Группы Шункова с дополнительными ограничениями тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, доктор физико-математических наук Шлепкин, Анатолий Константинович

• Шлепкин, Анатолий Константинович
• доктор физико-математических наук
• 1998

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Шлепкин, Анатолий Константинович

Содержание

1 Введение

2 Известные результаты

1 О группах с нормальной компонентой расщепления

1.1 Определения, вспомогательные леммы

1.2 О локально конечном радикале группы из класса ШПб

1.3 О некоторых подгруппах группы Сб^Пб

1.4 Свойства не локально конечных групп из класса 21 П (5

2 Некоторые свойства групп Шункова

2.1 Определения

2.2 О существовании бесконечных локально конечных подгрупп

2.3 О характере вложения бесконечных локально конечных подгрупп

2.4 Факторгруппы групп Шункова

2.5 О существовании д-полной части

3 Группы с примарной минимальностью

3.1 Группы без инволюций

3.2 Свойства основного контрпримера

3.3 Случай разрешимых конечных подгрупп

3.4 0 2-полной части

3.5 Случай полных абелевых 2-подгрупп

3.6 Случай локально диэдральных групп

4 Проблема примерной минимальности

4.1 Основные результаты и свойства контпримера

4.2 0 периодической части централизатора инволюции

4.3 О сильно вложенной подгруппе

4.4 Свойства 2-подгрупп в G

4.5 Строение конечных простых подгрупп G

4.6 Строение подгрупп Ьь и Кь

4.7 Доказательство основной теоремы

5 Группы, насыщенные конечными простыми неабелевы-ми группами

5.1 Определения, вспомогательные леммы

5.2 Группы Шункова, насыщенные L^ip71)

5.3 Группы Шункова, насыщенные Re(q)

5.4 Группы Шункова, насыщенные Sz(q)

5.5 Группы Шункова, насыщенные С/з(2п)

5.6 Периодические группы с конечной диэдральной силов-ской 2-подгруппой, насыщенные конечными простыми неабелевыми группами

5.7 Периодические группы, насыщенные Re(q)

1

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Группы Шункова с дополнительными ограничениями»

Введение

При изучении бесконечных групп оказалось естественным выделять и изучать классы таких групп, которые по своему определению наделяются теми или иными свойствами конечных групп, или, как мы будем говорить в дальнейшем, классы групп с условиями конечности. Перечислим некоторые из распространенных условий конечности: периодичность, локальная конечность, условия обрыва различного рода цепочек подгрупп, конечность определенным образом порожденных подгрупп и т. д. Каждое из перечисленных выше условий само по себе или в сочетании с другими представляет собой крупное направление в теории групп. За последние 40 лет в теории бесконечных (периодических) групп решены многие старые проблемы, предложены различные конструкции периодических групп, построено много серий примеров [44, 29, 9, 45, 117, 3, 1, 2, 47, 74, 48, 15, 49, 50, 75, 30, 37, 51, 16]. Примеры Е.С.Голода, А.И.Созутова, А.В.Рожкова [9, 64, 67, 57] показали, что между классом локально конечных групп и классом всех периодических групп существует бесконечно много промежуточных классов групп с условиями конечности более слабыми, чем локальная конечность. В настоящее время бесконечные группы со слабыми условиями конечности интенсивно изучаются (см., монографии [125, 126]).

Результаты исследований, представленных в настоящей диссертации, связаны с конечностью определенным образом порожденных подгрупп:

Группа С называется (сопряженно) д-бипримитивно конечной, если для любой ее конечной подгруппы Н в факторгруппе Ис{Н)/Н любая пара (сопряженных) элементов порядка д порождает конечную подгруппу. Если группа является сопряженно д-бипримитивно конечной относительно любого простого числа д Е тг(С), то называется сопряженно бипримитивно конечной группой или группой Шункова.

Очевидно, что любая периодическая группа 2-бипримитивно конечна. Класс групп Шункова очень обширен и включает в себя локально конечные, (сопряженно) п-арно конечные, (сопряженно) бинарно конечные группы, периодические и смешанные группы, так как условия конечности Шункова не предполагают периодичности группы Поэтому для нее, наряду с другими вопросами, актуален следующий: обладает ли группа (7 периодической частью, т.е. составляют ли периодические элементы в (2 подгруппу? Нетривиальность ответа на этот вопрос подчеркивается тем, что известны примеры [79] разрешимых бипримитивно конечных групп, не обладающих периодической частью.

Изучение групп Шункова, ввиду обширности данного класса, возможно только при наложении дополнительных ограничений. Основными среди них в диссертации являются условия расщепляемости, при-марной минимальности и насыщенности:

Группа называется расщепляемой, если она является объединением некоторой совокупности собственных подгрупп, попарно пересекающихся по единице [8].

Группа С удовлетворяет условию д-тгп, д € тг(С), если каждая убывающая цепочка ее подгрупп С = С?о > Ст > > ..такая, что во всех разностях \ (7г-1 найдутся д-элементы, обрывается на конечном номере. Если группа С удовлетворяет условию д-тгп для всех д 6 я"(С?), то говорят, что группа (7 удовлетворяет условию примарной минимальности [55].

Группа (7 насыщена группами из множества X, если любая конечная подгруппа К из С вложима в С в подгруппу Ь, изоморфную некоторой

группе из X [101].

Перейдем к основным результатам диссертации. В главе 1 изучаются группы с нормальной компонентой расщепления, при этом рассматриваются группы более широкого класса, чем класс групп Шункова. Необходимость исследования расщепляемых групп ясна не только сама по себе, но и обуславливается редукцией многих задач к вопросам о строении групп Фробениуса (основные результаты главы 1 существенно используются в других главах диссертации).

Как известно, конечные расщепляемые группы широко используются в теории конечных групп и достаточно подробно изучены [6, 7, 8]. Класс периодических расщепляемых групп, как показывают известные результаты П.С Новикова, С.И. Адяна [1, 2, 44, 45], А.Ю. Ольшанского [47, 48, 49, 50] и др., практически необозрим. Однако периодические расщепляемые группы с некоторыми условиями конечности могут быть описаны (с точностью до р-групп, групп Фробениуса и НТ-групп). Первые значительные результаты в этом направлении получены в [19, 21, 60, 64, 68]. Одним из основных моментов в изучении таких групп было бы обобщение известной теоремы Томпсона о нильпотентности конечной группы с регулярным автоморфизмом простого порядка. Речь идет о вопросе 6.56 из [33] о локальной конечности (бинарно конечной) групп из класса б П1Н (определение классов (55 и ¿Я см. в главе 1 параграф 1.1). Многие результаты главы 1 доказаны для данного класса групп.

Результаты главы получены в нераздельном и равном соавторстве с А.И.Созутовым и опубликованы в [63, 91, 68]. Основным из них является уточнение строения контрпримера к вопросу 6.56 из [33]:

Теорема 1.4.10 Пусть класс (5ПЕН содержит не локально конечную группу Со- Тогда некоторое сечение С = ^Л(а) группы Со принадлежит классу © П 1Н и ядро Р группы С удовлетворяет следующим условиям:

1. Г — бесконечная конечно порожденная простая группа.

2. Каждая конечная а-допустимая подгруппа из Р вложима в бесконечную локально конечную нилъпотентную а-подгруппу. В частности, каждый элемент из Р содержится в бесконечной локально конечной нилъпотентной а-допустимой подгруппе.

3. В Р существует конечная подгруппа не вложима в конечную а-допустимую подгруппу.

4. В случае, когда Р содержит не локально конечную а-допустимую подгруппу с нетривиальным локально конечным радикалом, или когда Р ■— бинарно конечная группа, можно считать, что Р — примарная группа ограниченного периода.

5. Если все а-допустимые подгруппы с нетривиально локально конечным радикалом из Р локально конечны, то множество максимальных локально конечных а-допустимых подгрупп группы Р составляют ее расщепление и каждый элемент из имеет простой порядок.

В главе 2 изучаются некоторые общие свойства групп Шункова. Найдены необходимые и достаточные условия, когда факторгруппа группы Шункова снова будет группой Шункова (следствия 2.4.2, 2.4.4). По-видимому нет необходимости уточнять значение этих результатов для исследований групп Шункова.

