Компьютерная реализация геометрических методов в максвелловской оптике тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, доктор наук Кулябов Дмитрий Сергеевич

• Кулябов Дмитрий Сергеевич
• доктор наук
• 2017

Оглавление диссертации доктор наук Кулябов Дмитрий Сергеевич

Введение

Глава 1. Обзор исследований

Глава 2. Представления уравнений Максвелла

2.1. Ковариантная запись уравнений Максвелла через

3-вектор ы

2.2. Ковариантная запись уравнений Максвелла через

4-вектор ы

2.3. Комплексное представление уравнений Максвелла

2.4. Импульсное представление уравнений Максвелла

2.5. Спинорная запись уравнений Максвелла

2.6. Представления уравнений Максвелла через дифференциальные формы

2.7. Реализация уравнений Максвелла в некоторых системах координат

Глава 3. Геометризация электромагнитного поля

3.1. Уравнения Максвелла в среде

3.2. Геометризация Плебаньского

3.3. Геометризация Тамма

Глава 4. Гамильтонов подход к уравнениям Максвелла

4.1. Введение

4.2. Лагранжиан электромагнитного поля

4.3. Гамильтониан электромагнитного поля

4.4. Построение симплектического гамильтониана

Глава 5. Расчёт оптических приборов

5.1. Обратная задача оптики. Трансформационная оптика

5.2. Прямая задача оптики

Глава 6. Элементы математического формализма

6.1. Векторные поля

6.2. Дифференциальные формы

6.3. Связь голономного и неголономного базисов при записи векторов

6.4. Ковариантная тензорная запись дифференциальных операторов

6.5. Спинорный формализм

6.6. Вспомогательные соотношения для геометризации уравнений Максвелла

Заключение

Приложение А. Обозначения тензорных операций

A.1. Варианты обозначения тензорных операций

A.2. Безындексные тензорные вычисления для теоретических

построений

A.3. Векторные вычисления

A.4. Тензорные вычисления в общей теории относительности

Приложение B. Системы измерения

B.1. Обоснование применения системы СГС

Приложение С. Инструментарий компьютерного моделирования

^1. Вычислительные методы на основе интеграторов

^2. Программный комплекс openEMS

^3. Численное решение уравнения эйконала методом характеристик

^4. Применение систем компьютерной алгебры

Список иллюстраций

Список литературы

Введение

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Компьютерная реализация геометрических методов в максвелловской оптике»

Общая характеристика работы

Актуальность темы исследования

Автором проводится построение геометрического описания уравнений Максвелла в терминах расслоенных пространств. Проводится описание разных вариантов тензора проницаемостей и, соответственно, предлагаются варианты геометризации уравнений Максвелла. В частности выделяется вариант геометризации на основе квадратичной метрики, приводящий к уравнениям Янг-Миллсовского типа.

Также предлагается переформулировка задачи построения гамиль-тонова формализма уравнений Максвелла для случая полей без источников, что позволяет использовать симплектический гамильтонов формализм.

Описанный формализм демонстрируется в применении к задачам трансформационной оптики и расчёта линз. Аналитические расчёты верифицируются с помощью численных методов.

Имея в виду практическую задачу проектирования оптических приборов и устройств субволнового диапазона мы занялись проблемой геометризации уравнений оптики разного уровня: геометрической оптики, волновой скалярной оптики, уравнений Максвелла. Максвелловская оп-

тика учитывает векторный характер электромагнитного излучения в оптическом диапазоне.

Для проведения расчётов в области оптики (расчёт линз, трансформационная оптика) и электродинамики в целом перспективным представляется метод геометризации уравнений Максвелла. При этом можно геометризовать как само поле, так и взаимодействие поля с веществом. Основная идея заключается в переводе материальных уравнений Максвелла, а именно диэлектрической и магнитной проницаемости, в эффективную геометрию пространства-времени.

В Х1Х-ом и ХХ-ом веках идея геометризации являлась одной из магистральных идей физики. Геометризацией электромагнитного поля занималось большое количество учёных. Работы Вейля, Тамма, Калуцы-Клейна находились в русле исследований единой теории поля. Однако электромагнитное поле в данных работах рассматривалось как электромагнитное поле в вакууме, то есть влияние среды не учитывалось. Были разработаны конструкции с одним полевым тензором. Поэтому многие идеи данных исследователей были восприняты теорией Янга-Миллса.

Однако при описании электромагнитного поля обычно используют два тензора. Для обобщения этих конструкций на полевую теорию с двумя тензорами, необходимо понять и геометризовать взаимосвязь между ними, а перед этим необходимо понять природу обоих тензоров. Создаётся впечатление, что на некотором многообразии одновременно заданы два касательных расслоения, связанных каким-то образом меж-

ду собой, на которых и заданы тензоры ^ и О.

Кроме того, существовало направление, занимавшееся геометризацией собственно материальных уравнений. Это работы Мандельштама, Тамма, Плебаньского, де Феличе и др. Это направление развивалось без чётко сформулированных идейных и целевых посылок. Оно нашло своё применение в приложении к теории гравитационных линз, а позднее в применении к трансформационной оптике. В обоих приложениях результирующие конструкции были слишком формальными. Например, в публикациях по трансформационной оптике эта реализация является набором рецептов, сделанных под конкретные случаи. Что, естественно, приводит к появлению статей, пытающихся обосновать (или переформулировать) трансформационную оптику.

Впрочем, также существует направление, занимающееся геометризацией ради самой геометризации.

Первый аспект геометризации уравнений оптики заключается в геометризации материальных уравнений Максвелла. Второй аспект геометризации уравнений оптики заключается в последовательном геометрическом подходе к решению уравнений Максвелла, а именно к лагран-жеву и гамильтонову подходам.

Однако в открытой печати, к сожалению, не решены систематически проблемы геометризации уравнений оптики (геометрической, волновой, максвелловской).

Это делает актуальным диссертационное исследование.

