Классическая разрешимость задачи Коши для параболических уравнений тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Ахметов, Денис Робертович

• Ахметов, Денис Робертович
• кандидат физико-математических наук
• 1999

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Ахметов, Денис Робертович

Оглавление

1 Об изоморфизме, порождаемом линейным парабо-

лическим уравнением

1.1 Задача Коши для параболического уравнения с постоянными коэффициентами

1.2 Задача Коши для параболического уравнения с переменными коэффициентами

1.3 Критерий изоморфизма для параболического оператора с переменными коэффициентами

1.4 Анализ условий Зигмунда

2 О необходимых и достаточных условиях классической разрешимости задачи Коши

2.1 Критерий классической разрешимости задачи Коши

в классе уравнений

2.2 Необходимое условие существования классического решения

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Классическая разрешимость задачи Коши для параболических уравнений»

Введение

В общей теории дифференциальных уравнений с частными производными особое место занимает проблема поиска условий классической разрешимости различных начально-краевых задач для основных уравнений математической физики. Даже в самых простых случаях эта проблема до сих пор остается актуальной. Рассмотрим, например, задачу Коши для уравнения теплопроводности

Щ = ихх + f(x, £) при I > 0, и(х,0) = у>(х). (0.1)

Напомним, что классическим решением этой задачи называется непрерывная при £ > 0 функция и(х:£), имеющая при £ > 0 непрерывные производные щ, ихх и удовлетворяющая уравнениям (0.1).

Хорошо известно, что задача Коши (0.1), вообще говоря, не имеет классического решения, если функция f{x,t) только лишь непрерывна и не подчинена каким-нибудь дополнительным ограничениям. Уже в случае, когда правая часть не зависит от переменной ж, в классе ограниченных функций и(х^) задача (0.1) с нулевыми начальными данными эквивалентна обыкновенному дифференциальному уравнению (см. [1])

и'(г) = /(£) при £ > 0, и(0) = 0, (0.2)

необходимым и достаточным условием классической разрешимости которого является непрерывность функции /(¿) при £ > 0 и

сходимость несобственного интеграла Римана

1

! /(*) М < оо.

о

Однако никаких эффективных необходимых и достаточных условий сходимости несобственных интегралов не существует.

Естественно, что для задачи (0.1) дело обстоит еще сложнее. В частности, в рассмотренном случае обыкновенного дифференциального уравнения (0.2) непрерывности и ограниченности правой части /(£) достаточно для существования классического решения, а в случае задачи (0.1) это не так. Имеется пример равномерно непрерывной ограниченной функции /(#,£), для которой не существует классического решения задачи (0.1) (см. [2]).

В некоторых случаях можно сформулировать необходимые и достаточные условия классической разрешимости задачи (0.1) в терминах свойств интеграла, представляющего собой свертку правой части с фундаментальным решением уравнения. Такие условия оказываются трудно проверяемыми, но тем не менее представляются полезными, так как они проясняют роль интеграла Дюамеля в проблеме построения классических решений. Например, справедливо следующее утверждение.

Пусть функция бесконечно дифференцируема в полосе

{х £ М, £ Е (0,Т]} и для каждого е £ (0,Т) удовлетворяет условию

тах|/(М)| <С{е)гмЫ\

где М > 0 — некоторая постоянная, не зависящая от е. Для того чтобы существовало ограниченное классическое решение задачи (0.1) с нулевыми начальными данными, необходимо и достаточно, чтобы существовало такое положительное То, при ко-

тором функция

1Г [ . 1 е~(х~£)2//(£ т) ¿^т при I > е,

О при£ < £

определена на множестве {х £ £ £ [О, То], £ £ (О,То]} и равномерно сходится при £—> О на любом компакте \х\ < А < оо, £ £ [О, То] к некоторой ограниченной функции ь(х, ¿).

Необходимость этого условия следует из теоремы 4 и замечания б второй главы диссертации, а достаточность нетрудно доказать, используя гипоэллиптичность оператора теплопроводности.

