КОЭРЦИТИВНАЯ РАЗРЕШИМОСТЬ ЗАДАЧИ КОШИ И НЕЛОКАЛЬНЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат наук Ханалыев Аскер Ресулович

• Ханалыев Аскер Ресулович
• кандидат наук
• 2017

Оглавление диссертации кандидат наук Ханалыев Аскер Ресулович

Введение

Глава 1. Задача Коши для параболических дифференциальных

уравнений с переменным оператором

1.1. Постановка задачи. Разрешимость в С([0,1], Е) и С0 ([0,1], Е)

1.2. Теорема о разрешимости в пространстве С^7 ([0,1], Еа_р)

1.3. Приложения к главе

Глава 2. Нелокальная задача с постоянным оператором

2.1. Постановка задачи. Разрешимость в пространстве С^,у ([0,1], Е)

2.2. Разрешимость в пространстве С([0,1], Еа_р)

2.3. Разрешимость в пространствах С0([0,1], Е) и С0,0([0,1], Е)

2.4. Приложения к главе

2.4.1. Параболическое функционально-дифференциальное уравнение с растяжением и сжатием пространственных переменных

2.4.2. Параболическое дифференциальное уравнение с нелокальным условием на дО

Глава 3. Нелокальная задача с переменным оператором

3.1. Разрешимость в пространстве Cß7 ([0,1], E)

3.2. Разрешимость в пространстве Cß7 ([0,1], Ea_ß)

3.3. Разрешимость в пространствах C0([0,1],E) и C0a,a([0,1],E)

3.4. Приложения к главе

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «КОЭРЦИТИВНАЯ РАЗРЕШИМОСТЬ ЗАДАЧИ КОШИ И НЕЛОКАЛЬНЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ»

Введение

Актуальность темы. Изучение надземных месторождений нефти и газа, ряд задач механики жидкости, математической биологии, финансовой математики приводят к решению различных локальных или нелокальных краевых задач для параболических уравнений. Поэтому изучение этих задач не теряет своей актуальности (см., например, [19, 59, 64-66, 75]).

Коэрцитивная разрешимость - одно из актуальных направлений в теории дифференциальных уравнений с частными производными. А именно:

- коэритивные неравенства широко применяются при изучении линейных задач (см. [25]);

- коэрцитивность помогает изучить безусловно устойчивые разностные схемы (см. [3, 5, 6]);

- коэрцитивность дает возможность построить разные аналитико-численные методы решения задач (см. [25]).

В литературе представлены различные результаты по точным оценкам, максимальной регулярности, коэрцитивной разрешимости. Классические результаты даны в работах О. А. Ладыженской, В. А. Солонникова, Н. Н. Уральцевой, П. Е. Соболевского и др. (см. [13, 25-29, 40-47, 73, 74]).

Диссертационная работа посвящена коэрцитивной разрешимости параболических уравнений. Во-первых, изучается коэрцитивная разрешимость задачи Коши

V '(о + = / (*) (0 < * < 1), у(0) = у0 (1)

для дифференциального уравнения с действующим в банаховом пространстве Е линейным неограниченным, сильно позитивным оператором Л(*), имеющим не зависящую от *, всюду плотную в Е область определения в = В(Л(*)) и порождающим аналитическую полугруппу ехр{-$Л(г)}(5 > 0). Доказываются абстрактные теоремы и рассматривается их применение. Во-вторых, исследуется коэрцитивная разрешимость нелокальных задач как с постоянным оператором

v'(t) + Лv(t) = /(*) (0 < * < 1), v(0) = v(A) + ^ (0 < Л< 1), (2)

так и с переменным оператором

v'(г) + Л(г)v(í) = А(г) (0 < г < 1), у(0) = v(Я) + м (0 < Я < 1) (3)

для параболических дифференциальных уравнений и приводятся приложения полученных абстрактных результатов.

Введем банахово пространство С^7 (Е) = С^7 ([0,1], Е)(0 < 7 < Д 0 <р< 1) ,полученное замыканием множества всех гладких функций А (г), определенных на отрезке [0,1] со значениями в Е в норме

и „1 ц „1 (г + т)7||А(г + т) - А(г)||е 14- (е) = Ас(е) + 8иР -^--.

0 ^ ' у ' 0<г<г+т<1 Т

Здесь под С(Е) = С([0,1], Е) понимается банахово пространство определенных на [0,1] со значениями в Е непрерывных функций А (г) с нормой

1|/1с(Е) = А(')|1Е .

Таким образом, при р = о и 7 = 0 пространство С°0,0(Е) = С0,0([0,1], Е) (0 < о < 1) совпадает с пространством Гёльдера С0(Е) = С0([0,1],Е) (0<о< 1), для которого норма имеет вид

1М1 1М1 А(г + Т) - А(гЕ

Шсо(Е) =11 А\с(Е) + 8иР -0-- .

0<г <г+т<1 Т

А при 7 = р = о пространство С0,о(Е) = С0,о([0,1], Е) (0 < о < 1) с нормой

II л II л (г + Т)0 А (г + Т) - А (г )|| -

14?*(-) = /1с(-) + 8иР -^о--

0 у ' у ' 0<г<г+т<1 Т

совпадает с пространством С0(Е) = С0([0,1], Е) (0 < о < 1), норма в котором имеет вид

г0\\А (г + т) - А (г )|| -

С°°(Е) Н*7 11С (Е) + 8ЦР _о '

0 у ' ' 0<г<г+т<1 Т

причем нормы этих пространств равномерно по о е (0,1) эквивалентны.

Известно, что в случае произвольного неограниченного сильно позитивного оператора и любого банахова пространства Е коэрцитивная разрешимость задачи (1), (2) и (3) отсутствует в С(Е) [см., например, 22, 29, 71, 72]. Так как аналитичность полугруппы является лишь необходимым, но не достаточным условием коэрцитивной разрешимости этих задач в этом пространстве. Поэтому

очень важно выделить функциональные пространства, где эти задачи коэрцитивны.

Первые теоремы о коэрцитивной разрешимости для абстрактной задачи Коши получены в 1964 году в работе П.Е.Соболевского для пространств С" (Е) (0 < а < 1) и 1р(Е) = 1р([0,1],Е) (1 < р < <»). В его работе [43] коэрцитивная разрешимость задачи

Коши для параболического дифференциального уравнения доказывается в пространстве С0а(Е) при ^ е В(Л). В 1972 году В. П. Аносов и П. Е. Соболевский установили коэрцитивную разрешимость задачи Коши в пространстве Слободец-

кого Е) = Ж"([0,1],Е) (1 <р <(», 0 <а< —) (см. [2]). Более того, аналитичность

р р р

полугруппы является необходимым и достаточным условием коэрцитивной разрешимости задачи Коши в пространствах С"(Е) и Е). В 1974 году П. Е.

Соболевский и Да Прато показали коэрцитивную разрешимость той же задачи в пространствах С([0,1], Е"_) (0 <а< 1) и 4 ([0,1], Е„р) (0 <а< 1,1 < р <ю) , где Е" р

(0 <а< 1,1 < р <<х>) банаховы пространства, полученные вещественным методом интерполяции из пары Е и в(Л) (В(Л) ^Еа^р ^Е) (см. [47, 73, 74]).

Эти результаты стали началом для полученных в дальнейшем результатов о коэрцитивной разрешимости. Коэрцитивная разрешимость задачи Коши в пространстве Са (Е) при Л^ = /(0) доказана в работе А. Ашыралыева и П.Е.

Соболевского (см. [7]). В 1989 году А. Ашыралыев доказал коэрцитивность задачи Коши для параболического уравнения с постоянным оператором в пространствах

Срг (Е) и СРрГ (Еа_р) = Срг ([0,1], Е а _ р ) (0 <у<р<а,0 <а< 1), тем самым, в нормах этих пространств были получены коэрцитивные неравенства (см. [4, 71]).

Таковы основные результаты коэрцитивной разрешимости задачи Коши (1) для параболического дифференциального уравнения с постоянным оператором

Л(*) = Л.

