Конечные группы с несвязным графом простых чисел, имеющим небольшое число вершин тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, кандидат наук Храмцов, Игорь Владимирович

• Храмцов, Игорь Владимирович
• кандидат наук
• 2014

Оглавление диссертации кандидат наук Храмцов, Игорь Владимирович

Содержание

Введение

1 Определения, обозначения и предварительные результаты

2 3-примарные группы с несвязным графом простых чисел

2.1 Предварительные результаты

2.2 Главные факторы коммутантов 3-примарных групп

2.3 Главные факторы 3-примарных групп

3 4-примарные группы с несвязным графом простых чисел

3.1 Графы простых чисел почти простых 4-примарных групп

3.2 Главные факторы коммутантов 4-примарных групп

3.3 Главные факторы 4-примарных групп

3.4 Вполне приводимость некоторых С^(2)Л-7-модулей

4 Реализуемость абстрактного графа с не более чем пятью вершинами как графа простых чисел некоторой группы

4.1 Предварительные результаты

4.2 Графы с двумя или тремя вершинами

4.3 Графы с четырьмя вершинами

4.4 Графы с пятью вершинами

Список литературы

Приложения

Приложение А

Приложение Б

Приложение В

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Конечные группы с несвязным графом простых чисел, имеющим небольшое число вершин»

Введение

Одним из наиболее важных результатов математики 20 века является классификация конечных простых групп [2]. В постклассификационной теории конечных групп интерес многих исследователей вызывают различные проблемы распознаваемости. Для набора параметров некоторой конечной группы естественным является вопрос, насколько этот набор определяет данную группу с точностью до изоморфизма. Примером этого служит проблема распознаваемости конечных групп по спектру или по графу простых чисел (также известному, как граф Грюнберга—Кегеля).

Пусть С — конечная группа. Обозначим через 7г(Сг) множество простых делителей порядка группы С?, а через ^(С) — спектр группы С, т. е. множество всех порядков ее элементов. Множество со(С) определяет граф простых чисел (граф Грюнберга — Кегеля) Г(Сг) группы С?, в котором множество вершин есть 7г(Ст) и две различные вершины р ид соединены ребром тогда и только тогда, когда рд 6 а;(6?). Обозначим число компонент связности графа Г((7) через а множество его связных компонент — через {7гДС) | 1 < г < при этом для группы С? четного порядка считаем, что 2 е 7Г1 (С).

Группа С называется распознаваемой (по спектру), если любая конечная группа Н с условием со(Н) = со(С) изоморфна С. С уже устоявшимся направлением исследований распознаваемости конечных групп по спектру (см. обзор В.Д.Мазурова [13]) тесно связано новое перспективное направление исследований распознаваемости конечных групп по графу простых чисел. Группа (7 называется распознаваемой по графу простых чисел, если для любой конечной группы Н равенство Г (Я) = Г(С?) графов влечет изоморфизм Н = групп. Здесь под равенством графов Г(Н) и Г(6?) понимается совпадение их множеств вершин и множеств ребер соответственно. Ясно, что из распознаваемости конечной группы по графу простых чисел следует ее

распознаваемость по спектру.

Напомним некоторые понятия, которыми мы будем пользоваться в дальнейшем. Группа (7 называется п-примарной, если |7г(С)| = п. Группа называется 2-фробениусовой, если в С существуют такие подгруппы А, В и С, что (7 = АБС, А и АВ — нормальные подгруппы в С, УШ и 5С — группы Фробениуса с ядрами А и В и дополнениями В и С соответственно.

Изучение распознаваемости конечных групп по графу простых чисел имеет совсем недолгую историю. В 2003 г. в работе М. Хаги [25] были даны первые примеры конечных групп, распознаваемых по графу простых чисел, а именно группы 71, М22, М23, М24 и С02, и также получено некоторое описание (но не полная классификация) конечных групп С? таких, что Г(С?) = Г(5), где £ — спорадическая простая группа. В дальнейшем рядом авторов были получены другие результаты в этом направлении, например, в работах [5,7,14,15,33-36] была установлена распознаваемость по графу простых чисел групп ^2(7), 2С2(д), Ь2(<?) и Е8(д) для некоторых д.

Задача распознаваемости конечных групп по графу простых чисел является частным случаем общей задачи изучения конечных групп по свойствам их графов простых чисел. В рамках этой общей задачи прежде всего внимание привлекает более подробное изучение класса конечных групп с несвязным графом простых чисел. Это объясняется тем, что указанный класс широко обобщает класс конечных групп Фробениуса, что сразу видно из структурной теоремы Грюнберга—Кегеля (см. лемму 1.1.1). Роль же групп Фробениуса в теории конечных групп совершенно исключительна.

Заметим также, что класс конечных групп с несвязным графом простых чисел совпадает с классом конечных групп, имеющих изолированную подгруппу (т. е. собственную подгруппу, содержащую централизатор каждого своего неединичного элемента), который изучался многими известными алгебраистами (Ф.Г. Фробениус, М. Судзуки, У. Фейт, Дж. Томпсон, Г. Хигмен,

В.М. Бусаркин, Ю.М. Горчаков, Н.Д. Подуфалов и др.).

Конечные простые группы с несвязным графом простых чисел описаны в работах Уильямса [54] и A.C. Кондратьева [8]. Они составляют довольно узкий подкласс всех конечных простых групп, однако включают многие "малые" в различных смыслах группы, часто возникающие в исследованиях. Например, все конечные простые группы исключительного лиева типа, кроме групп Ej(q) при q > 3, а также все простые группы из известного "Атласа конечных групп" [21], кроме группы Аю, имеют несвязный граф простых чисел. Классификация компонент связности графа простых чисел для конечных простых групп, полученная в работах [54] и [8], была применена Лучидо [38] для получения аналогичной классификации для всех конечных почти простых групп, т. е. групп с простым неабелевым цоколем.

