Статистическое моделирование в физической газодинамике тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.16, доктор физико-математических наук Хлопков, Юрий Иванович

• Хлопков, Юрий Иванович
• доктор физико-математических наук
• 1998

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Хлопков, Юрий Иванович

Введение.

Глава I

Основные уравнения и подходы к решению задач ДРГ.

§1. Основные уравнения ДРГ.

§2. Основные подходы к построению статистических алгоритмов.

§3. Связь стационарного статистического моделирования с решением уравнения.

§4. Построение метода прямого статистического моделирования.

Глава II

Разработка численных методов решения линейных кинетических уравнений.

§1. Совершенствование методов ВГК (Власова,

Горелова, Когана).

§2. Модификация метода Власова для решения линейных задач.

§3. Метод решения линеаризованного уравнения Больцмана.

Глава III

Методы решения нелинейных задач динамики разреженных газов.

§1. Метод решения модельного уравнения, основанный на стационарном моделировании.

§2. Возможности схемы расщепления для решения кинетических уравнений.

§3. Повышение скорости сходимости метода.

Глава IV

Моделирование течений сплошной среды.

§1. Процедура Монте-Карло для моделирования течений разреженного газа и сплошной среды.

§2. Моментный метод «релаксация - перенос» для решения задач динамики газа в широком диапазоне разреженности среды.

§3. Моделирование течений невязкого идеального газа.

Глава V

Исследование слабо возмущенных течений разреженного газа.

§1. Определение скорости скольжения.

§2. Решение задачи о слабом испарении (конденсации) с плоской поверхности.•••••••••.,.

§3. Медленное движение сферы в разреженном газе.

§4. Коэффициент диффузии и среднее смещение смещение броуновской частицы в разреженном газе.

Глава VI

Исследование обтекания различных тел в переходном режиме.

§1. Обтекание плоских тел.

§2. Обтекание осесимметричных тел.

§3. Влияние испарения (конденсации) на аэродинамическое сопротивление сферы при сверхзвуковом обтекании.

§4. Пространственное обтекание.

Глава VII

Определение аэродинамических характеристик ВКС.

§1. Гипотеза локальности и ее развитие.

§2. Методика описания поверхности.

§3. Инженерная методика расчета аэродинамических характеристик летательных аппаратов.

Глава VIII

Сверхзвуковое обтекание затупленных тел с энергоподводом.

§1. Основы метода.

§2. Численная схема.

§3. Алгоритмы и се.тки.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Статистическое моделирование в физической газодинамике»

Большое научное и прикладное значение, которое в настоящее время имеет динамика разреженных газов (ДРГ), объясняется практической важностью решения широкого круга задач, связанных с современным этапом освоения космоса, развитием вакуумной технологии, лазерной техники и других отраслей научно-технического прогресса. Методы, развитые в динамике разреженных газов, широко применяются для решения задач, не связанных с разреженностью среды - теории гомогенных и гетерогенных процессов, теории испарений и адсорбционных процессов, неравновесных течений, обоснования и установления граничных условий и коэффициентов переноса в механике сплошных сред. Необходимость качественного и количественного анализа явлений динамики разреженных газов, сложность и многомерность уравнений, с которыми приходится иметь дело, стимулировали развитие эффективных и оригинальных численных методов. Особенности физических явлений, с которыми приходится иметь дело в ДРГ и уравнений, описывающих эти явления (это, в основном, уравнения Больцмана и Навье-Стокса), накладывают на разрабатываемые методы целый ряд требований:

- обоснованность вычислительной процедуры и точность получаемого решения с возможностью его использования в качестве эталонного,

- возможность эффективного моделирования сложных течений разреженных газов, таких как обтекание пространственных тел во всех диапазонах переходного режима от свободномолекулярного до сплошной среды и учет физических и химических особенностей свойств газов.

В соответствии с основными требованиями существующие методы можно объединить в группы по степени их обоснованности и связи с кинетическими уравнениями и по возможности моделирования сложных явлений.

К первой группе можно отнести, в первую очередь, регулярные методы - классические конечно-разностные квадратурные подходы; полурегулярные методы - с использованием методов Монте-Карло для вычисления интегралов столкновения; и, наконец, статистические процедуры типа Улама-Неймана для решения кинетических уравнений. Во вторую группу можно выделить методы непосредственного статистического моделирования реальных течений. Необходимо отметить, что подобное разделение методов, в большой мере, является условным, между многими из них установлена связь и основным в классификации на наш взгляд является все-таки эффективность при решении сложных задач.

Краткую ретроспективу развития методов можно представить следующим образом. В монографии [1] представлены основные вычислительные методы в динамике разреженных газов, разработанные до середины 60-х годов. Анализ более поздних методов приведен в обзорном докладе[2], подробное описание основных подходов статистического моделирования представлено в сборнике и монографиях [3,4,5]. Описание регулярных и полурегулярных методов дано в [6].

Как уже отмечалось, по степени обоснованности вычислительной процедуры в первую очередь следует упомянуть регулярные методы. В общем, их суть заключается в аппроксимации функции распределения значениями в точках фазового пространства и дальнейшего решения разностных уравнений. Кроме естественного требования к умению хранить и оперировать с большим объемом информации, существенные трудности вызывает разностная аппроксимация интегралов столкновений. Поэтому в ряде случаев естественным этапом развития методов явилось использование процедур Монте-Карло при вычислении интегралов столкновений. Для уравнения Больцмана этими методами был получен ряд эталонных решений, в основном, для пространственно-однородных и одномерных течений, например, [7,8] и двумерных задач [9-11]. Возможности методов существенно расширяются при решении модельных кинетических уравнений [12-19]. Замена интеграла столкновений некоторым упрощенным выражением во многих случаях позволяет построить вычислительную процедуру интеграла столкновений на уровне макропараметров, что значительно увеличивает эффективность применяемых методов.

Сложная многомерная структура кинетических уравнений, с одной стороны, и избыток информации, которую несет в себе функция распределения, с другой, стимулировали применение и развитие статистических процедур для решения задач динамики разреженных газов. Первое применение статистических методов связывалось с непосредственным моделированием течений газов [20-25]. Сразу отразим, что методы статистического моделирования оказались наиболее эффективными в динамике разреженных газов. Кроме упомянутых выше причин, это объясняется еще и статистической природой кинетических уравнений. Среди методов прямого статистического моделирования можно выделить два подхода: метод стационарного прямого моделирования [20-22] и метод нестационарного прямого моделирования [23-25]. Поскольку данная работа, в основном, посвящена статистическим методам, опишем кратко суть упомянутых подходов.

И в том и в другом методе в области течения выбирается некоторый объем, на границах которого обычным способом задается вид функции распределения и закон взаимодействия газа с поверхностью. Расчетная область разбивается на ячейки, в каждой из которых функция распределения моделируется некоторым количеством частиц. Размеры ячеек выбираются из условия постоянства функции распределения по объему ячейки. Эволюция частиц разделяется во времени на малые промежутки длительности At, выбираемые из условия t«X, где | и Л характерные скорость и длина свободного пробега молекул. Основное отличие рассматриваемых процедур заключается в том, что в случае нестационарного моделирования осуществляется одновременное слежение за всем ансамблем частиц. Это позволяет строить траектории частиц с учетом меняющейся во времени частоты столкновений - и приводит к некоторому процессу установления. В случае стационарного моделирования слежение осуществляется за отдельными, так называемыми, пробными частицами, что приводит к необходимости знания функции распределения полевых частиц и, соответственно, к некоторому итерационному процессу. И тот и другой подходы допускают ряд принципиальных модификаций, существенно повышающих их эффективность и позволяющих их успешное использование не только в одномерных случаях, но и для решения двухмерных и даже трехмерных задач.

