Компьютерное моделирование аэротермодинамики летательных аппаратов в верхних слоях атмосферы тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.05, кандидат наук Горелов, Сергей Львович

• Горелов, Сергей Львович
• кандидат наук
• 2016

Оглавление диссертации кандидат наук Горелов, Сергей Львович

Содержание

Введение_3

1. Уравнение Больцмана. Модели взаимодействия_9

1.1 Уравнение Больцмана и его модели_9

1.2 Упругое взаимодействие_11

1.3 Неупругое взаимодействие_18

2. Численные методы решения уравнения Больцмана_41

2.1 Регулярные методы_43

2.2 Методы Монте-Карло_45

2.3 Метод прямого статистического моделирования_53

3. Приближенные методы решения задач динамики разреженного газа_65

3.1 Локальные методы_67

3.2 Мостовая схема_70

3.3 Самоподобная интерполяция_72

4. Аналитические решения задач динамики разреженного газа_76

4.1 Свободномолекулярное течение по коротким трубам_77

4.2 Течение разреженного газа между параллельными пластинами_81

4.3 Теплопередача в плоском и цилиндрическом течении Куэтта_86

5. Гиперзвуковая аэротермодинамика_101

5.1 Плоские задачи_102

5.2 Пространственные течения_111

5.3 Теплопередача в критической точке_125

6. Некоторые приложения_131

6.1 Падение тел на Землю из дальнего космоса_131

6.2 Падение сферического тела на Марс_146

6.3 Проект "Фобос-грунт"_154

6.4 Проект "Экзо Марс"_167

Заключение_184

Литература_186

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Компьютерное моделирование аэротермодинамики летательных аппаратов в верхних слоях атмосферы»

Введение

Прогресс в области авиационно-космической техники в настоящее

время и в обозримом будущем связан с созданием аппаратов для полета в

верхних слоях атмосферы, граничащих с ближним космосом. Это аппараты

типа «Буран» или «Спейс Шаттл», способные осуществлять управляемый

спуск с орбиты. При разработке таких аппаратов одной из наиболее сложных

для исследования является область высот полета, где отношение длины

свободного пробега молекул воздуха в невозмущенном потоке к характерному

размеру тела - число Кнудсена / L - порядка единицы. Режим

обтекания тел, при котором аэродинамические и тепловые характеристики

уже отличаются от свободномолекулярных значений, но еще не подчиняются

зависимостям, характерным для режима континуального обтекания,

называется промежуточным или переходным режимом обтекания. С

достаточной для практических интересов целей точностью можно полагать,

что переходному режиму обтекания соответствует диапазон изменения числа

Кнудсена: 10-2 < Knro < 101. Если считать, что характерный размер летательного

аппарата и его отдельных важных элементов лежит в диапазоне 10-2 м < L <

101м, то согласно данным стандартной атмосферы [1], весь аппарат или

отдельные его части могут находиться в переходном режиме обтекания на

высотах от 50 до 180 км. Эти оценки показывают, насколько важно развивать

методы исследования течений газа в переходном режиме.

Аэродинамические и тепловые характеристики обтекания тел в переходном

режиме получают в настоящее время экспериментальным и расчетным путем.

К достоинствам эксперимента следует отнести возможность исследования

пространственного обтекания реальных компоновок летательных аппаратов, а

также относительную быстроту получения результата. Недостатки - это

невозможность, в настоящее время, моделирования натурных значений

полной энтальпии или температуры торможения потока, с которой связано

протекание физико-химических процессов в газе и на поверхности тела, а

3

также высокую относительную погрешность измерений, в особенности, теплового потока.

Расчетные исследования обтекания тел в переходном режиме ведутся, как в рамках механики сплошной среды, так и на основе кинетической теории газов. Из моделей сплошной среды помимо наиболее общей системы уравнений Навье-Стокса, используются различные ее упрощения, такие как: парабализованная система уравнений Навье-Стокса, модель тонкого вязкого ударного слоя и другие. Для учета явлений разреженности используются граничные условия скольжения и скачка температуры на твердой поверхности, полученные на основе кинетического подхода, а также модифицированные условия Рэнкина-Гюгонио на ударной волне. Хотя, по сути своей, уравнения движения газа, как сплошной среды, справедливы при Кп»<<1, модификация граничных условий позволяет несколько продвинуться в переходную область.

Однако адекватное описание движения газа во всем переходном режиме, может быть дано лишь на основе кинетической теории, основным уравнением которой, является уравнение Больцмана [2] (более подробно см. Главу 1) :

§+ + = й'\Wfi-ffd8bdbdedl (1Л)

для функции распределения / — /(/, Х,^), в общем случае, от семи независимых переменных. Ввиду чрезвычайной сложности нелинейного оператора столкновений в правой части уравнения (1.1), а также большого числа независимых переменных, его решение в общем случае аналитическими методами невозможно, а регулярными численными методами - крайне затруднительно. Регулярными, в противоположность статистическим, будем называть численные методы, не использующие случайные процессы. Аналитические решения получены лишь для случая пространственно-

однородной релаксации газа, состоящего из максвелловских молекул [3]. Известен численный метод дискретных координат (или дискретных скоростей), основанный на предположении о конечном наборе возможных значений скоростей молекул. Этим методом в весьма грубой постановке были решены задачи об ударной волне [4] и о течении Куэтта [5]. Недавно [6] был построен регулярный численный метод решения уравнения Больцмана для двумерного случая в предположении, что в результате столкновения двух молекул, их относительная скорость, поворачивается на фиксированный угол 9=л/2, что, конечно, далеко от действительности. Этим методом была решена задача о структуре ударной волны для максвелловских молекул. Одной из основных трудностей, возникающих при решении уравнения Больцмана, является сложный характер интеграла столкновений. Поэтому иногда в качестве интеграла столкновений используют другие более простые выражения.

Одно из таких выражений получается при решении уравнения. Больцмана методами возмущений. В первом порядке получается линеаризованное уравнение, в котором интеграл столкновении становится линейным относительно неизвестной функции

Заметим, что в приложениях основной интерес представляет не функция распределения, а некоторое число ее первых моментов - макроскопических параметров газа, таких как плотность, скорость, температура. Для решения практических задач часто используются модельные кинетические уравнения, в которых больцмановский оператор столкновений заменен релаксационным. В настоящее время широкое распространение получило модельное уравнение, получившее название модели Шахова или 8 - модели [12]

Модельные уравнения допускают регулярное численное решение. На их основе были решены достаточно сложные задачи, в т. ч., о пространственном обтекании тел одно- и двухатомным газом [13]. Следует, однако, заметить, что релаксационные кинетические уравнения могут неадекватно описывать

явления в газе при сильном отклонении функции распределения от равновесной.

Поскольку, на сегодняшний день, решить уравнение Больцмана регулярными методами не представляется возможным, широкое распространение получили методы статистических испытаний или методы Монте-Карло. Промежуточное положение занимает гибридный (полурегулярный) метод [8], в котором линейный оператор переноса из левой части уравнения (1.1) заменяется конечно-разностным, а интеграл столкновений из правой части, вычисляется методом Монте-Карло. На сегодняшний день, этот метод позволяет решать одно- и двумерные задачи [9].

Из методов статистического моделирования движения разреженного газа развиты (см. Главу 2):

1. метод пробных частиц;

2. метод прямого статистического моделирования

В методе пробных частиц [10], моделирующие частицы подразделяются на полевые и пробные. Вброшенные в расчетную область пробные частицы, испытывают столкновения с полевыми частицами, изменяя при этом как свою скорость, так и характеристики поля. Решение нелинейного уравнения Больцмана, достигается путем итераций.

