Комплексная задача Коши в пространствах аналитических функций с интегральными метриками тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат наук Бирюков, Алексей Михайлович

• Бирюков, Алексей Михайлович
• кандидат наук
• 2014

Оглавление диссертации кандидат наук Бирюков, Алексей Михайлович

Оглавление

Введение

Глава 1. Аналитическая задача Коши в пространствах с интегральными метриками

§1. Комплексная задача Коши в случае распространения особенностей по "цилиндрической" поверхности

§2. Комплексная задача Коши в случае распространения особенностей по "конической" поверхности

§3. Описание систем, удовлетворяющих условиям огс[Ац < тгц—т^ и огс1Агз < тг—т3+1

Глава 2. Задача Коши в классах целых функций конечного порядка

§1. Задача Коши в шкале Ехртулл-Ф

§2. Задача Коши в шкале

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Комплексная задача Коши в пространствах аналитических функций с интегральными метриками»

Введение

Настоящая диссертация посвящена исследованию задачи Коши для системы комплексных линейных дифференциальных уравнений

- А{Ь,г,0)и = Ц^г) (0.1)

и(Ь 0,х)=<р(г) (0.2)

в классах аналитических функций с интегральными метриками. Исследование такого рода задач было начато в 1842 году О. Коши. Он изучил систему уравнений

&+ЕЕ 4(£' = ьь *), (0-3)

к=0 j=l

г = 1,N.

и получил, что, если коэффициенты операторов £)) аналити-

ческие в некоторой области V С С™*1 функции, и порядки этих операторов подчинены условиям

огААкф,г,0) < вг - к, (0.4)

то для произвольных Нг(Ь,г), аналитических в некоторой окрестности о, го) точки (¿о, 2о) £ V и любых начальных функций ^Ргк(г), аналитических в окрестности С/(¿о, ¿о) П {£ = существует единственное решение задачи Коши

дкщ

к -^(¿о, г) = щк{х) (0.6)

г = 1, ...,И,к = 0,1, ...,31 - 1,

являющееся вектор-функциейи(£, г), аналитической в некоторой окрестности ^(¿о, -2о), которая, вообще говоря, меньше исходной окрестности

и ^ 0,20).

В 1875 году С. Ковалевская также установила условия (0.4). Более того, она выявила существенность этих условий, а именно, привела примеры, подтверждающие, что при нарушении неравенств (0.4) аналитической разрешимости может не быть.

В дальнейшем тоерией Коши-Ковалевской занимались многие исследователи. В 1974 году С. Мизохата [1] доказал, что в случае одного уравнения неравенства Ковалевской являются необходимыми и достаточными для аналитической разрешимости задачи Коши.

Для систем уравнений этот результат не справедлив, как это следует из работы 1964 года Ж.Лере, Л. Гординга, Т.Котаке [2]. В этой работе доказана аналитическая разрешимость задачи Коши для систем, удовлетворяющих условиям Лере-Волевича

ОГС1А^ < ТПг — ГП] + вг — к,

где Ш1, ...,7Плг— произвольные целые числа, mj > 1.

Далее в работе [3] получены необходимые и достаточные условия для локальной корректности задачи Коши (0.1), (0.2) в классах аналитических функций с супремум-нормами. Этот вопрос рассматривается в следующих случаях

1) Функции из пространства решений могут допускать особенности степенного характера при подходе к границе цилиндра или конуса (аналитическая задача Коши).

2) Функции из пространства решений могут допускать определённый экспоненциальный рост по "пространственной' переменной £ на бесконечности (экспоненциальная задача Коши).

В настоящей диссертации мы также изучаем вопрос об условиях для корректности задачи (0.1), (0.2) в классах аналитических функций

аналогичных тем, которые рассматривались в [3], но с интегральными нормами типа норм пространств Ьр с весом и Харди-Лебега с весом.

Как оказалось, благодаря детальному изучению и получению новых свойств аналитических функций в настоящей работе, в ряде случаев условия, необходимые и достаточные для локальной корректности рассматриваемой задачи, одинаковы как в пространствах с супремум-нормами, так и в пространствах с интегральными нормами. Рассмотрим содержание работы подробно.

Первая глава посвящена вопросу о локальной корректности , как по так и по задачи Коши (0.1), (0.2) в двух случаях: 1) Случай распространения особенностей степенного характера по "боковой" границе "цилиндра". Здесь пространство решений задачи Коши (0.1), (0.2) задаётся следующим образом:

го)— пространство аналитических в "цилиндре" иб,ц{Ьо, го) = {(*, г) : - < 5, - 20| < К} вектор-функций и(£, г) = г),..., идг(£, г)), для которых конечна

норма

N N

\u\\ö;m,R;P = X) \\щ\\д-т^Щр = J2

3=1 3=1 1/р

zQ\)m^dxdyd^dr]

f f \Uj(t,z)\P(R-\z-

L\t-t0\<6 Ur(zq)

где t = f + irf.