В теории групп особую роль играют критерии существования в группе тех или иных подгрупп. Так, например, в теории конечных групп трудно переоценить значение теорем Силова, Холла, Фробени-уса и др. В группах Шункова аналогичную роль играют теоремы вложения в группу бесконечных абелевых или локально конечных подгрупп. К основным результатам главы 2, полностью опубликованным в [87, 88, 92, 109], относится

Теорема 2.2.1 Если группа Шункова содержит бесконечно много элементов конечного порядка, то она содержит и бесконечную локально

конечную подгруппу.

Следующая теорема главы уточняет характер вложения локально конечных подгрупп

Теорема 2.3.1 Пусть G группа Шункова и Н — ее максимальная локально конечная подгруппа. Тогда имеет место одно из следующих утверждений:

1. Н — периодическая часть группы G.

2. G = FXNg(H) и Т = FXH — периодическая часть группы G, являющаяся группой Фробениуса с ядром F и неинвариантным множителем Н.

3. Для некоторого g G G\ Ng{H) пересечение Н П Н9'ф 1.

Отметим также аналог известной теоремы Фробениуса, играющей большую роль в теории конечных и расщепляемых групп:

Теорема 2.3.3 Пусть G — группа Шункова, Н — ее собственная подгруппа, содержащая элементы конечного порядка, и для любого элемента g (Е G\ Н подгруппа Н П Н9 не содержит элементов конечных порядков. Тогда G = FXH, где F — периодическая группа, и для любой периодической подгруппы Т ^ Н, FXT — группа Фробениуса с ядром F.

В последнем параграфе главы 2 доказана

Теорема 2.5.3 Пусть G — сопряженно q-бипримитивно конечная группа с условием q — min, q ф 2 и все конечные подгруппы из G разрешимы. Тогда G обладает q-полной частью.

Условия минимальности в теории бесконечных групп занимают почетное место. Наиболее известными среди них являются минимальность для (периодических) подгрупп (min), абелевых подгрупп (min-ab), примарная минимальность (q-min, prim-min), конечность ранга и

др. Начиная с работ О.Ю.Шмидта [113] и С.Н.Черникова [81] и до нашего времени решения проблем минимальности (во все более широких классах групп) составляло значительную часть вклада многих алгебраистов в теорию групп. Отметим наиболее известные результаты в данном направлении. В классе локально разрешимых групп проблемы min, min-ab и др. решены С.Н.Черниковым [81, 82, 83, 84, 85], q-min и prim-min — Половицким Я.Д. [55], в классе локально конечных групп решения перечисленных выше проблем принадлежат В.П.Шункову и его ученикам [114, 115, 116, 54]. Наконец, в классах сопряженно биприми-тивно конечных групп (групп Шункова) решения проблем min и min-ab были получены В.П.Шунковым с А.Н.Остыловским и Н.Г.Сучковой [53, 52, 73, 123]. Отметим, что вариациями данных проблем в классе периодических и смешанных групп Шункова также занимались И.И.Павлюк, А.А.Шафиро, В.И.Сенашов, А.М.Попов [54, 56, 59] и др.

Методы исследования групп с условиями минимальности включают в себя многие основные черты знаменитой классификационной теоремы. Так же, как и в теории конечных простых групп, в большинстве случаев методами локального анализа исследуется строение минимального контрпримера к основной теореме, который не содержит нормальных периодических подгрупп (периодически прост). При этом четный и нечетный случаи требуют разных подходов. Необходимо отметить, что в этих исследованиях фундаментальное значение имеют различные признаки непростоты групп В.П.Шункова и А.И.Созутова [117, 60, 121, 61, 62, 64, 65].

Как уже было сказано, группы с условием примарной минимальности изучались различными авторами, в частности, полное описание локально конечных групп с условием примарной минимальности получено в работах [55, 54]. Решению проблемы примарной минимальности в классе периодических и смешанных групп Шункова посвящены следующие две главы диссертации. С использованием результатов главы 3 вначале доказываются результаты, опубликованные в [89, 93, 95, 109]:

Теорема 3.1.1 Пусть С — группа Шункова без инволюций с условием примарной минимальности и С порождается элементами конечных порядков. Тогда С — локально конечная группа.

Теорема 3.2.4 Группа Шункова с конечными силовскими подгруппами, удовлетворяющая условию примарной минимальности, обладает локально конечной периодической частью.

Теорема 3.3.1 Группа Шункова с разрешимыми конечными подгруппами, удовлетворяющая условию примарной минимальности, обладает локально конечной периодической частью.

Затем исследуется группы с бесконечными силовскими 2-подгруппами (результаты опубликованы в [98, 99, 100, 110]), при этом отдельно рассматриваются случаи полных и локально диэдральных си-ловских 2-подгрупп (параграфы 3.5, 3.6). Основным результатом, доказываемым на протяжении параграфов 3.4 - 3.6 является

Теорема 3.4.1 Группа Шункова, удовлетворяющая условию примарной минимальности, обладает 2-полной частью.

Таким образом, для полного решения проблемы примарной минимальности в классе групп Шункова остается рассмотреть случай конечных силовских 2-подгрупп. Этому исследованию посвящена глава 4 диссертации. Основной результат главы - решение проблемы примарной минимальности в классе групп Шункова, опубликованное в [111]:

Теорема 4.1.1 Группа Шункова с условием примарной минимальности обладает периодической частью, которая локально конечна и почти локально разрешима.

Доказательство теоремы занимает все 7 параграфов главы. При этом вначале рассматриваются общие свойства контрпримера затем доказывается бесконечность и черниковость периодической части централизатора произвольной инволюции (теорема 4.2.1) и отсутствие в группе сильно вложенных подгрупп (теорема 4.3.1), далее исследуются

2-пересечения максимальных черниковских подгрупп и доказывается неравенство m2(G) < 2 (леммы из 7.4), устанавливается строение конечных простых и специально выбранных подгрупп группы G (теорема 4.5.1 и леммы из 7.6) и, наконец, в лемме 4.7.5 доказывается, что контрпримера к теореме не существует. Отметим непосредственные следствия основной теоремы главы:

Следствие 4.1.2 Периодическая группа Шункова с условием примарной минимальности локально конечна и почти локально разрешима.

Следствие 4.1.2 Сопряженно бипримитивно конечная группа с условием минимальности для подгрупп локально конечна и является черниковской группой.

Результат сформулированный в следствии 4.1.2 независимо получен В.П. Шунковым - [123], [124].

Как видно из вышесказанного, исследование групп с условием примарной минимальности свелось к локальному анализу контрпримера с заданными периодическими подгруппами и системой конкретных конечных простых неабелевых подгрупп. Естественно было рассмотреть группы без условий минимальности, но с заданными системами конечных подгрупп. Так появилось понятие насыщенности группы некоторыми системами конечных групп [101]. В последней главе диссертации изучаются группы, насыщенные конечными простыми подгруппами.

Группа G насыщена группами из класса групп % если любая конечная подгруппа К из G вложима в G в такую конечную подгруппу L, что L изоморфна некоторой группе из класса iH.

Как оказалось, насыщенность является естественным обобщением покрытия группы [34]. Понятие покрытия появилось в начале 60-х годов в работах П.Г. Конторовича [26]-[27], как понятие более обшее, чем локальное покрытие. В конце 60-х годов А.И. Старостин начинает рассматривать покрытие и в классе бесконечных групп [28]. Некоторый обзор результатов, полученных в данном направлении, можно найти в [28, 34]. В начале 80-х годов В.В. Беляев, A.B. Боровик, С. Томас, Б. Хартли и Г. Шют [4, 5, 159,145] независимо доказали следующую те-

орему:

Если локально конечная группа С локально покрывается множеством подгрупп лиевского типа, ранги которых ограничены в совокупности, то и сама (7 является группой лиевского типа конечного ранга.

Если группа покрывается некоторым множеством конечных групп, то она, очевидно, локально конечна, а для групп, насыщенных тем же множеством групп, это не всегда справедливо. Примеры периодических не локально конечных групп, насыщенных заданными множествами конечных групп, хорошо известны. Так группы Новикова-Адяна В(п,т) [45,1] насыщены одной циклической группой порядка п. Примеры периодических групп, насыщенных группами из множества, состоящего из любого конечного числа конечных групп, дают периодические произведения [2]. Этот перечень можно существенно расширить примерами групп из [47, 48, 49, 50]. Бесконечная локально конечная группа не может быть насыщена подгруппами из конечного множества. То же самое справедливо для бесконечных периодических сопряженно бипримитив-но конечных групп, так как по теореме 2.2.1 диссертации они обладают бесконечными локально конечными подгруппами.

