Циклические полукольца с некоммутативным сложением тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, кандидат наук Орлова Ирина Валерьевна

• Орлова Ирина Валерьевна
• кандидат наук
• 2017

Оглавление диссертации кандидат наук Орлова Ирина Валерьевна

1.1 Исходные понятия

1.2 Циклические полукольца с нулем

1.3 Циклические полуполя

1.4 Бесконечные циклические полукольца

ГЛАВА 2. Общие результаты о циклических полукольцах

2.1 О конечных циклических полукольцах

2.2 Идеалы и конгруэнции циклических полуколец

ГЛАВА 3. Идемпотентные циклические полукольца с некоммутативным

сложением

3.1 Идемпотентные циклические полукольца типа (к, 1)

3.2 Идемпотентные циклические полукольца типа (к, п), п ^

ГЛАВА 4. Неидемпотентные циклические полукольца с некоммутативным сложением

4.1 Основные свойства неидемпотентных циклических полуколец

4.2 Неидемпотентные циклические полукольца типа (к,п), к ^ п

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

ЛИТЕРАТУРА

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Циклические полукольца с некоммутативным сложением»

ВВЕДЕНИЕ

Диссертация представляет собой исследование в области теории полуколец - одного из важных разделов современной алгебры. Развита теория полуколец с циклическим умножением и некоммутативным сложением.

Циклическая структура играет существенную роль в математике и ее приложениях. Строение циклических ГруПп, циклических (или моногенных) полугрупп, циклических колец известно [13, 14, 15]. Циклы и циклические процедуры составляют значимую часть аппарата дискретной математики и информатики.

Мультипликативно циклические полукольца, как и другие циклические алгебраические структуры, служат естественным объектом для исследования. Такие полукольца являются нетривиальным алгебраическим объектом и могут найти применение в криптографии [22, 37], наряду с конечными полями, составляющими их классический подкласс. При изучении циклических полуколец полезно использовать современные компьютерные технологии.

Впервые циклические полукольца с коммутативным сложением рассматривались в работе [9], в которой описаны бесконечные циклические полукольца с коммутативным сложением (теорема 4) и поставлена проблема описания конечных циклических полуколец с коммутативным сложением (задача 8). Конечные циклические полукольца с коммутативным сложением исследовались в работах А. С. Бестужева [2]-[6], А. С. Бестужева и Е. М. Вечтомо-ва [7, 30]. Начало изучения циклических полуколец с некоммутативным сложением положено в [41].

Отметим также, что полукольца с циклическим сложением рассматривались в [20]; они устроены гораздо проще полуколец с циклическим умножением.

Теория полуколец возникла в 50-е годы XX столетия и ее интенсивное развитие на первых этапах связано с такими именами, как А. А. Коста, С. Берн,

К. Исеки, Г. Вайнерт, Г. Луговски и др. Как отмечает К. Глазек в своем обзоре [32], первые монографии по теории полуколец были написаны Дж. Го-ланом [33, 34, 35], У. Хебишем и Г. Вайнертом [36]. В настоящее время теория полуколец активно развивается в связи с успешным применением ее в дискретной математике, компьютерной алгебре, идемпотентном анализе, теории оптимального управления и других разделах математики [18, 34, 35, 36]. Работа Глазека [32] содержит обширную библиографию и обзор по полукольцам и их приложениям в различных областях математики.

Впервые понятие полукольца (в широком смысле) было дано Г. Ванди-вером [38] в 1934 г. Полукольцом он называл алгебру (S, +, •) с двумя бинарными операциями сложения + и умножения •, если (S, +) - полугруппа, (S, •) - полугруппа, умножение дистрибутивно относительно сложения с обеих сторон. Другое (узкое) определение полукольца принадлежит Гол any [34], в котором дополнительно требуются коммутативность операции сложения, наличие нулевого элемента 0, нейтрального по сложению и поглощающего по умножению, и наличие единичного элемента 1, нейтрального по умножению. В изучаемых нами полукольцах не требуется коммутативность сложения и, с

0

Поэтому используется расширенное понятие полукольца, данное Вандивером.

Заметим, что в той же работе [38] Вандивер упомянул о возможности изучения полуколец с некоммутативным сложением, а в работе [39] он привел примеры подобных полуколец.

Теорией полуколец активно занимаются Е. М. Вечтомов и члены научной алгебраической школы «Функциональная алгебра и теория полуколец» под его руководством. Результаты исследований по абстрактной теории полуколец отражены в диссертациях [8, 17, 19, 21, 25, 26, 29].

Понятие циклического полукольца было введено Е. М. Вечтомовым [9]. S 1 S

образующий элемент а, такой, что каждый ненулевой (в случае наличия 0)

и неединичный элемент из S является натуральной степенью образующего элемента.

Мультипликативная полугруппа конечного циклического полукольца с коммутативным сложением представляет собой тривиальный цикл (из одного элемента) с хвостом. Аддитивная полугруппа идемпотентных циклических полуколец представляет собой верхнюю полурешетку [2]. Неидемпотентные циклические полукольца устроены сложнее. Для изучения их строения введены четыре параметра, в зависимости от соотношения которых все неидемпотентные циклические полукольца разбиты на шесть классов [7]. Для первых пяти классов получены таблицы, полностью описывающие их строение. Для последнего класса найдены структуры, среди которых следует искать всевозможные такие полукольца. Отметим, что конечные циклические полукольца с коммутативным сложением изучены не до конца.

