Влияние перманентного стохастического возмущения на состояния взаимодействующих с окружающей средой осцилляторов и ротаторов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, доктор физико-математических наук Иванов, Вячеслав Николаевич

• Иванов, Вячеслав Николаевич
• доктор физико-математических наук
• 2009

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Иванов, Вячеслав Николаевич

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА I. УРАВНЕНИЕ НЕЙМАНА ДЛЯ СТАТИСТИЧЕСКОГО ОПРЕРАТОРА СИСТЕМ, ИСПЫТЫВАЮЩИХ ПЕРМАНЕНТНОЕ СТОХАСТИЧЕСКОЕ

ВОЗМУЩЕНИЕ.

§ 1. Учет перманентного возмущения в рамках метода Лэкса.

§2. Редукция матрицы плотности методом Цванцига.

ГЛАВА II. ВВЕДЕНИЕ В УРАВНЕНИЕ ШРЁДИНГЕРА

СЛАГАЕМЫХ, УЧИТЫВАЮЩИХ СТОХАСТИЧЕСКОЕ

ВОЗМУЩЕНИЕ КВАНТОВОЙ ПОДСИСТЕМЫ.

§ 1. Метод Фейнмана.

§2. Учёт в фейнмановском пропагаторе стохастического возмущения выделенной подсистемы.

§3. Учёт обратной связи в уравнении Шрёдингера для выделенной подсистемы, взаимодействующей с окружением.

ГЛАВА III. СОБСТВЕННЫЕ СОСТОЯНИЯ СТАЦИОНАРНОГО УРАВНЕНИЯ ШРЁДИНГЕРА ДЛЯ ЭФФЕКТИВНЫХ

ВОЛНОВЫХ ФУНКЦИЙ.

§ 1. Определение волновых функций подсистемы, с помощью метода теории возмущений.

§ 2. Волновые функции водородоподобного атома, испытывающего перманентное стохастическое возмущение.

§ 3. Состояния осцилляторов, испытывающих перманентное стохастическое возмущение.

§ 4. Собственные состояния ротатора в Марковском термостате.

ГЛАВА IV. ВЛИЯНИЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ КВАНТОВЫХ ПОДСИСТЕМ НА ИЗЛУЧЕНИЕ И РАССЕЯНИЕ

ИМИ СВЕТА

§ 1. Взаимное движение атомов в кристаллах и их низкочастотное излучение.

§ 2. Преобразование частоты внешнего излучения атомами при возбуждении в среде стоячей звуковой волны.

§ 3. Комбинационное рассеяние света атомами, осциллирующими в среде.

§ 4. Влияние интерференции квантовых состояний на комбинационное рассеяние света атомами.

§ 5. Вынужденное комбинационное рассеяние света атомами.

ГЛАВА V. ВЛИЯНИЕ ПЕРМАНЕНТНОГО СТОХАСТИЧЕСКОГО ВОЗМУЩЕНИЯ НА ЗАСЕЛЕННОСТЬ КВАНТОВЫХ

СООСТОЯНИЙ ОСЦИЛЛЯТОРОВ И РОТАТОРОВ.

§ 1. Заселенность состояний квантового осциллятора.

§2. Влияние стохастического возмущения на заселенность состояний квантового ротатора.

§3. Тепловое излучение ансамблей ротаторов и осцилляторов.

§4. Влияние стохастического возмущения на движение заряженных частиц в магнитном поле.

§5. Бозе-конденсация состояний осцилляторов при наличии анизотропии возмущения.

§6. Влияние стационарного магнитного поля на состояния ионизированных осцилляторов.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Влияние перманентного стохастического возмущения на состояния взаимодействующих с окружающей средой осцилляторов и ротаторов»

АКТУАЛЬНОСТЬ ПРОБЛЕМЫ. Учёт влияния окружающей среды на квантовые системы является одной из важнейших задач, возникающих в спектроскопии. В частности, в спектроскопии атомов и молекул. Причём, при теоретическом рассмотрении влияния окружения на молекулы в качестве моделей широко используются квантовые осцилляторы и ротаторы. Наиболее полно изучено поведение изолированных молекул под действием стационарных и регулярных во времени возмущений. Однако проблема учета стохастических возмущений требует дополнительных исследований, особенно в случае, когда речь идет о молекулах в жидкостях и газах. В этих средах происходит объединение молекул в кластеры и вандерваальсовские молекулы, имеющие большое эффективное сечение. Из-за такого объединения частота ударных возмущений отдельной молекулы, входящей в ассоциат, может оказаться близкой по величине к частоте столкновений, испытываемых обычной броуновской частицей, т.е. около 1021 столкновений в секунду [1]. Задача усложняется ещё и тем, что молекулы в таком ассоциате взаимосвязаны, и любое вызванное возмущением изменение состояния отдельной молекулы оказывает влияние на соседей, что в конечном итоге сказывается и на самой молекуле. В частности, существенной эта проблема становится в случае, когда молекулы взаимодействуют с излучением, частота которого близка к резонансной, а изучаемая квантовая система является, по сути, подсистемой более сложного объекта и участвует в коллективных движениях. Здесь возникает необходимость учёта как регулярных во времени возмущений, вызванных реакцией окружающей среды на изменение изучаемой подсистемы, так и релаксационных процессов, обусловленных стохастическим возмущением.

