Эффекты немонотонности характеристик в одномерных и двумерных течениях разреженного газа тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.05, кандидат наук Выонг Ван Тьен

• Выонг Ван Тьен
• кандидат наук
• 2020

Оглавление диссертации кандидат наук Выонг Ван Тьен

Введение

Глава 1: Метод прямого статистического моделирования

1.1 Общие процедуры метода

1.1.1 Построение численного алгоритма метода

1.1.2 Реализация граничных условий

1.1.3 Взаимодействие молекул с поверхностью твердых тела

1.2 Основные понятия

1.2.1 Бинарные столкновения

1.2.2 Модели молекул твердых сфер

1.3 Выводы к главе

Глава 2: Плоская и цилиндрическая задачи Куэтта

2.1 Одномерная плоская задача Куэтта

2.1.1 Постановка задачи

2.1.2 Течение в свободномолекулярном режиме

2.1.3 Течение вязкого несжимаемого газа

2.1.4 Результаты расчетов в широком диапазоне чисел Кнудсена

2.2 Одномерная цилиндрическая задача Куэтта

2.2.1 Постановка задачи

2.2.2 Течение в свободномолекулярном режиме

2.2.3 Течение вязкого несжимаемого течения газа

2.2.4 Результаты расчетов в широком диапазоне чисел Кнудсена

2.3 Выводы к главе

Глава 3: Обтекание плоской пластины гиперзвуком потоком разреженного газа

3. 1 Постановка задачи

3.2 Обтекание пластины с разными температурами сторон

3.3 Обтекание пластины при одинаковых температурах сторон

3.4 Выводы к главе

Заключение

Список литературы

Приложение

Приложение

Введение

Развитие космонавтики высотной авиации и вакуумной техники в последние 55-60 лет явилось мощным стимулом к расширению исследований в области кинетической теории газов [1, 2, 3, 4, 5, 45, 58, 59]. При этом внедрение и освоение мощной вычислительной техники способствовало интенсивному развитию исследований в этой области, позволяя осуществить моделирование течения разреженного газа в нелинейной постановке [13, 20, 22,34, 44, 87, 90, 98].

Интенсивное применение численных методов является в настоящее время одним из основных направлений в исследовании динамики разреженного газа [3,

11, 12, 20, 21, 24, 43, 81, 84, 85, 86]. Развитие теоретических основ численных методов и разработка эффективных алгоритмов позволила расширить круг решаемых задач, в которых течения газа имеют особенности с появлением новых эффектов, которых нет в сплошной среде [4, 5, 8, 9, 10, 41, 53, 54, 55, 89, 99]. В зависимости от числа Кнудсена можно выделить 4 группы течений [1, 3, 63]:

• Течение сплошной среды(Кп < 0.01).

• Течение со скольжением потока (Кп ~ 0.01 ^ 0.1).

• Переходный режим течений (Кп ~ 0.1 + 10)

• Свободномолекулярное течение (Кп > 10).

В настоящее время особенно интенсивно развиваются методы расчета для переходных режимов [23, 35, 74, 77, 83, 88, 92, 93] и течений со скольжением потока [28, 35, 75, 76, 77, 79, 88]. Что позволяет моделировать течения в широком диапазоне чисел Кнудсена [1, 3, 17, 35, 70, 74]. При этом, необходимо отметить, что в области течения со скольжением потока при решении уравнений Навье-стокса надо делать модификацию граничных условий [28, 75, 76, 79], в то время как в переходной области данные уравнения вовсе не применимы [5, 62, 69]. Течение в этой области описывается кинетическими уравнениями Больцмана [1,

12, 23, 44, 58, 59]. Которое представляет собой весьма сложное нелинейное интегро-дифференциальное уравнение. Существует несколько подходов и методов для решения уравнений Больцмана [57, 64, 65, 66, 71, 80, 81, 82, 91, 93, 94, 96, 99]. Одним из них является метод прямого статистического

моделировании (ПСМ), который широко применяется в решении линейных и нелинейных задач в динамике разреженных газов [2, 3, 6, 20, 24, 28, 31, 86, 89]. В переходном режиме метод ПСМ — это мощный инструмент, который можно эффективно использовать для исследования задач аэродинамики и теплообмена [11, 21, 26, 74, 75, 86]. В сравнении с другими численными методами, он продемонстрировал абсолютную устойчивость, позволяя при этом осуществить непосредственное моделирования физико-химических процессов на молекулярном и атомном уровнях [26, 44, 46, 56]. Кроме того, метод ПСМ не требует сглаживания поверхности обтекаемого тела [3, 21, 30, 31]. В данной работе было проведено исследование течений разреженного газа в широком диапазоне числа Кнудсена (или Рейнольдса). Решение уравнений динамики разреженного газа было получено с использованием метода ПСМ. Результаты расчетов были систематически проанализированы в разных областях среды, что позволило изучить особенности данных течений и выявить новые эффекты.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Эффекты немонотонности характеристик в одномерных и двумерных течениях разреженного газа»

Актуальность темы исследования:

«Динамика разреженного газа» - раздел аэродинамики, который изучает течения газа с учетом их молекулярной структуры. Необходимость таких исследований возникает либо в газах очень малой плотности (летательные аппараты на больших высотах, вакуумная техника), либо в некоторых областях течений газа сплошной среды, в которых характерные изменения происходят на длинах свободного пробега молекул (ударные волны, Кнудсеновские слои). Во всех этих случаях, длина свободного пробега молекул порядка или больше характерных размеров течения.