При изучении групп с несвязным графом простых чисел возникают нетривиальные проблемы, связанные с модулярными представлениями конечных почти простых групп. Рассмотрим одну такую проблему. Пусть G — конечная группа с несвязным графом простых чисел, не изоморфная ни группе Фро-бениуса, ни 2-фробениусовой группе. Тогда по теореме Грюнберга— Кегеля и отмеченным в предыдущем абзаце результатам группа G :— G/F(G) почти проста и известна. Предположим, что F(G) ф 1. Каждой связной компоненте 7Ti(G) графа Г(G) для г > 1 соответствует нильпотентная изолированная 7Гг(6?)-холлова подгруппа Xi(G) группы G. Любой неединичный элемент х из Xi(G) (г > 1) действует без неподвижных точек (свободно) на F(G), т.е. Cp(G){x) — 1- Пусть К и L — два соседних члена главного ряда группы G, причем К < L < F(G). Тогда (главный) фактор V — L/K является элементарной абелевой р-группой для некоторого простого числа р, называется р-главным фактором группы G, и его можно рассматривать как точный неприводимый GF(p)G-модуль, причем каждый неединичный элемент из Xi(G) (г > 1) действует без неподвижных точек на V. Поэтому задача

изучения строения группы G во многом сводится к следующей имеющей самостоятельный интерес проблеме.

Проблема 1. Для конечной простой группы G и заданного простого числа р описать все неприводимые СР(р)С-модули V такие, что некоторый элемент простого порядка г (отличного от р) из G действует свободно на V.

Результаты по проблеме 1 полезны для исследования распознаваемости конечных простых групп по спектру или графу простых чисел (см., например, результаты Р. Гуральника и П. Тьепа [24], И.Д. Супруненко и А.Е. Залес-ского [48], A.B. Заварницина [6,55], A.C. Кондратьева, A.A. Осиновской и И.Д. Супруненко [9]).

Расширяя и уточняя проблему 1, мы приходим к следующей общей постановке.

Проблема 2. Пусть G — конечная группа, Q — нетривиальная нормальная подгруппа в G, G := G/Q — известная группа и элемент некоторого простого порядка из G\Q действует на Q без неподвижных точек. Естественными являются следующие вопросы:

1) Каковы главные факторы группы G, входящие в Q1

2) Каково строение группы Q?

3) Если Q элементарная абелева, то будет ли действие G на Q вполне приводимо?

4) Будет ли расширение G над Q расщепляемым?

По классической теореме Томпсона [50] подгруппа Q в условиях проблемы 2 нильпотентна.

Результаты по пункту 1) проблемы 2 используются для решения остальных пунктов этой проблемы.

Несмотря на важность этой проблематики, по ней имеется не так много результатов. Первой работой, в которой исследовался случай, когда С — простая неабелева группа, была классическая работа Г. Хигмена [27]. Если группа С? изоморфна £2(2™), тп > 2 и элемент порядка 3 из действует на (5 без неподвижных точек, то Хигмен дал положительные ответы на пункты 1)—3) проблемы 2. В частности, (5 — элементарная абелева 2-группа, действие С на вполне приводимо и каждый 2-главный фактор группы С изоморфен естественному С^(2т)5Х2(2т)-модулю. Позже Мартино [40,41] получил аналогичный результат для случая, когда группа С? изоморфна Бг(2п) и элемент порядка 5 из С действует на <5 без неподвижных точек. Продолжая работу Хигмена, Стюарт [47] показал, что Ц — 1 в случае, когда группа С? изоморфна 1/2 (д), Я нечетно, д > 5 и элемент порядка 3 из С действует на <5 без неподвижных точек. Работы Принса [44], Цурека [59], Холта и Плеске-на [28] были посвящены случаю, когда = 02(6?), группа С изоморфна и элемент порядка 5 из С действует на ф без неподвижных точек. Этот случай оказался трудным, поскольку в этом случае уже может не быть абелевой группой. Принс и Цурек дали полные (положительные) ответы на вопросы 1), 3) и 4). В частности, Ц есть произведение (7-инвариантных подгрупп Сизоморфных либо гомоциклической 2-группе ранга 4, либо специальной 2-группе порядка 28 с центром порядка 24 (изоморфной унипотентному радикалу некоторой параболический максимальной подгруппы в [/5(2)). Причем в первом случае каждый 2-главный фактор группы (7, входящий в изоморфен ортогональному (подстановочному) С^(2)Л5-модулю, а во втором случае группа Z{Qi) изоморфна ортогональному С^(2)Л5-модулю, а Qi/Z(Qi) — естественному С.Р(4)£Х2(4)-модулю. По раннему результату Г. Хигмена теоретической верхней оценкой для ступени нильпотентности группы была 6. Цурек [59] предположил, что такой оценкой будет 2. Однако в дальнейшем Холт и Плес-кен [28] доказали, что ступень нильпотентности группы ф не превосходит 3,

и построили пример группы порядка 228, когда эта граница достигается. Используя компьютер, они также показали, что примера меньшего порядка не существует. Принс [45] показал, что в случае, когда = (^(С)? группа С? изоморфна Аб и элемент порядка 5 из действует на (3 без неподвижных точек, вопросы 1)-4) решаются положительно. В работе Дольфи, Джабара, Лючидо [3] доказано, что в случае, когда О (С) Ф 1, группа изоморфна Ае и элемент порядка 5 из С действует на без неподвижных точек, то группа О [О) есть абелева 3-группа и 3-главные факторы группы 6? изоморфны 4-мерному неприводимому подстановочному (7.Р(3)С-модулю. Позже в работе [1] были исправлены ошибки, допущенные в работе [3].

Нам потребуются некоторые определения из теории графов. Под термином "граф" понимается неориентированный граф без петель и кратных ребер.

Кликой (соответственно, кокликой) называется граф все вершины которого попарно смежны (соответственно, не смежны).

Граф простых чисел конечной группы (? можно рассматривать как некоторый граф на |7г(Сг)| вершинах, все вершины которого помечены различными простыми числами из 7г(С) так, что две вершины, помеченные простыми числами р ид, смежны тогда и только тогда, когда рд € си (С?). В связи с такой интерпретаций графа простых чисел возникает следующее определение. Будем говорить, что граф Г реализуется как граф простых чисел некоторой группы, если вершины графа Г можно разметить различными простыми числами так, чтобы он стал графом простых чисел некоторой конечной группы. Можно сформулировать следующую проблему.

Проблема 3. Пусть Г — граф с конечным числом вершин. Реализуется ли Г как граф простых чисел некоторой конечной группы?

