Метод базисных операторов построения дискретных моделей сплошной среды тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, доктор физико-математических наук Коробицын, Владимир Анатольевич

• Коробицын, Владимир Анатольевич
• доктор физико-математических наук
• 2012

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Коробицын, Владимир Анатольевич

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ СПЛОШНЫХ СРЕД

§ 1.1. Сводка результатов из тензорной алгебры

1.1.1. Криволинейные координаты

1.1.2. Компоненты вектора и тензора

§ 1.2. Некоторые сведения из тензорного анализа

1.2.1. Метрический тензор

1.2.2. Ковариантное дифференцирование

1.2.3. Дифференциальные операторы

1.2.4. Интегральные операции

1.2.5. Ортогональные координаты

1.2.6. Дифференциальные операторы в ортогональных системах

§ 1.3. Модели механики сплошной среды

1.3.1. Законы сохранения

1.3.2. Уравнения гидродинамики несжимаемой жидкости

1.3.3.Потенциальная модель несжимаемой жидкости

1.3.4. Уравнения механики сплошной среды в криволинейных

системах координат

§ 1.4. Основные понятия теории разностных схем

1.4.1. Дискретизация. Сетка. Шаблон

1.4.2. Сеточные функции

1.4.3. Аппроксимация и устойчивость

ГЛАВА 2. РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ В ПРЯМОУГОЛЬНЫХ

СИСТЕМАХ КООРДИНАТ

§ 2.1. Разностные операторы векторного и тензорного анализа

2.1.1. Разностные операторы

2.1.2. Критерий согласованности разностных операторов

2.1.3. Построение операторов V , V ^

2.1.4. Построение операторов

2.1.5. Граничные условия

2.1.6. Инвариантность операторов

§ 2.2. Трехмерные операторы

§ 2.3. Квадратурно- аппроксимационный алгоритм построения

дифференциально-разностных схем

2.3.1. Основание алгоритма

2.3.2.Алгоритм построения полностью консервативных схем

2.4.1. Дифференциально - разностная схема

2.4.2. Класс разностных схем с полным набором законов сохранения

§2.5. Численные расчеты течений несжимаемой жидкости

2.5.1. Сетка и операторы

2.5.2. Разностная схема

2.5.3. Аппроксимация вектора внешних массовых сил

2.5.4. Устойчивость схемы

2.5.5. Реализация граничных условий

2.5.6. Линейный анализ разностной схемы

§ 2.6. Численные расчеты двумерных течений

§ 2.7. Численное моделирование трехмерных течений

2.7.1. Разностная схема

2.7.2. Граничные условия

2.7.3. Комплекс программ ТОРЗ

§ 2.8.Термодинамически согласованные разностные схемы

ГЛАВА 3. ИНВАРИАНТНЫЕ ВАРИАЦИОННО - РАЗНОСТНЫЕ

СХЕМЫ И ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ

§ 3.1. Инвариантные двумерные дискретные модели

3.1.1. Вариация функционала дискретной системы

3.1.2. Тождество Нетер

3.1.3. Теорема Нетер

3.1.4. Обобщение теоремы Нетер

3.1.5.Дифференциально-разностные уравнения гидродинамики

ГЛАВА 4. МЕТОД БАЗИСНЫХ ОПЕРАТОРОВ ПОСТРОЕНИЯ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ В КРИВОЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМАХ

КООРДИНАТ

§ 4.1.Разностные операторы в криволинейной ортогональной системе

координат. Случай плоской симметрии

4.1.1. Дифференциальные операторы

4.1.2. Разностные операторы

4.1.3. Некоторые соотношения

4.1.4. Согласованность разностных операторов

4.1.5. Дифференциально-разностная схема гидродинамики

4.1.6. Операторы в полярной системе координат

§ 4.2. Формулы для базисных операторов

§ 4.3. Осесимметричные разностные операторы в ортогональной

системе координат

4.3.1. Дифференциальные операторы

4.3.2. Разностные операторы

4.3.3. Дифференциально-разностная схема гидродинамики

4.3.4. Операторы в цилиндрической системе координат

§ 4.4. Полностью консервативные осесимметричные разностные

схемы в криволинейных ортогональных системах координат

§ 4.5. Метод базисных операторов построения операторных разностных

схем в трехмерном пространстве

4.5.1. Дифференциальные операторы

4.5.2. Разностные операторы

4.5.3. Согласованность разностных операторов

4.5.4. Дифференциально-разностная схема

4.5.5. Базисные операторы

4.5.6. Операторы в цилиндрической системе координат

§ 4.6.Базисные разностные схемы для неортогональных систем

4.6.1. Дифференциальные операторы

4.6.2. Дискретизация пространства

4.6.3. Операторы усреднения

4.6.4. Разностные операторы

4.6.5. Согласованность разностных операторов

4.6.6. Базисные операторы

4.6.7. Дифференциально-разностная схема гидродинамики

4.6.8. Разностная схема

4.6.9. Примеры расчета

ГЛАВА 5. БАЗИСНЫЙ РАЗНОСТНЫЙ МЕТОД ДЛЯ ОРТОГОНАЛЬНЫХ

СИСТЕМ НА ПОВЕРХНОСТИ

§ 5.1. Дифференциальные операторы

§ 5.2. Дискретизация пространства

§ 5.3. Дискретные операторы

§ 5.4. Базисные операторы

§ 5.5.Уравнения механики дискретной среды

ГЛАВА 6. ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ОСЕСИММЕТРИЧНЫХ

ПОТЕНЦИАЛЬНЫХ ТЕЧЕНИЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ

§ 6.1. Постановка задачи

§ 6.2. Дискретизация области и операторов

§ 6.3. Разностная схема

§ 6.4.Устойчивость схемы

§ 6.5. Вычислительная граница

§ 6.6. Модельная задача

§ 6.7. Заполнение полости

§ 6.8. Заполнение криволинейной полости

§ 6.9. Эволюция пузыря

§6.10. Заполнение шахты

ГЛАВА 7. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ

§ 7.1. Введение

§ 7.2. Преобразования дискретных операторов

§ 7.3. Дискретные операторы векторного анализа

§ 7.4. Сохранение симметрий

§ 7.5. Дискретная схема газовой динамики

§ 7.6. Законы сохранения дискретной схемы

§ 7.7. Задача о двух поршнях

§ 7.8. Заключение

ПРИЛОЖЕНИЕ

Исследование трехмерных нелинейных течений несжимаемой жидкости со свободной поверхностью в полостях/ краткое описание

комплекса программ ТОРЗ/

ЛИТЕРАТУРА

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Метод базисных операторов построения дискретных моделей сплошной среды»

Введение

Метод конечных разностей является одним из универсальных методов численного интегрирования уравнений математической физики. К настоящему времени разработано множество методов построения разностных схем. Одним из перспективных направлений в теории разностных схем является разработка и обоснование численных алгоритмов на основе принципа полной консервативности.

Появившиеся в рамках этого направления методы построения разностных схем: уравнений Лагранжа I рода, вариационно - разностный и опорных операторов - позволяют во многих случаях строить полностью консервативные разностные схемы. Но трудности построения таких схем в случае косоугольных сеток и криволинейных систем координат, многомерности пространства, необходимости учета различных механизмов превращения энергий, ограничивают применение этих методов.

В работе, для построения полностью консервативных разностных схем, предлагается метод базисных операторов, позволяющий записать дискретные (разностные) аппроксимации основных дифференциальных операций векторного и тензорного анализа в произвольных криволинейных системах координат в сеточном пространстве на косоугольной сетке в виде конечных формул. Эти аппроксимации, как для непрерывного, так и для дискретного времени, согласованы в рамках метода опорных операторов. Для построения полностью консервативных разностных схем предлагается квадратурно-аппроксимационный метод. Используя аппроксимации (опорные операторы) метода базисных операторов, дифференциально - разностная схема строится как следствие системы законов сохранения в квадратурной форме, которые кладутся в

основу численной модели. Построены классы разностных схем в криволинейных системах координат, аппроксимирующие уравнения механики сплошной среды. Исследованы групповые свойства дискретных моделей и их связь с законами сохранения. Эффективность построенных этим методом разностных схем подтверждается численными расчетами ряда задач гидродинамики.

