Нелинейные уравнения Фоккера-Планка-Колмогорова для мер тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат наук Манита Оксана Анатольевна

• Манита Оксана Анатольевна
• кандидат наук
• 2016

Оглавление диссертации кандидат наук Манита Оксана Анатольевна

1.2 Теорема продолжения

1.3 Следствия теоремы продолжения

1.4 Вспомогательные предложения

2 Усреднение краевой задачи в перфорированной области с нелинейным краевым условием третьего типа на границе полостей

2.1 Постановка задачи

2.2 Теорема существования и единственности. Продолжение решения

2.3 Теоремы усреднения в случае 2 < р < п

2.3.1 Случай а = ,7 = а(п - 1) - п = — (р - 1)

•> — — — ' ' ' ——— '

2.3.2 Случай а е (1,п/(п — р)), 7 = а(п — 1) — п

2 . 3 . 3 Случай: а > -, 7 произвольно

-' ———' ' г

2.3.4 Случай: а > 1, 7 < а(п — 1) — п

2.3.5 Случай: 1 <а< , 7 > а(п — 1) — п

— ———'

2.3.6 Случай: а = , 7 > а(п — 1) — п = (р — 1)

—— — —— —

2.4 Теорема усредения для случая р = п

2.4.1 Вспомогательные леммы

2.4.2 Теорема усреднения. Критический случай

3 Усреднение начально-краевой задачи в перфорированной области с нелинейным краевым условием третьего типа на границе полостей

3.1 Постановка задачи

3.2 Теорема существования

3.3 Дополнительная регулярность решения. Продолжение решения

3.4 Случай а = —--, 7 = (р — 1)

3.5 Случай а е (1,п/(п — р)), 7 = а(п — 1) — п

3.6 Случай: 1 < а < п/(п — р), 7 < а(п — 1) — п

Заключение

Литература

Введение

Диссертация посвящена изучению асимптотического поведения при е ^ 0 решения пе задач для эллиптического и параболического уравнений с р-Лапласианом: Арп = ^(\Уп\р-2Уп), — в е-периодически перфорированной области с Ега, п > 2, 2 < р < п, с нелинейным краевым условием вида дирпе + в(е)а(х,пе) = 0 на границе полостей, где дирп = \Уп\р-2(Уп,и), V — вектор внешней единичной нормали к поверхности полостей. В том случае, когда 2 <р <п коэффициент при функции и, в(е), имеет следующий вид: е-1, при р = п он равен вп-1(е). Предполагается, что полости диффеоморфны замкнутому шару, диаметр которого есть 0(ае), где ае ^ е. Таким образом, исследуемая задача имеет четыре параметра: п — размерность пространства, р — показатель оператора, ае — характеризует размер перфораций; и так называемый коэффициент адсорбции в(е), который характеризует процессы, происходящие на границе перфораций.

Таким образом, при 2 < р < п в задаче имеются два параметра: а, 7. В настоящей работе для эллиптического случая рассмотрены все возможные соотношения между параметрами а и 7, а для параболического случая — 1 < а < п/(п—р), 7 < а(п — 1) — п, построены усредненные задачи и доказана слабая сходимость решения исходной задачи к решению усредненной. В зависимости от соотношений между ними в пределе получаются различные усредненные задачи — наиболее интересен случай, когда 1 < а < п/(п—р) и 7 = а(п — 1) — п, так как при данном соотношении между параметрами процессы, происходящие на границе микроскопической полости, дают вклад в предельное макроскопическое уравнение в виде эффективного нелинейного члена. При этом когда 1 < а <п/(п — р) вид нелинейного члена не меняется. В критическом случае, когда а = п/(п — р), 7 = п(р — 1)/(п — р), усредненная задача содержит новое нелинейное слагаемое, которое определяется как решение функционального уравнения.

Для случая р = п рассматривается критическое соотношение между параметрами ае и в(е) (см. (1.1)), при котором построена усредненная задача, которая также содержит новое нелинейное слагаемое, являющееся решением функционального уравнения, которое имеет аналогичный вид, что и в критическом случае для 2 < р < п. Также доказана теорема о сходимости решения исходной задачи к решению усредненной.

В работе доказаны теорема продолжения решения на перфорации как для эллиптического случая, так и для параболического. Приводятся леммы, в которых доказываются неравенства типа Фридрихса и Пуанкаре для функций из введенных функциональных пространств,

в которых рассматриваются соответствующие задачи. В работе доказывается существование и единственность решения функционального уравнения, появляющегося при усреднении задачи в критическом случае.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Нелинейные уравнения Фоккера-Планка-Колмогорова для мер»

Актуальность темы.

Рассматриваемая в работе задача возникает при изучении нелинейной диффузии (см. работы [1] и [2]) веществ в пористой среде (см. [3]), при этом подразумевается, что на границе включений имеет место нелинейная адсорбция. Математические модели, в которых участвует p-Лапласиан, появляются также при изучении неньютоновских жидкостей (см. [4]), задач ползучести (см. [5,6]), в климатологии (см. [7]), в гляциологии (см. [4,8]).

Необходимость изучения уравнений с p-Лапласианом появляется и в задачах, связанных с восстановлением изображений, поврежденных вследствие некачественной передачи по каналам связи или небережного хранения (см. [9]).

Усреднение краевых задач в перфорированных областях с третьим краевым условием на границе полостей изучалось во многих работах. Такого рода задачам были посвящены работы [10] и [11]. Краевая задача в частично перфорированной области для уравнения Пуассона, в которой а(ж,и) = е-7 a(x/e)u и y е R1, а = 1, была рассмотрена в работе [12]. Линейная задача с третьим краевым условием в схожей перфорированной области была рассмотрена в работе [13]. Усреднение задач для уравнения Пуассона с краевым условием третьего рода изучалось в работах [14,15].

Задача для эллиптического уравнения с быстро осциллирующими коэффициентами и нелинейным краевым условием на границе полостей при а = 1 исследовалось в работах [16-22].

Усреднение задачи Дирихле для уравнения —Apue = /£(x) при а =1 и 1 < p < 2 было изучено в [23]. В работе [24] исследуется усреднение указанного уравнения при 1 <p < n в задаче с препятствиями в области перфорированной множествами случайного размера, при этом, а = n/(n — p), если 1 < p < n. Задачи усреднения квазилинейных монотонных уравнений исследовались в [25,26].

Для параболического уравнения аналогичная задача при а = 1 была исследована в [27]. Усреднению параболического квазилинейного уравнения посвящена работа [28].

