Усреднение краевых задач в областях, содержащих внутреннюю перфорированную границу или тонкие каналы малой длины тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Яблоков, Виктор Владимирович

• Яблоков, Виктор Владимирович
• кандидат физико-математических наук
• 2004

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Яблоков, Виктор Владимирович

0.1 Введение.

0.2 Вспомогательные утверждения.

1 Оператор Лапласа в областях с внутренней перфорированной границей

1.1 Постановка задачи

1.2 Случай распада на две области.

1.3 Случай исчезновения внутренней границы в пределе

1.4 "Критический" случай.

2 Эллиптические задачи в областях с "тонкими" каналами малой длины

• 2.1 Определение областей с "тонкими" каналами.

2.2 Общее эллиптическое уравнение второго порядка.

2.3 Случай наклонных каналов

2.4 Система Ламэ стационарной линейной теории упругости

2.5 Пример доказательства слабой сходимости.

Иллюстрации.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Усреднение краевых задач в областях, содержащих внутреннюю перфорированную границу или тонкие каналы малой длины»

Различные процессы, протекающие в средах с инородными включениями, описываются решениями эллиптических краевых задач с теми или иными граничными условиями, задаваемыми на поверхности включений. При большом числе включений области, в которых ставятся такие краевые задачи, имеют чрезвычайно сложную структуру. Сложная структура области не вносит дополнительных трудностей в доказательство теорем существования и единственности решений краевых задач, однако при нахождении этих решений как точными, так и приближенными методами возникают непреодолимые трудности. Лишь привлекая различные физические соображения, иногда удается приближенно найти основные характеристики изучаемого процесса при помощи замены решений исходных задач решениями более простых задач. В одних случаях решения исходных дифференциальных уравнений с граничными условиями на сложной границе заменяются решениями измененных дифференциальных уравнений, рассматриваемых во всем пространстве. В других — сложная граница в исходной задаче заменяется сравнительно простой поверхностью, на которой задаются так называемые "усредненные" граничные условия.

Подобными задачами занимается бурно развивающаяся в последнее время теория усреднения, имеющая яркую историю, восходящую к работам Пуассона, Максвелла, Рэлея. Как самостоятельная наука теория усреднения была развита в работах таких математиков как Н; С. Бахвалов, В. В. Жиков, В. А. Марченко, Е. Я. Хруслов, Е. Де Джорджи, Ж. Лионе, Ф. Мюра, Э. Санчес-Паленсия, С. Спаньоло, Л. Тартар и многие другие [1, 5, 7, 15, 26, 42, 43, 44, 45, 52]. Особую роль в развитии теории усреднения занимают работы О. А. Олейник и ее учеников [23, 24, 25, 46, 47, 48, 49].

Примерами задач, решаемых теорией усреднения могут служить краевые задачи для уравнений с частными производными, моделирующие процессы в сильно неоднородных средах, перфорированных материалах, задачи с малым параметром при старшей производной, с быстро осциллирующими коэффициентами, задачи со сменой граничного условия на малом участке границы, задачи с частой сменой граничных условий, задачи в областях с быстро осциллирующей границей, с концентрированными массами, в перфорированных областях и многие другие (см., например, работы [1, 5, 13, 15, 23, 26], [42]-[52]).

В 60-ых — 70-ых годах прошлого столетия в работах В. А. Марченко и Е. Я. Хруслова [14, 15, 16] впервые были рассмотрены задачи усреднения в областях с так называемой мелкозернистой границей. Краевое условие в такого рода задачах ставится на границе множества сложной структуры, состоящего, например, из большого количества (как правило, непересекающихся) малых областей, расположенных близко друг к другу. При этом изучается поведение решения, когда число областей неограниченно возрастает, а расстояние между ними и их размеры стремятся к нулю. Задачи в подобного рода областях возникают при исследовании, например, распределения потенциала электрического поля в электронных приборах с густыми управляющими и экранными сетками [20]; дифракции волн различной природы на экранах с большим числом мелких дырок, на решетках с малым периодом, на облаке мелких частиц (антенны, кольцевые и спиральные волноводы, "искусственные диэлектрики") [10]; деформации упругих сред с большим числом мелких неоднородностей (пустот, трещин и.т.п) [28].

При изучении задач с мелкозернистой границей В. А. Марченко и Е. Я. Хруслов использовали достаточно трудоемкую технику вариационных методов и теории потенциала, а также понятие проводи* мости. При этом в рассматриваемых ими задачах обычно доказывалась лишь слабая сходимость, в то время как такой важный и актуальный вопрос как нахождение оценки сходимости решений исходных задач к решениям усредненных не затрагивался. Позднее, методы, разработанные в теории усреднения дифференциальных уравнений с частными производными, позволили получить дальнейшее продвижение в задачах, рассмотренных В. А. Марченко и Е. Я. Хрусловым, для областей со сложной границей, обладающей периодической структурой. ([24, 27, 29, 30, 33, 34, 35, 36, 46, 47] и др.)

В диссертации рассматривается задача усреднения эллиптических уравнений и систем в областях с сильно изрезанной границей, содержащих либо внутреннюю перфорированную границу (области типа "сито"), либо тонкие цилиндрические каналы малой длины, расположенные е-периодически вдоль гиперплоскости. При этом на перфорированной части границы ставится краевое условие Неймана. При исследовании асимптотики решений автор применяет методы теории усреднения дифференциальных операторов, общей теории уравнений в частных производных, а также методы функционального анализа и теории пространств Соболева.

Области, в которых происходит перфорация вдоль некоторого гладкого многообразия и раньше привлекали внимание многих математиков. Например, в работе [47] рассмотрена задача усреднения уравнения Пуассона в тг-мерной области, из которой выкинуты n-мерные множества, расположенные вдоль многообразия.

Первая глава посвящена задаче усреднения решений уравнения Пуассона в областях с перфорированной внутренней границей, состоящих из двух частей, соединенных "дырками" на внутренней границе, разделяющей части. Диаметры "дырок" а£ < С\£, их количество N£ < С2£1~п, где е > 0 — малый параметр, п — размерность пространства. Здесь и далее все константы Ср = const > 0, Кр = const > 0, р G N, не зависят от £. На внешней границе ставится нулевое условие Дирихле, на внутренней границе — условие Неймана.