2) Случай распространения особенностей по боковой границе "конуса". Здесь пространство решений задаётся таким образом:

Dm,R,(T;p)(to, zo)(cr > 0)— пространство вектор-функций u(t,z), аналитических в "конусе" Vff,R(t0, zq) = {(f, z):\t- to| < J, \z ~ zq\ < R - a\t - t0|},

для которых конечна норма N

IMU;m,J?,<r;p = £ llwj=

3=1

N г , , 27Г v i/p

= £ sup sup ((+ (.R — cr\t — ¿о| —

j=l|i-i0|<f 0<r<Д—a|t—io| 44 0 '

И в первом и во втором случаях полностью описана структура систем дифференциальных уравнений, для которых имеется локальная корректность задачи Коши в заданной шкале функциональных пространств. А именно, в случае распространения особенностей по боковой границе "цилиндра" необходимыми и достаточными условиями являются следующие ограничения на порядки дифференциальных операторов

ordAij(t, z, D) < mi — rrij, где Tfij— натуральные числа, характеризующие тип особенностей степенного характера. Это довольно жёсткие ограничения. А в случае распространения особенностей по боковой границе "конуса" необходимыми и достаточными условиями для локальной корректности являются условия Лере-Волевича

ordAfj < rrii — rrij + 1, причём, если правая часть отрицательна, то считаем, по определению, Aij = 0.

Заметим, что, если mi = ... = т^, то в последнем случае условия переходят в неравенства or dА^ < 1,

то есть в неравенства Ковалевской. Поэтому в этом случае для систем Ковалевской и только для них имеется локальная корректность в за-

данной шкале пространств аналитических функций с интегральными метриками.

Доказательство достаточности в обоих случаях проводится следующим образом. Задача (0.1), (0.2) сводится к эквивалентному ей инте-гродифференциальному уравнению

и(Ь, г) = / А(т, г, £>)и(т, г)с1т + <р(г) + / /г(г, г)с£т (0.7)

и затем применяется принцип сжимающих отображений. При этом используется лемма, дающая оценку нормы производной аналитической функции через норму самой функции, которая, на наш взгляд, имеет и самостоятельный интерес

||£Ч|т+1,Д;р < С|Мкд;р-

Оказалось, что в нашем случае принцип сжимающих отображений адекватен исследуемой задаче, поскольку с помощью него мы получили необходимые и достаточные условия.

Доказательство необходимости основано на сравнении поведения функций при подходе к границе конуса или цилиндра левой и правой части равенства

а=0

которое получается для решения задачи (0.1), (0.2). А именно, устанавливаются условия на коэффициенты г) дифференциальных операторов А^, при которых это равенство возможно. Основное отличие этого доказательства от доказательства, которое имеется в [3] для супремум-норм, в том, что в [3] используются поточечные оценки соответсвующих функций, которые могут быть не справедливы для функций из наших пространств с интегральными метриками.

Во второй главе изучается экспоненциальная задача Коши. Также

рассматриваются два случая:

1) Тип экспоненциального роста, который могут допускать функции из пространства решений, не зависит от "временной" переменной t. Здесь используется следующий класс

$(<5; ExpmiR!q]p)(to)— пространство целых по z и аналитических по t при 1t — toi < <5 вектор-функций u(t,z) = (ui(t, z),..., z)), для которых конечна норма

N

1М1$;т,Д,д;р = Y1 11Ч?1 \à;rrij,R,q;p = 3=1

= £ sup Г sup (( f\uj{t,reie)\pde)1/P(l + r)-miexp{-Rr<i}) .

3=1 |t-i0|«* L 0<r<+oo ^ о ' '

2) Тип экспоненциального роста зависит определённым образом от "временной" переменной. В качестве пространства решений используется

$(<5; ExpmjR^q-p)(to)— пространство аналитических по t при \t — ¿о| < 5 и целых по 2 вектор-функций u(t, z), для которых конечна норма

N

\\u\\ô;m,R,a,q-,p ~ X) \\uj\\ô;mj,R,(T,q;p ~ 3=1

N г / , 2тг ч 1/р

= £ sup sup ( ( J \Uj(t,reie)\Pde) (1 +

j=l ¡t-tol<â Lo<r<+oo ^ Q '

Получены условия на коэффициенты дифференциальных операторов Ау, которые являются достаточными для локальной по£ корректности задачи (0.1), (0.2) в шкалах экспоненциальных пространств. В случае 1) это

суть полиномы по -г, степени которых удовлетворяют неравенствам

degafj(t, z) < mi-mj-\a\(q-1)

(0.8)

В случае 2) это

суть полиномы по г, степени которых удовлетворяют неравенствам

Если правые части (0.8), (0.9) получаются отрицательными, то, по определению, считаем, что г) — нулевой полином. Заметим, что во втором случае условия, которые накладываются на коэффициенты дифференциальных операторов, более мягкие по сравнению с первым случаем.

Соответствующая теорема, как и в первой главе, доказывается следующим образом. Задача (0.1), (0.2) сводится к эквивалентному ей ин-тегродифференциальному уравнению (0.7), а затем применяется принцип сжимающих отображений. При этом вновь ключевую роль играет лемма, дающая оценку нормы производной целой функции через норму самой функции

Затем мы покажем, что полученные условия (0.8), (0.9) являются существенными. Для этого рассмотрим следующую задачу Коши для уравнения в форме уравнения теплопроводности

Установим, что условия (0.8), (0.9) являются необходимыми и достаточными для локальной корректности задачи (0.10), (0.11) в соответствующих шкалах экспоненциальных пространств.

