Обратные задачи для уравнений эллиптического и параболического типов в пространствах Гёльдера тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат наук Соловьев, Вячеслав Викторович

• Соловьев, Вячеслав Викторович
• кандидат наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат наук Соловьев, Вячеслав Викторович

в области, удовлетворяющей условию (А)......................................................................48

1.3. Единственность решения обратной задачи определения источника

в пространстве функций U(£l)xF(D) с переопределением внутри области.................56

1.4. Единственность решения обратной задачи определения источника для эллиптического уравнения в пространстве функций

C/(Q)xF(D) с переопределением внутри области для цилиндра...................................63

1.5. Единственность решения обратной задачи определения источника для эллиптического уравнения с дивергентной формой оператора

Lx и «скалярной» формой источника в цилиндре...........................................................66

1.6. Единственность решения обратной задачи определения источника для эллиптического уравнения в области,

симметричной относительно плоскости переопределения...........................................70

1.7. Единственность решения обратной задачи определения источника для эллиптического уравнения в цилиндре симметричном относительно плоскости переопределения....................................................................77

1.8. Единственность решений обратных задач определения источника с переопределением на границе......................................................................83

1.9.Альтернатива Фредгольма для обратной задачи определения источника в эллиптическом уравнении с переопределением внутри области,

удовлетворяющей условию (А) в пространстве функций C/1(Q)xC"(D)...........95

1.10.Достаточные условия существования единственного решен™ для обратной задачи определения источника с переопределением

внутри области в пространстве функцийС/,(0)хСа'(В)...................................109

1.11 .Альтернатива Фредгольма для обратной задачи определения источника в в эллиптическом уравнении с переопределением внутри цилиндра в пространстве функций U(Q) х F(D). Следствие.............................................118

1.12.Альтернатива Фредгольма для обратной задачи определения источника в эллиптическом уравнении с переопределением на границе.................................128

1.13.Достаточные условия существования единственного решения обратной задачи определения источника с переопределением на границе в

пространстве функций Ul (Q_) х С" (D).......................................................133

1.14.Альтернатива Фредгольма для обратной задачи определения источника в эллиптическом уравнении с переопределением на границе в

пространстве функций U(Q_) х F(D) .Следствия.............................................141

1.15.Литературные ссылки и комментарии.........................................................144

Глава 2. ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ ОПРЕДЕЛЕНИЯ КОЭФФИЦИЕНТА ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА

2.1. Постановка обратной задачи определения коэффициента в эллиптическом уравнении с переопределением внутри области, удовлетворяющей условию (А). Единственность решения обратной задачи определения коэффициента в области, удовлетворяющей условию (Б).................................146

2.2. Единственность решения обратной задачи определения коэффициента для эллиптического уравнения в цилиндре с переопределением внутри области..............153

2.3. Единственность решения обратной задачи определения коэффициента

в цилиндре симметричном относительно плоскости переопределения ....................160

2.4. Единственность решения обратной задачи определения

коэффициента с переопределением на границе области............................................164

2.5. Существование решения обратной задачи определения

коэффициента для эллиптического уравнения в цилиндре.........................................170

2.6. Существование решения обратной задачи определения коэффициента в эллиптическом уравнении в цилиндре

с переопределением на границе.....................................................................................184

2.7 Литературные ссылки и комментарии............................................................187

Глава 3. ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ С ПЕРЕОПРЕДЕЛЕНИЕМ НА ВЕРХНЕЙ КРЫШКЕ

3.1. Определение пространств функций Гёльдера для функций, зависящих от х, t. Необходимые сведения о разрешимости

прямой задачи. Априорные оценки для решения прямой задачи..............................189

3.2. Единственность решения обратной задачи определения источника

(случай старших коэффициентов не зависящих от времени) .....................................194

3.3. Единственность решения обратной задачи определения источника

для случая старших коэффициентов, зависящих от времени .....................................199

3.4. Достаточные условия единственности решения обратной задачи

определения источника, связанные с малостью области ............................................199

3.5. Единственность решения обратной задачи определения источника-

случай отрицательного коэффициента перед и............................................................203

3.6. Альтернатива Фредгольма и теоремы существования решения

для задачи определения источника ...............................................................................204

3.7. Обратные задачи определения коэффициента .............................................................210

3.8. Достаточные условия существования решения обратной задачи определения коэффициента в параболическом уравнении ...............................................................217

3.9. Определение коэффициента в полулинейном уравнении

параболического типа (случай зависимости от и) .......................................................222

3.10. Определение коэффициента в полулинейном уравнении параболического типа (нелинейность зависит от их).......

3.11.Литературные ссылки и комментарии.........................

234 ,242

Глава 4. ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО

ТИПА С ПЕРЕОПРЕДЕЛЕНИЕМ В ТОЧКАХ 4.1. Обратные задачи определения источника с переопределением в точках

в случае задачи Коши .....................................................................................................244

4.2. Единственность решения обратной задачи для линейного уравнения параболического типа в случае задачи Коши...............................................................251

4.3. Единственность решения обратной задачи для параболического

уравнения в случае краевой задачи ...............................................................................253

4.4. Единственность решения обратной задачи определения

правой части для нелинейного уравнения в случае краевой задачи ..........................256

4.5. Существование решения обратной задачи определения правой части

в случае задачи Коши .....................................................................................................257

4.6. Существование решения обратной задачи определения правой части параболического уравнения в случае первой краевой задачи ....................................261

4.7.Существование решения обратной задачи определения источника в полулинейном уравнении с переопределением в точке......................................263

4.8.Литературные ссылки и комментарии...........................................................274.

Список литературы ...............................................................................................................277

ОБОЗНАЧЕНИЯ, СОГЛАШЕНИЯ, ПРОСТРАНСТВА ФУНКЦИЙ

Данный раздел является справочным. Здесь, для облегчения чтения в дальнейшем, приводится некоторая часть используемых в диссертации обозначений различных математических объектов и определения некоторых функциональных пространств, в основном не являющихся общепринятыми. В дальнейшем все приведенные здесь определения и обозначения рассматриваются в более подробном виде там, где они встречаются впервые.

О < а < 1 - фиксированное число;

Е" - «-мерное евклидово пространство с точками х = (XI, ..., х„), х(еЕ ,

Г „ V« 1

/ = 1| х |= ^х2

ч /=1

Е" - полупространство в М", Е" = {х е Е": хп > 0};

Вр(х{0)) -открытый шар в пространстве Е" радиуса р>0 с центром в точке х(0) е Е", т.е. множество точек 2?р(х(0)) = {хе1" :| х -х(0) |< р};

Э5 - граница множества

5 - замыкание множества 5, Б = 5 и 35;

И - ограниченная область в Е", т.е. В а Е" - открытое связное ограниченное множество. Если при использовании этого обозначения специально не оговорено противное, то И - область с границей класса С2'а;

Е"+1 - (п + 1)-мерное евклидово пространство точек вида (у, х) = (у, х\, ..., хп) =

д1<0,д2>0,д>0- некоторые числа;

0,(дх,д2) - цилиндр в пространстве Е"+1 с основанием О, точнее множество точек = = {(>>,х) е Е"+1: д1 < у < д2, х е Б) = ^,д2)х £>;

12(ч) = {(У>х)е№"+1 :\у\<д, хеВ} = (-д,д)хО- цилиндр в пространстве Ел+1 симметричный относительно плоскости у = 0;

0\ ((?) = {(.У> х) в Е"+1: -д < у < 0, х е £)} = (-д, 0) х £) - цилиндр лежащий в полупространстве у < 0;

Г(#1>#2) = {0;>л:)е^"+1 '-Ч\ <^<#2' хедО} = (д1,д2)х.дВ-боковая поверхность цилиндра (}(ях>д2)-,

Г(<7) = {(.У,*) е Е"+1 :| у \< д, х е дП) ~ (-д,д) х 3£> -боковая поверхность цилиндра симметричного относительно плоскости у < 0;

= {0>,х) е Еп+1 :-д <у< 0, х е дБ} = (-<7,0]х дБ -боковая поверхность цилиндра лежащего в полупространстве у < 0;

Г0 ={(_у,х)еЕ"+1 :_у = 0, хе!)} = {0}х/) -верхняя крышка цилиндра лежащего в полупространстве у <0 ;

□ - ограниченная область в Е"+1, О е Ел+1;

Г2+ = {(у, х) е : {у, х) < О, > 0} -часть области О лежащая в полупространстве у > 0;

О- ={0>,х)еЕп+1 :(_у,х)<0, >'<0}- часть области О лежащая в полупространстве у < 0;

Область Qcl"+1 удовлетворяет условию (А), если существуют такие числа О < q < р, что для области Q справедливы включения Q(q) cQc Q(p) ■

Область Qcl"+1 удовлетворяет условию (А) с цилиндром Q(ql,q2) > если она удовлетворяет условию (А) и справедливо включение Q(ql,q2) с Q.

Область QcMn+1 удовлетворяет условию (Б), если на замкнутой области D определена такая непрерывная функция у - v(x), xeD, для которой справедливо условие min{v(x): х е D) = v0 > 0, при этом для области Q справедливо равенство

П = {(^д;)б1"+1 :|^|<v(x), дгб/)} и граница области Q, множество 3Q , является границей класса С2,а.

Область Q_ с: R"+1 удовлетворяет условию (В), если существуют такие числа О < q < р, что справедливы включения Qx (q) (р).

Область Q_ с удовлетворяет условию (Г), если на замкнутой области D определена такая непрерывная функция у = v(x) , для которой справедливо условие max{v(x):xeZ)} = -v0 <0, при этом для области Q_ справедливо равенство

Q_ = {(.у,х) е M"+1 :| v(x) [< у < 0, х е D) , часть границы области Q-, расположенная

в полупространстве у < 0, является границей класса С2'а.

Определим пространство Гёльдера функций с областью определения Q: U0(Q) = {u е C(Q): и е C2'tt(Q)}.

Определения пространств Гёльдера функций, область определения которых Q удовлетворяет условию (А):

C/(Q) = {ие С(П):и е C2'a(Q), 3q>0 и>у е С(Г(?)uQ(q))};

Ux{0) = {и е С(Q) :3<7>0 ие C2>a(QuГ(?))}; G(Q) = {g eC(Q):g eCa(Q), BpOgeC\Q(q))} i

M(6Q) = {цеC(6Q):3q >0 цe С2'а(Г(?))}, U (Q_) = {w e C(Q_): и e C2'a(Q_), 3?>0 u)y e C(Q_ иГ,(^)иГ0)}; U}(Q_) = {a eC(Q_):и e C2,a(Q_), 3<7 >0 г/бС^Й.иГ^^иГо)}; U(Q) = {и e C(Q): и e C2-a(Q), uyy e C(Q)}.

Определим пространство Гёльдера функций область определения которых Q есть цилиндр Q(q,,q2) = Q:

C/(Q) = {u 6 C(Q): u e C2-a (Q), u}y e C(Q)}.

Пространства функций с областью определения F{D) = {f<aC{D):f<=Ca(D)}-> F0(D) = {fe F(D): f(x) = 0, xedD); F_(D) = {/e F(D): f(x) < 0, x e D); F;{D) = {fzC\Dy.f{x)<0, xe£>}; F+(D) = {feCa(D):f(x)> 0, xsD}. T> 0 - фиксированное число;

Qт - цилиндр в пространстве точек R"xl(, Qr = D x (0,Г]; Гг = 5Qx[0,r] - боковая поверхность цилиндра Qr.

Пространства функций с областью определения С1Т: 1/,(Пг) = С2+а,1+а/2 (Пг); U(Qr) = С2+М2(С2г)пСа-а/2(Ог). Ет- полоса в пространстве точек К" х, Er = {(x,t) ixel", 0 < t < Т). F[0,r] - пространство непрерывных вектор-функций / = (fl(t),...>fN(t)), точнее F[Q,T] = (C[0,T))N.

Qk{r) - цилиндр в полюсе Ет, Qk(r) = Br(x{k)) х (О,Г].

Пространства функций с областью определения Ет:

U,{ET) = {ие С(ЁТ): и е С,(£,)},

U,{ET) = {ие С(ЁТ): и е C2J(ET)};

U[(ET) = {и € U0(ET): и е C2xj{Qk{r)), к = 1,..,Щ .

| со, | - площадь поверхности единичного шара в М".

► < - знаки соответственно начала и конца доказательства (или его отсутствия с указанием точной ссылки).

Под знаком нормы без дополнительных индексов всегда понимается обычная sup-норма.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Обратные задачи для уравнений эллиптического и параболического типов в пространствах Гёльдера»

ВВЕДЕНИЕ

В настоящей работе в систематической форме излагаются основные результаты по исследованию обратных задач для уравнений эллиптического и параболического типов, полученные автором за более чем тридцатилетний период работы в этой области.

