Корректная постановка краевой задачи Римана с коэффициентом, имеющим разрывы почти-периодического типа тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат физико-математических наук Додохова, Г.В.

• Додохова, Г.В.
• кандидат физико-математических наук
• 1985

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Додохова, Г.В.

ВВЕДЕНИЕ.

1. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ КЛАССЫ И БАЗИСЫ

I.I. Пространство 3.jf(R;p)

1.2. Пространство

2. КОРРЕКТНАЯ ПОСТАНОВКА ОДНОМЕРНОЙ ЗАДАЧИ РИМАНА

2.I. Случай вещественной оси

2.2„ Задача Римана:на гладком замкнутом контуре в пространстве

2.3. Корректная постановка задачи на окружности

2.4„ Случай произвольного замкнутого контура

3. КОРРЕКТНАЯ ПОСТАНОВКА ДВУМЕРНОЙ ГРАНИЧНОЙ ЗАДАЧИ.

3.1» Решение двумерных элементарных задач.

3.2., Корректная постановка одной двумерной задачи.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Корректная постановка краевой задачи Римана с коэффициентом, имеющим разрывы почти-периодического типа»

Пусть Г - замкнутый простой гладкий ориентированный контур, разбивающий расширенную комплексную плоскость на два открытых множества f> и Fr , для кадцого из которых Г является границей. Через Fp обозначим множество, которое находится слева от контура Г . В дальнейшем ради простоты будем предполагать, что точка z = 0 £ Рр и Z = оо е р|; f

На контуре Г рассматривается краевая задача Римана a(h) ГЩ = f(t), ^Г /1/ где a(l) , l(i) - заданные на Г функции, и граничные значения на Г слева и соответственно справа искомой функции *P(z) , голоморфной на плоскости, разрезанной вдоль кривой Г . Идея конструктивного решения задачи /I/, в ограничительных предположениях относительно функции Q(-t) и -f (t), с помощью интеграла типа Коши была высказана Т.Карлемалом [бб] ещё в 1922 году, а полное решение задачи в пространстве Нуц(г) гельдеровских функций было дано Ф.Д.Гаховым [б] в 1937 году в предположении, что Ct(-t) €• M^(r) > a(t)+0. i^T . После этого были проведены её многочисленные исследования с целью ослабления требований, предъявляемых к коэффициентам задачи /I/. Обзор этих работ содержится в монографиях [б], [38] , [б2], [l4], [19] , [34], [зб] .

Основной результат при решении задачи /I/ состоит в том, что при [ Cirj Q-(-t)] г>0 задача разрешима при любой правой части, а её решение зависит от £ произвольных комплексных постоянных; при 96<0 задача всегда имеет единственное решение в случае её разрешимости, а условиями разрешимости являются \х\ условий ортогональности правой части некоторым элементам сопряженного пространства.

Зависимость числа решений от приращения аргумента функции a(t) отчетливо подтвердилась в работах Н.В.Говорова [7] , [в]; [9] , его учеников [з] , [48] , [49] и последователей [бО] , [5l] , [45] , [i] , появившихся в печати, начиная с 1964 года, в которых была рассмотрена краевая задача Римана на луче или прямой с бесконечным индексом. В этой задаче приращение Qrcjatt) при 0(5ходе контура Г равно too . Она была исследована при различном асимптотическом поведении функции argа(Ь). При этом основное свойство задачи Д/ состоит в том, что в случае "плюс-бесконечного" индекса однородная задача имеет бесконечное множество линейно независимых решений, а неоднородная разрешима при любой правой части. В случае же "минус-бесконечного" индекса однородная задача имеет единственное решение, а неоднородная разрешима лишь при выполнении бесконечного числа условий ортогональности правой части. Фактически при этом изучалась задача Римана с коэффициентом , имеющим на бесконечности специальный разрыв второго рода, и её решение разыскивалось в классе ограниченных функций.

В 1968 году И.Ц.Гохбергом и И.А.Фельдманом [ll] был рассмотрен интегрально-разностный оператор Винера-Хопфа.Значение этой работы состоит в том, что в ней впервые в теории интегральных уравнений типа свертки появились вопросы, связанные с бесконечным индексом /см. также[бб]/. Оказалось, что указанный оператор Винера-Хопфа является односторонне обратимым в Lp(qoo) , но его ядро или коядро зависят, вообще говоря, от подпространства Lp[o,6] . Это явление связано с тем, что символ оператора имеет в бесконечно удаленной точке разрыв второго рода вида exp(tfa)/6>R /, который этими авторами был назван почти-периодическим. Вслед за этим И.Ц.Гохбергом и А.А.Семенцулом [12], [47] был: рассмотрен в пространстве Lp((~,k) сингулярный интегральный оператор с коэффициентом, имещим конечное число почти-периодических разрывов, построена для него теория односторонней обратимости. Эти результаты были дополнены в работах В.Б.Дыбина и С.М.Грудского [25], [1б], [1б] описанием ядра и образа указанного оператора и конструкциями обратных операторов. В этих работах, а также в диссертации С.М.Грудского [17] были установлены новые связи теории сингулярных интегральных уравнений с бесконечным индексом с крутом идей М.М.Джрбашяна-Б.Я.Левина, относящихся к проблемам комплексной интерполяции и базисов в различных классах аналитических функций в пространствах Ц^, Lp , Ер . В частности, оказалось, что описание ядер и коядер сингулярных интегральных операторов с коэффициентами, имеющими разрывы почти-периодического типа, может быть дано в терминах специального клао-са 3-р((<!,р) целых функций экспоненциального типа , принадлежащих на вещественной оси пространству Это пространство связано с известными классами Бернштейна В^ и Винера-Пэли W2 и систематически изучалось во многих работах / см., например,

Зб], [20] , [22] , [2l] , [43] /.

Ф.Д.Берковичем и Е.М.Конышковой [з] была рассмотрена краевая задача Римана с коэффициентом вида expfitfx) в классе ограниченных функций. В том же пространстве на замкнутом контуре С.М.Грудским [l8] б ни исследован общий случай задачи /I/ с коэффициентом, имещим конечное число почти-периодических разрывов. Отметим также работы [58], [44], в которых построена Ф~ теория сингулярных интегральных операторов а [р(Г, к.) с так называемыми полу-почти-периодическими разрывами у их коэффициентов. Мы не останавливаемся здесь на целом классе исследований задачи /I/, имеющей бесконечное число решений или условий разрешимости из-за особенностей контура Г / бесконечное число компонент, спиралеобразные точки и т.д. /. Наконец заметил, что проблема бесконечности решений и условий разрешимости особенно часто возникает в многомерных ситуациях. Одним из первых на это обратил внимание В.А.Какичев [зо], [ас], [32].