Наибольшее распространение метод пробных частиц получил при расчетах свободномолекулярных течений, когда столкновениями молекул можно пренебречь и интеграл столкновений равен нулю. Кроме того этот метод применялся для расчета медленных течений разреженного газа (линеаризованное уравнение Больцмана).

Решение некоторых задач о медленных течениях разреженного газа представлено в Главе 2.

Метод прямого статистического моделирования применяется для исследования гиперзвуковых течений. В четвертой главе представлены результаты исследований течений гиперзвукового потока разреженного газа около тел простой формы. Рассмотрены плоские течения около пластин под

углом атаки и цилиндров, обтекание сферы и конусов под углами атаки. Исследовано влияние внутренних степеней свободы и граничных условий взаимодействия молекул с поверхностью на аэродинамические и тепловые характеристики тел в переходной области.

Большой объем аэродинамических расчетов и разнообразие схем летательных аппаратов, характерные для проектных исследований и первых шагов проектирования, обуславливают необходимость создания инженерных методов расчета аэродинамических характеристик аппаратов произвольной формы при всех возможных режимах полета. Существует ряд подходов к построению таких инженерных методик, основанных на имеющейся теоретической и экспериментальной информации о силовых и тепловых нагрузках на этих режимах полета. Разработанные локальные методы, интегральные методы а также метод самоподобной интерполяции (см. Главу 3) позволяют вычислить аэродинамические и тепловые характеристики при обтекании летательных аппаратов в широком диапазоне параметров. Кроме этого, приближенные методы позволяют получить аналитические решения некоторых задач динамики разреженного газа (см. Главу 4).

В Главе 5 представлены результаты расчетов методом ПСМ гиперзвуковых течений разреженного газа около тел простой формы: плоской пластины, треугольной пластины, конусов под углами атаки, для разных температурных факторов в широком диапазоне чисел Рейнольдса.

В Главе 6 приводятся примеры практического приложения проведенных исследований. Эти приложения связаны с проектами "Фобос-грунт" и "Экзо-Марс". И в том и другом проекте защитный экран спускаемых аппаратов представляет собой затупленный конус с большим углом раствора. Сложность расчета аэродинамики и оценка тепловых потоков для этих аппаратов заключается в том, что скорость входа в атмосферу Земли и Марса - вторая космическая. Соответственно, величина тепловых потоков становится больше, а точка максимального теплового потока сдвигается на большую высоту по сравнению с орбитальным спуском. Кроме того, во втором случае

параметры атмосферы Марса существенно отличаются от параметров атмосферы Земли как по составу (в основном углекислый газ), так и по распределению по высотам.

1. Уравнение Больцмана. Модели взаимодействия 1.1 Уравнение Больцмана и его модели

Динамика разреженного газа изучает явления, имеющие место при произвольном отношении длины свободного пробега молекул к характерному размеру явления. Исследование таких явлений требует в общем случае учета молекулярной структуры газа. В круг задач динамики разреженных газов входят, например, задачи об обтекании летательных аппаратов, движущихся на больших высотах, о структуре ударных волн, о движении газа в вакуумных приборах и т.п.

Основой кинетического описания газов является функция распределения }(г,х,%), г- время, х — (х1,х2,х3)- координаты, % — ) -

скорости.

По определению, функция распределения - это плотность молекул в фазовом пространстве, то есть в 6-мерном пространстве координат и скоростей. Иначе говоря, функция распределения характеризует количество молекул с координатами в интервале (х, х + ёх) и со скоростями в интервале

(%, % + ). Отсюда следует, что число молекул в единице объема п (числовая плотность) равна

п (г, х) —| } (г, х, % )*%

где интегрирование ведется по всем возможным скоростям молекул. Точно количество молекул с данными скоростями подсчитать невозможно, оно колеблется из-за флуктуаций. Поэтому можно лишь говорить о вероятном числе молекул в фазовом объеме. Можно ввести нормированную функцию распределения

п} — /

Тогда } является плотностью распределения. Иначе, если ¥ - есть вероятность того, что молекула имеет координаты в интервале (х,х + ёх) и скорости в интервале (%, % + ), то } - плотность вероятности распределения молекул по

скоростям и координатам. Отсюда определяются средняя скорость молекул и (массовая скорость), элементы тензора напряжений р , вектор потока тепла а

, температура Т:

и = П [ ^ = [ ^ р = = тп

а=т г г^=тп\etfdt

где т - масса молекулы, к - постоянная Больцмана.

Основным уравнением, описывающим движение разреженного газа, является кинетическое уравнение Больцмана

Физический смысл уравнения Больцмана заключается в том, что изменение функции распределения в фазовой ячейке происходит либо за счет перемещения молекул без столкновений из одной ячейки в другую (изменение координат), либо за счет столкновений молекул друг с другом (изменение скоростей при столкновениях). Причем, учитываются только парные столкновения, то есть в каждый момент времени может быть столкновение только двух молекул.

Трудность решения уравнения Больцмана связана с большим числом независимых переменных и сложной структурой интеграла столкновения.

1.2 Упругое взаимодействие

Интеграл столкновений J содержит: во-первых, интегрирование по всем возможным скоростям %1 той частицы, с которой сталкивается данная частица, имеющая скорость %; во-вторых, интегрирование проводится по всем значениям телесного угла рассеяния ( х- угол рассеяния или меридиональный угол, £ - азимутальный или широтный угол). Интеграл столкновений имеет вид:

J (},}) — К }' }-}}) М 8, е

} — }(г,х,%); } — }(г,х,%1); }' — }(г,х,%'); }'— }(г,х,%1); 8 —1%-%1|; |е| — 1; £ — %'-%' — 8е; е — (Бтхсоб^бшхвш£;собх); (1Л)

%' — 1(% + %1) + 28е; %;— 2(% + %1)-2§е

Кроме вычислительных трудностей, связанных с многократным интегрированием в интеграле столкновений всегда существуют трудности моделирования взаимодействия молекул. При этом требуется выполнить несколько, в общем случае противоречивых условий:

1) взаимодействие молекул должно быть "похоже на настоящее";

2) скорости молекул после столкновения должны рассчитываться достаточно просто;

3) параметры модели взаимодействия должны быть таковы, чтобы они соответствовали измеряемым в эксперименте параметрам газа.

Рассмотрим эти пункты более подробно.

Если решается задача обтекания, и требуется найти силовые характеристики обтекания тела, то взаимодействие молекул газа можно моделировать как взаимодействие упругих частиц. Если же требуется вычислить тепловые характеристики, особенно при высокой температуре, как это бывает в гиперзвуковых течениях газа, и нужно учитывать возбуждение внутренних степеней свободы молекул, то модельное взаимодействие должно быть неупругим.

Обычно в реальных расчетах столкновений молекул может быть порядка нескольких миллионов. Если модель взаимодействия такова, что скорости молекул после столкновения вычисляются по сложным формулам (или находятся из решения дифференциальных уравнений), то на вычисление каждого столкновения требуется много машинного времени, и затраты времени на решение задачи становятся неприемлемы (хотя с ростом мощностей ЭВМ условие простоты модели взаимодействия становится все менее критичным).

Модели взаимодействия содержат, как правило, некоторое количество параметров, которые можно определить, косвенно, из экспериментальных данных (например, зависимость модельного коэффициента вязкости от температуры должна соответствовать экспериментальной зависимости для реального газа).

Существует лишь несколько моделей взаимодействия, которые используются в расчетах по методу прямого статистического моделирования, так как они в той или иной степени удовлетворяют требованиям перечисленным выше.

