Когерентные состояния в динамике и релаксации систем двух- и трехуровневых атомов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.21, кандидат физико-математических наук Михайлов, Виктор Александрович

• Михайлов, Виктор Александрович
• кандидат физико-математических наук
• 2003

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Михайлов, Виктор Александрович

Введение

1 Обобщенные когерентные состояния групп, их свойства и динамика многоуровневых систем

1.1 Метод когерентных состояний в квантовой оптике и лазерной физике.

1.2 Обобщенные когерентные состояния для произвольной группы Ли. ОКС группы SU(2), их свойства и некоторые приложения.

1.3 Обобщенные когерентные состояния группы

SU(3), их свойства и приложение к динамике трехуровневой неэквидистантной системы.

1.4 Интегралы по траекториям, обобщенные когерентные состояния группы SU (п), и динамика n-уровневых систем

2 Когерентная релаксация квантовых систем, имеющих компактную группу динамической симметрии

2.1 Уравнение Фоккера-Планка для когерентной релаксации системы двухуровневых атомов.

2.2 Когерентная релаксация двухуровневой системы в термостате со "сжатыми" флуктуациями.

2.3 Уравнение Фоккера-Планка для когерентной релаксации системы трехуровневых атомов с неэквидистантным спектром

2.4 Точное решение уравнения Фоккера - Планка для случая изолированного атома.

2.5 Вычисление наблюдаемых величин. Одновременные и двух-временные корреляционные функции.

3 Релаксация двухуровневой системы, взаимодействующей с внешним стохастическим полем

3.1 Уравнение Фоккера-Планка для описания двухуровневой системы, взаимодействующей со стохастическим полем.

3.2 Вычисление пропагатора уравнения Фоккера - Планка. Метод теории возмущений.

3.3 Конкретные реализации стохастических процессов: оптический белый шум и процессы Кубо-Андерсона. Вычисление наблюдаемых.

3.3.1 Оптический белый шум.

3.3.2 Процессы Кубо-Андерсона.

3.4 Марковские дихотомические процессы. Подход на основе дифференцирования статистических средних.

3.5 Точно решаемая модель релаксации двухуровневой системы, взаимодействующей со стохастическим полем

3.5.1 Модель оптического белого шума.

3.5.2 Процессы Кубо-Андерсона.

4 Когерентная релаксация ансамблей большого числа квантовых систем

4.1 Теория возмущений для уравнения Фоккера - Планка

4.2 Когерентная релаксация ансамбля двухуровневых атомов

5 Релаксация квантовых систем, имеющих некомпактную группу динамической симметрии

5.1 Релаксация гармонического осциллятора с однокванто-выми переходами в "сжатом" термостате.

5.2 Кинетика параметрического осциллятора в термостате со сжатыми флуктуациями.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Когерентные состояния в динамике и релаксации систем двух- и трехуровневых атомов»

Актуальность проблемы

В последние годы в лазерной физике и квантовой оптике наблюдается существенный прогресс, вызванный совершенствованием экспериментальной техники. Появились лазеры, способные создавать ультракороткие импульсы достаточной мощности, регистрирующая аппаратура фемтосекундного диапазона, возможность передавать и регистрировать сверхслабые сигналы, наблюдать в эксперименте взаимодействие одного или нескольких атомов как с квантованным полем в резонаторе, так и между собой. В "шумовой" лазерной спектроскопии важной задачей является исследование отклика атомов на внешние случайные поля, поскольку он содержит, например, информацию о временах релаксации, то есть о величинах, представляющих первоочередной спектроскопический интерес. Теоретический аспект проблемы состоит как в получении уравнений, описывающих динамику атомов в случайных полях с разным типом статистики, так и в выводе зависимостей наблюдаемых величин от параметров стохастических процессов.

Интенсивно развиваются экспериментальные и теоретические методы исследования взаимодействия простейших атомных систем с лазерным излучением, действующим вблизи атомных переходов [1, 2], физика микромазера и спектроскопия изолированного атома [3]. Активно разрабатываются схемы квантовых вычислений на одиночных атомах и ансамблях из небольшого числа атомов. В теории сверхизлучения и нелинейных оптических явлений [4, 5, 6] объектом исследования являются как единичные атомы, так и коллективы атомов, находящихся в специально приготовленных кооперативных состояниях.