Данное необходимое и достаточное условие является, вообще говоря, неэффективным, однако, когда функция /(#,£) не зависит от переменной х, оно совпадает с приведенным выше необходимым и достаточным условием классической разрешимости задачи Коши (0.2) для обыкновенного дифференциального уравнения и является его обобщением на многомерный случай. В обоих примерах его можно сформулировать как существование свертки правой части с фундаментальным решением соответствующего уравнения, но в общем случае в отличие от задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения необходимо дополнительно потребовать равномерную сходимость интеграла, представляющего эту свертку.

Целью настоящей работы является поиск эффективных достаточных условий классической разрешимости задачи (0.1), близких к необходимым.

При изучении вопросов такого характера обычно указывают пару линейных многообразий V и Л и определяют в них нормы так, чтобы оператор задачи Коши (0.1) С \ и —>• (/, был изоморфизмом пространств V и Л и, кроме того, обеспечивал точные коэрцитивные оценки норм решений.

Поиск таких пространств V и 1Z начался еще в работах Ю. Ша-удера [3] и К. Чилиберто [4] и продолжается до настоящего времени (см. [5-22]). Фундаментальную роль в развитии этого направления сыграла работа Ю. Шаудера [3]. В ней впервые были получены априорные оценки решений линейных эллиптических уравнений 2-го порядка в нормах Гёльдера. Впоследствии все аналогичные оценки для решений различных квазиэллиптических уравнений стали называть "шаудеровскими". Лишь спустя 20 лет в 1954 году такого рода оценки удалось получить для линейных параболических уравнений 2-го порядка. Их впервые установил К. Чилиберто [4] в одномерном по пространственным переменным случае. Затем в работах А. Фридмана [5] и Р. Б. Бар-рара [6] они были распространены на многомерный случай. С помощью этих оценок удалось доказать разрешимость основных краевых задач для линейных и квазилинейных параболических уравнений 2-го порядка (см., например, [8, 14, 9]).

В конце 50-х и начале 60-х годов разрешимостью различных начально-краевых задач для эллиптических и параболических уравнений и систем общего вида занимались многие авторы (см., например, [8-12]). Основополагающую роль здесь вновь сыграла работа по теории эллиптических уравнений [7]. В ней С. Агмону, А. Дуглису и JI. Ниренбергу удалось перейти от уравнений 2-го порядка к системам линейных и квазилинейных эллиптических уравнений произвольного порядка с общими граничными условиями. Развитие этой методики применительно к линейным параболическим системам в наиболее общей форме осуществлено в работе В. А. Солонникова [13]. В частности, показано, что в качестве множеств V и 7Z можно взять пространства функций

V = с£аД+а/2(15, п = С*?2Щ) ® С2+а{R), 0 < а < 1.

Более широкие весовые гёльдеровские пространства, допускающие определенный рост при Ь -Л 0 как у функции так и у производных функции рассмотрены В. С. Белоносовым [18]. В обоих приведенных примерах старшие производные решения задачи (0.1) попадают в тот же класс функций, что и /(х, ¿). В настоящее время аналогичные исследования проводятся уже для квазиэллиптических и квазипараболических систем (см. [21, 22]). В диссертации исследуется вопрос о классической разрешимости задачи Коши

Ь(и) = ¡(х^) при ж Е ИГ и * е (0,Г), 0) = у(х) (0.3) с равномерно параболическим оператором

о п по п <-,

_ . , ои ТГ-^ . , О и , . . ои , .

¿М =94-1. М*. - Ь ^ &Г

в еще более широких пространствах функций.

Как упоминалось выше, обычно требуют, чтобы правая часть уравнения /(ж, €) и начальные данные (р(х) в той или иной форме удовлетворяли условию Гёльдера. Это условие можно трактовать как равномерную непрерывность со степенным модулем непрерывности со(6) = С5а. Возникает естественный вопрос: какие свойства модулей непрерывности коэффициентов уравнения, правой части и начальных данных гарантируют существование классических решений и точные коэрцитивные оценки их норм? Под точными коэрцитивными оценками норм решений мы понимаем то, что старшие производные решения задачи (0.3) попадают в тот же класс функций, которому принадлежит правая часть уравнения. Иначе говоря, модуль непрерывности старших производных решения совпадает с модулем непрерывности правой части.