При численном моделировании процессов сплошной среды на основе конечно - разностных методов одной из основных проблем является построение устойчивых разностных аппроксимаций математических моделей исследуемых процессов. В этой проблеме можно выделить задачу построения разностных аппроксимаций дифференциальных операторов векторного и тензорного анализа, которые наследуют основные свойства дифференциальных операторов, такие как самосопряженность, знакоопределенность, потенциальность,

диссипативность, инвариантность и др. На протяжении всего периода развития теории разностных схем этот круг вопросов постоянно привлекал внимание исследователей. Было предложено множество решений, подходов к построению разностных схем. На этом пути одним из первых явился метод непосредственной аппроксимации членов дифференциальных уравнений конечно - разностными соотношениями. При этом требовалось выполнить ставшие впоследствии классическими требования аппроксимации и устойчивости. При выполнении этих условий последовательность приближенных разностных решений на сгущающихся сетках сходится к решению аппроксимируемой системы линейных дифференциальных уравнений. Достижения первого этапа развития теории разностных схем обобщены в ряде монографий [15], [20].

В дальнейшем был сформулирован принцип однородности алгоритма численного моделирования (А. Н. Тихонов, А. А. Самарский [98], требующий, чтобы расчетные формулы алгоритма были

единообразны как во внутренних, так и в граничных точках сетки. Для регулярной прямоугольной сетки были получены разностные аналоги ортогональных разложений основных дифференциальных операторов и некоторых краевых задач математической физики (В.И. Лебедев [68]).

Развитие теории и практики разностных схем, потребность численного интегрирования нелинейных систем уравнений привело к осознанию того факта, что при построении схем, помимо требований аппроксимации и устойчивости, необходимо требовать на решениях схемы выполнения основных законов сохранения, аналогичных законам дифференциальной системы. Эти требования были сформулированы в форме принципов консервативности и полной консервативности разностных схем. Математические модели процессов протекающих в природе, основываются на физических законах управляющих этими процессами. В механике сплошной среды основными законами являются законы сохранения массы, импульса и энергии. Дифференциальная система уравнений является следствием математической записи законов сохранения в интегральной форме в определенном классе функций. В 1966 году А.Н.Тихонов и А.А.Самарский сформулировали принцип консервативности разностных схем [84], [99], который требует, чтобы на решениях разностной схемы выполнялись законы сохранения, аналогичные законам, представленными дифференциальными уравнениями. Ими же был предложен интегро-интерполяционный метод построения консервативных разностных схем и указан пример неконсервативной разностной схемы, имеющей второй порядок точности в классе достаточно гладких коэффициентов и расходящейся в классе разрывных коэффициентов [100].

Для построения консервативных разностных схем было предложено множество методов, таких как, например, метод аппроксимации дивергентной формы дифференциальных уравнений [70], [80], [82],

консервативные методы крупных частиц и потоков О.М.Белоцерковского, Ю.М.Давыдова и Л.И.Северинова [5], [6], метод распада разрыва С.К.Годунова [19], метод конечного объема [117] и др. Развитие этих методов основывалось на современном уровне развития математической физики и стимулировало появление новых математических результатов, отметим работы по определению всей совокупности законов сохранения, связанных с системами дифференциальных уравнений [34], [75], [97], [123].

В современной литературе огромный массив публикаций посвящен разностным схемам повышенной точности типа ТУТ) сквозного расчета разрывных решений гиперболических систем уравнений. В работе [76] показано, «что схемы типа ТУБ имеют не более чем первый порядок локальной сходимости в областях влияния нестационарных ударных волн и тем самым не являются по существу схемами повышенной точности. Такое снижение порядков сходимости свидетельствует о том, что в ТУБ схемах происходит потеря точности при передаче условий Гюгонио через размазанные фронты ударных волн».

Для однозначного определения решения дифференциальной системы уравнений необходимо задавать граничные условия, а при численных решениях этих уравнений граничные условия должны быть аппроксимированы с заданным порядком аппроксимации. Вопросы аппроксимации граничных условий исследуются в [15], [19], [20], [70], [80], [82], [83], [91]. Но, помимо однозначного определения решения в задачах механики сплошной среды, граничные условия задают режим изменения некоторых количеств решения на границах. Естественно желание сохранить в разностной схеме при аппроксимации граничных условий режим изменения разностных количеств.

Используется подход к конструированию разностных схем на основе требования адекватности [7] разностной схемы исходной

дифференциальной модели, т.е. разностная схема строится так, чтобы она допускала построение разностного аналога диссипативного интеграла энергии. Наличие такого аналога позволяет получить энергетическую оценку [80] устойчивости схемы, при наличии которой теорема существования достатачно гладкого решения доказывается стандартными рассуждениями [20]. Ясно, что реализовать такой подход в полной мере возможно лишь для линейных краевых задач.

Опыт практических расчетов задач гидродинамики на основе консервативных алгоритмов показал их эффективность. Моделирование течений несжимаемой жидкости в переменных Эйлера проводилось на основе дивергентной формы записи конвективных членов уравнения движения [83]. Анализ поведения полной энергии показывал, что за дисбаланс полной энергии ответственны аппроксимации конвективных членов (потоков). Впервые аппроксимации конвективных членов уравнения движения несжимаемой жидкости, не нарушающие баланса полной энергии, построены и исследованы О.А.Ладыженской и А.Кживицким [67], А.Аракавой [112]. В дальнейшем эти подходы широко использовались для построения теоретически обоснованных разностных схем [36], [95].

Расширение сферы приложения конечно-разностных методов потребовало обобщения принципа консервативности [103]. А.А.Самарский и Ю.П.Попов сформулировали принцип полной консервативности разностных схем [77], [91]. Схемы, удовлетворяющие этому принципу, называют полностью консервативными. Ими была построена полностью консервативная разностная схема одномерной газовой динамики в переменных Лагранжа и подтверждена ее эффективность. В дальнейшем в ряде работ, например, [72], [33], были построены другие варианты одномерных, полностью консервативных разностных схем газовой

динамики в переменных Лагранжа, а также двумерных [77], в переменных Эйлера, что доказывало богатство этого класса схем.

Принцип полной консервативности разностных (ПКРС) схем первоначально требовал выполнения, помимо основных законов сохранения массы, импульса и энергии, дополнительных балансов различных видов энергий разностной модели. Более широкое толкование принципа требует от разностной схемы выполнения ряда дополнительных требований помимо балансов различных видов энергий [24]. Для механики сплошной среды к ним относятся законы сохранения момента импульса, движения центра масс.

Принцип полной консервативности поставил актуальную в связи с запросами практики, проблему построения полностью консервативных разностных схем для многомерных моделей механики сплошной среды, различных сеток и систем координат. Построение ПКРС для одномерного случая [77], [91] выполнено методом непосредственной аппроксимации с выбором нужной интерполяции по времени правых частей разностных уравнений газовой динамики, содержащих производные по пространству. В [91] дано обобщение принципа полной консервативности разностных схем на случай двумерных уравнений газовой динамики в переменных Лагранжа и, на основе подбора пространственной интерполяции сеточных функций, построена симметричная, полностью консервативная разностная схема.

На первом этапе развития теории ПКРС механики сплошной среды расчетные схемы конструируются на основе непосредственной аппроксимации дифференциальных уравнений.

Второй этап развития теории ПКРС ознаменуется привлечением принципов математической физики. Для механики материальных точек это уравнения Лагранжа первого и второго рода, вариационные принципы Гамильтона, Якоби. Известно, что если лагранжиан системы материальных

точек не зависит явно от времени, то эта система соблюдает закон сохранения полной энергии. Для непрерывного времени дискретные уравнения, порожденные лагранжианом, описывают основные законы природы (однородность и изотропность пространства - времени), и в силу этого обладают основными механистическими законами присущими природе. Поэтому дифференциально-разностные схемы являются самостоятельными математическими моделями зачастую реальных физических явлений (пример стаи саранчи).

Коробицын, Либин (1975) [58] открыли этот этап развития теории разностных схем, применив уравнения Лагранжа первого рода для построения 2Б дискретных моделей идеальной несжимаемой жидкости. Были использованы дискретные условия несжимаемости, которые, в соответствии с известной концепцией А. Зоммерфельда, выбирались как идеальная голономная связь в виде постоянства площадей ячеек 2Т> подвижной сетки. Реакция этих связей аппроксимирует градиент давления grad. Моделировались и условия безвихревости - неголономные связи, назначение которых - компенсировать аппроксимиационный вихрь.

Эта идея компенсировать аппроксимиационный вихрь использовалась в [131] для доказательства пагубного влияния аппроксимационного вихря на нефизичное выворачивание 2П ячеек в газодинамических расчетах.

