Динамика и релаксация атомов и атомных систем во внешних полях тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.21, кандидат физико-математических наук Семин, Виталий Владимирович

• Семин, Виталий Владимирович
• кандидат физико-математических наук
• 2010

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Семин, Виталий Владимирович

Введение

1 Резонансная флуоресценция двухуровневого атома

1.1 Спектр резонансной флуоресценции.

1.1.1 Предел слабого поля.

1.1.2 Предел сильного поля: появление боковых полос

1.2 Экспериментальное измерение спектра резонансной флуоресценции

2 Двухуровневый атом во внешних классическом и стохастических полях

2.1 Метод проекционного оператора в квантовой теории открытых систем

2.2 Двухуровневый атом в лазерном поле.

2.2.1 Модель и модельный гамильтониан

2.2.2 Операторное кинетическое уравнение.

2.2.3 Спектр излучения двухуровневой системы во внешнем лазерном поле.

2.3 Двухуровневая система во внешних классическом и стохастических полях.

2.3.1 Релаксация двухуровневой системы под действием внешних стохастических и регулярных полей

2.3.2 Спектр излучения

2.3.3 Интерпретация полученных результатов.

3 Излучение взаимодействующих атомов во внешних полях

3.1 Излучение взаимодействующих атомов во внешнем тепловом поле.

3.1.1 Модель системы

3.1.2 Решение операторного кинетического уравнения

3.1.3 Спектр флуоресценции

3.2 Контур спектральной линии взаимодействующих атомов во внешних регулярном и стохастических полях.

3.2.1 Модель системы

3.2.2 Операторное кинетическое уравнение.

3.2.3 Спектр флуоресценции

3.3 Интерпретация полученных результатов.

4 Немарковская релаксация

4.1 Методы построения немарковских кинетических уравнений и их виды.

4.1.1 Квантовые случайные блуждания непрерывные во времени

4.1.2 TCL техника проекционного оператора.

4.1.3 Постмарковское кинетическое уравнение.

4.1.4 Формализм обобщенной квантовой динамики.

4.2 Проявление эффектов памяти в спектрах одиночных двухуровневых атомов

4.2.1 Операторно-кинетическое уравнение.

4.2.2 Спектр излучения.

4.3 Спектр излучения взаимодействующих атомов в немарковском случае.

4.3.1 Модель и операторно-кинетическое уравнение

4.3.2 Контур спектральной линии

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Динамика и релаксация атомов и атомных систем во внешних полях»

Актуальность проблемы

В современной квантовой оптике и лазерной физике значительное внимание уделяется как теоретическому, так и экспериментальному исследованию взаимодействия отдельных атомов и простейших атомных систем с электромагнитным полем. Подобный интерес обусловлен рядом объективных причин, главные из которых сводятся к следующему.

Существенным увеличением точности проводимых экспериментов. Современные атомные ловушки позволяют накапливать и длительное время хранить в себе одиночные атомы и группы из их небольшого числа, что делает возможным проведение длительных опытов, получая данные с огромной точностью [1, 2].

С другой стороны, простейшая модель квантовой оптики - модель двухуровневого атома, играет фундаментальную роль в квантовых вычислениях и квантовой информатике, т.к. представляет из себя квантовый аналог бита, так называемый кубит [3, 4]. В этой связи исследование поведения кубита, взаимодействующего с различными полями играет первостепенную роль в теории квантовых компьютеров.

С другой стороны все результаты, которые получены в квантовой оптике для модели двухуровневого атома, могут быть непосредственно распространены па другие области физики, например на физику квантовых точек [38]. В этих областях динамика объектов подчиняется управляющим уравнениям аналогичным по структуре уравнениям квантовой оптики, однако, значение параметров системы, таких как переходные дипольные моменты и пр., могут иметь существенно иные значения. Данный факт может привести к существенно иной динамике протекания процессов в системе, что требует исследования влияния подобных "аномальных" параметров на протекание процессов в системе. Существенным же здесь является факт, что объекты, подобные квантовым точкам, ядерным спинам, органическим молекулам, сверхпроводящим кольцам и др., в некоторых случаях можно моделировать двухуровневой квантовой системой, которую мы будем называть в дальнейшем обобщенным термином "двухуровневый атом".

