Построение дифференциальных инвариантов и классификация пространств решений дифференциальных уравнений квантовой теории поля тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат наук Гончаровский, Михаил Михайлович

• Гончаровский, Михаил Михайлович
• кандидат наук
• 2017

Оглавление диссертации кандидат наук Гончаровский, Михаил Михайлович

Оглавление

Введение

1 Необходимые теоретические сведения

§ 1.1 Введение в теорию орбит и инвариантных операторов

1.1.1 Теория орбит коприсоединённого представления

1.1.2 Инвариантные операторы на однородных пространствах

1.2.1 Гармонический анализ на группах Ли

1.2.2 Гармонический анализ на однородных пространствах

2 Интегрируемые нелинейные интегродифференциальные уравнения на группах Ли и однородных пространствах

§ 2.1 Интегрируемые уравнения с нелокальной нелинейностью на

коммутативных группах

2.1.1 Уравнение Шрёдингера с нелокальной нелинейностью

2.1.2 Солитонные решения

2.1.3 Уравнение Шрёдингера с нелокальной нелинейностью как интегрируемая гамильтонова система

§ 2.2 Нелинейные интегродифференциальные уравнения на некоммутативных группах Ли

2.2.1 Дифференциальные уравнения с нелокальной нелинейностью

на некоммутативных группах

2.2.2 Пример: уравнение на группе 80(3)

§ 2.3 Нелинейные интегродифференциальные уравнения на однородных пространствах

2.3.1 Дифференциальные уравнения с нелокальной нелинейностью

на однородных пространствах

2.3.2 Пример: уравнение на евклидовой плоскости

3 Вырожденные решения линейных дифференциальных уравнений

§ 3.1 Классификация решений линейных дифференциальных

уравнений

§ 3.2 Пример 1: группа 81(1, Я)

§ 3.3 Пример 2: шестимерная неразрешимая группа индекса 0

4 Дифференциальные инвариантны и операторы инвариантного дифференцирования проецируемого действия групп Ли

§ 4.1 Предварительные замечания

§ 4.2 Связь операторов инвариантного дифференцирования с инвариантными операторами

§ 4.3 Построение дифференциальных инвариантов и операторов

инвариантного дифференцирования

4.3.1 Элементы теории деформаций векторных полей

4.3.2 Дифференциальные инварианты просто-транзитивного действия

4.3.3 Общий случай

Заключение

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Построение дифференциальных инвариантов и классификация пространств решений дифференциальных уравнений квантовой теории поля»

Введение

Актуальность темы. Ключевым моментом и отправной точкой в исследовании конкретной физической системы является решение описывающих её эволюцию уравнений движения. В зависимости от специфики и сложности задачи эта цель может быть достигнута различными способами: путём точного, приближённого или численного интегрирования. При этом особый статус всегда имеют точные аналитические решения, дающие наиболее полную информацию о динамике системы и позволяющие в принципе рассчитать все характеристики, вычисление которых возможно в рамках используемой теории. Помимо чисто прикладного, точные решения представляют также и известный фундаментальный интерес. Так, в квантовой теории поля они выступают существенным элементом процедуры квантования; в окрестности точных решений классических полевых уравнений строятся ряды теории возмущений; в тех случаях, когда теория возмущений неприменима, интегрируемые модели помогают попять характерные особенности поведения более реалистичных систем [47], [94]. Настоящая диссертация посвящена развитию некоторых подходов к проблеме нахождения точных решений дифференциальных уравнений в частных производных, возникающих в различных областях теоретической физики, в частности, в КТП.

В первой части работы рассматривается класс интегрируемых моделей для скалярного поля с нелокальным самодействием. Соответствующие интегродиф-ференциальные уравнения, будучи нелинейными, демонстрируют многие характерные свойства нелинейных эволюционных уравнений, интегрируемых методом обратной задачи рассеяния, в частности, допускают гамильтоново представление, обладают солитонными решениями и бесконечным набором интегралов движения. Вместе с тем свойство интегрируемости может сохраняться при

переходе от плоского пространства — времени к искривлённому при условии, что последнее обладает достаточно широкой группой движений.

Во второй части диссертации рассматривается проблема интегрирования линейных дифференциальных уравнений (ЛДУ) в частных производных с переменными коэффициентами. Их значение для физических и инженерных приложений трудно переоценить. Спектр описываемых ими явлений чрезвычайно широк: от процессов переноса и упругих деформаций в неоднородных средах до динамики электронного газа в графенах и квантовых эффектов в интенсивных гравитационных полях. Центральное место среди методов нахождения точных решений линейных уравнений математической физики занимает метод разделения переменных [53], и фактически под термином «интегрируемость» применительно к уравнению в частных производных чаще всего понимается возможность разделить в нём переменные. Однако существуют весьма жёсткие ограничения на применимость этого метода. Так, для наиболее распространённого случая одного уравнения второго порядка известны необходимые и достаточные условия разделения переменных [48] (а, например, для уравнения Дирака, представляющего собой систему из четырёх уравнений первого порядка, известны только необходимые условия [49]). В частности, необходимым является наличие достаточного числа коммутирующих операторов симметрии. Если эти условия не выполнены, найти общее решение уравнения методом разделения переменных нельзя. В последние два десятилетия получила развитие теория некоммутативного интегрирования ЛДУ [36], [41], которую можно рассматривать как «квантовый» аналог метода некоммутативного интегрирования гамильтоновых систем, восходящего к работам Мищенко и Фоменко [55], [13], [14]. В основе данной теории лежит использование некоммутативных алгебр симметрии, что позволяет значительно расширить множество интегрируемых уравнений. В работах [39] — [44] получен ряд результатов по точному решению некоммутативным методом уравнений Шрёдингера, Клейна — Гордона и

Дирака для случаев, как правило, не допускающих разделения переменных.