На данный момент существует совсем не много работ, посвященных проблеме 3. В неопубликованной бакалаврской работе И.Н. Жаркова [4], студента В.Д.Мазурова, было доказано, что цепь реализуется как граф простых

чисел некоторой группы тогда и только тогда, когда его длина не более чем 4.

Аналогичные проблема рассматривались Тонг—Виетом [51] для графа А (С). Граф А (С), который строится по группе (7 по следующим правилам: множеством его вершин являются простые числа, делящие степени неприводимых характеров группы (?. Две различные вершины р и д соединены ребром в А(С) тогда и только тогда, когда рд делит степень некоторого неприводимого характера группы

Диссертация посвящена в основном исследованию проблемы 2 для групп С, для которых граф Г (С) несвязен и имеет 3 или 4 вершины, а факторгруппа ^/^(С) является почти простой группой. Кроме того, целью диссертации было решение проблемы 3 для графов с небольшим числом вершин.

Работа состоит из введения, четырех глав, списка цитированной литературы, содержащего 82 наименования и приложений. Работа изложена на 96 страницах. Главы диссертации подразделяются на параграфы. Вспомогательные утверждения (леммы) и таблицы имеют тройную нумерацию: первая цифра — номер главы, вторая — номер параграфа в текущей главе, третья — номер утверждения в текущем параграфе. Теоремы и следствия из них имеют двойную нумерацию: первая цифра — номер главы, вторая — номер теоремы в главе. Проблемы имеют сквозную нумерацию.

В главе 1 вводятся обозначения и приводятся вспомогательные утверждения, необходимые для доказательства основных результатов диссертации.

В главе 2 рассматривается случай 3-примарной группы С с несвязным графом простых чисел, не являющейся ни группой Фробениуса, ни 2-фробениу-совой группой. Описаны главные факторы такой группы С?. Результаты этой главы представлены в теоремах 2.1 и 2.2.

В главе 3 рассматривается случай 4-примарной группы с несвязным графом простых чисел, не являющейся ни группой Фробениуса, ни 2-фробениу-совой группой. Описаны главные факторы для большинства таких групп.

Это описание представлено в теоремах 3.2-3.12. Кроме того, в теореме 3.13 полностью решена проблема 2 для случая, когдаQ = 02(G) Ф 1, G/Q = Ау и элемент порядка 5 из G действует на Q без неподвижных точек. Этот результат является продолжением упомянутых выше работ Принса, Цурека, Холта и Плескена.

В качестве следствий теорем 2.1, 2.2, 3.2-3.12 дается точный список конечных 3- и 4-примарных групп (следствия 2.1 и 3.1) с несвязным графом простых чисел, распознаваемых по графу простых чисел.

Последняя глава посвящена решению проблемы 3 для графов с числом вершин не более, чем 5. В теореме 4.1 доказано, что граф с числом вершин 5 или менее не реализуется как граф простых чисел некоторой группы тогда и только тогда, когда он является 5-кокликой.

Основные результаты, полученные в работе, являются новыми.

Основными методами исследований являются методы теории конечных групп и методы теории модулярных представлений конечных групп. Также в работе существенно используются вычисления в системе компьютерной алгебры GAP [22].

Работа носит теоретический характер и продолжает исследование проблемы 2, начатое в работах других авторов. Результаты и методы диссертации могут быть использованы для дальнейших исследований групп с несвязным графом простых чисел.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [60]- [82]. Работы [60]- [64], [67]- [72], [74], [76]- [78], [81] выполнены в нераздельном соавторстве с А.С.Кондратьевым. Работы [65], [73], [75], [79,80] выполнены в нераздельном соавторстве с А.Л.Гаврилюком, А.С.Кондратьевым и Н.В.Масловой. Работы [61]- [66] опубликованы в печатных и электронных изданиях из списка ВАК. Работа [60] опубликована в трудах международной конференции. Работы [67]- [82] опубликованы в тезисах международных конференций.

Результаты диссертации докладывались на 41-й, 42-й, 43-й, 44-й и 45-й Всероссийских (международных) молодежных школах-конференциях ИММ УрО РАН (Екатеринбург, 2010-2014 гг.), на международных конференциях "Мальцевские чтения" (Новосибирск, 2011-2013 гг.), на международной конференции "Алгебра и геометрия", посвященной 80-летию со дня рождения А.И.Старостина (Екатеринбург, 2011 г.), на международной конференции "Алгебра и линейная оптимизация", посвященной 100-летию со дня рождения С.Н.Черникова (Екатеринбург, 2012 г.), на международной школ е-конференции по теории групп, посвященной 90-летию со дня рождения З.И.Боревича (Владикавказ, 2012 г.), на международной конференции "Алгебра и комбинаторика", посвященной 60-летию со дня рождения А.А.Махнева (Екатеринбург, 2013 г.), на международной конференции по теории групп, посвященной 70-летию со дня рождения В.Д.Мазурова (Новосибирск, 2013 г.), на международной конференции "Алгебра и логика: теория и приложения", посвященной 80-летию со дня рождения В.П.Шункова (Красноярск, 2013 г.), на международной конференции "Алгебра и математическая логика", посвященной 70-летию со дня рождения М.М.Арсланова (Казань, 2014 г.), на международной конференции "Алгебра и приложения", посвященной 100-летию со дня рождения Л.А. Калужнина (Нальчик, 2014 г.), а также на международной конференции "Groups St Andrews 2013" (Сент-Андрус, Великобритания, 2013 г.). .

Результаты работы докладывались и обсуждались на алгебраическом семинаре ИММ УрО РАН и на семинаре "Теория групп" в ИМ СО РАН.

Вычисления в доказательствах теорем проводятся с применением компьютерной системы GAP [22]. На языке этой системы составлен ряд программ, исходный текст которых приведен в приложениях.

Я выражаю глубокую признательность своему научному руководителю доктору физико-математических наук, профессору Анатолию Семеновичу Кондратьеву за постановку задачи, всестороннюю помощь и поддержку во

время работы над диссертацией. Также я хотел бы поблагодарить сотрудников отдела алгебры и топологии Института математики и механики им. H.H. Красовского УрО РАН за полезные обсуждения результатов диссертации. В особенности хочу поблагодарить кандидата физико-математических наук Наталью Владимировну Маслову за поддержку в процессе работы над диссертацией.