Основой полученных результатов и основным инструментом для их получения является теория разрешимости прямых задач для уравнений эллиптического и параболического типов в пространствах непрерывных функций, производные которых удовлетворяют условию Гёльдера - пространствах Гёдьдера (пространствах гёльде-ровых функций). Эта теория, возникшая в начале 20 века в трудах Леви (Levy, [265]), Жевре (Gevrey, [264]), Шаудера (Shauder, [274]) и получившая дальнейшее развитие в работах многих других математиков, позволила начать систематическое изучение линейных уравнений с переменными коэффициентами. К середине 20 века в рамках этой теории были получены основные результаты о разрешимости краевых задач для линейных уравнений эллиптического типа с переменными коэффициентами (см., например, монографию Миранды [135], в которой отражено состояние этой теории к середине 20-го века для эллиптических уравнений) и краевых задач и задач Коши для уравнений параболического типа с переменными коэффициентами (см.; монографию Фридмана [232] по теории параболический уравнений, а также соответствующие разделы, посвященные этим теориям в более поздних книгах и журнальных статьях [131], [132], [57], [121,122],[180,181],[246,247]). Важную роль в доказательстве существования решений обратных задач, изучаемых ниже, будут также играть оценки Крылова-Сафонова для уравнений эллиптического типа полученные в конце 70-х годов 20 века (см. [121]).

При изложении результатов, полученных автором, и проведении соответствующих доказательств различных математических утверждений, предполагается, что читателю известны основные факты из стандартных университетских курсов математического анализа, теории обыкновенных дифференциальных уравнений, теории функций комплексного переменного, теории уравнений с частными производными и функционального анализа (например, в объёме широко распространенных прекрасных учебников [29], [36], [38],[52], [80-81], [102], [119], [136], [146-148], [217], [216], [230]). Факты, изложенные в этих учебниках, считаются известными и используются при доказательствах различных утверждений без каких-либо ссылок (за исключением некоторых более тонких фактов функционального анализа, которые приводятся в виде ссылок на упомянутые учебники, хотя ,что является «тонким» фактом, а что нет, конечно, полностью определяется исключительно субъективным вкусом автора). В отношении широко используемой автором теории эллиптических и параболических уравнений в пространствах Гёльдера принят обратный подход - любое использование того или иного факта этой теории всегда приводится с точной ссылкой

-8-

на ту или иную монографию по упомянутому предмету с указанием страницы, а если по номеру страницы трудно найти указанную ссылку, то с указанием номера формулы или теоремы, которая имеется в виду. В качестве таких монографий выступают, как правило, монографии [57], [130], [132], [125-126] по эллиптическим уравнениям и [131], [130], [250], [233] по параболическим уравнениям (доказательства всех фактов, на которые приводятся ссылки, автору известны).

Вторым (идейным) основанием излагаемых здесь результатов является теория обратных и некорректно поставленных задач, которая возникла в пионерских работах А.Н. Тихонова в середине 1940-х годов (см. [211]), Дальнейшее развитие этой теории проводилось в последующих работах А.Н.Тихонова, В.К.Иванова, М.М.Лаврентьева и других авторов (см. [19-20, 51, 58, 68, 72, 75, 78, 128, 134,212215,255]).

Эта теория позволила по-новому взглянуть на понятие корректной разрешимости той или иной задачи математической физики, предложив новое понятие условно-корректных задач. Такой подход расширил типы изучаемых краевых задач (например, стали изучаться постановки задач Коши для уравнения Лапласа (см. [123]), задачи с обратным направлением времени для уравнения теплопроводности (см. [133]) и другие постановки задач для различных типов уравнений, отличающиеся от классических постановок, рассмотрение которых ранее считалось не имеющим смысла).

В это же время, в середине 60-х годов, сначала в рамках общего подхода к обратным задачам, стали появляться работы по обратным задачам для уравнений с частными производными (М.М.Лаврентьев, В.Г.Романов, см. [124]. [178] ), в которых в качестве неизвестной функции было не только решение уравнения, но и коэффициент или правая часть этого уравнения. В дальнейших работах А.Д.Искендерова ([92, 93]), А.И.Прилепко ([155, 156]) началось рассмотрение таких задач как отдельных объектов математического исследования. В частности, были поставлены вопросы о получении достаточных условий единственности решений таких задач, а затем и достаточных условий существования решений. Изучение задач такого типа проводилось в работах А.М.Алифанова [1], А.Х.Амирова [3-5], Ю.С.Аниканова [6-18], Н.Я.Безнощенко [21-27], Ю.Я.Белова [30-35],[253], А.Л.Бухгейма [41-45], П.Н.Вабищевича [46-50], В.М.Волкова [53-56], В.Б.Гласко [58] ,Н.Л.Гольдман [5967], A.B.Гончарского [68], А.М.Денисова [69-74], В.И.Дмитриева ,А.С.Ильинского [75], В.М.Исакова [84-86], [261-264], А.Д.Искендерова [87-93], В.Л.Камынина [94101], М.В.Клебанова [103-105], А.И.Кожанова [106-118], А.Б.Костина [120,161-163], М.М.Лаврентьева [123-129], Д.Г.Орловского [138-145],[164-169], А.И.Прилепко [151-169],[271] С.Г.Пяткова [173-176], В.В.Соловьёва [190-210,[170-172], А.Н.Тихонова [211-215], И.В.Тихонова [218-225], Д.С.Ткаченко [226-229], А.Е.Узлова [231-232], А.Хайдарова [236-245], А.Ю.Щеглова [248-249], С.Д.Эйдельмана [251], Эммануилова 0.10. [252], В.Г.Яхно [253-255], I.R.Cannon [257-260], A.Lorenci [267], N.S.Pillant [268-270], W.Rundell [272-274] а также в работах их учеников и последователей .

Целиком задачам указанного вида посвящены монографии [129], [261], [271], в которых приведены большие своды литературы по указанной тематике и указана история изучения таких задач. Общий обзор этих работ здесь привести затруднительно, так как уравнения эллиптического и параболического типов описывают большое количество физических явлений. По этой причине обратные задачи для этих уравнений встречаются в приложениях повсеместно, так, что даже краткое описание таких

-9-

работ потребует очень много места. Кроме того, из-за разнообразия материала трудно делать подробные сопоставления различных результатов в отрыве от конкретных постановок задач. В связи с этим в основном тексте работы в конце каждой главы есть пункт «Ссылки и литературные комментарии», содержащий необходимые сведения исторического и приоритетного характера об изученных в этой главе задачах.

Важным вопросом, относящимся к упомянутым обратным задачам, является вопрос о приближенных методах решения таких задач. Результаты исследований по этой проблематике и история таких исследований приведены в монографиях П.Н.Вабищевича, A.A. Самарского [51], А.С.Леонова [138 ]. Работы автора по этой тематике и примеры расчетов конкретных обратных задач, проведенных автором (см. [192, 183, 171-172]) на основе изложенной здесь теории, не вошли в диссертацию как в силу ограниченности объема, так и из-за того, что они стоят несколько в стороне от основных идей, развиваемых в диссертации.

Рассмотрим структуру работы и приведем обзор основных результатов. Перед разделом Введение дан отдельный пункт «Некоторые обозначения и соглашения», в котором, для удобства чтения диссертации, приведены некоторые обозначения и определения пространств функций, не являющиеся общепринятыми. Далее идет основной текст работы, разбитый на главы. Главы делятся на параграфы, каждый из которых посвящен связанному изложению определенной задачи (или цикла задач, связанных единой идеей). Часто (но не всегда) параграфы делятся на пункты (подпа-раграфы), чтобы выделить то или иное математическое утверждение или структурировать текст доказательства, когда оно велико по объему, с целью добиться большей ясности его изложения.

В начале каждого параграфа уточняется постановка задачи, далее следует формулировка основного в параграфе результата и приводится его полное доказательство. В конце глав помещены библиографические ссылки и сопоставления с результатами других авторов.

Завершает диссертацию список литературы, где сначала приведены работы, опубликованные на кирилице , а далее - на латинице. При ссылках на литературу указаны сначала фамилия автора, а далее - номер работы в списке.

Перейдем к краткому обзору содержания диссертации.

В главе 1 изучается обратная задача определения источника в эллиптическом уравнении. Начинается глава с параграфа 1.1, имеющего вспомогательный характер. В нем приведены определения различных пространств Гёльдера для функций, заданных на некоторой ограниченной области Gel", определения областей с границей класса С2,а, определения пространств Гёльдера функций, определенных на этой границе. В п. 1.1,3 сформулированы широко используемые в дальнейшем теоремы разрешимости для задач Дирихле для строго эллиптического уравнения в используемых далее пространствах Гёльдера. Всего приведены четыре случая однозначной разрешимости для задачи Дирихле:

1) в пространстве функций и е C2,ct(G)r\C(G) для случая, когда область G удовлетворяет условию «внешнего конуса»;

2) в пространстве функций и е C2'a(G)nC(G) для случая, когда область G -произвольная нормальная область;

3) в пространстве функций и е С2,а{ТuG)nC(G), если Т е 5G, Т- гладкий кусок границы области G, G - произвольная нормальная область;

-10-

4) в пространстве функций и е С2'а((3) для случая, когда область С имеет границу класса С2'а.

Приведенные формулировки теорем носят стандартный характер и приведены для полноты изложения и удобства ссылок.

В п. 1.1.4 изложены вопросы, связанные с принципом максимума («слабого» и «сильного»), леммы о «нормальной производной» и теоремы сравнения. Приведенные здесь результаты также носят стандартный характер.

Параграф 1.2 посвящен постановке обратной задачи определения источника (правой части) в строго эллиптическом уравнении. Для этого вводится понятие области, удовлетворяющей условию (А). Для формулировки обратной задачи приведем некоторые обозначения и определения. Пусть ИГ - «-мерное пространство точек х =

(х1.....Хп), пространство М" считаем вложенным в пространство М"+1 точек (у, х) =

(хо, х) е , обозначая первую координату через у или хо (иногда удобно первое обозначение, иногда второе). Пусть /)сК" - ограниченная область с границей класса С2,а, д\, дг, д - такие числа, что выполнены неравенства <71 < 0 < дг, д > 0. Определим в пространстве точек (у, х) цилиндры:

= (Си,*) е Мй+1: дх < у < д2, х е £>}, 0(0) = {(У,*) е К"*1 :-д<у<д, хе Б}.

Боковые поверхности этих цилиндров обозначим так:

Г(9Рд2) = {(У'х)еШ"+1 '•Ч\<У<Я2> хедБ}, П<1) = {(У,х) е Еп+1: -д < у < д, х е дБ).

Будем говорить, что область Й е М"+1 удовлетворяет условию (А), если существуют такие числа 0 < д < р, что для области £2 выполнены условия <2(д) сПс Q{p). При этом, если Q{дl,g2) то будем говорить, что эта область О удовлетворяет условию (А) с цилиндром 0(д1,д2), и обозначать д = тт{| дх \,д2}.

Пусть область С2 удовлетворяет условию (А). Определим пространства Гёльдера функций с областями определения й и £) по правилу:

и (О.) = {ие С(П): и е С2,а (П), Эд>0:и)уе С(Г(д) и £(</))},

В области П, удовлетворяющей условию (А), рассмотрим обратную задачу определения пары функций (и,/) е £/(О.)х/*Х£>) из условий:

(£и)(.у, х) = /(х)И(у, х) + g(y, х), {у, х) б О,

и(0,х) = 1(х), хеЗ. (В.2)

В уравнении (В.1) равномерно эллиптический в области О оператор £ имеет вид:

/ п \

(Ьи)(у, х) = а00 (у, х)и>у (у, х) + Ъ0 (у, х)иу (у, х) + £ аш (у, (у, х)

Ч 1=1 J

( п П >

+ X аи х)+ ИЬ. (у> х) + С(у, х)и(у, х)

= (Ьуи){у,х) + {1хи\

+

В условиях (В.1)-(В.2) И, g, ц, % - заданные непрерывные функции.

Рассмотрим сначала вопрос о единственности решения обратной задачи (В.1)-(В.2) при упрощающих предположениях об операторе Ь. Пусть в уравнении (В.1) этот оператор имеет вид:

п п

(1и){у,х) = а(х)иуу(у,х) + £ ау (х)и (у,х) + £ 6,(ХК,О'»*) + с(х)и{у,х).

!,]=\ 1=1

Для формулировки теоремы единственности решения обратной задачи (В.1)—

(В.2) определим величины у, Хо, р по следующим правилам:

=1

у = max

Kqv) Кч 2,0

й(о,о 5 КО,-)

" a fx^

xeD, Х0>0,

i,j=i а\х)

Р = шах-

/К

Для обратной задачи (В.1)-(В.2) справедлива следующая теорема единственности ее решения.

Теорема 1.3.1. Пусть область с: М"+1 удовлетворяет условию (А) с цилиндром

1, q2), для коэффициентов строго эллиптического оператора Ь справедливы условия а,а ,Ь,,с е С"(2)), для функции И справедливы включения ЛеС(О), к, ку, куу

• Пусть, кроме этого, выполнены неравенства с(х)<0, | /г(0, х)|>/го>0,хе^,у<1. Тогда, если выполнено, по крайней мере, одно из двух условий:

1) область Б при некотором / е {1,...,и}, лежит в полосе 0 <х, < I,, при этом для величины // выполнено неравенство < /., где величина I, определяется по

формуле /. = —-—1п Р + 1

1 + -

(1-УДо

16 К-,') + Vv)

Г КО,-) ко,')

2) для коэффициента с(х) справедливо неравенство с(х) / а(х) < -ае < 0, при этом число ае удовлетворяет условиям ае > aso, где величина азо определяется по формуле

<ео =

1 (16 К;-) I ь„ь 0 \

1-у Л(о,о| ко,-) У

, то в этом случае обратная задача (В.1)-(В.2) не мо-

жет иметь двух различных решений в классе функций С/(П) х Р(й).