Наиболее близкими являются работы [29] и [30], в которых рассматривается аналогичная "геометрия" перфораций. В [29] изучается усреднение краевой задачи для уравнения —Aue = /(x) с краевым условием третьего рода dvu£ + е-7a(x,ue) = g(x)e-Y, заданным на границе полостей. Работа [30] посвящена исследованию асимптотического поведения решения начально-краевой задачи для параболического уравнения Stu£ — Aue = /(x,t) с аналогичным краевым условием. В указанных работах построены усредненные задачи и доказаны теоремы о слабой сходимости решения исходной к решению усредненной. Таким образом, настоящая работа обобщает результаты, полученные в [29] и [30], на случай задач, содержащих нелинейные уравнения с оператором p-Лапласа.

Асимптотическое поведение решения вариационного неравенства для оператора Лапласа в перфорированной области с нелинейными ограничениями вида: пе > 0, дипе > —е-1 и(х,пе), пе(д„пе + е-1 и(х,пе)) = 0, заданными на границе перфораций, было исследовано в работе [31].

Работа [32] посвящена изучению краевой задачи для оператора Лапласа в области, перфорированной мелкими изопериметрическими полостями, с нелинейным краевым условием третьего рода. В приведенной работе рассматривается критический случай соотношения между параметрами ае и в(е) при п = 2. Настоящая работа обобщает результаты, полученные в [32], на случай уравнения с р-Лапласианом (р = п > 3).

В работах [29-32] при критическом соотношении между параметром ае и коэффициентом адсорбции наблюдается следующий эффект: усредненная задача содержит новое нелинейное слагаемое, определяемое как решение функционального уравнения. Данный эффект впервые был замечен в работе [17], в которой была рассмотрена аналогичная задача для уравнения Пуассона при п = 3 и а Е (2,3]. Стоит отметить, что в настоящей работе наблюдается аналогичная особенность (см. Теоремы 5, 11, 14).

Цель работы. Основной целью настоящей работы является исследование асимптотического поведения решений задач для эллиптического и параболического уравнений с оператором р-Лапласа в перфорированной области с нелинейным краевым условием третьего типа, заданным на границе полостей, при стремлении диаметра полостей и периода, с которым расположены эти множества, к нулю.

Методы исследования. В работе используются методы теории усреднения дифференциальных операторов, общей теории уравнений в частных производных, функционального анализа и теории пространств Соболева. Также строятся пробные функции, учитывающие нелинейный характер оператора р-Лапласа.

Научная новизна. Все результаты работы являются новыми. Основные из них — следующие:

1. Дана полная классификация асимптотического поведения решения рассматриваемой задачи для случая 2 < р < п. Выделены 6 различных видов асимптотического поведения решения, каждому из которых соответствует определенное соотношение между параметрами а и 7. Для каждого из этих случаев был разработан метод, позволяющий построить усредненную задачу и доказать теоремы о слабой сходимости решения исходной задачи к решению усредненной.

2. Рассмотрено критическое соотношение между параметрами ае и в(е) (см. условия (1.1)) для случая р = п. Разработан метод позволяющий рассматривать перфорации произвольной формы с заданной площадью поверхности. Построена усредненная задача и доказана теорема о слабой сходимости решения исходной задачи к решению усредненной.

3. Для начально-краевой задачи рассмотрен случай, когда 2 < р < п и когда выполнены условия (3.2). Выделены 3 различных случая асимптотического поведения решения рассматриваемой задачи, для каждого из которых построена усредненная задача и доказана теорема о слабой сходимости решения исходной задачи к решению усредненной.

Теоретическая и практическая значимость. Диссертация носит теоретический характер. Результаты настоящей работы относятся к теории усреднения краевых и начально-краевых задач для уравнений с р-Лапласианом. Использованные в диссертации методы могут быть применены при исследовании других краевых и начально-краевых задач, вариационных неравенств с ограничениями различного типа.

Апробации работы. Основные результаты работы докладывались и обсуждались на международной конференции "Дифференциальные уравнения и смежные вопросы Россия, Москва, посвященной 110-й годовщине со дня рождения И.Г. Петровского, проходившей с 30 мая по 4 июня 2011 года; на международной конференции "Седьмая международная конференция по дифференциальным уравнениям и функционально-дифференциальным уравнениям Россия, Москва, проходившей с 26 по 28 августа 2014 года; на международной конференции "Многомасштабные методы и моделирование: переход от микро- к макромасштабу в механике и медицине Россия, Москва, проходившей 25-27 июня 2015 года; на "Новогодней мини-конференции кафедры дифференциальных уравнений Механико-математического факультета Москва, МГУ им. М.В. Ломоносова, 2014; международная научная конференция "Ломоносов-2010Москва, МГУ им. М.В. Ломоносова, 2010.

Публикации. Основные результаты по теме диссертации опубликованы в 7 печатных работах, 4 из которых опубликованы в журналах, рекомендованных ВАК. Список работ приведен в конце диссертации.

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, трех глав (первая глава содержит вспомогательные утверждения, в последующих главах приводятся основные результаты), а также из списка цитируемой литературы. Главы разбиты на 14 параграфов и 8 подпараграфов. Параграфы и формулы имеют двойную нумерацию, теоремы и леммы — сквозную. Диссертация содержит 16 теорем и 9 лемм. Список литературы включает 47 наименований, общий объем диссертации 78 страниц.

Автор глубоко признателен научному руководителю, профессору Т.А. Шапошниковой, за постановку задачи, ценные замечания и постоянное внимание к работе.

Глава 1

Вспомогательные утверждения.

В данной главе описывается рассматриваемая перфорированная область, вводятся функциональные пространства, в которых рассматриваются соответствующие задачи (см. параграф 1.1). также строится продолжение решения как на ячейку периодичности, так и на всю перфорированную область, приводятся доказательства следствий из полученной теоремы продолжения (см. параграфы 1.2 и 1.3). В параграфе 1.4 приводится лемма, используемая в теоремах 5, 11, 14 и доказывается существование и единственность решения функционального уравнения, которое появляется в усредненной задаче в указанных выше теоремах.

1.1 Рассматриваемые перфорированные области

Пусть П — ограниченная область в Ега, п > 3, с гладкой границей дП и пусть У = (-1/2,1/2)п. Для ] е М, где М — конечное подмножество из Zn, определим множества В^ в У следующим образом: В^ диффеоморфны шару, и В^ с Т1/4 = {у : |у| < Ц. Также предполагается, что (п — 1)-мерная мера Лебега множества дВ^ равна заданному числу I > 0, то есть

|дВ^ | = I, для всех ] е М

Для 5 > 0 и е > 0 определим множества 5Б = {х | 5-1х е Б } и О£ = {х е П | р(х, дП) > 2е }.

