Конечные группы с заданными свойствами графа Грюнберга—Кегеля тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, кандидат наук Минигулов Николай Александрович

• Минигулов Николай Александрович
• кандидат наук
• 2022

Оглавление диссертации кандидат наук Минигулов Николай Александрович

Содержание

Введение

1 Определения, обозначения и предварительные результаты

2 Конечные группы без элементов порядка

2.1 Конечные разрешимые группы без элементов порядка

2.2 Конечные неразрешимые группы без элементов порядка

3 О конечных группах, графы Грюнберга—Кегеля которых как абстрактные графы изоморфны графу Грюнберга — Кегеля группы Аю

3.1 Конечные почти простые группы, графы Грюнберга-Кегеля которых как абстрактные графы изоморфны подграфу графа Грюнберга-Кегеля группы Аю

3.2 О конечных неразрешимых группах, графы Грюнберга-Кегеля которых как абстрактные графы изоморфны графу Грюнберга-Кегеля группы Аю

4 Конечные почти простые 4-примарные группы со связным графом Грюнберга — Кегеля

Заключение

Литература

53

Введение

Актуальность и степень разработанности темы

Введем необходимые определения. Пусть О — конечная группа. Множество всех простых делителей числа |О| обозначается через п(О). Граф Грюнберга-Кегеля (граф простых чисел) Г(О) группы О - это граф с множеством вершин п(О), в котором две вершины р и д смежны тогда и только тогда, когда О содержит элемент порядка рд. Группа О называется п-примарной, если |п(О)| = п.

Изучение конечных групп в зависимости от их арифметических свойств (порядков элементов и подгрупп, мощностей классов сопряженных элементов, различных п-свойств, степеней неприводимых характеров и т.д.) является важным направлением исследований в теории конечных групп, имеющим богатую историю. Тематика изучения конечных групп по свойствам графа Грюнберга-Кегеля является современным аспектом этого направления (см. например обзор [4]).

Понятие графа простых чисел возникло при исследовании некоторых когомологических вопросов, связанных с целочисленными представлениями конечных групп (см. [33]), и оказалось весьма плодотворным. Граф Г(О) является фундаментальным арифметическим инвариантом группы О. Заметим, что граф Г(О) может быть однозначно определён по таблице характеров группы О.

В 1977 г. в трех независимых работах Н.Д. Подуфалова (см. [9]), Л.М. Гордона (см. [17]) и Л.Ф. Флетчера, Б. Штельмахера и У.Б. Стюарта (см. [16]) были определены конечные простые группы без элементов порядка 6. В данной работе с помощью этого результата получено довольно полное описание строения общей конечной группы с этим свойством. Это описание существен-

но обобщает классификации С22-групп (М. Судзуки 1962 [32]) и С33-групп (Г. Хигман 1968 [23], Л.Ф. Флетчера, Б. Штельмахера и У.Б. Стюарта [16]). Если р — простое число, то Срр-группой называется конечная группа, порядок которой делится на p, а централизатор любого неединичного p-элемента является р-группой. Этот результат можно также рассматривать как вклад в направление исследований конечных групп по свойствам их графов Грюнберга-Кегеля. В терминах графов Грюнберга-Кегеля нами получено описание конечных групп, графы Грюнберга-Кегеля которых имеют несмежные вершины 2 и

Далее рассмотрим конечные группы, графы Грюнберга-Кегеля которых имеют небольшое число вершин.

А.С. Кондратьев и И.В. Храмцов в работах [6,7] описали конечные группы с несвязным графом Грюнберга-Кегеля, имеющим 3 или 4 вершины, в частности в этих работах описаны конечные почти простые 4-примарные группы, граф Грюнберга-Кегеля которых несвязен. А.С. Кондратьев в работе [28] описал конечные 5-примарные почти простые группы.

В этой работе мы завершаем описание конечных 4-примарных почти простых групп. А именно, мы рассматриваем случай, когда граф Грюнберга-Кегеля связен.

А.С. Кондратьев в работах [2, 3] описал конечные группы с графом Грюнберга-Кегеля как у групп Aut(J2) и Лю соответственно. Графы Грюнберга-Кегеля этих групп изоморфны как абстрактные графы (графы без пометок) графу "балалайка"("раш"), имеющему вид

Нами поставлена более общая задача: описать все конечные группы, граф Грюнберга-Кегеля которых как абстрактный граф изоморфен графу "бала-

лайка".

Цель и задачи исследования

Целью работы является исследование конечных групп с заданными свойствами графа Грюнберга-Кегеля. Для ее достижения в работе решаются следующие задачи:

1. Описание конечных групп без элементов порядка

2. Исследование конечных групп О, граф Грюнберга-Кегеля которых как абстрактный граф изоморфен графу Грюнберга-Кегеля группы Аю. В работе эта задача решена в следующих случаях:

(a) группа О почти проста.

(b) группа О неразрешима и не имеет элементов порядка

(c) группа О неразрешима и в графе Г(О), вершина степени 1 делит порядок разрешимого радикала группы О.

3. Описание конечных 4-примарных почти простых групп со связным графом Грюнберга-Кегеля.

Основные результаты

1. Получено достаточно полное описание конечных групп без элементов порядка

2. Получено полное описание конечных почти простых групп, граф Грюнберга-Кегеля которых как абстрактный граф изоморфен подграфу графа Грюнберга-Кегеля группы Аю.

3. Получено полное описание конечных неразрешимых групп без элементов порядка 6, граф Грюнберга-Кегеля которых как абстрактный граф изоморфен графу Грюнберга-Кегеля группы Аю.

4. Получено полное описание конечных неразрешимых групп G, для которых граф r(G) как абстрактный граф изоморфен графу Г(Аю) и вершина степени 1 в графе r(G) делит порядок разрешимого радикала группы G.

5. Получено полное описание конечных 4-примарных почти простых групп со связным графом Грюнберга-Кегеля.

Научная новизна

Все результаты данной работы являются новыми.

Методы исследования

В данной работе использовались методы теории групп, теории модулярных представлений групп, теории чисел и теории графов.