Дальнейшее развитие метода построения разностных схем несжимаемой жидкости на основе фундаментальных физических принципов механики материальных точек получило в работах школы Н.Н.Яненко (А.М.Франк [105]), применявших уравнения Лагранжа первого рода и другие вариационные принципы, и в работах А.А.Самарский, В.М.Головизнин, В.Ф.Тишкин, А.П.Фаворский и др. использовавших уравнения Лагранжа второго рода и вариационный принцип при построения полностью консервативных разностных схем

гидродинамики [27], [104]. Исходя из общего принципа наименьшего действия, приводящего к уравнению Лагранжа 2 рода, были построены дифференциально-разностные (дифференциальные по времени) и конечно-разностные модели гидродинамических, магнитогидродинамических и диффузионных процессов. Установлена связь вариационного метода с интегро-интерполяционным. Построены и показали свою эффективность полностью консервативные одно- и двумерные разностные схемы в декартовых, цилиндрических, сферических координатах [104], [101]. Для перехода от дифференциально-разностной схемы к разностной была разработана техника дискретизации времени [91], [104], в дальнейшем эта техника развивалась в [40], [12], [105] и др. В [13] вариационно-разностная схема получается сразу, минуя дифференциально-разностный этап, проводя варьирование дискретного функционала с учетом дискретности времени.

Следующие из алгоритма построения дифференциально-разностных схем методом уравнений Лагранжа первого рода дифференциально -разностные операторы DIV, GRAD- аналоги дифференциальных операторов div, grad, согласованы на основе формулы суммирования по частям. Такая согласованность является конструктивной основой для устойчивости разностных схем [2], [88]. Исследованию сходимости разностных схем на обобщенных решениях для эллиптических уравнений посвящены монографии [89], [115], в которых установлены оценки точности разностных схем, согласованные с гладкостью решения.

В [22], [61] вариационный метод применен к построению схем расчета магнитогидродинамических процессов в произвольной неортогональной системе координат. Вариационно-разностные полностью консервативные схемы существенно зависят от вида выражения для объема ячейки. В [16], [21], [111] рассмотрены требования к формулам, определяющим объем ячейки, и отмечена их групповая трактовка.

Установлена связь инвариантных свойств выражения объема ячейки с законами сохранения: инвариантность объема относительно групп преобразований (сдвиг по времени, пространству, вращений), необходимое условие для выполнения законов сохранения (энергии, импульса, момента импульса) [21].

В вариационном методе построения полностью консервативных разностных схем дифференциально-разностные уравнения движения являются следствием дифференциально-разностных условий Эйлера-Лагранжа экстремальности вариационного функционала и принимают вид уравнений Лагранжа II рода. В [42], [58] предложен метод построения дифференциально-разностных схем несжимаемой жидкости как уравнений Лагранжа I рода, позволяющий учитывать в схеме различные ограничения в форме голономных и неголономных связей. На основе этого метода были проведены расчеты ряда течений ограниченного объема идеальной несжимаемой жидкости со свободной поверхностью в 2В-ЗБ областях с криволинейными границами [50], [57]. В дальнейшем этод метод построения полностью консервативных разностных схем был использован и развивался в [113], [105].

В [112], [58] отмечается важность выполнения закона сохранения вихря скорости на численных решениях задач идеальной жидкости. В [112] предложены некоторые виды аппроксимаций на квадратной сетке членов переноса вихря, которые не дают вклада в баланс энергии и энстропии, воспроизводя свойства исходных уравнений при однородных граничных условиях. В [58] для сохранения вихря на неортогональной косоугольной сетке дискретный закон сохранения вихря закладывался в дифференциально-разностную схему интегрирования уравнений несжимаемой жидкости в переменных Лагранжа. В [10], [59], [60] этот подход был использован при построении разностной схемы вязкой несжимаемой жидкости. В дальнейшем, это требование было обобщено в

виде необходимости выполнения баланса энстропии. Схемы удовлетворяющие этому требованию назвали энстропийно нейтральными. Схемы, у которых аппроксимация членов переноса (конвективных членов) не дает вклада в баланс энергии, называют энергетически нейтральными, а схемы энергетически и энстропийно нейтральные называют полностью нейтральными [4], [71], [81].

Вариационный метод построения полностью консервативных разностных схем позволяет строить схемы математических моделей, для которых выполняется вариационный принцип, это, в основном, обратимые процессы. Для диссипативных процессов встает задача аппроксимации членов уравнений, описывающих эти процессы с сохранением свойства полной консервативности. На регулярных ортогональных сетках такая проблема в основном решена [68], [65]. Сложнее обстоит дело в случае косоугольных сеток. Для решения этой задачи А.А.Самарский, В.Ф.Тишкин, А.П.Фаворский и М.Ю.Шашков [92], [94] предложили метод опорных операторов, который формулирует требования и позволяет строить разностные операторы векторного и тензорного анализа, удовлетворяющие на сетке квадратурным тождествам, являющимися аналогами соответсвующих интегральных соотношений - следствиями формулы Гаусса-Остроградского. Метод позволяет строить такую систему опорных операторов, исходя из определяющего оператора, который аппроксимируется непосредственно. Опорные операторы строятся путем последовательного разрешения рекуррентных соотношений, являющихся квадратурными уравнениями относительно опорных операторов. Недостатком этой процедуры является ее привязанность к определяющему оператору. Изменение определяющего оператора (шаблон и коэффициенты) приводит к необходимости повторить процедуру построения разностных операций. С целью уменьшения этого недостатка в [32] предложено автоматизировать, с помощью ЭВМ, процесс построения

опорных операторов и программирование операторных разностных схем. В [38] решается вопрос построения опорных операторов на сетках, состоящих из центров ячеек и их ребер. Исходя из принципа максимума для разностного оператора Лапласа, получены ограничения на деформацию (косоугольность) сетки. В [39] сформулированы достаточные условия сходимости обобщенных решений разностных схем для уравнения Пуассона в плоском случае, которые имеют вид связей между метрическим оператором и геометрическими характеристиками сетки.

В [3] сформулирована общая схема метода опорных операторов в пространствах тензор - функций произвольного ранга, основанная на формулах суммирования по частям. Возможности такой схемы показаны на примере построения явных формул для сеточных аналогов основных дифференциальных операторов в цилиндрической системе координат и на произвольной сетке из треугольных ячеек.

Таким образом, из рассмотренных методов построения полностью консервативных разностных схем предпочтение следует отдать методу опорных операторов, который математически описывает класс полностью консервативных разностных схем посредством задания квадратурных соотношений, связывающих разностные операторы векторного и тензорного анализа (неявное описание). С целью развития метода встает задача явного описания разностных операторов, для которых квадратурные соотношения метода опорных операторов являются следствием.

Помимо выполнения законов сохранения, разностные схемы должны воспроизводить симметрийные свойства течений среды [19]. Воспроизведение математическими моделями симметрийных особенностей течений связано с инвариантными свойствами уравнений, граничных и начальных условий. Инвариантность дифференциальных уравнений относительно некоторых точечных групп преобразований

напрямую связана с наличием у этих уравнений законов сохранения. Для дифференциальных уравнений существует развитый аппарат группового анализа Ли - Овсянникова [34], [75], который позволяет исследовать симметрийные свойства дифференциальных уравнений. Как отмечается в [110], переход к разностной схеме затрудняет групповой анализ. Эти затруднения порождаются не инвариантностью как сеточной области, так и не инвариантностью решений схем на таких сетках, что проявляется в методических и практических расчетах. При рассмотрении преобразований разностных схем появляется дополнительный объект преобразования -разностная сетка. При этом, если прямоугольная сетка с равномерным шагом при сдвигах, пропорциональных этому шагу, переходит в саму себя, что и дает возможность в численных решениях сохранить симметрию плоских течений, то при вращениях такой инвариантности у этой сетки нет. Такая не инвариантность сетки вносит определенные погрешности в расчет особенностей решения, которые геометрически расположены под углом к линиям сетки. Один из путей учета этих особенностей - выбор соответствующей системы координат.

Другой путь, не отрицающий отмеченный, в рамках выбранной системы координат и связанной с ней сеткой,- построение разностных схем, наилучшим образом воспроизводящих в численном расчете особенности решения. На этом направлении исследования появляются различные подходы к определению и построению инвариантных разностных схем [102], [109], [110], среди которых наиболее разработанным является метод дифференциального приближения. В этом методе групповому анализу подвергается не разностная схема, а ее соответствующее дифференциальное приближение. Построены инвариантные, в смысле первого дифференциального приближения, разностные схемы газовой динамики, установлена связь полной

консервативности разностных схем со свойствами их дифференциальных приближений [110].