Рассмотрим упругое взаимодействие молекул. Обычно считается, что одна молекула неподвижна (она находится в точке 0), а другая движется со скоростью g. После столкновения она приобретает скорость g'. Из закона сохранения энергии следует, что = и можно записать g' = ge, где е -единичный вектор вдоль g'. Поскольку упругое столкновение происходит в одной плоскости, то существенная его характеристика - это угол рассеяния % , который является углом между векторами g и g'. Угол е - это угол между некоторой плоскостью и плоскостью столкновения. В общем случае сечение столкновения а зависит от g и %, то есть а = а(g,%).

Рассмотрим несколько частных случаев

Твердые сферы

Пусть диаметр сферы d, X = n - 2, b = d sin у, db = d cos yd y, < = nd2

Интеграл столкновений

J(f, f ) = ^ J( ff'- ffi)Я sin xdxd^!

4

Скорости после столкновения

%' — 2(% + %1) + 28е; %!— ±(% + %1)-28е; е — ^тх^^тхвт^говх)

(1.2)

В методе Монте-Карло координаты единичного вектора, равномерно распределенного по сфере вычисляется следующим образом. Если -случайное число равномерно распределенное в интервале (0,1), то компоненты

вектора е выражаются по следующим формулам

13

cos х- 1 - 2R1; sinx- 2^R (1 - R); s = 2^R (1.3)

Как уже отмечалось, для получения параметров модели, необходимо вычислить, например, коэффициенты переноса и сравнить модельные результаты с результатами экспериментов. Чаще всего для этих целей в случае простого газа используется коэффициент вязкости. Методы вычисления коэффициентов переноса хорошо известны из кинетической теории газов.

Коэффициенты переноса для газов выражаются через Q - интегралы (или пропорциональные им Q - интегралы)[ 14]

(5 + 1)! 2£+ !-(-!) i 4кт

Q[ ' ' =

(1.4)

оо

Q{£) =27rj(l-cose x)bdb

,(2,2)

Коэффициент вязкости для простого газа выражается через Q

5 \[лткТ /1

Тб-Qpr (1-5)

Для модели твердых сфер имеем

<» ^^ 2п 2

Q(2) = 2я[(1 - cos2 х)bdb —-J(1 - cos2 x) sin %dx — — яd2

0 2 0 3

Q(2'2} -1 "[e-SyQ^dy = Je-xx'dx = Л =

Q 2 J 6 J ' ' 16 ^d1

(1.6)

На Рис. 1.1 изображена зависимость коэффициент вязкости для азота (точки 1) и кислорода (точки 2) от температуры [14] в логарифмическом масштабе. Конечно, может быть есть реальные газы, у которых зависимость коэффициента вязкости от температуры близка к Т1/2, как у твердых сфер. Но для газов, входящих в состав воздуха необходимо более точно аппроксимировать эту зависимость.

о

lg(^10б

t

1 / / 2

+

:

/Г

А

Lg (T)[ * ]

2.00 2.50 3.00 3.50 4.00 4.50

Рис. 1.1

Твердые сферы переменного диаметра

Для простых газов была предложена модель упругих сфер переменного диаметра. В этой модели, иначе ее называют VHS - модель (variable hard sphere), диаметр упругих сфер, а значит и сечение, зависит от относительной скорости молекул при столкновениях [16]. Она вводится следующим образом. Если потенциал взаимодействия между молекулами U (r), то диаметр сферы

d находится из уравнения

mg 4

= U (d)

(1.7)

Для разных целей вид потенциала и (г) может быть разным. Желательно

только, чтобы это уравнение легко решалось, так как его нужно решать каждый раз во время столкновения молекул. Наиболее простая форма этого уравнения получается, если в качестве потенциала взаимодействия выбрать степенной потенциал

U ( r ) =

k

(1.8)

Тогда диаметр сферы легко вычисляется

mg2 к , ( 4kV/v

4

¿г' d

mg

кТ

-2/v

У

(1.9)

v j

Для этого потенциала формулы для вычисления коэффициента вязкости будут

4.00

г

см с

3.60

3.20

2.80

2.40 —

2.00

r

ß(2)= d2; Q^ = ^ ^ Г 4-- ; (1.10)

где Г - гамма-функция.

2

п f и 2/v ТП / 4- V 21

"б [кт) X vJ

15 Vmk

1 2

—I— 2 v

1 2

72+v

8V^k2/T(4-2/v)

= + + (1.11)

Сопоставляя эту формулу с экспериментальной зависимостью коэффициента вязкости от температуры находят у. Для азота чаще всего выбирают у = 8. В этом случае при температурах Т > 300К зависимость коэффициента вязкости от температуры близка к экспериментальной. На Рис.2.2 сплошной линией изображена эта зависимость при у = 8. В случае простого газа для вычисления коэффициента вязкости достаточно знать зависимость 0(2'2)(Т). Значения этих интегралов [13], приближенно, можно

представить в виде

Lg(О) = а - bLg(Т)

0

где интегралы 0(2'2)(Т) измеряются в А2, а температура Т в К. Сопоставляя

экспериментально полученные значения этих интегралов [14] с формулой (1.11), получаем значения а, Ь и у. Например, для молекулярных и атомарных значений азота и кислорода эти значения представлены в таблице

N2 - N2 O2 -- O2 N -- N O -- O

а 1.794 1.52 1.581 1.507

b 0.249 0.175 0.236 0.222

v 8.01 11.45 8.47 9.00

Для газовых смесей модель VHS не применима, так как выражения для коэффициентов переноса газовых смесей (в самых простейших случаях) включают не только интегралы Q(2,2), но и Q(1,1).

Мягкие сферы переменного диаметра

В модели "мягких сфер переменного диаметра", иначе VSS - модель (variable soft sphere) сечение вычисляется также как в модели твердых сфер переменного диаметра [18], то есть <j = nd2(g). Для вычисления угла рассеяния % применяется формула:

cos(%/2) = (b / d)1/a (1.12)

где b - прицельное расстояние. Эта формула при а = 1 превращается в формулу для вычисления % для обычных твердых сфер. В этом случае выражения для q(22) и Q(1,1) имеют вид:

q(U) =

Ж

1 + а

Q

,(2,2) _

V kT у жа

Г

3 -2

V V у

i А Л2/v С

(1 + а)(2 + а)

V kT у

Г

V

4 - 2

V

(1.13)

у

Сравнивая эти выражения с данными из [19], получаем значения уи а для простых газов и газовых смесей.

система N2-N2 O2-O2 N2-O2 N2-N O2-N N2-O O2-O N-N O-O N-O

V 8.01 11.45 9.57 7.41 8.85 8.79 10.49 8.47 9.00 8.71

а 1.54 1.48 1.52 1.57 1.54 1.55 1.53 1.55 1.52 1.52

1.3 Неупругое взаимодействие

В настоящее время область приложения численных методов газовой динамики быстро расширяется, включая следующие задачи расчета параметров обтекания: рикошетирующих летательных аппаратов, изменяющих орбиту за счет торможения в верхних слоях атмосферы; трансатмосферных летательных аппаратов с достаточно большой боковой дальностью, взлетающих с Земли или с обычного самолета и спускающихся с низкой околоземной орбиты; гиперзвуковых самолетов с прямоточными двигателями, использующими сверхзвуковое горение. Общей для перечисленных приложений является необходимость учета неравновесного характера течения газа на определенном этапе полета. Хотя большинство проектируемых гиперзвуковых летательных аппаратов будет совершать маневры на режиме континуального обтекания (на этом режиме достигаются и максимальные значения потоков тепла), течение вблизи некоторых элементов, в частности передних кромок и носовой части, может происходить при значительно меньших числах Рейнольдса, то есть в режиме, переходном между континуальным и свободномолекулярным. Для решения подобных задач широко применяется один вариантов метода Монте-Карло - метод прямого статистического моделирования (метод ПСМ). Причем успех в применении метода ПСМ обуславливается простотой используемых моделей взаимодействия между молекулами в потоке и взаимодействия молекул с поверхностью летательного аппарата.

