Арифметические свойства и нормальное строение конечных групп тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, кандидат наук Маслова, Наталья Владимировна

• Маслова, Наталья Владимировна
• кандидат наук
• 2018

Оглавление диссертации кандидат наук Маслова, Наталья Владимировна

подгруппами..................................................... 94

2.5. О 3-фраттиниевых расширениях группы _PS*L2(7)...................101

2.6. Нормальное строение групп с холловыми максимальными подгруппами и

дополняемость максимальных подгрупп в таких группах .............102

2.7. О порождаемости минимальных относительно простого спектра групп дву-

мя сопряженными элементами......................................106

2.8. Простые группы, которые не изоморфны неабелевым композиционным факторам минимальных относительно простого спектра групп...........108

2.9. Пример группы, минимальной относительно простого спектра

и имеющей композиционный фактор, изоморфный группе WcL..........Ill

2.10. Группы, минимальные относительно простого спектра

и имеющие композиционный фактор, изоморфный группе WcL..........114

2.11. Минимальные относительно простого спектра группы, имеющие компози-

ционный фактор, порядок которого делится ровно на 3 различных простых числа ..........................................................115

3

2.12. Неабелевы композиционные факторы группы, все максимальные подгруппв1 нечетнвгх индексов которой ХОЛЛОВВ1..................................119

3. Глава 3: О пронормальности подгрупп нечетных индексов 127

3.1. Обзор основных результатов главы................................127

3.2. Свойства пронормальных подгрупп.................................134

3.3. Неабелевы простые группы, в которых все подгруппы нечетных индексов

пронормальны.....................................................137

3.4. Критерий пронормальности добавлений к абелевым нормальным подгруппам 141

3.5. Простые симплектические группы, содержащие непронормальные подгруп-

пы нечетных индексов.............................................144

3.6. Пронормальность подгрупп нечетных индексов в группах где $ =

±3 (mod 8) и л = 2"* ............................................146

3.7. Критерий пронормальности подгрупп нечетных индексов в некоторых расширениях групп...................................................152

3.8. Пронормальность подгрупп нечетных индексов в сплетении абелевой группы

с помощью симметрической группы..................................155

3.9. Пронормальность подгрупп нечетных индексов в прямых произведениях неко-

торых симплектических групп......................................158

3.10. Пронормальность подгрупп нечетных индексов в группах где $ =

±3 (mod 8) и л = 2^(2^ + 1)......................................162

4. Глава 4: О спектрах и графах Грюнберга—Кегеля конечных групп 165

4.1. Обзор основных результатов главы................................165

4.2. Пример группы, распознаваемой по изоморфному типу ее графа Грюнберга-

Кегеля...........................................................169

4.3. О совпадении графов Грюнберга-Кегеля конечной простой группы и ее собственной подгруппы...............................................174

4.4. Конечные простые группы, не являющиеся критическими по спектру .... 182

4.5. О совпадении графов Грюнберга-Кегеля разрешимой и почти простой групп 183

Заключение 195

Литература 197

5. Приложение А

210

4

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Арифметические свойства и нормальное строение конечных групп»

Введение

Актуальность и степень разработанности темы исследования

Теория групп возникла как эффективный инструмент решения проблемы разрешимости алгебраических уравнений от одного переменного. Понятие группы широко обобщает фундаментальные свойства симметрии, роль которой в науке общеизвестна. Это понятие оказалось очень плодотворным благодаря с одной стороны формальной простоте, а с другой — универсальности: с любым реальным или мыслимым объектом можно связать группу его ''симметрий”, т. е. некоторых обратимых преобразований, оставляющих данный объект инвариантным или, по крайней мере, сохраняющих какие-либо его свойства. Методы теории групп востребованы в самых различных областях: теории элементарных частиц, кристаллографии, теории решения дифференциальных уравнений в квадратурах, теории кодирования, теории защиты информации и т.д. Многие разделы математики и естествознания используют язык теории групп в качестве рабочего, а некоторые важные и сложные проблемы даже получили исчерпывающее решение только благодаря переходу на этот язык (например, теория Галуа алгебраических уравнений, классификация кристаллографических групп Федорова). Начиная с середины XX века, в связи с расцветом дискретной математики и компьютерных наук, все более весомую роль в современной науке играют конечные группы.

В теории групп "арифметическими” принято называть свойства группы, которые определяются ее числовыми параметрами такими, как порядок конечной группы и наборы его простых делителей, порядки элементов, порядки подгрупп, степени неприводимых представлений и т.д. Термин "нормальное строение группы” характеризует такие инварианты группы, как набор ее композиционных и главных факторов с учетом особенностей действия группы на этих факторах. Хорошо известно глубокое взаимное влияние, которое оказывают друг на друга арифметические свойства конечной группы и ее нормальное строение.

Одной из фундаментальных задач современной теории групп является изучение арифметических свойств конечных групп и получение различных характеризаций конечных групп с помощью их арифметических параметров. В этой области исторически первым значимым результатом стала теорема Лагранжа, утверждающая, что порядок любой конечной группы делится на порядок любой ее подгруппы. Эта теорема демонстрирует, насколько сильно порядок группы определяет ее подгрупповое строение. Например, ввиду теоремы Лагранжа группа простого порядка циклическая и не содержит собственных нетривиальных подгрупп. Обращение теоремы Лагранжа неверно: если m — некоторый делитель порядка группы G, то в общем случае в группе О может не быть подгруппы порядка m.

Изучение связи между арифметическими свойствами группы и ее нормальным стро

5

ением стало возможно после появления в 1872 г. работв1 норвежского алгебраиста Л. Си-лова [106], ставшей, по мнению многих специалистов, краеугольным камнем в теории ко-нечнвгх групп. Как бв1ло указано ввппе, если m — некоторый делители порядка группы G, то в общем случае в группе G может не быть подгруппы порядка т. В работе [106] было доказано, что если m — степень простого числа р, то в группе G обязательно найдется подгруппа порядка т. Более того, если jA — наибольшая степень числа р, делящая порядок G, то любые две подгруппы порядка jA сопряжены в G (позднее такие подгруппы стали называть силовскимир-подгруппами), а любая подгруппа порядкар^, где 0 < s < /ц содержится в некоторой подгруппе порядка jA. Теоремы Силова в современной формулировке (см. лемму 1.4.2) включены во многие учебники по алгебре и по теории групп.

Пусть я — некоторое множество простых чисел. Подгруппа 77 конечной группы G называется я-жоллобой, если любой простой делитель числа ]77] принадлежит я, а индекс [G : 77] не делится на числа из я. Подгруппа 77 конечной группы G называется жоллоеой, если числа ]77] и [G : 77] взаимно просты. В 1928 г. Ф. Холлом [65] была доказана теорема, устанавливающая существование, сопряженность и другие свойства холловых подгрупп в конечной разрешимой группе и являющаяся широким обобщением теоремы Силова. Кроме того, в 1937-1938 гг. Ф. Холлом [66] и независимо С.А. Чунихиным [24] было доказано некоторое обращение теоремы Холла, а именно, было доказано, что если G — конечная группа, для любого простого числа р содержащая холлову подгруппу индекса р", где р" — наибольшая степень числа р, делящая порядок G, то G разрешима.

Для исследования холловых подгрупп конечной неразрешимой группы С.А. Чунихин предложил искать связь между подгрупповой структурой этой группы и подгрупповой структурой ее главных или композиционных факторов. Начиная с 1950-х годов результаты и идеи Чунихина получили распространение и признание во всем мире. В разные годы изучением холловых подгрупп конечных неразрешимых групп, помимо Ф. Холла и С.А. Чунихина, занимались такие ученые как Л.С. Казарин, В.Д. Мазуров, Л.А. Шеметков, Р. Бэр, Ф. Гросс, Н. Ито, Б. Хартли, Дж. Томпсон, X. Виланд, Г. Цаппа и многие другие. Классификация конечных простых групп открыла на этом пути новые возможности. Наиболее сильные и впечатляющие результаты в этом направлении получены в последнее время Е.П. Вдовиным и Д.О. Ревиным: ими, в частности, была получена классификация холловых подгрупп в конечных неабелевых простых группах (см. обзорную статью [115]). Эта классификация открыла новые возможности в исследовании нормального строения групп с арифметическими ограничениями, налагаемыми на их подгруппы.