Указанные два метода фактически исчерпывают список конструктивных способов получения общих решений ЛДУ. Однако даже в тех случаях, когда они не приводят к успеху, можно тем не менее рассчитывать на получение семейств частных решений, зависящих от максимально большого числа произвольных функций или параметров. Один из возможных подходов к решению данной задачи мы рассматриваем в диссертационной работе.

Ещё одним мощным инструментом построения точных решений дифференциальных уравнений, применимым уже не только к линейным уравнениям, является групповой анализ [67] — [69]. В соответствии с замечанием его основоположника Софуса Ли, что «многие области математики являются не чем иным, как теорией инвариантов специальных групп» [1], классическим объектом исследования в групповом анализе являются дифференциальные инварианты. Они представляют собой инварианты действия группы Ли, продолженного на т. н. пространство струй, имеющее смысл пространства независимых переменных, зависимых переменных и производных зависимых переменных по независимым. Необходимость изучения дифференциальных инвариантов групп преобразований обусловлена двумя важными областями приложений. Знание дифференциальных инвариантов, во-первых, позволяет построить все уравнения, инвариантные относительно заданной группы, и во-вторых, во многих практически интересных случаях даёт возможность находить дополнительные классы точных решений, называемых дифференциально инвариантными. Важнейшими с точки зрения физических приложений примерами такого рода решений являются хорошо известные решения уравнений гидродинамики, описывающие потенциальное течение или течение несжимаемой жидкости, и решения уравнений Максвелла в Лоренцевой и Кулоновой калибровках. Изучение дифференциальных инвариантов естественным образом приводит к идее операторов инвариантного дифференцирования — дифференциальных операторов, пере-

водящих дифференциальные инварианты в другие инварианты, зависящие от производных более высокого порядка. Они представляют интерес, т. к. с их помощью можно получать из конечного набора инвариантов инварианты любого порядка простым дифференцированием.

Последовательная теория дифференциальных инвариантов, по-видимому, была впервые развита Трессе [75] и получила широкую известность только в 70-х годах XX века благодаря работам Овсянникова [67]. С тех пор было получено множество частных результатов для конкретных групп и систем уравнений. В последние годы усилиями Ольвера [81], [82] в теории инвариантов достигнут значительный прогресс. Развитый Ольвером алгебраический метод вычисления дифференциальных инвариантов и операторов инвариантного дифференцирования уже нашёл своё применение в теоретико-групповом исследовании нелинейных уравнений в частных производных [83] — [85]. Тем не менее, во многих конкретных случаях (в особенности при больших размерностях группы или пространства переменных) нахождение инвариантов и операторов инвариантного дифференцирования по-прежнему сопряжено с большими вычислительными трудностями и может оказаться практически неосуществимым даже при помощи современных систем компьютерной алгебры, вследствие чего представляет интерес развитие новых методов отыскания инвариантов. Этой задаче посвящена заключительная часть диссертации.

Цели и задачи работы.

1. Изучить свойства нелинейного нелокального вполне интегрируемого обобщения уравнения Шрёдингера и его точных решений.

2. Исследовать класс интегрируемых дифференциальных уравнений с нелокальной нелинейностью на группах Ли и однородных пространствах.

3. Разработать метод нахождения частных решений линейных уравнений в частных производных, не интегрируемых методом разделения переменных и некоммутативным методом.

4. Исследовать связь инвариантных операторов на однородном пространстве группы Ли с операторами инвариантного дифференцирования той же группы, рассматриваемой как группа симметрий системы дифференциальных уравнений.

5. Разработать метод нахождения дифференциальных инвариантов и операторов инвариантного дифференцирования проецируемых действий групп преобразований.

Научная новизна. Основные результаты, изложенные в диссертации, впервые получены в работах автора и ранее известны не были. Впервые метод орбит коприсоединённого представления применён для нахождения частных решений уравнений КТП, предложена классификация таких решений. На основе идеи проекции с группы Ли на однородное пространство разработан новый общий метод построения дифференциальных инвариантов групп преобразований.

Положения диссертации, выносимые на защиту.

1. Предложено и исследовано интегрируемое обобщение уравнения Шрёдин-гера, содержащее нелокальную нелинейность, получено его общее решение. Показано, что уравнение допускает гамильтоново представление, выделены многомерные солитонные решения.

2. Предъявлен алгоритм получения частных решений интегродифференци-альных уравнений с нелокальной нелинейностью специального вида на группах Ли и однородных пространствах.

3. Изучены свойства специального класса решений (называемых вырожденными) линейных дифференциальных уравнений, обладающих алгеброй операторов симметрии. Среди алгебр Ли до шестого порядка включительно, для которых известна классификация, найдены все алгебры, допускающие существование неинвариантных вырожденных решений.

4. Доказано, что каждый инвариантный дифференциальный оператор порядка й на однородном пространстве группы Ли порождает набор й операторов ин-

вариантного дифференцирования проецируемого действия этой группы. Разработан общий метод нахождения дифференциальных инвариантов и операторов инвариантного дифференцирования проецируемых действий групп Ли.

Степень достоверности результатов. Все представленные в диссертационной работе результаты строго обоснованы и подкреплены многочисленными конкретными примерами. Правильность полученных в примерах решений дифференциальных уравнений может быть легко проверена непосредственно дифференцированием.

Теоретическая ценность и практическая значимость. Результаты, полученные в диссертационной работе, могут быть использованы для построения интегрируемых моделей физических процессов и нахождения точных решений дифференциальных уравнений в частных производных с переменными коэффициентами, возникающих в различных областях теоретической физики, прежде всего в квантовой теории поля в искривлённом пространстве — времени.