В работах [7, 8, 9] было показано, что такие ансамбли п—уровневых атомов, взаимодействующих с классическим электромагнитным полем или спонтанно распадающихся из возбужденного состояния, описываются полносимметричными представлениями группы динамической симметрии SU(n), причем спонтанный распад происходит внутри одного и того же неприводимого представления, определяемого заданием начального состояния.

При исследовании когерентных кооперативных явлений необходимо учитывать взаимодействие квантовых ансамблей с окружением -термостатом и при последовательном квантовомеханическом подходе переходить от операторных уравнений для матрицы плотности к с— числовым. Обычно такими уравнениями как, например, в теории лазера и спонтанной релаксации, являются уравнения Фоккера - Планка (УФП), получение которых и поиск методов их решения является самостоятельной и актуальной задачей. Важной является также проблема выбора удобного и адекватного физической модели базиса для вычисления квантовомеханических средних от операторов физических величин. Последние приводят к одновременным и разновременным корреляционным функциям, измеряемым экспериментально.

Использование глауберовских когерентных состояний (КС) и бозон-ного представления атомных операторов дает возможность рассматривать задачи динамики и релаксации квантовых систем с единых позиций [8, 10, 11]. Однако, такой подход, эффективный в осциллятор-ных моделях, приводит для п—уровневых систем к сложной проблеме проектирования из пространства произведений глауберовских КС на инвариантное подпространство неприводимого представления группы SU(n) [9].

В работе [12] были построены атомные КС, связанные с представлениями группы 5(7(2), и использованы для анализа процессов спонтанной релаксации ансамбля двухуровневых атомов. A.M. Переломовым [13, 14] был предложен метод построения когерентных состояний для произвольных групп Ли - обобщённых когерентных состояний (ОКС). Привлекательной чертой использования ОКС для описания динамики и спонтанной релаксации ансамбля двухуровневых атомов является то, что уравнения динамики не зависят от числа атомов, а в УФП для релаксации, число атомов входит как параметр. Это даёт возможность применения методов теории возмущений для нахождения приближённых решений.

Модель двухуровневого атома является одной из простейших. Например, последовательное рассмотрение резонансного взаимодействия между двумя уровнями, в том случае, когда нижний уровень не является основным, а радиационно уширен, требует введения третьего уровня. Модель трехуровневого атома, в общем случае с неэквидистантным спектром, является основой для описания таких явлений как когерентное пленение населенностей, квантовые биения, эффект пересечения уровней. Группой динамической симметрии трехуровневого атома, является группа SU(3). Получение уравнений, описывающих динамику коллектива таких атомов, с помощью ОКС группы SU(3), позволило бы изучать вопросы приготовления атомов в определенных суперпозиционных состояниях и процессов их декогеренции (распада), важных в квантовой инженерии, связанной с проблемой построения квантовых компьютеров и кодированием и декодированием сигналов, передаваемых по квантовому каналу (квантовая криптография).

Возвращение к более детальному изучению этих фундаментальных процессов и разработка адекватных методов их описания вновь являются весьма актуальными [6].

Цель диссертационной работы

Целью диссертационной работы является исследование особенностей когерентной динамики и релаксации в системах из двух- и трёхуровневых атомов, взаимодействующих с внешним классическим электромагнитным полем и диссипативным окружением.

Для реализации поставленной цели решаются следующие основные задачи:

• Построение системы ОКС группы SU(3) для модели трёхуровневых атомов, исследование их свойств и обобщение для п—уровневых атомов (группа SU(n)). Получение интеграла по траекториям в представлении ОКС группы SU{n), вывод из него уравнений движения для системы п— уровневых атомов и нахождение временной зависимости населённостей трёхуровневых атомов.

• Вывод УФП для когерентной релаксации системы двух- и трёхуровневых атомов, их точное решение в случае изолированного атома, вычисление двухвременных корреляционных функций и формы контуров линий излучения.

• Разработка метода решения уравнения Фоккера-Планка, описывающего когерентную спонтанную релаксацию большого числа двухуровневых атомов.

• Применение метода КС для описания релаксации квантовых систем, имеющих некомпактную группу динамической симметрии для квантового параметрического усилителя.