1 Определения, обозначения и предварительные результаты

Наши обозначения и терминология в основном стандартны, их можно найти в [11,17,21,29,30,32]. Приведем некоторые из них.

Через А.В будем обозначать расширение группы А с помощью группы В, а через А: В (А\ В) — расщепляемое расширение группы А с помощью группы В. Через Op(G), где р — простое число, обозначается максимальную нормальную р-подгруппу конечной группы G. Если поле L является расширением поля К, то через (L : К) обозначается степень расширения поля L над полем К.

Если группа G действует на группе Н, то говорят, что неединичный элемент д Е G действует на Н свободно (или без неподвижных точек), если

Сн(д) = 1.

Напомним некоторые понятия теории представлений конечных групп.

Пусть F — поле, a G и Н — группы. Тогда ^(^-модуль V назовем изоморфным FH-морулю W, если существуют изоморфизм ip группы G на группу Н и линейное взаимно однозначное отображение^ пространства V на пространство W такие, что ip(gv) = ф(д)ф{у) для всех д Е G и v Е V.

Два линейных (или матричных) представления Ti и Ti группы называются квазиэквивалентными, если представления Т\а и Ti эквивалентны для некоторого автоморфизма а этой группы.

Напомним некоторые сведения из теории модулярных представлений конечных групп. Пусть р — простое число, К — алгебраическое замыкание поля GF(p), G — конечная группа экспоненты рат, где (р, m) = 1 и / — наименьшее натуральное число такое, что pf = 1 (mod m). Пусть gi,... ,gr — представители классов сопряженных р'-элементов группы G и F — подполе порядка q = pf в К. Тогда все неприводимые представления группы G над К могут быть реализованы над F (см. [30, теорема VII.2.6]), а число их классов

эквивалентности равно г (см. [30, теорема VII.3.9]).

Возьмем порождающий элемент х мультипликативной группы Р* поля Р, так что х есть примитивный (д — 1)-й корень из единицы в поле К. Пусть С = ехр(27гг/(д — 1)). Сопоставим каждому элементу хк группы Р* элемент

поля С. Обратное отображение для этого сопоставления может быть продолжено до кольцевого гомоморфизма —> Р.

Представление группы над полем Р называется абсолютно неприводимым, если оно остается неприводимым для любого расширения поля Р.

Пусть Т: (7 —> СЬ{у) — (р-модулярное) неприводимое представление группы С в конечномерном векторном пространстве V над полем Р (при этом V называется модулем) с (р-модулярным) характером Брауэра (р. Полем определения представления Т называется наименьшее подполе из Р, над которым Т может быть реализовано. Хорошо известно (см. [32, введение]), что поле определения представления Т равно | 1 < г < г).

Если Т: (7 —ОЬп(Р) — матричное представление группы О над полем Р и а 6 АиЬ(Р), то отображение Та\ —такое, что Та(д) = (а?) для д 6 С и Т(</) = (а^) € также является матричным представле-

нием группы С над полем Р. Если V — РС-модуль, соответствующий Т, то через V01 обозначается Рб*-модуль, соответствующий Та. Представление Та (соответственно модуль V01) называется алгебраически сопряженным представлению Т (соответственно модулю V).

Рассмотрим некоторые результаты, которые будут нами использованы.

Лемма 1.1.1 (теорема Грюнберга — Кегеля [54, теорема А]). Если С — конечная группа с несвязным графом простых чисел, то выполняется одно из следующих утверждений.

(1) С — группа Фробениуса;

(2) С? — 2-фробениусова группа;

(3) (2 является расширением нильпотентной 7Г1(С)-группы посредством

группы А, где 1пп(Р) < А < Aut(P), Р — простая пеабелева группа с s(G) < s(P) и A/Inn{P) — 7Ti(G)-группа.

Лемма 1.1.2 (лемма Мазурова [12, лемма 1]). Пусть G — конечная группа, N — нормальная подгруппа в G, G/N — группа Фробениуса с ядром F и циклическим дополнением С. Если (|F|,|iV|) = 1 и F не содержится в NCg(N)/N, то s|C| 6 и (G) для некоторого s G tt(N).

Следующий полезный результат хорошо известен (см., например, [3, лемма

4])-

V Лемма 1.1.3. Пусть G — конечная простая группа, F — поле характеристики р > О, V — абсолютно неприводимый FG-модуль и /3 — характер Брауэра модуля V. Если g — элемент простого порядка, отличного от р, из G, то

1

dim Су (g) = (/%), %) = т-7

^ х€(д)

Лемма 1.1.4 ([47, предложение 3.2]). Пусть G — конечная группа, H < G, G/H = L>2{q), где q нечетно, q> Ъ, и Cn(t) = 1 для некоторого элемента t порядка 3 из G \ H. Тогда H = 1.

Лемма 1.1.5 ([27, теорема 8.2]). Пусть G — конечная группа, 1 ф H < G и G/H = L,2(2n), где n > 2. Предположим, что Cu(t) = 1 для некоторого элемента t порядка 3 из G. Тогда H — 02(G) и H является прямым произведением минимальных нормальных подгрупп порядка 22п в G, каждая из которых как G / H -модуль изоморфна естественному G F (2п) SL2(2n)-модулю.

Лемма 1.1.6 ([41, теорема, замечание 1]). Пусть G — конечная группа, 1 ф H <G, G/H = Sz(q) для q € {8,32}. Предположим, что CH(t) = 1 для некоторого элемента t порядка 5 из G. Тогда H = 02(G) и H является прямым произведением минимальных нормальных подгрупп порядка q4 в G,

каждая из которых как С/Н-модуль изоморфна естественному 4-мерному (7Р(д)5,г:(д)-.модулю.

Лемма 1.1.7 ([30, теорема VII.1.16]). Пусть С — конечная группа, Р = СЕ(рт) — поле определения характеристики р > 0 для абсолютно неприводимого ГС-модуля У, (а) = Ли£(Р), Уо обозначает модуль У, рассматриваемый как СГ{р)С-модуль, и ТУ = Уо Тогда

(1) ^ = ©; =1 V1! гд& Уа — модуль, алгебраически сопряженный с V посредством аг\

(2) Уо является неприводимым Р(р)б-модулем и, в частности, IV реализуется как неприводимый СР(р)С-модуль \/о;

(3) с точностью до изоморфизма модулей неприводимые 6?Р(р)С-модули находятся во взаимно однозначном соответствии с классами алгебраической сопряженности неприводимых £?Р-модулей.

