Решеточно упорядоченные полукольца и их функциональные представления тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, кандидат наук Чермных Оксана Владимировна

• Чермных Оксана Владимировна
• кандидат наук
• 2018

Оглавление диссертации кандидат наук Чермных Оксана Владимировна

Содержание

Введение 3 Глава 1. Начальные свойства (Ы-полугрупп и ¿г/-полуколец

1. ¿г/-полугруппы

2. ¿г/-полукольца 25 Глава 2. Алгебраические свойства ¿г/-полуколец

3. /-идеалы

4. Теоремы о разложении

5. Кольцо разностей ¿г/-полукольца

6. ¿г/-полутела 54 Глава 3. Функциональные представления

¿г/-полуколец

7. Пучки ¿г/-полуколец

8. Функциональные полукольца

9. Гельфандовы функциональные полукольца

10. Представления на минимальном спектре

11. Представление на первичном спектре

12. Представление над максимальным спектром булевой решетки дополняемых /-идеалов

Заключение

Предметный указатель

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Решеточно упорядоченные полукольца и их функциональные представления»

Введение

Основным объектом изучения в диссертации является ре-шеточно упорядоченное полукольцо, называемое нами ^/-полукольцом. Появление такой алгебры можно связать с двумя проблемами.

1) 115 проблема Г. Биркгофа [11] о построении общей абстрактной конструкции, включающей в себя булевы алгебры (кольца) и решеточно упорядоченные группы.

2) 37 проблема Л. Фукса [5] об описании решеточно упорядоченных полуколец.

К настоящему времени появилось достаточное число работ, посвященных как первой, так и второй проблемам. В [39] дан исторический обзор подходов к решению проблемы Биркгофа.

Среди попыток решить проблему Фукса можно выделить такие основные направления. Во-первых, известно, что можно ввести естественный порядок в аддитивно идемпотентном полукольце. Видимо это было основной причиной, по которой в монографии Дж. С. Голана [24] решеточно упорядоченное полукольцо определяется с совпадающими операциями сложения и точной верхней грани: а + Ь = а V Ь. Такое полукольцо автоматически является аддитивно идемпотентным. Этот класс важен с точки зрения чистой

теории, но особенно — как аппарат идемпотентного анализа и для исследований в рамках тропической математики [32].

Второй подход основан на анализе положительных конусов упорядоченных колец. Они замкнуты относительно сложения и умножения и как следствие являются полукольцами. Ожидаемым поэтому оказалось появление работ, в которых вводились и рассматривались положительно упорядоченные полукольца, в частности, решеточно упорядоченные полукольца с положительным порядком [4]. Отметим, что такие объекты уже не обязательно являются положительными конусами некоторого упорядоченного кольца. Кроме того, упорядоченные кольца (и упорядоченные полукольца, содержащие их в качестве подколец) не попадают в этот класс.

Подробней остановимся на drl-полугруппах и drl-полукольцах.

При исследовании таких алгебр как полугруппа или упорядоченная полугруппа не удается получить содержательных структурных теорем, поэтому при их изучении вводятся дополнительные условия. Решетки, полугруппы и полурешетки с делением явились основными источниками появления drl-полугрупп. Последние могут считаться частичным решением проблемы Биркгофа. drl-Полугруппа (dually residuated lattice ordered semigroup) была определена К. Л. Н. Свами в работах [45], [46], за которыми последовала серия статей о drl-полугруппах: [33], [34], [35] и др.

В 1981 г. Ранга Рао [41] заявил о своем решении проблемы Фукса. Он определил и исследовал некоторые свойства решеточно упорядоченных полуколец, названные им «l-полукольцами»; их определение базировалось на понятии drl-полугруппы. Мы применяем для введенной Ранга Рао алгебры термин drl-полукольца. Название l-полукольца подходит, видимо, для более широкого класса.

Кратко скажем о теории полуколец. Впервые название «по-

лукольцо» появилось в 1934 г. (Г. С. Вандивер [49]). В настоящее время наиболее употребительным является определение Гола-на [24], [25], по которому полукольцо отличается от кольца (ассоциативного с единицей), возможно, необратимостью аддитивной операции. Первые серьезные исследования полуколец стали появляться в 50-е годы прошлого века (С.Берн, М.Хенриксон, К. Исеки, В. Словиковский, В. Завадовский и др.). Активное развитие теории полуколец наблюдается с 80-х гг., что обусловлено все большим использованием полуколец в различных смежных с математикой дисциплинах: компьютерных науках, теории кодирования, теории автоматов, теории оптимального управления. Кроме упомянутых монографий Голана, вышла монография по полукольцам У. Хебиша и Г. Вейнерта [27]. О состоянии теории полуколец, приложениях полуколец и близких вопросах можно почерпнуть много информации из обзоров К. Глазека [22], [23].