Коэрцитивная разрешимость задачи Коши (1) для параболического дифференциального уравнения с переменным оператором в пространствах Гёльдера С" (Е) с

весом го, Слободецкого Ш°(Е) и в пространстве С(—) = С([0 ,1],—) при 0<о<е< 1

установлены в [2, 32, 43]. Отметим, что коэрцитивная разрешимость задачи (1) в С(Еа) при 0<о< 1 в условиях выпольнения условия Гёльдера с любым показателем 0<£< 1 для оператора А(г)А_1(т) по г в норме Ео получается предельным

переходом т^ 0 из оценок коэрцитивности схем Роте и Кранка-Николсон, которая ещё ранее установлено в работе [3].

В диссертационной работе исследуются коэрцитивная разрешимость задачи Коши (1) и нелокальных задач (2), (3) в пространствах Ср7(Е) и Ср-7 (Еа_р).

Доказываются коэрцитивные неравенства в нормах этих пространств. Цель работы.

Цель настоящей диссертации - изучить коэрцитивную разрешимость задачи Коши (1) и нелокальных задач (2), (3) для абстрактных параболических уравнений в пространствах гладких функций, расширить число функциональных пространств, где рассматриваемые задачи коэрцитивны. Методы исследования.

В работе используются методы теории линейных дифференциальных уравнений в банаховом пространстве, методы спектрального анализа линейных операторов, теория однопараметрических полугрупп линейных операторов. Научная новизна.

Все результаты диссертации являются новыми. Главные из них:

1) доказана коэрцитивная разрешимость задачи Коши (1) для абстрактного параболического уравнения с линейным неограниченным оператором, порождающим аналитическую полугруппу, в банаховых пространствах СР'7(Е), СР'7(Еа_р) и Со (Е), таким образом, получены более сильные

коэрцитивные оценки для решения этой задачи;

2) доказана коэрцитивная разрешимость нелокальных задач (2), (3) в банаховых пространствах СРр 7(Е), С7(Еа_р), Со(Е) и Со' о(Е), причём

коэрцитивные неравенства для решений этих задач доказываются на основе коэрцитивных неравенств, полученных для решения задачи Коши;

3) установленные результаты позволили получить точные оценки типа Шаудера в гёльдеровых нормах для решений разных нелокальных краевых задач параболического типа. Теоретическая значимость. Результаты диссертационной работы могут быть использованы в исследованиях по теории линейных дифференциальных уравнений в банаховых пространствах, спектральному анализу, полугрупп линейных операторов и в специальных курсах для студентов, аспирантов, научных работников математических специальностей.

Объем и структура диссертации. Работа изложена на 145 страницах и состоит из введения, трёх глав и списка литературы из 79 наименований. Краткое содержание диссертации.

Первая глава "Задача Коши для параболических дифференциальных уравнений с переменным оператором".

В разделе 1.1 изучается коэрцитивная разрешимость задачи (1) в пространствах (Е) и Са (Е) в предположениях выполнения условия Гёльдера с показателем 0<s< 1 для оператора A(t)A *(г) по t в норме E.

Обозначим через E = Ea^ (A(t), E) (0 < а < 1) дробные пространства с нормой

HE = sup z1-a || A(t) exp{-zA(t )}и||Е + ||w||E ,

а z >0

состоящие из всех элементов u е E, для которых эта норма конечна (см. [44]).

В уравнении (1) v(t) и f (t) искомая и заданная функции, определенные на [0,1] со значениями в E; v0 е D. При выполнении условий:

1) для любых t е[0,1] и ре С с Reр>0 оператор A(t) + pi имеет ограниченный обратный, причем

||[A(t) + pI]-1||<M(1 + p|)-1

(согласно [21], оператор A(t) принято называть сильно позитивным);

2) для любых t, s,r е [0,1] справедливо неравенство

||[A(t) - A(s)]A-1 (т)||^ <M\t - s|e ,0 < s < 1, для единственного непрерывно дифференцируемого решения

v(г) = и (г,0К + }и (г, s)f (^

0

задачи (1), где и (г, л) определяемой из соотношения

г

и (г, л) = ехр{-(г - л) А(г)} +1 ехр{-(г - гх) А(г)}[ А(г) - А(гх)]и (г1,

или

и (г, л) = ехр{-(г - л) А(л)} + |и (г, г1)[ А(л) - А(^ )]ехр{-(^ - л) А^)}^,

л

доказывается следующая теорема.

Теорема 1. Пусть у'0 = f (0) - А(0>0 е Ер_у, f е СР'7 (Е) при некоторых 0 <7 < р <е< 1, 0<р< 1. Тогда задача (1) коэрцитивно разрешима в Ср7(Е) и для её единственного решения у(г) справедлива оценка

+ 11 А0>

+ VI < М

ii 11с( Ер-7 )

1

1

Р-7 ^ Ер7+Р(1 -Р)

СР7 ( Е)

(4)

с постоянной М, не зависящей от р„7„у'0 и f.

Эта теорема доказывается с помощью известных оценок аналитической полугруппы и вспомогательных лемм. Отметим, что при р = а и 7 = 0 отсюда следует теорема о коэрцитивной разрешимости задачи (1) в пространстве Гёльдера Са(Е).

В разделе 1.2 исследуется коэрцитивность задачи (1) в банаховом пространстве Ср7 — р) и доказывается следующее утверждение.

Теорема 2. Пусть V, = f (0) - А(0)у0 е Еа_г, f е Ср7 (Еа_ р ) при некоторых 0 <7 < р <а <а < 1, 0 <а< 1. Тогда задача (1) имеет единственное решение, причём

А(г)у, V е Ср7(Еа_р), V е С(Еа_ ) и справедливо неравенство коэрцитивности

„ + V

11Се"7 (-а-р) н ис(Еа-7 )

< М

1

0||Е

а(1 -а)

(5)

с постоянной М, не зависящей от а, р,7,у'0 и f.

Эта теорема тоже доказывается с помощью свойств аналитической полугруппы и эволюционной оператор-функции.

V

С,р,7 ( Е )

0

V

Ср 7 ( -а- р )

В разделе 1.3 приводятся применения доказанных теорем. Рассматриваются три задачи для дифференциальных уравнений с частными производными параболического типа.

Вторая глава "Нелокальная задача с постоянным оператором".

В разделе 2.1 в банаховом пространстве С,7 (Е) изучается коэрцитивная разрешимость нелокальной задачи (2), т. е. при любом / е э(А) доказывается неравенство коэцитивности для решения этой задачи.

Задача (2) имеет единственное непрерывно дифференцируемое решение

1 г

+

о

у(г) = ехр{-гА}(I - ехр{-ЛА}) Ч/ + {ехр{-(Л - э)А}/(э)^} +1ехр{-(г - э)А}/,

для которого справедлив следующий результат.

Теорема 3. Предположим, что А/ + /(Л) - /(0) е Е^ , / е С,7 (Е) при некоторых 0 <у <,, 0<,< 1. Тогда для единственного решения задачи (2) имеем Ау,у' е С,7 (Е), V е С(Е„ ) и выполнено неравенство

е СТ(Е), ^ е с(еР-7 ,

1

VI

+ 11АЛ ,г +1И < м

II 11с0,7 (Е) II 11с (Е„_„)

Ми+/Л) - / (°)|| ^ +

Р-7* А(1 -,)

С,'7 (Е)

11С0я- 7 (Е) II \\СЯ7 (Е) II 1С(Ер-7 )

где м не зависит от /, ,,7 и /.

В конце первой части второй главы излагается несколько следствий этой теоремы.

Далее, в разделе 2.2 исследуется коэрцитивная разрешимость нелокальной задачи (2) в пространстве СО7 {Еа_,). Доказывается следующее утверждение.

Теорема 4. Пусть А/ + /(Л)-/(0) еЕ , /еСО'7(Еа_р) при некоторых 0 <7 < , <а, 0<а< 1. Тогда существует такое единственное решение задачи (2), что Ау,у' е СО'7(Еа_р), V е С(Еа_г) и имеет место неравенство коэрцитивности

Г^ЕО ) +1И1с0,(Е„ ) + МС^) < М {№ + /(Л) - /(0)Ц.7+--(1 II/1С°-7 (Е.-, )} (6)

с М, не зависящей от а, ,,7, / и /.

