Исследование некоторых нелинейных параболических и гиперболо-параболических систем дифференциальных уравнений с особенностями типа памяти тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, доктор физико-математических наук Орлов, Владимир Петрович

• Орлов, Владимир Петрович
• доктор физико-математических наук
• 1996

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Орлов, Владимир Петрович

СОДЕРЖАНИЕ

ВЕДЕНИЕ

ГЛАВА I

Математические модели термовязкоупругости

М Уравнения движения вязкоупругой сплошной среды в

эйлеровой системе координат

§2 Уравнения движения в лагранжевой системе координат

^3 Математические модели термоупругости и

термовязкоупругости

^4 Уравнения движения вязкоупругой среды с интегральной памятью

ГЛАВА II

Абстрактные дифференциальные и иинтегро-дифференциальные

уравнения

§1 Позитивные операторы

§2 Абстрактные дифференциальные уравнения второго порядка

§3 Абстрактные дифференциальные уравнения второго порядка (специальный случай)

§4 Абстрактная интегро-дифференциальные задача

ГЛАВА III

Системы уравнений движения вязкоупругих сред

§1 Несжимаемая среда. Локальная разрешимость

^2 Баротропная вязкоупругая среда. Локальная разрешимость

Многомерные модели вязкоупругих сред с памятью

§4 Многомерная баротропная вязкоупругая среда с подвижной границей

§5 Баротропная вязкоупругая среда. Разрешимость в

целом на полуоси

§6 Модель Олдрайда вязкоупругой жидкости

ГЛАВА IV Термоупругая среда

Локальные теоремы (лагранжевы координаты)

§2 Локальные теоремы (эйлеровы координаты)

Устойчивость нулевого решения

ГЛАВА V

Системы уравнений термовязкоупругости

Локальная разрешимость

§2 Разрешимость на полуоси

§3 Система термовязкоупругости в перемещениях

Зписок литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Исследование некоторых нелинейных параболических и гиперболо-параболических систем дифференциальных уравнений с особенностями типа памяти»

ВВЕДЕНИЕ

Современные методы решения краевых и начально-краевых задач для уравнений гидродинамики вязкой жидкости характеризуются широким использованием методов функционального анализа и теории вложения функциональных пространств. Их становление связано с работами С.Г. Крейна, O.A. Ладыженской, Ж. Лерэ, С. Л. Соболева, 3. Хопфа, Г. Вейля.

Более сложные модели жидкости, учитывающие предысторию течения, были предложены Дж. Максвеллом, В. Кельвином, В. Фойгтом и развиты в работах Дж. Олдройда.

Эти модели приводят к интегродифференциальным уравнениям, коэффициенты которых не зависят от значений неизвестных функций, вычисляемых вдоль траекторий движения частиц. Изучение таких уравнений было начато в работах А.П. Осколкова и его учеников и продолжено в работах Ю.Я. Аграновича и П. Е. Соболевского, Е. Fernandes-Cara, F. Gull ien, R. Ortega, рассмотревших случаи физически нелинейной среды. Однако на практике такие модели не всегда дают хорошие результаты. В. Г. Литвинов "предложил модель вязкоупругости, помнящую историю деформирования, которая в эйлеровых координатах вычисляется вдоль траекторий движения частиц, а не в точках неподвижного пространства. Так что при этом деформация в каждой точке траектории вычисляется в лагранжевых координатах. Исследования таких моделей вязкоупругости находится на начальном этапе.

Значительный интерес представляют гиперболо-параболические системы уравнений термоупругости и, в частности,

одномерные модели. В работах R. Racke, Y.Shibata, S.Jiang, W.Day, W. Hrusa, M. Tarabek, J.U.Kim, Ф.Г.Максудова,

К.А.Леонова были установлены локальные теоремы при достаточно гладких данных и нелокальные теоремы при гладких малых данных.

Значительный интерес вызывают параболические системы уравнений термовязкоупругости. Такие системы рассматривались в работах К. Chelminski, S.Jiang, I.Luca, С. Navaro, R.Bercia, в которых установлены локальные теоремы при достаточно хороших данных и нелокальные теореим дл# линеаризованных или модифицированных систем. Отметим, что в одномерном случае сходные с системами уравнений термовязкоупругости, но отличающиеся от них функциями стстояния, системы уравнений движения вязкого газа изучались в работах A.A. Амосова, А.А. Злотника, А. В. Кажихова, В.Б.Николаева, В. П. Маслова, П. П. Мосолова, H.H. Шелухина, Н. Fujita-Yashima, R. Benabi dal Iah, M.Padula, A. Novotny и др.

