Сумма характеров Гекке по последовательности сдвинутых простых чисел тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, кандидат физико-математических наук Панов, Вячеслав Михайлович

• Панов, Вячеслав Михайлович
• кандидат физико-математических наук
• 2008

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Панов, Вячеслав Михайлович

Обозначения

Введение

1 Арифметические функции в полях алгебраических чисел

1.1 Арифметические функции для алгебраических чисел и идеалов

1.2 Теоретико-функциональные преобразования в числовом поле.

1.3 Варианты метода И.М.Виноградова в числовом поле.

2 Суммы характеров в числовых полях

2.1 Сумма значений "сдвинутых" характеров Гекке.

2.2 Сумма значений "сдвинутых" квадратичных символов Якоби.

2.3 Сумма значений "сдвинутых" степенных вычетов Лежандра.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Сумма характеров Гекке по последовательности сдвинутых простых чисел»

Многие проблемы аналитической теории чисел тесно связаны с распределением значений характеров Дирихле в последовательностях, имеющих определённую природу. В частности, при решении ряда задач возникает вопрос о распределении значений неглавного характера на последовательности сдвинутых простых чисел.

В 1937 г. И.М. Виноградов [1-16] создал метод оценок сумм с простыми числами, суть которого заключается в следующем. Суммы по простым числам могут быть составлены путем только сложений и вычитаний из сравнительно небольшого числа других сумм, хорошие оценки которых могут быть получены с помощью соображений метода оценок двойных сумм и средств не имеющих какого либо отношения к теории дзета-функций Римана или Ь-рядов Дирихле.

В частности И.М. Виноградов [1-3] полностью исследовал задачу о распределении значений неглавного характера на последовательности сдвинутых простых чисел в принципиальном случае, когда модуль характера является простым числом и получил оценку для суммы р< X где х-характер по модулю д, (к, д) = 1, д- простое число, х > д1+£.

Из этой оценки, в частности, следует, что среди чисел вида р + к, р < х, (к, д) = 1 количества квадратичных вычетов и невычетов асимптотически равны, если только х > д1+£. В 1953 г. И.М. Виноградов [12] получил нетривиальную оценку Т(х) при х > д°>75+£. Этот результат был неожиданным. Дело в том, что Т(х) можно записать в виде суммы по нулям соответствующей Ь-функции Дирихле; тогда в предположении справедливости расширенной гипотезы Римана для Т(х) получится нетривиальная оценка, но только [17] при х > д1+е.

В 1968 г. А.А. Карацуба [18] нашел метод, который позволил ему получить нетривиальную оценку коротких сумм характеров в конечных полях фиксированной степени. В работе [19] он с помощью развития этого метода, в соединении с методом И.М. Виноградова, получил новую оценку Т(х), нетривиальную уже при х > и подобных им сумм [20-36]. Эти оценки он [37] применил для нахождения асимптотической формулы для количества чисел вида р(р' + а) в арифметической прогрессии, разность которой является простым числом, а начальный член взаимно прост с разностью.

З.Х. Рахмонов [38-42] получил оценку сверху суммы Т(х), когда модуль характера - произвольное натуральное число и, используя эту оценку в соединение с плотност-ными теоремами для ¿-функций Дирихле, изучил распределение гольдбаховых чисел в "коротких" арифметических прогрессиях. (Гольдбаховым числом называется число, представимое суммой двух нечётных простых чисел.)

Продолжением этих исследований является получение аналогичных результатов для характеров Гекке в последовательности'сдвинутых простых чисел вида д — А, где q - произвольное простое алгебраическое число, Л- произвольное алгебраическое число, взаимно простое с модулем характера Гекке. Решение этих задач, то есть определение аналогов суммы Т(х) в полях алгебраических чисел и получение для них оценок сверху, является основным результатом диссертации.

В основе исследований лежит метод оценок тригонометрических сумм с простыми числами И.М. Виноградова, в котором решето И.М. Виноградова применяется в форме обобщения тождества Bona на случай произвольного алгебраического поля конечной степеии и "метод сглаживания двойных сумм".

Основные результаты диссертации являются новыми и заключаются в следующем:

- для полей алгебраических чисел определены аналоги арифметических функций Мангольдта и Мёбиуса, с помощью которых получен вариант решета PI.М.Виноградова в форме обобщённого тождества Вона для алгебраических чисел, позволяющий заменить сумму по множеству простых алгебраических чисел двойными суммами;

- получены нетривиальные оценки для сумм значений' характеров Гекке в последовательности сдвинутых простых алгебраических чисел, нормы которых не превосходят заданной величины ж, при х > iY5)1+£, где N5) норма модуля 5D неглавного характера Гекке Xi ® такой идеал, что факторкольцо по нему циклично.