Основным вопросом диссертации будет изучение условий коэр-цитивности задачи (0.3) в пространствах функций с квалифици-

рованными модулями непрерывности. Обозначим через и модуль непрерывности начальных данных:

и(6) = sup \ip(x) - <р(у)\.

\х-у\<6

Исследование однородной задачи Коши с такими начальными данными приведет нас к определению класса функций 1ZUjt, принадлежность которому естественно потребовать от правой части f(x,t), а желание получить точные коэрцитивные оценки однозначно повлечет определение класса решений VUit с тем же самым модулем непрерывности си. Будут установлены необходимые и достаточные требования к модулю непрерывности и, при которых оператор задачи Коши (0.3) является изоморфизмом пространств VWjt и Окажется, что эти необходимые и достаточные усло-

вия совпадают с хорошо известными условиями Зигмунда:

j^drKC^S), f^dr<c"-f- при ¿€(0,1).

О S

Этот результат является содержанием первой главы диссертации (теоремы 1 и 2).

Анализ условий Зигмунда проводится в конце первой главы. Впервые они появились в теории рядов Фурье в работе А. Зигмунда (см. [23], а также [24]). Затем они в различных формах встречались в ряде других работ по рядам Фурье (см., например, [25, 26]). Однако их появление в изучаемом нами вопросе вовсе не обусловлено разложениями в ряды Фурье.

Заметим, что эти ограничения не позволяют существенно выйти за рамки степенных модулей непрерывности (утверждения 1, 3 и следствия 1-3). Если модуль непрерывности удовлетворяет условиям Зигмунда, то существуют постоянные 0 < (3 < а < 1

иСьС2>0 такие, что

Схе < и{£) < при £ е [0,1].

Обратное, вообще говоря, неверно. Существует пример выпуклого вверх модуля непрерывности оо*, не удовлетворяющего обо-

при Ь £ [0,1], где 0 < (5 < а < 1 (утверждение 2). Условиям Зигмунда удовлетворяют, например, модули непрерывности вида со(Ь) = 1г/(1/£) с произвольными постоянными С > 0,

«е (0,1),/Зек.

В первой части второй главы диссертации найдено необходимое и достаточное требование к модулю непрерывности си, гарантирующее классическую разрешимость задачи Коши с нулевыми начальными данными в классе всех равномерно параболических уравнений с непрерывными по Гёльдеру коэффициентами, правые части которых обладают локальным модулем непрерывности со (теорема 3). Интересно, что данное необходимое и достаточное условие совпало с хорошо известным в теории рядов Фурье условием Дини:

Достаточность условия Дини была известна и ранее (см. [27, 30]), а его необходимость впервые доказана в диссертации. Построен пример ограниченной равномерно непрерывной правой части, зависящей от произвольного модуля непрерывности со как от параметра, для которой не существует классического решения задачи (0.1) с нулевыми начальными данными, если модуль непрерывности со не удовлетворяет условию Дини.

Таким образом, построена в некоторой степени законченная теория классической разрешимости задачи (0.3) в терминах модулей

им условиям Зигмунда, несмотря на то, что < со*^) < ^

о

непрерывности начальных данных и правых частей (см. также [27-32]).

Если рассматривать произвольные непрерывные начальные данные и правую часть уравнения (не являющиеся, вообще говоря, равномерно непрерывными), то мы приходим к проблеме поиска других подходов к нахождению условий классической разрешимости задачи (0.3). Основной идеей при исследовании данного вопроса в настоящей работе послужила следующая естественная аналогия. В случае задачи Коши для однородного уравнения теплопроводности

щ = ихх при t > 0, м(ж,0) = (р(х), (0.4)

где (р(х) — непрерывная функция, хорошо известен следующий результат [1].