(Ы-Полукольцо оказывается алгеброй, допускающей использование при ее изучении пучковых (функциональных) методов. Пучок алгебр (первоначально — абелевых групп) был открыт в 1945 г. Ж. Лере, а первое представление алгебр сечениями пучков появилось в 1960 г. [26]. Так, А. Гротендиком был построен пучок локальных колец, связанный с коммутативным кольцом Я с единицей, и доказано, что Я изоморфно кольцу всех глобальных сечений этого пучка. В дальнейшем пучковые представления успешно применялись сперва для исследования для колец (Дж. Даунс, К. Г. Гоф-манн [17], [18], Р. С. Пирс [40], И.Ламбек [36], К. Малви [38], [37], Г. Симмонс [42], [43], [44], К. Кох [30], [31] и др.), а с 70-х г.г. при изучении дистрибутивных решеток [14], [21], [1], ЫУ-алгебр [10], [20], типов универсальных алгебр. С начала 90-х г.г. началось развитие теории пучковых представлений полуколец [6], [7], [8], и позже —

полутел [2].

В 1971 г. увидела свет большая статья К. Кеймеля [28], в которой подробно исследовались представления решеточно упорядоченных колец. Основной конструкцией в этой работе является пучок, строящийся для произвольного /-кольца, который автор называет пучком ростков. Находятся представления, и, что особенно важно, характеризации некоторых /-колец. Самыми удачными оказываются представления для функциональных колец, т.е. это решеточно упорядоченных колец, являющихся подпрямым произведением линейно упорядоченных колец. Кроме указанной статьи Кеймеля появилось еще несколько работ [16], [29] о представлениях решеточно упорядоченных колец.

В данной диссертации основной целью является исследование решеточно упорядоченных полуколец. В работе используются методы теории полуколец, теории решеток, теории функциональных представлений алгебр.

Для достижения поставленных целей решаются следующие задачи.

1) Нахождение новых алгебраических свойств ¿т/-полуколец.

2) Построение пучковых конструкций.

3) Выявление «хороших» классов ¿т/-полуколец, допускающих нетривиальные представления сечениями.

4) Получение пучковых представлений и характеризаций ¿т/-по-луколец в пучковых терминах.

Диссертация состоит из введения, трех глав, разбитых на 12 параграфов, заключения, списка литературы и списка публикаций автора по теме диссертации. Общий объем работы составляет 115 страниц. Список литературы состоит из 59 источников.

Остановимся сейчас на содержании работы.

Глава 1 носит предварительный характер. Для замкнутости изложения в ней даются большей частью известные результаты о сСт1 -полугруппах и Сг/-полукольцах. Доказательства свойств принадлежат автору и зачастую отличаются от изложения в пионерских работах Свами и Рао.

Алгебра (Б, +, 0, V, Л, —) называется -полугруппой, если выполняются условия:

1) (Б, +, 0) — коммутативная полугруппа с нулем;

2) (Б, V, Л) — решетка (с порядком <);

3) сложение + дистрибутивно относительно V и Л;

4) х — у — наименьший элемент г такой, что у + г > х;

5) (х — у) V 0 + у < х V у;

Алгебра (Б, +, •, V, Л, —, 0) называется ¿т1-полукольцом, если выполняются условия:

1) (Б, +, •, 0) — полукольцо;

2) (Б, +, V, Л, —, 0) — ¿г1-полугруппа;

3) а(Ь — с) = аЬ — ас и (а — Ь)с = ас — Ьс для любых а, Ь, с Е Б;

4) аЬ > 0 для любых а, Ь > 0 из Б.

Класс всех Сг/-полуколец образует многообразие.

Простейшие свойства Сг/-полуколец, рассматриваемые в первой главе, во многом являются следствием специфики операции вычитания. Именно, установлены связи вычитания со сложением, умножением, операциями взятия точных граней, связь вычитания с отношением порядка, роль элементов вида 0 — а в контексте аддитивной обратимости элементов. Так, к примеру, в лемме 1.10 устанавливается связь операции вычитания с операциями точных граней, а в предложении 1.2 выясняется роль элементов вида 0 — а и их связь с аддитивной обратимостью элементов.

Важную роль при изучении drl-полуколец, в частности при факторизации, играет симметрическая разность:

а * b = (а — b) V (b — а).

Обозначим через |а| = а * 0 модуль элемента а. Рассмотрены свойства симметрической разности и модулей элементов (лемма 2.2, предложение 2.1).

Заключительным результатом первой главы является доказательство предложения 2.1 о том, что каждое dr l-полукольцо является дистрибутивной решеткой. Это важное утверждение имеется еще в первой статье Свами (для drl-полугрупп), однако, по нашему мнению, его обоснование годится только для положительно упорядоченных drl-полуколец.

Во второй главе изучаются алгебраические свойства drl-полу-колец.

Непустое подмножество A drl-полукольца S называется l-идеа-лом, если выполняются условия:

1) если а, b £ A, то а + b £ A;

2) если а £ A,s £ S, то ав, ва £ A;

3) если |b| < |а|,а £ A, то b £ A.

Каждый l-идеал A drl-полукольца S определяет конгруэнцию а = b (mod A) ^^ а * b £ A. Класс нуля при этом совпадает с A, и две конгруэнции равны в случае совпадения классов нуля этих конгруэнций.