Принимая во внимание приложения и традиции теории дифференциальных уравнений, отметим, что для задачи /I/ в описанной выше ситуации является актуальным вопрос о её корректной постановке. Под корректной постановкой краевой задачи обычно понимается такая её постановка, когда задача безусловно и однозначно разрешима, а её решение устойчиво по отношению к малым изменениям исходных данных. На этот вопрос обратил внимание ещё Ф.Д.Гахов/[б], с.138-139 /. Устойчивость по отношению к изменению коэффициентов краевого условия непосредственно вытекает из того, что: I/ решение задачи даётся в явном виде через интеграл типа Коши, 2/ интеграл типа Коши есть оператор ограниченный и, следовательно, при малых изменениях плотности / в классе / получает малые приращения. Таким образом, в неисключительных случаях краевая задача Римана устойчива." / Здесь подразумевается случай краевой задачи с конечным индексом /. В зависимости от величины индекса может нарушаться либо однозначность, либо разрешимость задачи. В случае £>0 решение содержит произвольные постоянные, поэтому для достижения однозначности на решение накладываются дополнительные условия, а именно требуется, чтобы решение неоднородной задачи Римана /I/ удовлетворяло Ж условиям, при которых оно и его производные в произвольно выбранных точках принимают наперед заданные значения. ПриЖ<0, чтобы получить корректную задачу, т.е.безуоловно разрешимую, "возможно два пути: I/ ввести в свободный член краевого условия некоторые произвольные элементы, 2/ расширить класс решений, считая допустимыми в некоторых точках полярные особенности" / [б], с.139 /. Более сложный вопрос об устойчивости задачи /I/ по отношению к возмущению контура исследовал Л.АЛи-кин [58.1,

Особое значение вопрос корректной постановки имеет для задач с бесконечным индексом. Одновременно ясно, что он не может разрешаться так просто, как в случае конечного индекса, поскольку он связан с общими проблемами теории единственности аналитических функций и проблемами распределения их значений.

Пусть С - линейный ограниченный непрерывно обратимый справа оператор в банаховом пространстве X и dim. kerC=ocf система элементов Ц} ^ является базисом в КегС . Тогда существует единственный элемент подпространства КегС , на котором система функционалов tyJ^i* являющаяся биортогональной к {ej^ , принимает заданные значения. Таким образом, добавляя к уравнению задачу о моментах <х^>-Хк , K^Z , мы добиваемся единственности его решения. Если при этом X = (з^с-? лежит в некотором банаховом пространстве Xi и - 11 ty" + » то1да получаем непрерывную зависимость решения от исходных данных JpX, освХ^.

Если С - линейный ограниченный непрерывно обратимый слева оператор в банаховом пространстве X , тогда пространство X можно представить в виде ХОглС+МГ . Следовательно, для любого (j^X существует единственный элемент уf kerCА такой, что уравнение Cx=l|+lJy однозначно разрешимо в X , а его решение удовлетворяет оценке 11x11 £ СII

Вышеизложенное является основной идеей дальнейших построений, а из предыдущего видно, что задача корректной постановки связана с описанием ядра и коядра оператора, построением базисов в них и биортогональных систем и изучением коэффициентов разложения по этим базисам. Другой подход постановки корректной задачи Ри-мана с бесконечным индексом предложен В.Н.Монаховым и Е.В.Семен-ко [37] , [46] . Эти авторы исходят из описанного вше классического подхода и предлагают единственное решение задачи Римана выделять требованием его обращения в нуль в бесконечном множестве точек комплексной плоскости, не лежащих на контуре. В диссертации Е.В.Семенко осуществлена корректная постановка задачи Римана для полуплоскости с единственным разрывом у её коэффициента на 00 при достаточно общих условиях на тип бесконечного индекса. В данной работе мы рассматриваем частный вид бесконечного индекса почти-периодического типа, но решаем более общие задачи: конечное число разрывов, случаи компактного и некомпактного контуров, построение биортогональных базисов в ядре и коядре операторов, различные варианты корректной постановки задачи, обобщение на двумерный случай.

Остановимся подробнее на основных моментах нашего исследования. Через Р* обозначим проекторы следующего вида P± = ^(I±S), где S - сингулярный интегральный оператор Коши-Лебега на вещественной оси. Пусть ac^R, >,J>k€R KGVT • j>(x)= Itt+ir п loc-XKr . В пространстве 1-р(Й,р) рассмотрим следующую задачу

А 4>)(х) = (Р+А(х) + а(х)(Р>)(а) = {(х). /2/

В простейшем случае при а(х) = гхр(£6х)/ 6>о / получаем, КегА - ехр(Сбх)) P"(lf(ft,pY).

В связи с высказанными выше соображениями возникает вопрос об описании базиса в 3-p(R,p) . Эта проблема разрешается с помощью следующей теоремы, различные варианты и обобщения которой изучались многими авторами [59] , [33] , [54] , [Зб] , [21] , [22] , [43] . Через ^ обозначим пространство двусторонних последовательностей абсолютно суммируемых в степени р с весом Ь , где

Теорема I. При о sirifrfe+tfl] у И)"С„ R и*t сг сходится на R в норме LplR,p) , представляет собой функцию класса 3-p(R,p) и даёт изоморфное отображение пространства (р,$ на

Простым следствием теоремы I является построение биортого-нального базиса в следующего вида г<±(г]- 4-expltiSx)

В задаче /2/ коэффициент Q(oc) имеет разрыв на оо . Перенесение разрыва в конечную точку R получается с помощью действия на оператор А изометрических операторов вида

Mix)- скз) (ь'т-^^^-т), т

C = l3C+il pll|xm-ock| Г осуществляющих изоморфизм "банаховых пространств и L^ h\P й, V- 0, at*. , V5; где

Kim

П. р0=р-2-р -Zj)K . Так как операторы Ь" коммутируют с оператором 5 , то оператор А =Е> АЬ также имеет вид /2/ с коэффициентом А \ t6*

ClIx^x), у которого в точке Хт разрыв вида ехр^г^ , Заметим, что этот приём с использованием всей группы дробно-линейных преобразований позволяет изучить операторы, подобные оператору А на произвольных окружностях шеи прямых комплексной плоскости. Вместе с тем мы получаем возможность рассмотрения оператора А с конечным числом почти-периодических разрывов у функции а(х) , которую мы реализуем'при рассмотрении задачи Римана в пространстве LpCf^k) , где Г - гладкий замкнутый простой контур. В этом случае вопрос об описании подпространств КегА и со Jeer А связан с более общими, чем новыми пространствами Mf-to.t^.-.t^ аналитических во всей плоскости функций, имеющих конечное число существенно особых точек to,^,--."^ °о специальной асимптотикой поведения в их окрестности [15] , [1б]. Приведём здесь результат, доказанный в [l5] , [1б] для простейшего оператора.

Через Lp(^jL)обозначим пространство измеримых на Г функций, сум> г» мируемых в степени р , 1<р^оо, с весом L(-t)= Д^^П > "U6',

Пусть PrT = -|-(IiSr) , где Sr - сингулярный интегральный оператор Коши-Лебега на

Теорема 2. Пусть 6ГМ- аргумент направляющего вектора внешней нормали к кривой Г в точке t , argQe =9r(l0) .

Для того, чтобы отличная от тождественного нуля функция f(t) принадлежала Ker(Prf +ехр -^-Р"), необходимо и достаточно, чтобы т) = (i - mi где (Г, ^ аналитически продолжима во всю комплексную

- II плоскость i? , за исключением *=-t0 , являющейся для неё существенно особой точкой и исчезает на . В окрестности точки z=-t0 функция f(z) допускает следующие оценки

IttOl*const Г р ; r= Iz-U, larj(z-fc.)-9r(01*f; < const r p exp( -^r-cos[arg-U-10)-9r(-to4)],

При этом предполагается, что точка является узлом веса LGfe) с показателем Jb0 , .