Сформулируем основные результаты, полученные в первой главе. Пусть О, — ограниченная область в Rra, п > 2, с гладкой границей dQ = Г. Положим х = (xi,., хп), х = (х2,., хп), 7 = {х : х\ = 0} П О ^ 0, = П П {xi > 0}, = П П {xi < 0}, Г+ = ГП{х1> 0}, Г~ = Г П {хх < 0}, точки Р/ е 7, j = 1,., Ne. Обозначим через G{ область, такую, что

Gi С 7, Pi е G{, G{ С {x:\x- РЦ < а£}, j = 1,., Ne, а£ < С3£.

Положим G£ = U G3e, 7е = 7 \ Ge и рассмотрим область с перфориро

3=1 ванной внутренней границей (область типа "сито") Qe = U U Ge. (Рис. 1)

В параграфах 1.2-1.4 при заданной функции /(х) е Z^OT исследуется асимптотика при е —► 0 решения задачи

-Aue = f в Qe, и£ = 0 на Г, (01) ди£ д7Г° на 7е'

Решение задачи (0.1) понимается в смысле интегрального тождества, то есть функция и£ является решением задачи (0.1), если и£ £ H1(Qe, Г) и при любой <р € Я1(Ое, Г) справедливо

J{sju£, v<ri dx = J ftp dx.

Напомним, что соболевское пространство H1(QS, Г) вводится как замыкание множества С°°(Пе,Г) бесконечно дифференцируемых функций, равных нулю в окрестности Г, по норме

1МИое,г)= ^ J (u2 + \vu\2) d^j .

Существование и единственность обобщенного решения задачи (0.1) доказывается с помощью леммы Рисса.

Из последовательностей {е} и {а£} можно выделить подпоследовательности {е} и {ае'}, удовлетворяющие одному из следующих трех условий (можно считать, что {е} и {а£>} совпадают со всем множеством пар {е} и {ае}) ап-2£1-п о при п > 3, I In ае|1£1 0 при п = 2; (0.2) a"~V~n —► оо при п > 3, 11пае|-1£-1 —► оо при п = 2; (0.3) а™-2е1~п —> А = const > 0 при п > 3, | In а£l"1^-1 А = const > 0 при п = 2. (0.4)

При достаточно общих условиях в каждом из случаев (0.2)-(0.4) автор исследует асимптотику решения задачи (0.1) при е —» 0, выписывает предельную задачу, доказывает сходимость последовательности ие к решению усредненной задачи, а также находит оценку ее скорости.

В параграфе 1.2 исследован случай (0.2) и доказана следующая теорема

Теорема 1 Пусть ие — обобщенное решение задачи (0.1). Предположим, что а™~2е1~п —♦ 0 (е —► 0) при п > 3 и | lnae|-1£1 —> 0 (е —> 0) при п = 2, тогда и£ слабо в Я1^^ Г^-) сходится к решению и{рс) следующей задачи -Аи = f(x) в и = 0 на I* (0 5) ди = 0 на 7. ох 1

Если от предельной функции и(х) потребовать класс гладкости С1 (£2+) П С1^-), то удается доказать оценку близости ие к и в норме

IK - «||Я»(П±) = ^ J (К - и? + I V («е - ^)|2) ^ » точнее имеет место теорема

Теорема 2 Пусть и£ — решение задачи (0.1), аи — решение задачи (0.5). Предположим, что и е C^fi+JnC1^-), тогда если a"~2sl~n —► 0 (е —> 0) при п > 3 и 11па£|-1£-1 —»■ 0 (е —*■ 0) при п = 2, то имеют место оценки

Ik - и||я1(п+) + К - < K^-h1-71 —> 0 (е 0, п > 3); ие - «Ия1(П+) + IK - и\\2Ю{п-) ^ K<A lnael"1^"1 —> 0 {е 0, п = 2).

В параграфе 1.3 рассмотрен случай (0.3) и доказана следующая теорема

Теорема 3 Пусть область Qs такова, что точки Р/ € 7 расположены в узлах е-периодической решетки, G{ = {х : \х — Р/| < ае}, и£ — решение задачи (0.1), a v(х) — решение задачи

-Av = f(x) в П, v = 0 на Г.

Предположим, что а2~пеп 1 —► 0 (е 0) при п > 3 и | \na£\s —► 0 (е —> 0) при п = 2, тогда имеют место оценки ие ~ v\\2Hi(ne) ^ Кзу/а^е^+е 0 (е 0, п > 3);

К - v\\m(sie) ^ Kiy/\\nas\e 0 {е 0,п = 2).

В параграфе 1.4 исследован так называемый "критический" случай (0.4) предельного поведения решений и£ задачи (0.1) в областях вида О = {х е W1 : -I < xi < Z, 0 < Xi < 1, i = 2,. ,n, I = const > 0}, Г+ = {x e dQ, xl = /}, Г" = {x e дП, xx = -l}, Г = Г+ U Г", е-1 G N, точки Р/ находятся в узлах е-периодической решетки, G{ — (п — 1)-мерные шары радиусов а£ с центрами в Р/, j = 1,., iVe, АГе = е1п. (См. Рис. 4) Имеет место следующая теорема

71—2,~1—71 ie е м v являются решениями следующих задач

Теорема 4 Пусть при п > 3 lim a™~2el п А = const > 0, а функции ие е—>0

-Аи£ = f(x) в Q£, и£ = 0 на Г, due п (0.6) и£ — 1-периодическая по х функция;

-A V = f(x) в v = 0 на Г,

9v'/ гл -л dv . лГ , (0.7) aS^ = а£Г(м) = ^ 7' v — 1 -периодическая по х функция, где [v] = v(+0, х) — v{—0, х),

Л = — — I —— dy = const > О,

Go+0 гармоническая в EJ \ Go функция, равная 1 на Go = {у G 2/1 = 0, \у\ < 1} и стремящаяся к нулю при \у\ —> оо.

Тогда последовательность ие слабо в г/ Я1(П~) сходится к функции v и для произвольных функций <р+ £ Я1(Г2+, Г+), £ Г~)

J(V(«e - v),V<P+) dx + J(v(«e - v)» W-) = <?-)>■

П+ nгде |F£(v?+,v?)| < = const - не зависит от е.

Отметим, что краевое условие на гиперплоскости 7 в задаче (0.7) без строгого математического доказательства ранее выписывалось Э. Сан-чес-Паленсией в [50].

