Композиционное строение групп, изоспектральных простым группам лиева типа тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, кандидат наук Гречкосеева, Мария Александровна

• Гречкосеева, Мария Александровна
• кандидат наук
• 2014

Оглавление диссертации кандидат наук Гречкосеева, Мария Александровна

Оглавление

Введение

1. Предварительные сведения

1.1. Теоретико-групповые определения и обозначения

1.2. Теоретико-числовые обозначения и леммы

1.3. Спектр и граф простых чисел

1.4. Неабелевы простые группы с решенной проблемой распознаваемости

2. Порядки элементов в накрытиях простых групп

2.1. Спектры накрытий и представления

2.2. Полупростые элементы классических групп

2.3. Представления Вейля группы Би^д)

2.4. Случай модуля в другой характеристике

2.5. Унисингулярные элементы групп лиева типа

2.6. Случай модуля в характеристике определения

2.7. Спектры группы ¿>2п(</) и накрытий группы 02П+\{я)

3. Неабелевы композиционные факторы групп, изоспектральных простым классическим группам

3.1. Предварительные леммы

3.2. Линейные и унитарные группы

3.3. Симплектические и ортогональные группы

3.4. Исключительные случаи теоремы 3

4. Линейные и унитарные группы на полями характеристики 2

4.1. Некоторые свойства групп лиева типа

4.2. Квазираспознаваемость

4.3. Автоморфные расширения и доказательство теоремы 4

5. Характеризация спектром и порядком

5.1. Оценки на порядки элементов и порядки силовских подгрупп

5.2. Спектры групп Вп(д) и Сп(д)

5.3. Редукция к случаю другой характеристики

5.4. Случай группы в другой характеристике

Заключение

Список литературы

112

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Композиционное строение групп, изоспектральных простым группам лиева типа»

Введение

Актуальность темы исследования

Спектром конечной группы называется множество порядков ее элементов. Вопросы о строении группы, на спектр которой наложено некоторое ограничение, естественным образом возникают в теории конечных групп начиная с конца 19-го века.

В 1900 г. У. Бернсайд [70] установил, что группа, спектр которой состоит из числа 2 и нескольких нечетных чисел, либо является группой Фробениуса, либо изоморфна группе PSL2(2k) для некоторого к. Группы, в спектре которых есть число 2, но нет чисел вида 2п, где п нечетно, были классифицированы М. Сузуки [152,153]. Наконец, знаменитая теорема У. Фейта и Дж. Томпсона утверждает, что группа, в спектре которой нет четных чисел, является разрешимой [85].

В 1937 г. Б.Х. Нойман [125] описал строение групп со спектром {1,2,3}, положив начало изучению групп, не являющихся прнмарными группами, по имеющих элементы только примарных порядков. Г. Хигмэн [106] показал, что группа с таким свойством либо разрешима и в ее спектре ровно два простых числа, либо имеет единственный неабелев композиционный фактор. М. Сузуки [153] нашел все простые группы с таким свойством.

Графом простых чисел группы называется граф, множество вершин которого — это множество простых чисел в спектре, и две различные вершины, помеченные числами р и q, смежны тогда н только тогда, когда pq лежит в спектре. Условие того, что спектр содержит число 2, но не содержит чисел вида 2п, где п нечетно, рассматриваемое М. Сузуки, эквивалентно тому, что 2 является изолированной вершиной в графе простых чисел, а условие того, что спектр групп состоит только из степеней простых чисел, эквивалентно тому, что все вершины в графе простых чисел изолированы, или, другими словами, граф простых чисел является кокликой. Понятие графа простых чисел возникло в связи с изучением некоторых когомологических вопросов теории целочисленных групповых колец: было установлено, что разностный идеал целочисленного группового кольца разложим как модуль тогда и только тогда, когда граф простых чисел группы несвязен (см. [97]). Позже К. Грюнберг и О. Кегель описали строение произвольной конечной группы с несвязным графом простых чисел (см. [158]), а все простые группы с таким условием были классифицированы Дж. Уильямсом [158] и Л.С. Кондратьевым [41].

Определение параметров группы по порядкам ее элементов также применяется в вычислительной теории групп, а именно, при разработке так называемых black-box алгоритмов, т.е. алгоритмов, не использующих специфические свойства представления группы, такие как множество неподвижных точек подстановки или жорданова форма матрицы (определения black-box группы и black-box алгоритма можно найти в [130, с. 16-17]). Так JI. Бабаи, У. Кантор, П. Палфи и А. Сереш [61] разработали алгоритм Монте-Карло, который определяет стандартное имя квазипростой группы лиева типа, заданной некоторым

множеством порождающих матриц, по статистике порядков элементов при условии, что характеристика этой группы известна. От последнего условия можно избавиться, поскольку У. Кантором и А. Серешем были предложены алгоритмы Монте-Карло и для нахождения характеристики: во-первых, это алгоритм, основанный на том, что характеристика простой группы лиева типа однозначно задается ее графом примарных чисел — некоторым аналогом графа простых чисел, также конструируемым из элементов спектра [111], и, во-вторых, алгоритм, базирующийся на том, что характеристика группы лиева типа может быть вычислена по трем наибольшим порядкам элементов при условии, что эта характеристика нечетна [112].

В 1986 г. В. Ши [131] обнаружил, что любая группа со спектром {1, 2, 3, 5} изоморфна простой группе PSX2(4) (эта самая маленькая по порядку неабелева простая группа известна также как PSL2(5) и Alts), а затем обобщил [132] этот результат, показав, что любая группа, изоспектральная простой группе PSL2(2k), изоморфна PSL2(2к) ( группы называются изоспектралънъши, если у них одинаковые спектры). Это открытие привело к постановке еще более общей проблемы: как устроены группы, изоспектральные данной неабелевой простой группе? Именно эта проблема рассматривается в настоящей диссертации.

Отметим, что множество групп, изоспектральных группе с нетривиальной нормальной разрешимой подгруппой, всегда бесконечно [49,141], и получить его удовлетворительное описание в общем случае представляется затруднительным. PI напротив, имеющиеся результаты позволяют предположить, что множество групп, изоспектральных неабелевой простой группе L, как правило, конечно и состоит из групп, достаточно близких к L.

Таким образом, диссертация посвящена классической задаче о характеризации конечной группы некоторыми арифметическими параметрами, причем в роли параметров выступает спектр группы, который, с одной стороны, является одним из самых естестве-ных числовых множеств, связанных с конечной группой, и, с другой стороны, достаточно хорошо задает группы из такого важного класса, как класс неабелевых простых групп.

Степень разработанности темы исследования

Обозначим через h[G) число различных, т.е. попарно пеизоморфных, конечных групп, имеющих такой же спектр, как у группы G. Если h(G) = 1, то будем говорить, что G распознаваема по спектру.

Согласно классификационной теореме конечных простых групп любая конечная неабелева простая группа является либо знакопеременной группой, либо группой лиева типа, либо одной из 26 спорадических групп. Все спорадические группы, кроме группы J2, и все знакопеременные группы степени больше четырех, кроме групп степеней шесть и десять, распознаваемы по спектру [25,116,122,132,133,135,137,141,143]. Строение групп, изоспектральных J2, AltG и Altiü описано в [56,120,122]. Таким образом, для спорадических и знакопеременных групп проблема полностью решена.