(1еда%М,х) < mi—mj—\a\(q-l)+q

(0.9)

(0.10) (0.11)

Здесь также доказательства основаны на сравнении поведения функций, стоящих в левой и правой части равенства

при \z\ -> оо,

где u(t,z)— решение задачи (0.10), (0.11), соответствующее начальной функции if и правой части h(t, z) = 0.

Выясняется, при каких условиях на а(0, z) эти равенства возможны.

Важную роль в этих доказательствах играет лемма, являющаяся обобщением известной теоремы Лиувилля. Она формулируется следующим образом

Пусть v{z)— целая функция и существует число М > 0 такое, что для любого г > 0 справедливо неравенство

и

Тогда у(г) есть полином, степень которого не превосходит т.

Также в процессе доказательства выясняется, что существуют функции, которые принадлежат пространствам с интегральной метрикой, но не принадлежат соответствующему пространству с супремум-нормой, то есть соответствующему пространству типа Н — Ьр Харди-Лебега с весом, где р = оо.

Отсюда вытекает также, что доказательство необходимости условий (0.8), (0.9), которое имеется в [3] для случая р — сю, не работает для случая пространств с интегральными метриками, поскольку в этой работе используются поточечные оценки, которые могут быть не справедливы для функций из наших функциональных пространств.

Основные результаты диссертации докладывались на научно-исследовательских конференциях:

= a(0,z)(p"(z)

- V Международной конференции "Математические идеи П.Л. Че-бышёва и их приложение к современным проблемам естествознания "[4];

- Восемнадцатой международной научно-технической конференции студентов и аспирантов "Радиоэлектроника, электротехника и энергетика" [5];

- XXI Международной научно-технической конференции "Информационные средства и технологии "[6]

и научно- исследовательском семинаре МЭИ по дифференциальным уравнениям под руководством проф. Дубинского Ю.А. и проф. Амосова A.A.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [7] - [10].

Автор выражает благодарность своему научному руководителю Юлию Андреевичу Дубинскому за постановку задачи и постоянное внимание к работе.

Глава 1. Аналитическая задача Коши в пространствах с интегральными метриками.

§1. Комплексная задача Коши в случае распространения особенностей по "цилиндрической"поверхности.

Введём следующие обозначения: N > 1— натуральное число, т = (тх, ...,тдг) — ЛГ- мерный вектор с целыми координатами т^ > 1,] = 1,..., Ы, р > 1, Я > 0, 6 > 0— произвольные вещественные числа. Через

г будем обозначать комплексные переменные.

В данном параграфе будем использовать следующие функциональные пространства

Ет!щр(го)— пространство аналитических в круге иц(го) = {г : \х — го\ < Я} вектор-функций (р(г) = (<£1(2),..., ср^(г)), для которых конечна норма

N N / \1/Р

ИИклз, = ЕМт,|Д;Р = Е I Ыг)ПЯ-\г-хо\)т^хаУ) .

3=1 3=1 \ины /

Ап,Д;р) (¿о> ^о)— пространство аналитических в "цилиндре"

^(¿о, *о) = {(*, г): |£ - < к - 20| < Я} вектор-функций и(Ь,г) = -г),..., г)), для которых конечна

норма

ЛГ ./V

М|$;т,.Д;р = X] = Е

3=1 3=1 1/р

I / \и^,г)ПЯ- \г-

2о I ^Шув^йг] где * = £ + 1г].

Нетрудно проверить, что введённые пространства являются банаховыми. Покажем, например, что пространство является банаховым. Возьмём последовательность функций {г>г} с такую, что 1К - о, к, I оо, Т.е.

/ \ук(г) - У1(г)\р(Я - \г\)тр(1х(1у ->• 0, к, I ->• оо, т.е.

ип

/ |ьк(г)(Я - \г\)т - у1{г){Я - \г\)т\р(1х<1у иЕ

В силу полноты пространства 17 (17д) существует единственная функция V Е Ьр^ц) :

/ |ьк(г){Я - \г\)т - у(г)\р(1х(1у 0, к ->• оо,

ин

а значит

ин

Следовательно,

/ М*) - - ИГ^Л/ -У 0, к оо.

Возьмём произвольную точку го е [/д. Существует такое число До : О < Яо < Я, что г0 6 17^ = {г : \г\ < Яо}.

I М*) - ~ N У*<Ь*у 0, к оо.

Но при < Я0 (Я - \г\)тр > (Я - Яо)тр, а значит

I М*) ~ (А 0, & ОО.

Известно тогда, например из [11], что функция (д^)™ является аналитической в С/д0, а значит в точке го. Так как ^о £ ^д— произвольная точка, то функция является аналитической в

Таким образом получили, что существует £ Ап.я-.р, причём

I М*) ~ Т0У \Р(Я ~ \А)т^хйу -». О, к оо.

Это и означает, что пространство От>щр является банаховым.