Для случая 2 < р < п положим а£ = С0еа, где а > 1 и С0 — положительное число. В том случае, когда р = п, мы будем рассматривать а£ и в(е), удовлетворяющие следующим условиям:

в(е)а£е-^ С2 при е ^ 0,

1 . п2

в(£)ае 1п ^

^ —С2 при е ^ 0,

(1.1)

где С, С1 = 0. Пусть

0£ = У (^ + е3)= У 0£, (1.2)

где Gj совпадает с некоторым множеством i е M, Y£ = {j е Zn : Gj С Y£j = eY + ej, Gj П Qe = 0}, и |Te| = de-n, d = const > 0. Заметим, что Gj С Tj С Tj С Yj, где Tj -

g 4

шар радиуса r с центром, совпадающим с центром куба Yj.

Положим

= Q \ G£, S = 5G£, 5= 5Q U S£.

Далее введем функциональные пространства, в которых будут изучены соответствующие задачи для эллиптических и параболических уравнений с оператором p-Лапласа.

Через W 1iP(Q£,5Q) обозначено пространство, полученное замыканием в W1,p(Q£) множества бесконечно дифференцируемых в Q£ функций, обращающихся в ноль в окрестности границы dQ.

Определим через W-1'q (Q£,d Q) — пространство сопряженное к пространству W 1iP(Q£,5Q), и скобки (.,.) обозначают отношение двойственности. В введенном пространстве рассматривается норма:

||v||w-I.«(ne>sn) = sup | < u,v > |

1.p (Пе>дП),|М|^ 1 ,p(ne,en) ^

Применяя методы из [13,33], получим следующие леммы, справедливые для функций из введенного пространства.

Лемма 1. Пусть u е W 1,p(Q£,dQ), 2 < p < n, n > 2. Тогда

|u|pdx < K{a]-nen i |u|pds + ap-nen / |Vu

(1.3)

если 2 < p < n,

|u|ndx < K{a]-nen / |u|pds +

ln

е

2a

n- 1

е

|Vu|pdx},

(1.4)

Og Sg Og

елси p = n, где постоянная K здесь и далее не зависит от е.

Доказательство. Без ограничения общности можем считать, что Gj совпадает с Go — шар радиуса р < 1, центр которого совпадает с центром У. Пусть также е(1 — 1/4) > а£р. Тогда функция и определена в Т£/4 \ а^0, где — шар радиуса а, центр которого совпадает с центром У£. Пусть Р е а£50 и ф е г£ьа£д < г ^ е/4, д < 1 и Р, Р лежат на одном радиус-векторе, а 51,50 — сферы радиуса 1. Тогда имеем, что

£/4

и(д) = и(р) + у ди^г

«£р

Беря модуль и возводя в степень p, получим оценку

£/4

|u(Q)|p < 2p-1|u(P)|p + 2p

1

du

dr

£/4

dr I = 2p |u(P)|p + 2p

1

du

dr

n — 1 1 —n

r p r p dr

p

p

Применяя неравенство Гельдера, придем к следующему неравенству

£/4

р-1

£/4

1п^)\Р ^ 2р-11и(Р)|р + 2р-1 \ тР=п¿т

ди

дт

тп ^^¿т

а^е

а£д

Отсюда получим оценки:

г/4

|и(ф) |р ^ 2Р-1 |и(Р) |р + 2Р-1С(а£д)р- ^ | % |Р тп-Чт, при 2 < р<

п,

а£е

£/4

1и(<^)1п ^ 2п-1|и(Р)|п + 2п-1 С(1п(2£))п-1 / |дтг |Птп-1(1т, при р = п,

аЕе

Далее домножаем на Якобиан сферической замены координат / 1г=а£е = (а£^)п-1Ф(^1,..., уп-1) и, интегрируя по переменным ...,^п-1, получаем:

(а£д)п-1 \и(Я)1Р(1щ..Л^п-1 ^ 2р-1 1и(Р)1Р(Бх+

Яг

а£Я0

+2р-1(ае 6)р-1

Т£/4/Та,

ди

дт

если 2 < р < п, и

(ае0)п-Ч ШТ¿^1 ...¿(рп-1 < 2п-1 1и(Р)1п(8х+

аеЯо

+2п-1С (а£р 1п( —)) 2а £

п1

ди

дт

Те/4/Та£д

если р = п, где Та — шар радиуса а, центр которого совпадает с центром О0.

Затем, домножая обе части уравнения на тп-1 и интегрируя по т е (а£д,е/4), получаем:

(а£0)

при 2 < р < п, и

п1

^¿х ^ Ко{ еп ^¿Бх + ар-1еп

^хи^ёхх

ТЕ/4/Та,

а£Яо

Тс/4 /Та,

(а£0)

п1

е

Т£/4/Та,

^¿х ^ Ко{ еп ^ ^¿Бх + (ае 1п(^)) еп / |Vxu|ndx

а£Яо

Т£/4/Та,

при р = п.

Откуда и следует требуемое утверждение.

□

Лемма 2. Пусть и е Ш 1,р(У£), У£ = еУ \ а£О0, где О0 совпадает с некоторым множеством В*, 2 < р < п, п > 2. Тогда

^¿х < К{апе-1е-п [ ^¿у + ар-1 [ ^и

(1.5)

аЕЯо

Ус

V

р

п

если 2 < р < п,

|и|—^ < к{а——V— / |и|—^ + а;

——1

У£

2а

|Уи|—^у},

(1.6)

если р = п.

Доказательство. Без ограничения общности можем считать, что Go — шар радиуса р < 2 с центром, совпадающим с центром У. Пусть Р е а£50, Р' е р—1г50, а£р < г < |р и Р, Р' лежат на одном и том же радиус-векторе. Имеем, что

|и(Р)|— < 2——1|и(Р')|— + 2——1

ер/2 х —

ди

—^г дг

\а£р

Из (1.7) заключаем, что

|и(Р)|— < 2——1|и(Р')|— + 2——1

ер/2

ер/2 ^ —

ди г(——1)/—г(1——)/—I <

\«£р

дг

—-1

< 2——1|и(Р')|— + 2——1 I / г^^г

Р

£ Р/2

\«£р

ди

дг

г— 1^г

Исходя из этого, получаем неравенства

£р/2

|и(Р)|— < 2——1|и(Р')|— + (а£р)——— / 1^|— г——Чг, если 2 < р<

п,

£ Р/2

|и(Р)|— < 2——1|и(Р')|— + 2——11п——/ |%|— г——Мг, если р =

п.