Структура и объём диссертации. Диссертация объёмом 113 печатных страниц состоит из введения, четырёх глав, двенадцати параграфов, заключения и списка литературы из 110 наименований.

Содержание диссертации. Во введении обоснована актуальность темы диссертации, сформулированы цели работы и дано краткое изложение её содержания.

Глава 1 содержит минимум теоретических сведений, необходимый для дальнейшего последовательного изложения результатов работы. В первом параграфе дан обзор известных результатов по теории орбит коприсоединённого представления (^-орбит) групп Ли и инвариантных операторов на однородных пространствах. Приводится классификация ^-орбит, описывается образуемая ими структура симплектического слоения, вводится важное для приложений понятие А-представления. А-представление представляет собой операторно неприводимое представление алгебры Ли ^ ~ ТеС в пространстве функций на

лагранжевом подмногообразии к ^-орбите группы Ли С. Далее излагается теория инвариантных операторов на однородных С-пространствах и алгоритм их нахождения. Важность последних обусловлена тем, что с их помощью могут быть записаны в инвариантном виде уравнения, допускающие алгебру симметрии, а также их связью с операторами инвариантного дифференцирования.

Во втором параграфе на основе теории ^-орбит строится гармонический анализ на группах Ли и однородных пространствах, занимающий центральное место в некоммутативном интегрировании дифференциальных уравнений. При этом ключевую роль играет специальное представление группы Ли, являющееся поднятием па группу А-представления, введённого в первом параграфе. Матричные элементы этого представления удовлетворяют переопределённой системе линейных дифференциальных уравнений и образуют полную ортогональную систему функций на группе, что позволяет ввести с их помощью обобщённое преобразование Фурье. Обсуждаются свойства определённого таким образом преобразования, важные с точки зрения дальнейших применений. В частности, они дают возможность преобразовывать лево- и правоинвариантные поля на группе в операторы А-представления, зависящие от меньшего числа переменных.

Третий параграф содержит сжатое изложение классической теории дифференциальных инвариантов, являющейся основой группового анализа дифференциальных уравнений. Даются определения дифференциального инварианта, базиса дифференциальных инвариантов, оператора инвариантного дифференцирования; излагается стандартный метод нахождения дифференциальных инвариантов и операторов инвариантного дифференцирования, обсуждаются его недостатки, мотивирующие поиск альтернативных подходов.

Главы 2, 3 и 4 составляют оригинальную часть диссертации.

Глава 2 посвящена исследованию класса интегродифференциальных уравнений, содержащих линейную дифференциальную часть и нелокальную нели-

нейность специального вида. Такие уравнения могут быть интересны как модельные примеры динамики полей с нелокальным самодействием. В первом параграфе подробно рассматривается одно обобщение уравнения Шрёдинге-ра с нелокальной нелинейностью типа свёртки, обладающее свойством полной интегрируемости. Получено его общее решение и решения в виде произвольного числа невзаимодействующих солитонов. Показано, что, так же как и все известные нелинейные дифференциальные уравнения, обладающие солитонны-ми решениями, данное уравнение может рассматриваться как бесконечномерная вполне интегрируемая гамильтонова система и допускает бесконечномерную группу симметрии; описана соответствующая гамильтонова структура, в явном виде произведён переход к переменным действие — угол, выписан общий вид интегралов движения, составляющих бесконечный набор. Замечательной особенностью рассматриваемого уравнения, отличающей его от других солитон-ных уравнений, является возможность непосредственного обобщения на случай произвольного числа пространственных переменных, что позволяет получать многомерные солитонные решения.

Во втором параграфе идея построения интегрируемых нелинейных ин-тегро-дифференциальных уравнений распространяется на случай, когда неизвестная функция задана на многообразии некоторой группы Ли: наличие групповой операции позволяет обобщить понятие свёртки на пространство функций, определённых на группе. Для редукции уравнений этого типа к уравнениям с меньшим числом независимых переменных используется гармонический анализ, изложенный во втором параграфе главы I. Уравнение является интегрируемым, если таким путём удаётся свести его к обыкновенному дифференциальному или алгебраическому. В качестве примера рассматривается уравнение с линейной частью типа Клейна — Гордона на группе 80(3). Показано, что оно допускает решения, которые можно трактовать как волновые: сдвиг по параметру, интерпретируемому как время, эквивалентен левому сдвигу решения на

Третий параграф завершает развитую в предыдущих двух параграфах концепцию рассмотрением уравнений на однородном С-пространстве М = Н\С. В нём показано, что с помощью канонической проекции ж : С ^ М при некоторых дополнительных условиях можно получать интегрируемые нелинейные нелокальные уравнения на однородных пространствах. Реализация механизма иллюстрируется примером уравнения на евклидовой плоскости, на которой транзитивно действует группа Е(2).

В главе 3 рассматривается один из возможных подходов к задаче построения частных решений линейных уравнений в частных производных, инвариантных относительно некоторой группы симметрии, но не допускающих полного разделения переменных и не интегрируемых в некоммутативном смысле. В первом параграфе излагается идея разработанного метода, заключающаяся в ограничении исходного уравнения на особые инвариантные относительно действия группы симметрии подпространства функций, что достигается путём наложения дополнительных дифференциальных условий, совместных с исходным уравнением и позволяющих (ценой потери части информации о решении) уменьшить число независимых переменных в нём. Решения, принадлежащие таким инвариантным подпространствам, мы называем вырожденными. Сформулирована и доказана теорема, определяющая условия, при которых применение указанной процедуры позволяет свести задачу к решению обыкновенных дифференциальных или алгебраических уравнений. Среди алгебр Ли до шестого порядка включительно, для которых известна классификация, найдены все алгебры, допускающие существование неинвариантных вырожденных решений. Инвариантные решения хорошо известны в групповом анализе дифференциальных уравнений, поэтому представляют второстепенный интерес с точки зрения рассматриваемого метода. Так же как и в предыдущей главе, ключевую роль во всех построениях играет теория Х-орбит и А-представление алгебры

В следующих двух параграфах приводятся примеры построения вырожденных решений для конкретных групп симметрии. Во втором параграфе рассматривается произвольное скалярное уравнение на шестимерном многообразии, инвариантное относительно просто-транзитивного действия группы 81(1, Я). Этот пример интересен тем, что демонстрирует редкий случай, когда в одном из подпространств вырожденных решений А-представление не может быть осуществлено операторами первого порядка, что, однако, не препятствует реализации схемы построения решения.