В этих работах изучены разрешимость в различных функциональных пространствах и поведение решений на бесконечности (наиболее полные результаты получены в L^ ), рассмотрены вопросы повышения гладкости различных обобщенных решений при повышении гладкости данных.

Большую роль в этих исследованиях играет интерпретация этих уравнений как уравнений в банаховом пространстве с неограниченными операторами и изучение свойств соответствующих линейных уравнений и их спектральных характеристик. Этому напрвлению посвящены работы П.Е Соболевского, С. Г. Крейна, Н. Д. Копачевского, А. И. Прилепко, М. Л. Горбачука, Л. М, Герштейна, А. Я. Шкляра, G. Da Prato,

J.Pruess, P.Clement, А. А.Шпаликова, А.Г.Костюченко, W.Hrusa, М.Renardy, J.Nohel, A.A. Панкова, А.Н.Боценюка, К. Chelminski, Н.Fattorini, И. В.Федака, R.Fabiano, К. Jto, В. А.Солонникова, В.И.Юдовича, С.Я.Якубова, Ю.Т. Сильченко, С.Г. Михлина.

Диссертация состоит из пяти глав. В первой главе приводятся в удобной для нас форме в эйлеровой и лагранжевой системах координат уравнения движения сплошной среды. Мы считаем, что сплошная среда занимает ограниченный об'ем Q с R , n ^ 1 с границей ^Q С С . Эйлеровы

координаты х связываются с лагранжевыми координатами с помощью формулы ^ = -гсоД/х) , где ^C^t,*) - решение задачи Коши (в интегральной форме).

ZCT^.V) =. ^ vC^^t,*)) Js, (0.1)

i: 1

а V С~Ь.> к ) - вектор-функция на Q , являющаяся полем скоростей среды.

Вторая глава посвящена изучению абстрактных дифференциальных и интегродифференциальных уравнений. В первых трех параграфах изучается задача Коши

u*ct)^Au'ct) foro,i0.2)

1/(0^1X0 , <п/(0 )^/и< (0.3)

в банаховом пространстве Ь с неограниченным сильно позитивным оператором А ■ В частности, это означает, что спектр

оператора А лежит внутри сектора ) = ■] X ',

Я^Х^.бо > X 1 * а вне Эс^о, Ц> ) справед-

лива оценка резольвенты II СХ- А4) 11 М С^-НМ^ % Решением задачи (0.2)-(0.3) называется функция -ис-О 6

) , {^<^<+00 , такая, что Д-иС-ЬОб ]_^^ Со^оо Е ^ и выполняются п. в. уравнение (0.2) и условия (0.3). Относительно оператора А предполагается, что

задача

VlC-Ь)■^-Avc•t)' = fcЬ) ,-Ь^О , \Ко^У0 (0.4)

коэрцитивно разрешима в ) Ь ) при некотором

(.4, с*?) . Это означает, что при всех |_-<^Со;с>оЕ)

и е Ь задача (0.4) имеет единственное

решение. Здесь -банахово пространство

элементов из £ , для которых конечна норма

IV 1< V =( ГиАТ^и'ЫУ^

^ о / ? (0.5)

а -еу:^ А ~ аналитическая полугруппа,

порожденная оператором А • Отметим, что сильная позитивность А не гарантирует к. р. задачи (0.4) при каком-либо

При условии, что ^о > ^ и ^

устанавливается (теорема 2. 2.1) однозначная разрешимость задачи (0.2)-(0.3) в оь) Е } при любых ^к^Со)

ОЪ'/В) , и0еЯ)Ш , ' при любом

с^ е С Л , °о• ^сли спектР € оператора А состоит из

двух частей 6^, = (оуу $ и £>2- ' где содержит лишь положительные собственные значения, а йг. X > при Ое ' разрешимость задачи (0.2)-(0.3) уста-

навливается (теорема 2.3.1) лишь при

Основным моментом при доказательстве здесь являются явные формулы для решения задачи. При этом во втором случае задача расщепляется на две аналогичных задачи, первая из которых является системой обыкновенных дифференциальных уравнений, а вторая удовлетворяет условиям первого случая. При построении явных формул используются дробные степени операторов и аналитические полугруппы, построенные по корням соответствующего характеристического (операторного) уравнения. Отметим, что условия на данные являются необходимыми при данном определении решения.

