (К3) трансляционно инвариантных, ко-вариантных квазилинейных дифференциальных операторов второго порядка диверегентного типа в пространстве С^О^К3) дважды непрерывно дифференцируемых векторных полей на К3.

9. Построить описание класса К^У трансляционно инвариантных, кова-риантных квазилинейных дифференциальных операторов второго порядка дивергентного типа, сохраняющих соленоидальность векторного поля на К3.

10. Построить описание класса КГиУ трансляционно инвариантных, ко-вариантных квазилинейных дифференциальных операторов второго порядка дивергентного типа, сохраняющих унимодальность векторного поля на К3.

11. Построить описание класса трансляционно инвариантных, ко-вариантных квазилинейных дифференциальных операторов второго порядка дивергентного типа, сохраняющих унимодальность аксиального векторного поля на К3.

12. Построить описание класса квазилинейных дифференциальных операторов второго порядка дивергентного типа, сохраняющих одновременно унимодальность и соленоидальность аксиального векторного поля на К3.

Научная новизна. В результате проведенного исследования, построено описание класса эволюционных квазилинейных дифференциальных уравнений в частных производных, а именно: уравнений первого порядка и уравнений второго порядка дивергентного типа для векторных и псевдовекторных полей на К3, в частности, сохраняющих их свойства соленоидальности и унимодальности. На основе полученных результатов предложен математически обоснованный метод построения эволюционных уравнений для электрополяризованных и магнитоупорядоченных сплошных сред. Научную новизну этого исследования составляют:

1. Описание класса

трансляционно инвариантных, ковариантных

относительно преобразований группы 03 квазилинейных дифференциальных операторов первого порядка в пространстве С^Ос(М3) непрерывно дифференцируемых векторных полей на М3.

2. Описание класса К^СгДМ3) трансляционно инвариантных, ковариант-ных относительно преобразований группы 03 квазилинейных дифференциальных операторов второго порядка дивергентного типа в пространстве с2г\)Ос (М3) дважды непрерывно дифференцируемых векторных полей на М3.

3. Перечисление базисных ковариантных тензор-функций четвертого ранга, порождаемых одним аксиальным вектором в М3.

4. Описание класса трансляционно инвариантных, ковариантных относительно преобразований группы 03 квазилинейных дифференциальных операторов первого порядка в пространстве С^Ос(М3) непрерывно дифференцируемых аксиальных векторных полей на М3.

5. Описание класса К'СгДМ3) трансляционно инвариантных, ковариант-ных относительно преобразований группы 03 квазилинейных дифференциаль-

ных операторов второго порядка дивергентного типа в пространстве С2^Ос(М3) дважды непрерывно дифференцируемых аксиальных векторных полей на М3.

6. Описание класса К^У трансляционно инвариантных, ковариантных квазилинейных дифференциальных операторов второго порядка дивергентного типа, сохраняющих соленоидальность векторного поля М3.

7. Описание класса К^иУ трансляционно инвариантных, ковариантных квазилинейных дифференциальных операторов второго порядка дивергентного типа, сохраняющих унимодальность векторного поля на М3.

8. Описание класса Кы^ трансляционно инвариантных, ковариантных квазилинейных дифференциальных операторов второго порядка дивергентного типа, сохраняющих унимодальность аксиального векторного поля М3.

9. Описание класса трансляционно инвариантных, ковариантных квазилинейных дифференциальных операторов второго порядка дивергентного типа, сохраняющих одновременно унимодальность и соленоидальность аксиального векторного поля на М3.

Теоретическая и практическая значимость. Разработанные в диссертации методы представляют теоретическую значимость с точки зрения об-

щей теории систем квазилинейных дифференциальных уравнений в частных производных и полученные результаты могут представлять ценность с точки зрения развития методов математической физики в задачах механики и электродинамики сплошных сред.

Методология и методы исследования. В процессе решения поставленных задач используются методы математического анализа, теории тензорных представлений группы 03, тензорной алгебры в К3, а также теории инвариантных тензоров группы 03.

Положения, выносимые на защиту:

1. Получено описание пространств к!г) (К3) и К^сИу(К3) трансляционно инвариантных, ковариантных относительно преобразований группы 03 квазилинейных дифференциальных операторов в пространствах С^О^К3) и С^О^К3) векторных полей на К3.

2. Получено описание пространств К^^К3) и (К3) трансляционно инвариантных, ковариантных относительно преобразований группы 03 квазилинейных дифференциальных операторов в пространствах С^О^К3) и С^Ос(К3) аксиальных векторных полей на К3.

3. Получено описание пространства КГсу(К3) трансляционно инвариантных, ковариантных квазилинейных дифференциальных операторов, сохраняющих соленоидальность векторного поля К3.

4. Получено описание пространства КГиУ^3) трансляционно инвариантных, ковариантных квазилинейных дифференциальных операторов, сохраняющих унимодальность векторного поля на К3.

5. Получено описание пространства К^СЦу^3) трансляционно инвариантных, ковариантных квазилинейных дифференциальных операторов на пространстве С^О^К3), сохраняющих унимодальность аксиального векторного поля К3.

6. Получено описание пространства К^у^3) ^ К2СЦ)(К3) трансляционно инвариантных, ковариантных квазилинейных дифференциальных операторов на пространстве С^О^К3), сохраняющих унимодальность аксиального векторного поля К3.

Степень достоверности полученных научных результатов обусловле-

на корректностью доказательств математических утверждений и проведенных вычислений; согласованностью полученных в диссертации результатов с результатами, полученными ранее.

Апробация работы. Материалы работы докладывались и обсуждались на:

1. Международная конференция «Комплексный анализ и его приложения в дифференциальных уравнениях и теории чисел», Белгород, 17-21 октября 2011.

2. Международная конференция «Дифференциальные уравнения и их приложения», Белгород, 26-31 мая 2013.

3. Международная конференция «Воронежская зимняя математическая школа С.Г. Крейна - 2014», Воронеж, 2014.

4. XII Школа молодых ученых «Нелокальные краевые задачи, родственные проблемы современного анализа и информатики», КБР, Терскол, 3-7 декабря 2014.

5. Международная конференция «Воронежская зимняя математическая школа С.Г. Крейна - 2016», Воронеж, 2016.

6. Международная научная конференция «XII Белорусская математическая конференция», Беларусь, Минск, 5-10 сентября 2016.

7. Международная конференция «Воронежская зимняя математическая школа С.Г. Крейна - 2018», Воронеж, 2018.

8. Международная научно-практическая конференция «Современная математика и ее приложения», ЧР, Грозный, 21-23 октября 2018.

9. IV Всероссийская научно-практическая конференция с международным участием «Современные проблемы физико-математических наук», Орел, 22 -25 ноября 2018.

10. Международная конференция «Современные методы теории функций и смежные проблемы» Воронежская зимняя математическая школа, Воронеж, 28 января - 2 февраля 2019.

11. Международная конференция «Современные методы теории краевых задач» Воронежская весенняя математическая школа «Понтрягинские чтения XXX», Воронеж, 3 - 9 мая 2019.

12. XIX Международная научная конференция по дифференциальным уравнениям «Еругинские чтения - 2019», Беларусь, Могилев, 14 - 17 мая 2019.

13. 2nd International conference on mathematical modelling in applied sciences. Belgorod, August 20-24, 2019.

14. Международная конференция «Современные методы теории краевых задач» Воронежская весенняя математическая школа «Понтрягинские чтения XXXIII», Воронеж, 3 - 9 мая 2022.

15. II Всероссийская научная конференция «Дифференциальные уравнения и их приложения», Рязань 18-20 мая 2022.

16. Международная научная конференция «Partial Differential Equations and Related Topics» (PDERT'22), Белгород, 15-19 июля 2022.

Связь работы с научными программами. Диссертационные исследования выполнены в рамках реализации государственного задания № FZWG-2020-0032(2019-1569), проект «Исследование новых эффектов в процессах взаимодействия ускоренных заряженных частиц с веществом».

Структура и содержание работы. Диссертация состоит из настоящего введения, четырех глав, заключения, списка обозначений, списка литературы, который содержит 137 наименований и пяти приложений. Каждая глава делится на разделы. В каждой главе и в каждом разделе принята своя нумерация формул. Таким образом их нумерация является тройной: первая цифра указывает на номер главы, вторая - на номер раздела, третья - на номер формулы в пределах главы и раздела, указанных первыми двумя цифрами.

При ссылках на формулы в пределах текущей главы, первая цифра опускается, точно также как при ссылках в пределах текущего раздела опускаются две первых цифры. Каждая глава заканчивается разделом «Выводы», в котором подводятся итоги исследованию, проведенному в этой главе.

Ссылки на литературу даны заключенными в квадратные скобки номерами соответствующих литературных источников из приложенного в конце диссертации списка. В этом списке указаны только те источники, на которые даются ссылки в тексте. Нумерация литературных ссылок построена в порядке их появления в тексте диссертации.

В работе соблюдается единая для всего текста система обозначений. Прин-

ципы ее построения приводятся в отдельном списке, представленном в конце работы. Кроме того, мы придерживаемся в тексте работы следующих правил употребления шрифтов для обозначения математических объектов.

Для обозначения стандартных функций (операторов, функционалов и т.д.), для которых в математике имеются устоявшиеся аббревиатуры на основе букв латинского алфавита, мы употребляем шрифт roman.

В остальных случаях мы, вводя обозначения, руководствуемся следующими положениями:

• для обозначения математических структур используются прописные латинские буквы A,B, C,... ажурного шрифта;

• для обозначения классов множеств (пространств) применяются прописные буквы готического шрифта K, L, M,...;

• прописными греческими буквами S, Е, Г,... обозначаются множества;

• для обозначения числовых функций используются прописные и строчные латинские буквы A, B, C,..., f,g, h шрифта italic;

• для обозначения алгебраических объектов (матриц, тензоров) употребляются прописные латинские буквы F, G, H,... в шрифте calligraphic;

• операторы, отображения, функционалы обозначаются прописными A, B, C,..., а векторы в бесконечномерных пространствах строчными a, b, c,... буквами шрифта sanserif;

• для обозначения числовых величин (параметров, функций и их аргументов), принимающих значения в R, используются строчные буквы греческого алфавита, а также следующие строчные буквы латинского алфавита в шрифте italic: a, b, c, f, g, h;

• кроме того, строчные буквы i,j, ...,n,p,q,s в шрифте italic обозначают целые числа;

• векторы в R3 обозначаются строчными жирными латинскими буквами;

Начало доказательств отмечается знаком □, а конец - И.

Для удобства чтения работы, формулировки всех основных результатов и математические определения понятий выделены наклонным шрифтом. Согласно своему значению в тексте, их формулировки предваряются словами Теорема, Лемма, Определение, Следствие, Замечание, записанными жирным шрифтом.

Нумерация этих структурных единиц текста аналогична нумерации формул. Первая цифра указывает на номер главы, вторая — номер раздела, а третья — номер утверждения в пределах главы. При этом ссылки на утверждения даются полностью, вне зависимости от того, в какой главе они находятся.