Цели диссертационной работы

1. Получение геометризованных уравнений Максвелла. Одной из целей диссертации является получение геометризованных уравнений Максвелла. Геометризация материальных уравнений Максвелла позволяет изменить взгляд на прямую и обратную задачу оптики. Нахождение траектории лучей по параметрам среды можно назвать прямой задачей оптики, а нахождение параметров среды по заданным траекториям лучей — обратной. И обратная задача сложнее прямой. В геометризованой оптике эти задачи меняются местами. Прямая задача — нахождение диэлектрической и магнитной проницаемости по заданной эффективной геометрии (по траекториям лучей), обратная — нахождение эффективной геометрии по диэлектрической и магнитной проницаемости. Сложность обеих задач сопоставимая.

2. Реализация геометрического подхода к решению полевых уравнений Максвелла. Второй целью диссертации является реализация геометрического подхода к решению собственно полевых уравнений Максвелла. При решении полевых задач, в частности задач электродинамики, используются лагранжев и гамильтонов формализмы. Полевой гамильтонов формализм имеет то преимущество перед лагран-жевым, что уже содержит калибровочное условие. В то время как в лагражевом формализме калибровочное условие вводится из некоторых внешних соображений. Однако использование гамильтонового

формализма в полевых задачах затруднено из-за нерегулярности полевых лагранжианов. Действительно, можно установить однозначное соответствие между гамильтонианом и лагранжианом в случае гиперрегулярного лагранжиана, что не выполняется в калибровочно-инвариантных теориях поля. В случае нерегулярного лагранжиана применяется обычно гамильтонов формализм со связями, использование которого связано с определёнными трудностями.

Задачи диссертационной работы

1. Для применения методов дифференциальной геометрии к уравнениям Максвелла необходимо последовательно записать разные представления уравнений Максвелла в криволинейных координатах.

2. Необходимо установить топологическую природу связи тензоров электромагнитного поля Г и О.

3. Необходимо установить топологическую природу материальных уравнений Максвелла, а именно тензора проницаемостей Л, и соответственно тензора диэлектрической проницаемости £ и магнитной проницаемости д.

4. Для этого необходимо реализовать структуру расслоения без предварительного задания метрической структуры на базе.

5. Необходимо конкретизировать данную конструкцию на случай квадратичной метрики, заданной на базе.

6. Необходимо произвести геометризацию уравнений Максвелла исходя из структуры лагранжиана типа Янга-Миллса.

7. Необходимо проверить состоятельность полученной конструкции на основе сравнения с геометризацией Плебаньского.

8. Необходимо построить методику решения обратной задачи оптики.

9. Необходимо показать, что полученная конструкция обосновывает методы трансформационной оптики.

10. Разрешение проблемы вырожденности полевого лагранжиана теории Максвелла при переходе к гамильтонову формализму.

Результаты, выносимые на защиту

1. Записаны уравнения Максвелла в различных представлениях в криволинейных координатах с учётом материальных уравнений.

2. Установлено соответствие между тензорами Г и О.

3. Построен формализм расслоенных пространств без заранее введённой метрики на базе расслоения.

4. Записаны тензоры диэлектрической проницаемости £ и магнитной проницаемости д через квадратичную метрику на базе с сигнатурой

(+,-,-, -).

5. Проведена геометризация уравнений Максвелла на основе программы Плебаньского.

6. Проведена геометризация уравнений Максвелла на основе лагранжиана типа Янга-Миллса.

7. Результаты геометризации верифицированы с помощью геометризации Плебаньского.

8. Построена методика решения обратной задачи оптики.

9. Показана обоснованность методики при сравнении с методом трансформационной оптики.

10. Построен симплектический гамильтониан Максвелловской оптики.

Научная новизна

1. В работе систематизирована запись различных представлений уравнений Максвелла в криволинейных координатах общего вида в квадратичной (псевдоримановой) метрике.

2. Построение формализма расслоенных пространств без предварительно введения метрики на базе расслоения для уравнений Максвелла и установление соответствия между тензорами Г и О.

3. Приведена реализация соответствия между тензорами Г и О на основе квадратичной (псевдоримановой) метрики на базе расслоения.

4. Соответствие между тензорами Г и О реализовано с использованием лагранжиана Янга-Миллса.

5. Задачи проектирования оптических приборов формализованы в терминах геометризованных уравнений Максвелла.

6. Построены алгоритмы решения задач проектирования оптических приборов с помощью геометризованных уравнений Максвелла.

7. Построен симплектический гамильтониан максвелловской оптики.

Практическая значимость

Разработанные методики позволяют формализовать задачи проектирования волновой и максвелловской оптики однообразным способом,

что, в свою очередь, позволяет выделять подзадачи и алгоритмизировать их решение при реализации на компьютере. А также использовать предыдущие исследования при уточнении моделей при ответ на возрастающие требования. Всё это позволяет реализовать процесс проектирования оптических приборов и систем в форме вычислительного эксперимента, включающего этап верификации с экспериментальными измерениями.

Результаты диссертации использованы при создании курса «Разностные методы расчёта оптических наноструктур», обеспечивающего реализацию магистерской программы «Математическое моделирование оптических наноструктур» и предназначенного для студентов, обучающихся по направлению «Прикладная математика и информатика».

Методы исследования

В работе использовались методы дифференциальной геометрии (ри-манова геометрия, теория расслоенных пространств, теория когомоло-гий).

Обоснованность и достоверность результатов

Обоснованность результатов диссертации следует строгих математических методов дифференциальной геометрии (риманова геометрия, теория расслоенных пространств, теория когомологий), зарекомендовавших себя пакетов символьных вычислений (Cadabra, Maxima, SymPy), а также математических пакетов численных вычислений

(NumPy).

Достоверность подтверждается совпадением полученных в работе результатов с результатами работ Плебаньского, Пендри, Леонгарда и др.

Апробация работы

Основные результаты диссертации докладывались на следующих конференциях:

— The 15th small triangle meeting of Theoretical Physics. Stará Lesná, Slovakia, 2013 [49].