В "шумовой" лазерной спектроскопии важной задачей является исследование отклика атомов на внешние случайные поля, поскольку он содержит, например, информацию о временах релаксации, то есть о величинах, представляющих первоочередной спектроскопический интерес. Теоретический аспект проблемы состоит как в получении уравнений, описывающих динамику атомов в случайных полях с разным типом статистики, так и в выводе зависимостей наблюдаемых величин от параметров стохастических процессов.

Спустя более семьдесяти лет вновь оказывается актуальным вопрос о полноте квантовой механики, поднятый в знаменитой работе Эйнштейна, Подольского и Розена [6]. Это связано как с фундаментальными проблемами применения квантовой теории к описанию физической реальности, так и с перспективными прикладными вопросами такими, как создание элементной базы квантовых компьютеров [4]-[7], передача и обработка квантовой информации [8]-[12], квантовая метрология [13].

Свет, испущенный двухуровневым атомом при взаимодействии с резонансным лазерным полем проявляет ряд сугубо неклассических эффектов, например, таких как антигруппировка и сжатие света, расщепление спектральных линий и т.д. [5]. С этой позиции принципиальный интерес представляет распространение теории, развитой для одиночного атома на случай системы взаимодействующих атомов.

В настоящее время накоплено большое количество теоретических и экспериментальных данных посвященных различным проявлениям явления резонансной флуоресценции [19]-[41]. При этом точность проводимых экспериментов все более возрастает. Шумы, непременно присутствующие при проведении любого эксперимента, становятся все более и более заметными. С этой позиции необходимо развивать теоретические методы их учета.

Наиболее сильным упрощением при рассмотрении задач квантовой оптики и физике в целом является предположение о марковском характере протекания случайного процесса. Наиболее известный и всесторонне исследованный физический марковский процесс - это броуновское движение частиц взвешенных в жидкости или газе. Однако, даже такой, казалось бы, простейший процесс на коротких временах проявляет свойства немарковости [102]. Для квантового броуновского движения широко исследуются немарковские уравнения (см. например [21]). В этой связи представляется актуальной задача обобщения существующих уравнений на случай нали чия у системы кратковременной памяти. Цель диссертационной работы

Цель диссертационной работы заключается в исследовании влияния тепловых, лазерных и стохастических полей, а также эффектов памяти на динамику и релаксацию двухуровневых атомов и систем, состоящих из двух идентичных диполь-динольно взаимодействующих двухуровневых атомов.

Для достижения поставленной цели решаются следующие основные задачи:

• На основании методов квантовой теории открытых систем построить уравнение, описывающее динамику одиночного двухуровневого атома и системы из двух диполь-диполыго взаимодействующих двухуровневых атомов во внешних тепловом, лазерном и стохастических полях.

• Изучить влияние указанных полей на вероятности заселения уровней атомных систем, а также проанализировать их влияние на спектральные свойства излучения рассматриваемых систем.

• Обобщить марковские динамические уравнения на случай систем с кратковременной памятью.

• Проанализировать наличие эффектов памяти в спектре излучения двухуровневого атома и системы двух взаимодействующих двухуровневых атомов.

Научная новизна

Научная новизна диссертации заключается в том, что

• Выявлено влияние стохастических полей на спектр резонансной флуоресценции двухуровневого атома.

• Впервые получено уравнение для двух диполь-дипольно взаимодействующих атомов во внешних тепловом, лазерном полях с учетом шумовой компоненты лазерного поля.

• Аналитически построен контур линии излучения системы взаимодействующих атомов и описано влияние указанных полей на его форму.

• Впервые дано обобщение известного квантового кинетического уравнения для взаимодействующих двухуровневых атомов при наличии кратковременной памяти.

• Обнаружены деформации спектральной линии излучения взаимодействующих атомов, вызванные наличием памяти.

Достоверность полученных результатов обеспечивается использованием строгих математических методов; детальным анализом общих физических принципов, лежащих в их основе; тестированием общих алгоритмов по результатам, полученных в других работах для частных случаев; сравнением с экспериментом, а также совпадением результатов, полученных разными методами.

Научная и практическая значимость результатов

1. Найденные аналитические выражения для спектров излучения взаимодействующих атомов позволяют определять величину дипольных моментов частиц по их спектрам, а также расстояние между ними.

2. Развит общий подход к описанию диссипативных систем с кратковременной памятью, сводящий интегро-дифференциальное уравнение Накашимы-Цванцига к замкнутому дифференциальному уравнению. Этот подход может быть применен для решения других задач квантовой оптики.