Работа носит теоретический характер. Результаты диссертации и методика их получения могут быть использованы при решении задач теории простых чисел в поле рациональных чисел и его расширениях, в теории оценок специальных тригонометрических сумм по алгебраическим числам.

В диссертации оценивается модуль суммы

Sj,x = eei lwK/Q(e)l<* взятой по произвольному множеству I простых алгебраических чисел в конечном расширении K/Q поля рациональных чисел Q, с условием, что абсолютная величина их норм не превосходит положительного числа х G N. Под знаком суммы стоит неглавный характер Гекке, определённый по модулю идеала 23 максимального порядка Ъц произвольного числового поля К, и факторкольцо по этому идеалу D циклично. А Л - любое алгебраическое число, взаимно простое с модулем D характера х ■

Первая глава носит вспомогательный характер и состоит из трёх параграфов.

В первом параграфе даётся определение делимости относительно мультипликативной полугруппы (I) С Ък целых алгебраических чисел Ъц поля К над Q, а именно a\iß если и только если a\ß в максимальном порядке Ък и а Е (I), определение функций Мёбиуса Эйлера <pi, Мангольдта Лц, Чебышёва -0я> числа делителей ti)2 и числа разбиений тд^ в произведение к сомножителей относительно мультипликативной полугруппы (I) С Ък целых алгебраических чисел Ък поля К над Q и делается замечание, что для числовых полей К/Q с числом классов j}Cl К > 1 нельзя определить эти функции сразу на всём кольце Ък • Затем приводятся леммы 1.1.1 и 1.1.2, в которых доказывается 13 основных тождеств для введённых функций от алгебраических чисел и идеалов, включая формулы обращения Мёбиуса.

В лемме 1.2.1 во втором параграфе дается вариант преобразование Абеля для чисел и идеалов и формула Исэки-Татудзава, представляющая собой видоизменение формулы обращения Мёбиуса для логарифмической функции от нормы алгебраических чисел зе(1) /96(1) \р /

ЛГ^|<|ЛГ7| |ЛГ/3|<|ЛГ7| где комплекснозначные функции (? : Кх —»■ С заданы на ненулевых дробях числового поля и для каждого элемента 7 € (I) имеется равенство

36(1) зе(1>

В третьем параграфе доказываются тождества Вона для алгебраических чисел и идеалов. Приведённое в лемме 1.3.1 тождество Вона ле(/?)/(£) = Е мм Е

96<1>, и<|ЛГ/3|<1 >7б<1) <£(!>, |ЛГ«|<

9=А(той т) |ЛГг/|<и т)=\{то<1 т)

- Е Е Е

6(1) -86<1> 76(1),

-ЕЕ Е и<|ЛГа|<5 |ЛГЫ<и , 'Га| 1— и » ар — л\тпоа ш) отличается от формулы С.М. Воронина [43,44] {i

- 2>к(со£л*(п) Е а(г)/мг) и П<и г< —

- - Г-Лп Е Е /^(«О«^) Е Ак(т)/(тп), и<тп<^ <*|т, (¿<и и<п< — в которой функции а(п), цк(п), Ак(п) вводятся неявно как коэффициенты соответствующих рядов Дирихле равенствами

71=1 П — 1 ^ К ' 71=1 через разложение дзета-функции числового поля Е ае(8рес Ък) где сумма взята по всем ненулевым идеалам кольца Ък •

Пользуясь этой формулой С.А. Гриценко [45] решил задачу Хуа Ло-кена с простыми числами, представимыми заданными примитивными положительно определенными бинарными квадратичными формами, дискриминанты которых совпадают с дискриминантами мнимых квадратичных полей, в которых квадратичные формы распадаются на линейные множители

В этом параграфе также приводятся оценки для сумм с функциями т^к, т$к , взятых по множеству а е (I) с модулем нормы \Ма\ < х и формула исчерпывания И.М. Виноградова с криволинейной областью изменения норм чисел.

Во второй главе получена оценка суммы 5п)Я(х) Для неглавного характера х произвольного примитивного модуля 3). Доказательство оценки этой суммы проводится по схеме работы З.Х. Рахмонова, в которой доказывается оценка суммы значений характеров Дирихле по составному модулю в последовательности сдвинутых простых чисел.