(1.7)

Домножая полученные неравенства на (а£р)— 1 ..., — 1), где 3 = г— ..., —1) —

якобиан сферической замены координат и интегрируя по ^1,..., — 1, получим

j |и|—^ < К ^ а—— 1 у |и(Р')|—^1.

«£^0 V й!

если 2 < р < п, и

-— 1 + а— 1рУжи|

ЬР(ТЕ/2\Та£ )

(1.8)

|и|—Ж < К ^ а—— 1 ^ |и(Р')1—... —1 + а—— 11п—— 1 2- ||Ухи|рЬр(т£/2\та£) «£^0 к. й!

(1.9)

если р = п, где 51 — сфера единичного радиуса, обозначает шар радиуса ар, центр которого совпадает с центром G0.

Далее, домножая неравенства (1.8), (1.9) на г——1 и интегрируя по Р' при г е (а£р, £Р), приходим к следующим оценкам:

К I —-а— Ни1—

2— £ / И"ИЬр(а£5о) < " ]"£ """МТ^Т^)

< К<!а—— ч и1—

+ а—— 1 I - — а— 1 ||У*и

2— у 11* х ||Ьр(Т£/2\Т0£)

—

—

—

—

—

при 2 < р < п и

К--ап

пч 'и11 р

£ I \\и\\Ьр(а£Яо) <

< К {О^ 1\\и\\РЬр(Т£/2\Та£) + ^ 1

2о£

п— 1

с

— — апе

2п £

ир

I Ухи\\Ьр(Т£/2\Та£ )

при р = п.

Из полученных оценок немедленно следует утверждение теоремы.

□

п

п

1.2 Теорема продолжения

В ограниченной области и с Еп с достаточно гладкой границей ди рассмотрим вспомогательную задачу:

—Ару = Г, х е и,

V = К, х е Б1, (1.10)

дирV = 0, х е Б2,

где Г е Ьд(и), К е Ш 1,р(и), q = р—^, 2 < р < п. Также предполагается, что ди = Б1 и Б2 и границы Б1, Б2 достаточно гладкие.

Под обобщенным решением задачи (1.10) будем понимать функцию V е Ш 1,р(и), для которой выполнено V = К на Б1 (т.е. V — К е Ш 1'р(и,Б1)), и которая удовлетворяет интегральному тождеству:

/^г™. = /Рых (по

и и

для произвольной функции V е Ш 1'р(и,Б1). Через Ш 1'р(и,Б1) обозначено пополнение по норме Ш 1,р(и) пространства функций Сте(и), обращающихся в ноль в окрестности Б1. Данное пространство является баноховым, рефлексивным и сепарабельным (см. [38]). Для функций V е Ш 1'р(и,Б1) выполняется неравенство Фридрихса (см. [35])

Ы\ьр{и) < \\VVhpU (1.12)

Следуя методам, описанным в [34,36], получим следующую теорему.

Теорема 1. Существует единственное обобщенное решение V задачи (1.10) и для него справедлива оценка:

1

\\vWw 1,р(и) < К{\\ГГЬч1и) + \\К\\Ш1,р}, (1.13)

где К не зависит от V, Г, К.

Доказательство. Используя (1.11), получаем, что функция ф = V — К удовлетворяет следующему интегральному тождеству:

J |У(ф + К^^(ф + К)У^х = J Г'^х (1.14)

ии

для произвольной функции е Ш 1,Р(и, 51).

Рассмотрим функционал вида:

Л^Н1 / ТО + к)|р^г

Р 3

и

Используя результаты, полученные в [45] и то, что к е Ш 1,р(и), заключаем, что ^ е С 1(Ш 1р(Ц,^),К). Обозначим А = ^ : Ш ^(и,^) ^ Ш(Ц,^). Тогда тождество (1.14) можно переписать в виде:

Оператор А является огранчиенным, непрерывным, коэрцетивным (см. [36,41]). Также легко проверяется, что он монотонен (см. [42]). Таким образом, все условия Теоремы 2.1 из [36] выполнены, следовательно, существует обобщенное решение задачи (1.10).

Докажем, что решение задачи единственно. Пусть существует два решения и задачи (1.10). Тогда для каждой функции выполнено интегральное тождество (1.11). Очевидно, что функция V = — е Ш 1,р(и, 51), поэтому возьмем поэтому возьмем ее в качестве пробной функции в соответствующих интегральных тождествах:

У — v2)dж ^ У ^^ — v2)dж, г = 1, 2.

ии

Вычитая из одного равенства другое, получим

У (^1|р-^1 — ^|р-2 VV2)V(V1 — V2)dж = 0

и

Используя свойство строгой монотонности соответствующего оператора (см. [42]):

У (^1|р-^1 — ^2|р-^2^1 — V2 > К11V1 — V2|LP(U),

и

придем к следующему равенству:

||V(V1 — V2)||MU) = 0 (1.15)

Но для функций из пространства Ш 1,р(и, 51) выполнено неравенство (1.12), откуда заключаем, что v1 = v2, следовательно, решение задачи (1.10) единтсвенно.

Теперь докажем оценку (1.13). В интегральном тождестве (1.11) в качестве пробной функции положим = V — к:

У |Vv|p-2VvV(v — к)^г = У /(V — к)Лж (1.16)

и и

Далее используя неравенство (1.12) для функции V — к е Ш 1,р(и, 51) и неравество Юнга, получим:

||У<р(и) <у + у |/||и - <

и и

< Н^Ц^Ц^Ц^и) + ||/Нь,(и)IV - й||Ми) <

< Н^Н^Н^Н^и) + ||/Нь,(и)|^ - й)||Ми) < (1.17)

< Н^Н^Н^Н^и) + ||/||ь,(и)|ьр(и) + ||/||ь,(и)) <

< М^Ц^ + сй1 ||Ук||Ьр(и) + Ы^Ц^и) + С,1|/|Ц,(и)

Возьмем = 1/4, = 1/4 в неравенстве (1.17), тогда придем к оценке следующего вида:

Н^Ньр(и) < К {Н/Н^и) + Н™||Ми) [• (1.18)

Далее используя неравенсвто (1.12) и (1.18), получим:

!Мк(и) = № - к + ^Н^р(и) < ^ - ^кр(и) + ^^(и) <

< - й)||Ми) + Н^Ньр(и) < Н^Ц^(и) + С (Н^Н^1,р(и) + Н/Н^и)) < (1.19)

1

р-1

< С^цьц^ 1,р(и) + Н/Н£-(и)

Исходя из полученных неравенств (1.18), (1.19), заключаем, что справедлива следующая оценка

I р-1

□

Н^Н^1,р(и) < С ( Н/Н£,(V) + Н^Н^1,р(и) Что и требовалось доказать.