В третьем параграфе строятся вырожденные решения неинтегрируемого уравнения Клейна — Гордона на пятимерном римановом многообразии с шестимерной неразрешимой группой движений. Для метрики общего вида задача сведена к ОДУ, в частном случае метрики, зависящей от трёх произвольных постоянных, получено явное решение в виде линейной комбинации функций Лежандра комплексного индекса. Следует отметить, что, хотя в качестве иллюстративного примера мы используем уравнение Клейна — Гордона, однако полученные результаты носят общий характер и могут быть распространены фактически на любые (не обязательно скалярные) линейные уравнения. Существенно, что в обоих рассмотренных случаях по крайней мере часть вырожденных решений не может быть получена методами группового анализа.

В главе 4 предлагается общий метод построения дифференциальных инвариантов проецируемых действий групп Ли, в основе которого лежит подход, альтернативный подходам Трессе и Ольвера. Проецируемым называется действие группы С на декартовом произведении двух многообразий М х и, допускающее корректное ограничение на первый сомножитель М. Применительно к анализу систем дифференциальных уравнений это означает, что независимые переменные преобразуются одинаково при всех значениях зависимых переменных. Симметрии большинства физически интересных задач могут быть

описаны в терминах проецируемых действий.

В первом параграфе приводятся некоторые замечания технического характера и обсуждаются пределы применимости подхода. Идея его состоит в том, чтобы вместо действия группы на однородных пространствах, на которые расслаивается пространство переменных исходного дифференциального уравнения, рассматривать действие группы на самой себе правыми или левыми сдвигами. Базис инвариантов этого действия, состоящий из инвариантов нулевого порядка, оказывается возможным во всех случаях построить чисто алгебраическим путём. Инварианты исходного действия могут затем быть получены из этого базиса как проекции с группы на однородное пространство путём наложения некоторых дополнительных условий. Аналогичным путём может быть получен и базис операторов инвариантного дифференцирования. Последние, кроме того, тесно связаны с инвариантными операторами на однородных пространствах, что является основой для ещё одного алгебраического метода нахождения операторов инвариантного дифференцирования, который, однако, имеет лишь вспомогательное значение, так как в общем случае позволяет найти только часть базиса. Этим вопросам посвящены второй и третий параграфы главы. В них проводится доказательство перечисленных выше утверждений, приводятся примеры применения обоих методов для конкретных групп преобразований, обсуждаются их преимущества и недостатки. Существенно, что излагаемый подход является бескоординатным: возникающие при его реализации уравнения полностью определяются структурными константами алгебры симметрии и не зависят от конкретного вида действия группы в пространстве независимых и зависимых переменных.

В заключении подводятся итоги работы и кратко формулируются основные полученные результаты.

Апробация работы. Материалы диссертации докладывались на — Х1ЛТ Международной научной студенческой конференции «Студент и научно-

технический прогресс» 26 — 30 апреля 2008 г., г. Новосибирск;

— XXXII региональной научно-практической студенческой конференции «Молодёжь третьего тысячелетия», май 2008 г., г. Омск;

— Международной (43-й Всероссийской) молодёжной школ е-конференции «Современные проблемы математики» 29 января — 5 февраля 2012 г., г. Екатеринбург;

— Третьей международной конференции «Математическая физика и её приложения» 27 августа — 1 сентября 2012 г., г. Самара;

— XVI Международной конференции «Методы симметрии в физике» 13 — 18 октября 2014 г., г. Дубна;

— научных семинарах кафедр общей физики и радиофизики Омского государственного университета, кафедры средств связи и информационной безопасности Омского государственного технического университета, кафедры теоретической физики Томского государственного университета.

Результаты диссертации опубликованы в десяти печатных работах [101], [102], [103], [104], [105], [106], [107], [108], [109], [110].

Автор выражает благодарность своему научному руководителю И. В. Широкову за идеи, составившие основу данной работы, и помощь в их развитии, А. А. Магазёву — за многочисленные неформальные обсуждения смежных вопросов, а также светлой памяти фонду «Династия» — за финансовую поддержку без бюрократических излишеств.

ГЛАВА 1. Необходимые теоретические сведения

§ 1.1 Введение в теорию орбит и инвариантных операторов

В этом параграфе мы приведём сжатое изложение теории орбит коприсо-едипённого представления А. А. Кириллова [5] и тесно с ней связанной теории инвариантных операторов на однородных пространствах групп Ли. Изложенные сведения понадобятся нам в следующем параграфе для построения гармонического анализа на группах и однородных пространствах, применяемого в дальнейшем при интегрировании дифференциальных уравнений.

1.1.1 Теория орбит коприсоединённого представления

Пусть G — вещественная связная унимодулярная группа Ли, Q — её алгебра Ли с базисом {еГ1} и коммутационными соотношениями [ei,ej] = Cfjij = 1, .. ,п = dim G [7], [8], Ç* - сопряженное к Ç пространство (коалгебра), fi -координаты ковектора f G Ç* в базисе, дуальном к {е^}: f = /¡е\ (el,ej) = ôj. Группа G действует па пространстве, сопряжённом к алгебре (коалгебре) Q* коприсоединённым представлением Ad* по правилу

(Ad* f,X) = {f, Adg-i X), g G G, X G Q, f G Q*. (1.1)

Генераторами коприсоединённого действия являются векторные поля1

В

Yi(f ) = ^ (f ) щ, Сгз (f ) = С* fk.

