«Объемы арифметических локально-симметрических пространств и их применения в теории автоморфных форм» тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, кандидат наук Стукен Екатерина Сергеевна

• Стукен Екатерина Сергеевна
• кандидат наук
• 2019

Оглавление диссертации кандидат наук Стукен Екатерина Сергеевна

в Оп

2.2 Алгебра Г-автоморфных форм А(Г)

3 Результаты

4 Предварительные сведения

4.1 Эквивалентность решеток над кольцом Ър,р =

4.2 Эквивалентность решеток над

4.3 Род, спинорный род и класс решетки

4.4 Связь меры Брюинье с мерой Мамфорда-Хирцебруха

5 Методы доказательства

5.1 Отражения

5.2 Формула Пуанкаре-Лелонга-Брюинье (П-Л-Б формула)

5.3 Число К (Г)

5.4 Стратегия доказательства теоремы

6 Доказательства

6.1 Подготовительные леммы

6.2 Отражения

6.3 Возможные типы решеток Ье

6.4 Доказательство теоремы

6.5 Число склеивающих векторов для разных типов решеток Ье

6.6 Вычисление кообъемов

6.7 Оценки числителя и знаменателя числа К(Г^)

6.8 Доказательство теоремы

6.9 Исследование исключительных случаев

7 Применение объемов арифметических локально-симметрических пространств в теории автоморфных форм

8 Заключение 46 Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему ««Объемы арифметических локально-симметрических пространств и их применения в теории автоморфных форм»»

1 Введение

Объяснения всех встречающихся в этом параграфе терминов содержатся в параграфах 1-5.

Рассмотрим X - комплексно-аналитическое многообразие, и Г - дискретную группу, действующую на пространстве X. Пусть при этом фак-торпространство Х/Г имеет конечный объем (такие дискретные группы принято называть коконечными). Действие группы Г на пространстве X индуцирует действие группы Г на пространстве голоморфных на X функций.

Определение 1. Голоморфная на X функция f называется автоморф-ной формой, если для любых г Е X, д Е Г f(д(г)) = аг(g,z)f (г). Через а(д, г) обозначен фактор автоморфности, то есть ненулевая голоморфная функция, число г называется весом автоморфной формы.

Автоморфные формы образуют градуированную алгебру, которую мы обозначим через А(Г). Особенный интерес вызывает изучение структуры алгебры А(Г), в частности, важно установить, для каких групп Г алгебра А(Г) является свободной.

Работы в этом направлении начались в конце 19 века. Первый пример свободной алгебры принадлежит Клейну и Фрикке [20]. Они доказали, что алгебра модулярных форм (то есть автоморфных форм с дополнительным условием поведения в каспах, которое требуется в размерности 1) для группы Г = РБЬ2(Ъ) является алгеброй многочленов от двух образующих весов 4 и 6. В этом случае пространство X есть верхняя полуплоскость, то есть область Картана типа IV размерности 1.

Следующие примеры свободных алгебр автоморфных форм появились в 60-е годы прошлого века. Пространством X в данных примерах является произведение двух верхних полуплоскостей, то есть область Картана типа IV размерности 2. Группа Г есть расширенная модулярная группа Гильберта РБЬ2(0), где О - кольцо целых вещественного квадратичного поля К = а РБЬ2(0) - группа РБЬ2(0), рас-

ширенная автоморфизмом, меняющим местами верхние полуплоскости. Гундлах в 1963 и 1965 годах соответственно доказал, что алгебры автоморфных форм А(Г) для полей 0(л/5) и 0(л/2) свободны. Более точно, в этих статьях доказывается, что при й = 5 А(Г) = С[С2, Сю], а при й =2 А(Г) = С[С2, С4, С6], где Gi - образующая веса г. Кроме того, во многих работах предпринимались попытки явно описать алгебры А(Г) для маленьких дискриминантов й и явно выписать образующие и соотношения. Например, в работе [21] описаны кольца модулярных форм Гильберта для поля 0>(л/6), в работе [22] для поля Q(^/T3), в работах

[28] и [29] для полей 0(л/17) и 0(^/65) соответственно, в [35] для полей 0(^5), 0(^13) и 0(^17).

В 1962 году Игуза в работе [30] доказал, что для группы Г = РБр4(Ъ) (модулярная группа Зигеля рода 2) алгебра А (Г) является свободной алгеброй с образующими весов 4, 6, 10 и 12. В этом случае группа Г естественно действует на верхней полуплоскости Зигеля, представляющей собой область Картана типа IV размерности 3.