Снимая ограничение на коммутативность сложения в аддитивной полугруппе циклического полукольца, получается более широкий класс алгебраических объектов, объединяющий циклические полукольца с коммутативным сложением и циклические полукольца с некоммутативным сложением, изучаемые в данной диссертации.

При исследовании циклических полуколец с некоммутативным сложением применяются методы теории полугрупп, теории полуколец, элементарной теории чисел, универсальной и компьютерной алгебры.

Объектом исследования диссертации являются полукольца с дополнительными условиями.

Предметом исследования служат циклические полукольца.

Целью данной работы является изучение структуры циклических полуколец с некоммутативным сложением.

Для достижения поставленной цели в диссертации решаются следующие задачи:

1. Общая классификация циклических полуколец.

2. Установление свойств операции сложения на циклических полукольцах с некоммутативным сложением.

3. Описание идеалов и конгруэнции циклических полуколец.

4. Выяснение структуры циклических полуколец с идемпотентным некоммутативным сложением.

5. Исследование циклических полуколец с неидемпотентным некоммутативным сложением.

6. Нахождение изучаемых полуколец с помощью информационных технологий для выявления закономерностей в полукольцах.

Любое конечное циклическое полукольцо с некоммутативным сложением содержит циклическое полуполе, сложение в котором определяется двумя параметрами. Поэтому для изучения аддитивной полугруппы такого полукольца необходимо «распространить» сложение из циклического полуполя на все полукольцо.

С другой стороны, с помощью факторизации конечного циклического полукольца с некоммутативным сложением получается подобное полукольцо с поглощающим элементом. Поэтому важной задачей является конструирование конечных циклических полуколец с некоммутативным сложением из циклических полуполей и циклических полуколец с поглощающим элементом. Заметим, что конечные полутела описаны Вайнертом [40] в 1981 году. Структура циклических полуполей уточнена в нашей работе.

Диссертация состоит из введения, четырех глав, разбитых на 10 параграфов, заключения, списка литературы и предметного указателя. Текст диссертации изложен на 92 страницах, содержит 1 иллюстрацию и 9 таблиц. Список литературы включает 56 наименований.

Для нумерации основных математических фактов в тексте используется сквозная тройная нумерация — отдельная для теорем, предложений, лемм, следствий и примеров. Например, теорема 3.2.4 — это теорема 4 из параграфа

2 главы 3. Номера формул (рисунков, таблиц) состоят из номера главы и номера формулы (рисунка, таблицы) в главе.

Остановимся подробнее на содержании каждой из глав диссертации, вводя по ходу изложения необходимые определения и обозначения.

Глава 1 «Специальные классы циклических полуколец» посвящена следующим специальным классам циклических полуколец: циклическим полукольцам с нулем, циклическим полуполям, бесконечным циклическим полукольцам.

В параграфе 1.1 вводятся исходные понятия теории циклических полуколец. Полукольцо с тождеством x + x = x называется идемпотентным, в противном случае - неидемпотентным. Полутелом называется полукольцо, являющееся группой по умножению; коммутативное полутело называется полуполем. Полутело назовем циклическим (полуполем), если оно является циклическим полукольцом.

Вводятся понятия циклического полукольца типа (k,n), циклического полукольца, типа (r, k, n), цикла и хвоста конечного циклического полукольца.

Циклическую полугруппу с единицей 1 и k + n элементами 1 ,a,a2,...,ak,..., ak+n-\ в шторой ak+n = ak, где k £ No, n £ N, будем называть циклической полугруппой типа (k,n). Полукольцо S, мультипликативная полугруппа которого является циклической полугруппой типа (k,n), называется циклическим полукольцом типа (k,n). Неидем-потентное циклическое полукольцо типа (k,n) с условием 1 + 1 = ar для наименьшего такого r £ N будем называть циклическим полукольцом типа, (r, k, n). Мно жест во {1, a, a2,... , ak-1} называется хвостом пол укольца S в случае k ^ 1, множество C = {ak, ak+1,..., ak+n-1} - его циклом. Эле-ak S = (a) (k, 1)

S

В конце параграфа 1.1 доказываются общие утверждения о полукольцах, используемые в других параграфах работы.

В параграфе 1.2 изучается класс циклических полуколец с нулем. Если образующий элемент а циклического полукольца S = (а) с нулем является нильпотентным, то по предложению 1.2.2 полукольцо S является цепью по сложению (то есть сложение в S коммутативно). Если же образующий элемент а циклического полукольца S = (а) с нулем не является нильпотентным и сумма некоторых двух ненулевых элементов S равна 0, то по предложению 1.2.3 полукольцо S является конечным полем (то есть сложение в S коммутативно). По предложению 1.2.5 циклические полукольца с нулем и с некоммутативным сложением удовлетворяют квазитождеству х + у = 0 ^ х = 0. Поэтому далее в работе рассматриваются циклические полукольца с некоммутативным сложением без нуля.