Обзор результатов, касающихся групп лиева типа, приведен в § 1.4. Как показывает этот обзор, группы лиева типа, для которых проблема была решена до настоящего ис-

следования, являются скорее исключением, чем правилом: это либо группы небольшого лиева ранга, либо группы, лиев ранг которых имеет крайне специальный вид (простое число или степень числа два), либо группы над полем небольшого порядка. Этот факт объясняется тем, что при исследовании проблемы возникает несколько вопросов, решение которых может быть не очень сложным в частных случаях или может быть осуществлено прямым перебором в случае ограниченных параметров, и которые становятся трудными в общем случае (многие из этих вопросов занесены в «Коуровскую тетрадь» [55]). Далее мы изложим эти вопросы.

При изучении групп, изоспектральных конечной группе Ь, естественно начать с групп, близких к Ь. Примером таких групп являются накрытия группы Ь, т.е. группы, гомоморфно отображающиеся на Ь. Накрытие называется собственным, если оно не изоморфно Ь. Группа Ь называется распознаваемой по спектру среди (своих) накрытий, если ее спектр отличен от спектра ее любого собственного накрытия. Роль накрытий в решении рассматриваемой проблемы становится еще более важной, если учесть, что Ь(Ь) бесконечно, если Ь нераспознаваема по спектру среди накрытий. Все спорадические и знакопеременные группы (даже нераспознаваемые по спектру) распознаваемы по спектру среди накрытий [36,122]. Вопрос состоит в том, верно ли это для простых групп лиева типа.

Проблема 1. Может ли спектр данной простой группы лиева типа совпадать со спектром ее собственного накрытия?

Как несложно показать, для решения проблемы 1 необходимо и достаточно рассматривать накрытия группы Ь, являющиеся естественным полупрямым произведением конечномерного ¿-модуля V и группы Ь (см. лемму 2.1.1). Если V — конечномерный ¿-модуль и Н — естественное полупрямое произведение У\Ь, то порядки элементов в смежном классе Уд группы Н совпадают с порядком элемента д тогда и тогда только тогда, когда минимальный аннулирующий многочлен элемента д и представлении па V делит (а;'3'—1)/{х— 1).

Таким образом, для решения проблемы 1 требуется информация о минимальных аннулирующих многочленах элементов группы Ь во всех ее представлениях над полями, характеристика которых лежит в спектре группы Ь. Безусловно, в некоторых случаях для некоторых характеристик требуемое свойство минимального многочлена элемента д Е Ь на V не зависит от самого модуля У. Например, это так, когда д может быть вложен в дополнение подгруппы Фробениуса группы Ь (см., например, [47, лемма 1]), пли когда группа Ь является уписингулярной [100]. Однако в общем случае этот многочлен зависит от модуля V, и поскольку явного описания неприводимых модулей групп лиева типа не существует, задача становится действительно сложной и требует детального и трудоемкого анализа подгруниового строения групп лиева типа для применения теорем типа Холла-Хигмэна или теорем о неподвижных точках элементов в представлениях простых алгебраических групп. Если исключить некоторые частные случаи групп над нолями характеристики 2 или 3, то серии групп лиева типа, для которых проблема 1 была решена к началу настоящего исследования, исчерпываются группами Ри и Сузуки [66,78,138], группами типа С?2 [24], группами типа Е8 [44], унитарными группами размерности три [33] и

линейными группами размерности, не равной четырем [34]. Для остальных серий групп проблема 1 была записана в [55] как вопросы 17.73 и 17.74.

В общем случае из распознаваемости группы L среди своих накрытий не следует, что h(L) конечно. Примером такой группы является группа Р5Хо(9), изоспектральная накрытию группы PSLо(4) [65]. Это пример демонстрирует важность следующей проблемы.

Проблема 2. Может ли среди неабелевых композиционных факторов группы, изо-спектральной данной простой группе лиева типа, быть фактор, не изоморфный этой простой группе?

Нсабслева простая группа S называется квазираспозиаваелюй по спектру, если у любой конечной группы, изоспектральной S, ровно один неабелев композиционный фактор и этот фактор изоморфен L. Согласно [12,13] если L — простая группа лиева типа, отличная от Р5Ьз(3), PSUs(3), PSpifö), то любая группа, изоспектральная L, имеет ровно один неабелев композиционный фактор, поэтому по сути решение проблемы 2 — это решение вопроса о квазираснознаваемости группы L.

Пусть L — простая группа лиева типа и пусть изоспектральная ей группа имеет неабелев композиционный фактор S. Если у L несвязный граф простых чисел, то по вышеупомянутой теореме Грюнберга-Кегеля у S тоже несвязный граф простых чисел, причем параметры групп L и S связаны некоторой системой уравнений, и эти уравнения существенно облегчают решение проблемы 2. К настоящему моменту проблема 2 решена для всех групп лиева типа с несвязным графом простых чисел, кроме некоторых серий линейных и унитарных групп и групп PSps(q), Q9(q) (см. [30,38-40,102-104] и обзор результатов в [43]). Отметим, что все исключительные группы, кроме групп типа £7, имеют несвязный граф простых чисел. Кроме того, недавно была анонсирована квазираснознаваемость группы Ej(q) [146]. Таким образом, можно считать, что группа лиева типа в проблеме 2 — это классическая группа. Классические группы, как правило, имеют связный граф простых чисел, и никакого общего подхода для решения проблемы 2 для них пет. Первый пример неограниченной как по размерности, так и по порядку поля серии квазираспознаваемых классических групп со связными графами простых чисел был указан в 2005 г. автором диссертации совместно с A.B. Васильевым [18].

Проблему 2 естественно разделить на несколько отдельных проблем в зависимости от того, является ли фактор S спорадической, знакопеременной или группой лиева типа. В последнем случае также имеет смысл провести границу между группами в характеристике, отличной от характеристики определения группы L, и группами в той же характеристике. При этом группы в той же характеристике представляют особый интерес, поскольку именно так устроена единственная известная бесконечная серия неквазираспознаваемых групп: для каждой из групп PSp±(q), где q не является нечетной степенью числа 3, существует изоспектральная ей группа с композиционным фактором PSL2(q2) [50].

Говорят, что для группы G решена проблемна распознаваемости по спектру, если либо h(G) конечно и известны все группы, изоспектральные G, либо h(G) бесконечно. Если неабелева простая группа L распознаваема среди накрытий и квазираспознаваема,

то любая конечная группа G, изоспектральная L, удовлетворяет условию L ^ G ^ Aut L. Значит, число h(L) конечно и panno числу попарно неизоморфных автоморфных расширении группы L, изоспектральных L. Это соображение приводит к постановке следующей проблемы (вопрос 17.36 в [55]).

Проблема 3. Для данной неабелевой простой группы лиева тина L классифицировать группы G, удовлетворяющие условию L < G ^ Aut L и изоспектральные L.

Решение проблемы 3 известно в частных случаях, когда G содержится в группе внутренне-диагональных автоморфизмов группы L или когда G является расщепляемым расширением группы L посредством «хороших автоморфизмов», т.е. автоморфизмов, индуцированных отображениями Фробениуса соответствующей простой алгебраической группы [33, предложение 13]. Также в некоторых случаях решение следует из классификации почти простых групп с несвязным графом простых чисел [118,119]. Однако никаких общих результатов о спектрах автоморфных расширений простых групп лиева типа нет.

