Полиномиальные соотношения в полукольцах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, кандидат физико-математических наук Богданов, Илья Игоревич

• Богданов, Илья Игоревич
• кандидат физико-математических наук
• 2004

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Богданов, Илья Игоревич

Введение

1 Нильпотентность ниль-полуколец и ниль-почтиколец

1.1 Теорема Нагаты-Хигмана для полуколец.

1.2 Локальная ненильпотентность ниль-почтиколец.

2 Алгебраические расширения полуполей

2.1 Решения алгебраических уравнений в полутелах.

2.2 Общие сведения об алгебраических расширениях

2.3 Существование расширения.

2.4 Расширения идемпотентных полуполей.

2.5 Расширения сократимых полуполей.

3 Общая теория полутел

3.1 Аддитивная структура полутела.

3.2 Теорема коммутативности для полутел.

4 Скрытые полукольца матриц

4.1 Критерии для матричных полуколец.

4.2 Существенность дополнительных условий.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Полиномиальные соотношения в полукольцах»

В последние десятилетия одной из активно развивающихся областей общей алгебры стала являться теория полуколец. Отчасти это связано с сильной компьютеризацией и, соответственно, возросшими потребностями теории алгоритмов. Полукольца находят также применение в дискретной математике, компьютерной алгебре, теории оптимального управления и других разделах математики. Видимо, впервые понятие полукольца в явном виде появилось в работе Вандивера [23] в связи с аксиоматизацией арифметики. Отдельного упоминания заслуживает такая хорошо развитая область, как идемпотентный анализ (см., например, [4]). Отметим также книги Голана [7] и Хебиша и Вайнерта [8], содержащие большой материал по теории полуколец, бесчисленное множество примеров и обширную библиографию. В России теорией полуколец активно занимаются Е. М. Вечтомов и его ученики; их исследования в основном посвящены развитию функционального подхода к полукольцам. Стоит отметить выпущенные ими книги [1, 6] и несколько защищенных диссертаций [10, И, 12, 13].

При исследовании полуколец большое внимание уделяется методам и результатам, которые удается перенести из теории полугрупп или теории колец. Многочисленные примеры можно найти в книге [7]. Данная диссертация также в большой степени посвящена подобным результатам.

Теорема Нагаты-Хигмана, доказанная первоначально для алгебр над полем характеристики 0 или большей, чем индекс нильпотентности (см. [19, 21]), была затем обобщена на произвольные кольца. Общая формулировка гласит, что кольцо без п!-кручения, удовлетворяющее тождеству хп = 0, нильпотентно индекса 2П — 1 [2, Следствие 6.1.1]. Из известной теоремы Левицкого [2, Следствие 5.1.2] вытекает локальная нильпотентность ниль-колец ограниченного индекса.

А. Я. Белов в [14] исследовал нильпотентность конечнопорожденн-ых ниль-полуколец (общего вида). В указанной работе получены следующие оценки, ¿-порожденное полукольцо с тождеством хп=0 нильпо-тентно степени не выше 2£п+1п3 [14, Теорема 5]. ¿-порожденное полукольцо общего вида, в котором выполняется тождество хп = 0, нильпотентно степени не выше пп • 2£п+1п3 + п [14, Следствие 9]. В той же работе ставились вопросы о существовании экспоненциальной (по п) оценки для полуколец общего вида и об обобщении этих фактов на почтикольца.

В главе 1 диссертации даны ответы на оба вопроса. В параграфе 1.1 показано, что полукольца общего вида с тождеством хп = 0 локально нильпотентны, а при условии отсутствия п!-кручения нильпотентны; при этом оценки индекса нильпотентности совпадают с соответствующими оценками для колец. В частности, это дает положительный ответ на первый из процитированных вопросов.

В параграфе 1.2 показано, что почтикольца с подобным тождеством не обязаны быть нильпотентными даже при условии коммутативности сложения. Именно, в этом параграфе построены примеры 2-порожденной ненильпотентной ниль-почтиалгебры индекса 2 над произвольным полем, состоящем больше, чем из двух элементов, а также однопорожд-енного ненильпотентного ниль-почтикольца индекса 2. Таким образом, ответ на второй вопрос отрицателен.