В разделе 2.3 в гёльдеровых пространствах Са(Е) и С.,а(Е) устанавливается коэрцитивная разрешимость нелокальной задачи (2).

В разделе 2.4 приводим применения доказанных теорем. Рассматриваются приложения в классе параболических функционально-дифференциальных уравнений с преобразованием пространственных переменных и параболических уравнений с нелокальными условиями на границе области. Таким образом, охвачен случай параболического уравнения с нелокальными условиями как по времени, так и по пространственным переменным.

Третья глава "Нелокальная задача с переменным оператором".

В разделе 3.1 в банаховом пространстве Ср 7 (Е) изучается коэрцитивная разрешимость нелокальной задачи (3) и для её единственного непрерывно дифференцируемого решения

x г

+

О

v(t) = v(t,0)(1 - v(X,0))-V + | v(X, л) f (л)^} + | v(t, л)f (э^

доказывается следующее утверждение.

Теорема 5. Пусть Л(0)^ + / (X) - / (0) е Ер_у, f е Ср7 (Е) при некоторых 0 <7 < р <е< 1, 0 <р< 1. Тогда задача (3) коэрцитивно разрешима в Ср 7(Е) и для её единственного решения v(г) справедлива оценка

VI

+1 А(->|| рг +1VI < М

II 11ср 7 (Е) II 11с(Е„_„)

А(<% + . Г(Х)Г (0)|| Ер-- „ ^, (-)

(7)

\\ср7 (Е) II ^ ' 11С0р ,7 (Е) II 11С(Ер-7 )

где М не зависит от ц, р,7 и f.

Коэрцитивное неравенство (7) доказывается с помощью коэрцитивного неравенства (4), полученного для решения задачи Коши (1) в первой главе. Для доказательства достаточно в правой части неравенства (4) оценить VI в норме Е . Далее приводятся следствия этой теоремы.

В конце этой части доказывается следующая теорема.

Теорема 6. Предположим, что А(0)^ + f (X) - f (0) е Ер,7, f е Ср7 (Е) при некоторых

0 <7 < р, 0 < р <е< 1. Тогда для единственного решения v(г) задачи (3) в ср ,7(Е) справедливо неравенство коэрцитивности

И ср 7 (Е) 41 А(М\ср ,7 (Е) < М

|А(0)А + f (X) - f (0)|п' + _ ^н, р,7

р,7 + 1

р(1 - р)|Кпср7 (Е)

с M, не зависящей от /3,у, и и f. Здесь Ep,r - банахово пространство, состоящее из всех элементов w е E таких, что конечна норма

WАГ= max||е-zA(t) J + sup т~\z + r)r||(е-z+r)A(t) -еzA(t>11 .

I 10 max II IIe 0<z<z+r<1 ( ) ll( ) He

В разделе 3.2 в банаховом пространстве Cp,r {Ea_p) исследуется коэрцитивность

нелокальной краевой задачи (3) и доказывается следующее утверждение.

Теорема 7. Пусть A(0)u+f (Л) - f (0) е Ea_y, f е Cp,r (Ea_ р) при некоторых

0 <r<P<a<s< 1,0<а< 1. Тогда существует единственное решение задачи (3), причем A(t)v, V е Cp,r (Ea_ p), V е C(Ea_ ) и выполняется оценка

Ik" + lA(')VC- (E.,) 41 Vl(E^ ) < M

||A(0)u + f(A) - f(0)|E + —-г „лиг,

(8)

а-у а(1 -а) с°" (Еа-р) с постоянной М, не зависящей от а, р,у,р и /.

Заметим, что пространства гладких функций Сру(Еа_р), где установлена коэрцитивная разрешимость задачи (1), (2) и (3), зависят от параметров а, р,у. Однако, неравенства коэрцитивности (5), (6) и (8) зависят только от параметра а . Поэтому можно выбрать параметры р, у свободными, что существенно расширяет число функциональных пространств, где эти задачи коэрцитивно разрешимы.

В разделе 3.3 доказывается коэрцитивная разрешимость нелокальной задачи (3) в гёльдеровых пространствах Са(Е) и С0а,а( Е).

В разделе 3.4 приводятся применения доказанных теорем третьей главы. Как и в первой главе, рассматриваются несколько задач для параболических уравнений.

Основные положения, выносимые на защиту.

1) Исследование коэрцитивной разрешимости задачи Коши для абстрактных параболических дифференциальных уравнений с переменным оператором;

2) Исследование коэрцитивной разрешимости нелокальных задач для параболических уравнений с постоянным оператором;

3) Исследование коэрцитивной разрешимости нелокальных задач для абстрактных параболических дифференциальных уравнений с переменным оператором;

4) Применения полученных абстрактных результатов в разных задачах для параболических уравнений.

Апробация работы. Различные результаты и разделы диссертации докладывались:

• на международных научных конференциях (г.Ашхабад, ТИНХ, 24-26 апреля 1995 г., "Проблемы математики и моделирования экономики Туркменистана"; г. Ашхабад, ТПИ, 22-23 ноября 1996 г., "Молодёжь и научно-технический прогресс-96"; г. Ашхабад, ТГУ имени Махтумкули, 11-12 декабря 1996 г., "Независимый Нейтральный Туркменистан: горизонты молодёжной науки"; Ardebil, Iran, August 1-4, 1999 Mohaghegh Ardebili University, 30th Iranian International Conference on Mathematics; г. Ашхабад, 16-17 мая 2009 г., 5th Fulbright Conference, "Энергетика и альтернативные источники энергии"; г. Воронеж, ВГУ, 3-9 мая 2016 г., "Понтрягинские чтения - XXVII" в рамках Воронежской весенней математической школы "Современные методы теории краевых задач");

• на научно-практических конференциях молодых ученых (г. Ашхабад, ТГУ имени Махтумкули, 2-4 ноября 1994 г. "Молодые ученые независимого Туркменистана и научно-технический прогресс"; г. Ашхабад, ТГИК, 18-19 октября 1995 г., "Насущные задачи туркменской национальной культуры"; г. Ашхабад, ТСХИ, 29-30 ноября 1995 г., "Молодые ученые Туркменистана и новые направления научных исследований"; г. Ашхабад, ТГУ имени Махтумкули, 9 июня 2008 г., "В эпоху нового Возрождения и великих преобразований задачи физико-математических наук");

• на научных семинарах (г. Ашхабад, ТПИ, 1998 г., Моделирование процессов разработки газовых месторождений и прикладные задачи теоретической газогидродинамики; г.Москва, кафедра прикладной математики факультета физико-математических и естественных наук РУДН, 15 декабря 2015 г., 1 марта 2016 г., по дифференциальным и функционально-дифференциальным уравнениям под руководством д.ф.-м.н., профессора А. Л. Скубачевского; г. Москва, кафедра математического моделирования

НИУ "МЭИ", 19 октября 2016 г., по дифференциальным уравнениям под руководством д.ф.-м.н., профессора А. А. Амосова и д.ф.-м.н., профессора Ю. А. Дубинского; г. Москва, кафедра математического анализа механико-математического факультета МГУ имени М. В. Ломоносова, 23 ноября 2016 г., по спектральной теории дифференциальных операторов под руководством д.ф.-м.н., профессора В. В. Власова; г. Москва, кафедра математической физики факультета ВМК МГУ имени М. В. Ломоносова, 24 ноября 2016 г., по неклассическим задачам математической физики под руководством д.ф.-м.н., профессора И. В. Тихонова; г. Воронеж, кафедра алгебры и топологических методов анализа математического факультета ВГУ, 21 декабря 2016 г., по математическим проблемам гидродинамики под руководством д.ф.-м.н., профессора В.Г.Звягина);

• на конкурсах научных работ среди молодых ученых Туркменистана, проводимых Центральным советом Молодёжной организации Туркменистана имени Махтумкули совместно с Академией наук Туркменистана в соответствии с Постановлением Президента Туркменистана (г.Ашхабад, 2004 г., 2009 г.)1.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 20 печатных работах (см. [1, 8-12, 31, 50-58, 67-70]), из них 6 работы в изданиях, входящих в перечень ВАК Министерства образования и науки РФ (см.[31, 57, 58, 68-70]).