В связи с приведенной выше теоремой о локально конечных группах возникает следующий вопрос:

Верно ли, что периодическая группа, насыщенная конечными группами лиевского типа, ранги которых ограничены в совокупности, сама является группой лиевского типа?

В последней главе доказаны следующие теоремы:

Теорема 5.2.1 Группа Шункова, насыщенная группами из множества {Ь2(рп)}, где р — фиксированное число, обладает периодической частью, которая изоморфна простой группе Ь2(Р), где Р — локально конечное поле характеристики р.

Теорема 5.4.1 Группа Шункова, насыщенная группами из множест-

ва (Де(д)}. обладает периодической частью, которая изоморфна простой группе Ри Яе{0) над локально конечным полем ф характеристики 3.

Теорема 5.5.1 Группа Шункова, насыщенная группами из обладает периодической частью, которая изоморфна простой группе Судзуки {5г((5)} над локально конечным полем характеристики 2.

Теорема 5.6.1 Группа Шункова, насыщенная группами множества {[/з(2п)}; обладает периодической частью, которая изоморфна простой группе из(СЭ), где ф — локально конечное поле характеристики 2.

В последних теоремах главы происходит отказ от условий конечности и рассматриваются произвольные периодические группы (т. е. не обязательно группы Шункова):

Теорема 5.7.1 Пусть бесконечная периодическая группа С насыщена конечными простыми неабелевыми подгруппами и некоторая силов-ская 2-подгруппа Б из С является конечной группой диэдра. Тогда С изоморфна локально конечной простой группе Ь2(Р), где Р — локально конечное поле нечетной характеристики р.

Теорема 5.1.2 Пусть бесконечная периодическая группа насыщена группами из множества {Яе(<?) | д = 32п+1}. Тогда (7 изоморфна локально конечной простой группе Лe(Q); где ф — локально конечное поле характеристики 3.

Эти результаты последней главы диссертации полностью опубликованы в [101, 102, 105, 105, 106, 107, 108, 112]. Их доказательство существенно использует теорему Шункова о группах с почти регулярной инволюцией [117], характеризацию 2-групп с конечной максимальной элементарной абелевой подгруппой как черниковских групп (обобщение теоремы Блэкберна, принадлежащее В.П.Шункову [115]) и теорему Санова о локальной конечности 2-группы периода 4 [58]. По-видимому решение поставленного выше вопроса будет очень сложным и едва ли

будет получено в ближайшие 20 лет.

Обозначения, используемые в диссертации, стандартны [10]. Рабочие обозначения вводятся по мере необходимости.

Нумерация теорем, лемм, следствий и определений в диссертации — тройная, например, лемма 3.1.2 (глава 3, параграф 1, номер утверждения 2). Отметим, также, что выражение "предложение 4м означает ссылку на известный результат под номером 4.

Основные результата диссертации опубликованы в [96], [100] - [107], [109], [110], [112] (см. также [108], [111]) и докладывались на международных и Российских конференциях по алгебре и теории групп (Красноярск 993; Львов-1995; Томск-1997; С-Петербург-1997; Новосибирск-! 997; Пермь-1997), а также на семинарах ведущих алгебраических центров России (МГУ, НГУ, КрасГУ, ИМиМ УО РАН, ИМ СО РАН).

2

Известные результаты

1. [теорема Шмидта] Расширение локально конечной группы при помощи локально конечной группы является локально конечной группой [23, 34].

2. [теорема Фейта-Томпсона] Конечная группа нечетного порядка разрешима [10, 139].

3. Пусть С = ГХЛ — бесконечная р-группа, где ^ — полная абелева группа, а Л —- элементарная абелева группа. Если С с {а) конечен для любого а 6 то С — черниковская группа и \Щ = р [125].

4. Пусть С — бесконечная р-группа с конечным центром и С = ^А(а), где ^ — полная абелева группа и |а| = р. Тогда С — черниковская группа, Z{G) — элементарная абелева группа и все элементы вида а/г, где /1 £ сопряжены в С с элементом а [125].

5. В черниковской группе число классов сопряженных подгрупп фиксированного порядка конечно [125].

6. Пусть С = ГХЛ — бесконечная р-группа, где .Р — полная абелева группа, а Л — элементарная абелева группа д-группа и р д. Если СУ(-К) ф 1, то Ср{К) — бесконечная группа [125].

7. [теорема Черникова] Расширение черниковской группы при помощи черниковской группы есть черниковская группа [23].

8. [теорема Черникова] Локально конечная р-группа с условием минимальности для подгрупп — черниковская [81].

9. [теорема Половицкого-Павлюка-Шункова] Пусть С — локально конечная группа с условием примарной минимальности. Тогда

(1) С почти локально разрешима.

(2) С обладает полной частью А.

(3) Факторгруппа С/А локально нормальная группа с конечными силовскими подгруппами по всем р <Е 7г(СД4).

(4) Любой элемент из (7 поэлементно неперестановочен лишь с конечным число силовских р-подгрупп группы А [55, 54].

10. Пусть С — группа Шункова и Н — ее нормальная подгруппа такая, что замыкание любого элемента из Н в С конечно. Тогда факторгруппа — группа Шункова [119].

11. Пусть С — группа — какой-либо член ее верхнего центрального ряда

< < ... < Zw < ...,

то при г < уо (1У — первое предельное порядковое число) произвольный элемент д е имеющий порядок к, перестановочен с к1"1 степенью произвольного элемента группы С [41].

12. [теорема Фробениуса] Пусть (С, Я) — пара Фробениуса и С — конечная группа. Тогда С — группа Фробениуса с неинвариантным множителем Н [8, 10].

13. [теорема Бернсайда] Любая подгруппа порядка щ из неинвариантного множителя Фробениуса, где р и д не обязательно различные простые числа, — циклическая группа [8].

14. Порядки ядра и неинвариантного множителя конечной группы Фробениуса взаимно просты [8].

15. Пусть G = FX(a) — конечная группа Фробениуса с ядром F и неинвариантным множителем (а) простого порядка q. Тогда для любого с Е F

с ■ са • ... • с*9"1 = 1.

16. [теорема Томпсона] Конечная группа, допускающая регулярный автоморфизм простого порядка, нильпотентна [8, 10, 160].

17. [теорема Хигмена] Пусть G = FX(a) — периодическая группа Фробениуса с локально нильпотентным ядром F и неинвариантным множителем (а) порядка р. Тогда F — нильпотентна ступени Л/(р), где f(p) — функция Хигмена, [147].

18. Если неинвариантный множитель Н конечной группы Фробениуса порождается двумя элементами одного и того же простого порядка р, то либо \Н\ — р, либо р = 3 или р = 5 и Н изоморфна одной из следующих групп:

SL2(3), 5X2(5) [8, 70, 60].

19. [теорема Созутова-Шункова] Пусть (G, Н) — пара Фробениуса и G — сопряженно бипримитивно конечная периодическая группа. Тогда G — группа Фробениуса с неинвариантным множителем Н [60].

20. [теорема Созутова-Шункова] Пусть G — группа, Н — ее собственная подгруппа, а £ Н, |а| > 2 и для любого элемента д Е G\H подгруппа Ьд = (а, а9) является группой Фробениуса с неинвариантным множителем (а). Тогда G — FAArc,((a)) и FX{a) — группа Фробениуса с ядром F и неинвариантным множителем (а) [61].

21. [теорема Созутова-Шункова] Пусть С -— группа, Н — ее собственная подгруппа, а — элемент простого порядка р > 2 из О такие, что почти для всех (т.е., кроме, быть может, конечного числа) элементов вида а5, где д €Е С \ Я, подгруппы Ьд — (а, а9) являются группами Фробениуса с неинвариантным множителем (а). Тогда либо С? = ГХАтс((а)) и РА(а) — группа Фробениуса с ядром Р и неинвариантным множителем (а), либо элемент а лежит в конечном нормальном делителе группы [62].

22. [теорема Дицмана] Конечное инвариантное множество элементов конечного порядка в любой группе порождает конечную нормальную подгруппу [18].

23. [теорема Кегеля] Пусть <2 = РА (а) — конечная группа, \Ка\ — р для любого к 6 Р, где р — простое число. Тогда Р — нильпотентная группа [8].