Полутела в теории полуколец играют роль, подобную роли тел в общей теории колец. Однако уже свойства полуполей существенно отличаются от свойств полей. Например, класс полутел, помимо (аддитивно) сократимых полутел, включает в себя все ¿'-группы (если (С, V, А) - ¿-группа, то (<3, V, •) и {0} и {в, А, •) и {0} — полуполя [25]). Следующие две главы диссертации посвящены исследованию полутел.

Исследования алгебраических уравнений в полуполях были начаты X. Й. Вайнертом в статье [27] И касались в основном числовых полуполей, т. е. подполуполей в К. Толчком к дальнейшим исследованиям в этой области послужил идемпотентный анализ. Г. Б. Шпиз в заметке [16] исследовал решение алгебраических уравнений в идемпотентном полуп оле. Пользуясь его результатами, Е. М. Вечтомов и А. В. Ряттель построили (мономиальное) алгебраическое замыкание идемпотентного полуполя и доказали его единственность. В главе 2 исследуются решения алгебраических уравнений в полуполях и полутелах. В частности, исследуется возможность расширить полуполе корнем уравнения Р{х) = Q(x).

В параграфе 2.1 исследуются уравнения над произвольным полутелом. Выделен класс строгих уравнений, множеством решений которых является не более чем один класс сопряженности. В частности, любое мономиальное уравнение (т. е. уравнение вида Р(х) = а, где а ^ О, Р(х) — многочлен без свободного члена) является строгим.

В параграфе 2.2 собраны общие сведения об алгебраических расширениях полуполей. В параграфе 2.3 показано, что всегда существует (универсальное) расширение полуполя корнем мономиального уравнения. В параграфе 2.4 эти результаты уточняются для идемпотентных полуполей. Наконец, в параграфе 2.5 исследуются расширения сократимых полуполей.

Глава 3 посвящена общей теории полутел. Многие исследователи отмечали, что класс полутел не ограничивается сократимыми и идемпотен-тными полутелами; см., например, [20, 24]. В параграфе 3.1 показано, что любое полутело можно представить в виде цепочки расширений, в которых участвуют лишь идемпотентные и сократимые полутела (при этом понятие морфизма приходится немного обобщить). Заметим, что позже А. Н. Семенов [15] показал, что любое полутело представляется в виде расширения сократимого полутела при помощи идемпотентного; при этом все отображения в этом расширении являются морфизмами.

В книге И. Херстейна [5] приводятся несколько теорем, утверждающих коммутативность кольца при некоторых на первый взгляд более слабых условиях. Начиная с теоремы Веддербарна, утверждающей коммутативность конечного тела, автор затем переходит к гораздо более общим результатам. Так, кольцо, не содержащее ненулевых ниль-идеалов, коммутативно, если для любого его элемента х найдется такое натуральное п(х), что хп№ централен (Капланский-Херстейн). Другой результат: кольцо коммутативно, если для любого его элемента х найдется такое натуральное п(х) > 1, что х11^ = х (Джекобсон). В параграфе 3.2 исследована возможность обобщить эти результаты на полутела и полукольца. При этом оказывается полезной теория, развитая ранее. Скрытые матричные кольца впервые стали исследоваться в связи с ому кольцу матриц? (Здесь через Ш обозначено кольцо целых кватернионов.) Последующими исследователями ставился вопрос о критерии изо-морфности данного произвольного кольца (с единицей) кольну Мп(3) для какого-то 5. Обзор результатов дан в [9, §8.1]. Глава 4 посвящена исследованию аналогичного вопроса для полуколец. В параграфе 4.1 получены аналоги нескольких кольцевых критериев, при этом приходится накладывать дополнительные (по сравнению с кольцевыми) условия. В параграфе 4.2 обсуждается существенность этих условий.

Диссертация состоит из 4 глав, 11 параграфов, 72 страниц. Результаты являются новыми. В качестве основных результатов диссертации можно указать следующие.