Как уже было упомянуто, не все пеабелевы простые группы однозначно задаются своим спектром в классе всех конечных групп. В 1987 г. В. Шп [136] предположил, что однозначность будет достигнута, если к спектру добавить порядок, и в 1992 г. следующая проблема была записана в [55] как вопрос 12.39.

Проблема 4. Если L — простая группа и G — конечная группа с таким же спектром и порядком, как у L, верно ли, что G изоморфна L1

Отметим, что порядок, наряду со спектром, входит в число самых естественных арифметических параметров конечной группы. Известно, что по бернсайдову кольну конечной группы можно однозначно восстановить ее спектр и порядок [113], поэтому из положительного решения проблемы 4 в частности следует, что любая конечная простая группа однозначно задается своим бернсайдовым кольцом. Одинаковые спектр и порядок имеют ir группы, в которых для любого п уравнение хп = е имеет одинаковое число решений (иногда говорят, что такие группы разнотипны или имеют одинаковые порядковые последовательности). Известно, что группа, равнотшшая абелевон группе, будет ей изоморфна [123]. Также из справедливости гипотезы Фробениуса [110] следует, что группа, равнотнпная нильпотентной, будет нильпотентной и что группа, равнотшшая сверхразре-пшмой, будет разрешимой. Однако остается открытым вопрос Дж. Томпсона о том, будет ли группа, равнотшшая разрешимой, разрешима [55, вопрос 12.37].

Ясно, что проблема 4 решается положительно для абелевых простых групп и для распознаваемых по спектру групп. Более того, в серии работ [63,64,71,136,141,142,159] был получен положительный ответ для всех простых групп, кроме симилектических групп, ортогональных групп нечетной размерности и ортогональных групп PCl^n(q). Эта совокупность результатов позволяла предположить, что в скором времени положительный ответ будет получен и для оставшихся классических групп, однако ключевой момент в схеме доказательства, разработанной для классических групп в [71,142,159], использует свойство спектра, которым эти группы не обладают. Таким образом, требовалось найти новый подход к решению проблемы 4 в оставшихся случаях.

Цели и задачи

Основная цель диссертации — описать композиционное строение групп, изоспектраль-ных простым группам лиева типа. Для достижения этой цели планируется решить следующие задачи.

1. Решить проблему 1 о накрытиях для всех простых групп лиева типа достаточно большого лиева ранга.

2. Решить проблему 2 в случае, когда исходная простая группа и композиционный фактор изоспектральной ей группы являются группами лева типа над полем одной характеристики.

3. Предложить подход к полному решению проблемы 2, не эксплуатирующий специальный вид ранга или порядка поля определения рассматриваемой группы лиева типа, и с помощью этого подхода решить проблему 2 для линейных и унитарных групп над полями характеристики 2.

4. Разработать методы решения проблемы 3 для классических групп над полями характеристики 2 и с помощью этих методов дать полное решение проблемы распознаваемости для линейных и унитарных над полями характеристики 2.

5. Предложить новый подход к решению проблемы 4 и получить полное со решение.

Основные результаты диссертации

1. Доказано, что спектр любой конечной неабелевой простой группы, отличной от групп PSL,i(q), PSU.i(q), PSU^q), PSUs(2) и AD.j(2), не может совпадать со спектром ее собственного накрытия (теорема 1).

2. Доказано, что конечная группа, изоспектральная простой линейной или унитарной группе L размерности не менее пяти, не может иметь неабелев композиционный фактор, который не изоморфен L, но является группой лиева типа в той же характеристике, что и L (теорема 2).

3. Показано, что если конечная группа G изоспектральпа простой симплектической или ортогональной группе L размерности не менее девяти, то для неабелсвого композиционного фактора группы G, который не изоморфен L, но является группой лиева типа в той же характеристике, что и L, существует не более двух возможностей (теорема 3).

4. Получено полное решение проблемы распознаваемости по спектру для простых линейных и унитарных групп над нолями характеристики 2 (теорема 4).

5. Доказано, что любая конечная простая группа однозначно задается своими спектром и порядком в классе всех конечных групп, т. е. если L — конечная простая группа и G — конечная группа с такими же спектром и порядком, как у L, то G изоморфна L (теорема 5).

Результаты в пунктах 1-3 получены автором лично. Результаты пункта 4 получены совместно с A.B. Васильевым и В. Ши, при этом вклад автора диссертации является решающим. Результат пункта 5 получен в неразделимом соавторстве с A.B. Васильевым и В.Д. Мазуровым.

Научная новизна и значимость работы

Работа носит теоретический характер. Все полученные результаты являются новыми. Теорема 1 о накрытиях дает ответ на пункты б)-з) вопроса 17.73 и на вопрос 17.74 из [55]. По модулю предыдущих исследований из этого результата следует, что для любой простой исключительной группы лиева типа ¿, отличной от 3Д|(2), существует только конечное число групп с таким же спектром и все они являются почти простыми группами с цоколем, изоморфным ¿, и то же самое верно для любой квазираспознаваемой классической группы размерности больше пяти. По модулю предыдущих исследований теоремы 2 и 3 сводят вопрос квазираспознаваемости классических групп к вопросу о том, может ли группа, изоспектральная классической группе над полем характеристики р, иметь неа-белев композиционный фактор, являющийся группой лиева типа над полем характеристики, отличной от р. В теореме 4 впервые проблема распознаваемости полностью решена для всех классических групп данного типа в данной характеристике, без ограничений на размерность или порядок поля определения. Теорема 5 доказывает гипотезу В. Ши о ха-рактеризации простой группы ее спектром и порядком (вопрос 12.39 из [55]). Из этого результата и [113] следует положительный ответ на вопрос Т. Йошнды [160] о характери-зации группы ее бернсайдовым кольцом для всех конечных неабелевых простых групп. Результаты и методы работы могут быть использованы для дальнейших исследований как вопроса о группах, изоспектральных простым, так и других проблем теории групп. Они могут быть включены в спецкурсы для студентов и аспирантов, специализирующихся в области алгебры.

Методы исследования

В работе используются методы теории групп лиева типа, теории конечных групп, теории представлений линейных алгебраических групп, а также элементы теории чисел. Остановимся на некоторых из них более подробно.

В силу формул порядков простых групп лиева типа в любую задачу, касающуюся порядков элементов этих групп, оказываются вовлечены простые примитивные делители или числа Жигмонди (простые числа, делящие дп — 1 и не делящие ql — 1 при г < п), что приводит к интенсивному использованию результата Жигмонди [164] о существовании примитивных делителей, а также результатов о свойствах таких делителей [128].