24. [теорема Хухро] Пусть й = РХ{а), \ка\ =р для любого Н 6 Р, где р — простое число, и F — &-ступенно разрешимая группа. Тогда Р — нильпотентна ступени Хд(к,р) [77, 78].

25. [теорема Хухро] Пусть С = ГХ(а), \На\ = р для любого к £ Р, где р — простое число, и Р — нильпотентна и /¿-порождена. Тогда Р — нильпотентна ступени Ав(&,р) [78].

26. [теорема Каргаполова] Бесконечная локально конечная группа обладает бесконечной абелевой подгруппой [22].

27. Во всякой сопряженно д-бипримитивно конечной группе С без инволюций с бесконечным числом элементов конечного порядка каждый элемент порядка д вложим в бесконечную локально конечную подгруппу группы [62].

28. [теорема Мухамеджана] Всякая ./У-группа, в которой факторы

верхнего центрального ряда с натуральными номерами удовлетворяют условию минимальности, является черниковской [125].

29. [теорема Созутова] Пусть С — сопряженно бипримитивно конечная группа Фробениуса с неинвариантным множителем Я. Тогда Н обладает локально конечной периодической частью [64].

Обозначим через тр((7) — р-ранг группы С как максимум рангов элементарных абелевых р-подгрупп группы С.

30. [теорема Созутова] Пусть С — группа Шункова, тр(С) = 1 для всех р <Е тг(С') и С не содержит группы кватернионов. Тогда С обладает периодической частью Т, причем либо Т — локально циклическая группа, либо Т — АХВ, где А и В — локально циклические группы [64].

31. Пусть 6, с элементы нильпотентной группы ступени п, и если |6| = кт, то элемент Ь перестановочен с элементом скт[п [42].

32. Пусть С — конечная простая группа Шевалле лиевского ранга 1 характеристики р, Р — ее силовская р-подгруппа, В =

— подгруппа Бореля группы С, Н подгруппа Картана в й, N — ]УС(Я). Тогда

(1) В = РХН и N — Н\(у), где V2 = 1.

(2) С = ВИВ и С — дважды транзитивная группа.

(3) Н — циклическая группа и если С ф то N — группа диэдра.

(4) Все инволюции в С сопряжены [10].

33. Пусть С = 1/2(д), где д = рп > 3 — нечетное число. Тогда справедливы следующие утверждения:

(1) Силовская р-подгруппа Р группы (2 элементарная абелева и В = Мд{Р) = РХН — группа Фробениуса е ядром Р и циклическим неинвариантным множителем Н порядка (д — 1)/2.

(2) Силовская 2-подгруппа группы С является группой диэдра.

(3) Если а — инволюция из С, то Сс{а) — группа диэдра.

(4) Если д > 5, то порождается любыми двумя различными централизаторами инволюций [8].

34. [теорема Шункова] Периодическая группа с почти регулярной инволюцией локально конечна и почти разрешима [117].

35. Пусть С = ¿2(9), где д = 2П > 2, Р — силовская 2-подгруппа группы С, В = ^Ус(Р). Тогда

(1) Р — элементарная абелева группа и любые две силовские 2-подгруппы группы С пересекаются тривиально. В частности Сд{а) = Р для любой инволюции а е Р.

(2) В — РХН группа Фробениуса с ядром Р и циклическим неинвариантным множителем Н порядка д — 1, действующим транзитивно на множестве Р#.

(3) ТУ = ^(Н) = НХ(г) — группа диэдра.

(4) Если К — подгруппа в С и К обладает нормальной подгруппой нечетного порядка, то Ис{К) — группа диэдра.

(5) С порождается любыми двумя силовскими 2-подгруппами [8].

36. Если периодическая группа (7 обладает конечной силовской 2-подгруппой, то все силовские 2-подгруппы группы С конечны и сопряжены [117].

37. [теорема Ри]Пусть С = -йе(д), где д = Зп > 3, п — нечетно, а — инволюция из Т — силовская 2-подгруппа в (2. Тогда

(1) Т — элементарная абелева группа порядка 8, Сд{Т) — Т и Я = Ng(T) = TX((b)X(d}), где (b)X(d) — группа Фробениуса порядка 21. ТХ(Ь) — группа Фробениуса порядка 56.

(2) CG(a) = (a) xL где L ~ L2(3n).

(3) G — (Я, Q?(а)), где Т — произвольная силовская 2-подгруппа из G [10].

38. [теорема Санова] Произвольная группа периода 4 локально конечна [58].

39. [теорема Судзуки] Группа Sz(q) имеет следующие максимальные подгруппы:

(1) В = РХН — группа Фробениуса порядка q2(q — 1) с ядром Р порядка q2 (силовская 2-подгруппа) и циклическим неинвариантным множителем Я (подгруппа Ка.ртана) порядка q — 1.

(2) Группа диэдра порядка 2(q — l) (нормализатор подгруппы Кар-тана).

(3) Группа Фробениуса (а)Х{Ъ), где \а\ = g + r + 1, \Ъ\ = 4 и г2 = 2q.

(4) Группа Фробениуса (а)Х(Ъ), где \а\ — q — г + 1, |6| = 4 и г2 = 2q.

(5) Sz(s), где s* = q и t — простой делитель числа 2к + 1, здесь q = 22fc+1 [155, 8].

40. [теорема Судзуки] Пусть G = Sz{q), Р — силовская 2-подгруппа группы G, В = РХН — подгруппа Бореля, Я — подгруппа Картана из В. Тогда

(1) Р — группа порядка д2, периода 4, Р' = Z(P) = Ф(Р) = fii (Р), и силовские 2-подгруппы группы G имеют тривиальные пересечения.

(2) Все инволюции группы G сопряжены и Со (а) = Я для любой инволюции а £ Р.

(3) Любые две силовские 2-подгруппы в С имеют тривиальное пересечение.

(4) Я действует транзитивно на множестве инволюций из Р.

(5) С порождается любой парой своих силовских 2-подгрупп [155, 8].

41. [теорема Бендера]. Пусть конечная группа (7 обладает сильно вло-

женой подгруппой. Тогда имеет место одно из следующих утверждений:

(1) Силовская 2-подгруппа из К — циклическая или группа кватернионов.

(2) 02(С/0((7)) изоморфна одной из следующих групп ¿2(2"), 5г(22?г+1), Щ(22п) [134, 10].

42. Пусть С = 11з(2п), Р — силовская 2-подгруппа группы С и В =

Л^(Р). Тогда

(1) С — В{у)В, где у — инволюция и В Г\ Ву = Н — подгруппа Картана.

(2) Р — группа периода 4, ступени нильпотентности 2 и Р' — г(Р) = Ф(Р) - Пг(Р).

(3) Любые две силовские 2-подгруппы группы (7 имеют тривиальное пересечение.

(4) Если а — инволюция из Р, то Са{а) = РАЯх, где — циклическая группа, причем Н\ ^ В и %{Р) ^ Сс{Н\)-

(5) В = РАЯ, Я — циклическая группа порядка где й = ?> если 3 делит число 2П + 1 и й = 1 в противном случае.

(6) Я = Но х Яь гдё Н\ — подгруппа из утверждения 4 леммы, |Яо| = 2п — 1 и |#1| = причем V инвертирует Яо и централизует Н\.

(7) РХНо — группа Фробениуса с неинвариантным множителем Яо, действующем транзитивно на множестве инволюций группы Р.

(8) Сс(Я1) = #1 х Ь, где Ь ~ Ь2{2п) и 5 = Ь П Р — силовская 2-подгруппа в Ь.

(9) С порождается любой парой своих силовских 2-подгрупп.

(10) Для любого простого 2'-элемента С подгруппа А^((а)) имеет четный порядок [138].

43. [теорема Горенстейна-Уолтера]. Если (7 — конечная простая группа с диэдральными силовскими 2-подгруппами, то С? изоморфна ^{я), Я — нечетное, д > 3, или С изоморфна Ау [10].

44. Пусть С — конечная простая группа, М — собственная подгруппа в С и г — инволюция из М. Тогда С содержит сильно вложенную подгруппу, если выполнено хотя бы одно из следующих двух условий:

(1) если д £ С, х9 централизует г, г9 = г и г9 £ М, то д £ М.