Несмотря на то, что «Динамика разреженного газа» развивается более 50 лет, некоторые свойства таких течений далеко не изучены. Исследования течений разреженного газа позволяет выявить ряд эффектов, которых нет в течениях сплошной среды. Изучение механизмов процессов тепломассопереноса в разреженном газе актуально для совершенствования вакуумной и авиационно-космической техники.

Степень разработанности темы исследований:

Исследованиям простейших одномерных и двумерных течений разреженного газа посвящено много работ, например [1, 4, 6-10, 19, 22, 25, 78, 87, 88, 90]. Эти исследования проводились либо для медленных течений (линейные задачи), либо для больших чисел Кнудсена. В данной работе эти исследования проведены более тщательно в широком диапазоне определяющих параметров, что позволило выявить новые особенности таких течений.

В одномерных течениях: это плоское и цилиндрическое течения Куэтта в широком диапазоне числа Кнудсена [6-10, 23, 33, 34, 41, 53, 55, 57, 92, 99]. Такие течения являются основными моделями течений при изучении динамики разреженного газа. Несмотря на их простоту, выявление особенностей таких течений дали физическую значимость в экспериментах и для решений более сложных задач. Особенно при рассмотрении течений в разных областях по числам Кнудсена, параметры течений меняются и за счет этих появляются новые эффекты, которых нет в сплошной среде. Рассматриваем течение Куэтта между параллельными пластинами и между коаксиальными цилиндрами. Поверхности пластин или цилиндров нагреты до разных температур, одна из них движется с постоянной скоростью, а другая неподвижная [41, 53-55], цель задачи заключается в вычислении теплового потока к неподвижной поверхности пластины или цилиндра в широком диапазоне числа Кнудсена. В плоской постановке задачи также исследовалась нормальная составляющая тензора напряжений в зависимости от числа Кнудсена. В начале были получены аналитические решения в рамках постановки сплошной среды и свободномолекулярного течения. Далее, для переходной области было проведено сращивание этих решений в рамках метода самоподобной интерполяции [15, 16]. Таким образом, были получены приближенные аналитические формулы для широкого диапазона чисел Кнудсена. После этого рассмотренные задачи были исследованы в рамках метода ПСМ. Сравнение результаты расчетов в рамках двух рассмотренных подходов (ПСМ и приближенные аналитические формулы) показали хорошее согласование, что подтвердило достоверность полученных результатов

В двумерных течениях: это задача об обтекании плоской пластины гиперзвуковом потоком разреженного газа в широком диапазоне числа Рейнольдса, такая задача исследовалась в работах [25, 26, 29, 37, 60, 61, 89, 97]. Однако эти исследования проводились для случаев, когда температуры наветренной и подветренной сторон пластины были одинаковыми. В данной работе произведено изучение описанной задачи как для одинаковых и для разных температур сторон пластины.

В случае разных температур, на стороны пластины за счет реактивной силы отраженных молекул будет действовать разное давление. В результате, если температура подветренной стороны пластины под углом атаки будет больше, чем температура наветренной, то появляется дополнительная отрицательная подъемная сила, которая компенсирует обычную подъемную силу и суммарная сила, действующая на пластину, может стать равной нулю или отрицательной. Необходимо отметить, что величина равновесного угла атаки, (угол, при котором подъемная сила становится равной нулю) при заданном значении скорости и отношении температур сторон пластины, разная для вязкого и свободномолекулярного течений. Таким образом, знак подъемной силы может меняться при изменении числа Рейнольдса.

В случае одинаковых температурах наветренной и подветренной сторон пластин, проведены расчеты для коэффициентов трения и давления наветренной стороны пластины методом ПСМ. Был исследованы эффекты немонотонности коэффициентов давления и трения по числам Рейнольдса. Так же на основании этих расчетов получены эмпирические формулы, которые были сопоставлены с экспериментальными данными для пластины и конуса [29].

Цели и задачи исследования:

Основной целью данных исследований является выявление особенностей течений разреженных газов и новых эффектов в широком диапазоне числа Кнудсена (или Рейнольдса) на примере простейших одномерных и двумерных течений. В рамках данной диссертации решались следующие задачи:

1. Исследование теплового потока в одномерных течениях Куэтта между параллельными бесконечными пластинами и течение между коаксиальными цилиндрами в широком диапазоне чисел Кнудсена.

2. Получение аналитических приближенных формул теплового потока в зависимости от числа Кнудсена.

3. Исследование напряжений трения и давления в одномерном плоском течении Куэтта в широком диапазоне чисел Кнудсена.

4. Исследование влияния температур наветренной и подветренной сторон пластины на коэффициент подъемной силы в широком диапазоне чисел Рейнольдса при малых углах атаки в гиперзвуковом потоке разреженного газа.

5. Исследование влияния угла атаки на коэффициенты давления и трения наветренной стороны пластины при одинаковой температуре ее сторон в широком диапазоне числа Рейнольдса.

6. Построение приближенных формул для аэродинамических характеристик плоской пластины и кругового конуса на основании расчетов в зависимости от чисел Рейнольдса при разных углах атаки и температурных факторах.

Научная новизна

В данной диссертации впервые

1. Показано, что в переходной области наблюдается эффект присутствия напряжения давления, которого нет в сплошной среде и в свободномолекулярном режиме.

2. Получены аналитические приближенные формулы теплового потока в зависимости от числа Кнудсена при разных значениях отношений температур и скорости движения пластины (или цилиндра).

3. Получены приближенные формулы аэродинамических характеристик плоской пластины в зависимости от числа Рейнольдса при разных значениях углов атаки и температурных факторов.