Научная новизна

Научная новизна результатов состоит в том, что:

• Построена система ОКС на однородном пространстве SU(3)/U(2) группы SU(3), изучены их свойства и дано обобщение для системы ОКС на однородном пространстве SU(n)/U(n — 1) группы SU(п). Построен интеграл по траекториям в представлении ОКС группы SU(n), получены квазиклассические уравнения, описывающие динамику квантовой системы, гамильтониан которой является линейной функцией генераторов полносимметричного представления этой группы.

• Найдено точное решение уравнений динамики трехуровневого атома во внешнем лазерном гармоническом и бигармоническом полях и найдены явные выражения для населенностей уровней через параметры ОКС.

• Найдено точное выражение для пропагатора уравнения Фоккера -Планка, описывающего релаксацию трехуровневого атома, вычислена характеристическая функция и рассчитаны одновременные корреляционные функции и контуры линий излучения.

• Выведено уравнение Фоккера-Планка для Р— символа матрицы плотности двухуровневого атома в термостате со сжатыми флук-туациями, найдено его точное решение и выявлено влияние параметров сжатия термостата на контур линии излучения.

• Точно решена задача о двухуровневом атоме во внешнем стохастическом поле, получена связь наблюдаемых, таких, как вероятности нахождения атома в верхнем и нижнем состоянии и формы контура линии излучения, с параметрами стохастических процессов. г

• Построена теория возмущений для уравнения Фоккера-Планка, описывающих квантовую когерентную релаксацию ансамбля двухуровневых атомов, вычислены поправки первого порядка к функции Грина и контуру линии излучения.

• Исследована кинетика вырожденного параметрического усилителя в термостате со " сжатыми" флуктуациями и в случае точного резонанса найдено решение.

Достоверность результатов диссертации обеспечивается использованием строгих математических методов; детальным анализом общих физических принципов, лежащих в их основе; тестированием общих алгоритмов по результатам, полученных в других работах для частных случаев; сравнением с экспериментом, а также совпадением результатов, полученных разными методами.

Научная и практическая ценность результатов

Развит общий подход описания динамики и релаксации многоуровневых квантовых систем, основанный на применении метода ОКС. Изученная динамика трехуровневого атома, взаимодействующего с лазерными полями, может быть использована для исследования оптимальных режимов приготовления атомов в когерентных состояниях и оценки времени декогерентизации в микромазерах, в теории квантовой информации и криптографии.

Предсказанный эффект утончения контура линии излучения двухуровневого атома при спонтанной релаксации в "сжатом" термостате, по сравнению с релаксацией в обычном термостате, дает принципиальную возможность экспериментального определения степени сжатия света. Использование данного эффекта может привести к созданию лазерных систем с более высокой степенью монохроматичности излучения.

Полученные формулы контуров линий излучения трехуровневого атома для спонтанной релаксации при Т ^ О позволяют более точно определять константы релаксации или радиационного уширения уровней в экспериментах по спектроскопии изолированного атома.

Развитая теория релаксации двухуровневого атома во внешних стохастических полях дает принципиальную возможность экспериментального определения параметров статистики поля и оценки времён релаксации.

На защиту выносятся следующие основные результаты . и положения:

1. Уравнение Фоккера - Планка и его решение для когерентной релаксации ансамбля двухуровневых атомов в термостате со сжатыми флуктуациями, точный пропагатор для случая изолированного атома, форма контура линии излучения.

2. Уравнения Фоккера - Планка для двухуровневой системы, взаимодействующей с внешним стохастическим полем и их пропагаторы, полученные методом теории возмущений, методом дифференцирования статистических средних и для точно решаемой модели.

3. Зависимости контура линии излучения и вероятностей нахождения атома в верхнем и нижнем состоянии от параметров стохастических полей для дельта - коррелированного процесса, процесса Кубо - Андерсона, сильных и слабых столкновений. Выражения для времен продольной и поперечной релаксации через параметры стохастических полей.

4. Метод построения асимптотического разложения для уравнения Фоккера - Планка, описывающего спонтанную релаксацию ансамбля большого числа двухуровневых атомов, функцию Грина такой системы в первом порядке малости по параметру разложения и поправку того же порядка к выражению для формы контура линии излучения.