Мы даем новое описание ядра оператора Дг , порожденного левой частью уравнения /I/ в случае, когда a(t) = i* ft ехр(С qfrfj ,

L^r, fad . 3E - целое число. Если аа)=П rf] и числа arwmln) таковы, что CLft) £ L^(f), имеем кегО, /4/ где Am= рг+ + cu(t) Рг~ • Далее, предложение / [1б] , с.38 / об устойчивости ядра оператора Ащ относительно любых гладких возмущений контура Г вне окрестности точки t^ , позволяет свести вопрос об отыскании кегА^ к случаю окружности. Наконец, эти рассуждения вместе с теоремой I позволяют построить базис в пространстве Рг(кегАг\ который в случае окружности является биор-тогональным. Мы детально останавливаемся на исследовании задачи для произвольной окружности по следующим причинам: I/ этот случай даёт вспомогательную модель для изучения случая замкнутого контура, 2/ случай окружности, как, впрочем, и случай прямой, позволяет строить простые базисы в ядре и коядре оператора, которые являются изометрическим преобразованием классического ортогонального тригонометрического базиса, 3/ и, наконец, случай окружности / как: и прямой / очень важен ввиду известных связей между краевой задачей Римана и уравнениями типа свёртки.

Переход с окружности на замкнутый гладкий контур Г связан с биортогонаяьными системами, метод построения которых указан в работе М.М.Джрбашяна [20] . Но биортогональные системы в данном случае сложны и мы даём некоторый набросок построения корректной задачи в данном направлении.

Техника тензорных произведений [бб] , а тазсже свойства целых функций экспоненциального типа ^ ■■■/») » принадлежащих Lp(Rh), [40],позволяет переносить описанные выше результаты на многомерный случай. Мы ограничились для демонстрации этих возможностей изучение двумерной задачи следующего вида

D^p-cp + + /5/

По аналогии с двумерной задачей стад 4 tS!1 <гад -1 г e<p+U) ♦ * г i? <*>--№.=и t-a^x

- целые числа, изучавшейся В.А.Какичевым [зо] , [31] , [32], оператор D всегда имеет замкнутый образ. Однако в зависимости от соотношений между числами 6L / с <н7б / могут возникнуть следующие ситуации: операторТ> может быть обратимым, односторонне обратимым, или иметь замкнутый образ, но при этом ядро и коядро его бесконечномерны. Подпространства KerD иСОкегФ могут быть разной массивности, т.е. зависеть от произвольной функции класса шш aj?»Lp. шш дажеЙрЫрЫЦ®

В связи с большим количеством различных ситуаций мы рассмотрели только типичные случаи задачи /5/, а корректная постановка осуществлена лишь для уравнения

I - Р") Ч> + а"(=с) ал*) ес<Гя Р""Ч> = |, /6/ на котором существо дела проявляется в достаточно общей ситуации.

Работа состоит из введения, трёх глав и приложения. В I.I описано пространство 2Lp(R;p), приведено доказательство теоремы I, которое опирается на схему доказательства Б.ЯДевина [Зб], и получено нами независимо от работы [2l] . В 1.2 определены пространства 3Lp(Rz), 3Lp1® Lp , Lp®3.p2 и найдены базисы в них. Глава 2 посвящена корректным постановкам одномерной задачи Ри-мана. В 2.1 описано общее решение задачи /2/ для полуплоскости, при этом бесконечномерное ядро оператора разложено по базису,* что позволяет, в частности, выделить единственное решение. Здесь также осуществлена корректная постановка смешанной задачи. В 2.2 рассматривается задача Римана с коэффициентом, имеющим конечное число разрывов почти-периодического типа на гладком контуре Г » получены формулы типа /4/, описывающие ядро оператора, в котором строится базис. В 2.3 осуществлена корректная постановка задачи Римана на произвольной окружности , а также рассмотрен парный оператор. В 2.4 даётся корректная постановка задачи Римана на произвольном гладком контуре Г в случае, когда все точки разрыва коэффициента задачи лежат на окружности, целиком расположенной в или Fr . В 3.1 рассмотрены четыре типичных случая задачи /5/. Описаны ядро, образ оператора и вид обратного оператора / там, где он существует /. В 3.2 осуществлена корректная постановка задачи для уравнения /6/ при всевозможных значениях С 61. v 2

В приложении рассмотрено уравнение TQX=| в пространстве ^ , где Та - те плице в а матрица функции L2(ro) , имеющей почтипериодический разрыв на единичной окружности. Для такого уравнения поставлена корректная задача.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах автора [2з] , [24] и в работах [2б] , [27] , [28~] , [29 ] , выполненных автором совместно с научным руководителем. Результаты совместных работ принадлежат их авторам в равной мере. По материалам диссертации были сделаны доклады на Ш конференции по комплексному анализу и дифференциальным уравнениям / г.Черноголовка, Ногинский научный центр АН СССР, март 1981 г. /, на семинаре по интегральным уравнениям в институте экономики Ш УССР / рук. проф. Литвинчук Г.С. /, на семинаре по теории псевдодифференциальных операторов Ростовского государственного университета / рук. проф. Симоненко И.Б. /, на научной конференции Новочеркасского политехнического института / апрель 1984 г. /.

Ниже символами 4 и>> обозначается начало и конец доказательства.

I. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ КЛАССЫ И БАЗИСЫ.

I.I. Пространство Через Lp(R,p^ , тсф! / здесь п) будем обор> р> pjx) - IЗС41Г п0 /1.1.1/ значать банахово пространство измеримых функций, суммируемых на вещественной оси R в степени р с весом п к=о где -uj^p-i, -i<> + j|oAc <р-< .

Через обозначим подпространттво р± ( LP(R, РnS). г' т

Пусть Г0 - единичная окружность ИМ , tfc~tmL(iK-L)/(xK4t)]. Оператор Ьт , определенный равенством гкг/' /1.1.2/ осуществляет изоморфизм пространства L^^p^ на пространство ЩГоД) / [и] , с.35 /. Изометрия этих двух пространств имеет место, если А»-р-Ч ^ с„=£ р П1и-Ур

К = о и, И

J>=p-2 - IjbK * Обратный к оператору Ь^ имеет вид t-frr). Д.1.3/

Таккак S=£SrA , то L*CR,pJ = eC(L*(ro,[^.

Пусть р(х>р0(х). Линеал всех целых функций экспоненциального типа 4 б' /0 <б'<с>о д принадлежащих будем обозначать

- 16 -» а ^м = ^р ^

Основным результатом данного параграфа является доказательство теоремы X, Презде, чем приступить к нему, приведём ряд вспомогательных результатов и определений. В пространстве рассмотрим оператор Р+ + expiree) Р~ Д.1.4/ для которого справедлива следующая теорема.

Теорема I.I. Пусть (Е±Ч)(х) = exp(+ix<f)^(:c) . Если б>0 , то оператор А^ обратим справа в Lp(^p) , Ker (i - Е-<НЗ.р*^ = =(E-l) (с!рГр) .Если б<0 , то Atfi0 обратите слева, 1т\о= ( f tLpC^p)!

E'^j^x) е- Lp'(R,p)} • Обратный с соответствующей стороны оператор имеет вид А$0 = А-<$;0 •

В случае р^Н теорема I.I получена в [25] . Изложенная там схема доказательства верна и в случае пространства Lp(R,p). Кроме того, утверждения теоремы 1,1 могут быть доказаны с помощью теоремы 2, так как оператор А^ подобен оператору Аг = Р + + ч>[« Ш Рг; • А<0= в;\в.'.

Из теоремы I.I, в частности, следует в силу инъективности в пространстве ЦДр) операторов 1-Е'1 и E-I , что линеалы замкнуты в Lp(R,p) .