Для расчета аэродинамических сил, действующих на гиперзвуковые летательные аппараты в переходном режиме обтекания и определения, возникающих при этом тепловых потоков, остается только возможность попытаться использовать в некотором смысле искусственные модели молекул и межмолекулярного взаимодействия, отражающие в какой-то мере характерные особенности реальных молекул и реальных взаимодействий. В этом контексте и следует понимать предлагаемые ниже модели для описания

процессов возбуждения вращательных и колебательных состояний молекул, а также процесса диссоциации при энергиях молекул около 10 эв, применительно к методу ПСМ.

В настоящее время как экспериментальные, так и теоретические исследования, касающиеся межмолекулярного взаимодействия, проведены достаточно подробно только в случае атомов благородных газов при энергиях меньших 0.1 эв и больших 100 эв. В диапазоне энергий от 1 эв до 10 эв (скорости молекул от 2.5 км/с до 8 км/с) отсутствует достаточно обоснованная информация о потенциале межмолекулярного взаимодействия даже таких простейших атомных систем. Что касается двухатомных и многоатомных молекул, то здесь, несмотря на большое число исследований, касающихся вероятностей вращательных и колебательных переходов, почти полностью отсутствует информация в диапазоне энергий от 1 эв до 10 эв, представляющем интерес с точки зрения задач современной гиперзвуковой аэродинамики. В этом диапазоне энергий происходят сложные процессы неупругого взаимодействия между молекулами, включающие возбуждение вращательных и колебательных состояний молекул, взаимодействие между этими состояниями, частичное возбуждение электронных состояний молекул, а также процессы диссоциации и рекомбинации.

Положение значительно усугубляется при рассмотрении в указанном выше диапазоне энергий взаимодействия атомов и молекул с поверхностью в случаях, когда следует учитывать химические реакции на поверхности, т. е. учитывать ее каталитические свойства.

В основном поле течения кроме пристеночной области около гиперзвуковых летательных аппаратов движущихся в верхних слоях атмосферы со скоростями 7-8 км/с, поступательная энергия молекул в среднем составляет 10 эв. Имея в виду, что расстояние между вращательными уровнями энергии 2-х атомных молекул равно 0.001 эв, что значительно меньше 10 эв, динамику неупругих столкновений, при которых происходит

возбуждение вращательных степеней свободы молекул, можно описывать на основе уравнений классической механики.

Для оценки переносных свойств в газе находят непосредственное применение некоторые сравнительно простые модели молекул, взаимодействующих как твердые упругие тела (шероховатые и нагруженные сферы, сфероцилиндры, эллипсоиды) [26]. Известно , что эти молекулярные модели не дают адекватного описания переносных свойств газа. Так модель шероховатых сфер имеет 3 вращательных степени свободы и поэтому она не может быть применена для описания движения 2-х атомных газов. У газа из шероховатых сфер отношение удельных теплоемкостей равно 4/3, а не 7/5, как это имеет место в 2-х атомном газе. Нагруженные сферы и сфероцилиндры могли быть использованы для моделирования 2-х атомного газа, но никаким подбором параметров этих моделей нельзя добиться соответствия функциональной зависимости коэффициента вязкости от температуры модели и эксперимента.

В методах ПСМ широко применяются так называемые феноменологические модели [22, 27], в которых реальный динамический процесс столкновения молекул заменен статистическими процедурами, описываемыми релаксационным уравнением:

ёЕк(0 / Л = ( Ес{1) - Ек(1) ) / тк (1.14)

где Ео и Ек — равновесное и текущее значение вращательной энергии, тк — время вращательной релаксации. Применение таких моделей обусловлено простотой реализации и качественно правильным описанием процесса релаксации. "Правильность" понимается в том смысле, что в конечном итоге процесса релаксации достигается равновесное значение температуры и (или) равновесная функция распределения. В реальных задачах газ находится в существенно неравновесном состоянии. Поэтому обоснованность применения таких моделей вызывает сомнение.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Горелов, Сергей Львович, 2016 год

Литература

1. Стандартная атмосфера: параметры, Гост 4401-81/ Гос. комитет СССР по стандартам. - М.: 1981.

2. Коган, М. Н. Динамика разреженного газа. / М. Н. Коган. - М.: Наука, 1967.

- 440 с.

3. Бобылев, А. В. Точные решения уравнения Больцмана и теория релаксации максвелловского газа / А. В. Бобылев // ТМФ. - 1984. - №2.

4. Broadwell, J. E. Shock structure in simple discrete velocity gas / J. E Broadwell // Phys. Fluid. - 1964. - №8. - P.1243-1247.

5. Hamel, C. A discrete ordinate technique for the linearized Boltzmann equation with application to Couette flow / C. Hamel, M. Wachman // Rarefied Gas Dynamics. Proc. of the 4-th Int. Symp. - London: Acad. Press. - 1965. - v.1. - P. 370-393.

6. Бобылев A. В. Регулярное численное решение задачи о структуре ударной волны при произвольных числах Маха в двумерном больцмановском газе / А. В. Бобылев, Е. Б. Долгошеина // Х Всесоюзная конференция по динамике разреженных газов. Тезисы докладов. - М. - 1989 - С. 39.

7. Ларина И. Н., Рыков В.А. Пространственное обтекание конических тел потоком разреженного газа / И. Н. Ларина, В. А. Рыков // ЖВМиМФ. - 1989. -№ 1. - С. 110-117.

8. Черемисин Ф. Г. Метод прямого численного интегрирования уравнения Больцмана / Ф. Г. Черемисин // В сб.: "Численные методы в теории разреженных газов". - М. : ВЦ АН СССР, 1969, - С.45-64.

9. Черемисин Ф. Г. Численное решение кинетического уравнения Больцмана для одномерного стационарного движения / Ф. Г. Черемисин // ЖВМиМФ. -1973. - №3.

10. Haviland J. K. Lavin V.L. Application of the Monte-Carlo method to heat transfer in a rarefied gas / J. K. Haviland, V. L Lavin // Phys. Fluids. - 1962.- V. 5.

- № 11. - P. 1399-1405.

11. Аристов В. В. Структура ударной волны в одноатомном газе при степенных потенциалах взаимодействия / В. В. Аристов, Ф. Г. Черемисин // МЖГ -1982. - №6. - C. 179-183.

12. Ларина И. Н. Численное исследование течений двухатомного разреженного газа через плоский канал в вакуум/ И. Н. Ларина, В. А. Рыков // Изв. РАН, МЖГ. - 2013. - №3. - C. 118-131.

13. Теплофизические свойства технически важных газов // Справочник. - М.: - Энергоатомиздат. - 1989.

14. Гордеев О. А. Обзоры по теплофизическим свойствам веществ / О. А. Гордеев // ИВТ АН СССР. - 1985, - № 5 (55).

15. Горелов С. Л. Математические модели взаимодействия молекул с внутренними степенями свободы / С. Л. Горелов // XI Всесоюзная конференция по динамике разреженных газов. Тезисы докладов. Ленинград. -1991. - C.39.