Теоретическая и практическая значимость темы исследования:

Решение подобных задач позволяет более глубоко понять физическую природу эффектов и особенностей течений разреженного газа. С другой стороны, одномерные течения Куэтта (особенно цилиндрические) являются простой моделью реальных течений газа. Обобщение данных расчета аэродинамических характеристик пластины в гиперзвуковом потоке в виде эмпирических формул позволяет применить эти формулы для приближенных вычислений аэродинамических характеристик тел более сложной формы (например, в рамках гипотезы локальности).

На защиту выносятся следующие основные положения:

1. Постановка и данные численного расчета задачи Куэтта (плоской и цилиндрической).

2. Выявление немонотонности зависимости тепловых потоков к поверхности пластин (цилиндров) от числа Кнудсена при разной скорости и температуре плоскостей (цилиндров).

3. Обобщение полученных данных в виде приближенных аналитических зависимостей тепловых потоков на поверхности пластин (цилиндров).

4. Результаты численного расчета аэродинамических характеристик плоской пластины в гиперзвуковом потоке разреженного газа в широком диапазоне чисел Рейнольдса и углов атаки

5. Выявление немонотонности зависимости коэффициентов давления и трения на поверхности пластины от чисел Рейнольдса при разных углах атаки.

6. Получение приближенных формул зависимостей величин коэффициентов давления и трения от чисел Рейнольдса при разных углах атаки.

7. Сравнение полученных результатов с известными экспериментальными данными.

Достоверность полученных результатов:

В работе используется метод численного моделирования, неоднократно верифицированный на задачах различного уровня сложности. Достоверность полученных результатов подтверждается сравнением с результатами других авторов, экспериментальными данными, а также известными теоретическими результатами.

Апробация работы:

Автор диссертации участвовал в ряде научных конференций: ежегодная студенческая конференция МФТИ- 2016; Седьмая Российская Национальная Конференция по теплообмену (РНКТ-7) 22-26 октября 2018 года, НИУ «МЭИ», Москва; Международная мультидисциплинарная конференция «Перспективная элементная база микро - и наноэлектроники с использованием современных достижений электродинамики и статистической физики», «Власовские чтения -МГОУ 2018», 4-6 декабря 2018, МГОУ, Москва; Международный авиационно-космический научно-гуманитарный семинар имени С.М. и О.М. Белоцерковских, 20 февраля 2020, МГТУ гражданской авиации.

Личный вклад автора диссертации:

Содержание диссертации и основные положения, выносимые на защиту, отражают персональный вклад автора в опубликованные работы. Автором разработаны все компьютерные коды, проведены численные расчеты, обработаны данные расчетов. Все представленные в диссертации результаты получены лично автором и при его непосредственном участии.

Публикации:

1. Горелов, С. Л. Течение Куэтта и теплопередача между параллельными

пластинами в разреженном газе / С. Л. Горелов, В. Т. Выонг // Матем.

Моделирование. — 2014. — Т. 26. — № 10. — С. 33-46.

2. Выонг, В. Т. Теплопередача в цилиндрическом течении Куэтта разреженного газа / В. Т. Выонг, С. Л. Горелов // МЖГ. — 2016. — № 6. — С. 101-107.

3. Выонг, В. Т. Нелинейные явления в разреженном газе в задаче Куэтта / В. Т. Выонг, С. Л. Горелов // Труды МАИ. — 2018. — № 10. — 19 с.

4. Выонг, В.Т. Нелинейные кинетические эффекты в задаче Куэтта в разреженном газе при переходном режиме / В. Т. Выонг, С. Л. Горелов // Вестник Московского государственного областного университета. Серия: Физика-математика. — 2018. — № 1. — С. 16-22.

5. Выонг, В. Т. Эффекты немонотонности аэродинамических характеристик пластины в гиперзвуковом потоке разреженного газа / В. Т. Выонг, С. Л. Горелов, С. В. Русаков // Труды МАИ. — 2020. — № 110. — 25 с.

Объём и структура диссертации

Общий объём диссертации составляет 128 страниц, 99 наименований работ, 70 рисунков, 1 приложение. Диссертационная работа состоит из введения; трех глав; заключения, списка использованной литературы и приложения.

Во введении описана актуальность темы исследований, сформированы цели и задачи и кратко изложено содержание диссертации.

В первой главе было описание метода расчета, который применяется в работе, основные этапы построения численного алгоритма метода, реализация граничных условий и взаимодействия молекул с поверхностью твёрдых тел, описание моделей молекул и их применение в схеме столкновения.

В второй главе приведены решения одномерных задач: это плоское течение Куэтта между двумя бесконечными пластинами и цилиндрическое течение Куэтта между коаксиальными цилиндрами в широком диапазоне чисел Кнудсена. В плоской задаче, получены новые эффекты, в том числе эффект присутствия напряжения давления, эффект немонотонности и изменения знака теплового потока к нижней пластине в переходной области. Во цилиндрической задаче также получили такой эффект для теплового потока к внешнему цилиндру. В этих задачах получены приближенные аналитические формулы

величины теплового потока в зависимости от скорости движения и перепада температур поверхности пластин (цилиндров) в широком диапазоне чисел Кнудсена методом самоподобной интерполяции.

В третьей главе рассматривается двухмерное обтекание плоской пластины гиперзвуковым потоком разреженного газа для разных температурных факторов, углов атаки и чисел Маха в широком диапазоне числа Рейнольдса, причем, температура на наветренной и подветренной сторонах пластины может быть одинаковой или разной. Проведены расчеты для коэффициентов трения, давления и подъемной силы методом прямого статистического моделирования. Исследовано влияние отношения температур сторон пластины на коэффициент подъемной силы в случае разных температур сторон пластины, также исследовано влияние угла атаки на коэффициенты давления и трения наветренной стороны пластины при одинаковой температуре ее сторон для различных значениях температурного фактора. На основание этих расчетов получены эмпирические формулы для аэродинамических характеристик, проведено сравнение результатов с экспериментами и результатами других авторов для пластины и конуса.