3. Полученные в диссертации результаты могут использоваться в учебном процессе при подготовке студентов и магистров, специализирующихся по теоретической физике, лазерной физике и оптике.

На защиту выносятся следующие основные результаты:

1. Квантовые кинетические уравнения, описывающие динамику двухуровневых атомов во внешних тепловом и лазерном полях, а также атомных систем, состоящих из двух взаимодействующих двухуровневых атомов во внешних тепловом и лазерном полях в марковском и немарковском случаях и их решения.

2. Точные выражения для формы спектральных линий двухуровневого атома и системы двухуровневых атомов во внешних полях как с учетом, так и без учета эффектов памяти.

3. Деформация контура линии излучения в системе двух взаимодействующих атомов при учете эффектов памяти, проявляющаяся как в смещении максимумов, так и в изменении их величин.

Апробация работы Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на: X Международных чтениях по квантовой оптике (Самара, 2007); XI и XII Всероссийской школе-семинаре "Волновые явления в неоднородных средах" (Звенигород, 2008, 2010); Всероссийской молодежной конференции "VI Самарский конкурс научных работ по оптике и лазерной физике" (Самара, 2008); Тринадцатой международной молодежной научной школе "Когерентная оптика и оптическая спектроскопия" (Казань, 2009); IX Международном симпозиуме по фотонному эху и когерентной спектроскопии (Казань, 2009); Международной конференции "Математическое моделирование и вычислительная физика" (Дубна, 2009), семинаре "Теоретическая и математическая физика" (Самара, 2009), Международная школа для студентов и молодых ученых по оптике, лазерной физике и биофизике (Saratov Fall Meetings, Saratov, 2008, 2009, 2010), Второй международной конференции "Математическая физика и ее приложения "(Самара, 2010); а также на научно-практических конференциях и семинарах в Самарском государственном университете и Казанском государственном университете им. Ульянова-Ленина.

Работа над диссертацией поддержана стипендией фонда Дмитрия Зимина "Династия" в 2008; грантом Министерства образования и науки Самарской области для студентов, аспирантов и молодых ученых 2010 года (№

234Е2.2А). Часть результатов получены при краткосрочных командировках в Казанский государственный университет им. Ульянова-Ленина в рамках федеральной целевой программы "Научные и научно-педагогические кадры инновационной России" в 2009 и 2010 годах.

Публикации

По теме диссертационной работы опубликовано 10 печатных работ, в том числе 3 статьи в журналах, рекомендованных ВАК.

Личное участие автора

Все результаты, составившие основу диссертации, получены лично автором или при его определяющем участии.

Объем и структура диссертации

Диссертация изложена на 116 с. печатного текста (в том числе 39 рисунков). Она состоит из введения, 4 глав, заключения, приложения и списка литературы включающего 122 наименования. Общий объем диссертации -137 страниц текста.

Заключение диссертации по теме «Лазерная физика», Семин, Виталий Владимирович

Заключение

Сформулируем основные выводы и результаты диссертационной работы:

1. На основе метода проекционного оператора развит математический формализм для описания динамики и релаксации двухуровневых квантовых систем во внешних полях.

2. Получены выражения для формы контура линии излучения через параметры стохастических процессов, моделирующих случайные лазерные поля.

3. Получены аналитические выражения для формы контура линии излучения взаимодействующих атомов при отличной от нуля температуре, а также для атомов в стохастических полях, когда регулярной компонентой можно пренебречь. Для атомов в лазерном поле численно вычислен контур спектральной линии.

4. Развит формализм, позволяющий описывать квантовые системы с короткой памятью. Построены динамические уравнения для двухуровневого атома и системы двух идентичных взаимодействующих двухуровневых атомов при наличии кратковременной памяти.

5. Показано, что память в системе двух взаимодействующих атомов приводит к существенным деформациям контура линии излучения.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Семин, Виталий Владимирович, 2010 год

1. Тотек П. Э. Атомные частицы в ловушках // УФН. 1989. Т. 158. С. 451-497. УФН. 1989. Т.158. С. 451-497.

2. Пауль В. Электромагнитные ловушки для заряженных и нейтральных частиц // УФН. 1990. Т. 160. Вып. 12. С. 109-127.

3. Имре Ш., Балаж Ф. Квантовые вычисления и связь. М.: Физматлит,- 2008. 320 с.

