Мономиальность и арифметические свойства конечных групп тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, кандидат физико-математических наук Федоров, Сергей Николаевич

• Федоров, Сергей Николаевич
• кандидат физико-математических наук
• 2008

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Федоров, Сергей Николаевич

Введение

Обозначения, определения и общие сведения.

Глава I Свойство мономиальности конечных групп

§ 1 Определения.

§ 2 Класс М.-групп.

§ 3 Подгруппы .М-групп.

§ 4 Минимальные не-Л^-группы

Глава II Квазифробениусовы Л4-группы

§ 1 Предварительные сведения.

§ 2 Свойства квазифробениусовых групп

§ 3 Признаки мономиальности группы Фробениуса.

§ 4 Условия мономиальности квазифробениусовой группы

§ 5 Мономиальность и арифметические свойства групп Фробениуса

Глава III Мономиальность групп с некоторыми арифметическими свойствами.

§ 1 Классы сопряженности и нормальные подгруппы

§ 2 Граф классов сопряженных элементов.

§ 3 Степени неприводимых характеров.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Мономиальность и арифметические свойства конечных групп»

В теории конечных групп существует область исследований, направленных на получение абстрактных свойств групп исходя из информации об их представлениях или характерах. Изучением структуры конечной группы в зависимости от свойств их характеров занимались такие математики, как Р. Брауэр, У. Берпсайд, М. Судзуки, Б. Хупперт, М. Айзеке, JI. Дорн-хофф, Э. Дейд и др. Примером применения соответствующих методов являются доказательства теорем Фробениуса, Берпсайда (о разрешимости {р, д}-групп), Фейта — Томпсона (о разрешимости групп нечетного порядка) и т. д.

Таким образом, обладая, с одной стороны, информацией о характерах группы с заданными свойствами, а с другой стороны — некоторым описанием структуры группы на основе данных о характерах, можно использовать теорию характеров на промежуточных этапах в выводе результатов о строении самой группы, формулировки которых могут быть чисто теоретико-групповыми.

В связи с этим небезынтересным представляется такой частный вопрос, как поиск условий, при которых все неприводимые характеры группы имеют одно и то же определенное свойство. Именно, интересующим нас в данном контексте свойством является мономиальность: характер группы называется мономиальным, если он индуцирован характером степени 1 некоторой подгруппы.

Цель настоящей диссертации — исследовать вопрос о мономиальности групп (т. е. мономиальности всех их неприводимых характеров) из некоторых классов и найти условия, главным образом арифметического вида, обеспечивающие наличие этого свойства у группы.

Впервые термин «мономиальная группа» использовал Генрих Машке [32] еще в конце XIX века, правда, применительно к подстановочным группам специального вида (фактически, так он назвал группы, состоящие из мо-номиальных матриц, т. е. матриц с единственным ненулевым элементом в каждой строке и каждом столбце). Мы же будем называть мономиальны-ми (или .М-группами) именно группы только с мономиальными неприводимыми характерами, как было сказано выше. Связь этого понятия с мономиальными матрицами состоит в том, что каждое линейное представление Л^-группы (в некотором базисе пространства представления) имеет матрицы только такого вида. Последнее условие является не только необходимым, но и достаточным.

По-видимому, первым подходом к изучению .М-групп следует считать работу Ганса Фредерика Блихфельдта [12] 1904 года, где, по сути, доказано, что примарные группы мономиальны. Основополагающим же в этой теории стал опубликованный двадцатью шестью годами позже результат Киёси Такеты [37]: было показано, что мономиальные группы разрешимы. С тех пор началось более или менее активное изучение свойств Л^-групп, особенно в том, что касается достаточных условий мономиальности.

Однако подобные исследования столкнулись с определенными сложностями. В 1952 году Нобору Ито [28] показал, что подгруппы Л4-групп не обязаны быть мономиальными. Более того, в конце 1960-х годов — в период, пожалуй, наиболее интенсивного изучения Л^-групп — Эверет-том Дейдом было доказано, что любая конечная разрешимая группа может быть вложена в Л^-группу той же производной (нильпотентной, сверхразрешимой) длины (см. [36]) и с тем же множеством простых делителей ее порядка. Этот результат показывает, насколько велик класс мономиаль-ных групп и как трудно отделить их от других разрешимых групп и получить их общую теоретико-групповую характеризацию. Однако и после этого попытки выяснить структуру .М-групп продолжались.