Если в тихоновском классе функций существует классическое решение u(x,t) задачи (0.4), то для достаточно малых t > 0 оно представляется интегралом Пуассона

со

и'

В связи с этим логично предположить, что для задачи (0.3) может иметь место следующее утверждение.

Если в тихоновском классе функций существует классическое решение и(х^) задачи (0.3) с нулевыми начальными данными, то для достаточно малых £ > 0 оно представляется интегралом Дюамеля

и(х,Г) =11 г{х,1,£,т)/(£,т)<1£(1т,

0 К"

где Z(x, г) — фундаментальное решение уравнения Ь{и) = 0.

—оо

Эта гипотеза при очень слабых ограничениях на рост непрерывной правой части обоснована в теореме 4 второго параграфа второй главы, где установлено необходимое условие существования классического решения задачи Коши с нулевыми начальными данными для равномерно параболических уравнений с непрерывными по Гёльдеру коэффициентами и непрерывными при t > О правыми частями без каких-либо дополнительных предположений о свойствах модуля непрерывности функции f(x,t). Аналогичные утверждения при более жестких предположениях о данных задачи доказаны в работах [2, 15].

Трудности при обосновании того, что интеграл Дюамеля действительно является классическим решением задачи (0.3) с нулевыми начальными данными, заключаются в том, что функция f(x,t) может иметь плохую гладкость или неограниченно расти как при t —>• 0, так и при |х| оо. Во всех таких случаях классическое решение задачи (0.3) может не существовать.

Основные определения и обозначения. Пусть Т > 0 — произвольная фиксированная постоянная, |ж| — евклидова норма вектора х Е Rn, I — мультииндекс, \l\ = l\ -i-----1-1п,

H(T) = {(x,t):xeRn, ¿Е(0,Т)}, D(T) = {(хМ,т) : 0 < г < i < Т, G Еп}, П(Т) = {(x,t,e):x 6 Rn, t в [0, Т], £ Е (0, Г]}.

Обозначим через С отображение

£: и -> (.

где f(x,t) = Liu) в Я(Т), <р{х) = и(х,0) при х Е IRn.

Говорят, что функция u(x,t) принадлежит тихоновскому классу функций в полосе {х Е Mn, t Е [io,^]}, если она непрерывна в

этой полосе и удовлетворяет условию

\и{х,1)\<Сием^\

тах

где Си,Ми >0 — некоторые постоянные, зависящие от и.

Будем говорить, что в тихоновском классе функций существует локальное по £ классическое решение задачи (0.3), если существуют положительная постоянная То и функция являющаяся при £ £ [0, То) классическим решением задачи (0.3) и принадлежащая тихоновскому классу функций в полосе Н(То).

Условие (Т). Функция f(x,t) принадлежит тихоновскому классу функций в полосе {х Е £ Е при любом фиксированном £ Е (0, Т), причем

тах|/(:М)| < С/(Фад2,

где М} >0 — некоторая постоянная, не зависящая от £.

Обозначим через Тш множество функций удовлетворя-

ющих условию (Т) и, кроме того, таких, что 1)

т

J С/(£) (И < оо, о

где — функция из условия (Т),

2) для каждой точки (х0^0) Е Н(Т) существуют такие постоянные С, е > 0, зависящие от /, ^о и ¿о? что для всех

|я-ж0|<е, \у-хо| < е, |*-*о|<е выполняется неравенство

1/ОМ) -/(у, *)|<Сиф-у|), где а;(<5') — некоторый фиксированный модуль непрерывности.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Функция и (5), определенная и непрерывная при 5 > 0, называется модулем непрерывности, если выполнены следующие условия: и(0) = 0, ш(х) < и (у) при 0 < х < у, ш(х + у) < и{х) +ш(у) при Х,у > 0.

Если (р(х) € С(М.П) является равномерно непрерывной функцией, то

удовлетворяет этим условиям и называется модулем непрерывности функции (р.