На защиту выносится

Совокупность результатов в области изучения конечных групп с заданными ограничениями на их графы Грюнберга-Кегеля.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Конечные группы с заданными свойствами графа Грюнберга—Кегеля»

Апробация работы

Основные результаты докладывались на следующих конференциях: на 49-й, 50-й и 51-й Всеросийских (международных) молодежных школах-конференциях " Современные проблемы математики и ее приложений" (Екатеринбург 2018 —2020 гг.); на международной конференции "Мальцев-ские чтения" (Новосибирск, 2018 г.); на XII школе-конференции по теории групп, посвященной 65-летию А.А. Махнева (Геленджик, 2018 г.); на международной конференции «Алгебра, теория чисел и математическое моделирование динамических систем», посвященной 70-летию А.Х. Журтова (Нальчик, 2019 г.); на международной конференции "The International Conference and PhD Summer School Groups and Graphs, Metrics and Manifolds" (G2M2,

Екатеринбург, 2017 г.); на международной конференции "The International Conference and PhD Summer School Groups and Graphs, Designs and Dynamics" (Ичан, Китай, 2019 г.); на международной конференции "Ural Workshop on group theory and combinatorics" (Екатеринбург-онлайн, 2020 г.); на XIII школе-конференции по теории групп, посвященной 85-летию В.А.Белоногова (Екатеринбург-онлайн, 2020 г.); на международной конференции, посвященной 70-летию пермской алгебраической школы им. С.Н. Черникова (Пермь-онлайн, 2020 г.); на международной конференции "The 4th Workshop on Algebraic Graph Theory and its Applications" (Новосибирск 2021 г.).

Публикации и личный вклад

Основные результаты по теме диссертации опубликованы в работах [3750]. Работы [39,45] выполнены автором лично. Остальные работы выполнены в неразрывном соавторстве с научным руководителем А.С. Кондратьевым. Статьи [37-40] опубликованы в журналах, рекомендованных ВАК, и индексируются в Web of Science и/или в Scopus, причем статья [40] опубликована в издании, входящем в квартиль Q1.

Структура и обьем работы

Диссертация изложена на 59 страницах, содержит введение, четыре главы, заключение, и список литературы, состоящий из 51 источников. Главы диссертации подразделяются на параграфы. Вспомогательные утверждения (леммы) и таблица имеют тройную нумерацию: первая цифра — номер главы, вторая цифра — номер параграфа в текущей главе, третья - номер утверждения в текущем параграфе. Теоремы, следствия и замечания имеют двойную нумерацию: первая цифра — номер главы, вторая — номер теоремы в главе.

Содержание работы

Во введении обосновывается актуальность выбранной темы, приведены

цели работы, сформулированы полученные результаты и научная новизна.

В первой главе вводятся обозначения и приводятся вспомогательные утверждения, необходимые для доказательства основных результатов диссертации.

Во второй главе приводится описание строения конечных групп без элементов порядка 6. Результаты этой главы представлены в теоремах 2.1 (разрешимые группы) и 2.2 (неразрешимые группы).

В третьей главе сначала доказано, что если G — конечная неразрешимая группа, граф Грюнберга-Кегеля которой как абстрактный граф изоморфен графу Грюнберга-Кегеля группы Л\0, то группа G/S(G) почти проста. Этот результат представлен в теореме 3.1. Затем приводится описание таких групп G в следующих случаях:

1. G является почти-простой группой. Этот результат представлен в теореме 3.2.

2. G является неразрешимой группой без элементов порядка 6. Этот результат представлен в теоремах 3.3 и 3.4.

3. G является неразрешимой группой, в которой вершина q степени 1 делит порядок разрешимого радикала группы G. Этот результат представлен в теореме 3.5.

В четвертой главе описаны все конечные почти простые 4-примарные группы со связным графом Грюнберга-Кегеля. Результаты этой главы представлены в теореме 4.1 и в таблице 4.1.1.

В заключении перечисляются основные результаты и обсуждаются некоторые оставшиеся открытыми вопросы.

Я выражаю глубокую признательность своему научному руководителю доктору физико-математических наук, профессору Анатолию Семеновичу

Кондратьеву за постановку задачи, всестороннюю помощь и поддержку во время работы над диссертацией. Также я хотел бы поблагодарить всех сотрудников отдела алгебры и топологии Института математики и механики им. Н.Н. Красовского, особенно доктора физико-математических наук Наталью Владимировну Маслову, за полезные обсуждения результатов диссертации.

1 Определения, обозначения и предварительные результаты

Наши обозначения и терминология в основном стандартны, их можно найти в [10,13,18]. Приведем некоторые из них.

Через п(О) обозначается множество простых делителей ее порядка. Графом Грюнберга-Кегеля (графом простых чисел) группы О называется граф Г(О) с множеством вершин п(О), в котором две различные вершины р и д смежны тогда и только тогда, когда в группе О есть элемент порядка рд. Группа О называется п-примарной, если |п(О)| = п.

Все рассматриваемые в данной работе группы будут конечными. Если п — натуральное число и р — простое число, то через пр обозначается р-часть числа п. Через А X В или А : В обозначается расщепляемое расширение (полупрямое произведение) группы А посредством группы (на группу) В. Через АВ обозначается нерасщепляемое расширение группы А посредством группы В. Через А о В обозначается центральное произведение групп А и В с наибольшей общей центральной подгруппой.

Наибольшая нормальная разрешимая подгруппа (разрешимый радикал) группы О обозначается через S(О).

Конечная группа О называется квазипростой если О' = О и О/^(О) — простая неабелева группа.

Для группы О через О(то), £ос(О) и Е(О) обозначаются последний член производного ряда, цоколь и слой (подгруппу, порожденную всеми субнормальными квазипростыми подгруппами) группы О соответственно.

Конечная группа О называется группой Фробениуса с ядром А и дополнением В, если О = А X В, где группы А и В неединичны и СА(Ь) = 1 для любого неединичного элемента Ь из В. Конечная группа О называется

2-фробениувой группой, если существуют подгруппы A, B и C в G такие, что G = ABC, A и AB — нормальные подгруппы в G, а AB и BC — группы Фробениуса с ядрами A и B и дополнениями B и C соответственно.

Если K и L два соседних члена в главном ряде конечной группы G такие, что K < L < S(G), то (главный) фактор V = L/K — элементарная абелеваp-группа для некоторого простого числа p; он называется p-главным фактором группы G.

Через Lsn(q) для 5 £ {+, —} обозначается Ln(q) = PSLn(q) при 5 = + и Un(q) = PSUn(q) при 5 = —. Если n — четное натуральное число, то через L2(3n).23 обозначается группа L2(3n)(dfi), где PGL2(3n) = L(d) и f — инволютивный полевой автоморфизм группы L2(3n).

Рассмотрим некоторые результаты, которые будут нами использованы.

Лемма 1.1.1 (теорема Грюнберга — Кегеля [33, теорема A]). Если G — конечная группа с несвязным графом простых чисел, то выполняется одно из следующих утверждений:

(1) G — группа Фробениуса;

(2) G — 2-фробениусова группа;

(3) G является расширением нильпотентной п\(0)-группы посредством группы A, где Inn(P) < A < Aut(P), P — простая неабелева группа с s(G) < s(P), и A/Inn(P) — n\(G)-группа.