Следуя методу, описанному в [37], докажем лемму о продолжении решения на ячейке периодичности.

Лемма 3. Пусть С с У С Ега и С, У, У \ С — непустые ограниченные области с гладкой границей и Г = (дС) П У = 0, тогда для любой функции и е Ж 1,Р(У \ С), где 2 < р < п, определен оператор продолжения Р : Ж 1,Р(У \ С) ^ Ж 1,Р(У) такой, что

||Ри||ж1.р(У) < С1НиН^1.р(у\с) (1.20)

(1.21)

Доказательство. Рассмотрим шар В с Ега достаточно большого радиуса, содержащий некоторую окрестность множества У. Известно (см. [34], Теорема 7.25, стр. 165), что функция и продолжается с У \ С на В так, что для продолжения Еи выполнена оценка:

НЕи|Ж1,р(В) < С||и||ж1>р(У\С)

Далее рассматривая ограничение Ru функции Eu на множество Y, получим функцию удовлетворяющую следующему:

\\Ru\\wip{Y) < C\\и\\№1,р(ущ (1.22)

Обозначим через v обобщенное решение задачи:

-Apv = 0, x е G,

v = Ru, x е dG П Y, (1.23)

дирv = 0. x е dG П dY.

Если dG{~}8Y = 0, то последнее краевое условие отсутствует. По доказанной теореме 1 существует единственное обобщенное решение задачи (1.23) и для него справедлива оценка:

\\v\\w 1,P(G) < K5\\Ru\\wi,p(G) < K\\Ru\\wi,p(Y) Беря во внимание оценку (1.22), получим

\\v\\W 1,P(G) < CHulw 1,P(Y\G)

Положим

f u,x е Y \ G, P (u) = \

v, x е G.

По построению функции Pu имеем, что

\\Pu\\w1p(Y) < Ci\\u\\w1,P(Y\G) (1.24)

Далее рассмотрим константу L такую, что

J (Pu + L)dx = 0. (1.25)

Y\G

Ввиду единственности решения задачи (1.23) (см. теорему 1) имеем, что для L = const справедливо равенство P(u + L) = Pu + PL. Тогда, применяя неравество Пуанкаре, из (1.24) получим оценку:

\\VP(u + L)\\Lp{Y) < Ca(\\V(u + L)\\Lp{Y\G) + \u + L\\Lp{Y\G)) < C2\\V(u + L)\\Lp{Y\G) Беря во внимание, что VL = 0 и PL = L, придем к оценке

\\V(Pu)\\Lp(Y) < C2\\Vu\\Lp{y\G)

Что и доказывает лемму. □

Теорема 2. Пусть Пе — перфорированная область, определенная выше, а 2 < p < n. Тогда существует оператор продолжения P£ : W1,p(П£,дП) ^ Wq'p(П) такой, что

\\P£u\\w1'p(n) < Ci\\u\\w1,p(ns) (1.26)

\\V(Peu)\\Lp{n) < C2\\Vu\\Lp{n£), (1.27)

где константы Cb C2 не зависят от u и е.

Доказательство. Пусть и(х) е Ш1,р(П£). Сначала рассмотрим отедльную ячейку. Введем новую переменную у = а-1х. Рассмотрим область а-1У£ = (а-1еУ \ О0). Так как а£е-1 ^ 0 при е ^ 0, тогда можно выбрать куб У1 со сторонами не зависищами от е с гранями параллельными граням У и такой, что О0 с У1.

По лемме 3 существует продолжение Ри функции и е Ш 1'р(У1 \ О0) на множество У1, что выполнены оценки:

\\Ри\\шг,р(У1) < с1\\и\\ш1Р(У1\Оо)

Ри\\Ьр(У1) < с2^уu\\Lp(Уl\G-0),

где константы С1 и С2 не зависят от е.

Откуда следует, что справедливы неравенства:

\\Ри\\ш1р(а£У1) < С1\\и\\щ1*ру) (1.28)

||У х Ри\\ Lp(a£Уl) < C2\\Vxu\\Lp(y£) (1.29)

Далее определим функцию

_ I и, х е еУ \ а£О0

иО =

^ Ри, х е а£О0

Используя (1.28) и (1.29), получим следующие оценки:

\\О\\ж1,р(£У) < К2\\и\\^ 1,ру) (1.30)

\^оир(£У) < К^и^) (1.31)

Таким образом мы построили продолжение функции и внутри одной ячейки. Так как множество 0£ состоит из шаров, которые лежат строго внутри своих ячеек, не пересекаясь с их границей, то мы можем построить продолжение по изложенной схеме для каждой из ячеек, не опасаясь того, что следы функции не будут совпадать на соседних гранях. Следовательно, мы получим продолжение Р£и на множество П. Используя (1.30), (1.31), получим оценки (1.26), (1.27). □

1.3 Следствия теоремы продолжения

Используя результаты, полученные в теореме 2 и лемме 3, мы можем доказать ряд полезных в дальнейшем утверждений. Во-первых, при усреднении начально краевой задачи для параболического уравнения нам требуется построить продолжение функции на цилиндр QT = П х (0,Т). Сначало построим продолжение функции, определенной на множестве У \ 0 х (0, Т), до функции, определенной на ячейке У х (0, Т). Справедлива следующая лемма.

Лемма 4. Пусть С с У С Ега и С, У, У \ С — непустые ограниченные области с гладкой границей и Г = (дС) Р| У = 0, тогда для любой функции и е ¿Р(0,Т; Ж 1,Р(У \ С)), где 2 < р < п, определен оператор продолжения К : ЬР(0,Т; Ж 1,Р(У \ С)) ^ ¿Р(0,Т; Ж 1,Р(У)), а также К : Ь2(У \ С х (0, Т)) ^ Ь2(У х (0, Т)) такой, что

Ки = и на У \ С х (0,Т), Ки' = (Ки)' в У х (0,Т) ||Ки||ж1.р(У) < СН 1,р(у\с) для п.в. Ь е (0,Т) (1.32)

|^Ки||Му) < С||VuНLp(У\ё) для п.в.Ь е (0,Т) (1.33)

НКи'НЬ2(0,Т;Ь2(У)) < С||и'НЬ2(0,Т;Ь2(У\С)) (1.34)

Н Ки Н Ьр(0,Т1,Р(У)) < СНиНЬр(0,Т;^1,р(У\С)) (1.35)

Доказательство. Определим оператор продолжения следующим образом:

(Ки)(х,Ь) = [Ри(.,Ь)] (х),

где Р — оператор, определенный в лемме .