Инвариантность дифференциальных уравнений относительно некоторых групп преобразований является отражением таких фундаментальных свойств природы, как законы сохранения соответствующих количеств. Математически эта связь была установлена Э.Нетер [119] для уравнений допускающих вариационную формулировку. Инвариантность вариационного функционала относительно группы преобразований является достаточным условием выполнения для этих уравнений закона сохранения. Дискретные модели сплошной среды, у которых время - непрерывная переменная, для большей адекватности, должны воспроизводить симметрийные свойства исходных моделей. Дифференциально - разностные схемы гидродинамики в переменных Лагранжа описывают поведение системы дискретных частиц со связями [5], [58], [104], [105], и в этом смысле являются дифференциальными моделями.

Вариационная трактовка дифференциально - разностных схем позволила надеяться на соответствие между группой преобразований и законом сохранения схемы [87]. Групповой анализ дифференциальных уравнений, описывающих поведение системы дискретных частиц в неограниченном пространстве, был проведен в [1]. Дифференциально-разностные схемы описывают поведение дискретных частиц (узлов) в ограниченной части пространства.

Для некоторых задач гидродинамики оправдано применение потенциальной модели жидкости. Л.В. Овсянников установил единственность решения линеаризованной задачи о нестационарном движении жидкости со свободной границей и разрешимость для малого интервала времени задачи о всплывании газового пузыря [73], [74]. Моделирование нестационарных течений жидкости на основе

потенциальной модели широко используется в вычислительной практике. Отметим спектральные методы, основанные на разложении по собственным функциям потенциала и формы свободной поверхности [114], [118], методы граничных интегральных уравнений [41], вариационные [10], конечных элементов [96], граничных элементов [14], конечных разностей [6], [19], [70], [80], [82], [107], [120] ,[121].

Открытое академиком Р.И.Нигматулиным с соавторами явление ядерного излучения при акустической кавитации - выхода нейтронов и ядер трития при акустическом возбуждении кластера паровых пузырьков в дейтерированном ацетоне подняло интерес к моделированию поведения газовых пузырей в жидкости. Эволюция газовых пузырей в жидкости связана с процессами изменения их формы и объема, дробления и слияния пузырей, изменения связности.

Наиболее полно как аналитическими методами, так и численными, исследованы процессы изменения формы и объема пузырей, в том числе вблизи свободной поверхности [29] [121], [127]. Вопросы же дробления и слияния пузырей, изменения их связности, многосвязные течения, почти не исследованы. Это объясняется нелинейностью математической модели этих процессов, отсутствием адекватной математической и численной модели процессов дробления, слияния и изменения связности пузырей, многосвязных течений, геометрических трудностей при численном моделировании этих процессов. В диссертации предложен алгоритм моделирования смены связности пузыря [55]. Численно исследована эволюция первоначально односвязного пузыря в тяжелой несжимаемой жидкости под свободной поверхностью в процессе превращения сферического пузыря в торообразный многосвязный, взаимодействие кумулятивной струйки с границами многосвязного пузыря, а также воздействие кумулятивной струи на свободную поверхность и образование султана.

Этот процесс описывается классом разрывных потенциальных решений уравнения Лапласа. Разрывы потенциала возникают при слиянии двух разных частей поверхности пузыря с отличными распределениями потенциала. Математически это описывает формула Стокса с ненулевой циркуляцией по неодносвязному контуру, охватывающему пузырь. Интеграл от вихря скорости, по поверхности натянутом на этот контур, не нулевой. Приводятся результаты численного расчета эволюции пузыря, всплывающего к свободной поверхности.

Целью работы является математическое моделирование на основе эффективных вычислительных методов, по заказу промышленности, идеальных гидродинамических течений со свободными поверхностями в областях (сектор тора) сложной формы, нестационарных вязких ползущих течений и течений с газовыми пузырями, с упором на создание численных методов расчета на основе физических законов сохранения сплошных сред и комплекса программ.

1. Разработка, обоснование и тестирование эффективных вычислительных методов: формализованного метода базисных операторов построения разностных аппроксимаций основных дифференциальных операторов дискретного векторного и тензорного анализа для различных криволинейных, как ортогональных, так и неортогональных систем координат на неортогональных косоугольных сетках. Эти аппроксимации должны быть согласованы с помощью квадратурных соотношений метода опорных операторов (быть опорными операторами), и представлены в виде простых явных формул. Принцип формализации построений дискретного тензорного анализа необходим в силу огромного разнообразия таких элементов дискретного анализа как сетки и сеточные пространства функций, порядки аппроксимации и аппроксимационные конструкции дискретных производных, операторы сеточного проектирования, способы

аппроксимации граничных условий, а также необходимость соблюдения симметрий у дискретных переменных и функций. Определяя сетку как множество узлов, определенным образом структурированное, вводим двойственную сетку, которая может состоять из тех же узлов, или дополнительных узлов, или ячеек, образованных узлами и т.д. От пары сеток требуется, чтобы они были согласованы аппроксимационными шаблонами (множество узлов, значения функций которых являются областью определения дискретных операторов со значением в ячейке, и наоборот).

2. Используя базисные операторы, предложить квадратурно-аппроксимационный метод, который дифференциально - разностную схему строит как следствие системы законов сохранения в квадратурной форме. Метод должен работать при любом описании: лагранжевом, эйлеровом и смешанном.

3. Исследовать теоретико - групповой аспект дифференциально-разностных схем и законов сохранения этих схем, обобщить теорему Нетер на класс дифференциально- разностных схем, допускающих вариационную трактовку.

4. Построить и обосновать эффективные дифференциально-разностные и разностные схемы гидродинамики, у которых выполнены все законы сохранения, присущие непрерывному случаю.

5. Численными расчетами подтвердить эффективность построенных, полностью консервативных дифференциально- разностных и разностных схем газовой динамики и динамики несжимаемой вязкой жидкости.

6. Для областей, криволинейные границы которых координатные линии, разработать метод «преобразования разностных схем (при преобразовании координат) хорошо зарекомендовавших себя в декартовой системе координат» [110].

7. Численное моделирование на основе метода базисных операторов гидродинамических процессов в областях с криволинейными границами: течений несжимаемой жидкости в областях сложной формы, заполнения осесимметричной полости и динамики газовых пузырей в интересах промышленности.

Работа состоит из введения, семи глав, заключения, списка литературы, содержащего 131 наименование. Изложена работа на 280 страницах машинописного текста, содержит одну таблицу и иллюстрации.

Приведем краткое изложение по главам.

В первой главе приводятся сведения справочного характера из векторного и тензорного анализа и сведения о математических моделях сплошной среды и их свойствах.

Для механики сплошной среды основными законами являются законы сохранения массы, импульса и энергии. Дифференциальная система уравнений является следствием математической записи законов сохранения в интегральной форме в определенном классе функций, поэтому каждое дифференциальное уравнение математической модели описывает локальное изменение (сохранение) некоторого количества среды. Помимо этих законов, связанных с каждым уравнением дифференциальной системы, следствием всей системы дифференциальных уравнений являются законы сохранения момента импульса и движения центра масс, а также законы сохранения (балансы) различных видов энергий, присущих моделируемому процессу.

Эти свойства системы дифференциальных уравнений механики сплошной среды формально основываются на формуле дифференцирования произведения двух функций и ее следствии: формуле интегрирования по частям по многомерной области. Из формул

интегрирования по частям вытекают формулы Гаусса - Остроградского, Стокса, связывающие дифференциальные операторы векторного и тензорного анализа. Такие важные свойства операторов, как сопряженность, самосопряженность, знакоопределенность, легко устанавливаются на основе таких интегральных формул.

Естественно поэтому при построении полностью консервативных разностных схем основываться на разностных аналогах формул дифференцирования произведения функций и интегрирования по частям. Но построение разностных аналогов формул дифференцирования произведения на неортогональных косоугольных сетках не простая задача. Поэтому за основу построения дискретных операторов тензорного анализа автор берет формулы суммирования по частям.

Во второй главе закладываются основы метода базисных операторов, как эффективного метода конструирования полностью консервативных разностных схем для областей с криволинейными границами. Строятся согласованные разностные аппроксимации (произвольного порядка) производных на сетке узлов и ячеек. В качестве условия согласования берется формула суммирования по частям. Установлено, что согласованные разностные операторы векторного и тензорного анализа (опорные операторы) на косоугольных неортогональных сетках для любого порядка аппроксимации можно построить, не конкретизируя вид определяющего оператора, по формализованным правилам, аналогичным формулам, определяющим вид аппроксимируемых дифференциальных операторов. Получение этих формализованных правил базируется на формальном согласовании операторов разностных производных по переменным х, у в виде формулы суммирования по частям на косоугольной сетке. При конкретизации вида определяющего оператора согласованность операторов разностных производных на косоугольной сетке оказывается следствием формулы суммирования по частям для

разностных производных на регулярной ортогональной сетке. Последняя сетка связана с регулярной косоугольной сеткой некоторым невырожденным преобразованием с сохранением топологической структуры узлов.