В случае гильбертова пространства задача (0.2)-(0.3) с различными коммутирующими самосопряженными операторными коэффициентами с точки зрения устойчивости изучалась М.Л. Горбачуком, А. Я. Шкляром, И. В. Федаком. Соответствующие уравнению (0.2) операторные етучки исследовались Н. Д.Копа-чевским, А.Г.Костюченко, A.A. Шкаликовым и др. В случае банаховых пространств уравнение (0.2) рассматривали В.Н. Герштейн, С.Г.Крейн, Ю. Т. Сильченко, П.Е.Соболевский, J. Pruess, P.Clement, G. Da Prato, установившие разрешимость при достаточно гладких данных при различных ограничениях на операторные коэффициенты, в том числе и некоммутирующие..

В четвертом параграфе рассматривается задача

V'cfc)*^ A.V/C-t) И" ¡fa- 5 «^f WCS-^b)) Av<S') c(5 -

(0.6)

; vco^vo ,

Здесь

А - позитивен, a Ji: . Задача (0.6) изу-

чается в весовых пространствах С О, оо* Ь ) функций

, суммируемых со степенью £ С А, ") е>с |р> С эе-Ь ") . пусть

с весом

- ¿i , к =

a ß Сб ) -В предположении, что

ц-ol > 0 ^ ¡(«oí -V ,

<1 ^ - умХц 4- oí , (0-8)

Устанавливается (теорема 2. 3.2) однозначная разрешимость задачи (0.6) при L^ ^,(0,00) E")^v0 е оценка

Hv'chll ч- К AV(4r)|(. ^ ^и vc^l f

Ч* -bio

i

4- Vio |¡ А [ V(S) oxpCcUs-Ъ) eis II -f° (0.9)

-+ II A^ e^bWCS't))V(5)o(s|( 4 M (kill -Hv.l )

Для доказательства задача (0.6) сводится к задаче (0.2)-(0.3), выписывается явная формула для решения, и осуществляется обратный переход. Оценки (0.9) устанавливаются с использованием явной формулы.

Третья глава посвящена изучению многомерных моделей вяз-коупругости. В первом параграфе рассматривается случай несжи-

маемой среды

\/4 + Ъсл/ ) ~ ' А V -^¿у б СЪ &С\0/?>У ) -

- уъА р = ^с-Цх) р (Им ус^х)

^ У) Ду = О

V С) - V0 С X ) . у е V с-Ь, к ) О ^ о \ у в

Здесь ^^Сх) заданные

вектор-функции, и у ) ? л ^ ^ ^ и р¿"Ц >0 искомые вектор-функция и скалярная функция, Я&О/) -

VI V

, '/ (2- ) - матричная

функция, аргументами которой являются коэффициенты |л у VI -матрицы Н ; • сЕ)сч/ означает взятие дивергенции от матричной функции, т. е. вектор, коэффициентами которого являются дивергенции векторов, являющихся строками матричной функции;

а является

решением задачи Коши (0.1).

Решением задачи (0.10) называется пара ( V^ р ), имеющая все входящие в уравнение (0.10) производные из > ^ > V* , и удовлетворяющая уравнениям

и условиям (0.10).

Устанавливается (теорема 3.1.1), что если 4-)_а СО")

о (ьт1 ) о ^ = о, то при дастаточно

малом задача (0<Ю ) имеет единственное решение.

Для доказательства строится итерационный процесс

^IvGC^&Cv*-4)/?)* ) ; (ii'v v%o;

(0.11)

VW(0,)C) = VCCXN) ; vet, O , J

$ р"Ч-Ц>0 Дх - О ^ л.

и показывается, что все приближения принадлежат некоторому шару SCfO^V^J СО)- Д°казательства сходимости

scfO рассматривается как метрическое пространство с (ай) метрикой. Отметим, что использование ^у^здёсъ невозможно, поскольку потребовало бы оценок разностей от производных второго порядка от vetj,*) • Доказательство существенно использует равномерные и оценки норм решения и

производных до второго порядка включительно решений задачи Коши (0.1).