Вообще, исследования в теории Л^-групп распадаются на следующие основные ветви: поиск необходимых и достаточных условий мономиальности группы, характеризация класса .М-групп; поиск условий мономиальности тех или иных подгрупп .М-групп; изучение минимальных не-Л4-групп; различные обобщения и аналоги понятия .М-групп. Систематизированная информация об основных направлениях развития данной теории изложена в главе I, посвященной общим вопросам изучения .М-групп.

Центральной задачей данной работы, как уже было сказано, является получение различных условий мономиальности конечной группы, имеющих арифметический характер. Выбор условий именно такого типа объясняется тем, что подобный подход к Л4-группам практиковался крайне мало, можно сказать, фрагментарно, несмотря на то, что теория развивается уже достаточно долгое время. Однако, по-видимому, он способен внести некоторый вклад в развитие теории данного класса групп и помочь еще приблизиться к решению вопроса его теоретико-групповой характеризации.

Во второй главе диссертации исследуются квазифробениусовы группы — обобщение понятия группы Фробениуса — конечные группы, имеющие фро-бениусову факторгруппу по центру. Потребность в изучении именно этого класса конечных групп появилась в связи с тем, что квазифробениусовы и, в частности, фробениусовы группы довольно часто выступают в качестве одного из вариантов строения группы, возникающих при попытках классификации групп с определенными ограничениями (в том числе числовыми) на множество классов сопряженных элементов. Таким образом, результаты второй главы носят вспомогательный характер для решения поставленной задачи, хотя полученный критерий мономиальности группы Фробениуса может представлять интерес и сам по себе — как решение задачи теоретико-групповой характеризации, суженной на отдельно взятый класс конечных групп.

Теорема 2.3.2. Пусть G — группа Фробениуса с дополнением Н. Тогда следующие условия эквивалентны:

1) G — М-группа;

2) G — М,-группа;

3) Н — М-группа;

4) Н сверхразрешима;

5) Н метабелева.

Простейшие следствия из этой теоремы представляют собой набор условий, в том числе и арифметических, накладываемых на ядро и дополнение, которые влекут мономиалыюсть группы Фробениуса. При распространении этого критерия на квазифробениусовы группы часть импликаций перестает быть верной (см. гл. II, § 4).

Третья глава посвящена собственно арифметическим условиям мономи-альности конечных групп. Следующие три утверждения представляют достаточные условия мономиальности группы, обладающей нормальной подгруппой, вне которой лежит не более трех классов сопряженных элементов (кс(Х) здесь обозначает количество классов сопряженности группы G, пересечение которых с множеством X непусто, а .М-группа — группу, все подгруппы которой мономиальны).

Теорема 3.1.4. Пусть G — конечная группа, имеющая такую нормальную подгруппу N, что kc(G — N) = 1. Тогда G — А4-группа.

Теорема 3.1.5. Пусть G — конечная группа, содержащая нормальную подгруппу N с условием kc(G — N) = 2. Тогда G — АЛ-группа, если выполнено одно из условий: a) \G/N\ ф 2;

6) \G/N\ = 2, и если G2 € Syl2(G) — кватернионная группа, то N — Нр-свободная группа1 для любого нечетного простого р.

1 Определение этого понятия см. на с. 12.

Теорема 3.1.6. Пусть G — конечная разрешимая группа, имеющая нормальную подгруппу N, удовлетворяющую двум условиям: |G/N\ / 2 и kG{G -N)= 3. Тогда G - М-группа.

Несколько иной взгляд на множество классов сопряженных элементов, точнее на выбор его числовых характеристик, позволяет сформулировать следующую теорему о мономиальности группы, имеющей ограничения на количество классов сопряженности и наибольшую из их мощностей. Основным инструментом, использованным в доказательстве этого утверждения, является граф классов сопряженных элементов группы, идея которого была предложена JI. С. Казариным в работе [2].