Обычным образом определяется сумма A + B l-идеалов. В предложениях 3.1 и 3.2 описываются два естественно возникающих l-идеала произвольного drl-полукольца S. Именно, множество L(S) = {а £ S : 0 — а = 0} — l-идеал drl-полукольца S, являющийся положительно упорядоченным drl-полукольцом с наименьшим

элементом 0. Второй /-идеал Я(Б) = {0 — а : а Е Б} совпадает с множеством всех аддитивно обратимых элементов из Б.

Указанные /-идеалы играют основную роль в § 4, в котором исследуется разложимость Сг/-полукольца в прямую сумму «хороших» Сг/-полуколец.

Скажем, что Сг/-полукольцо Б является прямой суммой /-идеалов А и В, если А + В = Б и разложение й = а + Ь,а Е А, Ь Е В, однозначно для любого элемента й Е Б.

В теореме 4.1 установлено, что любое ¿г/-полукольцо является прямой суммой ¿г/-полукольца Ь(Б) с наименьшим элементом и /кольца Я(Б). Опираясь на это разложение получены еще несколько результатов. Именно, найдены условия при которых ^/-полукольцо является прямой суммой /-кольца и ¿г/-полукольца с наименьшим и наибольшим элементами (теорема 4.2). В теореме 4.3 (соотв. теореме 4.4) получены необходимые и достаточные условия, при которых ¿г/-полукольцо Б есть прямая сумма /-кольца и брауэровой (соотв. булевой) решетки.

Аналог теоремы 4.1 для ¿г/-полугрупп, видимо, был получен Т. Коваром [33], но нам не удалось познакомиться с текстом указанной работы. Теоремы 4.2-4.4 уточняют и исправляют похожие результаты Свами [45], [46] для ¿г/-полугрупп.

В § 5 для аддитивно сократимого ¿г/-полукольца строится его кольцо разностей, оказывающееся /-кольцом (предложение 5.2), устанавливаются связи между /-идеалами аддитивно сократимого ¿г/-полукольца и его /-кольца разностей (предложение 5.4).

Основным результатом следующего параграфа является предложение 6.2 о том, что положительно упорядоченное ¿г/-полутело является линейно упорядоченным.

Третья глава диссертации является основной и посвящена

пучковым представлениям dr/-полуколец.

В § 7 определяется пучок алгебр, вводятся основные понятия теории пучков и пучковых представлений: сечение, носитель сечения, нуль-множество, функциональное представление и т.д.

Собственный l-идеал P drl-полукольца называется неприводимым, если из A П B С P следует A С P или B С P для любых /-идеалов A, B. Множество Irr S всех неприводимых /-идеалов drl-полукольца S образует топологическое пространство с открытыми множествами вида D(A) = {P G Irr S : P 2 A} (стоуновская топология). Для построения пучков в диссертации используется техника, идущая от Б. А. Дейви [15] и основанная на открытых семействах конгруэнций.

Пусть X — подпространство Irr S, Y — топологическое пространство, ^ : X ^ Y — непрерывное сюръективное отображение. Для произвольного открытого в Y подмножества U и произвольной точки y G Y положим:

0и = n^-1(U) = n{P G Irr S : <p(P) G U}, 0y = U{0V : V — открыто в Y и y G V}.

При этом, когда X = Y = Irr S и отображение ^ является тождественным, для P G Irr S и открытого в Irr S подмножества U получаем:

0u = n{Q G Irr S : Q G U}, 0P = U{0V : V — открыто в Irr S и P G V}.

Для произвольного drl-полукольца S множество 0y оказывается /-идеалом, а множество всех l-идеалов вида 0y,y G Y, образуют открытое семейство /-идеалов (предложение 7.2). Это позволяет построить пучок (n(S), Y), где n(S) — дизъюнктное объединение

drl-полуколец S/0y, а y — произвольная точка из Y. Отметим, что конструкция пучка ростков непрерывных функций может считаться идейным истоком при построении пучка (n(S), Y).

При использовании открытого семейства /-идеалов {0p : P Е Irr S} мы получаем пучок (n'(S), Irr S).

Теорема 7.1. Пусть S — drl-полукольцо, X — подпространство Irr S, Y — топологическое пространство, р : X ^ Y — непрерывное сюръективное отображение. Тогда (n(S),Y) — пучок drl-полуколец, и справедливы утверждения:

1) если X плотно в Irr S, то S изоморфно drl-подполукольцу S drl-полукольца всех глобальных сечений пучка П;

2) если X полно в Irr S, то Г00(П) С S, т. е. любое глобальное сечение из П с компактным носителем имеет вид S для некоторого a Е S.

Для пучка (n'(S), Irr S) справедливы утверждения:

3) S изоморфно drl-подполукольцу S drl-полукольца всех глобальных сечений пучка П', и Г00(П') С S;

4) если S содержит формальную единицу, то S изоморфно drl-полукольцу всех глобальных сечений пучка П'.

Теорема 7.1 носит достаточно общий характер, но является той основой, на которой в дальнейшем получаются содержательные пучковые представления. Мы ограничиваем класс drl-полуколец до следующего. Функциональным полукольцом (или, короче, /-полукольцом) назовем drl-полукольцо, являющееся подпрямым произведением линейно упорядоченных drl-полуколец. Характериза-ция f-полуколец установлена в предложении 8.2: drl-полукольца S является /-полукольцом тогда и только тогда, когда S удовлетворяет свойствам:

если a Л b = 0 и c > 0, то ca Л b = ac Л b = 0; (*)

(a — b) Л (b — a) < 0 для любых a, b G S. (**)

Отметим [12], что в классе /-колец для характеризации функционального кольца достаточно одного условия (*).