Как было уже сказано, при исследовании спектров накрытий простой группы ¿ лиева типа необходимо и достаточно сравнить спектр группы ¿ со спектрами всех групп, устроенных как естественное полупрямое произведение У\Ь, где V — некоторый неприводимый конечномерный ¿-модуль на полем положительной характеристики г. Для этого, в свою очередь, необходима информация о минимальных аннулирующих многочленах элементов группы ¿ на V. Если г не совпадает с характеристикой определения группы ¿, то используется богатая система параболических подгрупп группы ¿ вместе с теоремой о действии дополнения группы Фробениуса [47] и теоремами типа Холла-Хигмэна для квазипростых классических групп [83]. Исключительные случаи, когда степень минимального многочлена меньше порядка элемента, описанные в [83], реализуются только для модулей Вей-

ля [98], и в этих случаях используются известные свойства этих модулей. Если г совпадает с характеристикой определения группы Ь, то конструкции, позволяющие использовать теорему о действии дополнения группы Фробснпуса [47] и теорему Холла-Хигмэиа [101], происходят не из параболических подгрупп, а из гораздо более бедного класса нормализаторов максимальных торов, что существенно ограничивает применение этого метода. С другой стороны, в этом случае теория Стейнберга [147] связывает представление Ь на V с представлением подходящей простой алгебраической группы, что позволяет привлечь результаты о минимальных многочленах элементов в модулях простых алгебраических групп, такие как [58,59,150,151]. Ключевой работой здесь является статья [151], в которой показано, что элемент простой односвязной алгебраической группы (!5 над алгебраически замкнутым полем достаточно большой характеристики имеет ненулевую неподвижную точку в любом ненулевом ©-модуле, если он имеет ненулевые неподвижные точки в некоторых специальных неприводимых ©-модулях, а именно в модулях, старший вес которых является микровесом.

В основе исследования проблемы квазираспознаваемости лежит результат о строении групп с большими кокликами в графе простых чисел из [12], который сводит задачу к изучению спектров накрытий почти простых групп. Используя для изучения спектров накрытий почти простых групп технику, описанную выше, мы показываем, что спектр неа-белева композиционного фактора 5 конечной группы, изоспектральной данной простой группе лиева типа Ь, должен содержать достаточно большие или достаточно специальные числа из спектра группы Ь (как правило, это числа Жигмонди и их произведения). Полученные ограничения па спектр фактора Б вместе с известными результатами о спектрах простых групп [6,7,13,14,79,80,154] позволяют ограничить круг возможностей для 5. Более того, в случае, когда 5 — группа лиева типа в той же характеристике, что и Ь. мы предлагаем метод, основанный на сравнении вершин, несмежных с характеристикой в графах простых чисел групп в и Ь, позволяющий установить, что 5 — это, как правило, группа над полем того же порядка, что и Ь, и того же, или отличающегося на единицу, лиева ранга.

Основу изучения спектров автоморфных расширений групп лиева типа естественным образом представляет теорема Стейнберга [148] о представлении любого автоморфизма группы лиева типа в виде произведения внутреннего, диагонального, нолевого и графового автоморфизмов. Также используется результат из [33], который выражает спектры некоторых автоморфных расширений групп лиева типа через спектры централизаторов элементов этих расширении.

При изучении групп С, имеющих такой же спектр и порядок, как данная классическая группа Ь, мы сначала применяем известные или полученные в диссертации результаты о группах, изоспектральных Ь. Это сводит задачу к случаю, когда С является накрытием почти простой группы, цоколь Б которой — это группа лиева типа в характеристике V, отличной от характеристики определения группы Ь (именно этот случай не мог быть исключен методами из [71,142,159]). Так же, как выше, мы устанавливаем, что

S содержит достаточно большой (в терминах размерности и поля определения группы L) элемент из спектра L. Из этого выводится, что у S большой ранг или большой порядок поля определения, и, значит, большая силовская w-подгруппа. Тогда у G и, следовательно, у L тоже большая силовская f-подгруппа, однако из формул порядков групп лиева типа следует, что порядки кросс-характеристических силовских подгрупп группы лиева типа малы но сравнению с ее порядком. Формализуя эти рассуждения в виде точных неравенств, мы приходим к тому, что S не может быть группой в другой характеристике.

Апробация результатов

Результаты работы и их доказательства опубликованы в рецензируемых научных изданиях, удовлетворяющих требованиям, предъявляемым Положением о присуждении ученых степеней [19-21,23,26-29,90-92,94,95].

Также результаты докладывались на следующих конференциях: Международная конференция «Алгебра и ее приложения» (Красноярск, 12-18 августа 2007 г.), Международный российско-китайский семинар «Алгебра и логика» (Иркутск, 6-11 августа 2007 г.), конференция «Математика в современном мире», посвященная 50-летию Института математики СО РАН (Новосибирск, 17-23 сентября 2007 г.), Международная алгебраическая конференция, посвященная 100-летию со дня рождения А.Г. Куроша (Москва, 28 мая -3 июня 2008 г.), Седьмая международная школа-конференция по теории групп, посвященная 60-летию A.C. Кондратьева (Челябинск, 3 — 9 августа 2008 г.), Международная алгебраическая конференция, посвященная 80-летию со дня рождения А.И. Кострикина (Нальчик, 6-12 июля 2009 г.), Международная конференция "Groups St Andrews 2009" (Великобритания, Бат, 1-15 августа 2009 г.), Международная конференция «Мальцевские чтения-2010» (Новосибирск, 2-6 мая 2010 г.), Международная алгебраическая конференция, посвященная 70-летию A.B. Яковлева (Санкт-Петербург, 19-24 июня 2010 г.), международная конференция "Groups and their actions" (Польша, Бедлево, 23-28 августа 2010 г.), 42-я Всероссийская молодежная школа-конференция "Современные проблемы математики" (Екатеринбург, 29 января-5 февраля 2011 г.), Международная конференция по алгебре и геометрии, посвященная 80-летию со дня рождения А.И. Старостина (Екатеринбург, 22-27 августа 2011 г.), Международная конференция «Мальцевские чтения-2011» (Новосибирск, 11-14 октября 2011 г.), Международная конференция по теории групп, посвященная 70-летию В.Д. Мазурова (Новосибирск, 16-20 июля 2013 г.)

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Гречкосеева, Мария Александровна, 2014 год

Список литературы

[1] Алеева М. Р. О конечных простых группах с множеством порядков элементов, как у группы Фробениуса или двойной группы Фробениуса // Матем. заметки. — 2003. — Т. 73, № 3. - С. 323-339.

[2] Алексеева О. А. Квазираспознаваемость по множеству порядков элементов групп 3£Ш, д четно // Алгебра и логика. — 2006. — Т. 45, № 1. — С. 3-19.

[3] Алексеева О. А., Кондратьев А. С. Квазираспознаваемость одного класса конечных простых групп по множеству порядков элементов // Сиб. матем. журн..— 2003.— Т. 44, № 2. - С. 241-255.

[4] Алексеева О. А., Кондратьев А. С. Квазираспознаваемость по множеству порядков элементов групп лБл(д) и Ел(д) для нечётного д / / Алгебра и логика. — 2005. — Т. 44, № 5. - С. 517-539.

[5] Алексеева О. А., Кондратьев А. С. Распознаваемость по спектру групп 2-Ор(3) для нечетного простого числа р // Тр. ИММ УрО РАН. — 2008. — Т. 14, № 4. — С. 3-11.

[6] Бутурлакин А. А. Спектры конечных линейных и унитарных групп // Алгебра и логика. - 2008. - Т. 47, № 2. — С. 157-173.

[7] Бутурлакин А. А. Спектры конечных симплектичсских и ортогональных групп // Матем. тр. - 2010. - Т. 13, № 2. — С. 33-83.

[8] Бутурлакин А. А. Спектры конечных простых групп Ее(д) и 2Е6(д) // Алгебра и логика. - 2013. - Т. 52, № 3. - С. 284-304.