Лемма 1. Любой модуль непрерывности и обладает свойствами

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Возьмем а, X > 0. Пусть п — целая часть а, тогда 0 < а — п < 1. В силу определения 1 имеем

си(ах) < ш((п + \)х) <{п + 1)Ца?) < {а + \)и){х).

Воспользуемся этим свойством при 0 < 5 Тогда

Лемма доказана.

Говорят, что модуль непрерывности и удовлетворяет условиям Зигмунда, если существует такая постоянная С, что при 5 £ (0,1) выполняются неравенства

вир \р(х) - <р(у)\

\х-у\<6

со(ах) < (а 4- 1)ш{х) при а,х > 0,

при 0 < $ <

(0.5)

о

(0.6)

Заметим, что верхний предел интеграла (0.6) можно заменить на произвольную постоянную Т\ > 0 и потребовать, чтобы неравенства (0.5) и (0.6) выполнялись для всех J Е (0,Т\). При этом, естественно, константа С будет зависеть от w и Т\.

Функциональные пространства. Пусть и — модуль непрерывности. Обозначим через множество вещественнознач-ных функций u(x,t), определенных и непрерывных при х Е Мп, t Е [0,Т), имеющих в полосе Н(Т) непрерывные производные Df ^u(x,t) при 2к + |/| < 2 и конечную норму

IMk, = (Diiuhk+\ib

2k+\l\<2

где

{u)n sup ^^ t)\ + bn[t) ^ _ ^

m

>{у/б) > '

ао = ш(уД), &о — а\ — — \Д, а,2 = 62 — и супремум берется по всем точкам (?/, ¿), (х^+5) (6 > 0) из полосы Н(Т) таким,

что х ф у.

Символом 7ZLOíт будем обозначать множество пар веществен-нозначных функций (/(ж,¿),<р(х)), определенных и непрерывных при (х,Ь) Е Н(Т) и х Е М.п соответственно, имеющих конечную норму

1К/^)1к.т = ||/1кт+||Ик

w ?

где

II/IU.T = </)2, |MU - SHP .

Через обозначим множество непрерывных в Н(Т) функций u(x,t), имеющих конечную норму

,, ,, ,, ,, \и(хЛ) - и(уЛ)\ \u(x,t) - u(x,t + S)\ Nk, = IMIc + sup ^¿_ff + sup ^-

где первый супремум берется по всем точкам (x,t) ф (y,t) из полосы Я(Г), второй — по всем точкам (x,t), (x,t + 5) (6 > 0) из полосы Н{Т),

||и||с = sup \и(х, £)|.

(x,t)€H(T)

— множество непрерывных в Н(Т) функций име-

ющих непрерывные в Н(Т) производные Dt'lxu при 2к + |/| < 2 и конечную норму

wk,= Е №iic+ Е

2k+\l\<2 2k+\l\=2

Аналогично, С— множество непрерывных в К" функций <р(х), имеющих непрерывные в R™ производные Dlxip для |/| < 2 и конечную норму

Ы*) - Dj

Тфу и{\х - уI)

и и STwnhnW ■ \Е>хФ)-РхУШ

Wnci = 2s \\D*nc + SUP —„,пг-„п—•

<2

Наконец, символом СхаТ будем обозначать множество непрерывных в Н(Т) функций и(ж,£), имеющих конечную норму

|и(х,г) - и{у,г)|

и\\С°аТ = И|с + sup

\х — у\а '

где а > 0 и супремум берется по всем точкам (х,£) ф (?/,£) из полосы Н{Т).

Легко показать, что Сш.т, С^ и — бана-

ховы пространства. Очевидна следующая

Лемма 2. Если и Е Т)Шгт,

Если (и, 0) Е V Е то

<3(1+^(>/Т))|Н|ы>г||г;||с„,Т.

Если и, V Е то

1Мк,т < 1Мк,т1Мк,т-

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Ахметов, Денис Робертович, 1999 год

Литература

[1] Тихонов А. Н. Теоремы единственности для уравнения теплопроводности // Мат. сб. 1935. Т. 42, № 2. С. 199-216.