16. Власов В. И. Улучшение метода статистических испытаний (Монте-Карло) для расчета течений разреженных газов / В. И. Власов // Докл. АН СССР. - 1966. - Т.167. - №5. - С. 1016-1018.

17. Горелов С. Л. Влияние внутренних степеней свободы на обтекание пластины гиперзвуковым потоком разреженного газа / С. Л. Горелов, А. И. Ерофеев // Изв. АН СССР, МЖГ. - 1978 - № 6.

18. Bird G. A. Molecular Gas Dynamics and the Direct Simulation of Gas Flows / G. A Bird. - Oxford: Clarendon Press. 1994.

19. Горелов С. Л. Модель шероховатых сферических молекул переменного диаметра / С. Л. Горелов, С. В. Русаков // Математическое моделирование. -1997. - № 9.

20. Park C. Assessment of Two-Temperature Kinetic Model for Ionizing Air. / C. Park // J. Thermophysics and Heat Transfer. - 1989. - V. 3. - P.233-244.

21. Горелов С. Л., Русаков С. В. Модель вращательно-колебательного взаимодействия молекул для метода прямого статистического моделирования

/ С. Л. Горелов, С. В. Русаков // Математическое моделирование. - 2000. - № 9. - C.55-64.

22. Pullin D. I. Kinetic models for poliatomic molecules with phenomenological energy exchange / D. I. Pullin // Phys. Fluids. - 1978. - V.21. - P. 2.

23. Bird G. A. Molecular Gas Dynamics and the Direct Simulation of Gas Flows / G. A. Bird. - Oxford: Clarendon Press. - 1994. - 451 p.

24. Никитин Е. Е. Теория элементарных атомно-молекулярных процессов в газах / Е. Е. Никитин. - М.: Химия, 1970. - 456 с.

25. Koura K., Matsumoto H. Variable soft sphere molecular model for inverse-power-law or Lenard-Jones potential / K Koura, H. Matsumoto // Phys. Fluids. -1979. - A.3. - P. 2459-2465.

26. Жданов В. М., Алиевский М. Я. Процессы переноса и релаксации в молекулярных газах / В. М. Жданов, М. Я. Алиевский. - М.:Наука, 1989

27. Larsen P. S., Borgnakke C. Statistical collision model for simulating poliatomic gas with restricted energy exchange / P. S. Larsen, C. Borgnakke // Rarefied Gas Dinamic. - Potz - Wahn: DFVLR - Press, - 1974. - V. 1.

28. Чемпен С., Каулинг Т. Математическая теория неоднородных газов / С. Чемпен, Т. Каулинг - М: ИЛ, 1960.

29. Шахов Е. М. О приближенных кинетических уравнениях в теории разреженных газов / Е. М. Шахов // Изв. РАН. МЖГ. - 1968. - № 1.

30. Шахов Е. М. Метод исследования движений разреженного газа / Е. М. Шахов - М: Наука, 1974. - 204 с.

31. Рыков В. А. Численные исследования по динамике разреженного газа / В. А. Рыков, Ф. Г. Черемисин, Е. М. Шахов //ЖВМ и МФ, - 1980. - Т. 20. - № 5. -С. 1266-1283.

32. Шахов Е. М. Метод исследования движений разреженного газа / Е. М. Шахов - М: Наука, 1974. - 204 с.

33. Рыков В. А. Численные исследования по динамике разреженного газа / В. А. Рыков, Ф. Г. Черемисин, Е. М. Шахов //ЖВМ и МФ, - 1980. - Т. 20. - № 5. -С. 1266-1283.

34. Аристов В. В. Консервативный метод расщепления для решения уравнения Больцмана / В. В. Аристов, Ф. Г. Черемисин //ЖВМ и МФ. -1980.- Т.20. - №1. - C. 191-207.

35. Аристов В. В. О решении уравнения Больцмана для дискретных скоростей / В. В. Аристов // Докл. АН СССР. - 1985. - Т.283. - № 4. - С. 831-834.

36. Bird G. A. Direct simulation and the Boltzmann equation / G. A. Bird // Phys.Fluids. - 1970 - V.13. - №11. - P. 2677-2681.

37. Марчук Г. И. ред. Метод Монте-Карло в проблеме переноса излучения / Г. И. Марчук- М.: Атомиздат. - 1967.

38. Хлопков Ю. И. Кинетические модели и их роль в исследовании течений разреженного газа / Ю. И. Хлопков, Е. М. Шахов // Численные методы в теории разреженных газов. - M: ВЦ АН СССР, 1974.

39. Берд Г. Молекулярная газовая динамика / Г.Берд - М.:Мир. - 1981.

40. Bird G. A. Molecular Gas Dynamics and the Direct Simulation of Gas Flows / G. A. Bird. - Oxford: Clarendon Press. - 1994.

41. Белоцерковский О. М. Статистический метод частиц в ячейках для решения задач динамики разреженного газа / О. М. Белоцерковский, В. Е. Яницкий // ЖВМ и МФ - 1975. -Т.15. - № 5. - С.1195-1208

42. Белоцерковский О. М. Статистический метод частиц в ячейках для решения задач динамики разреженного газа / О. М. Белоцерковский, В. Е. Яницкий // ЖВМ и МФ. - 1975. -Т. 15. - № 6. - С. 1553-1208

43. Яницкий В. Е. Теоретико-вероятностный анализ прямого статистического моделирования столкновительных процессов в разреженном газе / В. Е. Яницкий // Берд Г. Молекулярная газовая динамика. - М.:Мир. - 1981. - C. 279-302.

44. Перепухов В. А. Решение методом Монте-Карло модельного кинетического уравнения / Перепухов В. А. // Уч. Зап ЦАГИ. - 1973. - T.4. -№4.

45. Богачева А. А. Применение метода Монте-Карло к расчету аэродинамических характеристик тел в свободномолекулярном потоке / А. А. Богачева, В. А. Перепухов, Э. И. Рухман // Труды ЦАГИ. -1970. - вып. 1227.

46. Перепухов В. А. Применение метода Монте-Карло в динамике сильно разреженного газа / Перепухов В. А. //Труды ЦАГИ. - 1972. - вып. 1411. - C. 54-72.

47. Власов В. И. Математический эксперимент для вычисления коэффициентов переноса / В. И Власов, С. Л. Горелов, М. Н. Коган //Доклады АН СССР. - 1968. - т. 176. - №6.

48. Аристов В. В. Консервативный метод расщепления для решения уравнения Больцмана / В. В. Аристов , Ф. Г. Черемисин //ЖВМ и МФ. -1980.- Т .20. - №1.

- С. 191-207.

49. Аристов В. В. О решении уравнения Больцмана для дискретных скоростей / В. В. Аристов // Докл. АН СССР. - 1985. - T. 283. - №4. - C. 831-834.

50. Черемисин Ф. Г. Консервативный метод вычисления интеграла столкновения Больцмана / Ф. Г. Черемисин // Докл. РАН. - 1997.— T. 357. -№1. - C. 53-56.

51. Аристов В. В. Детерминистический метод решения уравнения Больцмана с параллельными вычислениямию / В. В. Аристов, С. А. Забелок // ЖВМ и МФ.

- 2002. - T.42. - №3. - C. 425-437.

52. Li Z. H. Numerical investigation from rarefied flow to continuum by solving the Boltzmann model equation / Z. H. Li, H. X. Zhang// Inter. J. for Numerrical Met. In Fluids.- 2003. - V. 42. - №4. - P. 361-382.