Одним из экстремальных классов является класс групп, все максимальные подгруппы которых холловы. Такие группы будем называть группами с холловыми максимальными подгруппами. Группа с дополнямыми максимальными подгруппами— это группа, в которой каждая максимальная подгруппа дополняема. Как объект исследования группы с холловыми максимальными подгруппами и группы с дополняемыми максимальными подгруппами впервые возникли в работах В.М. Левчука и А.Г. Лихарева [86] и В.Н. Тютя-нова [23], где было установлено, что неабелева простая группа с дополняемыми максималь-

6

ными подгруппами изоморфна PS*L2(7) = РААз(2), PS*L2(11) или PS*Ls(2). Во всех этих группах каждая максимальная подгруппа является холловой. Т.В. Тихоненко и В.Н. Тю-тянов [22] показали, что верно и обратное, а именно, что группами _PS*L2(7), и

AS*Ls(2) с точностью до изоморфизма исчерпываются все неабелевы конечные простые группы с холловыми максимальными подгруппами. Данный результат позволил Тихоненко и Тютянову высказать в [22] гипотезу о справедливости включения класса конечных групп с холловыми максимальными подгруппами в класс конечных групп с дополняемыми максимальными подгруппами. Эта гипотеза справедлива не только для неабелевых простых, но и для разрешимых групп, поскольку в разрешимых группах максимальные подгруппы имеют примарные индексы и, следовательно, дополняемы силовскими подгруппами.

В.С. Монахов в [93] начал изучение групп G со следующим свойством:

(*) Элл мноз/сестеа я лростеж чисел все максимальнее лойгр^лле

6 G, все простые белители котореж лез/сат 6 я, жоллоее.

Основной результат [93] полностью описывает я-разрешимые группы со свойством (*): это в точности группы, в которых главные я-факторы изоморфны силовским подгруппам. В частности, в [93] особенно был выделен случай, когда я совпадает с множеством всех простых чисел, т. е. случай разрешимых групп с холловыми максимальными подгруппами. В [93] было доказано, что для конечной разрешимой группы G следующие утверждения эквивалентны:

(1) все максимальные подгруппы группы G холловы;

(2) любая максимальная подгруппа в G дополняема некоторой силовской подгруппой;

(3) все главные факторы группы G изоморфны силовским подгруппам группы G.

В той же работе [93] В.С. Монахов сформулировал проблему, записанную им впоследствии в "Коуровскую тетрадь" [110, проблема 17.92]

Проблема А.1. Какоее неабелеее композиционные факторы конечной неразрешимой группы, ц которой бее максимальнее лобгрцллы жоллоеы^ ?

Кроме того, представляет интерес получение для групп с холловыми максимальными подгруппами результатов, аналогичных результатам В.С. Монахова [93] для я-разрешимых групп. Как естественное обобщение проблемы А.1 возникает следующая проблема.

Проблема А.2. ТТолцчить описание нормального строение конечныж грцлл с жол-лоеыми максимальными лобгрцллами.

Кроме того, представляет интерес уже упомянутая проблема из [22]:

1 Хотя все простые группы из с холловыми максимальными подгруппами известны (и, конечно, являются своими композиционными факторами), у произвольной группы с холловыми максимальными подгруппами композиционные факторы a priori не обязаны сами быть группами с холловыми максимальными подгруппами.

7

Проблема А.З. 7?ерио ли, что 6 зрение с жоллоемми максимальными иойзр^ииами каз/сйал максимальнал иойзр^ииа йоиолнлема?

77pocmMJM спектром 7г(С) конечной группы G называется множество всех проствгх делителей ее порядка. Ввиду теоремв1 Лагнранжа, простой спектр любой подгруппв1 конечной группв1 G содержится в простом спектре G. Группу G естественно назвшатв ми-нимальной относительно простозо спектра, если 7г(С) 7г(Т7) для любой собственной

подгруппв1 77 из G. Легко понятв, что класс групп с холловв1ми максималвнв1ми подгруппами является собственнв1м подклассом класса минималвнвгх относителвно простого спектра групп.

П. Шумяцкий записал в "Коуровскую тетрадв" следующую гипотезу ( [ИО, проблема 17.125]):

Гипотеза А.1. 7? конечной зр^тте G есезба наййетсл лара солрло/сеннмж элементое а а & такте, что 7г(С) = 7г((а, &)).

Отметим, что существование в любой конечной группе G двупорожденной (не обяза-телвно сопряженнв1ми элементами) подгрушш 77 с условием 7г(С) = 7г(Т7) следует из [90, теорема А], что является частичнв1м подтверждением гипотезв1 А.1.

Несложно показатв (см. лемму 2.7.1), что гипотеза А.1 эквивалентна следующей гипотезе.

Гипотеза А.2. Любал минимальнал относительно простого спектра зр^лла ло-роз/ейаетел Аз^мл солрлэ/сеннмзин элементами.

В связи с исследованием гипотез А.1 и А.2 представляет интерес две следующие проблемв1, которвю являются обобщенияма проблем А.1 и А.2 соответственно:

Проблема А.4. Аакпмп мозщп быть неабелееы козилозн^ноннме факторы конечной неразрешимой минимальной относительно лростозо спектра зр^ппы?

Проблема А.5. Аакоео нормальное строение конечной минимальной относительно простого спектра зр^ппы?

В соответствии с определением Ф. Холла [100], подгруппа 77 rpynnni G назвшается лронормальной (обозначение 77 ргн G), если для любого элемента G G подгруппв1 77 и 77^ сопряженв1 в (77, 77^).

Примерами пронормалвнвж подгрупп являются нормалвнвю подгруппв1, максималв-HBie подгруппв1, силовские подгруппв1 конечнвж групп, а также силовские подгруппв1 нор-малвнв1х подгрупп конечнвж групп, холловв1 подгруппв1 конечнвж разрешимвж групп.

Эквивалентное определение пронормалвной подгруппв1 можно сформулироватв в терминах групп подстановок (см. предложение 3.1.1).

Понятие пронормалвной подгруппв1 исполвзовалосв для исследования свойств разрешимвж групп (см., например, [100]). Также некоторвю проблемв1 в теории конечнвж групп подстановок (см., например, [101]) и в комбинаторике (см., например, [98]) бвгпи решенв!

8

в терминах пронормальности. Так, Л. Бабаи [30] показал, что конечная группа (7 является (77-группой (в самом широком смысле) если и только если регулярная подгруппа (7д, соответствующая действию (7 правыми сдвигами на себе, пронормальна в 7фт((7). С использованием упомянутого результата Бабаи, П. Палфи [98] получил полную классификацию (77-групп. Естественным образом возникает

Проблема. 77рстъ (7 — зррлла м 77 < (7. ТТронорлтлъна лм 77 е (7?

Пусть 77 — пронормальная подгруппа группы (7 и ТС — нормальная подгруппа в (7 такая, что 77 < ТС. Тогда хорошо известно, что выполнен Аргумент Фраттини, т. е. (7 = 7САА(77). В соответствии с определением Т. Пона [99], подгруппа 77 обла&ет сеой-стбо,м Фраттмнм в группе (7, если для любых подгрупп L и ТС из (7 таких, что 77 < ТС < L < (7 и ТС < L, верно равенство L = 7САД(77). В [99] было показано, что подгруппа 77 пронормальна в разрешимой группе (7 тогда и только тогда, когда она обладает в (7 свойством Фраттини. В общем случае из того, что подгруппа 77 обладает свойством Фраттини в группе (7, не следует, что 77 пронормальна в (7, например, неабелева простая группа (7 = РАПз(З) содержит подгруппу 77 = S4, которая не пронормальна в (7, но обладает в (7 свойством Фраттини. Тем не менее, свойство "быть пронормальной подгруппой" является в некотором смысле универсальным относительно выполнения аргумента Фраттини (см. предложение 3.1.2). Таким образом, особенный интерес представляет вопрос пронормальности подгруппы в неабелевой простой группе.