2 3-примарные группы с несвязным графом простых чисел

В этой главе описаны главные факторы 3-примарной группы С с несвязным графом простых чисел, которая не является ни группой Фробениуса, ни 2-фробениусовой группой. Результаты представлены в теоремах 2.1 и 2.2.

2.1 Предварительные результаты

Нам потребуются следующие вспомогательные утверждения.

Лемма 2.1.1 ([26]). Если С — конечная простая трипримарная группа, то С? изоморфна одной из следующих групп: Ьг(7), AQ, ¿2(8), 1/2(17),

и3(з), 1/4(2).

Следующая лемма следует из леммы 2.1.1 и [21].

Лемма 2.1.2. Почти простые 3-примарные группы с несвязным графом Грюнберга—Кегеля перечислены в табл. 2.1.1.

Таблица 2.1.1: Графы Грюнберга—Кегеля почти простых 3-примарных групп.

Группа Ь Граф Г(£)

АЫ(А5) РСЬ2(5) ^ бО^(2) Л6 ¿2(9) 5Р4(2)' РБ01 (3) 5б = Зр4(2) ^ РСОд (3) РС£2( 9) Мю Аи1{А6) ^ РТЬ2{9) РГ03(9) ¿з(3) АЫ(Ь3(3)) ООО 2 3 5 0-о о 2 3 5 ООО 2 3 5 о-о о 2 3 5 о-о о 2 5 3 ООО 2 3 5 О-0-о 3 2 5 О-0 о 2 3 13 о-о о 2 3 13

Группа L Граф F{L)

Щ(2) PSPi(3) ^ РЩ(2) о— 2 -о 3 о 5

Aut{Ui{2)) = PGO$(2) о— 2 -О- 3 —о 5

u3(3) ^ G2(2)' о— 2 -о 3 о 7

Aut{U3(3)) ^ G2(2) о— 2 -о 3 о 7

L2(7) ^ GL3(2) о о о

2 3 7

Aui(L2(7)) ^ PGL2(7) о— 2 -О 3 о 7

¿2(8) * 2G2(3)' о 2 о 3 о 7

Aui(L2(8)) 2G2(3) о— 2 -о 3 о 7

¿2(17) о 2 о 3 о 17

Aut(L2( 17)) ^ PGL2(17) о— 2 -о 3 о 17

Нам потребуются некоторые известные сведения о модулярных представлениях почти простых 3-примарных групп.

Пусть К € {Лб,^}. Хорошо известно (см. [32]), что существует с точностью до изоморфизма точно два неприводимых GF (2) К-модуля размерности 4. Первый модуль возникает из вложений

SL2{4) Аъ < S5 < (Л х 3) X 2 ^ Г 1/2(4) < GL4(2),

мы будем называть его естественным GF(2)K-модулем и обозначать через М. Все элементы порядка 3 или 5 из К действуют на М свободно, а сама группа К действует транзитивно на М \ {0}. Второй модуль возникает из вложений

ОД2) ^ А5 < Sb ~ С04-(2) < 5р4(2) < GL4(2),

мы будем называть его ортогональным GF (2) К -модулем и обозначать через N. Элементы порядка 5 из К действуют на N свободно, однако dim См{д) = 2

для любого элемента д порядка 3 из К и длины К-орбит на N равны 1, 5, 10. Если V — 5-мерное векторное пространство над полем Р порядка 2 или 3 с базисом (г>1,..., г^) и элементы из К рассматриваются как линейные преобразования пространства V, индуцирующие соответствующие подстановки его базисных векторов, то V становится точным РК-модулем. При этом подпространство Уо, порожденное вектором у\ + - —Ь^5> является /('-инвариантным, а фактор-пространство У/Уо является неприводимым Р/Г-модулем размерности 4, который называется подстановочным РК-модулем. Этот модуль изоморфен N при |Р| = 2, а при (Р| = 3 является единственным точным неприводимым РА'-модулем, на котором элементы порядка 5 из К действуют свободно (это легко видеть из леммы 1.1.3 и соответствующих таблиц характеров Брауэра группы К из [32]).

Рассмотрим простую группу Н — и§(2), естественным образом действующую на унитарном пространстве размерности 5 над СР(4), и параболическую максимальную подгруппу Р в ней, стабилизирующую 2-мерное вполне изотропное подпространство этого пространства. Обозначим 02 (Р) через С^р. Ввиду [21] и [44, теорема 1 и замечание] Р = X <ЗЬ2(4), =

Яр X ГЬ2(4), \Ор\ = 28, 2(<Зр) = <3'Р = Ф(£Р) = Ог{ЯР) = 24, и действие подгруппы из Л^4М£(я)(Р), изоморфной или 55, на естественное,

а на ^(<5р) — ортогональное.

Лемма 2.1.3 ([44, теорема 1, леммы 3.1 и 4.1]; [59, следствие 2, лемма 1.3]; [28]). Пусть — конечная группа, О2(С) Ф 1, С?/02(£7) = и Со2(с)(^) = 1 для некоторого элемента £ порядка 5 из С. Тогда С? = 02(С)\Ь, где Ь = и Ог(^) есть произведение Ь-инвариантных подгрупп У\, каждая из которых изоморфна либо гомоциклической абелевой группе ранга 4, либо группе Яр, причем ступень нильпотентности группы 02(6?) не превосходит 3. Кроме того, если У{ — элементарная абелева 2-группа, то она как СР(2)Р-модуль изоморфна М или АГ/ если Ц, — неэлементарная гомоциклическая

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Храмцов, Игорь Владимирович, 2014 год

Список литературы

[1] Астилл, С. О группах, в которых централизаторы элементов порядка 5 являются 5-группами / С. Астилл, К. Паркер , Р. Валдекер // Сиб. мат. журн. - 2012. Vol 53, №3. - С. 967-977.