Долгое время примеры свободных алгебр автоморфных форм для размерностей п > 3 не были известны. В 2010 году Э. Б. Винберг в статье [37] привел серию примеров свободных алгебр А(Г) в областях Картана размерностей 4, 5, 6, 7. В 2018 году в статье [6] Э. Б. Винберг продолжил эту серию, построив примеры свободных алгебр в размерностях 8, 9 и 10. Более точно, он доказал, что алгебры автоморфных форм А(Г) для группы Г = 0+п(Ъ), естественно действующей в областях Картана IV размерности п, свободны при 4 < п < 10, и выписал веса образующих в каждом из этих случаев:

п Веса

4 4, 6, 8, 10, 12

5 4, 6, 8, 10, 12, 18

6 4, 6, 8, 10, 12, 16, 18

7 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18

8 4, 6, 8, 10, 12, 12, 14, 16, 18

9 4, 6, 8, 10, 10, 12, 12, 14, 16, 18

10 4, 6, 8, 8, 10, 10, 12, 12, 14, 16, 18

В работе [14] показано, что для того, чтобы алгебра А(Г) была свободна, необходимо, чтобы группа Г порождалась комплексными отражениями. Это возможно только в случае, если пространство X есть комплексный шар или область Картана типа IV.

Нас будет интересовать область Картана типа IV в размерности п = 2. Отличительная черта дискретных коконечных групп, действующих в областях Картана типа IV размерности больше 1 - их арифметич-ность (теорема Маргулиса, [7]). Это важнейшее обстоятельство позволяет использовать современную технику исследования квадратичных решеток над полями алгебраических чисел. В частности, вычисление ко-объемов ортогональных групп квадратичных решеток - главное техническое средство, используемое в работе. Примеры вычисления таких ко-объемов можно найти, например, в статьях [17], [24].

2 Основные определения

Пусть Л - кольцо главных идеалов. Квадратичным Л-модулем называется свободный Л-модуль конечного ранга, снабженный невырожденной симметрической билинейной формой (•, •) со значениями в кольце Л. Модуль Лп, в котором скалярное произведение задается матрицей Грама Б, обозначается через (Б). Квадратичный модуль над полем называется квадратичным (векторным) пространством, а над кольцом Z - решеткой.

Пусть V - квадратичное пространство над полем рациональных чисел. Тогда V« = V 0 К и УС = V« 0 С - квадратичные пространства над О к

полями К и С соответственно. Пусть сигнатура квадратичного пространства V« равна (2, п) (два плюса, п минусов), п > 2.

В проективном пространстве PVc рассмотрим область

Ьп = {[г] Е PVc : (г, г) = 0, (г, г) > 0},

состоящую из двух связных компонент. Любую из них обозначим через Ьп. Ее комплексная размерность равна п. Область Ьп является эрмитовым симметрическим пространством типа IV (по классификации Э. Картана). Область Ь1 биголоморфна верхней полуплоскости Н+, Ь2 - произведению двух таких полуплоскостей.

Через С = О(^) обозначим ортогональную группу квадратичного пространства V«, и пусть С+ - ее подгруппа индекса 2, сохраняющая область Ьп. Группа С+ действует в области Ьп неэффективно с ядром неэффективности ±1. Известно ([13]), что группа является полной группой голоморфных автоморфизмов области Ьп, действующей в Ьп транзитивно.

2.1 Арифметическая группа Г с С+, дискретно действующая в Ьп

Выберем в пространстве V решетку Ь, гк^(Ь) = . Обозначим через

О(Ь) ортогональную группу решетки Ь с V, и пусть Г = О(Ь) П С+. Такая группа Г называется арифметической группой. Группа Г дискретно действует в области Ьп (возможно неэффективно). По лемме Сельберга ([9]) группа Г содержит нормальную подгруппу конечного индекса Г1, действующую без неподвижных точек (в частности, эффективно). По теореме Бореля-Хариш-Чандры ([9]) объем факторпространства Ьп/Г1 (относительно любой С+-инвариантной формы объема на Ьп) конечен. Этот объем называется кообъемом группы Г1 (относительно выбранной

формы объема на Оп) и обозначается через Соуо1(Г1). Кообъемом группы Г называется число ^^т]^ (мы будем обозначать его через Соуо1(Г)).

2.2 Алгебра Г-автоморфных форм А(Г)

Обозначим через ОП конус над областью Оп в пространстве УС. В дальнейшем предполагается, что в случае п = 2 индекс Витта пространства У меньше 2.

Определение 2. Автоморфной формой веса к относительно группы Г с характером х : Г ^ С* называется голоморфная на Б'п функция f, удовлетворяющая условиям:

1) f (Ьг)= Гкf (г), I е С*

2) f Ш) = хШ(г), д е Г.

Замечание 2.1. Выбор подходящего ненулевого сечения тавтологического расслоения над областью Оп позволяет установить биективное соответствие между однородными Г-инвариантными голоморфными функциями в конусе Б'п и голоморфными на Оп функциями f, такими, что f (д(г)) = a(g,z)х(g)f (г), где д е Г, а(д,г) - фактор автоморфности для Г.