Глава 1 Эволюционные уравнения математической физики

В главе дается описание математических задач, которые возникают при конструировании эволюционных уравнений математической физики и решению которых посвящена диссертация. Кратко излагается история развития идей, на которых основано общее понятие обратимых во времени динамических систем уравнений. В частности, кратко излагается подход к построению обратимых систем, основанный на гамильтоновом формализме.

1.1 Эволюционные системы уравнений математической физики

В этом разделе приводятся исторические данные, связанные с конструированием базовых уравнений математической физики, вводятся общие понятия в терминах которых развивается общий подход для решения задач конструирования эволюционных уравнений динамики конденсированных сред.

По-видимому, первыми работами, связанными с направлением, которое теперь называется математической физикой, где ставились и решались задачи описания динамики конденсированной среды, была работа Л.Эйлера [80]. Предложенное им уравнение движения идеальной жидкости

« +(и, V)« = 0 , (1.1.1)

описывающее изменение со временем векторного поля и(х,Ь) скоростей жидкой среды, называемое теперь уравнением Эйлера. Конструкция этого уравнения основана на чисто кинематической идее переноса без деформаций малого объема жидкости вдоль траекторий, которые формируются по величине и направлению самим этим полем скоростей. Здесь и далее, всюду по тексту работы, запись (•, •) с парой переменных, которыми являются вектора из К3, обозначает скалярное произведение векторов в К3. В конструкцию уравнения (1) не закладывалось никаких физических механизмов, и поэтому это уравнение находится в некотором противоречии с возникшей впоследствии идеей формирования динамики «сплошной среды» на основе баланса в каждой пространственной

точке локально сохраняющихся физических величин. Эта идея впервые появилась, по-видимому, в работе Ж. Фурье [46], в которой было сформулировано эволюционное уравнение для поля Т(х,Ь) температуры в сплошной среде на основе представления о тепловом балансе, регулируемым первым началом термодинамики. Самосогласованное уравнение этого поля, которое в сферически симметричном случае имеет вид

с(Т)Т = (V, к(Т)У)Т + Н(Т), (1.1.2)

основано на представлении о его локальном сохранении тепла, а именно, изменение тепла в малом объеме среды связывается с его балансом (с(Т) — теплоемкость, к(Т) — удельная теплопроводность среды). Этот баланс в фиксированном объеме описывается дивергенцией плотности потока тепла —к(Т^Т, который определяется физическим принципом (второе начало термодинамики) и регулируется градиентом поля Т(х,£) и возможным наличием источника тепла Н(Т) в рассматриваемом объеме.

Точно такая конструкционная идея, далее, применена в работах [47], [48] при формулировке эволюционных уравнений самодиффузии и взаимодиффузии газов и примесей в жидкостях. Простейшее из такого рода уравнений

(1.1.3)

для изменения со временем поля р(х,£) плотности числа частиц (либо суммарной массы) основано на представлении о локальном сохранении числа (либо массы), изменение которой в малом объеме среды описывается дивергенцией потока —DVp, который генерируется градиентом числа частиц (массы) в этом объеме.

Та же самая идея была использована при конструировании динамических уравнений для описания изменения поля и(х,£) смещений, которые характеризуют, в простейшем случае, состояния твердотельной среды [49],[52] (С.-Д. Пуассон, Г. Ляме)

и = (Л + д^^, и) + дДи (1.1.4)

где Л и д — коэффициенты Ляме. Как и выше, мы привели это уравнение для случая изотропного тела в условиях отсутствия эффектов памяти. Здесь эволюционное уравнение имеет дивергентный тип, что, как и выше, соответствует

локальному закону сохранения, в данном случае, плотности потока импульса малого объема среды. Аналогичным образом получается динамическое уравнение для векторного поля v(x,t) скоростей в простых (ньютоновских) жидкостях [50],[51],[53] — т.н. уравнение Навье-Стокса

V + (v, V)v = n^v + (n/3 + С)V(V, v) - VP/p, (1.1.5)

где n,C — коэффициенты, соответственно, сдвиговой и объемной вязкостей, p — плотность среды. Оно получается добавлением в правую часть уравнения Эйлера (1) дивергенции плотности потока импульса и слагаемого источника дополнительного импульса, связанного с градиентом давления P. Следующий довольно длительный исторический этап развития математической физики связан с конструированием уравнений макроскопической электродинамики, в частности, в конденсированных средах [54]-[56] (А.-М. Ампер, Дж.К. Максвелл, О. Хе-висайд)

B = —c[V, E] , D = c[V, H] - 4nj (1.1.6)

(V, D) = 4np, (V, B) = 0 (1.1.7)

для полей электрической D и магнитной B индукции. Историческая продолжительность поиска этих эволюционных уравнений была связана, с одной стороны, с тем, что он происходил параллельно с собственно физическими исследованиями электромагнитных явлений, и, с другой стороны, по-видимому, с тем, что при решении математического вопроса о выборе адекватных эволюционных уравнений, исследователи столкнулись с непривычным обстоятельством — для описания магнитного состояния среды необходимо было привлечение аксиального векторного поля, причем поля D и B должны служить источниками друг друга.

Перечисленными достижениями, связанными с математическим описанием эволюции макроскопических состояний сред, закончился первоначальный этап развития этой области математической физики. Наступление следующего этапа следует, по-видимому, отнести к появлению работ [81], [41]. В первой из них (Л.Тисса) была сделана попытка написать уравнение гидродинамики жидкого гелия. Такая среда характеризуется параметром порядка, связанным с наличием в жидком 3He т.н. сверхтекучей компоненты. Во второй

работе (Л.Ландау, Е.Лифшиц) было предложено уравнение для описания динамики плотности М(х,Ь) магнитного момента в твердотельной среде, обладающей ферромагнитным упорядочением. В простейшем сферически симметричном случае такое уравнение имеет вид

М = 7[М, ДМ] , (1.1.8)

где 7 — постоянная, называемая гиромагнитным отношением. При решении этих задач, в обоих случаях, наряду с рассуждениями, аналогичными тем, которые применялись в уже упомянутых выше работах, отнесенных нами к начальному этапу развития теории, при конструировании классических эволюционных уравнений, эклектически использовались качественные физические полумикроскопические аргументы, из которых не усматривался какой-либо общий подход для решения других подобных задач. Необходимость же создания какого-то нового подхода была связана с тем, что с течением времени накопились многочисленные физические факты относительно конденсированных сред, обладающих свойствами, качественно отличными от изучаемых прежде. Такими средами являются разнообразные магнитоупорядоченные среды, различного рода мезофазные жидкости, жидкий 3Не со сверхтекучей компонентой, металлы в состоянии сверхпроводимости, ферродиэлектрики, неньютоновские жидкости.

В связи с указанной необходимостью, с начала 50-х годов прошлого столетия начались попытки разработки общего метода конструирования эволюционных дифференциальных уравнений в частных производных для описания динамики конденсированных сред, адекватных физической реальности. Так как прежние стереотипы рассуждений оказались непригодными для построения динамических уравнений для описания изменений со временем пространственно распределенных мгновенных характеристик среды, которые, физически, возникают вследствие происходящих в ней физических фазовых переходов, сопровождающихся появлением среди макроскопических термодинамических характеристик среды, дополнительных параметров порядка. При создании такого метода возникают математические проблемы, которые связаны с необходимостью учета динамических инвариантов параметров порядка. В классической теории поля такого рода проблемы успешно решались в рамках т.н. лагранже-

ва формализма на основе известной теоремы Э.Нетер. Поэтому специалисты по теоретической и математической физике обратились при решении указанного круга проблем к ее методам [1]-[6]. Однако, впоследствии оказалось, что более удобной для применения оказалась гамильтонова формулировка теории поля [7]-[12], [15]-[17], дополненная, после фиксации требуемого для описания физической ситуации набора ф(х,Ь) = (Фа(х,Ь); а = 1 — N полей, определением на линейном пространстве всех таких полей алгебраической билинейной антисимметричной операции [•, •] — скобки Пуассона. Эта операция, по отношению к компонентам набора, удовлетворяет тождествам Лейбница

[ФаФь, Фо] = [Фа, Фе\Фь + Фа[Фь, Фо] , (1.1.10)

и Якоби

[Фа[Фь, Фо]] + [Фь, [Фо, Фа]] + [Фо, [Фа, Фь]] = 0 , (1.1.11)

а,Ь,с = 1 — N. Гамильтонова формулировка основана на конструкции подходящего функционала

Н = у Н(ф, V® ф)^х , (1.1.12)

£

определяемого функцией Н(•, •) от значений набора полей ф(х,Ь) в фиксированной точке х € К3 и значений их пространственных производных первого порядка. Функция Н(•, •) выбирается инвариантной относительно преобразований группы 03, то есть зависящей только от инвариантов наборов ф(х,Ь), V ® ф(х,Ь). В рамках гамильтонова подхода система соответствующих динамических уравнений для набора ф(х,Ь) имеет вид

Фа(х,г) = [Н, Фа](х, £), а =1 - N. (1.1.13)

При этом каждый интеграл движения представляется функционалом ^ф], тождественно удовлетворяющим уравнению [Н, ^ = 0.

Несмотря на определенный успех описанного подхода при описании динамики в конкретных физических ситуациях, оказалось, что он все же не приводит к адекватным динамическим уравнениям в целом ряде интересных, с точки зрения физики, случаев. Оказалось [13], что основным препятствием к этому является требование выполнения тождества (12). В связи с этим, начали

разрабатываться иные подходы решения задач подобного рода. Одним из таких подходов, является тот, развитию которого посвящена настоящая работа. Первоначально наш подход основывался только лишь на обобщении понятия гамильтоновых динамических систем. Такие обобщенные динамические системы были названы нами обратимыми (см. [82]-[100]). Предполагалось, что такое обобщение, с последующим введением в уравнения движения таких систем диссипативных членов, окажется достаточным для решения поставленных физических задач. Однако, в последствии, уже на уровне построения конкретных эволюционных уравнений для описания динамики сплошных сред, этот подход пришлось подвергнуть дальнейшему обобщению. Идейно оно заключалось в следующем. Постулируется не только набор ф(х,Ь) полей, но и список тех инвариантов ^[ф], Ь =1 + NJ движения, которые определяются моделируемой физической ситуацией, а также порядок дифференциальных операторов а =1 + N, управляющих эволюцией системы. Последнее аналогично тому как в рамках гамильтонова подхода фиксируется порядок производных полей от которых может функционально зависеть гамильтониан Н. Подходящие операторы, которые являются генераторами полугруппы сдвигов во времени, выбираются из всего класса операторов, которые удовлетворяют фундаментальным симметриям, связанным с однородностью времени и физического пространства, а также с его изотропией. Кроме того, они должны обеспечивать постоянство всех функционалов Л[ф], Ь = 1 + NJ в процессе эволюции. Таким образом, построение адекватных эволюционных уравнений основано на том, что в качестве генераторов эволюции допустимы любые операторы, удовлетворяющие указанным ограничениям. При этом они определены с точностью до выбора коэффициентов, конкретную величину которых должен уже выбрать физик-теоретик.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Субботин Андрей Валерьевич, 2022 год

Список литературы

1. Halperin, B.I. Hydrodynamic theory of spin waves/ B.I. Halperin, P.C. Hohenberg // Physical Review. - 1969. - 88(2). - P.898-919.