Из этой теоремы следует, что обратная задача (В.1)-(В.2) не может иметь двух различных решений, если, например, функция к(у, х) финитна по .у на отрезке [</1, и размер области £> достаточно мал по одной из осей или коэффициент с(х) < 0 достаточно велик по модулю.

В п. 1.4 рассматривается обратная задача определения источника для эллиптического уравнения в самой простой области, удовлетворяющей условию (А), для цилиндра, т.е. & = 0(д1,д2) • В этом случае можно доказать теорему единственности

для обратной задачи (В.1)-(В.2), дшощую достаточные условия единственности решения этой задачи, которые носят иной характер, чем в теореме 1.3.1. Эти условия накладывают ограничения на знаки заданных функций и их производных.

Рассмотрим задачу определения пары функций (и,/) е £/(ГГ)х из условий:

п н

(Ьи)(у, X) = а(у, х)и>у(у, х) + £ а0 (х)и (у, х) + £ Ь, (*К, О', х) + с(х)г/(>>, х) =

1=1

= /(Ф(У> *) + *)» СУ» *) е

г/(>>,х) = цО>,х), (В.З)

м(0,х) = х(*), хеД (В.4)

Для обратной задачи (В.3)-(В.4) справедлива следующая теорема единственности ее решения.

Теорема 1.4.1. Пусть для коэффициентов строго эллиптического в области О оператора Ь и функции к справедливы условия а, ау, ауу, И, Иу, Иуу е Са(С2) п С(С2), Оу, Ь„ с е Са( П) п С(£>), выполнены неравенства с(х) < 0, ауу(у, х) + с(х) < О, /г(у, х) >

О, куу(у, х) < 0, /г(0,х)> йо> 0, (у, х)е О. Тогда обратная задача (В.3)-(В.4) не может иметь двух различных решений в указанном классе функций.

В п. 1.5 изучается единственность обратной задачи определения источника в цилиндре для эллиптического уравнения с дивергентной формой оператора Ьх и так называемой «скалярной» формой неизвестного источника (т.е. неизвестный источник имеет вид /(х)/з(у,х) = ДХ)Ь(у) в цилиндре 0. = ()(д1,д2)). Таким образом, предполагая, что а(у,х) = а(у),с(у,х) = с(х), оператор Ь в условиях (В.3)-(В.4) будет иметь вид:

п

(Щ(у,х) = а(у)и)у(у,х)+^ (ац(х)иХ1 (.у,х)) +с(х)к(у,х) =

'.7=1

= а(у)и)у (у, х) + (Ьхи)(у, х).

В этом случае для задачи определения источника (В.3)-(В.4) получены условия единственности её решения, сформулированные в теореме 1.5.1 и имеющие характер критерия.

В п. 1.6 рассматриваются постановки обратной задачи (В.1)-(В.2) в областях, являющихся частными случаями области, удовлетворяющей условию (А). Для этих случаев, случаев области, удовлетворяющей условию (Б), удалось получить достаточные условия единственности решения этой обратной задачи для эллиптических операторов более общего вида, чем в теореме 1.4.1.

Будем говорить, что область О с М"+1 удовлетворяет условию (Б), если на замкнутой области £) определена такая функция у = у(х), хе£), для которой

тт{у(х): х е В) = у0 > 0, справедливо представление области О в виде:

О = {0>,х) е Мп+1 :| у |< у(х), х е Ь), при этом граница области О - множество 60. — является границей класса С2,а.

Далее всюду будем использовать обозначения:

П+ = {0',ж)бП:^> 0}, П_={(у,х)еЛ:у< 0}.

Ясно, что если область удовлетворяет условию (Б), то она симметрична относительно плоскости^ = 0. Для дальнейшего изучения обратных задач в области, удовлетворяющей условию (Б), определим пространство Гёльдера: их(0) = {и е С(Й): Зд > 0, ме С2>а(а и Г(<?))}.

В области, удовлетворяющей условию (Б), рассмотрим обратную задачу определения пары функций (и,/) е С/,(О) х Са(.0) из условий:

(Щ(у, х) = Дх)И(у, х) + 8(у, х), (у, х) е О, и(у,х) = ц(у,х), (у,х) е дП, и(0,х) = х(х), хеВ. В уравнении (В.5) оператор £ имеет вид:

(В.5) (В.6)

(£и)(у,х) =

Г1

аоо (у, х)и)у (у, х) + £а0, (у, х)иух (7, х) + Ь0 (у, х)иу (у, х) 1=1

Ё %(х)иХХ!(у,х) + £ (х)их (у,х) + с(у,х)и(у,х)

Для формулировки теоремы единственности решения обратной задачи (В.5)-(В.6) определим в области П функции:

К(у,х) = (И(у,х) + к(-у,х))/2, К(у,х) = (Ку,х)-К-у,х))12.

Для обратной задачи (В.5)-(В.6) справедлива следующая теорема единственности ее решения.

Теорема 1.6.1. Пусть область удовлетворяет условию (Б). Для коэффициентов строго эллиптического в области О. оператора £ и функции И справедливы условия: во/, / = 0, 1,..., п, Ьо, с, к, € Са(П), ац,Ь, е Са(В), ¡¿= 1,..., п,

(а0,)у, / = 0,1,...», СЬ0)у,су>(К)уеСа(П_), вьшолнены неравенства с(у, х) < 0, (у, х) е О, (Ь0 )у (у, х) + с(у, х) < 0, су {у, х) > 0, К(У>х)(К)у(У>х) - (У>х)е Тогда, если для оператора Ь выполнены условия симметрии ат(у,х) = а00(-у,х), а01(у,х) = -а()1(-у,х), / = 1, ..., п, Ь0(у,х) = =-Ь0(-у,х), с(у,х) = с(-у, х), (у, х) е О, то обратная задача (В.5)-(В.6) не может иметь двух различных решений тогда и только тогда, когда носитель функции /г(0,х) совпадает с Ь.

В п. 1.7 рассматривается единственность решения обратной задачи (В.1)-(В.2) в случае цилиндра, симметричного относительно плоскости переопределения у = 0. Пусть О = <2(с[), с[ > 0. Так как при у = ±д граница этой области не является гладкой в точках хе 51), то результаты предыдущей теоремы 1.6.1 в этом случае неприменимы, и в п. 1.7 этот случай рассматривается отдельно. Для формулировки теоремы единственности решения обратной задачи в данном случае будем предполагать, что коэффициенты оператора £ заданы на более широкой области, содержащей область О - цилиндре Пр = [-(¡,¿7]хВ!{, где открытый шар ВК с К" таков, что /)сЛг

В этом случае для обратной задачи (В.5)-(В.6) справедлива следующая теорема единственности ее решения.

Теорема 1.7.2. Пусть для коэффициентов строго эллиптического в цилиндре Од оператора Ь справедливы условия ао/, /=0,1,...,п, Ьо, с е Са(Од), щ, Ь, е Са(Вя) ,/,У =1, ..., п, = еСа(П_), для функции И справедливы включения

И е Са (О), (Иг )у е Са(0._), выполнены следующие неравенства с (у, х) < 0, (у, х) е С1н, Фо)у(У,х) + с(у,х)<0, су(у,х)> 0, Нг(у,х)(Иг)у(у,х)>0, (у, х) е Тогда, если для коэффициентов оператора X выполнены условия симметрии а00(у,х) = а00(-у,х),

<*о,(У>х) = -аоХ-У>х)> 1 = 1.....«» Ьй(у,х) = -Ь0(-у,х), с(у,х) = с(-у,х), (у,х)еПк,

то задача (В.5)-(В.6) не может иметь двух различных решений тогда и только тогда, когда для функции к справедливо условие зирр(Л(0,х)) = 1).

В п. 1.8 рассматривается единственность решений обратных задач определения источника в эллиптическом уравнении с переопределением на границе. Сначала приведем общую постановку таких обратных задач. Пусть д > 0 - фиксированное число, обозначим с цилиндр в М"+1 следующего вида:

ОМ) = (СУ,х) б 1Г+1: -д < у < 0, х е П).

Через обозначим боковую поверхность этого цилиндра, точнее: Г,(3) = {(У,х) е :-д < у <0, х е дй)

Кроме того, верхнюю крышку этого цилиндра обозначим Г0 = {0} х Э. Определим вид области, в которой будет изучаться обратная задача определения источника с переопределением на границе. Для этого примем следующее определение.

Будем говорить, что область О с Ми+1 удовлетворяет условию (В), если существуют такие числа д, р, 0 < д < р, что для области О справедливы включения ()х(д)с: сйсб,(р). Область, удовлетворяющую условию (В), будем обозначать

Для рассмотрения обратной задачи определения источника в области, удовлетворяющей условию (В), определим следующие пространства Гёльдера:

ЩП_) = {и е С(П_):и е С2,а(0_), 3д>0 иуу е С(П. иГ,(<7)иГ0)}.

Аналогично условию (А), будем говорить, что условие (В) выполнено с цилиндром Оу(д), если справедливо включение 0,х(д) с .

Рассмотрим задачу определения пары функций (и,/) е Vх Г<\0) из условий: (Ьи){у,х) = /(х)И(у,х) + д(у,х), (у,х) е и (у, х) = х), (у, х) е 8П_ \ Г0,

«,(0,*) = &(*)> *6Д (В.7)

г/(0,х) = х(х), хеП. (В.8)

В уравнении (В.7) оператор Ь имеет вид:

и и

(Щ(у,х) = а(х)и)у(у,х) + ]Г аи(х)и (у,х) + ^Ь,(х)и,( (у,х) + с(х)и(у,х).

1.7=1 1=1

Аналогично теореме 1.3.1

определим величины у, Хо, (3 по следующим правилам: Ь.

" а (х)

у=Р(д,0/А(0,-)||, Р =

а

IX,. Величины /., ге0 те же, что и

в условии теоремы 1.3.1. Тогда для обратной задачи (В.7)-(В.8) будет справедлива следующая теорема единственности ее решения.

Теорема 1.8.4. Пусть область Q_ cR"" удовлетворяет условию (В) с цилиндром Q\(q), для коэффициентов строго эллиптического в области Q_ оператора L справедливы условия a,atj,bt,c eCa(D), для коэффициента с(х) справедливо неравенство с(х) < 0, х е D, для функции h справедливы включения h е C(fi_)nCa(Q_ иГ0), h,hy,h>y е Ca (g, (¿7) и Г0) n C(g,(q)), выполнены следующие неравенства | Л(О, х) |> > 0, х е D, у < 1 и дополнительное условие /г>,(0,х) = 0, xeD. Пусть, далее, выполнено, по крайней мере, одно из двух условий:

1) область D при некотором /, /е {1,..., п} лежит в полосе 0 <х, < U, при этом для величины /, выполнено неравенство /,</,;

2) для коэффициента с(х) выполнено неравенство с{х)!а(х) < -аг, где се > аго.

Тогда обратная задача (В.7)-(В.8) не может иметь двух различных решений в

классе функций i/(Q_)x F(D).

Аналогично теореме 1.3.1 для обратной задачи (В.7)-(В.8) будут также справедливы следствия, утверждающие, что если функция h(y, х) финитна по у на отрезке [-¿7,0] и выполнены условия теоремы 1.8.4, то обратная задача (В.7)-(В.8) при достаточно малом размере области D или при достаточном большом по модулю коэффициенте с(х) < 0 не может иметь двух различных решений.

Рассмотрим обратную задачу с переопределением на границе в важном частном случае когда Q_ = Ql(-q), т.е. область Q_ - цилиндр, В этом случае требуется определить пару функций (u,f)eU(Q_)*.F(D) из условий:

СLa)(y,x) = f(x)h(y,x) + g(y,x), (у,х) е Q_,

h/0,X) = Xi(*),

и(0, х) = %(х), xgD. (В. 10)

В уравнении (В.9) оператор L будет иметь вид:

п п

сLu)(y,х) = а(у,х)и)у(у,х) + £ ад(х)и (у,х) + £ 6,(х)г^ (у,х) + с(х)и(у,х).

1,7=1 1=1

Для обратной задачи (В.9)-(В.10) справедлива следующая теорема единственности ее решения.

Теорема 1.8.5. Пусть для коэффициентов строго эллиптического в области Q_ оператора L и функции h справедливы условия а, ау, ауу, /;, hy, hyy еСа(й^иГ0)п nC(Q_), а1рЪ{,с е Ca(D)nC(D), выполнены неравенства с(х) < 0, х) + с(х) < 0, h(y, х) > 0, hyy(y, х) < 0, h{0, х) > ho > 0, (у, х) е Q_ и дополнительные условия hy(0, х)= = 0, а>{0, х) = 0, х е D. Тогда обратная задача (B.9)-(B.10) не может иметь двух различных решений в классе функций (u,f) е C/(Q_) х F(D).