В параграфе 1.3 рассматривается частный случай циклических полуко-

а

ца Б = (а) равна единице. В этом случае полукольцо является полутелом, а точнее циклическим полуполем. В силу предложения 1.3.1 циклические полуполя конечны.

В данной работе приведено прямое доказательство теоремы Вайнер-та (теорема А) о строении конечных полутел. Эта теорема утверждает, что всякое конечное полутело изоморфно прямому произведению двух полутел, одно из которых имеет левое сложение, а другое - правое сложение. Вводятся следующие обозначения: С - произвольное конечное полутело, С + 1 = {х + 1| х Е С}, 1 + С = {1 + х| х Е С}. По теореме Вайнерта С нзоморфно (С +1) х (1 + С), где С + 1 - полутело с левым сложением, 1 + С - полутело с правым сложением.

Предложение 1.3.3 служит уточнением теоремы Вайнерта в случае циклических полуполей.

Существует ^(п) мультипликативных автоморфизмов циклического полуполя С порядка п, где ^ - функция Эйлера. Каждый мультипликативный

С

физмом (замечание 1.3.3).

Теорема 1.4.1 утверждает, что бесконечные циклические полукольца с некоммутативным сложением имеют левое или правое сложение.

В главе 2 «Общие результаты о циклических полукольцах» исследуются конечные циклические полукольца, не принадлежащие описанным специальным классам циклических полуколец.

В параграфе 2.1 приводятся общие свойства таких полуколец. Важным ре-

С

лического полукольца Б = (а) типа (к,п), к ^ 1, является циклическим полуполем с образующим элементом ап1+1 и единиц ей ап\ гд е п/ ^ к > п(/ — 1), то есть / = к+п— 1 - целая часть числа к+п—1.

" п

По предложению 2.1.1 циклические полукольца с нетривиальным циклом имеют некоммутативное сложение. Поэтому все циклические полукольца с коммутативным сложением имеют тип (к, 1), где к ^ 1.

С помощью теоремы 2.1.1 и правила сложения в циклическом полуполе (предложение 1.3.4) выводится свойство сложения в конечном циклическом полукольце с некоммутативным сложением и нетривиальным циклом, сформулированное в виде предложения 2.1.2.

В конечных циклических полукольцах с некоммутативным сложением существуют элементы, коммутирующие и некоммутирующие с единицей. В предложении 2.1.3 приведено условие, которому должны удовлетворять все элементы конечного циклического полукольца с нетривиальным циклом (со

1

В предложении 2.1.4 конечные циклические полукольца, не являющиеся

1

циклического полукольца Б = (а) типа (к, п) и единицы е цикла С полукольца Б выполняется одно из следующих условий: 1 + е = 1 е + 1 = е 1 + е = е е + 1 = 1

3) 1 + е = е, е + 1 = е.

4) 1 + е = 1 е + 1 = 1.

По лемме 2.1.1 при выполнении условия 1) сложение в полукольце S левое, при выполнении условия 2) сложение - правое. При условии 4) сложение в $ коммутативно, $ имеет тип (к, 1) к Е М, и по предложению 2.1.5 является полукольцом с нулевым элементом, а точнее (по следствию 2.1.3) - цепью.

Циклические полукольца, в которых выполняется условие 3), устроены более сложно. Для их изучения применяются леммы 2.1.3 и 2.1.4.

В параграфе 2.2 рассматриваются идеалы и конгруэнции циклических полуколец как с коммутативным, так и с некоммутативным сложением.

Предложение 2.2.1 дает описание идеалов конечных циклических полуколец, а предложение 2.2.2 - идеалов бесконечных циклических полуколец.

Предложение 2.2.3 описывает конгруэнции на конечном циклическом полукольце. Любая конгруэнция на циклическом полукольце типа (к,п) определяется двумя параметрами £ и где £ - произвольное число, такое, что 0 ^ £ ^ к, ^ - делитель числа п. В предложении 2.2.5 приводится описание конгруэнции на бесконечном циклическом полукольце с коммутативным сложением, а в предложении 2.2.6 - конгруэнции на бесконечном циклическом полукольце с некоммутативным сложением.

Предложение 2.2.4 дает строение решетки конгруэнции на циклическом полукольце типа (к,п) а предложение 2.2.7 - решетки конгруэнций на бесконечном циклическом полукольце с некоммутативным сложением. По следствию 2.2.4 конгруэнции на бесконечном циклическом полукольце с коммутативным сложением образуют цепь.

Идеалы циклических полуколец совпадают с идеалами их мультипликативных полугрупп. Конгруэнциями на конечных циклических полукольцах являются конгруэнции на их мультипликативных полугруппах, и только они. Аналогичное утверждение имеет место для конгруэнций на бесконечных циклических полукольцах с некоммутативным сложением. Заметим, что не все

конгруэнции на мультипликативной полугруппе бесконечного циклического полукольца с коммутативным сложением являются полукольцевыми.