Функциональные полукольца оказываются более удобными для применения пучковых методов. В первых пучковых конструкциях, описанных в § 7, в общем случае затруднительно понять алгебраическую структуру их слоев 0y или 0p . Для f -полуколец нами используется некоторая вариация пучка, более близкая к пучку Ламбека для абстрактных полуколец и колец (см. [36]), [7])).

Элементы a,b G S называтся ортогональными, если |a| Л |b| = 0. Для произвольного подмножества A drl-полукольца S через A* обозначим множество всех элементов из S ортогональных каждому элементу из A. Если P — неприводимый /-идеал f-полукольца S, то положим

0(P) = {a G S : a* £ P}.

Множество {0(P) : P G Irr S} образует открытое семейство /-идеалов произвольного f-полукольца (предложение 8.3), что позволяет построить пучок f-полуколец:

(L(S), Irr S) = (US/0(P), Irr S).

Назовем f-полукольцо S гелъфандовым, если для каждой пары различных максимальных /-идеалов M и N из S найдутся элементы a G M \ N и b G N \ M, такие, что |a| Л |b| = 0.

Для изучения гельфандовых f-полуколец нами используется ограничение пучка (L(S), Irr S) на максимальный спектр Max S. В результате получаем изоморфизм гельфандова f-полукольца S с единицей 1 и f-полукольца всех глобальных сечений пучка (L(S), Max S), каждый слой пучка является f-полукольцом с един-

ственным максимальным /-идеалом, а базисное пространство — компакт (теорема 9.1).

Часто используется в пучковых представлениях минимальный спектр. Пусть Min S подпространство пространства Irr S всех минимальных неприводимых /-идеалов f -полукольца. Пучок (L(S ), Min S ) для произвольного f -полукольца хаусдорфов (его накрывающее пространство хаусдорфово), с нульмерным хаусдорфо-вым базисным пространством. Для любого M G Min S соответствующий слой имеет вид 0(M) = 0м = M (предложение 10.1 и лемма 10.2).

Назовем f-полукольцо S риккартовым, если а* + а** = S для любого а G S. В теореме 10.1 мы получаем изоморфизм риккар-това f-полукольца S f-полукольцу всех глобальных сечений пучка (L(S), Min S) с компактными носителями; верно и обратно, если (P, X) — произвольный хаусдорфов пучок линейно упорядоченных f-полуколец, то f-полукольцо всех глобальных сечений с компактными носителями риккартово.

Бирегулярное f-полукольцо определяется нами как f -полукольцо, каждый главный /-идеал которого выделяется прямым слагаемым. Неодноэлементное drl-полукольцо S называется /-простым, если S не содержит ненулевых собственных /-идеалов.

Бирегулярное f-полукольцо является как риккартовым, так и гельфандовым. Кроме того, пучки (n(S), Irr S), (n'(S), Min S) и (L(S), Max S), построенные для произвольного бирегулярного f-полукольца S, совпадают. Слои пучков S/M, M G Max S, являются /-простыми f-полукольцами. Доказано, что бирегулярное f-полукольцо изоморфно f-полукольцу всех глобальных сечений с компактными носителями указанного пучка, а если (P, X) является ха-усдорфовым пучком /-простых f-полуколец, то f-полукольцо Гоо(Р)

всех глобальных сечений с компактными носителями бирегулярно (теорема 10.2). Заметим, что если f-полукольца в теоремах 10.1 и 10.2 содержат единицу, то они изоморфны f-полукольцам всех глобальных сечений пучков.

Назовем f-полукольцо S с 1 строго регулярным, если для любого a Е S найдется такой s Е S, что a2s = a. Теорема 10.3 дает для этих алгебр еще одно представление: f-полукольцо строго регулярно тогда и только тогда, когда оно изоморфно f-полукольцу всех глобальных сечений хаусдорфова пучка, слои которого суть линейно упорядоченные f-полутела, а базисное пространство — нульмерный компакт.

В двух заключительных параграфах рассматриваются два представления для произвольных drl-полуколец.

Первичный 1-идеал drl-полукольца S и первичный спектр Spec S) (с топологией Стоуна) определяются обычным образом. Назовем drl-полукольцо S l-полупервичным, если пересечение всех первичных l-идеалов из S нулевое. Отметим, что 1-полупервич-ность drl-полукольца S равносильна как отсутствию ненулевых нильпотентных l-идеалов, так и отсутствию ненулевых сильно нильпотентных элементов (лемма 11.2).

Строится пучок drl-полуколец (A(S), Spec S) индуцированный открытым семейством l-идеалов вида Op, P Е Spec S. Определяются эти l-идеалы таким же образом как и l-идеалы вида 0p в § 7 с заменой неприводимых l-идеалов на первичные.

В теореме 11.1 доказано, что произвольное l-полупервичное drl-полукольцо S с формальной единицей изоморфно drl-полукольцу всех глобальных сечений пучка (A(S), Spec S).