Теорема 3.2.10. Пусть для количества k{G) классов сопряженных элементов группы G и наибольшей из их мощностей bcs(G) справедливо одно из утверждений:

1) bcs(G) — простое число;

2) bcs(G) ^ 9 и 6 i cs(G);

3) k{G) ^ 6; кроме случаев (k(G), bcs(G)) = (5,20) и (6,56). Тогда G — М,-группа.

Ослабить числовые ограничения в теореме 3.2.10, не накладывая дополнительных условий на группу, затруднительно — существуют примеры немономиальных групп с небольшими значениями k(G) и bcs(G).

Известный параллелизм результатов, в основе которых лежат свойства, с одной стороны, мощности классов сопряженных элементов, а с другой — степени неприводимых характеров, дает основания полагать, что для степеней характеров можно получить некоторые аналоги признаков мономиальности, сформулированных в терминах мощностей классов сопряженности. Однако оказывается, что в случае характеров для получения тех же выводов требуются более жесткие ограничения. Например, тогда как условие «мощности всех классов сопряженных элементов группы свободны от квадратов» влечет сверхразрешимость группы [13], для множества cd(G!) степеней неприводимых характеров группы G справедлива лишь следующая теорема.

Теорема 3.3.2. Пусть G — конечная группа. Предположим, что силов-ские р-подгруппы подгруппы Фиттинга F{G) l-Lp-свободны. Если элементы множества cd(Gr) свободны от квадратов, то либо

1) G мономиальна; либо

2) G = А? х Н, где Н — Л4-группа, и тогда cd(G) Э {1, 2-3, 2-5, 2-7, 3-5, 3-7, 5-7} га. е. cd(G) содержит все возможные произведения пар различных чисел из множества {2,3, 5, 7}).

Основные результаты, полученные в диссертации, опубликованы в работах автора [45, 46, 47, 48].

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю кандидату физико-математических наук, доценту Игорю Андреевичу Чубарову за постановку задачи, всестороннюю помощь и внимание к работе над диссертацией, а также всем сотрудникам кафедры высшей алгебры — за доброжелательное отношение и творческую атмосферу.

Обозначения, определения и общие сведения

В этом разделе приведен список обозначений, используемых далее, а также даны некоторые определения и результаты общего характера, применяющиеся неоднократно. Более специфические результаты, относящиеся к теории Л^-групп или использующиеся разово, приведены непосредственно в тексте.

Утверждения в настоящей работе нумеруются следующим образом: <Жд главы>.<№ параграфа>.<№ утверждения в данном параграфе>. Утверждения, пронумерованные только одним числом, относятся к вводной части диссертации.

Все группы, рассматриваемые далее, предполагаются конечными, а характеры обыкновенными (над полем комплексных чисел), если не указано противное.

В данной работе, как правило, G обозначает конечную группу, р — простое число, а 7г — множество простых чисел. Через 7г' обозначается множество простых чисел, не содержащее 7г.

1 — в зависимости от контекста: число 1, единица данной группы, а также единичная группа {1}. Е — единичная матрица. х9 — элемент, сопряженный с х посредством д\ х9 = д~1хд. ж, у] — коммутатор элементов х и у; [ж, у] = х~1у^ху. xG — класс сопряженности в G, порожденный элементом х\ xG = {д~1хд | д Е G}. X — У — разность множеств X и У; X - Y = {х \ х Е X, х £ У}. (X) — группа, порожденная множеством X элементов группы G.

А < G — собственная подгруппа А в группе G. А ^ G — нормальная подгруппа А в группе G. A char G — характеристическая подгруппа А в группе G. [А, В] — взаимный коммутант подгрупп A,B^G)

А,В] = {[а,Ъ] | аеА,ЪеВ). G' — коммутант (производная подгруппа) группы G; G' = [G, G].

Q(n) пая производная подгруппа группы G (п 6 N);

Q(n) (£(п-1)у

Sylp(G) — множество силовских р-подгрупп группы G. Gqг — холлова 7Г-подгруппа группы G. Z(G) — центр группы G.