Квантовые осцилляторы и ротаторы - хорошо изученные объекты, особенности влияния на которые как стационарных, так и регулярных во времени возмущений подробно исследованы [2—4]. Методы учёта ударных возмущений этих объектов также известны. Эти методы имеют как свои достоинства, так и недостатки.

Хорошо отработанный метод описания релаксации квантовых систем, основанный на формализме статистического оператора и формализма матрицы плотности [5-7] позволяет, в принципе, учитывать перманентный характер стохастического возмущения. Однако при аналитическом рассмотрении динамики изменения выделенной квантовой подсистемы, особенно в резонансном приближении, он имеет ограниченные возможности. Это связано с тем, что при использовании формализма матрицы плотности число уравнений, которые необходимо при решении принимать во внимание пропорционально квадрату числа учитываемых квантовых состояний выделенной подсистемы. А это значит, что уже при рассмотрении трехуровневой квантовой подсистемы аналитическое решение возможно только при использовании методов теории возмущений (метода последовательных приближений), которая вблизи резонанса становится неэффективной. При использовании численных методов решения по той же причине могут возникать трудности при интерпретации результатов. Кроме того, при рассмотрении состояний выделенной квантовой подсистемы с помощью статистического оператора возникает необходимость априорного «огрубления» задачи и сведения интегро-дифференциального уравнения, к дифференциальному уравнению [6]. В противном случае практически невозможно выделить ограниченную квантовую подсистему в качестве самостоятельного объекта изучения.

Широко используемый феноменологический подход к учету релаксации, когда во временную часть волновых функций вводятся «руками» дополнительные сомножители, приводящие к затуханию квантовых состояний [8] позволяет формально избежать при рассмотрении задач в резонансном приближении ряда трудностей, присущих методу статистического оператора. Однако априорное введение констант релаксации обычно мало связано со свойствами окружающей среды и приводит к заметным сложностям при попытке учета столкновительных процессов [9]. В конечном итоге, из-за необходимости довольно сильных априорных предположений о характере затухания квантовых состояний те преимущества, что имеет феноменологический подход при решении задач в резонансном приближении [10] в значительной степени теряются. В принципе, при попытке учета релаксационных процессов на языке волновых функций возможен формальный переход от уравнения Неймана, описывающего с помощью статистического оператора поведение квантовой системы в термостате, к уравнению Шрёдингера [5,6]. Однако он применим для систем, состояние которых является практически чистым. Попытка использования его при рассмотрении систем, находящихся в смешанных состояниях, не дает желаемого результата [11].

ЦЕЛЬ И ЗАДАЧИ РАБОТЫ. Целью данной работы является разработка метода учета релаксационных явлений в случае перманентного стохастического. возмущения квантовых осциллятора и ротатора, в котором по возможности были бы объединены достоинства метода статистического оператора и формализма волновых функций. Целью данной работы является также решение ряда статистических и спектроскопических задач, связанных как с перманентным стохастическим возмущением, так и нелинейным в общем случае характером взаимодействия подсистем сложной квантовой системы, решение которых обычными методами затруднено [12,13].

Методом, позволяющим проводить указанный выше учет стохастического возмущения и вводить в рассмотрение нелинейные операторы, описывающие состояния подсистем сложных квантовых образований, является подход, основанный на идеологии интегралов по путям Фейнмана [14,15]. Этот способ развивается автором данной работы в течение ряда лет. Он состоит в построении уравнения Шрёдингера сразу для эффективных, усредненных по влиянию окружения волновых функций, соответствующих смешанным квантовым состояниям. Использование таких ц/ -функций позволяет сохранить при рассмотрении состояний возмущенных квантовых систем весьма эффективную схему решения уравнения Шрёдингера, разработанную для резонансных задач. Это расширяет возможности аналитического исследования поведения квантовых подсистем в конденсированных средах. В то же время сам факт усреднения волновой функции по влиянию окружающей среды, т.е. построение у/ -функции, соответствующей некоторому ансамблю идентичных квантовых подсистем, взаимодействующих с окружением, позволяет при интерпретации результатов руководствоваться идеями статистической физики.

Фейнмановская формулировка квантовой механики строится на представлении амплитуды вероятности (волновой функции) в некоторый момент времени, как суммы вторичных волн (амплитуд вероятности), фаза которых определяется величиной действия, вычисленного по альтернативным траекториям, соединяющим начальное и конечное состоянии. Такая интерпретация -функции позволяет еще на стадии построения волнового уравнения вводить в число причин, определяющих величину фаз волн, кроме квантовых флуктуаций и стохастическое возмущение.