Приведём примеры вектор-функций из введённого пространства Ап,Д;р- Ясно, что если вектор-функция <р Е Отд-р в случае р = оо, то она принадлежит и всем пространствам От>щр для всех р : 1 < р < оо. Таковой, например, является вектор-функция

= ( (Я-г)™! ' (Д-г)тЛГ ) ■

Однако вектор-функция ,„г„\ _ (_1_ _

¥>(*) = (

(Л-г)т 1+1' •*•' (Д-г)тлг+1

принадлежит пространствам для всех р : 1 < р < 2, но не

принадлежит пространстранствам Отд-р, если р > 2 и тем более, если р = оо.

В области V рассматривается следующая задача Коши для системы линейных дифференциальных уравнений

где А(Ь, г, О)— матрица дифференциальных операторов конечного

с аналитическими в области V коэффициентами (¿, г). Здесь и далее £>аи(£, г) будет обозначаться частная производная функции г) порядка а по переменной г.

Определение. Будем говорить, что задача (1),(2) локально корректна в шкале если для любой точки (£о>2о) 6 V найдётся такое число 6 > 0, что для любой начальной функции <р £ От^;р(го) и любой правой части системы (1) Н Е $(5; Ап,Д;р)(£о} ¿о) существует единственное решение задачи (1), (2) и £ ^о)? и справедлива оценка

где М > 0— постоянная.

Основным результатом этого параграфа является следующая тео-

(1) (2)

порядка:

Агз (¿, £>)« = а% (¿, , г)

рема.

Теорема. Задача (1),(2) локально корректна в шкале Отд-р тогда и только тогда, когда порядки дифференциальных операторов удовлетворяют следующим условиям

ОгйА2, .О) = ТПц < ТПг — т, (3)

для всех = При этом, если правая часть неравенства

(3) отрицательна, то считаем, что з, £>) — —оо, по опре-

делению, а = 0.

Для доказательства теоремы нам понадобятся следующие леммы о свойствах аналитических функций из введённых нами функциональных пространств, которые, на наш взгляд, имеют и самостоятельный интерес.

Лемма 1 .Пусть функция £ ч9(3; Тогда щ(0,г) £

Ап,Д;р; и справедливо неравенство:

11*4(0, ОНт^р < С\\и\\5.тЛр,

где С > 0— постоянная, зависящая отр и 5.

Доказательство. Из интегральной формулы Коши следует, что справедливо следующее равенство для любого комплексного числа г такого, что \г\ < Я, и для любого £, такого что 0 < Щ < 5

= & I *

т:|т|=|*|

Тогда

27Г 2 Л*

о о

Поэтому

2тг

о

или

/ 2тг \ V

(2ж)ЩР\щ(0,г)\Р < .

Применяя неравенство Гёльдера, получаем

2тг

2тгтщ(0,г)\р < / \и{\Ь\е*,г)\*&р. о

Проинтегрируем последнее неравенство по С/д = {г : \г\ < К}. Имеем

2тг

I 1щ(0,г)1Р(Я-\г\)тРс1хс1у < / / г)\Р{П-\г\)тР(1х(1У(11р.

ия о иа

Домножая левую и правую части последнего неравенства на |£| и

интегрируя по от 0 до получаем

6 6 2тг

2тг ЛгГМ£| ! \щ{^г)\Р{Я-\г\)^хйу < / \t\d\t\ / <Ър / |«(|ф* 0 иа 0 0 ип

\г\)тРШу.

Следовательно,

^ I К(М1Р(Д - \АГ^хйУ < \\и\\Р6.тЛр.

ип

Или, что то же,

Лемма 1 доказана. Лемма 2.Пусть функцияу(г) £ Ап,Я;р- Тогда её производная Е

■От+1,Д;р> и справедливо неравенство \\пу\\гп+1лр < с\\у\\тлр,

где С > 0— постоянная, зависящая только от т.

Доказательство. В силу интегральной формулы Коши справедливо равенство для любого г : \г\ < Я

= А i ш>

К|=а

где а : \г\ < а < Я произвольное.

Поэтому справедливо неравенство

2-7Г, , . , , 2ж , , ., ,

i гытр^м с ± с нае у)ну _ а_ г |«(ае'У)|<Ар

1Л — 2тг Л |ое^-ге^|2 2тг ^ |ае^-ге^|2'

0 0

где г = гег6*.

Возводя в степень р обе части неравенства, имеем

\Dv(rew)\p < (аУ(2Г\^\^У-(аУ(2г( И^)1р У/р_1_

I uvyre )\ \JQ \ae%v —гегв\2) ~ \2ъ) \ Jq \\ae^-re*9\2 ) [ae'V-re^l2'2^

Далее применим неравенство Гёльдера

IDv(reie)\P < f-a-V У Нае^Р dw( 7_&_

\UV\re )\ Ъ J J \аегР—гег&\2 г у J \ae^-re^\2 J Как показывают нетрудные вычисления, интеграл

2тг

г dip 2ж

J \аегР—гег0\2 а2-г2 ' О

поэтому

\Dv(re*W<

Проинтегрируем последнее неравенство по кругу Ur : R 2тг

J = J rdr f |Dv{reif))\p{R - rYm+1^d9 < о 0

R 27Г / \ n / \ n—1 27T

< Дд - J (¿) / ggfrdede =

0 0 4 7 4 7 0 ^ / \p

= fltfzp) (R - r)(m+VPrdr J \v{aeilP)\Pdip < 0 4 ' 0

<f J\v№)

о 0

Положим a = Щ^-. Тогда

ч, , 2тг Л 2тг

J < f f \v(R±Lew)\vdip = 2P /(R-r^rdr JT

0 (^j 0 0 0

Сделаем замену переменной s = r = 2s-R,dr = 2ds. Тогда

Я 2тг

J <2P f 2mp(R - s)mp4sds f \v(se^)\pcbp = 2p+mp+2\\v\\pm R

о 0

Последнее неравенство и означает, что.Ог> Е Dm+i;r-p, и справедлива

оценка

\\Dv\\m+1;R;p < C(m)\\v\\miR;p.