[9] Бутурлакин А. А., Гречкосеева М. А. Циклическое строение максимальных торов в конечных классических группах // Алгебра и логика. — 2007. — Т. 46, № 2. — С. 129156.

[10] Васильев А. В. Минимальные подстановочные представления конечных простых исключительных групп типов Ес>, Е7 и Е8 // Алгебра и логика. — 1997. — Т. 36, № 5. — С. 518-530.

[11] Васильев А. В. О распознавании всех конечных неабелевых простых групп, простые делители порядков которых не превосходят 13 // Сиб. матем. жури. — 2005. — Т. 46, № 2.-С. 315-324.

[12] Васильев А. В. О связи между строением конечной группы и свойствами ее графа простых чисел // Сиб. матем. журн. — 2005. — Т. 46, № 3. — С. 511-522.

[13] Васильев А. В., Вдовии Е. П. Критерий смежности в графе простых чисел конечной простой группы // Алгебра и логика. — 2005. — Т. 44, № 6. — С. 682-725.

[14] Васильев А. В., Вдовин Е. П. Коклики максимального размера в графе простых чисел конечной простой группы // Алгебра и логика. — 2011. — Т. 50, № 4. — С. 425470.

[15] Васильев А. В., Горшков И. Б. О распознавании конечных простых групп со связным графом простых чисел // Сиб. матем. журн. - 2009. - Т. 50, Я» 2, — С. 292-299.

[16] Васильев А. В., Горшков И. Б., Гречкосеева М. А., Кондратьев А. С., Староле-тов А. М. О распознаваемости по спектру конечных простых групп типов Вп, Сп, 2 Д, при п = 2к 11 Тр. ИММ УрО РАН. - 2009. - Т. 15, № 2. - С. 58-73.

[17] Васильев А. В., Гречкосеева М. А. О распознаваемости конечных простых ортогональных групп размерности 2Ш, 2т+1, и 2т+2 над полем характеристики 2 // Сиб. матем. журн. - 2004. - Т. 45, № 3. - С. 512-526.

[18] Васильев А. В., Гречкосеева М. А. О распознавании по спектру конечных простых линейных групп над полями характеристики 2 // Сиб. матем. журн. — 2005. — Т. 46, № 4. - С. 749-758.

[19] Васильев А. В., Гречкосеева М. А. Распознавание по спектру конечных простых линейных групп малых размерностей над полями характеристики 2 // Алгебра и логика. - 2008. - Т. 47, № 5. - С. 558-570.

[20] Васильев А. В., Гречкосеева М. А., Мазуров В. Д. О конечных группах, изоспек-тральных простым симплектическим и ортогональным группам // Сиб. матем. журн. - 2009. - Т. 50, № 6. - С. 1225-1247.

[21] Васильев А. В., Гречкосеева М. А., Мазуров В. Д. Характеризация конечных простых групп спектром и порядком // Алгебра и логика. - 2009. — Т. 48, № 6. — С. 685728.

[22] Васильев А. В., Гречкосеева М. А., Мазуров В. Д., Чао X. П., Чен Г. Ю., Ши В. Д. Распознавание конечных простых групп Д4(2Ш) но спектру // Сиб. матем. журн,— 2004. - Т. 45, № 6. - С. 1256-1262.

[23] Васильев А. В., Гречкосеева М. А., Старолетов А. М. О конечных группах, изоспек-тральных простым линейным и унитарным группам // Сиб. матем. жури. — 2011. — Т. 52, №1.-С. 39-53.

[24] Васильев А. В., Старолетов А. М. Распознаваемость групп ¿?2(д) 1Ю спектру // Алгебра и логика. - 2013. - Т. 52, № 1. — С. 3-21.

[25] Горшков И. Б. Распознаваемость знакопеременных групп по спектру // Алгебра и логика. - 2013. - Т. 52, № 1. - С. 57-63.

[26] Гречкосеева М. А. О различии спектров простых групп Bn(q) и Cn(q) // Сиб. матем. жури. - 2007. - Т. 48, № 1. — С. 89-92.

[27] Гречкосеева М. А. Распознавание по спектру конечных простых линейных групп над полями характеристики 2 // Алгебра и логика. — 2008. — Т. 47, № 4. — С. 405-427.

[28] Гречкосеева М. А. О спектрах накрытий конечных простых классических групп // Доклады АН. - 2011. - Т. 439, № 2. - С. 156-158.

[29] Гречкосеева М. А. О порядках элементов в накрытиях конечных простых групп // Алгебра и логика. — 2013. — Т. 52, № 5. — С. 638-641.

[30] Гречкосеева М. А., Лыткин Д. В. Почти распознаваемость по спектру конечных простых линейных групп простой размерности // Сиб. матем. журн. — 2012. — Т. 53, № 4,- С. 805-818.

[31| Дарафшех М. Р., Садрудини А. Характеризация простой группы PSL^(b) по множеству порядков ее элементов // Сиб. матем. журн. — 2008. — Т. 49, № 3. — С. 528-533.

[32] Заварницин А. В. Порядки элементов в накрытиях групп Ln(q) и распознаваемость знакопеременной группы A\q\ препринт № 48. — Новосибирск: НИИДМИ, 2000.

[33] Заварницин А. В. Распознавание простых групп U-¿(q) по порядкам элементов // Алгебра и логика. - 2006. - Т. 45, № 2. - С. 185-202.

[34] Заварницин А. В. Свойства порядков элементов в накрытиях групп Ln(q) и Un(q) // Сиб. матем. журн. - 2008. - Т. 49, № 2. - С. 308-321.

[35] Заварницин А. В. Конечные группы с пятикомпонентным графом простых чисел // Сиб. матем. журн. - 2013. - Т. 54, № 1. - С. 57-64.

[36] Заварницин А. В., Мазуров В. Д. Порядки элементов в накрытиях симметрических и знакопеременных групп // Алгебра и логика.— 1999.— Т. 38, № 3. — С. 296-315.

[37] Заварницин А. В., Мазуров В. Д. О порядках элементов в накрытиях простых групп Ьп(ч) и Un{q) // Тр. PIMM УрО РАН. - 2007. - Т. 13, № 1. - С. 89-98.

[38] Зиновьева М. Р. Распознавание по спектру простых групп Ср(3) // Тр. ИММ УрО РАН. - 2010. - Т. 16, № 3. - С. 88-95.

[39] Зиновьева М. Р. Распознавание по спектру простых групп Ср{2) // Тр. ИММ УрО РАН. - 2011. - Т. 17, № 4. - С. 102-113.

[40] Зиновьева М. Р., Шеи Р., Ши В. Распознавание простых групп Вр{3) по множеству порядков элементов // Сиб. матем. журн. — 2010.— Т. 51, Л'2 2.— С. 303-315.

[41] Кондратьев А. С. О компонентах графа простых чисел конечных простых групп // Матем. сб. - 1989. - Т. 180, № 6. - С. 787-797.

[42] Кондратьев А. С. Квазираспознаваемость по множеству порядков элементов групп E6{q) и 2E6(q) // Сиб. матем. ж. — 2007. - Т. 48, № 6. - С. 1250-1271.