Ш. Прэгер [101] исследовала пронормальные группы в группах подстановок. Она показала, что нетривиальная пронормальная подгруппа 77 группы (7 в любом транзитивном подстановочном представлении (7 не может фиксировать более половины точек (см. предложение 3.1.3). Таким образом, если в некотором подстановочном представлении группы (7, мощность множества неподвижных относительно 77 точек достаточно большая, то 77 заведомо не пронормальна в (7. Поэтому представляет интерес вопрос пронормальности подгрупп группы (7, содержащих пронормальную в (7 подгруппу, в частности, вопрос пронормальности надгрупп силовских подгрупп простых групп.

Ввиду классической теоремы Холла-Чунихина (см. лемму 1.4.5) холловы подгруппы пронормальны в разрешимых группах. Е. П. Вдовиным и Д.О. Ревиным [116] было доказано, что холловы подгруппы пронормальны также в неабелевых простых группах, и на основании анализа доказательства была высказана

Гипотеза В.1. 7? конечнмж лростмж зррллаж нечетнмж мнйексоб лронор-

лтльмм.

Гипотеза В.1 появилась в связи со следующим наблюдением: в конечной группе (7 подгруппа 77, содержащая силовскую р-подгруппу А группы (7, пронормальна, если, и только если условие сопряженности подгрупп 77 и 77^ в (77, 77Д выполнено для любого элемента р G ҖДА) (см. лемму 1.10.2). Подгруппы нечетных индексов в группе — это в точности надгруппы ее силовских 2-подгрупп.

9

Г. Глауберман, Дж. Томпсон, Р. Гуральник, Г. Малле и Г. Наварро (см. [59]) показали, что силовские подгруппы нечетных порядков не могут быть самонормализуемы в неабелевых простых группах. Более того, группа, содержащая самонормализуемую си-ловскую подгруппу нечетного порядка, как правило, разрешима [59]. Построить примеры непронормальных надгрупп силовских подгрупп нечетных порядков в неабелевых простых группах также не составляет труда (см. параграф 3.1). В то же время А.С. Кондратьевым [81, следствие теорем 1-3] было показано, что в неабелевых простых группах силовская 2-подгруппа часто самонормализуема (т. е. совпадает со своим нормализатором). Таким образом, подгруппы нечетных индексов пронормальны во многих простых группах.

Заметим, что гипотеза В.1 была опровергнута А.С. Кондратьевым, автором диссертации и Д.О. Ревиным [130]. Представляет интерес следующая открытая

Проблема В.1. Отшсатъ неабелеем лростме 6 котормж нечет-

нмж мнбексое лронорлтлънм.

Решение проблемы В.1 позволило бы, в частности, достичь прогресса в изучении пронормальности максимальных и субмаксимальных А-подгрупп, которое, в свою очередь, является важной частью программы X. Виланда, предложенной в 1979 г. на знаменитом Летнем институте по конечным группам в Санта-Крузе (см. [119], в частности, 4.7, 5.4 и вопрос g, а также обзорную работу [62]).

группы называется множество всех порядков ее элементов. Две группы называются мзослектральнмлт, если их спектры совпадают. Вопросы о строении группы, на спектр которой наложено некоторое ограничение, естественным образом возникают в теории конечных групп начиная с конца Х1Х-го века. В 1900 г. У. Бернсайд [35] доказал, что группа, спектр которой состоит из числа 2 и нескольких нечетных чисел, либо является группой Фробениуса, либо изоморфна группе РАТ^Д^) для некоторого /л Группы, в спектре которых есть число 2, но нет чисел вида 2л, где л нечетно, были классифицированы М. Сузуки [104,105]. Позднее была доказана знаменитая теорема Фейта-Томпсона, утверждающая, что группа, в спектре которой нет четных чисел, является разрешимой [46].

Грюнберза-Аезелл или лростмж чмсел конечной группы G называет-

ся обыкновенный граф, множеством вершин которого является простой спектр группы G, и две вершины в этом графе смежны тогда и только тогда, когда их произведение является порядком некоторого элемента группы G. Очевидно, что понятие графа Грюнберга-Кегеля широко обобщает понятие спектра группы.

В 1937 г. Б. Нойман [94] описал строение групп со спектром {1,2, 3}, чем было положено начало изучению групп, не являющихся примарными группами, но имеющих элементы только примарных порядков. Последнее условие равносильно тому, что граф Грюнберга-Кегеля группы является кокликой. Г. Хигмэн [70] показал, что группа с этим свойством либо разрешима, и ее простой спектр содержит не более двух различных простых чисел, либо имеет единственный неабелев композиционный фактор. Позднее М. Сузуки [105] на

10

шел все простые группы с таким свойством.

Само понятие графа Грюнберга-Кегеля возникло в связи с изучением некоторвгх когомологических вопросов теории целочисленнв1х групповв1х колец: бв1ло установлено, что разностный идеал целочисленного группового колвца разложим как модули тогда и только тогда, когда граф Грюнберга-Кегеля группы несвязен (см. [61]). Позже К. Грюнберг и О. Кегель описали строение произвольной конечной группы с несвязным графом Грюнберга-Кегеля (см. лемму 1.8.1), а все простые группы с таким условием были классифицированы Дж. Уильямсом [120] и А.С. Кондратьевым [14].

Группа G называется л о слекжр^, если она определяется своим спек-

тром с точностью до изоморфизма. Проблема распознаваемости конечных групп по спектру исследуется с 80-х годов XX века. Она тесно связана с важным вопросом об изменении множества порядков элементов данной конечной группы при переходе к собственному накрытию этой группы, который возникал, например, в связи с ослабленной проблемой Бернсайда еще в классической работе Ф. Холла и Г. Хигмана [67]. Определение параметров группы по порядкам ее элементов также применяется в вычислительной теории групп, а именно, при разработке так называемых black-box алгоритмов, т. е. алгоритмов, не использующих специфические свойства представления группы такие, как множество неподвижных точек подстановки или жорданова форма матрицы (см., например, обзорную работу [96]).

В. Ши и В. Д. Мазуровым [92] было показано, что количество конечных групп, изо-спектральных заданной конечной группе G, бесконечно тогда и только тогда, когда одна из конечных групп, изоспектральных G, содержит разрешимую нормальную подгруппу. Поэтому особенный интерес вызывает вопрос распознаваемости по спектру конечных почти простых групп.

Распознаваемостью конечной группы по спектру занимались на протяжении трех десятков лет многие алгебраисты: В. Ши, Р. Брандль, Ш. Прэгер, В.Д. Мазуров, А.С. Кондратьев, А.В. Васильев, А.В. Заварницын, М.Р. Зиновьева (Алеева), О.А. Алексеева, М.А. Гречкосеева, А.А. Бутурлакин, И.Б. Горшков, А.М. Старолетов, М.А. Звездина и многие другие. В последнее время в этом направлении были достигнуты серьезные успехи. Например, А.В. Васильевым, М.А. Гречкосеевой и В.Д. Мазуровым [112] показано, что любая неабелева простая группа распознаваема по порядку и спектру. Более того, многие конечные неабелевы простые группы распознаваемы по спектру (см., например, [58]).

С уже устоявшимся направлением распознавания группы по спектру связано новое направление распознавания группы по графу Грюнберга-Кегеля. Легко понять, что группа, распознаваемая по графу Грюнберга-Кегеля, будет распознаваемой по спектру, и что обратное не верно. В 2003 г. М. Хаги [64] доказала распознаваемость по графу Грюнберга-Кегеля некоторых простых спорадических групп. В 2006 г. А.В. Заварнициным [121] была установлена распознаваемость по графу Грюнберга-Кегеля группы СЗД) и групп Ри зСДф. Позднее в работах трех математиков Хосрави [76] и Заварницына [122] была доказана распознаваемость по графу Грюнберга-Кегеля группы _Р5Т1б(2), что явилось первым

11

примером распознаваемой по графу группы со связным графом Грюнберга-Кегеля.

В связи с исследованием распознаваемости rpynnni по графу Грюнберга-Кегеля возникло общее направление исследования свойств конечной группв1 по свойствам ее графа Грюнберга-Кегеля (см. обзорнвю работв1 [15,83]). В частности, возник вопрос совпадения графов Грюнберга-Кегеля неизоморфнвгх конечнвгх групп. Этот вопрос решался ранее в работах различнвгх авторов. Так, А.В. Заварницин [121] показал, что единственная группа, граф Грюнберга-Кегеля которой имеет шеств компонент связности — это конечная простая спорадическая группа J4. Таким образом, группа J4 однозначно определяется изо-морфнв1м типом своего графа Грюнберга-Кегеля. Естественшлм образом встает вопрос существования других конечнвгх групп, которвю однозначно определяются изоморфнв1м типом своего графа Грюнберга-Кегеля.