Для арифметической группы Г известно ([13]), что Г-автоморфные формы всех неотрицательных весов с тривиальным характером образуют конечно-порожденную градуированную алгебру, которую мы обозначим через А (Г).

Всюду в дальнейшем (если это специально не оговаривается) мы используем введенные выше обозначения.

3 Результаты

Предположим, что = 4 (то есть п = 2), пространство У изотроп-

но, но в нем отсутствуют двумерные изотропные подпространства, то есть индекс Витта пространства У равен 1.

Выберем натуральное число 1 > 1, свободное от квадратов, и в качестве Ь рассмотрим решетку Ьй = и ф Бй, где

и

Б<1 ={

2 2

1

1-й 2

0

-2(1,

при 1 = 1 (mod 4); , при 1 = 2, 3 (mod 4).

Группа Г, построенная в разделе 2.1 по решетке Ьа, будет обозначаться Га. Выбор этой серии арифметических подгрупп не случаен. Напомним, что с вещественным квадратичным расширением К = ((л/й) с кольцом целых 0а связана расширенная модулярная группа Гильберта РБЬ(2, 0а) = Са1(К/() к РБЬ(2, 0а), естественно действующая в Ь2 как дискретная арифметическая группа. Группа РБЬ(2, 0а) вкладывается в группу Га в качестве нормальной подгруппы ([4]). Известно, что группа Га является максимальной дискретной подгруппой в группе С+, содержащей группу РБЬ(2, 0а) ([22]).

Основным результатом работы является следующая теорема ([11], [12]).

Теорема 1. Пусть Г' с Га - подгруппа конечного индекса в группе Га, содержащая элемент — И. Если алгебра Л(Г') свободна, то й Е {2, 3, 5, 6,13, 21}.

Следствие 1. Алгебра Л(Га) свободна тогда и только тогда, когда й = 2, 3 или 5.

Доказательство следствия 1. В работе [5] показано, в частности, что для того, чтобы алгебра Л(Г) была свободна, необходимо, чтобы стабилизатор Г С Г любого изотропного вектора V Е V порождался отражениями, зеркала которых содержат этот вектор. Но для группы Га это не так, если й Е {6, 13, 21}.

Разберем для примера случай й =13 (случаи й = 6 и й = 21 разбираются аналогично). В этом случае решетка Ь13 в базисе f1, f2,е1, е2 имеет

вид 0) ® . Рассмотрим изотропный вектор V = Д. Просто

проверяется, что стабилизатор Г С Г13 есть полупрямое произведение Аи1В13 к Т группы автоморфизмов Аи1В13 неопределенной квадратичной решетки В13 и свободной абелевой группы Т = Ze1 ф Ze2. Для того, чтобы группа Г порождалась отражениями, необходимо и достаточно (см. [5]), чтобы группа Аи1В13 порождалась двумя отражениями ЯГ1 и ЯГ2 в векторах г1 и г2 решетки В13 (г2 < 0) и чтобы Z[r1 ,г2] = Т.

Легко проверить, что одно из собственных значений матрицы ЯГ1 ЯГ2

/з + У1з\2 . „

равно I --- I - образующей группы вполне-положительных единиц

поля таком случае ЯГ1 и ЯГ2 порождают группу Аи1В1з ([2]).

Но при этом векторы г1 и г2 не порождают решетку Т.

Рассмотрим случаи й = 2 и й = 5. Группа РБЬ(2, 0а) вкладывается в группу Га, но не содержит — Ы. Присоединив — Ы к подгруппе

РБЬ(2, Ой), мы получим всю группу Гй. Это следует из того, что поля ((\/2) и ((\/5) являются одноклассовыми и содержат фундаментальную единицу нормы -1, а потому группа РБЬ(2, Ой) является максимальной арифметической группой, действующей в произведении двух верхних полуплоскостей ([4]). Но в работах [26] и [25] доказано, что алгебра авто-морфных форм четного веса для групп РБЬ(2, Ой) свободна при 1 = 2 и 1 = 5 соответственно.

Наконец, в случае 1 = 3 следствие 1 доказано в работе [26]. □

4 Предварительные сведения

Нам потребуются некоторые факты о целочисленных квадратичных формах. Мы приведем их в этом параграфе, следуя, в основном, статьям [3], [8] и книге [19].

4.1 Эквивалентность решеток над кольцом Ър,р = 2

Мы напомним основные факты об эквивалентности решеток над кольцом целых р-адических чисел Ър,р = 2, следуя статьям [3], [8].

Пусть Ь - квадратичный А-модуль (А - кольцо целых чисел Z, кольцо целых р-адических чисел Ър или поле вещественных чисел К). Обозначим через А* обратимые элементы кольца А. С А-модулем Ь связаны два важных инварианта: дискриминант и инвариант Хассе.

Определение 3. Дискриминантом квадратичного А-модуля Ь с матрицей Грама Б называется элемент 1(Ь) = йеЬ(Б) ■ (А*)2 мультипликативной группы А/(А*)2.

