Функциональные представления полуколец и полумодулей тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, доктор физико-математических наук Чермных, Василий Владимирович

• Чермных, Василий Владимирович
• доктор физико-математических наук
• 2007

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Чермных, Василий Владимирович

Введение.

Глава 0. Полукольца и пучки. Предварительные результаты

1. Основные понятия теории полуколец.

2. Определение пучка.

Глава 1. Спектры полуколец и пучковые конструкции

3. Первичный спектр и его подпространства.

4. Точечные пространства полуколец.

5. Предпучки Симмонса и Гротендика.

6. Представления Ламбека.

Глава 2. Классы полуколец

7. Симметрические и редуцированные полукольца

8. Строго гармонические полукольца.

9. Гельфандовы полукольца.

10. Редуцированные риккартовы полукольца.

11. Регулярные полукольца.

Глава 3. Общая теория функциональных представлений полуколец

12. Компактные пучки.

13. Полнота пучковых представлений.

14. Теорема Стоуна-Вейерштрасса для пучков.

15. Сопряжения, фреймы идеалов и представления

Глава 4. Структурные представления полуколец и полумодулей

16. Представления полумодулей сечениями пучков

17. Представления риккартовых полуколец.

18. Абелево-регулярные положительные полукольца

19. Применения пучков к гельфандовым полукольцам

20. Двойственность Малви.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Функциональные представления полуколец и полумодулей»

Диссертация посвящена представлениям полуколец сечениями пучков, поэтому коснемся двух составляющих — теории пучков (более точно, пучковых представлений) и полуколец.

История первой обозначенной теории начинается с 1945 года, когда Ж. Лере открыл понятие пучка, а работы А. Кар-тана, А. Вейля и Ж.-П. Серра привели к оформлению основ теории. Работы А. Гротендика [60] и Р. Годемана [54] завершили первый этап истории пучков. К этому периоду (конец 50-х годов 20 века) пучки стали инструментом алгебраической топологии, применимым прежде всего в теории когомо-логий неодносвязных пространств.

Следующие шаги предприняты в первую очередь Гротен-диком и участниками его семинара в 60-х годах, когда для определения хороших когомологий схем с постоянными коэффициентами понятие топологического пространства было заменено понятиями ситуса и топоса. В монографии М. Ка-сивары и П. Шапиро "Пучки на многообразиях" [20] отражено современное состояние теории; исторический очерк о теории пучков написанный К. Узелем, прекрасно дополняет эту книгу. Кроме этого, исторические сведения о пучках и близких вопросах можно найти в введении "Теории топосов" П. Джонстона [19].

В этой же монографии Джонстон, ссылаясь на С. Маклей-на [73], рассуждает о пути развития топосов. Видимо, работы последнего времени и ссылки Джонстона на [64, 74, 75] позволяют переформулировать эти высказывания применительно к пучкам: почти все современные значительные работы по теории пучков занимаются пучками не как абстрактной и изолированной областью математики, а как вспомогательным средством для понимания и прояснения понятий в других областях. Скажем об активном использовании пучков в теории категорий [19, 17], отметим результаты А. В. Михалева и К. И. Бейдера, находящиеся на стыке логики и алгебры [2, 3], работы В. А. Любецкого (например, [24]), в которых пучки являются одним из основных инструментов при исследовании вопросов логики, нестандартного анализа, алгебраических систем.

Одним из крайних [19, с.9] и важных [20, с.34] применений пучков является теория представлений алгебр сечениями пучков. пучок алгебр некоторой фиксированной сигнатуры П над топологическим пространством X. Множество Г всех непрерывных функций из X в Р (обязательно х отображается в слой Рх) с поточечно определенными операциями является алгеброй сигнатуры П. Гомоморфизм алгебры (А, О) в Г называется представлением А сечениями данного пучка (Р, X).

Выделим основные задачи теории пучковых представлений.

Пусть хеХ

1) Построение пучков (предпучков), связанных с представляемой алгеброй, с хорошим базисным пространством и слоями, проще устроенными, чем исходный объект.

2) Нахождение представлений алгебр конкретных классов (отметим, что наибольшее значение имеют изоморфные пучковые представления).

3) Установление связей между свойствами представляемой алгебры и свойствами слоев пучка и его базисного пространства; доказательство свойств алгебр с помощью пучковых конструкций.

4) Характеризация алгебр в пучковых терминах; сюда же примыкает задача о функториальных свойствах алгебр — установление двойственностей между категориями алгебр и категориями пучков.

5) Нахождение достаточных условий полноты (эпиморф-ности) представлений; нахождение условий, при которых подалгебра алгебры Г совпадает с Г.

6) Изучение алгебр сечений "хороших" пучков.

Родоначальником теории пучковых представлений считается Гротендик [61], доказавший изоморфизм между произвольным коммутативным кольцом R с единицей и кольцом сечений пучка (G,Spec R) локализаций кольца R по всем его простым идеалам. И. Ламбек [71] (издание на английском языке вышло в 1965 году) ограничивает представление Гротендика до факторного и получает принципиально новое представление, основанное на открытом семействе идеалов (Op), Р Е Spec R. Этот подход оказался очень плодотворным — адаптация идей Ламбека для некоммутативных колец привело к целой серии работ по пучковым представлениям. Прежде всего отметим работу Д. Даунса и К. Гофмана [45] о представлении бирегулярного кольца и применении полученной конструкции для описания группы автоморфизмов бирегулярного кольца. Характеризационная теорема Даунса-Гофмана обобщает результаты Р. Аренса и И. Кап-ланского [32] о представлении произвольного бирегулярного кольца кольцом функций, которые в свою очередь обобщают классическую теорему М. Стоуна [85] о представлении булевых колец. Эти результаты вместе с преобразованием И. М. Гельфанда [16] банаховых алгебр можно считать непосредственными источниками, приведшими к возникновению теории пучковых представлений.