2. Волков, Д.В. Феноменологический лагранжиан спиновых волн/ Д.В. Волков, A.A. Желтухин, Ю.П. Блиох // Физика твердого тела. - 1971. - 13(6). -С.1668-1678.

3. Волков, Д.В. Феноменологические лагранжианы/ Д.В. Волков // Физика элементарных частиц и атомного ядра.— 1973.— 4, № 1.— C.3-41.

4. Leggett, A.J. A theoretical description of the new phases of liquid 3He/

A.J. Leggett // Rev. Mod. Phys. - 1975. - 47. - P.331-414.

5. Андреев, А.Ф. Макроскопическая теория спиновых волн/ А.Ф. Андреев,

B.И. Марченко // ЖЭТФ.—1976.—70, № 4. — C.1522-1532.

6. Волков, Д.В. Феноменологический лагранжиан спиновых волн в пространственно-неупорядоченных средах/ Д.В. Волков, A.A. Желтухин // Физика низких температур. - 1979. - 5(11). - C. 1359-1363.

7. Golo, V.L. Solutions to the Ginzburg-Landau equations for planar textures in superfluid 3He/ V.L. Golo, M.I. Monastyrsky, S.P. Novikov // Communications in Mathematical Physics. - 1979. - 69 (3). - P.237-246.

8. Dzyaloshinskii, I.E. Poisson brackets in condensed matter physics/ I.E. Dzyaloshinskii, G.E. Volovick // Annals of Physics. - 1980. - 125(1). -P.67-97.

9. Volovik, G.E. Relationship between molecule shape and hydrodynamics in a nematic substance/ G.E. Volovik // JETP Lett. - 1980. - 31(5). - P.273-275.

10. Андреев, А.Ф. Симметрия и макроскопическая динамика магнетиков/ А.Ф. Андреев, В.И. Марченко // Успехи физических наук. - 1980. -130(1). - C.37-63.

11. Dzyaloshinskii, I.E. Macroscopic description of spin glasses/ I.E. Dzyaloshin-skii // Lect. Notes Phys. - 1980. - 115. - P.204-224.

12. Volovik, G.E. Nonlinear hydrodynamics of liquid crystals/ G.E. Volovik, E.I. Kats // JETP. - 1981. - 54(1). - P.122-126.

13. Кац, Е.И., Лебедев В.В. Динамика жидких кристаллов / Е.И. Кац, В.В. Лебедев - М.: Наука, 1988.

14. Барьяхтар, В.Г., Белых В.Г., Соболева Т.К. Макроскопическая теория релаксации коллективных возбуждений в неупорядоченных и неколлинеар-ных магнетиках/ В.Г. Барьяхтар, В.Г. Белых, Т.К. Соболева // Теор. и мат. физика.— 1988.—77;№ 2.—C.311-318.

15. Вирченко, Ю.П. Скобки Пуассона и дифференциальные законы сохранения в теории магнитоупругих сред/ Ю.П. Вирченко, С.В. Пелетминский // Проблемы физической кинетики и физики твердого тела. Киев: Наукова думка, 1990. - C.63-77.

16. Исаев, А.А. Гамильтонов подход в теории конденсированных сред со спонтанно нарушенной симметрией/ А.А. Исаев, М.Ю. Ковалевский, С.В. Пелетминский // Физика элементарных частиц и атомного ядра.— 1996.—27; № 2.— C.431-492.

17. Исаев, А.А. Гамильтонов подход к теории антиферромагнитных систем/

A.А. Исаев, М.Ю. Ковалевский, С.В. Пелетминский // ТМФ. - 1993. -95;№ 1. - C.58-73.

18. Ландау, Л.Д., Лифшиц Е.М. Механика. 4-е изд / Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц.- М.: Наука, 1988.-216 с.

19. Академик НАН Украины Виктор Григорьевич Барьяхтар. Жизнь в науке / Нац. акад. наук Украины, Нац. науч. центр «Харьк. физ.-техн. ин-т» / Киев: Наукова думка, 2010. — 328 с.

20. Blinc, R. Soft modes in ferroelectrics and anti-ferroelectrics / R. Blinc,

B. Zeks - Amsterdam: North-Holland Publishing Company, 1974.

21. Вакс, В.Г. Введение в микроскопическую теорию сегнетоэлектриков / В.Г. Вакс - М.: Наука, 1973.- 328 c.

22. Воловик Г.Е. Нелинейная гидродинамика жидких кристаллов/ Г.Е. Воловик, Е.И. Кац // ЖЭТФ. - 81(1). - C.240-248.

23. Любарский, Г.Я. Теория групп и ее приложения в физике / Г.Я. Любарский - М.: Гос. изд. физ.-мат. лит., 1958.

24. Pipkin, A.C. The formulation of costitutive equations in continuum physics I/ A.C. Pipkin, R.S. Rivlin // Arch. Rational. Mech. Anal.- 1959/60.- 4(1).-P.129-144.

25. Rivlin, R.S. The formulation of constitutive equations in continuum physics, Part 2/ R.S. Rivlin //Arch. Rational Mech. Anal. - 1959/60.-4(1).- P.262-272.

26. Spencer, A.J.M. Theory of Invariants / In: Eringen, A.C. Ed., Continuum Physics, I. Part III./ A.J.M. Spencer // New York: Academic Press, 1971. -P.239-353.

27. Трусделл, К. Первоначальный курс рациональной механики сплошных сред / К. Трусделл - М.: Мир, 1975.- 592 с.

Truesdell, C. A first Course in Rational Continuum Mechanics / C. Truesdell -Baltimore, Maryland: The John Hopkins University, 1972; N.-Y.: Academic Press, New York, 1977. - ISBN 0-12-701301-6.

28. Spencer, A.J.M., Rivlin R.S. The theory of matrix polynomials and its application to the mechanics of isotropic continua/ A.J.M. Spencer, R.S. Rivlin // Archive for Rational Mechanics and Analysis. - 1958.- 2.- P.309-336. doi.org /10.1007/BF00277933.

29. Spencer, A.J.M. Further Results in the Theory of Matrix Polynomials/ A.J.M. Spencer, R.S. Rivlin // Arch. Rational Mech. Anal.- 1960.- 4.- 214-230.

30. Noll, W. A mathematical theory of the mechanical behavior of continuous media/ W. Noll // Arch. Rational Mech. Anal.- 1958.- 2.- P.197-226.

31. Rivlin, R.S. Stress-deformation relations for isotropic materials/ R.S. Rivlin, J.L. Ericksen // Journal of Rational Mechanics and Analysis.- 1955.- 4.- P.323-334.

32. Smith, G.F. Stress-Deformation Relations for Anisotropic Solids/ G.F. Smith, R.S. Rivlin // Arch. Rational Mech. Anal.- 1957.- 1.- P.107-112.

33. Rivlin, R.S. Further remarks on the stress-deformation relations for isotropic materials/ R.S. Rivlin // Journal of Rational Mechanics and Analysis.- 1955.4.- P.681-702.

34. Noll, W. The foundations of classical mechanics in the light of recent advances in continuum mechanics/ W. Noll // In: The Axiomatic Method with Special Reference to Geometry and Physics / Amsterdam: North Holland Co, 1959.-P. 266-281.

35. Romano, A. A macroscopic non-linear theory of magnetothermoelastic continua/ A. Romano // Archive for Rational Mechanics and Analysis.- 1977.-65(1).- P.1-24.

36. Rivlin, R.S. Non-linear Continuum Theories in Mechanics and Physics and their Applications/R.S. Rivlin // Berlin: Springer, 2010.- 362 p. ISBN: 3-642-110894.

37. Coleman, B.D. An approximation theorem for functionals, with applications in continuum mechanics/ B.D. Coleman, W. Noll // Archive Rational Mech. Anal.- 1960. - 6.- P.355-370.

38. Noll, W. La mecanique classique, basee sur un axiome d'objectivite. Colloque Internationale sur la Methode Axiomatique in Mecanique Classique et Modern // Paris: Gauthier-Villars, 1959.

39. Spencer, A.J.M. Isotropic integrity bases for vectors and second-order tensors/ A.J.M. Spencer, R.S. Rivlin // Archiv for Rational Mechanics and Analysis.-1962.- 9;№ 1.- P.45-63.

40. Сиротин, Ю.И. Целые рациональные базисы тензорных инвариантов кристаллографических групп/ Ю.И. Сиротин // Докл. АН СССР.- 1963.-151;№ 3.- C.564-566.

41. Ландау, Л.Д. К теории дисперсии магнитной проницаемости ферромагнитных тел/ Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц // Phys. Zs. Sowjet.- 1935.- 8.-P.153-168 / Ландау, Л.Д. Собрание трудов Т.1 // М.: Наука, 1969.- С.128-143.

42. Косевич, А.М., Иванов Б.А., Ковалев А.С. Нелинейные волны намагниченности / А.М. Косевич, Б.А. Иванов, А.С. Ковалев - Киев: Наукова думка, 1988.

43. Ландау, Л.Д. Электродинамика сплошных сред / Теоретическая физика т.8 / Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц - М.: Наука, 1982. - 620 c.

44. Ахиезер, А.И. Спиновые волны / А.И. Ахиезер, В.Г. Барьяхтар, С.В. Пе-летминский - М.: Наука, 1967. - 368 c.

45. Вонсовский, С.В. Магнетизм / С.В. Вонсовский - М.: Наука, 197 .- 1032 с.

46. Fourier, J. Theorie analytique de la chaleur / J. Fourier - Paris : Didot, 1822.

47. Fick, A. On liquid diffusion/ A. Fick // Philosophical Magazine.- 1855.-10(63).- P. 30-39. doi: 10.1080/14786445508641925.

48. Fick, A. Ueber Diffusion/ A. FIck // Annalen der Physik (in German).- 1855.-94(1).- P. 59-86. doi: 10.1002/andp.18551700105.

49. Poisson, D.-S. Mémoire sur les équations générales de l'équilibre et du mouvement des corps solides élastiques et des fluids/ D.-S. Poisson // Journal de l'Ecole Polytechnique.- 1831.- 13.- P. 56.

50. de Saint-Vanant, A. J.-C. B. Note a joindre au Mémoire sur la dynamique des fluids, présente le 14 April 1834/ A. J.-C. B. de Saint-Vanant // Comptes rendus.- 1843.- 17 (22).- P. 98.

51. Stokes, G.G. On the theories of internal friction of fluids in motion, and the equilibrium and motion of elastic solids/ G.G. Stokes // Transactions of the Cambridge Philosophical Society.- 1845.- 8.- P. 46.

52. Lamé, G. Lecons sue la théorie mathématique de l'élasticité des corps solides / G. Lamé - Paris: Bachelier, 1852.

53. Navier, C.-L. Mémoire sur les lois du mouvement des fluids/ C.-L. Navier // Mémoires de l'Académie des sciences de l'Institut de France.- 1822.- 6.- P.32

54. Ampére, A.-M. Mathematical Theory of the Phenomena of Electro-Dynamics / A.-M. Ampére - Méqnignon-Marvis: Librarie Editeur, 1826.- 146 p.