(2) £ лежит в центре некоторой силовской 2-подгруппы группы

С;

п. если д £ С г9 £ М, то д £ М;

ш. если д £ С г9 централизует 0 и г9 ф г, то Сс(г • г9) ^ М [10].

45. [¿Г-теорема Глаубермана] Пусть С — конечная группа четного порядка, £ — некоторая инволюция из С. Если порядок элемента Я-ЧдЦУд £ С?\{*}) нечетен, то *-02-(С) € £(<3/02-(<2)) [141, 10].

46. Пусть 5 — конечная 2-группа и 3 — такая инволюция из 5, что Сб(Л = (0 х 0), где ]2 — 1. Тогда 5 — либо группа диэдра, либо полудиэдральная группа [10].

47. Пусть 5 — конечная 2-группа с единственной инволюцией. Тогда S — либо циклическая, либо обобщенная группа кватернионов [76].

48. Пусть G — простая конечная группа и rri2(G) = 2. Тогда G изоморфна одной следующих групп: 1-2(g), Lz{q), Us{q), q нечетно, Aj, Мц, [73(4) [128, 129, 130, 40].

49. Пусть G — неразрешимая конечная группа, в которой пересечение любых двух силовских 2-подгрупп имеет 2-ранг не более 1, m2(G) = 2, 02(G/0(G) = 0(G) vlG' = G. Тогда GfO{G) изоморфна одной из групп: L2(q)^ гДе <? — i3 mod 8 и q > 5, J\ [131, 153].

50. Если локально конечная группа G локально покрывается множеством подгрупп лиевского типа, ранги которых ограничены в совокупности, то и сама G является группой лиевского типа конечного ранга [4, 5, 159, 145].

1

О группах с нормальной компонентой расщепления

1.1 Определения, вспомогательные леммы

Группа называется расщепляемой, если она является объединением некоторой совокупности собственных подгрупп, попарно пересекающихся по единице [8]. Эту совокупность подгрупп называют расщеплением группы, а сами подгруппы — компонентами расщепления. Произвольная подгруппа называется допустимой относительно данного расщепления , если с каждой компонентой расщепления она либо пересекается по единице, либо содержит ее.

Класс периодических расщепляемых групп, как показывают известные результаты П.С. Новикова, С.И. Адяна [1, 2], А.Ю. Ольшанского [50] и др., практически необозрим. Однако расщепляемые группы с некоторыми дополнительными условиями конечности по-видимому могут быть описаны (с точностью до р-групп, групп Фробениуса и НТ-групп). Первые значительные результаты в этом направлении получены в [60, 21, 64]. В данной главе изучаются свойства групп, удовлетворяющих вопросу 6.56 [33]. Результаты главы получены в нераздельном и равном соавторстве с А.И.Созутовым и опубликованы в [63, 91, 68].

На протяжении всей главы, (? — группа вида С = -РА(а), где Р ф 1 и \а\ = р — простое число.. Если подгруппа Н группы имеет непустые

пересечения с и С \ то Я П ^ будем называть ядром группы Я, в частности Р — ядро группы С. Введем следующие обозначения:

— 21 — класс всех групп С, в которых элемент а действует на ядро Р регулярно;

— 03 — класс всех групп (?, в которых каждый элемент из С \ Р имеет порядок р;

— (5 — класс всех групп С?, в которых любая пара элементов из С \ .Р порождает конечную подгруппу;

— ОТ — класс всех групп С, в которых каждый элемент из аР сопряжен с элементом а.

Нам понадобятся некоторые леммы и теоремы из [68]:

Лемма 1.1.1 Классы 21, 03, (5, ОТ и их пересечения образуют следующую нижнюю полурешетку:

Лемма 1.1.2 Если С £ 21 и Р — локально нильпотентная группа, то С? € 21 П ЯЗ.

Лемма 1.1.3 Пусть С = -РА(а), \а\ = р — простое число и Р — Т х Тах ... хТаА; где к ^ 1. Тогда Р — абелева группа, либо С = Т\{а).

X ъ

Лемма 1.1.4 Пусть £ € 21 и 03, 1 фТ < Р и П = 1. Тогда С имеет абелев нормальный делитель А такой, что АГ\Т ф 1.

Условимся для произвольной подгруппы Т из ядра Р через В{Т) обозначать максимальную а-допустимую подгруппу из Т, а через Р(Т) — ядро группы (Т, а). Определение Ш*-группы см. в [34]

Теорема 1.1.5 Пусть й е 05, Т — подгруппа из Р иТ <1 Р(Т). Тогда Р(Т)/£>(Т) есть Ш*-группа.

Следствие 1.1.6 Пусть С Е Т <з Р и Р/Т — простая неабелева группа. Тогда Т <

Следствие 1.1.7 Пусть (7 = В(п,р) — свободная группа периода р с п порождающими, Р — пересечение всех подгрупп конечного индекса в С и Т — собственная нормальная в Р подгруппа. Тогда нормальное замыкание в С подгруппы Т является собственной подгруппой в Р.

Лемма 1.1.8 Всякая финитно аппроксимируемая группа из класса 03 локально нильпотентна.

Доказательство. Понятно, что класс 03 замкнут относительно взятия факторгрупп по нормальным подгруппам из ядра. Для доказательства леммы группу С £ 05 можно считать конечно порожденной. Пусть Н — нормальная в С подгруппа конечного индекса из Р. Так как С = С/Я е 95, то по предложению 23 группа Р нильпотентна, а по предложению 24 ее ступень нильпотентности ограничена сверху некоторым числом п. Следовательно Н содержит ГП(Р) п-ый член нижнего центрального ряда группы Р. Таким образом, ГП(Р) содержится в каждой подгруппе конечного индекса из Р и в силу финитной аппроксимируемости группы Р получаем ГП(Р) < ПН = — нильпотентная группа ступени не больше чем п. Лемма доказана.

Теорема 1.1.9 Пусть £ Е 03 П 0, Р и — подгруппы из Р, порожденные соответственно всеми р-элементами и р'-элементами. Тогда

рпд^эд, я = Ор'(Р) и[р,(Э} = 1.

1.2 О локально конечном радикале группы из класса Фпб

Лемма 1.2.1 Если £ 23 и для некоторого элемента Ъ £ Р ядра подгрупп (Ь,/а), где f пробегает абелевы, то (Ь°) — абелева группа.

Доказательство. По условиям леммы элемент Ъ перестановочен с каждым элементом вида Уак, где / В силу равенства

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Шлепкин, Анатолий Константинович, 1998 год

Литература

[1] Адян С.И. Проблема Бернсайда и тождества в группах.- М.: Наука, 1975.

[2] Адян С.И. Периодические произведения групп// Тр. мат. ин-та АН СССР им. В.А.Стеклова - Т. 142.-М.: Наука, 1976.-С. 3-21.

[3] Алешин C.B. Конечные автоматы и проблема Бернсайда о периодических группах// Мат. заметки,- 1972.- Т. 11, N 3.- С. 319-328.

[4] Беляев В.В. Локально конечные группы Шевалле// В кн.: Исследования по теории групп,- Свердловск: УНЦ АН СССР.-1984,- С. 39-50.

[5] Боровик A.B. Вложения конечных групп Шевалле и периодические линейные группы// Сиб. матем. ж.- Т. 24,- 1983.- С. 26 - 35.

[6] Бусаркин В.М., Старостин А.И. О локально конечных расщепляемых группах// УМН.- 1962.- Т. 17, N 6.

[7] Бусаркин В.М., Старостин А.И. О расщепляемых локально конечных группах// Мат. сб.- 1963.- Т. 62, N 3.- С. 275-294.

[8] Бусаркин В.М., Горчаков Ю.М. Конечные расщепляемые группы.- М.: Наука, 1968.

[9] Голод Е.С. О ниль-алгебрах и финитно аппроксимируемых группах// Изв. АН СССР. Сер. матем.- 1964,- Т. 28, N 2,- С. 273-276.

[10] Горенстейн Д. Конечные простые группы.- М.: Мир, 1985.

[11] Горчаков Ю.М. О локально нормальных группах.- ДАН СССР.-

1962.- Т. 147, N 3.- С. 537-539.

[12] Горчаков Ю.М. О бесконечных группах Фробениуса// Алгебра и логика,- 1965,- Т. 4, N 1- С. 15-29.

[13] Горчаков Ю.М. Группы с конечными классами сопряженных элементов.- М.: Наука, 1978.