В главе 3 «Идемпотентные циклические полукольца с некоммутативным сложением» дано описание строения конечных циклических полуколец с идемпотентным некоммутативным сложением и поглощающим элементом, а также конечных циклических полуколец с идемпотентным некоммутативным сложением и нетривиальным циклом «по модулю» конечных циклических полуколец с идемпотентным коммутативным сложением.

Теорема 3.1.1 утверждает, что всякое идемпотентное циклическое полукольцо типа (к, 1) к Е М, с некоммутативным сложением имеет либо левое сложение, либо правое сложение.

В параграфе 3.2 приведено описание идемпотентных циклических полуколец с некоммутативным сложением и нетривиальным циклом.

Б

груэнция ~ из примера 2.2.2, которая «склеивает» элементы цикла С, а

Б

цо Б/~ циклического полукольца Б = (а) типа (к,п) с некоммутативным сложением также является циклическим полукольцом, но с поглощающим элементом [акПо теореме 3.1.1 сложение в факторполукольце Б/~ либо левое, либо правое, либо коммутативное. По лемме 3.2.1 если в факторполу-кольце Б/~ сложение левое (правое), то и в самом полукольце Б сложение левое (правое).

Теорема 3.2.1 утверждает, что в идемпотентном циклическом полукольце Б = (а) типа (к,п), к ^ 1, п ^ 2, со сложением, не являющимся ни левым,

С

к сложению в идемпотентном циклическом полукольце Т = {1, ап,..., ап1},

/ =

к+п—1

, с коммутативным сложением. Теорема 3.2.2 доказывает существование и единственность полукольца со структурой, описанной в теореме 3.2.1. В теореме 3.2.2 для любых натураль-

ных чисел к ^ 1, п ^ 2, из произвольного (1 + 1)-элемептпого, I = к+П-1 идемпотентного циклического полукольца Т' с коммутативным сложением и произвольного поэлементного циклического полуполя С' строится единственное с точностью до изоморфизма идемпотентное циклическое полукольцо $ = (а) типа (к,п) с некоммутативным сложением, такое, что его цикл изоморфен С', а его подполукольцо {1, ап,..., ап1} изоморфно Т'.

Таким образом, теоремы 3.2.1 и 3.2.2 дают описание конечных циклических полуколец с идемпотентным некоммутативным сложением и нетривиальным циклом «по модулю» конечных циклических полуколец с идемпотентным коммутативным сложением.

По предложению 3.2.1 число идемпотентных циклических полуколец типа (к, п) к ^ 1, п ^ 2, равно произведению числа циклических полуполей порядка п и числа идемпотентных циклических полуколец типа (1,1),

1 =

к+п-1

с коммутативным сложением. Предложение 3.2.1, замечание 1.3.2 и таблица 2.1 позволяют находить число всех циклических полуколец типа (к,п) к ^ 1, п ^ 2, 1 ^ 10.

Глава 4 «Неидемпотентные циклические полукольца с некоммутативным сложением» посвящена изучению циклических полуколец с неидемпотент-ным некоммутативным сложением.

В параграфе 4.1 приводятся утверждения, позволяющие вывести необходимые и достаточные условия для сложения в неидемпотентных циклических полукольцах с некоммутативным сложением.

Для нахождения неидемпотентных циклических полуколец небольшого порядка написана программа на языке Си. Число неидемпотентных циклических полуколец типа (к, 1) (к ^ 8) с коммутативным и некоммутативным сложением приведено в таблице 4.1. Вычисленные полукольца показывают, что неидемпотентные циклические полукольца с некоммутативным сложением весьма многочисленны и разнообразны. В примере 4.1.1 указаны типы найденных неидемпотентных циклических полуколец порядка 4 с некомму-

тативным сложением. С точностью до изоморфизма таких полуколец всего 8. Таблицы Кэли их аддитивных полугрупп приведены в таблицах 4.2-4.4.

Теорема 4.1.1 дает необходимые и достаточные условия, при которых неидемпотентное циклическое полукольцо Б тип а (к,п), п ^ 2, с цикл ом С сводится к неидемпотентному циклическому полукольцу Б' тип а (к, 1) и циклическому полуполю С' порядка п так, что Б/~ = Б' и С = С'.

Приведены результаты об элементах неидемпотентных циклических полу-

1

представлены таблицы Кэли неидемпотентных циклических полуколец, иллюстрируют некоторые утверждения параграфа 4.1.

В параграфе 4.2 изучаются неидемпотентные циклические полукольца с некоммутативным сложением и коротким хвостом (к ^ п).

Для нахождения правила сложения в таких полукольцах показатель степени г, где 0 ^ г ^ к + п — 1, образующего эле мента а циклического полукольца Б = (а) удобнее представить формулами 4.4 или 4.5.

Теорема 4.2.1 содержит необходимые условия для сложения в неидемпотентных циклических полукольцах с некоммутативным сложением и коротким хвостом (к ^ п). Используя эти условия, написана программа на языке Си, позволяющая по заданным числам ш, Н и к, где заведомо (ш, Н) = 1, находить все полукольца Б = (а) типа (к,п) с циклом С при п = ш • Н,

|С + ап | = ш, |ап/ + С| = Н / =

к+п—1

. Число найденных неидемпотентных

циклических полуколец с некоммутативным сложением и коротким хвостом приведено в таблице 4.7.