Непосредственное моделирование течений газа, вообще говоря, является универсальным инструментом исследования не только в области разреженного газа, но и, как показывается в настоящей работе, в механике сплошных сред. Однако одно из достоинств прямого моделирования - решение задач без обращения к уравнению - часто является и основным недостатком метода. Отсутствие прямой связи с описывающим процесс уравнением вызывает вполне объяснимое недоверие к получаемым результатам и затрудняет систематический подход к повышению эффективности методов. По этой причине известный методологический и практический интерес представляют работы по обоснованию и установлению соответствия статистических процедур управляющему уравнению. Известная статистическая процедура Улама-Неймана для решения интегральных уравнений и широко применяемая в теории излучений [26-29] для кинетических уравнений непосредственно применима лишь в случае линеаризованного кинетического уравнения [30]. В нелинейном случае в [31,32] была предложена модификация процедуры Улама-Неймана, основанная на теории ветвящихся процессов. Однако практическая реализация этого метода, связанная с большим количеством вычислений, оказалась затруднительной. Построение же стандартной процедуры Улама-Неймана для нелинейного уравнения требует искусственной линеаризации уравнения, что приводит к итеративному процессу, запоминанию информации о предыдущей итерации и, соответственно, разбиения фазового пространства на ячейки, что является дополнительным источником погрешности и не является необходимым в методах [33,34].

Построенная таким образом процедура соответствует методу стационарного статистического моделирования, что было использовано при составлении и обосновании методов [33,34]. Несколько сложнее обстоит дело с обоснованием метода нестационарного моделирования. Установление его связи с решением кинетических уравнений посвящены работы [2,5].

В практической реализации, все-таки, предпочтение отдается статистическим методам. Именно ими были решены большинство наиболее сложных и практически важных задач.

Модернизация методов стационарного статистического моделирования, в основном, шла по пути сокращения оперативной памяти вычислительной машины. Так в работах [35,36] предлагается процедура построения траекторий не требующая запоминания функции распределения, основанная на том, что плотность вероятности скорости полевой молекулы равна нормированной на единицу искомой функции распределения. Другим направлением повышения эффективности методов является аппроксимация функции распределения полевых частиц с помощью некоторого количества моментов. Большие возможности по совершенствованию методов стационарного моделирования открывает использование модельных кинетических уравнений [33,34]. В этом случае реализация процедуры столкновений не требует знания функции распределения полевых частиц, поскольку пробная частица после столкновения приобретает скорость, соответствующую равновесной функции распределения.

Центральным местом в методе нестационарного статистического моделирования является процедура подсчета столкновений. Пара частиц выбирается для столкновения в соответствии с частотой столкновений молекул, вне зависимости от расстояния между ними в данной ячейке. Скорости частиц после столкновения выбираются в соответствии с законами взаимодействия молекул. Хотя эффективность метода зависит от довольно многих параметров схемы счета (установления, расщепления по времени, выхода на стационарный режим, шага по времени, сетки по пространству и т.д.) основные работы по совершенствованию метода посвящены улучшению процедуры столкновений и уменьшению статистической погрешности схемы, как основного момента, позволяющего уменьшить количество частиц в ячейках и, соответственно, уменьшить оперативную память вычислительной машины. Так в работе [37] была предложена модификация процедуры столкновений для масквелловских молекул, при которой результаты расчета практически не зависят от количества частиц в ячейке при их изменении от 40 до 6. (При обычных расчетах количество частиц в ячейках порядка 30). В работах [38-43] предложен метод, в котором на этапе столкновений подсистема модельных частиц в каждой ячейке рассматривается как ^частичная модель Каца. Моделирование столкновения сводится к статистической реализации эволюции модели Каца в течении времени АЬ Время столкновения в модели Каца рассчитывается в соответствии со статистикой столкновения в идеальном газе. Эта схема позволяет использовать существенно меньшее число частиц в ячейке и более мелкий шаг расчетной сетки. Анализ результатов расчета показал, что результаты расчета практически не зависят от количества частиц в ячейке вплоть до 2.

Как уже отмечалось, в практической реализации для задач динамики разреженных газов статистические методы оказались более эффективными по сравнению с регулярными и полурегулярными методами. Для задач обтекания, как наиболее существенных в аэродинамике, они впервые были успешно применены в [45] для получения аэродинамических характеристик различных, в том числе и сложных, тел, в свободномолекулярном и близком к свободномолекулярному потоках [46]. Разработанная более двух десятков лет назад методика в настоящее время доведена до стандартных программ и широко используется в соответствующих проектных и конструкторских организациях. Продвижение в область меньших Кп связано с резким увеличением вычислительных трудностей, обусловленных уменьшением длины пробега молекул и, соответственно, более мелким шагом по времени и пространству и, в случае прямого моделирования, увеличением количества частиц, моделирующих функцию распределения. В этом направлении с помощью статистических методов, основанных на стационарном и нестационарном подходах, в задачах обтекания удалось продвинуться до чисел Кп порядка 0,01 в плоском, осесимметричном [33,47-66] и даже в пространственном случаях [6770].

По всей видимости, применение статистического моделирования в традиционной форме для проникновения в область сплошной среды при современной вычислительной базе неэффективно. И поскольку современный этап развития техники все-таки требует получения данных во всей области переходного режима, то течения слабо разреженного газа требуют разработки соответствующих методов и способов решения. Представляют интерес методы, использующие информацию о функции распределения исходя из физических соображений, связанных со сплошностью среды. Одно из таких направлений - решение более высоких по порядку, чем уравнений Эйлера и Навье-Стокса моментных уравнений. Однако до сих пор остается открытым вопрос, окупается ли получаемым уточнением значительное усложнение соответствующих макроскопических уравнений и трудности постановки для них граничных условий.

Другое направление, связано с совместным решением на последовательных элементарных участках времени кинетического и сплошносредных уравнений, взаимно дополняя и уточняя друг друга. Однако на этом направлении к трудностям решения кинетических уравнений в полной мере добавляются трудности решения уравнений Навье-Стокса, чем объясняется применение метода лишь для одномерных задач [18].

Более эффективным представляется выделение в течении областей с различными физическими свойствами, описываемыми разными типами уравнений, решения которых сращиваются на границах областей. Такой прием широко применяется в механике сплошных сред [44], а в вычислительной газодинамике разреженного газа пока еще широкого распространения не получил и представляется единичными работами типа [71].

Также чрезвычайно интересным и требующим, на наш взгляд, своего дальнейшего развития является направление применения вычислительных приемов, развитых в динамике разреженных газов, в таких нетрадиционных областях применения, как вязкие и невязкие течения сплошной среды. В частности, это позволяет установить единую вычислительную процедуру независимо от разреженности среды. В этой связи представляют интерес методы, моделирующие сплошную среду ансамблем частиц [2,64-72,77], наделенных соответствующими признаками, совокупность которых характеризует рассматриваемую среду. Так, в методах [2,72] частицы представляют лагранжеву форму описания течения идеального газа, а в [74,75] сплошная среда моделируется молекулярной функцией распределения. Использование статистического подхода при описании сплошной среды с помощью ансамбля частиц, позволяет, вообще говоря, использовать опыт, накопленный в вычислительной газодинамике разреженного газа, с одной стороны, и установить единую процедуру расчета во всех режимах течений, с другой [76,77].

И, наконец, нельзя не отметить практически важное направление развития расчетных методов, основанных на гипотезе локальности [78-90].

Это приближенные полуэмпирические методы, интегрирующие в себе максимальный объем теоретических, расчетных и экспериментальных данных и позволяющие эффективно получать интегральные аэродинамические характеристики аппаратов на всех режимах течения.

Цель работы

Целью работы являются разработка и исследование численных методов решения кинетических уравнений и их приложение к решению различных задач механики разреженных газов и механики сплошных сред.