В дальнейшем К. Кохом [69] доказана изоморфность лам-бековского представления для колец без нильпотентов. Он же дал представление строго гармонических колец [70]. В статье Г. Симмонса [83] изучаются свойства строго гармонических колец прежде всего в терминах пучков, в частности, получена их пучковая характеризация. Ламбек [71] построил пучок колец, основанный на первичном спектре так называемой симметрической части кольца. В случае симметрического кольца и симметрического модуля Ламбеком получены изоморфные представления. Представления рга-колец и коммутативных гармонических колец рассматривали Р. Бкуш [33] и С. Телеман [86]. Гельфандовы кольца, их свойства и представления изучались С. Д. Малви [76, 77] и Симмонсом с соавторами [34].

В фундаментальной работе [78] Р. С. Пирсом построены пучки колец и модулей на стоуновском пространстве кольца (как на базисном пространстве). Любое кольцо изоморфно кольцу сечений своего пирсовского пучка, но нетривиальные представления получаются только для колец с достаточно богатой булевой алгеброй центральных идемпотентов. Для изучения таких колец широко используется техника с применением конструкции пирсовского пучка. Отметим работу Д. В. Тюкавкина [28] о регулярных кольцах с инволюцией, статью А. Б. Карсона [40] о пирсовском пучке регулярного кольца конечного индекса нильпотентности. Изучение пирсовского пучка и его применение осуществлено в работах В. Д. Беджеса и В. Стефенсона [37, 38], в которых они ввели полезное понятие пирсовской цепи, строя пучки для слоев пучка Пирса и продолжая этот процесс для построенных пучков (см. также [39]).

В 1971 году К. Кеймель [67] развил теорию представлений для решеточно упорядоченных колец, которая применима также для решеточно упорядоченных абелевых групп. Близкие вопросы рассматривались в [68].

К середине 70-х годов был накоплен достаточный материал по различным типам конкретных пучковых представлений, что неизбежно поставило вопрос о создании общей теории представлений. Вышли обзоры Гофмана [64] и Мал-ви [77], сборники [79, 31]. Гофманом, в частности, получено следующее. Отталкиваясь от произвольного семейства идеалов, осуществляется переход к открытому семейству идеалов, индексированных точками топологического пространства X. Показано, что таким образом может быть получено любое факторное представление кольца. Равносильный гоф-мановскому подход через открытые семейства идеалов и идеальные пространства предложен Малви. Позже, в 1989 году,

Симмонс [84] дал описание функционального представления кольца как соответствия Галуа между решеткой Ы Я идеалов кольца Я и решеткой тХ открытых множеств базисного топологического пространства X.

Симмонсу [83] принадлежит разработка еще одного важного фрагмента общей теории. Как было замечено, факторное представление кольца Я сечениями пучка над X задает соответствие между решетками Ы Я и тХ (типа соответствия Галуа или соответствия, близкого к сопряжению). Симмонсом найдены достаточные условия, при которых такое соответствие задает полное факторное представление. Применение найденных конструкций дает два вида пучковых представлений, основанных на фреймах идеалов и их точечных пространствах (наиболее интересные представления получаются с помощью чистых идеалов).

Так же с именем Симмонса связан структурный предпучок над чистым спектром кольца Я. Именно, каждому открытому множеству точечного спектра сопоставляется кольцо эндоморфизмов соответствующего чистого идеала, рассматриваемого как правый модуль над Я. В [34] показано, что каноническое представления кольца Я сечениями предпучка является изоморфным, а сам предпучок — пучком для произвольного кольца. В случае гельфандова кольца его пучок Симмонса совпадает с ламбековским пучком, а для коммутативного кольца с ограничением пучка Гротендика.

Наконец, скажем о вкладе Голана в теорию представлений колец [55, 56, 57]. Каждой точке пространства простых кручений кольца Я сопоставляется кольцо частных кольца Я относительно соответствующего кручения. Получаем пучок и изоморфное представление для произвольного кольца. Изложение конструкции Голана и некоторое ее обобщение можно найти в [80].

На русском языке теория пучковых представлений колец в достаточно полном объеме изложена в монографии Е. М. Ве-чтомова [11].

Без всякого сомнения, кольцо является наиболее важным и удобным алгебраическим объектом с точки зрения пучковых представлений. Однако пучки широко применяются и для изучения других алгебраических систем, прежде всего, ограниченных дистрибутивных решеток и почти-колец.

Отметим, что первые работы по представлению дистрибутивных решеток и почти-колец появились уже в конце 60-х годов. Различным типам пучковых представлений посвящены работы [35, 41, 43, 44, 49, 50, 51].

По универсальным алгебрам укажем следующие результаты. С. Д. Комер [42] получил представление в пучке на стоуновском пространстве булевой подрешетки решетки всех конгруэнций универсальной алгебры; показано применение для бирегулярных колец и для цилиндрических алгебр. В [66] К. Кеймелем дано представление, пригодное для изучения бирегулярных полугрупп. Вопросам общей теории представлений универсальных алгебр посвящены статьи Б. А. Дейви [47] и Г. Вернера [89].

Одним из главных объектов предлагаемой диссертации является полукольцо. Полукольцо понимается нами как алгебраическая система, отличающаяся от ассоциативного кольца с 1, возможно, необратимостью аддитивной операции. Впервые термин полукольцо появился в 1934 г. в статье

Г.С.Вандивера [87], однако, фактически полукольца изучались с конца 19 века в работах, связанных с изучением идеалов колец [48, 72] и с вопросами аксиоматики натуральных и неотрицательных рациональных чисел [63, 65].

Планомерное изучение полуколец началось в 50-х годах 20 века в работах А. Алмейда Косты, С. Бёрна, М. Хенрик-сена, К. Исеки, В. Словиковского, В. Завадовского и др. С конца 80-х годов повышенное внимание к полукольцам обуславливается не только внутренними потребностями теории, но и многочисленными ее приложениями (теории автоматов, оптимального управления, формальных языков, графов и др.). Опубликованы монографии Голана [58, 59], У. Хебиша и Г. Вейнерта [62], обзоры литературы по теории полуколец К. Глазека [52, 53].

Впервые вопрос о возможности применения пучковых методов для изучения полуколец поставил К. И. Бейдер в 1990 году на научно-исследовательском семинаре "Кольца и модули" в МГУ.

В диссертации решаются следующие общие задачи.

1. Строятся пучки полуколец Ламбека, Корниша, Пирса, Гротендика и Симмонса, аналоги кольцевых и/или решеточных конструкций; даны соответствующие представления полуколец и полумодулей.