Cg(x) — централизатор элемента х в группе G;

Cg{x) = {д GG | д~гхд = ж}. Ng(H) — нормализатор подгруппы Н в группе G;

Ng{H) = {geG | д-Чд 6 Я V/i € Я}. ОтДб?) — наибольшая нормальная 7Г-подгруппа в группе G. F(G) — подгруппа Фиттинга, т. е. произведение всех нормальных нильпотентных подгрупп в группе G. GF(<?) — конечное поле, состоящее из q = рп элементов. т | п — т делит п (m, п G Z). т, п) — наибольший общий делитель целых чисел тип. мощность множества X. |ж[ — порядок элемента х Е G\ |ж| = |(ж)|.

G : N\ — индекс подгруппы N в группе G. тг' — множество простых чисел, не содержащее элементов множества 7Г.

7Г(п) — множество простых делителей натурального числа п. ir(G) — множество простых делителей порядка группы G;

7r(G) = 7r(|G|). (В отдельных случаях 7r(G) обозначает образ G при естественном эпиморфизме.) dl(G) — производная длина (ступень разрешимости) группы G. exp(G) — экспонента группы G, т. е. наименьшее общее кратное порядков ее элементов. cs(G) — множество мощностей классов сопряженных элементов группы G. cs*(G) — совокупность мощностей классов сопряженных элементов группы G с учетом кратностей. bcs(G) — наибольшая из мощностей классов сопряженных элементов группы G. кс(Х) — минимальное количество классов сопряженных элементов группы G. объединение которых содержит множество X. k(G) — количество классов сопряженных элементов в группе G; k(G) = kG{G). А = В — группа А изоморфна группе В. А \ В — полупрямое произведение группы А и группы В, причем А ^ АВ. Irr(G) — множество неприводимых характеров группы G. Irri(G) — множество нелинейных неприводимых характеров группы G. Lin(G) — множество линейных характеров группы G. X £ Ф — характер х является неприводимой компонентой характера ф. фс — индуцированный характер. х\н ~ ограничение характера х на подгруппу Н. (£ъ£2)<? ~~ скалярное произведение классовых функций £2 : G —> С; geG cd(G) — множество степеней неприводимых характеров группы G. cd*(G) — совокупность степеней неприводимых характеров группы G с учетом кратностей. Г(С) — граф классов сопряженных элементов группы G см. опр. 3.2.1). Сп — циклическая группа порядка п.

Q, Qn — обобщенная группа кватернионов порядка п = 2*+2, t Е N;

Qn = (а, Ь\ а* = Ъ2 = 1,аъ = а'1). . Dn — группа диэдра порядка 2п.

Все упоминаемые далее группы подразумеваются конечными. Представления и характеры — над полем комплексных чисел.

Если 7г — некоторое множество простых чисел, то 7т-группой называют группу, простые делители порядка которой содержатся в 7г.

Примарная группа—р-группа для некоторого простого числа р, т. е. группа порядка рп для некоторых рипеМи {0}.

Подгруппа группы G называется холлов ой, если ее порядок взаимно прост с ее индексом в G. Вообще, делитель к числа п называют холловым, если (п, п/к) = 1.

Подгруппа К группы G называется дополнением к подгруппе Н ^ G, если G = НК и Я П К = 1.

Говорят, что G имеет (нормальное, абелево) 7Г-дополнение, если у G есть (соответственно нормальная, абелева) холлова 7г'-подгруппа.

Сечение группы —это гомоморфный образ некоторой ее подгруппы.

Элементарная абелева р-группа — группа, изоморфная прямому произведению нескольких копий группы Ър.

Экстраспециалъная р-группа — это группа порядка р2т+1 с циклическими центром и коммутантом Z(G) = (?', \G'\ = р, и с G/Z{G) — элементарной абелевой порядка р2т.

Назовем 7^2-группой группу кватернионов Qs порядка 8, а 7{р-группой, где р — нечетное простое,— экстраспециальную р-группу порядка р3 экспоненты р. Тогда УНр-свободной группой будем называть группу, которая не имеет сечений, являющихся ^-группами. Условие «G — "Несвободна» эквивалентно тому, что силовские р-подгруппы группы G ^-свободны — см. лемму 4.

Группа G модулярна, если решетка ее подгрупп модулярна, т. е. из С ^ А следует АП {В, С) = (АОВ, С) для любых подгрупп Д В, С из группы G.

Z-группа — группа, у которой все силовские подгруппы циклические (см. [34]).