В процессе выполнения работы были намечены и решены следующие задачи:

1) проведен анализ явлений, могущих повлиять на волновую функцию квантового объекта, являющегося элементом более сложной системы;

2) построен формализм введения в метод интегралов по путям Фейнмана стохастического возмущения, позволяющий записывать уравнение Шредингера непосредственно для усредненных по влиянию окружения волновых функций;

3) найден один из возможных способов учета в описывающем выделенную подсистему уравнении Шрёдингера реакции окружающей среды на эволюцию этой подсистемы, позволяющий формально рассматривать квантовые подсистемы как замкнутые объекты;

4) проведено сравнение формализма эффективных волновых функций с формализмом матрицы плотности и показана их близость;

5) решен с помощью построенного для эффективных волновых функций уравнения Шрёдингера ряд тестовых задач;

6) изучено влияние нелинейного характера взаимодействия квантовых осцилляторов и ротаторов на заселенность их энергетических уровней;

7) предложена и решена задача о рассеянии интенсивного электромагнитного излучения нелинейно взаимодействующими атомами, участвующих в коллективных движениях;

8) рассмотрено влияние анизотропии возмущения на заселённость энергетических уровней осциллятора;

9) изучено, как меняются квантовые состояния испытывающих перманентное стохастическое возмущение осцилляторов в стационарном магнитном поле.

ОБЪЕКТЫ И МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ. В качестве объектов исследований выбраны квантовый осциллятор, квантовый ротатор и отдельный атом, взаимодействующие с окружающей средой. Все построения, проведенные в данной работе, являются теоретическими. Рассмотрение задач статистической физики и нелинейной спектроскопии проведено с помощью уравнения Шрёдингера, построенного для эффективных волновых функций. Правильность части полученных результатов на качественном и количественном уровне проверялась путем их сравнения с известными экспериментальными данными.

НАУЧНАЯ НОВИЗНА. Предложен новый подход к проблеме описания релаксации квантовых подсистем, являющихся элементами более сложных объектов. Разработан способ введения в уравнение Шредингера операторов, учитывающих статистические свойства окружающей среды. Показано, что именно взаимодействие с окружающей средой приводит к тому, что квантовая подсистема находится в одном из своих состояний, являющихся решением стационарного уравнения Шрёдингера. Получено, что перманентное стохастическое возмущение и нелинейный характер взаимодействия с окружающей средой приводят при температурах ниже некоторого предела к Бозе-конденсации состояний квантового осциллятора и ротатора. Данная конденсация меняет теплоемкость системы осцилляторов и ротаторов. Показано, что из-за взаимодействия с окружающей средой вероятности нахождения осцилляторов и ротаторов в состояниях с различной энергией различны и при достаточно высоких температурах близки к распределению Больцмана. Отмечен и изучен возможный механизм преобразования излучения при рассеянии света на атомах, являющихся элементами сложных квантовых систем.

НАУЧНАЯ И ПРАКТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ. Результаты работы расширяют возможности исследования поведения конденсированных квантовых систем, взаимодействующих как с электромагнитным излучением, так и другими системами. Разработанный метод учета перманентного стохастического возмущения и самовоздействия квантовых подсистем дает новый инструмент редукции при изучении больших квантовых систем к квазизамкнутым системам меньшего размера. Выявленные особенности заселения энергетических состояний квантовых осцилляторов и ротаторов открывают дополнительные возможности при создании веществ с заданными свойствами. Полученные результаты по динамике возбуждения спектров атомов, являющихся элементами сложных систем могут быть использованы при создании устройств по преобразованию света.

ЗАЩИЩАЕМЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ

1. Введение в рамках фейнмановского подхода к квантовой механике вероятностной меры при переходе от континуального интегрирования к мультипликативному позволяет при её соответствующем определении записать уравнение Шрёдингера для эффективной усредненной по влиянию окружения ^-функции выделенной подсистемы, являющейся элементом большого ансамбля.

2. Причинами нахождения квантовой подсистемы в собственных состояниях стационарного уравнения Шрёдингера при Т Ф О являются перманентное стохастическое возмущение и нелинейное взаимодействие подсистемы с окружением.

3. Нелинейный характер взаимодействия выделенной квантовой подсистемы с окружением и перманентное стохастическое возмущение приводят к различным вероятностям заселения энергетических уровней квантовых систем. Причем, у квантовых осцилляторов и ротаторов эти распределения близки в широком диапазоне температур к распределению Больцмана.

4. При температурах ниже некоторого предела из-за нелинейного характера взаимодействия с окружением при наличии перманентного стохастического возмущения возможна^ Бозе-конденсация состояний квантовых осцилляторов и ротаторов.

5. Наличие перманентного стохастического возмущения и самовоздействие квантовых подсистем через окружение приводят в случае участия атомов в коллективном движении к комбинационному рассеянию света ансамблем квазисвободных атомов.

6. Анизотропия возмущения приводит к понижению температуры, при которой возможна Бозе-конденсация состояний осцилляторов.

7. Бозе-конденсация состояний осциллятора в магнитном поле становится возможной при более низкой температуре, нежели без поля, а при больших напряженностях поля вообще невозможна.

АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ. Результаты работы докладывались на выездной сессии Совета по спектроскопии СО АН СССР в г. Омске (1997), на X Всесоюзном симпозиуме-школе по молекулярной спектроскопии высокого и сверхвысокого разрешения (июнь 1992, г.Омск), на XIV Международной конференции по нелинейной и когерентной оптике (сентябрь 1992, г.С.Петербург), на конференции с приглашением иностранных ученых «Импульсные лазеры на переходах атомов и молекул» (сентябрь 1993, г.Томск), на XI симпозиуме-школе с приглашением иностранных ученых HIRUS-94 (июнь 1994, Г.Москва), на Международной конференции «Импульсные лазеры на переходах атомов и молекул» (март 1996, г.Томск), на XI Международной Вавиловской конференции по нелинейной оптике (июнь 1998, г.Новосибирск), на III Международной конференции «Импульсные лазеры на переходах атомов и молекул» (сентябрь 1998, г.Томск), на IV Международной конференции «Импульсные лазеры на переходах атомов и молекул» (сентябрь 1999, г.Томск), на V Международной конференции "AMPL-2001" (сентябрь. 2001, г.Томск), на VI Международной конференции "AMPL-2003" (сентябрь 2003, г.Томск), на VII Международной конференции "AMPL-2005" (сентябрь 2005, г.Томск), на VIII Международной конференции "AMPL-2007" (сентябрь 2007, г.Томск), на IX Международной конференции "AMPL-2009" (сентябрь 2009, г.Томск).

СТРУКТУРА ДИССЕРТАЦИИ. Диссертация состоит из введения, пяти глав и заключения. Она изложена на 206 страницах машинописного текста. Список литературы содержит 113 наименований.

Заключение диссертации по теме «Теоретическая физика», Иванов, Вячеслав Николаевич

ЗАКЛЮЧЕНИЕ ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1. В рамках статистического подхода проведён анализ влияния на выделенную подсистему перманентного стохастического возмущения, обусловленного остальной частью квантовой системы. Редуцированное к уравнению подсистемы уравнение Неймана квантовой системы в случае, когда окружение представляет собой массивный термостат, является линейным. Из полученного уравнения следует, что при этом состояние выделенной подсистемы должно описываться волновой функцией, не сохраняющей нормировку во времени.

2. При анализе случая, когда обратной связью пренебрегать нельзя (изменение состояния подсистемы существенно сказывается, по крайней мере, на ближайших соседях), показано с помощью метода Цванцига редукции уравнения Неймана сложной системы к уравнению для статистического оператора подсистемы, что уравнение для волновой функции выделенной подсистемы должно быть нелинейным.

3. Показано, что метод интегралов по путям Фейнмана дает возможность ввести в число факторов, влияющих на квантовую подсистему, перманентное стохастическое возмущение.

4. Разработан алгоритм введения в пропагатор Фейнмана перманентного стохастического возмущения. Возмущение учитывается при переходе от континуального интегрирования к мультипликативному путём усреднения пропагатора по вероятности реализации случайных альтернативных траекторий. Такое усреднение позволяет учитывать стохастические возмущения, корреляционное время которых много меньше характерных времен изменения квантовой подсистемы.

Предложенный алгоритм усреднения пропагатора по вероятностям реализации возможных альтернативных траекторий позволяет, кроме того, вводить в число возмущающих факторов адиабатически меняющуюся скорость направленного движения окружающей среды относительно выделенной подсистемы.

5. Показано, что если при усреднении сохраняются групповые свойства пропагатора, получающееся в итоге интегральное уравнение эквивалентно уравнению Шрёдингера, записанному для эффективных волновых функций, учитывающих влияние на квантовую подсистему перманентного стохастического возмущения.

6. Проанализировано поведение статистического оператора «чистого» состояния выделенной подсистемы, построенного с помощью усреднённых по влиянию окружения волновых функций. Показано, что в случае, когда обратной связью с окружением можно пренебречь, этот статистический оператор удовлетворяет такому же по структуре уравнению Неймана, что и оператор, полученный в результате редукции матрицы плотности сложной системы к матрице плотности подсистемы. Для ротаторов и осцилляторов эти уравнения для элементов матрицы плотности, записанных в энергетическом представлении, в частном, но важном случае взаимодействия с электромагнитном полем вообще совпадают.

7. Получено уравнение Шрёдингера для сохраняющих нормировку усреднённых по влиянию окружения волновых функций. Это уравнение является нелинейным, и его гамильтониан по форме близок к гамильтониану, используемому в молекулярной спектроскопии при описании стационарного влияния соседних молекул друг на друга.

8. Показано, что часть решений нелинейно уравнения совпадает с перенормированными волновыми функциями, являющимися решением линейного уравнения Шрёдингера, записанного для усреднённых волновых функций.

9. Найдены решения уравнения Шрёдингера для усредненных функций испытывающих перманентное стохастические возмущение атомов водорода, осциллятора, ротатора. Построена теория возмущения для усреднённых волновых функций произвольного атома. Показано, что стохастическое возмущение может приводить к нарушению условий ортогональности для волновых функций, являющихся решением стационарного уравнения Шрёдингера.

10. При анализе влияния на атомы выделенной подсистемы её перемещения относительно окружающей среды получено, что при меняющейся со звуковой частотой скорости дрейфа подсистемы относительно окружения, у этих атомов индуцируется соизмеримый по величине с резонансным дипольный момент, осциллирующий со звуковой частотой. Этот дипольный момент дает заметный вклад в тепловое излучение твёрдых тел.

11. Показано, что действие на атомы, осциллирующие относительно соседей, резонансного квантовому переходу оптического излучения приводит к комбинационному рассеянию света. Получены в двухуровневом и трехуровневом приближении условия, при которых это комбинационное рассеяние становится заметным. Показано, что в случае, когда осцилляции обусловлены упругими волнами, интенсивность стоксовой компоненты много больше интенсивности антистоксовой. В случае, когда низкочастотные осцилляции синхронизованы низкочастотной электромагнитной волной, стоксовая и антистоксовая компоненты становятся соизмеримы между собой. Они являются более интенсивными, нежели аналогичные составляющие при синхронизации колебаний упругими волнами, причем наиболее интенсивны эти компоненты в направлении, совпадающем с направлением падающей на квантовую подсистему световой волны.

12. Получено, что при возбуждении в твердом теле стоячей звуковой волны и облучении его электромагнитным излучением, это твердое тело может стать излучателем низкочастотного электромагнитного излучения с узкой диаграммой направленности.

13. Проанализировано влияние нелинейности уравнения Шрёдингера на его возможные решения. Получено, что кроме регулярных по времени решений это уравнение допускает и нерегулярные решения, переходы между которыми носят характер скачка. Получено, что из-за разной вероятности переходов вниз и вверх заселенность более низких уровней квантового осциллятора больше, чем верхних. Построены методами математического моделирования кривые заселенности квантового осциллятора при разных отношениях энергии колебаний и температуры. Кривые в широком диапазоне температур близки к распределению Больцмана.

14. Анализ возможных решений нелинейного уравнения Шрёдингера

2 Ьсо г у осцилляторов, испытывающих перманентное стохастическое возмущение должна наблюдаться Бозе-конденсация состояний. Такая Бозе-конденсация приводит к тому, что система осцилляторов становится «невидимой» в оптическом диапазоне вблизи частоты, совпадающей с собственной частотой осцилляторов. Кроме того, из этого результата следует, что у твёрдых тел, свойства которых близки к свойствам слабосвязанных осцилляторов, при наличии в этих телах свободных носителей заряда при показывает, что при температуре ниже величины Ть понижении температуры ниже Т\ должны резко уменьшаться тепловые потери.

15. Рассмотрено влияние нелинейного характера взаимодействия ротаторов на заселённость их энергетических уровней. Получено, что при т 2Й2 понижении температуры ниже критическои величины 1 £ =- имеет Ы место Бозе-конденсация состояний ротатора, что должно приводить к эффекту «невидимости» ротаторов в оптическом диапазоне вблизи вращательных частот.

16. Исследовано влияние перманентного стохастического влияния на циклотронное излучение заряженных частиц в стационарном магнитном поле. Получено, что при увеличении напряженности поля выше некоторой критической величины, зависящей от температуры, циклотронное излучение может исчезнуть.

17. Получено, что анизотропия возмущения (возмущающие частицы движутся преимущественно с одного направления) может привести к исчезновению Бозе-конденсации состояний осцилляторов.

18. Рассмотрено влияние магнитного поля на Бозе-конденсацию состояний осцилляторов. Получено, что с ростом напряженности магнитного поля эта конденсация должна наблюдаться при всё более низкой температуре, а при превышении напряженности поля величины тс со

Н —-такой конденсации вообще не будет.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Иванов, Вячеслав Николаевич, 2009 год

1. Чандрасекар С. Стохастические проблемы в физике и астрономии. - М.: ИЛ. 1947.- 166 с.

2. Фурсов B.C., Оганов М.Н., Стриганов А.Р. Уширение спектральных линий и сила осцилляторов благородных газов. //ДАН

3. СССР. 1955. 101. Т.З. С. 453-455.

4. Соколов A.A., Лоскутов Ю.М., Тернов И.М. Квантовая механика. — М.: Просвещение. 1965.-638 с.

5. Волькенштейн М.В., Грибов A.A., Ельяшевич М.А., Степанов В.И. Колебания молекул. -М.: Наука. 1972. 699 с.

6. БлумК. Теория матрицы плотности и ее применения.- М.: Мир. 1983. -247 с.

7. Файн В.М. Фотоны и нелинейные среды. -М.: Советское радио. 1972.472 с.

8. Марч Н., Янг У., Сампантхар С. Проблема многих тел в квантовой механике. М.: Мир. 1969. - 496 с.

9. Макомбер Дж. Динамика спектроскопических переходов. М.: Мир.1979. 347 с.

10. Пестов Э.Г. Теория релаксации квантовых систем в сильном электромагнитном поле. //Труды ФИАН СССР. 1988. Т. 187. С. 60-116.

11. Ален Л., ЭберлиДж. Оптический резонанс и двухуровневые атомы. -М.: Мир. 1978.-222 с.

12. Акулин В.М., Карлов Н.В. Интенсивные резонансные взаимодействия в квантовой электронике. М.: Наука. 1987. - 311 с.

13. Сухоруков А.П. Нелинейные волновые взаимодействия в оптике и радиофизике. М.: Наука. 1988. - 231 с.

14. Райнжес Дж. Нелинейные оптические параметрические процессы вжидкостях и газах. М.: Мир. 1987. - 510 с.

15. Фейнман Р., Хибс А. Квантовая механика и интегралы по траекториям. М.: Мир. 1968.-382 с.

16. Фейнман Р. Статистическая механика.- М.:Мир. 1978.- 407 с.

17. Вайнштейн JI.A., Собельман И.И., Юков Е.А. Возбуждение атомов иуширение спектральных линий. М.:Наука. 1979. - 319 с.

18. Грим Г. Спектроскопия плазмы.- М. :Атомиздат. 1969.- 452 с.

19. Грим Г. Уширение спектральных линий в плазме. М.: Мир. 1978.491 с.

20. Друкарев Г.Ф. Теория столкновений электронов с атомами. М.:1. Физматгиз. 1963. 219 с.

21. Шкаровский И., Джонстон Т., Бачинский М. Кинетика частиц плазмы.

22. М.: Атомиздат. 1969. 396 с.

23. Методы исследования плазмы. Под редакцией В.Лохте-Хольтгревена.1. М.: Мир. 1971.-552 с.

24. Собельман И.И. Введение в теорию атомных спектров. М.: Наука.1977.-319 с.

25. Лэкс М. Флуктуации и когерентные явления. -М.: Мир. 1974. 299 с.

26. Иванов В.Н. Связь эффективных волновых функций с формализмом матрицы плотности.//Изв. вузов. Физика. 1998. Т.41. №7. С. 13-17.

27. Беллман Р. Введение в теорию матриц. —М.: Наука. 1969. 367 с.

28. Савельев И.В. Курс общей физики. Т.З. -М.: Наука. 1979. 304 с.

29. Zwanzig R.W. Ensemble method in the theory of irreversibility. //J. Chem. Phys. 1960. V.33. p.1338-1341.

30. Фон Нейман. Математические основы квантовой механики. М.:1. Наука. 1964. 367 с.

31. Primas H. Generalized perturbation theory in operator form.//Rev. Mod.

32. Phys. 1963. V.35, No 3. P. 245-250.

33. Finkelstein D. On relation between commutators. // Communpure Appl.

34. Math. 1955. V.8. No 2. P. 710-712.

35. Макушкин Ю.С., ТютеревВ.Г. Методы возмущений и эффективныегамильтонианы в молекулярной спектроскопии. Н.: Наука. 1984. -239 с.

36. Wilcox R.M. Exponential operators and parameter differentiation./Л. Math,

37. Phys. 1967. No 4. P. 962-982.

38. Гудмен Дж. Введение в Фурье-оптику. M.: Мир. 1970. - 364 с.

39. Савельев И.В. Основы теоретической физики. Т.2.- М.: Наука. 1977.351 с.

40. Борн М., Вольф Э. Основы оптики.- М.:Наука. 1970. 855 с.

41. Юу Ф.Т.С. Введение в теорию дифракции, обработку информации иголографию. М.: Советское радио. 1979. - 304 с.

42. Альвербеверио С., Фенстау И., Хеэг-Крон Р., Линдстрем Т.

43. Нестандартные методы в стохастическом анализе и математической физике. М.: Мир. 1990. - 616 с.

44. Березин Ф.А. Метод вторичного квантования. М.: Наука. 1986. - 319 с.

45. Славнов A.A., Фаддеев Л.Д. Введение в квантовую теориюкалибровочных полей. М.: Наука. 1988. - 267 с.

46. Справочник по специальным функциям. Под ред. М.Абрамовица и

47. И.Стиган. М.: Наука. 1979. - 830 с.

48. Иванов В.Н. Флуктуации амплитуды вероятности в рамках формализма интегралов по траекториям. Деп. ВИНИТИ. № 3340-81. Деп. 1981. 7 с.

49. Иванов В.Н. Флуктуации волновой функции и квантовые состояния.

50. Сб. Распространение лазерного излучения в поглощающей свет среде. Томск. Филиал СО АН СССР.- 1982. С. 33-39.

51. Иванов В.Н. К вопросу о квантовых состояниях.//Изв, вузов. Физика.1983. Т.26. №4. С. 60-62.

52. Иванов В.Н. Ограничение длины траекторий и уравнение Клейна

53. Гордона. //Изв. вузов. Физика. 1984. Т.27. №12 - С. 63-66.

54. Иванов В.Н. К вопросу о рассеянии нестабильных частиц./Ред. журн.

55. Изв. вузов. Физика». Томск. 1986. - Деп. в ВИНИТИ 02.12.86. №8176.

56. Иванов В.Н. О возможной причине пульсаций излучения нейтронныхзвезд. /Ред. журн. «Изв. вузов. Физика». Томск. 1987. - Деп. в ВИНИТИ. №7353-В-87. 6 с.

57. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Механика. М.: Наука. 1973. - 208 с.

58. Ван Кампен Н.Г. Стохастические процессы в физике и химии. М.:

59. Высшая школа. 1990. 376 с.

60. Лиггетт Т. Марковские процессы с локальным взаимодействием. М.:1. Мир. 1989.-550 с.

61. Ито К., МаккинГ. Диффузионные процессы и их траектории. М.:1. Мир. 1968.-394 с.

62. Bausch R., Janssen Н.К., Wagner H. Renormalized Field Theory of Critical

63. Dynamics.//Zeitschrift fur Physik В. 1987. V.24. P. 113-127.

64. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и её приложение. Т.1. М.:1. Мир. 1984. 527 с.

65. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и её приложение. Т.2. М.:1. Мир. 1984.-751 с.

66. Боровков A.A. Теория вероятностей. М.: Наука. 1986. 431 с.

67. Балеску Р. Равновесная и неравновесная статистическая механика. Т.1.- М.: Мир. 1978.-399 с.

68. Балеску Р. Равновесная и неравновесная статистическая механика. Т.2.- М.: Мир. 1978.-399 с.

69. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Квантовая механика.- М.: Физматгиз. 1963.- 702 с.

70. Галицкий В.М., Карнаков Б.М., Коган В.И. Задачи по квантовоймеханике. М.: Наука. 1981. - 648 с.

71. Иванов В.Н. Кинетический способ описания релаксации квантовыхсистем. //Оптика атмосферы. 1991. Т.4. №1. С. 82-87.

72. Иванов В.Н. Рассеяние света нестабильными двухуровневымиатомами./Юптика атмосферы. 1988. Т.1. №11. С. 10-15.

73. Иванов В.Н., Творогов С.Д. Об интерференции квантовых состояний всильных полях. //Изв. РАН. Сер. Физика. 1992. Т.56. №8. С. 76-83.

74. Иванов В.Н. Эвристический способ описания релаксации квантовыхсистем. //Изв. вузов. Физика. 1996. Т.39. №2. С. 7-13.

75. Иванов В.Н. Об одном канале передачи энергии от кинетическихэлектронным степеням свободы молекул. //Изв. вузов. Физика. 1996. Т.39. №9. С. 20-26.

76. Surjan P.R., Angyan J. Pertubation theory for nonlinear time-independent

77. Schrodinger equations.//Phys. Rev. A. 1983. Vol. 28. No 1. P. 45-48.

78. Балашов B.B., Долинов B.K. Курс квантовой механики. М.: Изд.

79. Московского университета. 1982. 280 с.

80. Ivanov V.N., Tvorogov S.D. Turning of the polarization plane of lightscattering by molecule in the anisotropy thermostat.//SPIE.- 1993. 2205. P.341-344.

81. Марч H.3 Янг У., Сампантхар С. Проблема многих тел в квантовоймеханике.- М.: Мир. 1969. 496 с.

82. Тернов И.М., Жуковский В.Ч., Борисов A.B. Квантовая механика имакроскопические эффекты. М.: Изд. Московского университета. 1993. - 197 с.

83. Иванов В.Н. Водородоподобный атом в марковском термостате. //Изв.вузов. Физика. 1993. Т.36. №9. С. 8-11.

84. Никифоров А.Ф., Уваров В.Б. Специальные функции математическойфизики. М.: Наука. 1984. - 343 с.

85. Иванов В.Н., Иванов И.В. Тепловое излучение системыслабосвязанных осцилляторов, испытывающих перманентное стохастическое возмущение. // Оптика атмос. и океана. 2007. Т.20. №11. С. 31-39.

86. Иванов В.Н., Иванов И.В. Возможный эффект «исчезновения»излучения у ансамбля взаимодействующих молекул.//Оптика атмос. и океана. 2004. Т. 17. №2-3. С. 201-205.

87. Китель Ч. Введение в физику твердого тела. М.: Наука. 1978. - 791 с.

88. Герцберг Г. Электронные спектры и строение многоатомных молекул.1. М.: Мир. 1969,- 772 с.

89. Грибов JLА. Введение в молекулярную спектроскопию. М.: Наука.1976. 399 с.

90. Франк-Каменецкий М.Д., Лукашин А.В. Электронно-колебательные взаимодействия в многоатомных молекулах. //УФН.- 1975. Т. 116. С. 193-229.

91. Современные проблемы спектроскопии комбинационного рассеяниясвета. Под ред. М.М.Сущинского. М.: Наука. 1978. - 303 с.

92. Спектроскопия комбинационного рассеяния света. Под ред. А.Вебера.1. М.: Мир. 1982.379 с.

93. Раутиан С.Г., Смирнов Г.И., Шалагин A.M. Нелинейные резонансы вспектрах атомов и молекул.Н.: Наука. 1979.- 310 с.

94. Шен И.Р. Принципы нелинейной оптики. М.: Наука. 1989. - 558 с.

95. Иванов В.Н. Влияние направленного движения частиц в термостате на релаксацию квантовых систем. //Изв. вузов. Физика. 1993. Т.36. №3. С. 110-113.

96. Иванов В.Н. Преобразование видимого когерентного излучения в инфракрасное. //Оптика атмос. и океана. 1995.1. Т.8. № 11. С. 1642-1647.

97. Иванов В.Н. Генерация ансамблем атомов, дрейфующим в марковскомтермостате, второй гармоники рассеиваемого лазерного излучения.// Оптика атмос. и океана. 1998. Т.П. №2-3. С. 274-276.

98. Ivanov V.N. Infrared radiation generation by the ensemble of the atomsinvolved into oscillating moving excited in a crystal by a sound wave. //SPIE.- 1998. 3485. P.395-398.

99. Ivanov V.N. Frequency conversion of the light scattered by the atomsoscillating in heat bath. //SPIE.- 1998. 3485. P.553-559.

100. Иванов B.H., Ласица A.M. Влияние звуковых и низкочастотныхэлектромагнитных волн, распространяющихся в веществе, на спектральный состав рассеянного лазерного излучения./Юптика атмос. и океана. 1999. Т. 12. №11. С. 1037-1040.

101. Иванов В.Н., Ласица A.M. Генерация гармоник лазерного излучения вударной волне ансамблем трехуровневых атомов./Юптика атмос. и океана. 1999. Т.12. №11. С. 1045-1046.

102. Иванов В.Н. Влияние нелинейного взаимодействия молекул на ихизлучение./Юптика атмос. и океана. 2002. Т. 15. №3. С. 275-281.

103. Иванов В.Н., Иванов И.В. Комбинационное рассеяние лазерногоизлучения атомами, участвующими в колебательном движении. //Оптика атмос. и океана. 2004. Т.17. №2-3. С. 157-158.

104. Иванов В.Н. Влияние интерференции квантовых состояний науширение энергетических уровней в сильном электромагнитном поле. //Изв. вузов. Физика. 1993. Т.36. №11.С.8-12.

105. Зельдович Я.Б., Райзер Ю.П. Физика ударных волн ивысокотемпературных явлений. М.: Физматгиз. 1963. - 632 с.

106. Физический энциклопедический словарь. М.: Советскаяэнциклопедия. 1983. 928 с.

107. Лоудон Р. Квантовая теория света.- М.: Мир. 1976. 488 с.

108. Гордов Е.П.,Творогов С.Д. Квантовая теория распространенияэлектромагнитного поля. Новосибирск: Наука. 1978.- 173 с.

109. Волков С.Ю., Козлов Д.М., Прохоров A.M., Смирнов В.В.

110. Спектроскопия когерентного антистоксового рассеяния света молекулярных газов. //Труды ИОФ АН. 1986. Т.2. с. 64-116.

111. Ашкрофт Н.,Мерлин Н. Физика твердого тела.- М.: Мир. 1979. Т.1.-399 с.

112. Ашкрофт Н.,Мерлин Н. Физика твердого тела. М.; Мир. 1979. Т.2. - 422 с.

113. Гуляев Ю.В., Проклов В.В., Шкердин Г.Н. Дифракция света на звуке втвердых телах. //УФН,- 1978. Т. 124. В.1. С.61-111.

114. Анисимов С.И., Имас Я.А., Романов Г.С., Ходыко Ю.В. Действиеизлучения большой мощности на металлы. М.: Наука. 1970. - 272 с.

115. Перина Я. Когерентность света. М.: Мир. 1974. - 367 с.

116. Борн М., Вольф Э. Основы оптики.- М.:Наука. 1970. 855 с.

117. Китель Ч. Введение в физику твёрдого тела. М.: Наука. 1978. - 791 с.

118. Арнольд В.И. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Наука. 1978. - 304 с.

119. Арнольд В.И. Теория катастроф. М.: Наука. 1990. - 127 с.

120. Ю5.Амелькин B.B. Дифференциальные уравнения в приложениях. -М.: Наука. 1987. 158 с.

121. Андронов A.A., Леонтович Е.А., Гордон И.И., Майер А.Г. Теория бифуркаций динамических систем на плоскости. М.: Наука. 1967. -487 с.

122. Агекян Т.А. Теория вероятностей для астрономов и физиков. М.: Наука. 1974. - 264 с.

123. Савельев И.В. Курс физики. Т.1. М.: С.-П.: Лань. 2007. -351 с.

124. Минкин В.И., Симкин Б.Я., Миняев P.M. Теория строения молекул. -М.: Высшая школа. 1979. 407 с.

125. Иванов И.В., Иванов В.Н. Влияние стационарного магнитного поля на спектр излучения молекул. //Изв. Томского политехнического университета. Математика и механика. Физика 2008. Т.312. №2. С. 71-72.

126. Ш.Иванов И.В., Иванов В.Н. Циклотронное излучение заряженных частиц, подвергающихся перманентному стохастическому возмущению. //Оптика атмос. и океана. 2008. Т.21. №8. С. 721-724.

127. Блохинцев Д.И. Основы квантовой механики. М.: Наука. 1976. -664 с.

128. Ivanov I.V., Ivanov V.N. Influence on an oscillatory spectrum of molecules radiation an anisotropy of perturbing particles velocvity. Conference Abstracts AMPL 2007. P. 99.