2. Развивается общая теория представлений полуколец и полумодулей.

3. Выделяются классы полуколец, "удобных" для функциональных представлений.

В диссертации применяются методы теорий полуколец, колец, дистрибутивных решеток и универсальных алгебр, общей топологии, теории пучков. Введены новые понятия уравнителей элементов и идеалов, конструкция "полумодульного" разбиения единицы, конструкция левого пучка Ламбека. Рассмотрение г-полуколец позволило решить проблему А. В. Михалева об описании гельфандовых и локальных полуколец. В рамках общей теории решена задача Е. М. Вечтомова о переносе аналога теоремы Стоуна-Вейерштрасса на пучки полуколец и полумодулей.

По мнению автора основными результатами диссертации являются следующие.

1. Даны доказательства изоморфности указанных выше представлений (теоремы 5.5, 6.3, 6.4, 6.10, 13.10, 13.13, 17.3, 19.5).

2. Определены и описаны гельфандовы полукольца (§§ 9, 19).

3. Найдены достаточные условия полноты факторных представлений (теоремы 13.4, 13.5, 13.6); применение к этим результатам техники сопряжений дает две общие пучковые конструкции (теоремы 15.5. и 15.8).

4. Получены аналоги теоремы Стоуна-Вейерштрасса для пучков полуколец и полумодулей (теоремы 14.1 и 14.2).

5. Установлена двойственность между категориями гельфандовых полуколец и категорией компактных пучков локальных полуколец (теорема 20.7).

Приступим к краткому изложению результатов диссертации.

Глава 0 является вводной, состоит из двух параграфов. В первом даны определения полукольца и основных связанных с ним понятий. Большинство сформулированных свойств полуколец, идеалов, некоторых конструкций приводятся без доказательств по причине либо очевидности, либо малого отличия от кольцевых рассуждений.

В § 2 определяется пучок и предпучок полуколец, функциональное представление. Рассмотрены основные свойства пучков. Основной в этом параграфе является теорема 2.2, в которой дан подход к построению факторного пучка посредством открытой системы конгруэнций.

В главе 1 построены первые в работе пучковые конструкции и функциональные представления. В §§ 3,4 изучаются базисные пространства пучков — первичный спектр Spec S (с топологией Стоуна-Зарисского) и его подпространства и точечные пространства полукольца. Укажем три результата такого рода.

Предложение 3.1. Для произвольного полукольца S выполняются утверждения:

1) Spec S — компактное Tq -пространство с базисом открытых множеств D(a) = {Р G Spec S : а fi р}7 a Е S;

2) множество всех максимальных идеалов Max S — компактное Ti-пространство, являющееся подпространством всех замкнутых точек в Spec S;

3) любое подпространство Spec S, содержащее Max S, компактно и коплотно.

Предложение 3.4. Для произвольного полукольца S пространство Max BS — нульмерный компакт.

Теорема 4.7. Всякий фрейм идеалов F полукольца S изоморфен решетке rPt F всех открытых множеств точечного пространства Pt F, являющегося компактным То-пространством.

Через В S обозначено булево кольцо дополняемых идем-потентов полукольца S. Топология точечного пространства полной решетки задается как топология Стоуна на множестве Л-неприводимых элементов этой решетки.

Фреймом идеалов полукольца называется произвольная полная решетка идеалов (содержащая нулевой и несобственный идеалы), замкнутая относительно произвольных сумм. Значение фреймов идеалов заключается в их применении при построении пучковых представлений с помощью сопряжений, что будет продемонстрировано в § 15. Рассматриваются три основных примера фреймов идеалов — чистые, равномерно чистые и регулярные.

В § 5 определяются структурные предпучки Симмонса и Гротендика. Для произвольного полукольца доказывается, что представление Симмонса (сечениями предпучка) является изоморфным. Более точно имеет место

Теорема 5.1. Пусть S — произвольное полукольцо, F — фрейм всех его чистых идеалов. Справедливы следующие утверждения:

1) соответствие р*(А) —> End А для каждого чистого идеала А определяет предпучок F полуколец над точечным пространством Pt F фрейма всех чистых идеалов полукольца S;

2) предпучок (F, Pt F) удовлетворяет условию Р1;

3) полукольцо S изоморфно полукольцу всех глобальных сечений этого предпучка.

Для построения представления Гротендика мы стандартным образом (как и для коммутативных колец) определяем локализацию Sp коммутативного полукольца S по простому идеалу Р. Отметим, что локализация полукольца по нашей терминологии в общем не является локальным полукольцом (см. §9). Пучок Гротендика определяется как дизъюнктное объединение локализаций по всем простым идеалам над простым спектром полукольца. Доказывается

Теорема 5.5 Представление Гротендика всякого коммутативного полукольца является изоморфным.

Факторное ограничение представления Гротендика дает изоморфное представление коммутативного полукольца, индуцированное открытым семейством конгруэнций {6р : Р Е Spec где аврЪ (3ceS\ Р)(ас = be). (*)

В § 6 это представление адаптируется для некоммутативных полуколец, доказывается изоморфность для симметрических и строго полупервичных полуколец, а также обобщение ламбековского представления, которое является изоморфным для любого полукольца.

Определение. Пусть S — произвольное полукольцо, Т — такое его подполукольцо, что для любых а, Ь) с £ S и для любого t Е Т abt = act <=-atb = ate.

Подполукольцо T назовем симметрической частью полукольца S. Если S = Т, полукольцо S называется симметрическим.

Для каждого Р Е Spec Т определим отношение Bp, положив для любых элементов а, 6 Е S а Эр b (3с Е Т \ Р)(ас = be). (**)

Теорема 6.3. Произвольное полукольцо S изоморфно полукольцу глобальных сечений пучка US/Эр над Spec Т.

В случае S = Т конгруэнции (*) и (**) совпадают и как следствие теоремы 6.3 получается

Теорема 6.4. Ламбековское представление произвольного симметрического полукольца над его первичным спектром является изоморфным.

Для полукольца, не являющегося симметрическим, конгруэнции, индуцирующие представление Ламбека, необходимо подправить, и они принимают вид: а Ор Ъ (Зс G 5 \ P)(Vs G S)(asc = bsc).