Показана инвариантность построенных разностных аппроксимаций относительно группы преобразований Галилея.

Предложен квадратурно- аппроксимационный метод построения полностью консервативных схем, использующий согласованные опорные операторы. Система дифференциально - разностных уравнений строится, как следствие системы законов сохранения в квадратурной форме при любом описании: лагранжевом, эйлеровом и смешанном. Для систем прямоугольных координат дифференциально- разностные схемы газовой динамики и несжимаемой жидкости улучшают, как правило, схемы построенные методами: интегро - интерполяционным, вариационно -разностным, опорных операторов, для 2Б-ЗБ областей с криволинейными границами построены новые классы эффективных, полностью консервативных разностных схем.

Проверяется выполнение законов сохранения у схем. Установлено, что у дифференциально- разностных и разностных схем газовой динамики выполняются те же законы сохранения, что и в непрерывном случае, за исключением, в разностном случае, закона сохранения энтропии. Полностью консервативные разностные схемы газовой динамики, у которых выполняются дополнительные законы сохранения, названы термодинамически согласованными. Численные решения модельной задачи о вдвигании поршня в идеальный газ подтвердили эффективность термодинамически согласованных разностных схем, причем удалось существенно уменьшить эффект энтропийного следа в численном решении и на 5% увеличить точность расчета ударной волны по сравнению со схемами [77], [47].

Построены двумерные и трехмерные разностные схемы несжимаемой жидкости для расчета течений со свободными поверхностями в лагранжевых переменных. Обосновывается аппроксимация массовых сил, имеющих потенциал, и аппроксимация граничных условий. Проведены расчеты, подтверждающие эффективность построенных схем, и получены численные решения о движении идеальной и вязкой жидкости в областях с криволинейными границами.

В третьей главе рассмотрены вопросы о теоретико- групповой природе законов сохранения дифференциально- разностных схем, допускающих вариационную постановку. «Переход к разностной схеме затрудняет групповой анализ» [110]. Многих затруднений группового анализа разностных схем удается преодолеть, рассматривая координаты каждой точки дискретного пространства как независимые функции времени из многообразия решений дифференциально - разностной схемы (лагранжевы переменные). Однородная схема, как объект группового анализа, в силу конечности шаблона связывает ограниченное количество преобразуемых функций. При этом упрощается продолжение преобразований на разностные производные. Такой подход позволяет проводить групповой анализ дифференциально - разностных схем, причем, в большинстве случаев, группы преобразований относительно которых схема должна быть инвариантна, известны. Так, для уравнений механики сплошной среды это - преобразования группы Галилея. Инфинитезимальный критерий инвариантности имеет простой вид и легко применяется на практике. А обобщение теоремы Нетер на случай дискретных моделей позволяет легко устанавливать выполнение схемой законов сохранения и их форму.

В четвертой главе метод базисных операторов обобщается на случай ортогональных, криволинейных координат. Метод базисных операторов развивает метод опорных операторов на случай произвольных систем

криволинейных координат. Строится формализованная система разностных операций векторного и тензорного анализа произвольного порядка аппроксимации для произвольной ортогональной криволинейной системы координат при наличии плоской, осевой симметрии, а также для трехмерного случая. Эта система разностных операций базируется на согласованных, посредством формулы суммирования по частям, разностных производных по криволинейным координатам и формулах усреднения (операторы проектирования) сеточных функций.

Построены ПКРС - дифференциально - разностные и разностные схемы, аппроксимирующие нестационарные уравнения механики сплошной среды для плоских, осесимметричных и трехмерных течений сплошной среды в произвольной, как ортогональной, так и неортогональной системах координат, являющиеся полностью консервативными. Численными расчетами течений несжимаемой жидкости со свободной поверхностью в полостях с криволинейными границами подтверждена работоспособность и эффективность разностных схем.

В пятой главе метод базисных операторов конструирования ПКРС обобщается на случай неевклидовых пространств. Строится формализованная система разностных операций векторного и тензорного анализа произвольного порядка аппроксимации для произвольной криволинейной системы координат. Эта система разностных операций базируется на согласованных, посредством формулы суммирования по частям, разностных производных по криволинейным координатам и формулах усреднения (операторы проектирования) сеточных функций. Построен класс полностью консервативных дифференциально-разностных схем, аппроксимирующих нестационарные уравнения механики сплошной среды в произвольной ортогональной системе координат на неевклидовой поверхности.

В шестой главе проводится численное моделирование течений несжимаемой жидкости с газовыми пузырями на основе потенциальной модели. Движение твердых тел в жидкости определяется сложным взаимодействием тел, жидкости и газовых полостей. За счет эволюции газовых пузырей существенно меняется область контакта тел и жидкости. Численное моделирование этого взаимодействия наталкивается на трудности, порожденные нестационарным, нелинейным взаимодействием, сложной геометрической картиной изменяющихся границ, на которых должны выполняться граничные условия, изменением связности области решения. Слиянием и разрывами потенциала на поверхности пузырей и их дроблением. Задача решается в осесимметричной постановке. Жидкость считается безвихревой, несжимаемой и невязкой, основное влияние на изучаемое взаимодействие оказывают силы инерции и давления газа. Молекулярными эффектами пренебрегаем.

Используемый метод принадлежит к классу конечно-разностных методов, применяемых в расчетах нестационарных течений жидкости. Цель - построить эффективный алгоритм расчета потенциальных течений идеальной несжимаемой жидкости со свободной поверхностью на основе однородной разностной схемы, для которой выполняются разностные законы сохранения массы, импульса, энергии, и иллюстрации эффективности алгоритма на ряде задач. Течение в неограниченной области моделируется на сетках с конечным числом узлов, в силу чего появляются вычислительные граничные условия на разностных границах, моделирующих бесконечность. Граничные условия на "разностной бесконечности" следуют из закона сохранения энергии. Приводятся результаты численного моделирования эволюции газовых пузырей в жидкости.

Седьмая глава расширяет возможности дискретного анализа, создавая формализованную процедуру конструирования дискретных

операторов векторного и тензорного анализа посредством преобразования дискретных аппроксимаций в декартовой системе координат в произвольную криволинейную систему. Дискретные операторы тензорного анализа на плоскости строятся на основе метода базисных операторов. Установлено, что алгоритм преобразования дискретных операторов сохраняет симметрии решений относительно координатных кривых, присущие дифференциальной системе уравнений, и сохраняет согласованность дискретных операторов, что позволяет конструировать эффективные дифференциально-разностные схемы с граничными условиями для дискретных областей с криволинейными границами, избегая тем самым нежелательных дисбалансов в дискретных законах сохранения.

Полученные результаты применяются для конструирования дифференциально - разностных схем газовой динамики в переменных Лагранжа (ДРС ЛГД) для произвольных ортогональных систем координат в плоском и осесимметричном пространствах. Установлена возможность сохранения симметрии решений относительно координатных кривых. Если твердая граница - координатная кривая, это позволяет, путем достроения фиктивных ячеек за криволинейной стенкой, реализовать граничное условие непротекания однородным алгоритмом. Для этой схемы выполняются все законы сохранения, включая дополнительные, присущие непрерывному случаю. Проводя вычисления в декартовых координатах мы избавляемся от необходимости аппроксимировать координатные орты разделения координатных направлений. Ценность таких преобразований разностных схем, для численного анализа задач механики сплошной среды, состоит в возможности сквозного расчета в декартовых координатах течений в областях со сложными криволинейными границами. Постановка и реализация граничных условий осуществляется в локальных системах координат с преобразованием в декартову систему.

Приводится численное решение задачи о двух поршнях вдвигаемых в газ, занимающий пространство первого квадранта.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Коробицын, Владимир Анатольевич

§ 7.8. Заключение.

Преобразовав к криволинейной системе координат согласованные дискретные аппроксимации первых производных в декартовых координатах, получена полностью консервативная дифференциально-разностная схема лагранжевой газовой динамики в криволинейных координатах, как точный образ дифференциально-разностной схемы лагранжевой газовой динамики в декартовых координатах. Случай ортогональных преобразования дифференциально-разностных схем является частным случаем рассмотренных в главе преобразований.

Установлена возможность сохранения дифференциально-разностной схемой ЛТД естественных криволинейных физических симметрий, присущих криволинейным системам координат, в том числе граничных, при численном моделировании течений сплошной среды в декартовых координатах.

Проведены расчеты газодинамических течений газовой среды возникающих от двух перпендикулярных поршней вдвигаемых в газ с постоянной скоростью, для декартовой и полярной систем координат.