Отметим, что аналогичные оценки в гельдеровских нормах были впервые использованы В. А. Солонниковым при исследовании задач со свободной границей (см. [С013). Отметим также многочисленные работы по обыкновенным дифференциальным уравнениям с разрывной правой частью (см. [ФАШ.

В § 2 рассматривается модель баротропной вязкоупругой

среды

РМС^Нг^СлО) - ¡<4 А. (.V ) - (0.12)

; усо^У ) - суЗ, Х^О.; МС^)^

-ь 6Но, -Ь0 ч , X <ь

Здесь & V = V* ) - | ¿¿Л/ с^уУ

РОО = <Ае"У (.оуЬ,* ) \;а у £)<Л - достаточно гладкая скалярная функция. Решение задачи (0.12) определяется как УС^чО(£1е ) .^удовлетворяющая уравнению и условиям

(0.12).

Устанавливается (теорема 3.2.1), что при ) 1

V &\áÁ (SL ] задача (0.12) имеет единственное реше-° о ^

ние при достаточно малом > О . При доказательстве используется схема, примененная для задачи (0.11).

В ^ 3 рассматривается задача с памятью вдоль всей траектории движения частиц

_ Л

v - - ^¡а, ^ £ Сс> В Cv)/9x>

(0.13)

dU.Nl J

JX.

Здесь В (V)= ^ Cr x ) , a - решение задачи (0.1).

Предполагается, что СС^чО (о£гС4г-1£-"Ьс)

мера Стильтьеса по при каждом фиксированном

±.<£=10^(31 . Для простоты считаем непрерывной

по 1 при любим и функцией ограниченной вариации по

^ при каждом фиксированном (эти ограничения можно

ослабить).

Решение задачи (0.13) определяется так же, как для (0.12).

Доказывается (теорема 3.3.1) однозначная разрешимость при достаточно малом Ь0 о при тех же условиях, что и

в задаче (0.12).

Для модели баротропной среды с памятью вдоль траектории

1

(0.14)

х/с^х ) ~ О )

справедлив аналогичный результат. При условии

vc 6 , Ли \/с - О

устанавливается (теорема 3.3.2) существование и единственность решения при достаточно малом Л->0.

Соответствующие (0.14) стационарные задачи были впервые изучены В. Г. Литвиновым (см. [ЛВ11), установившим для физически нелинейно-вязкой среды вопросы существования и единственности обобщенных решений.

В §4 рассматривается модель баротропной среды в лагран-жевых координатах с неоднородными граничными условиями

\ - ^^л/ (11+

А ^ - 4 \

(I '^СБ/Х^У (1+ $о у^с^сЮ ) -

-Ь

УоСХ") , у СгО. ■

соответствующие случаю подвижной границы и действию внешних сил на частицу среды. Обозначим через V/ банахово пространство W^ ^(S) Функций, определенных на S . Норму в W обозначим u vиw При условии, что [е vo е ^(Q )

V^é \дУ устанавливается (теорема 3. 4.1)

однозначная разрешимость задачи (0.15) при достаточно малом ±„>0.

Отметим, что подобный переход к лагранжевым координатам был впервые использован В.А. Солонниковым (см. [С01]) для уравнений движения вязкой жидкости в задачах со свободной границей.

§5 посвящен доказательству разрешимости на полуоси

задачи

p(V)04 +D(V))- jh^V- (и*ихГ-

I J ; (0. 16)

Q ; W = l3CV) ■

Q • Va,

Задача (0.16) описывает движение баротропной вязкоупругой среды при,, некоторых упрощающих реологических соотношениях.

Доказано (теорема 3. 5.1), что если ■> +

> ó ? то найдется такое £> о , что для любых

F^L^(Q) , Vc<rW, vi-cc^ + oo таких,что

U F'll0 > г. £ (0.17)

задача (0.16) имеет единственное решение, ^справедлива оценка

II V|| + socio | Vdjx)| , ¿M(lFlle + (vi N (0.18)

Здесь и далее U • ы ' , И - 1\0 9 |. \о - нормы в

) , \Лу£ (Q.) , Ц(О), Ц/Q ) соответственно. Как следствие, получаем отсюда, что для любого £ > О найдется такое <£>0 , что при условии (0.17) задача (0.16) имеет единственное решение, и справедливо неравенство

Отсюда с помощью теорем, вложения можно получить оценки (i Vcl, х) IIс и II Vc-t, х) II Н°РМ решения.