В заключении сформулированы основные полученные результаты и выводы диссертационной работы.

Глава 1: Метод прямого статистического моделирования 1.1 Общие процедуры метода

Прямое статистическое моделирование Монте-Карло - ПСМ (DSMC -Direct simulation Monte Carlo) является прямым методом моделирования молекул на основе кинетической теории, описывающейся уравнениями Больцмана [1, 2, 58, 59]. Основная идея этого метода заключается [2, 3, 29, 30, 71, 84, 89, 96] в расщепление уравнения Больцмана на два основных этапа: перемещение и столкновение, где каждый этап за шаг по времени рассматривается отдельно не зависит друг от друга и проводятся последовательно. В численной реализации метода, физическая область разбивается на расчетные ячейки. Размер которых Ah, должен быть таким, чтобы изменение свойства потока малое. Поэтому Ah должно быть меньше, чем длина свободного пробега Л . Обычно расчетные ячейки имеют размер порядка Л / 3 , а шаг по времени A t, должен быть меньше, чем среднее время между столкновениями. Также предполагается, что каждая моделируемая молекула представляет собой ансамбль реальных молекул. Вычисления методом прямого статистического моделирования начинаются с того, что задаются координаты и скорости некоторого количества моделирующих молекул. Далее, эти молекулы передвигаются со своими скоростями без столкновений в течении заданного шага по времени и затем, оставаясь неподвижными, меняют свои скорости в соответствии с законами взаимодействия между молекулами. Макроскопические величины течения газа получаются осреднением по времени. Процесс вычисления методом прямого статистического моделирования продолжается до тех пор, пока макроскопические величины не установятся с заданной точностью.

1.1.1 Построение численного алгоритма метода

Моделируемый объём физического пространства разбивается на ячейки и непрерывное время заменяется дискретным с заданным шагом по времени. Линейные размеры ячейки должны быть меньше местной длины свободного пробега молекул. Временной шаг должен быть меньше среднего времени между столкновениями молекул. То есть моделируемые молекулы за это время должны

передвигаться не далее, чем в соседнюю ячейку. Реализация метода состоит из пяти основных этапов:

- задание начальных данных;

- перемещения молекул;

- индексация и переиндексация молекул;

- столкновение между молекулами;

- вычисление макропараметров в поле течения.

Алгоритм вычислений состоит в последовательном выполнении этих этапов, причем этапы со второго по четвертый повторяются в цикле по числу шагов по времени, поэтому второй и четвертый этапы являются основными. Далее все этапы алгоритма будут описаны более подробнее.

■ Задание начальных данных.

Метод моделирует движение и столкновения огромного количества молекул. В методе прямого статистического моделирования, положение и скорости молекул задаются начальным состоянием, где каждой молекуле присваиваются начальная координата и скорость. Начальные координаты молекул равномерно распределены в расчетной области, а начальные скорости задаются, как правило, на основе функции равновесного распределения по скоростям. В расчете, физические свойства молекул (размеры, полное сечение столкновения, наличие внутренних степеней свободы) определяются свойствами молекул газа. Положение, скорость, температура молекул и граничные условия определяются постановками задачи. Поэтому для нестационарных задач решение может существенно зависеть от конкретного выбора начальных, граничных условий и физических свойств молекул.

■ Перемещения молекул

Это первый основный этап в методе ПСМ [2, 3, 29, 30]. Моделируемые молекулы перемещаются на некоторое расстояние со своими скоростями за шаг по времени &. Например, в одномерном течение Куэтта между параллельными пластинами или в двумерном течении обтекания плоской пластины, положение молекул за шаг по времени & определяется линейной зависимостью

X (у,/ + А ) = X (у, /) + V (у )А/

При этом, скорости молекул не меняются. где А/ - шаг по времени, / = 1 для одномерных течений, / = 1,2 для двухмерных течений, у - j-ая молекула. В одномерном течении Куэтта между коаксиальными цилиндрами, положение молекул за шаг времени определяется зависимостью [приложение 1]:

г ( у, / + А/) = ^[ г ( у, / ) + £ ( у, / )А/]2 + £( у, / )А/]2

и скорости меняются за шаг по времени А/ [приложение 1]:

£ (г (у, / ) + £ (у, / )А/) + £ (у, / )А/

£ ( у , / + А/ )=",Г

•( у, /)

£( у, / + А/) = Л ' г (у, / + А/)

где £ и £ - скорости молекулы по направлению радиуса и угла.

При этом, необходимо отметить, что задачи внутренней аэродинамики (которые рассматривают течение Куэтта между параллельными пластинами или коаксиальными цилиндрами) не требуют генерации новых молекул. В то время, как задачи внешней аэродинамики (обтекание пластины набегающим потоком), которые будут рассмотрены в третьей главе, требуют генерации новых молекул в расчетной области. Это связано с тем, что в рамках таких задач, молекулы могут покидать расчетную область и также появляться в ней через границы, в которых есть поток молекул внутрь области. Для этого из программы вычисления необходимо убирать те молекулы, которые уходят из расчетной области и для входящих молекул, надо генерировать новые молекулы на границах, через которые есть поток молекул внутрь области. Эти граничные условия будут описаны в следующем разделе диссертации.