М. Хаги [64] описала конечнвю проствю rpynnBi с графом Грюнберга-Кегеля как у конечнвгх проствгх спорадических групп. А.В. Василвевв1м в "Коуровскую тетрадв" [110] бв1л записан вопрос под номером 16.26: СДщесте^ет ли такое натуральное число /д что никакие А; попарно непзолюрд5нма; конечнмж неабелеемж простмж зрупп не люзут шиетъ оЭпн а тот э/се spag5 Артнберза-Аезелл? В рамках решения этого вопроса М.А. Звезди-ной [5] бв1ло получено описание случаев совпадения графов Грюнберга-Кегеля конечной простой rpynnBi и знакопеременной группвг М.Р. Зиноввевой [8] описанв1 случаи совпадения графов Грюнберга-Кегеля конечнвгх проствгх групп лиева типа над полями одной характеристики, затем в серии работ [9, 10] получено продвижение в решении того же вопроса для групп лиева типа над полями разнвгх характеристик.

На Международной конференции по теории групп, посвященной 70-летию В.Д. Мазурова (г. Новосибирск, июлв 2013 г.), К. Паркер сформулировал следующую проблему.

Проблема С.1. ТТсслебоеать случаи собпайенпп spag5oe Грюнберза-Аезелл конечной неабелееой простой зруппм и ее собстеенной пойзруппм.

В работе [92] бв1ло показано, что для любого конечного множества ю натуралвнвгх чисел существует натуралвное число А; = /Доф такое, что любая группа G со свойством оДС) = aj содержит подгруппу И такую, оДН) = и ]Н] < /л В связи с этим резулвтатом в [92] бв1ло введено понятие aj-критической rpynnBi, а также бв1ло показано, что для любого конечного множества ю натуралвнвш чисел количество aj-критических групп конечно.

Для данного множества ю натуралвнвш чисел группа G назвшается ю-критической, если оДС) = aj и для любв1х подгрупп 76 и L rpynnBi G таких, что А" — нормалвная подгруппа в А, из равенства оДА/АД = ю следует, что А = G и А" = 1. Группу G, которая является aj-критической для некоторого множества ю (или, что то же самое, является аД(Д-критической), естественно назватв критической по спектру.

По аналогии, группу G будем назвшат критической по npocmo^t/ спектру, если для любв1х подгрупп А" и A rpynnBi G таких, что А" — нормалвная подгруппа в А, из равенства 7ДА/АД = я следует, что А = G и А" = 1. Легко понятв, что группа, критическая по простому спектру, будет также критической по спектру и минималвной относителвно

12

простого спектра. Естественным образом возникает вопрос: тцш какшс йололнмтельныж t/слобмлж spt/лла, ммнммальнал относительно лростозо спектра, фДет крнтннеской по простор спектру?

В [92] бв1ла поставлена проблема описания всех (д-критических групп для заданного множества чисел од а также сформулирована

Проблема С.2. .Верно лн, что конечная лростал зр^тта G, не нзоморд5нал PQ^(2) н PQ^(3), леллетсл д?(С)-крнтннеской?

Заметим, что тот факт, что rpynnni PQ^ (2) и PQ^ (3) не являются критическими по спектру, следует, например, из основного резулвтата работв1 [36].

М.С. Лучидо [91, теорема 1р бвгто замечено, что графв1 Грюнберга-Кегеля разре-ШИМВ1Х групп не содержат 3-коклик в качестве индуцированнвгх подграфов. В [60] бы-ло показано, что граф изоморфен графу Грюнберга-Кегеля разрешимой rpynnni тогда и толвко тогда, когда он не содержит 3-коклик в качестве индуцированнвгх подграфов и его дополнение 3-раскрашиваемо. Таким образом, класс графов Грюнберга-Кегеля конечнвгх разрешимв1х групп имеет комбинаторную характеризацию.

В 2012 г. М.Р. Зиноввевой и В.Д. Мазуровв1м [124] описанв1 конечнвю неабелевв1 про-CTBie rpynnni с графом Грюнберга-Кегеля как у rpynnni Фробениуса или 2-фробениусовой группы. Из [113, таблицы 2,3] и [114, таблицы 2, 3, 4] следует, что группами из [124, теоремы 1, 3] исчерпываются все простые группы, графы Грюнберга-Кегеля которых равны графам Грюнберга-Кегеля разрешимых групп (граф Грюнберга-Кегеля любой такой группы будет объединением двух непересекающихся клик). Естественным образом возникает следующая

Проблема С.З. (Д/щесте^ет лн spag5, не сойерэ/сащнй 3-коклпк 6 канестее пнсйщп-роеанныж лосДрад5об, который пзолюрд5ен gpag5t/ Грюнберза-Кезелл некоторой неразрешимой gpt/ллы, н не изоморфен spag5t/ Грюнберза-Кезелл никакой разрешимой зр^тты?

Эта проблема была записана автором диссертации в "Коуровскую тетрадь" [110] под номером 19.52. Отрицательное решение проблемы С.З продемонстрировало бы, что класс графов Грюнберга-Кегеля конечных неразрешимых групп также имеет некоторую комбинаторную характеризацию.

Цели и задачи диссертации

Основная цель диссертации — получение новой информации о строении конечных групп в зависимости от их арифметических свойств.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Маслова, Наталья Владимировна, 2018 год

Литература

[1] Бутурлакин А. А. Спектры конечных линейных и унитарных групп // Алгебра и логика. -2008. -Т. 47, N 2.-С. 157-173.

[2] Бутурлакин А. А. Спектры конечных симплектических и ортогональных групп // Матем. Труды — 2212. — Т. 13, N 2. — С. 33-83.

[3] Голод Е. С. О ниль-алгебрах и финитно аппроксимируемых р-группах // Изв. АН СССР, сер. математическ. — 1964. — Т. 28, N 2. — С. 273-276.

[4] Голод Е. С., Шафревич И. Р. О башне полей классов // Изв. АН СССР, сер. математическ. — 1964. — Т. 28, N 2. — С. 261-272.

[5] Звездина М. А. О неабелевых простых группах с графом простых чисел как у знакопеременной группы // Сиб. мат. журн. — 2213. — Т. 54, N 1. — С. 54-76.

[6] Зельманов Е. И. Решение ослабленной проблемы Бернсайда для групп нечетного показателя // Изв. АН СССР, сер. математическ. — 1992. — Т. 54, N 1. — С. 42-59.

[7] Зельманов Е. И. Решение ослабленной проблемы Бернсайда для 2-групп // Матем. сборник. — 1991.—Т. 182, N 4. — С. 568-592.

[8] Зиновьева М. Р. Конечные простые группы лиева типа над полем одной характеристики с одинаковым графом простых чисел / / Тр. ИММ УрО РАН. — 2214. — Т. 22, N 2. — С. 168-182.

[9] Зиновьева М. Р. О конечных простых классических группах над полями разных характеристик, графы простых чисел которых совпадают / / Тр. ИММ УрО РАН. — 2216. — Т. 22, N 3. — С. 121-116.

[12] Зиновьева М. Р. О конечных простых линейных и унитарных группах над полями разных характеристик, графы простых чисел которых совпадают. I // Тр. ИММ УрО РАН. — 2017.—Т. 23, N 4. — С. 136-151.

[11] Каргаполов M. И., Мерзляков Ю. И. Основы теории групп. — Москва : Наука, 1982.

[12] Козлов С. Д. Максимальные р-модули Фраттини минимальных неразрешимых групп, обладающих циклическими силовскими р-подгруппами / / Алгебра и логика. — 1985. — Т. 24, N 3. — С. 352-364.

[13] Кондратьев А. С. Группы и алгебры Ли. — Екатеринбург : ИММ УрО РАН, 2229.

198

[14] Кондратьев А. С. О компонентах графа простых чисел конечных простых групп // Матем. сб. - 1989. - Т.180, N 6.-С. 787-797.