Множество eS всех дополняемых l-идеалов drl-полукольца S является булевой решеткой, что позволяет рассмотреть пространство

Max eS максимальных идеалов решетки eS. /-Идеалы 0м = U{ A Е : A Е M} образуют открытое семейство /-идеалов drl-полуколь-ца S, поэтому получаем пучок (Ф(£), MaxeS) и изоморфное представление произвольного drl-полукольца S сечениями этого пучка (теорема 12.1).

По теме диссертации опубликовано 9 работ, в том числе 3 в рецензируемых научных журналах, рекомендованных ВАК.

Результаты неоднократно докладывались на научных конференциях Вятского государственного гуманитарного университета и Вятского государственного университета, на научно-исследовательском семинаре кафедры фундаментальной и компьютерной математики Вятского государственного университета, на научно-исследовательском семинаре кафедры алгебры и математической логики Казанского федерального университета. Результаты диссертации апробированы на XIII Международной конференции «Алгебра, теория чисел и дискретная геометрия: современные проблемы и приложения», посвященной 85-летию со дня рождения профессора С. С. Рышкова (Тула, ТГПУ Л. Н. Толстого, 2015); Международной конференции «Алгебра и логика: теория и приложения:», посвященной 70-летию В. М. Левчука (Красноярск, Сибирский федеральный университет, 2016); Международной конференции «Мальцевские чтения» (Новосибирск, НГУ, 2016); Международной алгебраической конференции, посвященной 110-летию со дня рождения проф. А. Г. Куроша.

Автор выражает глубокую признательность профессорам Евгению Михайловичу Вечтомову и Василию Владимировичу Чермных за постоянное внимание к работе.

Глава 1

Начальные свойства drl-полугрупп и drl-полуколец

1. drl-полугруппы

Определение 1.1. Алгебра (S, +, 0, V, Л, —) называется drl-полугруппой (dually resideated lattice ordered semigroup), если выполняются условия:

1) (S, +, 0) — коммутативная полугруппа с нулем;

2) (S, V, Л) — решетка (с порядком <);

3) сложение + дистрибутивно относительно как V, так и Л;

4) x — y — такой наименьший элемент z, что y + z > x;

5) (x — y) V 0 + y < x V y;

Первые три аксиомы определения задают коммутативную реше-точно упорядоченную полугруппу (l-полугруппу) с нейтральным элементом. В монографии Л. Фукса [5] им посвящена одна из глав.

Примеры.

1) Абелева решеточно упорядоченная группа (1-группа) с обычной групповой разностью.

2) Пусть n — полугруппа целых неотрицательных чисел с обычными сложением и отношением порядка. Определим а — Ь = 0, если а < Ь и а — Ь как обычную разность в противном случае. Тогда

+, 0, —, <) — линейно упорядоченная ¿г1-полугруппа.

3) Пусть (В, V, Л) — булева алгебра (булева решетка). Алгебра (В, + , 0, V, Л, —) становится ¿г1-полугруппой, если за аддитивную операцию взять V, а разность определить как а—Ь = аЛЬ^, где Ь^ — дополнение к элементу Ь. Покажем, что такая разность удовлетворяет определению; проверка остальных аксиом тривиальна. Действительно, (а Л Ь^) V Ь = а V Ь > а. Пусть £ V Ь > а для некоторого г. Тогда (^Ь)ЛЬ^ > аЛЬ^. Получаем аЛЬ^ < (МЬ^0 = £ЛЬ^ <

Чтобы не использовать большего числа скобок, договоримся считать операции точных граней более сильными, чем сложение и разность.

Замечание 1.1. Из определения вытекает простое, но важное свойство

а < Ь ^ а + с < Ь + с

для произвольного элемента с. В самом деле, а < Ь равносильно а V Ь = Ь, поэтому Ь + с = а V Ь + с = (а + с) V (Ь + с), что влечет а + с < Ь + с. Отметим, что по этому свойству два однотипных неравенства можно почленно складывать.

Определение (Ы-полугруппы, сформулированное впервые Сва-ми [45], содержало еще одну аксиому: х — х > 0 для любого элемента х (Ы-полугруппы. Однако, как показал Ковар [34], это следует из остальных аксиом определения.

Лемма 1.1. Если х < 0, то (0 — х) V 0 + х = 0.

Доказательство. Из аксиомы 5) определения Сг1-полугруппы (0 — х) V 0 + х < 0 V х = 0. С другой стороны, (0 — х) V 0 + х = ((0 — х) + х) V (0 + х) > 0 V х = 0 в силу дистрибутивности сложения относительно V и определения разности. □

Лемма 1.2. Для любого элемента х с1т1-полугруппы справедливы утверждения:

1) (х — х) + (х — х) > х — х;

2) х — х < 0;

3) х — х = 0.

Доказательство. Дважды воспользовавшись определением разности для любого элемента х, получаем (х — х) + (х — х) + х > (х — х) + х > х, откуда следует (х — х) + (х — х) > х — х. Также из определения разности вытекает х — х < 0 для любого элемента х. Наконец, по лемме 1.1

х — х = (0 — (х — х)) V 0 + (х — х) + (х — х) > > (0 — (х — х)) V 0 + (х — х) = 0.

