Конгруэнции на полукольцах непрерывных функций тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, кандидат физико-математических наук Семенова, Ирина Александровна

• Семенова, Ирина Александровна
• кандидат физико-математических наук
• 1998

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Семенова, Ирина Александровна

Содержание

0.1 Введение

1 Конгруэнции на полукольцах

1.1 Полукольца и полутела

1.2 Конгруэнции на полукольцах с аддитивным сокращением

1.3 Упорядоченные полу тела

2 Конгруэнции на полукольцах непрерывных неотрицательных функций

2.1 Фактор-полукольца полукольца С+(Х) непрерывных неотрицательных функций

2.2 Пред максимальные конгруэнции на полукольцах С'+ (X) непрерывных неотрицательных функций

3 Конгруэнции на полуполях непрерывных положительных

функций

3.1 Главные конгруэнции на полуполе и(Х) непрерывных положительных функций

3.2 Максимальные конгруэнции на полуполе 17(X) непрерывных положительных функций

3.3 Когда все конгруэнции на полуполе I/(X) идеальны ?

3.4 Конгруэнции и строго выпуклые мультипликативные подгруппы в полуполе II(X)

3.5 О решетке конгруэнции на полуполе и(Х)

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Конгруэнции на полукольцах непрерывных функций»

0.1 Введение

Диссертация посвящена разделу функциональной алгебры - полукольцам непрерывных функций. В ней исследуются конгруэнции на полукольцах непрерывных действительнозначных функций.

Пусть X - произвольное топологическое пространство. Рассматривается полукольцо С+(Х) всех непрерывных неотрицательных функций и полуполе I/(X) всех непрерывных положительных функций на X с поточечно определенными операциями сложения и умножения. Их кольцом разностей служит кольцо С(Х) всех непрерывных действительнозначных функций, заданных на пространстве X.

Изучение колец С(Х) началось во второй половине 30-ых годов XX века с работ М. Стоуна [25] и И.М. Гельфанда и А.Н. Колмогорова [10]. По теории колец непрерывных функций имеется большая библиография. Назовем монографию Гиллмана и Джерисона [22] и обзорные работы Е.М. Вечтомова [6,7,26,27]. Полукольца С+(Х) встречаются в литературе с 1955 г. [24,11,23]; они систематически изучались в диссертации В.И. Варанкиной [3] (см. также [2]). Полуполя и(Х) - новый алгебраический объект, изучение которого ведется с 1995 г. на алгебраическом семинаре Вятского госпедуниверситета [7,29,31-33].

В кольцах существует естественное взаимно однозначное соответствие между конгруэнциями и идеалами, в полукольцах же этого соответствия нет. Так, в полуполе 17(X) нет несобственных идеалов, но достаточно много конгруэнций. Впервые конгруэнции на полукольцах С+(Х) для тихоновских пространств X рассматривались в статьях [20,21] Сначала авторы показали, что пространство всех максимальных среди сократимых конгруэнций на С+(Х) гомеоморфно стоун-чеховской ком-пактификации X. Во второй работе было доказано, что пространство

конгруэнции р на полукольце С+(Х), фактор-полукольца по которым изоморфны полуполю R+ неотрицательных действительных чисел, го-меоморфно хьюиттовскому расширению пространства X. В данной диссертации такие конгруэнции р охарактеризованы в терминах решетки Con С+(Х) всех конгруэнции на полукольце С+(Х)1 что позволило получить теорему определяемости хьюиттовских пространств X решетками Con С+(Х). Замкнутые конгруэнции на полукольцах С+(Х) и U(X) с топологией поточечной сходимости исследованы М.Н. Годлевских (Смирнова) [15]. Подалгебры в полукольцах С+(Х) и U(X) изучались в статьях [8,14].

Отметим, что полукольца непрерывных функций, их фактор-полукольца находят применение - через пучковые представления - в общей теории полуколец [16-18,9]. В свою очередь теория полуколец применяется в дискретной математике, топологии, идемпотентном анализе, теории оптимального управления [13,23].

При изложении работы я опиралась на книги [1,12,18,19,22,23].

В диссертации решены следующие основные задачи.

1. Описаны максимальные и пред максимальные конгруэнции на полукольцах С+(Х) (теоремы 2.1.1 и 2.2.2) и максимальные конгруэнции на полуполях U(X) (теорема 3.2.2).