По теореме 4.2.2 произвольную мультипликативную циклическую полугруппу можно «превратить» в неидемпотентное циклическое полукольцо с некоммутативным сложением, задавая на ней сложение «намотка», которое сводится к сложению на цикле этой полугруппы.

Аддитивную структуру неидемпотентного циклического полукольца с некоммутативным сложением и коротким хвостом описывает также теоре-

п

ма 4.2.3, утверждающая, что в неидемпотентном циклическом полукольце $ = (а) типа (к,п) где к ^ п, с некоммутативным сложением сумма любых

С

казывающие, что сумма двух элементов неидемпотентного циклического полукольца с некоммутативным сложением и коротким хвостом не обязательно лежит в цикле полукольца.

В теореме 4.2.4 приведены некоторые необходимые и достаточные условия на сложение в неидемпотентном циклическом полукольце с некоммутативным сложением и коротким хвостом.

Для полного описания неидемпотентных циклических полуколец с некоммутативным сложением необходимо изучить такие полукольца с длинным хвостом, то есть при к > п, исследование которых пока не завершено.

По теме диссертации имеется 16 публикаций [41]-[5б], пять из которых в соавторстве с научным руководителем Е. М. Вечтомовым. Три работы опубликованы в изданиях, рекомендуемых ВАК [48, 51, 53].

Результаты диссертации докладывались на семинаре кафедры алгебры и математической логики Казанского (Приволжского) федерального университета (2017 г.), на научных конференциях Вятского государственного (гуманитарного) университета в 2012, 2014 и 2016 годах, регулярно в 2010-2017 годах на научном алгебраическом семинаре г. Кирова (руководители семинара-доктора физ.-мат. наук, профессора, Е. М. Вечтомов и В. В. Чермных), апробированы на Международных алгебраических и математических конференциях в Казани (2010, 2011, 2015 гг.), Саратове (2011 г.), Перми (2012 г.), Екатеринбурге (2012, 2013 гг.), Новосибирске (2016 г.).

Автор выражает глубокую благодарность научному руководителю профессору Евгению Михайловичу Вечтомову за постановку задач и за постоянное внимание к работе.

ГЛАВА 1

СПЕЦИАЛЬНЫЕ КЛАССЫ ЦИКЛИЧЕСКИХ

ПОЛУКОЛЕЦ

В данной главе приводятся основные понятия теории полуколец, необходимые для дальнейшего изложения. Рассматриваются специальные классы циклических полуколец, в том числе циклические полукольца с нулем, циклические полуполя, бесконечные циклические полукольца.

1.1 Исходные понятия

Полукольцом называется алгебраическая структура (Б, +, •), удовлетворяющая следующим условиям:

1) (Б, +) - полугруппа,

2) (Б, •) - полугруппа,

3) (Уа, Ь, с Е Б) а • (Ь + с) = а • Ь + а • си (а + Ь) • с = а • с + Ь • с.

ББ

0

мультипликативности:

(Ух Е Б) х • 0 = 0 • х = 0.

ББ

1

(Ух Е Б) х • 1 = 1 • х = х.

Полукольцо с тождеством х + х = х называется идемпотентным, в противном случае - пеидемпотептпым.

Полукольцо с нулем называется ант,икольцом,7 если в нем верно квазитождество х + у = 0 ^ х = 0.

Сложение в полукольце назовем левым сложением (правым сложением), если в нем тождественно х + у = х (х + у = у).

Сложение в полукольце Б называется некоммутативным, если в нем существуют элементы хиу:х + у = у + х.

Элемент х полукольца Б назовем коммутирующим с единицей, если 1+ х = х + 1 и некоммутирующим с единицей в противном случае.

Полукольцо Б называется коммутативным полукольцом, если умножение • является коммутативной операцией, то есть х • у = у • х для любых х, у Е Б.

Через М0 обозначим объединение множества натуральных чисел N и 0: Мо = N и{0}.

Полукольцо Б с единицей 1 назовем циклическим, если в Б существует

а

Ух Е Б \{0,1} Зп Е N х = ап.

Проанализируем определение циклического полукольца Б = (а). Если а = 0 или а = 1 то Б либо одноэлементно, либо Б = {0,1} есть двухэлементная цепь 0 < 1 или двухэлементное поле Е2 (1 + 1=0). Поэтому будем а = 0 а = 1

а

ао = 1 Б

гцим а обозначим Б = (а).

Отметим, что циклические полукольца коммутативны.

1

1 + 1 = 1. Полукольцо (а) без единицы идемпотентно тогда и только тогда, когда а + а = а.

(а) 1

а + а = а. Если сложение в таком полукольце коммутативно, то необходимо 1 + 1 = аиа2 = а, и полукольцо состоит из двух элементов 1, а пли из трех

0 1 а

В циклическом полукольце Б = (а) с нулем образующий элемент может

ап = 0 п

Мультипликативная полугруппа циклического полукольца является цик-

01

единицей 1 изоморфна или аддитивной полугруппе чисел N0, или некоторому циклу с хвостом (возможно, пустым) [23, с. 65].