[14] Гретцер Г. Общая теория решеток.- М.: Мир.- 1982.

[15] Григорчук Р.И. К проблеме Бернсайда о периодических группах// Функцион. анализ и его приложения.- 1980.- Т. 14, N 1.-С. 53-54.

[16] Григорчук Р.И., Курчанов П.Ф. Некоторые вопросы теории групп, связанные с геометрией// Итоги науки и техники. Современные проблемы матем. фундам. направления.- 1990.- Т. 58,- С. 191-256.

[17] Губа В.С. Конечно-порожденная полная группа// Изв. АН СССР. Сер. матем,- 1986,- Т. 50, N 5.- С. 883-924.

[18] Дицман А.П. О центре р-групп// В сб. Труды семинара по теории групп,- Москва.- 1938.- С. 30-34.

[19] Измайлов А.Н., Шунков В.П. Два признака непростоты группы с бесконечно изолированной подгруппой// Алгебра и логика.-1982,- Т. 21, N 6,- С. 647-669.

[20] Измайлов А.Н. О сильно вложенной бесконечно изолированной подгруппе в периодической группе// Алгебра и логика.- 1983Т. 22, N 2,- С. 128-137.

[21] Измайлов А.Н. Характеризация групп 3£/2(К) и Зг(К) над локально конечным полем К характеристики 2 // Алгебра и логика,- 1985.- Т. 24, N 2,- С. 127-172.

[22] Каргаполов М.И. О проблеме О.Ю.Шмидта// Сиб. матем. ж.-

1963.- Т. 4, N 1,- С. 232-235.

[23] Каргаполов M.И.,Мерзляков Ю.И. Основы теории групп - М.: Наука, 1977.

[24] Коксетер Г.С. Мозер У.О.Дж. Порождающие элементы и определяющие соотношения дискретных групп.- М.: Наука, 1980.

[25] Конторович П.Г. Группы с базисом расщепления I, II, III, IV.// Матем. сб.- 1943,- Т. 12,- С. 56-70; 1946.- Т. 19.- С. 287-308; 1948,- Т. 22,- С. 79-100; 1956.- Т. 26.- С. 311-320.

[26] Конторович П.Г. Инвариантно покрываемые группы// Матем. сб.- Т 8 (1940).-С. 423 - 430.

[27] Конторович П.Г. Инвариантно покрываемые группы, II// Матем. сб.- Т 28 (1951).- С. 79 - 88.

[28] Конторович П.Г., Пекелис А.С., Старостин А.И. Структурные вопросы теории групп// Матем. зап. Уральск, ун-та.- Т 3 (1961).-С. 3-50.

[29] Кострикин А.И. О проблеме Бернсайда// Изв. АН СССР. Сер. матем.- 1959,- Т. 23, N 1.- С. 3-34.

[30] Кострикин А.И. Вокруг Бернсайда.- М.: Наука, 1986.

[31] Крекнин В.А., Кострикин А.И. Алгебры Ли с регулярными автоморфизмами // ДАН СССР,- 1963,- Т. 149,- С. 249-251.

[32] Коуровская тетрадь: Нерешенные вопросы теории групп.- Изд-е 10-е.- Новосибирск.- 1986.

[33] Коуровская тетрадь: Нерешенные вопросы теории групп. - 6-13 издания.- Новосибирск, 1978-1995.

[34] Курош А.Г. Теория групп - М.: Наука, 1967.

[35] Ларин C.B., Созутов А.И. О расщепляемых группах с компонентой расщепления простого индекса// Матем. заметки.- Т. 57, вып. 3,- 1995,- С. 377-385.

[36] Лоссов К.И. Достаточные условия вложимости амльгамы в периодическую группу // Тезисы сообщений 19-й Всесоюзной алгебраической конференции. Часть 1. - Львов, 1987. - С. 163.

[37] Лысенок И.Г. О проблеме Бернсайда для нечетных показателей п ^ 115// Междун. конф. по алгебре. Новосибирск. 21-26 авг. 1989г.: Тез. докл. по теории групп.- Новосибирск.- 1989.- С. 75.

[38] Лысенок Г.И. Бесконечность бернсайдовых групп периода 2к при к ^ 13

Успехи мат. наук.- 1992.- Т. 47, N 2,- С. 201-202.

[39] Мазуров В.Д. О конечных группах с метациклическими силов-скими 2-подгруппами// Сиб. мат. ж.- 1967.-Т. 8, N 5.- С. 967982.

[40] Мазуров В.Д., Сыскин С.А. Конечные группы с 2-силовскими пересечениями ранга <2// Мат. заметки.- 1974.- Т. 16, N 1.-С. 129 - 134.

[41] Мальцев А.И. Обобщенно нильпотентные алгебры и их присоединенные группы// Мат. сб.- 1949.- Т. 25,- С. 347-366.

[42] Мальцев А.И. Избранные труды. Том 1. Классическая алгебраМ.: Наука, 1976.

[43] Мерзляков Ю.И. О бесконечных конечно-порожденных периодических группах// ДАН СССР.- 1983.- Т. 268, N 4.- С. 803-805.

[44] Новиков П.С. О периодических группах// ДАН СССР.- 1959.Т. 127,- С. 749-752.

[45] Новиков П.С., Адян С.И. О бесконечных периодических группах,- I, II, III// Изв. АН СССР. Сер.матем.- 1968.- Т. 32, NN 1,2,3,- С. 212-244, 251-524, 709-731.

[46] Нужин Я.Н. О строении групп лиева типа ранга 1,- Математ. заметки,- 1984,- Т. 36, выпуск 2,- С. 149-150.

[47] Ольшанский А.Ю. Бесконечные группы с циклическими подгруппами// ДАН СССР.- 1979.- Т. 245, N4.- С. 785-787.

[48] Ольшанский А.Ю. Бесконечная группа с подгруппами простых порядков// Изв. АН СССР. Сер. матем.- 1980,- Т. 44, N 2.- С. 309-321.

[49] Ольшанский А.Ю. Группы ограниченного периода с подгруппами простых порядков// Алгебра и логика.- 1982.- Т. 21, N 5-С. 553-618.

[50] Ольшанский А.Ю. Геометрия определяющих соотношений в группах - М.: Наука, 1989.

[51] Ольшанский А.Ю., Шмелькин A.J1. Бесконечные группы// Итоги науки и техники. ВИНИТИ. Совр. пробл. мат. Фундам. направл,- 1989.- Т. 37.- С. 5-113.

[52] Остыловский А.Н., Шунков В.П. О локальной конечности одного класса групп с условием минимальности для подгрупп / / В сб. Исследования по теории групп,- Красноярск.- 1975.- С. 32-48.

[53] Остыловский А.Н. Локальная конечность некоторых групп с условием минимальности для абелевых подгрупп// Алгебра и логика,- 1977,- Т. 6, N 1,- С. 63-73.

[54] Павлюк И.И., Шафиро A.A., Шунков В.П. О локальной конечности групп с условием примарной минимальности.- Алгебра и логика,- 1974,- Т. 13, N 3,- С. 324-336.

[55] Половицкий Я.Д. Слойно экстремальные группы.- Матем. сб.-1962.- Т. 56, N 1- С.95-106.

[56] Попов A.M., Шунков В.П. Характеризация одного класса чер-никовских групп// Алгебра и логика,- 1987,- Т. 26, N 3,- С. 358-375.

[57] Рожков A.B. Условия конечности Шункова// Междунар. конф. по алгебре,- Санкт-Петербург,- 1997,- С. 268 - 269.

[58] Санов И.Н. Решения проблемы Бернсайда для периода 4// Учен, записки ЛГУ. Сер. матем,- 1940.- Т. 10,- С. 166-170.

[59] Сенашов В.И. Слойно конечные группы,- Новосибирск.- ВО Наука, 1993.

[60] Созутов А.И., Шунков В.П. Об одном обобщении теоремы Фро-бениуса на бесконечные группы// Матем. сб.- 1976.- Т. 100, N 4,- С. 495-506.

[61] Созутов А.И. О группах с фробениусовыми парами сопряженных элементов// Алгебра и логика.- 1977.- Т.16, N 2.- С. 204212.

[62] Созутов А.И., Шунков В.П. О бесконечных группах, насыщенных фробениусовыми подгруппами// Алгебра и логика.-1977,- Т. 16, N 6,- С. 711-735.