[2] Горенстейн, Д. Конечные простые группы. Введение в их классификацию / Д.Горенстейн. - М.:Мир, 1985.-352 с.

[3] Дольфи, С. С55-группы / С. Дольфи, Э. Джабара, М.С. Лючидо // Сиб. мат. журн. - 2004. - Т. 45, № 6. - С. 1285-1298.

[4] Жарков, И.Н. О группах, чей граф простых чисел является цепью: бакалаврская работа // И.Н. Жарков / Новосибирский гос. ун-т — 2008 — (не опубликовано).

[5] Заварницин, A.B. О распознавании конечных простых групп по графу простых чисел / A.B. Заварницин // Алгебра и логика. — 2006. — Т. 45, № 4. - С. 390-408.

[6] Заварницин, A.B. Свойства порядков элементов в накрытиях групп Ln(q) и Un(q) / A.B. Заварницин // Сиб. матем. журн.—2008.—'Т. 49, Ж 2.— С. 308-321.

[7] Заварницин, A.B. Конечные группы с пятикомпонентным графом простых чисел / A.B. Заварницин // Сиб. мат. журн. — 2013. — Т. 54, № 1. - С. 57-64.

[8] Кондратьев, A.C. О компонентах графа простых чисел конечных простых групп / A.C. Кондратьев // Мат. сб. - 1989. - Т. 180, № 6. — С. 787-797.

[9] Кондратьев, A.C. О поведении элементов простого порядка из цикла зингера в представлениях специальной линейной группы / A.C. Кондратьев,

A.A. Осиновская, И.Д. Супруненко // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН - 2013. - Т. 19, № 3. - С. 179-186.

[10] Коуровская тетрадь. Нерешенные вопросы теории групп. Изд. 15-е. / Новосибирск: Ин-т математики СО РАН, — 2002. — 172 с.

[11] Кэртис, Ч. Теория представлений конечных групп и ассоциативных алгебр / Ч. Кэртис, И. Райнер // М.: Наука, - 1969. - 668 с.

[12] Мазуров, В.Д. Характеризация конечных групп множествами порядков их элементов / В.Д. Мазуров // Алгебра и логика. — 1997. — Т. 36, № 1. - С. 37-—-53.

[13] Мазуров, В.Д. Группы с заданным спектром / В.Д. Мазуров // Изв. Урал. гос. ун-та. - 2005. - № 36 - С. 119-138.

[14] Хосрави, А. Квазираспознавание простой группы 2G2(q) по графу простых чисел / А. Хосрави, Б. Хосрави // Сиб. мат. журн. — 2007. — Т. 48, № 3. - С. 707-715.

[15] Хосрави, А. 2-распознаваемость PSL(2,p2) по графу простых чисел / А. Хосрави, Б. Хосрави // Сиб. мат. журн. - 2008. - Т. 49, № 4. - С. 934-944.

[16] Arad, Z. Classification of finite groups with a CC-subgroup / Z. Arad, W. Herford // Comm. Algebra. - 2004. - Vol. 32, № 6. - C. 2087-2098.

[17] Aschbacher, M. Finite group theory / M. Aschbacher // Cambridge: Cambridge Univ. Press, — 1986. — 274 c.

[18] Bugeaud, Y. On simple ^-groups / Y. Bugeaud, Z. Cao, M. Mignotte //J. Algebra. - 2001. - Vol. 241, №. 2. - C. 658-668.

[19] Burkhardt, R. Die Zerlegungsmatrizen der Gruppen PSL(2,pf)-gvoups / R. Burkhardt //J. Algebra. - 1976. - Vol. 40, no. 1. - C. 75-96.

[20] Chen, G.Y. Recognition of the finite simple groups PGL2(q) by their spectrum / G.Y. Chen, V.D. Mazurov, W.J. Schi, A.V. Vasil'ev, A.Kh. Zhurtov //J. Group Theory. - 2007. - Vol. 10, №. 1. - C. 71-85.

[21] Conway, J.H. Atlas of finite groups / J.H. Conway, R.T. Curtis, S.P. Norton, R.A. Parker, R.A. Wilson. — Oxford: Clarendon Press, — 1985. — 252 c.

[22] The GAP Group, GAP — Groups, Algorithms, and Programming, Ver. 4.7.4. 2014. URL: http://www.gap-system.org.

[23] Gorenstein, D. The classification of the finite simple groups. Number 3. Math. Surv. Monogr. / D. Gorenstein, R. Lyons, R. Solomon. — Providence, RI: Amer. Math. Soc, - 1998. - Vol. 40, №. 3.

[24] Guralnik, R.M. Finite simple unisingular groups of Lie type / R.M. Guralnik, P.H. Tiep //J. Group Theory. - 2003. - Vol. 6, №. 3. - C. 271-310.

[25] Hagie, M. The prime graph of a sporadic simple group / M. Hagie // Comm. Algebra. - 2003. - Vol. 31, № 9. - C. 4405-4424.

[26] Herzog, M. On finite simple groups of order divisible by three primes only / M. Herzog //J. Algebra. - 1968. - Vol. 10. №. 3. - C. 383-388.

[27] Higman, G. Odd characterizations of finite simple groups: lecture notes / Higman G. — Michigan: University Michigan, — 1968. — 77 c.

[28] Holt, D.F. ^-invariant 2-groups with no trivial sections / D.F. Holt, W. Plesken // Quart. J. Math. Oxford. Ser. 2. - 1986. - V. 37, № 145. -C. 39-47.

[29] Huppert, B. Endliche Gruppen I / B. Huppert // Berlin: Springer-Verlag, — 1967. - 793 c.

[30] Huppert, B. Finite groups II / B. Huppert, N. Blackburn // Berlin: SpringerVerlag, - 1982. - 531 c.

[31] Huppert, B. Simple groups of order divisible by at most four primes / Huppert B., Lempken W. // Proc. F. Scorina. Gomel State University. — 2000. — Vol. 16 №3. - C. 64-75.

[32] Jansen, C. An atlas of Brauer characters / C. Jansen, K. Lux, R. Parker, R. Wilson. — Oxford: Clarendon Press, — 1995. — 327 c.

[33] Khosravi, B. Groups with the same prime graph asl^g) where q—pa< 100 / B. Khosravi, S.S.S. Amiri // Hadronic J. - 2007. - Vol. 30, №. 3. - C. 343354.