[2] Михайлов В. П. Дифференциальные уравнения в частных производных. М.: Наука, 1983.

[3] Schauder J. Uber lineare elliptische Differentialgleichungen zweiter Ordnung // Math. Z. 1934. Bd 38, № 2. S. 257-282.

[4] Ciliberto C. Formule di maggiorazione e teoremi di esistenza per soluzioni delle equazioni paraboliche in due variabili // Ricerche Matern. 1954. V. 3. P. 40-75.

[5] Friedman A. Interior estimates for parabolic systems of partial differential equations // Journ. Math, and Mech. 1958. V. 7, № 3. P. 393-417.

[6] Barrar R. B. Some estimates for solutions of parabolic equations // Journ. Math. Anal, and Appl. 1961. V. 3, № 2. P. 373-397.

[7] Agmon S., Bouglis A., Nirenberg L. Estimates near the boundary for solutions of elliptic partial differential equations satisfying general boundary conditions // part I: Comm. Pure Appl. Math. 1959. V. 12, № 4. P. 623-727; part II: Comm. Pure Appl. Math. 1964. V. 17, № 1. P. 35-92.

[8] Ильин А. М., Калашников А. С., Олейник О. А. Линейные уравнения второго порядка параболического типа // Успехи мат. наук. 1962. Т. 17, № 3. С. 3-146.

[9] Friedman A. Partial differential equations of parabolic type. New York: Prentice-Hall, 1964.

[10] Эйделъман С. Д. Параболические системы. М.: Наука, 1964.

[11] Камынин Л. И., Масленникова В. Н. Граничные оценки решения III краевой задачи для параболического уравнения // Докл. АН СССР. 1963. Т. 153, № 3. С. 526-529.

[12] Камынин Л. И., Масленникова В. Н. Граничные оценки решения задачи с косой производной для параболического уравнения в нецилиндрической области // Докл. АН СССР. 1965. Т. 160, № 3. С. 527-529.

[13] Солонников В. А. О краевых задачах для линейных параболических систем дифференциальных уравнений общего вида // Тр. Мат. ин-та им. В. А. Стеклова. 1965. Т. 83. С. 3-162.

[14] Ладыженская О. А., Солонников В. А., Уральцева Н. Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М.: Наука, 1967.

[15] Ивасишен С. Д., Эйдельман С. Д. 26-параболические системы // Тр. семинара по функциональному анализу / Киев: Ин-т математики АН УССР. 1968. Вып. 1. С. 3-175.

[16] Ладыженская О. А., Солонников В. А. О принципе линеаризации и инвариантных многообразиях для задач магнитной гидродинамики // Зап. науч. семинаров ЛОМИ / Мат. ин-т им. В. А. Стеклова. Ленингр. отд-ние. 1973. Т. 38. С. 46-93.

[17] Белоносов В. С., Зеленяк Т. И. Нелокальные проблемы в теории квазилинейных параболических уравнений. Новосибирск: Изд-во Новосибирского государственного университета, 1975.

[18] Белоносов В. С. Оценки решений параболических систем в весовых классах Гёльдера и некоторые их приложения // Мат. сб. 1979. Т. 110, вып. 2. С. 163-188.

[19] Ивасишен С. Д. Матрицы Грина граничных задач для параболических по И. Г. Петровскому систем общего вида // часть I: Мат. сб. 1981. Т. 114, № 1. С. 110-166; часть И: Мат. сб. 1981. Т. 114, № 4. С. 523-565.

[20] Доманова Е. Д. Оценки решений параболических систем в весовых гёльдеровских классах при отсутствии условий согласования // Теоремы вложения и их приложения к задачам математической физики / Труды семинара академика С. JL Соболева. Новосибирск. 1989. С. 70-85.

[21] Белоносов В. С. Внутренние оценки решений квазипараболических систем // Сиб. мат. журн. 1996. Т. 37, № 1. С. 20-35.