Циклическую полугруппу с единицей 1 и к + п элементами 1, а, а2,..., ак,...,ак+п—\ в шторой ак+п = ак, где к Е М0, п Е N

( к, п) Б

( к, п)

( к, п)

циклическое полукольцо типа (к, п) с условием 1 + 1 = аг для наименьшего такого г Е N будем называть циклическим полукольцом типа (г, к,п). Множество {1, а, а2,..., ак—1} называется хвостом полукольца Б в случае к ^ 1, множество С = {ак, ак+1,..., ак+п—11} - его циклом. Элемент ак в циклическом полукольце Б = (а) типа (к, 1), то есть в полукольце с

Б

Сложение в циклическом полукольце Б = (а) типа (к,п), к Е N0, п Е М, определяемое равенством

аг + а5 = аг+п1 + а5+п1(Уг, 5,/ Е N0),

где п/ ^ к, назовем сложением «намотка».

Полутелом называется полукольцо, являющееся группой по умножению; коммутативное полутело называется полуполем.

Полутело назовем циклическим, если оно является циклическим полукольцом. Циклическое полутело есть (циклическое) полуполе.

Множество называется упорядоченным, если на нем зафиксирован некоторый порядок то есть рефлексивное, транзитивное, антисимметричное

бинарное отношение. Если любые два элемента упорядоченного множества сравнимы, то оно называется цепью.

Упорядоченное множество называется нижней (верхней) полурешеткой, если каждое двухэлементное его подмножество имеет точную нижнюю (верхнюю) грань.

Непустое подмножество / полукольца Б называется идеалом в Б, если для любых а, Ь Е /ив Е Б выполняется а + Ь, ва, ав Е /.

Конгруэнцией на полукольце Б называется отношение эквивалентности р Б

арЬ и ср^ ^ (а + с)р(Ь + и (ас)р(М) Для ЛК)бых а, Ь, с, ^ Е Б.

Б

левую конгруэнцию 0, представляющую собой отношение равенства, и едм-ничную конгруэнцию 1, являющуюся одноклассовой конгруэнцией.

Информацию общеалгебраического характера можно найти в [1, 9, 24]. лемма 1.1.1. В любом идемпотентном полукольце справедливы тождества (1 + х)г = 1 + х + ... + хг и (х + 1) = хг + хг-1 + ... + х + 1 для любого г Е N.

Доказательство. Для г = 1 равенство верно. Пусть оно верно для любого г. Тогда для г + 1 имеем:

(1 + х)г+1 = (1 + х)(1 + х) = (1 + х)(1 + х + ... + хг) = = 1 + х + х + х2 + ... + хг + хг+1 = 1+ х + х2 + ... + хг+1.

Аналогично, для любого г Е N

(х + 1) = хг + хг-1 + ... + х + 1. □

Б

1 + хв = 1 (хв + 1 = 1) для некоторого х Е Б и в Е N то верно 1 + х/г = 1 (хвг + 1 = 1) для любо го г Е N.

Доказательство. Равенство 1 + тв = 1 верно по условию. Пусть 1 + т/г = 1 верно для любого г. Для г + 1 имеем:

Аналогично, из т/ + 1 = 1 для некоторого в Е N следует твг + 1 = 1 для

( Б, +)

Б1

1

Б т Б

коммутирующий с 1. Тогда т = т + 1 = 1+ т = 1. Аналогично, если сложение в Б правое, то т = 1. □

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Орлова Ирина Валерьевна, 2017 год

ЛИТЕРАТУРА

[1] Бахтурин Ю. А. Основные структуры современной алгебры. М.: Наука, 1990. 320 с.

[2] Бестужев А. С. Конечные ндемпотентные циклические полукольца // Математический вестник педвузов и университетов Волго-Вятского региона. 2011. Вып. 13. С. 71-78.

[3] Бестужев А. С. Неидемпотентные циклические полукольца // Алгебра, теория чисел и дискретная геометрия: современные проблемы и приложения: Материалы XIII Международной конференции, посвященной 85-летию со дня рождения профессора С.С. Рышкова. Тула: ТГПУ им. Л.Н. Толстого, 2015. С.145-148.

[4] Бестужев А. С. О строении конечных циклических полуколец // Вестник ВятГГУ. Информатика. Математика. Язык. 2010. Вып. 6. С. 143-148.

[5] Бестужев А. С. О строении конечных циклических полуколец. II // Вестник ВятГГУ. Информатика. Математика. Язык. 2013. Вып. 7. С. 55-57.

[6] Бестужев А. С. О строении конечных мультипликативно-циклических полуколец // Ярославский педагогический вестник. 2013. Т. III. № 2. С. 14 -18.

[7] Бестужев A.C., Вечтомов Е. М. Циклические полукольца с коммутативным сложением // Вестник Сыктывкарского университета. Сер.1: Математика. Механика. Информатика. 2015. Вып. 1(20). С. 8-39.

[8] Богданов И. И. Полимиальные соотношения в полукольцах: дне. ... канд. физ.-матем. наук. Москва, 2003. 72 с.

[9] Вечтомов Е. М. Введение в полукольца. Киров: ВГПУ, 2000. 44 с.