Определение. Классом /-Кр^оо / называется класс функций |(z) , голоморфных в полуплоскости Ц ЪО и удовлетворящих условию А

ШН4 = suj)( ji|(x4i^|pp(x4i^doc р сю

Через р+(*) обозначим такую ветвь многозначной функции р4(г)i. J>n J (z+iH ПС2-х,с) т . которая аналитична в верхней полуплоскости. Очевидно, что отображение F: Нр^-» Hp , действующее по пра

Ft!-) = р+(з) , есть изоморфизм. Из общего1 вида линейного ограниченного функционала в пространстве Hp вытекает следующее предложение: пространством, сопряженным к является пространство р^ . Это означает, что все линейные ограниченные функционалы из (Нр,+р)* имеют вид я

Пусть ^>0 .

Лемма I. Если с ? где tfObH^j,^ • то e.xp(c?6-)<f(z) е Н^ .

4 Покажем, что функция

1(2) - |Ь) принадлежит пространству Lp(R) . Заметим, что tyU) является целой функцией экспоненциального типа ^{f , так как по условию

4Ш Ipfj, .

Для достаточно больших сс имеет место неравенство л.

A h 2 h

I 1 lx-xK| > с Icc+il14-"'

Тогда

R -м -сю М

-м

2М max I V(х)|р + IXUM to х А

•М doc)^ + Ц(о)1 (j Пар")'У

-во

-d>o и м

-М

12. locu|p 1 C5

- oo M llfx)lp loc+L\P doc С

5 J

•M tfof ( 1 |(x)lp p(g')dq

L П 4 iW* П te-atJ

-oo 1 c,

1/2 ( M l|(a:)lp p(x)dx ^

L P oo llcx))Pp(x)dcc P И

-M

1 p

-60 с [\/2 i cx> X л M i. p Co

Ci +

Таким образом, SLp (R^) с Еу .На основании теоремы Винера

Пэли / [2] , с.179 / всякая функция jfe) , принадлежащая классу , допускает представление

9(2)^(0) + ^ Jei24(u)clu; 44 и) б L2[-<f;б]. б

Очевидно, что функция

Яб* cccci* щ Je ^(u-rtdu & LpfR4) .

Поскольку оба слагаемые в правой части последнего равенства аналитически продолжимы в верхнюю полуплоскость, то си(г) £ Покажем, что | ] U)l-fc)cbbU°° • Действительно,

Ж)сЫ = , г с* l(^-|(o)JL ехр(ад j(t)dt| * IJ е —i-at

-t

MzMdh с -fc

RM-m,M] ПгахИ'И! -+С, \ь\т r ы ct-u moxii'wi +сптил р / здесь ^ = ^ /. Тогда di li+U^pTc^ со

S[ ехр( i6x)<f fxj] = S [хсоСх)] + S[expU6x)]|(o) = fc i * + wpUCx) <f(o) = wft) oLfc + ос CJ(CC) + o)expU<>x) =4 I cJWcbfc + exp(i6x) <f(x).

Действуя ещё раз на последнее равенство оператором S , получаем, что S[eapU6b0f(a3] = ехр(сбх) f (х), т.е. ехр(с*г)?(*) е Hp*j> ► Лемма 2. Если if , то

P'J» ч i 1

Из леммы I следует, что ехр(Сбг)|(г) б Н^ . Воепользу емся следующим неравенством [57] но. ч J^l

ЪГ из которого вытекает утверадение леммы для (J>0 . Для lj<o неравенство выводится аналогично из свойств пространства Цр~ ► • Следствие. Пусть HtR . Бели ((г) т то j UMppix)dx ^ j | |(а>шУ|Рр(зс-и1нО dx . /i.i.b/

R R

4 Пусть IfrK Ipp • Тогда

H.) также является целой функцией экспоненциального типа ^(Г и, как следует из леммы 2, принадлежит пространству Lp(R, p(x+ilul)) . Рассмотрим функцию = = {(z+lR) р ^ (о:-* ily+Hl) • Из леммы 2 получим равенство R

Учитывая, что = Цх+in) р p(cc+lh) и полагая в левой части последнего равенства у=-Н. , получим неравенство /1.1.5/. ► Демма 3. Если , то для любого 2 = cc+i^ l|(z)l 4 А |2| eocpfclyl) + (0)| , где А - некоторая положительная постоянная. Так как [ - |(о)] /z £ E><r / см. лемму I /, то

I^UA exp OlLfl) / [2] , с. 184 /. Утверждение леммы следует из неравенств Ifc)!-^(о)| ^ | (2)-|(сй| ^ Alzleocpfctyl}. ►

Лемма 4. Пусть Ф(г)£Нр*р и W -последовательность точек, удовлетворящих условиям

1. О < t) ^ 1т \л с к ^оо ;

2. I An-AK1 > 2i) >0 ( ПФК) • Тоз^ца

4 Из определения класса Нр^ следует, что к

I \\ Ыъ)\*?{ъ)6б £ . ^mx4L^lpp(0CHy)dxcl^ кМцр . Д.1.6/

Так как функция ц>(г)р+(г>^(s) (i+ijf+t)"p П (ос+Су.является голоморфной в области у>0 , то функция 1^РСг)1 рр(г) есть субгармоническая в верхней полуплоскости и, значит, имеет место неравенство / см., например, [4] , с. 81 / г is-xj^i) из которого с учётом /1.1.6/, следует утверждение леммы. ► Леша 5. Пусть и - последовательность iv net точек, удовлетворяющих условиям

I. , 2. lAh-\KU2fl

Тогда при Ц > Ь,

IE UMPp(AK-bLK^CH)^U(x)|| ? . /1.1.7/

Ч Так как является субгармонической в полосе l3rn?Uk . то справедлива следующая цепочка неравенств

311)12 J J ||(Н# p(2+LM.) d*r k . 2k

1 j |fl(a+iij-tWlPp(i+i^+L(l-|-k))doccl^ ^

Zk || < 2k II |(0C-lk) p^(oc+L (tt-\$) II

Hf .--'Y Lp(R) г kcl\ Ux-Л) pWi tollPLp№) 42ксебкр( jRl|(x)|pp(oc)dxV сн II £ И Lpu,j>v

В последнем неравенстве использована лемма 2. ►

Следствие. Бели З-pfp и ^htl ~ нули Фун103^11 ф , , то где A-Jb + I^K. А

4Пусть HeR . Так как последовательностьpfA(£+Lk)/f|KI+'l) является сходящейся при 1к1-*©о , то для 1к1>М имеет место неравенство

С2(|К1+Л <С, ( П<|4^ . /1.1.8/

Последнее неравенство будет иметь место и для ||<UM , так как функция +4) является непрерывной на [-М,М]

Из неравенств Д. 1.7/ и 1.1.8/ следует утверздение следствия.► Доказательство теоремы I. Рассмотрим отрезок ряда /3/ ф у И'ск SLfiUCz+tyfl

Так как функция Ф^Ф * 3-р^р) , то из /1.1.5/ при H>maoc(q-tf) имеем p(x+in)dx) ^

Л К

I "1 / \К ip \ А. i ^ exp(2ffm-6yn J I1 plxt£H))p. /I-I>9/ функция w к + * It 6Hp*i > где и поэтому

HIU = Slid ЦчЧаУИхМх! -нрш '= < R f m г "А* С I

11 h*-™-1-^* 1 • /1Л-10/ Функция +(х) есть предельное значение функции голоморфной в верхней полуплоскости. Применяя теорему о вычетах к последнему интегралу ж используя лемму 4, получим m к—, па

R Л IЫХч-(? U(Н^Й U

3 1 /i.i.ii/ Из неравенства /1.1.8/ при Ak=TIicff и(у+н) получим p^A^pf V^H.) 4 iki+h) • Учитывая последнее, а также неравенства /1Д.9/-Д .1.Ц/ имеем г т \

Так как ( произвольные, то последовательность является фундаментальной, и, следовательно, ряд /3/ сходится в Lp(ft,p). а его сумма | (ос) t LP(R,p) , причем II 4 Иц^р) 6 С II ^

Покажем, что ряд /3/ представляет собой функцию класса .