Далее, так как функция {Ь ^ и'(.,Ь)} принадлежит Ь2(0,Т; Ь2(У \ С)), тогда функция {Ь ^ Ки'(.,Ь)} принадлежит пространству Ь2(0,Т; Ь2(У)).

Заметим, что оператор Р независит от Ь, следовательно, выполнено:

Р (г '(,Ь)) = (Р*(.,Ь))'.

Используя (1.21), легко видеть, что

^(^^ЫО.Т;^2(У)) < СНг|Ьр(0,Т;Ь2(У\С)) Таким образом, оператор К удовлетворяет всем вышеуказанным свойствам. □

Проводя аналогичные рассуждения, что и в теореме 2, получим следующую теорему продолжения решения, которая используется при изучении начально-краевой задачи для уравнения параболического типа.

Теорема 3. Пусть П£ — перфорированная область, определенная выше, а 2 < р < п. Тогда Уи е ЬР(0,Т; Ж 1,Р(П£,дП)) определен оператор продолжения К£ : ЬР(0,Т; Ж 1,Р(П£,дП)) ^ ЬР(0,Т; Ж01,Р(П)), а также К£ : Ь2(П£ х (0,Т)) ^ Ь2(П х (0,Т)) такой, что

К£и = и на П£ х (0,Т), К£и' = (ВД' в ^т ||К£иНЖо1.р(П) < С||иНж1.р(пе,ап) для п.в. Ь е (0,Т) (1.36)

Н^иЦ^н) < С|^и||МПе) для п.в. Ь е (0,Т) (1.37)

НК£и'НЬ2(0,Т;Ь2(П)) < СНи'НЬ2(0,Т;Ь2(П£)) (1.38)

НКиНЬр(0,Т;Ж01'р(П)) < СНиНЬр(0,Т;^1,р(П£,дП)) (1.39)

Во-вторых, справедлива следующая оценка функции на ячейке периодичности через ее градиент. Тот факт, что в оценке присутствует малый параметр е, является существенным при доказательстве теоремы усреднения 6.

Лемма 5. Пусть и е Ш 1,р(У£) и < и >Ус = 0, 2 < р < п, п > 2, где У£ такое же как и в лемме 2. Тогда

\\иЬр(Ус) ^ К^иЬру) (1.40)

где константа К1 не зависит от е.

Доказательство. По теореме 2 существует продолжение и функции и на множество еУ такое, что для него выполнены оценки:

\^и\^р(£У) < С\\Vu\\Lp(Ус)

Для простоты будем считать, что и, и — гладкие функции. Тогда для любых Р, Р' е У£ имеем, что

и(Р') — и(Р) = j их1 (х1,хрр , ...,хр )(х1+

р х[

р' р'

х2 х1

+ у их2 (х1 , х2, ..., хп )dх2 + ... + ^ их1 (х1, ..., хп-1, хп)(хп

р р

х2 х1

Далее получаем

£ £

^(Р') — и(Р)К ! |их1 Их1 + ... + I ^хп ^хп 0 0

Проинтегрируем по Р е У£:

£ £ I НР') — и(Р)|dP < 11 |иих1 ^¿Р + ... + 11 !йхп ^¿Р (1.41)

Ус Ус 0 Ус 0

Но мы также имеем, что

|и(Р) — и(Р')^Р >

У

У (и(Р) — и(Р')) ¿Р У

НР'Ш^ (1.42)

Тогда из (1.41) и (1.42) выводим, что

НР'Ш^ < у у и1 ^¿Р +... + у у ^^¿Р (1.43)

У 0 У 0

р

1

£

£

Возведем (1.43) в степень р и, используя неравенство (а + Ь)Р < 2Р 1(аР + ЬР), где а, Ь > 0, р > 1, получим

Р / £ \ Р\

|и(Р')|Р|У£|Р < С I I / I |Их1 И^Р I + ... + I / [ |Й*П ^Р I I <

| «Л

\У£ 0 / \У. 0

£ £

< с|У£|Р-1еР-1 П у |ПХ1 |Р^Р + ... ^ у |Й*П|Р^Р I (1.44)

\У. 0 У. 0 /

Далее проинтегрировав (1.44) по Р' е придем к неравенству

|ЩР У |и|Р^х < |У£|Ре^

У. у.

Откуда немедленно следует оценка:

||и|Ьр(Уе) < КН^и|кр(У£)

Что и требовалось доказать. □

В-третьих, используя теорему продолжения, докажем неравенство типа Пуанкаре для функций из пространства Ж 1,Р(П£,дП), введенного в параграфе 1.1.

Лемма 6. Пусть и е Ж 1,Р(П£,дП) и 2 < р < п,п > 2, тогда существует положительная константа С таккая, что выполнено неравенство:

||и||Мп£) < С|^и||Мп£) (1.45)

Доказательство. По теореме 2 существует продолжение Р£и функции и на множество П, что выполнены оценки:

НР£иН^1,р(П) < К1НиН^1,р(П£,дП) (1.46)

^(Р^Ц^П) < ^^иЦ^(П.) (1.47)

Из определения множества Ж 1,Р(П£,дП) и способа построения продолжения немедленно получаем оценку:

следует, что Р£и е Ж01,Р(П). Используя неравенство Пуанкаре для функций из Ж01,Р(см. [35]),

||Р£и||Мп) < Кэ|МР£и)||Мп) (1.48)

Используя (1.47), (1.46) и (1.48), выводим:

||и|кр(П.) < ||Р£и||Ьр(П) < К3 НV(P£u) НЬр(П) < С||VuНЬр(П£)

Что и требовалось доказать. □

1.4 Вспомогательные предложения

В следующей лемме предполагается, что множества 0^ совпадают с единичным шаром 00, то есть полости — это шары радиуса а£.

Лемма 7. Пусть и£ е (П) (2 < р < п) и и£ ^ и0 при е ^ 0 в Ш01,р(П), тогда

Мс . .

22(п-1)(п — 2)Сп-2е^ / и^Б — С\ щ(х =1 дТз п

дТ с/4

^ 0, е ^ 0,

где С1 = (п — 2)Сп 2шп, а шп — площадь единичной сферы в Доказательство. Рассмотрим вспомогательную задачу

АрЫ£ = ц,х е еУ \ Тф д„рИ£ = е, х е д%/4 / М £¿х = 0, М £ — е периодическая,

I, £У\Тс/4

(1.49)

(1.50)

= 1дТ1/41

где Ц = 1У\Т1/41 .