[43] Кондратьев А. С. О распознаваемости по спектру конечных простых ортогональных групп, II // Владикавк. матем. журн. 2009. — Т. 11, № 4. — С. 32-43.

[44] Кондратьев А. С. Распознаваемость по спектру групп Eg(q) // Тр. ИММ УрО РАН. - 2010. - Т. 16, № 3. - С. 146-149.

[45| Кондратьев А. С. Распознаваемость групп Е7(2) и Е7(3) по графу простых чисел // Тр. ИММ УрО РАН. - 2014. - Т. 20, № 2. - С. 223-229.

[46] Кондратьев А. С., Мазуров В. Д. Распознавание знакопеременных групп простой степени по порядкам их элементов // Сиб. матем. журн.— 2000.— Т. 41, № 2.— С. 359-369.

[47] Мазуров В. Д. О множестве порядков элементов конечной группы // Алгебра и логика. — 1994. - Т. 33, № 1. - С. 81-89.

[48] Мазуров В. Д. Характеризация конечных групп множествами порядков их элементов // Алгебра и логика. - 1997. — Т. 36, № 1. - С. 37-53.

[49] Мазуров В. Д. Распознавание конечных групп по множеству порядков их элементов // Алгебра и логика. — 1998. — Т. 37, № 6. — С. 651-666.

[50] Мазуров В. Д. Распознавание конечных простых групп 64(g) по порядкам их элементов // Алгебра и логика. — 2002. — Т. 41, № 2. — С. 166-198.

[51] Мазуров В. Д. Группы с заданным спектром // Изв. Урал. гос. ун-та. Серия Математика и механика. — 2005.— Т. 36. — С. 119-138.

[52] Мазуров В. Д. Нераспознаваемость конечной простой группы AD4(2) по спектру // Алгебра и логика. - 2013. - Т. 52, № 5. - С. 601-605.

[53] Мазуров В. Д., Су М., Чао X. Распознавание конечных простых групп L3(2m) и U3(2'") по порядкам их элементов // Алгебра и логика.— 2000.— Т. 39, № 5.— С. 567-585.

[54] Мазуров В. Д., Чен Г. Ю. Распознаваемость по спектру конечных простых групп L4(2m) и U4(2т) // Алгебра и логика. - 2008. - Т. 47, № 1.- С. 83-93.

[55] Нерешенные вопросы теории групп. Коуровская тетрадь / Под ред. В. Д. Мазуров, Е.И. Хухро. — 17 изд. — Новосибирск: Институт математики СО РАН, 2010. — 218 с.

[56] Старолстов А. М. Группы, изосиектральные знакопеременной группе степени 10 // Сиб. матем. ж. - 2010. — Т. 51, № 3. - С. 638-648.

[57] Старолетов А. М. О распознаваемости по спектру простых групп B$(q), С:$(/]) и D4(q) И Сиб. матем. жури. - 2012. - Т. 53, № 3. - С. 663-671.

[58] Супруненко PL Минимальные полиномы унииотентных элементов в неприводимых представлениях специальной линейной группы над полем характеристики два // Доклады НАН Беларуси. - 2003. - Т. 47, № 5. - С. 9-13.

[59] Супруненко И. Минимальные полиномы унипотентных элементов в неприводимых представлениях симплектической группы над полем характеристики два // Доклады НАН Беларуси. — 2004. — Т. 48, № 1. — С. 28-31.

[60] Aschbacher М., Seitz G. М. Involutions in Chevalley groups over fields of even order // Nagoya Math. J. - 1976. — Vol. 63. - P. 1-91.

[61] Babai L., Kantor W. M., Palfy P. P., Seress A. Black-box recognition of finite simple groups of Lie type by statistics of element orders //J. Group Theory. — 2002,— Vol. 5, no. 4,- P. 383-401.

[62] Babai L., Shalev A. Recognizing simplicity of black-box groups and the frequency of p-singular elements in affine groups // Groups and computation, III (Columbus, OH, 1999).- de Gruyter, Berlin, 2001. - P. 39-62.

[63] Bi J., Shi W. A characterization of Suzuki-Ree groups // Sci. China Ser. A. — 1991.— Vol. 34, no. 1,- P. 14-19.

[64] Bi J., Shi W. A new characterization of the alternating groups // Southeast Asian Bull. Math. - 1992,- Vol. 16, no. 1,- P. 81-90.

[65] Brandl R., Shi W. Finite groups whose element orders are consecutive integers //J. Algebra. — 1991. - Vol. 143, no. 2. - P. 388-400.

[66] Brandl R., Shi W. A characterization of finite simple groups with abelian Sylow 2-subgroups // Ricerche Mat. - 1993,- Vol. 42, no. 1,- P. 193-198.

[67] Brandl R., Shi W. The characterization of PSL(2, q) by its element orders // Л. Algebra. — 1994.-Vol. 163, no. l.-P. 109-114.

[68] Bray J., Holt D., Roney-Dougal C. Certain classical groups are not well-defined // J. Group Theory. - 2009. - Vol. 12, no. 2. - P. 171-180.

[69] Bray J., Holt D., Roney-Dougal C. The maximal subgroups of the low-dimensional finite classical groups. — Cambridge University Press, Cambridge, 2013. — xiv+438 pp.

[70] Burnside W. On a class of groups of finite order // Trans. Cambridge Phil. Soc. — 1900. — Vol. 18. - P. 269-276.

[71] Cao H., Shi W. Pure quantitative characterization of finite projective special unitary groups // Sei. China Ser. A. — 2002. - Vol. 45, no. 6. - P. 761-772.

[72] Carter R. W. Centralizers of semisimple elements in finite groups of Lie type // Proc. Lond. Math. Soc. (3).- 1978. — Vol. 37, — P. 491-507.

[73] Carter R. W. Centralizers of semisimple elements in the finite classical groups // Proc. Lond. Math. Soc. (3). - 1981. — Vol. 42. - P. 1-41.

[74] Carter R. W. Finite groups of Lie type. Conjugacy classes and complex characters. — John Wiley & Sons, New York, 1985. — xii+544 pp.

[75] Conway J. H., Curtis R. T., Norton S. P., Parker R. A., Wilson R. A. Atlas of finite groups. — Clarendon Press, Oxford, 1985. — xxxiv+252 pp.

[76] Darafsheh M. R. On the recognition of the simple groups L7(3) and L8(3) by the spectrum // Int. J. Algebra Comput. — 2008. — Vol. 18, no. 5. - P. 925-033.

[77] Darafsheh M. R., Moghaddamfar A. R. A characterization of some finite groups by their element orders // Algebra Colloq. - 2000. - Vol. 7, no. 4. - P. 467-476.

[78] Deng H., Shi W. The characterization of Ree groups 2F4(q) by their element orders //J-Algebra. - 1999. - Vol. 217, no. 1. — P. 180-187.

[79] Deriziotis D. I. The centralizers of semisimple elements of the Chevalley groups E7 and Eg // Tokyo J. Math. - 1983. — Vol. 6, no. 1. - P. 191-216.

[80] Deriziotis D. I. Conjugacy classes of centralizers of semisimple elements in finite groups of Lie type. — Universität Essen Fachbereich Mathematik, Essen, 1984. — iii+148 pp.

[81] Deriziotis D. I., Fakiolas A. P. The maximal tori in the finite Chevalley groups of type Ee, E7 and Eg // Commun. Algebra. - 1991. - Vol. 19, no. 3. - P. 889-903.