В предположении v 6 C2(Q+) П C2{Q.~) справедлива

Теорема 5 Пусть щ — обобщенное решение задачи (0.6), a v еC2(Q+), v е C2(Q~) — решение задачи (0.7). Предположим, что \ima^~2£1~"n —► е—»0

А = const > 0 при п > 3, тогда справедлива оценка

К- v\\hm + К - *11ячп-) < + |аГ2е"-1 - Л|).

Самая содержательная часть доказательства теорем 1-3 опубликована автором в работе [37]. "Критический" случай и теорема 4 рассмотрены в [38].

Глава 2 посвящена изучению эллиптических задач в областях с "тонкими" каналами малой длины. В параграфе 2.1 вводится определение такого рода областей.

Пусть область О, ограничена в Rn,n > 3, дО. = Г — гладкая. Положим = Qn{rci > 0}, ГГ = Qn{xi < 0}, 7 = Qn{:ci = 0} ^ 0. Введем цилиндр п Ne

Т? = {0 < XI < £q, q = const > 0, < а2е}. Пусть Т£ = U Т/ - объг=2 з=1 единение цилиндров вида + ez, целиком лежащих внутри области fJ, где -г € Zni — множество векторов вида (0,., zn) с целочисленными координатами 2jGZ,i = 2,.,n. Обозначим через Р/ = (0, i*?2>• • •»-^п) центр нижнего (лежащего на гиперповерхности 7) основания цилиндра Т/, j = l,.,Ne.

Положим = П {XI > £*}, 7е = Q+ П {X1 = eq}, Г+ = Г П Г" = Г П дП~, Г£ = Г+ U Г" G! = 7 П дГе, 7g = 7 \ G°e, G\ = Ъ П дТ£, 71е = 7e\GlS£ = dT£\(G°EUGl).

Областью с "тонкими" каналами будем называть область вида

П£ = U U Т£ U G°£ U Gl, (0.8) когда радиус ае основания цилиндров Т£ мал по сравнению с длиной образующей, то есть а£ = o{eq) {е —► 0), q = const > 0. (Рис. 9) В параграфе 2.2 изучена задача

1[щ] - -щ- = Пх) в tie = 0 на Г£, (0.9) ди о(и£) = Vmamk—^- = 0 на дП£ \ Ге, дхк где f(x) 6 Хг(О); v = {у\,., i/n) — вектор внешней единичной нормали к дО,£; amk(x) = ajkm(x), гп,к = 1,. ,п, — гладкие в Q функции, удовлетворяющие для произвольного вектора £ = (£1 >•••>£«) условию равномерной

ЭЛЛИПТИЧНОСТИ < amk(x)€k€m < /4г|£|2? Ml = Const > 0, /i2 = COIlSt■> 0.

Справедлива следующая теорема

Теорема 6 Пусть А(х) = {amk(x)}mk=vB(x) — минор элемента ац(х) матрицы А, матрица Bi(x) получается из В(х) заменой (г — 1)-го столбца на вектор (—a2i(x),., — ап\{х)У, i = 2,.,п, В\ = В, /3(0,я) = Л = Ит«п1а"1£1-П~9 = const > 0, где «пi — объем п — 1У мерного единичного шара, а£ = o(eq), г —► 0, q = const > 0.

Тогда если и£ — обобщенное решение задачи (0.9), a v е С2(Г2~) П C2(fi+) — решение задачи

L[v] = f{x) в dv ОХ к xi=+0 dv дхк /?( 0,х)И на 7, (0.10) а?1=-0 v = 0 на Г, где [г;] = г;(+0,а:) — v(—0,х) — скачок функции v на гиперповерхности 7, то имеет место оценка

Ne п det Bi

3=1 г=1 К7(е* + + IА - Кп-laJ-V-^l).

Отметим, что случай, когда матрица А(х) является единичной, рассмотрен Т. А. Шапошниковой в работе [35].

В параграфе 2.3 рассмотрена область с "тонкими" наклонными каналами малой длины, когда образующие цилиндров Т£ параллельны вектору I — о;-1,0,., 0}, а = const > 0, при этом цилиндр 7J имеет п вид 7J = {(х2 - оГ1х 1)2 + ^ xl < 0 < Xi < eq, q = const > 0}. г=3

В области Г2е (Рис. 11) изучена задача

-А и£ и£ = 0 ди£ ди f(x) в П£, на Ге, 0 на дП£\Ге

0.11)

Показано, что для оператора Лапласа угол наклона, который вектор I образует с плоскостью 7, никак не сказывается на предельном поведении и£, точнее, имеет место

Теорема 7 Пусть функция и£ — обобщенное решение задачи (0.11), а v G C2(Q~),v е C2(fi+) — решение задачи f-Av = f(x) в dv dv dxi Xl=+o v = 0 на дх\ АМ на

7,

0.12) xi=—0

Г.

Тогда если lim«:nio" 1е1~те9 = А = const > 0, где кп-\ — объем е—>0 n— 1 )-мерного единичного шарау ае = о(е9), е —► 0, q = const > 0, то имеет место оценка xi + а 1Х2

К - И1ячпе+) + W- v|||ri(n-) + К -v + (l- ' '"*)М(я011ячг«) ^ К8(е% + Va£s~q + у/ё + |А - Лп-юГ^1"""'!),

10 где Хч = хч — Р/2 6 j = 1,., Ne, Р3е 2 ~ вторая координата центра лежащего на 7 основания наклонного цилиндра Т/.

Замечание 1 В общем случае в области с "тонкими" наклонными каналами Т£, образующие которых параллельны произвольному вектору п ^ вида (1 + 2 с[2)~ 2 (1, С21,., с"1), С2,.,Сп = const Ф 0, при условии спраi=2 ведливости предположений теоремы 7 задача (0.12) будет предельной для (0.11), кроме того справедлива оценка ^ + • •'+ с~п1ХпШ2т{Те) < К9{£2 + sjaee~4 4- уД + |Л - к^а^е1"71'4]), где Xi = xi - P3ei в Tg, j = 1,., N£, i — 2,., n, P^ — i-я координата центра лежащего на 7 основания наклонного цилиндра Tg.