Лемма 1.1.2 ( [18, замечание на с. 377]). Предположим, что G — конечная группа, силовская 2-подгруппа которой изоморфна (обобщенной) группе кватернионов и G = G/O(G). Тогда верно одно из следующих утверждений:

(a) G изоморфна силовской 2-подгруппе в G;

(b) G изоморфна группе 2 ■ A7;

(c) G является расширением группы SL2(q), где q нечетно, с помощью

циклической группы, порядок которой не делится на 4.

Лемма 1.1.3 (лемма Мазурова [8, лемма 1]). Пусть О — конечная группа, N — нормальная подгруппа в О, О/Ж — группа Фробениуса с ядром Г и циклическим дополнением С. Если (|Г|, N|) = 1 и Г не содержится в )/Ж, то в О существует элемент порядка в|С| для некоторого

простого делителя в порядка группы N.

Лемма 1.1.4 ( [22, теорема 1]). Пусть О — конечная разрешимая непри-марная группа, порядки элементов которой являются степенями простых чисел. Тогда О бипримарна и О — группа Фробениуса или 2-фробениусова группа.

Лемма 1.1.5 (следствие из [16]). Конечная простая неабелева группа без элементов порядка 6 изоморфна одной из следующих групп: Ь2(2П), Ь2(3П), ¿2(д) (д = ±5 (т^ 12)), ¿з(2п)((2п- 1)з < 3)), и(2П) ((2п + 1)з < 3), (2П).

Лемма 1.1.6 ( [25, теорема VI 1.1.16]). Предположим, что О — конечная группа, Г = ОГ(рт) — поле определения характеристики р > 0 для абсолютно неприводимого ГО-модуля V, (а) = Ам£(Г), V обозначает модуль V, рассматриваемый как ОГ(р)О-модуль, а W = V} (р) Г. Тогда,

(1) W = ф¡=1 Vа%, где Vа% — модуль, алгебраически сопряженный с V с помощью аг;

(2) V} является неприводимым ОГ(р)О-модулем и, в частности, W реализуется как неприводимый ОГ(р)О-модуль V};

(3) с точностью до изоморфизма модулей неприводимые ОГ(р)О-модули находятся во взаимно однозначном соответствии с классами алгебраически сопряженных неприводимых ОГ(р)О-модулей, где ОГ(р) является алгебраическим замыканием поля ОГ(р).

Лемма 1.1.7 ( [14, лемма 4]). Предположим, что G — конечная квазипростая группа, F — поле характеристики p > 0, V — точный абсолютно неприводимый F G-модуль и в является характером Брауэра модуля V. Если g элемент простого порядка в G, взаимно простой с p\Z(G)|, то

dim Cv(g) = (p\{gh %) = ^ p(x).

\g\ xe(g>

Лемма 1.1.8 ( [23, теорема 8.2] и [31, предложения 3.2, 4.2]). Пусть G — конечная группа, 1 = H < G и G/H = L2(q), где 3 < q = 5. Предположим, что CH (t) = 1 для некоторого элемента t порядка 3 из G. Тогда q = 2n > 4, H = O2(G) и H является прямым произведением минимальных нормальных подгрупп порядка 22n в G, каждая из которых как G/H-модуль изоморфна естественному GF(2n)SL2(2n)-модулю.

Лемма 1.1.9 ( [5, теорема 1], [25, теорема VII.1.16]). Пусть q — степень простого числа p, G — конечная группа, H := Op(G) = 1 и G/H = SLn(q) для n > 2. Предположим, что CH (t) = 1 для некоторого элемента t порядка 3 из G. Тогда любой p-главный фактор группы G как H-модуль изоморфен естественному или контрградиентному ему n-мерному GF(q)SLn(q)-модулю.

Лемма 1.1.10 ( [29, теорема, замечание 1]). Предположим, что G — конечная группа, 1 = H < G, G/H = Sz(q) для q > 8 и CH(t) = 1 для некоторого элемента t порядка 5 из G. Тогда H = O2(G), и H является прямым произведением минимальных нормальных подгрупп порядка q4 группы G, каждая из которых как G/H-модуль изоморфна естественному 4-мерному GF (q) Sz(q) -модулю.

Предположим, что G — конечная группа, а V — kG-модуль для конечного поля k характеристики t. Действие G на V и пара (G,V) называются

р'-полурегулярными для фиксированного простого числа р, если любое нетривиальное р'-элемент из О действует без неподвижных точек на V \ {0}. Это действие и пара (О^) называются сепарабельными, если £ не делит |О|, и несепарабельными в противном случае (когда £ = р).

Пусть Я — множество всех простых чисел г, таких что г—1 = 2а-36 для а > 2 и Ь > 0 и (г+1)/2 — простое число. Известно, что 5,13,37, 73,193,1153 Е Я, но неизвестно, бесконечно ли Я.

Лемма 1.1.11 ( [15, теорема 5.6]). Предположим, что О нетривиальная конечная группа и О' = О. Если (О^) — сепарабельная р'-полурегулярная пара, то верно одно из следующих утверждений:

(a) р = 2 и существует семейство К1,..., Кт нормальных 2-подгрупп в О со следующими свойствами:

(а1) ГЁ1 К, = 1;

(а2) любая фактор группа О/К, либо изоморфна 5Х2(5) либо имеет вид 2—+4.Ав;

(а3) если О/К, ^ О/К?- = 5^2(5), то К, = К3;

(b) р = 3 и О = 5Ь2(г), где г Е Я и {7,9,17};

(c) р > 5 и О = 5^2(5).

Обратно, если (О,р) удовлетворяет любому из условий (а)-(с), то существует точный неприводимый О-модуль V над полем характеристики, не делящей |О| такое, что пара (О, V) р'-полурегулярна.

Лемма 1.1.12 (Теорема Томпсона [18, теорема 5.3.11]). Пусть р — простое число и Р — конечная р-группа. Тогда Р обладает характеристической подгруппой С, называемой критической подгруппой группы Р, со следующими свойствами:

(а) С/^(С) — элементарная абелева группа;

(b) [P,C] < Z(C);

(c) Cp(C) = Z(C);

(d) каждый нетривиальный p'-автоморфизм P индуцирует нетривиальный автоморфизм C.