[15] Кондратьев А. С. Граф Грюнберга-Кегеля конечной группы и его применения, Алгебра и линейная оптимизация. — ИММ УрО РАН, 2002. —Труды международного семинара, посвященного 90-летию со дня рождения С.Н. Черникова. — C. 141-158.

[16] Кондратьев А. С., Храмцов И. В. О конечных четырепримарных группах // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. — 2011. — Т. 17, N 4. — С. 142-159.

[17] Кондратьев А. С., Храмцов И. В. Вполне приводимость некоторых GA(2)A7-модулей // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. — 2012. — Т. 18, N 3. — С. 139-146.

[18] Левчук В. М., Нужин Я. Н. Строение групп Ри // Алгебра и логика. — 1985. —T. 24, N 1. — С. 26-41.

[19] Мазуров В. Д. О множестве порядков элементов конечной группы // Алгебра и логика. — 1994.—Т. 33, N 1. — С. 81-89.

[20] Мазуров В. Д. Характеризация конечных групп множествами порядков их элементов / / Алгебра и логика. — 1997. — Т. 36, N 1. — С. 37-53.

[21] Старолетов А. М. О распознавании некоторых простых ортогональных групп по спектру, Алгебра и комбинаторика: Тез. междунар. конф. по алгебре и комбинаторике, посвященной 60-летию А.А. Махнева. — Екатеринбург : УМЦ-УПИ, 2013. С. 144.

[22] Тихоненко Т. В., Тютянов В. Н. Конечные группы с максимальными холловыми подгруппами // Изв. Гомельского гос. ун-та им. Ф. Скорины. — 2008.—Т. 5(50).— С. 198-206.

[23] Тютянов В. Н. Конечные группы с дополняемыми подгруппами // Изв. Гомельского гос. ун-та им. Ф. Скорины. — 2006. — Т. 6. — С. 178-183.

[24] Чунихин С. А. О разрешимых группах // Изв. НИИММ Том. унив. — 1938.—Т. 2, N 2. — С. 220-223.

[25] Alekseeva O. A., Kondrat'ev A. S. On recognizability of some finite simple orthogonal groups by spectrum // Proc. Steklov Institute Math. (Suppl. issues). — 2009. — Vol. 266, Suppl. 1. — P. 10-23.

[26] Alekseeva O. A., Kondrat'ev A. S. Finite groups whose prime graphs do not contain triangles. I // Proc. Steklov Institute Math. (Suppl. issues). — 2016. — Vol. 295, Suppl. 1. — P. 11-20.

199

[27] Aschbacher M. On the maximal subgroups of the finite classical groups // Invent. Math. — 1984.-Vol. 76, no. 3.-P. 469-514.

[28] Aschbacher M. Finite group theory. — Cambridge : Cambridge University Press, 1986.

[29] Atlas of Finite Group Representations - Version 3, 2015. — Access mode:

http://brauer.maths.qmul.ac.uk/Atlas/v3/.

[30] Babai L. Isomorphism Problem for a Class of Point-Symmetric Structures // Acta Math. Acad. Sci. Hungar. —1977.—Vol. 29.— P. 329-336.

[31] Bray J., Holt D., Roney-Dougal C. The maximal subgroups of the low-dimensional finite classical groups.— Cambridge : Cambridge University Press, 2013. —Vol. 407 of London Mathematical Society Lecture Note Series.

[32] Brewster B., Martinez-Pastor A., Perez-Ramos M. D. Pronormal subgroups of a direct product of groups // J. Algebra.— 2009.—Vol. 321, no. 6. —P. 1734-1745.

[33] Burgoyne N., Griess . L., Lyons R. Maximal subgroups and automorphisms of Chevalley groups // Pacific. J. Math.— 1977.—Vol. 71, no. 2. — P. 365-403.

[34] Burness T. C., Covato E. On the prime graph of simple groups // Bull. Australian Math. Soc.-2015.-Vol. 91, no. 2.-P. 227-240.

[35] Burnside W. On a class of groups of finite order // Trans. Cambridge Phil. Soc. — 1900. — Vol. 18.-P. 269-276.

[36] Buturlakin A. A. Isospectral finite simple groups // Siberian Electron. Math. Reports. — 2010.-Vol. 7.-P. 111-114.

[37] Carter R., Fong P. The Sylow 2-subgroups of the finite classical groups //J. Algebra. — 1964.-Vol. 1, no. l.-P. 139-151.

[38] Carter R. W. Simple groups of Lie Type. — London : John Wiley and Sons, 1972.

[39] Conway J. H., Curtis R. T., Norton S. P. et al. Atlas of finite groups. — Oxford : Clarendon Press, 1985.

[40] Cossey J., Kegel О. H., Kovacs G. Maximal Frattini extensions // Arch. Math. — 1980. — Vol. 35, no. 3.-P. 210-217.

[41] Dixon M. R. Lehrbuch der Gruppentheorie. — Leipzig-Berlin : Teubner, 1937.

[42] Dixon J. D., Mortimer B. Permutation groups. — New York : Springer-Verlag, 1996.

[43] Doerk K., Hawkes T. Finite soluble groups. —Berlin-New York : de Gruyter, 1992.

[44] e Silva T. O. Goldbach conjecture verification // http://sweet.ua.pt/tos/goldbach.html.

200

[45] Estermann T. On Goldbach's problem: proof that almost all even positive integers are sums of two primes // Proc. London Math. Soc. Ser. 2. — 1938. — Vol. 44. — P. 307-314.

[46] Feit W., Thompson J. G. Solvability of groups of odd order // Pacific. J. Math. — 1963. — Vol. 13.-P. 775-1029.

[47] The GAP Group. — GAP - Groups, Algorithms, and Programming, Version 4.8.7, 2017. — Access mode: http://www.gap-system.org.

[48] Gaschiitz W. Uber modulare Darstellungen endlicher Gruppen, die von freien Gruppen induziert werden // Math. Zeitschrift. —1954.—Vol. 60, no. 3. — P. 274-286.

[49] Gerono G. C. Note sur la resolution en nombres entiers et positifs de l'equation ж"* =

- 1 // Nouv. Ann. Math (2). -1870. - Vol. 9. -P. 469-471.

[50] Glauberman G. Central elements in core-free groups //J. Algebra. — 1966. — Vol. 4, no. 3.-P. 403-420.

[51] Glauberman G. Factorizations in local subgroups of finite groups. — Providence, RI : American Mathematical Society, 1977.—Vol. 33 of CBMS Reg. Conf. Ser. Math.

[52] Gorenstein D. Finite groups. —New York : Harper and Row, 1968.

[53] Gorenstein D. Finite simple groups. An introduction to their classification. — New York : Plenum Publ. Corp., 1982.

[54] Gorenstein D., Lyons R., Solomon R. The classification of the finite simple groups. Number 3. — Providence, RI : American Mathematical Society, 1998. — Vol. 40.3 of Mathematical Surveys and Monographs.

[55] Gorshkov I. B. Recognizability of alternating groups by spectrum // Algebra and Logic. — 2013.-Vol. 52, no. l.-P. 41-45.

[56] Grechkoseeva M. A., Lucido M. S., Mazurov V. D. et al. On recognition of the projective special linear groups over binary fields // Siberian Electron. Math. Reports. — 2005. — Vol. 2.-P. 253-263.

[57] Grechkoseeva M. A., Mazurov V. D., Moghaddamfar A. R., Vasil'ev A. V. On finite groups isospectral to simple linear and unitary groups // Siberian Math. J.. — 2009. — Vol. 50, no. 6.-P. 3965-981.

[58] Grechkoseeva M. A., Vasil'ev A. V. On the structure of finite groups isospectral to finite simple groups //J. Group Theory.— 2015.—Vol. 18, no. 5. — P. 741-759.

[59] Guralnick R. M., Malle G., Navarro G. Self-normalizing Sylow subgroups // Proc. Amer. Math. Soc.-2003.-Vol. 132, no. 4.-P. 973-979.

201

[60] Gruber A. e. a. A characterization of the prime graphs of solvable groups // J. Algebra. — 2015. - Vol. 422. — P. 397-422.

[61] Gruenberg K. W., Roggenkamp K. W. Decomposition of the augmentation ideal and of the relation modules of a finite group / / Proc. London Math. Soc. (3). — 1975. — Vol. 31, no. 2. — P. 149-166.