[34] Khosravi, B. On the prime graph of PSL(2,p) where p > 3 is a prime number / Bahman Khosravi, Behnam Khosravi, Behrooz Khosravi // Acta Math. Hungar. - 2007. - Vol. 116, №. 4. - C. 295-307.

[35] Khosravi, B. Groups with the same prime graph as a CIT simple group / Bahman Khosravi, Behnam Khosravi, Behrooz Khosravi // Houston J. Math. - 2007. - Vol. 33, №. 4. - C. 967-977 (electronic).

[36] Khosravi, B. n-recognition by prime graph of the simple group PSL(2, q) /

B. Khosravi //J. Algebra Appl. - 2008. - Vol. 7, no. 6. - C. 735-748.

[37] Kondratiev, A.S. Finite linear groups of small degree. II / A. S. Kondratiev // Commun. Algebra. - Vol. 29 №9 - 2001. - C. 4103-4123.

[38] Lucido, M.S. Prime graph components of finite almost simple groups / M.S. Lucido // Sem. Mat. Univ. Padova. - 1999. — Vol. 102. - C. 1-22; addendum // Rend. Sem. Mat. Univ. Padova. - 2002. - Vol. 107. - C. 189-190.

[39] Lucido, M.S. The diameter of the prime graph of a finite group / M. S. Lucido //J. Group Theory. - 1999. - №2 - C. 157-172.

[40] Martineau, P. On representations of the Suzuki groups over fields of odd characteristic / P. Martineau // J. London Math. Soc. — 1972. — V. 6. —

C. 153-160.

[41] Martineau, P. On 2-modular representations of the Suzuki groups / P. Martineau // Amer. J. Math. - 1972. - V. 94. - C. 55-72.

[42] Mortimer, B. The Modular Permutation Representations of the Known Doubly Transitive Groups / B. Mortimer // Proc. London Math. Soc. — 1980. - V. 41, №1. - C. 1-20.

[43] Nickel, W. Endliche Körper in dem gruppentheoretischen Programmsystem GAP: Diploma thesis / Aachen:RWTH, - 1988.

[44] Prince, A.R. On 2-groups admitting A5 or with an element of order 5 acting fixed point freely / A.R. Prince //J. Algebra. — 1977. — V. 49, № 2.

- C. 374-386.

[45] Prince, A.R. An analogue of Maschke's theorem for certain representations of Aq over GF(2) / A.R. Prince // Proc. Roy. Soc. Edinburgh. Sect A. — 1982. - V. 91, №. 3-4. - C. 175-177.

[46] Shi, W.J. On simple KA- groups / W.J. Shi 11 Chinese Science Bull. - 1991.

- Vol.36, №17. C. 1281-1283.

[47] Stewart, W.B. Groups having strongly self-centralizing 3-centralizers / W.B. Stewart // Proc. London Math. Soc. - 1973. - V. 426, № 4. - C. 653-680.

[48] Suprunenko, I.D. Fixed vectors for elements in modules for algebraic groups / I.D. Suprunenko, A.E. Zalesski // Intern. J. Algebra Comput. — 2007. — Vol 17 №5-6 - C. 1249-1261.

[49] Suzuki, M. Finite groups with nilpotent centralizer / M. Suzuki // Trans. Amer. Math. Soc. - 1961. - Vol. 99. - C. 425-470.

[50] Thompson, J. Finite groups with fixed-point-free automorphisms of prime order / J. Thompson. // Proc. Nat. Acad. Sei. - 1959. - V. 45. - C. 578581.

[51] Tong-Viet, H.P. Groups whose prime graphs have no triangles / H. P. Tong-Viet //J. Algebra - 2013 - 378 - C. 196-206.

[52] Vasil'ev, A.V. An adjacency criterion for the prime graph of a finite simple group / A.V. Vasil'ev, E. P. Vdovin // Algebra and Logic. — 2005 — Vol. 44, №. 6 - C. 381-406.

[53] White, D.L. The 2-Decomposition numbers of 5p(4, q), q odd / D.L. White // J. Algebra. - 1990. - Vol. 131, №. 2. - C. 703-725.

[54] Williams, J.S. Prime graph components of finite groups / J.S. Williams. // J. Algebra. - 1981. - Vol. 69, №. 2. - C. 487-513.

[55] Zavarnitsine, A.V. Fixed points of large prime-order elements in the equicharacteristic action of linear and unitary groups / A.V. Zavarnitsine // Сиб. электрон, матем. изв. — 2011. — Т. 8. — С. 333-340.

[56] Zassenhaus, Н. Uber endliche Fastkorper / Н. Zassenhaus // Abhandl. math. Semin. Univ. Hamburg - 1936 - №11 - C. 187-220.

[57] Zhang, L.C. OD-Characterization of simple /Q-groups / L.C. Zhang, W.J. Shi // Algebra Colloquium. - 2009. -Vol. 16, №. 2. - C. 275-282.

[58] Zinov'eva, M. R. On finite groups with disconnected prime graph / M. R. Zinov'eva, V.D. Mazurov // Proc. of the Steklov Institute of Math. — 2013. - 283, Suppl. 1. - C. 139-145.

[59] Zurek G. Über A5-invariante 2-Gruppen / G. Zurek // Mitt. Math. Sem. Giessen. - 1982. - H. 155. - 92 c.

Работы автора по теме диссертации

[60] Храмцов, И.В. О конечных трипримарных группах / A.C. Кондратьев, И.В. Храмцов // Теория групп и ее прил: Тр. 8-й Междунар. шк.-конф., посвящ. 75-летию В.А. Белоногова.— 2010. — С.141-148.

[61] Храмцов, И.В. О конечных трипримарных группах / A.C. Кондратьев, И.В. Храмцов // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН — 2010. — Т.16, №3. - С 150-158.

[62] Храмцов, И.В. О конечных четырепримарных группах / A.C. Кондратьев, И.В. Храмцов // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. — 2011. - Т. 17 №4. - С. 142-159.

[63] Храмцов, И.В. Вполне приводимость некоторых С^(2)Лу-модулей / A.C. Кондратьев, И.В. Храмцов // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. - 2012. - Т. 18 №3. - 139-143.