55. Maxwell, J.C. A treatise on electricity and magnetism, V.1,2 / J.C. Maxwell -Oxford: Clarendon Press, 1873.

Максвелл, Дж.К. Трактат об электричестве и магнетизме, Т.1,2 / Дж.К. Максвелл - М.: Наука, 1989.

56. Heviside, O. Electromagnetic Theory, Vol. 1 / , O. Heviside - London: The Electrician Printing and Publishing Company Ltd., 1893.- 466 p.; Vol.2 - 1899.; Vol.3, 1912.

57. Truesdell, C. The mechanical foundations of elasticity and fluid dynamics/ C. Truesdell // Journal of Rational Mechanics and Analysis.- 1952.- 1.- P.125-300; 1953.- 2.- P.593-616.

58. Truesdell, C. The nonlinear field theories of mechanics/ C. Truesdell, W. Noll // Handbuch der Physik, eds. S. Flugge, C. Truesdell III(3).- Berlin : Springer, 1965.- P. 48-64.

59. Truesdell, C. The classical field theories/ C. Truesdell, R. Toupin // Handbuch der Physik, eds. S. Flugge, C. Truesdell III(1).— Berlin : Springer, 1960.- S.225-793.

60. Toupin, R.A. The elastic dielectric/ R.A. Toupin // Journal of Rational Mechanics and Analysis. - 1956.- 5.- P.849-916.

61. Eringen, A.C. Nonlinear theory of continuous media / A.C. Eringen - New York: McGraw-Hill, 1964.

62. Ericksen, J.L. Large elastic deformations of homogeneous anisotropic elastic materials/ J.L. Ericksen, R.S. Rivlin // Journal of Rational Mechanics and Analysis.- 1954.- 3.- P.281-301.

63. Rivlin, R.S. Constitutive equations involving functional dependence of one vector on another/ R.S. Rivlin // Z. Angew. Math. Phys.- 1961.- 12.- P.447-452. doi: 10.1007/BF01600691.

64. Rivlin, R.S. The constitutive equations for certain classes of deformations in (Viscoelasticity: phenomenological aspects) / R.S. Rivlin - New York: Acad. Press, Inc., 1960, P.93-108.

65. Rivlin, R.S. The constitutive equations for certain classes of deformations/ R.S. Rivlin // Arch. Rational Mech. Anal. - 1959.- 3.- P.304-311. doi: 10.1007/BF00284182.

66. Pipkin, A.C. Galvanomagnetic and thermomagnetic effects in isotropic materials/ A.C. Pipkin, R.S. Rivlin //J. Mathematical Phys.- 1960.- 1.-P. 542546. doi: 10.1063/1.1703691.

67. Pipkin, A.C. Electrical conduction in deformed isotropic materials/ A.C. Pipkin, R.S. Rivlin // J. Mathematical. Phys. - 1960.- 1.- P.127-130. doi: 10.1063/1.1703642.

68. Green, A.E. The mechanics of non-linear materials with memory, Part 2/ A.E. Green, R.S. Rivlin, A.J.M. Spencer // Arch. Rational Mech. Anal.- 1959.3.- P.82-90 doi: 10.1007/BF00284166.

69. Green, A.E. The mechanics of non-linear materials with memory, Part 3/ A.E. Green, R.S. Rivlin // Arch. Rational Mech. Anal. - 1960.- 4.- P.387-404.

70. Green, A.E. A continuum theory of an isotropic fluids/ A.E. Green // Proc. Cambridge. Philos. Soc.- 1964.- 60.- P.123-128.

71. Green, A.E. Anisotropic simple fluids/ A.E. Green // Proc. Roy. Soc. Ser A.-1964.- 250, No.1379.- P. 437-445. doi: 10.1098/rspa.1964.0115.

72. Green, A.E. The mechanics of non-linear materials with memory. Part 1/ A.E. Green, R.S. Rivlin // Archiv for Rational Mechanics and Analysis.- 1957.1.- P.1-34.

73. Rivlin, R.S. Solutions of some problems of viscoelasticity/ R.S. Rivlin // Journal of Rational Mechanics and Analysis.- 1956.- 5.- P.179-187.

74. Wineman, A.S. Material Symmetry Restrictions on Constitutive Equations/ A.S. Wineman, A.C. Pipkin // Archiv for Rational Mechanics and Analysis.-1964.- 17.- P.184-214.

75. Pipkin, A.C. Material Symmetry Restrictions on Non-Polynomial Constitutive Equations/ A.C. Pipkin, A.S. Wineman // Archiv for Rational Mechanics and Analysis.- 1963.- 12.- P. 420-426.

76. Truesdell, C. Hypoelasticity / C. Truesdell // Journal of Rational Mechanics and Analysis.- 1955.- 4.- P.83-133, 1019-1020.

77. Noll, W. On the continuity of the solid and fluid states/ W. Noll // Journal of Rational Mechanics and Analysis.- 1955.- 4.- P.3-81.

78. Rivlin, R.S. Some Restrictions on Constitutive Equations // Foundations of Continuum Thermodynamics // R.S. Rivlin - Berlin: Springer.- P.229-249.

79. Dieudonne, J.A. Invariant theory. Old and new / J.A. Dieudonne, J.A. Carrell-New York: Academic Press, 1971.

80. Euler, Leonhard 'Principes generaux de l'etat d'equilibre d'un fluide'/ L. Euler / Opera omnia.— 1957.— ser. 2;№ 12.— P.2-53, E225.; 'Principes generaux du mouvement des fluides' // Opera omnia. — 1957.- ser. 2,№ 12.— P.54-91, E226.

81. Tisza, L. Transport Phenomena in Helium II/ L. Tisza // Nature.— 1938.—141, № 3577.— P. 913.

82. Вирченко Ю.П., Субботин А.В. Свойство локальной обратимости гамиль-тоновых динамических систем // Материалы Международной конференции «Комплексный анализ и его приложения в дифференциальных уравнениях и теории чисел» Белгород, 17-21 октября 2011 / C.37-38.

83. Вирченко Ю.П., Субботин А.В. Симметричность спектров линейных га-мильтоновых систем // Научные ведомости БелГУ. Математика. Физика. -

2011. - 17(112);24. - C.179-180.

84. Вирченко Ю.П., Субботин А.В. Полностью вырожденные линейные га-мильтоновы системы // Научные ведомости БелГУ. Математика. Физика. -

2012. - 23(142);29. - С.215-218.

85. Вирченко Ю.П., Субботин А.В. Характеризация линейных гамильтоновых систем // Материалы международной конференции «Дифференциальные

уравнения и их приложения» 26-31 мая 2013, Белгород / Белгород: Поли-терра, 2013. - C.180-181.

86. Вирченко Ю.П., Субботин А.В. О спектральном разложении генераторов гамильтоновых систем // Научные ведомости БелГУ. Математика. Физика. - 2013. - 5(148);30. - С.135-141.

87. Вирченко Ю.П., Субботин А.В. О классе гамильтоновых матриц // Научные ведомости БелГУ. Математика. Физика. - 2013. - 12(155);31. - С.5-11.

88. Субботин А.В., Вирченко Ю.П. Обратимые динамические системы // Тезисы зимней математической школы С.Г.Крейна / Воронеж: ВГУ, 2014. -C.337-341.

89. Субботин А.В., Вирченко Ю.П. Обратимые динамические системы // Proceedings XII of young scientists school "Non-local boundary value problems and problems of modern analysis and informatics", KBR, Terskol 3-7 December 2014 // Нальчик: Институт прикладной математики и автоматизации, 2014. - C.65-67.

90. Субботин А.В., Вирченко Ю.П. О числе спектральных типов обратимых динамических систем // Научные ведомости БелГУ. Математика. Физика. - 2014. - №19(190);36. - С.126-132.

91. Вирченко Ю.П., Субботин А.В. О понятии обратимости динамических систем // Научные ведомости БелГУ. Математика. Физика. - 2015. - №5(202); 38. - С.138-147.

92. Вирченко Ю.П., Субботин А.В. Обратимые в широком смысле динамические системы // Научные ведомости БелГУ. Математика. Физика. - 2015. -№11(208); 39. -С.89-96.

93. Субботин А.В., Вирченко Ю.П. Классификация обратимых динамических систем // Материалы международной конференции «Воронежская зимняя математическая школа С.Г.Крейна - 2016» / Воронеж: Научная книга, 2016. - C.388-393.

94. Вирченко Ю.П., Субботин А.В. Четномерные обратимые динамические системы // Международная научная конференция «XII Белорусская математическая конференция», Материалы конференции, Часть 3, сентябрь 2016 / Минск: Беларусь, 2016. - C.34-35.

95. Субботин А.В., Вирченко Ю.П. Аналитические обратимые динамические системы // XIV школа молодых ученых «Нелокальные краевые задачи и современные проблемы анализа и информатики». Терскол, 17-22 октября 2016 / Тезисы докладов / Нальчик: Ин-т прикладной математики и автоматизации, 2016. - C.176-178.

96. Субботин А.В., Вирченко Ю.П. Симплектические динамические системы // Научные ведомости БелГУ. Математика. Физика. - 2016. -№27(248);45. - С.181-188.

97. Вирченко Ю.П., Субботин А.В. О матрицах, порождающих симплектические структуры // Научные ведомости БелГУ. Математика. Физика. -2017. - №13(262);47. - С.125-127.

98. Вирченко Ю.П., Субботин А.В. Конечномерные спектрально-обратимые динамические системы // Современные проблемы физико-математических наук / Материалы III международной научно-практической конференции 23-26 ноября 2017 г. Орел / Орел: Орловский государственный университет, 2017. - C.42-44.

99. Вирченко Ю.П., Субботин А.В. О связи между спектрально обратимыми и гамильтоновыми динамическими системами // Научные ведомости БелГУ. Математика. Физика. - 2017. - №27(276);49. - С.109-117.

100. Субботин А.В., Вирченко Ю.П. Спектрально обратимые и гамильтоновы динамические системы // Материалы международной конференции «Воронежская зимняя математическая школа С.Г.Крейна - 2018» / Воронеж: Научная книга, 2018. - С.322-325.

101. Вирченко Ю.П., Субботин А.В. Математические задачи конструирования эволюционных уравнений динамики конденсированных сред // Дифференциальные уравнения и смежные проблемы / Материалы Международной научной конференции, Стерлитамак 25-29 июня 2018, т.2 / Уфа: Риц Ба-шГУ, 2018.- C.262-264.

102. Вирченко Ю.П., Субботин А.В. Уравнения динамики конденсированных сред с локальным законом сохранения // Материалы V Международной научной конференции Нелокальные краевые задачи и родственные проблемы математической биологии, информатики и физики, 4-7 декабря 2018. Нальчик, КБР / Нальчик: ИПМА КБНЦ РАН, 2018.- С.59

103. Вирченко Ю.П., Субботин А.В. Эволюционное уравнение для поля скоростей течений // Современная математика и ее приложения: Материалы Международной научно-практической конференции (г. Грозный, 21-23 октября 2018 г.) / Махачкала: Алеф, 2018.- С.46-48.

104. Субботин А.В., Вирченко Ю.П. Описание класса эволюционных уравнений дивергентного типа для векторного поля // Современные проблемы физико-математических наук. Материалы IV Всероссийской научно-практической конференции с международным участием 22-25 ноября 2018, г.Орел. Часть 1 / Орел: ОГУ имени И.С. Тургенева, 2018.- С.83-86.