Разработка методов формулировалась исходя из основных методологических и практических требований к получаемым решениям кинетических уравнений. Так, на наш взгляд, современная методика численного решения кинетических уравнений должна состоять из следующего набора методов: метода получения "точных численных решений", используемых в качестве эталонных,

- метода обоснования соответствия статистических процедур решению кинетического уравнения,

- метода корреляции течений в переходном режиме с сплошносредными течениями,

- учет внутренней физико-химической структуры газа,

- решение кинетических уравнений в области малых чисел Кнудсена и внедрение в сплошную среду, инженерные методы расчета аэродинамических характеристик для реальных гиперзвуковых аппаратов при всех режимах обтекания от сплошносредного до свободномолекулярного,

- установление граничных условий для решения уравнений Навье-Стокса и Больцмана (условия скольжения, учет испарения и конденсации, внутренних свойств молекул,.)

- расчет полей течений и аэродинамических характеристик при обтекании двумерных и трехмерных тел в переходном режиме и сплошной среде, расчет аэродинамических характеристик реальных компоновок в широком диапазоне чисел Рейнольдса при помощи инженерных методов.

Научная новизна

На основе двух основных подходов к моделированию течений разреженного газа (моделированию "пробных" частиц и моделированию молекулярного ансамбля), а также на основе процедуры Улама-Неймана разработаны оригинальные статистические методы решения кинетического уравнения Больцмана и его моделей. Так разработаны ряд методов для решения линеаризованного уравнения Больцмана, с помощью которых были решены задачи по установлению граничных условий при обтекании тел для уравнений Навье-Стокса (скорости скольжения, слабое испарение и конденсация), исследовано броуновское движение в разреженном газе. Для решения нелинейных задач (около-, сверх- и гипер- звуковое обтекание простых тел при различных числах Рейнольдса) разработаны методы решения уравнений Больцмана и его моделей. Результаты методологического анализа методов, сконструированных на различных подходах, позволяют установить их общность. Разработана программа инженерного расчета реальных компоновок.

Практическое значение полученных результатов определяется общим методологическим подходом к разработке комплекса численных методик и решением крупных прикладных задач в области практической аэродинамики. Полученные результаты вошли в ряд РДК и используются в учебном процессе для студентов и аспирантов МФТИ. Разработанные методики имеют общий характер и могут быть использованы в различных отраслях науки и техники.

Содержание работы

Диссертация состоит из введения, 8 глав и заключения.

Заключение диссертации по теме «Применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях (по отраслям наук)», Хлопков, Юрий Иванович

Основные результаты представлены в работах:

1. Хлопков Ю.И. Вычисление коэффициентов переноса и скорости скольжения для молекул в виде твердых сфер. Изв. АН СССР, ]VDKT,N2,1971.

2. Хлопков Ю.И., Власов В.И. Вариант метода Монте-Карло для решения линейных задач динамики разреженного газа. ЖВМ и МФ АН СССР, N4,1973.

3. Хлопков Ю.И. Статистический метод решения приближенного кинетического уравнения. Учен. зап. ЦАГИ. 1973, т.4, N4.

4. Хлопков Ю.И. Решение линеаризованного уравнение Больцмана. ЖВМ и МФ АН СССР, N 5,1973.

5. Хлопков Ю.И. Численные методы решения кинетических уравнений. Премия МОС НТО, МОС ВОИР, 1973.

6. Коровкин О.Н., Хлопков Ю.И. Решение задач о слое Кнудсена с медленной конденсацией (испарением) на поверхности. Изв. АН СССР, МЖГ, N 4,1974.

7. Хлопков Ю.И. Методы решения кинетического уравнения Больцмана. Диссертация на соискание уч. степ. к. ф.-м. н., МФТИ, 1974. i

8. Хлопков Ю.И. Клин в потоке разреженного газа. Учен. зап. ЦАГИ т. 7, N4, 1976.

9. Хлопков Ю.И. Сопротивление сфе^ы в потоке разреженного газа малой скорости. Ученые зап. ЦАГИ т. 6, N5,1975.

10. Хлопков Ю.И., Шахов Е.М. Кинетические модели и их роль в исследованиях течений разреженного газа. Сб. ВЦ АН СССР, М., N.3,1977. 1

11. Хлопков Ю.И. О броуновском движении в разреженном газе. ДАН СССР, т. 222, N 3, 1975.

12. Горелов C.JL, Хлопков Ю.И. Методы решения линейного уравнения Больцмана. IV Всесоюзная конференция по ДРГ и молекулярной динамике, М., 1975.

13. Горелов СЛ., Хлопков Ю.И. Решение линейных задач динамики разреженных газов. IV Всесоюзная конференция по ДРГ и молекулярной динамике, М., 1975.

14. Хлопков Ю.И. Расчет обтекания клина в потоке разреженного газа. IV Всесоюзная конференция по ДРГ и молекулярной динамике, М., 1975.

15. Горелов СЛ., Макашев Н.К., Никольский Ю.В., Хлопков Ю.И. Теоретические и экспериментальные исследования аэродинамики разреженных газов. Премия Ленинского Комсомола, 1975.

16. Хлопков Ю.И. Обтекание осесимметричных тел гиперзвуковым потоком разреженного газа. Учен. зап. ЦАГИ т.9, N 4,1978.

17. Ерофеев А.И., Омелик А.И., Хлопков Ю.И. Численное и экспериментальное моделирование аэродинамических характеристик на больших высотах. Премия за лучшую работу ЦАГИ, 1978.

18. Закиров М.А., Омелик А.И., Хлопков Ю.И. Теоретическое и экспериментальное исследование аэродинамических характеристик простых тел в гиперзвуковом свободномолекулярном потоке. VI Всесоюзная конференция по ДРГ и молекулярной динамике, Новосибирск, 1979.

19. Хлопков Ю.И. Метод решения задач газодинамики при малых числах Кнудсена. VI Всесоюзная конференция по ДРГ и молекулярной динамике, Новосибирск, 1979.

20. Хлопков Ю.И. Характеристики обтекания сферы при сверх и гиперзвуковых скоростях. Изв. АН СССР, МЖГ, N 3,1981.

21. Хлопков Ю.И. Характеристики обтекания конуса в переходном режиме под нулевым углом атаки. Изв. АН СССР, МЖГ, N 4, 1981. 1

22. Хлопков Ю.И. Методика и программа расчета на ЭВМ характеристик летательных аппаратов в свободномолекулярном режиме. Труды ЦАГИ, вып. 2111,1981.

23. Хлопков Ю.И. Статистический мЬтод решения задач газовой динамики. VI Всесоюзная конференция по ДРГ и молекулярной динамике, Новосибирск, 1979.

24. Khlopkov Yu.I. Monte-Carlo procedure for the solution of rarefied gas dynamics problems. ХШ Inter. Simp.on RGD, VI, N-Y, bond. 1988.

25. Серов B.B., Хлопков Ю.И. Совершенствование метода нестационарного прямого моделирования течения в динамике разреженного газа. Тезисы докладов IX Всесоюзной конференции по ДРГ. Свердловск, 1987.

26. Кравчук А.С., Серов В.В., Хлопков Ю.И. Возможности методов прямого статистического моделирования. Юбилейный сборник LXX-летия ЦАГИ, М.1990.

27. Горелов С.Л., Ерофеев А.И., Хлопков Ю.И. Численное моделирование аэродинамических процессов на больших высотах. Гагаринские чтения М.Н. 1987.

28. Коган М.Н., Кравчук А.С., Хлопков Ю.И. Метод "релаксация-перенос" для решения задач динамики газа в широком диапазоне разреженности. Ученые зап. ЦАГИ N2,1988.