В параграфе 2.4 изучена задача Неймана для системы Ламэ стационарной линейной теории упругости. В области Qe С М2 вида (0.8) рассмотрена задача

0.13) дхк а(и£) = vmAmk-^- = 0 на дП здесь v = (ui,i/2) — вектор внешней единичной нормали к Qe; и£ = (ul(x),u2(x)Y — вектор-столбец; Атк — матрицы 2 х 2 с компонентами ag* = X5im5dk 4- цйшбтк + p,6ik5mdt где Л = const > 0, ц — const > 0 - постоянные Ламэ, 5id — символ Кронекера.

При условии выполнения следующего "критического" соотношения между параметрами е, а£ и q = const > 0 lim а£e~l~q = /3 = const > 0, имеет место теорема

Теорема 8 Пусть lim a£e~l~q = (3 = const > 0, q = const > 0, функ0 ция u£ — обобщенное решение задачи (0.13), a v = (vi,г^)4 G С2(Г2~) П

С2(П+) — решение задачи АН = /(а?) в U ГГ, fdv\ (А + 2/i)2 — А2 ,

Г fe^= ш 7'

Лёл=0 " 7> ч a(v) = 0 на Г, где = Х2)—v\{—0, xi) — скачок первой компоненты вектор-функции v, (v)i — г-я компонента вектора, г = 1,2, А, ц — постоянные Ламэ, тогда имеет место оценка

J(ие -v)2dx + J I V (ие - v)\2 dx + J I V (ue - v)\2 dx < n Km (e* + y/e\ lnae| 4- \(3 - a^"1"9!) .

В теоремах 6-8 предполагался класс C2(f2+) П C2(Q~) гладкости предельной функции v. В параграфе 2.5 без ограничений на гладкость v на примере оператора L[u] = — ]Г] (ctmk(x)-§^-j доказывается слаm,k=1 Хт ^ к ' бая в Н1 сходимость и£ к v. При этом для удобства считается, что = {х (xi ~~ £9iz) € а область с "тонкими" каналами как обычно вводится как П£ = U U Т£ U G] U G®. Имеет место следующая теорема

Теорема 9 Пусть функция и£ — обобщенное решение задачи (0.9), а v — решение задачи (0.10). Тогда если \\m.Kn-ia^~l£l~n~q = Л = const > 0, где кп-1 — объем (п — 1 ^-мерного единичного шара, ае = o{eq), е —> 0, q = const > 0, то и£-^и при е —> 0 в Н1(р,~) и и£{х\ + eq, х) —1> и при е —> 0 в Н1(П+).

Теорема 6 и основные результаты параграфа 2.2 изложены в статье [41], случай наклонных каналов и теорема 7 рассмотрены в [39], теорема 8 опубликована в [40]. Благодарности

Автор искренне благодарен своему научному руководителю доктору физико-математических наук, профессору Татьяне Ардолионовне Шапошниковой за постановку задач и постоянное внимание к работе.

0.2 Вспомогательные утверждения

В этом параграфе сформулируем ряд утверждений из функционального анализа, которые нам будут необходимы в дальнейшем.

Для доказательства теорем существования и единственности решений различных краевых задач неоднократно будут применяться теоремы Рис-са и Лакса—Мильграма. (См. [8], [17])

Лемма (Рисса) Пусть на гильбертовом пространстве Н задан ограниченный линейный функционал F. Тогда существует однозначно определенный элемент ур, такой, что для любого h ЕН имеем F(h) = (h, ур), причем ||F|| = Ы|.

Лемма (Лакса—Мильграма) Пусть И — гильбертово пространство и а[и, ф\ — билинейная форма, определённая на Н хН, такая, что а[щи]| > Ci = const > 0, (0.14) а[и,(р]\ < С2\\и\\н \\<р\\н, С2 = const > 0. (0.15)

Тогда для любого линейного непрерывного функционала I на Л существует единственный элемент и Е Н, такой, что 1{ф) = а(и,(р) для любого <р Е Н.

На основе следующей леммы можно утверждать о существовании предела у ограниченных в Я1 последовательностей.

Лемма (Реллиха)

Пусть 17 — ограниченная область в Мп с липшицевой границей, {ггд}, Uh Е Н1(£1) — последовательность функций, ограниченных в Нравномерно по h, тогда существует функция щ Е Н1{0) и подпоследовательность {ир} с {uh}, такая, что ир —> uq сильно в дир дщ . . слабо в Ь2\и), i = 1,. ,п,

CsXi C/u/J при Р —> +00.

В [12] доказано неравенство Фридрихса в следующей форме:

Лемма (Неравенство Фридрихса) Пусть £1 — ограниченная область в М™ с липшицевой границей и L — подмножество Ш, имеющее ненулевую меру Лебега на dVL. Тогда при любой g(x) Е Hl(Q.,L) справедливо неравенство

Ы\1т < c*\\v9\\lm, с константой Сз = const > 0, не зависящей от д(х). Если L — Ш, то оценка справедлива для любой ограниченной области Q.

В пространстве Н1^) аналогом неравенства Фридрихса является неравенство Пуанкаре.

Лемма (Неравенство Пуанкаре) Пусть и € Hl(Q) и Q — звездная относительно шара Q. Тогда имеет место неравенство

Ju2dx < Ci(rt,Q,n) vjudx j + C5(Q,Q,n) J | v u\2dx. n Xn ) n

Следующая лемма описывает свойства функций, заданных в липши-цевых областях. Эти свойства вытекают из более общих результатов, полные доказательства которых можно найти, например, в [3, 9; 31]1

Лемма Пусть О, — ограниченная область в Мте с липшицевой границей. Тогда

1. Если с — область в Rn, то всякая функция v б Я!(П) продолжается в 17° до функции v е Н^ОР), такой, что ||i;||#i(fi0) < СвЦг^Ця^п), где постоянная Cq зависит только от области Q.

2. Любая функция w G Я1 (Q) имеет след на д£1 и выполняется неравенство \\<ш\\Ыдп) < C7\\w\\Hi{n).

3. Если 1 — | + 7 > 0, то для любой функции и Е if1 (£7) справедливо неравенство < СвЦиЦя^п), где постоянная не зависит от и.

Следующая лемма (См. [18]) указывает связь между гладкостью решения задачи Дирихле для уравнения Пуассона и гладкостью границы области и правой части оператора.