Далее в параграфе 1.8, пункте 1.8.4, рассмотрен аналог задачи (В.5)-{В.6) для случая оператора Ьх в дивергентной форме с переопределением на границе цилиндра

для скалярного случая. В этом случае получены условия единственности решения обратной задачи носящие характер критерия, сформулированные в теореме 1.8.6.

Рассмотрим обратную задачу (В.9)-(В.10) в случае области с гладкой границей. Будем говорить, что область <Г2_ сЕ"'1 удовлетворяет условию (Г), если на замкнутой области £> определена функция у = у(х), хеИ, такая, что для нее справедливо условие тах{у(х):хе 1)} = -у0 <0, при этом для области 0_ справедливо равенство

= :у(х)< >><0, и часть границы области С2_, расположенная в

полупространстве у < 0, принадлежит классу С2,а.

Определим пространство Гёльдера функций с областью определения , в случае, когда областью удовлетворяет условию (Г), по следующему правилу: Ц(0_) = {иеС(0_):иеС2'а(ГО, 3д>0 и е С2'а(а_ иГ,(дг)иГ0)}.

В области, удовлетворяющей условию (Г), рассмотрим обратную задачу определения пары функций (и,/) е хСа{П) из условий:

СЬи)(у,х) = f(x)h(y,x) + g(ytx), (у,х) е и(у,х) = у.(у,х), (у,х)ед&_\Г0,

(г>. 11)

иу(0,х) = х,(х), хеД

и(0,х) = *(*), хеВ. (В. 12)

В уравнении (В .11) оператор Ь имеет вид

п

(.1и)(у, х) = а00 (у, х)и>у (у, х) + 2 а0, (у, х)иух> (у, х) + Ь0 (у, х)иу (у, х) +

1=1

я п

+2 «у (х)и (у, х) + ^Ь0 (х)иХ1 (у, х) + с{у, х)и(у, х). < ,у=1 1=1

Для обратной задачи (В.11)—(В.12) справедлива следующая теорема единственности ее решения.

Теорема 1.8.7. Пусть область удовлетворяет условию (Г), для коэффи-

циентов строго эллиптического в области оператора Ь и функции к справедливы условия а01,(а01)у,Ь0,(Ь0)у,с,су,к,ку е Са(й_), / = 0,1,...,п, ац,Ь, е Саф),

= 1,...,п, в области выполнены неравенства с{у^х) < 0, {Ь0)у{у,х) + с(у,х)< 0, су{у,х)>0, к(у,х)ку(у,х)>0, (у, х) е . Тогда, если для коэффициентов оператора Ь выполнены дополнительные условия я0Д0,х) = 0, / = 1, ..., п, Ь0(0,х) = 0, х е И, то обратная задача (В.11)—(В.12) не может иметь двух различных решений тогда и только тогда, когда выполнено условие Бирр(/г(0, х)) = О.

Пусть теперь область =6] (¡7) - цилиндр, простейшая область, удовлетворяющая условию (В). В отличие от теоремы 1.8.5 проведем рассмотрение обратной задачи, возникающей в этом случае, в пространстве функций С2'а(0_)хСа(£)), что позволит рассмотреть для этой обратной задачи случай более общего оператора Ь, чем в теореме 1.8.5. Рассмотрим обратную задачу определения пары функций

(и, Л е С2,а(Й_) х Саф) из условий:

(В. 14)

(В. 13)

+ X аи(У,+ {х)иХ1 (у,х) + с(у,х)и(у,х) .

1=1

Для формулировки теоремы единственности решения этой задачи будем использовать обозначения приведённые в сформулированной ранее теореме 1.7.2, определив цилиндры =[-д,д]'хВк, О" = [~д, 0] х Вя. Для обратной задачи (В.13)-(В.14) справедлива следующая теорема единственности её решения.

Теорема 1.8.8. Пусть для коэффициентов строго эллиптического в цилиндре ОГк

оператора Ь справедливы условия а01, ¿ = 0,1,...,и, Ь0,с е Са(О.'н),(а01)у, (Ь0)>15 суеСа(£1_\ а(],Ъг еСа(Вк), /,у = 1,...,и, для функции к справедливы включения Ъ,Ъу е Са(0._), выполнены неравенства с(^,х)<0,(1у,х)е0д, (Ь0)у(у,х) + +с(у,х)<0, су(у,х)>0, Ь(у,х)1гу(у,х)>.0,(у,х)еС1_. Тогда, если для коэффициентов оператора I выполнены дополнительные условия: а0((0,х) = 0, / = 1, ..., п, Ь0(0,х) = 0, х е ВК, то задача (В.13)-(ВЛ4) не может иметь двух различных решений в классе функций и1(0._)хСа(Б)тогда и только тогда, когда выполнено условие зирр(Л(0,х)) = Б.

Сформулируем для обратной задачи (В.1)-(В.2) альтернативу Фредгольма. Для этого определим следующие линейные множества функций:

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Соловьев, Вячеслав Викторович, 2013 год

Список литературы

1. Алифанов А.М., Арпохин Е.А., Румянцев C.B. Экстремальные методы решения некорректных задач. М. Наука, 1988.

2. Абашева H.JI. О линейных обратных задачах для параболических уравнений второго порядка // Сибирский журнал индустриальной математики ,2006. Т.9. № 1 .С. 3-12.

3. Амиров А.Х. О разрешимости обратных задач для уравнения второго порядка // Фундаментальный анализ и его приложения, 1986. Т. 20. № 3. С. 80-81.

4. Амиров А.Х. К вопросу о разрешимости обратных задач // Сибирский математический журнал, 1987. Т. 20. № 6. С. 1-11.

5. Амиров А.Х. Об одном классе многомерных обратных задач // ДАН СССР, 1983. Т. 272. № 2. С. 265-267.

6. Аниконов Ю.Е., Нещадим М.В. Об аналитических методах в теории обратных задач для параболических уравнений // Вестник МГУ, сер. Матем., мех., информат., 2011. Т. 11. №3. С. 20-35.

7. Аниконов Ю.Е., Нещадим М.В. Об обратных задачах для уравнений математической физики с параметром. Препринт Института математики СО РАН, 2010. С. 2-21.

8. Аниконов Ю.Е., Нещадим М.В. Представление решений, коэффициентов, источников операторов эволюционных уравнений и обратные задачи // Вестник МГУ, сер. Матем., мех., информат., 2010. Т. 10. № 2. С. 25-36.

9. Аниконов Ю.Е., Нещадим М.В. Аналитические представления решений ряда обратных задач математической физики. Препринт Института математики СО РАН, 2009. С. 3-31.

10. Аниконов Ю.Е. Конструктивные методы исследования обратных задач для эволюционных уравнений // Сибирский журнал индустриальной математики, 2008. Т. 11. № 2. С. 3-20.

11. Аниконов Ю.Е., Агапова Н.Б. Формулы для решений и коэффициентов дифференциальных уравнений 2-го порядка и обратные задачи. Препринт Института математики СО РАН, 2005. С. 1-56.

12. Аниконов Ю.Е. К теореме конструктивного исследования обратных задач для эволюционных уравнений. Препринт Института математики СО РАН, 2004. С. 1-30.

13. Аниконов Ю.Е. Классы решений эволюционных уравнений и обратные задачи. Препринт Института математики СО РАН, 2002. С. 3-28.

14. Аниконов Ю.Е., Белов Ю.Я. О задаче определения двух неизвестных коэффициентов параболических уравнений //Докл. РАН, 2000. Т. 373. № 4. С. 439-441.

15. Аниконов Ю.Е. Формулы для решений и коэффициентов дифференциальных уравнений 2-го порядка//Сибирский математический журнал, 1996. Т. 37. № 3. С. 483-491.

16. Аниконов Ю.Е., Вишневский М.П. Формулы в обратной задаче для эволюционного уравнения // Сибирский математический журнал, 1996. Т. 37. № 5. С. 963-976.

17. Аниконов Ю.Е. Аналитические представления решении многомерных обратных задач для эволюционных уравнений // Докл. РАН, 1996. Т. 351. № 2. С. 151-154.

18. Аниконов Ю.Е. Некоторые методы исследования многомерных обратных задач. Новосибирск: Наука, СО АН СССР, 1978.

19. Арсении В.Я. О методах решения некорректно поставленных задач. М.: МИФИ,

1978.

20. Бакушинский А.Б., Гончарский A.B. Интегральные методы решений некорректных задач. М.: Наука, 1989.

21. Безнощенко Н.Я. Об определении коэффициентов при старших производных в параболическом уравнении//Дифференц. уравнения, 1975. Т.4. № 1.С. 19-36.

22. Безнощенко Н.Я. Об определении коэффициентов при младших членах в параболических уравнениях // Сибирский математический журнал, 1975. Т. 16. № 3. С. 473-482.

23. Безнощенко Н.Я. Некоторые задачи определения коэффициентов при младших членах в параболических уравнениях // Сибирский математический журнал, 1975. Т. 16. № 6. С. 1135-1147.

24. Безнощенко Н.Я., Прилепко А.И. Обратные задачи для уравнений параболического типа // В кн.: Проблемы математической физики и вычислительной математики. М.: Наука, 1977. С. 51-53.

25. Безнощенко Н.Я. О существовании решения задачи определения коэффициента q в уравнении ги - Дм + qu = F И Дифференц. уравнения, 1978.Т.15.№ 1.С. 10-17.

26. Безнощенко Н.Я. Об определении коэффициента q в уравнении ut - Au + qu = F (случай первой краевой задачи в пространстве )// Сибирский математический журнал. 1980. Т.21. № 4. С. 22-27.

27. Безнощенко Н.Я. О задаче Коши для уравнения м( - Au + qu = F // Дифференц. уравнения. 1983. Т. 19. № 6. C.99I—1000.

28. Баранов С.Н. О задаче идентификации четырех коэффициентов многомерного параболического уравнения в случае неоднородных условий переопределения // Вестник Красноярского ГУ, физ.-мат., 2005. № 1. С. 140-159.

29. Богачев В.И., Смолянов О.Г. Действительный и функциональный анализ: Университетский курс. М.-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», Институт компьютерных исследований, 2009.

30. Белов Ю.Я. О задаче идентификации функции источника для одной полуэволюционной системы // Журн. Сиб. фед. университета. Математика и физика, 2010. Т.З. № 4. С. 487-499.

31. Белов Ю.Я., Ахтапова С.С. Разрешимость обратных задач для параболических уравнений//Вестник Красноярского ГУ, 2006. № 15. С. 161-171.

32. Белов Ю.Я., Фроленков И.Л. Некоторые задачи идентификации коэффициентов полулинейных параболических уравнений // Докл. РАН, 2005. Т. 404. №5. С. 583-585.

33. Белов Ю.Я., Шипнлина Т.Н. Об одной обратной задаче для системы составного типа // Докл. РАН, 2000. Т. 370. № 2. С. 155-157.

34. Белов Ю.Я., Ермолаев A.C. Об одной обратной задаче идентификации коэффициентов многомерного параболического уравнения // Комплексный анализ и дифференциальные уравнения. Красноярск: КГУ, 1996. С. 16-27.

35. Белов Ю.Я., Шипина Т.Н. Определение функции источника для параболического уравнения в случае задачи Коши // Актуальные проблемы современной математики, 1997. № 3. С. 29-38.

36. Берс Л., Джон Ф., Шехтер М. Уравнения с частными производными. М.: Мир,

1966.

37. Бнцадзе A.B. Некоторые классы уравнений в частных производных. М.: Наука,

1981.

38. Бицадзе A.B. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1982.

39. Бицадзе A.B., Салахетдинов М.С. К теории уравнений смешанно-составного типа // Сибирский математический журнал, 1961. Т.2. № 1. С. 7-19.

40. Бицадзе A.B. Об уравнениях смешанно-составного типа // В кн.: Некоторые проблемы математики и механики (к 60-летию М.А. Лавреньтьева). Новосибирск: СО АН СССР, 1961.

41. Бухгейм A.JL, Кпибанов М.В. Единственность в целом одного класса многомерных обратных задач // ДАН СССР, 1981. Т. 260. № 2. С. 262-272.

42. Бухгейм A.JI. Уравнения Вольтерра и обратные задачи. Новосибирск: Наука, 1983.

43. Бухгейм A.JI. Многомерные обратные задачи // В кн.: Некоторые задачи математической физики и анализа. Новосибирск: Наука, 1984. С. 31-35.

44. Бухгейм А Л. Введение в теорию обратных задач. Новосибирск: Наука, 1988.

45. Бухгейм А.Л. Карлемановские оценки для дифференциальных операторов второго порядка и обратные задачи. Препринт Института математики СО РАН, 1999. № 68. С. 1-15.

46. Вабищевич П.Н. О единственности решения обратной задачи определения правой части эллиптического уравнения // Дифференциальные уравнения, 1982. Т. 18. № 8. С. 14501453.

47. Вабищевич П.Н. Обратная задача восстановления правой части эллиптического уравнения и ее численное решение // Дифференциальные уравнения, 1985. Т. 21. № 2. С.277-284.

48. Вабищевнч П.Н. Численное решение задачи идентификации правой части параболического уравнения // Изв. вузов, Математика, 2003. № 1. С. 29-37.