29. Кравчук А.С., Хлопков Ю.И. Моделирование течений разреженного газа с помощью функции распределения. Тезисы докладов IX Всесоюзной конференции по ДРГ. Свердловск, 1987.

30. Еремеев Е.В., Хлопков Ю.И. Инженерная методика расчета на ЭВМ аэродинамических характеристик тел сложной реформы при полете в переходном режиме. Междуведомств, сборник. Изд. МФТИ, 1988.

31. Никольский Ю.В., Хлопков Ю.И. Теоретическое и экспериментальное исследование обтекания сферы потоком малой плотности с учетом испарения и конденсации с поверхности. Ученые зап. ЦАГИ, N 5,1989.

32. Никольский Ю.В., Хлопков Ю.И. Сферические частицы в сверхзвуковом потоке разреженного газа. Юбилейный сборник LXX-летия ЦАГИ, М.1990.

33. Никольский Ю.В., Хлопков Ю.И. Влияние испарения (конденсации) на аэродинамическое сопротивление сферы. XV Всесоюзная конференция «Актуальные вопросы физики аэродисперсных сред», 1989.

34. Khlopkov Yu.I. The Problems of Nonstationary Aerodynamics with Effects of Reynolds Numbers . Proceedings Of the Fourth China-Russian Symposium on Aerodynamics, Chinese Aeronautical Establishment, Beijing, 1995.

35. Gorelov S.L., Khlopkov Yu.I. DSMC Method for the Linearized Boltzmann Equation. Proceedings of the 19th International Symposium of the Rarefied Gas Dynamics, volume'2, Oxford, 1995

36. Еремеев E.B., Хлопков Ю.И. Совершенствование инженерной методики расчета аэродинамическйх характеристик тел сложной реформы в переходном режиме. Матер. ХХХШ научной конференции, МФТИ, М., 28 ноября 1988. ВИНИТИ.

37. Khlopkov Yu.I., Nicolskyi Yu.V. Theoretical and experemental investigations of supersonic low density flow over the sphere with surface condensation and evaporation. TsAGI Journal, N.-Y. N3 1994.

38. Khlopkov Yu.I., Kravchuk A.S. Simulation of rarefied gas flow and of a contnuum. Proc. of XVII Inter. Symp. on RGD, V.l, Aachen, 1990.

39. Khlopkov Yu.I.,, Yegorov I.V., Nicolskyi V.S. Viscous Hypersonic Flow for Various Aerophysical Models. Proceedings of the XIX Inter. Symp. on RGD, Oxford University Press, 1995.

40. Горелов C.JI., Жаров B.A., Хлопков Ю.И. Решение уравнения Релея с использованием методов машинной аналитики. ЖВМ и МФ, Т 38, №4,1998.

41. Хлопков Ю.И., Горелов СЛ. Методы Монте-Карло и их приложение в механике и аэродинамике. Учебное пособие. МФТИ, М., 1989.

42. Хлопков Ю.И., Горелов СЛ. Приложение методов статистического моделирования (Монте-Карло). Учебное пособие. МФТИ, М., 1995.

43. Gorelov S.L.,. Zharov V.A ., Khlopkov Yu.I. About thin bodies in a hypersonic flow of rarefied gas. Proc. of the 20th International Symposium on RGD. Peking University Press, Beijing, China, 1997.

44. Gorelov S.L.,. Zharov V.A ., Khlopkov Yu.I. The kinetic approaches to the turbulence description. Proc. of the 20th International Symposium on RGD. Peking University Press, Beijing, China, 1997.

45. Gorelov S.L.,. Zharov V.A Khlopkov Yu.I. The velocities distribution function for particles in a space «Debris». Proc. of the 20th International Symposium on RGD. Peking University Press, Beijing, China, 1997.

46. Voronich I. V., Moiseev M.M., Popov V.V., Khlopkov Yu.I. Direct Simulation Monte-Carlo of Inviscid Flows Method and Examples. Proc. of 21st International Symposium on Rarefied Gas Dynamics. Marseille (France) July 26-31 1998. i

47. Khlopkov Yu.I., Kuzyakin D.V. Monte-Carlo Network Machine. Its application in problems of direct numerical modeling (aerodynamic problems). Proc. of 21st Internationa} Symposium on Rarefied Gas Dynamics. Marseille (France) July 26-31 1998.

48. Khlopkov Yu. I., Voronich I. V., Popov V.V. Kinetic representations in simulation of continuum flow. ¿Proc. of 5th Russian-Chinese Symposium о Aerodynamics and Flight?Dynamics. Zhukovsky, May 1427,1997. Central Aerohydrodynamic Institute, TsAGI. p. 61.

49. Gusarova K.Yu., Khlopkov Yu.I. Videofilm «The critical regimes of flight at high angle of attack». Proc. of the Second Seminar on RRDPAE. Research Bulletin. Number 6, (1997). p. 149.

50. Khlopkov Yu. I. Monte-Carlo methods in CFD. Proc. of the Second Seminar on RRDPAE. Research Bulletin. Number 6, (1997). p. 189.

Заключение

I. Проведено обоснование общего численного подхода к моделированию течений разреженного газа на основе прямого статистического моделирования при помощи пробных частиц, эволюции ансамбля и решения кинетических уравнений по процедуре Улама-Неймана. Показана возможность статистического моделирования течений сплошной среды.

1. Исследованы возможности метода выделения главной части (Власова, Горелова, Когана) для решения линейных задач ДРГ, использования различных потенциалов взаимодействия (пробные частицы).

2. Разработана численная процедура, распространяющая метод Власова на класс линейных задач ДРГ (пробные частицы).

3. Предложен метод решения ¿линеаризованного уравнения Больцмана, использующий общую процедуру Улама-Неймана.

4. На основе моделирования траекторий "пробных" частиц разработан метод решения модельного кинетического уравнения для решения нелинейных задач обтекания в переходном режиме.

5. Для моделирования многомерных течений при помощи "ансамбля" разработан метод решения модельного кинетического уравнения | и уравнения Больцмана. Предложена процедура, позволяющая сократить время установления решения. Показана связь методов моделирования при помощи "пробных" частиц и при помощи "ансамбля".

6. Показана возможность и эффективность использования прямого статистического моделирования в сплошной среде.

II. С помощью разработанных методик решены ряд задач, имеющих научное и прикладное значение.

1. Определен коэффициент скольжения в слое Кнудсена для молекул в виде твердых сфер, величина которого была впоследствии подтверждена экспериментом.

2. Решена задача о слабом испарении (конденсации) в слое Кнудсена.

3. На основе решения уравнения Больцмана рассчитана зависимость сопротивления медленно движущейся сферы от разреженности среды и приложение этих результатов к исследованию броуновского движения в разреженном газе.

4. Проведено систематическое исследование широкого класса простых тел в сверх- и гиперзвуковом потоке разреженного газа, исследована зависимость поведения различных классов тел от параметров набегающего потока (Яе, к, .), что было использовано в том числе и при создании инженерных методик.

5. Установлен эффект падения сопротивления обтекаемых тел в разреженном газе при сильном испарении с поверхности тела и при подводе мощного энергетического излучения в поток перед телом в сплошной среде, что также подтверждается экспериментами.

6. Разработана инженерная методика и составлена программа, позволяющая получать аэродинамические характеристики реальных воздушно-космических систем на всех высотах и при любой ориентации аппарата.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Хлопков, Юрий Иванович, 1998 год

1. Коган М.Н. Динамика разреженного газа - М.: Наука, 1967.

2. Белоцерковский О.Н., Яницкий В.Е., Численные методы в динамике разреженного газа П Труды 1У Всесоюзной конференции по динамике разреженного газа I АН СССР, ЦАГИ.- М., 1975 с.