Л-группа — разрешимая группа, у которой все силовские подгруппы абе-левы (это определение ввел Ф. Холл [18]).

Метациклическая группа — группа, обладающая циклической нормальной подгруппой, факторгруппа по которой тоже циклическая.

Метабелева группа — группа, имеющая абелеву нормальную подгруппу, факторгруппа по которой абелева; для этого необходимо и достаточно, чтобы коммутант группы был абелевым.

Сверхразрешимой называют группу, имеющую нормальный ряд с циклическими факторами.

Группа Фробениуса (фробениусова группа) G — это группа, содержащая такую подгруппу Н ф 1, называемую дополнением, что Н П Нх = 1 для всех х G G — Н. Группа Фробениуса G обладает собственной нормальной подгруппой N, называемой ядром. (Мы будем всегда иметь в виду конечные группы Фробениуса.)

Говорят, что группа G действует свободно на группе М, если элемент т € М остается на месте под действием элемента g Е G только в случае g = 1 или т = 1.

Автоморфизм о; группы G называется регулярным, если да ф д для любого неединичного элемента д £ G.

Мы будем говорить, что число п G N свободно от квадратов (кубов), если п не делится на квадрат (соответственно куб) никакого простого числа.

Арифметическими свойствами конечной группы будем называть принадлежность каких-либо ее числовых характеристик тем или иным числовым множествам. К числовым характеристикам группы G относятся, например, порядок |G|, множество его простых делителей ir(G), порядки и индексы подгрупп, ступени разрешимости dl(G), нильпотентности и т. п., количество и мощности классов сопряженных элементов, степени неприводимых характеров и т. д.

Лемма 1. [22, 1.7] Пусть N ^G, Р е Sylp{G). Если N QG, то NP/N G € Syl„(G/JV). Если N ^ G или Р ^ G, то N П Р Е Sylp(iV).

Лемма 2. [24, лемма 15.5] Если N ^G, то \xN\ \ \xG\ и \(xN)g/n\ | |rcG|.

Лемма 3. Если N ^ G и <р Е Iyi(N), то <р( 1) | х(1) для некоторого X е Irr(G).

Доказательство. Возьмем х £ (pG, т. е. (х\н,ф)н = {Xi4>G)g Ф О-Тогда, согласно [26, (6.8)], <р(1) | х(1). □

Лемма 4. Пусть р — простое число. Группа G не имеет сечений, изоморфных Qs, если р = 2, или изоморфных экстраспециальной группе порядка р3 экспоненты р, если р нечетно (т. е. G Tip-свободна), тогда и только тогда, когда силовские р-подгруппы группы G обладают тем же свойством.

Доказательство. (=Ф-) Очевидно, так как сечение подгруппы является сечением всей группы. t=) Допустим, что группа G содержит подгруппу L, некоторая факторгруппа L/N которой — 7/р-группа, причем L (jt Gp. Пусть Т Е SylP(L). Тогда можем записать: L/N = NT/N = Т/Т ON — T/Np. Значит, группа Gp (содержащая Т) не ^-свободна. □

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Федоров, Сергей Николаевич, 2008 год

1. Бусаркин, В. М. Конечные расщепляемые группы / В. М. Бусаркин, Ю. М. Горчаков. — М. : Наука, 1968. — 112 с.

2. Казарин, Л. О группах с изолированными классами сопряженных элементов / Л. Казарин // Изв. вузов. Математика.— 1981.— № 7 (230) .-С. 40-45.

3. Каргаполов, М. И. Основы теории групп / М. И. Каргаполов, Ю. И. Мерзляков. — М.: Наука, 1982.

4. Кэртис, Ч. Теория представлений конечных групп и ассоциативных алгебр / Ч. Кэртис, И. Райнер. — М. : Наука, 1969. — 668 с.

5. Холл, М. Теория групп / М. Холл. — М. : Изд-во иностранной литературы, 1962.

6. Чубаров, И. А. Мономиальные характеры и подгруппы / И. А. Чуба- ров // Успехи матем. наук. — 1978. — Т. 33, № 3. — 191—192.

7. Чубаров, И. А. О нормальных подгруппах М-групп / И. А. Чубаров // Тр. семинара им. И. Г. Петровского. — 1978. — Вып. 4. — 249—256.