Все результаты, выносимые на защиту, получены автором самостоятельно. Утверждения в диссертации, если специально не указано, принадлежат автору.

1 Автор этой диссертации в 2003 году стал лауреатом Молодёжной премии Туркменистана. Дважды являлся победителем ежегодного конкурса научных работ среди молодых ученых Туркменистана и получил призы президентов Туркменистана (2004 г. - первое место, 2009 г. - первое место).

Глава 1

Задача Коши для параболических дифференциальных уравнений с переменным оператором

1.1. Постановка задачи. Разрешимость в СЦ'Г([0,1], E) и Ca ([0,1], E)

Рассмотрим задачу Коши

v'(t) + A(t)v(t) = f(t) (0 < t < 1), v(0) = Vo (1.1.1)

в произвольном банаховом пространстве E. Здесь v(t) и f (t) искомая и заданная функции,определенные на [0,1] со значениями в E; v'(t) -производная, понимаемая как предел по норме E соответствующего конечно-разностного отношения; A(t) -действующий в E линейный неограниченный, сильно позитивный оператор, имеющий независящую от t, всюду плотную в E область определения D = D(A(t)), порождающий аналитическую полугруппу exp{-sA(t)} (s > 0); v0 е D. К такой задаче могут быть сведены различные краевые задачи для эволюционных уравнений в частных производных (см.[22]). Вопросы корректности прямых и обратных задач для эволюционного уравнения с неоднородным слагаемым специального вида рассматривались в работе [48].

В этом разделе устанавливается оценка коэрцитивности в норме пространстве Гёльдера для решения задачи Коши в предположениях выполнения условия Гёльдера с показателем 0<s< 1 для оператора A(t)A_1 (г) по t в норме E.

Таким образом, будем предпологать, что

1) оператор A(t) сильно позитивный, т. е. при любых tе[0,1] и ре С с Reр>0 оператор A(t) + pi имеет ограниченный обратный, причем

|[A(t) + pI]-1|L <M1 + р)-1 (1.1.2)

2) для t, s,te [0,1] справедливо неравенство

||[Л(г)-Л(8)-\Л-\г)\е^е <М\г -е,0<*< 1. (1.1.3)

Функцию у(г) назовем решением задачи (1.1.1), если выполнены следующие условия:

1) функция у(г) непрерывно дифференцируема на отрезке [0,1];

2) элемент у(г) принадлежит Б = Б(Л(г)) при каждом г е [0,1\ и Л(г)у(г) непрерывна на [0,1];

3) функция у(г) удовлетворяет уравнению и начальному условию (1.1.1) (см. [22, 72]).

Задача (1.1.1) имеет единственное непрерывно дифференцируемое решение у(г) при определенных ограничениях на , достаточно гладких данных / (г), а для её решения справедлива формула

г

у(г) = и (г,0>0 и (г, я) / , (1.1.4)

0

где и (г, я) - фундаментальное решения уравнения (1.1.1), называемое также эволюционной оператор-функцией (см. [17, 20, 22, 42, 72, 77]). Она определяется из соотношения

г

и (г, я) = ехр{-(г - я) Л(г)} +1 ехр{-(г - г,) Л(г)}[ Л(г) - Л(гг )\и (г,, яЩ (1.1.5)

я

или

г

и (г, я) = ехр{-(г - я) Л(я)} +1 и (г, г,)[ Л(я) - Л(г )\ехр{-(г - я) Л^Щ . (1.1.6)

я

и удовлетворяет следующим условиям:

1) оператор и (г, я) сильно непрерывен по г и я (0 < я < г < 1);

2) и (г, я) = и (г, т)и (т, я), и (г, г) = I, 0 < я <т< г < 1;

3) оператор и (г, я) отображает область Б = Б(Л(г)) в себя, оператор

V(г, я) = Л(г)и(г, я)Л"1 (я) ограничен, сильно непрерывен по г и я (0 < я < г < 1);

4) на области Б оператор и (г, я) сильно дифференцируем по г и я, причем

«им=-лг ииг,,), =и г, ^.

Определение: Говорят, что задача (1.1.1) коэрцитивно разрешима в некотором банаховом пространстве F(E) = F([0,1], E) функций f (t) со значениями в E на [0,1], если для всяких f е F(E), v0 е D существует единственное решение задачи (1.1.1), причем V и A(t)v принадлежат тому же пространству F(E) (см. [23]).

Всюду далее для краткости коэрцитивную разрешимость будем просто называть разрешимостью.

Исследуем разрешимость задачи (1.1.1) в банаховом пространстве Cp7(E) = Cp7([0,1],E) (0<у<Д0< p< 1), полученном замыканием множества всех гладких функций f (t), определенных на отрезке [0,1] со значениями в E, для которых конечная норма

И^(E) HlfllcE) ^-Ря "f (t + Г,! J f (t%E (t + *)' . (117)

Здесь под C(E) = C([0,1], E) понимается банахово пространство определенных на [0,1] со значениями в E непрерывных функций f (t) с нормой

llfIC(E) = Sllf (t*E .

Обозначим через E'a = E'a^ (A(t), E) (0 < a < 1) дробные пространства с нормой

ЩЕ1 = supz 1-a||A(t)exp{-zA(t)H|E +\\u\\E , (1.1.8)

z >0

состоящие из всех элементов и е Е, для которых эта норма конечна.

Из результатов работы [44] следует, что пространство Еа не зависит от г в силу предположения В(Л(г)) = в, т. е., что ||и|| ( эквивалентна ||и|| при любых

Еа Еа

г, ^ е [0,1]. В дальнейшем пространство Е'а обозначается просто Еа.

Известно, что для аналитической полугруппы справедливы оценки [42,72]:

||ехр{-(г-5)Л(г)}||я_^ <мехр{-^(г-5)}, г >s,М > 0,8> 0, (1.1.9)

||л1+а(г)ехр{-(г-5)Л(/)}Е^Я <^МГ ' 0<а< 1, (1.1.1°)

||г1"^Л1"а(г)ехр{-гЛ(г)^£ < М, 2 > 0,0 <а< 1, (1.1.11)

||ехр{-(г + т - 5)Л(г + т)} - ехр{-(г + т - 5)Л(г< Мт£, 0 < £ < 1. (1.1.12) Как показано в [42,72], для и (г, 5) справедливы следующие леммы:

Лемма 1.1. Для любых 0 < я < г < 1, 0 <а< 1, 0 <е< 1 верны оценки

Р(г,я)е^Е <М, (1.1.13)

1Л1+а(г)и(г, *)Л»1е.е < -¡Мт , а1Л4)

||л1+а(г)и(г, < , (1.1.15)

||и(г, я) - ехр{-(г - я)Л(г)}||< м(г - я)е, (1.1.16)

^(г^а я) - ехр{-(г - я)л(г)}\|^ < , (1.1.17)

||л1+а (г)[и(г, я) - ехр{-(г - я)Л(г) }А < м(г - я)е-а, (1.1.18) где М не зависит от г, я, а и е.

Лемма 1.2. Для любых 0 <я <г <г+т< 1, 0<а< 1 и 0<е< 1 справедливы оценки

\\и (г + т, я) - и (г, Е < Мщ, (1.1.19)

||л(г + т)и (г + т, я) - Л (г )и (г, я)\\Е^Е < Мщ, (1.1.20)

г — я

|л(г + т)и(г + т, я)Л-1 (я) - Л(г)и(г, я)л-1 (я)|| < Мщ, (1.1.21) та

где щ = те +- и М не зависит от г, я,т,а и е.

щ (г - я)а , , ,

Приведем одно тождество для V '(г):

г г

V '(г) = | Л(г )и (г, я)(/(г) - + { Л(г)и(г, я)[Л(я) - Л(г)\Л\г)/(гЩ +

где

+ Л(г )и (г,0) л-40)(/ (г) - / (0)) + Л(г )и (г ,0) Л-1(0)[ л(0) - Л(г )\л~\г)/(г) +

+ Л(г)и(г,0)Л-\0уо = (г) + Ж2 (г) + Ж3 (г) + ж4 (г) + Ж5 (г), (1.1.22)

г

ъ (г) = | Л(г )и (г, я)(/ (г) - / (*)>&, (1.1.23)

0

г

ъ (г) = | Л(г )и (г, я)[Л(я) - Л(г)\Лч(г) / (гЩ, (1.1.24)

0

Ъз(г) = Л(г )и (г,0) л~\0)(/ (г) - /(0)), (1.1.25)

Ъ (г) = Л(г )и (г ,0) л-1 (0)[ л(0) - Л(г )\л- (г )/ (г), (1.1.26)

0

ж5(г) = Л(г)и(г,0)Л-Ч0К (г0 = /(0) - Л(0)г0).