Лемма доказана. □

Как следует из следующего утверждения класс всех ¿г1-полу-групп является многообразием.

Предложение 1.1. В коммутативной I-полугруппе аксиома 4) равносильна системе трех условий:

4г) х + (у — х) > у;

4гг) х — у < х V г — у;

4ш) (х + у) — у < х.

Доказательство. Импликация 4) ^ 4г) очевидна. Докажем импликацию 4) ^ 4гг). Пусть £ = х V х — у. Тогда по условию 4) £ + у > х V х > х, отсюда х — у < Докажем импликацию 4) ^ 4ш). Для £ = х + у справедливо у + х > поэтому £ — у < х.

Обратно. Пусть х — у = По 4г) £ + у = (х — у) + у > х. Предположим, что у + в > х для некоторого элемента е. Тогда й + у = х V (й+у) ис помощью 4ш) и 4гг) получаем § > (й+у) — у = х V (й + у) — у > х — у = □

Замечание 1.2. Усилим аксиому 5) определения ¿г1-полугруп-пы:

(х — у) V 0 + у = х V у.

Из двух неравенств (х—у) V0+y > (х—у)+у > х и (х—у) V0+у > у следует (х — у) V 0 + у > х V у. Вместе с аксиомой 5) определения 1.1 получаем требуемое равенство.

Лемма 1.3. Если а < Ь, то а — с < Ь — с и с — Ь < с — а для произвольного с.

Доказательство. Пусть выполняются неравенства а < Ь и Ь — с = Тогда с + £ > Ь > а, поэтому а — с < £ = Ь — с. Из а < Ь следует Ь + (с — а) > а + (с — а) > с, откуда с — Ь < с — а. □

Лемма 1.4. а — 0 = а.

Доказательство. Пусть а — 0 = тогда £ = £ + 0 > а. С другой стороны, а + 0 > а, поэтому а > □

Лемма 1.5. а < Ь ^^ а — Ь < 0; а < Ь ^ Ь — а > 0.

Доказательство. Из а < Ь следует а — Ь < Ь — Ь = 0. Обратно, а — Ь < 0 влечет а < Ь + (а — Ь) < Ь + 0 = Ь по предложению 1.1 и замечанию 1.1. Наконец, из а < Ь получаем 0 = а — а < Ь — а.

Замечание 1.3. Отметим, что последние два условия леммы не равносильны, пример легко найти в Сг1-полугруппе n.

Лемма 1.6. Если а < Ь, то (Ь — а) + а = Ь.

Доказательство. По замечанию 1.2 справедливо равенство (Ь — а) V 0 + а = а V Ь, а использовав посылку и лемму 1.5, получаем нужный результат. □

Лемма 1.7. В 4т1-полугруппе справедливы соотношения:

1) (а + Ь) — с < а + (Ь — с);

2) (а — Ь) + с > а — (Ь — с);

3) (а — Ь) — с = а — (Ь + с).

Доказательство. 1) Поскольку с+(а+(Ь—с)) = а+(с+(Ь—с)) > а + Ь, то (а + Ь) — с < а + (Ь — с).

2) Следует из ((а — Ь) + с) + (Ь — с) = (а — Ь) + (с + (Ь — с)) > (а — Ь) + Ь > а.

3) Пусть а — (Ь + с) = тогда Ь + с + £ > а, откуда £ + с > (Ь + (с + £)) — Ь > а — Ь. Следовательно, £ > (а — Ь) — с, т. е. а — (Ь + с) > (а — Ь) — с. Обратно, пусть (а — Ь) — с = й, тогда с+й > а — Ь. Далее, Ь+с+й > (а — Ь) + Ь > а, поэтому а — (Ь+с) < й, т. е. а — (Ь + с) < (а — Ь) — с. □

Примеры. Обратные отношения в первых двух неравенствах леммы 1.7 справедливы не всегда. Так в сСН-полугруппе n при а = с = 0, Ь = 0 левая часть неравенства 1) равна нулю, а правая — нет.

Для второго неравенства пусть а = Ь = 0, с = 0 — элементы из n. Тогда 0 — (0 — с) = 0 — 0 = 0, но (0 — 0) + с = с = 0.

Следствие 1.1. В 4т1-полугруппе справедливо равенство (а — Ь) — с = (а — с) — Ь.

Доказательство. Пользуясь леммой 1.7, получаем (а — Ь) — с = а — (Ь + с) = а — (с + Ь) = (а — с) — Ь. □

Лемма 1.8. Если а < Ь < с, то с — а = (с — Ь) + (Ь — а).

Доказательство. По леммам 1.6 и 1.7 получаем:

с — а = ((с — а) — (Ь — а)) + (Ь — а) = = (с — (а + (Ь — а))) + (Ь — а) = = (с — Ь) + (Ь — а).

Лемма доказана. □ Лемма 1.9. (а — Ь) + (Ь — а) > 0.