Лемма 2 доказана.

Лемма 3.Пусть функция

Тогда функция

ь

/ И(т, г)(1т е 0(£; £>т,я,Р), о

и справедливо неравенство

г

|| / Н(т, г)<1т\\б1т,ц,р < С\\Н\\б,т,11,р, о

где С > О— постоянная, зависящая только от 6. Доказательство. С помощью очевидного числового неравенства \а + Ь\р < 2Р~1(\а\Р+ |6|р)

и оценки для интеграла от функции комплексного переменного, имеем неравенство

I / / Н(г, г)Лт Р(Я — \г\)тр(1т(1у(1£(17) <

\г\<5ия

о

1*1/4

11(1 \Нт,г)\(1\т\)Р(11-\г\)тР<1х(1ус1Ц(1г1+ Щ<8иЛ 4 0 7

+2Р"1 / / ( / =

Щ<дия |<|/4 7

Рассмотрим сначала Д. Для г, таких, что 0 < |т| < |£| < 5, \г\ < Н : справедливо равенство

Поэтому

2гг

о

Получаем оценку для интеграла Д / 1*1/4 2тг

|/1|<2р-1 ¡1(1 = |*|<5УЯ 4 О О 7

4 7 4 0 7 Применяя неравенство Гёльдера, получаем

|Л| < 2р-1(±)Р5р(2тг)р-1 / $^\К(Це1*,г)\р<1у{11-\г\)тр<1х<1у<1£(171 = 4 ' Щ<бин о

5 2тг 2тг

= 22P-^SPflt\d\t\ J de f J I- |*|)тРсЫу =

о о г/д о

5 2тт

= / / е^, - \z\)mPdxdy.

о о ия

Сделаем замену переменной s = у. Тогда

J 2тг

|7i| < 22p~l8p J 4sds J dip J \h(se^,z)\p(R - \z\)mpdxdy =

о о uR = 22p+1öp f f ¡h(t,z)\p(R- \z\)mpdxdyd£d<n =

\t\<5Ua

Окончательно получаем оценку для интеграла 1\

Ш < ^нлц;^.

Рассмотрим теперь интеграл /2 :

Снова используя неравенство Гёльдера, имеем

/ ^ \

\h\<2p-l5p~l f J ( J \h(r, z)\pd\r\j(R — \z\)mpdxdyd^dri =

\t\<suR '

5 2тг \t\

= 2P~1SP-1 f \t\d\t\ fdOff Ih(r, z)\Pd\r\{R - \z\)mpdxdy.

0 0 UR Mi

4

Изменим порядок интегрирования, тогда 5 \t\ 2тг

|/2| < 2p-löp~l f \t\d\t\ f d\r\ J dB f Ih(r, z)\P(R - \z\)mpdxdy.

0 1*1 0 Ur

4

Снова изменим порядок интегрирования, получаем I 4|т| 2тг

|/2| < 2p~16p~l f d\r\ f \t\d\t\ JdJ9 f \h(r,z)\p(R-\z\)mpdxdy+

о |т| 0 Ur

5 5 2тг

+2P-1§P-1 f d\r\ f \t\d\t\ Jdef \h(r, z)\p(R - \z\)mpdxdy = /21 + /22.

1 |r| 0 Ur

Рассмотрим интеграл /21.

3 2тг

\hi\ < 2p-l5p-4J\T\d\T\5 J dB J \h{\r\eie,z)\P{R- \z\)mpdxdy =

0 0 Ur

Ö 2тг

= 2^<5*> f \r\d\r\ J de J \h(\r\eie, z)\P(R-\z\rpdxdy = 2Р+Чр\\ЩтЛр.

0 0 Ur

Теперь перейдём к рассмотрению интеграла /22.

5 2тг

\Ы < 2Р-ЧР-1! f \r\d\r\52 fdef \h{\r\ew,z)\P{R - \z\)mPdxdy <

i о UR

4 я

S 2 it

< 2P+15P f |r|d|r| f d9 J \h(\r\eie, z)\p(R—\z\)mpdxdy = 2p+4p\\h\\ln^

О 0 UR

Обобщая полученные неравенства для /21 и I22, получаем неравенство для /2

N < <

Оценки для выражений 1\ и /2 и показывают, что функция t

f h(r, z)dr e Dm,R\p)i 0

и справедливо неравенство из утверждения леммы.