[63] Созутов А.И., Шлепкин А.К., Шунков В.П. О периодических группах с регулярным автоморфизмом// XVI Всесоюз. алгеб-раич. конф - Тез. докл.- Ленинград - 1981.- С. 124-125.

[64] Созутов А.И. О строении неинвариантного множителя в некоторых группах Фробениуса// Сиб. матем. ж.- 1994.- Т. 35, N 4,- С. 893-901.

[65] Созутов А.И. О группах с классом фробениусово-абелевых элементов// Алгебра и логика.- 1995.- Т. 34, N 5.- С. 531 - 549.

[66] Созутов А.И. О существовании в группе /-локальных подгрупп// Алгебра и логика.- 1997,- Т. 36, N 5.- С. 573 - 598.

[67] Созутов А.И. О примерах ассоциативных нильалгебр// Матем. заметки,- 1995,- Т. 57, N 3.- С. 445 - 450.

[68] Созутов А.И., Шлепкин А.К. О группах с нормальной компонентой расщепления'.- Сиб. матем. ж.- 1997, N 4.- С. 897 - 914.

[69] Созутов А.И. О группах Шункова без элементарных абелевых подгрупп ранга 2// Тезисы докладов Международной алгебраической конференции памяти Д.К.Фаддеева.- Санкт-Петербург, 1997.- С. 286.

[70] Старостин А.И. О группах Фробениуса// Укр. матем. ж.-1971.- Т. 23, N 5,- С. 629-639.

[71] Струнков Н.П. Подгруппы периодических групп// ДАН СССР.-1966,- Т. 170, N 2,- С. 279-281.

[72] Струнков Н.П. Нормализаторы и абелевы подгруппы некоторых классов групп// Изв. АН СССР. Сер. матем - 1967 - Т. 31, N 3.- С. 657-670.

[73] Сучкова Н.Г., Шунков В.П. О группах с условием минимальности для абелевых подгрупп// Алгебра и логика.- 1986.- Т. 25, N 4.- С. 445-469.

[74] Сущанский В.И. Периодические р-группы подстановок и неограниченная проблема Бернсайда// ДАН СССР.- 1979.-Т. 247, N 3.- С. 557-561.

[75] Сущанский В.И. Сплетения и периодические факторизуемые группы// Мат. сб.- 1989,- Т. 180, N 8,- С. 1073-1093.

[76] Холл М. Теория групп,- М.: ИЛ, 1962.

[77] Хухро Е.И. Нильпотентность разрешимых групп, допускающих расщепляемый автоморфизм простого порядка// Алгебра и логика,- 1980.- Т. 19, N 1.- С. 118-129.

[78] Хухро Е.И. Нильпотентные группы и их автоморфизмы простого порядка.- Фрайбург, 1992.

[79] Череп А.А. О множестве элементов конечного порядка в бипри-митивно конечной группе// Алгебра и логика - 1987.- Т. 26, N 4,- С. 518-521.

[80] Череп А.А. О бесконечных группах Фробениуса// Деп. в ВИНИТИ 11.03.91.- N 1014-В-91.

[81] Черников С.Н. Бесконечные специальные группы// Матем. сб.-1939,- N 6.- С. 199-214.

[82] Черников С.Н. Бесконечные локально разрешимые группы// Матем. сб.- 1940,- N 7,- С. 35-64.

[83] Черников С.Н. О локально разрешимых группах, удовлетворяющих условию минимальности для подгрупп// Матем. сб-1951.- Т. 28, N 1.- С. 119-129.

[84] Черников С.Н. Условия конечности в общей теории групп// Успехи мат. наук.- 1959,- Т. 14, N 5 - С. 45-96.

[85] Черников С.Н. Группы с условием минимальности для неабеле-вых подгрупп// В сб. Группы с ограничениями для подгрупп,-Киев,- 1971.- С. 96-105.

[86] Черников С.Н. Группы с заданными свойствами системы подгрупп,- М.: Наука, 1980.

[87] Шлепкин А.К. О сопряженно бипримитивно конечных группах с условием примарной минимальности.- 5-ый Всесоюз. симпоз. по теории групп.- Новосибирск.- 1976.- С. 196.

[88] Шлепкин А.К. О существовании д-полной части в группах с условием минимальности для д-подгрупп// Материалы 15-ой Всесоюз. науч. студенч. науч. конф.- Новосибирск.- 1976.- С. 63-66.

[89] Шлепкин А.К. О периодических сопряженно бипримитивно конечных группах с условием примарной минимальности// Красноярск,- 1981.- ДЕП. ВИНИТИ.- N 1249-82.- 6 С.

[90] Созутов А.И., Шлепкин А.К., Шунков В.П. О периодических группах с регулярным автоморфизмом// XVI Всесоюз. алгеб-раич. конф.- Тез. докл.- Ленинград.- 1981.- С. 124-125.

[91] Шлепкин А.К. О периодических группах, допускающих регулярный автоморфизм простого порядка// Красноярск, 1982.-Рук. ДЕП. ВИНИТИ,- N 1274-82,- 6 С.

[92] Шлепкин А.К. О периодических подгруппах в сопряженно би-примитивно конечной группе.- 8-ой Всесоюз. симпоз. по теории групп.- Тез. докл.- Сумы,- 1982.- С. 142.

[93] Шлепкин А.К. О сопряженно бипримитивно конечных группах с условием примарной минимальности и разрешимыми конечными подгруппами// Красноярск, 1983.- ДЕП. ВИНИТИ - N 591-83.- 9 С.

[94] Шлепкин А.К. О д-полной части в сопряженно д-бипримитивно конечных группах с условием д-шт// Красноярск, 1983.- ДЕП. ВИНИТИ,- N 2181-83,- 10 С.

[95] Шлепкин А.К. О существовании периодической части в сопряженно бипримитивно конечных группах с условием примарной минимальности и конечными силовскими подгруппами// Красноярск, 1983,- ДЕП. ВИНИТИ,- N 1647-83,- 8 С.

[96] Шлепкин А.К. О сопряженно бипримитивно конечных группах с условием примарной минимальности// Алгебра и логика,-1983,- Т. 22, N 2,- С. 226-231.

[97] Шлепкин А.К. О (сопряженно) бипримитивно конечных группах// Красноярск, 1984,- ДЕП. ВИНИТИ.- N 4562-84.- 13 С.

[98] Шлепкин А.К. К вопросу о периодической части в сопряженно бипримитивно конечных группах с условием примарной минимальности// Красноярск, 1984,- ДЕП. ВИНИТИ,- N 7337-84,15 С.

[99] Шлепкин А.К. О 2-полных подгруппах в сопряженно бипримитивно конечной группе с условием примарной минимальности// Красноярск, 1984,- ДЕП. ВИНИТИ,- N 7338-84,- 8 С.

[100] Шлепкин А.К. О полных 2-подгруппах в сопряженно бипримитивно конечной группе с условием примарной максимальности // Алгебра и логика. - 1985. - Т. 24, N 2. -С. 240-243.

[101] Шлепкин А.К. Сопряженно бипримитивно конечные группы, содержащие конечные неразрешимые подгруппы // Третья международная конференция по алгебре. - 23-28 август 1993. -Сборник тезисов, Красноярск. - С. 369.

[102] Шлепкин А.К. Группы Шункова с условием примарной минимальности // Препринт ВЦК СО РАН. - Красноярск, 1998. -№9.-С. 35.

[103] Шлепкин А.К. О периодических группах некоторых групп Шункова // Тезисы докладов XV межрегиональной научно-технической конференции. - Красноярск, 1997. - С. 16.

[104] Созутов А.И., Шлепкин А.К. О группах с нормальной компонентой расщепления. - Сиб. матем. ж. - 1997, N 4. - С. 897-914.

[105] Шлепкин А.К. О группах Шункова, насыщенных конечными простыми подгруппами // Тезисы докладов Международной алгебраической конференции памяти Д.К. Фадцеева. Санкт-Петербург, 1997. - С. 310-311.

[106] Шлепкин А.К. О сопряженно бипримитивно конечных группах, насыщенных конечными простыми подгруппами // Алгебра и логика. - 1998, т. 37, № 2, с. 224-245.

[107] А.К. Шлепкин О сопряженно бипримитивно конечных группах, насыщенных подгруппами Цз(2п).- Алгебра и логика, 1998, т. 37, №5, с. 110-125.