Обобщенное решение М£ е Ш1р(еУ \ Т£/4) задачи (1.50) удовлетворяет интегральному тождеству:

^М£ ^^М, V'dx + е '¿Б = ц

'¿х

У\Т /4

Полагая в (1.51), ' = М получим оценку:

ОТ,

/4

У\Т /4

(1.51)

\^М£\\1р(£У\Тс/4) < е

J М£(Б + Ц У М £(х

дТ /4 £У\Тс/4

<

, р-1

г - (р-1)(п-1)

< е М^Б < ет^-т-\\М£\\ьр{&Ге/,) < Се • е\\Ме\\ьр^егЕ/,) (1.52)

дТс/4

Далее нам потребуются вспомогательные неравенства. Введем новую переменную у = £. Для функций v£(х) е Ш 1,р(еУ \Т£/4) рассмотрим функцию v(y) = v£(еу) е Ш 1,р(У \Т1/4). Для v(y) из соответствующей теоремы о следах ( [38,39]) следует, что выполнено неравенство

У мр(у < К{ I ^¿у + I V

дТ1/4 У\Т1/4 У\Т1/4

Возвращаясь к переменной х = еу получим оценку:

^£^¿х < К\е

1

^¿у + е;

р-1

V£ П}.

(1.53)

дТс

/4

У\Т /4

У\Т /4

п

Пусть е Ж 1,Р(еУ \ Т£/4) и < >£У\т./4 = 0, 2 < р < п, п > 2. Рассмотрим функцию V, определенную также, как и выше. Заметим, что V е Ж 1,Р(Т \ Т1/4) и < V >У\Т1/4 = 0. Для данной функции справедливо неравенство Пуанкаре:

||и|Ьр(У\Т1/4) ^ ^М^Уут^)

Возвращаясь к исходной переменной, х, придем к следующей оценке

||и|Ьр(£У\Т./4) Ьр(£У \т./4) (1.54)

где константа К1 независит от е.

Используя оценки (1.52), (1.53), (1.54), получим:

(р-1)(п-1) / 1 р-1 \

|^М£НЬр(£У\т./4) < С1е ■ е р (е-р Н^Н^у\т./4) + е р |^М£||ы£У\тв/4)) <

(п-1)(р-1) / 1 р-1 \

< С2е ■ е р (е-р+1 + ер ] |^М£||М£у\те/4) <

р- 1

< Сзе ■ еп— 1Н^ьр(\т./4) (1.55)

Откуда следует, что

1_ п 1;

|^М£||М£у\т./4) < С4ер-1 ер Суммируя по всем ячейкам, получим оценку:

Н^М^ N. . < С5ер-1 (1.56)

ьр( и £У\т^/4)

Теперь положим в интегральном тождестве (1.51), = и£:

у ^(^М^^М^) =

£У \Т./4

= р J и£^г + у ^М£|Р-^М^и£^г = е У и£^ (1.57)

£У\Т./4 £У\Т./4 дТ./4

Просуммировав (1.57) по всем ячейкам, придем к тождеству:

е У и£^ = р У и^х + У ^М^^М^и^ж

^=1ат ° и. . и.

. /4 и £У\т^/4 и £У\Т^/4

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Манита Оксана Анатольевна, 2016 год

Литература

[1] Philip J.R. N-diffusion // Austral. J. Phys. - 1961. - Vol. 14 - Pp. 1 -13.

[2] Guan M., Zheng L., Zhang X. The similarity solution to a generalized diffusion equation with convection // Advances in dynamical systems and applications — 2006. — Vol. 1 — №2 — Pp. 183 - 189.

[3] Showalter R.E., Walkington, N.J. Diffusion of fluid in a fissured medium with microstructure // SIAM J. Math. Anal. — 1991. — Vol. 22 — Pp. 1702 - 1722.

[4] Antontsev S.N., Diaz J.I., Oliveira H.B. Mathematical models in dynamics of non-newtonian fluids and in glaciology. // Proceedings of the CMNE/CILAMCE Congress / Universidae do Porto. — 2007. — 20 p.

[5] Phillippin G.A. A minimum principle for the problem of torsional creep. // J. Math. Anal. Appl. — 1979. — Vol. 68 — Pp. 526-535.

[6] Kawohl B. On a family of torsional creep problems. // J.reine angew. Math. — 1990. — Vol. 410 — Pp. 1 - 22.

[7] Diaz J.I., Hernandez, Tello L. On the multiplicity of equilibrium solutions to a nonlinear diffusion equation on a manifold arising in climatology // Journal of mathematical analysis and applications. — 1997. — Vol. 216 — Pp. 593 - 613.

[8] Glowinski R., Rappaz J. Approximation of a nonlinear elliptic problem arising in a non-Newtonian fluid model in glaciology // M2AN Math. Model. Numer. Anal. — 2003. — Vol. 37 — №1 — Pp. 175 - 186.

[9] Gomathi R., Vincent Antony Kumar A. Shearlet domain color image inpainting based on p-laplacian operator // European journal of scientific research. — 2012. — Vol. 67 — №3 — pp. 413 - 420.

[10] В.И. Сукретный. Асимптотическое разложение решений третьей краевой задачи для эллиптических уравнений второго порядка в перфорированных областях // Успехи мат. н. — 1984. — Т. 39 — №4 — с. 120 - 121.

[11] С.Е. Пастухова. Метод компенсированной компактности Тартара в усреднении спектра смешанной задачи для эллиптического уравнения в перфорированной области с третьим краевым условием // Мат. сб. — 1995. — Т. 186 — №5 — с. 127-144.

[12] О.А. олейник, Т.А. Шапошникова. О задаче усреднения в частично перфорированной области с граничным условием смешанного типа на границе полостей, содержащим малый параметр. // Дифференциальные уравнения. — 1995. — Т. 31 — №7. — с. 11401150.

[13] Oleinik O.A., Shaposhnikova T.A. On the homogenization of the Poisson equation in partially perforated domains with arbitrary density of cavities anf mixed type conditions on their boundary // Rend. Mat. Acc. Lincei. — 1996. — V. 7. — S. 9. — Pp. 129 - 146.

[14] А.Г. Беляев, А.Л. Пятницкий, Г.А. Чечкин. Усреднение в перфорированной области с осциллирующим третьим краевым условием // Мат. сб. — 2001. — Т. 193 — №7 — с. 3 - 20.

[15] В. Егер, О.А. Олейник, А.С. Шамаев. Об усреднении решений краевой задачи для уравнения Лапласа в частично перфорированной области с краевым условием третьего рода на границе полостей // Труды Моск. Матем. Об-ва. — 1997. — Т. 58 — с. 187 -223.