4. Килин С.Я. Квантовая информация // УФН. 1999. Т.169, N 5. С.507- 527.

5. Cohen-Tannoudji D. Atoms in strong resonant fields / In book: Frontiers in Laser Spectroscopy. Vol.1. Amsterdam: North-Hollanded. Ed. by R. Balian, S. Haroche and S. Liberman. 1977. P. 3-104.

6. Einstein A., Podolsky A., Rosen N. Can Quantum Mechanical Description of Physical Reality Be Considered Complete? // Phys. Rev. 1935. V.4. P. 77-84.

7. Cerf N.J., Adami C., Kwiat P.G. Optical Simulation of Quantum Logic // Phys. Rev. A. 1998. V.57. P.R1477-R1480.

8. Ekert A.K. Quantum Cryptography Based on Bell's Theorem // Phys. Rev. Lett. 1991. V.67 P.661-663.

9. Ekert A.K., Rarity J.G., Tapster P.R., Palma G.M. Practical Quantum Cryptography Based on Two-Photon Interferometry // Phys. Rev. Lett. 1992. V.69. P.1293-1295.

10. Bennet H., Brassard G., Mermin N.D. Quantum Cryptography without Bell's Theorem // Phys. Rev. Lett. 1992. V.68. P.557-559.

11. Sergienko A.V., Atature M., Walton Z., Jaeger G., Saleh B.E.A., Teich M:C. Quantum Cryptography using femtosecond-pulsed parametric down-conversion // Phys. Rev. A 2000. V.60. P.R2622-R2625.

12. Jennewein Т., Simon C. , Weihs G., Weinfurter H., Zeilinger A. Quantum Cryptography with Entangled Photons // Phys. Rev. Lett. 2000. V.84. P. 4729-4732.

13. Клышко Д.Н., Пенин A.H. Перспективы квантовой фотометрии // УФН. 1987. Т.152. С.653-665

14. Fain В. Irreversibilities in Quantum Mechanics. New York: Kluwer Academic Publishers, 2002. 224 p.

15. Nakajima S. On quantum theory of transport phenomena. Progr. Theor. Phys. 1958. V. 20. P. 948-959.

16. Zwanzig R. Ensemble method in the theory of irreversibility //J. Chem. Phys. 1960. V. 33. N 5. P. 1338-1341.

17. Mollow B.R. Power spectrum of light scattered by two-level systems // Phys.Rev. 1969. V. 188. P. 1969-1975.

18. Newstein M.C. Spontaneous emission on the presence a prescribed classical field // Phys.Rev. 1968. V. 167. P. 89-96.

19. Мандель Л., Вольф Э. Оптическая когерентность и квантовая оптика. М: Физматлит, 2000.-896 с.

20. Скайли М.О., Зубайри М.С. Квантовая оптика. М: Физматлит, 2003.512 с.

21. Koch W., Grobmann F., Ankerhold J., Stockburger J.T. Semiclassical formulation of non-Markovian quantum Brownian motion // Physica E. 2010. V. 42. P. 388-393.

22. Hartig W., Rasmusen W., Shieder R., Walther H. Study of the frequency distribution of the fluorescent light induced by monochromatic radiation // Z.Phys. A. 1976. V. 278. P. 205-210.

23. Wu F.Y., Growe R.E., Ezekiel S. Mesuarment of the spectrum of resonance fluorescence from a two-level atom in an intense monochromatic field // Phys. Rev. A. 1977. V. 15. P. 227-233.

24. Growe R.E., Wu F.Y., Ezekiel S. Investigation of the spectrum of resonance fluorescence induced by a intense monochromatic field // Phys. Rev. Lett. 1975. V. 35. P. 1426-1429.

25. Shuda F., Stroud C.R. Jr., Hercher Observation of the resonant Stark effect at optical frequencies //J. Phys. B. 1974. V. 7. P. L198-L202.1IK

26. Leibfried D., Blatt R. Monroe C. Quantum dynamics of single trapped ions // Rev. Mod. Phys. 2003. V.75. P. 281 324.

27. Wineland D.J. et al. Experimental issue in coherent quantum-state manipulation of trapped atomic ions //J. Res. Nat. Inst. Stand. Technol. 1998. V. 103, No 3. P. 259 328.