При перемещении некоторые молекулы попадают на поверхность твердых тел. Для вычисления скоростей и координаты, отраженных от поверхности молекул, задаются законы взаимодействия молекул с твердыми поверхностями, которые также написаны в следующем разделе диссертации. В законы

взаимодействия молекул с поверхностью позволяют включить физические эффекты, такие как химические реакции, каталитические реакции, радиационные эффекты или ионизацию потока на поверхности, без серьезных изменений алгоритма. При столкновении молекул с поверхностью тела вычисляются макроскопические свойства на поверхности твердого тела как потоки импульса и энергии приносимых молекулами или напряжение трения. Таким образом, суммируя эти потоки, могут быть получены силы, действующие на тело, и поток тепла к поверхности.

■ Индексации и переиндексация молекул

После того как все молекулы завершили перемещение за временной шаг, они оказываются в других координатных ячейках. Кроме того, часть молекул может покинуть расчетную область, и новые молекулы могут появиться в расчетной области как написано выше. Поэтому, у молекул появляются новые номера ячеек, и молекулы должны быть переиндексированы заново. Кроме того, для проведения этапа столкновения необходимо отсортировать молекулы, находящиеся в той или иной ячейке. Эффективные схемы индексации и сортировки являются ключом к практическому применению метода прямого статистического моделирования, который включает масштабную обработку информации.

■ Столкновение между молекулами

Моделирование столкновение между молекулами является основным этапом в методе. На этом этапе, последовательно просматриваются все ячейки, и в каждой проводится прямое статистическое моделирование столкновений молекул в ячейках. При этом меняются только скорости, а координаты остаются неизменными. Скорости пары молекул после столкновения определяются через их скорости до столкновения по схеме мажорантной частоты (максимальной возможной частоте столкновений) [30]. В момент времени &, максимальное возможное количество парных столкновений (ИС011 )тах в каждой ячейке с

числом молекул N можно вычислить по формуле:

( NCOLL )max = ^ n gm ) gm) max ^

где a - полное сечение столкновений, g - относительная скорость пары молекулы.

Отбор (i, j) пары молекулы осуществляется с вероятностью

4/ к-

ij (at

И схема столкновений выполняется следующим шагом:

• шаг1: случайным образом выбирается пара молекул (1, j).

• шаг 2: если (а(gj.)>(а(gm)gm)тах то происходит

переопределение: (о"( gm ) gm) тах = (^( gij ) gj) .

• шаг 3: если: Яг >(&( g1J ) / gm ) gm) ^ то повторяется шаг 1

(выбрать другую пару молекулы).

• шаг 4: если: Яг <(^( glJ ) gl¡) / g m) g^mаx, то скорости

VI =( ц., V, ) =( ы., у., ^) пары (I, j) молекулы после столкновения вычисляются по формулам:

1 (V + V + egj), к; = 1(V + V,- eglJ) где Я у случайное число равномерно распределено между 0 и 1 а е —

единичный вектор, равномерно распределенный по сфере.

В этой схеме, в каждой ячейке надо определить количество столкновений (N,2^ )тах и вероятность отбора пары молекул. Так же в эти формулы входит

параметр полного сечения столкновения, который зависит от моделей молекул, которые подробно описаны в этой главе в части 1.2.2 - модели молекул твердых сфер.

■ Вычисление макропараметров в поле течения

Макроскопические параметры потока получаются осреднением микроскопических параметров на количество молекул в ячейке [2, 3, 84]. Плотности потока и скорости могут быть получены посредством следующих уравнений:

а,

N = 1А (1.1)

/=1

А^т (1.2)

А, А V

1 А N

и=N хху

А .=1 у=1

1 А, А

к=А ееу (1.3)

А .=1 у=1

1 А, А.

К = -1XI с

у=1

А .=1 /=1

где А - количество молекул в данной ячейке в . -ый шаг времени. N - общее количество молекул в данной ячейке на всех общих временных шагах А,; -весовой множитель, который представляется ансамбль реальных молекул

АК

(задается в начальный момент времени как ¥гшт = ); АК - объем ячейки;

т - масса молекулы; у, j, у - компоненты скорости молекул в направления X , у , 2 соответственно, у -ой молекулы, на . -м шаг по времени. р - плотность потока; и, V и К - средняя скорость потока в направления X , у , 2 соответственно.

Температуры 7, Ту и 7 в направлениях X , у и 2 могут быть вычислены по следующим формулам:

гр _т

т* — — * к

т — т

у — к

т — т г — к

1 N м,

N111

м ,—1 j—1

1 N N

N11'

м ,—1 j—1

1 N N

( 1 Л

и,]

— 11С ■

N 1 j—1 У

^ 1 N N

—11 с ■ N ,—1 j—1 У

(1.4)

—11 с" ■ -

N ,—1 ■—1

1 N N Л2

— 11 с ■

V N ,—1 ■—1 У

Температура потока и давление могут быть получены по формулам:

т — 3 (т* + ту + т)

р

1 да

иито

VN. АК у

кт

(1.5)

(1.6)

Как видно из уравнений (1.1-1.6), для получения макроскопических параметров потока (плотности, скорости, температуры и давления) то в программе вычисления необходимо сохранения числа молекул N и следующих сумм:

N N ы, N N N

11 Си,■ , 11, 11

,—1 1 ,—1 1 ,—1 1

и < ■ > 11 с;, . и <

г=1 7=1 1=1 ■ =1 ,=1 ■ =1

Для определения аэротермодинамических свойств поверхности, необходимо рассчитать поток импульса и поток энергии. Например, давление на поверхности Р",ац может быть получено путем вычисления разницы между

нормальной составляющей потока импульса на поверхности до и после взаимодействия молекул с поверхностью, отнесенная на единицу площади -

время процесса :

Р"а11

^ ( ■ \ 1- СП■ )

(1.7)

2

2

2

2

где сп - нормальная составляющая скорости молекул, А - общее число

s •

молекул, влияющих на поверхности элемента в течение времени процесса , Верхним индексами 'Т' и "г" обозначены значения до и после воздействия соответственно. Напряжение трения тМ!а11 на поверхности может быть получено путем вычисления разности потоков импульса:

wall

Ns / .ч

Е ml< j -< j j

(1.8)

,, АА у=1

где с, - тангенциальная (касательная) составляющая молекулярной скорости.