Подействовав на него операторами Р* , которые ограничены в Lp(R р) , и учитывая, что n+f $1а№±^\-±Г + 1J

Р ПГ^Г J-2L cc-f+itf ~ ^hbf^Mbx) exp[i64tuVto\l -2expfee) expUtfCx+tyfl exp[-i6"(x-<-ty)]\ получим

Рассмотрим в пространстве Lp(R,p) оператор , определенный равенством /1,1.4/. Поскольку функция

Чт> 6 ' Ck сс- f + tg") € 3-p.f то по теореме I.I А = (1 - expf-ixff)4) fe mfx) s кег . В силу замкнутости КегА функция

Ф(х)-£пг Фе(>) = 0-ехр(-1сс^(Р+|)(х^ с кегА^ . и, следовательно, (Р+{)(х) €■ Э.®4 . Аналогично показывается, что

Г'Р

- 25

Р"Г)(*>а£р - Так как {[х) =(P%x)f то Таким образом ряд /3/ каждой последовательности ста~ вит в соответствие функцию , принадлежащую g.cг , т. е. даёт линейное отображение всего в З.р,р . Покажем сюрьективность этого отображения. Пусть {(?) - произвольная функция из . По следствию из леммы 5 - ^l^fpj- Ряд

•rf б' принадлежит пространству JLp^ и поэтому для него справедлива оценка | Х\ъ\ exp [б\у\) + 1г(о)1 / А>0 / / см. лемму 3/. Рассмотрим целую функцию г (г)

Г (z) =

Так как всюду вне непересекающихся кружков К^ радиуса R с центрами в корнях функции Stnfez+L^] выполняется неравенство / см. [36] , лемму I /

I sin [fffe+iyfll > CRexp[<T|^+y|] f CR>0, тогда для любых Z=X + ty вне кружков Kj получим

I H'WUcntelexpt-fl'l^+yl] +с2|г(н)1 eap[-<rij+tfl] « a Izl + 6, где а Л - некоторые положительные постоянные. На окружности

Iz-S- + Ltfl=R также имеет место нерайенство Жг)| игах (0. 14 ё) - а 1^1 + Е .По принципу максимума аналитических ll-Jj+CsUR функций получим, что внутри кружков Kj имеет место оценка

MjrVCffUR

По обобщенному принципу Лиувилля получим, что ^(2) - Р,(г), где Р,(?0 - линейная функция. Тогда

Так как функции |(х) и Ф) принадлежат пространству , то последнее равенство имеет место тогда и только тогда, когда Р,(2-)=01» Таким образом,

Следствие I. Пространство замкнуто в метрике Lp(R^p) и представимо в виде прямой суммы своих подпространств = Р^(Х^) и = Р (<ЦрУ

Следствие 2. Система функций

SiriUCz + lfffl I ( R) образует базиа в пространстве .

Следующее предложение дает метод построения биортогональных базисов в подпространстве U^p .

Предложение I.I Пространство изометрично любому из гч <г± г г подпространств dp,p. Рассмотрим отображение (A+f)(x) = expfyj {(х) и покажем, что оно изометрично действует из в Ipfp . Для этого достаточно показать, что А+ осуществляет биекцию 1р*р на . В самом деле, если , то функция

Ш) - Jlo) С

II* (ь) см, лемму I / и, следовательно, имеет место представление Г 1

1Ы)= |(о) + гт + ^ I е'гЧ(и)сЦ +(a)« Lj-f.fl. 2

Тогда функция

А^Н-^Й-е^М+ге'т+лЙ J * V(u-f)<Aa о представляет собой целую функцию экспоненциального типа ^ & . Рассуадая аналогично доказательству леммы I, нетрудно показать, что . Аналогично показывается, что обратное отобра

4 /Г О б + жение (Аf)(x)~eocpf- )ilx) произвольную функцию из переводит в функцию пространства l£p .

5"

Вводя отображение А: —* , действующее по правилу

А{)(ас) --ехр(~~2Г )1(ос) , можно показать изометричность прост

Г 1 ' ранств и . ►

Следствие. Отображение (E{)fe) =ехр(С^|й /Е: / является изометричным.

4 Оператор Е можно представить в виде произведения изомет-ричных операторов Е. 3 А+Al

Предложение 1.2. Пусть б>0 , ^ R , K*Z .

Системы функций

С \ - €Хр[-1(Г(хну)]

Х- \ к

-i - expli^a-ny)]

Н^" х

1.1.12/ а О - q 6 + jr„„ * * Р'Р И Р'Р '

Биортогонаяьная к е^Сх) система функций имеет вид г, \ 1 пС(гЛ- 4 - ехр[-1бЧзс-СуД —j Первое утверждение следует из предложения 1.1,т.к. А

I Зт[|Ы^]\ ^ / stn[f (x+ty)] j, t^W^e АЛ x-sps-fty

Нетрудно видеть, что функции , eftc) принадлежат пространству L2UQ ., Пусть

Uw преобразование Фурье функции f(x) . Имеют место следущие равенства

-27)10. ч б" t'

- Г.С

V(PKe

Поэтому

K'^bJeJWgjWdx

-29[1Рс-од№е * J, Рс.одие J)=?Je

Следствие. Системы функций

KC.Z /1.1.14/

Р <г / у. Siriffx /1.1.15/

X-Tlk^) > образуют биортогональные базисы соответственно в ПОДПрОСТраНСТ-ряг Ч ( 3 Г r'j1 *

I.I. Пространство dLp(R2>).

Пусть R - вещественная плоскость. Алгебраическое тензорное произведение Lf(e)®Lf(R) вложено в Lp(RiV) . 0тождествим1р(Ю®1-р^ с его образом при этом вложении. Тогда пополнение L^lR)® Lf(R), которое обозначим , по норме пространства Lp(£z) даст всё

Lptp) Таким образом, существует изоморфизм пространств Lp(ft)®Lp(W и ЦЙ1) такой, что {©(^(x.^foO и

ОООо . ^

Пусть А , Ь - линейные ограниченные операторы в Lp(R) . На тензорном произведении Lp(R)® оператор А® Б определяется следующим образом: для элементов вида полагают (А® В)(f ® А{ <8 frf .На элементах вида доопределяют оператор А®6 так, чтобы он был линеен. Оператор А®В , заданный на алгебраическом тензорном произведении, является ограниченным, линейным, однозначно определенным отображением. Он продолжается до линейного ограниченного оператора в Lpf Rx):

В дальнейшем будет использоваться следующее предложение.

- 30

Предложение 1.3. Пусть А - линейные ограниченные ^операторы, действующие в банаховых пространствах! , Ч и А®В*. . Тогда = 3mA$3ra6.

Так как на алгебраическом тензорном произведении 3m(A® ЗтА®Зт.Ь, то ЗтА®ЗтЬ . Тогда замыкание по норде дает следующее соотношение Зт(А&Ь) =>ЗпгА С другой стороны, так как Зт(А®Ь)0(®Ч , то Dm (А® Й с 3m А ® Зтв>

Замечание. Если операторы А , Е> имеют ограниченные обратные, то 3m(A ® = ЗтА ® Зтв.