105. Вирченко Ю.П., Субботин А.В. Описание класса эволюционных уравнений ферродинамики // Материалы Международной конференции «Современные методы теории функций и смежные проблемы» Воронежская зимняя математическая школа (28 января - 2 февраля 2019) / Воронеж: ВГУ, 2019.- С.80-81.

106. Вирченко Ю.П., Субботин А.В. Разрешимость начально-краевой задачи для двумерного уравнения Навье-Стокса // Материалы Международной конференции «Современные методы теории функций и смежные проблемы» Воронежская зимняя математическая школа (28 января - 2 февраля 2019) / Воронеж: ВГУ, 2019.- С.78-80.

107. Вирченко Ю.П., Субботин А.В. Описание класса эволюционных уравнений ферродинамики // «Итоги науки и техники. Современная математика и ее приложения. Тематические обзоры».- 2019.- 170.- С.15-30.

108. Вирченко Ю.П., Субботин А.В. Разрешимость начально-краевой задачи для двумерного уравнения Навье-Стокса // Материалы Международной конференции «Современные методы теории краевых задач» Воронежская весенняя математическая школа. Понтрягинские чтения XXX (3-9 мая 2019) / Воронеж: ВГУ, 2019.- С.89-91.

109. Вирченко Ю.П., Субботин А.В. Гиперболические квазилинейные ковари-антные уравнения первого порядка дивергентного типа для векторного поля на К3 // «Итоги науки и техники. Современная математика и ее приложения. Тематические обзоры».- 2021.— 191.- 16-28.

110. Вирченко Ю.П., Субботин А.В. Эволюционные уравнения второго порядка дивергентного типа для соленоидального векторного поля на К3 // «Итоги

науки и техники. Современная математика и ее приложения. Тематические обзоры».- 2021.- 198.- С.41-49.

111. Вирченко Ю.П., Субботин А.В. Эволюционное уравнение для сферически симметричного ферроманетика // (Еругинские чтения XIX - 2019): Международная математическая конференция по дифференциальным уравнениям, 14-17 мая, 2019 Могилев, Беларусь / Материалы конференции Часть 2 / Минск: Беларусский государственный университет, 2019. - С.68-69.

112. Subbotin A., Virchenko Yu. Differentiable involutions of space Rn // in: Analytic Methods of Analysis and Differential Equations: AMADE 2015, eds. S.V.Rogosin, M.V.Dubatovskaya / Minsk: Belarusian State University, 2016. -P.159-162.

113. Subbotin A.V., Virchenko Yu.P. Divergent second order evolution equations of solenoidal vector field on R3 // 2nd International conference on mathematical modelling in applied sciences. BSU Belgorod-Russia (August 20-24, 2019). Book of Abstracts / BSU Belgorod-Russia & Alpha-Publishing; ICMMAS'19, Ed. Amar Debbouche.- P.203-204.

114. Virchenko Yu.P., Subbotin A.V. The class of evolutionary ferrodynamic equations // Mathematical methods in Applied Sciences.- 2021.- 44;15.-P.11913-11922.

115. Субботин А.В. Обратимые динамические системы // Тезисы докладов 8-го международного научного семинара «Аналитические методы анализа и дифференциальных уравнений» (AMADE) Минск, 14-19 сентября, 2015 / Минск: Грант БРФФИ, 2015. - C.77-78.

116. Субботин А.В. Классификация аналитических обратимых динамических систем // Научные ведомости БелГУ. Физика. Математика. - 2016. -№20(241);44. - C.175-179.

117. Субботин А.В. Описание класса эволюционных уравнений дивергентного типа для векторного поля // Научные ведомости БелГУ. Математика. Физика.- 2018.- 50;4.- С.492-497.

118. Вирченко Ю.П., Субботин А.В. Эволюционные ковариантные уравнения первого порядка для векторных полей на R3 / Материалы II Всероссийская научная конференция «Дифференциальные уравнения и их приложения»

Рязань, 18-20 мая, 2022 // Дифференциальные уравнения и математическое моделирование.- 2022.- 4.- C.53-54.

119. Subbotin, A.V. Description of a class of evolutionary equations in ferrodynamics / Yu. P. Virchenko and A. V. Subbotin // Journal of Mathematical Sciences.-2022.- 263;4.- P.475-490.

120. Вирченко Ю.П., Субботин А.В. Квазилинейные ковариантные уравнений первого порядка для векторных полей на R3 / Материалы XXXV Международной конференции Воронежская весенняя математическая школа «Современные методы теории краевых задач» «Понтрягинские чтения -XXXIII» 3-9 мая 2022 г. // Воронеж: Издательский дом ВГУ, 2022.- C.50-51.

121. Волков, Д.В. Феноменологический лагранжиан взаимодействия голдсто-уновских частиц/ Д.В. Волков - Препринт ИТФ-69-75, Киев, 51с.

122. Волков Д.В. О распространении спиновых волн в пространственно-неупорядоченных средах/ Д.В. Волков, A.A. Желтухин // ЖЭТФ.- 1080.-78;№ 5.- C.I867-1878.

123. Исаев А.А. О гамильтоновом подходе к динамике сплошных сред/ А.А. Исаев, М.Ю. Ковалевский, С.В. Пелетминский // ТМФ.- 1995.- 102;No 2.-C.283-296.

124. Lokhin, V.V. Non-linear tensor functions of several tensor arguments/ V.V. Lokhin, L.I. Sedov // Prikl. Mat. Mekh.- 1963.- 27.- P.393-417; J. Appl. Math. Mech.- 1963.- 27.- C.597-626. doi: 10.1016/0021-8928(63)90149-7

125. Астафьев, В.И. Нелинейная механика разрушения, изд.2-е / В.И. Астафьев, Ю.Н. Радаев, Л.В. Степанова - Самара: Самарский государственный университет, 2004.- 562 с.

126. Briceyda, B.D. General Solution of the Inhomogeneous Div-Curl System and Consequences/ B.D. Briceyda, R.M. Porter. // Advances in Applied Clifford Algebras.— 2017.- 27;№ 4.— P. 3015-3037.

127. Рашевский, П.К. Риманова геометрия и тензорный анализ / П.К. Рашев-ский - М.: Наука, 1967.

128. Гуревич, Г.Б. Основы теории алгебраических инвариантов / Г.Б. Гуревич -М.-Л.: Госиздат ТТЛ, 1948. - 408 с.

129. Спенсер, Э. Теория инвариантов / Э. Спенсер - М.: Мир, 1974.- 158 с. Spencer, A.G.M. Theory of Invariants / In: Eringen, A.C. Ed., Continuum Physics, I. Part III // A.G.M. Spencer - New York: Academic Press, 1971.-P.239-353.

130. Гилбарг, Д., Трудингер Н. Эллиптические дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка / Д. Гилбарг, Н. Трудингер -М.: Наука, 1989.

131. Панамарева, А.Э. Построение общего эволюционного уравнения для псевдовекторного соленоидального поля с локальным законом сохранения/ А.Э. Панамарева, Ю.П. Вирченко // Научные ведомости БелГУ. Математика. Физика.— 2018.—50;№ 2.—C.224-232.

132. Мак-Коннел, А.Дж. Введение в тензорный анализ с приложениями к геометрии, механике и физике / А.Дж. Мак-Коннел - М.: Гос. изд. ФМЛ, 1963.

McConnel, A.J. Application of tensor analysis / A.J. McConnel - New York: Dover Publications, Inc., 1957.

133. Курош, А.Г. Общая алгебра / А.Г. Курош - М.: Наука, 1974. - 160 c.

134. Гантмахер, Ф.Р. Теория матриц / Ф.Р. Гантмахер - М.: Наука, 1966. - 576 c.

135. Колмогоров, А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа, 4-е изд. / А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин - М.: Наука, 1979.544 с.

136. Ландау, Л.Д. Гидродинамика / Теоретическая физика т.6 / Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц - М.: Наука, 1986.- 732 c.

137. Вирченко, Ю.П. Плотность потока магнитного момента сферически симметричного магнетика/ Ю.П. Вирченко, Д.А. Чурсин // Научные ведомости БелГУ. Математика. Физика. - 2015. - № 11(208); 39. - С.191-196.

ПРИЛОЖЕНИЕ А

ТЕНЗОРНАЯ АЛГЕБРА

Пусть задано линейное пространство (линейная алгебра) V над числовым полем K. В дальнейшем, мы ограничимся рассмотрением линейного пространства V с размерностью d Е N над числовым полем R. Для любого натурального числа r Е N определим линейное пространство V*r = V х ... х V, которое бу-

r

дем называть r-ой тензорной степенью этого пространства. Оно состоит из наборов (vi,vr), Vj Е V, j = 1 ^r. Если каждому вектору v Е V сопоставляется числовой набор (v(1), v(d)), состоящий из его координат в фиксированном базисе пространства V, то выбранный базис осуществляет канонический изоморфизм между элементами V и пространством Rd. При таком изоморфизме тензорная степень V*r переходит в тензорную степень (Rd)*r так, что элементам (v1,vr) соответствуют элементы

(v11),...,vid)) х ... х (vri2,...,vrd)) = ((v11),...,vid)),..., (vvr1),...,vrd))).

Этот факт можно сформулировать таким образом, что элементами (Rd)*r являются отображения Id ^ R, Id = (1, 2,...,d). Элементы этого пространства будем называть алгебраическими объектами [132] ранга r и размерности d или, просто, объектами. Такие элементы будем обозначать прописными буквами латинского алфавита шрифтом «calligraphic»: A, B, C, D, E, .... При возникновении необходимости специального указания ранга объекта, мы будем снабжать его нижним индексом, например, Ar. В соответствии с данным определением алгебраического объекта, элементами V*1 = V = Rd ранга r = 1 являются вещественные упорядоченные наборы размерности d, а объекты из V*2 ранга 2 представляются вещественными d х d-матрицами.

В дальнейшем, мы ограничимся рассмотрением пространства V = Rd с размерностью d Е N так, что под элементами V*r будут всегда пониматься объекты из (Rd)*r. Положим также, по определению, что при r = 0 тензорной степенью является V*0 = R.

В каждом из пространств У*г определены, естественным образом, т.е покомпонентно, линейные операции и в каждом из пространств с фиксированным значением ранга г определен нулевой элемент 0, который представляет собой сюръекцию ^ {0}. Размерность линейной алгебры ¥*г равна .

Значение объекта А ранга г на каждой упорядоченной последовательности

{31,-,3т) е 1га, где зк = 1 ^ й, к = 1 ^ г будем обозначать (А)3ъ.,3г = Ап_3г. При такой записи ранг объекта указывается посредством числа нижних индексов. Такую запись алгебраического объекта А будем называть индексным обозначением.

Рассмотрим линейную алгебру Т(У), которая представляется прямой суммой линейных алгебр У*г:

то

Т(¥) = 0 V*". (П1.1)

г=0

Таким образом, элементами линейной алгебры Т(У) являются последовательности 0 = {Аг е ¥*г; г е М+) с покомпонентными операциями сложения и умножения на числа из К.