49. Вабищевич П.Н. Численное решение задачи идентификации младшего коэффициента эллиптического уравнения // Дифференциальные уравнения, 2002. Т. 38. № 7. С. 943948.

50. Вабищевич П.Н., Борухов В.Г. Численное решение обратной задачи восстановления источника в параболическом уравнения // Математическое моделирование, 1998. Т. 10. № 11. С. 93-100.

51. Вабищевич П.Н., Самарский A.A. Численные методы решения обратных задач математической физики. М.: ЛКИ, 2007.

52. Владимиров B.C. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1971.

53. Волков В.М., Волкова Е.А. Обратные задачи для квазилинейного уравнения параболического типа//Вестник Кузбасского ГУ, 2011. № 3. С. 84-85.

54. Волков В.М., Волкова Е.А. Обратная задача для квазилинейного уравнения теплопроводности при первой производной // Вестник Кузбасского ГУ, 2000. № 2. С. 3-4.

55. Волков В.М. Обратная задача для квазилинейного уравнения параболического типа // В кн.: Некоторые задачи математической физики и анализа. Новосибирск: Наука, Си-бир. отд., 1984. С. 227-228.

56. Волков В.М. Обратная задача для квазилинейного уравнения параболического типа // Дифференц. уравнения, 1983. Т.19. № 12. С. 2166-2169.

57. Гилбарг Д., Трудингер Н. Эллиптические дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка. М.: Наука, 1989.

58. Гласко В.Б. Обратные задачи математической физики. М.: Изд-во МГУ, 1984.

59. Гольдман H.JI. Обратные задачи Стефана. Теория и методы решения. М.: Изд-во МГУ, 1999.

60. Гольдман Н.Л. Классы единственности в обратных задачах для параболических уравнений с несколькими неизвестными коэффициентами // Докл. РАН, 2010. Т. 433. № 4. С. 447-451.

61. Гольдман Н.Л. О свойствах решений параболических уравнений с неизвестными коэффициентами // Дифференциальные уравнения, 2011. Т. 47. № 1. С. 60-69.

62. Гольдман Н.Л. Обратные задачи с финальным переопределением для параболических уравнений с неизвестными коэффициентами при старших производных // Докл. РАН, 2011. Т. 438. №. 2. С. 162-167.

63. Гольдман H.JI. Определение правой части в многомерных параболических уравнениях с финальным наблюдением // Дифференциальные уравнения, 2007. Т. 43. № 8. С. 10761085.

64. Гольдман Н.Л. Единственность определения правой части в многомерном параболическом уравнении с финальным наблюдением //Докл. РАН, 2006. Т. 410. №3. С. 301-306.

65. Гольдман Н.Л. Об одном классе обратных задач для квазилинейных параболических уравнений с локальным условием переопределения // Вычислительные методы и программирование, 2005. Т. 6. № 2. С. 5-22.

66. Гольдман Н.Л. Определение правой части в квазилинейном уравнении с финальным наблюдением //Дифференциальные уравнения, 2005. Т. 41. № 3. С. 366-374.

67. Гольдман Н.Л. Единственность определения правой части в квазилинейном параболическом уравнении с финальным и граничным наблюдением // Докл. РАН, 2004. Т. 395. № 2. С. 151-156.

68. Гончарский A.B., Черепащук A.M., Ягола А.Г. Численные методы решения обратных задач астрофизики. М.: Наука, 1978.

69. Денисов A.M. Монотонный итерационный метод решения одной обратной задачи динамики сорбции // Вычислительная математика и математическая физика, 2005. Т. 45. №12. С. 2197-2202.

70. Денисов A.M. Обратная задача для нелинейного однородного стационарного уравнения теплопроводности // Вычислительная математика и физика, 2000. Т. 40. №11. С. 1725— 1738.

71. Денисов A.M., Бурыгин A.A. Задача определения источников в уравнении теплопроводности // В кн.: Обратные задачи естествознания. М., 1997. С. 18-22.

72. Денисов A.M. Введение в теорию обратных задач. М.: Изд-во МГУ, 1994.

73. Денисов A.M., Туйкина С.Р. О некоторых обратных задачах неравновесной динамики сорбции //ДАН СССР, 1984. Т. 276. № 1. С. 100-102.

74. Денисов A.M. Единственность решения некоторых обратных задач уравнения теплопроводности с кусочно-постоянными коэффициентами // Вычислительная математика и математическая физика, 1982. Т. 22. № 4. С. 858-864.

75. Дмитриев В.И., Ильинский A.C., Свешников В.Г. Развитие математический методов исследования прямых и обратных задач электродинамики // УМН, 1976. Т. 31. № 6. С. 121-141.

76. Джураев Т.Д. Краевые задачи для уравнений смешанного и смешанно-составного типов. Ташкент: ФАН, 1979.

77. Зайцев Ф.С. Построение существенно различных решений обратной задачи для уравнения равновесия тороидальной плазмы // Математическое моделирование, 2009. Т.21. № 10. С. 58-66.

78. Иванов В.К., Васин В.В., Танана В.П. Теория линейных некорректных задач и ее применения. М.: Наука, 1978.

79. Иванчов Н.И. Об определении зависящего от времени старшего коэффициента в параболическом уравнении // Сибирский математический журнал, 1998. Т. 39. № 3. С. 539550.

80. Ильин В.А. Поздняк Э.Г. Основы математического анализа. Т. 1,2 М.: Наука, 1971.

81. Ильин В.А. Поздняк Э.Г. Линейная алгебра. М.: Наука, 1973.

82. Ильинский A.C. см. Дмитриев A.M..

83. Исаков В.М. Обратные теоремы о гладкости потенциалов // Дифференциальные уравнения, 1975. Т. 11. № 1. С. 66-74.

84. Исаков В.М. Теоремы единственности для обратных задач тепловых потенциалов // Сибирский математический журнал, 19768. Т. 17. № 2. С. 260-272.

85. Исаков В.М. Об одном классе обратных задач для параболических уравнений // ДАН СССР, 1982. Т. 263. № 6. С 1296-1299.

86. Исаков В.М. Одна обратная задача для параболического уравнения // Дифференциальные уравнения, 1982. Т. 37. № 11. С. 108-109.

87. Искендеров А.Д., Ахундов А.Я. Обратная задача для линейной системы параболических уравнений // Докл. РАН, 2009. Т. 424. № 4. С. 442-444.

88. Искендеров А.Д., Тагиев Р.Г. Обратная задача об определении правых частей эволюционных уравнений математики и кибернетики // Вопросы прикладной математики и кибернетики, 1979. № 1.

89. Искендеров А.Д. Обратные задачи об определении правых частей дифференциальных уравнений // Известия АН Азербайджанской ССР, сер. Физ.-мат. науки, 1976. № 2.

90. Искендеров А.Д. Многомерные обратные задачи для линейных и квазилинейных уравнений // ДАН СССР, 1975. Т. 225. № 5.

91. Искендеров А.Д. Об обратной задаче для квазилинейных параболических уравнений//Дифференциальные уравнения, 1974. Т. 10. № 5. С 890-898.

92. Искендеров А.Д., Будак Е.М. Об одном классе обратных краевых задач с неизвестными коэффициентами //ДАН СССР, 1967. Т. 76. № 1. С. 20-22.

93. Искендеров А.Д. Об обратных краевых задачах с неизвестными коэффициентами для некоторых квазилинейных уравнений // ДАН СССР, 1968. Т. 178. № 5. С. 999-1003.

94. Камынин В.Л. Обратная задача определения коэффициента перед младшей производной в параболическом уравнении // Дифференциальные уравнения, 2012. Т. 48. № 2. С. 207-216.

95. Камынин В.Л. Об однозначной разрешимости обратной задачи определения старшего коэффициента в параболическом уравнении // Дифференциальные уравнения, 2011. Т. 47. № 1.С. 92-102.

96. Камынин В.Л., Бухарова Т.И. Обратная задача определения коэффициента поглощения в параболическом уравнении на плоскости // Вестник РУДН, сер. Математика, информатика, физика, 2011. № 2. С. 5-15.

97. Камынин В.Л., Костин А.Б. Две обратные задачи определения коэффициента в параболическом уравнении // Дифференциальные уравнения, 2010. Т. 46. №3. С. 372-383.

98. Камынин B.JI. Об обратной задаче определения старших коэффициентов в параболическом уравнении // Математич. заметки, 2008. Т. 84. № 1. С. 48-58.

99. Камынин B.JI. Об обратной задаче определения правой части в параболическом уравнении с условием интегрального переопределения // Математич. заметки, 2005. Т. 77. № 4. С. 522-534.

100. Камынин B.JI. Об однозначной разрешимости обратной задачи для параболических уравнений с условием интегрального переопределения // Математич. заметки, 2003. Т. 73. № 2. С. 217-227.

101. Камынин B.J1., Васин И.А. Асимптотическое поведение решений обратных задач для параболических уравнений с нерегулярными коэффициентами // Математический сборник, 1997. Т. 188. № 3. С. 49-64.

102. Канторович JI.B., Акнлов С.П. Функциональный анализ. М.: Физматлит, 1977.

103. Клебанов М.В. Единственность в целом некоторых многомерных обратных задач // В кн.: Неклассические проблемы математической физики. Новосибирск, 1981. С. 101-104.

104. Клебанов М.В. Об одном классе обратных задач для нелинейных параболических уравнений // Сибирский математический журнал, 1986. Т. 27. № 5. С. 83-94.

105. Клебанов М.В. Единственность в целом обратных задач для одного класса дифференциальных уравнений // Дифференциальные уравнения, 1984. Т. 20. № 11. С. 1974— 1963.

106. Кожанов А.И. О разрешимости коэффициентных обратных задач для некоторых уравнений соболевского типа // Научные ведомости Бел. ГУ, сер. Математика, физика, 2010. №18. С. 88-98.

107. Кожанов А.И. Обратная задача определения коэффициента поглощения в одномерном уравнении нелинейной диффузии // Математические заметки ЯГУ, 2008. Т. 15. № 2. С. 31-47.

108. Кожанов А.И. Параболические уравнения с неизвестными коэффициентами поглощения // Докл. РАН, 2006. Т. 409. № 6. С. 740-743.

109. Кожанов А.И. О разрешимости обратной задачи нахождения коэффициента теплопроводности // Сибирский математический журнал, 2005. Т. 46. № 5. С. 1053-1071.

110. Кожанов А.И. Нелинейная обратная задача с интегральным переопределением для некоторых параболических систем // Математические заметки ЛГУ, 2005. Т. 12. № 1. С. 54-56.

111. Кожанов А.И., Борисова Л.Ф. О разрешимости параболической обратной задачи с неизвестным коэффициентом и неизвестной правой частью // Математические заметки ЛГУ, 2005. Т. 12. № 1. С. 29-45.

112. Кожанов А.И. Обратная задача для параболического уравнения с неизвестными коэффициентами специального вида // В кн.: Неклассическне уравнения математической физики. Новосибирск: ИМ СО АН РАН, 2005. С. 187-176.

113. Кожанов А.И. Параболические уравнения с неизвестными коэффициентами, зависящими от времени // Вычислительная математика и математическая физика, 2005. Т. 45. № 12. С. 2168-2184.

114. Кожанов А.И. Об одном нелинейном нагруженном параболическом уравнении и о связанной с ним обратной задаче // Математические заметки, 2004. Т. 76. № 6. С. 840-853.

115. Кожанов А.И. Нелинейные нагруженные уравнения и обратные задачи // Вычислительная математика и математическая физика, 2004. Т. 44. № 4. С. 694-716.

116. Кожанов А.И. Об одной нелокальной краевой задаче для эллиптического уравнения // Математические заметки ЯГУ, 2001. Т. 8. № 1. С. 33-49.

117. Кожанов А.И. Задача об определении коэффициентов при младших членах в слабо связанной параболической системе // Математические заметки ЛГУ, 2000. Т. 7. № 2. С. 49-61.

118. Кожанов А.И. Уравнения составного типа и нелинейные обратные задачи для эллиптических и параболических уравнений. Препринт Инст1ггута математики СО РАН, 1998. № 54. С. 1-28.

119. Колмогоров А.Н., Фомин C.B. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1981.

120. Костин А.Б. Базисность одной системы функций, связанной с обратной задачей нахождения источника // Дифференциальные уравнения, 2008. Т. 44. № 2. С. 246-256.

121. Крылов И.В. Нелинейные эллиптические и параболические уравнения второго порядка. М.: Наука,1985.

122. Крылов И.В. Лекции по эллиптическим и параболическим уравнениям в пространствах Гёльдера. Новосибирск: Научная книга, 1998.

123. Лаврентьев М.М. О задаче Коши для уравнения Лапласа // Изв. АН СССР, сер. Матем., 1956. Т.20. № 6. С. 819-842.

124. Лаврентьев М.М. О некоторых некорректных задачах математической физики. Новосибирск: Изд. СО АН СССР, 1962.

125. Лаврентьев М.М. Условно-корректные задачи для дифференциальных уравнений. Новосибирск: Изд-во НГУ, 1973.

126. Лаврентьев М.М., Резницкая Н.Г. Теоремы единственности некоторых нелинейных обратных задач для уравнений параболического типа // ДАН СССР, 1973. Т. 208. № 3. С. 531-533.