Справедлива следующая теорема.

(1.1.27)

Теорема 1.1. Пусть г0 = /(0) - Л(0)г0 е Ер_у, / е Срг (Е) при некоторых 0 <у<р<а< 1, 0 < р < 1. Тогда задача (1.1.1) разрешима в Ср7 (Е) и для её единственного решения г(г) справедливо неравенство коэрцитивности

+ 11 л0>

ЬЦ7 (Е) +1Г IIС(Е- )

< м

"г°11 ея_, +'ап \\ср7(Е)

(1.1.28)

р-7 0Е-7 Д1 -Д'

с постоянной М, не зависящей от р,7, г0 и /.

Доказательсто. Для доказательста нужно получить оценки функций Щ (г), Щ (г),

Щ (г), Щ (г) и Щ (г) в нормах С(Ер_г) и Ср7 (Е). Сначала оценим Щ (г) в С(^ ):

2

1-(Р-7) I

||Л(г)ехр{-2Л(г)}Щ(г)||я < ^ р+7ЩЛ2(г)ехр{-2Л(г)}и(г,\\/(г) -/(5)||Е <

< М^-р+7}тт }(г - 5)р г-А/

Пусть сначала 2 < г, тогда

СР,7 (Е ) <

М17 Г (*- ^ *

1 + *-^

(2 + г - 5)2

7 Ilс0,^ (Е) •

1- р+7г (г-^у^я 1- рр ¿/у

Г (г - ^ Г1-рГ

Г (2 + г - 5)2 г7" Г

(2 + г - 5)

Пусть теперь 2 > г, тогда

г1_ р+7| (г - 5)рйь ^ 1

(2 + г -5)2-р 1 -р

0 (г + г - 5)2г7 г

2.7 -р-7-<7

7 Г

гр-7 1 <

(г - 5)1- р р2 р-7 р

Поэтому для любого 2 > 0

г1- р+7 \ 1

I (2 + г - 5)2 г7 < р(1 - р)

Итак, установили оценку

|Щ1(г )|| е < М! р->(1 - р)-1

Отсюда имеем

41С ( Ер-г )

< м ! р 41 - р)1

Теперь оценим Щ (г) в Ср7 (Е). Для этого установим оценки

|Щ1(г)|| е < Мр1

Ср 7 ( Е )■

0 < г < 1,

(1.1.29)

(1.1.3°)

V

0

1

2

г

Ср,7 ( Е )

Ср,7 (Е)

Мт

р

+ т) - Ш1(г%Е <р(1 р)(1 + т)у ||/||с,У(Е) , 0 < г < г + т< 1. (1131)

В силу (1.1.15) при а = 0 получаем

г г Л

М1 е < [ ИО^^ЕЛ/« - < М /ср-е < МР~Нр-у ,„ „гр,у

(г - 5)!-Р г У ^ "Ср,у (Е)- ^ ПС0р,У (Е)

Итак, для любого 0 < г < 1 получена оценка

М Е < МР-Н 0-ЧИ1соО,У (Е) . (1.1.32)

Из последнего неравенства, во-первых, следует (1.1.30), во-вторых, (1.1.31) при г <т. Действительно, в силу (1.1.32) и неравенства треугольника имеем

||Щ (г + т) - Щ (г)||е < ||Щ (г + т)||е + ||Щ (г)||е < Мр1 [(г + т)р-у + гр-у \ ||Д^(е) <

М21+РтР М тр

< 2мр- (г+т)р-у]Дс^.у ( Е ) < 02^ /е.- ( Е )=Огту1 /с~:у,> .

Пусть теперь г > т. Разобьём Щ (г + т) - Щ (г) в сумму следующих интегралов

г -т

Щ (г + т) - Щ (г) =| л(г + т)и(г + т, я)ёя(/(г + т) - /(г)) +

+ | [ Л(г + т)и (г + т, я) - Л (г )и (г, я)\( / (г) - / (я))ёя +

0

г+т г

+ | Л (г + т)и (г + т, я)(/ (г + т) - / (я))ёя - { Л(г )и (г, я)(/ (г) - / (я))ёя = 11 + 12 + I з + I.

Оценим I;, 12, 13 и 14 в отдельности. Сначала оценим . Воспользовавшись тождеством

| Л(г + т)и (г + т, = Л(г + т)[и (г + т, г - т) - и (г + т,0)\л~1(г) +

0

г -т

+ | Л(г + т)и(г + т,я)[Л(г) - Л(я)\Л~\г, (1.1.33)

оценками (1.1.3) и (1.1.14), (1.1.15) при а = 0, получим

ИЕ <[||л(г + т)и(г + т,г-т)Л-1(г^ + ||л(г + т)и(г + т,0)Л-1(г)|м +

г -т

+ | ||Л(г + т)и(г + т, е^е Л(г) - А(я)\л1 (гёя ]||/(г + т) - /(г)||е <

0

0

г-т

г-т

[М + М1 + М2] ]7т^\\/\\с,г(Е) <М3 |!р(г±т)1^ /С ,7(Е) <

• г + т-5 (г + т) р (Е) 1 (г + т-0 (Е)

Мттр(г + т)е ,, ,, М3тр

<—33—-—— / <

е(г + т)7 ^ 11Ср 7 (Е) р (г + т) 11Ср 7 (Е)' Оценим теперь /2. В силу (1.1.2°) при а = 1 имеем

Не < Г \\Л(г + т)и (г + т, 5) - Л(г )и (г, 5)Е^Л/(г) - /(4 <

0

< М

г-т с у г-т 1

г т аз г таз

Г (г - 5)1-р + Г (г - 5)2

Ин < Мтр и. < М2тр

г^ ^Ср7(е) р(1 - р)г7 ^ кр-7(Е) ра - р)(г + ту ^ ър-7(Е)'

Далее, воспользовавшись оценкой (1.1.15) при а = 0, получаем оценку для 13

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Ханалыев Аскер Ресулович, 2017 год

и - г

0

Л

< М, г1-0"7 [-II/(Л) - /(5)11 ds <

1 { (г + Л-5)2-0+р ^ ( ) )УЕо-р

<МлгХ а+7 Л_(Л-^

" 1 Л (тл. з _ <л2-а+°

(г + Л-5)2-а+рЛ7 11ср'7(Ео-р Пусть сначала г < Л, тогда

г!- Г (Л-^ < Г_±_< = (1 -о)-1

Г0 (г + Л-з)2-а+°Л7 Л7 Г (г + Л-я)2-а 1 -а

Пусть теперь г > Л, тогда

л

^1-а+7 |

1а-7

(л-5)рds лла к !

(г + Л-.*)2-а+°Л7 Л7 Г (Л-5)1-а ага-7

Поэтому для любого г > 0

_(Л- 5)р ds

' I (г -

Итак, установили оценку

1-а+7 Г-(Л- % \ <а-\\ - а)-1.

Г (г + Л-5)2-а+рЛ7

||/-|| М^О -а)-41 /|1ср'7 (Еа-р). (2.2.4)

Из (2.2.3) и (2.2.4) следует, что

К1а_7 =1/(0) - < ^+ /Л - + О^1 - а)-1 Ц/^ ^ )} . (2^5)

Используя оценку (2.2.5) в правой части неравенства (2.2.1), получаем (2.2.2). Теорема 2.4 доказана.

0

2.3. Разрешимость в пространствах Са([0,1],Е) и С0аа([0,1],Е)

Если в доказанной теореме 2.2 р = а и . = 0, то получаем:

Теорема 2.5. Пусть Л/ + /(А)_/(0) е Еа, / е Са(Е) при некотором 0 <а< 1. Тогда существует такое единственное решение задачи (2.1.1), что Лу, V е Са(Е), у ' е С(Е) и справедливо неравенство коэрцитивности

+ V

< М

\Аи + / (А) _ / (0)| е

1

(2.3.1)

|1Еа а(1 _а) |1Са (Е) с постоянной М, не зависящей от и, а и /.