Элементы 0 = (Аг = 0, г' = г; г' е ) для каждого значения г е будем обозначать посредством А или Аг с указанием ранга ненулевого объекта в последовательности 0 в том случае, если это не вызывает недоразумений, и, соответственно, в индексном обозначении такой элемент мы обозначаем как А.

Введем на линейной алгебре Т(У) бинарную операцию *, которую мы будем называть тензорным умножением объектов посредством правила V*' * ¥*т С V*('+m), 1,т е для всех упорядоченных пар А, гапкА = I и В, гапкВ = т при произвольных значениях их рангов I е и т е М+. Затем эта операция продолжается однозначным образом по линейности на всю Т(У).

В индексной записи определение операции * для каждой пары объектов А е V*', (А)п...31 = Ап.,31 и В е V*m, (Ъ)к1...кт = БкъЛт записывается следующим образом:

(А * В)31 .. .,31+т = А31..,31 В31+1 .. . (Ш.2)

В частности, при I = 0, А(0) = а £ С

(аЪ)п...т = аБп..,т . (П1.3)

Очевидно, что таким образом определенная операция умножения, в общем случае, не коммутативна. Единицей алгебры является элемент 1 = (1,0, 0,...) £ Т(¥).

Таким образом, введение операции ^-умножения превращает Т(У) в градуированную алгебру с единицей, которая называется тензорной алгеброй.

Пусть на пространстве V задана положительная билинейная форма (•, •), которая сопоставляет каждой паре (и, V) £ V*2 число (и, V) £ К так, что (и,и) > 0 для любого 0 = и £ V. Существует базис (в!,...,е^) в пространстве V, в котором билинейная форма принимает вид

(и, V) = и(!)у(!) + ... + и(%&

для любых и = и(!)е! + ... + и^е^ и V = ^(!)е! + ... + у^е^.

После фиксации этого базиса в V, в дальнейшем, можно ограничиться построениями в соответствующем ему изоморфном координатном пространстве К^, состоящем из наборов координат векторов из V.

Определим для каждой пары {1,т} С N действие линейного оператора Р(1,т) перестановки на тензорной алгебре Т(К^). Достаточно определить его действие на каждой линейной алгебре (К^)*г, г £ а затем продолжить по линейности на всю алгебру.

Положим, что Р(1'т)(К^)*г = 0, если (1,т)Ь С 1.2 Таким образом, автоматически, Р(1'т^г = 0 при г = 0,1, и применение этого оператора дает определенный результат только, если номера I < г, т < г. При выполнении этих условий оператор Р(1,т) осуществляет биекцию Р(1'т)(К^)*г = (К^)*г так, что

(РМ^,..., vr))k = ^ , к = 1,т ;

(Р(1'т)(уЪ ..., vr)) = Vm, (Р(1т)^!, ..., vr))т = VI .

В индексных обозначениях при А = ..., vr), (А)уь... ^ = , эта формула

принимает вид Р(1 ' т)Ап= АЛ,... Л, где 2к = з'к, к = 1,т и П = З'т, 2т = Л

Таким образом, оператор Р(') осуществляет перестановку индексов г ^ ]. Все такие операторы Р(1,т), {1,т} С N принадлежат группе Рг перестановок

элементов множества Ir. Таким образом, мы построили тензорную алгебру с операторами P(ij{i,j} С N. Мотивацией к введению в алгебру T(Rd) такой совокупности операторов, которая, собственно, и позволяет использовать по отношению к ней такой термин, является следующее свойство инвариантности этих операторов P(ij)UG = UP(ij)G для любых элементов G Е T(Rd), по отношению любой биекции алгебры T(Rd) на себя, порождаемой веществен-нозначной d х d-матрицей U группы GL(d, R) на основе следующей формулы:

d

(UG)n_Jr = J2 ...jкAkl_kr, (П1.4)

ki kr

где G = {Ar; r E N+b (Ar j... j = •

В тензорной алгебре, в процессе вычислений, все операторы суммирования в формулах с индексными обозначениями объектов в таких как, например, формула (П 1.4), принято опускать, если эти суммирования производятся по любым двум индексам с совпадающими значениями от 1 до d, когда такие индексы парным образом присутствуют в формуле. Так, формула (П 1.4) записывается следующим образом

(UG)jUj = Un ki .U kr Ak^kr. (П1.4)

В дальнейшем, мы используем это соглашение о суммировании по повторяющимся индексам.

На тензорной алгебре T(Rd), снабженной формой (•, •), введем для каждой пары номеров {l, m} С N линейный оператор C(i'm) свертки. Эти операторы достаточно определить на каждой линейной алгебре V*r, r Е N+, а затем продолжить по линейности на всю алгебру.

Положим, что C(1'm)V*r = 0, если {l,m}t С Ir. Таким образом, автоматически, C(1m)Vr = 0 при r = 0,1, и применение этого оператора дает определенный результат только, если номера l и m не превосходят ранга r объекта. В этом случае оператор осуществляет сюръекцию C(i'm)V*r = V*r-2 так, что

C^A = C(/'m)(vi,..., vi,..., Vm,..., Vr) = = (vi, Vm)(vi, V-1, Vi+1, ..., Vm-1, Vm+1, Vr) .

В индексных обозначениях, отображение С(1'т) определяется формулой

(С^А)-'...¿г = (Р(1'г-!)Р(т'г)А)Л'...'Л_ъЦ , (П1.5)

где операторы Р(1,г-!), Р(т,г) принадлежат группе Рг перестановок элементов множества 1Г. Таким образом, каждый оператор свертки С(1'т) превращает объект ранга г в объект ранга г — 2.

Мотивация к введению операторов С('') связана со свойством инвариантности С(г-)и0 = иС^')6, где биекция и : Т(К^) ^ Т(К^) определяется формулой (4) на основе ортогональной ё х ¿-матрицы, принадлежащей группе

О*

ПРИЛОЖЕНИЕ Б

АЛГЕБРЫ 0[Х]

Пусть X — конечное подмножество в алгебре Т^) с операторами Р(''т), С('т), {1,т} С М, состоящее только из элементов А(а) е (К^)*Га, каждый из которых имеет фиксированный ранг гапкА(а) = га, а = 1 ^ N, N = \Х|. Объекты каждого подмножества из X элементов с одним и тем же фиксированным значением ранга будем предполагать, не ограничивая общности, алгебраически независимыми с точки зрения алгебры Т(^), дополненной наборами операторов Р('т) и С(''т), в частности, эти объекты мы полагаем линейно независимыми. В этом случае множество X мы будем называть минимальным.

Введем в рассмотрение для каждого множества X С Т(К^), обладающего указанными свойствами, подалгебру G(X) С Т(К^) с операторами Р(''т), С('т), {1,т} С М, алгебры Т(К^), у которой X является множеством ее образующих. Алгебра G(X) определяется как минимальная тензорная алгебра с операциями сложения и тензорного умножения, содержащая все элементы множества X и инвариантная относительно действия каждого из операторов р(',т), С('т), {1,т} С N.

Ввиду требования линейной независимости набора образующих, обладающих одним и тем же рангом г и входящих в множество X, их количество, вообще говоря, ограничено числом . Однако, имея в виду применение этих алгебр для конструирования полей на К3 со значениями в , г е N в виде

алгебраических объектов А(х), х е К3 какого-либо фиксированного ранга г, то есть для того случая, когда образующие каждой из алгебр G(X) являются функциями от дополнительных параметров х, их линейную независимость нужно понимать более широко, а именно, как линейную независимость функций от этих параметров со значениями в . Однако, мы не будем учитывать ограничения указанного типа.

Введем понятие о типе алгебры G(X). Если X содержит пг образующих ранга г, г = 1 ^ I, I - максимальный ранг объектов, входящих в состав X, где 0 < пг < , то мы будем говорить, что алгебра G(X) имеет тип (пг; г = 1 ^ I).

Пусть алгебра ©(X) имеет набор образующих X. Тогда любой элемент этой алгебры состоит из последовательности объектов (Лг; г £ Н+). Очевидно, что множество всех возможных объектов Лг при фиксированном значении г является линейной алгеброй, обозначаемую нами Сг(X), относительно линейных операций в тензорной алгебре ©(X) и каждый такой объект представим в виде

(X )|

Лг = АаЛ[а), Аа £ К, (П2.1)

а=1

где йг (X) — максимальный набор линейно-независимых мономов алгебры ©(X), имеющих ранг г. Объекты наборов йг(X), г £ N определены с точностью до числового множителя. Таким образом, описание всех возможных элементов алгебры ©(X) сводится к описанию наборов йг (X), г £ N. Каждый такой набор мы будем называть базисом в линейной алгебре Сг (X) объектов ранга г £ N над множеством образующих X. Важнейшей алгебраической задачей является описание элементов базиса йг (X) для каждого фиксированного множества образующих X и для любого ранга г алгебраических объектов.

Заметим, что каждый элемент базиса йг(X) является мономом алгебры ©(X), имеющим фиксированный ранг г, то есть представляет собой элемент полугруппы ©(X) с операцией умножения * над множеством образующих X, снабженной, дополнительно, операторами перестановки и свертки (см. по этому поводу [133]). Это замечание указывает на метод построения базиса.

Моном Л фиксированного ранга в ©(X) назовем связным, если он не представим в виде тензорного произведения элементов этой полугруппы. Тогда, при заданном минимальном множестве образующих X и фиксированном значении ранга г, для перечисления всех элементов базиса йг(X), необходимо

Л (а)

построить все линейно независимые связные мономы Л} , со значениями ранга 1а < г, а =1 + |йг(X)|, где йг(X) — множество связных мономов в алгебре ©(X) над множеством образующих X со значениями ранга, не превосходящими г. Тогда множество всех элементов Л базиса йг(X) получается выделением максимального линейно независимого набора среди множества объектов, которое строится на основе следующей формулы, применяемой к произвольному упорядоченному набору (Л((а) £ йг(X)). У этого набора последовательность

меток а принимает значения в (X)| и обладает свойством ^а 1а = г:

А = Р А((а) , (П2.2)

_ а

а:Е а 1а=г

Р — произвольный оператор перестановки Рг.

Таким образом, задача описания каждого базиса Нг(X) сводится к более простой задаче построения множества ££г (X).

Приведем примеры простейших алгебр G(X) и построим в них базисы для простейших линейных алгебр Сг (X). При этом мы будем обозначать объекты нулевого ранга, также как и числа, посредством строчных латинских букв - а е К, а объекты первого ранга — будем строчными жирными буквами латинского алфавита и, V, w, ... .

1. Пусть X = {и}, т.е. имеется одна образующая первого ранга и алгебра имеет тип (1). В этом случае имеется единственный связный моном первого ранга — и для любого значения г > 1. Тогда при любом значении г е N каждый из базисов Нг({и}) линейных алгебр Сг({и}) состоит из одного монома, который имеет вид иГ, то есть представляется г-й степенью образующей и относительно операции * или в индексных обозначениях

2. Пусть X = {и, V}, то есть имеется две образующих первого ранга. Алгебра G(X) имеет тип (2). И в этом случае множество ££г(X) совпадает с X для любого значения г > 1. Тогда на основе формулы (П 2.2) получаем вид мономов, составляющих каждый из базисов Нг({и, V}) линейных алгебр Сг({и, V}), г е N. Для любого значения г е N базис состоит из 2Г мономов, которые определяются формулой

г

Ал-2г = П 2 ' (П2.3)

а=1

где w(+) = и, w(~) = V таким образом, что их перечисление производится по всем последовательностям (са е {±}; а = 1 ^ г).