— 54-ая научная конференции МФТИ «Проблемы фундаментальных и прикладных естественных и технических наук в современном информационном обществе». Управление и прикладная математика. Москва, 2011 [137].

— 14-th Workshop on Computer Algebra. Дубна, 2011 [139].

— Девятнадцатая Международная конференция «Математика. Компьютер. Образование». Дубна, 2012 [142].

— Научная сессия НИЯУ МИФИ-2012. Москва, 2012 [138].

— Научная сессия НИЯУ МИФИ-2014. Москва, 2014 [145].

— Научная сессия НИЯУ МИФИ-2015. Москва, 2015 [146].

— IV международная конференция «Проблемы математической и теоретической физики и математическое моделирование». Москва, 2016 [148].

— Mathematical Modeling and Computational Physics (MMCP-2013). Дубна, 2013 [44].

— International Conference on Mathematical Modeling and Computational Physics (MMCP-2015). Stara Lesna, Slovakia, 2015 [45].

— Компьютерная алгебра. Москва, 2016 [149].

— Распределенные компьютерные и телекоммуникационные сети: управление, вычисление, связь (DCCN-2016). Москва, 2016 [129].

— Saratov Fall Meeting 2016: Laser Physics and Photonics XVII and Computational Biophysics and Analysis of Biomedical Data. Саратов, 2016 [51-53].

Также основные результаты диссертации докладывались на следующих научных семинарах:

— Cеминар «Компьютерная алгебра» факультета ВМК МГУ и ВЦ РАН.

— Семинар «Математические методы в естественных науках» кафедры математики физического факультета МГУ.

— Семинар «Математическое моделирование» кафедры прикладной информатики и теории вероятностей РУДН.

Публикации

Основные положения диссертации опубликованы в 29 печатных работах, из них 17 — статьи в рецензируемых журналах, рекомендованных

ВАК [41; 46-48; 50-54; 94; 140; 141; 143; 144; 147; 150; 185].

Личный вклад автора

Содержание диссертации и основные положения, выносимые на защиту, отражают персональный вклад автора в опубликованные работы. Подготовка к публикации полученных результатов проводилась совместно с соавторами, причем вклад диссертанта был определяющим. Все представленные в диссертации результаты получены лично автором.

Глава 1. Обзор исследований

После работ по общей теории относительности стало ясно, что общая теория относительности не полна. В рамках общей теории тноситель-ности удалось геометризовать только гравитационное взаимодействие. Ещё одно взаимодействие, электромагнитное, оставалось не геометризованным. Таким образов возникла идея о построении единой теории поля [154; 180].

Поскольку общая теория относительности является наиболее развитой из современных геометрических теорий, то при исследовании проблемы геометризации уравнений Максвелла необходимо уделять особое внимание общей теории относительности и связанным с ней теориям [167—169]. В рамках общей теории относительности исследовано достаточно большое количество решений уравнений гравитационного поля [74; 102; 158].

Основным инструментарием общей теории относительности является дифференциальная геометрия.

Первое направление геометризации электромагнитной теории — это геометризация самих полевых уравнений.

Один из вариантов геометризации электромагнетизма был предложен Г. Вейлем [19; 111]. В теории Г. Вейля электромагнитное поле вводится как калибровочное преобразование, изменяющая связность Кри-

стоффеля.

Другим крупным течением была теория Калуцы-Клейна [36; 88; 165]. В данной теории к 4-мерному риманову пространству добавлялось 1-мерное пространство электромагнитной теории. В результате получалось 5-мерное пространство.

Второе направление — геометризация материальных уравнений Максвелла. Первый всплеск интереса к этому направлению произошёл в 20-х годах ХХ-го века, на волне интереса к общей теории относительности. В первую очередь стоит обратить внимание на серию статей И. Е. Тамма (под влиянием и с участием Л. И. Мандельштамма) [101; 172; 173]. Эти работы можно считать программными для данного направления. Кроме того, следует отметить статью В. Гордона [25].

Следующий всплеск интереса к теме геометризации материальных уравнений Максвелла проявился в 1960-х годах и в первой половине 1970-х годов (во время золотого века теории относительности). В первую очередь это работы И. Плебаньского [87], Е. Поста [89], Ф. де Феличе [17], М. Лакса и Д. Ф. Нельсона [55]. Впрочем, нельзя не признать, что данные работы были более похожи на игру с математическими формулами, нежели на обоснованную теорию.

Долгое время эти результаты не находили широкого применения. Некоторые элементы этих работ были использованы для описания гравитационных линз [131]. Также делались попытки применить их собственно для описания электромагнитных полей [56; 60; 61; 81; 107; 109; 110].

Частично исследования ушли в направлении применения разных экзотических вариантов римановой геометрии [32; 72; 75; 97; 98].

Метод трансформации оптики привлёк к себе широкое внимание после публикации работ Дж. Б. Пендри [13; 63; 73; 82; 113] и У. Леон-гардта [57-59]. В этих статьях была описана шапка-невидимка (плащ-невидимка). Шапка-невидимка искривляет лучи света таким образом, что они обходят объект маскировки. Наблюдателю кажется, что на этом месте ничего нет. Для построения этой иллюзии использовался аппарат преобразования координат с помощью матриц Якоби (отсюда и название). Для диэлектрической и магнитной проницаемостей предлагалось формальное соотношение, описывающее преобразование этих величин при преобразовании координат.

Сама трансформационная оптика представляет собой скорее набор рецептов (в духе инженерного подхода), нежели хорошо обоснованную теорию. Делались попытки обосновать её, впрочем, не выходящие за пределы математических манипуляций с известными формулами [12; 104].

Кроме того, используемые в трансформационной оптике преобразования сингулярны. Как попытку преодолеть сингулярность преобразований трансформационной оптики можно рассматривать введение У. Леонгардом конформных преобразований трансформационной оптики [14; 83].

Неплохой обзор истории развития трансформационной оптики представлен в статье [39].