Определение 4. Модуль Ь называется унимодулярным, если йеЬ(Б) е А*.

Обозначим через Егае(А) поле частных кольца А. Модуль Ь является подмодулем свободного модуля

Ь = {х е Ь Ггае(А) : Уу е Ь (х,у) е А},

поэтому можно определить инвариантные множители модуля Ь. Если Ь - унимодулярный модуль, то Ь = Ьу.

Определение 5. Если Ь - решетка, то Ь называется двойственной решеткой для решетки Ь.

Напомним следующее определение:

Определение 6. Символом Гильберта (•, •)р называется функция (•, •)р : Ор х ^ {-1,1}, такая, что для а,Ь € Qp:

^ ^ | 1, если уравнение г2 = ах2 + Ьу2 имеет ненулевое решение (х, у, г) € О^; ' р 1— 1, иначе.

Если а = раи и Ь = рвV, где и и V взаимно просты с р, то символ Гильберта (а, Ь)р при р = 2 можно вычислить по формуле:

(а,Ь)р =(— 1ГМр>( и) ( р

в / \ а ' V 4

где е(р) = Р——, а через обозначены символы Лежандра. Символ Гильберта над 2-адическими числами вычисляется по формуле:

где ш(х)

(а,Ь)2 = (—1)£(«>£(^>+аш(^>+вш(м>,

х2 1

Определение 7. Инвариантом Хассе ер(У) называется функция, отображающая квадратичное пространство V над полем р-адических чисел Ор (в случае р = то - над полем вещественных чисел Е) в множество { —1,1}, обладающая следующими свойствами:

1. если dimV = 1, то ) = 1.

2. 0 Ш) = )ер(Ж),й(Ш))р, где (•, ^ - символ Гильберта.

Определение 8. Инвариантом Хассе квадратичного модуля Ь над кольцом Zp называется инвариант Хассе соответствующего квадратичного пространства Ь Qp.

Замечание 4.1. Пусть р = 2. Унимодулярный квадратичный Ър-модуль определяется своей размерностью, дискриминантом и инвариантом Хас-

се.

Более точно, унимодулярный квадратичный Zp-модуль размерности

п п— 1

п изоморфен модулю ф(1) или модулю ф (1) 0 (и), где и - квадра-

г=1 г=1

тичный невычет по модулю р. Произвольный квадратичный Zp-модуль Ь допускает разложение Жордана: Ь = Ь0 0 рЬ1 0 р2Ь2 0 ..., где Ь - унимодулярные Zp-модули, определяемые однозначно с точностью до изоморфизма.

4.2 Эквивалентность решеток над Z2

Над кольцом 2-адических чисел Z2 разложение Жордана не однозначно, поэтому для описания 2-адических решеток мы применим технику, описанную Конвеем и Слоэном в книге [19], а также Аллкоком, Галом и Марком в статье [15].

Определение 9. Число A называется 2-адическим ант,иквадрат,ом, если оно представимо в виде A = 2а ■ u±3, где а - нечетное число, а u±3 -2-адическая единица, сравнимая с ±3 (mod 8).

Определение 10. Странностью целочисленной квадратичной формы f = diag(2aa, 2еb, 2Yc,...) называется число a + b + c + ... + 4m, где m -число 2-адических антиквадратов среди чисел 2aa, 2еb, 2Yc,...

Рассмотрим Жорданово разложение решетки L над кольцом 2-адических

чисел Z2: L ® Z2 = ф 2qLq, где Lq - унимодулярные модули над кольцом q

Z2.

Определение 11. Будем говорить, что модуль 2qLq имеет тип I, если на главной диагонали матрицы Грама квадратичного модуля Lq существует нечетный элемент. В противном случае, будем говорить, что модуль 2qLq имеет тип II.

Сопоставим решетке L ее 2-адический символ, являющийся формальным произведением множителей вида (2qnq, где: 2q называется масштабом модуля 2qLq; nq = dimLq;

tq = q^ - знак модуля Lq;

tq - странность модуля Lq, если модуль Lq имеет тип I и формальный символ II, если модуль Lq имеет тип II.

Например, 2-адический символ 1—22+34-18+/4 представляет квадратичный модуль над 2-адическими числами Z2, имеющий Жорданово разложение L0 ф 2L1 ф 4L2 ф 8L3, с размерностями модулей L0, L1, L2, L3, равными 2, 3, 1, 4, и дискриминантами, сравнимыми по модулю 8 с ±3, ±1, ±3, ±1 соответственно. Модули L0 и L3 имеют тип II, а модули L1 и L2 имеют тип I и странности 5 и 3 соответственно.

Квадратичный Z2-модуль может иметь несколько различных 2-адических символов, однако можно описать, в каком случае два различных 2-адических символа представляют изоморфные решетки.