[10] Вечтомов Е. М. О свойствах полутел // Математический вестник педвузов Волго-Вятского региона: Периодический сборник научно-методических работ. 2001. Вып. 3. С. 11-20.

[11] Вечтомов Е. М., Лубягина E.H., Чермных В. В. Элементы теории полуколец. Киров: Изд-во ООО «Радуга- ПРЕСС», 2012. 228 с.

[12] Вечтомов Е. М. Мультипликативно циклические полукольца // Технологии продуктивного обучения математике: традиции и инновации: сборник статей участников Всероссийской научно-практической конференции с международным участием. Арзамас: Арзамасский филиал НГНИУ, 2016. С. 130 140.

[13] Каргаполов М. И., Мерзляков Ю. И. Основы теории ГруПп. М.: Наука, 1982. 288 с.

[14] Клиффорд А., Престон Г. Алгебраическая теория полугрупп. В 2-х т. Т. 1. М.: Мир, 1972. 286 с.

[15] Лидл Р., Нидеррайтер Г. Конечные поля. В 2-х т. Т. 1. М.: Мир, 1988. 430 с.

[16] Ляпин Е. С. Полугруппы. М.: Госуд. изд-во физ.-мат. лит., 1960. 592 с.

[17] Марков Р. В. Пирсовские слои и цепи полуколец: дис. ... канд. физ.-матем. наук. Киров, 2015. 84 с.

[18] Маслов В. П., Колокольцов В. Н. Идемпотентный анализ и его применение в оптимальном управлении. М.: Наука, 1994. 142 с.

[19] Петров А. А. Мультипликативно идемпотентные полукольца: дис. ... канд. физ.-матем. наук. Киров, 2015. 104 с.

[20] Перевогцикова Т.Н. О конечных полукольцах // Вестник Вятского государственного гуманитарного университета. 2003. № 8. С. 135-137.

[21] Ряттель А. В. Положительно упорядоченные полутела: дис. ... канд. физ.-матем. наук. Киров, 2002. 89 с.

[22] Сидельников В. М., Черепнев М. А., Ягценко В. В. Системы открытого распределения ключей на основе некоммутативных полугрупп. ДАН СССР, 1993. С. 566-567.

[23] Скорняков Л. А. Элементы алгебры. М.: Наука, 1986. 240 с.

[24] Скорняков Л. А. Элементы общей алгебры. М.: Наука, 1983. 187 с.

[25] Старостина О. В. Абелево-регулярные положительные полукольца: дне. ... канд. физ.-матем. наук. Киров, 2007. 90 с.

[26] Черапева А. В. Ядра и пучки полутел: дис. ... канд. физ.-матем. наук. Киров, 2008. 95 с.

[27] Чермных В.В. Полукольца. Киров: ВГПУ, 1997. 131 с.

[28] Чермных В.В. Функциональные представления полуколец. Киров: Изд-во ВятГГУ, 2010. 224 с.

[29] Чермных В. В. Функциональные представления полуколец и полумодулей: дис. ... д-ра физ.-матем. наук. Киров, 2007. 234 с.

[30] Bestugev A. S., Vechtomov Е. М. Multiplicatevely cyclic semirings // XIII Международная научная конференция им. Академика М.Кравчука. Киев: Национальный технический университет Украины, 2010. С. 39.

[31] Brown Т. Lazerson Е. On finitely generated idempotent semigroups // Semigroup Forum. 2009. Vol. 78. Iss. 1. P. 183-186.

[32] Glazek K. A Short Guide to the Literature on Semirings and Their Applications in Mathematics and Computer Science. Berlin: Springer, 2002. 400 p.

[33] Golan J.S. The theory of semirings, with applications to mathematics and theoretical computer science. Harlow: Longman Scientific & Technical, 1992. 318 p.

[34] Golan J. S. Semirings and their applications. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 1999. 381 p.

[35] Golan J.S. Semirings and affine equations over them: theory and applications. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 2003. 250 p.

[36] Hebisch U., Weinert H.J. Semirings: algebraic theory and applications in computer science // World Scientific. Singapure, 1998.

[37] Myasnikov A., Shpilrain V., Ushakov A. Non-commutative Cryptography and Complexity of Group-theoretic Problems. Monograph. Mathematical surveys

and monographs. Providence: American Mathematical Society, 2011. Vol.177. -385 p.

[38] Vandiver H. S. Note on a simple type of algebra in which cancellation law of addition does not hold // Bull. Amer. Math. Soc. 1934. Vol. 40. P. 914-920.

[39] Vandiver H.S. Note on an associative distributive algebra in which the commutative law of addition does not hold // Bull. Amer. Math. Soc. 1936. Vol. 42. № 12. P. 857-859.

[40] Weinert H.J. Zur Theorie der HalbFastkörper // Stud. Sei. Math. Hung., 1981. Vol. 16. P. 201-218.

Публикации автора

[41] Лубягина И. В. О циклических полукольцах с некоммутативным сложением // Труды Математического центра им. Н. И. Лобачевского. Казань: Издательство Казанского математического общества, 2010. Т. 40. С. 212-215.