Численное решение уравнений Максвелла представляет собой достаточно сложную проблему. Уравнения Максвелла в дифференциальной форме представимы в виде уравнений в частных производных. Их аналитическое решение возможно получить лишь в небольшом количестве случаев [128]. Для решения возможно использовать несколько подходов. Большое значение имеют разнообразные приближённые методы, например метод эйконала [10; 40; 116]. В этих методах уравнения переводятся в форму, в которой процесс решения уравнений упрощается.

Кроме того, активно развиваются разнообразные численные методы [84-86; 91].

Теоретические и численные методы решения нелинейных волновых уравнений разрабатываются Н. А. Кудряшовым [42; 43], исследуются волновые электромагнитные процессы в плазме К. В. Брушлин-ским [118—120]. Многомерные системы исследовались А. В. Кряне-вым [34].

Наряду с численными методами активно используются системы компьютерной алгебры [3-5; 21]. Особенно перспективным представляется использование систем тензорной компьютерной алгебры [8; 78].

Обозначения и соглашения В работе использованы следующие основные обозначения и соглашения.

1. В работе, где это обосновано, используется нотация абстрактных индексов. В данной нотации тензор представляется как целостный объект и обозначается просто индексом (например, жг). Компоненты обо-

значаются подчёркнутым индексом (например, х- ). Более подробное описание и обоснование использования нотации абстрактных индексов дано в разделе A.1.

2. Будем придерживаться следующих соглашений по именованию индексов. Греческие индексы (а, в) будут обычно относиться к четырёхмерному пространству и в компонентном виде будут иметь следующие значения: а = 0,3. Латинские индексы (i, j, k) будут обычно относиться к трёхмерному пространству и в компонентном виде будут иметь следующие значения: i = 1,3.

3. Запятой в индексе обозначается частная производная по соответствующей координате (f := d-f ); точкой с запятой — ковариантная производная (f := V-f ).

4. Для записи уравнений электродинамики в работе используется система СГС симметричная. Обоснование использование системы СГС дано в разделе B.1.

5. Антисимметризация обозначается квадратными скобками. Симметризация обозначается круглыми скобками.

Глава 2. Представления уравнений Максвелла

Для нужд геометризации представляется оправданным представить общую запись уравнений Максвелла в произвольных координатах (рассматривается только вариант риманового пространства). Кроме того, в задачах математического моделирования волноводов может возникать потребность использования криволинейных систем координат (например, если задача имеет некую естественную симметрию). Выбор конкретной системы координат зависит от формы волновода.

Исторически сложилось так, что трёхмерные уравнения Максвелла записывают в неголономном формализме (см. 6.3). В этом случае запись уравнений в криволинейной системе координат несколько громоздка. При использовании тензорного формализма обычно предпочитают использовать голономный базис. Также, тензорный формализм имеет мощный математический аппарат, который позволяет работать с кова-риантной бескоординатной формой записи уравнений. В этом случае переход к конкретной системе координат нужен только на заключительном этапе исследований при записи результата.

При решении задач используют следующие формы записи уравнений Максвелла: — через 3-векторы;

— через 4-векторы;

— комплексное представление;

— импульсное представление (для его записи в свою очередь применяется комплексное представление);

— спинорное представление;

— представление во внешних формах.

Рассмотрим вышеперечисленные представления уравнений Максвелла, делая упор на корректную запись в произвольной (римановой) системе координат. При этом будем использовать голономный базис, поскольку в голономном базисе уравнения имеют наиболее простой вид.

2.1. Ковариантная запись уравнений Максвелла через 3-векторы

Наиболее известна запись уравнений Максвелла через 3-векторы, выполненная Хевисайдом и Герцем [70]. Рассмотрим данное представление уравнений Максвелла в системе СГС [122]:

гО Е гО Н div D div В

1 д В

с дг' 1дD 4п.

с дг с

(2.1

= 4пр

= 0.

Здесь Е и Н — напряжённости электрического и магнитного полей,

D и В — электрическая и магнитная индукция соответственно, j — плотность тока, р — плотность заряда, с — скорость света.

Стоит заметить, что эта запись достаточно абстрактная. Конкретное представление векторов тут не присутствует.

Для записи уравнений (2.1) можно использовать векторный оператор V (введённый Гамильтоном В. Р. и Тэтом П. Г. [100]). Данная запись явно представляет дифференциальные операторы через векторные операции (см. 6.4).

V х Е

V х Н V- D

V В

1 д В

с дг' 1 д D 4п.

с дг с

(2.2)

= 4ПР'

= 0.

Используя индексное представление векторных операторов (см. 6.4) запишем уравнения Максвелла (2.1) и (2.2) в абстрактных индексах см. А.1) в голономном базисе:

е^ V Ек е^ V Нк VгDг

= -1 дБ \

с

1 „ 4п •

= - + —; \

сс

= 4пР' = 0.

(2.3)

Здесь V есть ковариантная производная, еук — тензор Леви-Чивиты

^альтернирующий тензор):

еУк = _£гЗк

Здесь 3д := det | дг^ | есть определитель трёхмерного метрического тензора, егк — символ Леви-Чивиты.

При необходимости вычислений следует перейти от ковариантной производной к частной, и от абстрактных индексов к компонентным. Перепишем (2.3) в компонентах в голономном базисе, используя (6.21

и (6.18):

1

у/Ч 1

■д 1

■т 1

д1 Ек - дк Е ^ д 3 Нк - дк Н

д* ( у/ч В

дг( у/Ц В*

= -1 дВг, с

1 о тлг •

= — дгВ1- + —]г, сс

= = 0.

(2.4)

Собственно форма уравнений Максвелла (2.4) может быть применена при конкретных расчётах. При этом уравнения Максвелла записаны в ковариантном виде.

При рассмотрении теории Максвелла в рамках подхода расслоенных пространств важную роль играет векторный потенциал Ам, имеющий смысл связности в кокасательном расслоении. При переходе к трёхме-рию векторный потенциал Ам расщепляется на скалярный потенциал р и 3-векторный потенциал А*. Соответственно и полевые функции Е и

B можно представить через потенциалы поля р (скалярный потенциал) и A (векторный потенциал). Это можно записать как с помощью дифференциальных операторов:

B = rot A,

E = -Vp - 1 dtA, c

так и в индексной нотации:

Bг = (rot А)г = eijk dj Ak, E = -Згр - доАг.