Теорема 1 (Теорема 1.3). Пусть любое кольцо без п\-кручепия с тождеством хп = 0 нилыготентно индекса й{п). Тогда, если в полукольце ¿> без п\-кручения выполняется тождество хп = 0, то = 0.

Теорема 2 (Теорема 1.4). Пусть любое £-порожденное кольцо с тождеством хп = 0 нильпотентно индекса (¡Ю(п). Тогда, если в

2-порожденном полукольце «9 выполняется тождество хп = 0, то = 0>

Теорема 3 (Следствие 1.4). Существует однопорожденное ненильп-отентное ниль-почтикольцо индекса 2.

Теорема 4 (Следствие 1.5). Пусть К — произвольное поле нулевой характеристики. Тогда существует двупорожденная ненильпотентн-ая ниль-К-почтиалгебра индекса 2. вопросом Чаттерса [17]: при каких п кольцо изоморфно полн

Нижней степенью ненулевого многочлена Р{х) = рпхп +----Ь ро называется ldeg Р = min{i : Pi ф 0}. Многочлен Р{х) называется строгим, если ldeg Р > 0. Уравнение (Р(х), Q(x)) называется строгим, если ldeg Р > deg Q и многочлен Q(x) — нестрогий. Строгое уравнение называется мономиальным, если deg Q = 0.

Полуполе называется строго (мономиально) алгебраически замкнутым, если любое строгое (мономиальное) уравнение имеет корень. Пусть D С D — полу поля. Если D строго (мономиально) алгебраически замкнуто и наименьшее строго (мономиально) алгебраически замкнутое подполуполе, содержащее D, совпадает с D, то D называется строгим (мономиальным) алгебраическим замыканием D.

Теорема 5 (Следствие 2.5). Для любого полуполя D существует его мономиальное алгебраическое замыкание D <—> D такое, что для любого его мономиалъного алгебраического замыкания D' существует сюръек-тивный морфизм ф : D —» D', замыкающий диаграмму

И.

D —► D Ф

ТУ

Теорема 6 (Теорема 2.4). Мономиальное алгебраическое замыкание идемпотентного полуполя является его единственным строго алгебраическим замыканием. Расширение любого идемпотентного полуполя корнем любого строгого уравнения Р(х) = х) существует и единственно.

Отображение полутел <р : 5 —> И, будем называть почти морфизм-ом в двух случаях: либо (р — морфизм, либо ср сохраняет умножение (и тем самым с/?(0) = 0) и ср(а + Ь) = + р(Ь)) для любых а,Ь е 5.

В цепочке отображений полутел 51 5 «?2 полутело 5 называется расширением полутела при помощи £2, если ф есть сюръективный морфизм полутел, (р есть инъективный почти морфизм, и ^(б^) = Ф~1{1б2)-Неидемпотентное полутело 5 называется строго неидемпотентным, если в нем выполняется условие 2х + у = х + 2у => х = у.

Теорема 7 (Теоремы 3.1 и 3.2). Пусть 5 — неидемпотентпое полутело. Тогда Б представляется в виде расширения Э 52 идемпотентного полутела 61 при помощи строго неидемпотентно-го полутела £2. Полутело £2, в свою очередь, представляется в виде расширения 63 Б £4 сократимого полутела ¿>3 при помощи идемпотентного полутела 64.

Теорема 8 (Следствие 3.1). Пусть 5 — мультипликативно сократимое полукольцо. Если для любого а 6 5 найдется натцралъное п(а) такое, Ч1Х10 6 2(3), то Б коммутативно.