Определение 12. Интервалом модулей называются все модули 2qLq (в том числе, тривиальные), для которых 2qi < 2q < 2q2.

Определение 13. Купе называется максимальный интервал, в котором все модули имеют тип I.

Например, в 2-адическом символе 1—122+34— 18+г4 есть купе [2+34—1]. В статье [15] доказаны следующие теоремы:

Теорема 2. Два 2-адических символа представляют одну и ту же форму, если эти символы отличаются только странностями, причем общая сумма в каждом купе совпадает.

Эта теорема означает, что можно заменить показатели странности каждого формального множителя в купе на показатель странности всего купе (по модулю 8). Например, можно заменить [2+34—1] в предыдущем примере на [2+34—1 ]0.

Теорема 3 (Проход знаков для 2-адических символов). Рассмотрим 2-адический символ Жорданова разложения модуля над 2-адическими числами Z2 и два его нетривиальных множителя, удовлетворяющих одному из условий:

1. их масштабы есть последовательные степени двойки и у них разные типы;

2. их масштабы есть последовательные степени двойки и они имеют тип I, и их купе либо имеет размерность > 2, либо странность ±2;

3. они имеют тип I, их масштабы отличаются в 4 раза, и множитель между ними тривиален.

Тогда 2-адический символ, получаемый сменой знаков этих множителей, и изменением на 4 странности каждого рассматриваемого купе, представляет изоморфный модуль.

Теорема 4. Два квадратичных Z2-модуля изоморфны тогда и только тогда, когда их 2-адические символы связаны последовательностью операций прохода знаков.

Эта теорема будет использоваться нами для проверки изоморфности решеток над 2-адическими числами Z2 в следующих параграфах.

4.3 Род, спинорный род и класс решетки

Пусть Ь1, Ь2 - решетки в квадратичном пространстве V.

Определение 14. Решетки Ь1 и Ь2 принадлежат одному классу, если существует д е О^), такое, что Ь1 = дЬ2.

Определение 15. Решетки Ь1 и Ь2 лежат в одном роде, если для каждого простого числа р (включая р = ж) существует др е О^ 0 <р), такое, что Ь1 0 Zp = др(Ь2 0 Zp).

Рассмотрим отображение 9, переводящее элемент д е О(У 0 <р), являющийся отражением в векторе V, в 9(д) = (ь,ь) по модулю (<*)2. Несложно проверить, что заданное таким образом отображение 9 продолжается единственным образом до гомоморфизма из группы О{У 0 <р).

Определение 16. Спинорной нормой 9 называется гомоморфизм

9 : О^ 0 <р) ^ <р/(<р)2. Обозначим через кег(9) ядро этого отображения.

Определение 17. Пусть и - квадратичное пространство сигнатуры (р,д) (р плюсов, д минусов). Собстственной ортогональной группой О+(и) С О(и) называется подгруппа индекса 2 преобразований, сохраняющих ориентацию р-мерных подпространств, в ограничении на которые квадратичная форма положительно определена.

Определение 18. Решетки Ь1 и Ь2 лежат в одном спинорном роде, если существуют 7 е ), 5р е кег(9) такие, что для всех р

Ь1 0 Zр = 7^р(Ь2 0 ^р).

Понятия класса, рода и спинорного рода решетки тесно связаны между собой. Хорошо известно, что род решетки состоит из конечного числа спинорных родов, а спинорный род решетки состоит из конечного числа классов. Кроме того, верны следующие теоремы:

Теорема 5. Спинорный род неопределенной решетки ранга > 3, совпадает с классом.

Теорема Кнезера. Пусть для решетки Ь выполнены следующие условия:

1) Ь 0К - изотропное квадратичное пространство размерности больше

или равной 3;

2) Для каждого простого р квадратичный модуль Ь0Zp обладает кратным инвариантным множителем. Тогда класс решетки Ь совпадает с ее родом.

Для наших вычислений нам потребуются решетки, удовлетворяющие условиям двух последних теорем, то есть такие, у которых класс совпадает с родом и со спинорным родом. Но, поскольку большая часть утверждений верна и для решеток, не удовлетворяющих этим условиям, мы по умолчанию не накладываем на решетку Ь этих ограничений.