Лемма 1.1.13. Пусть p, q, r — попарно различные простые числа и G — конечная группа вида G = P х (T х (ж)), где P — нетривиальная р-группа, T — q-группа, |ж| = r и CG(P) = Z(P). Пусть C — критическая подгруппа группы T и [T, (ж)] = 1. Тогда либо CP(ж) = 1, либо Z(T) < Z(C) < CT(ж), q = 2, r = 1 + 2n — простое число Ферма, а [C, (ж)] — экстраспециальная группа порядка 22n+1.

Доказательство. Предположим, что Cp (ж) = 1. Покажем сначала, что Z(T) < Z(C) < CT(ж). Включение Z(T) < Z(C) следует из леммы 1.1.12(c). Предположим, что [Z(C), (ж)] = 1. По [18, теореме 5.2.3] имеем Z(C) = [Z(C), (ж)] х CZ(C)(ж), следовательно [Z(C), (ж)](ж) — группа Фробениуса. Теперь по 1.1.3 получаем, что CP(ж) = 1, противоречие. Следовательно, Z(T) < Z(C) < Ct(ж).

Пусть C1 := [C, (ж)]. По лемме 1.1.12 и [18, Theorem 5.3.6] имеем C1 = [Ci, (ж)] = 1 и Ci/Z(Ci) = CiZ(C)/Z(C) имеет степень q. По [18, теоремы 5.1.4, 5.3.2] можно считать, что P — элементарная абелева группа и P является точным неприводимым GF(p)C1 (ж)-модулем. Пусть К — агеб-раическое замыкание поля GF(р). По лемме 1.1.6 существует класс алгебраически сопряженных {W1,...,Wm} (абсолютно) неприводимых К^(ж)-модулей такой, что P (p) К = фm=1 W (здесь GF(pm) — поле определения К^^-модулей W1,... , Ws). Ясно, что W1 — точный К^(ж)-модуль и CWl(ж) = 1. Теперь, рассуждая, как при доказательстве леммы из [20], получаем все остальные утверждения леммы.

Лемма доказана.

Лемма 1.1.14 ( [21]). Пусть С — конечная простая 3-примарная группа. Тогда С изоморфна одной из следующих групп: А5, Ь2(7), А6, Ь2(8), Ь2(17), Ь3(3), Щ(3), Щ(2).

Лемма 1.1.15 ( [12,26,30]). Пусть С — конечная простая 4-примарная группа. Тогда С изоморфна одной из следующих групп:

(1) Ап при 7 < п < 10, Ь2(д) при д £ {16,25,49,81}, Ь3(д) при д £ {4, 5, 7, 8,17}, Ь4(3), БА(д) при д £ {4, 5, 7,9}, Б6(2), Щ(д) при д £ {4, 5, 7,8, 9}, иА(3), иъ(2), 0+(2), С2(3), Бг(8), Бг(32), 3БА(2), 2ГА(2)', Ып, Ыи, 32;

(2) Ь2(г), где г - простое число, 17 = г > 11, г2 — 1 = 2а3ъвс, в > 3 -простое число, а,Ь £ N и с равно либо 1, либо 2 при г £ {97, 577};

(3) Ь2(2т), где т, 2т — 1 и (2т + 1)/3 - простые числа, большие 3;

(4) Ь2(3т), где т и (3т — 1)/2 - нечетные простые числа, а (3т + 1)/4 равно либо простому числу, либо 112 (при т = 5).

Лемма 1.1.16 ( [35, лемма 6.(ш)]). Пусть а, .в, £ — положительные целые числа. Тогда

(a) (а8 — 1,аг — 1) = а^ — 1,

(b)

(а8 + 1,аг + 1) = (с)

(а8 — 1,аг + 1) =

а(в,г) + 1, если в/(в,£) и Ь/(в,1) — нечетные числа, (2, а + 1), в противном случае,

а(в,г) + 1, если в/(в,£) — четное число и £/(в,£) —

нечетное число, (2, а + 1), в противном случае.

Лемма 1.1.17 (теорема Жигмонди [36]). Пусть q и n — целые числа, оба большие 1. Тогда существует простое число r, делящее qn — 1 и не делящее q% — 1 для каждого 1 < i < n такое, что r = 1 (mod n), за исключением для следующих случаев: q = 2 и n = 6; q = 2k — 1 для некоторого простого числа k и n = 2.

2 Конечные группы без элементов порядка 6

В данной главе описаны все конечные группы без элементов порядка 6. Результаты приведены в теоремах 2.1 и 2.2

2.1 Конечные разрешимые группы без элементов порядка 6

Целью данного параграфа является доказательство следующей теоремы.

Теорема 2.1. Пусть О — конечная разрешимая группа без элементов порядка 6 и 6 делит |О|. Тогда выполняется одно из следующих утверждений:

(1) О/О(О) — циклическая или (обобщенная) кватернионная 2-группа, силовская 3-подгруппа в О(О) абелева и О(О) имеет 3-длину 1;

(2) О/Оз'(О) — циклическая 3-группа или диэдральная группа порядка 21О|з, ступень нильпотентности силовской 2-подгруппы из О3'(О) не превосходит 2 и О3'(О) имеет 2-длину, не превосходящую 1.

Доказательство. Пусть О — группа, удовлетворяющая условиям теоремы 1, 5 Е 5у/2(О) и Т Е 5у/3(О). По теореме Холла—Чунихина (см. [18, теорема 6.4.1]) в О существует бипримарная {2,3}-холлова подгруппа и, причем можно считать, что и = 5Т. Все элементы в и имеют при-марные порядки, поэтому ввиду леммы 1.1.4 и — группа Фробениуса или 2-фробениусова группа. Ясно, что либо О3(и) = 1, либо О2(и) = 1.

Лемма 2.1.1. Если О3(и) = 1, то выполняется утверждение (1) теоремы 2.1.

Доказательство. Предположим, что О3(и) = 1. Тогда ввиду [18, теорема 10.3.1] подгруппа 5 — либо циклическая группа, либо (обобщенная) группа кватернионов. Поэтому и — группа Фробениуса с ядром Т и дополнением 5. Из теоремы Бернсайда (см. [18, теорема 7.4.3]) и леммы 1.1.2

получаем С = 0(С)Б. Поскольку Ст(в) = 1 для (единственной) инволюции в из Б, эта инволюция инвертирует Т и, следовательно, Т абелева. Поэтому ввиду [18, теорема 6.3.2] выполняется утверждение (1) теоремы 2.1. Лемма доказана.

Лемма 2.1.2. Если 02(и) = 1, то выполняется утверждение (2) теоремы 2.1.