Апробация работы

Основные результаты работы докладывались и обсуждались на Всесоюзном совещании молодых ученых Математические проблемы статистической механики и квантовой теории поля (Куйбышев, 1987г.), на IV Всесоюзном симпозиуме Световое эхо и пути его практического применения (Куйбышев, 1989г.), на Всесоюзной школе - семинаре

Представления групп в физике (Тамбов, 1989), на XIII международном коллоквиуме по теоретико- групповым методам в физике (Москва, 1990г.), на IV и V рабочих совещаниях Рассеяние, реакции, переходы в квантовых системах и методы симметрии (Обнинск, 1991г., 1992г.), на IV международном семинаре Квантовая оптика (Раубичи, 1992г.), на XII международном рабочем совещании Физика высоких энергий и квантовая теория поля (Самара, 1997г.), на семинаре по теоретико-групповым методам ФИАН СССР им. П.Н.Лебедева.

Работа выполнена в Самарском государственном университете.

Публикации.

По результатам работы опубликовано 14 печатных работ. г

Личное участие автора

Все результаты, составившие основу диссертации, получены лично автором или при его определяющем участии.

Объем и структура работы

Диссертация состоит из введения, 5 глав, заключения,приложения и списка литературы, включающего 106 наименований. Общий объем диссертации - 145 страницы текста (в том числе 23 рисунков).

Заключение диссертации по теме «Лазерная физика», Михайлов, Виктор Александрович

Заключение

1И Сформулируем основные выводы и результаты диссертационной работы:

1. На основе метода обобщенных когерентных состояний развит математический формализм для описания динамики и релаксации многоуровневых квантовых систем и вычисления наблюдаемых величин.

2. Построена система ОКС группы SU(3), изучены их свойства, дано обобщение для группы SU(N), выведены уравнения, описывающие динамику атомов во внешних полях, и найдены их решения для монохроматических и импульсных лазерных полей.

3. Получено уравнение Фоккера - Планка для спонтанной релаксации ансамбля трехуровневых V- атомов с неэквидистантным спектром и его точное решение для случая изолированного атома. Показано, что форма контура линии излучения является лоренцевой, ушире-ние которой зависит и от параметров, характеризующих смежный переход.

4. Получен точный пропагатор УФП для когерентной релаксации двухуровневого атома в термостате со "сжатыми" флуктуациями, показано, что форма контура линии излучения является суммой двух лоренцевых контуров, ширина которых зависит от степени сжатия" флуктуаций электромагнитного поля термостата.

5. Исследована релаксация двухуровневой системы во внешнем стохастическом поле. Получены выражения для пропагатора и формулы для вычисления вероятностей обнаружения атома в верхнем и нижнем состояниях и формы контура линии излучения через параметры стохастических процессов, моделирующих случайные лазерные поля.

6. Построена теория возмущения для УФП, описывающих спонтанную релаксацию ансамбля атомов, найден общий вид пропагатора в виде разложения по параметру, обратному числу атомов в ансамбле. Для случая релаксации ансамбля N двухуровневых атомов вычислены поправки первого порядка к корреляционным функциям и их вклад в форму контура линии излучения.

В заключение мне хотелось бы выразить благодарность и признательность своему научному руководителю кандидату физико - математических наук, доценту А.В. Горохову за постановку задачи, руководство работой, постоянную помощь и внимание.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Михайлов, Виктор Александрович, 2003 год

1. Тер-Микиелян M.JI. Простейшие атомные системы в резонансных лазерных полях.УФН.- 1996.- т.167, 12.- с.1249-1294.

2. Аллен А., Эберли Дж. Оптический резонанс и двухуровневые атомы.- М.:Мир,-1978.-222с.

3. Walther Н/ Experiments with single atoms in cavities and traps. In: Fundamental problems in quantum theory. Eds. D.M. Greenberg and A. Zeiler.// Ann. N.Y. Acad. Sci., 1995.- v.755, p. 133-179.

4. Маныкин Э.А., Самарцев В.В. Оптическая эхоспектроскопия.- М.; Наука, 1984.- 320с.

5. Нагибарова И.А., Богданов Е.Н., Дерюгин И.А. Динамика квантовых систем.- Минск; Наука и техника,- 1986.- 279.

6. Мандель JL, Вольф Э. Оптическая когерентность и квантовая оптика. М.: Наука. Физматлит,- 2000.- 896 с.

7. Шелепин JI.A. К теории когерентного спонтанного излучения. //ЖЭТФ. 1968.- т.54.- с.1463.

8. Махвиладзе Т.М., Шелепин J1.A. Теоретико-групповой анализ когерентных свойств некоторых физических систем.//Труды ФИАН.- 1973.- т.70,- с. 120-146.