8. Atlas of finite groups: maximal subgroups and ordinary characters for simple groups / J. Conway, R. Curtis, S. Norton, R. Parker, R. Wilson. — Oxford : Clarendon Press, 1985. — xxxiv -f 252 p.

9. Basmaji, B. G. Monomial representations and metabelian groups / B. G. Basmaji // Nagoya Math. J. - 1969. - Vol. 35. - P. 99-107.

10. Bertram, E. On a graph related to conjugacy classes of groups / E. Bertram, M. Herzog, A. Mann // Bull. London Math. Soc. - 1990. - Vol. 22. -P. 569-575.

11. Huppert, B. Degree-problems. I: Squarefree character degrees / B. Huppert, O. Manz / / Arch. Math. - 1985. - Vol. 45. - P. 125-132.

12. Isaacs, I. M. Character theory of finite groups / I. M. Isaacs. — New York : Dover Publications, Inc., 1994. — xii+303 p. — Corrected reprint.

13. Isaacs, I. M. A characterization of groups in terms of the degrees of their characters. II / I. M. Isaacs, D. Passman / / Pacific J. Math. — 1968. — Vol. 24, no. 3. - P. 467-510.

14. Ito, N. Note on A-groups / N. Ito / / Nagoya Math. J. - 1952. - Vol. 4. - P. 79-81.

15. Ito, N. On finite groups with given conjugate types. I / N. Ito / / Nagoya Math. J. - 1953. - Vol. 6. - P. 17-28.

17. Loukaki, M. I. Normal subgroups of odd order monomial pag6-groups : Ph.D. thesis / Maria I. Loukaki ; Graduate College of the University of Illinois at Urbana-Champaign. — Urbana, 2002.

18. Maschke, H. On ternary substitution-groups of finite order which leave a triangle unchanged / H. Maschke / / Amer. J. Math. — 1895. — Vol. 17, no. 2. - P. 168-184.

20. Passman, D. S. Permutation groups / D. S. Passman.— New York : W. A. Benjamin, 1968.

21. Qian, G. Conjugacy classes outside a normal subgroup / G. Qian, W. Shi, X. You / / Commun. Algebra. - 2004. - Vol. 32, no. 12. - P. 4809-4820.

22. Seitz, G. M. M-Groups and the supersolvable residual / G. M. Seitz / / Math. Z. - 1969. - Vol. 110, no. 2. - P. 101-122.

23. Taketa, K. Uber die Gruppen, deren Darstellungen sich samtlich auf monomiale Gestalt transformieren lassen / K. Taketa // Proc. Jap. Imp. Acad. - 1930. - Bd. 6. - S. 31-33.

24. Vera Lopez, A. Classification of finite groups according to the number of conjugacy classes. I / A. Vera Lopez, J. Vera Lopez // Israel J. Math. — 1985. - Vol. 51, no. 4. - P. 305-338.

25. Vera Lopez, A. Classification of finite groups according to the number of conjugacy classes. II / A. Vera Lopez, J. Vera Lopez // Israel J. Math. — 1986. - Vol. 56. - P. 188-221.

26. Zassenhaus, H. Kennzeichnung endlicher linearen Gruppen als Permutationsgruppen / H. Zassenhaus // Abh. math. Seminar Hamburg. Univ. - 1935/36. - Bd. 11. - S. 17-40.

27. Zassenhaus, H. Uber endliche Fastkorper / H. Zassenhaus // Abh. math. Seminar Hamburg. Univ. - 1935/36. - Bd. 11. - S. 187-220. Публикации автора по теме диссертации

29. Федоров, Н. О мономиальности конечной группы с небольшим числом классов сопряженных элементов вне нормальной подгруппы / Н. Федоров // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1, Математика. Механика. — 2008. - № 2. - 45-46.

30. Федоров, Н. Мономиальность конечных групп с некоторыми условиями на классы сопряженных элементов / Н. Федоров // Фундаментальная и прикладная математика. — 2007. — Т. 13, № 5. — 201—212.

31. Федоров, Н. О квазифробениусовых М-группах / Н. Федоров // Международная конференция «Алгебра и ее приложения» : Тезисы докладов. — Красноярск, 2007. — 138—139. U £\