Доказательство. Предположим, что 02(и) = 1. Тогда ввиду [18, теорема 10.3.1] подгруппа Т циклическая. Ввиду [18, теорема 6.3.2] централизатор Сс(Т) содержится в 03'з(С). Поэтому 03'з(С) = 03'(С)Т и, следовательно, ввиду леммы Фраттини С = 03(С)Ыс(Т). Поскольку АпЬ(Т) порождается автоморфизмом инвертирования группы Т, отсюда следует, что С/03(С) — циклическая 3-группа или диэдральная группа порядка 2|С|з. Положим К = 03'(С). Поскольку 02(и) = 1, подгруппа К имеет четный порядок. Без ограничения общности можно считать, что 0{2 3}' (С) = 1, поэтому 0(К) = 1. Но тогда 02(К) = 02(С) = 1 и Сс(02(К)) < 02(К) (ввиду [18, теорема 6.3.2]). Если К = 02(К), то утверждение леммы верно. Пусть 02(К) < К. Тогда 02(К) < 02,2'(К). Пусть Я — 2-дополнение в 02,2'(К). Ввиду [18, теорема 6.3.2] имеем Ск(Я) < 02(К)Я. Ввиду леммы Фраттини имеем С = 02(К)Мс(Я), поэтому можно считать, что Т нормализует подгруппу Я. Рассмотрим подгруппу 02(К) X (Я X (£)), где £ — элемент порядка 3 из Т. Если [Я, {¿)} = 1, то ввиду равенства Со2(к)(х) = 1 и леммы 1.1.13 критическая подгруппа группы 02(К) экстраспециальна и, следовательно, инволюция из центра этой подгруппы лежит в 2(С), что невозможно. Поэтому [Я, (£)] = 1. Поскольку £ £ Со (Я) < Мс(Я), имеем [К, (£)} < Ск(Я) < 02(К)Я, откуда легко видеть, что К = 02(К)Я. Поскольку Со2{К)(£) = 1, из [18, теорема 10.1.5] следует, что ступень нильпотентности

группы 02(K) не превосходит 2. Лемма доказана. Теорема 2.1 доказана.

2.2 Конечные неразрешимые группы без элементов порядка 6

В теореме 2.1 были описаны конечные разрешимые группы без элементов порядка 6. В данном параграфе описываются конечные неразрешимые группы без элементов порядка 6.

Целью данного параграфа является доказательство следующей теоремы.

Теорема 2.2. Пусть G — конечная неразрешимая группа и 3 делит |G|. Тогда G не содержит элементов порядка 6 если и только если группа 0{2'3}'(G/012,3}'(G)) изоморфна одной из следующих групп: L2(2n), L2(3n), PGL2(3n), L2(3n).23 (n четно), ¿2(4) (q = ±5 (mod 12)), ¿з(2п) ((2n - 1)3 < 3), U3(2n) ((2n + 1)3 < 3), расширение нетривиальной элементарной абеле-вой 2-группы E посредством группы L2(2n), где E как GF(2n)L2(2n)-модуль изоморфна прямой сумме естественных GF(2n)L2(2n)-модулей.

Доказательство. Пусть G — контрпример минимального порядка к теореме 2.2 и G = G/S (G), где S (G) — наибольшая разрешимая нормальная подгруппа в G. Тогда 0{2,3}' (G) = 1 и 0{2'3}' (G) = G. Поскольку группа G неразрешима, она имеет четный порядок.

Лемма 2.2.1. 3 не делит |S(G)|.

Доказательств о.Предположим, что 3 делит |S (G)|. Пусть S G Sy/2(G), T G Sy/3(S (G)) и W = S (G) S. Тогда W — разрешимая группа, порядок которой делится на 6. Поэтому группа W удовлетворяет условиям теоремы 2.1 и, следовательно, для нее выполняется утверждение (1) или (2) из ее заключения. В первом случае ввиду леммы 1.1.2 группа G содержит элемент порядка 6, что невозможно. Поэтому выполняется второй случай. Тогда

Т — циклическая группа и, следовательно, |Жс((х)) : Сс(х)| < 2 для элемента х порядка 3 из Т. По лемме Фраттини О = 5(О) N<5(Т), следовательно, |О : Сс(х)| < 2. Теперь из теоремы Бернсайда (см. [18, теорема 7.4.3]) и неразрешимости группы О вытекает, что централизатор Сс(х) имеет четный порядок. Полученное противоречие доказывает лемму.

Лемма 2.2.2. Группа О почти проста.

Доказательство. Предположим противное. Тогда Р *(О) = М1 х • • • х Мп, где п > 2 и М1,... , Мп — простые неабелевы группы. Ясно, что 3 не делит порядок каждой из этих групп, поэтому ввиду леммы 6 М, = (2П4) для 1 < г < п. По лемме 2.2.1 в группе О существует элемент х порядка 3. Подгруппа (х) действует сопряжениями на множестве М = {М1,..., Мп}.

Предположим, что х фиксирует (нормализует) элемент М, этого множества. Поскольку в группе О нет элементов порядка 6, элемент х индуцирует на М, полевой автоморфизм порядка 3 и, в частности, 3 делит п,. Но См, (х) = (2""г/3), следовательно, в подгруппе См, (х) х (х) есть элемент порядка 6; противоречие.

Таким образом, подгруппа (х) действует на множестве М без неподвижных точек. Можно считать, что {М1 ,М2,М3} есть (х)-орбита на М. Тогда (М1 х М2 х М3)(х) = М1 ? (х) и, следовательно, См1м2м3 (х) = М1. Поэтому в подгруппе См1м2м3 (х) х (х) есть элемент порядка 6; противоречие.

Лемма доказана.

Лемма 2.2.3. Группа О либо проста, либо изоморфна РОЬ2(3П), либо изоморфна Ь2(3П).23.

Доказательство. Предположим противное. Пусть Ь — цоколь группы О. Будем отождествлять Ь с 1пп(Ь) и считать, что О < Ам£(Ь). По предположению Ь < О. Простая подгруппа Ь изоморфна одной из групп из заклю-

чения леммы 1.1.5. В частности, L = Ф(д) — простая группа лиева типа Ф Е {A1, A2,2A2, 2B2} над конечным полем характеристики p подходящего порядка q = pn . Ввиду [19, предложение 2.5.12] Aut(L) = Inndiag(L) X ((f) х (g)), где Inndiag(L) — группа внутренне-диагональных автоморфимов группы L (она изоморфна PGL2(q) при Ф = A1, PGL3(q) при Ф = A2, PGU3(q) при Ф = 2A2 и L при Ф = 2B2), (f) — группа полевых автоморфимов группы L (она изоморфна Aut(GF(q)) при Ф = 2A2 и Aut(GF(q2)) при Ф = 2A2) и g — графовый автоморфизм группы L (g = 1 при Ф = A2 и Igl = 2 при Ф = A2). Поскольку O{2,3}' (G) = G, G/L является {2,3}-группой.