4.4 Связь меры Брюинье с мерой Мамфорда-Хирцебруха

Хорошо известно, что область Оп допускает реализацию в виде трубы будущего. Напомним эту конструкцию, следуя статье [18]. Выберем в квадратичном пространстве V примитивный изотропный вектор е1. Тогда существует вектор е2 Е V такой, что (е1, е2) = 1. Рассмотрим квадратичное подпространство Ш С V такое, что Ш = VПе^Пе^т. Пространство Ш является Лоренцевым, то есть сигнатура пространства Шк = Ш 0 К

есть (1,п — 1). Кроме того,

V = Ш 0 (^е2 0 0еь

Обозначим через ^(ж) = 2 (х,х) квадратичную форму, соответствующую билинейной форме пространства V, а через Х,У Е Кп - вещественную и мнимую части вектора Z = X + гУ Е Сп соответственно. Пусть С -конус векторов с положительным квадратом в пространстве Шк. Тогда можно построить изоморфизм из области

Ше1 = ^ Е Шк 0 С; У Е С}

к

в область !)п с помощью отображения Z ^ Z + е2 — Q(Z)е1 — ^(е2)е1. Конус С состоит из двух компонент связности, зафиксируем одну из них и обозначим ее через С+. Тогда указанное выше отображение осуществляет изоморфизм между областью Оп и областью

Ше1 = ^ Е Шк 0 С; У Е С+}.

к

Область Ше1 называется реализацией эрмитового симметрического пространства Оп типа IV в виде трубы будущего.

Комплексная квадрика Qn = {[г] е PVC : (г, г) = 0} содержит область Картана Оп и является двойственным к ней компактным симметрическим пространством.

Рассмотрим ограничение на область Оп С PVc тавтологического расслоения над PVc. Пусть П - невырожденная (1,1)-форма на Оп, представляющая первый класс Черна этого линейного расслоения. В указанной выше реализации области Оп в виде трубы будущего форму П можно выписать явно ([18]), но нам это не потребуется.

Пусть шп = Пп - соответствующая форма объема. Несложно проверить, что ограничение формы Пп-1 на вполне геодезическую комплексную гиперповерхность Дп-1 есть форма объема шп-1.

Обозначим через х(Х) эйлерову характеристику пространства X.

Определение 19. Отношение- ,п-называется объемом Мамфорда-

Х^п )

Хирцебруха факторпространства Вп/Г или кообъемом Мамфорда-Хирцебруха группы Г.

В дальнейшем Соуо1(Г) будет обозначать кообъем Мамфорда-Хирцебруха группы Г.

На странице 7 статьи [24] при доказательстве предложения 1.2 показано, что / шп = 2Соуо1(Г)

о„/г

Этот важный для нас вывод понадобится в параграфе 5.2 при обсуждении формулы Пуанкаре-Лелонга-Брюинье.

5 Методы доказательства 5.1 Отражения

С каждым неизотропным вектором е е УК связано ортогональное преобразование ге из группы С = ОС^): отражение в гиперплоскости е^, действующее в векторном пространстве Vc по формуле ге(х) = х — е. Отражение ге сохраняет область Оп, только если (е, е) < 0. В этом случае проективизация [е^ 0 С] гиперплоскости е± 0 С (обычно ее называют зеркалом отражения) пересекает область Оп по области Дп-1, вложенной в виде вполне геодезического комплексного подмногообразия коразмерности 1. Назовем это пересечение зеркалом отражения ге в области Оп и обозначим через п(ге).

Если отражение ге сохраняет решетку Ь, то вектор е можно выбрать примитивным вектором решетки Ь. Если при этом (е,е) = —к, к е N

то вектор е, определенный с точностью до знака, называется к-корнем решетки Ь.

5.2 Формула Пуанкаре-Лелонга-Брюинье (П-Л-Б формула)

Основным инструментом при доказательстве теоремы 1 служит формула Пуанкаре-Лелонга-Брюинье, которую мы сформулируем в интересующей нас общности.

В статье [18] эта формула получена в предположении, что группа РГ свободно действует в области Бп (для кокомпактных групп это следует из формулы Пуанкаре-Лелонга [34]). Однако она верна для произвольной группы Г (см. [33]). А именно, пусть Г - автоморфная форма (с характером) и &у(Г) - дивизор ее нулей на факторпространстве Бп/Г. Пусть &у(Г) = ^ тгСг, где Сг - неприводимый дивизор. Если вес формы Г

г

равен К, то:

£п/ Пп-1 = К/ Пп, (1)

г С дп/г

где пг - индекс ветвления над дивизором Сг в разветвленном накрытии В ^ Бп/Г.

Пусть дивизор нулей формы Г в области Бп является линейной комбинацией зеркал пг отражений из группы Г с коэффициентами тг. Обозначим через Гп. стабилизатор в группе Г зеркала пг. В этом специальном случае формулу (1) можно переписать в следующем удобном для вычислений виде (мы пользуемся связью меры Брюинье и меры Мамфорда-Хирцебруха, отмеченной в параграфе 4.4):

к

т

г=1

£ тгСоуо1(Гп,) = К СОУО1(Г)

Суммирование в левой части распространяется на представителей {п1,... ,п к } классов Г-эквивалентности зеркал отражений из группы Г. Следующее важное для нас утверждение содержится в [16]:

Теорема 6. Если алгебра А(Г) свободна с порождающими /1,...,/п+1 весов к1,... ,кп+1, то существует единственная с точностью до про-

п+1

порциональности Г-автоморфная форма Г веса п + ^ кг (с характе-

г=1

ром), дивизор нулей которой в области Бп есть сумма всех зеркал от-

ражений из группы Г с кратностью 1 (а именно, Е

ад ьь . ■ • . кп+1¡п+1

А А Э /п+1

Эх 1 Эх 1 ' ' ' ' Эх1

А Э /2 Э /п+1

Эгп Эхп ' ' ' ' Эхп

где ¡г - образы Ь при биекции из замечания 2.1, г1,...,гп - координатыI в области Оп).