Полукольцо S называется строго полупервичным, если для любых элементов a,b G S выполняется Ь)* = (а,Ь)*, где \fl — П{Р G Spec S : Р Э 1} и уравнитель (а, Ь)* — {с G S : (Vs G S)(asc = bsc)}.

Теорема 6.10. Ламбековское представление строго полупервичного полукольца над первичным спектром является изоморфным.

Доказанные результаты обобщают конструкции ламбеков-ских пучков колец и дистрибутивных решеток и соответствующие представления [71, 23, 64, 35].

Основной задачей главы 2 является определение и изучение полуколец, допускающих хорошие функциональные представления. Так § 7 посвящен симметрическим полукольцам — естественному обобщению коммутативности. Симметрические кольца были введены в рассмотрение Ламбеком [71], изучались в [9], имеют некоторые обобщения [?]. Важный собственный подкласс симметрических полуколец без нильио-тентов образует класс редуцированных полуколец (полукольца, удовлетворяющие равносильности а2 + Ъ2 = аЬ + Ьа а = Ъ)) содержащий, в частности, все ограниченные дистрибутивные решетки. Именно в классах симметрических и редуцированных полуколец допускают удобное описание с помощью пучков многие полукольца — регулярные, риккартовы, бэровские, агр-полукольца.

Главными объектами изучения §§8,9 являются строго гармоническое и гельфандово полукольца соответственно.

Кольцо Я называется строго гармоническим (гельфандо-вым), если для любых его различных максимальных (максимальных правых) идеалов М и N найдутся такие элементы а е Я \ М и Ъ е Я \ N. что аЯЪ = 0.

Строго гармонические кольца были определены Кохом [70], гельфандовы — Малви [76]. Источником этих и некоторых близких к ним колец (гармонических, ^ш-колец, ртг-колец) можно считать кольца непрерывных функций. Вопросами строгой гармоничности колец непрерывных функций занимался Вечтомов, в его докторской диссертации [13], в частности, показано, что для любого топологического тела Р гель-фандовость кольца непрерывных функций С — С(X, Р) равносильна каждому из условий: кольцо С — строго гармоническое, С — гармоническое, С — рш-кольцо. Не удивительно поэтому, что к указанным кольцам активно применялись пучковые методы [34, 77, 83] .

Для полуколец дословно переносится определение строгой гармоничности и "почти" дословно — гельфандовости. Именно, указанное кольцевое определение для гельфандова полукольца дополняется условием полустрогости всех его максимальных идеалов.

Получена характеризация строго гармонических полуколец:

Предложение 8.6. Для произвольного полукольца S эквивалентны следующие условия:

1) S — строго гармоническое;

2) CU + 0в — S для любых замкнутых непересекающихся множеств А и В в Max S;

3) 0А + Ом — S для любого замкнутого множества А и любой точки М £ А пространства Max S;

4) 0м + Одг = 5 для любых М ф N из Max S;

5) Z(0z(i)) = Z(I) для любого идеала I в S;

6) — ®z(J2ia) для любого семейства (1а) идеалов а & полукольца S;

7) 0 z(i) Q М / СМ для любых идеалов I полукольца S и М е Max S.

Полукольцо называется pm-полукольцом (pmrpml-полукольцом), если каждый первичный идеал содержится в однозначно определенном максимальном (максимальном правом, максимальном левом) идеале полукольца. Основополагающей для изучения гельфандовых полуколец оказывается

Теорема 9.3. Для гельфандова полукольца S равносильны условия:

1) S — pmi—полукольцо;

2) S — pml-полукольцо;

3) S — pm-полукольцо, каждый максимальный односторонний идеал которого является максимальным.

Отметим, что в кандидатской диссертации автора [92] рассматривались гельфандовы полукольца как строго гармонические полукольца, в которых каждый максимальный идеал является максимальным правым и максимальным левым идеалом. Понятно, что при таком определении гельфандовых полуколец основные трудности при их изучении разрешались автоматически.

В классе слабо редуцированных полуколец (так названы симметрические полукольца без ненулевых нильпотентов) рассматриваются слабо риккартовы и риккартовы полукольца — обобщения соответствующих кольцевых понятий. Из § 10 отметим следующие описания введенных полуколец.

Предложение 10.3. Для произвольного слабо редуцированного полукольца 5 равносильны условия:

1) 5 — слабо риккартово;

2) все идеалы 0р, Р Е Spec S, первичны (эквивалентно вполне первичны, псевдопросты);

3) все идеалы 0м, М Е Max S, первичны (эквивалентно вполне первичны, псевдопросты), и Р С М влечет 0р = 0м для любых Р Е Spec S, М Е Max S;

4) каждый первичный идеал из S содержит единственный минимальный первичный идеал;

5) (Va, b Е S)(ab = 0 ==>• Ann а + Ann 6 = 5);

6) (Va,b E S)(Ann a + Ann b = Ann ab);

7) (Va, b E S)(D(a) П D{b) = 0 ~Ща) П ТЩ = 0).

Предложение 10.6. Для произвольного слабо редуцированного полукольца 5 равносильны следующие условия:

1) 5 — риккартово полукольцо;

2) для любого а £ S выполняется

Ann а + Ann Ann а = S;

3) для любого a Е S D(a) открыто-замкнуто в Spec S;

4) S — слабо риккартово и Min S компактно;

5) Min S — ретракт Spec S.

В заключительном параграфе второй главы рассматриваются слабо симметрические регулярные полукольца, каждый идемпотент которых дополняем. В § 18 такие полукольца характеризуются как полукольца глобальных сечений пучков полуколец с делением над компактом (теорема 18.10).

Глава 3 посвящена вопросам общей теории функциональных представлений. Укажем основные темы общей теории, рассматриваемые в диссертации.

1) Изучение компактных пучков и компактных представлений^ 12); в этом случае охватываются несколько типов конкретных представлений, и, кроме того, наиболее ярко прослеживается связь с теорией полуколец (колец) непрерывных функций.

2) При анализе изоморфных факторных представлений обоснование полноты (эпиморфности) доставляет наибольшие трудности, следовательно, актуальной является задача нахождения достаточных условий полноты представлений. Несколько подходов к решению этой проблемы осуществлено в §13.