2. Доказана определяемость любого хьюиттовского пространства X каждой из решеток конгруэнции Con С+(Х) и Con U(X) - теорема 2.3.3 и следствие 3.2.2.

3. Даны характеризации главных и идеальных (сократимых) конгру-энций на полуполях U(X) - теоремы 3.1.1 и 3.4.5.

4. Показано, что идеальность всех конгруэнций на U(X) эквивалентна псевдокомпактности пространства X (теорема 3.3.4).

Применяются методы и результаты теории полуколец и теории колец и полуколец непрерывных функций. В главе 1 рассмотрен метод соответствий между конгруэнциями на аддитивно сократимом полукольце и идеалами его кольца разностей - он работает в главах 2 и 3. В главе 2 существенно используется линейная упорядоченность фактор-колец кольца С(Х) по простым идеалам, а также каноническое соответствие между простыми идеалами полукольца С+(Х) и кольца С(Х). В главе 3 для исследования конгруэнции на полуполях II(X) применяется разработанная здесь техника главных конгруэнций.

Дадим краткий анализ содержания диссертации. Диссертация содержит введение, 3 главы, разбитых на 10 параграфов, и список литературы из 35 наименований.

В главе 1 вводятся основные понятия, используемые в диссертации, выясняются свойства конгруэнций на абстрактных полукольцах, в частности, на аддитивно сократимых, коммутативных положительных и упорядоченных полукольцах.

В параграфе 1.1 приведены примеры конгруэнций на полукольцах, выяснены свойства некоторых из них.

Нормальную мультипликативную подгруппу £г полутела без нуля 5 назовем допустимой подгруппой, если

\/д ев^а,Ье Б (а + Ь = 1 ад + Ъев).

В следующих предложениях устанавливается связь между конгруэнциями на полутеле без нуля Б и допустимыми подгруппами в 5.

Предложение 1.1.6. Допустимые подгруппы в полутеле без нуля 5 - это в точности классы единицы [1]р; где р - произвольная конгруэнция на 5.

Предложение 1.1.7. Множество допустимых подгрупп в полутеле без нуля S является решеткой по отношению включения, изоморфной решетке Con S конгруэнций полутела S.

В параграфе 1.2 исследуются конгруэнции на аддитивно сократимых полукольцах. Определены два отображения, которые используются также во второй и третьей главах диссертации.

Пусть R - кольцо разностей аддитивно сократимого полукольца S. Отображение у : Id R Con S ставит в соответствие каждому идеалу / кольца R конгруэнцию на S:

а у(1) Ь а — 6 6 I ( при любых а, 6 6 S).

Конгруэнции вида будем называть идеальными.

Отображение 8 : Con Т —t Id R ставит в соответствие каждой конгруэнции р на S идеал в R\

5(р) = {а — b € R : a,b £ Т и apb}.

Выяснены свойства отображений 7 и 5. Они дают общий метод соответствий для изучения конгруэнций на аддитивно сократимом полукольце S. Показано, что конгруэнция р идеальна тогда и только тогда, когда она обладает свойством сократимости:

(а + с)р(Ъ + с) apb.

Если Р - простой строгий идеал в полукольце 5, то разбиение полукольца S на два класса - Р и S \ Р - индуцирует конгруэнцию на 5; будем обозначать ее р(Р).

В следующем предложении выяснено строение максимальных конгруэнций на произвольном коммутативном положительном (элементы вида <2 + 1 обратимы) полукольце S.

Предложение 1.2.15. Произвольная конгруэнция р на Б максимальна тогда и только тогда, когда р = р(Р) для некоторого единственного) простого строгого идеала Р в 5.

Отсюда вытекает, что на полукольце С+(Х) всегда существует неидеальная конгруэнция. Если пространство X не псевдокомпактно, то и на полуполе и(Х) также существуют неидеальные конгруэнции (пример 1.2.1).

В параграфе 1.3 рассмотрены конгруэнции на упорядоченных полукольцах.

Упорядоченное полукольцо Б назовем вычитаемым, если для любых его элементов а < Ъ следует, что Ъ — а + с для некоторого с Е 5.

Подмножество А упорядоченного множества В называется выпуклым (в В), если

Уа,се АМЪ е В (а <Ь < с =>ЬеА). Свойства вычитаемых полутел отражены в следующих предложениях.