[82] Deriziotis D. I., Michler G. O. Character table and blocks of finite simple triality groups [iD4(q) // Trans. Amer. Math. Soc. - 1987. - Vol. 303. - P. 39-70.

[83] Di Martino L., Zalesskii A. Minimum polynomials and lower bounds for eigenvalue multiplicities of prime-power order elements in representations of classical groups //J. Algebra. - 2001. - Vol. 243, no. 1. - P. 228-263.

[84] Di Martino L., Zalesskii A. Corrigendum to "Minimum polynomials and lower bounds for eigenvalue multiplicities of prime-power order elements in representations of classical groups" // J. Algebra. - 2006. — Vol. 260, no. 1. - P. 249-252.

[85] Feit W., Thompson J. G. Solvability of groups of odd order // Pacific. J. Math. — 1963. — Vol. 13. - P. 775-1029.

[86] The GAP Group, GAP - Groups, Algorithms, and Programming, Version 4.4.12.— http://www.gap-system.org. — 2008.

[87] Gerardin P. Weil representations associated to finite fields // J. Algebra.— 1977.— Vol. 46, no. l.-P. 54-101.

[88] Gorenstein D. Finite groups. — Harper & Row Publishers, New York, 1968. — xv+527 pp.

[89] Gorenstein D., Lyons R., Solomon R. The classification of the finite simple groups. Number 3. — American Mathematical Society, Providence, RI, 1998. — xvi+419 pp.

[90] Grechkoseeva M. A. Quasirecognizability of simple unitary groups over fields of even order // Сиб. электрон, матем. изв. — 2010. — Т. 7. — С. 435-444.

[91] Grechkoseeva М. A. On element orders in covers of finite simple classical groups // Л. Algebra. - 2011. - Vol. 339. - P. 304-319.

[92] Grechkoseeva M. A. On element orders in covers of finite simple groups of Lie type // J. Algebra Appl. (принято к печати). См. также arXiv:1401.7462 [math.GR].

[93] Grechkoseeva М. A., Lucido М. S., Mazurov V. D., Moghaddamfar A. R., Vasil'ev A. V. On recognition of the projective special linear groups over binary fields // Сиб. электрон, матем. изв. - 2005. - Т. 2. - С. 253-263.

[94] Grechkoseeva М. A., Shi W. J. On finite groups isospectral to finite simple unitary groups over fields of characteristic 2 // Сиб. электрон, матем. изв. — 2013. — Т. 10. — С. 31-37.

[95] Grechkoseeva М. A., Shi W., Vasil'ev А. V. Recognition by spectrum of Ll6(2m) // Algebra Colloq. - 2007. - Vol. 14, no. 4. - P. 585-591.

[96] Grechkoseeva M. A., Shi W., Vasil'ev A. V. Recognition by spectrum for finite simple groups of Lie type // Front. Math. China— 2008. — Vol. 3, no. 2. — P. 275-285.

[97] Gruenberg K. W., Roggenkamp K. W. Decomposition of the augmentation ideal and of the relation modules of a finite group // Proc. London Math. Soc. (3). — 1975. — Vol. 31, no. 2. - P. 149-166.

[98] Guralnick R. M., Magaard K., Saxl J., Tiep P. H. Cross characteristic representations of symplectic and unitary groups //J. Algebra. - 2002. - Vol. 257, no. 2. — P. 291-347.

[99] Guralnick R. M., Magaard K., Saxl J., Tiep P. H. Addendum to "Cross characteristic representations of symplectic and unitary groups" //J. Algebra.— 2006.— Vol. 299.— p. 443-446.

[100] Guralnick R., Tiep P. Finite simple unisingular groups of Lie type //J. Group Theory. — 2003. - Vol. 6, no. 3. - P. 271-310.

[101] Hall P., Higman G. On the p-length of p-soluble groups and reduction theorem for Burnside's problem // Proc. London Math. Soc. — 1956. — Vol. 6, no. 3. — P. 1-42.

[102] He H. A characterization of Q(2p + 1,2) by the spectrum // South Asian J. Math.— 2011.- Vol. 1,- P. 1-4.

[103] He H., Shi W. A note on the adjacency criterion for the prime graph and characterization of Cp{3) // Algebra Colloq. - 2012. - Vol. 19, no. 3. - P. 553-562.

[104] He H., Shi W. J. Recognition of some finite simple groups of type Dn(q) by spectrum // Int. J. Algebra Comput. - 2009. - Vol. 19, no. 5. - P. 681-698.

[105] Hestenes M. D. Singer groups // Canad. J. Math. - 1970. - Vol. 22,- P. 492-513.

[106] Higman G. Finite groups in which every element has prime power order // J. London Math. Soc. - 1957. - Vol. 32. - P. 335-342.

[107] Hiss G., Malle G. Low-dimensional representations of special unitary groups // J. Algebra. - 2001. - Vol. 236, no. 2. - P. 745-767.

[108] Huppert B. Endliche Gruppen. I. — Springer-Verlag, Berlin, 1967. — xii+793 pp.

[109] Huppert B., Blackburn N. Finite groups. II. — Springer-Verlag, Berlin-New York, 1982. — xiii+531 pp.

[110] Iiyori N. A conjecture of Frobenius and the simple groups of Lie type. IV // J. Algebra. — 1993.-Vol. 154, no. 1. —P. 188-214.

[111] Kantor W., Seress A. Prime power graphs for groups of Lie type // J. Algebra. — 2002. — Vol. 247, no. 2. - P. 370-434.

[112] Kantor W. M., Seress A. Large element orders and the characteristic of Lie-type simple groups //J. Algebra. - 2009. — Vol. 322, no. 3. - P. 802-832.

[113] Kimmerle W., Luca F., Raggi-Cardenas A. G. Irreducible components and isomorphisms of the Burnside ring //J. Group Theory. — 2008. - Vol. 11, no. 6. - P. 831-844.

[114] Kleidman P., Liebeck M. The subgroup structure of the finite classical groups.— Cambridge University Press, Cambridge, 1990. — x+303 pp.

115] Kondrat'ev A. S. Recognition by spectrum of the groups 2D2m+1(3) // Sci. China Ser. A. — 2009. - Vol. 52, no. 2. - R 293-300.

116] Li H., Shi W. A characterization of some sporadic simple groups // Chinese Ann. Math. Ser. A. - 1993. - Vol. 14, no. 2. - R 144-151.

117] Lipschutz S., Shi W. Finite groups whose element orders do not exceed twenty // Progr. Natur. Sci. - 2000. - Vol. 10, no. 1. - P. 11-21.

118] Lucido M. S. Prime graph components of finite almost simple groups // Rend. Scmin. Mat. Univ. Padova. - 1999. - Vol. 102. - P. 1-22.

119] Lucido M. S. Addendum to "Prime graph components of finite almost simple groups" // Rend. Semin. Mat. Univ. Padova. - 2002. - Vol. 107.- P. 189-190.

120] Lytkin Y. V. On groups critical with rcspect to a set of natural numbers // Сиб. электрон, матем. изв. - 2013.- Т. 10,- С. 666-675.

121] Mazurov V. D., Moghaddamfar A. R. The recognition of the simple group 5a(2) by its spectrum // Algebra Colloq. — 2006. — Vol. 13, no. 4. — P. 643-646.