3) Близким к предыдущему можно считать задачу нахождения условий на подполукольцо глобальных сечений пучка, при которых оно совпадает со всем полукольцом глобальных сечений. В этом случае заметна связь с классической теоремой Вейерштрасса-Стоуна о подалгебре банаховой алгебры непрерывных функций. Эти вопросы для пучков полуколец и пучков полумодулей рассматриваются в § 14.

4) Задание функционального представления с помощью сопряжения между решеткой идеалов (или конгруэнций) полукольца и решеткой открытых подмножеств некоторого топологического пространства — подпространства первичного спектра или точечного спектра фрейма идеалов полукольца.

Ниже указаны основные результаты главы 3, относящиеся к общей теории представлений, а также их применения, дающие конкретные изоморфные пучковые представления для некоторых классов полуколец.

Теорема 12.1. Пусть (П, X) — пучок полуколец над компактом X. Рассмотрим следующие условия:

1) пучок П — Г-отделимый;

2) пучок П — Т-регулярный;

3) пучок П — -регулярный;

4) П — мягкий пучок;

5) пучок П — Г -нормальный;

6) пучок П — Г-паракомпактный;

7) Зх + Зу = Г.

Тогда утверждения (1) — (5) равносильны и (6) (7); (7) влечет каждое из указанных условий; если (П, X) — пучок колец, то условия (1) — (7) эквивалентны.

Пучок (Р,Х) над компактом X, удовлетворяющий условию (7) торемы 12.1, называется компактным.

Пусть М — максимальный идеал слоя Их компактного пучка (П,Х). Определим идеал Мх полукольца Г как мх = {7 € Г : ф) еМ} = f-ЦМ).

Получено описание максимальных идеалов полукольца сечений компактного пучка, аналогичное теореме Гельфанда-Колмогорова.

Предложение 12.6. Максимальными идеалами полукольца Г компактного пучка (П, X) являются в точности идеалы Мх, различные для различных пар (х, М).

Определение. Скажем, что отображение / сохраняет покрытия, если f(Ui) = S для каждого открытого покрыг тия (Ui) пространства X.

Теорема 13.4. Пусть для произвольных полукольца S и топологического пространства X заданы отображения g: IdS -^т X и /: т X -> Id S, причем fug сохраняют конечные пересечения, / сохраняет покрытия и для любых a:b 6 S и U £ т X f{u) С (а, Ь)* и С д((а, 6)*). (1)

Тогда функциональное представление ад полукольца S полно.

Определение. Скажем, что отображение

Con S сильно сохраняет покрытия, если для любого открытого покрытия (Ui) пространства X выполняется ^Ker f(U{) = S. i

Если /: т X Con S сильно сохраняет покрытия, то z о f: т XId S сохраняет покрытия.

Теорема 13.5. Если изотопное отображение /: г X —У Con S сильно сохраняет покрытия, то пучковое представление j3f полукольца S полно.

Теорема 13.6. Пусть f — представление полукольца S сечениями пучка (Р, X), индуцированное открытым семейством конгруэнций {ах : х Е X}. Если X компактно и отображение ср : г X Id S, заданное правилом p{U) = П {Ker ax:xeX\U} для всякого U Е г X, сохраняет покрытия, то представление f полно.

Применение трех указанных теорем о полноте позволяют получить изоморфные пучковые представления:

1) ламбековское для строго гармонических и строго полупервичных полуколец (теорема 13.10);

2) пирсовское для произвольного полукольца (теорема 13.13);

3) представление Корниша для строго гармонического полукольца (теорема 13.14).

Основными результатами § 14 являются аналоги теоремы Стоуна-Вейерштрасса для пучков полуколец (теорема 14.1) и пучков полумодулей:

Теорема 14.2. Пусть П = (JUc, х Е X, — пучок S-полу-модулей над компактным пространством X, М§ — факторный подполу модуль полумодуля Г(П), и (Jx) — семейство идеалов полукольца Б, индексированных точками пространства X, такие, что выполняются условия:

1) Jx + Jy — Б для любых различных х,у Е X;

2) для любого г Е Jx найдется такая открытая окрестность их точки х, что для любого у Е 1)х выполняется иуг = 0(у).

Тогда М3 = Г(П).

Теоремы о полноте находят применения при задании пучкового представления посредством сопряжений между фреймами идеалов полукольца (или конгруэнций) и решеткой открытых множеств некоторого топологического пространства. В § 15 таким образом получены несколько представлений. Укажем один из результатов параграфа.

Теорема 15.5. Пусть в и X — произвольные полукольцо и топологическое пространство соответственно. Если (/, д) — сопряжение между решетками г X и Ы Б, то пучковое представление ад полно.

В заключительной главе 4 диссертации рассматриваются конкретные функциональные представления полуколец и полумодулей, даются характеризации некоторых классов полуколец в пучковых терминах.

§ 16 посвящен представлениям полумодулей. Определен симметрический полумодуль и доказана изоморфность его представления сечениями ламбековского пучка полумодулей.

Далее в параграфе находятся полумодули и пучки, для которых применима теорема 14.2 общей теории. Основное значение, оказывается, имеет выбор полукольца скаляров. Получены изоморфные представления Ламбека и Корниша для полумодуля над строго гармоническим полукольцом (теоремы 16.7и16.8)и Корниша для полумодуля над редуцированным риккартовым полукольцом (теорема 16.10). Два представления, обобщающие представления Пирса, пригодны для произвольных полумодулей (теорема 16.11).

Основным объектом § 17 является слабо редуцированное риккартово полукольцо. Получена

Теорема 17.3. Слабо редуцированное риккартово полукольцо S изоморфно полукольцу всех глобальных сечений пучка (K(S),X) в каждом из следующих случаев:

1) X = Min S;

2) X = Spec S.

В теореме 17.5 дана характеризация слабо редуцированного риккартова полукольца как полукольца глобальных сечений некоторого полухаусдорфова пучка симметрических полуколец без делителей нуля.

Наиболее ярко с точки зрения автора проявляется пучковый подход при изучении представителей класса агр-иолуко-лец (§18). Имеющаяся связь arp-полуколец с дистрибутивными решетками позволяет во многих случаях проводить редукцию к последним. Укажем один из характерных результатов параграфа.