53. Unified solver for rarefied and continuum flows with adaptive mesh and algorithm refinement / V. I. Kolobov, R. R. Arslanbekov, V. V. Aristov, Frolova S. A. Zabelok // J. of Comp. Phys. - 2007. - V.223. - №2. - P. 589-608.

54. Computer Simulation and Analysis of the Knudsen experiment of the 1910 year / Yu. A. Anikin, Yu. Yu. Kloss, D. V. Martynov, F. G. Cheremisin // J. of NANO and MICROSYSTEM TECHNIQUE. - 2010. - №8. - P.6-14.

55. Haviland J. K. Application of the Monte-Carlo method to heat transfer in a rarefied gas / J. K. Haviland, V. L. Lavin // Phys. Fluids. - 1962. - V.5. - №11. - P. 1399-1405.

56. Bird G. A. Approach to translational equilibrium in a rigid sphere gas / G. A. Bird // Phys. Fluids. - 1963. - V.6. - №10. - P. 1518-1519.

57. Bird G. A. Direct simulation and the Boltzmann equation / Bird G. A. // Phys.Fluids. - 1970. - V.13. - №11. - P. 2677-2681.

58. Марчук Г. И. ред. Метод Монте-Карло в проблеме переноса излучения / Г. И. Марчук - М.: Атомиздат, 1967.

59. Хлопков Ю. И. Кинетические модели и их роль в исследовании течений разреженного газа / Ю. И. Хлопков, Е. М. Шахов // Численные методы в теории разреженных газов. - M: ВЦ АН СССР, 1974.

60. Берд Г. Молекулярная газовая динамика / Г. Берд - М.:Мир,1981.

61. Bird G. A. Molecular Gas Dynamics and the Direct Simulation of Gas Flows / G. A. Bird - Oxford: Clarendon Press., 1994.

62. Белоцерковский О. М. Статистический метод частиц в ячейках для решения задач динамики разреженного газа / О. М. Белоцерковский, В. Е.Яницкий // ЖВМ и МФ - 1975. -T.15. - №5. - C.1195-1208

63. Белоцерковский О.М., Яницкий В.Е. Статистический метод частиц в ячейках для решения задач динамики разреженного газа / О. М. Белоцерковский, В. Е. Яницкий // ЖВМ и МФ - 1975. -T.15. - №6. - C.1553-1208

64. Яницкий В. Е. Теоретико-вероятностный анализ прямого статистического моделирования столкновительных процессов в разреженном газе / В. Е. Яницкий // Берд Г. Молекулярная газовая динамика. - М.:Мир. - 1981. - C. 279-302.

65. Перепухов В. А. Решение методом Монте-Карло модельного кинетического уравнения / В. А. Перепухов // Уч. Зап ЦАГИ, 1973. - №4.

66. Богачева А. А. Применение метода Монте-Карло к расчету аэродинамических характеристик тел в свободномолекулярном потоке / А. А. Богачева, В. А. Перепухов, Э. И. Рухман // Труды ЦАГИ. -1970. - вып. 1227.

67. Перепухов В. А. Применение метода Монте-Карло в динамике сильно разреженного газа / В. А. Перепухов //Труды ЦАГИ. - 1972. - вып. 1411. - C. 54-72.

68. Власов В. И. Математический эксперимент для вычисления коэффициентов переноса / В. И Власов, С. Л. Горелов, М. Н. Коган //Доклады АН СССР. - 1968. - т. 176. - №6.

69. Власов В. И. Улучшение метода статистических испытаний (Монте-Карло) для расчета течений разреженных газов / В. И. Власов // Доклады АН СССР. -1966. - T. 165. - №5.

70. Метод статистических испытаний (Метод Монте-Карло) / Н. П. Бусленко, Д. И. Голенко, И. М. Соболь [и др.] - М:Физматгиз. - 1962. - 332с.

71. Хлопков Ю. И. Статистический метод решения приближенного кинетического уравнения / Ю. И. Хлопков // Учен. зап. ЦАГИ. - 1973. - T.4, №4. - C.108-113.

72. Горелов С. Л. Решение линейных задач динамики разреженного газа методом Монте-Карло / С. Л. Горелов, М. Н. Коган // Изв. АН СССР, МЖГ. -1968. - №6. - C. 136-139.

73. Maxwell J. C. On the stresses in rarefied gases / J. C. Maxwell //Scientific papers. - 1890 - V.2

74. Черчиньяни К. Теория и приложения уравнения Больцмана / К. Черчиньяни. - М: Мир. - 1978. - 495 с.

75. Welander P. On the temperature jump in rarefied gas / P. Welander // Arkiv fur fysik. - 1954. - V.6. - №54.

76. Sone Y. Thermal creep in rarefied gas / Y. Sone // J.Phys. Soc. Japan. - 1966. -№21.

77. Латышев А.В. Задача Крамерса для Эллипсоидального уравнения Больцмана с частотой пропорциональной скорости молекул / А. В. Латышев, А. А. Юшканов //ЖВМ и МФ. - 1997. - T.37. - №4. - C.483-493.

78. Латышев А.В. Аналитическое решение задач кинетической теории / А. В. Латышев, А. А. Юшканов // М: МГОУ. - 2004. - 286с.

79. Ivchenko I.N. Analytical methods for problems of molecular transport / I. N. Ivchenko, S. K. Loyalka // Springer. - 2007. - 410p.

80. Sharipov F. Data on the velocity slip and temperature jump on gas-solid interface / F. Sharipov //J. Phis. Chem. Ref. Data. - 2011. - V.40. - №2. - P.1-28.

81. Горелов С.Л. Решение задачи о скачке температуры (течение в слое Кнудсена) и линейной задачи о передаче тепла между двумя параллельными пластинами в разреженном газе / С. Л. Горелов, М. Н. Коган // Изв. АН СССР, МЖГ. - 1969. - №4. - C.114-119.

82. Reynolds M .A. Velosity profile measurements in the Knudsen layer for the Kramers problem / M. A. Reynolds, J. J. Smojderen, J. F. Wendt // Rarefied Gas Dynamics. - 1974. - v.1.

83. Горелов С. Л. Течение разреженного газа между двумя параллельными пластинами / С. Л. Горелов, М. Н. Коган // Ученые записки ЦАГИ. - 1970. -T.1. - №6.

84. Горелов С. Л. Течение разреженного газа в трубе / С. Л. Горелов // Изв. АН СССР, МЖГ. - 1974. - №1.

85. Горелов С. Л. Течение разреженного газа в цилиндрической трубе / С. Л. Горелов // Ученые записки ЦАГИ. - 1975. - т.6. - №6.

86. Epstein P. S. Zur theorie des radiometers / P. S. Epstein // Z. Phys. - 1929. -bd.54. - №7/8.

87. Mason E. A. Motion of small suspended particlesin nonuniform gases / E. A. Mason, S. Chapman // J. Chem. Phys. - 1962. - V.36. - №3.

88. Brock J. R. On the theory of thermal forces acting on aerosol particles / J. R. Brock // J. Colloid Sci. - 1962. - V. 17. - №8.

89. Jacobsen S. The thermal force on spherical sodium chloride aerosols / S. Jacobsen, J. R. Brock // J. Colloid Sci. - 1965. - V. 20. - №6.

90. Яламов Ю. И. Теория термофореза умеренно крупных и крупных аэрозольных частиц с учетом теплового скольжения газа и скачка температуры у поверхности частиц / Ю. И. Яламов, Б. В. Дерягин // Коллоидный ж. - 1971. - т.33. - вып. 2.

91. Баканов С. П. О теории термопреципитации высокодисперсных аэрозольных систем / С. П. Баканов, Б. В. Дерягин // Коллоидный ж. - 1959. -т.21. - вып. 4.