Поток тепла к стенке может быть получен путем вычисления разности потоков энергии:

qwall

tsAA

Ns

Е

1

—mc

2

^ 2

j

J j

Ns^ 2

=iV 2

1 2

-mcj

(1.9)

r

1.1.2 Реализация граничных условий

Правильное выполнение граничных условий является важным аспектом для практического применения численной схемы для метода ПСМ. Обработка граничных условий в методе ПСМ иная, чем в традиционных методах CFD (Computational fluid dynamics). В схемах CFD, граничные условия известны и определены в терминах переменных макроскопических потоков [14, 49, 50, 51]., в то время как в ПСМ, требуются определить количество, положение и скорость молекул, входящих в расчетную область через границу или отражающих от поверхностей твердых тела. Существуют несколько типов граничных условий, которые часто применяются в программной реализации метода ПСМ, и разработанные в данной работе: входное (inflow), выходное (outflow) - два этих граничных условия подробно описано в этом параграфе, стенка (wall) (описано в следующей части в разделе 1.1.3 - взаимодействие молекул с поверхностью твердых тел) и периодическое условие (periodic). Применение различных граничных условий в традиционных схемах CFD хорошо известны и описаны [49, 50, 51, 52]. В то время, как реализация таких граничных условий в методе

ПСМ, особенно для входных и выходных границ, находятся на стадии разработки. Для потока на выходной границе было использовано "вакуумное" условие, которое означает, что если молекулы уходят из границы, то уходят навсегда. Эти граничные условия были успешно использованы для разреженного газа, где набегающий поток является сверхзвуковым (скорость истечения гораздо больше, чем наиболее вероятная тепловая скорость (или локальная скорость звука)). Однако, когда скорость истечения газа близка к нулю, применение "вакуумного" условия дает большой разброс результатов. Это может привести к тому, что процесс моделирования не становится расходящимся и, таким образом, такое условие не применимо для низкоскоростных потоков.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Выонг Ван Тьен, 2020 год

и, - 2

4

+

+

6ж

-4 (р2 -1)3'2 и, + ТР^-Т(6 + (р2 - 4) и, ) + +3Р2 (2 + (р2 - 2) и, )аг08ш

Из уравнений (2.16) и (2.17) получаем систему уравнений:

п1 = п2 V?

п0 = п1^1 (р, и, ) + п2 ¿2 (р)

^ 4

п

1 А (р, и, ) + ¿2 (р)

п

п2 =

(р, и, ) + ^ (р)

Таким образом получили формулу числовой плотности между цилиндрами

пг =

п0 / \ п0 / \ "Тт^—\—р &(г,и,)—\—р & (г)

(р, и, ) + ¿2 (р) (р, и, ) + ¿2 (р)

Формула распределения плотности в безразмерном виде между цилиндрами имеет вид:

пг V? / ч 1

п

«п

(р,и, ) + (р)

& (г'и,)+

л/ц (р,и, ) + (р)

&2 (г) (2.18)

1

Проведено сравнение расчетов плотности по методу ПСМ с аналитическим результатами (2.18) как показано на рис. 2.21 и рис. 2.22, где линиями по формуле (2.18) а точками - по методу ПСМ.

1.8 2.0

Рис. 2.21: Распределение плотности при и, = 0.1 для различных значений отношений

температур

Рис. 2.22: Распределение плотности при и, = 0.5 для различных значений отношений

температур

Скорость и2 газа между цилиндрами дается формулами:

п и2

г 2

¡42^4= | 42/^4+ | 4в/^4

4>0

4<0

аналогично

пги0

п 2кТ1

у да да

3/2

л V т

| <0|<«V |(Vв1п(0))

—у 0 —да 2

ехр — (V2 — 2vuwг в1п 0 + и^) — V2

л—у да да

| <0|<V | Vв1п(0)^^ехр —(V2 + V2

п2 2кТ2 л3/Ч т

у 0 —да

В случае ^ << 1:

пг~и0 =

I 0«V(V(0)) Vехр(—V2)

' —у 0

1 + 2vuwг в1п 0 + (—1 + 2г 2v2 в1п2 0) и2

+

п / 2кТ

2л—у да

л V т

| <0|йувт(0) ехр(—V2)

у 0

Получаем формулу:

пги0

п1 \2кТ1 л

т

г¥ — К 1 —2-

г

и.

или

п

пги0

л

г¥ — х 1

г

и.

Перепишем в безразмерном виде:

ис

п1 1

и; пг л

гу — х 1 —

г

= агсвт

г 1 л

V г У

(2.19)

где

п =

п0Т7

1 (р, М; ) + ¿2 (р)

п

п0л/7

^ (р, и; ) + ¿2 (р)

gl(г,и2)+

п

47¿1 (р, и; ) + ¿2 (р)

g 2 ( г )

1

1

Проведено сравнение расчетов скорости по методу ПСМ с аналитическим результатами (2.19) как показано на рис. 2.23 и рис. 2.24, где линиями по формуле (2.19) а точками - по методу ПСМ.