[16] Berlyand L.V., Goncharenko M.V. The averaging of the diffusion equation in a porous medium with weak absorption // Journal Of Soviet Mathematics. — 1990. — V. 52 — №5

— Pp. 3428 - 3435.

[17] Goncharenko M. The asymptotic behaviour of the third boundary-value problem solutions in domains with fine-grained boundaries // GAKUTO International Series Mathematocal Sciences and Applications. — 1997. — V. 9 — Pp. 203 - 213 — Homogenization and Applications to Material Sciences.

[18] Mel'nik T.A., Sivak O.A. Asymptotic analysis of a boundary-value problem with the nonlinear boundary multiphase interations in a perforated domain // Ukr.Math. J. — 2009.

— V. 61 — Pp. 494 - 512.

[19] Piatnitski A.L., Chiado Piat V. Gamma-convergence approach to variational problems in perforated domains with Fourier boundary conditions // ESAIM COCV. — 2008. — ISSN:1292-8119, DOI:10.1051/COCV:2008073.

[20] Yosifian G.A. On homogenization problems in perforated domains with nonlinear boundary conditions // Applicable Analysis. — 1997. — V. 65 — Pp. 257 - 288.

[21] Yosifian G.A. Homogenization of Some Contact problems for the System of Elasticity in Perforated Domains // Rend.Sem.Mat.Univ.Padova. - 2001. — V. 105 — Pp. 37 - 64.

[22] Yosifian G.A. Some homogenization problems for the system of elasticity with nonlinear boundary conditions in perforated domains // Applicable Analysis. — 1999. — V. 71 — Pp. 379 - 411.

[23] Boukrim L., Hakim A., Mekkaoui T. Quasilinear dirichlet problem in a periodically perforated domain // GLASNIK MATEMATICKI. — 2007. — V. 42 — №62 — Pp. 375 -388.

[24] Lan Tang. Random Homogenization of p-laplacian with obstacles in perforated domain // Communications in partial differential equations. — 2012. — V.37 — №3 — Pp. 538 - 559.

[25] Bystrom J. Correctors for some nonlinear monotone operators // Journal of nonlinear mathematical physics. — 2000. — V. 8 — №1 — Pp. 8 - 30.

[26] Fusco N., Moscariello G. On the homogenization of quasilinear divergence structure operators // Annali di matematica pura ed applicata. — 1986. — V. 146 — №1 — Pp. 1-13.

[27] Т.А. Мельник, О.А. Сивак. Асимптотический анализ параболической полулинейной задачи с нелинейным граничным многофазовым взаимодействиями в перфорированной области // Проблемы Мат. Анализа. — 2009. — Т. 43 — с. 107 - 128.

[28] Abdulle A., Huber M.E., Vilmart, G. Linearized numerical homogenization method for nonlinear monotone parabolic multiscale problems // Multiscale modeling and simulation.

— 2014.

[29] М.Н. Зубова, Т.А. Шапошникова. Об усреднении краевых задач в перфорированных областях с третьим граничным условием и об изменении характера нелинейности задачи в результате усреднения // Дифференциальные уравнения. — 2011. — Т. 47 — №1

— с. 79 - 91.

[30] В. Егер, М. Нойс-Раду, Т.А. Шапошникова. Об усреднении уравнения диффузии в перфорированной области с нелинейным краевым условием на поток на границе полостей и масштабами задачи к новому нелинейному между краевыми условиями и эффективным распределением источников-стоков // Тр. сем. им. И.Г. Петровского. — 2011. — Т. 28 — с. 161 - 181.

[31] Jager W., Neuss-Radu M., Shaposhnikova T.A. Homogenization of a variational inequality for the Laplace operator with nonlinear restriction for the flux on the interior boundary of a perforated domain // Nonlinear Analysis: Real World Applications. — 2014. — V. 15 — Pp. 367 - 380.

[32] Е. Перес, М.Н. Зубова, Т.А. Шапошникова. Задача усреднения в области, перфорированной мелкими изопериметрическими полостями с нелинейным краевым условием

третьего типа на их границе // Доклады Академии Наук. — 2014. — Т. 457. — №5 — с. 520 - 525.

[33] Oleinik O.A., Shaposhnikova T.A. On homogenization problem for the Laplace operator in partially perforated domains with Neumann conditions on the boundary of cavities // Rend. Mat. Acc. Lincei. — 1995. — V. 6 — №9 — Pp. 133 - 142.

[34] Гилбарг Д., Трудингер М. Эллиптические дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка. — М.: Наука, 1989. — 464 с.

[35] Evans Lawrence C. Partial Differential Equations. — American Mathematical Soc., 2010. — 749 pp.

[36] Лионс Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. — М.: Изд-во МИР, 1972. — 587 с.

[37] Олейник О.А.. Иосифьян Г.А., Шамаев А.С. Математические задачи теории сильно неоднородных упругих сред. — М.: изд. Московского Университета, 1990. — 311 с.

[38] Adams R.A. Sobolev Spaces. — London: Academic Press, 1975. — 268 p.

[39] Мазья В.Г. Пространства С.Л. Соболева. — Л.: изд. Ленинградского Университета, 1985. — 416 с.

[40] Скрыпник И.В. Методы исследования нелинейных эллиптических граничных задач. — М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1990. — 448 с.

[41] Гаевский Х., Грегер К., Захариас Х. Нелинейные операторные уравнения и операторные дифференциальные уравнения. — М.: изд. МИР, 1978. — 336 с.

[42] Bystrom J. Sharp constants for some inequalities connected to the p-Laplace operator // Journal of Inequalities in pure and applied mathematics. — 2005/ — V. 6 — №2 — Article 56.

[43] Bognar G., Ronto M. Numerical-analytic investigation of the radially symmetric solutions for some nonlinear PDEs // Computers and mathematics with applications. — 2005. — V. 50 — Pp. 983 - 991.

[44] Cioranescu D., Paulin J.S.J. Homogenization in open sets with holes // Journal of mathematical analysis and applications. — 1979. — V. 71 — Pp. 590 - 607.

[45] Chang K.C. Critical point theory and applications. — Shanghai: Shanghai scientific and technology press, 1986.

[46] Jager W., Neuss-Radu M., Shaposhnikova T.A. Homogenization of the diffusion equation with nonlinear flux condition on the interior boundary of a perforated domain. The influence of the scaling on the nonlinearity in the effective sink-source term // Journal of Mathematical Sciences. - 2011. - V. 179 - №3 - Pp. 446 - 459.

[47] Demengel F., Demengel G. Functional Spaces for the theory of elliptic partial differential equations. — Springer, 2012. — 465 p.