(2.5)

2.2. Ковариантная запись уравнений Максвелла через 4-векторы

Явная релятивистская 4-мерная запись уравнений Максвелла обычно выполняется с помощью 4-тензоров. Запишем (2.1) через тензоры электромагнитного поля Faß и Gaß [15; 68; 171; 174]:

VaFß7 + Vß Fja + V7 Faß = F[aß ;7] = 0, (2.6)

VaGaß = -П]ß, (2.7)

где тензоры Рав

рав, рав, сав и с

Ра в =

рав =

Са в _

С а в =

26

и Сав имеют следующие

0 Е1 Е2 Е3

—Е1 0 —Б3 Б2

—Е2 Б3 0 —Б1

у—Е3 —Б2 Б1 0 У

( о —Е1 —Е2 —Е3

Е1 0 —Б3 Б2

Е 2 Б3 0 —Б1

Vе 3 — Б2 Б1 0 У

0 —D1 —D2 —D3^

D1 0 — Н3 Н2

D2 Н3 0 —Н1

— Н2 Н1 0 У

0 Dl D2 Dз \

—Dl 0 —Н 3 Н2

—D2 Н3 0 —Н1

Dз —Н 2 Н1 0

Е-, Н-, г =1,3, — компоненты векторов напряжённости электрического

и магнитного полей соответственно; Di, Б-, г = 1,3, — компоненты векторов электрической и магнитной индукции соответственно1.

1 Следует заметить, что именно Бг имеет физический смысл напряжённости магнитного поля.

Используя оператор сопряжения Ходжа (6.8), можно ввести сопряжённые тензора. Например, введём тензор *Faß, дуально сопряжённый тензору Faß

1 ^, (2.8)

* Faß = - eaß7s fy где eaßlS — альтернирующий тензор (см. (6.22)):

•э _ / aß^ö _

eaßYS — V — 9£aßYÖ , e~~±~ —

л/-

Аналогично запишем

* F

aß

Gaß

Gaß — - eaßYÖ GYÖ.

2

(2.9)

Запишем в компонентах:

* F

aß

— /—9

-

0 Bi B2 B3

Bi 0 E3 со -E

B2 -E 3 0 E1

B3 E to -E1 0

/

1

2

а в _

0 Б1 Б2 Б3

Б 1 0 Е3 Е2

Б 2 Е3 0 Е1

Б3 Е2 —Е1 0

0 Н1 Н2 Н3

*Сав _

V

*с

ав

= V39

\

1

Н1 0

Н2 —Dз Н3 D2 —D 0 Н1 Н2

-Н2 —D3 0

2

Dз —D2 0 Dl

1

0

Н3

/

-Н 0 D3 —D2

D1

-Н3 D2 —D1 0

/

(2.10)

(2.11

Данный вид тензоров используется, в частности, при геометризации Плебаньского (см. 3.2). Также с помощью дуального тензора (2. уравнение (2.6) можно записать в виде:

Уа*Рав = 0.

(2.12)

Данный вид является более простым, чем (2.6).

Тензоры электромагнитного поля Рав и С-в имеют достаточно простую структуру. Для удобства выкладок удобно представить эти тензо-

ры в виде некоторой структуры, нагруженной дополнительной семан-

1

1

тикой. Кодифицируем запись используемых тензоров в виде кортежа (упорядоченной пары). Для этого поставим в соответствие Faß упорядоченную пару (Ei ,B-) (Faß — (Ei ,B-)) следующим образом

F0i Eii Fij ^ijkB~.

Таким образом можно выписать следующие соответствия

Faß - (Ei, B-), F°-ß- - (-Ei, Bi), Gaß - (Di , H- ), Ga- - (-П^-Нг ),

1 , ^ (2.13)

Faß -V=g(Bi, -Ei), *Faß -—= (-Bi, -Ei),

v-9

"Gaß -V=g(Hi, -Di), *Gaß - -^=(-H-, -Di).

1

Использую данную упорядоченную пару, удобно строить разные представления уравнений Максвелла.

2.3. Комплексное представление уравнений Максвелла

Комплексное представление уравнений Максвелла не только компактное, но и удобно. Например, его удобно применять при работе с преобразованием Фурье (см. 2.4), спинорным представлением (см. 2.5), представлением полей в виде комплексного анзаца.

Можно построить несколько видов комплексного представления

уравнений Максвелла [1; 2; 95; 96; 171]. При этом обычно ограничиваются вакуумным случаем в евклидовом пространстве

Список литературы диссертационного исследования доктор наук Кулябов Дмитрий Сергеевич, 2017 год

/ \

1 \ \

1

\ /

\ V /

Ч / /

Рис. 5.1. Исходная система координат

5.1.1. Общее рассмотрение

Рассматривается некоторое преобразование координатных линий, такое, что из исходной системы координат (см. рис. 5.1) мы получаем новую (эффективную) систему координат (см. рис. 5.2). Будем считать, что координатные линии являются геодезическими линиями. Тогда, внутренняя область на рис. 5.2 и всё её содержимое становятся «невидимыми».

Пусть эффективная система координат задана с помощью некоторых преобразований с матрицей Якоби J. Для простоты будем рассматривать преобразования только пространственных координат. Считаем, что дог =0.