Основные этапы получения оценки таковы. В сумме ¿"^(х); переходя к примитивным характерам, имеем

Я* = Е Л1(«)х(а - Л) = I] мМтт(хг), ае(Д), |ЛГа|<х т|д

Е ЛпИхКа-А), ае<1>, |ЛГа|<х а=Л (mod ш) где g - произведение простых идеалов р, делящих 2), но не делящих f, и Xf~ примитивный характер по модулю f, порождённый характером х- Применяя тождество Вона для алгебраических чисел, Tm(xf) заменяем суммой трёх двойных сумм Vi, V2 и

Vi '■

J ii,=A (mod m)

E «W E £ Xffo/37-A),

I*""*« (тоПГ E E «(ч) E An(^)XfM-A). u {mod § I

Пользуемся для оценок У\ и Т^ формулой, устанавливающей связь между значениями примитивных характеров в числовом поле К со значениями сумм Гаусса, выражаем сумму характеров через линейную тригонометрическую сумму.

Если сумма берется по множеству алгебраических чисел, нормы которых пробегают натуральные значения без пропусков, то такая сумма характеров оценивается как линейная сплошная тригонометрическая сумма оценкой Виноградова - Пойа. Если норменное множество не является сплошным отрезком натуральных чисел, то для таких неполных сумм существуют нетривиальные оценки [46], которые слабее оценок сплошных сумм.

Чтобы указать, какому случаю принадлежат оцениваемые суммы, введем следующее:

Определение. Будем говорить, что сумма

Ui= MZrj-X), 77 6(1), (77,m) = 1, t<x, i€(I), |N«|<t (mod т) удолетворяет условию оценки Пойя-Виноградова, или, для краткости, удолетворяет PV-условию, если для неё верна оценка Пойя-Виноградова

U„\ < x/iVflogATf

Например, для случая, когда (I-A^/qKI)) Э {п G N : n < t}, выполняется PV-условие.

Если нельзя утверждать, что для указанной суммы выполняется PV-условие, то воспользуемся нетривиальной оценкой неполных сумм характеров

UV\<E, Е < (iVf)1e.

Оценку суммы V3 при помощи процесса исчерпывания криволинейных областей, который применяется в работах И.М.Виноградова, сводим к оценке двойных сумм с "прямоугольной" областью изменения норм, а именно к суммам вида

Vi(Xf,m)= ^ Ф(а) A,G0)xf(o0 - А)? а6(1) 06(1), n<|N/3|<n + !/ m<|7Va|<m+i а/3 = Л (mod m) которые оцениваются при помощи следующей леммы:

Лемма 2.1.1. Пусть f - простой нечётный идеал первой степени или произведение простого нечётного идеала первой степени с простым делителем двойки первой степени, m - примитивный идеал, А £ Ък целое алгебраическое число, (m, f) = (m, А) = (A, f) = 1, Ф : (I) —> С некоторая комплекснозначная функция, |Ф(а)| < rnj2(a), х, у, т, п G N - натуральные числа, у/т < х < т, у/п < у < п. Тогда для суммы Vn(xf, m) справедливы оценки з / 1 1 1 т

Шх„ т)| < Зху log ш !ogz „ Mn^Jwj + + + если верно PV-условие, и в противном случае з / 1 1 1 ЕР f,m)| < дху logmlog5 п + ^ + +

Применяя для Vi(Xf, m) метод PI.М.Виноградова сглаживания двойных сумм, и пользуясь некоторыми соображениями, связанными с решениями пары сравнений, переходим от сумм характеров к линейным тригонометрическим суммам, которые оценены при оценке сумм V\ и V2 •

Основным результатом второй главы является теорема 2.1.1.

Теорема 2.1.1. Пусть 2) есть примитивный идеал, f|S), и х есть неглавный характер Гекке, порождённый примитивным характером хf; 0 -произведение простых идеалов р, делящих D, но не делящих f,

Si,x = х{в ~ А). eel \Ne\<*

Тогда справедливы оценки

ISi^l < ж log5 х r2(f) (J^ + ^Ttiü+x-tNfbTM^J , если верно PV-условие, и в противном случае

5i,x| < ж log5 ж r2(f) + .

Ссылки на результаты, для которых получены обобщения для числовых полей, приведены в соответствующих леммах. Для работ других авторов, из которых почерпнуты сведения общего характера, ссылки на первоначальный источник даны не всегда.

В заключении автор выражает благодарность профессору З.Х.Рахмонову за научное руководство и постоянное внимание и помощь в работе.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Панов, Вячеслав Михайлович, 2008 год

1. Виноградов И.М. Избранные труды. - М.: Изд-во АН СССР, 1952.

2. Виноградов И.М. Метод тригонометрических сумм в теории чисел. М.: Наука, 1980.

3. Виноградов И.М. Особые варианты методов тригонометрических сумм. М.: Наука, 1976.4. виноградов И.М. Представление нечетного числа суммой трех простых числах // Докл. АН СССР, 1937, т. 15, с. 291-294.