В дальнейшем пополненное тензорное произведение будем обозначать®.

В пространстве Lplft1), рИ , рассмотрим операторы сингулярного интегрирования ро -оо и проекторы Р11 = (I ± S,) (I i $2у

Пусть Г++, Г4", Г~+ , Г"~ - трубчатые области (Эпгг,>0, 3mZz>o}, {Зт^Зтг/о}, 13"И<<0,1т?2>0}, bmVO, Jm?2<o}. Через Цг($= обозначим пространство функций аналитических в трубчатой области I "" и суммируемых в степени р на остове Umi^O, 3т?2=0. Пусть 6^/Д , б->0 . Через обозначим кяасс целых функций экспоненциального типа ^(Г , которые, как функции от действительного х^зсДпринадлежат Lf(Ra) . Известно [40] , что 9Lp(R*) есть подпространство пространства Lp(ft2). Следуицее предложение даёт интегральное представление функций класса Xp(R2). Предложение 1.4. Пусть

A^ilocjUfiT- ,

Если , то l2U чадe—du^u,, /х.2,1/

-б",-б^

ГЛ И где UZ^U^ + Uj^j.

Покажем, что функция f ? ^ = ^(O^aV ? 4- l(O.O) € /^б" ^

Так как функции {(о.г^ , являются целыми экспоненциального типа ^б". по соответствующей переменной [4] , [40] , то Yfe^ также есть целая экспоненциального типа ^бЧб^О -Используя неравенство Бернштейна / [40] , с. 115 / и ограниченность функции f (х) на R2 , имеем о со h fi ^ т 'Я "г£

- оо -со

-оо - оо

-е, £г 00 и f f + -во -оо-е2 -оо е2 % ь» С)Ч I2 * ii6ft2 sup | ^se; ok-R* \ 00 * 00 ^ i I N^M* (111 а

•оо -£, i-,2. + f ^iss^bMd^4. (j pbSbMj^y, гьг 1 1 ert, ' г oo oo

4C,| j SmmWm- * ^А^&.ГЧ^Й аЧ г I 1

С!зс2 V loc2+il

Oo - оэ oo

XtR2 dxi Vz 1 c5 Suf j ад \ J Ia2+L]2 oo

-oo

ЭС& к

0^X^ N 2 oo 4 sop i ax. Ф o

-oo с sugj * taOl ^

Таким образом, t![((?) . По теореме Винера-Лэли / [40] , с. 109 / имеем

KL/r v ill tU.^ + UlA.

J oMu,

-6-1Л отсюда следует представление /1.2.1/. ►

Теорема 1.3. Если , то , Sj , S.U принадлежат классу ^.plR2).

Одномерный аналог теоремы 1.3 доказан в [25] . Сформулируем его.

Теорема 1.4. Пусть , 4<f><oo .Тогда fWdi

Доказательство теоремы 1.3. Подействуем оператором Si на

-О0 i ( jWo^XH

-ь u, f oc<doc., [ f

-OO

4(ос,, ^ -1(0, Ц2)~ I f (0,0) d + oO

J i

-OO o3 £

Нг JJfeg". jJ/M " A - * (o,j/,)- |(4o). I (hoh j «йц,^^ е.муШХ du+k oo

-OO

Из теоремы 1.4 следует, что 1р1(Й) . Покажем ограниченность последнего интеграла

СО

4-I!

-©О t] +] | 4 t -I

-г doc, + сЛ | J

-оо сJ| «щЦ dx, ЛI +1| iib^LJl^j i3f 1 -t -е

OO atsapj^ R

-oo со °° . р dxt \ Р ,г - х

5 - со -оо

Sap

I Xt ft i

В последнем неравенстве использована оценка нормы целой функции экспоненциального типа < (Г , исчисленной для подпространства R с f через норму её, исчисленную для всего пространства / [40] , с.131 /. Таким обр азом,

6< (>г

Следовательно, (S^) (г) есть целая функция экспоненциального типа , С другой стороны, • Аналогично доказывается, что (S2i)(x)с и поэтому

Следствие. Проекторы Р" определяют в подпространства

Теорема 1.5. ^(ft^ = гр е j , f{>0 .

4Покажем, что * . Пусть Ip'e ^ .рассмотрим последовательность конечных сумм

L-'t где lj[4R) , IK^G^fr) .Так как и iiii^^iim it/te * то в силу замкнутости в класса

Докажем обратное вложение . Пусть

При фиксированном функция |(г,г2) является целой функцией экспоненциального типа по переменной z2 / [4] , [40] / и так как / [40] , с.157 /

- 35 то функцию можно разложить в ряд / см. теорему I / fa) = Z w ,

1.2.3/ где система функции ICr^j имеет вид /1.1.15/ и образует биорто-гонаяьный базис в пространстве а е>о

U^Ufe.oO (fSxt)dx2 . заметим, что Так как при интегрировании на [-М,М] по переменной хг целой функции по двум переменным получается целая функция по переменной г / см.

L6]c.I?/, то м является целой функцией и для кавдого к £ Z || ^^(зеОИц,^ оо м

Х1г*г) Gr/foC^ Ахг\ dx1

-во -М о м м х р \ 1

4J1i^lVrdxj^iiGSi \\м

-во-м -м k Lp(R

Функция ^„tei) имеет тип . Действительно, так как для любых г,

ЛМ

И С: =

1? Ъ'{(о.ъ)гб,, \ , I. I J 4oc2)dx2l «

-м

М LP И

-м - м м м А,

4>км(г,) 4 А I "ЛГ = Aexpf^lz,!4).

Следовательно, для кавдого фиксированного „к" последовательность vf>KM(?1) £ 3Lp (R) и так как она равномерно ограничена в метрике Lf(R), то функция также принадлежит

3Lp(R)/ см* теорему о компактности [40] /. Из представления /1.2.3/ следует, что 6 в ^, у Следствие. = 3.J14 в ijK

Определение.Будем говорить, что последовательность функций iom^W. ести {ll(4W{p

Если f-txbcr2^Lp(R2) , то из теоремы Фубини следует, что f/x^o^Lpte) по одной переменной для почти всех значений другой переменной. Если, кроме того, f(осч>осг^3m Р^" / f(x1txz)£ JmP" /, то в силу равенств $«Р**=Р*± , S/-* {(ад^М / fe^c- L'CR) / по X, почти для всех Х2. Аналогично, используя свойство S,S2eSeS4, нетрудно показать, что S2 Р+*, S2P*~=-P+Z и, следовательно, если fea^&lj^RV Lp-fRV, то почти для всех ос, по х2 4(x<taa)e L: (Я) /.

1 ^

Рассмотрим тензорное произведение пространств 3^'eLp. Оно состоит из функций, принадлежащих Lp(Rl), которые почти для всех значений второй переменной являются целыми функциями экспоненциального типа по X,. Действительно, пусть } Lp , тогда

7- I/ при фиксированных а, представляет собой целую с=ч ' 1 ■ функцию экспоненциального типа^б^ , принадлежащую по х, Lp(R) .

Пусть ^(Vi^lp^Lp, тогда

Ц 4(х,,хг) - i It (х.и'Сх^^^г^О,

- 37 и, следовательно, по почти для всех ос, [39]

Ц(х4,ОС2) - I fr(z^taJ^^O, /V--.

В силу замкнутости пространства 1^ в метрике LpG0 получим, что почти для всех ос2 является целой функцией типа ^ . В дальнейшем будет использоваться следующее предложение.