Рис. 2.23: Распределение скорости и2 при и, = 0.1 для разных значений отношений

температур ?

Рис. 2.24: Распределение скорости и при и, = 0.5 для разных значений отношений

температур ?

пи

А скорость газа иг по радиусу: п /2к7^ ц да да

г г _3/2

Ж

т

¡ 2*¿V ¡(V cos (2))

-ц 0 -да

Г

ехр

2 г

V -2т— sm2 + и

+

п 2кТ

V '1

2ж-ц да да

V,

+

2

3/2 „

ж V т

¡ d2¡¿V ¡ V cos (2)ехр -(V2 + ^

ц 0 -да

п и

г г

п1 /2кТ1 .

8Ш (ц)-Ж^/

п2 |2кТ? л/Ж . , ч

Бт (ц) = 0

ж у т 2 Ж \ т 2

Это означает что скорости газа по радиусу всегда обращается в ноль. Далее, вычисляем температуру газа между цилиндрами:

3

о о 1 т ц да да

3 щЩ = тЖ-г — | 2 ¿v | [(v2 - 2уи2г б1П 2 + и2) + у

2 2 ж т-'-;-'1-4 7

'2)+V2

-ц 0 -да 2

+

2 ж^ т

ехр - (у2 - 2уи,г б1п 2 + и,) - у

а г т 2ж-ц да да

+ ¡ ^Л¡(у2 + )Аууехр[-(у2 + у2)]

2 ж'" т „

ц 0 -да

Этот интеграл при любых скоростей в аналитическом виде не получается. В случае при и, «1 то:

ц да да

3 2

пгкТг = -^3/2 кТх | d2¡ ¿V ¡ [(V2 - 2vu2r б1П 2 + и2 ) + V

Ж

+ и2) + V2

-ц 0 -да

ехр -(V2 + ^ )][1 + 2vuwг б1п2 + (-1 + 2г^2б1п22)

2ж-ц да да

+ кТ2 ¡ 2¿V ¡(V2 + V;2)ехр [-(V2 + V2)]

и

+

или

Т =

п Т

п.. 3л

(3 + 2м0 — 4г 'щи; + (—3 + 5г2 + 2 (г2 — 1) и2в ) и1 )у

— т

+М; ( 4м0— 5М; — 2^0^ )л/ г2 — 1 + ^ л (л —у)

пг л

Наконец получены формулы для определения температуру газа между цилиндрами в виде: Т

Т

Т

п 1 (3 + 2и0 — 4г1иви; + (—3 + 5г2 + 2 (г2 — 1) и\ ) ^ )у

+ и; ( 4м0— 5и; — 2мХ Vг 2 — 1 + ~ — (л —у)

п. 3 л

(2.20)

пг л

Проведено сравнение расчетов температуры по методу ПСМ с аналитическим результатами (2.20) как показано на рис. 2.25, где линиями по формуле (2.20) а точками - по методу ПСМ.

Рис. 2.25: Распределение температур при и; = 0.5для разных значений отношений

г

Для теплового потока имеем:

ч,=т

т п1 2kT1 2кТ1

у х х

2 ж3/2 т \ т

. ¿в.д».(V2 + )Vcos(в)

—у 0 —х

^^ ехр —(V2 — 2vuwr sinв + и1) — V2

+

п2 2кТ2 12кТ2

2ж—у х х

3/2

ж т

т

. ^ .(V2 + V2)V^(в)^^ехр — (V2 + V2)

у 0 —х

Вычисляем этот интеграл:

ч,=-П- и^е^ (уН (у/ 1+2 (у)'

ыж V т V 2

имеются такие выражения

П2

кП,

Ж 1

2кТ

т

(у)

ехр

и

2 ( r2siп2 (у) — 1) = 1; siп (у) = - ;1 + и2^г 2siп2 (у) = 1 + и2м

-;1 + < г г

то

Ч, =

п

4ж

кТ —siп (у) V т

С 2 Л ' и

1 +

V 2 У

> кТ —siп (у); Ч1 = п0кТ1Л/ л/ж V т V

2кТ1

т

Значит то интеграл берется при любых скоростях, и общая формула теплового

потока имеет такой вид:

д = ^ = п'

(у)

2

1 + и2-

V 2 У по

п

П0у[ж

siп (у)

Ч1 п0л/ж

перепишем (используя условием непротекания - п1 = п2 которое так же выполняется при любых скоростях):

Чг _ П2

д=-=

Г и2

Ч1 П0 4ж

2

— (? — 1) siп(у)

(2.21)

п0л/1 п0

где п = ^-0-; п2 = —¡=-0-

л/ц (Р) + (Р) л/ц (Р) + (Р)

тепловой поток к внешнему цилиндру (г = р):

о = ^ 1

и2

2 -(1 -1)

1_

Р

(2.22)

(Р, и. ) + ¿2 (Р)^

О = Й, - (2.23)

+ =_л/1__1 2 - =_V!__1_(> - 1)

ГД ^ = (Р,И. ) + *2 (Р) (Р,и. ) + ^ (Р) '

По формуле (2.21) означает что вычисление потока энергии зависит от

лЛ ^¡1 (М2 / Л . / ч

----------------------. -(1 -1) §1Пвсегда

по ^ (Р,и.) + ¿2 (Р) 2 ^

п2 . отношения — = —¡=- а этот член

^ (Р, и.) + ¿2 (Р) л/Д 2

остается такой же; и тут сложно в том что мы можем получить приближенное

аналитическое значение отношения только когда и. а остальном случае

п о

такое отношение получается только по численным методам.