92. Waldmann L. On the motion of spherical particles in nonhomogeneous gases / L. Waldmann // Rarefied Gas Dynamics. - New York - London.: Acad. Press. -1961.

93. Brock J. R. The thermal force in the transition region / J. R. Brock // J. Colloid and Interface Sci. - 1967. - V.23. - №3.

94. Dwyer H. A. Thirteen-moment theory of the thermal force on a spherical partical / H. A. Dwyer // Phys. Fluids. - 1967. - V.10. - №5.

95. Sone Y. A. A flow induced by thermal stress in rarefied gas / Y. A. Sone // J. Phys. Soc. Japan. - 1972. - v.33. - №1.

96. Горелов С. Л. Термофорез и фотофорез в разреженном газе / С. Л. Горелов // Изв. АН СССР. - 1976. -№5. - C. 178-181.

97. Горелов С. Л. О фотофорезе в слаборазреженном газе / С. Л. Горелов // Труды ЦАГИ. - 1981. - №2111. - C.88-90.

98. Яницкий В.Е. Стохастические модели совершенного газа из конечного числа частиц / В. Е. Яницкий // М: ВЦ АН СССР. - 1988. - 55с.

99. Ермаков С. М. Статистическое моделирование / С. М. Ермаков, Г. А. Михайлов - М: Наука, 1982.

100. Иванов М.С. Метод прямого статистического моделирования в динамике разреженного газа / М. С. Иванов, С. В. Рогазинский. - Новосибирск: ВЦ СО АН СССР. - 1988. - 118с.

101. Лукшин Ан.В. Об одном стохастическом подходе решения уравнения Больцмана / Ан. В. Лукшин, С. Н. Смирнов // ЖВМ и МФ. - 1988. - T.28. - №2. - C.293-297.

102. Кац М. Вероятность и смежные вопросы в физике / М. Кац. -М: Мир. -1965.

103. Иванов М.С. Сравнительный анализ алгоритмов метода прямого статистического моделирования в динамике разреженного газа / М. С. Иванов, С. В. Рогазинский // ЖВМ и МФ. - 1988. -T.28. - №7. - C.1058-1070.

104. Применение метода Монте-Карло для решения задач кинетики газов / С. А. Денисик [и др.]// Физика горения и взрыва. - 1972. - т.8. - №3. - с.331-349.

105. Яницкий В. Е. Стохастические модели совершенного газа из конечного числа частиц / В. Е. Яницкий. - М: ВЦ АН СССР. - 1988. - 55с.

106. Горелов С. Л. Об эффективности методов прямого статистического моделирования / С. Л. Горелов //Труды X Всесоюзной конференции по динамике разреженных газов. - М: Издательство МЭИ. - 1991. - T.1. - C. 8590.

107. Gluzman S. Unified approach to crossover phenomena / S. Gluzman, V. I. Yukalov // Phys. Rev. E. - 1998. - V.58. - №4. - P. 4197-4209.

108. Lo S.S. An efficient computation of near-continuum rarefied gas flows / S. S. Lo, S. K . Loyalka // ZAMP. - 1982. - V.33. - №3. - P.419-424.

109. Ландау Л. Д. Гидродинамика. Теоретическая физика / Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц. -М.: Наука. - 1986. - T.6. - 736с.

110. Кузнецов М.М. Реология течения разреженного газа в гиперзвуковом ударном и пограничном слоях / М. М. Кузнецов, И. И. Липатов, В. С. Никольский // Изв. РАН. МЖГ. - 2007. - №5. - с. 189-196.

111. Баранцев Р.Г. Асимптотические методы в механике газа и жидкости / Р. Г. Баранцев, В. Н. Энгельгарт. - Л: Изд-во ЛГУ. - 1987. - 88c.

112. Галкин В. С. Приближенный метод расчета аэродинамических характеристик тел в гиперзвуковом потоке разреженного газа / В. С. Галкин, А. И. Ерофеев, А. И. Толстых //Труды ЦАГИ. - 1977. - вып. 1833. - C. 6-10.

113. Гусев В.Н. Аэродинамические характеристики тел в переходной области при гиперзвуковых скоростях / В. Н. Гусев, Т. В. Климова, А. В. Липин //Труды ЦАГИ. - 1972. - вып. 1411.

114. Алексеева С.Н. О зависимости параметров локального взаимодействия от числа Кнудсена / С. Н. Алексеева, Р. Н. Мирошин //В кн. Аэродинамика разреженных газов. - Л: Изд. ЛГУ. - 1974. - вып. 7.

115. Финченко В.С. Методика оперативного расчёта силового воздействия разреженной атмосферы на космические аппараты / В. С. Финченко, С. И. Шматов // Вестник ФГУП «НПО им. С.А. Лавочкина». Космонавтика и ракетостроение. - 2012. - № 3. -. C.40-47.

116. Горенбух П.И. О приближенном расчете аэродинамических характеристик простых тел при гиперзвуковом обтекании разреженным газом / П. И. Горенбух // Труды ЦАГИ. - 1990. - вып. 2436. - с.28-43.

117. Knudsen M. Die Gesetze der Molecular Shrömmung uad der inneren Reibungst-parallel plates / M. Knudsen // Ann. der Physik. - 1909. - V.28.

118. Smoluchowski M. Zur Kinetischen Theorie der Transpiration uad Diffusion Verdünnter Gase / M. Smoluchowski // Ann. der Physik. - 1910. - V.33. - P. 15591570.

119. Clausing P. Über die Strömung sehr verdünnter Gase durch Röhren von beliebiger Länge / P. Clausing. // Ann. der Physik. - 1932. - V.12. - P. 961-989.

120. DeMarcus W. C. Knudsen flow through a circular capillary / W. C. DeMarcus, E. H. Hopper.// Journal of Chemical Physics. - 1955. - V. 23. - P. 1344.

121. Berman A.S. Free molecule transmission Probabilities / A. S. Berman // Journal of Applied Physics. - 1969. - V. 40. - №3. - P. 4991-4992.

122. Garelis E. Free-molecule flow in a right circular cylinder / E. Garelis, T. E. Wainwright // The Physics of Fluids. - 1973. - V. 16. - № 4. - P. 476-481.

123. Davis D.H. A Monte Carlo calculation of molecular flow rates through cylindrical elbow and pipes of other shapes / D. H. Davis // Journal of Applied Physics. - 1964. - V. 35. - №3. - P. 529-532.

124. Кошмаров Ю.А. Прикладная динамика разреженного газа / Ю. А. Кошмаров, Ю. А. Рыжов — М: Машиностроение. - 1977. — 184 с.

125. Gluzman S. Unified approach to crossover phenomena / S. Gluzman, V. I. Yukalov // Physical Review E. - 1998. - V.58. - № 4. - P. 4197-4209.

126. Горелов С. Л. Применение метода самоподобной интерполяции к задачам динамики разреженного газа / С. Л. Горелов // Прикладная математика и механика. - 2005. - T.69. - вып.3. - C.438-444.

127. Lo S.S. An efficient computation of near-continuum rarefied gas flows / S. S. Lo, S.K .Loyalka // ZAMP. - 1982. - V.33. - №3. - P.419-424.

128. Горелов С.Л. Течение Куэтта и теплопередача между параллельными пластинами в разреженном газе / С. Л. Горелов, Выонг Ван Тьен // Математическое моделирование. - 2014. - T. 26. - №10. - C. 33-46.