127. Лаврентьев М.М., Резницкая Н.Г., Яхно В.Г. Одномерные обратные задачи для дифференциальных уравнений. Новосибирск: Наука, 1982.

128. Лаврентьев М.М., Романов Н.Г., Васильев В.Г. Многомерные обратные задачи для дифференциальных уравнений. Новосибирск: Наука, 1969.

129. Лаврентьев М.М., Романов Н.Г., Шишатский С.П. Некорректные задачи математической физики и анализа. М.: Наука, 1980.

130. Ландис Е.М. Уравнения второго порядка эллиптического и параболического типов. М.: Наука, 1971.

131. Ладыженская O.A., Солонников В.А., Уральцева H.H. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М.: Наука, 1967.

132. Ладыженская O.A., Уральцева H.H. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. М.: Наука, 1973.

133. Латтес Р., Лионе Ж.-Л. Метод квазиобращения и его приложения. М.: Мир, 1070.

134. Леонов A.C. Решение некорректно поставленных обратных задач. М.: Книжный дом ЛИБРОКОМ, 2010.

135. Миранда К. Уравнения с частными производными эллиптического типа. М.: Изд-во иностр. литер., 1957.

136. Михайлов В.П. Дифференциальные уравнения в частных производных. М.: Наука, 1983.

137. Орловский Д.Г. Обратная задача Дирихле для уравнения эллиптического типа // Дифференциальные уравнения, 2008. Т. 44. № 1. С. 119-128.

138. Орловский Д.Г. Обратная задача Коши для эволюционных уравнений в банаховом пространстве // В кн.: Анализ математических моделей физических процессов. М.: Энергоатомиздат, 1983. С. 84-90.

139. Орловский Д.Г. Об одной обратной задаче для дифференциального уравнения второго порядка в банаховом пространстве // Дифференциальные уравнения, 1989. Т. 26. № 6. С. 1000-1009.

140. Орловский Д.Г. Об обратной задаче Коши для уравнения эллиптического типа // В кн.: Теоретико-функциональные и численные методы анализа физических процессов. М.: Энергоатомиздат, 1989. С. 61-88.

141. Орловский Д.Г. К задаче определения параметра эволюционного уравнения // Дифференциальные уравнения, 1990. Т. 28. № 9. С. 1614-1621.

142. Орловский Д.Г. Сильные и слабые решения обратных задач для дифференциальных уравнений в банаховом пространстве // Дифференциальные уравнения, 1991. Т. 27. № 5. С. 867-874.

143. Орловский Д.Г. Определение эволюции параметра в абстрактном квазилинейном параболическом уравнении // Математические заметки, 1991. Т. 50. № 2. С. 111-119.

144. Орловский Д.Г. О решении одной обратной задачи для параболического уравнения в классе Гёльдера // Математические заметки, 1991. Т. 50. № 3. С. 107-112.

145. Орловский Д.Г. Обратные задачи для дифференциальных уравнений в банаховом пространстве. Диссертация на соискание ученой степени доктора физ.-мат. наук. М., 1992.

146. Петровский И.Г. Лекции по теории интегральных уравнений. М.: ГИТТЛ, 1951.

147. Петровский И.Г. Лекции об обыкновенных дифференциальных уравнениях. М.: ГИФМЛ, 1970.

148. Петровский И.Г. Лекции об уравнениях с частными производными. М.: ГИФМЛ,

1961.

149. Полынцева C.B. Задача идентификации коэффициентов при производных по времени и пространственной переменной // Математика и физика, 2008. Т.1, № 9. С. 308317.

150. Полынцева С.А. О задаче идентификации двух старших коэффициентов параболического уравнения с условием переопределения заданных на различных гиперплоскостях // Вестник Красноярского ГУ, сер. физ.-мат., 2004. № 3. С. 1107-1112.

151. Прилепко А.И. Метод полугрупп решения обратных, нелокальных и неклассических задач прогноз/управление и прогноз наблюдения эволюционного уравнения // Дифференциальные уравнения, 2005. Т. 41. № 11. С. 1560-1571.

152. Прилепко А.И. Обратные задачи и уравнения составного типа // В кн.: Обратные и некорректно поставленные задачи. Тезисы докладов Седьмой конференции, посвященной памяти академика А.Н. Тихонова в связи с 95-летием со дня рождения. Москва, МГУ им. Ломоносова, 26-28 июня 2001 г. М.: МАКС-Пресс, 2001. С. 70.

153. Прилепко А.И. Избранные вопросы в обратных задачах математической физики // В кн.: Условно-корректные задачи математической физики и анализа. Новосибирск: Наука, 1992.

154. Прилепко А.И. Обратные задачи теории потенциала // Математические заметки, 1973. Т. 14. №5. С 755-767.

155. Прилепко А.И. Некоторые условия единственности решения внешней обратной задачи теории потенциала переменной плоскости // Дифференциальные уравнения, 1968. Т. 4. № 1.С. 74-86.

156. Прилепко А.И. Об обратных задачах теории потенциала // Дифференциальные уравнения, 1967. Т. 3. № 1. С. 30-44.

157. Прилепко А.И. О единственности внешней обратной задачи ньютоновского потенциала//Дифференциальные уравнения, 1966. Т. 2. № 1.С. 107-124.

158. Прилепко А.И. Существование решений обратных задач теории потенциала // ДАН СССР, 1071. Т. 199. № 1.

159. Прилепко А.И., Костин А.Б. О разрешимости обратной задачи для уравнения теплопроводности // В кн.: Обратные задачи для математических моделей физический процессов. М.: МИФИ, 1991. С. 52-58.

160. Прилепко А.И.,Костин А.Б. О обратных задачах определения коэффициента в параболическом уравнении. I // Сибирский математический журнал, 1992. Т. 33. № 3. С. 146-156.

161. Прилепко А.И.,Костин А.Б. О обратных задачах определения коэффициента в параболическом уравнении II // Сибирский математический журнал, 1993. Т. 4. № 5. С. 147— 161.

162. Прилепко А.И.,Костин А.Б. О некоторых задачах восстановления граничного условия для параболического уравнения. I // Дифференциальные уравнения, 1996. Т. 32. № 1.С. 100-116.

163. Прилепко А.И.,Костин А.Б. О некоторых задачах восстановления граничного условия для параболического уравнения. II // Дифференциальные уравнения, 1996. Т. 32. № U.C. 1519-1528.

164. Прилепко А.И., Орловский Д.Г. О полугрупповом подходе к задаче определения неоднородного члена в эволюционных уравнениях // ДАН СССР, 1986. Т. 306. № 5. С. 1045— 1049.

165. Прнлепко А.И., Орловский Д.Г. Об определении параметра эволюционного уравнения и обратные задачи математической физики. I // Дифференциальные уравнения, 1985. Т. 21. № 1.С. 119-129.

166. Прилепко А.И., Орловский Д.Г. Об определении параметра эволюционного уравнения и обратные задачи математической физики. II // Дифференциальные уравнения, 1985. Т. 21. №4. С. 694-701.

167. Прилепко А.И., Орловский Д.Г. Об определении параметра эволюционного уравнения и обратные задачи математической физики. III // Дифференциальные уравнения, 1985. Т. 23. №8. С. 1343-1351.

168. Прилепко А.И., Орловский Д.Г. Обратные задачи для эволюционных полулинейных уравнений // ДАН СССР, 1984. Т. 277. № 4. С. 799-801.

169. Прилепко А.И., Орловский Д.Г. Определение эволюционного параметра в абстрактном параболическом уравнении // Дифференциальные уравнения, 1991. Т. 27. № 1. С. 114-120.

170. Прилепко А.И., Соловьев В.В. О разрешимости обратных задач определения коэффициента перед младшей производной в параболическом уравнении // Дифференциальные уравнения, 1987. Т. 23. № 1. С. 136-145.

171. Прилепко А.И., Соловьев В.В. Теоремы разрешимости и метод Ротэ в обратных задачах для уравнений параболического типа. I // Дифференциальные уравнения, 1987. Т. 23. № 10. С. 1791-1800.

172. Прилепко А.И., Соловьев В.В. Теоремы разрешимости и метод Ротэ в обратных задачах для уравнений параболического типа. II // Дифференциальные уравнения, 1987. Т. 23. № U.C. 1971-1980.

173. Пятков С.Г. О некоторых обратных задачах для эллиптических уравнений и систем // Сибирский журнал индустриальной математики, 2010. Т. 13. № 4. С. 83-96.

174. Пятков С.Г., Цыбиков Б.Н. О некоторых классах эволюционных обратных задач для параболических уравнений // Сибирский математический журнал, 2010. Т. 50. № 1. С. 175-189.

175. Пятков С.Г. Некоторые обратные задачи для параболических уравнений // Фундаментальная и прикладная математика. 2006. Т. 12. № 4. С. 187-202.

176. Пятков С.Г., Цыбиков Б.Н. О некоторых эволюционных обратных задачах для параболических уравнений // Докл. РАН, 2008. Т. 418. № 5. С. 596-598.

177. Розанова A.B. Обратная задача для нелинейного абстрактного эволюционного уравнения // Вестник ун-та Дружбы Народов, сер Матем., 2003. № 1. С. 71-89.

178. Романов В.Г. Обратные задачи математической физики. М.: Наука, 1984.

179. Смирнов Г.П., Фатыхов М.А. О задаче определения правой части уравнения теплопроводности //Дифференциальные уравнения, 1988. Т. 24. № 4. С. 711-714.

180. Солдатов А.П. Асимптотики интегралов типа Коши для эллиптических систем.// ДАН СССР. 1986.Т.289.№4.С.271-273.

181. Солдатов А.П. Одномерные сингулярные операторы и краевые задачи теории функций. М., Высшая школа, 1991, 208с.

182. Соловьев В.В. Об одной обратной задаче для уравнения теплопроводности. В кн.: Избранные вопросы математической физики и теории функций. М.: Изд. МИФИ, 1979, с. 77-81.

183. Соловьев В.В., Подливаев И.Ф. Конечноразностное решение одной обратной задачи для уравнения теплопроводности // В кн.: Математические методы исследования физических процессов. М.: Энергоатомиздат, 1982. С. 66-71.

184. Соловьев В.В., Прилепко А.И., Иванков A.A. Обратные задачи для уравнений переноса и уравнений параболического типа // В кн.: Единственность, устойчивость и методы решения некорректных задач математической физики и анализа. Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1984. С. 137-143.

185. Соловьев В.В. Одна одномерная обратная задача для уравнения теплопроводности с интегральным переопределением // В кн.: Функциональные методы в задачах математической физики. М.: Энергоатомиздат, 1985. С. 54-56.

186. Соловьев В.В. Обратная задача для уравнения теплопроводности с переопределением на верхней крышке// В кн.: Теоретико-функциональные методы в задачах математической физики. М.: Энергоатомиздат, 1986. С. 77-81.

187. Соловьев В.В. Обратные задачи для уравнения параболического типа с неизвестным источником и коэффициентами. Автореферат диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук. М.: Изд. МИФИ, 1986.

188. Соловьев В.В., Прилепко А.И. Некоторые обратные задачи для уравнения параболического типа // В кн.: Условно-корректные задачи математической физики и анализа. Красноярск: Изд-во КГУ, 1988. С. 156-161.

189. Соловьев В.В., Прилепко А.И. Обратная задача определения источника в параболическом уравнении в случае краевых условий третьего ряда // В кн.: Теоретико-функциональные и численные методы решения прямых и обратных задач математической физики. М.: Энергоатомиздат, 1988. С. 105-112.

190. Соловьев В.В. Фредгольмовость одной обратной задачи определения правой части в параболическом уравнении // В кн.: Анализ математических моделей физических процессов. М.: Энергоатомиздат, 1988. С. 90-95.

191. Соловьев В.В. О разрешимости обратной задачи определения источника с переопределением на верхней крышке для параболического уравнения // Дифференциальные уравнения, 1989. Т. 25. № 9. С. 1577-1583.

192. Соловьев В.В. О конечноразностном решении одной обратной задачи определения источника для уравнения теплопроводности // В кн.: Теоретико-функциональные и численные методы анализа физических процессов. М.: Энергоатомиздат, 1989. С. 73-79.

193. Соловьев В.В. О разрешимости обратной задачи для параболического уравнения в случае третьей начально-краевой задачи // В кн.: Обратные задачи для математических моделей физических процессов. М.: МИФИ, 1991. С. 75-79.

194. Соловьев В.В. Об управлении коэффициентами в полулинейном уравнении параболического типа // В кн.: Управление нелинейными системами: Сборник трудов. М.: ВНИИСИ, 1991. № 4. С. 36-40.

195. Соловьев В.В. Существование и единственность решения обратной задачи определения источника с переопределением на верхней крышке // В кн.: Теоретико-функциональные и численные методы исследования прямых и обратных задач математической физики. М.: Энергоатомиздат, 1992. С. 141-148.

196. Соловьев В.В. О существовании решения в задаче определения коэффициента в полулинейном уравнении параболического типа // Дифференциальные уравнения, 1992. Т.28. № 12. С. 2101-2110.