3. Вычислительные методы в динамике разреженных газов. Пер. с англ.-: Мир, 1969.

4. Берд Г. Молекулярная газовая динамика. Пер. с англ. М.: Мир, 1981.

5. Белоцерковский О.М. Численное моделирование в механике сплошных сред.- М: Наука, 1984.

6. Рыжов О.С. Численные методы в динамике разреженных газов, развитие и использование в Вычислительном центре АН СССР Численные методы в динамике разреженных газов. ВЦ АН СССР. -1977. -Вып.З.

7. Эндер М.А., Эндер А.Я. Об одном представлении уравнения Больцмана ДАН СССР. 1970.т.193 N 1 с.61-64.

8. Черемисин Ф.Г. Численное решение кинетического уравнения Больцмана для одномерных? стационарных движений газа. ЖВМ и МФ, 1970, VI, N 3, с.654-665.

9. Черемисин Ф.Г. Развитие метода прямого численного решения уравнения Больцмана . В сб;. Численные мет. в динамике разреженных газов. АН СССР, ВЦ, н., 1973, вып.1 с 74-101.

10. Черемисин Ф.Г. Решение плоской задачи аэродинамики разреженного газа на основе кинетического уравнения Больцмана. ДАН СССР. 1973, т.209, N 4, с. 811-814.

11. Щербак С. Л. О решении задачи обтекания полубесконечной пластины на основе уравнения Больцмана. Труды внеш. авиац. училища гражд. авиации. Л.1970, вып.45, с.96-109.

12. Шахов Е.Н. Поперечное обтекание пластины разреженным газом. Изв. АН, МЖГ, 1972, N6, С.107-113.

13. Ларина И.Н. Обтекание сферы разреженным газом. ПММ, 1969, т.ЗЗ, вып.5.

14. Ларина И.Н., Рыков В.А. Аэродинамика сферы, газирующей в потоке разреженного газа Изв. АН СССР, МЖГ, 1983, N3, с.173-176.

15. Лимар Е.Ф. Численное исследование течения разреженного газа около цилиндра. В сб. Числ. мет. в дин. разр. газов АН СССР, ВЦ, М., 1975, вып.2 с.95-107.

16. Huang A.B. Hartley D.K. Kinetic Theory of the Sharp Leady Edge Problem in Supersonic Flow. Phys. Fluids. 1969, vol.12, N1, pp.96108.

17. Huang A.B. Huangs P.F. Supersonic Leading Edge Problem According to the Ellipsoidal Model. Phis. Fluids, 1970, vol 13, N2, pp.309-317.

18. Бишаев A.M., Рыков В.А. Решение стационарных задач кинетической теории газов, при умеренных и малых числах Кнудсена методом итераций.В сб. Числен, мет. в дин. раз. газов. АН СССР, ВЦ, М., 1975, вып.2, с.19-34.

19. Аристов В.В. Метод переменных сеток в пространстве скоростей в задаче о сильном скачке уплотнения. ЖВМ и МФ, 1977, т.17, N4, с.1081-1086.

20. Haviland J.K. Lavin M.D. Application of the Monte-Karlo Method to Heat Hauster in Rarefied of Gases. Phis. Fluids, 1962. v.s, N 11, pp 1399-1408.

21. Haviland J.K. Daferminafion of the Shock-Wave Thickinesses by the Monte-Karlo Method. In Rarefied Gas Dynamics, vol.l, n.y, Acad, press, 1969.

22. Haviland J.K. The Solution of two Molecular Flow Problems by the Monte-Karlo Method. In "Method in Computaional Physics." Advanced in Research and Applications, vol.4, Application in Hydrodynamics. N4, Acad. Press. 1965. ;

23. Bird G.A. The Velocity distribution Function within a Shock wave J.Fluid Mech., 1967, vol.30, part 3. f

24. Bird G.A. Shock-Wave Structure in Rigid Sphere Gas. In Rarefied Gas Dynamics, vol.1, N.-Y., Acaid. Press, 1965.

25. Bird G.A. Shock-Wave Structure in rigid Sphere Gas. In Rarefied Gas Dynamics, vol.l. N.-Y., Acad. Press, 1965.

26. Русский перевод в сб. "Вычислительные методы в динамике разреженных газов" М., Мир, 1969.

27. Ермаков С.М. Метод Монте-Карло и смежные вопросы. М. Наука, 1985.

28. Соболь И.М. Численные методы Монте-Карло. М. Наука,1973.

29. Ермаков С.М., Михайлов Г.А. Курс статистического моделирования М. Наука, 1976.

30. Марчук Г.И., Михайлов Г.А. и др. Метод Монте-Карло в атмосферной оптике. Новье, Наука, 1976.

31. Хлопков Ю.И. Решение линеаризированного уравнения Больцмана ЖВМ МФ АН СССР, N5,1973.

32. Ермаков С.Н. Об аналоге схемы Неймана-Улама в нелинейном случае. ЖВМ и МФ, N3,1973.

33. Ермаков С.М., Нефедов . Об оценках суммы Неймана по методу Монте-Карло. ДАН СССР, 1972,202, N1, с.27-29.

34. Хлопков Ю.И. Статистический метод решения приближенного кинетического уравнения. Учен. зап. ЦАГИ. 1973, т.4, N4.0.108-113.

35. Григорьев Ю.Н., Иванов М.С., Харитонова М.И.К вопросу о решении нелинейных уравнений динамики разреженного газа методом Монте-Карло. В сб. Численные методы механики сплошной Среды. СО АН СССР, ВЦ, Новосиб., 1971, т.2.

36. Власов В.И. Улучшение метода статистических испытаний (Монте-Карло) для расчета течений разреженных газов. ДАН СССР, 1966,т.167,Ж

37. Власов В.И. Расчет методом Монте-Карло потока тепла между параллельными пластинами в разреженном газе. Уч. зам. ЦАГИ, 1970., 1, N4,0.46-51.

38. Ерофеев А.И., Перепухов В.А. Расчет обтекания пластины, расположенной вдоль потока разреженного газа. Учен. зап. ЦАГИ, 1975, т. VI, N3, с.51-57. {

39. Яницкий В.Е. Применение стохастического процесса Пуассона для расчета столкновительной релаксации перевновленного газа. ЖВМ и МФ, 1973., т.13, N2, с.505-510.

40. Белоцерковский О.М., Яницкий В.Е. Статистический метод "частиц в ячейках" для решения задач динамики разреженного газа 1,П.ЖВМиМФ, 1975,т.15,Ш,6. |

41. Белоцерковский О.М., Яницкий В.Е. Численные методы в динамике разреженных газов. В кн. Труды IV Всесоюзной конференции по динамике разреженного газа и молекулярной газовой динамике. М. Издательский отдел ЦАГИ, 1977, с.101-183.

42. Белоцерковский О.М., Яницкий В.Е. Прямое численное моделирование течений разреженного газа. В сб. Числен, мет. в дин. разреж. газов. АН СССР, ВЦ, М., 1977, вып.З, с.81-88.

43. Яницкий В.Е. Применение некоторых статистических моделей для численного решения уравнения Больцмана. Канд. диссертация, М., ВЦ АН СССР, 1974.

44. Яницкий В.Е. Применение процессов случайных блужданий. ЖВМ и МФ, N1,1974.

45. Сычев В.В. Асимптотическая теория отрывных течений. Изв. АН СССР, МЖГ, N2,1982

46. Перепухов В.А. Аэродинамические характеристики сферы и затупленного конуса в потоке сильноразреженного газа. ЖВМ и МФ, 1967. т.7, N2.

47. Перепухов В.А. Применение метода Монте-Карло в динамике сильно разреженного газа. В сб. Динамика разреж. газа и молекулярн. газовая динамика. Труды ЦАГИ, вып. 1411,1972.