В частности, когда отношения Р = 2 , проводили расчеты при отношении температур 1 = 1;1.5;2;2.5;3;3.5;4;4.5;5;5.5;6 и скоростей вращения внутреннего цилиндра и. = 1.6;1.8;2;2.2;2.4;2.6;2.8;3;3.2;3.4. На основание расчетов, получена зависимость:

0.3083 0.125

^ (Р = 2, и. ) = 0.0033 +

2

и и

Из формулы (2.22) следует, тепловой поток складывается из двух частей -диффузионной и конвективной. Диффузионный тепловой поток (член соответствующий слагаемому " 1 -1" в формуле (2.22)), направлен от горячего цилиндра к холодному. то есть, если температура внутреннего цилиндра больше температуры внешнего Т > Т2 (1 < 1), тепловой поток положителен и направлен к внешнему цилиндру. Если температура внутреннего цилиндра меньше температуры внешнего Т1 < Т2 (1 > 1), тепловой поток отрицателен и направлен

от внешнего цилиндра к внутреннему. Конвективный тепловой поток

(скоростной член в формуле (2.22)) всегда направлен к цилиндрам. поэтому конвективный тепловой поток к внешнему цилиндру положителен. Таким образом, всегда можно подобрать такие величины £ и £ , что тепловой поток к внешнему цилиндру станет равным нулю или меняет свой знак на противоположный.

2.2.3 Течение вязкого несжимаемого течения газа

Рассмотрим течение при малом числе Кнудсена Кп << 1. В качестве модели сплошной среды примем модель вязкой несжимаемой жидкости [23]. Для течения газа между коаксиальными цилиндрами в той же постановке, как и в случае свободномолекулярного течения, система уравнений вязкой несжимаемой жидкости имеет вид [23]:

d

йЯ

ЯЛ

_

vdR. К;

= о, т (Я, ) = т;, иг (Я, ) = ж

d . йТ —тЛ^ + ¡лт

' du и ^ ч йт т у

(2.24)

= о, т(Я2) = т2, и(Я2) = о

йт йт

Введем другую переменную ит = ют (Ят) Ят. Тогда уравнения (2.24) можно переписать в виде:

йЯ

ЛЯ

т V

йЯ

= 0,

т

й йТт ЛЯ.—^ + ¡Ят

йЯ

йЯ

Я

йЯ

Т (Я,) = т;, Ют (Я, ) = П,

= о, Т (Я2) = Т2, Ют (Я2) = о

(2.25)

т У

Далее рассмотрим случай, когда коэффициент теплопроводности Л и коэффициент вязкости л постоянны (Л = 15кл / 4т). Запишем уравнения (2.25) в безразмерном виде:

йт

йю йт

= о,

й йТ 8 Г Ю2

+ — т

йт йт 15

йт

т(;) =;, ю(;) = п, = о, т(р) = ю(р) = о

(2.26)

Решение уравнений (2.26) имеет вид:

2

2

3

т

О

с = •

0г—1

Т = 1 + С-

г — 1 — С

32 1' 1п г = 8 Г 2О02

0— 1 0

(2.27)

р2

У

1п 0

15

02 — 1

Тепловой поток к поверхности внешнего цилиндра состоит из потока тепла, связанного с механизмом теплопроводности (закон Фурье) и тепла, подводимого к поверхности за счет работы сил трения:

Ч,

Л

дТ_ дЯ

ии

ди,

и.

дЯ Я

, У

К, =Я2

Поскольку на поверхностях цилиндров выполняется условие прилипания, то для потока тепла к поверхности внешнего цилиндра можно записать:

д = 3, = —15 Кп дТ

8 д,

Ч1

Ч+ = у КпС

Чпя Чт"

,=0

Г 02 — 1

2

031п 0 03

_ 15 К Г — 1

Ч„, =—Кп-

8 01п 0

(2.28)

кТ /2кТТ К и /2кТ

где Ч1 = п0кТм--, Кп =0 1Т\-1

V т К1п0 кТ1 V т

Необходимо отметить, что конвективная часть теплового потока к поверхности внутреннего цилиндра (, = 1) всегда отрицательна, а к поверхности

внешнего цилиндра (, = 0) всегда положительна. В то время, как диффузионная

составляющая теплового потока к поверхностям внутреннего (, = 1) и внешнего

цилиндров (, = 00 может быть как положительной, так и отрицательной в

зависимости от отношения температур г (г > 1 или г < 1). Поэтому всегда можно подобрать такое отношение температур г и скорость вращения внутреннего цилиндра О (или ич!), чтобы тепловой поток к соответствующей поверхности

стал равным нулю или изменил свой знак.

Введем понятие равновесного отношения температур, как отношение температур поверхностей цилиндров, при котором поток тепла к внешнему цилиндру равен нулю. Необходимо отметить, что для внешнего цилиндра

г

2

2

равновесная температура в случае сплошной среды и в свободномолекулярном случае отличаются друг от друга. Таким образом, в зависимости от числа Кнудсена тепловой поток при некоторых значениях скорости и отношения температуры может менять свой знак.

2.2.4 Результаты расчетов в широком диапазоне чисел Кнудсена

В рамках метода самоподобной интерполяции [15, 16], асимптотика некоторой функции / (х) имеют следующий вид:

, ч Гах х ^ 0 /(хН 2 (2.29)

[а1 х ^ да

тогда интерполяционная функция /*(х) первого порядка для (2.29) имеет вид:

л»* / \ 01^2х

/ (х)= 1 2

1 ^2 х

Используя формулы (2.23) и (2.28), получаем выражения теплового потока:

а~ Кп, Кп ^ 0

Интерполяционная формула первого порядка теплового потока будет:

+ - + q = q - q , q