Теорема 18.9. Для любого полукольца S равносильны условия:

1) S — булево полукольцо;

2) S — изоморфно полукольцу всех глобальных сечений некоторого пучка полутел;

3) S — симметрическое полукольцо, и S/вр — полутело для любого Р (Е Spec S;

4) S — arp-полукольцо, и вр = 9{Р) для любого Р Е Spec S.

Функциональный подход к гельфандовым полукольцам продемонстрирован в § 19. Гельфандовы полукольца, будучи строго гармоническими полукольцами, допускают изоморфное представление сечениями ламбековского пучка, который к тому же является компактным. Это представление позволяет дать различные характеризации гельфандовых полуколец (теорема 19.3). Конструкция ламбековского пучка используется в предложении 9.5 при доказательстве совпадения Ом и 9(М) — "конгруэнций Ламбека и Корнита" для любого максимального идеала и при описании чистой части произвольного правого идеала гельфандова полукольца (предложение 19.2).

Предпучок Симмонса в некоторых случаях оказывается пучком и, учитывая теорему 5.1, получаем соответствующие изоморфные пучковые представления, которые дополняют представление Симмонса для колец.

Теорема 19.5. Пусть F — фрейм всех чистых идеалов полукольца S. Тогда предпучок (F, Ft F) является пучком в каждом из следующих случаев:

1) S — гельфандово;

2) S — коммутативное в нуле полукольцо;

3) S — кольцо;

4) фрейм F всех чистых идеалов из S является цепью.

В кандидатской диссертации автора достаточное внимание уделено функториальным свойствам пучков. В частности, найдены двойственности между категориями так называемых редуцированных пучков (и их подкатегориями) и категориями полуколец, близкими к регулярным. Основной при этом является конструкция пирсовского пучка. В § 20, заключительном параграфе диссертации, рассмотрен следующий фрагмент функториального подхода к полукольцам и пучкам.

Определение. Пусть Р — пучок полуколец Рх над пространством X, Я — пучок полуколец Яу над пространством У. Когомоморфизмом пучка Р в пучок Я называется непрерывное отображение (р : У —)► X и семейство (/у), у Е У, полукольцевых гомоморфизмов /у : Р^^у) —»• Яу такие, что для любого локального сечения а пучка Р отображение /?, определенное по формуле р(у) = ¡у{аШ)), непрерывно.

Теорема 20.7. Функторы Ь(Я) и Т(Ь) осуществляют двойственность категории всех гельфапдовых полуколец Б и их гомоморфизмов и категории всех компактных пучков Ь локальных полуколец с когомоморфизмами в качестве мор-физмов.

Результаты диссертации опубликованы в [90] — [114] и докладывались Международных алгебраических конференциях в Туле (2003 г.), в Москве (2004 г.) и в Екатеринбурге (2005 г.), на кольце-модульных семинарах в МГУ им. М.В.Ломоносова, на алгебраических семинарах МПГУ и ВятГГУ, в Институте математики и механики Уральского отделения РАН, на семинаре "Алгебраические системы "в УрГУ (2006 г.).

ГЛАВА 0. ПОЛУКОЛЬЦА И ПУЧКИ. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Чермных, Василий Владимирович, 2007 год

1. Андрунакиевич В.А., Рябухин Ю.М. Радикалы алгебр и структурная теория. — М.: Наука, 1979.

3. Бейдар К.И., Михалев A .B . Ортогональная полнота и алгебраические системы// Успехи мат. наук. — 1985. — 40, т. - с . 79-115.

4. Биркгоф Г. Теория решеток. — М.: Наука, 1984.

5. Бредон Г. Теория пучков. — М.: Наука, 1988.

6. Букур И., Деляну А. Введение в теорию категорий ифункторов. — М.: Мир, 1972.

7. Варанкина В.И. Максимальные идеалы в полукольцахнепрерывных ф у н к ц и й / / Фундам. и прикл. матем. — 1995. - 1, т. - 923-937.

8. Варанкина В.И., Вечтомов Е.М., Семенова И.А. Полукольца непрерывных неотрицательных функций: делимость, идеалы, конгруэнции// Фундам. и прикл. матем. - 1998. - 4, т. - 493-510.

9. Вечтомов Е.М. Чистые идеалы колец и теорема Б к у ш а / /Абелевы группы и модули. — Томск. — 1989. — №8. 54-64.

10. Вечтомов Е.М. Кольца непрерывных функций на топологических пространствах. Избранные темы.— М.: МИГУ, 1992.

11. Вечтомов Е.М. Функциональные представления колец. —М.: Моск. пед. гос. ун-т, 1993.

12. Вечтомов Е.М. Аннуляторные характеризации булевыхколец и булевых решеток/ / Мат. заметки. — 1993. — 53,^52. - 15-24.

13. Вечтомов Е.М. Кольца непрерывных функций со значениями в топологическом теле. Диссер. на соиск. док. физ-мат. н а у к / / М.: МИГУ, 1992.

14. Вечтомов Е.М. Дистрибутивные решетки, функционально пред ставимые цепями/ / Фундам. и прикл. матем. — 1996. - 2, Л• l^. - 93-102.

15. Вечтомов Е.М. Введение в полукольца. — Киров: Вятский гос. пед. ун-т, 2000.

16. Гельфанд И.М. О нормированных кольцах/ / ДАН СССР.- 1939. - 22, Л"51. - 430-432.

17. Гольдблат Р. Топосы. Категорный анализ логики. — М.:Мир, 1983.

18. Гретцер Г. Общая теория решеток. — М.: Мир, 1982.

19. Джонстон П. Теория топосов. - - М.: Наука, 1986.

20. Касивара М., Шапира П. Пучки на многообразиях. — М.:Мир, 1997.

21. Кон П. Универсальная алгебра. — М.: Мир, 1968.

22. Кэлли Д ж . Обгцая топология. — М.: Наука, 1968.

23. Ламбек И. Кольца и модули. — М.: Мир, 1971.

24. Любецкий В.А. Оценки и пучки. О некоторых вопросахнестандартного анализа / / Успехи мат. наук. — 1989. — 44, №4. - 99-153.