Предложение 1.3.16. Если упорядоченное полутело Б (с нулем или без нуля) вычитаемо, то любой класс произвольной конгруэнции на 5 является выпуклым множеством.

Предложение 1.3.17. Если 5 - вычитаемое линейно упорядоченное полутело без нуля, то допустимые подгруппы в Б - это в точности его выпуклые нормальные мультипликативные подгруппы.

Предложение 1.3.18. В любом вычитаемом подполуполе полу поля без нуля И,+\{0} (или в Ку\{0}у) имеются только тривиальные конгруэнции: наименьшая 0 и наибльшая 1.

Глава 2 посвящена изучению конгруэнции на полукольце С+ (X) не-

U - u

прерывных неотрицательных действительнозначных функции, заданных на произвольном топологическом пространстве X. Дано описание максимальных и предмаксимальных конгруэнции на С+(Х), доказана определяемость любого хьюиттовского пространства X решеткой Con С+(Х) конгруэнций полукольца С+(Х).

В параграфе 2.1 исследуются свойства фактор-полуколец полукольца С+(Х) по идеальным конгруэнциям 7(Р), соответствующим простым идеалам Р кольца С(Х).

Предложение 2.1.1. Фактор-полукольцо С+(Х)/7(р); где Р - произвольный простой идеал кольца С(Х), является неотрицательной частью линейно упорядоченного кольца С(Х)/р и, значит, вычитаемо.

Это предложение служит важным инструментом исследования конгруэнций на полукольце С+(Х). В частности, оно используется для выяснения строения предмаксимальных конгруэнций на С+(Х).

Наиболее важные свойства фактор-полуколец S полукольца С+(Х) описаны в следующих предложениях.

Предложение 2.1.2. Всякое фактор-полукольцо S полукольца С+(Х) является положительным полукольцом, в котором однозначно можно извлекать корни любой натуральной степени.

Предложение 2.1.3. Простые идеалы произвольного фактор-полукольца полукольца С+(Х) являются строгими идеалами.

На основе предложений 1.2.15, 2.1.2 и 2.1.3 получается

Предложение 2.1.4. Для произвольной конгруэнции р на фактор-полукольце S полукольца С+(Х) эквивалентны следующие условия:

1) конгруэнция р максимальна;

2) полукольцо Б/р двухэлементно;

3) класс нуля конгруэнции р является простым идеалом полукольца Б, а класс единицы служит дополнением к нему в Б.

Выяснено строение максимальных конгруэнции на С+(Х).

Теорема 2.1.1. Для любого топологического пространства X максимальные конгруэнции на полукольце С+(Х) - это в точности двух-классовые конгруэнции р{Р), определяемые разбиением {Р, С+(Х) \ Р}, по всевозможным простым идеалам Р в С+(Х).

Конгруэнция р на полукольце С+(Х) называется предмаксимальной, если в решетке конгруэнции Соп С+(Х) существует ровно две конгруэнции, большие р: единичная и некоторая максимальная.

Свойства фактор-полуколец С+(Х)/7(м)э гДе М - максимальный идеал кольца С(Х), описаны в следующих двух предложениях.

Предложение 2.1.5. Если М - II-идеал кольца С(Х), то фактор-полукольцо С+(Х)/у(м) имеет ровно три конгруэнции, т. е. у(М) -предмаксимальная конгруэнция на С+(Х).

Предложение 2.1.6. Пусть М - максимальный идеал кольца С{Х), не являющийся И-идеалом. Тогда в фактор-полукольце С+(Х)/7(м) конгруэнции образуют линейно упорядоченное множество по включению, среди нетривиальных конгруэнции нет ни наибольшего, ни наименьшего элементов, и любое его фактор-полукольцо по нетривиальной немаксимальной конгруэнции имеет бесконечно много конгруэнции.

В параграфе 2.2 описаны предмаксимальные конгруэнции.

Теорема 2.2.2. Конгруэнция р на полукольце С+(Х) предмакси-

малъна тогда и только тогда, когда она имеет вид 7(М) для некоторого И-идеала М кольца С(Х).

Эта теорема является одной из главных в работе. Она позволяет получить определяемость произвольного хьюиттовского пространства X решеткой конгруэнций Соп С'+(Х).