Рис. 5.2. Трансформированная система координат На основании (3.24) запишем:

— ^, — ^. (5.1

Поскольку в (5.1) фигурирует эффективная метрика в лабораторной системе координат, то выразим её через эффективную метрику в эффективной системе координат. Перепишем (5.1) следующим образом:

^ — 4 4, ^ — ' 4,. (5.2)

л/-П9оо 3 л/-П9оо 3

Также выразим определитель метрического тензора:

g := goo det{gij} = goo3g,

2 = detfay} i^i-^wri^ »iU = (det{ J?, })2 •

*g := det{gy} = detjgVj, JJj'j = det{gi'j'}(detj J ' j

(5.3)

Кроме того, запишем:

g = g 70' 70' = g0'0'

g00 = g0'0' J0 J0 = J0J0

J0' J0'

Тогда, на основании (5.2) и (5.3) запишем:

_ij = \Jg0'0' det{gi'j'} J0'J0 1 gi'j' Ji j

& — I- i г t ' i g j i ' j j''

V П0'0' det{n?'j'} g0'0' det{J'} j

ij = vV0' det{gi'j'} J0' J0' 1 gi'j' « j

/— i- i г т ^ g ji' j j'

vVo' det{n,i'j'} g0'0' det{J} j

(5.4)

5.1.2. Случай цилиндрической шапки-невидимки

Реализуем рассмотренные расчёты для случая цилиндрической шапки-невидимки. Введём в регионе, где мы производим трансформацию координат цилиндрическую систему координат (см. рис. 5.3). Будем использовать результаты раздела 2.7.1.

Запишем правило перехода между лабораторной и эффективной си-

Рис. 5.3. Цилиндрическая система координат

стемами координат:

г — г (г'},

(5.5)

г — г .

Запишем метрический тензор для лабораторной системы координат:

— diag (1,г2,1),

det

— г2.

Запишем эффективный метрический тензор для эффективной си-

стемы координат:

9г/, — d1ag (1,г/2, 1),

det

— Г/2.

Матрица Якоби будет иметь вид:

J-

Ji'

dx— I dr

—- = diag 7—, 1,1 dx- \dr y

, . . dr det

{J|}

dr'

Для простоты будем рассматривать только пространственные преобразования, то есть положим:

goo = 1 g0i = 0, go'Q' = 1, до'-' = 0, jq = 1 jq' = 1.

Тогда, из (5.4) получим

/„ Л /

£ij =

r' 1

dr dr'

r

\

1 0 0 0 0 1

V

dr 00

dr'

0 1 0

0 0 1

V

dr 00

dr' 0 1 0

0 0 1 /

/

dr r' 0 dr' r

0

dr'

\

0

0 0

0 -i- -

or r i dr' /

Также можно записать /

q = £-k nkj

dr r' 0 dr' r

0

dr'

0 0 rL

\ drr/

100

(5.6)

V

0 r2 0 0 0 1

V

dr r' dr' r 0 0

0 1 r dr r' dr' 0

0 0 1 r' dr r dr'

Зададим преобразование (5.5) в следующем виде (см. рис. 5.3):

#2 — #1 ,

г = —1 г' + Яи 0 < г' < #2, #2

р = р

г = г .

Тогда запишем следующие соотношения:

дг #2 - #1

дг'

г=

#2 Г -Ял

#2 — #1

Тогда перепишем (5.6) с учётом (5.8):

/

#2.

е-3 = м-1

г-Е1

0

0

1

V

(г—Е{)г 00

0 0

Е2

2

г—Е1 Е2 — Е1) г /

Коэффициент преломления будет иметь вид:

(5.7)

(5.

п =

т

е-3 Пзк М— П1т =

V

г—Е1 0 0

г

0 1 0

( г — Е1 ) г

0 0 Г Е2 ^

\ Е2 — Е1

Ч 0 0^

г—Е1 г

V

0 г2 0 0 0 1

/

г-д 1 о

V

о

о

1

(г-Д1 )г

о

о

о

Д2 \ Г-Д1

Д2-Д1) г /

Данные решения согласуются с решениями, получеными в рамках трансформационной оптики [82; 93].

5.2. Прямая задача оптики

5.2.1. Линза Люнеберга

Линза Люнеберга [65; 69] есть градиентная линза. Показатель преломления изменяется в зависимости от расстояния от центра (сферическая линза) или от оси (цилиндрическая линза). При прохождении линзы параллельные лучи фокусируются в одной точке на поверхности линзы. Лучи, испущенные точечным источником на поверхности линзы формируют параллельный пучок (см. рис. 5.4).

Показатель преломления п меняется от л/2п0 в центре до п0 на поверхности:

п(г) = <

Ч2 - (£)2'г *Я

по, г > Я.

Здесь Я — радиус сферы либо цилиндра. Также обычно полагают п0 = 1.

Поскольку в методе геометризации на основе квадратичной метрики

Рис. 5.4. Ход лучей внутри линзы Люнеберга

диэлектрическая и магнитная проницаемость равны, то запишем:

е-- = Д—

е-- = еб--, д-- = дб--,

п = л/ёд = е = д,

г

е = д = А/2 -(- ) , г ^ Л,По := 1.

.Л/

2

1.5

1.0-

0.5

0.0

-0.5

-1.0

-1.5 -1-г

Рис. 5.5. Траектории лучей как геодезические для линзы Люнеберга

Тогда, учитывая (3.34), получим следующую метрику:

9а/3 —

(2 - й) 0

0

0

-3/4

V

0

-(2 - й) 0

0

1/4

0 0

- (2 - й) 0

1/4

0 0 0

- (2 - й)

1/4

/

Тогда можно изобразить траектории лучей как геодезические в этом пространстве (см. рис. 5.5).

5.2.2. Линза Максвелла

Линза Максвелла [67] строится так, что, в частном случае, при испускании лучей из точечного источника, находящегося с одной стороны линзы, лучи фокусируются в одной точке на противоположной поверх-

1

2

3

4

5

Рис. 5.6. Ход лучей Максвелла

ности линзы (см. рис. 5.6).

Показатель преломления п меняется от 2п0 в центре до п0 на по-

верхности:

Г 2по

г < Л,

п(г) = <

1 + Ш2'

по, г > Л.

Здесь Л — радиус сферы либо цилиндра. Также обычно полагают п0 = 1.

Поскольку в методе геометризации на основе квадратичной метрики диэлектрическая и магнитная проницаемость равны, то запишем:

е- - = д- -,

е- - = еб- -, д- - = дб- -,

е=д=

п = д/ед 2

1 + (й )2,

е = д,

г ^ Л, п0

:= 1.