Лемма 3 доказана. Перейдём теперь к доказательству основной теоремы этого параграфа. Установим вначале достаточность условий (3), то есть считаем, что для всех i,j = 1, ...,7V выполнены неравенства rriij < rrii — rrij,

и покажем, что задача (1), (2) локально корректна в шкалеDm^p. Без

ограничения общности считаем, что to = 0, Zq = 0. Ясно, что задача

(1), (2) эквивалентна интегродифференциальному уравнению t t u(t, z) = f А(т, z, D)u(t, z)dr + <p(z) + J h(r, z)dr. (4)

о 0

Если <p € Дп,Я;р, то включение ip 6 очевидно. Если

t

h(t,z) e &(5-,DmiR]P), то включение Jh(r,z)dT G $(<5; следует

о

из леммы 3.

Покажем, что оператор t

(Bu)(t, z) = f А(т, z, D)u(t, z)dr 0

является сжимающим в пространстве ,0{5\Dm^p) при достаточно малом 5 > 0. Для этого рассмотрим i—ую компоненту оператора В

t дт тпХ]

{Ви){(г, = / Е Е <*5(т' ^^

о ^=1 а=0 Покажем, что функция

ДГ ту ¿=1 а=0

принадлежит пространству Ап(1д;г>). Имеем

7?.

р

N гпг] 1=11

^=1 а=0

N

< С*(а§,#,ту) ЕЕ I I ~

¿=1а=0|4|«Я7л

Теперь воспользуемся леммой 2 об оценке нормы производной ана-

литической функции через норму самой функции. Получаем

N гп1]

I < СР(ту, т, АГ)Е Е / / М*» <

N тч

< Шу, т, а§, Я)ЕЕ II м«, ¿)1Р(Я - <

7=1 «=0|4|<Л/Я Последнее неравенство и означает, что функция

N гпг]

Е Е г) £ ¿>(5; Д^).

Тогда, применяя лемму 3, имеем * N гпг]

(Ви)г(1, г) = I Е Е в§(т, г)6я £ я? (<5; Д^д*),

о 3=1 а=0

и справедливо неравенство

N шц

\\{Ви)г\\6.тгД.1Р < Ш|| Е Е \6,т1,щР <

_;=1 а=0

< ШСЦпЦ^^р.

Просуммируем обе части последнего неравенства по г от 1 до N. Тогда

\\Ви\\5-гп,Я;р < СЧи\\б;т,Е-,р,

где С > 0— постоянная, которая от <5 > 0 не зависит. Выбирая теперь <5 > 0 так, чтобы С5 < получаем, что оператор В : $(<5; —»■ £)т)д;р) является сжимающим. А это и означает,

что существует единственное решение задачи (1),(2) и € $(<5; Дгг,д;р),

и справедливы неравенства

г

\\и\\5-т,Щр < \\Ви\\5;тЛ;рМЫктЛрМ\ I ^¡ктЛр < \ 1М|«5;т,Д;р+

0

м(|М|

Следовательно, существует постоянная М > О такая, что

5\т,Щр)-

Таким образом, достаточность условий (3) установлена. Перейдём к доказательству необходимости условий (3), а именно, считаем, что задача (1),(2) локально корректна в пространстве Втдф. Доказательство проведём от противного. Пусть существуют индексы г'0,.7'0 такие, что

ггЫозо > тю ~ тзо +

Отдельно рассмотрим 2 случая 1) 1 <р < 2 2) 2 <р< +оо.

Пусть сначала 1 < р < 2. Рассмотрим ¿о — ое уравнение

N ™-10]

= Е Е а^ЬЬ^ГГщ&х) + hi.it, г).

Без ограничения общности считаем, что а^°(0,0) Ф 0. Для точки (0,0) выберем число Я > 0 достаточно малым, чтобы на множестве {(¿,2:) : < 6, \г\ < Я} выполнялось неравенство

1<Г&*)1>ао>0 (5)

при достаточно малых <5 > 0. А затем возьмём 5 > 0 так, чтобы выполнялось утверждение из определения локальной корректности и сохранялось неравенство (5) в "цилиндре"{(£, г) : |£| < <5, \г\ < Я}.

В качестве правой части системы (1) возьмём г)=0е 1)т,Я;р)-В качестве начальной вектор-функции положим

где <рп(г) =

Проверим, что (р^ 6 Отзо1щр. Для этого рассмотрим интеграл, который обозначим через J,

И

т = Г (д-|г|)тд0Чхйу _ г, о _ \т р 1 Г __

Воспользуемся неравенством Гёльдера, тогда

Я , 2тг х Е , 2тг V 2хЕ

7 < /(Л - I ' ( Н ' =

, я , 2тг ч Е

= (2тг)^ Г(Д - г)т*Рг6,г( [ —-^ 9лт +1У.

Рассмотрим отдельно

2тг 2тг

Г _Ш£_ _ 1 Г __

{ (Д2-2Дгсо^+г2ро+1 (Я2ро+1 Л / / \ / \2\гал>+1'

о 0 )

Из справочника [12] известно, что при а2 < 1 справедливо следующее равенство

2п п—1 г \ к

Г йр _ 2тг V (п+к-1)\ { а2 \

J (1-2асс^+а2)" — (1-а2)" ^ (&!)2(п-А;-1)! ^ 1-а2) ' О Ау—о

Следовательно,

27Г 771-1 л у \ 1с

1 Г _^ _ 2тг с

(Д2)тЛ>+1 Л +(')Я)т,°+1 _ (Д2-г2)га'0+1 ¿о \Л2-г2; -

Возвращаемся к оценке интеграла J.