Теорема 2.2.3. Произвольные хьюиттовские пространства X и У гомеоморфны тогда и только тогда, когда решетки конгруэнций Соп С+(Х) и Соп С+(У) изоморфны.

В конце параграфа показана антиэквивалентность категории полуколец С+(Х) и их гомоморфизмов, сохраняющих 1, по всевозможным хьюиттовским пространствам X (а также категории полуполей II(X)) и категории хьюиттовских пространств X и их непрерывных отображений.

В главе 3 исследуются конгруэнции на полуполе и(Х) всех непрерывных положительных действительнозначных функций на произвольном топологическом пространстве X. Указано условие идеальности всех конгруэнций на 11(Х). Выяснена связь конгруэнций на полуполе II(X) со строго выпуклыми подгруппами на и(X).

Параграф 3.1 посвящен описанию главных конгруэнций.

Теорема 3.1.1. Главная конгруэнция на полуполе II(X), порожденная парой 1), определяется соотношениями:

/Ро9 <=

g-fe(<p-l)C(X)i (3*6 г*) (<р < £ < ((рУср-1)

/

к

а) (2)

для любых /, <7 6 II(X).

В параграфе 3.2 дано описание максимальных конгруэнции на полуполе U(X).

Теорема 3.2.2. Максимальные конгруэнции на полуполе U(X) - это в точности конгруэнции 'у(М) по всевозможным R-идеалам М кольца

С(Х).

Эта теорема позволяет говорить об определяемости произвольного хьюиттовского пространства X решеткой Con U(X) конгруэнции на полуполе U(X).

Пусть Max U(X) - пространство всех максимальных конгруэнции полуполя U(X) со стоуновской топологией. Тогда имеют место следующие два результата.

Предложение 3.2.2. Для любого тихоновского пространства X топологические пространства Max U(X) и vX гомеоморфны.

Следствие 3.2.2. Хъюиттовские пространства X uY гомеоморфны тогда и только тогда, когда решетки Con U(X) и Con U(Y) изоморфны.

Исходя из этого следствия и теоремы 2.3.3 получаем

Теорема 3.2.3. Для любых топологических пространств X и Y эквивалентны следующие условия:

1) решетки Con U{X) и Con U(Y) изоморфны;

2) решетки Con С+(Х) и Con C+(Y) изоморфны;

3) полуполя U(X) и U(Y) изоморфны;

4) полукольца С+ (X) uC+(Y) изоморфны;

5) кольца С(Х) и С(У) изоморфны.

В параграфе 3.3 указано условие идеальности всех конгруэнции на полуполе и(Х):

Теорема 3.3.4. Пусть X - произвольное топологическое пространство. Тогда любая конгруэнция на полуполе и(Х) идеальна в том и только в том случае, когда X псевдокомпактно.

Заметим, что при доказательстве основных теорем 3.2.2 и 3.3.4 существенно используется метод главных конгруэнции (соотношения из теоремы 3.1.1).

Используя отображения 7 и §, доказано

Следствие 3.3.4. ЕслиХ псевдокомпактно, то решетки Соп 11(Х) и Ы С{Х) изоморфны.

Параграф 3.4 посвящен изучению связей между конгруэнциями на полуполе и(Х) и строго выпуклыми подгруппами в и(Х).

Допустимые подгруппы О в полуполе II[X) будем называть строго выпуклыми.

Назовем мультипликативную подгруппу С в полуполе II(X) внешне выпуклой, если

(V/ е в)(\/а е С{Х)) (а/ + 1 - « е и(Х) =» а/ + 1 -а ев).

Теорема 3.4.5. Конгруэнция р на и(Х) идеальна тогда и только тогда, когда соответствующая ей подгруппа [1]р внешне выпукла.

Отметим так же следующий технический результат, примыкающий к теореме 3.1.1.

Предложение 3.4.3. Если X псевдокомпактно, то для любых / 6 и(Х) и д € С(Х) таких, что д/ +1 — д £ II(X), существует натураль-

ное число к, для которого

о к

~~ Y1 f{ < у< 1С fl на всем i=—k ¿=0

На основе этого предложения можно получить

Следствие 3.4.5. Все строго выпуклые подгруппы в U(X) внешне выпуклы тогда и только тогда, когда пространство X псевдоком-пактно.