Теорема 9 (Теоремы 4.3 и 4.4). Для произвольного полукольца Я эквивалентны следующие условия:

1) Я изоморфно полукольцу матриц Мп(5) над некоторым полукольцом Б;

2) существуют элементы а,/ £ Я такие, что /п = 0, а/п~1 + /а/п~2 + • • • + /п1а = 1 и а/ка = 0 при 0 < к < п - 2; существуют элементы аь аг,. •, ап> / € Я такие, что /п = О, 1 = а1/п-1+/а2/п-2 + . + ма1/Аа1 = 0 прад 0 < к <п — 2;

7,) существуют элементы а,/,Ь е Я такие, что /п = 0, 1 = Ь/ + /п-1а; и а/ка = 0 при 0 < к < п - 2; о) существуют элементы х,у £ Я такие, что хп = у2 = 0, хп~1 ф О, элемент х + у обратим, 1ц{хп~1)-Г[ Яу = (0), 'где /д(ггп-1) есгаъ левый аннулятор хп~1, и Яу — полустрогий левый идеал;

6) существуют элементы х,у £ Я такие, что хп — у2 = 0, а;"-1 Ф О, элемент х -4/ у обратим, 1ц{хп~1) П Яу = (0) и угх — 0, где г — (х^- уУ1.,

Далее будут введены некоторые определения и обозначения, а также сформулированы известные утверждения, которые часто используются в диссертации.

Полукольцо есть коммутативный моноид по сложению и полугруппа по умножению с выполнением соотношений дистрибутивности и дополнительной (по сравнению с кольцевым случаем) аксиомы хО = Ох = 0. Если существует нейтральный элемент по умножению, то мы говорим о полукольце с единицей.

Левым) полумодулем над полукольцом S называется коммутативный моноид (М, +) с нейтральным элементом Ом, снабженный умножением (слева) на элементы 5, удовлетворяющим обычным тождествам (sis2)m = si(s2m), (si + S2)m = s\m + S2m, s(mi + 7712) = sm\ + 57712, 05m = 0 (тождество sOm = 0 вытекает из предыдущих). Если S содержит единицу, то предполагаем 15772 = га. Полумодуль называется точным, если для любых различных элементов r,s € S существует такой элемент m € М, что rm, ф sm.

Полукольцо R называется полуалгеброй над коммутативным полукольцом Т, если (5,4-) является полумодулем над Т с естественным согласованием t(SiS2) = (tSi)S2 = Si(tS2) при Любых t € Т, Si,S2 £ S. Всякое полукольцо есть полуалгебра над N, где N — полукольцо целых неотрицательных чисел с обычными операциями.

От полукольца общего вида будем требовать выполнения тех же аксиом, за исключением коммутативности сложения.

Полукольцо S называется аддитивно (мультипликативно) сократимым справа, если в нем выполняется квазитождество a + c — b + c => а = b (ас = Ъс=> а = Ь при любом с ^ 0). Поскольку любое полутело мультипликативно сократимо, то аддитивно сократимые полутела мы будем называть просто сократимыми.

Полукольцо идемпотентно, если идемпотентна его аддитивная группа (за полукольцами с идемпотентным умножением закрепилось название булевых).

Левым идеалом полукольца S называется подполумодуль левого полумодуля sS. Непустое подмножество Т элементов полукольца называется полустрогим, если a,a + b £ Т влечет Ъ Е Т. (Левый, правый) идеал является полустрогим тогда и только тогда, когда он является классом нуля некоторой полукольцевой (соотв., полумодульной) конгруэнции.

Для каждого полукольца S существует его кольцо разностей sA и морфизм полуколец гЛ : S 5Л такие, что любой морфизм S в кольцо R пропускается через SA. При этом Кег гЛ = {(а, 6) | |3 с: а +с = Ь +с]. См. [7, Chapter 7].

Пусть S — полукольцо с единицей. Подмоноид A G (5, •) называется левым множеством Ope, если выполнены следующие свойства:

1) Для любых a G A, s G S существуют такие а' 6 i, s' G 5, что a's = s'a;

2) Если при некоторых s, s' G S, a G A выполняется соотношение sa = s'a, то существует такой элемент a' G А, что a's = aV.

Если А — левое множество Ope в полукольце S, то (классическое) левое полукольцо частных A~lS полукольца S относительно А строится следующим образом. На множестве А х S вводится отношение эквивалентности (а, 5) ~ (a', s') 3u, u' G S : us = и's' Aua = и'a' G A. Тогда A-1 S = ((Л x S)/~, +, •), где операции определены следующим образом (через a-1s обозначен класс эквивалентности (a, s)).