25. Маслов В.П., Колокольцев В.Н. Идемпотентный анализ иего применение в оптимальном управлении. — М.: Наука, 1994.

26. Обгцая алгебра. Т. 1 и 2. / / Под ред. Л.А.Скорнякова. —М.: Наука, 1990 и 1991.

27. Старостина О.В. Строение абелево-регулярных положительных полуколец / / Чебышевский сборник. — 2005. — 6, №4(16). - 142-151.

28. Тюкавкин Д.В. Пирсовские иучки для колец с инволюцией / / М.: МГУ, 1982. - 64 с. - Деп. ВИНИТИ, №3446-82 Деп.

29. Энгелькинг Р. Обгцая топология. — М.: Мир, 1986.

30. Ahsan J. , Latif R. Representations of weakly regular semirings by sections in a presheaf// Commun. Algebra. 1993. - 21,№8. - P. 2819-2835.

31. Applications of sheaves. — Lect. Notes Math., №753. —Springer-Verlag, 1979. — 779p.

32. Arens R., Kaplansky I. Topological representations of algebras// Trans. Amer. Math. Soc. - 1949. - 63. - P.457-481.

33. Bkouche R. Couples spectraux et faisceaux associes. Applications aux anneaux de fonctions / / Bull. Soc. Math. France. - 1970. - 98, №3. - P. 253-295.

34. Borceux P., Simmons H. , Bossche G. Van den. A sheafrepresentation for modules with applications to Gelfand rings / / Proc. London Math. Soc. - 1984. - 48, №2. P. 230-246.

35. Brezuleanu A. , Diaconescu R. Sur la duable de la catégoriedes treillis// Rev. Roum. Math. Pures Appl. — 1969. — 14, №3. - P. 311-323.

36. B.Brown, N.H.McCoy. Some theorems on groups with applications to ring theory// Trans. Math. Amer, Soc. — 1950. - 69. - P.302-311.

37. Burgess W.D. , Stephenson W . Pierce sheaves of non-commutative rings / / Comm. Algebra. — 1976. — 39. — P. 512526.

39. Burgess W.D. , Stephenson W. Rinrs ah of whose Piercestalks are local / / Canad. Math. Bui -P .159-164 . 22, №2. - 1979.

40. Carson A . B . Representation of regular rings of finite index//J . Algebra. - 39, №2. - 1976. - P. 512-526.

41. Cignoli R. The lattice of global sections of sheaves of shainsover Boolean spaces// Algebra Universalis. — 1978. — 8, №3. - P. 357-373.

42. Comer S.D. Representation by algebras of sections overBoolean spaces// Pacific J . Math. - 38. - 1971. - P. 29-38.

43. Cornish W . H . Normal lattices// J . Austral. Math. Soc. —1972. - 14, №2. - P. 200-215.

44. Cornish W . H . 0-ideals, congruences and sheaf representations of distributive lattices// Rev. Roum. Math. Pures Appl. - 1977. - 22, m. - P. 200-215.

46. Dauns J. , Hofmann K . H . Representations of rings by sections. - Memoir Amer. Math. Soc. - 1968. - №83.

47. Davey B .A . Sheaf spaces and sheaves of universal algebras//Math. Z. - 1973. - 134, №4. - P. 275-290.

49. Fihpoiu A . Compact sheaves of lattices and normal lattices// Math. Jap. - 1991. - 36, №2. - P. 381-386.

50. Georgesku G., Voiculescu J . Isomorphic sheaf representations of normal lattices// J. Pure and Appl . Algebra. — 1987. - 45, m. - P. 213-223.

51. Georgescu G. Pierce representations of distributive lattices// Kobe J . Math. - 1993. - 10, №1. - P. 1-11.

52. Glazek K . A Short Guide Trough the Literature onSemirings// Univercity of Wroclaw, Mathematical Institute (Preprint №39) - Wroclaw, 1985.

53. Glazek K . A Short Guide to the Literature on Semirings anc.Their Applications in Mathematics and Computer Science, 2000.

54. Godement R. Topologie Algebriqui et Theorie des Faisceaux. — Publ. Inst. Math. Univ Strabourg, 13, Paris: Hermam, 1958 (Русский перевод: Годеман P. Алгебраическая топология и теория пучков. — М.: ИЛ, 1961.)

55. Golan J.S. Localization of noncommutative rings. — NewYork: Marcel Dekker, 1975. - 346 p.

56. Golan J.S. Structure sheaves over a noncommutative ring.— Lect. Notes in Pure and Appl . Math., №56. — Marcel. Dekker, 1980. - 170 p.

57. Golan J.S. Two sheaf constructions for noncommutativerings// Houston J . Math. - 1980. - 6, №1. - P. 59-66.

58. Golan J.S. The theory of semirings with apphcations in mathematics and theoretical computer science// Pitman monographs and surveys in pure and applied mathematics. V . 54. - 1992 (1991).

59. Golan J.S. Semirings and Their Apphcations// KluwerAcad. Publ. - Dordrecht, 1999.

61. Grothendieck A . , Dieudonne J . Elements de GeometrieAlgébrique 1. - I.H.E.S., Publ. Math. 4. - Paris, 1960.

62. Hebisch U . , Weinert H.J . Semirings. Algebraic Theory andApplications in Computer Science// World Scientific. — Singapure, 1998.

63. Hilbert D. Uber den Zahlbergriff// Jahresber. Deutsch.Math.-Verein - 1899. - V . 8. - P. 180-184.

65. Huntington E .V. complete sets of postulates for the theoryof positive integral and positive rational numbers// Trans. Amer. Math. Soc. - 1902. - V . 3. - P. 280-284.

66. Keimel K . Dar Stellung von Halbgruppen und universellenAlgebren durch Schnitte in Garben; biregulare Halbgruppen/ / Math. Nachr. - 45. - 1970. - P. 81-96.

67. Keimel K . The representation of lattice ordered groups andrings by sectuions in sheaves// Lect. Notes Math., №248. — Springer-Verlag, 1971. — P. 2-96.

68. Kennison J.F. Integral domain type representations in sheaves and other topoi/ / Math. Z. - 1976. - 151, №1. - P. 35-56.