9. Карасев В.П., Шелепин JLA. Когерентные состояния и производящие инварианты групп SU(n) и их приложения.//Труды ФИАН.-1980.- т.124.- с.49-74.

10. Горохов А.В. Методы теории групп в задачах квантовой физики. Ч.2.- Куйбышев; 1979.- 96с.

11. Горохов А.В. Методы теории групп в задачах квантовой физики. Ч.З.- Куйбышев; 1983.- 96с.

12. Glauber R.J. Coherent and incoherent states of the radiation field. //Phys.Rev.- 1963.- v.131.- p.2766-2789.

13. Глаубер P. Оптическая когерентность и статистика фотонов, /в кн. Квантовая оптика и квантовая радиофизикаю- М.: Мир.- 1966.-с.91-281.

14. Клаудер Д., Сударшан Э. Основы квантовой оптики.- М.: Мир.-1970.- 428с.

15. Клышко Д.Н. Физические основы квантовой электроники.- М.: Наука.- 1986.- 296с.

16. Radcliffe J.M. Some properties of coherent spin states.//J.Phys. A.: Gen.Phys.- 1971.- v.4.- p.313-323.

17. Barut A.O., Girardello. New "coherent" states associated with non-compact groups.//Commun. Math. Phys.- 1971- v21.- p.41-55.

18. Малкин И.А., Манько В.И. Динимические симметрии и когерентные состояния квантовых систем.- М.: Наука.- 1979. 320с.

19. Schwinger J/ On angular momentum./NYO-3071, U.S. Atomic energy commission, oak ridge.- 1952.- p.50.

20. Bonifacio R., Kim D.M., Scully M.O. Description of many atom system in terms of coherent boson states.//Phys.Rev.- 1969.- v.187, N 2.-p.441-446.

21. Перина Я. Квантовая статистика линейных и нелинейных оптических явлений.- М.: Мир,- 1987.- 368с.

22. Пранц С.В. Динамические симметрии связанных гармонических осцилляторов в нелинейной оптике./В кн. Теоретико-групповые методы в фундаментальной и прикладной физике.- М.: Наука.-1988.- с.73-101.

23. Горохов А.В. Методы теории групп в задачах квантовой физики. Ч.1.- Куйбышев; 1977.- 96с.

24. Louisell W. Quantum statistical properties of radiation.- Wiley, New York.- 1979.- 528p.

25. Фейнман P., Хибс А. Квантовал механика и интегралы по траекториям.- М.: Мир.- 1968.- 382с.

26. Kazumasa Т. Lectures on path integral coherent states representation. Сорюсирон Кэнкю., 1980. - т. 62, 1. - с. 1-24.

27. Попов В.Н., Ярунин B.C. Коллективные эффекты в квантовой статистике излучения и вещества.- Л.:Изд-во ЛГУ.- 1985.- 192с.

28. Hillery М., Zubary M.S. Path integral approach to problems in quantum optics.//Phys. Rev. A.- v.26, p.496-505.

29. Глаубер P. Когерентность и детектирование квантов./ В кн. Когерентные состояния в квантовой теории. М.: Мир. 1972. с. 26-70.

30. Delburgo R. Minimal uncertainty states for the rotation and allied groups.//J/ Phys. A: Math. Gen.- 1977.- v. 10., p.1837-1846.

31. Delburgo R., Fox J.R. Maximum weight vectors possess minimal uncertainty.//J/ Phys. A: Math. Gen.- 1977.- v.10. p.L233-L235.

32. Переломов A.M. Описание обобщенных когерентных состояний, наиболее близких к классическим.// Ядерная физика,- 1979.- т.29, 6.- с.1688-1696.

33. Klauder J.R., Skagerstam B.S. Coherent States, Application in physics and mathematical physics.- World Sci. Publ.Co, Singapore.- 1985.- 911 P

34. Летохов B.C., Чеботаев В.П. Нелинейная лазерная спектроскопия сверхвысокого разрешения.- М.: Наука 1990.- 512с.

35. Агапьев Б.Д., Горный М.Б., Матисов Б.Г., Рождественский Ю.В. Когерентное пленение населенностей в квантовых системах. //УФН.- 1993.- т.163, N 9.- с.1-36.