1) aj^Si + aj= (aa\)~1(asi + SS2), где s G S, a G A таковы, что aa\ = sa2;

2) (a]"15i)(a2 = (aai)-1(ss2), гДе s £ S, a G A таковы, что as\ = sa2.

Существует естественный морфизм (p : S A1S, определенный формулой <p(s) = l-1s. При этом ip является вложением тогда и только тогда, когда на элементы А можно сокращать, т.е. sa = s'a s = s'. В частвости, (р есть вложение в полукольцо частных (S \ {0})-15 тогда и только тогда, когда S мультипликативно сократимо. Обычно последнее полукольцо записывают 51S', имея в виду, что при А Э О, если возможно (т.е., если моноид А не содержит делителей нуля), через A'1 S обозначают (А \ {О})-1^.

Полукольцо частных A~lS характеризуется следующим универсальным свойством. Пусть 7 : 5 —► Т — морфизм полуколец, при котором все элементы ^у(Л) обратимы в Т. Тогда этот морфизм продолжается до 5 : A~lS —> Т единственным образом. Подробности см. в [7, Chapter 10].

Правые полукольца частных определяются абсолютно аналогично.

Полукольцо S называется полукольцом без нулевых сумм, или БНС-полукольцом, если для любых х,у G 5 из условия х + у = 0 следует х = у = 0. Назовем БНС-полукольцо S полутелом, если S* = £\{0} является группой по умножению (в частности, S — полукольцо с единицей). Полутело называется полуполем, если умножение в нем коммутативно.

Минимальным полутелом является булево полутело

В = ({0,1}, max, min) любое полутело на него отображается). Еще два наиболее простых примера — это Q+ с обычными операциями и "shedule algebra" (Ш U {—оо}, max,+). Более сложный пример можно получить из множества автоморфизмов любой цепи (рассматриваемой как полугруппа с операцией взятия максимума), присоединив к нему ноль.

Накладывая требование отсутствия нулевых сумм, мы исключаем из класса полутел только тела, поскольку из обратимости по сложению одного ненулевого элемента такого "обобщенного" полутела следует обратимость всех элементов. Таким образом, если S — полутело, то множество S* замкнуто относительно сложения. Некоторые авторы (см., например, [28]) не требуют от полутела отсутствия нулевых сумм, оставляя за БНС-полутелами название собственных полутел.

Поскольку S* замкнута относительно сложения, можно исключить из определения полутела требование существования нуля, заменяя его требованием обратимости всех элементов; путем "выкидывания" или внешнего добавления нуля легко перейти от одного из этих определений к другому.

В категории полутел существуют морфизмы, не являющиеся вложениями. Так, например, существует морфизм из любого полутела в полутело В, переводящий 0 в 0, а все ненулевые элементы в 1.

На любом полутеле S можно ввести частичный порядок следующим ъ образом: х у За G S : х + а = у; см. [7, Proposition 18.24].

В категории полутел существуют произведения. Именно, легко видеть, что произведением семейства полутел {¿>г*}, i G X (мы используем вариант определения без нуля) будет множество (Пгег^О* = Yliei^i с операциями, определенными покомпонентно. В диссертации А. В. Ряттель [12] эта конструкция названа почти прямым произведением полутел.

Для любого полутела S существует единственный морфизм ips : Q+ —> S; при этом, если для некоторых ^ ф & их образы совпадают, то ip(mq) = <р(рп); тогда в конечной аддитивной полугруппе <£>(N) существует идемпотент ip(d), откуда Is + Is = 15 й полутело S идем-потентно. Видим, что Q+ вкладывается в любое неидемпотентное полутело S (и отображается в подполутело, изоморфное В, если S идемпо-тентно). В дальнейшем, если не возникает путаницы, будем обозначать образы элементов из Q+ так же, как и сами эти элементы; при необходимости будем добавлять индекс S, подчеркивающий, что берется образ в полутеле S.