Коприсоедипёппое действие, как правило, нетранзитивно: в общем случае существуют непостоянные функции К ( f ), являющиеся инвариантами действия (1.1), и, следовательно, удовлетворяющие системе уравнений

Yi Kv (f ) = 0, ^ = 1,..,r = ind a.

1 Здесь и далее по дважды повторяющимся в одночленном выражении индексам подразумевается суммирование.

Инварианты коприсоединённого действия называются функциями Казимира,, а число г функционально независимых инвариантов - индексом алгебры Q.

Таким образом, действие (1.1) расслаивает пространство^* на орбиты коприсоединённого представления (^-орбиты). Размерность орбиты Of, проходящей через точку (ковектор) f определяется рангом матрицы С(/), составленной из компонент генераторов действия группы, в данной точке:

dim Of = rank С(f).

Орбиты, имеющие максимально возможную размерность, равную рангу матрицы С(f) в точке общего положения, называются невырожденными, все остальные орбиты, соответственно, вы,рожденным,и. Из антисимметричности матрицы С(f) следует, что все ^-орбиты имеют чётную размерность, поэтому последнее равенство можно переписать в следующем виде:

п — V

dim Of = п — г — 2s, s = 0, 1, ..., ——-. (1.2)

2

Число s, определяющее, на сколько размерность ^-орбиты ниже максимальной для данной алгебры, называется степенью вырождения орбиты. Невырожденные орбиты характеризуются условием s = 0. Объединение всех невырожденных орбит обозначим М0. Чтобы найти особые инвариантные подмногообразия Ms пространства Q*, являющиеся объединением вырожденных орбит размерности п — г — 2s, s > 0, следуя общему правилу, приравняем нулю все миноры матрицы Cij (f) размер а п — г — 2s + 2. Совокупность этих миноров обозначим Fs(f). Тогда Ad*-HHBapHaHTHbie подмножества Ms С Q* могут быть описаны следующим образом:

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Гончаровский, Михаил Михайлович, 2017 год

Список литературы

[1] Кострикин А. И. Введение в алгебру. Часть III. Основные структуры: Учебник для вузов. 3-е изд. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004, 272 с.

[2] Кириллов А. А. Унитарные представления нильпотентных групп Ли // Успехи математических наук, 1962, Т. 17, № 4, с. 57 - 110

[3] Кириллов А. А. Характеры унитарных представлений групп Ли // Функц. анал. и его прилож., 1968, Т. 2, вып. 2, с. 40 - 55

[4] Кириллов А. А. Характеры унитарных представлений групп Ли. Редукционные теоремы // Функц. анал. и его прилож., 1969, Т. 3, вып. 1, с. 36 -47

[5] Кириллов А. А. Элементы теории представлений. М.: Наука, 1978. — 344 с.

[6] Кириллов А. А. Введение в теорию представлений и некоммутативный гармонический анализ // Итоги науки и техн. Сер. Совр. пробл. матем. Фун-дам. напр. ВИНИТИ, 1988, Т. 22, с. 5 - 162

[7] Барут А., Рончка Р. Теория представлений групп и её приложения. Т. 1. М.: Мир, 1980, 455 с.

[8] A. Arvanitoyeorgos. An introduction to Lie groups and the geometry of homogeneous spaces. American Mathematical Society, Student Mathematical Library, vol. 22, 2003, 141 p.

[9] Широков И. В. Координаты Дарбу на K-орбитах и спектры операторов Казимира на группах Ли // Теор. и мат. физ., 2000, 123:3, с. 407 - 423

[10] Багров В. Г., Самсонов Б. Ф., Шаповалов А. В., Широков И. В. Тождества на решениях волнового уравнения в обертывающей алгебре конформной группы // Теор. и мат. физ., 83:1 (1990), с. 14 - 22

[11] Широков И. В. Тождества и инвариантные операторы на однородных пространствах // Теор. и мат. физ., 126:3 (2001), с. 393 - 408

[12] Широков И. В. ^-орбиты, гармонический анализ на однородных пространствах и интегрирование дифференциальных уравнений. Препринт. Омск: Ом ГУ, 1998, 100 с.

[13] Трофимов В. В., Фоменко А. Т. Алгебра и геометрия интегрируемых га-мильтоновых дифференциальных уравнений. М.: Факториал, 1995, 448 с.

[14] А. В. Борисов, И. С. Мамаев. Современные методы теории интегрируемых систем. Москва — Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003, 296 с.

[15] Борисов А. В., Мамаев И. С. Скобки Дирака в геометрии и механике. В книге: Дирак П. А. М. Лекции по теоретической физике. Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001, с. 191 - 230

[16] Переломов А. М. Интегрируемые системы классической механики и алгебры Ли. М.: Наука, 1990, 240 с.

[17] Фоменко А. Т. Симплектическая геометрия. Методы и приложения. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1988, 413 с.

[18] Барановский С. П., Широков И. В. Деформации векторных полей и канонические координаты на орбитах коприсоединённого представления // Сиб. матем. жури., 50:4 (2009), с. 737 - 745

[19] Желобенко Д. П., Штерн А. И. Представления групп Ли. М.: Наука, 1983 360 с.

[20] Желобенко Д. П. Компактные группы Ли и их представления. М.: Наука, 1970, 664 с.

[21] Диксмье Ж. Универсальные обёртывающие алгебры. М.: Мир, 1978, 407 с.