3. В общем случае, когда все образующие имеют ранг 1, X = ^(а); а = 1 ^ 1} множество £3г(X), также как и выше, совпадает с X при любом г е N и каждый из базисов Нг(^(а); а = 1 +1}) линейных алгебр Сг(^(а); а = 1 +1}),

r E N типа (l) состоит из lr мономов следующего вида

r

An-ir = П j' (П2.4)

a=1

перечисление которых осуществляется всеми последовательностями (ca E Ii; a = 1 ^ r).

4. Рассмотрим случай, когда множество X = {A} состоит из одной образующей ранга 2, т.е. имеет тип (0,1). Причем будем предполагать, что соответствующая ей матрица Aim симметрична. При этом множество QQ 1(X) = 0 и для любого r > 2 выполняется множество QQr (X) = {A, A2, A3}, где под степенными выражениями An, n > 2 + d понимаются степени матрицы A в смысле алгебры матриц. Ограничение степенями n = 1 + d связаны с наличием линейной связи между степенями матриц A на основе уравнения Гамильтона-Кели, [134]

d-1

Ad Al = 0 . (П2.5)

i=0

Отсюда следует, что в базисе Qr (X) отсутствуют объекты Ar с любым нечетным значением r ранга. Все возможные объекты Ar из Qr (X) с четным значением r = 2n даются формулой

n

(Ar )juh,..jr = A3U2,-j2n = P П (AC) J2a-lj2a ' (Ш'6)

a=1

c произвольно выбранным оператором перестановки P E Pr и при произвольно выбранной последовательности (ca E Id; a = 1 + n). Среди множества объектов, определяемых этой формулой необходимо выделить максимальное подмножество линейно независимых, так как нужно учесть симметричность матрицы A при действии перестановок P.

В заключение сделаем замечание относительно выделения множества QQr(X). Несмотря на то, что множество X конечно и несмотря на то, что в приведенных простейших примерах приведены явные формулы для элементов из QQr (X) при произвольных значениях r, в более сложных случаях для алгебр, тип (ni; l = 1 + r) которых связан с ni = 0 при l > 3, построение базисных наборов QQr (X) представляет собой довольно трудоемкую алгебраическую задачу.

Более того, множество Нг(X) может оказаться бесконечным. Конечность этого множества тесно связана с т.н. 14-й проблемой Гильберта конечности т.н. целого рационального базиса инвариантов группы О^ для любого г > 1 и произвольного значения ё > 3.

Наконец, заметим, что предложенный метод построения наборов Нг(X) гарантирует их полноту в линейных алгебрах Сг (X). Однако он не гарантирует очевидным образом их линейную независимость, как это имеет место в приведенных примерах. Доказательство линейной независимости получаемых наборов Нг (X) объектов при произвольных значениях г е N в линейных алгебрах Сг(X), имеющих указанный выше сложный тип, представляет собой отдельную алгебраическую задачу.

ПРИЛОЖЕНИЕ В

ТЕНЗОРНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУППЫ 03

Рассмотрим группу 03 ортогональных 3 х 3-матриц и, удовлетворяющих условию иит = ити = 1 — т.н. полную ортогональную группу. Каждая ортогональная матрица реализует преобразование пространства К3, которое оставляет неподвижной точку (0,0, 0) и не изменяет скалярных произведений векторов этого пространства. Обозначим посредством §03 подгруппу этой группы, элементы V которой представляются в виде и = ехр(Э), ЭТ = —Э, и которые соответствуют непрерывным вращениям пространства К3. Каждая матрица и Е 03 представима в виде произведения и = где матрица V Е §03, а матрица W, осуществляющая отражение пространства К3 (дискретное преобразование К3), обладает свойством W2 = 1. Заметим, что указанная факторизация для фиксированной матрицы и неединственна.

Гомоморфное отображение Т группы 03 в полную линейную группу СЬ(й, К) называется представлением группы 03. Это означает, что й х й-матриц-функция Т(и), определяющая этот гомоморфизм, удовлетворяет тождеству Т(и1и2) = Т(и:)Т(и2) при любых матрицах и^ и2 Е 03 (см., например, [23]). При наличии такого гомоморфизма, пространство ^ называется пространством представления.

Для каждого представления Т с матриц-функцией Т(и) имеется сопряженное ему представление Т*, которое определяется матриц-функцией Т(и—1).

Гомоморфизм, при котором Т(и) = Е, называется единичным представлением. Очевидно, что единичное представление и сопряженное к нему совпадают.

Изоморфизм Т : 03 ^ 03, 03 С СЬ(3, К) при котором Т(и) = и называется векторным представлением. Очевидно, что сопряженное представление Т* к векторному реализуется функцией Т*(и) = и-1 = ит.

Представление называется приводимым, если в пространстве ^ имеется нетривиальное подпространство, инвариантное относительно всех и Е 03. В

противном случае представление называется неприводимым. Приводимые представления Т группы О3 всегда могут быть представлены в виде суммы неприводимых унитарных представлений. Это означает, что пространство представления Т допускает разложение ^ = &>2 К^', ё =^22 ^2 такое, что представления представления Т2-, индуцируемые Т в подпространствах К^', являются неприводимыми.

Пусть Т1 и Т2 — два представления с соответствующими им пространствами К^1 и К^2. Тогда представление, у которого каждая реализующая его матрица Т(и) представляется в виде прямого произведения Т1(и) х Т2(и) матриц, соответствующих представлениям Т1 и Т2, с размерностями, соответственно, и ё2, называется произведением представлений. На основе операции произведения, для каждого представления Т допустимо построение произвольной его степени п е N, которую будем обозначать посредством Тп.

Будем рассматривать функции Аг(и) от и е О3 со значениями в линейном пространстве (К3)*г алгебраических объектов фиксированного ранга г е N. Среди линейного многообразия всех таких функций выделим линейное пространство функций, которые определяются формулой, записываемой в терминах компонент ее значений

АП...,2Г (и) = ипМ .и кг Аки...А (Е), Л ,..,3г = 1,2,3 , (П3.1)

где и2к = (и)2к, А2и„,2г(и) = (Аг)2и..,2г. Это равенство означает, что пространство (К3)*г является пространством, преобразующимся по представлению группы О3, которое является г-ой степенью векторного представления Т.

Функции, определяемые формулой (1), называются ковариантными тензорами г-го ранга, а соответствующие представления группы О3 называются тензорными представлениями г-го ранга. Для определения тензора, таким образом, достаточно задать его компоненты в одном фиксированном базисе пространства К3. В частности, тензоры первого ранга называются векторами.

По аналогии с определяющей формулой (1), вводятся контравариантные тензоры любого ранга г е N. Они определяются как функции Аг(и) от матриц и е О3 со значениями в линейном пространстве (К3)*г, компоненты значений

которых записываются в виде

А]и..,]г (и) = икъп ...икг^г Лки...А (Е), л ,..,Лг = 1,2,3 , (П3.2)

где ик^ = (и—1)ук, Л, к = 1, 2,3. Из этой формулы следует, что контравариант-ные тензоры тензоры ранга г преобразуются согласно г-й степени представления Т*, сопряженного векторному представлению Т.

В соответствии с формулами (1) и (2), вводится понятие о тензоре нулевого ранга, которые называются скалярами. Таковыми являются функции от и, значениями которых являются алгебраические объекта ранга 0 и эти значения не зависят от выбора матрицы и. Иными словами, скаляры преобразуются по единичному представлению группы 03.

Наряду с функциями Аг(и) от и Е 03 вида (1) со значениями фиксированного ранга г рассмотрим также аналогичные функции, компоненты значений которых вычисляются по формуле

А,и(и) = (и)г+1ипМАкъ(Е), Ль-Л = 1, 2,3 . (П3.3)

Такие функции называются псевдотензорами (относительными тензорами) ранга г. В частности при г = 0 они называются псевдоскалярами, а при г = 1 — псевдовекторами (аксиальными векторами). Согласно (3), псевдотензоры преобразуются при действии матрицы и Е §03, для которой det и = 1 (см., например, [127]), точно также как тензоры. Если же матрица и соответствует преобразованию К3, которое, кроме непрерывной части V, содержит в своем составе и = VW также дискретное преобразование W, не сводящееся к непрерывному преобразованию, так, что det W = —1, то в этом случае формула (3) приводит к равенству

А^,... ¿г (и) = ( — 1)Г+ЧЬ к! ...и3г,к К Аки... , кг (Е), Л1,Л г = 1,2,3. (П3.4)

В частности, псевдоскаляры и псевдотензоры второго ранга при таких преобразованиях изменяют знак, а псевдовекторы остаются неизменными.

Наконец, введем в рассмотрение тензорные поля Аг(х) ранга г на К3. Они определяются как отображения К3 ^ (К3)*г, значениями которых являются тензоры (псевдотензоры) ранга г и для которых выполняется следующее правило преобразования Аг(х) ^ А'(х') при преобразовании пространства К3

посредством матрицы и е О3. Так как Аг(х) являются тензорами (псевдотензорами) ранга г при каждом х е К3, то (А'(х))3ъ..,3г(х) = ипк1 ■■■^гкгАкъ..,кг(х). При этом так как происходит преобразование и2кХк координат точки х пространства К3, а, с геометрической точки зрения, эта точка неподвижна, то х' = и_1х. Таким образом,

А'(х)21,.2(х') = и2к.икгАкь..,кг(и х). (П3.5)

Поля называются й-кратно непрерывно дифференцируемыми по х е К3, если таковыми являются все числовые функции А2Ъ..,2Т.(х) = (Аг(х))21...,2г, Л1,...,Лг = 1,2,3. Далее, будем использовать обозначение Чк = д/дхк. Таким образом, для й-кратно непрерывно дифференцируемых полей существуют непрерывные частные производные Чк1 ...VкрА21,.,2г (х); ЛР, кч = 1, 2,3; р = 1 ^г, q =1 ^ й.

В связи с преобразованием векторного поля (5) при повороте К3, рассмотрим соответствующее (5) преобразование V2А2ъ..,2г (х) ^ Ч2А2 ^ (х'), где Ч2(•) = Чк( )дхк/дх2. Так как х2 = ик2Хк, то

дхк (дх2)-1 „.^

дХк=(2 =(и-1)к2=2.

2

Отсюда и из (5) следует, что

Ч'кА2и2(х') = 2к1 .икгизкЧкАки..,кг(и-1х),

то есть совокупность всех производных Ч2А21,.,2г (х) от компонент А2Ъ..,2Т. (х) тензорного (псевдотензорного) поля ранга г, в каждой пространственной точке с радиус-вектором х, представляет компоненты тензора (псевдотензора) ранга (г + 1), который мы будем называть градиентом поля Аг(х).