197. Соловьев В.В. Определение источника и коэффициентов в параболическом уравнении в многомерном случае // Дифференциальные уравнения, 1995. Т. 31. № 6. С.1060-1069.

198. Соловьев В.В. Существование решения в «целом» обратной задачи определения источника в квазилинейном уравнении параболического типа // Дифференциальные уравнения, 1996. Т. 39. № 4. С. 546-554.

199. Соловьев В.В. Обратные задачи определения источника для уравнения Пуассона на плоскости // Журнал вычислительной математики и математической физики, 2004. Т. 44. №5. С. 862-871.

200. Соловьев В.В. Обратные задачи для эллиптических уравнений на плоскости. I // Дифференциальные уравнения, 2006. Т.42. № 8. С. 1106-1114.

201. Соловьев В.В. Обратные задачи для эллиптических уравнений на плоскости. II // Дифференциальные уравнения, 2007. Т.43. № 1. С. 101-109.

202. Соловьев В.В. Обратные задачи определения источника и коэффициента в эл-липтическом.уравнении в прямоугольнике // Журнал вычислительной математики и математической физики, 2007. Т. 47. № 8. С. 1365-1377.

203. Соловьев В.В. Обратные задачи для эллиптических уравнений в пространстве. I // Дифференциальные уравнения, 2011. Т. 47. № 4. С. 499-506.

204. Соловьев В.В. Обратные задачи для эллиптических уравнений в пространстве. II // Дифференциальные уравнения, 2011. Т. 47. № 5. С. 714-723.

205. Соловьев В.В. Обратная задача определения коэффициента в уравнении Пуассона в цилиндре //Журнал вычислительной математики и математической физики, 2011. Т. 51. № 10. С. 1-8.

206. Соловьев В.В. О разрешимости обратных коэффициентных задач для параболических уравнений // Вестник МГОУ, сер. Физика, математика, 2012. № 1. С. 23-27.

207. Соловьев В.В. Разрешимость обратных задач для эллиптических уравнений в цилиндре // Вестник МГОУ, сер. Физика, математика, 2012. № 1. С. 27-38.

208. Соловьев В.В. Об обратных задачах для параболического уравнения с переопределением в фиксированных точках // Вестник МГОУ, сер. Физика, математика, 2012. № 3. С.6-11.

209. Соловьёв В.В. Обратные задачи определения коэффициента для эллиптических уравнений в цилиндре. I. //Дифференциальные уравнения, 2013. Т. 49. №8. С. 1026-1035.

210. Соловьёв В.В. Обратные задачи определения коэффициента для эллиптических уравнений в цилиндре.Н. // Дифференциальные уравнения, 2013. Т. 49. №12. С. 1607-1615.

211. Тихонов А.Н. Об устойчивости обратных задач // ДАН СССР, 1943. Т. 39. №5.С.195-198„

212. Тихонов А.Н. О единственности решения задачи электроразведки // ДАН СССР, 1949. Т. 69. №6.С.797-800.

213. Тихонов А.Н. О решении некорректно поставленных задач и методе разрешимости // ДАН СССР, 1963. Т. 151. № 3. С. 501-504.

214. Тихонов А.Н. О решении некорректно поставленных задач // ДАН СССР, 1963. Т. 153. № 1.С. 49-52.

215. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука,

1986.

216. Тихонов А.Н., Васильева А.Б., Свешников Л.Г. Дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1987.

217. Тихонов А.Н., Самарский A.A. Уравнения математической физики. М.: Наука,

1967.

218. Тихонов И.В., Эйдельман Ю.С. Критерий единственности в обратной задаче для абстрактного дифференциального уравнения с нестационарными неоднородными слагаемыми // Математические заметки, 2005. Т. 77. № 2. С. 273-290.

219. Тихонов И.В., Эйдельман Ю.С. Обратная задача для дифференциального уравнения в банаховом пространстве и распределение нулей целой функции типа Миттаг-Леффлера// Дифференциальные уравнения, 2002. Т. 38. № 5. С. 637-644.

220. Тихонов И.В. Соображения монотонности в обратной задаче для абстрактных дифференциальных уравнений // Интегральные преобразования и специальные функции, 2001. Т. 2. № 1.С. 119-128.

221. Тихонов И.В., Прилепко А.И. Принцип позитивности решения в линейной обратной задаче и его применение к коэффициентной задаче теплопроводности // Докл. РАН, 1999. Т. 354. № 1. С 21-23.

222. Тихонов И.В. Обратные, нелокальные и краевые задачи для эволюционных уравнений. Диссертация на соискание ученой степени доктора физ.-мат. наук. М., 2008.

223. Тихонов И.В. О разрешимости задачи с нелокальным интегральным условием для дифференциального уравнения // Дифференциальные уравнения, 1998. Т. 34. № 6. С. 841-843.

224. Тихонов И.В. Теоремы единственности в линейных нелокальных задачах для абстрактных дифференциальных уравнений // Известия РАН, сер. Математика, 2000. Т. 67. №2. С. 133-166.

225. Тихонов И.В. Структурные свойства нуль-решений абстрактной задачи Коши // Интегральные преобразования и специальные функции, 2002. Т. 3. № 1. С. 22-38.

226. Ткаченко Д.С., Прилепко А.И. Корректность обратной задачи об источнике для параболических систем // Дифференциальные уравнения, 2004. Т. 40. № 11. С. 1540-1547.

227. Ткаченко Д.С., Прилепко А.И. Фредгольмовость обратной задачи об источнике для параболических систем // Дифференциальные уравнения, 2003. Т. 39. № 12. С. 16931700.

228. Ткаченко Д.С. Об одной обратной задаче для параболических уравнений // Математические заметки, 2004. Т. 75. № 5. С. 729-743.

229. Ткаченко Д.С., Прилепко А.И. Свойства решений параболического уравнения и единственность решения обратной задачи об источнике с интегральным переопределением // Журнал вычислительной математики и математической физики, 2003. Т. 43. № 4. С. 562570.

230. Треногин В.А. Функциональный анализ. М.: Физматлит, 2002.

231. Узлов А.Е. О некоторых обратных задачах для уравнения параболического типа // В кн.: Математические методы исследования физических процессов. М.: Энергоатомиздат, 1982. С. 78-84.

232. Узлов А.Е. Теоремы существования и единственности решений обратных задач для уравнений второго порядка параболического типа // Дифференциальные уравнения, 1979. Т. 15. №2. С. 370-372.

233. Фридман А. Уравнения с частными производными параболического типа. М.: Мир, 1968.

234. Фроленков И.В., Кригер E.H. О задаче идентификации функции источника специального вида в двумерном параболическом уравнении // Журнал Сибирского ФУ, сер. Математика и физика, 2010. Т. 9. № 4. С. 556-564.

235. Хатсон В., Пим Дж. Приложения функционального анализа и теории операторов. М. Мир, 1983.

236. Хайдаров А. О существовании решения одной обратной задачи для эллиптического уравнения // В кн.: Методы решения обратных задач. Новосибирск, 1983. С. 126-129.

237. Хайдаров А. Один класс обратных задач для эллиптических уравнений // ДАН СССР, 1984. Т. 277. № 6. С. 1335-1337.

238. Хайдаров А. Об одной обратной задаче для эллиптических уравнений // В кн.: Некорректные задачи математической физики и анализа. Новосибирск: Наука, 1984. С. 245249.

239. Хайдаров А. Шаудеровские оценки и обратные задачи для уравнений эллиптического типа // В кн.: Качественные и аналитические методы в диагностике систем. Самарканд: Изд. Самаркандского ГУ, 1987. С. 75-82.

240. Хайдаров А. Один класс обратных задач для эллиптических уравнений // Дифференциальные уравнения, 1987. Т. 23. № 7. С. 1376-1383.

241. Хайдаров А. Об оценках и существовании решений одного класса обратных задач для эллиптических уравнений // ДАН СССР, 1987. Т. 294. № 1. С. 41-43.

242. Хайдаров А. Об оценках устойчивости в многомерных обратных задачах для дифференциальных уравнений // ДАН СССР, 1988. Т. 308. № 4. С. 803-806.

243. Хайдаров А. Один класс обратных задач для эллиптических уравнений // Сибирский математический журнал, 1990. Т. 31. № 4. С. 149-159.

244. Хайдаров А. Исследование многомерных обратных задач для эллиптических и гиперболических уравнений. Диссертация на соискание ученой степени доктора физ.-мат. наук. Самарканд. 1991.

245. Хайдаров А. Зарипов 3. Единственность и устойчивость решений обратных задач для дифференциальных уравнений второго порядка.//Докл. РАН. 1999.Т.368.С.316-317.

246. Черепова М.Ф. О разрешимости краевых задач для параболического уравнения. //Докл. РАН. 2006. Т.411, №2. С.171-172.

247. Черепова М.Ф. О регулярности решений краевых задач для параболических уравнений второго порядка в весовых пространствах Гёльдера.// Дифференциальные уравнения. 2013. Т.49. №1. С. 79-87.

248. Чурбанов Д.В., Щеглов АЛО. Пример неединственности восстановления правых частей эллиптического уравнения // Вестник МГУ, 2012. № 1. С. 49-52.

249. Щеглов А.Ю. О единственности одновременного определения трех коэффициентов в одной обратной задаче для нелинейного уравнения теплопроводности // Вестник МГУ, сер. 15,2001. №2. С. 13-18.

250. Эйдельман С.Д. Параболические системы. М.: Наука, 1964.

251. Эйдельман Ю.С. Прямая и обратная задачи для дифференциальных уравнений в пространстве с конусом //Докл. РАН, 1999. Т. 364. № 1. С. 24-26.

252. Эманунлов O.IO. Один класс обратных задач для полулинейных эллиптических и параболических уравнений // В кн.: Труды Московского математического общества. Т. 55. М.: Изд. МГУ, 1994. С. 285-309.

253. Яхно В.Г. Об одной обратной задаче для системы параболических уравнений // Дифференциальные уравнения, 1979. Т. 15. № 3. С. 566-569.

254. Яхно В.Г. О классах единственности и устойчивости одной постановки обратной задачи для параболических уравнений второго порядка // В кн.: Некорректные математические задачи и проблемы геофизики. Новосибирск, 1979. С. 154- 155.

255. Яхно В.Г. Обратные задачи для дифференциальных уравнений. Новосибирск: Наука, 1990.

256. Belov Yu.Ya. Inverse Problems for Partial Differential Equations. VSP, Utrecht, Boston, Koln, Tokyo,2002.

257. Cannon J.R., Duchatean F. Determining unknown coefficients in a nonlinear heat conduction problem // SLAM J. Appl. Math., 1973. V.24. N. 3. P. 296-314.

258. Cannon J.R., Lin Y. Determination of parameter p[f) in Holder classes for some semilinear parabolic equation // Inverse problems, 1988. V. 4. N. 3. P. 596-606.

259. Cannon J.R., Lin Y. Determination of parameter p(f) in some quasilinear parabolic differential equations // Inverse problems, 1988. V. 4. N. 1. P. 35-45.

260. Cannon J.R., Rundell W. An inverse problem for an elliptic partial differential equations // J. Math. Anal. Appl., 1987. V. 126. N. 2. P. 329-340.

261. Isakov V. Inverse Problems for Partial Differential Equations. Springer, New York,

2006.

262. Isakov V. Inverse Source Problems. Math. Surveys and Monographs Series, vol. 34, AMS, Providence, R.I., 1990.

263. Isakov V. Inverse Parabolic Problems with the Final Overdetermination.//Comm. Pure. Appl. Math., 54(1991), 185-209.

264. Isakov V. On uniqueness in inverse problems for semilinear parabolic equations. //Arch. Rat. Mech. Anal., 124 (1993), 1-13.

265. Gevrey M. Sur les equations aux derivees partielles du type parabolique .// J. de Math. (6),10,(1913),105-148.

266. Levy E.E. Sulle equazioni lineare totalemente ellitiche all derivate parziali.//Rend. Circ. Matem. Palermo 24,1907,275-317.

267. Lorenzi A. An inverse problem for quasilinear parabolic differential equations // Ann. di Mat. para ed appl., 1986. V. 142. P. 145-169.

268. Pillant N.S., Rundell W. An inverse problem for nonlinear elliptic differential equations // Comm. Part. Differ. Equat., 1986. V. 11. N. 4. P. 445-457.

269. Pillant N.S., Rundell W. An inverse problem for a nonlinear elliptic differential equation//SIAM J. Math. Anal., 1987. V. 18.N. 6. P. 1801-1809.

270. Pillant N.S., Rundell W. Fired point methods for a nonlinear parabolic inverse coefficient problem // Comm. Part. Duffer, Equat., 1988. V. 13. N. 4. P. 469-493.

271. Prilepko A.I., Orlovsky D.G., Vasin I.A. Methods for Solving Inverse Problems in Mathematical Physics. Marcel Dekker. Inc., New York-Basel. 2000.

272. Rundell W. Determination of an unknown non-homogeneous term in a linear partial differential equation from over specified boundary data // Appl. Anal., 1980. V.10. P. 231-240.

273. Rundell W. The determination of a parabolic equation from inifial and final data // Proc. Amer. Math. Soc., 1987. V. 99. N. 4. P. 637-642.