Пусть D[x] — полукольцо многочленов над D\ D{x) — полуполе

H' частных полукольца D[x], ср : D[x] —> D(x) — канонический морфизм. В дальнейшем мы будем называть D(x) полуполем рациональных функций над D. Морфизм ср является вложением тогда и только тогда, когда D[x] мультипликативно сократимо, что, согласно результатам А. В. Ряттель [12], равносильно сократимости D. Следовательно, ср — вложение тогда и только тогда, когда D вложимо в кольцо. Тем не менее, <f\D — всегда вложение.

Левым) почтикольцом называется множество N с определенными на нем операциями 4- и о, если выполнены следующие условия:

1. (N, +) — группа с нейтральным элементом 0;

2. (N, о) — полугруппа;

3. Умножение дистрибутивно слева относительно сложения: (a + Ь) о с = аос-\-Ьос.

Сложение в почтикольцах не обязано быть коммутативным.

Почтиалгеброй над (коммутативным и ассоциативным) кольцом К называется почтикольцо, являющееся одновременно модулем над К, если операции умножения согласованы, т. е. для любых а, Ь € Лг, к (Е К выполняется равенство к(а о Ь) = (ка) о 6 = а о (&&).

Основные результаты диссертации опубликованы в [30, 31, 32], были доложены на различных конференциях [33, 34, 35], на семинаре "Кольца и модули" кафедры высшей алгебры механико-математического факультета МГУ в 1998-2003 гг. и на семинаре по полукольцам ВГГУ в 2003 г. Автор хотел бы выразить искреннюю и глубокую благодарность научному руководителю кандидату физико-математических наук доценту Виктору Тимофеевичу Маркову за постановку задач, полезные советы, постоянное внимание к работе, ценные обсуждения и комментарии. Автор также глубоко благодарен А. Я. Белову, Е. М. Вечтомову, А. А. Годину, А. Э. Гутерману, А. В. Михалеву, А. Н. Семенову и всем участникам семинара "Кольца и модули" МГУ и семинара по полукольцам ВГГУ за полезные обсуждения и замечания. Ц

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Богданов, Илья Игоревич, 2004 год

1. Подлевских М. Н. Полукольца непрерывных функций с топологией поточечной сходимости. Диссканд. ф.-м. н. Киров: ВГПУ, 1999.

2. Ряттель А. В. Положительно упорядоченные полутела. Дисс. канд. ф.-м. н. Киров: ВГГУ, 2002.

3. Чермных В. В. Пучковые представления полуколец. Диссканд.ф.-м. н. М.: МПГУ, 1993.

4. Белов А. Я. Теорема Нагаты-Хигмана для полуколец. // Фундам. и прикл. мат. 1995, 1, с. 523-527.

5. Семенов А. Н. О строении полутел. // Вестник Вятского государственного гуманитарного университета, 2003, №8, с. 105-107.

6. Шпиз Г. Б. Решение алгебраических уравнений в идемпотентных полуполях. // Успехи мат. наук, 2000, 55(5), с. 185-186.

7. Chatters A. W. Representation of tiled matrix rings as full matrix rings. // Math. Proc. Camb. Phil. Soc., 1989, V. 105, pp. 67-72.

8. Fuchs P. R. A characterization result for matrix rings. // Bull. Austral. Math. Soc., 1991, V. 43, pp. 265-267.

9. Higman G. On a conjecture of Nagata. // Proc. Cam. Phil. Soc. 52, 1956, pp. 1-4.

10. Hutchins H. C. Division semirings with 1 + 1 = 1.// Semigroup Forum 22(2), 1981, pp. 181-188.

11. Nagata M. On the nilpotency of nilalgebras. // J. Math. Soc. Japan, 4, 1952, pp. 296-301.

12. Robson J. C. Recognition of matrix rings. // Comm. in Algebra, 1991, V. 19(7), pp. 2113-2124.

13. Богданов И. И. Об алгебраических расширениях полуполей. // Тезисы докладов V Международной конференции "Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения". Тула, 2003. с. 51-52.

14. Богданов И. И. Алгебраические расширения полуполей. // Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук (труды ХЬУ1 Научной Конференции МФТИ(ГУ)). Москва-Долгопрудный: 2003. Ч. 7, с. 21-23.