28. Diedrich F., Walther H. Nonclassical Radiation of a Single Stored Ion // Phys. Rev. Lett. 1987. V. 58. P. 203-206.

29. Hoffge J.T., Baldauf H.W., Lange W., Walther H. Heterodyne measurement of the resonance fluorescence of a single ion //J. Mod. Opt. 1997. V. 44. P. 1999-2010.

30. Hoffge J.T., Baldauf H.W., Eichler T., Helmfrid S.R., Walther H. Heterodyne measurement of the fluorescent radiation of a single trapped ion // Opt. Commun. 1997. V. 133. P. 170-174.

31. Buhner V., Tamm Chr. Resonance fluorescence spectrum of a trapped ion undergoing quantum jumps // Phys. Rev. A 2000. V. 61. P. 061801-1061801-4.

32. Raab Ch., Eschner J., Bolle J., Oberst H., Schmidt-Kaler F., and Blatt R. Motional Sidebands and Direct Measurement of the Cooling Rate in the Resonance Fluorescence of a Single Trapped Ion // Phys. Rev. Lett. 2000. V. 85. N 3. P. 538-541.

33. Walther H. Single atom experiments in cavities and traps // Proc. R. Soc. Lond. A. 1998. V. 454. P. 431-445

34. Weber M., Volz J., Saucke K. Analysis of a single-atom dipole trap // Phys. Rev. A. 2006. V. 73. P. 043404-1-043404-6.

35. Wather H. Quantum Optics of a Single Atom // Laser Physics. Vol. 8. No. 1. 1998. P. 1-9.

36. Wrigge G., Gerhardt I., Hwang J., Zumofen G., Sandoghdar V. Efficient coupling of photons to a single molecule and the observation of its resonance fluorescence // Nature. 2008. V. 4. P. 60-68.

37. Stalgies Y. et al. The spectrum of single-atom resonance fluorescence // Europhys. Lett. 1996. V. 35. P. 259-263.

38. Vamivakas A. Nick, Zhao Yong , Lu Chao-Yang, Atatiire Mete Spin-resolved quantum-dot resonance fluorescence // Nature Phys. 2009. V. 5. P. 198 203.

39. Flagg E.B., Muller A., Robertson J.W. et al. Resonantly driven coherent oscillations in a solid-state quantum emitter // Nature Phys. 2009. V. 5. P. 203 207.

40. Astafiev O., Zagoskin A.M., Abdumalikov A.A. Jr., Pashkin Yu. A. et al. Resonance Fluorescence of a single artificial atom // Science. 2010. V. 327. P. 840-843.

41. Xu Xiaodobg, Sun Bo, Berman Paul R., Stell Duncan G., Bracker Alaan S. Gammon Dan, Sham L.G. Coherent Optical Spectroscopy of a Strongly Driven Quantum Dot // Science. 2007. V. 317. P. 929-932.

42. Hanson R., Kouwenhoven L.P., Petta J.R., Tarucha S., Vandersypen L.M.K. Spins in few-electron quantum dots // J. Mod. Phys. 2007. V. 79. P. 1217-1265.

43. Gardiner C. W. Quantum noise. Berlin: Springer. 2000. 438 p.

44. Белавин A.A., Зельдович Б.Я., Переломов A.M., Попов B.C. Релаксация квантовых систем с эквидистантным спектром // ЖЭТФ. 1969. Т.56. Вып. 1. С. 264-274.

45. Lax М.Quantum Noise. XI. Multitime correspondence between quantum and classical stochastic processes // Phys. Rev. 1968. V. 172. P. 350-361.

46. Ахманов С.А., Дьяков Ю.Е., Чиркни А.С. Введение в статистическую радиофизику и оптику. М.: Наука, 1981.-640 с.

47. Горохов А.В., Михайлов В.А. Релаксация двухуровневой системы взаимодействующей с внешним стохастическим полем // Теор. физ. 2000. Т.1. С.54-62.

48. Петров Э.Г., Тесленко В.И. Кинетические уравнения для квантовой динамической системы, взаимодействующей с термостатом и случайным полем // ТМФ. 1990. Т. 84. С. 446-458.

49. Быков В.П., Лазерная электродинамика. М: Физматлит, 2006. 384 с.

50. Горохов А.В. Когерентные состояния, динамический хаос и когерентная релаксация в моделях квантовой оптики и лазерной физики /

51. Дисс. соиск. уч. степени доктора физ.-мат. наук. Самара. 2005, 321 с.