69. Koh K . On functional representations of ring without nilpotent elements / / Canad. Math. Buh. - 1971. — 14, №3. — P. 349-352.

71. Lambec J . On represemtation of modules by sheaves offactor modules// Can. Math. Bui P. 359-368. 1971. - 14, m.

72. Macaulay F.S. Algebraic Theory of Modular Sistems. —Camrridge — Cambridge Univ. Press, 1916.

73. MacLane S. A history of Abstract Algebraa: origin, rise anddecline of a movement.

75. Mulvey C.J . Compact ringed spaces / / J . Algebra. — 1978.- 52, m. - P.411-436.

76. Mulvey C.J . A generalization of Gelfand duality / / J .Algebra. - 1979. - 56, №2. - P. 499-505.

77. Mulvey C.J . Representations of rings and modules// Lect.Notes Math. - 1979. - 753. - P. 542-585.

78. Pierce R.S. Modules over commutative regular rings// Mem.Amer. Math. Soc. - 1967. - 70. - P. 1-112.

79. Recent advances in the representation theory of rings andC*-algebras by continuous sections// Memoirs Amer. Math. Soc. - 1974. - 148. - 182p.

80. Rumbos L B . A structure sheaf for semiprime rings// Commun. Algebra. - 1989. - 17, №11. - P. 2773-2794.

81. Serre J .P. Faisceaux algébriques cogerents// Ann. Math., 2.- 1955. - 61. - P . 197-278.

82. Simmons H . Reticulated rings// J . Algebra. — 1980. — 64,№1. - P. 169-192.

83. Simmons H . Sheaf representation of strongly harmonicrings// Proc. Roy. Soc. Edinburg. - 1985. - A99, №3-4. - P. 249-268.

84. Simmons H . Compact representations — the lattice theoryof compact ringed spaces// J . Algebra. — 1989. — 126, №2. - P. 493-531.

85. Stone M . Apphcations of the theory of boolean rings togeneral topology// Trans. Amer. Math. Soc. — 1937. — 41,№3. - P. 375-481.

86. Teleman S. Representation par faisceaux des modules surles anneaux harmoniques / / C. r. Acad. Sci. — 1969. — 269, №17. - P. A753-A756.

87. Vandiver H.S. Note on a simple type of algebras in whichcancellation law of addition does not hold / / Buh. Amer. Math. Soc. - 1934. - 40. P. 914-920.

89. Werner H. Sheaf constructions in universal algebra andmodel theory// Universal algebra and appl. Pap. Stefan Danach Inst. Math. cent. Semestr. Febr 15 — June 9, 1978. - Warsawa. - 1982. - P. 133-179. П у б л и к а ц и и а в т о р а

90. Чермных В.В. Представления положительных полуколецсечениями/ / Успехи матем. наук. — 1992. — 47, №5. — 193-194.

91. Чермных В.В. Пучковые представления полуколец// Успехи матем. наук. - 1993. - 48, №5. - 185-186.

92. Чермных В.В. Пучковые представления полуколец: Дне.. . .канд. физ.-мат. наук. М.: МПГУ, 1993.

93. Вечтомов Е.М., Чермных В.В. Полукольца, близкие кдистрибутивным решеткам//Международная конференция "Полугруппы и их приложения, включая полугрупповые кольца "в честь Е.С.Ляпина. Тезисы докл. — Петербург: РГТИ, 1995. - С90-91.

94. Чермных В.В. О полноте пучковых представлений полуколец/ / Фундам. и прикл. матем. — 1996. — 2, №1. — 267-277.

95. Чермных В.В. Ламбековское представление полуколецЗестпик Вятского пед. ун-та. — Вып. 1. Матем., инф., физ. - 1996. - 19-21.

96. Вечтомов Е.М., Чермных В.В. Условия симметричностив кольцах и полукольцах/ / Вестник Вятского пед. ун-та. — Вып. 1. Матем., инф., физ. — 1996. — 6-8.

97. Чермных В.В. О предпучке полуколец эндоморфизмов/ /Вестник Вятского гос. пед. ун-та. Матем., инф., физ. — 1997. - Вып. 3. - 33-36.

98. Чермных В.В. Полукольца. — Киров: Вятский гос. пед.университет. — 1997. — 131 с.

99. Вечтомов Е.М., Михалев А.В., Чермных В.В. Абелево регулярные положительные полукольца// Труды семинара имени И.Г. Петровского. - 1997. - Т.20. - 282-309.

100. Чермных В.В. Теорема Стоуна-Вейергптрасса для пучков полуколец / / Kurosh Algebraic Conference'98. Abstract of talks. - M . , МГУ. - C.222-223.

101. Чермных В.В. Аналог теоремы Стоуна-Вейерштрассадля полуколец// Науч. вестник Кировского филиала МГЭИ. - 1998. - Вып. 1. - 193-196.

103. Чермных В.В. Ламбековское представление полумодул е й / / Вестник ВятГГУ. - 2003. - Ш. - 107-109.

104. Чермных В.В. О представлении полумодулей сечениямипучков / / Тезисы докладов V Международной конф. — Тула. - 2003. - 239-240.

105. Чермных В.В. Гельфандовы полукольца и их представления сечениями// Чебышевский сборник. — 2004. — 5, т. - с.131-148.

106. Чермных В.В. О регулярных полукольцах с некоторымиусловиями// Вестник ВятГГУ. - 2004. - №11. - 147149.

107. Чермных В.В. О двойственности Малви для гельфандовых полуколец// Тезисы докладов Междунар. алгебраич. конф. - МГУ. - 2004. - 136-137.

108. Чермных В.В. Двойственность Малви для гельфандовых полуколец// Вестник ВятГГУ. — 2004. — №10. — 64-66.

109. Чермных В.В. О полноте пучкового представления полуколец/ / Тезисы докладов Междунар. алгебраич. конф. - Екатеринбург, УрГУ. - 2005. - 114-115.

110. Чермных В.В. Полукольца сечений пучков / / ВестникВятГГУ. - 2005. - №13. - 151-158. (Работа выполнена при поддержке РФФИ, грант №03-01-07005)

111. Чермных В.В. О полном пучковом представлении полуколец/ / Вестпик ВятГГУ. Информатика. Математика. Язык. - 2005. - №3. - 163-165.