Доказательство теоремы 3.5.1 основано на переходе к лагранжевой системе координат — ^СО/Ь, х) и

нахождении функции — . В лагранжевой

системе координат задача (0.16) принимает вид

V, ■- ^ (I с^) I (V) + <£<У) V* ) <£<>/>) -

(0.20)

= , (^)е О. ;

Здесь

Запишем задачу (21) в виде .> .

Линеаризованная задача

О) - Рс-Цц.')

имеет

вид С ,**=■/<*+ ¿/<5 )

(0.21)

Для задачи (0.21) доказывается (теорема 3.5.2), что при

, У2. > О для любых о ^ЗД

^ Ц/СО, ° решёние существует, един'-

ственно, и справедлива оценка

~Ьло о % '> / •

+

(0. 22)

Для доказательства задача (0.21) рассматривается как абстрактная задача (0.6) и применяется теорема 3.4.1.

С помощью теоремы 3. 5.2 для задачи (V) - Ь с-Ц ^ ) устанавливается результат теоремы 3.5.1. Обозначая через

решение задачи

вопрос о разрешимости задачи (0.20) сводится к разрешимости операторного уравнения \л/-ГсЬ а С£ (и/'Л) для разрешимости

у У О Л ? , .

которого применяется принцип Шаудера. Затем решение х/сЬ,*; исходной задачи восстанавливается из функции vct^^j./) . Единственность решения задачи (0.16) вытекает из локальной теоремы единственности.

Параграф 6 посвящен задаче

-Ъ

Аъ р^Л) - £ с*, * ) , ^

си ж-ц-о = о 7 0 « ;

(0.23)

$ .р<л,у)<А>с - о '

Здесь ^>0 ) 6 К ^ ¡^>0 • Вначале рассматривается

о

линейная задача

СЛ ^ (0.24)

Здесь 2Г - # а ^Р - оператор ортогонального

проектирования в (векторном) на подпространство

соленоидальных вектор-функций. Пусть - первое собственное значение оператора 2 рассматриваемого в $<|, • > 4 ^ % ^ на области

определения Я) СХ ) = V/ ^ С ) П Б ^ ( ^ "

подпространство соленоидальных функций в ). Пусть

I. ^ ~ Ц^Ср/эО) множество соленоидальных функций с

нормой »441

Для задачи (0.24) установлено (теорема 3.6.1), что при выполнении неравенств (0.8) для любых е ^(О. )

) ^£ ^ 0 задача (0.24) имеет единственное

решение, и справедлива оценка

Здесь и« и^ - норма в весовом пространстве

С О } С помощью этого результата доказывается (теорема 3.6.2), что при выполнении условий (0. 8) и Ре > о найдется такое <?><Э , что при всех 'ч/0£г\д/^ ^(О.)

П5л 4 £ . удовлетворяющих неравен-

ству

задача (0.23) имеет единственное решение, и справедлива оценка

£

Эе.

* К ("К^+к^^^мш^)

В качестве следствия отметим, что по любому £ > о можно указать такое о , что при у0 и ^ "меньших", чем & , задача (0.23) однозначно разрешима, и справедливо неравенство К/ (.ч, р } ^ .

В качестве другого следствия отметим, что для решения задачи (0.23) справедливы оценки

¿МШс{

i^o С (Я.)

Задача (0.23) на полуоси при более общих ядрах изучалась в работах Осколкова и его учеников при дополнительной дифференцируемости

4 ^

по "t . В работах П. Е. Соболевского и Ю.Я. Аграновича задача (0.23) рассматривалась при положительных уг и о( и . U.E. Соболевский

изучал вопросы стабилизации решений задачи (0.23) при условии Гельдеровости правой части в интегральной норме по X и дополнительной гладкости V0O) при положительных значениях Jjî. и ol . При малых данных существование и единственность решения задачи (0!23) в некоторых пространствах суммируемых функций на конечном интервале, зависящим от малости данных, установлены в работах Е. Fernandez-Cara, F. Gui lien, R. Ortega.

ЧЕТВЕРТАЯ ГЛАВА песвящена связанной гиперболо-параболической системе уравнений термоупругости.