52. Dicke R.H. Coherence in spontaneous radiation processes // Phys. Rev. 1954. V. 93. P. 99-110.

53. Baldwin G.S., Solem J.C. Recoilless gamma-ray lasers // Rev. Mod. Phys. 1997. V. 69. P. 1085-1117.

54. Anderson M.H., Ensher J.R., Matthews M.R., Wieman C.E., Cornell E.A. Observation of Bose-Einstein condensation in a dilute atomic vapor // Science. 1995. V. 269. P. 198-201.

55. Inouye S., Chikkatur A.P., Stamper-Kurn D.M., Stenger J., Pritchard D.E., Ketterle W. Superradiant Rayleigh scattering from a Bose-Einstein condensate // Science. 1999. V.285. P. 571-574.

56. Moore M.G., Meystre P. Theory of superradiant scattering of laser light from Bose- Einstein condensates // Phys. Rev. Lett. 1999. V.83. P. 52025205.

57. Трифонов Е.Д. К теории сверхизлучательного рэлеевского рассеяния света на бозе-эйнштейновском конденсате // ЖЭТФ. 2001. Т.120. Вып.5(11). С. 1117-1125.

58. Аллен JL, Эберли Дж. Оптический резонанс и двухуровневые атомы. М: Мир. 1978, - 224 с.

59. Андреев А.В., Емельянов В.И., Ильинский Ю.А. Коллективное спонтанное излучение (сверхизлучение Дике) // УФН. 1980 . Т.131. С. 653-694.

60. Вальтер Г. Одноатомный мазер и другие эксперименты квантовой электродинамики резонатора // УФН. 1996. Т. 166, No 7. С. 777 794.

61. Meschede D., Walther Н., Miiller G. One Atom Maser // Phys. Rev. Lett. 1985. V.54, No 6. P. 551 - 554.

62. McKeever J. et al. Experimental realization of a one-atom laser in the regime of strong coupling // Nature. 2003. V. 425. P. 268 271.

63. Ficek Z., Seke J., Kralicek R. Resonance fluorescence spectrum in a weak squeezed field with an arbitrary bandwidth // Phys. Rew. A. 1998. V. 58. No 2. P. 1597 1600.

64. Nha H., Chough Y.-T., An K. Resonance fluorescence of a two-level atom in a colored vacuum // Phys. Rev. A. 2000. V. 62. 021801 (R)-l 021801(R)-4.

65. Gao S., Li. F., Zhu S. Quantum interference and phase-dependent spectrum of resonance fluorescence of a three-level V-type atom // Phys. Rev. A. 2002. V. 66. 043806-1 043806-10.

66. Bienert M., Merkel W., Morigi G. Resonance fluorescence of a trapped three-level atom // Phys. Rev. A. 2004. V. 69. 013405-1 013405-12.

67. Evers J., Jentschura U.D., Keitel C.H. Relativistic and radiative corrections to the Mollow spectrum // Phys. Rev. A. 2004. V. 70. 0621111 062111-20.

68. Bienert M., Torres M. Zippilli S., Morigi G. Resonance fluorescence of a cold atom in a high-finesse resonator // Phys. Rev. A. 2007. V. 76. 013410-1 013410-10.

69. Gao S.-Y.,Li F.-L., Zhu S.-Y. Phase-independent spectrum of atomic resonance fluorescence from a driven three-level atom in ladder configuration // Phys. Lett. A. 2005. V. 335. P. 110-120.

70. Carreno F., Anton M.A., Galderon O.G. Quantum interference effects in resonance fluorescence and absorption spectra of a V -type three-level atom damped by a broadband squeezed vacuum // Optics Communications. 2003. V. 221. P. 365- 385.

71. Gangopadhyay G., Basu S., Ray D. Cavity-field-assisted atomic relaxation and suppression of resonance fluorescence at high intensities // Phys. Rev. E. 1993. V. 47. No 2. P. 1317 1319.

72. Башкиров E.K. Метод исключения бозонных переменных в квантовой теории сверхизлучения. Самара: Издательсвто "Самарсикий университет" 2008. 64 с.

73. Kus M., Woldkiewicz К. Two-atom resonance fluorescence // Phys. Rev. A. 1981. V. 23. No 2. P. 853 857.

74. Ficek Z., Sanders B.C. Quantum beats in two-atom resonance fliorescence // Phys. Rev. A. 1990. V. 41. No 1. P. 359 368.