36. Михайлов В.А. Обобщенные когерентные, состояния для группы SU{3) и динамика трехуровневых систем. Применение методов классической и квантовой теории к решению физических задач./Межвузовский сб.- Куйбышев.- 1983.- с. 113-117.

37. Elgin J.N. Semiclassical formalism for the treatment of three-level system.//Phys.Letters.- 1980.- v.80A, N 2,3.- рЛ40-142.

38. Рождественский Ю.В. Динамика трехуровневого атома в поле двух стоячих световых волн.//ОиС.- 1990.- т.69, вып.2.- с.247-251.

39. Пранц С.В., Якунова Л.С. Временная эволюция трехуровневого атома в поле лазерных импульсов.//ОиС.- 1990.- т.69, вып.5.-с.964-970.

40. Корсунский Е.А., Матисов Б.Г., Рождественский Ю.В. Временная эволюция атомных населенностей в трёхуровневых системах. // ЖЭТФ.- 1991.- т.100, вып.5(11).- с.1438-1448.

41. Rai J., Mehta C.L. Boson representation for n-level quantumsystem.//Optics Communication.- 1982.- v.42, N 2.- p.113-115.

42. Klauder J.R. Path integrals and stationary-phase approximations. // Phys.Rev D.- 1979.- v. 19, N 8. p.2349-2356.

43. Kuratsuju H., Suzuki T. Path integral in the representation of SU(2) coherent state and classical dynamics in a generalization phase space//J.Math.Phys.- 1981.- v.22, N 4.- p.472-476.

44. Kuratsuju H., Mirabuchi Y. A semiclassical treatment of path integrals for the spin system//J.Math.Phys.- 1981.- v.22, N 4.- p.757-764.

45. Новиков Л.Ф. Когерентные состония на группах Ли и оператор эволюции системы взаимодействующих бозонов и фермионов. // ТМФ.- 1977.- т.30, N 2.- с.218-227.

46. Горохов А.В. Когерентные состояния на группах Ли и интегралы по траекториям./В кн. Теоретико-групповые методы в физике.- М.: Наука.- 1983.- т.2.- с.201-209.

47. Горохов А.В. Континуальные интегралы в представлении когерентных состояний на группах Ли. Динамика систем, взаимодействующих с бозонным полем. /В кн. Теоретико-групповые методы в физике.- М.: Наука.- 1980.- т.1,- с.249-256.

48. Горохов А.В. Интегралы по траекториям на компактных разнообразиях Кэлера. /В кн. Теоретико-групповые методы в физике.- М.: Наука.- 1986,- т.2.- с.399-410.

49. Горохов А.В., Михайлов В.А. Когерентные состояния и интегралы по траекториям для динамической группы SU(N).//Изв. вузов Физика.- 1985. N 7.- с.59-64.

50. Березин Ф.А. Континуальный интеграл по траекториям в фазовом пространстве.//УФН.- 1980.- т.132, N 3.- с.497-548.

51. Березин Ф.А. Квантование.//Изв. АН СССР, сер. матем.- 1974.-т.38, N 5.- с.1116-1175. Березин Ф.А. Квантование в комплексных симметичных пространствах.//Изв. АН СССР, сер. матем.- 1975.-т.39, N 2.- с.363-402.

52. Брайловский А.Б., Вакс В.А., Митюгов В.В. Квантовые модели релаксации //УФН.- 1996.- т.166, в 7.- с.795- 800.

53. Davies Е.В. Quantum Theory of Open System. New York: Academic Press.- 1976. - 412 c.

54. Блум К. Теории матрицы плотности и ее приложения.- М.: Мир.-1983.- 248 с.

55. Файн В.Н. Фотоны и нелинейные среды./В кн. Квантовая радио-• физика., т.1.- М.: Сов. радио.- 1972. 472 с.

56. Альперин М.М., Клубис Я.И., Хижняк А.И. Введение в физику двухуровневых систем. Киев: Наукова думка. - 1987 - 224 с.

57. Барьяхтар В.Г., Петров Э.Г. Кинетические явления в твердых телах. Киев: Наукова думка.- 1989.- 296 с.

58. Лэкс М. Флуктуации и когерентные явления.- М.: Мир.- 1974. 300 с.

59. Хакен Г. Лазерная светодинамика.- М.:Мир.- 1988.- 350 с.

60. Андреев А.В., Емельянов В.И., Ильинский Ю.А. Кооперативные явления в оптике.- М.: Наука.- 1988.- 288с.