[22] Белоносов В. С. Классические решения квазиэллиптических уравнений // Мат. сборник. В печати.

[23] Zygmund А. О module ciaglosci sumy szeregu sprzezonego z sz-eregiem Fouriera // Prace Mat.-Fiz. 1924. V. 33. P. 125-132.

[24] Vallée Poussin Ch. J. de la Leçons sur l'approximation des fonctions d'une variable réelle. Paris: Gauthier-Villars et Cie, 1919.

[25] Лозинский С. M. Обращение теорем Джексона // Докл. АН СССР. 1952. Т. 83, № 5. С. 645-647.

[26] Бари Н. К., Стечкин С. Б. Наилучшие приближения и дифференциальные свойства двух сопряженных функций //Тр. Моск. мат. о-ва. 1956. Т. 5. С. 483-522.

[27] Слободецкий Л. Н. О фундаментальном решении и задаче Ко-ши для параболической системы // Мат. сб. 1958. Т. 46, № 2. С. 229-258.

[28] Ильин А. М. О фундаментальном решении параболического уравнения // Докл. АН СССР. 1962. Т. 147, № 4. С. 768-771.

[29] Ильин А. М. О параболических уравнениях, коэффициенты которых не удовлетворяют условию Дини // Мат. заметки. 1967. Т. 1, № 1. С. 71-80.

[30] Матийчук М. И., Эйдельман С. Д. О фундаментальных решениях и задаче Коши для параболических систем, коэффициенты которых удовлетворяют условию Дини // Тр. семинара по функциональному анализу / Воронеж: Воронежский государственный университет. 1967. Вып. 9. С. 54-83.

[31] Матийчук М. И., Эйдельман С. Д. Задача Коши для параболических систем, коэффициенты которых имеют малую гладкость // Укр. мат. журн. 1970. Т. 22, № 1. С. 22-36.

[32] Камынин Л. И., Химченко Б. Н. О проблеме Тихонова — Петровского для параболических уравнений 2-го порядка // Сиб. мат. журн. 1981. Т. 22, № 5. С. 78-115.

[33] Бернштейн С. Н. Собрание сочинений. Т. 2 : Конструктивная теория функций (1931-1953). М.: Изд-во АН СССР, 1954.

[34] Ахметов Д. Р. Об изоморфизме, порождаемом уравнением теплопроводности // Сиб. мат. журн. 1998. Т. 39, № 2. С. 243260.

[35] Ахметов Д. Р. О необходимых и достаточных условиях классической разрешимости задачи Коши для линейных параболических уравнений // Мат. труды. 1998. Т. 1, № 1. С. 3-28.

[36] Ахметов Д. Р. О классической разрешимости задачи Коши для линейных параболических уравнений // Динамика сплошной среды: Сборник научных трудов / СО РАН. 1998. Вып. 113: Математические проблемы механики сплошных сред. С. 6-12.

[37] Ахметов Д. Р. Об изоморфизме, порождаемом уравнением теплопроводности // Международная конференция "Математические модели и методы их исследования" (Красноярск, 25-30 августа 1997 г.) / Тезисы докладов. С. 16-17.

[38] Ahmetov D. R. On exact coercive estimates for solutions of parabolic equations // Symposium on Applied and Industrial Mathematics "Venice-2" (Venice, Italy, June 11-16, 1998) / Book of Abstracts. P. 1-2.

[39] Ахметов Д. P. Об изоморфизме, порождаемом линейным параболическим уравнением // Третий Сибирский Конгресс по Прикладной и Индустриальной Математике (ИНПРИМ-98) посвященный памяти С. JI. Соболева (1908-1989) (Новосибирск, 22-27 июня 1998 г.) / Тезисы докладов. Часть I. С. 4.

[40] Ахметов Д. Р. О точных коэрцитивных оценках для решений параболических уравнений // Международная конференция "Симметрия в естествознании" (Красноярск, 23-29 августа 1998 г.) / Тезисы докладов. С. 13-15.