-0.5

-1.0 -

-1.5 -1-т

1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5

Рис. 5.7. Траектории лучей как геодезические для линзы Максвелла

Тогда, учитывая (3.34), получим следующую метрику:

9а/3 —

-3/2

.1+2 0

0

0

V

0

1/2

-

,1+£) 0

0

0 0

1/2

1+

0

0 0 0

1/2

-

1+£)2

/

Тогда можно изобразить траектории лучей как геодезические в этом пространстве (см. рис. 5.7).

2

2

Глава 6. Элементы математического формализма

6.1. Векторные поля

Касательным вектором их в точке х многообразия М называют оператор, ставящий каждой дифференцируемой функции / на М в соответствие действительное число их(/). Также должны выполняться следующие условия:

линейность: их(а/ + Ьд) = аих(/) + Ьих(д), где а, Ь — константы, / , д — функции;

правило Лейбница: иД/д) = /(х)^х(д) + д(х)^х(д).

Касательные векторы к п-мерному многообразию М в точке х образуют п-мерное векторное пространство ТхМ, которое называется касательным пространством.

Возьмём в качестве базисных векторов этого пространства касательные векторы к координатным линиям на М через точку х. Полученный базис будет называться голономным или координатным. Обычно его обозначают как дм. Тогда вектор их записывается в виде

д

их = V м(х) дх^ = им(х)дм.

Таким образом, вектор локально соответствует контравариантному тензору 1-го ранга.

Наделим множество ТМ всех касательных пространств к многообразию М структурой 2п-мерного многообразия. Зададим на ТМ голо-номную систему координат (хм,Хм):

х/ — х/ (хи),

дхм дхь

хм — хи

где хм — координаты на М , а Хм — координаты на касательных пространствах к М относительно голономных базисов.

На ТХМ х • • • х ТХМ можно определить поливекторное поле ш. Поле ш локально представимо контравариантным тензором ранга к:

ш — шм1-мкдМ1 <8> — <8> дмк.

6.2. Дифференциальные формы

Дифференциальная 1-форма а есть двойственный объект к касательному вектору V. Для отображения вектора V в действительное число используется операция свёртки (внутреннего произведения). Для этой операции используются следующие обозначения:

— J :

— а(v).

В локальных координатах 1-форма а в точке х имеет вид а = ам(х) dxм. Координатный базис 1-форм dx1,..., dxn связан с базисом векторных полей соотношением д^ dxv = б (по определению). Локально 1-форма соответствует ковариантному тензору 1-го ранга. В точке х многообразия М 1-формы образуют кокасательное пространство Т^М.

Из полилинейных функций ТхМ х • • • х ТхМ ^ К выделяется класс антисимметричных линейных к-форм, заданных соотношением

и(Хь ... ,Х-,... ,Х- ,...,Хк) = -и (X,... ,Х-,... ,Х-,.. .,Хк), X- е ТхМ.

Множество таких дифференцируемых функций обозначается как Лк(ТхМ), а элементы их е Лк(ТхМ) называются дифференциальными (внешними, косыми) к-формами. Множество всех к-форм на многообразии обозначается через (М). Операция произведения вводится с помощью ассоциативного, антикоммутативного, дистрибутивного внешнего умножения Л:

и л п = (-1)мп Л и, и е &Р(ы),п е пд(М). (6.1)

В локальных координатах любая к-форма и е (М) может быть записана в следующем виде:

и = 1 иа1.пк dxMl Л • • • Л dxMfc ,

или

ш — Ш|М1 ...Мк| ¿хМ1 Л • • • Л ёхМк.

В последней записи суммирование производится по возрастающим индексам < ... цк [20; 154].

Функции (как скалярные объекты) являются 0-формами. Если размерность многообразия равна п, то все к-формы при к > п равны нулю, а п-форма ш — ш(х) ёхМ1 Л • • • Л ёхМп состоит из одного слагаемого.

Пространство всех форм 0,(М) — (М) с операцией внешне-

го умножения (6.1) обладает структурой градуированной грассмановой алгебры.

Алгебру дифференциальных к-форм можно превратить в дифференциальный комплекс (комплекс де Рама). Для этого определяют операцию внешнего дифференцирования ё. Внешний дифференциал ё переводит к-форму в (к + 1)-форму. Свойства внешнего дифференциала: - ёё — 0;

- ё(ш Л п) — ¿ш Л п + (-1)кш Л ¿п, ш е Пк(М).

Комплекс де Рама можно записать как цепной комплекс:

0 ^ ^°(М) -V ^1(М) -V ... --4 Пп(М) —. 0. (6.2)

В голономных координатах внешний дифференциал можно записать следующим образом:

¿Ш — д|МшМ1 ...Мк | Л ¿ХМ1 Л • • • Л ёхМк .

Форма и замкнута, если du = 0. Это означает, что и е 2к(М) = кег^ : (М) ^ ^к+1(М)}. Форма и называется точной, если существует (к—1)-форма п такая, что и = dn. Это означает, что и е Вк(М) = 1т ^ : 1(М) ^ (М)}.

Фактор-пространство замкнутых к-форм по точным называется к-группой когомологий де Рама

Якд (М) = кегак

1т ¿к—1г

Это фактор-пространство образовано классами эквивалентности замкнутых форм, разность которых является точной формой. Эти группы являются линейными пространствами. Размерность группы Якд(М) (состоящей из постоянных функций) равна числу компонент связности многообразия М. При к > п, где п — размерность многообразия М, Якд(М) = 0.

Пусть на ориентируемом многообразии М задан элемент объёма V е С помощью оператора двойственности Пуанкаре $ можно задать изоморфизм между пространствами ^к и к:

$ : ^ к. (6.3)

Используя оператор $, можно определить оператор дивергенции б,

сопряжённый оператору ё:

6 — Г1^, 6 :Пк ^ Пк-1. (6.4)

На римановом многообразии с метрикой дм„ можно задать изоморфизм 1д:

1д : ТМ ^ Т*М. (6.5)

В голономных координатах можно записать:

1д V — д^Vм ёхи — Vм ¿хм .