[64] Храмцов, И.В. О конечных непростых трипримарных группах / A.C. Кондратьев, И.В. Храмцов // Сиб. электрон, матем. Изв. — 2012. №9. —С. 472-477.

[65] Khramtsov, I.V. On readability of a graph as the prime graph of a finite group. / A.L.Gavrilyuk, I.V.Khramtsov, A.S.Kondrat'ev, N.V.Maslova // Сиб. электрон, матем. Изв. - 2014. - №11. - С. 246-257.

[66] Храмцов, И.В. О конечных непростых 4-примарных группах / И.В. Храмцов // Сиб. электрон, матем. изв. — 2014. — №11. — С. 695-708.

[67] Храмцов, И.В. О конечных группах, граф простых чисел которых имеет точно три вершины / A.C. Кондратьев, И.В. Храмцов // Современные проблемы математики. Тез. 41-й Всероссийской молод, школы-конф. Екатеринбург: Ин-т математики и механики УрО РАН. — 2010. — С. 212214.

[68] Храмцов, И.В. О конечных четырепримарных группах с несвязным графом простых чисел / A.C. Кондратьев, И.В. Храмцов // Современные проблемы математики. Тез. 42-й Всероссийской молод, школы-конф.

Екатеринбург: Инт математики и механики УрО РАН. — 2011. — С. 212214.

[69] Храмцов, И.В. О конечных четырепримарных группах с несвязным графом простых чисел / A.C. Кондратьев, И.В. Храмцов // Алгебра и геометрия. Тез. Межд. конф., посвященной 80-летию со дня рождения А.И. Старостина. Екатеринбург, "УМЦ-УПИ". - 2011. - С. 86-89.

[70] Храмцов, И.В. О распознаваемости конечных простых четырепримарных групп по графу простых чисел / A.C. Кондратьев, И.В. Храмцов // Межд. конф. "Мальцевские чтения". Тез. докл. Новосибирск: ИМ и НГУ. - 2011. - С. 42.

[71] Храмцов, И.В. Распознаваемость конечных простых четырепримарных групп по графу простых чисел / A.C. Кондратьев, И.В. Храмцов // Соврем, проблемы математики: Тез. Междунар. 43-й Всерос. мол. шк.-конф.-Екатеринбург:ИММ УрО РАН. - 2012. - С.46-48.

[72] Храмцов, И.В. Вполне приводимость некоторых СР(2)Аг-модулей / A.C. Кондратьев, И.В. Храмцов // Алгебра и линейная оптимизация: Тез. Междунар. конф., посвящ. 100-летию С.Н. Черникова.-Екатеринбург:УМЦ-УПИ. - 2012. - С. 99-101.

[73] Храмцов, И.В. О реализуемости заданого конечного графа как графа Грюнберга—Кегеля некоторой конечной группы / A.JI. Гаврилюк, Н.В. Маслова, И.В. Храмцов // Теория групп и ее прил.: Тез. 9-й Междунар. шк.-конф., посвящ. 90-летию проф. З.И. Боревича.-Владикавказ: Изд-во СОГУ. - 2012. -С. 38-40.

[74] Храмцов, И.В. О конечных непростых трипримарных группах с несвязным графом простых чисел / A.C. Кондратьев, И.В. Храмцов // Междунар. конф. "Мальцевские чтения": Тез. докл. Новосибирск — 2012. — С. 61.

[75] Храмцов, И.В. О реализуемости конечного графа с небольшим числом вершин как графа Грюнберга—Кегеля подходящей конечной группы / A.J1. Гаврилюк, A.C. Кондратьев, Н.В. Маслова, И.В. Храмцов // Соврем. проблемы математики: Тез. Междунар. (44-й Всерос.) молодеж. шк.-конф.-Екатеринбург:ИММ УрО РАН. - 2013. - С.12-14.

[76] Храмцов, И.В. О конечных неразрешимых непростых 4-примарных группах / А.С.Кондратьев, И.В.Храмцов // Алгебра и комбинаторика: Тез. докл. Междунар. конф., посвящ.й 60-летию A.A. Махнева. Екатеринбург : изд-во "УМЦ УПИ". - 2013. - С. 81-83.

[77] Храмцов, И.В. О конечных непростых 4-примарных группах с несвязным графом простых чисел / A.C. Кондратьев, И.В. Храмцов // Алгебра и логика: теория и приложения: Тез. докл. Междунар. конф., посвящ. памяти В.П. Шункова. Красноярск: Сиб. федер. ун-т. — 2013. — С. 6970.

[78] Khramtsov, I.V. On finite groups with small prime spectrum / I.V.Khramtsov, A.S.Kondratiev // Groups St Andrews 2013: Inter, conf., Univ. St Andrews, Scotland: Abstracts. St Andrews. — 2013. — C. 19-20.

[79] Храмцов, И.В. О реализуемости заданного графа как графа простых чисел подходящей конечной группы / A.JI. Гаврилюк, A.C. Кондратьев, Н.В. Маслова, И.В. Храмцов // Междунар. конф. "Мальцевские чтения": Тез. докл. Новосибирск: ИМ и НГУ. - 2013. - С. 84.

[80] Храмцов, И.В. О реализуемости заданного конечного графа как графа Грюнберга—Кегеля некоторой группы // A.JI. Гаврилюк, A.C. Кондратьев, Н.В. Маслова, И.В. Храмцов // Соврем, проблемы математики: Тез. Междунар. (45-й Всерос.) молодеж. шк.-конф.-Екатеринбург:ИММ УрО РАН. - 2014. - С.19-22.

[81] Храмцов, И.В. О конечных группах, которые имеют несвязный граф простых чисел и композиционный фактор, изоморфный группе Ьз(17) / А.С.Кондратьев, И.В.Храмцов // Материалы конф. Алгебра и математическая логика: теория и приложения. Казань. Изд-во Казан, ун-та. — 2014. - С. 81-82.

[82] Храмцов, И.В. О конечных группах, которые имеют несвязный граф простых чисел и композиционный фактор, изоморфный группе 1/2(81) / И.В.Храмцов // Труды международной школы-конф. по теории групп. Нальчик. Издательство КБГУ. - 2014. — С. 56-58.