[62] Guo W., Revin D. O. Pronormality and submaximal X-subgroups on finite groups // Commun. in Math. and Statistics — 2018.—P. 1-29.

[63] Guralnick R. M., Kantor W. M. Probabilistic generation of finite simple groups // J. Algebra. — 2000.—Vol. 234, no. 1. — P. 743-792.

[64] Hagie M. The prime graph of a sporadic simple group // Comm. Algebra. — 2003. — Vol. 31, no. 9. — P. 4405-4424.

[65] Hall P. A note on soluble groups // J. London Math. Soc. — 1928. — Vol. 3, no. 2. — P. 98-105.

[66] Hall P. A characteristic property of soluble groups // J. London Math. Soc. — 1937. — Vol. 12, no. 3. — P. 198-200.

[67] Hall P., Higman G. On the p-lenght of p-soluble groups and reduction theorem for Burnside's problem // Proc. London Math. Soc. Ser. III. — 1956.—Vol. 6, no. 21.— P. 286-304.

[68] Hardy G. H., Littlewood J. E. Some problems of 'partitio numerorum'; III: on the expression of a number as a sum of primes / / Acta Mathematica. — 1922. — Vol. 44. — P. 1-70.

[69] Herzog M. On finite simple groups of order divisible by three primes only // J. Algebra. — 1968.—Vol. 10, no. 3.—P. 383-388.

[70] Higman G. Finite groups in which every element has prime power order // J. London Math. Soc. (2). — 1957.—Vol. 32. — P. 335-342.

[71] Huppert B. Endliche Gruppen. — Berlin : Springer-Verlag, 1967. — Vol. I.

[72] Isaacs M. I. Character theory of finite groups. — New York : Academic Press, 1976.

[73] Isaacs M. I. Finite group theory. — Providence, RI : Amer. Math. Soc., 2008.

[74] Kantor W. M. Primitive permutation groups of odd degree, and an application to the finite projective planes // J. Algebra. — 1987.—Vol. 106, no. 1. — P. 15-45.

202

[75] Kazarin L. S. Group factorizations, graphs and characters of groups, Graphs and Groups, Spectra and Symmetries, 2016. Abstracts of the International Conference and PhD-Master Summer School on Graphs and Groups, Spectra and Symmetries. — Novosibirsk : Sobolev Institute of Mathematics, 2016. — P. 25-27.

[76] Khosravi B., Khosravi B., Khosravi B. A characterization of the finite simple group L1g(2) by its prime graph / / Manuscripta math. — 2008. — Vol. 126. — P. 49-58.

[77] Kleidman P. The subgroup structure of some finite simple groups. — Cambridge : Ph.D. thesis, Cambridge Univ., 1986.

[78] Kleidman P., Liebeck M. The subgroup structure of the finite classical groups. — Cambridge : Cambridge University Press, 1990. — Vol. 129 of London Mathematical Society Lecture Note Series.

[79] Kondrat'ev A. S. Subgroups of finite Chevalley groups // Russian Math. Surveys- — 1986.—Vol. 41, no. 1.—P. 65-118.

[80] Kondrat'ev A. S. Prime graph components of finite simple groups // Math. USSR Sb. — 199O.—Vol. 67. — P. 235-247.

[81] Kondrat'ev A. S. Normalizers of the Sylow 2-subgroups in finite simple groups // Math. Notes. — 2005.—Vol. 78, no. 3. — P. 338-346.

[82] Kondrat'ev A. S. Finite groups having the same prime graph as the group AW^) // Proc. Steklov Institute Math. (Suppl. issues). — 2013.—Vol. 283, Suppl. 1. — P. 78-85.

[83] Kondrat'ev A. S. Finite groups with given properties of their prime graphs // Algebra and Logic. — 2O16.—Vol. 55, no. 1. — P. 77-82.

[84] Kondrat'ev A. S., Mazurov V. D. Recognition of alternating groups of prime degree from the orders of their elements / / Siberian Math. J. — 2000. — Vol. 41, no. 2. — P. 294-302.

[85] Kondrat'ev A. S., Mazurov V. D. 2-Signalizers of finite simple groups // Algebra and Logic. — 2OO3.—Vol. 42, no. 5.—P. 333-348.

[86] Levchuk V. M., Likharev A. G. Finite simple groups with complemented maximal subgroups // Siberian Math. J. — 2006.—Vol. 47, no. 4. — P. 659-668.

[87] Liebeck M. W., Praeger C. E., Saxl J. A classification of the maximal subgroups of the finite alternating and symmetric groups // J. Algebra. — 1987.—Vol. 111, no. 1.— P. 365-383.

[88] Liebeck M. W., Praeger C. E., Saxl J. Transitive subgroups of primitive permutation groups // J. Algebra. — 2000.—Vol. 234. — P. 291-361.

203

[89] Liebeck M. W., Saxl J. The primitive permutation groups of odd degree //J. London Math. Soc.-1985.-Vol. 31, no. 2.-P. 250-264.

[90] Lucchini A., Morigi M., Shumyatsky P. Boundedly generated subgroups of finite groups // Forum Mathematicum. — 2012. — Vol. 24. — P. 875-887.

[91] Lucido M. S. The diameter of the prime graph of finite groups //J. Group Theory. — 1999.-Vol. 2, no. 2.-P. 157-172.

[92] Mazurov V. D., Shi W. J. A criterion of unrecognizability by spectrum for finite groups // Algebra and Logic.— 2012.— Vol. 51, no. 2. — P. 160-162.

[93] Monakhov V. S. Finite 7r-solvable groups whose maximal subgroups have the Hall property // Math. Notes.— 2008.—Vol. 84, no. 3. —P. 363-366.

[94] Neumann В. H. Groups whose elements have bounded orders //J. Lond. Math. Soc. — 1937.-Vol. 12.-P. 195-198.

[95] Neumann H. Varieties of groups, Ereb. Math. Band. 37. — Berlin-Heidelberg-New York : Springer-Verlag, 1967.

[96] O'Brien E. Towards effective algorithms for linear groups // Finite Geometries, Groups and Computation, (Colorado) September 2004.— 2006. —P. 163-190.

[97] Oshima T. A classification of subsystems of a root system // Preprint. — 2007. — arXiv:math/0611904[math.RT].

[98] Palfy P. P. Isomorphism problem for relational structures with a cyclic automorphism // Europ. J. Combinatorics.— 1987.— Vol. 8. — P. 35-43.

[99] Peng T. A. Pronormality in finite groups //J. London Math. Soc. —1971.—Vol. 8.— P. 301-306.

[100] University of Cambridge. — Phillip Hall lecture notes on group theory - Part 6, 1951-1967. — Access mode: http://omeka.wustl.edu/omeka/items/show/10788.

[101] Praeger С. E. On transitive permutation groups with a subgroup satisfying a certain conjugacy condition //J. Austral. Math. Soc.— 1984.—Vol. 36. —P. 69-866.

[102] Revin D. O. Hall 7r-subgroups of finite Chevalley groups whose characteristic belongs to 7Г // Algebra and Logic.— 2002.—Vol. 41, no. 3. —P. 8-29.

[103] Revin D. O., Vdovin E. P. On the number of classes of conjugate Hall subgroups in finite simple groups //J. Algebra.— 2010.—Vol. 324.— P. 3614-3652.

[104] Suzuki M. Finite groups with nilpotent centralizers // Trans. Amer. Math. Soc. — 1961. — Vol. 99. - P. 425-470.

204

[105] Suzuki M. On a class of doubly transitive groups // Ann. of Math. (2). — 1962. — Vol. 75. — P. 105-145.

[106] Sylow L. Theoremes sur les groupes de substitutions // Math. Ann. — 1872. — Vol. 5, no. 4. — P. 584-594.

[107] The on-line encyclopedia of integer sequences // https://oeis.org/A002375.

[108] Thompson J. G. Hall subgroups of the symmetric groups // J. Comb. Theory. — 1966. — Vol. 1. — P. 271-279.

[109] Thompson J. G. Nonsolvable finite groups all of whose local subgroups are solvable // Bull. Amer. Math. Soc. — 1968.—Vol. 74, no. 3. — P. 383-437.