Следствие 2.4. Предположим, что /(0) = /(1), / е Са(Е) при некотором 0 <а< 1. Тогда задача (2.1.12) разрешима в пространстве Гёльдера Са (Е) и выполняется оценка

\\а ii < м 1|у 11с°( Е) +1 ЛЧс° (Е) < \ У 11Са( Е)

а(1 _а)

где М не зависит от а и /.

В весовом пространстве Гёльдера С0а,а(Е) = С0а,а([0,1], Е) (0 < а < 1) с нормой

(2.3.2)

С( Е)

+ Бир

(г + т)а\\/(г + т) _ / (г )|| е

имеет место следующий результат:

Теорема 2.6. Пусть /еБ(Л) и /еСа,а(Е) при некотором 0<а< 1. Тогда задача (2.1.1) разрешима в Са,а(Е) и справедливо неравенство коэрцитивности

Пс°а,а (Е )

41А

иса,а (е )

< М

МЕ +

1

а(1 _аГ Со°а(Е)

(2.3.3)

с постоянной М, не зависящей от и, а и /. Доказательство. Воспользуемся неравенством

IV II аа 41 ЛУ|| аа <М

11с?,а( Е) II Нс°а,а( Е)

Ы Е +■

1

(2.3.4)

а(1 _а)|К Сааа(Е).

полученным для задачи Коши (2.1.3) [43, 71]. Достаточно получить оценку Лу0 в норме Е. Представим Лу0 в следующем виде:

Со ,а(Е)

а

Т

V

Л

Ау0 = Ау(0) = - (I - ехр{-ЛА})-1 | А ехр{-(Л- 5)А}(/(Л) - /+

0

+ (I - ехр{-ЛА})-1 Ау + /(Л) = I + 12, (2.3.5)

где

_ Л

I = -1, = - (I - ехр{-ЛА})-1 Г А ехр{-(Л - 5)А}(/(Л) - /^,

0

/2 = (I - ехр{-ЛА})-1 Ау + /(Л). Оценим I и ¡2 в отдельности. Оценим сначала I в норме Е. В силу (2.1.5) и (2.1.7) при п = 1 имеем

Л

< |(1 - ехр{-ЛА})Г ||А ехр{-(Л - 5)А}Е—е II/(Л) - <

\\Е —Е Л 11 ^ 4 У '»Е—Е 1К 4 у ^ 4 НЕ

0

Л

< МГ = МЛ_*_11/1 = М

< Г (Л-5)Ла ll¡lсoа'а(Е) Г (Л-5)1-аЛа ||У|1с0аа(Е) а

Теперь воспользовавшись оценкой (2.1.5), оценим ¡2:

Ц < |(1 - ехр{-^})ЦЕ—Е МЕ + I\/(Л)Е < М1 I\М\Е + 11 Псг (Е) ■

Объединив оценки для I и ¡2, получаем

КИе <М {М е + а-Л\А\с,а (Е)} . (2.3.6)

Используя (2.3.6) в правой части неравенства (2.3.4), получим (2.3.3). Теорема 2.6 доказана.

п

Замечание 2.1. Если оператор I с ехр{-ЛгА} имеет ограниченный обратный

I=1

в Е, то тогда используя те же методы, мы можем получить аналогичные результаты для решения более общей нелокальной задачи

п

у'(г) + Ау (г) = / (г) (0 < г < 1), у(0) = £ су(Л) + у,

1=1

где 0<Л<Л< .. <Л < 1.

Е

2.4. Приложения к главе 2

В предыдущих разделах были рассмотрены задачи в классе параболических дифференциальных уравнений. Здесь же мы применим полученные в абстрактной ситуации результаты к двум следующим классам операторов:

а) сильно эллиптическим функционально-дифференциальным операторам с растяжением и сжатием пространственных переменных в ограниченной области

ОсМ";

б) эллиптическим операторам в ограниченной области Ос1" с нелокальными краевыми условиями, связывающими значения функции и ее производных на границе области со значениями на некотором компакте внутри области (таким образом, охвачен случай параболических уравнений с нелокальными условиями как по времени, так и по пространственным переменным).

Для этого в каждом из упомянутых случаев мы убедимся, что соответствующий оператор удовлетворяет (1.1.2) и порождает аналитическую полугруппу в

Е = .

Отметим, что смешанные задачи для параболических дифференциально-разностных уравнений со сдвигами пространственных переменных изучались методами теории полугрупп в работах [35, 39]. Рассматривались вопросы, связанные с обобщенными и сильными решениями смешанных задач, а также пространством начальных данных. Существенную роль здесь играют результаты, полученные ранее для эллиптических дифференциально-разностных уравнений (см. [38, 60, 78, 79]).

Начальные задачи для параболических функционально-дифференциальных уравнений с запаздыванием по времени и неограниченными операторными коэффициентами рассматривались в [14, гл. 2]. Разрешимость, гладкость, асимптотические свойства и оценки решений в весовых пространствах Соболева на полуоси устанавливались на основе исследования соответствующих операторных пучков.

Параболические уравнения с нелокальными условиями по пространственным переменным играют важную роль в теории многомерных диффузионных процессов (см. [15] и приведенную там библиографию). Систематическое изложение теории нелокальных краевых задач для эллиптических уравнений можно найти в [16,36,37]. В работах [33, 34] построена эллиптическая теория (теорема о фредгольмовости) для задач с растяжениями-сжатиями на многообразиях с краем.

Далее через H '(Q) обозначается пространство Соболева комплекснозначных функций, принадлежащих L2 (Q) вместе с обобщенными производными первого

порядка, а через H'(Q) - замыкание множества C° (Q) финитных бесконечно

дифференцируемых функций в H'(Q). Пространства H'(Q) и H'(Q) - гильбертовы со скалярными произведениями

(и, w)H 1 (Q) = J(uw + VuVw)dx, (и, (Q) = JVuVwdx.

Q Q

Пространство H*(Q) можно отождествлять с подпространством функций из Я1 (К"), равных нулю вне Q. В обозначении для нормы оператора \\\\Е Е индекс будем опускать.

2.4.1. Параболическое функционально-дифференциальное уравнение с растяжением и сжатием пространственных переменных

В этом подразделе рассматривается задача

n

vt (x, t) - £ (j (x, t))Xj = f (x, t), 0 < t < 1, x e Q, (2.4.1)

i, j=1

v = v +K x), v = 0. (2.4.2)

lt=0 \t=l 7 ' l9Qx[0,1] v '

Действие операторов R связано только с переменной x , они определяются формулой

Я^(х) = £а^и^х) . (2.4.3)

1

Здесь Л е (0,1] и q> 1 - фиксированные числа, ограниченная область,

содержащая начало координат, ау7 - заданные комплексные числа, а /(х,г) и х) -

заданные комплексные функции. Индекс I пробегает конечное подмножество целых чисел и может быть как положительным, так и отрицательным. Если q-х £ О при некоторых I и хей, то считаем и(дх) = 0 в (2.4.3) (другими словами, функции продолжаются нулём вне О перед применением к ним оператора Д).

Центральное предположение, связанное со структурой выражения

п

(Дг]ищ (х,г))х , состоит в том, что мы требуем выполнения неравенства типа Гординга

п

Яе ^ |(V* У^х^х > фиЦ(О) - е2\\и\\^^ (и е С?(°)), (2.4.4)

¡,]=1 О

в котором постоянные с > 0 и с2 > 0 не зависят от и е С?(О). В [30] показано, что данное неравенство равносильно алгебраическому неравенству

и И

Яе ^ а^/ >0 (г е(С, |г| = <[\ £ е К", = 1), (2.4.5)

причем из (2.4.5) вытекает (2.4.4) с постоянной с2 = 0 и постоянной с, равной минимуму выражения слева в (2.4.5). В этом подразделе условие (2.4.5) будем предполагать выполненным.