Лемма (О гладкости обобщенных решений) £слм / е Hk(Q), д£1 G Qk+2 При неКотором к > 0, то обобщенное решение и(х) первой краевой задачи

Аи = f в и = 0 на дО, принадлежит Hk+2(Q) и удовлетворяет неравенству |Н|я*+2(п) < С9||/||я*(п)> Cg = const > 0 не зависит от О.

Сформулируем оценку для производной гармонической функции на бесконечности, доказанную, например, в [19].

Лемма (Об оценке производной гармонической функции на бесконечности) Пусть и{х) — функция, гармоническая в бесконечной области П сГ,п > 2 с конечной границей Г. Тогда для достаточно боль ших |х| и любого мулыпииндекса а справедливо неравенство \Dau(x)\ < , где к = |а|, а С(а) не зависит от х.

Перейдем к формулировке и доказательству еще одной важной леммы, впервые появившейся в работах [35, 36]. Обозначим через О, С Rn,n > 2, область с липшицевой границей, 7 = О, П {х : х\ = 0} Ф 0 —гиперплоскость, разбивающая St на две подобласти — Q П {xi > 0} и = Г2 П {xi < 0}, (Т\ С {х : xi = 0} — множество, диффеоморфное п — 1)-мерному шару, ае = а£а\. Пусть Ge = |J (а£ + ez) = |J где z€Zn-i 3=1

Zni — множество векторов вида {0,2:2,., zn} с целочисленными координатами Zi б Z, г — 2,.,п, а суммирование ведется по тем 2; е Zni, для которых множество о£ + ez целиком лежит внутри 7. Положим 7е = 7 \ G£. (Рис. 12) Имеет место утверждение:

Лемма 1 Пусть е и а£ — малые параметры, а£ = о(е9), q = const > 0. Предположим, ^mo lim|<ri | a"-1 e1n9 = А = const > 0, п > 2, тогда для произвольной функции д(х) 6 имеет место оценки: К\ (|А - \ct\\a™~l£l~n~q\ + + + уД^) ||^||я1(п+)> (п > 3);

Для случая, когда а\ — шар и п > 3, доказательство леммы можно найти в [35]. Ввиду важности, мы приведем полное доказательство для случая произвольной диффеоморфной (п — 1)-мерному шару области ст\.

Для доказательства леммы 1 нам понадобится ряд утверждений, имеющих самостоятельную ценность. Пусть Qi с 1" — куб с единичным ребром: Q\ = {х : 0 < Xi < 1,г = 1,.,n}, Qe = eQ\.

В [49] доказано неравенство Пуанкаре следующего вида:

Лемма 2 (Неравенство Пуанкаре в области У^) Пусть У£ = Q£ \ а£Т\, где Т\ Е Qi,a£ < е,Т\ состоит из конечного числа компонент, каждая К2 (|А - |<7i|a£6:~1-9| + л/Щ^Л) 1Ы1ячп+), (п = 2). из которых диффеоморфна шару. Тогда для произвольной функции и €

Hx{Ye), (и) = f udx = 0, справедливо неравенство Пуанкаре Ye

Ы\ы¥е)<К3е\\уи\\Ы¥е).

Доказательство леммы 2. Заметим, что существует функция й G Hl{Qe), такая, что й = и в Ye и

II Vxu\\l2{qs) < к<\\ Vxu\\b2(Xe). (0.16)

Действительно, введем новые переменные у = J и рассмотрим область a~lYe = a~leQ \ Т\. Поскольку аее~1 —0 при е —► 0, можно взять куб Qi, грани которого параллельны граням куба Qe и Т\ С Q\.

Для произвольной функции и G Hl(Q\\T\) мы можем построить продолжение V, такое, что || Vy^lU2(Qi) ^ КЛ Vj/ ^lb2(Qi\ri)- Доказательство этого факта можно найти, например, в [23]. Отсюда, переходя к переменных х, получаем оценку || V*Чим,) < V*u|Il2K(QлТг)). Таким образом, можно положить ( v при х 6 аеТ\, \ и при х е Ye \ аеТ\.

Для произвольных точек Р = (zf,., х%), Р' = (xf ,., х„ ) G Ye имеем / р р

Xi Х2 и(Р') = и{Р) + J ,.,x£)dxi + J , Я2, ,., ) dx2+ хр дй ( р р . j • • •} dxn.

Из этого представляния выводим о о 2 dxn .

Проинтегрировав последнее неравенство по Р' G и Р £ Ye, полним

2|У£| J и2 dx -2 (J udx\ <K8e2\Y£\ J \sjxu\2dx.

Ye Ve / Ye

Отсюда, используя (0.16) а также то, что (и)уе = 0, получаем

J и2 dx < Кд£2 J | V* и\2 dx.

Уе Уе

В работе [48] доказана

Лемма 3 Пусть У£ = Qe\ а£Т\, где Т\ е Qi,ae < s,Ti состоит из конечного числа компонент, каждая из которых диффеоморфна шару. Тогда для произвольной и Е Н1 (Ye) справедливы оценки

МыаЖ) < КюЬГ^ЫЪю + ае\\ v tielliя(п)) (п > 3);

Nil2(аедТг) < Ku(a££-2\\u\\l2{Ye) + а£\Infill V ме||L2(YE)) (п = 2). ае

Поскольку доказательство леммы 3 опубликовано лишь в англоязычной литературе, приведем его здесь полностью.

Доказательство леммы 3. Для простоты будем предполагать, что Т\ — шар радиуса р < \ и его центр совпадает с центром куба Qe. (Рис. 7) Пусть Р Е а£дТ\,Р' G p~lrdT\,a£p < г < |р, точки Р,Р' лежат на некотором радиус-векторе. Очевидно справедливо неравенство

Чр и аер iP)<2v?(P')+2(j\^;\dr)

Отсюда получаем и2(Р) < 2и2(Р') + 2 \р f ,ди

J 2

-п с-") , , .