129. Абрамов А.А. Изменение знака потока энергии и эффекты немонотонности в задаче Куэтта при переходе от сплошносредного режима к свободномолекулярному / A. A. Абрамов, А. В. Бутковский // В сб. VI Поляховские чтения. Избранные труды. - СПбГУ. - 2012. - C.145-154.

130. Абрамов А. А. Эффекты немонотонности и изменения знака потока энергии в переходном режиме в задаче Куэтта с теплопередачей / А. А. Абрамов, А. В. Бутковский // МЖГ. - 2010. - № 1. - C. 167-174.

131. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя / Шлихтинг Г.- М: Наука. - 1974.

132. Шидловский В.П. Введение в динамику разреженного газа / В. П. Шидловский . - М: Наука. - 1965.

133. Gorelov S. L. Self-similar interpolation in rarefied gas dynamics/ S. L. Gorelov // Rarefied Gas Dynamics. Proc. 25 th Int. Symp., St.-Petersburg, - 2007. - с. 871876.

134. Горелов С.Л. Самоподобная интерполяция в задачах динамики разреженного газа / С. Л. Горелов , Со. Зейяр //Ученые записки ЦАГИ. - 2010. -№ 5.

135. Горелов С.Л. Течение Куэтта и теплопередача между параллельными пластинами в разреженном газе / С. Л. Горелов, Выонг Ван Тьен.// Математическое моделирование. - 2014. - T. 26. - №10. - C. 33-46.

136. Lees L. Kinetic-theory description of conductive heat transfer from a fine wire / L. Lees // Phys. of Fluids, -1962. - V.5. - № 10. - P. 1137-1148.

137. Галкин В.С. Цилиндрическое течение Куэтта в разреженном газе / В. С. Галкин // Инженерный журнал. - 1965. - Т. 5. - № 3. - С.553-555.

138. Черчиньяни К. Математические методы в кинетической теории газов / К. К. Черчиньяни . - М: Мир,-1973.

139. Горелов С.Л. О влиянии коэффициентов аккомодации на аэродинамические характеристики пластины в потоке разреженного газа / С. Л. Горелов, А. И. Ерофеев // Изв. АН СССР. МЖГ. - 1979. - №6. - с.161-163.

140. Горелов С.Л. Влияние коэффициентов аккомодации на аэродинамические характеристики пластины под углом атаки в потоке разреженного газа / С. Л. Горелов, А. И. Ерофеев // Ученые записки ЦАГИ. - 1980. - T.11. - №2. - C.143-148.

141. Горелов С.Л. Особенности обтекания пластины гиперзвуковым потоком разреженного газа / С. Л. Горелов, А. И. Ерофеев // Труды ЦАГИ. - 1981. -Вып.2111. - с.5-26.

142. Теоретические и экспериментальные исследования обтекания тел простой формы гиперзвуковым потоком разреженного газа / В. Н. Гусев, А. И. Ерофеев, Т. В. Климова [и др.]// Труды ЦАГИ. - 1977. - вып.1855.

143. Горелов С.Л. Влияние внутренних степеней свободы молекул на обтекание пластины гиперзвуковым потоком разреженного газа / С. Л. Горелов, А. И. Ерофеев // Изв. АН СССР. МЖГ. - 1978. - №6. - с.151-156.

144. Горелов С.Л. Расчет обтекания пластины потоком разреженного газа с учетом вращательных степеней свободы молекул / С. Л. Горелов, А. И. Ерофеев // Ученые записки ЦАГИ. - 1979. -№6. - С.79-83.

145. Горелов С. Л. Тепловые потоки на поверхности плоской пластины в разреженном газе / С. Л. Горелов, А. И. Ерофеев // Ученые записки ЦАГИ. -1984. - Т.17. - №5. - С.134-138.

146. Горелов С. Л. Тепловые потоки на поверхности пластины в разреженном газе / С. Л. Горелов // В сб. Статистическая механика. Численные методы в кинетической теории газов. - Новосибирск: ИТПМ. -1986. - с.60-67.

147. Горелов С.Л. Пространственное обтекание тел простой формы разреженным газом / С. Л. Горелов, А. И. Ерофеев // Труды ЦАГИ. - 1985. -вып.2269. - С.47-54.

148. Ерофеев А. И. Расчет обтекания конуса под углом атаки гиперзвуковым потоком разреженного газа / А. И. Ерофеев // Ученые записки ЦАГИ. - 1979. - Т.10. - №6.

149. Гусев В. Н. О гиперзвуковом моделировании, обусловленном изменением чисел М и Яе / В. Н. Гусев // Ученые записки ЦАГИ. - 1979. -Т.10. - №6.

150. Ермаков С.М. Статистическое моделирование / С. М. Ермаков, Г. А. Михайлов. - М: Наука. - 1982.

151. Иванов М. С. Сравнительный анализ алгоритмов метода прямого статистического моделирования в динамике разреженного газа / М. С. Иванов // ЖВМ и МФ. - 1988. -Т.28. - №7. - С. 1058-1070.

152. Никитин Е. Е. Теория элементарных атомно-молекулярных процессов в газах / Е. Е. Никитин. - М.: Химия. 1970. 456с.

153. Горелов С.Л. Модель шероховатых сферических молекул переменного диаметра / С. Л. Горелов, С. В. Русаков // Математическое моделирование. -1997. - №9.

154. Горелов С.Л. Структура ударной волны для газа с внутренними степенями свободы / С. Л. Горелов, С. В. Русаков // Изв. РАН. - МЖГ. - 1999. - №3.

155. Горелов С.Л. Модель вращательно-колебательного взаимодействия молекул для метода прямого статистического моделирования / С. Л. Горелов, С. В. Русаков // Математическое моделирование. - 2000. - №9. - C.55-64.

156. Ярошевский В.А. Вход в атмосферу космических летательных аппаратов / В. А Ярошевский — М.: Наука. - 1988. - 336 с.

157. Финченко В.С. Методы расчета возмущающего воздействия аэродинамических сил и сил светового давления на орбитальные космические аппараты / В. С. Финченко, С. И. Шматов // Проектирование автоматических космических аппаратов для фундаментальных научных исследований. - М.: НПО им. С.А. Лавочкина. Том 2. - 2014. - C. 699-777.

158. Горелов С.Л. Физико-химическая модель гиперзвукового обтекания тел разреженным газом / С. Л. Горелов , С. В. Русаков // Изв. РАН. - МЖГ. - 2002. - №3.

159. Теплообмен в окрестности пространственной критической точки неравновесного вязкого ударного слоя при произвольной каталитической активности поверхности / А.В.Ботин , В. П. Провоторов , В. В. Рябов , Э. А. Степанов // Труды ЦАГИ. - 1999. - вып. 2514.

160. Фэй Д.А. Теоретический анализ теплообмена в передней критической точке, омываемой диссоциированным воздухом / Д. А. Фэй , Ф. Р. Риддел // Газодинамика и теплообмен при наличии химических реакций. — М.: ИЛ. -1962.

161 Mars-GRAM 2000: A Mars AtmosphericModel for Engineering Applications / C. G. Justus, S. W. James, A. F. Bougher [и др.] // Advancesin Space Research. -2002. - V. 29. - P. 193-202.

162. Ландау Л. Д. Механика / Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц - М: Наука. - 1988. -215с.

163. Fay J. Theoretical analysis of heat transfer in a frontal point, washed dissociated air / J. Fay, F. Riddel // Journal of the Aeronautical Science. - 1958. - V.26. - № 2 - P. 73-85.

164. Нейланд В.Я. Аэродинамика воздушно-космических самолетов / В. Я. Нейланд, А. М. Тумин. - M: МФТИ. - 1991. - 201с.