3 < (27т)3? = С(т, ЗД / ^^ <

К .(д_г)-Р/а+1 Л

= С < +оо.

< С(т, Л, р) / ^ = С(т, Л, р)^^ А значит функция = € < р < 2), поэтому

вектор-функция € Ап,Д;р- Заметим, что функция не может

принадлежать классу в случае р = оо. Для заданных вектор-

функций ц) и Н существует единственное решение задачи (1), (2) и е Д ^,), ¿о — компонента, которого обязана удовлетворять равенству

тЧР0 а=0

или, что то же,

' (П ¿) = у^- аа . /0 ч К0+1)...К0+а) а=0 '

Домножим последнее равенство на аналитическую на всей комплексной ПЛОСКОСТИ функцию (К — ;г)тп»о.70~т'о+"Ьо"-1. Напомним, что мы предполагаем тад-0 — пц0 + т]а — 1 > 0. Тогда

ттг,

а=0 * '

Функция и € $(5; Д^д-д). Поэтому из леммы 1 получаем, что 1^(0, •) е Атгго,Я;1- А значит и правая часть равенства (6) должна принадлежать этому классу. Мы уже установили, что функция (д_^тго+1 <Е Дг^.Я; 1-Поэтому все слагаемые в сумме (6), кроме, возможно, слагаемого соответствующего а = тг^0, принадлежат пространству Дгсго1д;1. Следовательно и функция 2 обязана принадлежать этому пространству. Однако это невозможно. Действительно, рассмотрим интеграл

/ ■ * I I ч тп ^^ 2тГ

/ г.у = /(Й - г)т-°Ыг /-4в—дгг-

£/д 1 1 0 0 (Я2—2Ягсов<р+г2) 2

Рассмотрим отдельно

2тг

г _^ <£_

] тг +2 •

0 (Я2—2Ягсозу?+г2) 2

Пусть сначала тг0— число чётное, т.е. гаг-0 = 21,1 = 1,2,.... Тогда

2тг 2тг

Г __ _ 1 С __

J (Я2-2Ягсовр+г2)^1 ~ (Я2);+! 3 / / \ / \2\г+1

- 2тт Л {1+к)\ ( г2 \к

~ (В?-г2У+1 (к\)2(1-к)\ \П2-г2) • к—0

При г > Я/2 получаем

2Г_é£__> 2ТГ V ( (Д/2)2 \k >

J (R2—2Rrcostp+r2)l+1 — (R—r)l+12l+1 Rl+1 ^ {k\)2{l-k)\ \{R-r){2R)) — O h—O

> r 1

где Со > О— постоянная.

Поэтому

I > / (Д - r)^nfc- /-ás—^

г/л Z1 R/2 0 {R2-2Rrcosv+r2)-b—

> Со J (R- г)тч 'rdr = Со f (R — r)-lrdr = +оо.

Л/2 Л/2

Поэтому функция (д_гр0+2 не принадлежит пространству Anl0,ñ;i-

Полученное противоречие и доказывает необходимость выполнения неравенств (3) в случае 1 < р < 2.

Рассмотрим теперь случай 2 < р < +оо. Снова, без ограничения общности, считаем, что а^03°(0,0) ф 0. Это означает, что отлична от нуля и в некоторой достаточно малой окрестности точки (0,0). Возьмём теперь в качестве начальной вектор-функции f{z) — (0, ••■, 0, (Pj0(z), 0,..., 0),

где <pjo(z) = {RJzyiín.

Заметим, что ipj0(z) £ А в качестве правой части системы

(1) =

Для соответствующего решения задачи (1), (2) и £ Dm^p) будет иметь место следующее равенство

а=0

или, что то же,

а=0 v '

Домножим обе части равенства (7) на (R — г)т^о~т*о+тю~1. Коль скоро, в силу нашего предположения, m¿0¿0 — m¿0 + mJO — 1 > 0, то

(Я — г)т1ыо т»о+тзо * — целая функция. Тогда

тг030

а=0 ^ '

В силу леммы 1 пго(0, г;) Е Ап10,Д;2> а значит и правая часть равенства (7) принадлежит этому классу, а значит и функция 2)т'о+1 должна принадлежать -0Шго,Д;2- Однако это не так. Действительно,

рассмотрим интеграл

Д 27Г

г (Д-|г|)атч>(£и*у _ Г/ о _ Ч2тг л Г __

^ |Д-2|2(тч,+1> ^ ^ ШГ ^ (Д2—2Дгсов<£+г2)т1о+1'

Как и при рассмотрении случая 1 < р < 2, получаем неравенство для г : Я/2 <г < Я

2тг

Г__ > Со

^ (Д2-2Дгсо^+г2)т1о+1 - (Д-г)2т,о+1'

Поэтому

/ У^У >Со!(Я- Т)^{Я - тГ^тйт = Со I (Я-

ип ]к Д/2 Д/2

г)_1гс?г = +оо,

интеграл расходится. Таким образом, для всех г^ = 1,..., N справедливы неравенства тп^ < — Необходимость условий (3), а вместе с ней и теорема 1 полностью доказаны.