[108] А.К. Шлепкин О периодической части некоторых групп Шункова // Алгебра и логика, 1999, т. 38, № 1, с. 1-30.

[109] Шлепкин А.К. Группы Шункова с условием примарной минимальности, I // Siberian Adv. Math., 1998, т. 8, № 3, с. 114-131.

[110] Шлепкин A.K. Группы Шункова с условием примарной минимальности, II // Siberian Adv. Math., 1998, т. 8, № 4, с. 1-24.

[111] Шлепкин A.K. Группы Шункова с условием примарной минимальности, III // Siberian Adv. Math., 1999, т. 9, № 1, с. 1-27.

[112] Шлепкин A.K. О некоторых периодических группах, насыщенных конечными простыми подгруппами // Математические труды, 1998, т. 1, № 1, с. 129-138.

[113] Шмидт О.Ю. Локальная конечность одного класса бесконечных периодических групп // В сб. Избранные труды. Математика, -М. - 1959. -С. 298-300.

[114] Шунков В.П. О проблеме минимальности для локально конечных групп // Алгебра и логика. - 1972. - Т. 9, N 2. - С. 220-248.

[115] Шунков В.П. Об одном классе /?-групп // Алгебра и логика. - 1970. - Т. 9, N 4. - С. 484-496.

[116] Шунков В.П. О локально конечных группах с условием минимальности для абелевых подгрупп // Алгебра и логика. - 1970, Т. 9, N5. - С. 579-615.

[117] Шунков В.П. О периодических группах с почти регулярной инволюцией // Алгебра и логика. - 1972. - Т. 11, N 4. - С. 470-^194.

[118] Шунков В.П. О некоторых вопросах теории локально конечных групп // Автореферат дисс. на соискание уч. степени доктора физ,-мат. наук. - Новосибирск,- 1972.

[119] Шунков В.П. Об абелевых подгруппах в бипримитивно конечных группах // Алгебра и логика. - 1973. - Т. 12, N 5. - С. 603-614.

[120] Шунков В.П. О бесконечных централизаторах в группах // Алгебра и логика. - 1974. - Т. 13, N 2. - С. 224-226.

[121] Шунков В.П. Об одном признаке непростоты групп // Алгебра и логика. - 1975. - Т. 14, N 5. - С. 491-522.

122] Шунков В.П. О достаточных признаках существования в группе бесконечных локально конечных подгрупп// Алгебра и логика.- 1976.- Т. 15, N 6.- С. 716-737.

123] Шунков В.П. Группы с инволюциями, Часть III// Препринт N 12 ВЦ СО РАН,- Красноярск,- 1986,- С. 1 - 25.

124] Шунков В.П. Теоремы вложения для групп с инволюциями и характеризация черниковских групп// Алгебра и логика.-1988.- Т. 27, N 1- С. 100-121.

125] Шунков В.П. Мр-группы.- М.: Наука, 1990.

126] Шунков В.П. О вложении примарных элементов в группе.- ВО Наука - Новосибирск, 1992.

127] Alperin J.L.. Brauer R., Gorenstein D. Finite simple groups of 2-rank two - Sermith, 1973, vol. 29, N 3-4, p. 191-214.

128] Alperin J.L., Brauer R., Gorenstein D. Finite groups with quasidihedral and wrested Sylow 2-subgroups// Math. Soc-1970,- V. 151, N 1,- P. 1 -261.

129] Alperin J.L., Brauer R., Gorenstein D. Finite simple groups of 2-rank two// Scr. math.- 1973.- V. 29, N 3 - 4,- P. 191 -214.

130] Alperin J.L., Brauer R., Gorenstein D. The extended ZJ-theorem// In: Proc. Cainesville Conf. 1972.- Amsterdam e. s.-1973.- p. 6 - 7.

131] Aschbacher M. A class of generalized TI-groups// 111. J. Math.-1972.- V. 16, N 3,- p. 529 - 533.

132] Baer R. Partitionen endlixer Gruppen // Math. Z.- I960.- B. 75, N 4,- S. 333-372.

133] Baer R. Einfacherpartitionen endlicher Gruppen mit nichttrivialer Fittingscher Untergruppe// Arch. Math.- 1961.- B. 12.-S. 81-89.

[134] Bender H. Transitive Gruppen gerader Ordnung, indenen jeds Involution genau einen Punkt fastläset. — J. Algebra, 1971, vol. 17 N4, p. 527-554.

[135] Brauer R., Suzuki M. On finite groups of even order whose 2-Sylow group is a quaternion group // Proc. Nat. Acad. Sei. U.S.A.-1959.- V. 45, N 12,- P. 1757-1759.

[136] Burnside W. Theory of Groups of Finite Order.- 1911.

[137] Burnside W. Theory of Groups of Finite Order 2 ended. Cambrige, Cambrige Univ., Press, 1911.

[138] Dichson L. Linear groups.- Leipzig: B.G.Teubner, 1901.

[139] Feit W., Thompson J.G. Solvability of groups of odd order// Pacif. J. Math.- 1963.- V. 13.- P. 771-1029.

[140] Frobenius G. Uber auflösbare Gruppen. IV.// Sitzungsber. Preuss. Akad. Wiss. zu Berlin.- 1901,- S. 1216-1230.

[141] Glauberman G. Central elements in core-free groups// J. Algebra.- 1966.- V. 4, N 3.- P. 403-420.

[142] Goldschmidt D.M. 2-fusion in finite groups.- Ann. Math.- 1974-V 99, N 1.- 70-117.

[143] Hall J. I. Infinite alternating groups as finitary linear transformations groups// J. Algebra.- V 119 - 1988.- 337 - 359.

[144] Hall P., Kulatilaka C.R. A property of locally finite groups //J. London Math. Soc - 1964,- V. 39.- P. 235-239.

[145] Hartly B., Shute G. Monomorphisms and direct limits of finite groups of Lie type// Quart. J. Math. Oxford.- V 35,- 1984,- P. 49 - 71.

[146] Hartly R.W. Determination of the ternary collineation groups whose cofficients lie in the GF{2k). Ann. Math. 27(1925), (140158).

[147] Higman G. Groups and ring which have automorphisms without nontrivial fixed elements// J. London Math. Soc.- 1957 - V. 32.-P. 321-334.

[148] Hughes D.R. A research problem in group theory// Bull. Amer. Math. Soc.- 1957.- V. 63.- P. 209.

[149] Hughes D.R, Thompson J.G. The Hp-problem and the structure of Hp-groups// Pacific J. Math - 1959.- V. 9.- P. 1097-1101.

[150] Huppert B. Endliche Gruppen 1. Berlin etc.- Springer.- 1967.

[151] Kegel O.H. Nicht einfache Partitionen endlicher Gruppen// Arch. Math.- 1961.- B. 12.- S. 170-175.

[152] Kegel O.H. Die Nilpotenz der #P-Gruppen// Math. Z.- 1960/61,-B. 75,- S. 373-376.

[153] Landbrock P. Finite groups with Sylow 2-intersection of rank < 1// Math. Scand.- 1973,- V. 32, N 1.- p. 31 - 45.

[154] Suzuki M. On finite groups with cyclic Sylow subgroups for all odd primes// Amer. J. Math.- 1955,- V. 77.- P. 657-691.

[155] Suzuki M. A new type of simple groups of finite order// Proc. Nat. Acad. Sci. USA.- I960.- V. 46.- P. 868-870.

[156] Suzuki M. Finite groups with nilpotent centralizers// Trans. Amer. Math. Soc.- 1961,- V. 99.- P. 425-470.

[157] Suzuki M. On a finite group with a partition// Arch. Math-1961,- V. 12.- P. 241-254.

[158] Suzuki M. On a class of doubly transitive groups, I, II// Ann. Math.- 1962, 75.- 105-145; 1969, 79.- 514-589. Proc. Nat. Acad. Sci. USA.- I960.- V. 46.- P. 868-870.

[159] Thomas S. The classification of the simple periodic linear groups// Arch. Math.- V 41.- 1983.- P. 103 - 116.

[160] Thompson J.G. Finite groups with fixed-point-free automorphisms of prime order// Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A.- 1959,- V. 45.- P. 578-581.

[161] Zassenhaus H. Uber endliche Fastkorper// Hamb. Abh - 1936.-B. 11- S. 187-220.