Исследованные в главе преобразования дифференциально-разностных схем возможно обобщить на разностные схемы. При этом преобразованные схемы будут наследовать как положительные, так и отрицательные качества "материнской" схемы.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Коробицын, Владимир Анатольевич, 2012 год

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Айзерман М.А. Классическая механика.-М.: Наука. 1974. 367с.

2. Ар делян Н.И. Об устойчивости разностных схем для многомерных уравнений акустики // Вестник МГУ. Сер.15. Вычисл. матем. и кибернетика - 1979, №2.- С.65-69.

3. Ар делян Н.И. Гущин Н.С. Об одном подходе к построению полностью консервативных разностных схем // Вестник МГУ. Сер. 15. Вычисл. матем. и кибернетика - 1982, №3.-С.3-10.

4. Бакирова М.И. Старшинова И.В. Фрязинов И.В. Консервативная монотонная разностная схема для уравнений Навье-Стокса // Дифференциальные уравнения.-1982.-Т. 18,№7.-С. 1144-1150.

5. Белоцерковский О.М., Давыдов Ю.М. Метод крупных частиц в газовой динамике. Вычислительный эксперимент - М.: Наука. 1982.392 с.

6. Белоцерковский О.М., Северинов Л.И. Консервативный метод потоков и расчет обтекания тела конечных размеров вязким теплопроводным газом // Ж. вычисл. матем. и матем.физ.-1973.-Т. 12, №2.-С.385-397.

7. Блохин A.M. Применение разностных аналогов диссипативных интегралов энергии для исследования устойчивости разностных схем //

В кн. Вычислительные проблемы в задачах математической физики. Новосибирск: Наука.- 1988.-С.67-93.

8. Богоряд И.Б., Дружинин И.А., Чахлов C.B. Исследование переходных процессов при больших возмущениях свободной поверхности жидкости в замкнутом отсеке // В кн. Динамика космических аппаратов и исследование космического пространства. М.: Машиностроение, 1986-С. 194-203.

9. Богоряд И.Б., Дружинин И.А., Дружинина Г.З., Либин Э.Е. Введение в динамику сосудов с жидкостью.- Томск: Изд-во Томск, ун-та.- 1977.144 с.

10. Богоряд И.Б., Дружинина Г.З. О колебаниях вязкой жидкости в прямоугольном сосуде // В кн. Динамика упругих и твердых тел взаимодействующих с жидкостью. Томск: Изд-во Томск, ун-та, 1975. С. 32-39.

11. Бойко А.Я. Построение полностью консервативных разностных схем магнитной гидродинамики в смешанных эйлерово-лагранжевых переменных с помощью проекционного метода // Дифференциальные уравнения.-1988.-Т.24, №7.-С. 1138-1149.

12. Бондаренко Ю.А. Применение вариационных принципов механики для построения дискретных по времени разностных моделей газодинамики. 1. Описание метода на простейших примерах // Вопросы

атомной науки и техники, сер. Методики и программы числ.решения задач матем.физ.-М.: 1985. вып. 2.-С.68-85.

13. Бондаренко Ю.А. Консервативное расщепление уравнения энергии в разностных схемах типа "крест" для лагранжевой газодинамики // Ж.вычисл.матем.и матем. физ.- 1997.-Т.37, №8.-0. 1020-1023.

14. Бреббия К., Телес Ж., Вроубел Л. Метод граничных элементов - М.: Мир, 1987.-524 с.

15. Вазов В.Р., Форсайт Дж. Разностные методы для уравнений в частных производных.-М.: ИЛ, 1963.

16. Вариационно-разностные схемы для задач трехмерной газовой динамики в лагранжевых переменных // Волкова P.A., Иванов A.A., Михайлова Н.В. и др.- М.: ИПМатем АН СССР, 1982. Препринт №112 .29 с.

17. Введение в механику сплошных сред.-Под ред. Черных К.Ф. Ленинград: Изд-во Ленингр. ун-та, 1984.-280 с.

18. ГасиловВ.А., Головизнин В.М., Таран М.Д. О численном моделировании релей-тейлоровской неустойчивости в несжимаемой жидкости,- Препринт №70. М.: ИПМатем АН СССР. 1979.

19. Годунов С.К., Забродин A.B. Иванов М.Я. и др. Численное решение многомерных задач газовой динамики.-М.: Наука, 1976.—400 с.

20. Годунов С.К., Рябенький B.C. Введение в теорию разностных схем-М.: Физматгиз, 1962.

21. Головизнин В.М. Вариационно-разностные модели сплошной среды в газовой динамике и магнитной гидродинамике: Автореферат дис. д-ра ф.-м. наук.-М.: 1985.

22. Головизнин В.М., Коршия Т.К., Самарский A.A., Тишкин В.Ф., Фаворский А.П. Вариационные схемы магнитной гидродинамики в произвольной системе координат // Ж.вычисл.матем.и матем. физ.-1981.-Т.21, №1.-С. 54-68.

23. Головизнин В.М., Коршунов В.К., Таран М.Д. Об аппроксимации дифференциальных операторов на нерегулярных косоугольных сетках-Препринт №157. М.: ИПМатем АН СССР, 1980.-33 с.

24. Головизнин В.М., Коршунов В.К., Самарский A.A. Двумерные разностные схемы магнитной гидродинамики на треугольных лагранжевых сетках // Ж. вычисл. матем. и матем. физ.-1982.-Т. 22, №4.-С. 926-942.

25. Головизнин В.М., Рязанов М.А. Сороковникова О.С. Полностью консервативные дифференциально- разностные схемы газовой динамики в смешанных эйлерово-лагранжевых переменных - Препринт №19. М.: ИПМатем АН СССР, 1982.

26. Головизнин В.М., Рязанов М.А. Сороковникова О.С.Об одном классе полностью консервативных разностных схем магнитной гидродинамики в смешанных эйлерово-лагранжевых переменных // Ж. вычисл. матем. и матем. физ.-1984- Т. 24, №4.- С. 520-533.

27. Головизнин В.М., Самарский A.A., Фаворский А.П. Вариационный подход к построению конечноразностных математических моделей в гидродинамике // ДАН СССР,- 1977.- Т.235, № 6.-С. 1285-1288.

28. Гонткевич B.C., Хатунцев В.И. Линейные колебания вязкой жидкости в сосудах // Прикл. механ.- 1970.-Т.6,Вып.6 - С.84-91.

29. Гудов A.M. Численное исследование явлений на поверхности воды при схлопывании газовой полости. // Вычислительные технологии. ИВТ СО РАН. Т 1997.- Т2. №4. С. 49-59.

30. Годунов С.К., Роменский Е.И. Элементы механики сплошных сред и законы сохранения - М.: Научная книга, 1998,- 280 с.

31. Демин A.B., Коробицын В.А., Мазуренко А.И., Хе А.И. О расчете на двумерных лагранжевых сетках течений вязкой несжимаемой жидкости со свободной поверхностью // Журнал вычисл. матем. и матем. физ-1988.-Т.28, № 11.-С. 1719-1729.

32. Ефимов Г.Б., Тишкин В.Ф., Шашков'М.Ю., Щенков И.Б. Автоматизация программирования операторных разностных схем.-Препринт № 20,- М.: ИПМатем АН СССР, 1982.

33. Жаровцев B.B. Об одной полностью консервативной разностной схеме для газодинамических уравнений // Ж. вычисл. матем. и матем. физ-1977.-Т.17, № 5.-С.1320 - 1324.

34. ИбрагимовН.Х. Группы преобразований в математической физике-М.: Наука, 1983.-280 с.

35. Кнэпп Р., Дейли Дж., Хэммит Ф. Кавитация-М.: Мир, 1974 - 688 с.

36. Кобельков Г.М. О методах решений уравнений Навье-Стокса // ДАН СССР.-1978.-Т.243, № 4.-С.843-846.

37. Ковеня В. М., Яненко Н. Н. Метод расщепления в задачах газовой динамики.-Новосибирск: Наука, 1980.-304 с.

38. КолдобаА.В., Повещенко Ю.А., Попов Ю.П. Об аппроксимации дифференциальных операторов на неортогональных сетках // Дифференциальные уравнения.-1983.-Т.19, № 7.-С. 1235-1245.

39. Колдоба A.B., Кузнецов О.Ф., Повещенко Ю.А. Исследование сходимости разностных схем метода опорных операторов для уравнения Пуассона на обобщенных решениях.- Препринт № 125.- М.: ИПМатем АН СССР, 1989.-29 с.

40. Колдоба A.B., Кузнецов О.Ф., Повещенко Ю.А.,Попов Ю.П. Ободном подходе к расчету задач газовой динамики с переменной массой квазичастицы.- Препринт № 57 - М.: ИПМатем АН СССР, 1985.