Пусть L = L2(q). Предположим, что пересечение G П (f) нетривиально, и возьмем в нем элемент x простого порядка т. Тогда m Е {2,3}. Ввиду [19, предложение 4.9.1] имеем CL(x) = L2(ql/m). Теперь легко видеть, что подгруппа Cl(x) х (x) содержит элемент порядка 6, что невозможно. Таким образом, G П (f) = 1. Отсюда следует, что q нечетно и IG : LI = 2.

Пусть q = 3n, где n > 2. Группа PGL2(3n) не имеет элементов порядка 6, так как ввиду [11, табл. 8.1] любая ее максимальная 3-локальная подгруппа есть группа Фробениуса вида 3n : (3n — 1)/2. Поэтому случай G = PGL2(3n) не противоречит лемме. Таким образом, GПPGL2(3n) = Gn(f) = 1. Отсюда следует, что n четно и G = L2(3n).23, что не противоречит лемме.

Пусть q = pn = ±5 (mod 12). Тогда q = €1 (mod4) для некоторого £ Е {+, —} и, следовательно, q + £1 = г6 (mod 12). Ввиду [11, табл. 8.1] в L имеется единственный класс сопряженных максимальных подгрупп, изоморфных диэдральной группе порядка q + £1. Пусть x — элемент порядка 3 из такой подгруппы. Тогда Ng((x)) = C^(x)(t), где t — инволюция из L, инвертирующая x. Из леммы Фраттини, примененной к силовской 3-подгруппе из L, следует, что G = LNq((x)) = LCq(x). Но тогда G = L, что не так.

Пусть L = Sz(2n), где n нечетно. Тогда группа G содержит элемент x

порядка 3. Ввиду [19, предложение 4.9.1] имеем С^(х) = (д1/3). Теперь легко видеть, что подгруппа С^(х) х (х) содержит элемент порядка 6, что невозможно.

Пусть Ь = Ь3(д), где 6 Е {+, -}, д = 2П > 4 и (д - £ 1)3 < 3. Если д = 4, то ввиду [13] группа О содержит элемент порядка 6, что невозможно. Поэтому д > 8 и ввиду [11, табл. 8.3,8.5] в Ь имеется единственный класс сопряженных максимальных подгрупп, изоморфных группе (д - 61)2/(3, д -61) : 53. Пусть М — представитель этого класса и Т = Т — нормальная в М абелева подгруппа вида (д — 61)2/(3,д — 61). Ввиду рассуждений Фраттини О = ЬЖ^(М). Пусть 5 — силовская 2-подгруппа в М. Тогда |51 = 2 и, следовательно, по лемме Фраттини ) = МС^(Т). Поэтому О = ЬС^(Т)

и, следовательно, О/Ь является 2-группой.

Предположим, что 3 делит д — 61. Тогда (д — 61)3 = 3 и, следовательно, |О3(Т)| = 3. Пусть х — элемент порядка 3 из О3(Т). Тогда подгруппа (х) нормальна в М и |М : См(х)| = 2. Если подгруппа (х) нормальна в ),

то О = ЬС^(х), откуда О = Ь, противоречие. Таким образом, подгруппа (х) не нормальна в ). Тогда существует элемент у из (М) такой,

что (х)у = (х) и, следовательно, Ту = Т. Поэтому О(М) = ТТу = Т х (х)у. Силовская 3-подгруппа (х) х (х)у группы М содержится в некоторой силовской 3-подгруппе Л группы Ь. Ввиду [11, табл. 8.3, 8.5] Я содержится в некоторой максимальной подгруппе N вида : Ъ3 группы Ь. Но

тогда подгруппа (х) х (х)у содержит неединичный элемент г из Z(Ж) и, следовательно, ) содержит N и О(М), что невозможно.

Итак, 3 делит д + 61. Пусть Я — силовская 3-подгруппа в М. Тогда |Л| = 3 и (Я) : См(Л)| = 2, откуда по лемме Фраттини ) = МС^(Я).

Поэтому О = ЬС^(Я) и, следовательно, О = Ь, противоречие.

Лемма доказана.

Лемма 2.2.4. Группа С не является контрпримером к теореме 2.2.

Доказательство. Если порядок группы Б (С) нечетен, то ввиду леммы 2.2.1 имеем Б (С) = 0{2з3}' (С) = 1 и, следовательно, ввиду леммы 2.2.3 группа С не является контрпримером к теореме 2.2. Таким образом, порядок группы Б (С) четен. Возьмем Т £ Бу13(С) и положим W = Б (С)Т. Тогда W — разрешимая группа порядка, делящегося на 6, и по теореме 2.1 Б (С) = 03'^) и Т — циклическая группа. Поскольку 0(Б(С)) = 0{2;3}'(С) = 1, из теоремы 2.1 следует, что подгруппа Б (С) является 2-замкнутой, т. е. Б (С) = 02(С) X Я, где Я — некоторая {2,3}'-подгруппа из Б (С). Можно считать, что Т нормализует подгруппу Я. Пусть £ — элемент порядка 3 из Т. Из леммы 1.1.13 следует, что £ централизует подгруппу Я. Пусть С = С/02(С). Тогда Б(С) = Я и £ централизует Я. Поэтому ЯС^(Я)/Я содержит цоколь группы С/Я, изоморфной почти простой (по лемме 2.2.2) группе С. Ясно, что ЯСо (Я)/Я = Со (Я) /2 (Я). Пусть К — последний член ряда коммутантов группы Со (Я). Тогда К — совершенное центральное расширение простой группы, изоморфной цоколю группы С, с центром, являющимся {2, 3}'-группой. Но мультипликатор Шура этой простой группы ввиду леммы 6 и [13, табл. 5] является {2,3}-группой. Поэтому К — простая группа, изоморфная цоколю группы С. Пусть К — полный прообраз в С подгруппы К. Тогда К/02(К) — простая группа с нетривиальной циклической силовской 3-подгруппой, причем элемент порядка 3 из К действует на 02(К) \ {1} без неподвижных точек. В частности, ввиду леммы 2.2.3 группа С проста.

Пусть К/02(К) = Ь2(д), где 3 < д = 5. Тогда ввиду леммы 1.1.8 д четно и, следовательно, ввиду леммы 2.1.2 С = К х Д. Поскольку 0{2,3}'(С)) = С, получаем Я = 1. Теперь ввиду леммы 1.1.8 группа С не является контрпримером к теореме 2.2.