Следствие 2. Пусть группа Г содержит элемент —И. Предположим, что алгебра А(Г) свободна. Тогда вес К автоморфной формы Е из теоремы 6 не меньше, чем 3п + 2.

Доказательство. В алгебре А(Г) не существует автоморфных форм нечетного веса. Действительно, для автоморфной формы Ь нечетного веса из условия 2) из определения автоморфной формы следует, что f (—г) = f (г), а из условия 1) f (—г) = —f (г). Поэтому алгебра А(Г) имеет п + 1

п+1

образующую четных весов. Следовательно К = п + Е кг > п + 2(п +1) = 3п + 2. □

Если алгебра А(Г) свободна, то для формы Е из предыдущей теоремы формула Пуанкаре-Лелонга-Брюинье принимает вид:

п+1

(п

г=1 г=1

^ Соуо1(Г^) = (п + ^ кг)Соуо1(Г).

5.3 Число К (Г)

Пусть Г' С Г - подгруппа конечного индекса в группе Г, построенной в параграфе 2.1. С каждой такой подгруппой свяжем число

Е соуо1(г; )

К (Г') := —-, (4)

К (Г ) : соуо1(г') ' (4)

где ГП - стабилизатор зеркала п в группе Г', а сумма в числителе берется по всем классам Г'-эквивалентности зеркал всех отражений в группе Г'. Таким образом, если алгебра А(Г') свободна с образующими весов к1}... , кп+1, то формула (3) принимает вид:

п+1

К (Г') = п + ^ к

г=1

Утверждение 5.1. К (Г) > К (Г').

Доказательство. Через ^ будем обозначать сумму по классам Г-эквивалентности

[п]

зеркал всех отражений в группе Г, а через ^ - сумму по классам Г'-

М

эквивалентности зеркал всех отражений в группе Г. Пусть орбита зеркала п под действием группы Г разбивается на з(п) орбит относительно действия группы Г'. Обозначим через П]^,... , П(п) представителей этих орбит. Покажем, что если все отражения из группы Г принадлежат группе Г', то К (Г') = К (Г). Ясно, что отсюда следует утверждение леммы. Имеем Соуо1(Г') = Соуо1(Г) • [Г : Г']. Далее получаем:

£ Соуо1(ГП,) = £ Соуо1(Гп')[Гп : Г^] = ££ Соуо1(Гп)[Гпг : Г^] =

[п'] [п' ] [п] г=1

= £ Соуо1(Г;) £[Г;г : г;.] = [Г : Г'] £ Соуо1(Г;). [п] г=1 [п]

Мы воспользовались общей леммой о действиях групп на множествах,

«(п)

согласно которой [Г : Г'] = ^ [Гп. : Г^] (см., например, теорему 5.2 в [1]).

г=1 " "

Сравнивая числитель и знаменатель дробей К (Г) и К (Г'), приходим к утверждению леммы. □

5.4 Стратегия доказательства теоремы 1

Применив следствие 2 к группе Г', получаем, что вес К' автоморфной формы Г' не меньше 8 (в нашем случае п = 2). Это означает, что К (Г^) > К (Г') = К' > 8. Затем, оценив числитель дроби К (Г^) сверху, а знаменатель снизу, мы покажем, что знаменатель как функция от d растет быстрее. Поэтому для больших d имеем К (Га) < 8. В силу следствия 2 алгебра А(Г') не может быть свободна для таких d.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Стукен Екатерина Сергеевна, 2019 год

Список литературы

[1] О. В. Богопольский. Введение в теорию групп. Москва-Ижевск, Институт компьютерных исследований, 2002, 148 с.

[2] З. И. Боревич, И. Р. Шафаревич. Теория чисел. Москва, Наука, 1985, 504

[3] Э. Б. Винберг. Отсутствие кристаллографических групп отражений в пространствах Лобачевского большой размерности. Тр. ММО 47, 1984, 68-102

[4] Э. Б. Винберг. Подгруппы отражений в группах Бьянки . Вопросы теории групп и гомологической алгебры, Ярославль, 1987, 121-127

[5] Э. Б. Винберг, О. В. Шварцман. Критерийй гладкости в бесконечности арифметического фактора трубы будущего. Функциональный анализ и его приложения 51:1, 2017, 40-59

[6] Э. Б. Винберг. О некоторых свободных алгебрах автоморфных форм. Функциональный анализ и его приложения 52:4, 2018, 38-61