[110] Unsolved problems in group theory. The Kourovka notebook / Ed. by V. D. Mazurov, E.I. Khukhro. — 19 edition. — Novosibirsk : Institute of Mathematics, Russian Academy of Sciences, Siberian Div., 2018. — aarXiv:1401.0300v13 [math.GR].

[111] Vasil'ev A. V. On connection between the structure of a finite group and the properties of its prime graph // Siberian Math. J. — 2005.—Vol. 46, no. 3. — P. 396-404.

[112] Vasil'ev A. V., Grechkoseeva M. A., Mazurov V. D. Characterization of the finite simple groups by spectrum and order // Algebra and Logic. — 2009. — Vol. 48, no. 6. — P. 385409.

[113] Vasil'ev A. V., Vdovin E. P. An adjacency criterion for the prime graph of a finite simple group / / Algebra and Logic. — 2005. — Vol. 44, no. 6. — P. 381-406.

[114] Vasil'ev A. V., Vdovin E. P. Cocliques of maximal size in the prime graph of a finite simple group / / Algebra and Logic. — 2011. — Vol. 50, no. 4. — P. 291-322.

[115] Vdovin E. P., Revin D. O. Theorems of Sylow type // Russian Math. Surveys. — 2011. — Vol. 66, no. 5. — P. 829-870.

[116] Vdovin E. P., Revin D. O. Pronormality of Hall subgroups in finite simple groups // Siberian Math. J. — 2012.—Vol. 53, no. 3. — P. 419-430.

[117] Vedernikov V. A. Finite groups in which every nonsolvable maximal subgroup is a Hall subgroup / / Proc. Steklov Institute Math. (Suppl. issues). — 2015. — Vol. 285, Suppl. 1. — P. 191-202.

[118] Weisstein E. W. Goldbach conjecture. From Mathworld-AWolfram web resourse // http: //mathworld.wolfram.com/GoldbachConjecture.html.

[119] Wielandt H. Zusammengesetzte Gruppen: Holder Programm heute, The Santa Cruz conf, on finite groups. — Providence RI : Amer. Math. Soc., 1980.—Vol. 422 of Santa Cruz, 1979. Proc. Sympos. Pure Math. 37. — P. 161-173.

205

[120] Williams J. S. Prime graph components of finite groups // J. Algebra. — 1981. — Vol. 69, no. 2. — P. 487-513.

[121] Zavarnitsine A. V. Recognition of the simple groups Цз(ф by element orders // Algebra and Logic. — 2006.—Vol. 45, no. 2. — P. 106-116.

[122] Zavarnitsine A. V. Uniqueness of the prime graph of А1б(2) // Siberian Electron. Math. Reports. — 2O1O.—Vol. 7. — P. 119-121.

[123] Zavarnitsine A. V. Subextensions for a permutation PAL2 (q)-module // Siberian Electron. Math. Report. — 2O12.—Vol. 10. — P. 551-557.

[124] Zinov'eva M. R., Mazurov V. D. On finite groups with disconnected prime graph // Proc. Steklov Institute Math. (Suppl. issues). — 2013.—Vol. 283, Suppl. 1. — P. 139-145.

[125] Zsigmondy K. Zur Theorie der Potenzreste // Monatsh. Math. Phys. — 1892. —Vol. 3. — P. 265-284.

Работы автора в рецензируемых научных изданиях, в которых опубликованы результаты диссертации и их доказательства:

[126] Горшков И. Б., Маслова Н. В. Конечные почти простые группы с графами Грюн-берга-Кегеля как у разрешимых групп / / Алгебра и логика. — 2018. —Т. 57, N 2. — С. 175-196. Перевод на английский язык: Gorshkov I. B., Maslova N. V. Finite almost simple groups whose Gruenberg-Kegel graphs coincide with Gruenberg-Kegel graphs of solvable groups // Algebra and Logic. — 2018.—Vol. 57, no. 2. — P. 115-128.

[127] Го В., Маслова Н. В., Ревин Д. О. О пронормальности подгрупп нечетных индексов в некоторых расширениях конечных групп / / Сиб. мат. журн. — 2018. — Т. 59, N 4. — C. 773-790. Перевод на английский язык: Guo W., Maslova N. V., Revin D. O. On the pronormality of subgroups of odd index in some extensions of finite groups / / Siberian Math. J. — 2018.—Vol. 59, no. 4. — P. 610-622.

[128] Кондратьев А. С., Маслова Н. В., Ревин Д. О. О пронормальности подгрупп нечетного индекса в конечных простых группах // Сиб. мат. журн. — 2015. — Т. 56, N 6. — С. 1375-1383. Перевод на английский язык: Kondrat'ev A. S., Maslova N. V., Revin D. O. On the pronormality of subgroups of odd index in finite simple groups // Siberian Math. J. — 2015.—Vol. 56, no. 6. — P. 1101-1107.

[129] Кондратьев А. С., Маслова Н. В., Ревин Д. О. О пронормальности подгрупп нечетных индексов в конечных простых симплектических группах / / Сиб. мат. журн. — 2017. — Т. 58, N 3. — С. 599-610. Перевод на английский язык: Kondrat'ev A. S., Maslova N. V., Revin D. O. On the pronormality of subgroups of odd index in finite simple symplectic groups // Siberian Math. J. — 2017.—Vol. 58, no. 3. — P. 467-475.

206

[130] Кондратьев А. С., Маслова Н. В., Ревин Д. О. Критерий пронормальности добавлений к абелевым нормальным подгруппам // Тр. ИММ УрО РАН — 2016. — Т. 22, N 1. —С. 153-158. Перевод на английский язык: Kondrat'ev A. S., Maslova N. V., Revin D. O. A pronormality criterion for supplements to abelian normal subgroups // Proc. Steklov Institute Math. (Suppl. issues). — 2017. — Vol. 296, Suppl. 1. — P. 145-150.

[131] Кондратьев А. С., Маслова Н. В., Ревин Д. О. О пронормальных подгруппах в конеч-

ных простых группах // Доклады академии наук — 2018. — Т. 482, N 1. — С. ........ Перевод на английский язык: Kondrat'ev A. S., Maslova N. V., Revin D. O. On

pronormal subgroups in finite simple groups / / Doklady Mathematics. — 2018. — Vol. 98, no. 2. — P. ........

[132] Маслова Н. В. Неабелевы композиционные факторы конечной группы, все максимальные подгруппы которой холловы // Сиб. мат. журн. — 2012. — Т. 53, N 5. — С. 1065-1076. Перевод на английский язык: Maslova N. V. Nonabelian composition factors of a finite group whose all maximal subgroups are Hall / / Siberian Math. J. —

2012.—Vol. 53, no. 5.—P. 853-861.

[133] Маслова Н. В. Конечные группы с арифметическими ограничениями на максимальные подгруппы // Алгебра и логика. — 2015. — Т. 54, N 1. — С. 95-102. Перевод на английский язык: Maslova N. V. Finite groups with arithmetic restrictions on maximal subgroups // Algebra and Logic. — 2015.—Vol. 54, no. 1. — P. 65-69.

[134] Маслова Н. В. О совпадении графов Грюнберга-Кегеля конечной простой группы и ее собственной подгруппы / / Тр. ИММ УрО РАН — 2014. —Т. 20, N 1. — С. 156-168. Перевод на английский язык: Maslova N. V. On the coincidence of Gruenberg-Kegel graphs of a finite simple group and its proper subgroup / / Proc. Steklov Institute Math. (Suppl. issues). — 2015.—Vol. 288, Suppl. 1. — P. 129-141.

[135] Маслова Н. В. Конечные простые группы, не являющиеся критическими по спектру // Тр. ИММ УрО РАН — 2015. — Т. 21, N 1—С. 172-176. Перевод на английский язык: Maslova N. V. Finite simple groups that are not spectrum critical / / Proc:. Steklov Institute Math. (Suppl. issues). — 2016.—Vol. 292, Suppl. 1. — P. S211-S215.

[136] Маслова Н. В. О конечных группах, минимальных относительно простого спектра // Тр. ИММ УрО РАН — 2015. — Т. 21, N 3. — С. 222-232. Перевод на английский язык: Maslova N. V. On the finite prime spectrum minimal groups / / Proc. Steklov Institute Math. (Suppl. issues). — 2016.—Vol. 295, Suppl. 1. — P. 109-119.