Предложение 1.5. Если функция tf(3c)e lp<4® Lp » т0 она пРеД" ставима в виде ряда f (хьос2) ^ I e^faocf (ос2) , /1.2.4/ обракоторый по сходится в метрике L(R) . Функции зуют биортогональный базис в пространстве lp'4 и имеют вид /1.1.14/

1ск*(зО} LP), Сад (с; ад) аналитически продолжимы в верхнюю / низшюю / полуплоскость и определяются следующим образом оо

С± ta>V3r? (ffiY ,ас2)= j %с.А) ef /1.2.5/

- оо

4 Доказательство проведём для случая Up • Представле-/ I г ние /1.2.4/ почти для всех х^ имеет место в силу теоремы I. Из этой же теоремы • с ДРУГОЙ стороны, умножая ряд /1.2.4/ на е^-^) и интегрируя его, получим, что

С~(х2) определяется равенством /1.2.5/. Аналогично тому, как это сделано в теореме 1.5, можно показать, что

Проверим, что Т .,\»м . откуда будет следовать, что с;(хг) - Действительно,

Jxz+i)n

1.2.6/

СО |Г г / .\п~4

-СО

Т , Т {Хг+i)"'' J e>o -oo ^

Здесь на предпоследнем шаге применена теорема Фубини, так как со е><* llel-te^ldx, j dx2 < IM CRt)lle^xi llg^r'

-OO -oo \J V

Равенство нулю последнего интеграла в /1.2.6/ следует из того, что функция ^(зс«рС*\ почти для всех х, по принадлежит Lp(R") . Из леммы 5 следует, что почти для всех х2 выполняется неравенство л/ 00

I lc;W|p й A j Wx^x./doc,,

А к=м постоянная, не зависящая от х2 . Тогда к/ 00 ^ ы z j icjrfdx, = S lj^fdxz * А и 11^

Скг)

Устремляя: , а/^оо , получим [сдх^^ * ?p(Z,Lp)>

Теорема 1.6. Пусть функции e^-fx.) определяются равенством

1.1.14/. Система функций является биортогональным

6++ базисом в lp'(Ra) .

4 Система функций биортогональна. Действительно,

ОО со ~С<> оо оо.

О,

- 39

Пусть S - замкнутое пространство, натянутое на семейство Элементами его являются ряды j^^fy^* A

Оценим

II ^Т СоЛ Г1 ? ^ ■

Рассмотрим при фиксированном эс, следующий интеграл оо мг ru \ с in -sri*1 J IP

11(1 Cj (хг) 1 dx2 * с, I 11.

-oo 0 ° """

Последнее неравенство следует из базисности 1е^ЧсО^ в пространстве <1рг~ и изоморфности последнего пространству . Проинтегрируем это неравенство по ХА , получим

11 Vmw 4 № УЧ e^l'dv

-©о иг к с, I 1

Г j=-m IC=-n 0 ^

Рассмотрим конечную сумму Т. ® (х) , где . Покаt=*< d Г жем, что любой элемент этой суммы содержится в «5 . Отсюда будет следовать, что пополнение алгебраического тензорного произведения, т.е. любая функция , также принадлежит s , что означает, что |(г) предетавима^ввде ряда ZoL^i?®^14), сходящегося по норме причём сХк rl ffe. '^±)(x)clx.

Для функций d-p " имеют место разложения f Ч , f fo- I С еНх2), к*I мг где Д Z Iс* Спмр *00 • Следовательно, в 5 существует ряд

Z Z^c'te^-M llAf=

К** и-.м |irL м LpCR v м „ М

II fix,) Гад - ft* jl С* e„4ta) + ? '(*,) I Сп & (хЛ

-Z X »r(xJlL Ц%сА<zl&xjfc n=-M <=-L / Lp и=-м Lp

1|£с„ге^М1 ft fto-IcieM,>

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Додохова, Г.В., 1985 год

1. АЛЕШ) А.Г. Неоднородная краевая задача Римана с бесконечным индексом на контуре Ляпунова.- Изв. АН БССР, 1980, № 1. 51-58.

2. АХИЕЗЕР Н.И. Лекции по теории аппроксимации.- М. Наука, 1965.- 408 с.

3. ШРКОВИЧ Ф.Д., КОНЫШКОВА Е.М. Об одном случае краевой задачи Римана с бесконечным индексом.- Сообщение Ростовского мат. общ., Ростов-на-Дону, 1968, 158-164.

4. ШАДИМИРОВ B.C. Методы теории функций многих комплексных переменных.- М., Наука, 1964.- 412 с.

5. Гахов Ф.Д. О краевой задаче Римана.- Мат. сборник, 1937, 2/44/, Л> 4, 673-683.

6. ГАХОВ Ф.Д. Краевые задачи.- М.,Наука, 1977.- 638 с.

7. ГОВОРОВ Н.В. О краевой задаче Римана с бесконечным индексом.- ДАН СССР, 1964, 154, Ш 6, 1247-1249.

8. ГОВОРОВ Н.В. Неоднородная краевая задача Римана с бесконечным индексом.- ДАН СССР, 1965, 159, № 5, 961-964.

9. ГОВОРОВ Н.В. Об ограниченных решениях краевой задачи Римана с бесконечным индексом степенного порядка.- ДАН СССР, 1968, 182, & 4, 750-753.

10. ГОРДАДЗЕ Э.Г. О сингулярных интегралах на негладких линиях.- Тр. симпозиума по механике сплошной среды и родственным проблемам анализа. Тбилиси, Мецниереба, 1974, 2, 74-85.

11. ГОХБЕРГ И.Ц., ФЕЛЬДМАН И.А. Об интегрально-разностных уравнениях Винера-Хопфа.- ДАН СССР, 1968, 183, № I, 25-28.- 109

12. ГОХЕЕРГ И.Ц., СЕМЕНЦУЛ А.А. Теплицевы матрицы, составленные из коэффициентов Фурье функций с разрывами почти-периодического типа.- Мат. исслед., Кишинев, Штиинца, 1970, 5, вып.4, 63-83.

13. ГОХЕЕРГ И.Ц., ФЕЛЬДМАН И.А. Уравнения в свертках и проек-ционнве методы их решения.- М., Наука, 1971. 352 с.

14. ГОХБЕРГ И.Ц., КРУПНИК Н.Я. Введение в теорию одномерных сингулярных интегральных уравнений.- Кишинев, Штиинца, 1973.- "427 с.

15. ГРУДСКИЙ С.М., ДЫБИН В.Б. Краевая задача Римана с разрывами почти-периодического типа у её коэффициента.- ДАН СССР, 1977, 237, № I, 21-24.

16. ГРУДСКИЙ С.М., ДЫБИН В.Б. Краевая задача Римана в пространстве Lp(r,р^) с почти-периодическими разрывами у её коэффициента.-Мат. исслед., Кишинев, Штиинца, 1980, вып. 54, 36-40.

17. ГРУДСКИЙ С.М. Краевая задача Римана с бесконечным индексом в классах суммируемых функций. Кандидатская диссертация, РГУ, 1981.- 118 с. •

18. ГРУДСКИЙ С.М. Краевая задача Римана с разрывами почти- периодического типа в классе Loo (Г) В сб: Дифференциальные и интегральные уравнения и их приложения. Элиста, 1982, 30-41.

19. ДАНИЛ ЮК И.И. Нерегулярные граничные задачи на плоскости. М., Наука, 1975,- 295 с.