122] Mazurov V. D., Shi W. A note to the characterization of sporadic simple groups // Algebra Colloq. - 1998. - Vol. 5, no. 3. - P. 285-288.

123] McHaffey R. Isomorphism of finite abelian groups // Amer. Math. Monthly. — 1965. — Vol. 72. - P. 48-50.

124] Momen Z., Khosravi B. Groups with the same prime graph as the orthogonal group Бп(3) // Sibirsk. Mat. Zh. — 2013. — Vol. 54, no. 3,- P. 620-636.

125] Neumann В. II. Groups whose elements have bounded orders //J. Loud. Math. Soc.— 1937.-Vol. 12.-P. 195-198.

126] Nozawa S. Characters of the finite general unitary group [7(5, q2) // J. Fac. Sci. Univ. Tokyo Sect. IA Math. - 1976. - Vol. 23, no. 1. - P. 23-74.

127] Praeger С. E., Shi W. A characterization of some alternating and symmetric groups // Commun. Algebra. - 1994. - Vol. 22, no. 5. - P. 1507-1530.

128] Roitman M. On Zsigmondy primes // Proc. Amer. Math. Soc. — 1997. — Vol. 125, no. 7. — P. 1913-1919.

129] Seitz G. M. Some representations of classical groups //J. London Math. Soc. (2).— 1975. - Vol. 10. - P. 115-120.

130] Seress A. Permutation group algorithms.— Cambridge University Press, Cambridge, 2003. — Vol. 152 of Cambridge Tracts in Mathematics. — x+264 pp.

[131] Shi W. A characteristic property of A5 // J. Southwest-China Teach. Univ. — 1986.— Vol. 11. — P. 11-14.

[132] Shi W. A characterization of Jx and PSL2(2") // Adv. in Math. (Beijing). - 1987.— Vol. 16,- P. 397-401.

[133] Shi W. A characteristic property of the Mathieu groups // Chinese Ann. Math. Ser. A. —

1988. - Vol. 9, no. 5. - P. 575-580.

[134] Shi W. On the simple ^-groups. //J. Southwest Teach. Univ. Ser. B. — 1988. — Vol. 13, no. 3. - P. 1-4.

[135] Shi W. A characterization of the Conway simple group Co2 //J- Math. (Wuhan).—

1989.-Vol. 9, no. 2.-P. 171-172.

[136] Shi W. A new characterization of the sporadic simple groups // Group theory (Singapore, 1987).- de Gruyter, Berlin, 1989, — P. 531-540.

[137] Shi W. A characterization of the Higman-Sims simple group // Houston J. Math.-

1990. - Vol. 16, no. 4. - P. 597-602.

[138] Shi W. A characterization of Suzuki's simple groups // Proc. Amer. Math. Soc. — 1992. -Vol. 114, no. 3.- P. 589-591.

[139] Shi W. J. A characterization of the finite simple group £/4(3) // An. Univ. Timi§oara Ser. §tiin£. Mat. - 1992. - Vol. 30, no. 2-3. - P. 319-323.

[140] Shi W. J. On a problem of E. Artin // Acta Math. Sinica. - 1992. - Vol. 35, no. 2. -P. 262-265.

[141] Shi W. The charactcrization of the sporadic simple groups by their element orders // Algebra Colloq. - 1994. - Vol. 1, no. 2. - P. 159-166.

[142] Shi W., Bi J. A characteristic property for each finite projective special linear group // Groups-Canberra 1989. - Springer, Berlin, 1990, — P. 171-180.

[143] Shi W., Li H. A charactcrization of M12 and PSU(6, 2) // Acta Math. Sinica. — 1989. — Vol. 32, no. 6. - P. 758-764.

[144] Shi W., Tang C. A characterization of some orthogonal groups // Progr. Natur. Sci.— 1997. - Vol. 7, no. 2. - P. 155-162.

[145] Springer T. A., Steinberg R. Conjugacy classes // Seminar 011 algebraic groups and related finite groups / Ed. by A. Borel. - Springer, Berlin, 1970. - P. 167-266.

[146] Staroletov A. M., Vasil'ev A. V. On finite groups isospectral to finite simple exceptional groups of type E7 // Тезисы докладов XI Белорусской математической конференции (Минск, 2012).— Минск: Институт математики НАН Беларуси, 2012.— С. 69-70.

147] Steinberg R. Endomorphisms of linear algebraic groups. — American Mathematical Society, Providence, RI, 1968. — 108 pp.

148] Steinberg R. Lectures on Chevalley groups. — Yale University, New Haven, Conn., 1968. — iii+277 pp.

149] Stensholt E. Certain emdeddings among finite groups of Lie type // J. Algebra. — 1978. — Vol. 53. - P. 136-187.

150] Suprunenko I. D. The minimal polynomials of unipotent elements in irreducible representations of the classical groups in odd characteristic // Mem. Amer. Math. Soc. — 2009. - Vol. 200, no. 939. - vi+154 pp.

151] Suprunenko I. D., Zalesski A. E. Fixed vectors for elements in modules for algebraic groups // Int. J. Algebra Comput. - 2007. - Vol. 17, no. 5-6. — P. 1249-1261.

152] Suzuki M. Finite groups with nilpotent centralizers // Trans. Amer. Math. Soc.— 1961.— Vol. 99. - P. 425-470.

153] Suzuki M. On a class of doubly transitive groups // Ann. of Math. (2).— 1962,— Vol. 75. - P. 105-145.

154] Testerman D. M. v4i-type overgroups of elements of order p in semisimple algebraic groups and the associated finite groups // J. Algebra. — 1995. — Vol. 177, no. 1,— P. 34-76.

155] Vasil'ev A. V. On finite groups isospectral to simple classical groups // arXiv:1405.4374 [math.GR].

156] Veldkamp F. D. Regular elements in anisotropic tori // Contributions to Algebra (Collection of papers dedicated to Ellis Kolchin). — Academic Press, New York, 1977. — P. 389-424.

157] Ward H. N. On Ree's series of simple groups // Trans. Amer. Math. Soc. — 1966. — Vol. 121.— P. 62-89.

158] Williams J. S. Prime graph components of finite groups //J. Algebra. — 1981. — Vol. 69. — P. 487-513.

159] Xu M., Shi W. Pure quantitative characterization of finite simple groups 2Dn(q) and Di{q) (I odd) // Algebra Colloq. - 2003. - Vol. 10, no. 3. - P. 427-443.

160] Yoshida T. On the Burnside rings of finite groups and finite categories // Commutative algebra and combinatorics (Kyoto, 1985). — North-Holland, Amsterdam, 1987. — P. 337353.

161] Zavarnitsine A. V. Recognition of the simple groups L3(q) by element orders //J. Group Theory. - 2004. - Vol. 7, no. 1. - P. 81-97.

characteristic // Сиб. электрон, матем. изв. — 2008. — Т. 5. — С. 65-74.

[163] Zavarnitsine А. V. Finite simple groups with narrow prime spectrum // Сиб. электрон, матем. изв. - 2009. - Т. 6. - С. 1-12.

[164] Zsigmondy К. Zur Theorie der Potenzreste // Monatsh. Math. Phys. — 1892. — Vol. 3. — P. 265-284.