[137] Маслова Н. В., Ревин Д. О. Конечные группы, все максимальные подгруппы которых холловы / / Матем. Труды — 2012. — Т. 22, N 2. — С. 105-126. Перевод на английский язык: Maslova N. V., Revin D. O. Finite groups whose maximal subgroups have the Hall property // Siberian Advances Math. — 2013.—Vol. 23, no. 3. — P. 196-209.

207

[138] Маслова Н. В., Ревин Д. О. Порождаемость конечной группы с холловыми максимальными подгруппами парой сопряженных элементов // Тр. ИММ УрО РАН —

2013. — Т. 19, N 3. — С. 199-206. Перевод на английский язык: Maslova N. V., Revin D. O. Generation of a finite group with Hall maximal subgroups by a pair of conjugate elements // Proc. Steklov Institute Math. (Suppl. issues). — 2014. — Vol. 285, Suppl. 1.—P. 145-149.

[139] Маслова Н. В., Ревин Д. О. О неабелевых композиционных факторах конечной группы, минимальной относительно простого спектра // Тр. ИММ УрО РАН — 2013.— Т. 19, N 4. — С. 155-166. Перевод на английский язык: Maslova N. V., Revin D. O. On nonabelian composition factors of a finite group that is prime spectrum minimal / / Proc. Steklov Institute Math. (Suppl. issues). — 2014.—Vol. 287, Suppl. 1. — P. 116-127.

[140] Маслова Н. В., Ревин Д. О. Неабелевы композиционные факторы конечной группы, все максимальные подгруппы нечетных индексов которой холловы / / Тр. ИММ УрО РАН — 2016. — Т. 22, N 4. — С. 178-187. Перевод на английский язык: Maslova N. V., Revin D. O. Nonabelian composition factors of a finite group whose maximal subgroups of odd indices are Hall subgroups // Proc. Steklov Institute Math. (Suppl. issues).— 2017.—Vol. 299, Suppl. 1. — P. 148-157.

[141] Maslova N. V. Classification of maximal subgroups of odd index in finite simple classical groups: Addendum // Siberian Electron. Math. Reports. — 2018.—Vol. 15. — P. 707-718.

[142] Maslova N. V. On the Gruenberg-Kegel graphs of finite groups. — Source of the Document CEUR Workshop Proceedings, 2016.—Vol. 1662 P. 26-31.

[143] Maslova N. V., Pagon D. On the realizability of a graph as the Gruenberg-Kegel graph of a finite group / / Siberian Electron. Math. Reports. — 2016. — Vol. 13. — P. 89-100.

[144] Maslova N. V., Revin D. O. On the normal structure of a finite group with restrictions on the maximal subgroups, Groups St Andrews 2013. — Cambridge : Cambridge University Press, 2015. —Vol. 422 of London Mathematical Society Lecture Note Series. —P. 428435.

Свидетельства о регистрация объектов интеллектуальной собственности:

[145] Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ N 2017662127. Программа для ЭВМ 'Максимальные подгруппы нечетных индексов в конечных простых классических группах над полями нечетных характеристик”, реализующая классификацию максимальных подгрупп нечетных индексов в конечных простых классических группах над полями нечетных характеристик./ Маслова Н. В., Якунин К. А. // Федеральная служба по интеллектуальной собственности. — 27.10.2017.

208

Другие работы автора по теме диссертации:

[146] Демина Е. Н., Маслова Н. В. Неабелевы композиционные факторы конечной группы с арифметическими ограничениями на неразрешимые максимальные подгруппы / / Тр. ИММ УрО РАН — 2014. — Т. 20, N 2. — С. 122-134. Перевод на английский язык: Demina E. N., Maslova N. V. Nonabelian composition factors of a finite group with arithmetic constraints to nonsolvable maximal subgroups / / Proc. Steklov Institute Math. (Suppl. issues). — 2015. — Vol. 289, Suppl. 1. — P. 64-76.

[147] Маслова Н. В. Классификация максимальных подгрупп нечетного индекса в конечных простых классических группах / / Тр. ИММ УрО РАН — 2008. — Т. 14, N 4. — С. 100-118. Перевод на английский язык: Maslova N. V. Classification of maximal subgroups of odd index in finite simple classical groups / / Proc. Steklov Institute Math. (Suppl. issues). — 2009.—Vol. 267, Suppl. 1. — P. 164-183.

[148] Маслова Н. В. Классификация максимальных подгрупп нечетного индекса в конечных группах со знакопеременным цоколем // Тр. ИММ УрО РАН — 2008.—Т. 16, N 3. — С. 182-184. Перевод на английский язык: Maslova N. V. Classification of maximal subgroups of odd index in finite groups with alternating socle / / Proc. Steklov Institute Math. (Suppl. issues). — 2014.—Vol. 285, Suppl. 1. P. 136-138.

[149] Маслова Н. В. Максимальные подгруппы нечетного индекса в конечных группах с простым ортогональным цоколем // Тр. ИММ УрО РАН. — 2010.—Т. 16, N 4.— С. 237-245.

[150] Маслова Н. В. Максимальные подгруппы нечетного индекса в конечных группах с простым линейным, унитарным или симплектическим цоколем / / Алгебра и логика. — 2011. — Т. 50, N 2. — С. 189-208. Maslova N. V. Maximal subgroups of odd index in finite groups with simple linear, unitary, or symplectic socle / / Algebra and Logic. — 2011.—Vol. 50, no. 2. — P. 133-145.

[151] Маслова Н. В. Максимальные подгруппы нечетного индекса в конечных почти простых группах. — Екатеринбург : Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук, ИММ УрО РАН, 2011.

[152] Gavrilyuk A. L., Khramtsov I. V., Kondrat'ev A. S., Maslova N. V. On realizability of a graph as the prime graph of a finite group / / Siberian Electron. Math. Reports. — 2014. — Vol. 11.—P. 246-257.

[153] Kondrat'ev A. S., Maslova N. V., Revin D. O. On the pronormality of subgroups of odd index in finite simple groups, Groups St Andrews 2017 in Birmingham. — Cambridge : Cambridge University Press, to appear. — London Mathematical Society Lecture Note Series.

209

[154] Maslova N. V. Maximal subgroups of odd index in finite groups with simple classical socle, Groups St Andrews 2009. — Cambridge : Cambridge University Press, 2011.—Vol. 387, no. 2 of London Mathematical Society Lecture Note Series. — P. 473-479.

[155] Zang C., Guo W., Maslova N. V., Revin D. O. On prime spectrum of maximal subgroups in finite groups / / Algebra Colloquium, to appear.

210

5. Приложение А

№ № №

№ № № № №

№

№

Ж

№

№ № №

СВИДЕТЕЛЬСТВО

о государственной регистрации программы для ЭВМ

№ 2017662127

№

№ № № Ж № Й Ж № № Ж Ж № № № № № № № № № № № № Ж № № №

Программа для ЭВМ "Максимальные подгруппы нечетных индексов в конечных простых классических группах над полями нечетных характеристик", реализующая классификацию максимальных подгрупп нечетных индексов в конечных простых классических группах над полями нечетных характеристик.

Правообладатель: ФсЙсрнЛЬЯОС СОСуЙлрСйПУСИИОС Дй/ИОНО.ИИОС ойрязосн/яелбнос ^чрамсйсиис #ыси/с<?о ойрдзоялиия «Уральский %СЙСр<Ь76Н6/Й ^ИИС^СИ/ЯС/И ИЛ/СИП HCpCOJO ЛрСЗИЙСИ/ИЙ России />.//. Рльип/н/и (7?С)

Авторы: Л/НСЛОЯНМПЯНЛЬЯ ВллЙИИИроСИД (PC), ^Ғкриии Кирилл Лийрссяич (PC)

Заявка № 2017618040

Дата поступления 08 августа 2017 R

Дата государственной регистрации

в Реестре программ для ЭВМ 27 ОК/ИЯЙ/ДЯ 2Й7 7 А

ДукобоЭптель Федеральной с.7у.7/ебь/

ИО MWWe.7.7eK7MJ'O.7bHOM СОбС7Ибе77НОеИ77/

Л/7. /Тел нее