75. Toor A.H., Zubairy M.S. Effects of finite bandwidth, of the resonance fluorescence spectrum inside of a cavity // Phys. Rev. A. 1994. V. 49. No 1. P. 449 460.

76. Rudolph T.G., Ficek Z., Dalton B.J. Two-atom resonance fluorescence in running- and standing-wave laser fields // Phys. Rev. A. 19905. V. 52. No 1. P. 636 656.

77. Lehmberg R.H. Radiation from N-atom system. I . General formalism // Phys. Rev. A. 1970. V. 2. P. 883-888.

78. Lehmberg R.H. Radiation from N-atom system. II. Spontaneous emission from a pair of atoms // Phys. Rev. A. 1970 V. 2. P. 889-896.

79. Kurizki G., Ben-Reuven A. Theory of cooperative fluorescence from products of reactions or collions: identical neutral atomic fragments// Phys. Rev. A. 1987. V. 36. P . 90-102.

80. Agarwal G.S. Quantum statistical theories of spontaneus emission // Spinger tracts in modern physics. Vol. 70. Springer: Berlin, 1974. 131 p.

81. Lewenstein M., You L., Cooper J., Burnett K. Quantum field theory of atoms interacting with photons: Foundations // Phys. Rew. A. 1994. V. 50. No 3. P. 2207- 2231.

82. Lewenstein M., You L.j Cooper J. Quantum field theory of atoms interacting with photons. II. Scattering of short laser pulses from trapped bosonic atoms // Phys. Rew. A. 1995. V. 510. No 6. P. 4712 4727.

83. You L., Lewenstein M., Glauber R.J., Cooper J. Quantum field theory of atoms interacting with photons. III. Scattering of weak cw light from cold samples of bosonic atoms // Phys. Rew. A. 1996. V. 53. No 1. 329 352.

84. Горохов А.В. Генерация и разрушение квантовой когерентности // Теор. физ. 2001. Т.2. С. 74-85.

85. Kimble H.J., Mandel L. Theory of resonance fluorescence // Phys. Rev. A. 1976. V. 13. P. 2133-2144.

86. Шляйх В.П. Квантовая оптика в фазовом пространстве. М.: Физмат-лит, 2005. 760 с.

87. Charmichael Н. An Open Systems Approach to Quantum Optics. Berlin: Springer-Verlag, 1993. 179 p.

88. Михайлов В.А. Методы решения уравнения Фоккера-Планка для двухуровневого атома в стохастическом поле // Теоретическая физика. 2006. Т. 7. С. 93-101.

89. Lindblad G. On the generators of quantum dynamical semigroups // Commun. Math. Phys. 1976. Vol. P. 119-130.

90. Fussell D. P., McPhedran R.C., Martij de Sterke C. Two-dimensional treatment of the level shift and decay rate in photonic crystals // Phys. Rev. E. 2005. Vol. 72. P. 046605-1- 046605-14.

91. Falci G., D'Arrigo A., Mastellone A., Paladino E. Initial Decoherence in Solid State Qubits // Phys. Rev. Lett. 2005. Vol. 94. P. 167002-1-1670024.

92. Wong V., Gruebele M. Nonexponential dephasing in a local random matrix model // Phys. Rev. A. 2001. Vol. 63. P. 022502-1-022502-9.

93. Aquino G., Palatella L., Grigolini P. Absorption and Emission in the Non-Poissonian Case // Phys. Rev. Lett. 2004. Vol. 93 P. 050601-1-050601-4.

94. Moodley M., Petruccione F. Stochastic wave-function unraveling of the generalized Lindblad master equation // Phys. Rev. A. 2009. Vol. 79. P. 042103-1 042103-10.

95. Budini A.A. Stochastic representation of a class of non-Marcovian completely positive evolution // Phys.Rev. A 2004. - Vol. 69. - P. 0421071 - 042107-12.

96. Breuer H.-P., Petruccione F. The Theory of Open Quantum Systems. Oxford: Oxford University Press, 2002. 630 p.

97. Breuer H.-P., Gemmer J., Michel M. Non-Markovian quantum dynamics: Correlated projection superoperators and Hilbert space averaging // Phys. Rev. E. 2006. V. 73. P. 016139-1 016139-13.