Чтобы воспользоваться результатом первой части работы, необходимо дать формальное описание оператора, отвечающего уравнению (2.4.1) (в нашем случае это будет постоянный, не зависящий от г, оператор). Для этого зададим на пространстве 12 (О) полуторалинейную форму

г [и= 2 (Дил)(О) (2.4.6)

¿,у=1

с плотной в z2 (Q) областью определения D(aR) = H*(Q). В силу основного предположения этого пункта, она удовлетворяет неравенству

ReaR[u,u] > q||Vu|£(Q) (u e HT1(Q)). (2.4.7)

Кроме того, очевидно, существует постоянная M > 0 такая, что

\aR[u, w]| <MV<JlV<о (u, w e H 1(Q)) . (2.4.8)

Из (2.4.7) и (2.4.8) следует замкнутость полуторалинейной формы и ее

секториальность: значения ал [u, u], 0 * u e H*(Q), лежат на комплексной плоскости внутри угла с вершиной в нуле, охватывающего положительную вещественную полуось и имеющего полураствор arg tg(M/q). Согласно первой теореме о представлении (теорема 2.1 в [18, гл. IV]), формой (2.4.6) однозначно задается m-секториальный (в смысле Т.Като) оператор AR : D(AR) с L(О) ^ L(О) с плотной в

L (О) областью определения D(Ar ) с H*(Q) такой, что ай [u, w] = (ARu, w)^(Q) при

u e D(Ar), w e H*(Q). В [30] показано, что D(AR) не лежит, вообще говоря, в

^(^.Там же получены достаточные условия, когда D(AR) с H:(Q) ПH2(Q).

Итак, решение задачи (2.4.1), (2.4.2) понимается в смысле данного в начале работы определения, где оператор A(t) = A ассоциирован с полуторалинейной формой (2.4.6). Убедимся, что оператор (-Ал) является генератором аналитической полугруппы. В [76, гл. II, §4] доказано, что данное свойство оператора равносильно его секториальности в следующем смысле (см. также [59]):

существует число 8> 0 такое, что угол "L„l2+S= { 0 ф z e€: |arg z| <л/2 + 8 } содержится в резольвентном множестве оператора (-Ал) и для любого s e {0,8) существует Ms> 0:

+ Ад )-1

Ме

<-^

(2 е 2+д-е)

(2.4.9)

Лемма 2.3. Оператор (-Ал) - секториалъный в указанном выше смысле. Доказательсто. Положим для удобства а = Яе г, ш = 1тг, С = М/с,. Тот факт, что угол + ш: Са + \о\>0} содержится в резольвентном множестве оператора (-Ад),

хорошо известен (см., например, не претендующий на новизну вывод в [30, §2.3]). Осталось получить оценку для резольвенты (2.4.9) в этом угле. Равенство (+ А )и = £, 0 ф и е ДАй), £ е Ь2 (О), можно записать эквивалентным образом в виде (интегрального) тождества

^ (О) + ад[и ^ = (g, м')и (О) (™ е н 1 (О)).

и (О)

При w = и будем иметь

<у\\и\\2 ,„, + Яе ай[и, и] + \\и||2 ,„, + 1т

11^2 (О)

11^2 (О)

ак[и, и])= (£ и)

и2(О)

откуда следует, что

-Ыь2(О)\Нь2(О) <+£(О) + ЯеаД[и,и] <И

-Ы1 Ли1и о <+£ о+1т ад[и,и] <

и ■

и2(О)11 11и2(О) -

И^О)!! 11и2(О) II 11и2(О)

и .

(2.4.10)

(2.4.11)

Кроме того,

- С Яе аЙ [и, и] < 1т аЙ [и, и] < С Яе аЙ [и, и].

(2.4.12)

Комбинируя (2.4.10) - (2.4.12), получаем

или

(С°-ш\\ии (О) < (С+1)1 £1

и (О)

а также

г

или

(С^)||Ни < С + 1)1 ■

Таким образом, (Са +|и|)||и|| ) < (С +1)||^ (а}, что означает оценку для резольвенты

X + А )-1

<

С +1 С а + |и|

в рассматриваемом угле. В то же время, нетрудно убедиться, что в любом охватывающем положительную вещественную полуось симметричном угле меньшего раствора {а + ¡и: С а +1|>о}(С>С), справедливо неравенство

К (Са + |и|)>|а| + |и|,

где

¡г 11 С +1

К = тах < —,

С'С' - С ] ' Поэтому окончательно имеем

(г/ + А )- < < К(С±1) Са + и> 0).

Замечание 2.2. Резольвента (х! + Ал )-1 существует и в окрестности точки z = 0. Вместе с леммой 2.3 это означает, что спектр оператора (-Ал) сдвинут влево от мнимой оси и имеет место неравенство

\\(г1 + А П <-^7 (Ке х > 0),

11 1 1+х

т. е. для оператора А выполнено условие (1.1.2).

Таким образом, мы приходим к основному результату этого пункта -следствию из теоремы 2.6.

Следствие 2.5. При /е ДД) и / е С0а,а(12(О)) задача (2.4.1), (2.4.2) имеет единственное решение v( х, г), функции (•, г) и г) принадлежат

пространству Са,а(Ь2(О)), и справедлива оценка

■14

+ ЛМ\

< М

\М\

1

'^(О) а(1 -а) |1са'а( ^(О))

с постоянной Мк > 0, не зависящей от а, / и /.

2.4.2. Параболическое дифференциальное уравнение с нелокальным

условием на дО

В этом подразделе изучается задача

(х, г) - £ ац (х>хх (X, г) + а,у(хх, г) = /(х, г), (х е О, 0 < г < 1),

¡,]=1

Ч=о = Ч=я + /(х)' у(хг) - £ ^(хМ®* (x), г)

= 0.

(2.4.13)

(2.4.14)

дОх[0,1]

Здесь О - ограниченная область в М" с гладкой границей, Л е (0,1], а0 е

а.

..Ц,Ь6, е С°°(МЙ), а1](х) = ап(х) - вещественные функции,

0 (хе^О^ЕГ),

и (^ = 1,...,£) - Сш - диффеоморфизмы, отображающие некоторую окрестность и границы дО на множества т!.(и)сО.

Введем неограниченный оператор ЛГ : Б(Лг) с Ь2(О) ^ Ь2(О) с областью определения

V

V

,5=1

У

Б(А) = Н2 (О) = \и е Н2(О) : н(х) - Е^(х)и(ю,(х))

«=1

= о!

ЭО

действующий по формуле

АГН(х) = Е ач (х)ихх< ' Н е Н2 (О) •

(,3 =1

Лемма 2.4. Оператор Аг - а01 - секториальный при всех достаточно больших а0 Доказательсто. Введем оператор-функцию Ь(¿): Н2(О) ^ Ь2(О) х Н3/2(ЭО) по формуле

Г и г 5 ^

Ь(г)м(х) = -Е О,(х>хх, + I м(х) - Е ^((х))

, ¡,3=1 V «=1

Л

= 0

ЭО у

представляющую собой ограниченный оператор при каждом г еС. По теореме 2.1.2 [36, гл. 2, §2.1] для любого числа 0 <8<ж/ 2 существует число г8> 0 такое,

что при всех х из множества Еж/2+5П{Г > } оператор Ь(х) имеет ограниченный

обратный Ь_1(г): Ь2 (О) х Н3/2 (ЭО) ^ Н2 (О). Причем неравенство

м

11н 2(о)

+ЫМ1,„, < С,

+

Ь2(О) м!"5 011 Ь2(О) 11° !|1 Н3/2(ЭО)

+ Г

II^ИЬ (ЭО) )

где для краткости обозначили (^, ^) = Ьм, выполняется с постоянной С > 0, не зависящей как от м е Н2 (О), так и от г е Е„/2+в П{г| > Т8}. Но это в точности означает, что всякое множество вида Е„/2+5П{Г > г8} состоит из резольвентных точек опера-

тора Аг, и на нем справедлива оценка для резольвенты (гI - АГ)1 < ^т. Тогда при

г

а0 > г /со$,5 весь угол Еф+3 лежит в резольвентном множестве оператора Аг - а01 и имеет место неравенство

|1(г1 -(АГ - а() I ))-1

С С /оов8

г + а.