Замечание. Введём следующее функциональное пространство, которое отличается от рассмотренного ранее пространства решений $(<5; Дв,Д;р)(£о) ^о) тем, что по переменной £ в метрике "берётся" не интеграл, а супремум.

$(<5; Дп,Д;р)(£о> £о)— пространство аналитических в "цилиндре" ЕЫ*о, ¿о) = {(¿, <5,\г- г0\ < Я}

вектор-функций = г), г)), для которых конечна

норма

N

1Мкт,Д;Р = X) \\щ\\д-т3Л,Р = 3=1

N / \ 1/Р

= Е sup f \u3{t,z)\v{R-\z-z0\)m>vdxdy) . 3=l\t-t0\<5 \иф0) /

Тогда, используя обобщённый метод сжимающих отображений, можно

доказать следующий результат.

Пусть порядки дифференциальных операторов Al3{t,z, D) удовлетворяют условиям

ordAl3{t, z, D) < тг — rrij,

i,j = l,...,N,

причём, если правая часть последнего неравенства отрицательна, то, по определению считаем, что Агз = 0, a ordAtJ = — оо. Тогда для любой точки (to,zo) € V, для любых R > 0, <5 >0 таких, что й$гЯ(к, zq) С V,u для любыхр е An,H,p(zo) uhe;d{5\ DmjRiP)(tQ, zQ) существует единственное решение задачи (1), (2) и е d(6;DmiR.p)(to,ZQ).

§2. Комплексная задача Коши в случае распространения особенностей по "конической"поверхности.

В этом параграфе снова изучается задача Коши (1), (2), но уже в следующих пространствах с интегральными метриками. В качестве пространства начальных данных используется

Dm,R;p{zо)- пространство вектор-функций ip(z), аналитических в круге

ur(zq) = {z:\z- zq\ < r},

для которых конечна норма N

1М|т,Д;р = Е =

3=1

= Е( sup \(]\ipj{zQ + reie)\Me)l,\R-r)^}).

j=1 4 0<г<Д L 4 о ' J '

В качестве пространства решений используется

Dm<ßi(T;p)(to, zo)(a > 0)— пространство вектор-функций u(t,z),

аналитических в "конусе"

Va,R(tQ, zq) = {(£, z) : \t-to\<Z,\z-zo\<r-a\t - t0|},

для которых конечна норма

N

\\иЦ-,тЛс-,р = Е \\из\\к-т3,Я,а-,р =

3=1

N г , , 2тг х 1 /р

= Е sup sup (I ¡\Uj(t,z0 + rei9)\Pde) (r-a\t-t0\-

j=l Mo|<£ iO<r<R-(r\t-t0\ 0 '

ryn.

Нетрудно проверить, что введённые функциональные пространства Ап.д^С^о) и 19(~; Дтг,д,(т;р)(£о, го) являются банаховыми. Примером вектор-функции, которая принадлежит всем пространствам для всех

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Бирюков, Алексей Михайлович, 2014 год

Литература

1. Мизохата С.О. О системах Ковалевской//УМН. Т. XXIX. Вып. 2(176), 1974, с. 216-227.

2. Лере Ж., Гординг Л., Котаке Т. Задача Коши. М.: Мир, 1967.

3. Дубинский Ю.А. Задача Коши в комплексной области. М.: Изд-во МЭИ, 1996.

4. Бирюков A.M. Комплексная задача Коши в классе аналитических функций со степенными особенностями//Тезисы докладов V Международной конференции "Математические идеи П.Л. Чебышёва и их приложение к современным проблемам естествознания"2011, Обнинск, с.45-46.

5. Бирюков A.M. Комплексная задача Коши в пространстве с интегральной метрикой//Тезисы докладов Восемнадцатой международной научно-технической конференции студентов и аспирантов "Радиоэлектроника, электротехника и энергетика"2012, Издательский дом МЭИ, т. 2, с.5-6.

6. Бирюков A.M. О корректной разрешимости комплексного "уравнения теплопроводности"//Труды международной научно-технической конференции "Информационные средства и технологии"2013, М.'.Изд-во МЭИ, т.З, с. 102-107.

7. Бирюков A.M. Комплексная задача Коши в классе аналитических функций с интегральной метрикой// Дифф. ур.,2013, т.49, №6, с. 779783.

8. Бирюков A.M. Комплексная задача Коши в пространствах с интегральной метрикой//Вестник МЭИ, 2011, №6, с.126-132.

9. Бирюков A.M. Комплексная задача Коши в пространствах с ин-

тегральной метрикой в случае распространения особенностей по "цилиндрической "поверхности//Вестник МЭИ, 2012, №6, с.95-104.

10. Бирюков A.M. О задаче Коши для комплексного "уравнения теплопроводности"//Вестник МЭИ, 2013, №6, с.104-109.

11. Владимиров B.C. Методы теории функций многих комплексных переменных. М.: Изд-во "Наука", 1964.

12. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М.: Изд-во "Наука", 1971.