98. Shabani A., Lidar D.A. Completely positive post-Markovian master equation via a measurement approach // Phys. Rev. A. 2001. Vol. 71. P. 020101(R)-1 020101 (R)-4.

99. Feynman R.P. Space-Time Approach to Non-Relativistic Quantum Mechanics // Rev. Mod. Phys. 1948. Vol. 20. P. 367-387.

100. Feynman R., Hibbs A. Quantum Mechanics and Path Integrals. New York: McGraw-Hill, 1965. 430 p.

101. Gainutdinov R. Kh. Nonlocal interaction and quantum dynamic // J. Phys. A: Math. Gen. 1999. Vol. 32. P. 5657-5678.

102. Вентцель А.Д., Фрейдлин М.И. Флуктуации в динамических системах под действием малых случайных возмущений. М.: Наука, 1979. 424 с.

103. Ван Кампен Н.Г. Стохастические процессы в физике и химии. М.: Высшая школа, 1990. 376 р.

104. Budini A.A. Open quantum system approach to single-molecule spectroscopy // Phys. Rev. A. 2009. V. 79. P. 043804-1 043804-17.

105. Gangopadhyay G., Ray D.S. Non-Markovian master equation for linear and nonlinear systems // Phys. Rev. A. 1992. V. 46. P. 1507-1515.

106. Горохов A.B., Михайлов В.А., Семин В.В. Уравнение Фоккера-Планка в теории релаксации двухуровневых атомов во внешних полях // Теор. физика. 2008. Т.9. С.171-178.

107. Горохов А.В., Семин В.В. Расчет спектра флуоресценции для двух взаимодействующих атомов // Оптика и спектроскопия. 2009. Т. 107. N 4. С. 617-622.

108. Горохов A.B., Семин B.B. Спектр излучения двухуровневого атома во внешнем электромагнитном поле // Теоретическая физика. 2008. Т. 9. С. 164-170.

109. Горохов A.B., Семин В.В. Излучение системы двух идентичных взаимодействующих атомов // Изв. РАН. Сер. физическая. 2009. Т.73. No 4. С.548-550.

110. Горохов A.B., Семин В.В. Влияние стохастических полей на спектр резонасной флуоресценции двухуровневого атома // Физ. волновых процессов и радиотех. сис-мы. 2009. Т. 12. No 1. С.85-87.

111. Semin V.V., Gorokhov A.V. Non-Markovian relaxation of atomic systems and line shape calculation / In book: Mathematical modeling and computational physics. Book of abstract international conference. Дубна: ОИЯИ, 2009. С. 27.

112. Горохов А.В., Семин В.В. Квантовая немарковская динамика атомных систем / В кн. Вторая международная конференция «Математическая физика и ее приложения»: Материалы Межд. конф. Самара: Изд-во «Книга», 2010. С. 100 - 101.

113. Breuer Н.-Р. Non-Markovian generalization of the Lindblad theory of open quantum systems // Phys. Rev. A. 2007. V. 75. P. 022103-1 -022103-9.

114. Budini A. Lindblad rate equations // Phys. Rev. A. 2006. V. 74. P. 053815-1 053815-12.

115. Sokolov I. M. Linear response to perturbation of nonexponential renewal process: A generalized master equation approach // Phys. Rev. E. 2006. V. 73. P. 067102-1 067102-3.

116. Breuer H.-P., Vacchini B. Structure of completely positive quantum master equations with memory kernel // Phys. Rev. E. 2009. V. 79. P. 041147-1 041147-12.

117. Huang X. L. , Sun H. Y., Yi X. X. Non-Markovian quantum jump with generalized Lindblad master equation // Phys. Rev. E. 2008. V. 78. P. 041107-1 041107-5.

118. Gainutdinov Renat Kh., Mutygullina Aigul A. , Scheid Werner Effects of nonlocality in time of interactions of an atom with its surroundings on the broadening of spectral lines of atoms // Physics Letters A. 2002 V. 306. P. 1-9.

119. Stefanescu Eliade, Scheid Werner, Sandulescu Aurel Non-Markovian master equation for a system of Fermions interacting with an electromagnetic field // Annals of Physics. 2008 V. 323. P. 1168-1190.

120. Адамян Г.Г., Антоненко H.B., Каноков 3., Саргсян B.B. Квантовые немарковские стохастические уравнения // ТМФ. 2005. Т. 145. No 1. С. 87-101.