Г 2 dr I < fleP hp hp 2u\P') + 2 jr*-»dr J ф V"1 eP

Таким образом справедливы оценки и\Р) < 2и\Р') + -1-{а£р)2-п [ п-1 J dr ди2 дг rn~l dr, п > 3; аер р 2 и2{Р)<2и\Р') + 2\\п^-\ 1Щ rdr,

71 = 2. аер

Умножая последнее неравенство на J(a£p), где J(r) = гп~1Ф(ф\,., фп-1) — якобиан преобразования к сферическим координатам и интегрируя по углам фх,., фп-1, получаем

J и2 ds < Kl2{an~lju2{P,)Фdфl.dфn-l+ae\\yxu\\2LщVae)), п > 3; aedTi

Si

J и2 ds < K13(a£j u2(P')Фdф^. dфn-.1 + a£\In V* ^lli2(r§\r0e))> ^ = 2, aedT\ Si где Si — сфера в Rn радиуса l,Ta — шар радиуса ар с центром в центре Т\. Умножая последние неравенства на гп~1 и интегрируя по Рг G (а£р, |р), при п> 3 выводим оценку п п аналогично, при п = 2 имеем i6(j-a£)||w||L2(ae9T1)<^i7(ae|kllL2(T§\Tes)+a£|ln—\(j-ai)\\Vxu\\L2{T^TJ.

Отсюда следует справедливость утверждения леммы 3. Докажем еще одну лемму

Лемма 4 Пусть Т\ — диффеоморфная n-мерному шару область, а\ = Ti П {xi = 0} ф 0. Положим а£ = а£аиТ+ = (а£Т{) П {xt > 0} ^ 0,5+ = (дТ+) П {х\ > 0}. Тогда имеет место оценка - Х Judx\<Kl8 | Juds\ + ag(J \\j u\2 dx)%

Sae

T+ j-ae

Доказательство леммы 4. Введем функцию rj(y), у = f-, являющуюся решением задачи f Ayrj = 0, у € Т+ = aj1^, ^ = 1

S77 |ai| + -1о+

Yv = на ^ = на о\ = ae Ve,

0.17)

Wix}- = рЦ J ^dy = 0.

1 т? где и — внешняя единичная нормаль.

Ввиду выполнения условия разрешимости задачи Неймана ( f ^ds = dTf

0), проблема (0.17) имеет единственное решение г)(у), для которого IMI^ipH-) < -^19- Рассмотрим функцию г}£(х) = а£г}{J). Легко видеть, что rj£(x) является решением задачи f Axrje = 0 при XGT+, дг]£ дй= на ае' (0.18) - -М на S+

I dv ~ |fif |

Далее нам понадобится оценка для || Vx Tle\\2L2(T+) :

J I V* Ve\2 dx = ап£а\а~2 J \ v„ т]\2 dy < К20апе. (0.19)

Для произвольной функции и € Н1{Т+) по формуле Грина получаем

0 = J AxT]eudx = J и dx — -j^j- J uds — JS?u) dx. (0.20)

Tae Tag

Из (0.19) и (0.20) следует оценка

J udx - Juds\ = I J(syrje, v«) dx\ <

5+ T+ II V4L2(t+)II V^IL2(t+) < K2iai\\ V"IL2(t+)-Следовательно, J udx\<K22(\ J uds\ + ai\\ V^IL2(t+))si.

Итак, лемма 4 доказана. Доказательство леммы 1.

Если функция д(х) постоянна, то утверждение леммы 1 очевидно. Далее будем предполагать, что || v #Н|2(п+) Положим 7* = dQe П {х\ = =dQs П{х1 = 0}.

Определим 0£(х) как решение задачи f Лв£ = 0 В Qe, д&£ 1 я— = 1 на а£, дв1 на 7е, где ц£ = = [сг^а?" д©1 (0.21) -^ = 0 на dQe\tf£U(T£),

I Г е£ dx = о.

Qe

Используя формулу Грина, для произвольной g(x) 6 Я1(П+) получаем: J(V9,\7®e)dx = j gdx-ц£ J gdx. (0.22)

Qe <** il

Из (0.22) выводим оценку

J gdx- J gdx | < J \g\dx + -^\ J gdx-fi£ J gdx | <

II 7i ll A1|A — n£s~q\ J \g\dx + -^\ J {\79j V©e) dx\ < A-1|A — fi£e~q\ J \g\dx+

71 Qe 7e

A-1<r*|| V^IU2(ge)ll V©£|U2(Qe). (0.23)

Перейдем к оценке || v ©elU2(<?e)- Из интегрального тождества для задачи (0.21) получаем равенство

J | V @е|2 dx = fi£ J e£dx - J Qe dx. (0.24)

Qe 7e

Рассмотрим слагаемые в правой части (0.24). Применяя к функции Ое(х) лемму 4, имеем

J Q£dx | < J Q£ds\ +of|| vee|U2(Q£)) n-1) n ^24(ae 2 ||e£||Z2(5e+e) + aj|| v e£|U2(Qe)).

Используя леммы 3 и 2, при п > 3 выводим JQedxI < K25af^ (аГ1е-пШ12Ш + ae|| V ©HlW))" +

Ое

K26alII V ee|U2(Q£) < K21a^{an-ls2-n\\ V ©еЦ^ед.) + «е|| V @£|li2(Qe))"+

K26al\\ V @elU2(Q£) < к28а]\\ V 6elk(Q,). Аналогично, при п = 2 имеем

J Q£dx I < ^-2||e£||i2(Qe) + ae| infill v e.llW)) 2

30^11 V @e|U2(Q£) + ae\/un~"lll V @e|U2(Qe). (0.26)

V ae

Для первого слагаемого правой части (0.24), учитывая, что у = имеем J Q£dx\<en~l\ J e£dy\<K31en~l(J G2£dy + JI Vy ®e|2 dv)* =

7e e-1!) Ql Ql Kzlen-l{e~n jQ2dx+e~ne2J \S7xQ£\2dx)^ < K32e*|| уве|к(д.). (0.27) Qe Qs

Таким образом, из (0.24)-(0.27) получаем оценки

II V e*IU2«W < К33(а! + efyj (n > 3); (0.28)

II V©e|U2(Q£) < ^34(an/|ln-|+^e) (n = 2). (0.29) V

Подставляя неравенства (0.28), (0.29) в (0.23), для произвольных Ji = = const > 0,52 = 62(e) = const > 0 при n > 3 выводим

Jgdx—Jgdx\ < K35(al£-q+eh~^£)\\Ч9\\ь2т+Х~1\Х~J\g\dx < cre 71 71 KZb{a-e-24^ + Jill v9\?Шш) + Ы V 9\\l2{Qe) + enц2£е~2Ч21)+

А1|А - fie£-q\ J \g\dx (n > 3). (0.30)

7i

Аналогично, при n = 2 имеем

Jgdx—Jgdx\ < K3b{a]\ InLy^+(51+h)\\VgfLAQ,)+e2Ae-'24^)+

7J l\\-H££-q\ J \g\dx (n = 2). (0.31)

7l

Просуммируем неравенства (0.31), (0.30) по всем множествам вида а£, составляющим Ge, получим -^Jgdx- J gdx\<\~l\\-fi££-q\ J \g\ dx + у£|Ы1#ЧП+)+

Ge 7+exi 7+exx № + <У || V <7|li2(n+) + (n > 3); (0.32)

J gdx\<\-l\X-fi££-q\ J \g\dx+y/£\\g\\HHSl+)+

Ge 7+£Xi 7+exi

37(a?|ln—le^Jf^-^^iH-Ja)!^^!!^^)^^?^-2^1) (n = 2). (0.33)

Отметим, что член >/ё||5'||я1(п+) возник из-за тех ячеек, которые попали в окрестность дП.