Доказательство Из леммы 1.7 следует (а — Ь) + (Ь — а) >

а — Ь) + Ь) — а > а — а = 0. □

Лемма 1.10. В 4т1-полугруппе справедливы соотношения:

1) а V Ь — с = (а — с) V (Ь — с);

2) а Л Ь — с < (а — с) Л (Ь — с)

3) с — а V Ь < (с — а) Л (с — Ь)

4) с — а Л Ь = (с — а) V (с — Ь)

Доказательство. 1) Заметим, что

(а — с) V (Ь — с) + с = ((а — с) + с) V ((Ь — с) + с) > а V Ь.

Пусть с+£ > аVb для некоторого Тогда £ > (с+£)—с > (aVЬ)—с > а — с. Аналогично, £ > Ь — с. Следовательно, £ > (а — с) V (Ь — с).

2) Из неравенств а Л Ь — с < а — с и а Л Ь — с < Ь — с получаем а Л Ь — с < (а — с) Л (Ь — с).

3) получается такими же рассуждениями как и при доказательстве условия 2).

4) Во-первых,

а Л Ь + (с — а) V (с — Ь) = (а +(с — а) V (с — Ь)) Л (Ь +(с — а) V (с — Ь)) = = ((а + (с — а)) V (а + (с — Ь))) Л ((Ь + (с — а)) V (Ь + (с — Ь))) >

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Чермных Оксана Владимировна, 2018 год

Литература

[1] Вечтомов Е. М. Дистрибутивные решетки, функционально представимые цепями // Фундам. и прикл. матем. — 1996. — 2, №1. — С. 93-102.

[2] Вечтомов Е. М., Черанева А. В. Полутела и их свойства // Фундам. и прикл. матем. — 2008. — 14, №5. — C. 3-54.

[3] Общая алгебра (под ред. Л. A. Скорнякова). — М.: «Наука», 1990.

[4] Ряттель А. В. Положительно упорядоченные полутела: Дисс. ... канд. физ.-мат. наук. Киров: ВятГГУ, 2002. 89 с.

[5] Фукс Л. Частично упорядоченные алгебраические системы. — М.: «Мир», 1965.

[6] Чермных В. В. Представления положительных полуколец сечениями // УМН — 1992. — 47, №5. — C. 193-194.

[7] Чермных В. В. Пучковые представления полуколец // УМН — 1993. — 48, №5. — C. 185-185.

[8] Чермных В. В. Функциональные представления полуколец // Фундамент. и прикл. матем. — 2012. — 17, №3. — С. 111-227.

[9] Ahsan J., Mason G. Fully idempotent near-rings and sheaf representations // Internat. J. Math. & Math Sci. — 1998. — 21, №1. — P. 145-152.

[10] Belluce L. P., Nola A., Ferraioli A. R. MV-semirings and their Sheaf Representations, Order, 2011.

11 12

13

14

15

16

17

18

19

20 21

22 23

Birkhoff G. Lattice Theory, AMS, Providence, R.I., 1967. Birkhoff G., Pierce R. S. Lattice-ordered rings // An. Acad. Brasil. Ci. - 1956 - 28. - P. 41-69.

Bredon G. Sheaf theory, McGray-Hill, New York, 1967. Cornish W. H. 0-ideals, congruences and sheaf representations of distributive lattices // Rev. Roum. Math. Pures Appl. — 1977. — 22, №8. — P. 200-215.

Davey B. A. Sheaf spaces and sheaves of universal algebras //

Math. Z. — 1973. — 134, №4. — P. 275-290.

Dauns J. Representation of l-groups and /-rings // Pacific J. Math.

— 1969. — 31. — P. 629-654.

Dauns J., Hofmann K.H. The representation of biregular rings by sheaves // Math. Z. — 1966. — 91, №2. — P. 103-123. Dauns J., Hofmann K.H. Representations of rings by sections // Mem. Amer. Math. Soc. — 1968. — №83.

Diem J. E. A radical for lattice-ordered ring // Pac. J. Math. — 1968. — 25, №1. — P. 71-82.

Dubuc E. J., Poveda Y. A. Representation theory of MV-algebras // Ann. Pure Appl. Logic — 2010. — 161, №8. — P. 1024-1046. Georgesku G., Voiculescu J. Isomorphic sheaf representations of normal lattices //J. Pure and Appl. Algebra. — 1987. — 45, №3.

— P. 213-223.

Glazek K. Short guide trough the literature on semirings // Wroclaw: University of Wroclaw, Mathematical Institute, 1985. Glazek K. Short guide to the literature on semirings and their applications in mathematics and computer science. Berlin: Springer, 2000.

[24] Golan J. S. The theory of semirings with applications in mathematics and theoretical computer science. Longman scienificand tehnical. Harlow, 1992.

[25] Golan J. S. Semirings and their applications. Kluwer Acad. Publ. - Dordrecht, 1999.

[26] Grothendieck A., Dieudonne J. Elements de Geometrie Algebrique 1. I.H.E.S., Publ. Math. 4, Paris, 1960.

[27] Hebisch U., Weinert H. J. Semirings. Algebraic Theory and Applications in Computer Science // World Scientific., 1998.

[28] Keimel K. The representation of lattice ordered groups and rings by sections in sheaves // Lect. Notes Math. — 1971. — №248. — P. 2-96.