[7] Г. А. Маргулис. Дискретные подгруппы групп Ли. Москва, МЦНМО, 2007, 464

[8] В. В. Никулин. Целочисленные симметрические билинейные формы и некоторые их геометрические приложения. Изв. АН СССР, Сер. матем., 43:1, 1979, 111-177

[9] М. Рагунатан. Дискретные подгруппы групп Ли. Москва, Мир, 1977, 315

[10] Ж. П. Серр. Курс Арифметики. Москва, Мир, 1972, 184

[11] Е. С. Стукен. Свободные алгебры автоморфных форм Гильберта, УМН, 74, 1, 2019, 187-188

[12] Е. С. Стукен. Свободные алгебры автоморфных форм Гильберта, Функц. анализ и его прил., 53, 1, 2019, 49-66

[13] И. И. Пятецкий-Шапиро. Геометрия классических областей и теория автоморфных функций. Москва, Государственное издательство физико-математической литературы, 1961, 192 с.

[14] О. В. Шварцман. Коциклы комплексных групп отражений. Вопросы теории групп и гомологической алгебры, Ярославль, 1992, 32-40

[15] D. Allcock, I. Gal, A. Mark. The Conway-Sloane calculus for 2-adic lattices. arXiv:1511.04614

[16] H. Aoki, T. Ibukiyama. Simple graded rings of Siegel modular forms, differential operators and Borcherds products. Internat.J.Math. 16, 2005, 249-279

[17] M. Belolipetsky, W. T. Gan. The mass of unimodular lattices, Journal of Number Theory, 114, 2, 2005, 221-237

[18] J. H. Bruinier. Two applications of the curve lemma for orthogonal groups. Mathematische Nachrichten, 274-275, 2004, 19-31, arXiv:math/0301102

[19] J. H. Conway, N. J. A. Sloane. Sphere packings, lattices and groups. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften 290, Springer-Verlag, Berlin-New York, 1988, 690

[20] R. Fricke, F.Klein. Vorlesungen uber die Theorie der elliptischen Modulfunctionen, B. G. Teubner, Leipzig, 1890

[21] G.van der Geer. Hilbert Modular Forms for the Field Q(v^6). Math. Ann. 233, 1978, 163-179

[22] G. van der Geer. Hilbert Modular Surfaces. Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 1988, 293

[23] G. van der Geer, D. Zagier. The Hilbert Modular group for the field Q(Vl3), Invent. Math. 42, 1977, 93-133

[24] V. Gritsenko, K. Hulek, G. K. Sankaran. The Hirzebruch-Mumford volume for the orthogonal group and applications. Documenta Mathematica 12, 2007, 215-241

[25] K. B. Gundlach. Die Bestimmung der Funktionen zur Hilbertschen Modulgruppe des Zahlkorpers Q(v^5), Mathematische Annalen 152, 1963, 226-256

[26] K. B. Gundlach. Die Bestimmung der Funktionen zu einigen Hilbertschen Modulgruppen, Journal fur die reine und angewandte Mathematik 202, 1965, 109-153

[27] S. Helgason. Differential Geometry, Lie Groups and Symmetric Spaces, Pure and applied mathematics, a series of monographs and textbooks 80, Academic Press, 1978

[28] C. F. Hermann. Symmetrische Hilbertsche Modulformen und Modulfunktionen zu Q(Vl7). Math. Ann. 256, 1981, 191-197

[29] C. F. Hermann. Thetafunktionen und symmetrische Hilbertsche Modulformen zu Q(V&5). J. Reine Angew. Math. 339, 1983, 147-162

[30] J.-i. Igusa. On Siegel modular forms of genus two. American Journal of Mathematics 84, 1962, 175-200.

[31] Y. Kitaoka. Arithmetic of quadratic forms. Cambridge Tracts in Mathematics 106, Cambridge University Press, 1993

[32] M. Kneser. Klassenzahlen indefiniter quadratischer Formen. Arch.Math. 1956, v.7, 323-332

[33] S. Kudla. Integrals of Borcherds forms. Compositio Mathematica Vol. 137, I.3, 2003, 293-349

[34] P. Lelong. Fonctions entières (n variables) et fonctions plurisousharmoniques d'ordre fini dans Cn, Journal d'Analyse Mathematique, 12, 1964, 365-407

[35] S. Mayer. Hilbert Modular Forms for the fields Q(V5), Q(Vl3) and Q(v^l7)., Diplom-Mathematiker, Rheinisch-Westfalischen Technischen Hochschule Aachen, 2007, 167

[36] C. L. Siegel. On the theory of indefinite quadratic forms. Annals of mathematics Vol.45, N.3, 1944, 577-622

[37] E. B. Vinberg. Some free algebras of automorphic forms on symmetric domains of type IV. Transformation Groups, 15:3, 2010, 701-741