Полагая в (0.32) 5Х = y/ae£~q|| V <711^+) > 0,<52 = V^ll V > 0 и учитывая, что а£ = o(£q),£ —> 0, ползаем оценку

Jgdx— Jgdx\<K2%\\-ii££-q\ J \g\ dx+K39(^a££-i+y/i)\\ V^IU2(n+) <

Ge 7+exi 7+exi KA0(V^F~q + + |A - Wi\ar1£1~n~q\)\\g\\m(Q+) (n > 3). (0.34) При n = 2 возьмем в (0.33) Ji = In v ^llZ^n*) > = v^ll V ^IIZ2W) > 0 : j^Jgdx- J gdx\ < KAi\X ~ fie£~q\ J \g\dx+

Ge 7+exi 7+exi

КА2Ы£\\ъае\ + л/е)\\ Vд\\ь2{я+) < |А- W^e-^nWgWm^) (п = 2). (0.35)

Используя очевидную оценку

Jgdx-Jgdx\ < \ Jgdx|+| Jgdx- J gdxМд^ Jgdx- J gdx| <

Ge ъ Ge 7 j+exi Ge j+exi у/ЩЫ\ь2Ь) + Veil + I f gdx- J gdx\,

Ge ■y+exi получаем:

Jgdx—Jgdx\ < ^44(^+л/е+е^+|А--|а1|аГ1е1-п-«|)||5||ячп+), n > 3;

Ge 7e

J gdx-J gdx | < y/e\ lnae|+e*-|-|A-|<7i|aee 1 w = 2

Те

Что и завершает доказательство леммы 1.

Следующая лемма [48] позволяет оценивать Z/2-норму функции в областях диаметра е с выкинутыми диффеоморфными шару множествами диаметра а£. Пусть Qe = {х : \xi\ < §,i = 1,.,п}—куб в Mn с ребром е, Тае — {х : \х\ < а£}—шар радиуса а£, Sae = дТа£. В области Уе = Qe\ Тае(Рис. 7) справедлива лемма

Лемма 5 Для произвольной функции е Нх(Ye) имеют, место оценки

Jty2£dx< K46(a1£-n6n Jv2eds + а2~п£п J | V Фе|2 dx), п > 3;

So,

J Ф2 dx < К/я{а~1£2 J Ф2 ds +1 lnae|£2 J \yVe\2dx), n = 2.

Ye Sae Ye

В параграфе 1.3 нам понадобится несколько измененная формулировка леммы 5.

Лемма 6 Пусть Q+ = {х : х\ > 0, \xi\ < §, г — 2,., га}, Т+ = {х : х\ > 0, |а;| < а£}, 5+ = Ye+ = Qf \ Т+. Тогда для произвольной функции Фе G имеют место оценки f У2 dx< К&{а\-п£п J V2eds + а2~пеп J | v Фе|2 dx), п > 3;

S+ Y+

J ^2edx < Kw{a~l£2 J V2eds + \\na£\£2 J | V 2 dx), n = 2.

Ye+ s+ Y+

Доказательство этого утверждения за небольшим изменением повторяет доказательство леммы 5 и по своему подходу аналогично рассуждениям леммы 3.

Сформулируем ряд утверждений, относящихся к линейной теории упругости, которые будут нам необходимы в параграфе 2.4.

Пусть и(х) = {щ(х),., ип(х)У — вектор-столбец с компонетами щ(х) G

Я,(П), i = l,.,n; е(и£) = {emk(ue)}Zjc=1 = ШШ + S^K^-i - тензор деформаций. В [23] доказано неравенство Корна в следующей форме:

Лемма (Неравенство Корна) Пусть — ограниченная область с липшицевой границей. Тогда для любой вектор-функции и Е Н1 (Г2) справедливо неравенство

1М1ячп) < С10(\\е(и)\\ЫП) + IMU2(n))с постоянной Сю, зависящей только от Q.

Кроме того, если гиперповерхность 7 € Q представляется в виде х\ = (р{х), где х = (х2,., хп) пробегает открытое множество в а ip(x) — непрерывная функция, тогда если и е Я1 ($7,7), то

1М1ячп) <Cn\Hu)\\Lm.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Яблоков, Виктор Владимирович, 2004 год

1. Бахвалов Н. С., Панасенко Г. П. Осреднение процесов в периодических средах. М.: Наука, 1984, 352 стр. (Bakhvalov N. S., Panasenko G. P. Homogenization: Averaging Processes in Periodic Media. Kluwer, Dordrecht-Boston-London, 1989)

2. Берс Л., Джон Ф., Шехтер М. Уравнения с частными производными. М.: Мир, 1966.

3. Бесов О. В., Ильин В. П., Никольский С. М. Интегральные представления функций и теоремы вложения. М.: Наука, 1975. 478 стр.

4. Дюво Г., Лионе К. С. Неравенства в механике и физике. М.: Наука, 1980.

5. Жиков В. В., Пастухова С. Е. О неравенствах Корна на тонких периодических структурах //Докл. РАН. 2003, Т. 388. №5. С. 588-592.

6. Ильин А. М. Согласование асимптотических разложений решений краевых задач. М.: Наука, 1989. 334 стр.

7. Иосида К. Функциональный анализ. М.: Мир, 1967.

8. Ладыжинская О. А., Уральцева Н. Н. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. М.: Наука, 1973. 576 стр.