[42] Вечтомов Е. М., Бестужев А. С., Лубягина И. В. Полукольца с циклическим умножением // Алгебра и математическая логика: Материалы международной конференции, посвященной 100-летию со дня рождения профессора В.В.Морозова, и молодежной школы-конференции «Современные проблемы алгебры и математической логики». Казань: КФУ, 2011. С. 51-52.

[43] Лубягина И. В. Мультипликативно циклические полукольца с некоммутативным сложением // Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения: тезисы докладов VIII Международной конференции, посвященной 190-летию П.Л.Чебышева и 120-летию И.М.Виноградова. Саратов: Издательство Саратовского университета, 2011. С. 44-45.

[44] Лубягина И. В. Теорема Вейнерта о конечных полутелах // Математический вестник педвузов и университетов Волго-Вятского региона. 2011. Вып. 13. С. 110-114.

[45] Лубягина И. В. О неидемпотентных циклических полукольцах с некоммутативным сложением // Современные проблемы математики: тези-

сы Международной (43-й Всероссийской) молодежной школы-конференции. Екатеринбург: Институт математики и механики УрО РАН, 2012. С. 55-57.

[46] Орлова (Лубягина) И. В. О конечных циклических полукольцах с неидемпотентным некоммутативным сложением // Вестник Сыктывкарского университета. Сер.1: Математика. Механика. Информатика. 2012. Вып. 16. С. 112-129.

[47] Орлова (Лубягина) И. В. К теории циклических полуколец с некоммутативным сложением // Актуальные проблемы механики, математики, информатики: сборник тезисов научно-практической конференции. Пермь: Пермский государственный национальный исследовательский университет,

2012. С. 30.

[48] Вечтомов Е. М., Лубягина И. В. Циклические полукольца с идемпо-тентным некоммутативным сложением // Фундаментальная и прикладная математика. 2012. Т. 17. Вып. 1. С. 33-52.

[49] Орлова И. В. О коммутирующих с единицей элементах циклических полуколец // Математический вестник педвузов и университетов Волго-Вятского региона. 2013. Вып. 15. С. 132-136.

[50] Орлова (Лубягина) И. В. О неидемпотентных циклических полукольцах с некоммутативным сложением. II // Современные проблемы математики: тезисы Международной (44-й Всероссийской) молодежной школы-конференции. Екатеринбург: Институт математики и механики УрО РАН,

2013. С. 58-60.

[51] Орлова И. В. Циклические полукольца с некоммутативным сложением // Фундаментальные исследования. 2013. №4 (часть 1). С. 81-84.

[52] Орлова И. В. Идеалы и конгруэнции циклических полуколец с некоммутативным сложением // Труды Математического центра им. Н.И. Лобачевского. Казань: Казанское математическое общество, 2015. Т. 52. С. 118120.

[53] Вечтомов Е. М., Орлова И. В. Циклические полукольца с нендемпо-тентным некоммутативным сложением // Фундаментальная и прикладная математика. 2015. Т. 20. Вып. 6. С. 17-41.

[54] Вечтомов Е. М., Бестужев А. С., Орлова И. В. Строение циклических полуколец //IX Всероссийская научная конференция «Математическое моделирование развивающейся экономики, экологии и технологий», ЭКОМОД -2016. Киров: Издательство ВятГУ, 2016. С. 21-30.

[55] Орлова И. В. О подполукольцах циклических полуколец с некоммутативным сложением // Международная алгебраическая конференция «Мальцевские чтения-2016»: тезисы докладов. Новосибирск: Мат. ин-т им. С.Л.Соболева, НГУ, 2016. С. 151.

[56] Вечтомов Е. М., Орлова И. В. Идеалы и конгруэнции циклических полуколец // Вестник Сыктывкарского университета. Сер.1: Математика. Механика. Информатика. 2017. Вып. 1(22). С. 29-40.

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ

автоморфизм

мультипликативный 29 полукольцевой 29 антикольцо 15, 22

гомоморфизм 52 группа 20, 23, 28 циклическая 20

идеал 18, 40 изоморфизм 26

кольцо

циклическое 19, 20 конгруэнция 18, 40 р(г, ё) 42

единичная 1 18, 44 нулевая 0 18, 43

поле

конечное 20 полугруппа

циклическая 17 типа (к, п) 17 полукольцо 15 с единицей 15 с нулем 15 без нуля 23 бесконечное 29 идемпотентное 15, 50

коммутативное 16 неидемпотентное 15, 61 циклическое 16, 19 типа (к, 1) 50

(к, п) типа (г, к, п) 17, 68 полуполе 17, 23

циклическое 17 полурешетка

нижняя (верхняя) 18, 21 полутело 17 конечное 23

решетка 45

дистрибутивная 45

сложение

коммутативное 20 левое (правое) 16, 23 намотка 17, 64 некоммутативное 16, 20

теорема Вайнерта 23

факторполукольцо 47, 66

хвост циклического полукольца 17 короткий 61

цепь 18, 21, 41

цикл циклического полукольца 17

элемент полукольца

коммутирующий с 1 16, 34 некоммутирующий с 1 16, 68 нильпотентный 17, 21 образующий 16, 20 поглощающий 17, 37

язык Си 62, 73