61. Зельдович Б.Я., Переломов A.M., Попов B.C., Релаксация квантового осциллятора. //ЖЭТФ.- 1968.-t.55.- с.586-606.

62. Зельдович Б.Я., Переломов A.M., Попов B.C., Релаксация квантового осциллятора при наличии внешней силы. //ЖЭТФ.- 1969.-т.57.- с.196-206.

63. Белавин А.А., Зельдович Я.Б., Переломов А.М., Попов B.C. Релаксация квантовых систем с эквидистантным спектром.// ЖЭТФ.-1969.-t.56.- с.264.

64. Agarwal G.S. Quantum statistical theories of spontaneous emission and their relation to other approaches.// Springer Tracts in Modern Physics.- v.70.- p.129.

65. Narducci L.M., Bowden C.M., Bluemel V., Garrazana G.P., Tuft R.A. Multitime-correlation functions and the atomic coherent state representation.//Phys. Rev.A.- 1975.- v.ll, N 3.- p.973-980.

66. Зверев В.В. Управляющее уравнение сверхизлучения для системы многоуровневых молекул (теоретико-групповой подход).//ОиС.-1983.- т.54, N 6,- с.987-992.

67. Risken Н. The Fokker-Plank equation.- Berlin: Springer.- 1984,- 346p.

68. Петров В.Э., Решетняк С.А., Третьяков Г.Н., Шелепин Л.А. Многомерное уравнения Фоккера-Планка и их решение.//Труды ФИАН,- 1980.- т. 124.- с.75-96.

69. Горохов А.В., Михайлов В.А. Уравнение Фоккера Планка для обобщенной модели Дикке. / Статистическая механика и теория фазовых переходов ./Межведомственный сб.- Куйбышев.- 198.- с. 118127.

70. Gorokhov A.V., Mikhailov V.A. Fokker-Planck equations in coherent states representaion for quantum relaxation in quantum field theory, quantum mechanics and quantum optics. /Nova Science Publishers Inc.- New York.- 1991.- p.233-235.

71. Ахманов С.А., Дьяков Ю.Е., Чиркин А.С.Введение в статистическую радиофизику и оптику.- М.: Наука.- 1981.- 640с.

72. Килин С.Я. Квантовая оптика. Поля и их детектирование.- Минск: Наука и техника.- 1990.- 176с.

73. Березин Ф.А. Метод вторичного квантования.- М.: Наука.- 1986.-320с.

74. Горохов А.В., Михайлов В.А. Уравнения Фоккера- Планка в процессах релаксации многоуровневых систем. / В кн. Дифференциальные уравнения и их приложения. Тезисы докладов международного семинара.- Самара: СамГУ.- 1996.- с. 17.

75. Gorokhov A.V., Mikhailov V.A. Fokker-Planck equations method in theory of multilevel atoms relaxation.//Proceeding SPIE 1997.-v.3239.- p.256-260.

76. Горохов А.В., Михайлов В.А. Уравнение Фоккера- Планка в процессах релаксации многоуровневых систем. /В кн. Дифференциальные уравнения и их приложения. Труды второго международного семинара.- Самара: Изд-во Самарский университет.- 1998.-с.26-33.

77. Gorokhov А.V., Mikhailov V.A. Quantum relaxtion of n-level system.//High energy physics and quantum field theory. XII-th workshop on high energy physics and quantum field theory. Proceedings, ed. by B.B. Levtchenko.- Moscow.- 1999.- p.477-481.

78. Гардинер К.В. Стохастические методы в естественнных науках.-М.: Мир.- 1986.

79. Боголюбов Н.Н., Козеровски М., Куанг Чан, Шумовский А.С. Новые эффекты в квантовой электородинамике.//Физика элементарных частиц и атомного ядра.- 1988.- т.19, N 4.- с.831-863.

80. Gardiner C.W. Inhibition of atomic phase decays by squeezed light: a direct effect by squeezing. //Phys.Rev.Lett.- 1986.- v.56, 18. p.1917-1920.

81. Polzik E.S., Carri J., Kimble H.J. Spectroskopy with squeezed light. //Phys.Rev.Let.-1992. v.68, 20. - 3020-3023.

82. Dupertuis M.-A., Stenholm S. Rigged-reservoir response.I. General theory.//J. Opt.Soc.Am.B.- 1987.- v.4, N 7.- p.1094-1101.