274. Rundell W. An inverse problem for an elliptic partial differential equation // J. Math. Anall. Appl., 1987. V. 126. P. 329-340.

275. Schauder J. Der Fixpunktsatz in Funktionalraumen.//Studia Math., 2(1930), 171-130.

Обратные задачи для уравнений эллиптического и параболического типа в пространствах Гельдера

Соловьев В.В. 15 Октября 2014 г.

Оглавление

Введение

Глава 1. Обратная задача определения источника в эллиптическом уравнении

Глава 2. Обратные задачи определения коэффициента для уравнения эллиптического типа

Глава 3. Обратный задачи для уравнений параболического типа с переопределением на верхней крышке в цилиндре

Глава 4. Обратные задачи с переопределением в фиксированных точках для параболического уравнения

Список авторов работ, цитируемых в диссертации*

► A.M. Алифанов , А.Х. Амиров , Ю.С. Аниканов , Н.Я. Безнощенко, Ю.Я. Белов, А.В. Бицадзе, А./l. Бухгейм, П.Н.Вабищевич, В.М. Волков, В.Б. Гласко, H./I. Гольдман, А.В. Гончарский, A.M. Денисов,

В.И. Дмитриев, В.К. Иванов, В.А. Ильин, А.С. Ильинский, В.М. Исаков, А.Д. Искендеров, В.Л. Камынин, М.В. Клебанов, А.И. Кожанов, А.Б. Костин, М.М. Лаврентьев, А.С. Леонов, Е.И. Моисеев, Д.Г. Орловский, А.И. Прилепко, С.Г. Пятков, В.Г. Романов, А.А. Самарский, А.Н. Тихонов, И.В. Тихонов, Д.С. Ткаченко, А. Хайдаров, А.Ю. Щеглов, С.Д. Эйдельман, В.Г. Яхно, I.R. Cannon, A. Lorenci, N.S. Pillant, W. Rundell и других авторов.

► Prilepko A.I., Orlovsky D.G., Vasin I.V. Methods for Solving Inverse Problems in Mathematical Physics. New-York-Basel: Marsel Dekker Inc., 2000.

► Isakov V. Inverse Problems for Partial Differential Equations. New-York: Springer, 2006.

* Подробный обзор этих работ приведен в кннге А.И. Прилепко (по состоянию на 2000г ), а также в более поздней книге, V. Isakov (2006г.) и соответствующих ссылках в статьях приведенных в конце автореферата.

Основные результаты диссертации (1/2):

1. Поставлена и изучена обратная задача определения источника для общего линейного равномерно эллиптического уравнения в области, доказаны справедливость альтернативы Фредгольма в различных пространствах Гёльдера.

2. При некоторых дополнительных предположениях для обратной задачи с переопределением внутри области получены различные достаточные условия единственности решения этой обратной задачи.

3. Получен ряд теорем, дающих достаточные условия однозначной разрешимости обратной задачи определения правой части равномерно эллиптического уравнения с переопределением внутри области, получены оценки устойчивости к малым изменениям входных данных в различных пространствах Гёльдера.

4. Проведено рассмотрение обратной задачи определения источника в равномерно эллиптическом уравнении с переопределением на границе области, доказана справедливость альтернативы Фредгольма. указаны различные достаточные условия единственности решения и получен ряд теорем, гарантирующих существование единственного решения обратной задачи и его устойчивость к малым изменениям входных данных в различных пространствах Гёльдера.

5. Рассмотрена обратная задача определения коэффициента в равномерно эллиптическом уравнении с переопределением внутри области. Для этой задачи получены глобальные условия единственности ее расширения для различных типов областей и в различных пространствах Гельдера. Для цилиндра доказаны достаточные условия существования решения этой задачи и условия ее однозначной разрешимости.

6. Изучена обратная задача определения коэффициента в равномерно эллиптическом уравнении с переопределением на границе. Для цилиндра получены глобальные достаточные условия существования единственного решения этой обратной задачи.

Основные результаты диссертации (2/2):

7. Рассмотрена обратная задача определения источника для равномерно параболического уравнения общего вида в цилиндре с переопределением на верхней крышке (финальным переопределением). Для этой обратной задачи доказана справедливость альтернативы Фредгольма в пространствах Гёльдера.

8. При различных дополнительных предположениях о коэффициентах равномерно параболического уравнения получены различные достаточные условия единственности решения обратной задачи определения правой части этого уравнения.

9. На основе полученных достаточных условий единственности решения обратной задачи определения правой части равномерно параболического уравнения и доказанной ранее альтернативы Фредгольма для этой задачи получены различные достаточные условия однозначной разрешимости этой обратной задачи в пространствах Гельдера.

10. Рассмотрена обратная задача определения коэффициента в равномерно параболическом уравнении с финальным переопределением, получены различные достаточные условия единственности ее решения. При некоторых дополнительных ограничениях доказана теорема существования и единственности.

11. Для задачи определения коэффициента в равномерно параболическом квазилинейном уравнении в цилиндре с финальным переопределением получены различные достаточные условия существования решения.

12. Рассмотрена обратная задача определения источника для равномерно параболического уравнения с переопределением в фиксированных пространственных точках. Доказана единственность решения обратной задачи для случая нелинейного параболического уравнения самого общего вида. В линейном и квазилинейном случаях для этой задачи доказана однозначная разрешимость. Рассмотрены случаи задачи Коши и краевых задач для нелинейного параболического уравнения.

Обратная задача определения источника для общего линейного равномерно эллиптического уравнения в области, удовлетворяющей условию (А)* с переопределением внутри области

Пусть К" - л-мерное евклидово пространство точек х = (*,, ..., х„), пространство К" вложено в евклидово пространство точек К"*1, которые далее будем обозначать (у, х) = (у, х,, ..., х„). Всюду далее 0 < а < 1 - фиксированное число, О с К1 - ограниченная область с границей класса с1а, числа <7. Чи Ч; удовлетворяют неравенствам д » 0, <7, < 0 <

<?(Ч1.Ч2) = {0,.*)еКп+,;Ч1<у<«?2.хеО} (?(Ч) = {(у,дг)еК"+1; -ч<у<ч, хеО}

Г(Ч1.яг) = [(>.*) екпИ;Ч, <У< Чг, *е во} г(ч) = {(у,х) е -я<у<ч, *еао)

X,

ОДЧиЧг)

Определение области, удовлетворяющей условию (А)

Будем говорить, что область fie К" + 1 удовлетворяет условию (А), если существуют такие числа q, р, 0 < q < р, что для области iî выполнены условия

q(q) с Л с Q(p).

Если <?(<?!,с п, то будем говорить, что область П удовлетворяет условию (А) с цилиндром <?(<?!,<?2)> и обозначать

д = тт{Ы,92}

Условие

Условие (А цилиндров

<?(<?!. <?г)

Определение необходимых функциональных пространств Гельдера и строго эллиптического оператора I. в области О, удовлетворяющей условию (А)

Пространства функций, необходимые для дальнейших формулировок с областями определения П по правилу:

► ^(П) = {и 6 С(Л): 3 q> О и 6 С2а(Я и Г(д))}

► С(Л) = {деС(/}):Э Ч>0 ЯеСа(Я)пС«(9(ч))}

► М(дП) = 1м е С(дП): В q> О це С2л(Г(<7))}

Пусть в замкнутой области П определен линейный строго эллиптический оператор I следующего вида:

(Lu)(y.x) = (iioo(y.*)»yrtv,x) + ^ a0,iv.x)uyXl(y.x) + Ь0(у, r)u,.(y, х))

:(Lyu)(y.x) + (LlU)(y.x)

w

Оглавление

► Введение

Глава 1. Обратная задача определения источника в эллиптическом уравнении

► Глава 2. Обратные задачи определения коэффициента для уравнения эллиптического типа

► Глава 3. Обратный задачи для уравнений параболического типа с переопределением на верхней крышке в цилиндре

► Глава 4. Обратные задачи с переопределением в фиксированных точках для параболического уравнения

Постановка обратной задачи определения источника с переопределением внутри области

Рассмотрим обратную задачу определения пары ц(у, х) функций (u,/) е £/х(Л) х C"(D) из условий:

m СLu)(y.x) = nx)h(y.x)+g(y,x). (у.х)еП. u(y.x) = v(y, X), (у.х)едп

(2) ► и(0, лг) = х(х), х е D

У

Х(х)

X,

Вопрос о разрешимости обратной задачи (1 )-(2) тесно связан с разрешимостью однородной обратной задачи определения пары функций из условий

(Lu)(y.x)-f(x)h(y.x) = о, (у,х)ЕП, () и(у,х) = 0, (у.х)едП. u(0,x) = 0, x€D

Определим также множество троек функций R(/2):

Л(Д) = [(а.и.хУ.д 6 с(Я)./1 е M(dD),x е с2аф),Х(х)

= ц(0,х).х Е 3D)

2 .а

Теорема 1.9.1 (альтернатива Фредгольма для задачи (1)-(2))

► Пусть область О удовлетворяет условию (А) и условию «внешнего конуса», для коэффициентов строго эллиптического в области О оператора I. и функции И справедливы условия а^.Ь^с.И е Са(Л) п

са(007)) П С (Л), (ац) .ibdy.Cy.hy Е Са((?(ч)),1,у = 0,1.....п. выполнены

неравенства с(у,х) £ 0, 1/1(0,*)! 2: Л0 > 0, (у, х)е

Тогда для обратной задачи (1 )-(2) справедливо одно из двух

утверждений:

► 1) обратная задача (1 )-(2) имеет единственное решение для любой тройки функций (д.ц.х) £ Я (Л) (в частности, если д = 0, ц = 0, х = 0> единственное решение и = 0, /=0);

► 2) однородная обратная задача (3) имеет конечное число линейно независимых решений.

Достаточные условия однозначной разрешимости _ обратной задачи (1)-(2) (I) .

^^ть оператор 1м имеет следующий вид (¿и)(у,х) = а(х)иуу(у,*) + у а1;(х)иХ1Х)(у,х) + ^ Ь,(х)и,1 (у,х) +с(х)и(у,х) Теорема 1.10.1.

Пусть область П удовлетворяет условию (А) с цилиндром Чг), ч = ™'п{141|. Чг), и условию -внешнего конуса», для коэффициентов строго эллиптического в области О оператора I справедливы условия: а.а,;.Ь,,с 6 С"(б)для функции Ь справедливы условия А е С(Я) п С"(Л), И, Ну, Иуу е С"(0(д,. 92)) выполнены неравенства с(л) < 0, |Ь(0, г)| > Л0 > 0, * 6 О. Для оператора 1Х выполнено

неравенство

I

(; > ДоЮ2. * 6 О.р - || - ||/Ао • ¿о > 0 фиксированная постоянная, величина у определяется по формуле

у=| а

и при этом для нее справедливо неравенство у < 1.

у = maxj

-||.

МО. I ..... 140.

Пусть выполнено, по крайней мере, одно из двух условий:

1) область 0 при некотором I. i е {1.....п} лежит в полосе 0<х, </„ при этом для величины I, выполнено неравенство I, < I.

где число /. определяется гю формуле

'■-JT-

И'1

ж)'

2) для коэффициента с(х) справедливо неравенство с(х)/а (х) й -ге < 0, при этом число ге удовлетворяет условиям ае > ае0, где величина ае0 определяется по формуле

. Тогда обратная задача (1) (2) имеет единственное решение для любой тройки функций (д.^.х) € Я(Я).

Ш

Достаточные условия однозначной разрешимости обратной задачи (1)-(2) (II)

Для цилиндра Л = <?(<?!, <?г)

аи(х)иХ1Х/(у.х) + ^ Ь((дг)«х(Су. *) + с(х)и(у.х)

Теорема 1.10.4.

► Пусть для коэффициентов строго эллиптического в области Л = <?(<71,<?2) оператора I. и функции И справедливы условия: а,ау,ауу,Ь,Ну,куу е С"(Л) П С(Л),

а(),Ь,.с е Саф). выполнены неравенства с(х)<0, ауу(у,х) + с(дг) < 0, И(у,х) > 0, /гуу(у,х) <0, /г(0,х) > Л0 > °> (У.х) е П. Тогда обратная задача (1)-(2) имеет единственное решение для любой тройки функций

Постановка обратной задачи определения источника с переопределением на границе(2/2)

Рассмотрим обратную задачу определения пары функций

(ц,/) е ^(Л,) х С"ф) из условий:

(1и)(у. х) = ПхЩу.х) + д{у,х),(у,х) е Л_,

(4) и(у,х) = //о.дг), Су,дг) 6 дЛ_\Г0, и/о.х) = 0, х 6 о

(5) и(0,х) = Х(х),хе5

и = ц

В области, удовлетворяющей условию (В), и на ее границе определим следующие множества функций:

► С(Л-) = (se С(Л_): 3<7 > 0 ¿7 еС(Л - U Q^q))},^(<7) = {(у,6 Rn+1:-<? < у < 0, дг 6 О},

► M(df}-) = [ц е С(дЛ_): 3<j > 0 ft е С2 "(/i(<?)), = 0, л: 6 3D) Определим следующие линейные множества троек функций: