Кинетика атомов с вырожденным основным состоянием в резонансных поляризованных полях тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.05, доктор физико-математических наук Тайченачев, Алексей Владимирович

• Тайченачев, Алексей Владимирович
• доктор физико-математических наук
• 2001

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Тайченачев, Алексей Владимирович

Введение

1 Квантовое кинетическое уравнение

1.1 Общая схема квантового самосогласованного описания.

1.1.1 Борновское приближение.

1.1.2 Радиационные поправки в борновском приближении.

1.2 Квантовое кинетическое уравнение для газа атомов.

1.2.1 Гамильтониан атомов.

1.2.2 Гамильтониан поля.

1.2.3 Гамильтониан взаимодействия.

1.2.4 ККУ для JV-частичной матрицы плотности.

1.2.5 ККУ для одночастичной матрицы плотности.

1.3 Оператор радиационной релаксации.

1.3.1 Мультипольное разложение токов.

1.3.2 Мультипольное разложение оператора релаксации.

1.3.3 Эффект отдачи и мультипольные моменты атома.

1.3.4 Эффекты, возникающие при смешивании состояний различной четности. Вакуумная сила.

1.4 Одночастичное, дипольное и резонансное приближения.

2 Неравновесные стационарные состояния атомов

2.1 Обобщенные оптические уравнения Блоха.

2.1.1 Симметрии, связанные с обращением времени и пространственной инверсией.

2.1.2 Неподвижные атомы.

2.2 Общий вид стационарного решения.

2.2.1 Собственный базис операторов Ед и £е

2.2.2 Инвариантная формулировка.

2.3 Темные состояния.

2.3.1 Переходы Jg = J —»■ Je — J (J - целое)

2.3.2 Переходы Jg = J Je = J — 1.

2.4 Точные эллиптические темные состояния с учетом поступательного движения

2.4.1 Распределение атомов по импульсам.

2.4.2 Эффекты пространственной локализации.

2.5 Яркие состояния

2.5.1 Переходы Jg = J —> Je = J {J - полуцелое).

2.5.2 Переходы Jg = J —■>■ Je = J + 1.

2.6 Границы применимости стационарного решения.

2.6.1 Возмущение статическим полем.

2.6.2 Возмущение поступательным движением.

2.7 Стационарные мультипольные моменты атома.

2.7.1 Средний дипольный момент.

2.7.2 Ориентация и выстраивание уровней.

3 Кинетика атомов в квазиклассическом приближении

3.1 Уравнение Фоккера-Планка.

3.2 Кинетические коэффициенты в приближении медленных атомов.

3.3 Симметрии силы светового давления.

3.3.1 Соотношения симметрии для усредненной по пространственному периоду силы. Одномерный случай.

3.3.2 Соотношения симметрии для коэффициента диффузии.

3.4 Световое давление на неподвижный атом.

3.4.1 Простейшие одномерные конфигурации поля.

3.4.2 Эллиптически поляризованные волны равной амплитуды.

3.5 Особенности кинетики атомов в поле эллиптически поляризованных волн

3.5.1 Кинетические коэффициенты в поле произвольной конфигурации

3.5.2 Конфигурации с пространственно однородной поляризацией.

3.5.3 Неоднородно поляризованные поля

4 Кинетические проявления когерентного пленения населенностей

4.1 Кинетика медленных атомов в темных состояниях. Общая теория.

4.1.1 Теория возмущений по поступательному движению.

4.2 Переход J —> J в сг+ — поле. Вращающаяся система координат.

4.3 Решение для неподвижных атомов. Рассеяние в режиме Рамана-Ната

4.4 Лазерное охлаждение за счет селективного по скорости КПН.

4.4.1 Переход 1 —> 1. Динамика охлаждения.

4.4.2 Переходы J —J (при J > 1). Асимптотическое распределение

4.5 Квантовая теория рассеяния импульсным полем.

4.5.1 Решение при свободном распространении

4.5.2 Случай широкого начального распределения по импульсам.

4.5.3 Асимптотическое поведение при N 1.

4.5.4 Рассеяние в общем случае.

4.5.5 Рамсеевское охлаждение атомов, предварительно охлажденных за счет селективного по скорости КПН

4.5.6 Зависимость контраста диаграммы рассеяния от параметра jSt

5 Недиссипативные оптические решетки

5.1 Темные недиссипативные потенциалы.

5.1.1 Темные магнитооптические потенциалы.

5.1.2 Темные геометрические потенциалы

5.1.3 Локализация атомов с моментами Jg = Je = 1 в поле lin — в — lin конфигурации

5.2 Квантованное движение атомов в темной МО решетке.

5.3 Лазерное охлаждение до основного колебательного состояния недиссипативной оптической решетки

5.3.1 Оптическая решетка.

5.3.2 Двухфотонные переходы.

5.3.3 Пространственно однородный энергетический сдвиг и оптическая накачка

5.3.4 Охлаждение

5.3.5 Когерентность между колебательными уровнями.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Кинетика атомов с вырожденным основным состоянием в резонансных поляризованных полях»

Изучение механического воздействия резонансного лазерного излучения на атомы является новой быстро развивающейся областью атомной и лазерной физики. Некоторое представление об актуальности и важности исследований в этом направлении может дать простое перечисление основных достижений:

• Созданы магнитооптические и оптические ловушки, в которых осуществлен захват и охлаждение нейтральных атомов. Параметры атомов при этом могут варьироваться в широких пределах: температура поступательного движения от ~ Ю-3^ до ~ 10~''К: число атомов от одного до ~ Ю10; время удержания вплоть до секунд; концентрация - до ~ 1012см-3. Ансамбли холодных атомов, приготовленные в магнитооптических ловушках, используются в спектроскопии, в квантовых стандартах частоты нового поколения (таких как атомный фонтан), в нелинейной и квантовой оптике, для конденсации Бозе-Эйнштейна (при последующем испарительном охлаждении в магнитной ловушке), при исследовании межатомных взаимодействий и пр. Можно сказать, что благодаря магнитооптической ловушке холодные атомы стали обычным объектом физических исследований.

• Разработаны методы лазерного охлаждения, основанные на селективном по скорости возбуждении атомов, позволяющие преодолеть фундаментальный предел, связанный с однофотонной энергией отдачи £r = (hk)2/2М (кинетическая энергия, приобретаемая неподвижным атомом при поглощении одного фотона). При столь низких температурах поступательного движения радиус пространственных корреляций (длина когерентности) в атомном ансамбле превышает длину волны света Л.

• Реализованы оптические дипольные ловушки различных типов, в которых холодные атомы удерживаются в оптическом потенциале в условиях близких к консервативным. Время жизни атомов в ловушке может достигать минут, что открывает новые возможности в различных фундаментальных приложениях, таких, например, как тест фундаментальных симметрий в атомных системах.

• Созданы периодические пространственные структуры холодных атомов - оптические решетки. Развиты эффективные методы лазерного охлаждения атомов в оптических решетках вплоть до основного колебательного состояния. Оптические решетки используются, в частности, для приготовления квантовых состояний поступательного движения и когерентного контроля над ними; как модельная система при изучении различных явлений физики конденсированных сред и нелинейной динамики.

• Большие успехи достигнуты в манипуляции когерентными атомными пучками. Современные лазерные методы позволяют коллимировать, фокусировать, отклонять, расщеплять, отражать и передавать по волноводу атомные волны. Таким образом, созданы основные элементы для атомной оптики и интерферометрии. Важным прикладным направлением исследований в этой области является атомная литография, связанная с возможностью размещения атомов на поверхности твердых тел с высоким разрешением (меньше длины волны света).

Значительный прогресс в области лазерного охлаждения и захвата нейтральных атомов отмечен нобелевской премией по физике за 1997 год (К. Коэн-Таннуджи, У. Филлипс, С.

Чу).

Разумеется, эти впечатляющие успехи были достигнуты благодаря совместным усилиям десятков лабораторий и сотен исследователей из различных стран. Соответственно, число публикаций по этой тематике составляет тысячи. Поэтому одной из задач настоящего Введения является определение того места, которое занимают работы автора в общем потоке. Для этого представляется уместной форма краткого исторического обзора. При этом цитирование (с неизбежностью неполное) будет указывать на наиболее принципиальные пионерские работы, обобщающие обзоры и монографии, а также статьи наиболее близко относящиеся к работам, представленным в данной диссертации.

Прежде всего, несколько слов о предмете диссертации. Кинетика атомов в световых полях понимается здесь преимущественно в узком смысле 1 как микроскопическая теория воздействия резонансного излучения на поступательные степени свободы атомов при достаточно больших временах взаимодействия. Время взаимодействия предполагается большим, по крайней мере, по сравнению с временем спонтанной релаксации атомных

1 Сравни с предисловием к книге [1]. уровней, когда относительно быстрые процессы упорядочения атомов по внутренним степеням свободы уже произошли и можно говорить об относительно медленной эволюции распределения по поступательным степеням свободы.

Пондеромоторное (силовое) действие света на атомы может быть понято на качественном уровне как следствие закона сохранения импульса при поглощении и излучении фотонов. В соответствии с различием в элементарных процессах силы резонансного светового давления 2 принято разделять на спонтанную и вынужденную [2, 3]. Так, спонтанная сила 3 обусловлена вынужденным поглощением фотона с импульсом Як и последующим спонтанным испусканием фотона Як'. Из-за равновероятности направлений вылета спонтанных фотонов к' атом в среднем приобретает импульс Як за один цикл. Теоретическое исследование силы спонтанного светового давления было начато Эйнштейном [5], который показал фундаментальное значение квантовых флуктуаций для установления термодинамического равновесия между излучением и газом атомов. Вынужденная сила, которую также иногда называют дипольной [4] или градиентной [2, 3], связана с когерентным перерассеянием фотона из одной моды ki в другую к2. Изменение атомного импульса при этом составляет Я(кх — к2). В известном смысле атом действует подобно микроскопической линзе, изменяя направление распространения света и испытывая силы отдачи. Этот резонансный микроскопический аналог электрострикционной силы был впервые рассмотрен Аскарьяном в [6], где также указывалось на дисперсионную (знакопеременную) зависимость силы от отстройки поля от резонанса.

Начало экспериментальным исследованиям резонансного светового давления на атомы положили опыты Фриша по отклонения пучка атомов натрия светом резонансной лампы

7]. Создание источников излучения с большой спектральной плотностью энергии, лазеров дало новый и решающий толчок развитию этой области. Первые же теоретические оценки

8] и эксперименты [9, 10, 11] по лазерному отклонению атомных пучков показали существенно большую (на два-три порядка) эффективность силового действия по сравнению с классическими источниками излучения. Перспективность использования вынужденной силы была продемонстрирована в экспериментах [12] по фокусировке атомного пучка.

Для 1970-х - 1980-х годов характерно осознание как теоретиками, так и эксперимента

2Отметим, что в монографии [2] полная сила, действующая на атом называется радиационной, а термин световое давление используется для ее усредненного по периоду пространственных осцилляций значения. Мы следуем терминологии монографии [3].

3В англоязычной литературе часто используется термин scattering force [4]. торами тех значительных возможностей, которые предоставляет использование лазерного излучения в воздействии на поступательные степени свободы атомов. К этому периоду относится целый ряд принципиально важных пионерских предложений. Так, Летохов в 1968 г. [13] высказал идею оптической ловушки - пространственной локализации атомов в минимумах потенциала вынужденной силы в стоячей световой волне. Первый вариант трехмерной оптической ловушки был предложен 10 лет спустя Эшкиным [14] (экспериментально реализован в 1986 г. [15]). Далеко идущие последствия имела идея использовать скоростную селективность резонансного взаимодействия атомов со светом для охлаждения атомной подсистемы [16, 17, 18]. Данная идея развила более ранние предложения [19, 20] и заключается в следующем: при отстройке излучения от резонанса в красную сторону благодаря эффекту Доплера движущиеся атомы оказываются ближе к резонансу (отстройка компенсируется доплеровским сдвигом) с встречной световой волной. Таким образом, атом "видит", в основном, встречную волну, при этом действие сил спонтанного светового давления приводит к уменьшению его скорости. Этот метод так называемого доплеровского охлаждения позволяет, в принципе, замедлять и монохроматизировать атомный пучок встречной световой волной [21], а также добиваться одно, двух или трехмерного охлаждения атомного ансамбля в поле, состоящим из встречных волн вдоль соответствующих направлений [46], либо в сферически изотропном поле [22]. Как отмечалось выше, изменение атомного импульса р за один цикл составляет величину порядка импульса фотона Ъ, к, при этом отношение lik/p ~ Ю-5 — 10~4. Очевидно, что для существенного изменения импульсного распределения атомов требуется рассеяние очень большого 104 — 105 числа квантов. В случае сил спонтанного светового давления скорость рассеяния фотонов ограничена скоростью радиационного затухания возбужденного состояния 7 ~ 107 — 108с~1. Следовательно, для охлаждения требуются значительные (в атомном масштабе) времена взаимодействия ~ 10~4 — Ю-2 с. По этой причине доплеровское лазерное охлаждение было впервые реализовано в экспериментах с ионами в электромагнитной ловушке, где легко было добиться требуемых времен взаимодействия [23, 24]. В случае нейтральных атомов дело, на первых порах, ограничилось замедлением и охлаждением атомных пучков [25, 26, 27, 28, 29, 30, 31]. При этом проблема выхода из резонанса замедляемых частиц эффективно решалась либо наложением неоднородного магнитного поля [27, 28], либо сканированием (чирпингом) частоты излучения [25, 30].

Ряд предложений по ускорению атомов светом и выпрямлению силы светового давления был сделан Казанцевым [32, 33, 34] и позже Казанцевым и Красновым [35, 36, 37, 38]. Он же вместе с соавторами впервые отметил существенно большую эффективность вынужденной силы по сравнению со спонтанной в поле сильной стоячей световой волны и предложил использовать эту конфигурацию для дифракции атомов на большие углы [39, 40] (резонансный аналог эффекта Капицы-Дирака). Другой принципиально важной пионерской идеей была интерференция атомов в пространственно разнесенных полях [43, 44, 45].

Теория поступательного движения атомов в лазерных полях развивалась первоначально в рамках простейшей модели атома, в которой внутренние степени свободы описываются двумя состояниями, соответствующими невырожденным энергетическим уровням [46, 47, 48, 4, 49, 51]. Использование этой модели представлялось достаточным для описания основных экспериментальных результатов (количество которых было весьма ограничено [31]). При этом считалось, что учет реальной структуры атомных уровней, вырожденных по проекции полного углового момента, приведет лишь к небольшим количественным поправкам к результатам модели невырожденных состояний. Основные теоретические достижения, полученные в рамках такого подхода, детально описаны в ряде обзоров [46, 52, 53, 54, 55] и двух монографиях [2, 3], где приведено также исчерпывающее цитирование оригинальных работ. Применительно к лазерному охлаждению основной результат, следующий из двухуровневой модели, заключается в существовании теоретического предела на минимальную температуру охлаждения, т. н. доплеровский предел квТв = Типичное значение То для атомов щелочных металлов - 10~3i^.

Начало следующего периода следует, по всей видимости, связать с предложениями по использованию новых конфигураций поля с пространственными градиентами поляризации для охлаждения и захвата атомов [56], а также по использованию комбинации светового и статического магнитного полей для преодоления так называемой оптической теоремы Ирншоу (Earnshow) [57]. Эта теорема утверждает, что сила спонтанного светового давления пропорциональна плотности потока энергии поля (вектору Умова-Пойнтинга) и, следовательно, не может иметь минимумов и максимумов, что, на первый взгляд, существенно ограничивает возможности использования этой силы для создания стабильной ловушки. Доказательство оптической теоремы Ирншоу существенным образом опирается на модель резонансного атома в виде двух невырожденных уровней, когда существует только один тип спонтанного светового давления, пропорциональный градиенту фазы поля. Таким образом, стабильная оптическая ловушка, использующая силы спонтанного светового давления, может быть реализована при наложении дополнительных (квази)статических полей, расщепляющих вырожденные атомные уровни [58]. Наиболее удачный вариант, получивший название магнитооптической ловушки (МОЛ), был предложен Причардом и др. [58] и Далибардом [59], и экспериментально реализован в 1987 году [60]. Принцип действия МОЛ основан на индуцированном магнитным полем циркулярном дихроизме атома [61]. При взаимодействии атомов с лазерным полем отстроенным от резонанса в красную сторону и состоящим из двух встречных волн, имеющих ортогональные циркулярные поляризации (<т+ — сг-поле) коэффициент поглощения будет больше для фотонов, спин которых антипараллелен локальному магнитному полю. Если на систему наложено квадрупольное магнитное поле, образованное, например, парой кольцевых токов противоположного направления, то в результате дисбаланса спонтанных световых давлений от встречных волн возникает возвращающая сила, т. е. формируется потенциальная яма. Трехмерный вариант МОЛ получается при использовании трех пар а+ — волн. Наряду с потенциальными в МОЛ присутствуют силы трения и, разумеется, флуктуации сил, т. е. диффузия. Сочетание значительной глубины ловушки К) и эффективного лазерного охлаждения сделали МОЛ основным источником холодных атомов в различных экспериментах [62, 63, 64, 66].

Здесь для нас особенно важно, что пример МОЛ наглядно иллюстрирует общую идею -учет поляризационного аспекта взаимодействия атомов со светом позволяет обнаруживать и использовать качественно новые физические эффекты. Эта идея является основным лейтмотивом современного развития кинетики атомов в лазерных полях. Именно в этом русле получены все результаты, представленные в данной диссертации.

В настоящей диссертации кинетика атомов в резонансных поляризованных полях рассматривается как один из разделов квантовой теории резонансного взаимодействия поляризованного света с вырожденными атомными системами. В рамках этой теории, сформулированной как отдельное научное направление в диссертации В. С. Смирнова [67] и получившей дальнейшее развитие в диссертации А. М. Тумайкина [68], взаимодействие атомов, энергетические уровни которых вырождены по проекции полного момента, с поляризованным излучением трактуется самосогласованным образом. Причем самосогласование проводится на существенно квантовом уровне, например, на уровне гейзенберговских операторов, описывающих поле и среду [69]. Применительно к теоретическому описанию механического действия поляризованного света на атомы возникает ряд задач фундаментального характера. Во-первых, это проблема формулировки основных уравнений теории, которые должны корректно учитывать всевозможные корреляции между внутренними и поступательными степенями свободы атома при рассеянии поляризованного света вследствие эффектов отдачи. Как было показано в [69, 67], эта задача может быть последовательно решена методом квантового самосогласованного описания. Одним из основных результатов [69], полученным в дипольном приближении для атомных токов, является вывод оператора радиационной релаксации, в котором учтены все эффекты отдачи в процессах спонтанного излучения. Первая работа автора [70] связана с обобщением этого результата на атомные переходы произвольной мультипольности, что, кроме теоретического, может представлять определенный интерес для экспериментов на дипольно запрещенных переходах.

Другой фундаментальной проблемой является нахождение стационарного распределения атомов по магнитным подуровням основного и возбужденного состояний под действием поляризованного излучения. Важность этой задачи для кинетики атомов обусловлена, в основном, следующим обстоятельством. В случае вырожденного основного состояния светоиндуцированная анизотропия атомов является долгоживущей (время релаксации ~ Ю-2 — 102с), что позволяет при увеличении времени взаимодействия накапливать информацию об очень слабых воздействиях различной природы. Далее, индуцированный и спонтанный эффекты отдачи при излучении и поглощении фотонов приводят к корреляции внутренних и поступательных степеней свободы атома. Вследствие этого анизотропное распределение атомов по подуровням основного состояния оказывает значительное влияние на кинетику газа. При квазиклассическом описании кинетики медленных атомов стационарное решение для атомной матрицы плотности, полученное без учета эффектов отдачи и поступательного движения, является отправной точкой для расчета сил и диффузии в пространстве импульсов. Следует сказать, что стационарные решения в частных случаях линейной и циркулярной поляризации поля были найдены к 1982 г. для всех замкнутых дипольных переходов Jg —> Je [71, 69, 72]. Однако, это не привело к обнаружению каких-либо качественно новых кинетических эффектов по сравнению с результатами невырожденной двухуровневой модели. Откуда было ясно, что рассмотрение линейной и циркулярной поляризации слишком ограничительно и что следует искать стационарное распределение для произвольной эллиптической поляризации. Одной из первых попыток продвинуться в этом направлении, для начала в случае небольших значений моментов Jg — Je — 1, была наша работа [73].

Дальнейшие события, связанные с экспериментальным наблюдением температур лазерного охлаждения значительно ниже теоретического доплеровского предела [74, 75, 76, 77, 78], показали правильность выбранного направления исследований. Преодоление доплеровского предела связано с использованием лазерных полей с градиентом поляризации 4, где ориентация и/или эксцентриситет эллипса поляризации меняется на расстояниях порядка длины волны света. В этом случае, возникает своеобразная корреляция процессов оптической ориентации основного состояния, поступательного движения и передачи импульса от поля атомам, являющаяся общей причиной возникновения новых кинетических эффектов.

Первоначально, лазерное охлаждение ниже доплеровского предела наблюдалось [74, 75, 77] в конфигурации оптического молассиса [81], где осуществлялся вязкий конфайнмент предварительно охлажденных (пучок либо МОЛ) атомов в области пересечения трех пар ортогонально поляризованных лучей. Позднее, было установлено, что эффекты субдо-плеровского охлаждения имеют место и в МОЛ при оптимизации ее параметров [82, 83]. Можно выделить два различных физических механизма субдоплеровского охлаждения в оптическом молассисе [85, 86]. Первый, получивший название сизифовского охлаждения, рассматривался еще в рамках двухуровневой модели в связи с задачей о силе трения в сильной стоячей волне [87, 88, 89] 5. Этот механизм связан с силами вынужденного светового давления, которые при малой интенсивности поля можно рассматривать как следствие пространственной неоднородности оптических сдвигов подуровней основного состояния (динамический эффект Штарка). Необходимым условием реализации сизифовского трения является различие в пространственных зависимостях оптических потенциалов, соответствующих различным адиабатическим (одетым) состояниям. В простейшем модельном случае, переход 1/2 —> 3/2 в поле с градиентом эллиптичности (lin L lm-конфигурация)

4Другой метод субдоплеровского охлаждения основан на использовании слабого магнитного поля [79, 80].

5 В двухуровневой модели этот механизм приводит к изменению знака силы трения при увеличении интенсивности поля, но не дает температур ниже То

85], адиабатические состояния совпадают с магнитными подуровнями, оптические сдвиги которых промодулированы с периодом А/2 и сдвинуты друг относительно друга на полпериода. Скорость оптической накачки с одного подуровня на другой, а вместе с ней и разность населенностей подуровней, также пространственно промодулированы. Для движущегося атома разность населенностей запаздывает по отношению к изменению потенциалов, что и приводит (при отстройке в красную стороны) к систематическому трению. Характерное время запаздывания обратно пропорционально скорости оптической ориентации основного состояния т ~ ('yS)-1, где S <С 1 - параметр насыщения перехода пропорциональный интенсивности поля. В результате, в зависимости силы от скорости возникает резкая структура вблизи v = 0 6, коэффициент трения не зависит от интенсивности, а температура пропорциональна глубине модуляции потенциалов. При уменьшении глубины возможно достижение Т ~ 10£г/кв, что для атомов щелочных металлов на два-три порядка меньше Тр. Сила спонтанного светового давления также приводит к субдопле-ровскому трению с тем же пределом для температуры в поле с градиентом ориентации (ег+ — сг-конфигурация) [85]. Пространственная модуляция оптических сдвигов в этом случае отсутствует и механизм трения связан с резкой селективной зависимостью от скорости анизотропного распределения атомов по магнитным подуровням.

В экспериментах с метастабильными атомами гелия наблюдалось охлаждение ниже фундаментального квантового предела Тг = £т/кв обусловленное селективным по скорости эффектом когерентного пленения населенностей (КПН) [91] на переходе 1 —> 1. Этот метод охлаждения не связан с действием сил трения и основан на специфической зависимости от скорости атома вероятности поглощения фотонов [76, 92]. Так, например, в ег| — ег-конфигурации атомы с v = 0 не взаимодействуют с полем и не испытывают отдачи. С увеличением v вероятность поглощения постепенно возрастает ос v2, при этом из-за эффектов отдачи скорость атома меняется случайным образом. Ясно, что такой процесс приводит к аккумуляции атомов в узкой окрестности v = 0. В рамках модели температура убывает неограниченно до нуля обратно пропорционально времени. Таким образом, реальные ограничения на температуру связаны с "посторонними" факторами: конечное время взаимодействия, флуктуации лазерных полей [93, 94, 95, 96], действие сил гравитации [97] и др. Впоследствии данный метод был существенно улучшен и обобщен на два и

6Причина резкости этой структуры в силе трения та же, что и для нелинейных резонансов с шириной меньше естественной - большое время жизни основного уровня [90]. три [98, 99, 100, 101] измерения, применен к атомам рубидия [102]. Идеологически близок к селективному КПН метод охлаждения ниже отдачи за счет действия специальной последовательности импульсов, вызывающих двухфотонные переходы между сверхтонкими компонентами основного уровня (т.н. рамановское охлаждение) [103, 104, 105].

Теоретические работы автора внесли вклад в оба упомянутых выше направления: i) Основы теории субдоплеровского охлаждения были заложены работой Далибарда и Коэн-Таннуджи [85], в которой в рамках квазиклассического приближения рассматривались простейшие конфигурации поля (lin L lin и <т+ — и простейшие атомные переходы из класса J —> J + 1 (1/2 —► 3/2 и 1 2, соответственно). Сизи-фовский механизм охлаждения реализуется также на переходах из класса J —> J (J - полуцелое), что было продемонстрировано в работах [106, 107] на примере 1/2 —> 1/2 перехода. Несмотря на большое количество теоретических работ посвященных данному типу лазерного охлаждения аналитические расчеты коэффициентов трения и диффузии были и остаются ограниченными, как по величине углового момента, так и по конфигурации поля 7. Расчеты связанные с реальными экспериментами, в которых обычно используются переходы с большими значениями момента, например, 23iVa, 87Rb - J = 2; 85Rb - J — 3; 133Cs - J = 4, и достаточно сложные трехмерные конфигурации, проводились различными численными методами [109, 110, 111, 112, 113, 114, 115]. Такая ситуация объясняется, отчасти, тем, что до наших работ [116, 117, 118] не были известны аналитические выражения для стационарной матрицы плотности атомов в поле с произвольной эллиптической поляризацией даже без учета поступательного движения и эффектов отдачи. Эта задача, образующая нулевое приближение при квазиклассическом рассмотрении кинетики медленных атомов, была полностью решена нами, как для J —>■ J (J - полуцелое) [116], так и для J —> J + 1 [117, 118, 119, 120] переходов. Уже из самого вида решения следовало существование поляризационных особенностей кинетики, не рассмотренных ранее. Так, даже в простейшем случае однородно поляризованной стоячей волны и атомного перехода 1/2 —> 1/2 были обнаружены дополнительные (по сравнению с двухуровневой моделью) вклады в трение и диффузию, обусловленные эллиптичностью поля [121]. В области малых насыщений дополнительный вклад в

7В работах [106, 108] исследовалась зависимость параметров охлаждения от угла между линейными поляризациями встречных волн в Нп — в — /т-конфигурации. силу трения можно интерпретировать как следствие эффекта Сизифа. При определенных значениях параметров поля дополнительные вклады становятся доминирующими, приводя к отличиям в скорости (вплоть до нескольких порядков) и даже в направлении (охлаждение или нагрев) кинетического процесса по отношению к предсказаниям двухуровневой модели. Еще более неожиданные особенности были обнаружены нами при рассмотрении кинетики в неоднородно поляризованном поле общего вида [122]. В одномерном случае такая конфигурация формируется встречными волнами с эллиптическими поляризациями. Наиболее интересные следствия возникают в е — в -е-конфигурации, где встречные волны одинаковой амплитуды имеют противоположно закрученные эллипсы поляризации, главные полуоси которых образуют угол в. Для этой конфигурации симметрии по отношению к обращению времени и пространственной инверсии не запрещают, в принципе, четную зависимость силы трения от отстройки. Конкретный механизм реализации такой зависимости в случае сил спонтанного светового давления связан с своеобразным аналогом эффекта Сизифа. Своеобразие, при этом, заключается в существенной роли пространственной неоднородности времени запаздывания. Вычисленная в [122] новая сила трения не исчезает при нулевой отстройке и не зависит от интенсивности, что может оказаться существенным при постановке экспериментов по субдоплеровскому охлаждению. ii) Первоначально предложенная теоретическая модель селективного по скорости КПН [92] основывалась на концепции р-семейств атомных состояний и была существенно одномерной. Возможности обобщения этого метода на большее число измерений и на атомный переходы отличные от 1 —1 были неясны. В это же время Смирновым, Тумайкиным и Юдиным [123] были найдены стационарные состояния атомов для двух классов переходов J —> J (J - целое) и J —> J — 1, описывающие КПН в поле произвольной эллиптичности. В современной терминологии эти состояния принято называть эллиптическими темными [124]. Наши работы [125, 126, 127] связаны с вопросом о существовании темных эллиптических состояний в неоднородно поляризованном поле при точном квантовомеханическом учете поступательного движения атомов. Постановка этой задачи в координатном представлении позволила обобщить для ряда переходов фундаментальный результат [123] на атом, движущийся в поле с пространственно неоднородной поляризацией. Во-первых, для переходов 1 —> 1 и

1 —> 0 точные темные эллиптические состояния существуют в лазерном поле произвольной конфигурации и соответствуют возможности одно-, двух- либо трехмерного (в зависимости от конфигурации) охлаждения ниже Тг. К таким же результатам пришли независимо Олыпаный и Миногин [128] 8. Во-вторых, для переходов 2 —> 1 и 3/2 —> 1/2 точные КПН-состояния были найдены нами для ограниченного класса конфигураций поля, который, однако, допускает охлаждение ниже Тг в любом числе измерений 9. Кроме того, на примере перехода 1 —> 1 был предсказан новый эффект - локализация атомов за счет КПН в неоднородном поле. В этом случае плотность атомов в темном состоянии пропорциональна локальной плотности энергии поля, т. е. атомы накапливаясь вследствие процессов оптической накачки в темном состоянии перестают взаимодействовать с полем, но запоминают его пространственную конфигурацию.

Для переходов с большими значениями моментов точные КПН-состояния в неоднородно поляризованном поле отсутствуют, что, однако, не исключает возможности охлаждения. Этот вопрос был рассмотрен нами в [133] с динамической точки зрения. В случае переходов J —» J (J - целое) было показано, что для медленных атомов квантовое кинетическое уравнение для матрицы плотности редуцируется (на кинетическом этапе эволюции) к уравнению на одну функцию. При этом спонтанный и индуцированный эффекты отдачи могут быть учтены точно, что существенно отличает данный метод от стандартной схемы редукции к уравнению на функцию распределения в квазиклассическом приближении [49, 2]. Динамика начального этапа охлаждения, когда применимо квазиклассическое разложение по импульсу фотона, исследовалась на примере перехода 1 —> 1. Впервые было показано, что уравнения типа Фоккера-Планка, не содержащее потоковых членов (силы трения), описывает процесс охлаждения при специфической зависимости коэффициента диффузии от скорости. Было найдено, что температура убывает со временем экспоненциально. Позднее, квазиклассическое описание охлаждения за счет селективного КПН на основе уравнений типа Фоккера-Планка развивалось Матисовым и др. применительно к трехуровневым системам [134, 135, 136]. Кроме того, в [133] была высказано пред

8Некоторые вопросы динамики двухмерного охлаждения на этих переходах в поле специальной конфигурации теоретически рассматривались Аримондо и др. [129, 130, 131].

9В одномерном случае динамика охлаждения на этих переходах рассматривалась в [132]. положение, о том что распределение атомов по импульсам в возбужденном состоянии в процессе охлаждения остается " горячим", а сверхузкие структуры образуются только для атомов, находящихся в основном состоянии. Эта идея в существенно измененном и уточненном виде, получила дальнейшее развитие в работах Яковлева и др. [137, 138]. При J > 1, когда отсутствуют точные темные эллиптические состояния, охлаждение происходит до конечной температуры порядка Тг. Для этого случая, в [133] найдено асимптотическое (по времени) распределение атомов по импульсам, которое, как выяснилось, имеет лоренцевскую форму с характерной шириной Ар hk^J(J 2)(J — 1)/8. Этот результат согласуется с более поздними исследованиями Аримондо и др. [139, 140, 141].

Другим важным результатом нашей работы [133] было точное (по отдаче) решение задачи об изменении импульсного распределения атомов при перекачке в темное состояние импульсом лазерного поля. Длительность импульса предполагалась достаточно малой, чтобы выполнялись условия применимости приближения Рамана-Ната при рассеянии атомов. Это решение послужило основой детального теоретического описания рам-сеевского охлаждения под действием последовательности импульсов [142, 143], развитого нами в [144, 145, 146]. Эффект заключается в том, что при чередовании импульсов неоднородно поляризованного поля с периодами свободного движения условия КПН выполняются только для дискретных значений импульса атома. В результате, распределение по скоростям приобретает гребнеобразную структуру с шириной пиков много меньше импульса фотона. Аналитические результаты [144, 145, 146] позволили обнаружить ряд деталей, на которые не указывалось ранее [142, 143] (формирование наряду с основными дополнительных пиков, уширение огибающей пиков), и исследовать асимптотическое поведение под действием большого числа импульсов N 1. Асимптотики для ширины ос iV~1/2 и площади пиков ос 7V"1/4 аналогичны, в определенном смысле (если N рассматривать как время взаимодействия), известным зависимостям для селективного по скорости КПН [147, 148, 149, 137, 138]. Кроме того, были рассмотрены дифракционные и интерференционные особенности рассеяния, возникающие в ультраквантовой области, когда ширина начального распределения по импульсам составляет десятые доли импульса фотона. Полученные здесь результаты могут, в частности, представлять интерес для экспериментов с бозе-конденсатами, подобных [150].

При оптимальном выборе параметров субдоплеровского охлаждения в полях с градиентом поляризации минимальная температура ~ 10£г [151] оказывается значительно ниже глубины потенциальных ям ~ 100£г, что приводит к локализации атомов в минимумах оптического потенциала, квантованию поступательного движения и формированию периодических пространственных структур - оптических решеток атомов [109]. Эти эффекты - переходы между колебательными уровнями, сужение ширины соответствующих спектральных линий за счет локализации и возникновение дальнего порядка, были наблюдены в 1992 г. спектроскопическими методами [152, 153]. Такие решетки реализуются на переходах из класса J —> J + 1 и называются яркими. Другой тип решеток, темные (или серые) магнитооптические решетки реализуется на переходах J —> J (J - целое) и J —> J — 1 при наложении слабого магнитного поля. Идея этих решеток, пространственная локализация атомов в точках где темное состояние не разрушается магнитным полем, была высказана еще в 1990 г. Тумайкиным и Юдиным [154]. Теоретическое рассмотрение эффектов локализации и охлаждения в темных решетках было впервые проведено в [155]. Первое экспериментальное наблюдение квантования поступательного движения в решетках этого типа принадлежит группе Хэнша [156]. В последующие годы как ярким, так и темным решеткам было посвящено большое количество экспериментальных и теоретических работ. Общим для таких, диссипативных решеток является то, что наряду с формированием периодического потенциала присутствуют диссипативные силы (трение) и сопутствующие им флуктуации сил (диффузия). Результатом охлаждения является эффективное заселение нижних колебательных зон решетки [157, 158, 159, 160], что может быть использовано в различных приложениях. Следует подчеркнуть принципиальное отличие оптических решеток от оптического молассиса, где из-за флуктуаций (в акустическом диапазоне) фаз интерферирующих волн форма оптического потенциала изменяется во времени и, следовательно, отсутствуют локализация, квантование движения и дальний порядок. В оптических решетках число интерферируюших бегущих волн всего на единицу превышает размерность решетки и флуктуации приводят только лишь к медленному смещению потенциала как целого, которое атомы адиабатически отслеживают [161, 162]. Другой метод создания решетки заключается в контроле временных фаз [156, 163].

Принципиально другой класс решеток представляют собой недиссипативные решетки, в которых спонтанное рассеяние фотонов подавлено до пренебрежимо малых величин. Холодные атомы в таких решетках находятся в условиях близких к консервативным. Это обстоятельство, по аналогии с ионами в ловушке, может быть использовано в спетроско-пических приложениях, в приготовлении квантовых состояний поступательного движения [164, 165] и др. Кроме того, с недиссипативными потенциалами связывают надежды достижения бозе-конденсации оптическими методами [166, 105, 167, 168, 169]. Существуют два способа формирования недиссипативных потенциалов. Первый заключается в использовании далеко отстроенных от резонанса световых полей большой интенсивности [170, 105, 167, 168, 171, 172, 173]. Этим способом можно получить значительную глубину потенциала 103£r при весьма низкой скорости спонтанного рассеяния ~ 1 с-1. Другой способ связан с тем, что для темных магнитооптических решеток (где используется излучение настроенное в резонанс с переходом) также существует недиссипативный режим, который достигается при увеличении интенсивности лазерного поля. Этот режим впервые рассматривался в нашей работе [174], где также исследовались эффекты локализации, квантования движения и влияние интенсивности поля на ширину колебательных спектральных линий.

Для атомов в темных состояниях оптические сдвиги (динамический эффект Штарка) обращаются в нуль. Тем не менее, как впервые указывалось в нашей работе [133], потенциалы (скалярный и вектор-потенциал) возникают вследствие поступательного движения атомов в поле с неоднородной поляризацией. Позже, эти потенциалы рассматривались другими авторами [175, 176] и получили название калибровочных [175] или геометрических [176] потенциалов. Действительно, их энергетический масштаб не связан с электродинамическими характеристиками атома и напряженностью поля, а определяется энергией отдачи, т. е. длиной волны света. Результаты работы [177], в которой исследовалась зависимость динамики туннелирования между соседними ямами темной оптической решетки от глубины потенциала, дали экспериментальное доказательство присутствия независящих от интенсивности геометрических потенциалов.

Другой тип потенциалов, уже упомянутый выше, формируется в темных решетках при наложении внешних статических (магнитного или электрического) полей. В неоднородно поляризованном поле, мультипольные (магнитный, квадрупольный и т. д.) моменты атома, находящегося в темном состоянии, пространственно промодулированы. В результате, энергия взаимодействия со статическим полем также приобретает зависимость от координат, что и приводит к формированию потенциала. Найденный в нашей недавней работе [178] инвариантный вид эллиптических темных состояний позволил получить как геометрические , так и магнитооптические потенциалы в явном виде для всех КПН-переходов при произвольной конфигурации лазерного поля [179].

В недиссипативных решетках, как таковых, отсутствуют механизмы лазерного охлаждения. Однако, холодные атомы могут быть загружены в эти решетки из диссипатив-ных решеток с сохранением населенности колебательных зон посредством адиабатического процесса [171]. Бозе-конденсаты из магнитных ловушек также можно загружать в недиссипативные потенциалы [180, 181, 182, 183, 184, 185]. Дальнейшее охлаждение атомов в недиссипативном потенциале возможно при наложении дополнительных (резонансных и (квази)статических) полей (см., например, [186]). Один из методов (т. н. sideband cooling) [187, 188, 189], являющийся аналогом методов лазерного охлаждения, успешно реализованных в ионных ловушках [190, 191], связан с локализацией атомов на размерах много меньше длины волны света и спектральным разрешением боковых колебательных полос. Основное отличие от ионов заключается в том, что для нейтральных атомов более трудно обеспечить требуемые условия на размер локализации и энергетическое расстояние между колебательными уровнями. Это приводит к необходимости использовать для охлаждения двухфотонные переходы между сверхтонкими или зеемановскими компонентами. Наибольшая эффективность охлаждения (до основного колебательного состояния) была достигнута в экспериментах Хаммана, Джессена и др. [189] 10, где использовались двухфотонные переходы в монохроматическом поле между зеемановскими подуровнями, сдвинутыми друг относительно друга на величину колебательного кванта энергии слабым магнитным полем. Позднее, нами был предложен новый вариант этого метода [192], в котором вместо магнитного поля используется слабое поле накачки и атомы накапливаются на подуровне с нулевой проекцией момента, что может представлять определенные преимущества по сравнению с оригинальной схемой в приложении к квантовым стандартам частоты (атомный фонтан, атомные часы в отсутствии гравитации). На основе теоретического рассмотрения в [192] дана оценка оптимальных параметров полей и показано, что около 95 % атомов (от загруженных в четыре нижние энергетические зоны) могут быть аккумулированы в основном колебательном состоянии двухмерной решетки в

10Возможна также селекция атомов в основном колебательном состоянии [172]. При этом, однако, теряется большая часть атомов, находившихся в возбужденных зонах. течении миллисекунд.

В последнее время большое внимание привлекают возможные проявления эффектов, обусловленных квантовой статистикой частиц, в оптических решетках. Сюда относятся исследования как по достижению бозе-конденсации оптическими методами, так и по поведению вырожденных квантовых газов (бозе или ферми), загруженных в решетку из магнитной ловушки. Наши работы в этом направлении выполнены в приближении идеального газа (т. е. столкновения учитываются неявно, как причина установления равновесия) и указывают на ряд принципиальных эффектов. Так, в [193] показано, что в глубоких недиссипативных решетках возможно формирование структур пониженной размерности (плоскости, линии, точки), в которых квантовый вырожденный режим осуществляется при температуре и концентрации типичной для лазерного охлаждения, т. е. не требуется дополнительное испарительное охлаждение, приводящее к потере основной части атомов. В другой нашей работе [194] на примере темной магнитооптической решетки рассмотрен метод термо-адиабатического охлаждения при медленном отключении магнитного поля. Показано, что пространственное упорядочение, имеющее место в решетке, может передаваться в порядок распределения атомов по скоростям в конечном квазисвободном состоянии. Проведено сравнение этого метода с известным методом адиабатического (в механическом смысле) охлаждения [195, 158, 196] и установлена большая эффективность термо-адиабатического метода при большой концентрации атомов (более одного атома на узел).

Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, приложений и списка литературы.

Заключение диссертации по теме «Оптика», Тайченачев, Алексей Владимирович

Заключение

Перечислим по главам основные результаты и выводы, полученные в диссертации.

Результаты первой главы:

1. Метод квантового самосогласованного описания сформулирован в общем виде, применимом, в принципе, к любым двум взаимодействующим квантовым подсистемам, что, с одной стороны, позволяет соотнести его с другими подходами к описанию релаксационных процессов, а, с другой, такая формулировка является достаточно гибкой и ее применимость не ограничивается используемым в диссертации одночастич-ным приближением. Исследована структура радиационных поправок в квантовом кинетическом уравнении для матрицы плотности атомов в борновском приближении, которое соответствует учету однофотонных процессов в спонтанном излучении.

2. В одночастичном приближении получен общий вид оператора радиационной релаксации атома с учетом всех эффектов отдачи в спонтанном излучении. Проведено разложение оператора релаксации по электронным и атомным мультипольным моментам. Установлено, что вследствие эффекта отдачи оператор радиационной релаксации содержит поправки, обусловленные интерференцией амплитуд переходов различной мультипольности как одинаковой, так и противположной четности, если последние одновременно разрешены правилами отбора. Исследовано влияние эффекта отдачи при испускании спонтанных фотонов на процесс радиационного переноса мульти-польных моментов атома с возбужденного уровня на основной. Показано, что спонтанный эффект отдачи приводит к перемешиванию атомных мультипольных моментов различного ранга при их радиационном переносе; четность перемешивающихся мультипольных моментов может быть как одинаковой (в принебрежении интерференционными поправками), так и противоположной (при интерференции амплитуд переходов противоположной четности).

3. Рассмотрены качественно новые кинетические эффекты, обусловленные перемешиванием мультипольных моментов противоположной четности, в случае штарковского смешивания близколежащих возбужденных состояний атома противоположной четности. Из анализа тензорной структуры интерференционных поправок установлена возможность ориентации основного уровня при распаде изотропного распределения по подуровням возбужденного состояния, что является следствием частичной циркулярной поляризации спонтанного излучения в заданном направлении и эффекта отдачи; при наличии ориентации возбужденного уровня спонтанное излучение становится направленным, что приводит к возникновению "вакуумной" силы светового давления. Даны количественные оценки порядков величины ожидаемых эффектов. Сформулированы требования к коэффициенту смешивания и константам затухания уровней, при выполнении которых обсуждаемые эффекты становятся доступными экспериментальному обнаружению.

Результаты второй главы:

1. Для стационарного решения обобщенных оптических уравнений Блоха сформулированы соотношения симметрии, связанные с пространственной и временной инверсиями, которые ограничивают вид возможной зависимости атомной матрицы плотности от скорости атома и параметров резонансного внешнего поля.

2. Для всех замкнутых дипольно разрешенных переходов Jg —> Je точное стационарное решение оптических уравнений Блоха для матрицы плотности неподвижных атомов представлено в виде разложений по сферическим функциям комплексных углов, которые однозначно определяются вектором поляризации поля. Эта форма является удобной при получении стационарных мультипольных моментов атома. В работе приведены результаты для моментов рангов К = 0,1,2, наиболее часто используемых в различных приложениях.

3. Для оптических переходов Jg = 1 —» Je — 0, Jg — 1 —> Je = 1, Jg = 3/2 —» Je = 1/2 и Jg = 2 —Je = 1 найдены точные темные состояния, которые являются стационарным решением задачи о взаимодействии атома с резонансным неоднородно поляризованным излучением с учетом всех (индуцированного и спонтанного) эффектов отдачи и поступательного движения атома. Показано, что распределение по поступательным степеням свободы в этих состояниях соответствует охлаждению ниже однофотонной энергии отдачи и локализации на размерах порядка длины волны света.

4. Из рассмотрения первых поправок к стационарному решению для неподвижных атомов, возникающих при наложении на систему магнитного поля, либо обусловленных движением в поле с градиентами поляризации, установлены количественные (по порядку величины) границы применимости стационарного решения. В общем случае решение применимо для медленных атомов и слабого магнитного поля. Показано, что ограничения на величину магнитного поля и, в некоторых случаях, на скорость атомов могут быть существенно ослаблены в сильном лазерном поле.

Результаты третьей главы:

1. Сформулированы соотношения симметрии для силы светового давления в монохроматическом поле. Показано, что из всевозможных одномерных конфигурации, образованных двумя встречными бегущими волнами выделяются четыре класса симметричных конфигураций, для которых общее соотношение симметрии для усредненной по пространственному периоду силы расщепляется на два, или даже три соотношения. Для двух классов это расщепление является стандартным, что приводит к известному запрету на выпрямление дипольной силы в монохроматическом поле и к определенной (нечетной) зависимости коэффициента трения от отстройки. Для двух других классов е — в — еже — 9 — е, образованных эллиптически поляризованными волнами равной амплитуды, общее соотношение симметрии расщепляется нестандартным образом. В результате, в одном случае (е — в — е) снимается запрет на выпрямление, а в другом (е — в — е) - на четную зависимость трения от отстройки.

2. На основе полученных во второй главе формул для стационарного среднего диполь-ного момента перехода Jg —» Je найдены явные аналитических выражений для спонтанной и вынужденной силы резонансного светового давления, действующей на неподвижный атом в резонансном монохроматическом поле произвольной конфигурации и интенсивности. Детально (от простого к сложному) исследована зависимость силы от параметров волн и пространственной координаты для одномерных полевых конфигураций. В ряде случаев обнаружено качественно различное поведение силы в зависимости от типа оптического перехода. Установлено, что с ростом углового момента основного уровня Jg эти различия становятся более яркими.

3. В поле е — в — е конфигурации обнаружен эффект выпрямления вынужденной составляющей силы светового давления (дипольной силы) на неподвижный атом в монохроматическом поле в отсутствии зеемановского расщепления магнитных подуровней. Идентифицирован механизм выпрямления - пространственно неоднородная оптическая ориентация подуровней основного состояния. Для ряда переходов определены оптимальные параметры поля и максимальный коэффициент выпрямления.

4. Систематически исследованы особенности кинетики медленных атомов в одномерном поле общего вида, обусловленные эллиптичностью волн, образующих поле. В качестве простейшей атомной системы с вырожденным основным состоянием рассматривался переход Jg = 1/2 —» Je = 1/2. Показано, что даже в случае пространственно однородной поляризации кинетика атомов качественным образом отличается от предсказаний модели невырожденных состояний: а) В резонансной эллиптически поляризованной бегущей волне малой интенсивности коэффициент вынужденной диффузии значительно превышает уровень, соответствующий пуассоновской статистике рассеянных фотонов из-за корреляций последовательных событий рассеяния сг± циркулярно поляризованных квантов. б) В стоячей эллиптически поляризованной волне вследствие различия амплитуд оптических сдвигов основного состояния и эффекта запаздывания для движущегося атома реализуется сизифовский механизм диссипации атомного импульса. В результате, при определенных условиях коэффициенты трения и диффузии на несколько порядков превышают оценки модели невырожденных состояний. Более того, существует область параметров поля, где даже направление кинетического процесса (охлаждение/нагрев) противоположно предсказаниям невырожденной двухуровневой модели. в) В эллиптически поляризованном поле смешанного типа, где одновременно присутствуют пространственные градиенты фазы и амплитуды поля, в первом порядке по параметру насыщения (ос интенсивности поля) возникает аномальный (четный по отстройке) вклад в силу трения. Механизм трения в этом случае также сизифовский, однако, потенциалы формируются силой спонтанного светового давления. В среднем по пространственному периоду этот вклад обращается в нуль, если поле формируется бегущими волнами.

В случае неоднородно поляризованного поля е — в — е конфигурации показано, что аномальный вклад в трение возникает уже в нулевом порядке по параметру насыщения и не исчезает при усреднении по пространству, т.е. возможно субдоплеров-ское охлаждение при нулевой отстройке от резонанса. Выявлена специфика эффекта Сизифа в рассматриваемом случае, связанная с пространственной неоднородностью эффекта запаздывания. Показано, что при любой отстройке поля от резонанса в пространстве параметров эллиптичность-угол существуют области с противоположным направлением кинетического процесса. Для областей охлаждения изучены зависимости стационарной температуры и скорости ее установления от параметров поля.

5. Основной вывод, который можно сделать из результатов третьей главы: эллиптичность и ориентация векторов поляризации волн, формирующих полевую конфигурацию, являются дополнительными управляющими параметрами, варьирование которых меняет консервативные и диссипативные силы, действующие на атом существенным образом. Это позволяет поставить вопрос об оптимизации лазерного охлаждения и захвата в резонансных оптических и магнитооптических ловушках и решетках по этим параметрам.

Результаты четвертой главы:

1. В рамках теории возмущений по поступательному движению исследованы специфические особенности кинетики медленных атомов в условиях когерентного пленения населенностей в неоднородно поляризованном поле. Общая теория развита для случая монохроматического поля произвольной конфигурации и атомных переходов типа Jg = J^Je = J(yJ- целое), для которых темное состояние единственно. При этом как спонтанный, так и индуцированный эффекты отдачи учитывались точным образом. В пределах применимости теории возмущений оказалось возможным ввести иерархию времен эволюции атомной подсистемы. Кратко три этапа этой иерархии можно описать следующим образом: (а) неподвижные атомы перекачиваются в темное не взаимодействующее с полем состояние; (б) внутреннее состояние атома является темным, а его ЦМ движется в эффективном потенциале, при этом взаимодействие атомов и поля носит когерентный характер; (в) за счет медленных неадиабатических переходов из темного состояния в связанные с полем состояния и последующего рассеяния фотонов происходит затухание когерентных осцилляций и упорядочение по импульсам, т.е. охлаждение за счет селективного возбуждения и диффузии.

2. В качестве приложения общей теория был рассмотрен конкретный случай взаимодействия атомов с полем <т+ — сг конфигурации: а) Точно по отдаче решена задача о рассеянии атомов а+ — ег полем в режиме Рамана-Ната (неподвижные атомы). Выделены дифракционная и диффузионная компоненты рассеяния. Показано, что независимо от времени взаимодействия порядок дифракции ограничен величиной углового момента J. Исследована зависимость контраста диаграммы рассеяния от начального (до взаимодействия) разброса атомов по импульсам и установлено, что при начальной дисперсии порядка импульса фотона разрешение дифракционных максимумов практически невозможно. б) На основе редукции исходной системы квантовых кинетических уравнений для элементов атомной матрицы плотности к замкнутому уравнению на функцию распределения в локальном базисе, в котором эффекты отдачи учитываются точно, а движение атомов - во втором порядке теории возмущений, исследуется динамика охлаждения атомов за счет селективного по скорости когерентного пленения населенностей. Для перехода Jg = 1 —> Je = 1 получено аналитическое решение задачи, позволившее с равным успехом рассмотреть малые, промежуточные и большие времена взаимодействия. Показано, что при увеличении времени взаимодействия имеет место переход от экспоненциально быстрого уменьшения ширины распределения атомов по импульсам, характерного для начального этапа, к известному степенному закону Ар ос 1Г1/2. Для переходов Jg = J —> Je = J при J > 1 найдено асимптотическое (по времени взаимодействия) распределение атомов по поступательным степеням свободы. Из величины предельного радиуса корреляций в координатном представлении найдено, что стационарная температура имеет порядок однофотонной энергии отдачи: квТоо = £r ■ Во всех случаях аналитические результаты подтверждаются сравнением с численным решением тех же уравнений и результатами (как численными, так и аналитическими) других авторов.

Полученные результаты позволили прийти к заключению: для всех оптических переходов из класса Jg = J^Je = J(J- целое) возможно лазерное охлаждение за счет слективного по скорости когерентного пленения населенностей в поле с градиентами поляризации до температур порядка фундаментального квантового предела, связанного с однофотонной энергией отдачи, которое представляется важным, хотя бы потому, что до сих пор охлаждение этого типа было реализовано только на переходе Jg = 1 —> Je = 1 (4 Не и 87Kb). в) Построена квантовая теория резонансного рассеяния атомов с моментами Jg = J —> Je = J (J - целое) импульсным cr+ — сг полем. При этом предполагалось, что смещением атомов вдоль градиентов поля за время действия импульса можно пренебречь и использовалось решение задачи о рассеянии в режиме Рамана-Ната под действием одного импульса. В аналитическом виде были найдены рекуррентные формулы, позволяющие вычислять распределение после действия произвольной последовательности импульсов. Показано, что при дискретных (резонансных) значениях временного интервала между импульсами действие N импульсов поля приводит к эффективному образованию и сужению пиков в дискретных точках импульсного пространства, а также к уширению огибающей этих пиков. В случае широкого начального импульсного распределения получены явные формулы для пиков и огибающей и исследовано их асимптотическое поведение при N 1. Показано, что при ширине начального распределения меньше импульса фотона в огибающей пиков будут проявляться дифракционные особенности характерные для рассеяния одним импульсом поля. Кроме того, в пределе слабого поля численно исследована зависимость контраста диаграммы рассеяния от времени действия импульса. Полученные результаты сравнивались с данными численных симуляций (By, Аримондо и Фут, 1996 г.) и с экспериментом (Сандер и др., 1997 г.), при этом было обнаружено неплохое качественное согласие.

Результаты пятой главы:

1. Показано, что при достаточно большой интенсивности лазерного поля для темных оптических и магнитооптических решеток, образующихся при резонансном взаимодействии атомов с моментами Jg = J —» Je = J (J - целое) hJj = J^Jc = J- 1 с неоднородно поляризованным полем, реализуется недиссипативный режим, когда скорость некогерентного рассеяния света подавлена до пренебрежимо малой величины и ЦМ атомов совершает консервативное движение в гометрических, либо магнитооптическом потенциалах.

2. Для обоих классов КПН-переходов, с использованием полученной во второй главе стационарной ориентации основного состояния, найдены явные аналитические выражения для темных магнитооптических потенциалов, возникающих при наложении слабого произвольно ориентированного магнитного поля.

3. В случае переходов J-^J( J целое) также на основе результатов второй главы получены формулы для темных геометрических (калибровочных) потенциалов (скалярного и вектор-потенциала), возникающих из-за пространственной неоднородности темных состояний в поле с градиентами поляризации.

4. Детально рассмотрено квантованное движение атомов с моментами Jg = 1 —> Je = 1 в темной магнитооптической решетке, образованной однородным магнитным полем и встречными лазерными лучами с ортогональными линейными поляризациями. Показано, что в достаточно сильном лазерном поле возникает временной интервал, в течении которого некогерентными процессами можно полностью пренебречь. Внутри этого интервала атомы описываются уравнением Шрёдингера с эффективным потенциалом, глубина которого определяется величиной зеемановского расщепления основного состояния, а период - длиной волны света. Предсказана локализация на размерах много меньше длины волны света при температуре атомов порядка Ю-5 К. Обнаружено, что, кроме хорошо известного сужения колебательных спектральных линий за счет счет локализации на размерах много меньше длины волны света, здесь имеет место дополнительное сужение, обусловленное когерентным пленением насе-ленностей в сильном поле.

5. Предложен новый метод лазерного охлаждения атомов до основного колебательного состояния недиссипативной оптической решетки с одновременным приготовлением атомов в состоянии с магнитным квантовым числом т = 0. В этой схеме двумерный оптический потенциал для атомов создается тремя далеко отстроенными от резонанса 1000 натуральных ширин) лазерными лучами, лежащими в плоскости охлаждения. Охлаждение достигается за счет двухфотонных переходов между колебательными подуровнями соседних зеемановских состояний (Am = ±1) с последующей оптической накачкой. Основное отличие от ранее известных схем заключается в использовании поля накачки также и для энергетического расщепления основного состояния таким образом, что двухфотонные переходы оказываются настроенными в резонанс с красной колебательной боковой полосой (Агг = —1). В рамках простых теоретических моделей (двойная Л-система, замкнутый F —> F переход плюс изотропный гармонический осциллятор) проведены оценки эффективности и скорости процесса охлаждения. При этом обнаружено, что когерентность между вырожденными колебательными уровнями является важным фактором, который, при определенных условиях, может приводить к существенному изменению эффективности и скорости охлаждения за счет когерентного пленения населенностей. Предложенный метод поперечного охлаждения может быть полезен для квантовых стандартов частоты, в атомной оптике при создании ярких хорошо коллимированных источников атомов, а также при генерации квантовых состояний движения ЦМ атома в оптическом потенциале.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Тайченачев, Алексей Владимирович, 2001 год

1. Е. М. Лифшиц, Л. П. Питаевский, Физическая кинетика, Наука, Москва (1979).

2. В. Г. Миногин, В. С. Летохов, Давление лазерного излучения на атомы, Наука, Москва (1986).

3. А. П. Казанцев, Г. И. Сурдутович, В. П. Яковлев, Механическое действие света на атомы, Наука, Москва (1991).

4. J. P. Gordon and A. Ashkin, Motion of atoms in a radiation trap, Phys. Rev. A 21, 1606-1617 (1980).

5. А. Эйнштейн, К квантовой теории излучения, Собрание научных трудов, Т.3, 393-406, Наука, Москва (1966).

6. Г. А. Аскарьян, Воздействие градиента поля интенсивного электромагнитного луча на электроны и атомы, ЖЭТФ, 42, 1567-1570 (1962).

7. О. R. Frish, Experimenteller Nachweis des Einsteinschen Strahlungsriickstasses, Z. Phys. 86, 42-48 (1933).

8. A. Ashkin, Atomic-beam deflection by resonance radiation pressure, Phys. Rev. Lett. 25, 1321-1324 (1970).

9. R. Scheider, H. Walther, L. Woste, Atomic beam deflection and broadening by the light of a tunable dye laser, Opt. Commun. 5, 337-340 (1972).

10. J. L. Piequc, J. L. Vialle, Atomic-beam deflection and broadening by recoil due to photon absorption and emission, Opt. Commun. 5, 402-406 (1972).

11. A. F. Bernhardt, D. E. Duerre, J. R. Simpson, L. L. Wood, Separationof isotopes by laser deflection of atomic beam I. Barium, Appl. Phys. Lett. 25, 617-620 (1974).

12. J. E. Bjorkholm, R. R. Freeman, A. Ashkin, D. B. Pearson, Observation of focusing of neutral atoms by the dipole force of resonance radiation pressure, Phys. Rev. Lett. 41, 1361-1354 (1978).

13. В. С. Летохов, Сужение доплеровской линии в стоячей световой волне, Письма в ЖЭТФ 7, 348-351 (1968).

14. A. Ashkin, Trapping of atoms by resonace radiation pressure, Phys. Rev. Lett. 40, 729-732 (1978).

15. S. Chu, J. E. Bjorkholm, A. Ashkin, and A. Cable, Experimental observation of optically trapped atoms, Phys. Rev. Lett. 57, 314-317 (1986).

16. T. W. Hansch and A. L. Schawlow, Cooling of gases by laser radiation, Opt. Commun. 13, 68-69 (1975).

17. D. J. Wineland and H. G. Dehmelt, Proposed 1014Д/г < // laser fluorescence spectroscopy on TI+ mono-ion oscillator, Bull. Amer. Phys. Soc., 20, 637-640 (1975).

18. H. G. Dehmelt, Nature 262(5571), 777 (1976).

19. A. Kastler, J. Phys. Radium, 11(5), 255-265 (1950).

20. Я. Б. Зельдович, Охлаждение с помощью высокочастотной энергии, Письма в ЖЭТФ 19, 120-123 (1974).

21. И. В. Краснов, Н. Я. Шапарев, Фазировка атомных скоростей в поле бегущей электромагнитной волны, ЖЭТФ 77(9), 899-908 (1979).

22. W. Ketterle, A. Martin, М. A. Joffe, D. Pritchard, Slowing and cooling atoms in isotropic light, Phys. Rev. Lett. 69, 2483-2486 (1992).

23. D. J. Wineland, R. E. Drullinger, F. L. Walls, Radiation-pressure cooling of bound resonant absorbers, Phys. Rev. Lett. 40, 1639-1642 (1978).

24. W. Neuhauser, M. Hohenstat, P. E. Toschek, H. Dehmelt, Optical sideband cooling of visible atom cloud confined in parabolic well, Phys. Rev. Lett. 41, 233-236 (1978).

25. В. И. Балыкин, В. С. Летохов, В. И. Мишин, Письма в ЖЭТФ 29, 614-618 (1981); Охлаждение атомов натрия резонансным лазерным излучением, ЖЭТФ 78(4), 13761385 (1980).

26. С. В. Андреев, В. И. Балыкин, В. С. Летохов, В. Г. Миногин, Письма в ЖЭТФ 34(8), 463-467 (1981); Радиационное замедление и монохроматизация пучка атомов натрия во встречном луче лазера, ЖЭТФ 82(5), 1429-1441 (1980).

27. W. D. Phillips and Н. Metcalf, Laser deceleration of an atomic beam, Phys. Rev. Lett. 48, 596-599 (1982).

28. J. V. Prodan, W. D. Phillips, and H. Metcalf, Laser production of a very monoenergetic atomic beam, Phys. Rev. Lett. 49, 1149-1153 (1982).

29. V. I. Balykin, V. S. Letokhov, and A. I. Sidorov, Intense stationary flow of cold atoms formed by deceleration of atomic beam, Opt. Commun. 49, 248-252 (1984).

30. W. Ertmer, R. Blatt, J. L. Hall, M. Zhu, Laser manipulation of atomic beam velocities: Demonstration of stopped atoms and velocity reversal, Phys. Rev. Lett. 54, 996-998 (1985).

31. W. D. Phillips, J. V. Prodan, and H. J. Metcalf, Laser cooling and electromagnetic trapping of neutral atoms, J. Opt. Soc. Am. В 2, 1751-1767 (1985).

32. А. П. Казанцев, Ускорение атомов резонансным полем, ЖЭТФ 63, 1628-1634 (1972).

33. А. П. Казанцев, Ускорение атомов стационарным полем, Письма в ЖЭТФ 17, 212-215 (1973).

34. А. П. Казанцев, Ускорение атомов светом, ЖЭТФ 66, 1599-1691 (1974).

35. А. П. Казанцев, И. В. Краснов, Эффект выпрямления градиентной силы резонансного светового давления, Письма в ЖЭТФ 46, 264-267 (1987).

36. А. П. Казанцев, И. В. Краснов, Интерференционные явления и эффект выпрямления радиационной силы, ЖЭТФ 95(1), 104-113 (1989).

37. А. P. Kazantsev, I. V. Krasnov, Rectification effect of a radiation force, J. Opt. Soc. Amer. В 6, 2140-2148 (1989).

38. I. V. Krasnov, Effect of rectifyng of the radiative force and kinetics of atoms in strong bichromatic fields, Laser Physics 4, 906-921 (1994).

39. А. П. Казанцев, Г. И. Сурдутовнч, Эффект Капицы-Дирака в для атомов в сильном резонансном поле, Письма в ЖЭТФ 21, 346-349 (1975).

40. G. A. Delone, V. A. Grinchuk, S. D. Kuzmichev, М. L. Nagaeva, А. P. Kazantsev, G. I. Surdutovich, The Kapitza-Dirac resonance effect, Opt. Commun. 33, 149-152 (1980).

41. А. П. Казанцев, Г. И. Сурдутович, В. П. Яковлев, К квантовой теории резонансного рассеяния атомов светом, Письма в ЖЭТФ 31, 542-545 (1980).

42. P. L. Gould, G. A. Ruff, D. Е. Pritchard, Diffraction of atoms by light: The near-resonant Kapitza-Dirac effect, Phys. Rev. Lett. 56, 827-830 (1986).

43. Б. Я. Дубецкий, А. П. Казанцев, В. П. Чеботаев, В. П. Яковлев, Интерференция атомов и получение атомных пространственных решеток, Письма в ЖЭТФ 39, 531-533 (1984).

44. Б. Я. Дубецкий, А. П. Казанцев, В. П. Чеботаев, В. П. Яковлев, Интерференция атомов в разнесенных оптических полях, ЖЭТФ 89, 1190-1204 (1985).

45. Ch. J. Borde, Phys. Lett. A 140, 10 (1989).

46. А. П. Казанцев, Резонансное световое давление, УФН 124, 113-144 (1978).

47. R. J. Cook, Atomic motion in a resonant radiation: An application of Ehrenfest's theorem, Phys. Rev. A 20, 224-228 (1979).

48. R. J. Cook, Theory of resonance-radiation pressure, Phys. Rev. A 22, 1078-1098 (1980).

49. В. Г. Миногин, Кинетическое уравнение для атомов, взаимодействующих с лазерным излучением, ЖЭТФ, 79, 2044-2056 (1980).

50. А. П. Казанцев, Г. И. Сурдутович, В. П. Яковлев, Движение атомов и молекул в резонансном световом поле, ЖЭТФ 80, 541-550 (1981).

51. Т. В. Зуева, В. С. Летохов, В. Г. Миногин, Теория замедления атомных пучков резонансным лазерным излучением, ЖЭТФ 81, 84-95 (1981).

52. V. S. Letokhov and V. G. Minogin, Laser radiation pressure on free atoms, Phys. Rep. 73, 1 (1981).

53. A. P. Kazantsev, G. A. Ryabenko, G. I. Surdutovich, V. P. Yakovlev, Scattering of atoms by light, Phys. Rep. 129, 75-144 (1985).

54. В. И. Балыкин, В. С. Летохов, В. Г. Миногин, Охлаждение атомов давлением лазерного излучения, УФН 147, 117-156 (1985).

55. S. Stenholm, The semiclassical theory of laser cooling, Rev. Mod. Phys. 58, 699-739 (1986).

56. J. Dalibard, S. Reynaud and C. Cohen-Tannoudji, Potentialities of a new <т+ — cr laser configuration for radiative cooling and trapping, J. Phys. В 17, 4577-4594 (1984).

57. A. Ashkin, and J. P. Gordon, Stability of radiation-pressure particle traps: an optical Ernshow theorem, Opt. Lett. 8, 511-513 (1983).

58. D. E. Pritchard, E. L. Raab, V. S. Bagnato, С. E. Weiman, and R. N. Watts, Light traps using spontaneous forces, Phys. Rev. Lett. 57, 310-313 (1986).

59. С. Чу, Управление нейтральными частицами, УФН 169(3), 274-291 (1999).

60. Е. L. Raab, М. Prentiss, A. Cable, S. Chu, and D. E. Pritchard, Trapping of nutral sodium atoms with radiation pressure, Phys. Rev. Lett. 59, 2631 (1987).

61. T. Walker, Three-dimensional analytical calculation of the magnetooptical trapping forces on a stationary J = 0 —> J — 1 atom, Laser Physics 4, 965-968 (1994).

62. C. Monroe, W. Swann, H. Robinson, and С. E. Weiman, Very cold trapped atoms in a vapor cell, Phys. Rev. Lett. 65, 1571-1574 (1990).

63. A. Cable, M. Prentiss, and N. Bigelow, Observation of sodium atoms in a magnetic molasses trap loaded by a continuous uncooled source, Opt. Lett. 15, 507-509 (1990).

64. W. Ketterle, K. Davis, M. Joffe, A. Martin, D. Pritchard, High densities of cold atoms in a dark spontaneous-force optical trap, Phys. Rev. Lett. 70, 2253 (1993).

65. H. J. Lee, C. S. Adams, M. Kasevich, and S. Chu, Raman cooling of atoms in an optical dipole trap, Phys. Rev. Lett. 76, 2658-2661 (1996).

66. К. Dieckmann, R. J. С. Spreeuw, M. Weidemiiller, and J. Т. M. Walraven, Two-dimensional magneto-optical trap as a source of slow atoms, Phys. Rev. A 58, 3891-3895 (1998).

67. В. С. Смирнов, Квантовая теория резонансного взаимодействия поляризованного света с вырожденными атомными системами, Диссертация на соискание уч. степени д. ф.-м. н., Томск, 1983.

68. А. М. Тумайкин, Поляризационные и кинетические явления в оптически ориентированных газах, Диссертация на соискание уч. степени д. ф.-м. и., Новосибирск, 1988.

69. А. П. Казанцев, В. С. Смирнов, А. М. Тумайкин, И. А. Ягофаров, Квантовая теория релаксации мультипольных моментов атома и некоторые ее приложения к задачам о поглощении света из основного состояния, Препринт №5, ИОА СО АН СССР, Томск, 1982.

70. В. С. Смирнов, А. В. Тайченачев, А. М. Тумайкин, Мультипольное разложение оператора радиационной релаксации атомов, Изв. вузов, сер. Физика, №10, 30-40 (1987).

71. J. Macek and I. Hertel, Theory of electron sattering from laser excited atoms, J. Phys. В 7, 2173-2188 (1974).

72. G. Nienhuis, Description of polarization-dependent associative ionization of radiatively excited atoms, Phys. Rev. A 26, 3137-3146 (1982).

73. В. С. Смирнов, А. В. Тайченачев, A. M. Тумайкин, Особенности просветления атомарной среды в эллиптически поляризованном свете в условиях квазилинейной оптической самонакачки, Опт. и спектр 63, 175-178 (1987).

74. P. L. Gould, P. D. Lett, W. D. Phillips, New measurements with optical molasses, in Laser Spectroscopy VIII, ed. B. Persson and W. Standberg, 64-70 (Springer, Berlin, 1987).

75. P. D. Lett, R. N. Watts, С. I. Westbrook, W. D. Phillips, P. L. Gould, Observation of atoms cooled below the Doppler limit, Phys. Rev. Lett. 61, 169-172 (1988).

76. A. Aspect, E. Arimondo, R. Kaiser, N. Vansteenkiste, and C. Cohen-Tannoudji, Laser cooling below the one-photon recoil energy by velocity-selective coherent population trapping, Phys. Rev. Lett. 61, 826-829 (1988).

77. Y. Shevy, D. S. Weiss, P. J. Ungar, and S. Chu, Bimodal speed distributions in laser-cooled atoms, Phys. Rev. Lett. 62, 1118-1121 (1989).

78. D. S. Weiss, E. Riis, Y. Shevy, P. J. Ungar, and S. Chu, Optical molasses and multilevel atoms: experiment, J. Opt. Soc. Am. В 6, 2072-2083 (1989).

79. В. Sheehy, S.-Q. Shang, P. van der Straten, S. Hatamian, H. Metcalf, Magnetic-field-induced cooling bellow the Doppler limit, Phys. Rev. Lett. 64, 858-862 (1990).

80. S.-Q. Shang, B. Sheehy, H.Metcalf, Velocity-selective magnetic-resonance laser cooling, Phys. Rev. Lett. 65, 317-321 (1990).

81. S. Chu, L. Hollberg, J. E. Bjorkholm, A. Cable, A. Ashkin, Three-dimensional viscous confinment and cooling of atoms by resonance radiation pressure, Phys. Rev. Lett. 55, 48-51(1985).

82. A. M. Steane and C. J. Foot, Laser cooling below the Doppler limit in a magneto-optical trap, Europhys. Lett. 14, 231-236 (1991).

83. M. Drewsen, Ph. Laurent, A. Nadir, G. Santarelli, A. Clairon, Y. Castin, D. Grison, C. Salomon, Investigation of sub-Doppler cooling effects in a cesium magneto-optical trap, Appl. Phys. В 59, 283-298 (1994).

84. О. Emile, F. Bardou, C. Salomon, Ph. Laurent, A. Nadir, and A. Clairon, Observation of a new magneto-optical trap, Europhys. Lett. 20, 687-691 (1992).

85. J. Dalibard and C. Cohen-Tannoudji, Laser cooling below the Doppler limit by polarization gradients: simple theoretical models, J. Opt. Soc. Am. В 6, 2023-2045 (1989).

86. P. J. Ungar, D. S. Weiss, E. Riis, and S. Chu, Optical molasses and multilevel atoms: theory, J. Opt. Soc. Am. В 6, 2058-2071 (1989).

87. J. Dalibard and C. Cohen-Tannoudji, Dressed-state approach to atomic motion in laser light: the dipole force revisited, J. Opt. Soc. Am. В 2, 1707-1790 (1985).

88. A. Aspect, J. Dalibard, A. Heidemann, C. Salomon, and C.Cohen-Tannoudji, Cooling atoms with stimulated emission, Phys. Rev. Lett. 57, 1688-1691 (1986).

89. А. П. Казанцев, Д. О. Чудесников, В. П. Яковлев, Гистерезис в двухуровневой системе и сила трения в стоячей световой волне, ЖЭТФ 90, 1619-1634 (1986).

90. P. R. Berman, Nonlinear spectroscopy and laser cooling, Phys. Rev. A 43, 1470-1483 (1991).

91. E. Arimondo, Coherent population trapping in laser spectroscopy, in Progress in Optics, E. Wolf ed. XXXV, 257-354 (1996).

92. A. Aspect, E. Arimondo, R. Kaiser, N. Vansteenkiste, and C. Cohen-Tannoudji, Laser cooling below the one-photon recoil energy by velocity-selective coherent population trapping: theoretical analysis, J. Opt. Soc. Am. В 6, 2112-2124 (1989).

93. И. E. Мазец, Б. Г. Матисов, Нижний предел эффективной температуры атомов, охлаждаемых с помощью когерентного пленения населенностей, Письма в ЖТФ, 19(8), 36-39 (1993).

94. В. G. Matisov and J. Е. Mazets, Limit of laser cooling of atoms by velocity selective coherent population trapping, J. Phys. В 26, 3795-3802 (1993).

95. В. Matisov, E. Korsunsky, V. Gordienko, L. Windholz, Dynamics and limits of laser cooling by velocity-selective coherent population trapping, Laser Physics 4, 835-847 (1994).

96. B. J. Dalton and P. L. Knight, The effects of laser field fluctuations on coherent population trapping, J. Phys. В 15, 3997-4015 (1982).

97. R. Dum and M. Ol'shanii, Dark-state cooling in the presence of gravity: Gravitational limit of laser cooling, Phys. Rev. A 55, 1217-1223 (1997).

98. J. Lawall, F. Bardou, B. Saubamea, K. Shimizu, M. Leduc, A. Aspect, and C. Cohen-Tannoudji, Two-dimensional subrecoil laser cooling, Phys. Rev. Lett.73, 1915-1918 (1994).

99. J. Lawall, S. Kulin, B. Saubamea, N. Bigelow, M. Leduc, C. Cohen-Tannoudji, Three-dimensional laser cooling of helium beyond the single-photon recoil limit, Phys. Rev. Lett. 75, 4194-4197 (1995).

100. J. Lawall, S. Kulin, B. Saubamea, N. Bigelow, M. Leduc, and C. Cohen-Tannoudji, Subrecoil laser cooling into a single wavepacket by velocity-selective coherent population trapping followed by adiabatic passage, Laser Physics 6 153-158 (1996).

101. B. Saubamea, T. W. Hijmans, S. Kulin, E. Rasel, E. Peik, M. Leduc, C. Cohen-Tannoudji, Direct measurement of the spatial correlation function of ultracold atoms, Phys. Rev. Lett. 79, 3146-3149 (1997).

102. T. Esslinger, F. Sander, M. Weidemiiller, A. Hemmerich, and T. Hansch, Subrecoil laser cooling with adiabatic transfer, Phys. Rev. Lett. 76, 2432-2435 (1996).

103. M. Kasevich and S. Chu, Laser cooling below a photon recoil with three-level atoms, Phys. Rev. Lett. 69, 1741-1744 (1992).

104. J. Reichel, F. Bardou, M. Ben Dahan, E. Peik, S. Rand, C. Salomon, and C. Cohen-Tannoudji, Raman cooling of cesium below 3 nK: New approach inspired by Levy flight statistics, Phys. Rev. Lett. 75, 4575-4578 (1995).

105. H. J. Lee, C. S. Adams, M. Kasevich, and S. Chu, Raman cooling of atoms in an optical dipole trap, Phys. Rev. Lett. 76, 2658-2661 (1996).

106. V. Finkelstein, P. Berman, J. Guo, One-dimensional laser cooling below the Doppler limit, Phys. Rev. A 45, 1829-1842 (1992).

107. A. V. Bezverbnyi, A. M. Tumaikin, N. L. Kosulin, Formation of light-induced spatial gratings of cooled atoms in light fields with polarization gradients, Laser Physics 2, 10101020 (1992).

108. J. Guo and P. Berman, One-dimensional laser cooling with linearly polarized fields, Phys. Rev. A 48, 3225-3232 (1993).

109. Y. Castin and J. Dalibard, Quantization of atomic motion in optical molasses, Europhys. Lett. 14, 761-766 (1991).

110. J. Dalibard, Y. Castin, K. Maimer, Wave-function approach to dissipative processes in quantum optics, Phys. Rev. Lett. 68, 580-583 (1992).

111. P. Marte, R. Dum, R. Tai'eb, P. Zoller, Resonance fluorescence from quantized one-dimensional molasses, Phys. Rev. A 47, 1378-1390 (1993).

112. K. M0lmer, Y. Castin, J. Dalibard, Monte Carlo wave-function method in quantum optics, J. Opt. Soc. Am. В 10, 524-538 (1993).

113. К. Berg-S0rensen, Two-dimensional Sisyphus cooling in a three-beam laser configuration, Rhys. Rev. A 49, R4297-R4300 (1994).

114. Y. Castin, K. Berg-S0rensen, J. Dalibard, K. Maimer, Two-dimensional Sisyphus cooling, Rhys. Rev. A 50, 5092-5115 (1994).

115. K. M0lmer and Y. Castin, Monte Carlo wave functions in quantum optics, Quantum Semi class. Opt. 8, 49-72 (1996).

116. А. В. Тайченачев, A. M. Тумайкин, В. И. Юдин, Г. Ниенхаус, Точное стационарное решение задачи об оптической накачке в эллиптически поляризованном поле для замкнутых атомных переходов Jg = J —> Je = J (J-полуцелое), ЖЭТФ 108, 415-425 (1995).

117. А. В. Тайченачев, А. М. Тумайкин, В. И. Юдин, Атом в резонансном эллиптически поляризованном поле: точное стационарное решение, Письма в ЖЭТФ 64, 8-12 (1996).

118. А. В. Тайченачев, А. М. Тумайкин, В. И. Юдин, Атом в резонансном эллиптически поляризованном поле: точное стационарное решение для замкнутых Jg = J —Je — J+l переходов, ЖЭТФ 110, 1727-1747 (1996).

119. А. В. Тайченачев, А. М. Тумайкин, В. И. Юдин, Г. Ниенхаус, Тензорная структура стационарной точки оператора радиационной релаксации атома, ЖЭТФ 114, 125-134 (1998).

120. G. Nienhuis, А. V. Taichenachev, А. М. Tumaikin, V. I. Yudin, Steady state of atoms in a monochromatic elliptically polarized light field, Europhys. Lett. 44, 20-24 (1998).

121. О. H. Прудников, А. В. Тайченачев, A. M. Тумайкин, В. И. Юдин, Кинетика атомов в эллиптически поляризованной стоячей волне, ЖЭТФ, 115, 791-804 (1999).

122. О. Н. Прудников, А. В. Тайченачев, А. М. Тумайкин, В. И. Юдин, Новая сила трения, обусловленная спонтанным световым давлением, Письма в ЖЭТФ 70, 439-444 (1999).

123. В. С. Смирнов, А. М. Тумайкин, В. И. Юдин, Стационарные когерентные состояния атомов при резонансном взаимодействии с эллиптически поляризованным светом: Когерентное пленение наеленностей (общая теория), ЖЭТФ 96, 1613-1628 (1989).

124. V. Milner and Y. Prior, Multilevel dark states: Coherent population trapping with ellip-tically polarized incoherent light, Phys. Rev. Lett. 80, 940-943 (1998).

125. А. В. Тайченачев, A. M. Тумайкин, M. А. Олынаный, В. И. Юдин, Локализация атомов в резонансном неоднородно поляризованном поле за счет когерентного пленения населенностей, Письма в ЖЭТФ 53, 336-338 (1991).

126. А. V. Taichenachev, А. М. Tumaikin, V. I. Yudin, М. A. Olshanii, Localization and su-perdeep cooling of atoms as the result of a coherent population trapping in a nonuniformly polarized field, Laser Physics 2, 32-39 (1992).

127. F. Mauri and E. Arimondo, Coherent trapping subrecoil cooling in two dimensions aided by a force, Europhys. Lett. 16, 717-722 (1991).

128. F. Mauri and E. Arimondo, Two-dimensional selective coherent population trapping controlled by a phase shift, Appl. Phys. В 54, 420-427 (1992).

129. E. Papoff, F. Mauri, E. Arimondo, Transient velocity-selective coherent population trapping in one dimension, J. Opt. Soc. Am. В 9, 321-331 (1992).

130. A. V. Taichenachev, A. M. Tumaikin, V. I. Yudin, On dynamics of slow atoms under conditions of coherent population trapping in spatially-nonuniform polarized fields, Laser Physics 2, 575-588 (1992).

131. E. Korsunsky, D. Kosachiov, B. Matisov, Yu. Rozhdestvensky, L. Windholz, C. Neureiter, Quasiclassical analysis of laser cooling by velocity-selective coherent population trapping, Phys. Rev. A 48, 1419-1427 (1993).

132. E. Korsunsky, A. Snegiriov, V. Gordienko, B. Matisov, L. Windholz, The influence of momentum diffusion on laser cooling of atoms, Z. Phys. D 30, 23-30 (1994).

133. B. Matisov, V. Gordienko, E. Korsunsky, L. Windholz, Subrecoil laser cooling by velocity selective coherent population trapping in cascade systems, ЖЭТФ 107, 680-703 (1995).

134. S. Schaufler, V. P. Yakovlev, Subrecoil laser cooling: Trapping versus diffusion, Laser Physics 6, 414-419 (1996).

135. S. Schaufler, W. P. Slchleich, V. P. Yakovlev, Scaling and asymptotic laws in subrecoil laser cooling, Europhys. Lett. 39, 383-388 (1997).

136. G. Morigi, B. Zambon, N. Leinfellner, E. Arimondo, Scaling laws in velocity-selective coherent-population-trapping laser cooling, Phys. Rev. A 53, 2616-2626 (1996).

137. C. Menotti, P. Horak, H. Ritsch, J. H. Miiller, E. Arimondo, Dynamics of high-angular-momentum velocity-selective coherent population trapping, Phys. Rev. A 56, 2123-2131 (1997).

138. C. Menotti, G. Morigi, J. H. Miiller, E. Arimondo, Scaling lows in velocity-selective coherent population trapping in the presence of polarization-gradient cooling, Phys. Rev. A 56, 4327-4330 (1997).

139. H. Wu, Е. Arimondo, and С. Foot, Pulsed sub-recoil cooling of atoms, Quantum Semi-class. Opt., 8, 983-988 (1996).

140. F. Sander, T. Devolder, T. Esslinger, and T. Hansch, Ramsey type sub-recoil cooling, Phys. Rev. Lett. 78, 4023-4026 (1997).

141. А. В. Тайченачев, A. M. Тумайкин, В. И. Юдин, Квантовая теория охлаждения атомов ниже однофотонной энергии отдачи импульсным полем, Письма в ЖЭТФ 65, 744-749 (1997).

142. А. В. Тайченачев, А. М. Тумайкин, В. И. Юдин, Квантовая теория резонансного рассеяния атомов импульсным полем в условиях когерентного пленения населенностей, ЖЭТФ 113, 86-113 (1998).

143. А. V. Taichenachev, А. М. Tumaikin, V. I. Yudin, Quantum theory of pulsed sub-recoil cooling of atoms, Physics of Vibrations, 6, 133-142 (1998).

144. V. A. Alekseev and D. D. Krylova, Laser cooling by coherent population trapping: Asymptotical behavior of the density matrix of atoms, Laser Physics 2, 781-789 (1992).

145. F. Bardou, J. P. Bouchaud, 0. Emile, A. Aspect, C. Cohen-Tannoudji, Subrecoil laser cooling and Levy flights, Phys. Rev. Lett. 72, 203-206 (1994).

146. И. E. Мазец, Б. Г. Матисов, Динамика лазерного охлаждения атомов ниже температуры отдачи, Письма в ЖЭТФ 60, 686-690 (1994).

147. Yu. В. Ovchinnikov, J. Н. Miillef, М. R. Doery, Е. J. D. Vredenbergt, К. Helmerson, S. L. Rolston, W. D. Phillips, Diffraction of a realeased Bose-Einstein condensate by a pulsed standing light wave, Phys. Rev. Lett. 83, 284-287 (1999).

148. C. Salomon, J. Dalibard, W. D. Phillips, A. Clairon, S. Guellati, Laser cooling of cesium atoms below 3 (iK, Europhys. Lett. 12, 683-688 (1990).

149. P. Verkerk, B. Lounis, C. Salomon, C. Cohen-Tannoudji, J.-Y. Courtois, G. Grynberg, Dynamics and spatial order of cold cesium atoms in a periodic optical potential, Phys. Rev. Lett. 68, 3861-3864 (1992).

150. P. Jessen, С. Gerz, P. D. Lett, W. D. Phillips, S. L. Rolston, R. J. C. Spreeuw, С. I. Westbrook, Observation of quantized motion of Rb atoms in an optical field, Phys. Rev. Lett. 69, 49-52 (1992).

151. A. M. Тумайкин, В. И. Юдин, Стационарные когерентные состояния при взаимодействии атомов с резонансным поляризованным излучением в присутствии магнитного поля, ЖЭТФ 98, 81-88 (1990).

152. G. Grynberg and J.-Y. Courtois, Proposal for a magneto-optical lattice for trapping atoms in nearly-dark states, Europhys. Lett. 27, 41-46 (1994).

153. A. Hemmerich, M. Weidemiiller, T. Esslinger, C. Zimmermann, T. Hansch, Trapping of atoms in a dark optical lattice, Phys. Rev. Lett. 75, 37-40 (1995).

154. D. Boiron, C. Triche, D. R. Meacher, P. Verkerk, and G. Grynberg, Three-dimensional cooling of cesium atoms in four-beam gray optical molasses, Phys. Rev. A 52, R3425-R3427 (1995).

155. A. Kastberg, W. D. Phillips, S. Rolston, R. Spreeuw, P. Jessen, Adiabatic cooling of cesium to 700nK in an optical lattice, Phys. Rev. Lett. 74, 1542-1545 (1995).

156. К. I. Petsas, J.-Y. Courtois, G. Grynberg, Temperature and magnetism of gray optical lattice, Phys. Rev. A 53, 2533-2538 (1996).

157. M. Gatzke, G. Birkl, P. S. Jessen, A. Kastberg, S. L. Rolston, W. D. Phillips, Temperatuer and localization of atoms in three-dimensional optical lattice, Phys. Rev. A 55, R3987-R3990 (1997).

158. G. Grynberg, B. Lounis, P. Verkerk, J.-Y. Courtois, C. Salomon, Quantized motion of cold cesium atoms in two- and three-dimensional optical potentials, Phys. Rev. Lett. 70, 2249-2252 (1993).

159. К. I. Petsas, J.-Y. Courtois, G. Grynberg, Crystallography of optical lattice, Phys. Rev. A 50, 5173-5189 (1994).

160. A. Raushenbeutel, H. Schadwinkel, V. Gomer, D. Meschede, Standing light field for cold atoms with intrinsically stable and variable time phases, Opt. Commun. 148, 45-48 (1998).

161. D. M. Meekhof, С. Monroe, В. E. King, W. M. Itano, D. J. Wineland, Generation of nonclassical motional states of a trapped atom, Phys. Rev. Lett. 76, 1796-1799 (1996).

162. I. H. Deutsch and P. S. Jessen, Quantum-state control in optical lattice, Phys. Rev. A 57, 1972-1986 (1998).

163. C. S. Adams, H. J. Lee, N. Davidson, M. Kasevich, S. Chu, Evaporative cooling in a crossed dipole trap, Phys. Rev. Lett. 74, 3577-3580 (1995).

164. H. J. Lee and S. Chu, Atomic spin polarization by Raman cooling, Phys. Rev. A 57, 2905-2908 (1998).

165. S. Friebel, C. D'Adrea, J. Walz, M. Weitz, T. W. Hansch, C02-laser optical lattice with cold rubidium atoms, Phys. Rev. A 57, R20-R23 (1998).

166. Y. Castin, J. I. Cirac, M. Lewenstein, Reabsorption of light by trapped atoms, Phys. Rev. Lett. 80, 5305-5308 (1998).

167. B. Anderson, T. Gustavson, M. Kasevich, Atom trapping in nondissipative optical lattices, Phys. Rev. A 56, R3727 (1996).

168. D. L. Haycock, S. E. Hamman, G. Klose, P. Jessen, Atom trapping in deeply bound states of a far-off-resonance optical lattice, Phys. Rev. A 55, R3991-R3994 (1997).

169. T. Muller-Seydlitz, M. Hartl, B. Brezger, H. Hansel, C. Keller, A. Schnetz, R. J. C. Spreeuw, T. Pfau, J. Mlynek, Atoms in the lowest motional band of a three-dimensional optical lattice, Phys. Rev. A 78, 1038-1041 (1997).

170. D. Boiron, A. Michaud, J. M. Eournier, L. Simard, M. Sprenger, G. Grynberg, C. Salomon, Cold and dense cesium atoms in far-detned dipole traps, Phys. Rev. A 57, R4106-4109 (1998).

171. R. Dum and M. Ol'shanii, Gauge structures in atom-laser interaction: Bloch oscillations in a dark lattice, Phys. Rev. Lett. 76, 1788-1791 (1996).

172. P. M. Visser and G. Nienhuis, Geometric potentials for subrecoil dynamics, Phys. Rev. A 57, 4581-4591 (1998).

173. S. K. Dutta, В. K. Teo, and G. Raithel, Tunneling dynamics and gauge potentials in optical lattices, Phys. Rev. Lett. 83, 1934-1937 (1999).

174. A. V. Taichenachev, A. M. Tumaikin, V. I. Yudin, Invariant treatment of coherent population trapping in an elliptically polarized light, Europhys. Lett. 45, 301-306 (1999).

175. А. В. Тайченачев, A. M. Тумайкин, В. И. Юдин, Эллиптические темные состояния: Явный инвариантный вид, ЖЭТФ 118, 77-86 (2000).

176. D. М. Stamper-Kurn, М. R. Andrews, А. P. Chikkatur, S. Inouye, H.-J. Meisner, J. Stenger, W. Ketterle, Optical confinment of a Bose-Einstein condensate, Phys. Rev. Lett. 80, 2027-2030 (1998).

177. B. P. Anderson and M. A. Kasevich, Macroscopic quantum interference from atomic tunnel array, Science 282, 1686-1689 (1998).

178. D. Jaksch, C. Bruder, J. I. Cirac, C. W. Gardiner, P. Zoller, Cold bosonic atoms in optical lattices, Phys. Rev. Lett. 81, 3108-3111 (1998).

179. K. Berg-S0rensen and K. M0lmer, Bose-Einstein condesates in spatially periodic potentials, Phys. Rev. A 58, 1480-1484 (1998).

180. D.-I. Choi and Q. Niu, Bose-Einstein condesates in an optical lattice, Phys. Rev. Lett. 82, 2022-2025 (1999).

181. K.-P. Marzlin and W. Zhang, Bose-Einstein condesates in optical lattices: Spontaneous emission in the presence of photonic band gaps, Eur. Phys. J. D 12, 241-259 (2000).

182. S. L. Winoto, M. T. DePue, N. E. Bramall, D. S. Weiss, Laser cooling at high density in deep far-detuned optical lattices, Phys. Rev. A 59, R19-R23 (1999).

183. R. Taieb, R. Dum, J. I. Cirac, P. Marte, P. Zoller, Cooling and localization of atoms in laser-induced potential wells, Phys. Rev. A 49, 4876-4887 (1994).

184. H. Perrin, A. Kuhn, I. Bouchoule, С. Salomon, Sideband cooling of neutral atoms in a far-detuned optical lattice, Europhys. Lett. 42, 395-400 (1998).

185. S. E. Hamman, D. L. Haycock, G. Klose, P. H. Pax, I. H. Deutsch, P. Jessen, Resolved-sideband Raman cooling to the ground state of an optical lattice, Phys. Rev. Lett. 80, 4149-4152 (1998).

186. F. Deidrich, J. C. Bergquist, W. M. Itano, D. J. Wineland, Laser cooling to the zero-point energy of motion, Phys. Rev. Lett. 62, 403-406 (1989).

187. C. Monroe, D. M. Meekhof, В. E. King, S. R. Jefferts, W. M. Itano, D. J. Wineland, Resolved-sideband Raman cooling of a bound atom to the 3D zero-point energy, Phys. Rev. Lett. 75, 4011-4014 (1995).

188. A. V. Taichenachev, A. M. Tumaikin, V. I. Yudin, L. Hollberg, Two-dimensional sideband Raman cooling and Zeeman state preparation in an optical lattice, Phys. Rev. A 63(3), 033402 (2001).

189. A. V. Taichenachev, A. M. Tumaikin, V. I. Yudin, One and two dimensional Bose-Einstein condensation of atoms in dark magneto-optical lattices, J. Opt. В Quant. Semiclass. Opt. 1, 557-561 (1999).

190. А. В. Тайченачев, A. M. Тумайкин, В. И. Юдин, О возможности использования темных магнито-оптических решеток для достижения бозе-конденсации атомов, ЖЭТФ 113, 2056-2064 (1998).

191. J. Chen, J. Story, J. Toilet, R. Hulet, Adiabatic cooling of atoms by an intense standing wave, Phys. Rev. Lett. 69, 1344-1347 (1992).

192. H. Stecher, H. Ritsch, P. Zoller, F. Sander, T. Esslinger, T. W. Hansch, All-optical gray lattice for atoms, Phys. Rev. A 55, 545-551 (1997).

193. В. И. Юдин, Теория светоиндуцированной анизотропии резонансных атомов в стационарных эллиптически поляризованных полях, Диссертация на соискание уч. степени д. ф.-м. н., Новосибирск, 2000.

194. Э. Г. Пестов, Теория релаксации квантовых систем в сильном электромагнитном поле, Труды ФИАН, 187,60-116 (1988).

195. Ан. В. Виноградов, Неравновесная диаграмная техника и теория немарковской релаксации квантовых систем в световых полях, Труды ФИАН, 187,117-143 (1988).

196. О. Kocharovskaya and Y. V. Radeonychev, Symmetry breaking of the two-level atomic response due to field-dependent relaxation, Quantum Semiclass. Opt. 8, 7-14 (1996).

197. G. S. Agarwal, Quantum statistical theories of spontaneous emission and their relation to other approaches, Springer, Berlin (1976).

198. H. J. Kimble and L. Mandel, Theory of resonance fluorescence, Phys. Rev. A 13, 21232144 (1976).

199. H. Carmichael ed., Special issue on stochastic quantum optics, Quantum Semiclass. Opt. 8(1),47-314 (1996).

200. С. Г. Раутиан, Некоторые вопросы теории газовых квантовых генераторов, Труды ФИАН 43, 3-116 (1968).

201. JI. Д. Ландау, Проблема затухания в волновой механике, Собрание трудов, Т.1, 19-31 (1969).

202. V. Weisskopf, Е. Wigner, Berechnung der naturlichen Linienbreit anf Grund der Dirac-schen Lichttheorie, Zs. Phys. 63, 54-73 (1930).

203. В. Гайтлер, Квантовая теория излучения, Москва, НЛ (1956).

204. С. Г. Раутиан, Г. И. Смирнов, А. М. Шалагин, Нелинейные резонансы в спектрах атомов и молекул, Новосибирск, Наука (1979).

205. М. И. Дьяконов, В. И. Перель, Релаксация когерентности при диффузии резонансного излучения, ЖЭТФ 47, 1483 (1964).

206. М. И. Дьяконов, К теории газового лазера в слабом продольном магнитном поле, ЖЭТФ 49, 1169-1179 (1965).

207. С. Cohen-Tannoudji, A. Kastler, Optical pumping, Progress in Optics 5, 1-81 (Amsterdam, North-Holland, 1966).

208. M. Sargent, W. E. Lamb, R. L. Fork, Theory of a Zeeman laser, Phys. Rev. 164, 436-449, 450-465 (1967).

209. C. Wieman and T. Hansch, Doppler-free laser polarization spectroscopy, Phys. Rev. Lett. 36, 1170-1173 (1976).

210. M. Sargent, Polarized field saturation spectroscopy, Phys. Rev. A 14, 524-527 (1976).

211. W. Gawlik, Optical pumping effects in Doppler-free laser spectroscopy, Acta Physica Polonica AGG, 401-421 (1984).

212. S. Nakayama, Polarization spectroscopy of Rb and Cs, Opt. Commun. 50, 19-25 (1984).

213. S. Nakayama, Doppler-free laser spetroscopic techniques with optical pumping in D\ lines of alkali atoms, J. Opt. Soc. Amer. В 2, 1431-1437 (1985).

214. A. M. Акулыпин, В. JT. Величанский, М. В. Крашенинников, В. С. Смирнов, А. М. Тумайкин, В. И. Юдин, Поляризационные эффекты в нелинейной поляризационной спектроскопии атомов со сверхтонкой структурой, ЖЭТФ 96, 107-114 (1989).

215. J. P. Barrat, С. Cohen-Tannoudji, Etude du pompage optique dans le formalisme de la matrice densite, J. Physique Rad. 22, 329-336 (1961).

216. W. Happer, Optical pumping, Rev. Mod. Phys. 44, 169-249 (1972).

217. A. Omont, Irreducible components of the density matrix: Application to optical pumping, Prog. Quantum Electronis bf 5, 69-138 (1977).

218. И. Б. Берестецкий, E. M. Лифшиц, Л. П. Питаевский, Квантовая электродинамика, Москва, Наука (1989).

219. С. Lindblad, On the generators of quantum dynamical semigroups, Commun. Math. Phys. 48, 119-130, (1976).

220. В. Л. Гинзбург, Теоретическая физика и астрофизика. Дополнительные главы, Москва, Наука (1987).

221. Ю. Л. Климонтович, Кинетическая теория электромагнитных процессов, Наука, Москва (1980).

222. С. Р. де Гроот, JL Г. Сатторп, Электродинамика, Москва, Наука (1982).

223. Э. Б. Гельман, Д. Ф. Зарецкий, В. В. Ломоносов, Движение пучка атомов в поле резонансной стоячей электромагнитной волны, Опт. и спектр. 48, 451 (1980).

224. V. Е. Lembessis, М. Babiker, С. Baxter, R. Loudon, Theory of radiation force and momenta for mobile atoms in light field, Phys. Rev. A 48, 1594-1603 (1993).

225. В. И. Татарский, Вигнеровское представление квантовой механики, УФН 139, 587619 (1983).

226. P. Berman, G. Rogers, В. Dubetsky, Rate equations between electronic state manifolds, Phys. Rev. A 48, 1506-1513 (1993).

227. С. Г. Раутиан, Нелинейные эффекты, обусловленные каскадом когерентности в спектроскопии пробного поля, Письма в ЖЭТФ 60, 462-465 (1994).

228. С. Г. Раутиан, Контур спектральных линий при каскаде поляризации, Письма в ЖЭТФ 61, 461-464 (1995).

229. С. Г. Раутиан, Спонтанные переходы поляризации, ЖЭТФ 108, 1186-1202 (1995).

230. С. Г. Раутиан, Спонтанный перенос оптической когерентности и нелинейная спектроскопия газов, ЖЭТФ 115, 12-29 (1999).

231. Д. А. Варшалович, А. Н. Москалев, В. К. Херсонский, Квантовая теория углового момента, Наука, Ленинград (1975).

232. Л. Биденхарн, Дж. Лаук, Угловой момент в квантовой физике, Т.1, Москва, Мир (1984).

233. М. П. Чайка, Интерференция вырожденных атомных состояний, Ленинград, ЛГУ (1975).

234. И. Б. Хриплович, Несохранение четности в атомных явленях, Наука, Москва (1988).

235. D. Budker, Parity Noncoservation in Atoms, in Physics Beyond the Standard Model, Proc. of the Fifth Intrnational WEIN Symposium, P. Herczeg, С. M. Hoffman, and H. V. Klapdor-Kleingrothaus, eds., 418-441, (World Scientific, Singapore, 1999).

236. V. G. Minogin and О. T. Serimaa, Resonant light pressure forces in a strong standing laser wave, Opt. Commun. 30, 373-379 (1979).

237. Bo Gao, Effects of Zeeman degeneracy on the steady-state properties of an atom interacting with near-resonant laser field: Analytic results, Phys. Rev. A 48, 2443-2448 (1993).

238. D. Suter, Opt. Commun. 86, 381 (1991).

239. W. D. Davis, A. L. Gaeta and R. W. Boyd, Polarization-ellipse rotation by induced gyrotropy in atomic vapors, Optics Lett. 17, 1304 (1992).

240. K. M0lmer and C. Westbrook, Localization in semiclassical laser cooling, Laser Physics 4, 872-883 (1994).

241. G. Nienhuis, Natural basis of magnetic substates for a radiative transition with arbitrary polarization, Opt. Commun. 59, 353-356 (1986).

242. M. В. Крашенинников, В. С. Смирнов, М. Б. Султанов, А. М. Тумайкин, В. И. Юдин, Аномальное самовращение плоскости поляризации ограниченного пучка в газе в слабом магнитном поле, ЖЭТФ 94(1), 203-209 (1988).

243. М. В. Крашенинников, В. С. Смирнов, М. Б. Султанов, А. М. Тумайкин, В. И. Юдин, О механизмах прецессии светоиндуцированного квадрупольного момента основного состояния в слабом магнитном поле, ЖЭТФ 94(11), 23-32 (1988).

244. А. И. Алексеев, Векторные свойства силы светового давления для атома в магнитном поле, ЖЭТФ 104, 3603-3619 (1993).

245. А. И. Алексеев, Сила светового давления для оптически поляризованного атома, ЖЭТФ 106, 1319-1342 (1994).

246. Е. Вигнер, Теория групп, Гл. 26, ИИЛ, Москва (1961).

247. Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц, Квантовая механика, Наука, Москва (1989).

248. В. И. Балыкин, В. В. Климов, В. С. Летохов Эффект острой фокусировки атомного пучка ближним полем лазерного излучения, Письма в ЖЭТФ 59, 219-222 (1994).

249. В. В. Климов, В. С. Летохов, Селекция частиц градиентной силой в ближнем поле лазерного излучения, Письма в ЖЭТФ 59, 582-585 (1994).

250. В. В. Климов, В. С. Летохов, Пленение атомов в ближнем поле лазерного излучения, Письма в ЖЭТФ 61, 15-19 (1995).

251. М. V. Berry, Quantum phase factor accompanying adiabatic changes, Proc. R. Soc. London A 392, 45-47 (1984).

252. H. Л. Манаков, А. В. Меремьянин, Поляризационно-угловая структура и эллиптический дихроизм сечения трехфотонных переходов в атомах, ЖЭТФ 111, 1984-2000 (1997).

253. Н. Я. Виленкин, Специальные функции и теория представлений групп, Наука, Москва (1965).

254. V. Milner and Y. Prior, Biaxial orientation of atomic angular momentum, Phys. Rev. A 59, R1738-R1741 (1999).

255. C. Cohen-Tannoudji, J. Dupont-Roc, G. Grynberg, Photons and Atoms, Wiley, New York, N.Y. (1989).

256. А. В. Безвербный, В. С. Смирнов, А. М. Тумайкин, Спектроскопия пробного поля в атомарных средах, оптически ориентированных в основном состоянии, ЖЭТФ 105, 62-78 (1994).

257. Ф. Р. Гантмахер, Теория матриц, Гл.1, §5, Наука, Москва, 1988.

258. Г. Бейтмен и А. Эрдейи, Высшие трансцендентные функции, функции Бесселя, функции параболического циллиндра, ортогональные многочлены, Наука, Москва, 1966.

259. Е. В. Бакланов, Б. Я. Дубецкий, Уравнение Фоккера-Планка для атомов, взаимодействующих со световой волной, Опт. и спектр. 41, 3-9 (1976).

260. J. Dalibard and C. Cohen-Tannoudji, Atomic motion in laser light: connection between semiclassical and quantum descriptions, J. Phys. В 18, 1661-1683 (1985).

261. G. S. Agarwal and K. Maimer, Correlation-function approach to momentum diffusion of atoms moving in standing waves, Phys. Rev. A 47, 5158-5164 (1993).

262. J. Javanainen, Realistic laser cooling theory for multi-state atoms, Opt. Commun. 86, 475-479 (1991); J. Javanainen, Density-matrix equations and photon recoil for multistate atoms, Phys. Rev. A 44, 5857-5880 (1991).

263. S. M. Yoo, J. Javanainen, Wigner-function approach to laser cooling in the recoil limit, J. Opt. Soc. Amer. В 8, 1341-1347 (1991).

264. К. Berg-S0rensen, Y. Castin, E. Bonderup, and K. Maimer, Momentum diffusion of atoms in laser fields, J. Phys. В 25, 4195-4215 (1985).

265. G. Nienhuis, P. van der Straten, S.-Q. Shang, Operator description of laser cooling below the Doppler limit, Phys. Rev. A 44, 462-474 (1991).

266. A. V. Bezverbny, G. Nienhuis, A. M. Tumaikin, Force pattern on atoms in a monochromatic light field with arbitrary polarization, Opt. Commun., 148, 151-158 (1998).

267. R. Karplus and J. Schwinger, A note on saturation in microwave spectroscopy, Phys. Rev. 73, 1020-1026 (1948).

268. R. Grimm, Y. B. Ovchinnikov, A. I. Sidorov, V. S. Letokhov, Observation of a strong rectified dipole force in a bichromatic standing light wave, Phys. Rev. Lett. 65, 1415-1418 (1990).

269. Ю. Б. Овчинников, P. Гримм, А. И. Сидоров, В. С. Летохов, Резонансное световое давление на атомы в бихроматической стоячей волне, Опт. и спектр. 76, 210-220 (1994).

270. J. Javanainen, Nonlinear mixing of light-pressure forces in a three-state atom, Phys. Rev. Lett. 64, 519-522 (1990).

271. A. I. Sidorov, R. Grimm, V. S. Letokhov, Rectification of the gradient force acting on a three-level atom in a bichromatic standing light-wave, J. Phys. В 24, 3733-3740 (1991).

272. P. R. Hemmer, M. S. Shahriar, M. Prentiss, D. P. Katz, K. Berggren, J. Mervis, and N. P. Bigelow, First observation of forces on three-level atoms in Raman resonant standing-wave optical fields, Phys. Rev. Lett. 68, 3148-3151 (1992).

273. D. V. Kosachiov, Yu. V. Rozhdestvensky, G. Nienhuis, Laser cooling of three-level atoms in two standing waves, J. Opt. Soc. Amer. В 14, 535-543 (1997).

274. Т. Cai, N. P. Bigelow, Light pressure forces on multilevel atoms in intense polychromatic fields: a continued fraction approach, Opt. Commun. 104, 175-184 (1993).

275. Т. T. Grove, P. L. Gould, Rectified forces on a three-level atom: the cascade configuration, Laser Physics 4, 957-964 (1994).

276. H. Pu, T. Cai, N. P. Bigelow, Т. T. Grove, P. L. Gould, Cooling and trapping of three-level atoms in a bichromatic standing wave, Opt. Commun. 118, 261-268 (1995).

277. J. Soding, R. Grimm, Stimulated magneto-optical force in the dressed-atom picture, Phys. Rev. A 50, 2517-2527 (1994).

278. A. Haak, W. Ertmer, H. Wallis, Phase-dependent radiation force on multilevel atom, Laser Physics 4, 1030-1041 (1994).

279. R. Gupta, C. Xie, S. Padua, H. Batelaan, H. Metcalf, Bichromatic laser cooling in a three-level system, Phys. Rev. Lett. 71, 3087-3090 (1993).

280. P. Bouyer, P. Lemonde, M. Ben Dahan, A. Michaud, C. Salomon, J. Dalibard, An atom trap relying on optical pumping, Europhys. Lett. 27, 569-574 (1994).

281. T. Bergeman, Quantum calculation for one-dimensional laser cooling: Temporal evolution, Phys. Rev. A 48, R3425-R3428 (1993).

282. M. R. Doery, E. J. D. Vredenbregt, T. Bergeman, Quantum dynamics and cooling of atoms in one dimensional standing-wave laser fields: anomalous effects in Doppler cooling, Phys. Rev. A 51, 4881-4889 (1995).

283. С. M. Рытов, Введение в статистическую радиофизику. Часть I. Случайные процессы, Гл. I, Наука, Москва (1976).

284. L. Mandel, Sub-Poissonian photon statistics in resonance frluorescence, Opt. Lett. 4(7), 205-207 (1979).

285. R. Short and L. Mandel, Observation of sub-Poissonian photon statistics, Phys. Rev. Lett. 51, 384-387 (1983).

286. Y. Castin and K. M0lmer, Atomic momentum diffusion in a <r+ — cr laser configuration: influence of an internal sublevel structure, J. Phys. В 23, 4101-4110 (1990).

287. С. Cohen-Tannoudji and S. Reynaud, Dressed-atom description of resonance fluorescence and absorption spectra of multi-level atom in an intense laser beam, J. Phys. В 10, 345-364 (1977).

288. В. И. Балыкин, Д. В. Ларюшкин, М. В. Субботин, В. С. Летохов, Увеличение атомной фазовой плотности в полом лазерном волноводе, Письма в ЖЭТФ 63, 763-767 (1996).

289. М. A. Olshanii, Stark-shift-induced velocity-selective coherent population trapping, J. Phys. В 24, L583-L588 (1991).

290. M. А. Олынаный, Селективное по скорости когерентное пленение населенности, индуцированное динамическим эффектом Штарка, Опт. и Спектр. 76, 196-198 (1994).

291. С. Foot, Н. Wu, Е. Arimondo, and G. Morigi, Optical elements for interferometry of atoms with J > 1, J. Phys. II France 4, 1913-1924 (1994).

292. M. S. Shahriar, P. R. Hemmer, M. G. Prentiss, P. Marte, J. Mervis, D. P. Katz, N. P. Bigelow, T. Cai, Continuous polarization-gradient precooling-assisted velocity-selective coherent population trapping, Phys. Rev. A 48, R4035-R4038 (1993).

293. P. Marte, R. Dum, R. Tai'eb, P. Zoller, M.S. Shahriar, M. Prentiss, Polarization-gradient-assisted subrecoil cooling: Quantum calculations in one dimension, Phys. Rev. A 49, 4826-4836 (1994).

294. M. Widmer, М. J. Bellanca, W. Buell, H. Metcalf, M. Doery, and E. Vredenbregt, Measurement of force-assisted population accumulation in dark states, Opt. Lett. 21, 606-608 (1996).

295. J. Hack, L. Liu, M. Olshanii, H. Metcalf, Velocity-selective coherent population trapping of two-level atoms, Phys. Rev. A 62, 013405 (2000).

296. R. Gupta, S. Padua, C. Xie, H. Batelaan, and H. Metcalf, Simplest atomic system for sub-Doppler laser cooling, J. Opt. Soc. Am. В 11, 537-54-1 (1994).

297. P. Курант, Д. Гильберт, Методы математической физики, Т.1, ИИЛ, Москва (1951).

298. В. И. Смирнов, Курс высшей математики, Т.2, ГИТТЛ, Москва (1951).

299. N. F. Ramsey, A molecular beam resonance method with separated oscillating fields, Phys. Rev., 78, 695-699 (1950).

300. T. Esslinger, F. Sander, T. Hansch, Recurring Dark States in Ramsey type Subrecoil Cooling, Appl. Phys. В 65, 701-705 (1997).

301. D. L. Haycock, P. M. Alsing, I. H. Deutsch, J. Grondalski, P. Jessen, Mesoscopic quantum coherence in an optical lattice, Phys. Rev. Lett. 85, 3365-3368 (2000).

302. F. B. J. Buchkremer, R. Dumke, H. Levsen, G. Birkl, W. Ertmer, Wave packet echoes in the motion of trapped atoms, e-print quant-ph/0008083 in xxx.lanl.gov archive (2000).

303. G. K. Brennen, С. M. Caves, P. S. Jessen, I. H. Deutsch, Quantum logic gates in optical lattice, Phys. Rev. Lett. 82, 1060-1063 (1999).

304. D. Jaksch, H.-J. Briegel, J. I. Cirac, C. W. Gardiner, and P. Zoller, Entanglement of Atoms via Cold Controlled Collisions, Phys. Rev. Lett. 82, 1975 (1999).

305. С. H. Bennet, Quantum information and computation, Physics Today 48, 24-30 (1995).

306. M. Ben Dahan, E. Peik, J. Reichel, Y. Castin, C. Salomon, Bloch oscillations of atoms in an optical potential, Phys. Rev. Lett. 76, 4508-4-511 (1996).

307. E. Peik, М. Ben Dalian, I. Bouchoule, Y. Castin, C. Salomon, Bloch oscillations of atoms, rapid passage, and monokinetic atomic beams, Phys. Rev. A 55, 2989-3001 (1997).

308. S. R. Wilkinson, C. F. Bharucha, K. W. Madison, Qian Niu, and M. G. Raizen, Observation of atomic Wannier-Stark ladders in an accelerating optical potential, Phys. Rev. Lett. 76, 4512-4515 (1996).

309. C. F. Bharucha, K. W. Madison, P. R. Morrow, S. R. Wilkinson, B. Sundaram, and M. G. Raizen, Observation of atomic tunneling from an accelerating optical potential, Phys. Rev. A 55, R857-R860 (1997).

310. B. Deb and G. Kurizki, Laser-induced giant quasi-molecules in optical lattices, e-print quant-ph/0012079 in xxx.lanl.gov archive (2000).

311. F. L. Moore, J. C. Robinson, C. F. Bharucha, Bala Sundaram, and M. G. Raizen, Atom optics realization of the quantum delta-kicked rotor, Phys. Rev. Lett. 75, 4598-4601 (1995).

312. A. C. Doherty, К. M. Vant, G. H. Ball, N. Christensen, R. Leonhardt, Momentum distribution for the quantum 5-kicked rotor with decoherence, J. Opt. В 2, 605-611 (2000).

313. W. H. Zurec, Decoherence and the transition from quantum to classical, Physics Today 44, 36-44 (1991); W. H. Zurec, Decoherence, einselection and the existential interpretation (the rough guide), Phil. Trans. R. Soc. Lond. A 356, 1793-1821 (1998).

314. M. Kasevich, E. Riis, S. Chu, R. De Voe, rf Spectroscopy in an atomic fountain, Phys. Rev. Lett. 63, 612 (1989).

315. A. Clairon, C. Salomon, S. Guellati, W. D. Phillips, Ramsey resonances in a Zacharias fountain, Europhys. Lett. 16, 165 (1991).

316. Ph. Laurent, P. Lemonde, E. Simon, G. Santarelli, A. Clairon, N. Dimarcq, P.Petit, C. Audoin, and C. Salomon, A cold atom clock in absence of gravity, Eur. Phys. J. D 3, 201-204 (1998).

317. V. Voletic and S. Chu, Laser cooling of atoms, ions, or molecules by coherent scattering, Phys. Rev. Lett. 84, 3787-3790 (2000).

318. W. M. Itano, D. J. Heinzen, J. J. Bollinger, and D. J. Wineland, Quantum Zeno effect, Phys. Rev. A, 41, 2295 (1990); M. Kitano, K. Yamane, T. Ikushima, Spin manopulation by absorption-free optical pumping, Phys. Rev. A 59, 3710-3713 (1999).

319. M. Abramowitz and I. A. Stegun eds., Handbook of Mathematical Functions, Dover, New York, (1970).

320. JI. Понтрягин, А. Андронов, А. Витт, О статистическом рассмотрении динамических систем, ЖЭТФ 3, 165-180 (1933).