83. Dupertuis M.-A., Barnett S.M., Stenholm S. Rigged-reservoir response.II. Effects of squeezed vacuum.//J.Opt.Soc.Am.B.- 1987.-v.4, N 7.- p.1102-1108.

84. Dupertuis M.-A., Barnett S.M., Stenholm S. Rigged-reservoir response.III. Multiatiom squeezed status.//J.Opt.Soc.Am.B.- 1987.-v.4, N 7.- p.1124-1129.

85. Горохов А.В., Михайлов В.А. Релаксация двухуровневых атомов, взаимодействующих со сжатым термостатом и квантовый принцип суперпозиции.//Световое эхо и пути его практических применений. IV Всесоюзный симпозиум. Тезисы докладов.- Куйбышев.1989.- 59с.

86. Горохов А.В., Михайлов В.А. Сжатые флуктуации термостата и кинетика двухуровневых атомов.//Вестник Самарского гос. тех-нич. университета.- 1996.- N 4.- с.101-106.

87. Meystre P., Sargent М. Elements of quantum optics.- Berlin: Springer.1990.-484p.

88. Luthenhaus N., Cirac J.I., Zoller P. Mimicking a squeezed bath interaction: Quantum reservoir engineering with atoms. //Phys. Rev. A. 1998. - v. 57, N 1. - p. 548-558.

89. Hegerfeldt G.C., Sachse T.I., Sondermann D.G. Unusual light spectral from a two-level atom in squeezed vacuum.// Quant. Semiclass. Opt.-1997.- v.9.- p.1-16.

90. Ахманов С.А., Дьяков Ю.Е., Чиркин А.С. Введение в статистическую радиофизику и оптику.- М.: Наука.- 1981.

91. Петров Э.Г., Тесленко В.И. Кинетические уравнения для квантовой динамической системы, взаимодействующей с термостатом и случайным полем.// ТМФ.- 1990.-t.84.- с.446-458.

92. Gorokhov A.V., Mikhailov V.A. Quantum kinetik of system interacting with heat bath and stochastic field. // Symmetry Methods in Physics.- Obninsk.- 1992.- p. 120.

93. Горохов А.В., Михайлов В.А. Релаксация двухуровневой системы, взаимодействующей с внешним стохастическим полем. // Теоретическая физика. 2000. т. 1, с. 54-62.

94. Шредингер Э. Современное положение в квантовой механике, //в сб. Шредингер Э. Новые пути в физике.-.М.: Наука.- 1971.

95. Шапиро В.Е., Логинов В.Н. Динамические системы при случайных воздействиях.- Новосибирск: Наука.- 1982.- 160с.

96. Petrov E.G., Teslenko, Goychuk I.A. Stochastically averaged master equation for a quantum-dynamic system interactivy with a thermal bath.//Phys. Rev. E.- 1994.- vol.49, N 5.- p.3894-3902.

97. Goychuk I.A. Kinetic equation for a dissipative quantum system driven by dichotomic noise.//Phys. Rev. E.- 1995.- v.51, N 6.- p.6267-6270.

98. Goychuk I.A., Petrov E.G. Dynamics of the dissipative two-level system driven by external telegraph noise.// Phys. Rev. E.- 1995.-vol.52, N 3.- p.2392-2400.

99. Petrov E.G., Goychuk I.A., May V. Effective transfer rate for a dissipative two-level system driven by regular and stochastic field.// Phys. Rev. E.- 1996, v.54, N 4.- p.4500-4503.

100. Feynman R.P. An operator calculus having applications in quantum electrodynamics. //Phys.Rev.- 1951.- v.84.- p.* 108 128.

101. Wilcox R.H. Exponential operators and parameter differentianion in quantum physica.//J.Math.Phys.- 1967.- v.8, N 4.- p.962-982.

102. Горохов А.В., Михайлов В.А., Ручков В.В. Квантовая кинетика параметрически возбуждаемого многомодового осциллятора. / Световое эхо и пути его практических применений. IV Всесоюзный симпозиум. Тезисы докладов.- Куйбышев.- 1989.- с.60.

103. Горохов А.В., Михайлов В.А. Кинетика параметрического осциллятора в бане со сжатыми флуктуациями. / Световое эхо и проблемы когерентной оптики.Межведомственный сб.науч. статей.-Куйбышев.- 1990.- с. 134-142.