[29] Keimel K. Representations of lattice-ordered rings // Proc Univ. of Houston. Lattice Theory Conf. — 1973. — P. 277-293.

[30] Koh K. On functional representations of ring without nilpotent elements // Canad. Math. Bull. — 1971. — 14, №3. — P. 349-352.

[31] Koh K. On a representation strongly harmonic ring by sheaves // Pacif. J. Math. — 1972. — 41, №2. — P. 459-468.

[32] Kolokoltsov V. N., Maslov V. P. Idempotent analysis and its applications, Kluwer Acad. Publ., Dordrecht, 1997.

[33] Kovar T. A general theory of dually residuated lattice-ordered monoids, Ph.D. Thesis, Palack^y Univ., Olomouc. 1996.

[34] Kovar T. Two remarks on dually residuated lattice ordered semigroups // Math. Slovaka — 1999. — 49, №1. — P. 17-18.

[35] Kuhr J. Representable dually residuated lattice-ordered monoids, Disc. Math. Gen. Alg. and Appl. — 2003. — 23. — P. 115-123.

[36] Lambek J. On representation of modules by sheaves of factor modules // Can. Math. Bull. — 1971. — 14, №3. — P. 359-368.

[37] Mulvey C.J. Compact ringed spaces //J. Algebra. — 1978. — 52, №2. — P. 411-436.

[38] Mulvey C.J. Representations of rings and modules // Lect. Notes Math. — 1979. — 753. — P. 542-585.

[39] Paoli F., Tsinakis C. On Birkhoff's common abstraction problem // Studia Logica. —2012. — 100. — P. 1079-1105.

[40] Pierce R.S. Modules over commutative regular rings // Mem. Amer. Math. Soc. — 1967. — 70. — P. 1-112.

[41] Rao P. R. Lattice ordered semirings // Math. Sem. Notes, Kobe Univ. — 1981. — 9. — P. 119-149.

[42] Simmons H. Reticulated rings //J. Algebra. — 1980. — 64, №1.

— P. 169-192.

[43] Simmons H. Sheaf representation of strongly harmonic rings // Proc. Roy. Soc. Edinburg. — 1985. — A99, №3-4. — P. 249-268.

[44] Simmons H. Compact representations — the lattice theory of compact ringed spaces //J. Algebra. — 1989. — 126, — P. 493-531.

[45] Swamy K. L. N. Duallity residuated lattice ordered semigroups // Math. Ann. — 1965. — 159. — P. 105-114.

[46] Swamy K. L. N. Dually residuated lattice ordered semigroups, II // Math. Ann. — 1965. — 160. — P. 64-71.

[47] Szeto G. On sheaf representation of a biregular near-ring // Canad. Math. Bull. — 1977. — 20. — P. 495-500.

[48] Szeto G. The sheaf representation of near-rings and its applications // Comm. Algebra. — 1977. — 5. — P. 773-782.

[49] Vandiver H. S. Note on simple type of algebra in which the cancellation law of addition does not hold // Bull. Math. Soc.

— 1934. — 40. — P. 914-920.

[50] Ward M., Dilworth R. P. Residuated lattices // Trans. Am. Math. Soc. — 1939. — 45. — P. 335-354.

Публикации автора по теме диссертации

[51] Чермных О. В. О ¿г1-полугруппах и ^-полукольцах // Чебы-шевский сб. - 2016. - 17, №4. - С. 167-179.

[52] Чермных В. В., Чермных О. В. Функциональные представления решеточно упорядоченных полуколец // Сиб. электрон. матем. изв. - 2017. - 14. - С. 946-971.

[53] Чермных О. В. Функциональные представления решеточно упорядоченных полуколец. II // Сиб. электрон. матем. изв. -2018. - 15. - С. 677-684.

[54] Ворожцова Т. А., Чермных О. В. Арифметические свойства ¿г1-полугрупп // Математический вестник педвузов и университетов Волго-Вятского региона. - 2014. - Вып 16. - С.74-81.

[55] Чермных В. В., Чермных О. В. Функциональное представление ¿г1-полукольца // Алгебра, теория чисел и дискр. геометрия: совр. проблемы и прил.: XIII Межд. конф., посв. 85-летию со д. р. проф. С. С. Рышкова. - Тула: ТГПУ, 2015. - С. 188-190.

[56] Чермных В. В., Чермных О. В. О кольце разностей ^-полу-кольца // Электрон. информ. сист. - 2016. №3(10). - С. 81-89.

[57] Чермных В. В., Чермных О. В. О ¿г1-полукольце, вложимом в 1-кольцо // Алгебра и логика: теория и приложения: Межд. конф., посв. 70-летию В. М. Левчука. - Красноярск: СФУ -2016. - С. 78-79.

[58] Чермных В. В., Чермных О. В. Функциональные представления /-полукольца // Мальцевские чтения: тез. докл. Между-нар. конф. - Новосибирск: НГУ. - 2016. - С. 164.

[59] Чермных О. В. О представлениях решеточно упорядоченного полукольца сечениями // Межд. алг. конф., посв. 110-летию со д. р. проф. А. Г. Куроша. М.: МГУ. - 2018. - С. 210-211.