В §1 изучается локальная разрешимость задачи

= ОО , Ô-Х^ТГ; (0.27) Ц С-Цо ) - u ci,lï ) — О , о b ± -Ь0 .

0(0^) ÛèX^Jî' ÔCi^O)^ Bch>7Y)=, 0> (0.28)

О ¿ i é -h с .

. Под решением задачи (0.25)-(0.28) понимается пара функций uеЦкУ, Qc^yc) таких, что u^ £ (Q )^ ц^ ц%ус

и^ц, ^^СсоЛ'ЛрСолг)), ge V/íp (Qo) ' и в'ыпол»-

яются уравнения и условия (0.25)- (0.28). Здесь L^p(Q)^

р .> % °° - пространство измеримых функций на

О о с нормой __

/ С / Г* I Р,

11 и ио С 5 М Сис^у>|рс1х ) ¿И )

о о 1

а (й ) ~ пространство Соболева функций, имеющих

обобщенные производные первого порядка по "Ь и второго порядка по X , Ь^р суммируемые. Пусть Ь ^ пространство функций ^ С* ) > о у * ТГ , имеющих

конечную норму

Ч ,-</Р " (11 А«>ср¿--ЪА>уо.-» | ^ . ль^

) • I— исл лз

г

Здесь оператор А иоО - - 'и" Ос) с областью определения ^(А^ Ч/Лл (оД действует в ир 1орГЦ и порождает

^ I л \

экспоненциально убывающую полугруппу ) •

Дополнительно предполагается, что { -ь и сЬ, у) > О ,

I ^

т.е. уравнение не вырождается на решении.

Для задачи (0.25)-(0.26) доказана (теорема 4.1.1) однозначная разрешимость при достаточно малом > О , если выполняются условия Л + о/с*.) > о } у> ) у

«о 6- ч; ' ^ \

причем < ^ р ^ -^оо ,

Одним из основных моментов доказательства теоремы 4.1.1 является исследование свойств решений смешанной задачи для волнового уравнения

Чу , '

и( о,*)- и0 Сч.) , Ц^со^х) = и<С*) } 0£Г)С^/7;.(0 29) и = и С-Ь/тг) = о , О ± Ь ± -Ь0 ,

Для этого решение задачи (0.29) выписывается в явном виде, позволяющем получить (теорема 4.1.4) оценку

•цч.

fy О L-p /'-J,

Оценки вторых производных решения задачи (0.29) были ранее установлены (см.» например, П.Е. Соболевского и В. А. Погореленко, С. Г. Крейна [КС13 и др.) в предположении либо дополнительной гладкости правой части по ~Ь , либо удовлетворения некоторым краевым условиям и гладкости по X . Полученные выше формулы решения задачи позволяют избежать как требований гладкости по -fcr , так и наложения краевых условий по X на правую часть.

Для доказательства теоремы 4.1.1 каждой

ее SCfiO =•

{б; HÖ li-f^R $ ставится в соответствие решение ц задачи (0.25), (0.27), а затем найденной Ц ставится в соответствие решение 6 задачи (0.26)(0.28). С помощью теоремы 4.1.4 и коэрцитивных оценок решений параболической задачи (0.26), (0.28) показывается/ что при достаточно малом ~Ь0 оператор Э - OL С© ) имеет единственную неподвижную точку на

SCCO

(при достаточно большом ). Сжимаемость оператора ас обеспечивается множителем

В (0.30).

В §2 рассматривается эйлеров вариант задачи (0.25)-(0.28), а именно, система уравнений

; а*к-0о, (0-31)

- ^^ а^кД, (0.32)

с начальными и граничными условиями (0.27), (0.28).

Установлено, что в условиях теоремы 4.1.1 для задачи

(0.31)-(0.32), (0.27), (0.28) справедливо утверждение теоремы 4.1.1.

При доказательстве разрешимости задачи (0.31), (0.32) ключевую роль играет (теорема 4.2.4) оценка

решений и< и и7" задачи (0.31), (0.27) при б = В*

2_

и € -0 и оценка (теорема 4.2.6)

■Ми^)-У

- А л

решений 0 и . в задачи (0.32), (0.28) при и = к и и - и . Отметим, что при выводе оценки 0 не

используется гладкость по переменной ч , а

делается переход к эйлеровой системе координат. Использование последних оценок позволяет установить сходимость последовательных приближений для соответствующего операторного уравнения при малом 4: .