ПРИЛОЖЕНИЕ Г

ИНВАРИАНТНЫЕ ТЕНЗОРЫ И КОВАРИАНТНЫЕ ТЕНЗОР-ФУНКЦИИ ГРУППЫ 03

В этом приложении вводятся понятия и приводятся известные результаты, связанные с инвариантными тензорами в К3 и ковариантными тензор-функциями7 ).

Рассмотрим линейные пространства ковариантных тензоров ранга п Е N в пространстве К3, инвариантных (относительно инвариантных) при преобразованиях группы 03.

Понятие об инвариантных (в другой терминологии, изотропных) тензорах в пространствах Кп было введено в прошлом столетии в эпоху бурного развития тензорного анализа, связанного с приложениями его в физике и, в частности, с тезисом, который приписывают А.Эйнштейну, о ковариантности фундаментальных уравнений, описывающих физические поля.

Инвариантные тензоры фиксированного ранга г Е N г > 2 и типа, вещественно- или комплекснозначные, которые обладают дополнительным свойством неизменности своих компонент при действии преобразований группы 0П, в каждом из пространств Кп, п Е N образуют линейное пространство над соответствующим алгебраическим полем. Основным фактом теории инвариантных тензоров является утверждение о том, что каждое такое пространство либо тривиально при нечетном г, либо является линейной оболочкой, построенной на всех мультипликативных тензорах заданного ранга г, порождаемых универсальным тензором второго ранга 5, при четном значении г.

Пусть 1п = {1, 2, ...,п}. Отображение А : Гп ^ К, п Е г Е ^ будем называть алгебраическим объектом размерности п и ранга г с набором индексов (Лъ •••Лг) Е Iг. Его значения будем записывать в виде , ... .

Множество Т объектов , ... ^г размерности й и ранга г, каждый из которых поставлен в соответствие матрице и Е 0г так, что объект А^, который

7) В монографиях [128], [26] ковариантные функции называются комитантами или форм-инвариантными функциями.

соответствует матрице U связан с объектом Aj1...,jr — образом единичной матрицы E Е Od соотношением

jj=j-jA*,-*,. и=(u)k.

называется ковариантным тензором ранга r на пространстве

Определение. Тензор, определяемый объектами Aj1,... ,jr ранга r Е N в пространстве Rn, назовем инвариантным при q = 0 (относительно инвариантным при q = 1), если для любой матрицы U Е On имеет место

j...UjrAkl= (det U)q j. , .

По поводу справедливости следующих утверждений теории инвариантных тензоров, использование которых является существенным в диссертации (см. [23]).

Теорема 1. Ранг инвариантных тензоров при q = 0 является четным числом r.

Так как в каждом пространстве Rn имеется универсальный тензор, который определяется полностью антисимметричным при перестановках индексов, относительно инвариантным объектом j .. jn с . . . n = 1, то отсюда следует

Теорема 2. Четность ранга относительно инвариантного тензора q = 1 совпадает с четностью размерности n.

Множество инвариантных (относительно инвариантных) тензоров в Rn фиксированного ранга r образует линейное пространство с операциями сложения тензоров и умножения их на число.

Парным разложением множества Ir назовем совокупность c пар {j, k} С Ir, которые образуют дизъюнктивное разложение множества Ir, (J{j k}Ec{j, k} = Ir. Обозначим класс всех парных разложений посредством C(Ir). Число всех парных разложений множества I2m равно (r — 1)!! = (r)!/2r(r/2)!.

Пространство полностью определяется набором базисных тензоров.

Теорема 3. Множество инвариантных q = 0 тензоров Dji,...,jr (c)= П j j ' c E C(Ir) .

{k,l}Ec

полно в пространстве l[3) и поэтому diml[3) < (r — 1)!!.

В частности, при r = 4 набор Dj1 ,j2,j3,j4(c), где c состоит из трех парных разложений множества I4 составляет базис в L^.

Теорема 4. Ранг относительно инвариантных q = 1 тензоров в пространстве R3 является нечетным числом.

Теорема 5. Множество относительно инвариантных q = 1 тензоров в пространстве R3

j j Dj*n+1 j (c)= п j j ' c e C(Ir \ S), E = С Ir.

{k,l}ec

полно в пространстве L[n) относительных тензоров и поэтому dim L^^ < C3 (r — 4 — 1)!!.

ПРИЛОЖЕНИЕ Д

ПРОСТРАНСТВО С|1ос(К3)

Обозначим посредством С2 , 1ОС(К3) множество всех вещественнозначных дважды непрерывно дифференцируемых функций, определенных на К3. Это множество является линейным пространством над числовым полем К с естественными операциями сложения и умножения на вещественное число. Введем в рассмотрение для каждого куба Л = [—Ь, Ь]3, Ь Е N неотрицательный функционал рл(/) для функций / Е С2 ,1ос(К3) из этого пространства, который определяется формулой

Ра[/] = max \f (x)\ + max([Vjf (x)] • [Vjf (x)]) /2+

хел хел

+ max ([VjVkf (x)] • [VjVkf (x)])vz, (П5.1)

x(E Л

1/2

где У- = д/дх- и по повторяющимся индексам подразумевается суммирование со значениями 1,2,3. Так как для любой

пары функций и д из С2,1ОС (К3) выполняются неравенства Коши-Буняковского (см., например, [135]) для конечных наборов компонент У-/(х), У-У к/(х), Л, к = 1, 2,3, выполняются неравенства

([У-(/+д)(х)]У (/+д)(х)])1/2 < ([У-/(x)][Уj/(х)])1/2+([У-д(х)][У-д(х)])1/2,

([У^-Ук(/ + д)(х)][УУк(/ + д)(х)])1/2 <

< ([VjVkf(x)][VjVkf(x)])1/2 + ([VjVkg(x)][VjVkg(x

V V k J (x)][ V j Vk j (x)]j

и, кроме того,

max If (x) + g(x)| < max If(x)| + max |g(x)| ,

xe^ 1 хеЛ 1 xeЛ 1 1

то для них имеет место неравенство

Рл[/] < Рл[/] + Pл[g]. (П5.2)

Кроме того, очевидно, что для любой функции f из C2,ioc(R3) и любого числа Л е R имеет место

РЛЛП = \Л\ • рл[f]. (П5.3)

Неравенства (2) и (3) указывают на то, что функционалы рд[•] являются полунормами на пространстве С2,1ос(К3) (см. [135]). Ядром каждой такой полунормы является линейное пространство дважды непрерывно дифференцируемых функций на К3, тождественно равных нулю на Л.

Полунормы рл1 [•], рл2[•], соответствующие двум кубам Л1, Л2 таким, что Л1 С Л2, обладают тем свойством, что для любой функции / е С2дОС(К3) имеет место

РЛ1 [/] < РЛ2 [/]. (П5.4)

Рассмотрим произвольную последовательность интервалов (Лк С К3; к е М) такую, что для любого к е N имеет место включение Лк С Лк+1 и при этом Лк = ж. Тогда, если для функции / е С2,1ос(К3) выполняется

РЛ, [¡]=0, к е N,

то /(х) = 0. Это свойство позволяет ввести на С2дОС(К3) инвариантную относительно сдвигов этого пространства метрику на основе функционала д) на Суос(К3)хСуос(К3) (см. [135]),

= Е 1 • 1 +Л^Л[/ В- д] ' д е Суос(®3) • (П5.5)

В самом деле, неотрицательный функционал (5) очевидным образом, в силу вогнутости функции а/(1 + а) на а е удовлетворяет неравенству треугольника

д) < к) + д)

и уравнение = — д, 0) = 0 имеет единственное решение / = д

(условие отделимости), так как оно эквивалентно системе уравнений рл[/ — д] = 0, п е М, что, ввиду (4) и структуры ядра каждого из функционалов рл[•] приводит к указанному равенству.

Введение метрики (5) на пространстве С2дОС(К3) превращает его в метрическое, и тем самым в линейное топологическое, счетно-нормированное пространство.

Теорема 5.1. Метрическое пространство С2,1ос(К3) полно.

□ Для любой фундаментальной относительно метрики пространства C2jloc(R3) последовательности (fn Е C2jloc(R3);n Е N (см. [135]),

f) = Ё I • f —0 ■ — ж <П5-6)

выполняются предельные соотношения рд[f — fm] — 0, l,m — ж при любом n Е N. Отсюда следует, что при каждом n Е N в кубе Лп имеет место

/ \ !/2 maW [Vj (fi — fm)(x)} [Vj (f — fm)(x)] — 0 , ж Е Лп . (П5.7)

xEAn \ J

Таким образом, последовательность (fk(x); k E N) фундаментальна в равномерной метрике в каждом кубе Лп, n Е N. Она сходится к непрерывной на этом интервале функции f (ж). Точно также в равномерной метрике в каждом кубе Лп сходится фундаментальная последовательность (Vjfm(x) Е C1jloc(R3);m Е N) к непрерывной функции f(j)(x) при каждом значении j = 1, 2,3. Тогда, согласно теореме Дини, функция f (x) непрерывно дифференцируема по Xj на Лп, n Е N и она равна Vjf (x) = f (j)(x). По этим же причинам, вследствие фундаментальности последовательности (VjVkfm(x) Е Cloc(R3); m Е N) в равномерной метрике в каждом кубе Лп, n Е N, она сходится к непрерывной функции (Vjf )(k)(x), k = 1, 2,3. На основании теоремы Дини, Vjf (x) непрерывно дифференцируема по xk на Лп и имеет место VkVjf (x) = (Vjf )(k)(x). Так как такое равенство имеет место при всех j,k Е {1, 2, 3}, то предельная функция f (x) принадлежит C2;loc^). Учитывая, теперь, что Лп — R3, n — ж, находим, что f Е C2jloc(R3).

Выбрав произвольное число £ > 0 и такое достаточно большое число N, для которого, на основании (6), выполняется

оо

перейдем в этом неравенстве к пределу т ^ ж,

рл- [1 — 1] < £, ¡>м. (П5.8)

' п=12п 1 + Рл„ [I — I] - ' 1 ;

Так как это неравенство верно при любом £ > 0, то это означает, что фундаментальная последовательность (¡т Е С2,1ос(К); т Е N сходится к функции I Е С2,1ос(К3); т Е N в метрике, определяемой расстоянием ^б^, •). ■

Наконец, определим линейное топологическое счетно-нормированное пространство С2Ьс(К3), которое является одним из основных инструментов построений, рассматриваемых в диссертации. Оно состоит из дважды непрерывно дифференцируемых вектор-функций $(х) = (¡1(х),/2(х), ¡3(х)), определенных на К3 и со значениями в К3. Это пространство строится в виде декартовой степени пространства С2 , 1ОС(К3) с топологией, определяемой расстоянием

, д) = У-1 рл-[$ — д] , $ д е С3 1ос(К3), (П5.9)

к } п=12п 1 + рлп [$ — д] 2

где полунормы рл ($) для любой вектор-функции $ определяются формулой

рл($) = тах (¡2(х))1/2 + тах ([Чк2] • [Чк2])1/2 + ([Чк][ЧкVI2])1/2

(П5.10)

Существенно, что таким образом определенные полунормы и, следовательно, расстояние •) инвариантны относительно преобразований группы О3 пространства К3.

Теорема 5.2. Пространство С:]1ос(К3) полно.

□ Утверждение следует из Теоремы 5.2. ■