Отметим, что это следствие вытекает и из теорем 3.3.3 и 3.4.5.

В параграфе 3.5 установлены некоторые связи между решеткой конгруэнции Con U(X) и топологическим пространством X. Решетка Con U(X) модулярна, но далеко не всегда дистрибутивна. Это показывает

Предложение 3.5.5. Если решетка Con U(X) дистрибутивна, то пространство X является F-пространством.

Заметим, что любое недискретное метрическое пространство не является ^-пространством [22, гл.14].

Пусть далее X - произвольное тихоновское пространство. Если А С X, то обозначим через рл такую конгруэнцию на U(X), что для любых f,g € U(X)

ÍPa9 / = 9 на А.

Предложение 3.5.6. Конгруэнция р на U(X) дополняема тогда и только тогда, когда р = Ра для некоторого открыто-замкнутого множества А в X.

На основе этого предложения доказано

Предложение 3.5.7. Для каждого тихоновского пространства X булевостъ решетки Соп и(Х) эквивалентна конечности пространства X.

В каждой главе диссертации применяется сквозная тройная нумерация отдельно теорем, предложений, следствий и примеров. Например, предложение 2.1.4 - это предложение 4 из параграфа 2.1.

Результаты диссертации опубликованы в работах [28] - [35] и докладывались на V Международной конгференции женщин - математиков, на научном алгебраическом семинаре Вятского госпедуниверситетаи на алгебраическом семинаре профессора А.А Фомина в Московском пед-госуниверситете.

Автор выражает глубокую благодарность научному руководителю профессору Е.М. Вечтомову за постановку задач, постоянное внимание к работе и поддержку.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Семенова, Ирина Александровна, 1998 год

Литература

[1] Биркгоф Г. Теория решеток. - М.: Наука, 1984.

[2] Варанкииа В. И. Максимальные идеалы в полукольцах непрерывных функций // Фундам. и прикл. матем. - 1995. - Т. I, N 4. - С. 923-937.

[3] Варанкина В. И. Максимальные идеалы и делимость в полукольцах непрерывных функций. - Дисс. на соиск. уч. степени канд. физ.-матем. наук. - Киров: Вятский гос. пед. ун-т, 1996.

[4] Вечтомов Е. М. Дистрибутивные кольца непрерывных функций и ^-пространства // Матем. заметки. - 1983. - Т. 34, N. 3. - С. 321— 332.

[5] Вечтомов Е. М. Вопросы определяемости топологических пространств алгебраическими системами непрерывных функций // Итоги науки и техн. ВИНИТИ. Алгебра. Топология. Геометрия. -1990. - Т. 28. - С. 3-46.

[6] Вечтомов Е. М. Кольца непрерывных функций. Алгебраические аспекты // Итоги науки и техн. ВИНИТИ. Алгебра. Топология. Геометрия. - 1991. - Т. 29. - С. 119-191.

[7] Вечтомов Е. М. О конгруэнциях на полутелах // Проблемы алгебры и кибернетики. Материалы межд. конф., поев, памяти акад. С. А. Чунихина. - Гомель: гос. ун-т, 1995. - С. 38-39.

[8] Вечтомов Е. М. Один класс максимальных подалгебр полуколец непрерывных функций // Вестник Вятского педуниверситета. Серия естеств. наук. Вып. 3. Матем., инф., физ. - 1997. - С. 7-10.

[9] Вечтомов Е. М., Михалев А. В., Чермных В. В. Абелево - регулярные положительные полукольца // Труды семинара им. И. Г. Петровского. - 1997. - Т.20. - С. 282-309.

[10] Гельфанд И. М., Колмогоров А. Н. О кольцах непрерывных функций на топологических пространствах // Докл. АН СССР. - 1939. - Т. 22, N1.-0. 11-15.

[11] Калмуцкий Л. И. Полукольца функций и характеристика Т1-пространств // Докл. АН БССР. - 1986. - Т. 30, N 11. - С. 972-974.

[12] Кон П. Универсальные алгебры. - М.: Мир, 1971.

[13] Маслов В. П., Колокольцов В. М. Идемпотентный анализ и его применение в оптимальном управлении. - М., Наука, 1994.