[22] Винберг Э. Б. Коммутативные однородные пространства и коизотропные симплектические действия // Успехи математических наук, 2001, Т. 56, вып. 1, с. 3 - 62

[23] Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия. Методы и приложения. М.: Наука, 1986. - 759 с.

[24] Арнольд В. И., Козлов В. В., Нейштадт А. И. Математические аспекты классической и небесной механики. Динамические системы — 3, Итоги науки и техн. Сер. Соврем, пробл. мат. Фундам. направления, 3. М.: ВИНИТИ, 1985, с. 5 - 290

[25] А. С. Мищенко, А. Т. Фоменко. Интегрирование гамильтоновых систем с некоммутативными симметриями. Тр. Семинара по вектор, и тензор, анализу с их прил. к геометрии, мех. и физ. Моск. ун-т, 1980, 20, с. 5 - 54

[26] Садэтов С. Т. Интегририуемые системы классической механики и алгебры Ли. Диссертация на соискание учёной степени доктора физико-математических наук. Ростов-на-Дону, 2004, 155 с.

[27] Тахтаджян Л. А., Фаддеев Л. Д. Гамильтонов подход в теории солитонов. М.: Наука, 1986, 527 с.

[28] Захаров В. Е., Манаков С. В., Новиков С. П., Питаевский Л. П. Теория солитонов: метод обратной задачи. М.: Наука, 1980, 319 с.

[29] Абловиц М., Сигур X. Солитоны и метод обратной задачи. М.: Мир, 1987, 480 с.

[30] Додд Р., Эйлбек Дж., Гиббон Дж., Моррис X. Солитоны и нелинейные волновые уравнения. М.: Мир, 1988, 694 с.

[31] Лэм Д. Л. Введение в теорию солитонов. М.: Мир, 1983, 294 с.

[32] Ньюэлл А. Солитоны в математике и физике. М.: Мир. 1989, 324 с.

[33] Буллаф Р., Кодри Ф. Солитоны. М.: Мир, 1983, 408 с.

[34] Р. Е. Zhidkov. Korteweg — de Vries and nonlinear Schrodinger equations: qualitative theory. Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York, 2001, 147 p.

[35] T. D. Lee, Y. Pang. Nontopological solitons. Physics reports (Review Section of Physics Letters) 221. Nos. 5 & 6, 1992, p. 251 - 350

[36] Шаповалов А. В., Широков И. В. Некоммутативное интегрирование линейных дифференциальных уравнений // Теор. и мат. физ., 104:2 (1995), с. 195 _ 213

[37] Шаповалов А. В., Широков И. В. Метод некоммутативного интегрирования линейных дифференциальных уравнений. Функциональные алгебры и некоммутативная размерная редукция // Теор. и мат. физ., 106:1 (1996), с. 3 - 15

[38] Федосеев В. Г., Шаповалов А. В., Широков И. В. О некоммутативном интегрировании уравнения Дирака в римановых пространствах с группой движения // Изв. вузов. Физика, 1991, Т. 34, № 9, с. 43 - 46

[39] Шаповалов А. В., Широков И. В. Некоммутативное интегрирование уравнений Клейна — Гордона и Дирака в римановых пространствах с группой движений // Изв. вузов. Физика, 1991, Т. 34, № 5, с. 33 - 38

[40] Вараксин О. Л., Фирстов В. В., Шаповалов А. В., Широков И. В. Классификация F-алгебр и некоммутативное интегрирование уравнения Клейна — Гордона в римановых пространствах // Изв. вузов. Физика, 1993, Т. 36, № 1, с. 45 - 50

[41] Вараксин О. Л., Фирстов В. В., Шаповалов А. В., Широков И. В. Квадратичные алгебры и некоммутативное интегрирование уравнения Клейна

- Гордона в римановых пространствах нештеккелева типа // Изв. вузов. Физика, 1995, Т. 38, № 5, с. 83 - 87

[42] Барановский С. П., Михеев В. В., Широков И. В. Квантовые гамильто-новы системы на К-орбитах. Квазиклассический спектр асимметрического волчка.// Теор. и мат. физ., 2001, 199:1, с. 3 - 13

[43] Магазёв А. А. Интегрирование уравнения Клейна — Гордона — Фока во внешнем электромагнитном поле на группах Ли // Теор. и мат. физ., 2012, 173:3, с. 375 - 391

[44] Магазёв А. А. Алгебра операторов симметрии и интегрирование уравнения Клейна — Гордона во внешнем электромагнитном поле // Изв. вузов. Физика, 2014, Т. 57, № 6, с. 93 - 101

[45] Белов В. В., Трифонов А. Ю., Шаповалов А. В. Квазиклассическое траекторно-когерентное приближение для уравнений типа Хартри // Теор. и мат. физ., 2002, 130:3, с. 460-492

[46] Брюнинг Й., Доброхотов С. Ю., Некрасов Р. В., Шафаревич А. И. Распространение гауссовых волновых пакетов в квантовых периодических волноводах с нелокальной нелинейностью // Теор. и мат. физ., 2008, 155:2, с. 215

- 235

[47] Гриб А. А., Мамаев С. Г., Мостепаненко В. М. Квантовые эффекты в интенсивных внешних полях (методы и результаты, не связанные с теорией возмущений). М.: Атом излит. 1980, 296 с.

[48] Шаповалов В. Н. Разделение переменных в линейном дифференциальном уравнении второго порядка // Дифф. уравнения, 16:10 (1980), с. 1864 -1874

[49] Шаповалов В. Н., Экле Г. Г. Алгебраические свойства уравнения Дирака. Элиста: Калмыцкий университет, 1972

[50] Курант Р., Гильберт Д. Методы математической физики. II. М. Л.: ОГИЗ ГИТТЛ, 1945, 620 с.