(г еЕ„! 2+8 )

У

п

г

Кроме того, спектр оператора Лг - а01 сдвинут влево от мнимой оси и имеет место оценка

(ы1 -Л -аоI))-

<М (Rez > 0).

1 + ы

Решение v( х, г) задачи (2.4.13), (2.4.14) вновь понимается в смысле определения, данного в начале работы, с оператором Л(г) = -ЛГ + а01. А именно, V есть непрерывно дифференцируемая на отрезке [0,1] функция со значениями в 12 (О), v(•, г) е НГ (О) при каждом г е [0,1], функция Л^(х, г) непрерывна на [0,1] со значениями в Ь2 (О), при каждом [0,1] правая и левая части (2.4.13) совпадают как элементы 12 (О), и v(•,0) = v(•, Я) + / .

Следствие 2.6. Пусть а0 > 0 достаточно велико. Тогда при всех функциях /е Н2(О) и / е Са,а(Ь2(О)) задача (2.4.13), (2.4.14) имеет единственное решение v(х, г), функции vt (•, г) и Л^(-, г) принадлежат пространству Са,а(Ь2(О)), и справедлива оценка

V,

+ К-ЛГ + а01) Н|соа,а(^ О) < МГ Ц(-ЛГ + а01 )4

1

) а(1 -а)" "С0°,а(

с постоянной МГ > 0, не зависящей от а, / и /.

Замечание 2.3. Недостатком приведенного результата является то, что нижняя граница для а0 не описана явно. Вопрос о том, будет ли секториальным сам оператор Л , сводится к локализации его спектра. Принимая во внимание, что в круге |ы| < г8} спектр состоит лишь из конечного числа собственных значений оператора Лг (следствие 2.1.2 [36,гл.2,§2.1]), достаточно установить, что все собственные значения оператора Л лежат строго в левой полуплоскости. Однако, в общем случае это сделать затруднительно. Ниже приведен пример секториального оператора Лг.

Пример. Рассмотрим задачу в прямоугольнике

V (х, О - а2^ (х, ^ = /(х, Г), (0 < х < 2,0 < t < 1),

V = V + ц(х), V = ЪМ , V = ЪМ ,

^=0 Ь=Л 1х=0 1 I х=1 \х=2 2 1х=1'

(2.4.15)

(2.4.16)

где а>0 и ¿„¿2ёК.

Получим условия, при которых оператор А : 4 (0,2) ^ (0,2),

Аги(х) = а2и"(х), и е ДАГ) = Н2 (0,2) = {г/ е Н2(0,2): и(0) = Ъхи(1),и(2) = Ъ2и(1)},

является секториальным. Его собственные значения вычисляются непосредственно. Независимо от коэффициентов Ъ, Ъ в нелокальных условиях, числа ^,

= -(як)2, к еМ,

а

(2.4.17)

являются собственными значениями оператора Ат

Если - 2 < Ъ + Ъ < 2, то к этой серии добавляется еще одна серия

'2,к

а

= ± агссоБЪ + Ъ2 + 2лш ) , т е Ж, V 2 )'

также отрицательных собственных значений. При Ъ + Ъ2 ^ 2 к серии (2.4.17) добавляется серия

'Ъ,к 1 2

= 1п2

а

К + Ъ2

+ .

2 \

Ч + ъ2

V

2

- (2лк)2 ± /4лк 1п

Ъ + Ъ2

+ .

2 \

'Ь+ъ* | -1

к = 0,1,

в которой всегда есть неотрицательное собственное значение (при к = 0).

Если же Ъ + Ъ2 <-2, то собственные значения оператора А состоят из (2.4.17) и серии

У

V

V

-4Л 1 „2

а

= 1п2

Ъ + Ъ

+ .

2 Ц

Ч + Ъ2

-1

- к2 (2т +1)2 ± ¡2ж(2ш +1) 1п

т = 0,1,....

|Ъ + Ъ

+ .

2 V

+ Ъ2 2

У

Вещественные части всех собственных значений этой последней серии будут отрицательными, если

1п

|Ъ + ъ

+ .

2 1

Ч + Ъ2

V

2

<к.

т. е. Ъ + Ъ >-2еЬк. Итак, условие - 2еЬк< Ъ + Ъ < 2 является необходимым и достаточным для секториальности (и сильной позитивности) оператора в этом примере.

Следствие 2.7. Предположим, что - 2еЬк< Ъ + Ъ < 2. Тогда для всех функций ¡е Н 2(0,2) и / е Сп'а(Ь2 (0,2)) задача (2.4.15), (2.4.16) имеет единственное решение v(х,г). При этом функции V(•, г) и ^(•,г) принадлежат пространству С0а'а(12(0,2)) и выполняется оценка

V + V < М „

ГЛ\с^,а(Ь1(0,2)) +11 Ухх\\са,а(Ь2(0,2)) < М Г

л

1

»11 ^(°,2) а(1 -а) |1са,а( ^^

2

2

V

У

У

с постоянной МГ > 0, не зависящей от а, л и /.

Глава 3

Нелокальная задача с переменным оператором 3.1. Разрешимость в пространстве СЦ'Г([0,1], Е)

Рассмотрим нелокальную задачу

у'(г) + А(г)у(г) = /(0 (0 < t < 1), у(0) = у(Л) + л (0 <Л< 1) . (3.1.1)

в произвольном банаховом пространстве Е. Здесь у(г), /(г) и А(г) удовлетворяют условиям первой главы; л е в, в = В(А(г)).

Задача (3.1.1) имеет единственное непрерывно дифференцируемое решение у(г) и для её решения справедлива формула

Л г

у(г) = и (г,0)(1 - и (Л,0))-1{ л + | и (Л, я) / (^} + | и (г, я) / , (3.1.2)

0 0

где и (г, я) определяется из соотношения (1.1.5) или (1.1.6). Справедливы следующие леммы.

Лемма 3.1. Пусть А(г)А_1(р) = А(г + Л)А_1(р) при некоторых 0 < г < г+Л, р е [0,1]. Тогда для любых 0 < я < г < г + Л, и е В справедливо тождество

и (г, я)и = и (г + Л, я + Л)и. (3.1.3)

Лемма 3.2. Пусть выполняются условия леммы 3.1. Тогда оператор I - и(Л,0) имеет ограниченный обратный и справедливы неравенства

|(1 -и(Л,0))-1|и <М , (3.1.4)

||А(0)(1 - и(Л,0))-1 А"1(Л)^я <М. (3.1.5)

Наконец, удобно будет представить у'0 в виде суммы следующим образом:

Л

у0 = - А(0)у(0) + / (0) = - А(0)(1 - и (Л,0))-1{л+ { и (Л, я)/(^} + / (0) =

0

Л

= А(0)(1 - и (Л,0))-1 | и (Л, я)(/ (Л) - / (я))Ж -

0

где

- А(0)(1 - и (Л,0))-11 и (Л, я)[ А(Л) - А(я)]А-1(Х) / (Л)ёя -

0

- А(0)(1 - и(Л,0))-1((1 - и(Л,0))А-\Л)/(Л) + л) + /(0) =

Л

= А(0)(1 - и (Л,0))-1 | и (Л, я)(/ (Л) - / (д))Ж -

0

Л

- А(0)(1 - и (Л,0))-11 и (Л, я)[ А(Л) - А^А^Л) / (Л)^ -

0

- А(0)А~1(Л)/(Л) - А(0)(1 - и(Л,0))-1 л + /(0) =

Л

= А(0)(1 - и (Л,0))-11 и (Л, я)(/ (Л) - / (д))Ж -

0

Л

- А(0)(1 - и (Л,0))-11 и (Л, я)[ А(Л) - А^А^Л) / (Л)^

+

0

+ А(0)(1 - и(Л,0))-1 А-1(0)(-А(0)л - /(Л) + /(0)) + + А(0)(1 - и(Л,0))-1и(Л,0)(А-\Л)/(Л) - А~1(0)/(0)) + + А(0)(1 - и(Л,0))-1и(Л,0)А-\Л)(А(Л) - А(0))А_1(0)/(Л) =

= /3 + /4 + /5 + /б, (3.1.6)

Л

/з = А(0)(/ - и (Л,0))-11 и (Л, я)(/ (Л) - / (*))& ,