Аналогично (6.5) можно задать изоморфизм между к-векторами и к-формами:

1д Л • • • Л 1д : ^ Пк. (6.6)

Аналогично, можно построить изоморфизм, обратный (6.6):

(1д Л • • • Л 1д)-1 : пк ^ Пк. (6.7)

Тогда, с помощью изоморфизмов (6.7) и (6.3) можно определить линейный оператор дуальности Ходжа:

* — Й(1д Л •••Л 1д) 1,

д д (6.8)

* : пк(М) ^ ^п-к(М).

В голономных координатах (6.8) имеет вид:

Л • • • Л dx№) = dxVfc+1 Л • • • Л dxVn , (6.9)

где е^1 " " — полностью антисимметричный тензор, — метрический тензор, д := det{gмv}, V = \/|д|dx1 Л • • • Л dxn — форма объёма.

Аналогично (6.4), на основе оператора дуальности Ходжа (6.8), можно определить кодифференциал:

б = (—1)к1 d * = (—1)к(п-к)+1 sign(g) * d *, б : ^ 1.

В случае согласованной с метрикой связности кодифференциал б можно выразить через оператор ковариантной производной V:

(6а)а = = = д^уШ^).

Из операторов d и б можно получить инвариантный лапласиан (оператор Лапласа-Бельтрами):

Дк = (d + б)2 = d б + б d ,

(6.10)

Дк : (М) ^ (М). Решения уравнения Дки = 0 называются гармоническими формами.

6.3. Связь голономного и неголономного базисов при записи векторов

Пусть задано многообразие М, в каждой точке которого определена билинейная форма д : ТХМ х ТХМ ^ К. Таким образом на М определено скалярное произведение с помощью симметричного невырожденного тензора д^ (х).

Обычно задают голономный базис:

. д г ■ _

6- — дг — —г- е ТМ, 6- — ёх- е Т*М, г — 1,п. - - дх- -

Однако в векторном анализе распространено использование неголо-номного базиса. Дело в том, что неголономный базис может предоставлять некоторые удобства. В данном случае это:

— сохранение величин при преобразовании координат (т. е. расстояния переходят в расстояние, углы в углы и т.д.);

— неразличимость контравариантных и ковариантных векторов, что позволяет использовать только один тип индекса.

В векторном анализе неголономный базис задаётся через элементы длины ¿й- по соответствующей координате:

, д ■ ' _

6-, — —-, 6- — ¿б-', г' — 1,п. - да1-" ' ' - '

Квадрат интервала в голономном базисе имеет вид:

¿б2 — ¿х- ¿х3 , г, з — 1, п,

где д-з — метрический тензор.

Аналогично квадрат интервала в неголономном базисе принимает следующий вид:

¿б2 — д-,3, ¿б-' ¿б3', г', з ' — 1, п. (6.11;

В случае ортогонального базиса (6.11) принимает вид:

¿б2 — дг'-' ¿Б-¿Б-, г' — 1,п. (6.12)

Выразим неголономный базис через голономный:

- ' - ' - д - д ¿б- — т ¿х-, ——г — к,

- 'да-' - дх-

Здесь К- , К-', г, г' — 1,п, — коэффициенты неголономности. Для ортогонального базиса из (6.12) находим:

. . -' -' . . _

ди ¿х- ¿х- — д-'К- К- ¿х- ¿х- , г, г' — 1,п.

Введём обозначение (для ортогональной системы координат)

Ь ) := Ь- Ь- = —^, Ь := Ь- = . I , г, г7 = 1, п.

- ' , -' д- - , л' / д- -

/ • '"г "г 1 • --г ..

- - д-' - \/ д-'

Величины называются коэффициентами Ламе [155, Т. 1, с. 34-35].

Выразим вектор /- через его компоненты /- в голономном б- и него-лономном б- базисах соответственно:

• • д

/ = /- б- = /-

дх-' д 1 д / = /-' б-, = /- '—7 = /'

дй- ь- дх-

Отсюда получаем, что

/-' = /-Ь- , г, г7 = 1,п. (6.13)

Аналогично для ковекторов имеем:

/ = /- б- = /- dx-, / = /'б- = /' dsi' = / / Ь- dx-

откуда получаем, что

/' = , г, г7 = 1,п. (6.14)

Поскольку разные авторы могут использовать как голономный, так

и неголономный базисы (при этом не заостряя на этом внимания), представляется удобным применять данные соотношения для перехода между ними.

6.4. Ковариантная тензорная запись дифференциальных операторов

Выпишем дифференциальные операторы для пространства R3. Для многообразия R3 можно записать комплекс де Рама (6.2) в виде:

0 4 tt°(R3) ^(R3) tt2(R3) tt3(R3) 4 0.

Размерность пространства ttk (Rk) выражается через биноминальные коэффициенты (k).

Таким образом, получаем следующие преобразования:

— градиент (grad) переводит функции (0-формы) в векторные поля (1-формы);

— ротор (rot) переводит векторные поля (1-формы) в (аксиальные) векторные поля (2-формы);

— дивергенция (div) переводит векторные поля (2-формы) в функции (3-формы).

Запишем в голономных координатах (для связностей, ассоциированных с метрикой) дифференциальные операторы в компонентах.

Запишем градиент через косые формы:

(к3) 4 ^1(К3),

¿(/(х)) — ддхх) ¿х- — дг!(х) ¿х- .

Здесь !(х) — скалярная функция.

В абстрактных индексах выражение для градиента имеет вид:

^аЛ !)- — (gra¿ !)-6- ,

- (6.15)

(gra¿ !)- — V-! — д-_!, г — 1,3. Запишем дивергенцию через косые формы:

(К3) ^3(К3),

¿(!зк(х) ¿х Л ¿хк) — д)к(х) ¿х- Л ¿х3 Л ¿хк — д)(х) ¿х- Л ¿х3 Л ¿хк .