20. ДЖРБАШЯН М.М. Биортогональные системы рациональных функций и представления ядра Коши. Изв. АН Арм. ССР, 1973, 8, }£ 5, 384-409.

21. ДЖРБАШЯН М.М., РАФАШ1ЯН С.Г. О целых функциях экспоненци- но ального типа из весовых классов Lp . ДАН Арм. ССР, 1981, 73, В I, 29-36•

22. ДЖРБАШЯН М.М. Интерполяционные и спектральные разложения, ассоциированные с дифференциальными операторами дробного порядка.- Изв. АН Арм.ССР, 1984, 19, № 2, 81-181.4

23. Д0Д0Х0ВА Г. В. Об одном двумерном аналоге краевой задачи Римана с бесконечным индексом.- Ростов н/Д.- 23 с. Рукопись представлена Ростовским университетом, Деп. в ШНИТИ 26.08.83, В 4679-83 Деп.

24. Д0Д0Х0ВА Г.В. О теплицевых матрицах, составленных из коэффициентов Фурье функций, имеющих разрывы почти-периодического типа.- Ростов н/Д, 1983.- 10 с. Рукопись представлена Ростовским университетом, Деп. в ШНИТИ 3.10.83,5141-83 Деп.

25. ДЫБИН В.Б. О сингулярном интегральном операторе на вещественной оси с почти-периодическими коэффициентами. В сб.: Теория функций, дифференциальные уравнения и их приложения.Элиста, 1976, 98-108.

26. ДЫБИН В.Б., Д0Д0Х0ВА Г.В. Корректная постановка краевой задачи Римана на прямой с почти-периодическим разрывом коэффициента.- Ростов н/Д, 1981, 44 с. Рукопись представлена Ростовским университетом. Деп. в ШНИТИ 3«04;.81, В 1497-81 Деп.

27. ДЫБИН В.Б., Д0Д0Х0ВА Г.В. Корректная постановка краевой задачи Римана на прямой с почти-периодическим разрывом- Ill коэффициента.- В сб.: Мат. анализ и его приложения. Ростов н/Д, РГУ, 1983, 12-22.

28. ДЫЕИН В.Б., Д0Д0Х0ВА Г.В. Корректная постановка краевой задачи Римана на замкнутом контуре в случае почти-периодических разрывов у её коэффициента.- Изв. АН Арм.ССР, 1983, 18, № 5, 380-393.

29. КАКИЧЕВ В. А. Краевые задачи линейного сопряжения для функций голоморфных в бицилиндрических областях.- В.сб.: Теория функций, функциональный анализ и их приложения, Харьков, 1967, вып. 5, 37-58.

30. КАКИЧЕВ В.А. Краевые задачи линейного сопряжения для функций голоморфных в бицилиндрических областях.- ДАН СССР, сер. физ.-мат., 1968, 178, № 5, 1003-1006.

31. КАКИЧЕВ В. А. Вырожденные двумерные сингулярные интегральные уравнения с ядрами Коши для бицилиндрических областей.В сб.: Теория функций, функциональный анализ и его приложения, Харьков, 1969, вып. 8, 25-28.

32. КОТЕЛЬНИКОВ В.А. О пропускной способности "эфира" и проволоки в электросвязи.- Мат. к 1-ому Всесоюзному съезду по вопросам технической реконструкции дела связи и развития слаботочной промышленности. 1933.

33. ЛИТБИНЧУК Г.С. Краевые задачи и сингулярные интегральные уравнения со сдвигом.- М., Наука, 1977.- 448 с.

34. ЛИТВИНЧУК Г.С., СПИТКОВСКИЙ И.М. Факторизация матрицнйунк-ций.~ Одесса, 1984,- 460 с. Рукопись представлена ин-том экономики АН УССР, Деп. в ВИНИТИ 17.04.84, № 2410-84 Деп.

35. ЛЕН® Б.Я. Интерполяция целыми функциями экспоненциального типа.- В сб.: Математическая физика и функциональный анализ. ФТИНТ АН УССР, Харьков, 1969, 136-146.- 112

36. МОНАХОВ В.Н., СЕМЕНКО Е.В. О корректных постановках 1фаевых задач сопряжения с бесконечным индексом для квазианалитических функций.- В сб.: Некорректные задачи математической физики и анализа. Новосибирск, Наука, 1984, 91-101.

37. МУСХЕЛИШВИЯИ Н.И. Сингулярные интегральные уравнения.-М., Наука, 1968.- 511 с.

38. НАТАНСОН И.П. Теория функций вещественной переменной.-М., Наука, 1974.- 480 с.

39. НИКОЛЬСКИЙ С.М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения.- М., Наука, 1977.- 456 с.

40. НИКОЛЬСКИЙ Н.К., ПАВИОВ Б.С., ХРУЩЕВ С.В. Безусловные базисы экспонент и воспроизводящих ядер.- Ленинград.ЛОЖ. Препринт Р-8-80, Р-9-80, Р-Ю-80, P-II-80, 1980.-174 с.

41. ПРИВАЛОВ И.И. Введение в теорию функций комплексного переменного.- М.,Наука, 1977.- 444с.

42. РАФАсйЯН С.Г. О базисности некоторых систем целых функций.-ДАН Арм. ССР, 1980, 7, № 4, 198-204.

43. САГИНАШШ1И А.И. Сингулярные интегральные операторы с полу-почти-периодическими разрывами у коэффициентов.- Сообщ.АН Груз. ССР, 1979, 95,№ 3, 541-543.

44. САДРЫГАЙ10 И.Е. О краевой задаче Римана с бесконечным индексом для полуплоскости.- ДАН БССР, 1975, 19, В 10, 872-875.

45. СКОМАХА Л.Н. Об одном сингулярном интегральном уравнении с бесконечным индексом для случая аналитического ядра.-Литовский мат. сборник. Вильнюс, 1976, 161-177.

46. СКОМАХА Л.Н. Сингулярное интегральное уравнение с бесконечным индексом для случая,'.■когда ядро есть целая функция. Новочеркасск, 1981. Рукопись представлена Новочеркасским политехническим институтом, Деп. в ВИНИТИ 18.05.81, 21 с. В 2307-81 Деп.

47. TQI04K0 М.Э. О краевой задаче Римана с бесконечным индексом для полуплоскости.- Изв. АН БССР, серия физ.-мат., 1969, № 4, 52-59.

48. ТОЛ ОЧКО М.Э. О разрешимости краевой задачи Римана с бесконечным индексом для полуплоскости.- Изв. АН БССР, 1971,3, 31-38.

49. ХВЕЩЕЛЙДЗЕ Б.В. Линейные разрывные граничные задачи теории функций, сингулярные интегральные уравнения и некоторые их приложения.- Тр. Тбилисского мат.ин-та АН Груз. ССР, 1956, 23, 3-158.

50. ЧИКИН Л.А. Об устойчивости краевой задачи Римана.- ДАН СССР, 1956, III, В I, 44-46.

51. SarasonD. Toepfctг operculars wi^L Se.rn.i- cdtnosb- 114 periodic symbols.- Duke Matk.

52. RocMery R. JotplcЫ operators о^ ujecqlttd Hp spaces -Indiana Unitf. Z\, л/2, ZQ4-29S.

53. Wkittacker £.T. On iU functions ьЛихк are nprtzvdedU expansions of ik interpolation ШогиProc. Rou обе. £скпёи,грк, 4945,35- Шр. 1

54. Sckattm R. a theory, of cross-spaces.-PrCnstborv lirLiversib^ Press, ^9b~0. -f45p.