Пусть К/02(К) = Ь3(д), где 5 £ {+, —} и д четно. Тогда ввиду [11, табл.

8.3,8.5] в К/02(К) имеется единственный класс сопряженных максимальных подгрупп, изоморфных группе Фробениуса вида : Ж3. Поэтому ввиду

леммы 1.1.3 элемент порядка 3 из такой подгруппы централизует некоторый неединичный элемент из 02(К), что невозможно.

Лемма доказана.

Утверждение необходимости для теоремы 2.2 доказано. Утверждение достаточности вытекает из леммы 1.1.5 и доказательства леммы 2.2.3.

Теорема 2.2 доказана.

Из теоремы 2.2 извлекается

Следствие 2.1. Если О — конечная почти простая группа без элементов порядка 6, то О изоморфна расширению либо ее цоколя, либо группы РОЬ2(3П), либо группы Ь2(32^).23 посредством группы полевых автоморфизмов порядка, взаимно простого с 6.

Отметим, что наше доказательство этих результатов не зависит от классификации конечных простых групп. Ссылки на [19] и [11] приведены для удобства. Они могут быть заменены ссылками на исходные классические результаты, полученные задолго до классификации.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Минигулов Николай Александрович, 2022 год

ЛИТЕРАТУРА

[1] Алексеева, О. А., Кондратьев, А. С. Конечные группы, графы простых чисел которых не содержат треугольников. I // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. — 2015. — Т. 21, №3. — Р. 3-12.

[2] Кондратьев, А. С. Конечные группы с графом простых чисел, как у группы ЛиЬ(32) // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. — 2012.

— Т. 18, №3. — Р. 131-138.

[3] Кондратьев, А. С. Конечные группы с графом простых чисел, как у группы Л10 // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. — 2013. — Т. 19, №1. — Р. 130-143.

[4] Кондратьев, А. С. Конечные группы с заданными свойствами их графов простых чисел // Алгебра и логика. — 2016. — Т. 55, №1. — Р. 113120.

[5] Кондратьев, А. С., Осиновская, А. А., Супруненко, И. Д. О поведении элементов простого порядка из цикла Зингера в представлениях специальной линейной группы // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. — 2013. — Т. 19, №3. — Р. 179-186.

[6] Кондратьев, А. С., Храмцов, И. В. О конечных трипримарных группах // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. — 2010. — Т. 16, № 3.

— С. 150-158.

[7] Кондратьев, А. С., Храмцов, И. В. О конечных четырепримарных группах // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. — 2011. — Т. 17, № 4. — С. 142-159.

[8] Мазуров, В. Д. Характеризации конечных групп множествами порядков их элементов // Алгебра и логика. — 1997. — Т. 36, № 1. — P. 37-53.

[9] Подуфалов, Н. Д. Конечные простые группы без элементов порядка 6 // Алгебра и логика. — 1977. — Т. 16, № 2. — P. 200-203.

[10] Aschbacher, M. Finite group theory. — Cambridge: Cambridge University Press. — 1986. — 274 p.

[11] Bray, J. N., Holt, D. F., Roney-Dougal, C. M. The maximal subgroups of the low-dimensional finite classical groups. — Cambridge: Cambridge University Press. — 2013.

[12] Bugeaud, Y., Cao, Z., Mignotte, M. On simple K4-groups //J. Algebra.

— 2001. — Vol. 241, №10, — P. 658-668.

[13] Conway, J. H., Curtis R. T., Norton, S. P., Parker R. A., Wilson R. A. Atlas of finite groups. — Oxford: Clarendon Press. — 1985.

— 252 p.

[14] Dolfi, S., Jabara, E., Lucido M. S. C55-groups // Siberian Math. J. — 2004. — Vol. 45, №6. — P. 1053-1062.

[15] Fleischmann, P., Lempken, W., Tiep, P. H. Finite p'-semiregular groups //J. Algebra. — 1997. — Vol. 188, № 2. — P. 547-579.

[16] Fletcher, L. F., Stellmacher, B., Stewart, W. B. Endliche Gruppen, die kein Element der Ordnung 6 enthalten // Quart. J. Math. Oxford. Ser.

— 1977. — Vol. 28, №2. — P. 143-154.

[17] Gordon, L. M. Finite simple groups with no elements of order six // Bull. Austral. Math. Soc. — 1977. — Vol. 17, № 2. — P. 235-246.

[18] Gorenstein, D. Finite groups. — N. Y.: Harper and Row. — 1968. — 528 p.

[19] Gorenstein, D., Lyons, R., Solomon R. The classification of the finite simple groups. Number 3. — Providence, R.I.: Amer. Math. Soc.. — 1991. —420 p.

[20] Hartley, B., Meixner, T. Finite soluble groups containing an element of prime order whose centralizer is small // Arch. Math. (Basel). — 1981. — Vol. 36, № 3. — P. 211-213.

[21] Herzog, M. On finite simple groups of order divisible by three primes only //J. Algebra. — 1968. — Vol. 10, №3 — P. 383-388.

[22] Higman, G. Finite groups in which every element has prime power order //J. London Math. Soc. (2). — 1957. — Vol. 32. — P. 335-342.

[23] Higman, G. Odd characterizations of finite simple groups: lecture notes. — Michigan: University Michigan. — 1968.

[24] Huppert, B. Endliche Gruppen I. — Berlin: Springer-Verlag. — 1967.

[25] Huppert, B., Blackburn, N. Finite groups II. — Berlin: Springer-Verlag. — 1982.

[26] Huppert, B., Lempken, W. Simple groups of order divisible by at most four primes // Известия Гомельского государственного университета имени Ф. Скорины. — 2000. — Vol. 16, № 3. — С. 64-75.

[27] Jansen, C., Lux, K., Parker, R., Wilson, R. An atlas of Brauer characters. — Oxford: Clarendon Press, — 1995. — 327 p.

[28] Kondrat'ev, A. S. Finite almost simple 5-primary groups and their Gruenberg-Kegel graphs // Siberian Electronic Mathematical Reports. — 2014. — Vol. 11. — P. 634-674.

[29] Martineau, R. P. On 2-modular representations of the Suzuki groups // Amer. J. Math. — 1972. — Vol. 94. — P. 55-72.

[30] Shi, W. J. On simple K4-groups // Chinese Science Bull. — 1991. — Vol.36, №17. — P. 1281-1283.

[31] Stewart, W. B. Groups having strongly self-centralizing 3-centralizers // Proc. London Math. Soc. — 1973. — Vol. 426, №4 — P. 653-680.