4. ВИНОГРАДОВ И.М. Некоторые теоремы, относящиеся к теории простых чисел // Мат. сборник, 1937, т. 2, с. 179-195.

5. Виноградов И.М. Некоторые общие теоремы относящиеся к теории простых чисел // Тр. Тбил. матем. ин-та, 1937, т. 3, с. 1-33.

6. Виноградов И.М. Оценки некоторых простейших сумм с простыми числами // Изв. АН СССР. Сер. матем., 1938, т. 3, с. 391-398.

7. Виноградов И.М. Некоторое общие свойства распределения простых чисел // Мат. сборник, 1940, т. 7, с. 365-372.

8. Виноградов И.М. Уточнение метода оценки сумм с простыми числами // Изв. АН СССР. Сер. матем., 1943, т. 7, с. 17-34.

9. Виноградов И.М. Элементарное доказательство одной теоремы теории простых чисел // Изв. АН СССР. Сер. матем., 1953, т. 17, с. 3-12.

10. Виноградов И.М. Новый подход к оценке суммы значений характеров // Изв. АН СССР. Сер. матем., 16(1952), 197-210.

11. Виноградов И.М. Улучшение оценки для суммы значений характеров // Изв. АН СССР. Сер. матем., 17(1953), 285-290.

12. Виноградов И.М. Оценка одной суммы, распространенной на простые числа арифметической прогрессии // Изв. АН СССР. Сер. матем., 1966, т. 30, с. 481-496.

13. Виноградов И.М. Тригонометрические суммы, зависящие от составного модуля // Докл. АН СССР, 1934, т. 1, №5, с. 225-229.

14. Виноградов И.М. Новые теоремы о распределении квадратичных вычетов // Докл. АН СССР, 1934, т. 1, №6, с. 289-290.

15. Виноградов И.М. Новые теоремы о распределении первообразных корней // Докл. АН СССР, 1934, т. 1, №, с. 366-369.

16. Линиик Ю.В. Теория чисел. Математика в СССР за сорок лет 1917-1957. М.: Физматгиз, 1959. Т. 1. С. 48-51.

17. Карацуба A.A. Суммы характеров и первообразные корни в конечных полях // Докл. АН СССР, 1968, т. 180, №6, с. 1287-1289.

18. Карацуба A.A. Суммы характеров по последовательности сдвинутых простых чисел и их применения // Матем. заметки, т. 17, №1, 1975, с. 155-159.

19. Карацуба A.A. О некоторых проблемах современной аналитической теории чисел // Матем. заметки, т. 17, №2, 1975, с. 341-349.

20. Карацуба A.A. Сумма характеров с весами // Изв. РАН, Сер. матем., 2000, т. 64, №2, с. 29-42.

21. Карацуба A.A. Распределение пар квадратичных вычетов и невычетов специального вида // Изв. АН СССР. Сер. матем., 1987, т. 51, №5, с. 994-1009:

22. Карацуба A.A. Об оценках сумм характеров // Изв. АН СССР. Сер. матем., 1970, т. 34, №1, с. 20-30.

23. Карацуба A.A. О суммах характеров с простыми числами // Докл. АН СССР, 1970, т. 190, JV'3, с. 517-518.

24. Карацуба A.A. Об одной арифметической сумме // Докл. АН СССР, 1971, т. 199;.№4, с. 770-772.

25. Карацуба A.A. Асимптотика одной арифметической суммы // Матем. заметки, 1978, т. 24, №6, с. 737-740.

26. Карацуба A.A. Об оценках снизу сумм характеров от многочленов // Матем. заметки, 1973, т. 14, №1, с. 67-72.

27. Карацуба A.A., Новак Б. Арифметические задачи с числами специального вида // Матем. заметки, 1999, т. 66, №2, с. 994-1009.

28. Карацуба A.A. Распределение произведений сдвинутых простых чисел в арифметических прогрессиях // Докл. АН СССР, 1970, т. 192, №4, с. 724-727.

29. Рахмонов З.Х. Об оценке суммы характеров с простыми числами // ДАН Тадж.ССР, 1986, т. 29, №1, с. 16-20.

30. Рахмонов З.Х. Распределение чисел Харди-Литтлвуда в арифметических прогрессиях // Изв. АН СССР, сер. матем., 1989, т. 53, JVU, с. 211-224.

31. Рахмонов З.Х. О распределении значений характеров Дирихле и их приложения // Тр. международной конференции, посвященной 100-летию И.М.Виноградова, Москва, 1990, с. 317-330.