[51] Владимиров В. С., Жаринов В. В. Уравнения математической физики. М.: Физ.-мат. лит-ра, 2000, 400 с.

[52] Багров В. Г., Белов В. В., Задорожный В. Н., Трифонов А. Ю. Методы математической физики. IV. Уравнения математической физики. Томск: НТЛ, 2002, 646 с.

[53] Миллер У. мл. Симметрия и разделение переменных. М.: Мир, 1983, 342 с.

[54] Вилепкип Н. Я. Специальные функции и теория представлений ГруПп. М.: Наука, 1965, 588 с.

[55] Мищенко А. С., Фоменко А. Т. Обобщённый метод Лиувилля интегрирования гамильтоновых систем // Функц. анал. и его прилож. 1978, Т. 12, вып. 2, с. 46 - 56

[56] Клишевич В. В. Интегрирование уравнения Дирака во внешнем гравитационном поле, допускающем некоммутативную группу движений. Диссертация на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук. Омск, 1999, 142 с.

[57] Мубаракзянов Г. М. О разрешимых алгебрах Ли // Изв. вузов. Ми тем.. 1963, № 1, с. 114 - 123

[58] Мубаракзянов Г. М. Классификация вещественных структур алгебр Ли пятого порядка / / Изв. вузов. Ми тем.. 1963, № 3, с. 99 - 106

[59] Морозов В. В. Классификация нильпотентных алгебр Ли шестого порядка / / Изв. вузов. Ми тем.. 1958, № 4, с. 161 - 171

[60] Мубаракзянов Г. М. Классификация разрешимых алгебр Ли шестого порядка с одним ненильпотентным базисным элементом // Изв. вузов. Ми-тем.. 1963, № 4, с. 104 - 116

[61] A. Shabanskaya. Classification of Six Dimensional Solvable Indecomposable Lie Algebras with a codimension one nilradical over R. LAP LAMBERT Academic Publishing, 2011, 184 p.

[62] Андреев А. И. Действительные неразрешимые шестимерные алгебры Ли // Изв. Пензенского гос. педагогии, ун-та им. В. Г. Белинского, 2009, № 13 (17), с. 7- 13

[63] Магазёв А. А. Интегрирование геодезических потоков и релятивистских волновых уравнений на однородных пространствах. Диссертация на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук. Омск, 2004, 109 с.

[64] J. Patera, R. Т. Sharp, P. Winternitz, Н. Zassenhaus. Invariants of real low dimension Lie algebras //J. Math. Phys. 1976, 16:6, p. 986 - 994

[65] Корн Г., Корн Т. Справочник по математике (для научных работников и инженеров). М: Наука, 1973, 832 с.

[66] М. Abramowitz, I. A. Stegun. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, 9th printing. New York: Dover, 1972, 1046 p.

[67] Овсянников Л. В. Групповой анализ дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1978, 399 с.

[68] Олвер П. Приложения групп Ли к дифференциальным уравнениям. М.: Мир, 1989, 639 с.

[69] Ибрагимов H. X. Группы преобразований в математической физике. М.: Наука, 1983, 281 с.

[70] Ибрагимов H. X. Азбука группового анализа. М.: Знание, 1989, 48 с. (Новое в жизни, науке, технике. Сер. «Математика, кибернетика»; № 8)

[71] Ибрагимов H. X. Опыт группового анализа обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Знание, 1991, 48 с. (Новое в жизни, науке, технике. Сер. «Математика, кибернетика»; № 7)

[72] Виноградов А. М., Красильщик И. С., Лычагин В. В. Введение в геометрию нелинейных дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1986, 336 с.

[73] I. Kolâr, P. W. Michor, J. Slovak. Natural operations in differential geometry. Springer-Verlag, Berlin, 1993, 440 p.

[74] G. Sardanashvily. Advanced Differential Geometry for theoreticians: fibre bundles, jet manifolds and lagrangian theory. LAP LAMBERT Academic Publishing, 2013, arXiv:0908.1886, 158 p.

[75] A. Tresse. Sur les invariants différentiels des groupes continus de transformations // Acta Math., 1894, vol. 18, p. 1 - 88

[76] Попович P. E., Бойко В. H. Дифференциальные инварианты однопарамет-рической группы локальных преобразований и интегрируемые уравнения Риккати // Вестник СамГУ, 2001, № 4 (18), с. 49 - 56

[77] А. P. Chupakhin. Differential invariants: theorem of commutativity // Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation, 2004, 9:1, p. 25 -33

[78] Виноградов A. M, Марван M., Юмагужин В. А. Дифференциальные инварианты гиперболических уравнений Монжа — Ампера общего положения // Доклады Академии Наук, 2005, Т. 405, № 3, с. 299 - 301

[79] Любашевская Н. В., Чупахин А. П. Базис дифференциальных инвариантов группы симметрии уравнений Грина — Нагди // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки, 2009, № 2, с. 52 _ б2

[80] V. A. Yumaguzhin. Differential Invariants of Second Order ODEs, I // Acta Applicandae Mathematicae, 2010, 109:1, p. 283 - 313

[81] P. J. Olver. Generating differential invariants //J. Math. Anal. Appl., 333 (2007), p. 450 - 471

[82] P. J. Olver. Differential invariant algebras // Comtemp. Math., 549 (2011), p. 95 - 121

[83] J. Cheh, P. J. Olver, J. Pohjanpelto. Algorithms for differential invariants of symmetry groups of differential equations // Found. Comput. Math., 8 (2008), p. 501 - 532

[84] P. J. Olver. Recent advances in the theory and application of Lie pseudo-groups // XVIII International Fall Workshop on Geometry and Physics, AIP Conf. Proc., vol. 1260, Amer. Inst. Phys., Melville, NY, 2010, p. 35 - 63

[85] E. M. Dos Santos Cardoso-Bihlo. Differential Invariants for the Korteweg — de Vries Equation // Proc. of 6th Workshop "Group Analysis of Differential Equations & Integrable Systems"(June 17 — 21, 2012, Protaras, Cyprus)

[86] Широков И. В. Дифференциальные инварианты группы преобразований однородного пространства // Сиб. матем. жури.. 2007, 48:6, с. 1405 - 1421

[87] Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. М.: Наука, 1966, 576 с.