48. Ерофеев А.И., Перепухов В.А. Расчет поперечного обтекания пластины потоком разреженного газа. Изв. АН СССР, МЖГ, 1976, N4, с. 106-112.

49. Горелов С.Л., Ерофеев А.И. Влияние внутренних степеней свободы на обтекание пластины гиперзвуковым потоком разреженного газа. Изв. АН СССР, МЖГ, МЖГ, 1978, N6, с.151-156.

50. Власов В.И. Расчет аэродинамических характеристик плоской пластины бесконечного размаха в гиперзвуковом потоке разреженного газа. Учен. Зап. ЦАГИ, 11971, т.2, N6, с.116-118.

51. Власов В.И. Расчет обтекания пластины под углом атаки потоком разреженного газа. Учен. зап. ЦАГИ, 1973, т.4, N1, с.17-24.

52. Власов В.И. Расчет методом Монте-Карло обтекания пластины под углом атаки потоком разреженного газа. В пл. Труды IV Всесоюзной конференции по динамике разреженных газов и молекулярной газовой динамике. М., Изд. отдел ЦАГИ, 1977, С.353-357.

53. Ерофеев А.И. О моделировании межмолекулярного взаимодействия при решении уравнений Больцмана методом Монте-Карло. Изв. АН СССР, МЖГ, 1977, N6, с. 171-174.

54. Ерофеев А.И., Перепухов В.А. Обтекание пластины потоком разреженного газа. В ин. Труды IV Всесоюзной конф. по динамике разр. газа и молекулярной газ. динамике. М., Изд. отдел ЦАГИ, 1977, с. 358-364.

55. Власов В.И., Ерофеев Л.И., Перепухов В.А. Расчет обтекания пластины потоком разреженного газа. Труды ЦАГИ, вып.1974.М.с.40.

56. Григорьев Ю.Н., Иванов М.С. Обтекание цилиндра потоком разреженного газа в переходном режиме. В СБ. Численные методы механики сплошной струи. СО АН СССР, ВЦ, Изв. 1974, т.5, N1, с.152-156.

57. Иванов М.С. Решение Осесимметричных задач динамики разреженного газа методом Монте-Карло. В кн. Труды IV Всесоюзной конференции по динамике разреженного газа и молекулярной газовой динамике М., отдел ЦАГИ, 1977, с. 388-391.

58. Григорьев Ю.Н., Иванов М.С. К решению задач аэродинамики разреженного газа методом Монте-Карло. В кн.

59. Прикладная аэродинамика космических аппаратов. Киев, Наукова Думка.

60. Хлопков Ю.И. Клин в потоке разреженного газа. Учен. Залиск. ЦАГИ т.7, N4,1976.

61. Хлопков Ю.И. Сопротивление сферы в потоке разреженного газа малой скорости. Ученые записки ЦАГИ т.6, N5, 1975.

62. Хлопков Ю.И., Шахов Е.М. Кинетические модели и их роль в исследованиях течений разреженного газа. Сб. ВЦ АН СССР, М., в.3, 1974.

63. Хлопков Ю.И. Обтекание осесимметричных тел гиперзвуковым потоком разреженного газа. Учен. зап. ЦАГИ т. 9, 1978.

64. Хлопков Ю.И. Характеристики обтекания сферы при сверх и гиперзвуковых скоростях. Изв. АН СССР, МЖГ, N3,1981.

65. Хлопков Ю.И. Характеристики обтекания конуса в переходном режиме под нулевым углом атаки. Изв. АН СССР, МЖГ, N, 1981.

66. Khlopkov Ju.I. Monte-Karlo procedure for the solution of rerefied gas dynamics problems.ХШ Inter.Simp.on RGD, VI, N-Y, Lond. 1988. 1

67. Серов B.B., Хлопков Ю.И. Совершенствование метода нестационарного прямого моделирования течения в динамике разреженного газа. Тезисы докладов Щ Всесоюзной конференции по ДРГ. Свердловск, 1987.

68. Ерофеев А.И., Омелик А.Й., Хлопков Ю.И. Численное и экспериментальное моделирование аэродинамических характеристик на больших высотах. Конкурс на лучшую работу ЦАГИ, 1978.

69. Ерофеев А.И. Пространственное обтекание пластины гиперзвуковым потоком разреженного газа. Уч. зап. ЦАГИ, 1978, т.2, N5.

70. Кравчук А.С., Серов В.В., Хлопков Ю.И. Возможности методов прямого статистического моделирования. Юбилейный сборник LXX-летия ЦАГИ, М. 1990.

71. Горелов С.Л., Ерофеев А.И., Хлопков Ю.И. Численное моделирование аэродинамических процессов на больших высотах. Гагаринские чтения М.Н. 1987.

72. Горелов СЛ., Ерофеев А.И. Обтекание конуса двухатомным разреженным газом. Уч. зап. ЦАГИ, т. 15, N1,1984.

73. Хлопков Ю.И. Статистический метод решения задач газовой динамики. Труды VI Всесоюзной конференции по ДРГ, Новосибирск 1980.

74. Harlow F.H. A numercial method particles in cells for the solution on hydrodynamics problems.Fundamental method in hydrodynamics. vol3, Acad.Press, N-4, London, 1964.

75. Gentry R.A., Harlow F.H., Martin R.E. Computer experiments for molecular dynamics problems. Methods in Computational Phisics. Vol.4. Applications in Hydrodynamics. 1965.

76. Pullin D.J. Direct simulation methods for compressible Juviscied ideal-gas flow. J. of Comput. Phis, 1980, v.34, N2, p.231-244.

77. Елизарова Т.Г., Четверушкин Б.Н. Кинетические алгоритмы для расчета газодинамических течений. ЖВМ и МФ, т. 25, N10,1985.

78. Khlopkov Ju.I. Monte-Karlo procedure for the solution of rerefied gas dynamics problems. ХП1 Int. Symp. on DRG, Novosibirsk, book of Abstract, v2,1982.

79. Коган M.H., Кравчук A.C., Хлопков Ю.И. Метод "релаксации-перенос" для решения динамики газа в широком диапазоне разрешенности сферы. Ученые зап. ЦАГИ N2,1988.

80. Алексеева Е.В., Баранцев Р.Г. Локальный метод аэродинамического расчета в разреженном газе. М. Изд. ЛГУ, 1976.

81. Галкин B.C., Ерофеев А.И., ¡Толстых А.И. Приближенный метод расчета аэродинамических характеристик тел в гиперзвуковом разреженном газе. Труды ЦАГИ, вып. 1833,1977.

82. Бунимович А.И., Чистолин^в В.Г. Аналитический метод определения аэродинамических характеристик тел в гиперзвуковом потоке газа различной разреженности. Труды ЦАГИ, вып. 1833,1977.

83. Закиров М.А. Исследование внутренних и внешних свободномолекулярных течений около произвольной группы сложных тел. Труды ЦАГИ, вып. 1411, 1972.

84. Басс В.П. Расчет обтекания потоком сильно разреженного газа с учетом с взаимодействия с поверхностью. Изв. АН СССР, МЖГ, N5,1978.

85. Ковтуненко В.Н., Камеко В.Ф., Яскевич Э.П. Аэродинамика орбитальных космических аппаратов. Киев, Наукова Думка. 1977.

86. Баранцев Р.Г. Вариант локального метода для тонких тел в разреженномгазе. ЛГУ, N13,1982.

87. Баранцев Р.Г. Локальная теория передачи импульса и энергии на поверхность в разреженном газе. В сб. Математические модели, Аналитические и численные методы в теории переноса. Минск 1982.

88. Закиров М.А., Омелик А.И., Хлопков Ю.И. Теоретическое и экспериментальное исследование аэродинамических характеристик простых тел в гиперзвуковом и свободномолекулярном потоке. VI Всезоюзн. конференция по ДРГ. Сб. Аннот. Новосиб. 1979.