41. Константинов Г.А., Якимов Ю.Л. Численный метод решения нестационарных осесимметричных задач гидродинамики идеальной жидкости со свободными поверхностями // Изв .АН СССР, МЖГ- 1969, №4,-С. 162-165.

42. Коробицын В.А. Об одном алгоритме решения нестационарных задач несжимаемой жидкости со свободной поверхностью // В кн. Материалы научно-практической конференции "Молодые ученые и специалисты Томской области в девятой пятилетке".- Томск: Изд-во Томск, ун-та, 1975.-С. 87-90.

43. Коробицын В.А. Квадратурно-апроксимационный подход к построению разностных схем динамики несжимаемой вязкой жидкости в переменных Эйлера // В кн. Динамика упругих и твердых тел взаимодействующих с жидкостью.-Томск: Изд-во Томск, ун-та, 1984-С.57-63.

44. Коробицын В.А. Законы сохранения в дискретных моделях сплошной среды // Численные методы механики сплошной среды,- Новосибирск: ВЦ и ИТПМ СО АН СССР, 1986.-Т.17, № 4.- С.77-101.

45. Коробицын В.А. Метод согласованных разностных операторов в цилиндрической системе координат- М., 1988- Деп. в ВИНИТИ 22.03.88, №2204-В88.

46. Коробицын В.А. Разностные операторы в криволинейной ортогональной системе координат. Случай плоской симметрии // Математическое моделирование.-1989.-Т.1, № 5- С.126-138.

47. Коробицын В.А. Термодинамически согласованные разностные схемы // Журнал вычисл. матем. и матем. физ.- 1989.-Т.29, № 2 - С.309-312.

48. Коробицын В.А. Инвариантные вариационно-разностные схемы и законы сохранения // Журнал вычисл. матем. и матем. физ.-1989.-Т.29, №7.-С. 1067-1078.

49. Коробицын В.А. Осесимметричные разностные операторы в ортогональной системе координат // Журнал вычисл. матем. и матем. физ.- 1989.-Т.29, № 11.- С. 1621-1633.

50. Коробицын В.А. Законы сохранения инвариантных дифференциально- разностных схем // Математическое моделирование.- 1989.-Т.1, № 8.-С.110-115.

51. Коробицын В.А. Метод базисных операторов построения разностных схем // Математическое моделирование.-!990.-Т.2, № 5. С. 131-148.

52. Коробицын В.А. Метод базисных операторов построения разностных схем в криволинейной ортогональной системе координат // Математическое моделирование.-1990.-Т.2, №6- С. 110-117.

53. Коробицын В. А. Полностью консервативные осесимметричные разностные схемы в криволинейных ортогональных системах координат // Журнал вычисл. матем. и матем. физ- 1992 - Т.32, № 5 - С.810-815

54. Коробицын В.А. Метод базисных операторов построения разностных схем в неортогональных системах координат на плоскости // Математическое моделирование.-1991.-Т.З, №10 - С.-31-41.

55. Коробицын В.А. Численное моделирование осесимметричных потенциальных течений несжимаемой жидкости // Математическое моделирование.-1991.-Т.З, №10 .-С.42^9

56. Коробицын В.А. Инвариантные разностные уравнения и группа Галилея // В кн. Газ. динамика-Томск: Изд-во Томск, ун-та, 1987.-С.71-76.

57. Коробицын В.А. Исследование трехмерных нелинейных течений идеальной несжимаемой жидкости со свободной поверхностью в полостях твердого тела различной формы. Описание программы. // 1988. Отчет НИИПММ при ТГУ. 27 с.

58. Коробицын В.А., Либин Э.Е. Об одном численном методе решения нестационарных задач несжимаемой жидкости со свободной поверхностью // В кн. Динамика упругих и твердых тел взаимодействующих с жидкостью-Томск: Изд-во Томск, ун-та. 1975-С. 60-66.

59. Коробицын В.А., Хе А.И. Дискретные модели несжимаемой вязкой жидкости со свободной поверхностью // В кн. Динамика упругих и твердых тел взаимодействующих с жидкостью.-Томск: Изд-во Томск, ун-та, 1984.- С.64-71.

60. Коробицын В. А., Хе А.И. Динамика взаимодействия газожидкостной полости и вязкой несжимаемой жидкости // В кн. Динамика механических систем - Томск: Изд-во Томск, ун-та, 1987 - С.69-71.

61. Коршия Т.К., ТишкинВ.Ф., Фаворский А.П., Шашков М.Ю. Вариационный подход к построению разностных схем для диффузии магнитного поля // Дифференциальные уравнения-1982 - Т. 18, № 7-С. 1229-1239.

62. Кочин Н.Е. Векторное исчисление и начала тензорного исчисления.-М.: Наука, 1965.-456 с.

63. Кочин Н.Е., Кибель И.А., Розе Н.В. Теоретическая гидромеханика, ч. 1.-М.: ГИФМЛ, 1963.

64. Кузмин A.B., Макаров В.Л. Об одном алгоритме построения полностью консервативных разностных схем // Журнал вычисл. матем. и матем. физ,- 1982.-Т.22, № 1,-С. 123-132.

65. Коновалов А.Н. Численные методы в статических задачах теории упругости // Сибирский математический журнал - 1995.-Т.36.- С.573-589.

66. Куропатенко В.Ф. О точности вычисления энтропии в разностных схемах для уравнений газовой динамики // Численные методы механики сплошной среды. Новосибирск: ВЦ и ИТПМ СО АН СССР, 1978.-Т.9, № 7.-С.49-59.

67. Ладыженская O.A., Кживицкий А. Метод сеток для нестационарных уравнений Навье-Стокса // Тр.МИАН.- 1966,- Т.92, С. 93-99.

68. Лебедев В.И. Разностные аналоги ортогональных разложений основных дифференциальных операторов и некоторых краевых задач математической физики // Ж.вычисл.матем.и матем.физ- 1964.-Т. 4, № 3.-С.449^65.

69. Майков А.Р., Поезд А.Д., Свешников А.Г., Якунин С.А. Разностные схемы начально-краевых задач для уравнения Максвелла в неограниченной области // Журнал вычислительной математики и математической физики.- 1989 - Т. 29, № 2, С.239-250.

70. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики,-Новосибирск:Наука, 1973 -3 52с.

71. Моисеенко Б.Д., Фрязинов И.В. Консервативная разностная схема для уравнений несжимаемой вязкой жидкости в переменных Эйлера // Ж. вычисл. матем. и матем. физ-1981-Т.21, № 5.-С. 1180-1191.

72. Москальков М.Н. Об одной полностью консервативной схеме газовой динамики // Ж. вычисл. матем. и матем. физ- 1980. -Т. 20, № 1.-С.162-170.

73. Овсянников JI.B. Общие уравнения и примеры. Задача о неустановившемся движении жидкости со свободной границей.-Новосибирск: Наука, 1967.

74. Овсянников JI.B. О всплывании пузыря // В кн. Некоторые проблемы математики и механики,- Д.: Наука - 1970.- С.209-222.

75. Овсянников JI.B. Групповой анализ дифференциальных уравнений.-М.: Наука, 1978.

76. Ковыркина O.A., Остапенко В.В. О сходимости разностных схем сквозного счета // ДАН РАН.- 2010.- Т.433, № 5.- С. 599-603.

77. Попов Ю.П., Самарский A.A. Полностью консервативные разностные схемы // Ж. вычисл. матем. и матем. физ - 1969.-Т. 9, № 4 - С.953-958.

78. Пухначев В.В. Инвариантные решения уравнений Навье-Стокса описывающие движения со свободной границей // ДАН СССР.-1972- Т. 202, № 2 - С.302-305.

79. Пухначев В.В., Солонников В.А. К вопросу о динамическом краевом угле // ПММ,- 1982.-Т.46, вып.6.

80. Рихтмайер Р., Мортон К. Разностные методы решения краевых задач-М.: Мир, 1972.

81. Рождественский Б.JI. и др. О методах численного моделирования турбулентных течений несжимаемой вязкой жидкости - Препринт № 14.-М.: ИПМатем АН СССР, 1979.

82. Рождественский Б.Л., Яненко H.H. Системы квазилинейных уравнений.-М: Наука, 1978.

83. Роуч П. Вычислительная гидродинамика. М.: Мир. 1980. 616 с.

84. Самарский A.A. О консервативных разностных схемах // В кн. Проблемы прикладной математики и механики.-М.: Наука, 1971-С. 129-136.

85. Самарский A.A. Введение в теорию разностных схем.-М.: Наука, 1971.-552 с.