[88] Фугцич В. И., Никитин А. Г. Симметрия уравнений квантовой механики. М.: Наука, 1990, 400 с.

[89] Горбацевич В. В., Онищик А. Л. Группы Ли преобразований. Итоги науки и техн. Сер. Соврем, пробл. мат. Фундам. направления, М.: ВИНИТИ, 1988, Т. 20, с. 103 - 240

[90] Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теоретическая физика: Учеб. пособие. В 10 т. Т. IV/B. Б. Берестецкий, Е. М. Лифшиц, Л. П. Питаевский. Квантовая электродинамика. — 3-е изд., испр. М.: Наука, 1989, 728 с.

[91] Желнорович В. А. Теория спиноров и её применение в физике и механике. М.: Наука, 1982, 270 с.

[92] Билялов Р. Ф., Никитин Б. С. Спиноры в произвольных реперах. Кова-риантная производная и производная Ли спиноров // Изв вузов. Ми тем.. 1998, № 6 (433), с. 9- 18

[93] М. D. Pollock. On the Dirac equation in curved space-time // Acta Physica Polonica B, 2010, N 8, vol. 41, p. 1827 - 1846

[94] Гальцов Д. В. Частицы и поля в окрестности чёрных дыр. М.: Изд-во МГУ, 1986, 288 с.

[95] Широков И. В. Построение алгебр Ли дифференциальных операторов первого порядка // Изв. вузов. Физика, 1997, Т. 40, № 6, с. 25 - 32

[96] Барановский С. П., Широков И. В. Продолжения векторных полей на группах Ли и однородных пространствах // Теор. и мат. физ., 2003, 135:1, с. 70 _ si

[97] Курнявко О. Л., Широков И. В. Построение инвариантных волновых уравнений скалярных частиц на римановых многообразиях с внешними калибровочными полями // Теор. и мат. физ., 2008, 156:2, с. 237 - 249

[98] А. А. Магазёв. Симметрии уравнения Клейна — Фока во внешнем электромагнитном поле // Омский научный вестник, 2012, № 2 (110), с. 29 -33

[99] Евсеевич А. А. Алгебраические свойства уравнения Дирака во внешних калибровочных полях. Построение точных решений. Диссертация на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук, Томск, 1988, 129 с.

[100] A. A. Magazev, V. V. Mikheyev, I. V. Shirokov. Computation of Composition Functions and Invariant Vector Fields in Terms of Structure Constants of Associated Lie Algebras // SIGMA, 11 (2015), p. 66 - 17, arXiv:1312.0362

[101] Гончаровский M. M.. Применение обобщённого гармонического анализа для редукции нелинейных интегро-дифференциальных уравнений на многообразиях групп Ли // Материалы XLVI Международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс»: Математика. — Новосиб. гос. ун-т. Новосибирск, 2008, с. 61

[102] Гончаровский М. М. Применение обобщённого гармонического анализа для редукции нелинейных интегро-дифференциальных уравнений на многообразиях групп Ли // XXXII региональная научно-практическая студенческая конференция «Молодёжь третьего тысячелетия»: тезисы докладов - Омск: ОмГУ, 2008, с. 243 - 244

[103] Гончаровский М. М., Широков И. В. Уравнение Шрёдингера с нелокальной нелинейностью как интегрируемая гамильтонова система // Сборник научных трудов: вып. 7. Омск: ОИВТ (филиал) ФГОУ ВПО НГАВТ, 2009, с. 112 - 115

[104] Гончаровский М. М, Широков И. В. Интегрируемый класс дифференциальных уравнений с нелокальной нелинейностью на группах Ли // Теор. и мат. физ., 2009, 161:3, с. 332 - 345

[105] Гончаровский М. М, Широков И. В. Интегрируемый класс нелинейных интегро-дифференциальных уравнений на однородных пространствах // Сборник научных трудов: вып. 9. Омск: ОИВТ (филиал) ФГОУ ВПО НГАВТ, 2011, с. 159 - 163

[106] Гончаровский М. М, Широков И. В. Классификация вырожденных решений линейных дифференциальных уравнений // Изв. вузов. Физика, 2011, Т. 54, № 5., с. 20 - 26

[107] Гончаровский М. М. Вырожденные решения линейных дифференциальных уравнений, допускающих некоммутативную алгебру симметрии // Современные проблемы математики: тезисы Международной (43-й Всероссийской) молодёжной школы-конференции. Екатеринбург: Институт математики и механики УрО РАН, 2012, с. 326 - 327

[108] Гончаровский М. М, Широков И. В. Вырожденные решения линейных дифференциальных уравнений, допускающих некоммутативную алгебру симметрии // Третья международная конференция «Математическая физика и её приложения»: Материалы конф. Самара: СамГТУ, 2012, с. 99 -100

[109] Бреев А. И., Гончаровский М. М., Широков И. В. Уравнение Клейна — Гордона с нелокальной нелинейностью специального вида на коммутативных однородных пространствах с инвариантной метрикой // Изв. вузов. Физика, 2013, Т. 56, № 7, с. 8 - 14

[110] Гончаровский М. М., Широков И. В. Дифференциальные инварианты и операторы инвариантного дифференцирования проецируемого действия групп Ли // Теор. и мат. физ., 2015, 183:2, с. 202 - 221