89. Хлопков Ю.И. Методика и программа расчета на ЭВМ характеристик летательных аппаратов в свободномолекулярном режиме. Труды ЦАГИ, вып.2111,1981.

90. Еремеев Е.В., Хлопков Ю.И. Инженерная методика расчета на ЭВМ аэродинамических характеристик тел сложной реформы при полете в переходном режиме. Междуведомств, сборник. Изд. МФТИ, 1988.

91. Еремеев Е.В., Хлопков Ю.И. Совершенствование инженерной методики расчета аэродинамических характеристик тел сложной реформы в переходном режиме. Матер. XXXIII научной конференц., МФТИ, М., 28 ноября 1988. ВИНИТИ.

92. Bhathnagar P.D., Gross Е.Р., Krook М.А. F Model for Collision Processes in Gases. "Phis.rev." 1954,94.j

93. Holway L.H. Rarefied Gas Dynamics. Fourth Symp. Acad. Press, 1965. j

94. Алферов В.И. и др. Математическое моделирование структуры ударного слоя около модели в аэродинамических трубах. Ж. Мат. Моделирование, Т.1, №9,1989.

95. Шахов Е.М. Метод исследования движений разреженного газа. М., Наука, 1974.

96. Власов В.И., Горелов С.Л., Коган М.Н. Математический эксперимент для вычисления коэффициентов переноса. ДАН СССР, т. 176, N6,1968.

97. Горелов С.Л., Коган М.Н. Решение линейных задач динамики разреженного газа методом Монте-Карло. Изв. АН СССР, МЖГ, N 6,1967.

98. Хлопков Ю.И. Вычисление коэффициентов переноса и скорости скольжения для молекул в виде твердых сфер. Изв. АН СССР, МЖГ, N2,1971

99. Хлопков Ю.И. Методы решения кинетического уравнения Больцмана. Диссертация на соискание уч. степ. к. ф.-м. н., МФТИ, 1974.

100. Хлопков Ю.И., Власов В.И. Вариант метода Монте-Карло для решения линейных задач динамики разреженного газа. ЖВМ и МФ АН СССР, N4,1973.

101. Серов В.В., Хлопков Ю.И. Совершенствование метода прямого нестационарного моделирования. Междуведомственный сборник. Исследование нестационарного движения сплошной среды. Изд. МФТИ, 1987.

102. Серов В.В., Хлопков Ю.И. Совершенствование метода нестационарного прямого моделирования течения в динамике разреженного газа. Тезисы докладов IX Всесоюзной конференции по ДРГ. Свердловск, 1987.

103. Перепухов В.А. Решение методом Монте-Карло модельного кинетического уравнения. Учен. зап. ЦАГИ, N 4,1973.

104. Абалакин И.В., Четверушкин Б.Н. Кинетически-согласованные разностные схемы как модель для описания газодинамических течений // Математическое моделирование. 1996. Т.8. № 8. С.17.

105. Кравчук А.С., Хлопков Ю.И. Моделирование течений разреженного газа с помощью функции распределения. Тезисы докладов IX Всесоюзной конференций по ДРГ. Свердловск, 1987.

106. Khlopkov Yu.I., Kravchuk A.S. Simulation of rarefied gas flow and of a contnuum. Proc. of XVII Inter, Symp. on RGD, V.l, Aachen, 1990. !

107. Voronich I. V., Moiseev M.M., Popov V.V., Khlopkov Yu.I. Direct Simulation Monte-Carlo of Inviscid Flows Method and Examples. 21st International Symposium on Rarefied Gas Dynamics. Marseille (France) July 26-31 1998.

108. Хлопков Ю.И., Горелов C.JL Методы Монте-Карло и их приложение в механике и аэродинамике. Учебное пособие. МФТИ, М., 1989.

109. Хлопков Ю.И., Горелов C.JI. Приложение методов статистического моделирования (Монте-Карло). Учебное пособие. МФТИ, М., 1995.

110. Абрамов A.A., Кравчук A.C., Подлубный B.B. Статистическое моделирование поверхностного выдува газа в набегающий поток // ЖВМиМФ. 1991. Т.31. № 12. С.1849.

111. Ш.Абрамов А. А., Кравчук А.С. Действие теплового импульса на поверхность в тангециальном потоке // Известия РАН. МЖГ. 1994. № 1. С. 139.

112. Khlopkov Yu. I. Monte-Carlo methods in CFD. Proc. of the Second Seminar on RRDPAE. Research Bulletin. Number 6, (1997). p. 189.

113. Ивченко И.Н., Яламов Ю.И. Кинетическая теория течения газа, находящегося над твердой стенкой в поле градиента скорости. Изв. АН СССР, МЖГ, N 6,1968.

114. Reynolds М.А., Smoldern J.J., Wendt J.F. Velocity Profile Measurement in the Knudsen Layer for the Kramers prolem. IX International Rarefied Gas Dynamics Symposium, Gottingem, Germany, 1973.

115. Paul B. Compilation of Evaporation Coefficients. ARS Journal, vol. 32, N 9.

116. Liu C.Y., Sigimura T. Rarefied Gas Flow Over a Sphere at Low Mach Numbers. Rarefied Gas Dynamics, 6th Symposium, v 1.

117. Roger Willis. Sphere Drag at High Knudsen Number and Low Mach Number. Phys. Fluids, v. 9, N. 12,1966.

118. Cercignani C., Pagani C.D., Biassanini P. Flow of Rarefied Gas Past an Axisymmetric Body. Phys. Fluids- v. 11, N 7,1968.

119. Хлопков Ю.И. О броуновском движении в разреженном газе. ДАН СССР, т 222, N 3, 1975.

120. Эйнштейн А., Смолуховскйй И. Брауновское движение. ОНТИ, 1936. " I

121. Милликен Р. Электроны (+ -), протоны, фотоны, нейтроны и космические лучи. ГОНТИ, M.-JL, 1939.

122. Эпштейн П.С., В сб. Газовая динамика. М., 1950.

123. Хлопков Ю.И. Сопротивление сферы в потоке разреженного газа малой скорости. Ученые зап. ЦАГИ, т. 6, N 5, 1975.

124. Гусев В.Н., Коган М.Н., Перепухов В.А. О подобии и изменении аэродинамических характеристик в переходной области при гиперзвуковых скоростях потока. Ученые зап. ЦАГИ, т. 1, N 1, 1970.

125. Broadwell J.E., Rungaldier Н. Chock layer on cylinders, spheres and wedges in low density supersonic flow. Rept. 66-3320, 4-10, Dec. 1966, TRW System.

126. Vogenitz F.W., Bird G.A., Broadwell J.E., Rungaldier H. Theoretical and experimental study of rarefied supersonic flows about several simple shapes. AJAA Journal, v. 6, N. 12,1968.

127. Whitfield D. Drag on bodies in rarefied high-speed flow. A. Dissertation. The University of Tennessee, 1971.

128. Allegre J., Негре G., Taulman D. Measurement of pressure distribution, drag and lift of flat plates and wedges at Mach 8 in rarefied gas flow. RGD, 6th Symposium, vol. 1, Academ. Press. N. Y. and L., 1969

129. Хлопков Ю.И. Расчет обтекания клина в потоке разреженного газа. IV Всесоюзная конференция по ДРГ и молекулярной динамике, М., 1975.

130. Шахов Е.М., Осесимметричное течение разреженного газа около диска. Изв. АН СССР, МЖГ, N 5,1974.