86. Самарский A.A. и др. О представлении разностных схем математической физики в операторной форме // ДАН СССР - 1981- Т. 258, №5,-С. 1092-1096.

87. Самарский A.A. Некоторые результаты теории разностных методов // Дифференциальные уравнения-1980-Т. 16, № 7-С. 1155-1171.

88. Самарский A.A. Гулин A.B. Устойчивость разностных схем.- М.: Наука, 1973.-416 с.

89. Самарский A.A., Лазаров Р.Д., Макаров В.Л. Разностные схемы для дифференциальных уравнений с обобщенными решениями. - М.: Наука, 1978.- 296 с.

90. Самарский A.A., Николаев Е.С. Методы решения сеточных уравнений.-М.: Наука, 1978.-592 с.

91. Самарский A.A. , Попов Ю.П. Разностные методы решения задач газовой динамики.-М.: Наука, 1980.-352 с.

92. Самарский A.A., Тишкин В. Ф., Фаворский А.П., Шашков М.Ю. Операторные разностные схемы // Дифференциальные уранения-1981.-Т. 17, № 7.-С. 1317-1327.

93. Самарский A.A., Тишкин В. Ф., Фаворский А.П., Шашков М.Ю. Построение полностью консервативных разностных схем для уравнений газовой динамики в эйлеровых координатах на основе операторного подхода-Препринт № 63.-М.: ИПМатем. АН СССР, 1981.

94. Самарский A.A., Тишкин В.Ф., Фаворский А.П., Шашков М.Ю. Использование метода опорных операторов для построения разностных аналогов операций тензорного анализа // Дифференциальные уравнения.-1982 -Т. 18, № 7.-С. 1251- 1256.

95. Темам Р. Уравнения Навье -Стокса- М.: Мир, 1981 - 408 с.

96. Терентьев А.Г., Афанасьев К.Е. Численные методы в гидродинамике-Чебоксары: Изд-во ЧТУ, 1987 - 80 с.

97. Терентьев Е.Д., Шмыглевский Ю.Д. Полная система дивергентных уравнений динамики совершенного газа // Ж. вычисл. матем. и матем. физ.-1975.-Т.15, № 6,-С. 1535-1544.

98. Тихонов А.Н., Самарский A.A. Об однородных разностных схемах // ДАН СССР-1958.-Т. 122, № 4.- С.562-566.

99. Тихонов А.Н., Самарский A.A. О сходимости разностных схем в классе разрывных коэффициентов //ДАН СССР - 1959 - Т. 124, № 3.

100. Тихонов А.Н., Самарский A.A. Об однородных разностных схемах // Ж. вычисл. матем. и матем. физ.-1961.-Т.1, №1.-С. 5 - 63.

101. ТишкинВ.Ф., Тюрина H.H., Фаворский А.П. Разностные схемы для расчета гидродинамических течений в цилиндрических координатах.-Препринт № 23.-М.:ИПМатем. АН СССР, 1982.

102. Трощиев В.Е., Шагалиев P.M. Класс интерполяционно-инвариантных схем для численного решения уравнения теплопроводности // Вопросы атомной науки и техники, сер. Методики и программы числ. решения задач матем. физ - М.: 1983, вып. 3. - С.73-76.

103. Трулио Дж. Метод полос и течение газа. // Вычислительные методы в гидродинамике - М.: Мир, 1967 - С. 76-127.

104. Фаворский А.П. Вариационно-дискретные модели уравнений гидродинамики-Препринт № 159.-М.:ИПМатем АН СССР, 1979. 38 с.

105. Франк A.M. Дискретные модели несжимаемой жидкости.-М. ФИЗМАТЛИТ. 2001.-208с. ISBN 5-9221-0190-0

106. Фрязинов И.В. Консервативные разностные схемы для уравнений несжимаемой вязкой жидкости в криволинейных ортогональных координатах // Журнал вычислительной математики и математической физики.- 1982.-Т. 22, №5.-С. 1195-1207.

107. Хакимзянов Г.С. Численное моделирование на адаптивных сетках течений жидкости с поверхностными волнами // Докторская диссертация. Специальность 05.13.18 - математическое моделирование, численные методы и комплексы программ. Новособирск: 2000.- 329 с.

108. Шведов А.С. Формулы для объемов ячеек // Матем. заметки - 1986-Т.39, вып. 4.-С. 597-605.

109. Шведов А.С. Инвариантные разностные схемы для уравнений газовой динамики // Вопросы атомной науки и техники, сер. Методики и программы числ.решения задач матем.физ - М.: 1986, вып. 2 — С. 37-44.

110. Шокин Ю.И. Яненко Н.Н. Метод дифференциального приближения,-Новосибирск: Наука, 1985.-365 с.

111. Ушакова О.В.Условия невырожденности трехмерных ячеек. Формула для объема ячеек // Ж. вычисл. матем. и матем. физ.-2001.-Т.41, № 6,-С. 881-894.

112. Arakawa A. Computational design for long-term numerical intégration of the équations of fluid motion: two-dimensional incompressible flow. Part I // J. Сотр. phys.- 1966, № l.-P .119-143.

113. Berry R.L., DemchakL.J., Tegart J.R., CraidM.K. An analytical tool for simulating large amplitude propellant slosh // AIAA Paper- 1981, № 81-0500.-P. 55-61.

114. EastonC.R., Cattonl. Initial value techniques in free surface hydrodynamics // J of Comput.Phys.- 1972.- V.9, № 3.- P. 424-439.

115. Heinrich В. Math. Forsch. Bd. 33,- Berlin: AkademieVerlag,1987.

116. Hirt C.W., Cook J.L., Butler T.D. A Lagrangian method for calculating the dynamics of an insompressible fluid with free surface // J Comput. Phys.-1970 - V.5, № 2 - P. 103-124.

117. McCormack R.W., Paullay A.J. The influence of the computational mesh on accuracy for initial value problems with discontinuities or nonunique solutions // Comput. Fluids - 1974.-V.2.-P. 339-361.

118. Moore R.E., Perko L.M. Inviscid fluid flow in an accelerating cylindrical container // J Fluid. Mech.- 1965.- V.22, № 2.- P. 305-320.

119. NoetherE. Invariante Variationsprobleme // Kgl. Ges. Wiss. Nachr. Gottingen: Math.-phys. K1.-1918.-V.2.-S. 235-257. Нетер Э. Инвариантные вариационные задачи // В кн. Вариационные принципы механики-М.:Физматгиз, 1959-С. 611-630.

120. PlessetM.S., Chapman R.B. Collapse of an initially spherical vapour cavity in the neighbourhood of a solid boundary // J Fluid. Mech.- 1971-V.47, № 2 - P. 283-290.

121. Prosperetti A.,Jacobs J.W. A numerical method for potential flows with a free surface //J of Comput.Phys.- 1983.-V.51, № 3.- P. 365-386.

122. Prosperetti A., Tryggvason G. Computational Methods for Multiphase Flow. Cambridge University Press, 2007. 481 p. ISBN-10:0-511-29454-9

123. VinokurM. Conservation equations of gasdynamics in curvilinear coordinate systems // J. Сотр. Phys. 1974. v. 14. p. 105-125.

124. Самарский А. А., КолдобаА.В., Повещенко Ю.А., Тишкин В.Ф., Фаворский А.П. Разностные схемы на нерегулярных сетках. Минск: Изд-во БГУ, 1996. 273 с.

125. ShashkovM. Conservative finite-difference methods on general grids. New York: CRC Press, 1996.

126. CaramanaE.J., WhalenP.P. Numerical preservation of symmetry properties of continuum problems // J.Comp.Phys., 1998. V. 141, p. 174-198.

127. R. Loubere, Pierre-Henri Maire, Shashkov M., Breil J., Galera S. ReALE: A reconnection-based arbitrary-Lagrangian-Eulerian method //J. Сотр. Phys. 2010. V. 229, p. 4724-4761.

128. Коробицын В.А.Базисный разностный метод для ортогональных систем на поверхности //Журнал вычисл. матем. и матем. физ. 2011. Т. 51, №7. С.1308-1316.

129. Коробицын В. А. Ковариантные преобразования базисных дифференциально-разностных схем на плоскости // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2011. Т.51, № 11. С. 2033-2041.

130. Шокин Ю.И., Лисейкин В.Д., Лебедев А.С., Данаев Н.Т., Китаєва И. А. Методы римановой геометрии в задачах построения разностных сеток. Новосибирск: Наука, 2005. 256 с.

131. J.K. Dukowicz, В. Meltz Vorticity errors in multidimensional Lagrangian codes, J. Comput. Phys. 99, 115 (1992).