[14] Семенов А. Н. О подалгебрах полуколец непрерывных функций // Матем. вестник педвузов Волго-Вятского региона. Вып.1. - Киров: Вятский гос. пед. ун-т, 1998. - С. 83-90.

[15] Смирнова М. Н. О замкнутых конгруэнциях на полукольцах непрерывных функций // Тезисы докл. школы-конф., посвящ. 100-летию Б. М. Гагаева. - Казань: Казанск. матем. общ-во, 1997. - С. 200-201.

[16] Чермных В. В. Пучковые представления полуколец. Дисс. на соиск. уч. степ. канд. физ.-матем. наук. - М.: Моск. пед. гос. ун-т, 1993.

[17] Чермных В. В. О полноте пучковых представлений полуколец. // Фундам. и прикл. матем.. - 1996. -Т.2, N1. - С. 167-277.

[18] Чермных В. В. Полукольца. - Киров: Вятский гос. пед. ун-т., 1997.

[19] Энгелькинг Р. Общая топология. - М.: Мир, 1986.

[20] Acharyya S. К., Chattopadhyay К. S., Ray G. G. Hemirings, congruences and the Stone-Cech compactification // Simon Stevin. - 1993. -V. 67, Suppl. - C. 21-35.

[21] Acharyya S. K., Chattopadhyay K. S., Ray G. G. Hemirings, congruences and the Hewitt realcompactification // Bull. Belg. Math. Soc. -1995. - V. 2, N 1. - C. 47-58.

[22] Gillman L., Jerison M. Rings of continuous funstions. - N.J.: SpringerVerlag, 1976.

[23] Golan J. S. The theory of semirings with applications in mathematics and theoretical computer science. - Pitman monographs and surveys in pure and applied mathematics. V. 54. - 1992.

[24] Slowikowski W., Zawadowski A. A generalization of maximal ideals method of Stone and Gelfand // Fund. Math. - 1955. -V. 42, N 2. - P. 215-231.

[25] Stone M. Applications of the theory of boolean rings to general topology // Trans. Amer. Math. Soc. - 1937. -V. 41, N 3. - P. 375-481.

[26] Vechtomov E. M. Rings and sheaves //J. Math. Sciences (USA). -1995. - V. 74, N 1. - P. 749-798.

[27] Vechtomov E. M. Rings of continuous functions with values in a topological division ring // J. Math. Sciences (USA). -1996. -V. 78, N 6. -P. 702-753.

[28] Семенова И. А. Максимальные конгруэнции на положительных полукольцах // Тезисы докл. IV Международной конф. женщин-математиков. - Волгоград: гос. ун-т, 1996. - С. 113.

[29] Семенова И. А. Главные конгруэнции на полуполе непрерывных положительных функций // Вестник Вятского педуниверситета. Серия естеств. наук. Вып. 1. Матем., инф., физ. - 1996. - С. 14-16.

[30] Семенова И. А. О конгруэнциях на полуполе U(X) // Тезисы докл. V Международной конф. женщин-математиков. - Ростов-на-Дону: 1997. - С. 64.

[31] Семенова И. А. О максимальных конгруэнциях на полуполе непрерывных положительных функций // Тезисы докл. школы-конф. посвященной 100-летию Б. М. Гагаева. - Казань: Казанск. матем. общ-во, 1997. - С. 193.

[32] Семенова И. А. Конгруэнции на полуполе непрерывных положительных функций и его строго выпуклые мультипликативные подгруппы // Вестник Вятского педуниверситета. Серия естеств. наук. Вып. 3. Матем., инф., физ. - 1997. - С. 30-32.

[33] Семенова И. А. Предмаксимальные конгруэнции на полукольцах непрерывных неотрицательных функций // Тезисы докл. VI Меж-

дународной конф. женщин - математиков. - Чебоксары: гос. ун-т, 1998. - С. 62-63.

[34] Варанкина В. И., Вечтомов Е. М., Семенова И. А. Полукольца непрерывных неотрицательных функций: делимость, идеалы, конгруэнции // Фундам. и прикл. матем.. - 1998. -Т. 4, N 2. - С. 493 - 510.

[35] Семенова И. А. Определяемость хьюиттовских пространств X решеткой конгруэнций полуколец непрерывных неотрицательных функций // Вестник Вятского педуниверситета. 1998. - Вып. 5.