9. Левин Л. Современная теория волноводов. М.: ИЛ, 1954.И. Лионе Ж. Л., Мадженес Э. Неоднородные граничные задачи и их приложения. М.: Мир, 1971.

10. Мазья В. Г. Пространства С. Л. Соболева. Ленинград: Изд-во ЛГУ, 1985.

11. Мазья В. Г., Назаров С. А., Пламеневский Б. А. Асимптотика решений эллиптических краевых задач при сингулярных возмущениях области. Тбилиси: Изд-во Тбил. ун-та, 1981. 206 стр.

12. Марченко Г. В. Сузиков В. А. Вторая краевая задача в областях со сложной границей //Мат. сб., 1966. Т. 69(111). С. 35-60.

13. Марченко В. А., Хруслов Е. Я. Краевые задачи в областях с мелкозернистой границей. Киев: Наукова Думка, 1974.

14. Марченко В. А., Хруслов Е. Я. Оценка точности приближения решений краевых задач с мелкозернистой границей //Сб. Задачи механики и математической физики. М.: Наука, 1976, С 208-223.

15. Мизохата С. Теория уравнений с частными производными. М.: Мир, 1977.

16. Михайлов В. П. Дифференциальные уравнения в частных производных. М: Наука, 1983.

17. Михлин С. Г. Линейные уравнения в частных производных. М.: Высшая школа, 1977.

18. Мойжес Б. Я. Электростатичесие усредненные граничные условия для металлических сеток. ЖТФ, 1955, Т. 25, 1-2.

19. Найфе А. X. Методы возмущений. М.: Мир. 1986. 455 стр.

20. Назаров С. А. Неравенства Корна, асимптотически точные для тонких областей //Вестник СПбГУ, 1992. №8. С. 19-24.

21. Олейник О. А., Тронель Ж., Шапошникова Т. А. Об усреднении оператора Лапласа в области, часть которой содержит периодически расположенные каналы с условиями Неймана на их границе //Вестн. МГУ. Сер. 1. Матем. Механ. 1996. №5 С. 14-27.

22. Олейник О. А., Шапошникова Т. А. Об усреднении краевых задач в перфорированных областях с непериодической структурой //Дифферен. уравнения. 1998. Т. 34, №5. С. 647-661.

23. Санчес-Паленсия Э. Неоднородные среды и теория колебаний. М.: Мир, 1984. 472 стр. Пер. с английского Жикова В. В. под редакцией Олейник О. A. (Enrique Sanchez-Palencia "Non-Homogenious Media and Vibration Theory", 1980, Springer-Verlag, New York)

24. Панасенко Г. П. Асимптотики высших порядков решений задач о контакте периодических структур //Мат. сб. 1979, Т. 110(152), №4(12), С. 505-538.

25. Рейнер М. Реология. М.: Наука, 1965.

26. Скрипник И. В. Асимптотика решений нелинейных эллиптических краевых задач в перфорированных областях //Мат. сб. 1993. Т. 184. № 10. С. 67-90.

27. Скрипник И. В. Методы исследования нелинейных эллиптических граничных задач. М.: Наука, 1990.

28. Соболев С. Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. М.: Наука, 1988.

29. Фикера Г. Теоремы существования в теории упругости. М.: Мир, 1974.

30. Хруслов Е. Я. Асимптотичесое поведение решений второй краевой задачи при измельчении границы области //Матем. сб. 1978. Т. 106(148). №4(8). С. 604-621.

31. Хруслов Е. Я. Первая краевая задача в областях со сложной границей для уравнений высших порядков //Матем. сб. 1977. Т. 103(145). №4(8). С. 614-629.

32. Шапошникова Т. А. Об усреднении задачи Неймана в области, часть которой представляет собой совокупность каналов //Дифф. ур. 2001. Т. 37, №9. С. 1250-1257.

33. Шапошникова Т. А. Усреднение краевой задачи для бигармониче-ского уравнения в области, содержащей тонкие каналы малой длины //Матем. сб. 2001 Т. 192, №10. С. 131-160.

34. Яблоков В. В. Об усреднении решений задачи Неймана для оператора Лапласа в областях с перфорированной внутренней границей //Вестн. МГУ. Сер. 1. Матем. Механ. 2001. №1. С. 42-46.

35. Яблоков В. В. Об одной задаче усреднения решений уравнения Пуассона в областях, имеющих внутреннюю перфорированную границу //Вестн. МГУ. Сер. 1. Матем. Механ. 2002. №3. С. 10-16.

36. Яблоков В. В. Об одной задаче усреднения решений оператора Лапласа в областях с узкими наклонными каналами //Итоги Науки и Техники. Сер. Современная математика и ее приложения. Т. 10(2003). С. 207-215.

37. Яблоков В. В. Об усреднении решений задачи Неймана для системы Ламэ теории упругости в области, часть которой представляет собой совокупность тонких цилиндров //УМН. 2003. Т. 58, вып. 4. С. 167-168.

38. Яблоков В. В. О задаче усреднения решений эллиптических уравнений второго порядка в области, часть которой представляет собой совокупность тонких цилиндров //Вестн. МГУ. Сер. 1. Матем. Механ. 2004. №2; С. 22-28.

39. Bensoussan A., Lions J. L., Papanicolau G. Asymptotic analysis for periodic structures //Amsterdam: Nord Holland, 1978.

40. Lobo M., Oleinik O. A, Perez M. E, Shaposhnikova T. A. On homogenization of solution of boundary value problems in domains, perfoorated along manifolds //Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa CI. Sci. (4) Vol. XXV(1977), pp. 611-629.

41. Oleinik O. A., Shaposhnikova T. A. On the homogenization of the Poisson equation in partially perforated domains with arbitrary density of cavities and mixed type condition on their boundary //Rend. Mat. Acc. Lincei, s. 9, Vol. 7, 1996, pp. 129-146.

42. Oleinik O. A., Shaposhnikova T. A. On homogenization problems for the Laplace operator in partially perforated domains with the Dirichlet condition on the boundary of cavities //Rend. Mat. Acc. Lincei, s. 9, Vol. 6, 1995, pp. 133-142.

43. Spagnolo S. Convergence in energy for elliptic operators //Numerical Solutions of Partial Differential Equations III, Synspade 1975 (New York), Academic Press, 1976, pp. 469-498.

44. Tartar L. Homogenization. Cours Peccot. Coll'ege de France. Paris, 1977.