[32] Suzuki, M. On a class of doubly transitive groups // Ann. Math. — 1962. — Vol. 75, №1 — P. 105-145.

[33] Williams, J. S. Prime graph components of finite groups // Journal of Algebra. — 1981. — Vol. 69, № 2. — P. 487-513.

[34] The GAP Group, GAP — Groups, Algorithms, and Programming, Ver. 4.10.0. 2018. URL: http://www.gap-system.org.

[35] Zavarnitsine, A. V. Recognition of the simple groups L3(q) by element orders // J. Group Theory. — 2004. — Vol. 7, № 1. — P. 81-97.

[36] Zsigmondy, K. Zur Theorie der Potenzreste // Monatsch. Math. Phys. — 1892. — Vol. 3, № 1. — P. 265-284.

Статьи в научных журналах из списка ВАК

[37] Kondrat'ev, A. S., Minigulov, N. A. Finite almost simple groups whose Gruenberg-Kegel graphs as abstract graphs are isomorphic to subgraphs of the Gruenberg-Kegel graph of the alternating group Аю // Siberian Electronic Mathematical Reports. — 2018. — Vol. 15. — P. 1378-1382. DOI:10.17377/semi.2018.15.113 (Web of Science)

[38] Кондратьев, А. С., Минигулов, Н. А. Конечные группы без элементов порядка 6 // Математические заметки. — 2018. — Т. 104, №5. — P. 717-724. D01:10.4213/mzm11751. (Английский перевод: Kondrat'ev, A. S., Minigulov, N. A. Finite groups with no elements of order 6 // Mathematical Notes. — 2018. — Vol. 104, №5. — P. 79-84. D0I:10.1134%2FS000143461811010X) (Web of Science, Scopus)

[39] Минигулов, Н.А. Конечные почти простые 4-примарные группы со связным графом Грюнберга-Кегеля // Труды Института математики и механики. — 2019. — T. 25, №4. — C. 142-146. D0I:10.21538/0134-4889-2019-25-4-142-146. (Английский перевод: Minigulov, N. A. Finite Almost Simple 4-Primary Groups with Connected Gruenberg-Kegel Graph // Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics. — 2020. — Vol.309, №4, suppl.1. — P. 93-97. D0I:10.21538/0134-4889-2019-25-4-142-146) (Web of Science, Scopus)

[40] Kondrat'ev, A. S., Minigulov, N. A. On finite non-solvable groups whose Gruenberg-Kegel graph are isomorphic to the paw // Communications in Mathematics and Statistics. — 2021. — 15p. D0I:10.1007/s40304-021-00242-x (Web of Science Q1, Scopus)

Другие публикации по теме диссертации

[41] Kondrat'ev, A., Minigulov, N. Finite groups with no elements of order 6 // Groups and Graphs, Metrics and Manifolds: Internatinal Conference and PhD-Master Summer School, Yekaterinburg, July 22-30, 2017 : abstracts. — Yekaterinburg: Ural Federal University. — 2017. — P. 62.

[42] Кондратьев, А. С., Минигулов, Н. А. Конечные почти простые группы, графы Грюнберга-Кегеля которых изоморфны графу

Грюнберга-Кегеля группы Аю // Теория групп и ее приложения : XII школа-конференция по теории групп, посвященная 65-летию А.А. Мах-нева, Геленджик, 13-20 мая 2018: материалы. Краснодар: Кубанский государственный университет. — 2018. — С. 83-85.

[43] Кондратьев, А. С., Минигулов, Н. А. Конечные почти простые группы, графы Грюнберга-Кегеля которых изоморфны графу Грюнберга-Кегеля группы Аю // Тезисы докладов международной конференции "Мальцевские чтения". Новосибирск: Новосибирский гос. университет. — 2018. — С. 97.

[44] Кондратьев, А. С., Минигулов Н. А. О конечных неразрешимых 4-примарных 3'-группах // Алгебра, теория чисел и математическое моделирование динамических систем: тезисы международной конференции, посвященной 70-летию А.Х. Журтова. Нальчик: Изд-во КБГУ, — 2019. — С. 56.

[45] Minigulov, N. Finite Almost Simple 4-Primary Groups with Connected Gruenberg-Kegel Graph // Groups and Graphs, Designs and Dynamics: Internatinal Conference and PhD-Master Summer School, Yichang, China, August 12-25, 2019 : program and abstracts. — Yichang: Three Gorges Mathematical Reserch Center. — 2019. — P. 56.

[46] Kondrat'ev A. S., Minigulov N. A. On finite non-solvable groups whose Gruenberg-Kegel graphs are isomorphic to the paw // 2020 Ural Workshop on group theory and combinatorics, Yekaterinburg-Online, Russia, August 24-30, 2020: abstracts. Yekaterinburg: IMM UB RAS. — 2020. — P. 56.

[47] Кондратьев, А. С., Минигулов Н. А. О конечных неразрешимых 4-примарных группах // Теория групп и ее приложения: XIII школа-

конференция по теории групп, посвященная 85-летию В.А.Белоногова, Екатеринбург, 3-7 августа 2020: тезисы докладов. Екатеринбург: ИММ УрО РАН. — 2020. — С. 50-51.

[48] Кондратьев, А. С., Минигулов Н. А. О конечных неразрешимых 4-примарных группах без элементов порядка 6 // Алгебры Ли, алгебраические группы и теория инвариантов: 8-я школа-конференция, 27 января по 1 февраля 2020, Москва: тезисы докладов. Москва: МЦНМО. — 2020. — С. 36-37.

[49] Кондратьев, А. С., Минигулов Н. А. О конечных неразрешимых группах, графы Грюнберга-Кегеля которых изоморфны графу Грюнберга-Кегеля группы Лю // Алгебра и ее приложения: конференция, посвященная 70-летию пермской алгебраической школы им. С.Н. Черникова: тезисы докладов / Пермский гос. нац. иссл. ун-т, ИММ УрО РАН. Пермь. — 2020. — С. 28-29.

[50] Kondrat'ev, A., Minigulov, N. On finite groups which Gruenberg-Kegel graphs are isomorphic to the paw // The 4th Workshop on Algebraic Graph Theory and its Applications: International conference : book abstracts. Novosibirsk: Mathematical Center in Akademgorodok. — 2021. — P. 24.

[51] Kondrat'ev, A. S., Minigulov, N. A. Finite solvable groups whose Gruenberg-Kegel graph are isomorphic to the paw // Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN. — 2022. — Vol. 28, №2. — P. 269-273. DOI:10.21538/0134-4889-2022-28-2-269-273.