131. Phillips W.M., Kuhlthau A.R. Transition regime sphere drag near free molecule limit. AJAA Journal, v. 9, N 7,1971.

132. Белоцерковский O.M., Булекбаев А., Голомазов M.M., Толстых А.И. и др. Обтекание затупленных тел сверхзвуковым потоком газа. М.: ВЦ АН СССР, 400 Ц1967.

133. Павлов Б.М. Численное исследование сверхзвукового обтекания затупленных тел потоком вкзкого газа. В кн.: Некоторые применения метода сеток в газовой динамике. Вып. 4., М.: Изд-во МГУ, 197, с. 181-287.

134. Молодцов В.К. Численфш расчет гиперзвукового обтекания сферы с учетом граничных условий скольжения. Уч. зап. ЦАГИ, т. 10, N 1,1971, с. 122-126.

135. Kussoy M.J., Horstman С.С. Cone drag in rarefied hypersonic flow. AJAA Journal, v. 8, N 2, 1970, p. 3^5-320.

136. Закиров M.A., Омелик А.И. Измерение коэффициентов сопротивления тел простой ; формы в ускоренном свободномолекулярном потоке азота. Уч. зап. ЦАГИ, т. 5, N 4, 1974, с. 113-116. i

137. Сухнев В.А. Экспериментальное определение коэффициента сопротивления шара в сверхзвуковом потоке разреженного газа. Изв. АН СССР. Механика, N 3, 1965, с. 172-175.

138. Potter J.L. The transitional rarefied-flow regime. In: Rarefied gas dynamics, v. 2, N.Y.-L.: Acad. Press, 1967, p. 881-937.

139. Крылов A.A. Вклад давления и трения в сопротивление сферы в сверхзвуковом потоке разреженного газа. В кн.: Аэродинамика разреженных газов. Вып. 9, JL, 1978, с. 215-223.

140. Phillips W.M., Kuhlthau A.R. Transition regime sphere drag near free molecule limit. AJAA Journal, v. 9, N 7,1971, p. 1434-1435.

141. Potter J.L., Miller J.T. Sphere drag and dynamic simulation in near-free-molecular flow. In: Rarefied gas dynamics, v. 2, N.Y.-L.: Acad. Press, 1969, p. 723-734.

142. Smoldern J.J., Wendt J.F., Navrau J., Bramlette T.T. Sphere and cone drag coefficients in hypersonic transitional flow. In: Rarefied gas dynamics, v. 1, N.Y.-L.: Acad. Press, 1969, p. 903-907.

143. Wegener P.P., Ashkenas H. Wind tunnel measurements of sphere drag at supersonic speeds and low Reynolds numbers. J. Fluid Mech., v. 10, N. 4,1961, p. 550-560.

144. Hadjimichalis K.S., Brundin C.L. The effect of wall temperature on sphere drag in hypersonic transition flow. In: Rarefied gas dynamics, v. 2, Porz-Wahn. 1974, D13 11-D13/9.

145. Sims W.H. Experimental sphere drag results in the near-free molecule regime. In: Rarefied gas dynamics, v. 1, N.Y.-L.: Acad. Press, 1969, p. 751-756.

146. Aroesty J. Sphere drag in low-density superonic flow. In: Rarefied gas dynamics, v. 2, N.Y.-L.: Acad. Press, 1963, p. 261-277.

147. Никольский Ю.В., Хлопков Ю.И. Теоретическое и экспериментальное исследование обтекания сферы потоком малой плотности с учетом испарения и конденсации с поверхности. Ученые зап. ЦАГИ, N 5,1989.

148. Никольский Ю.В., Хлопков,Ю.И. Сферические частицы в сверхзвуковом потоке разреженного газа. Юбилейный сборник LXX-летия ЦАГИ, М.1990.

149. Никольский Ю.В., Хлопков Ю.И. Влияние испарения (конденсации) на аэродинамическое^ сопротивление сферы. XV Всесоюзная конференция «Актуальные вопросы физики аэродисперсных сред», 1989.

150. Khlopkov Yu.I., Nicolskyi Yu.V. Theoretical and experimental investigations of supersonic low density flow over the sphere with surface condensation and evaporation. TsAGI Journal, N.-Y., N 3,1994.

151. Михайлов B.B. Методика приближенного расчета давления на телах, обтекания совершенным газом при больших числах М. Отчет НИО-8 ЦАГИ, N 5679,1980.

152. Любимов А.Н., Русанов В.В. Течения газа около тупых тел, т. П, М., Наука, 1970.

153. Лебедев М.Г., Пчелкина Л.В., Сандомирская И.Д. Сверхзвуковое обтекание плоских затупленных тел. М., Изд. МГУ,1974.

154. Алферов В.Е. Особенности гиперзвукового обтекания моделей в аэродинамических трубах различного класса. Изв. АН СССР, МЖГ, №2,1986.

155. Галкин B.C., Ерофеев А.И., Толстых А.И. О приближенном методе аэродинамического расчета в разреженном газе. Труды ЦАГИ, вып. 2111, 1981.

156. Хейз У.Д., Пробстин Р.Ф. Теория гиперзвуковых течений. М., Изд-во иностр. л-ры, 1962.

157. Крюкова С.Г. Некоторые особенности обтекания затупленного полуконуса и полуконуса с крыльями в гиперзвуковом потоке разреженного газа. Труды ЦАГИ, вып. 2111,1981.

158. Гусев В.Н., Крюкова С.Г. О несущих свойствах тел в переходной области при гиперзвуковых скоростях потока. Ученые зап. ЦАГИ, т. 4, N6,1973.

159. Bird G.A. Molecular Gas Dynamics and Direct Simulation of Gas Flows. Oxford: Oxford University Press, 1994.

160. Георгиевский П.Ю., Левин B.A. Сверхзвуковое обтекание тела при подводе тепла перед ним // Труды МИАН, т. 186, 1989, С.197.

161. Георгиевский П.Ю., Левин В.А. Сверхзвуковое обтекание тела при наличии внешних источников тепловыделения // Письма в ЖТФ, т. 14, вып. 8,1988, с. 684. .

162. Численное исследование современных задач газовой динамики: Сб. науч. тр. // ред. О.М. Белоцерковский / М.: Наука, 1974.

163. Черный Г.Г. Газовая динамйка. М.: Наука, 1988.

164. Артемьев В.И., Бергельсон В.И. и др. Эффект «тепловой иглы» перед затупленным телом в сверхзвуковом потоке // Доклады АН СССР, т. 310, N1,1990, с. 47. |

165. Коровкин О.Н., Хлопков Ю.И. Решение задачи о слое Кнудсена с медленной конденсацией (испарением) на поверхности. Изв. АН СССР, МЖГ. №4,1974. |

166. Maslach G.J., Schaaf S.A. Cylinder Drag in the Transition from Continuum to Free Molecular Flow. Phys. Fluids, Vol. 6, №3. 1963.

167. Алферов В.И. и др. Исследование вихревых течений в окрестности треугольной пластины и конуса. Изв. АН СССР, МЖГ, N2,1968.

168. Ortloff C.R. Hypersonic low density transitional regime flow over conical vehicles. J. Astronautic. Sei., 1967, v. 16, № 2, p. 59.

169. Николаев B.C. Материалы к расчету сопротивления трения и теплопередачи различных тел при гиперзвуковых скоростях потока. Тр. ЦАГИ, 1964, вып. 937, 350 с.

170. Ерофеев А.И. Расчет обтекания конуса под углом атаки гиперзвуковым потоком разреженного газа. Уч. зап. ЦАГИ, 1979, т. 10, № 6, с. 122.1. Рис. 2.1.

171. Длина ребра скоростной ячейки Ошибка вязкостиS Г- Ошибка теплопередачиS

172. V^o 0.4 \Yu 0.5 0.8 l/Ho 1.5-2 2 2.5 2.5 - 3 5 1.5-2 2.5 3 8-10J