Третий параграф посвящен изучению задачи (0. 25)-(0.28) на полуоси. Доказано (теорема 4. 3. 1), что для любого

найдется такое , что при любых

с 1

У* и,у 1р(°,Ю), ^ (а) ,

удовлетворяющих условию

задача (0.25)-(0.28) имеет единственное решение, и справедлива оценка

При доказательстве теоремы 4.3.1 существенно используется явная формула для решения ис^у) смешанной задачи (0.29) при больших ^ . Полученные формулы позволяют получить оценки решения задачи (0.29)

позволяющие свести задачу (0. '25)-(0.29) к уравнению со сжимающим оператором, причем условия принципа сжимающих отображений обеспечиваются малостью данных задачи, а hg малостью t 0 , как в локальной теореме.

Разрешимость на полуоси, устойчивость нулевого решения уравнений термоупругости и поведение решения при исследовались в работах Hrusa W., Tarabek М., Slemrod М., Kim J. U., Racke R. , Sil í bata Y. и др. при больших требованиях на гладкость данных и их малости.

Отметим, что методика исследования уравнений

термоупругости, использованная выше, может быть использована и других функциональных пространствах, например, в пространствах Гельдера с весом. При этом функции из этих пространств должны обладать лучшими свойствами по времени, чем по пространственной переменной (не вошедшая в диссертацию часть работы [ОСИ).

В ПЯТОЙ ГЛАВЕ в изучается параболическая система термовязкоупругости в С5с ■= Е н Цс^

(0.33)

-*3е.^МГа,*);

(о;у) - едм; о^и! ,

Здесь = ? = \

Решение задачи V; б ищется в классе

Доказано (теорема 5.1.1), что если

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Орлов, Владимир Петрович, 1996 год

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

ÀH1 Антонцев С.Н., Кажихов A.B., Монахов В.Н. Краевые задачи неоднородных жидкостей. -Новосибирск: Наука.--1983.-320с.

АС1 Агранович Ю.Я., Соболевский П. Е. Исследование слабых решений модели Олдройда вязкоупругой жидкости //Качественные методы исследования операторных уравнений. Ярославль. -1991.-С.39-43 АС2 Агранович Ю. Я., Соболевский П. Е. Движение нелинейной

вязкоупругой жидкости /ДАН СССР, -Т. 314. -N9.-С.231-234 ÀC3 Агранович Ю.Я., Соболевский П. Е. Исследование математической модели вязкоупругой жидкости //ДАН УССР.-сер. А.-1989.-N10.-С. 3-6 БА1 Боценюк А.Н. Двухточечные задачи для некоторых связанных систем абстрактных дифференциальных уравнений типа уравнений термоупругости и их расцепление //ДАН УССР. -сер. А. -1984. -N5. -С. 3-5 Б31 Борисович Ю.Г., Звягин В. Г., Сапронов Ю. И. Топологические методы в теории нелинейных фредгольмовых операторов. -Воронеж: Изд-во Воронежского ун-та.-1978 Б01 Бесов О.В., Ильин В. П., Никольский С. М. Интегральные представления функций и теоремы вложения. -М. : Наука.--480с.

БП1 Боценюк А.Н., Панков A.A. Некоторые сцепленные системы абстрактных дифференциальных уравнений типа уравнений термоупругости //ДАН УССР.-сер. А.-1982.-N10.-С.6-8 БП2 Боценюк А. Н., Панков A.A. Регулярность решений связанных систем абстрактных дифференциальных уравнений типа уравнений термоупругости и двойственных к ним. XVII Воронежская зимняя математическая школа, 1983.-С. 37-39.-Дел. ВИНИТИ, N 4585-84 БП4 Балтаг Ю.И., Пержан A.B. Об ограниченности разрешающего оператора задачи Коши для одномерного гиперболического уравнения в Lp , //Матем. исследования.-Кишинев.-1990.-N112.-С.24-40 БЮ1 Березанский Ю. М. Разложение по собственным функциям самосопряженных операторов. -Киев: Наукова думка.-1965.--798

ГА1 Габов С.А., Свешников А.Г. Задачи динамики стратифици-

рованных жидкостей. -М.:Наука, 1986.-286с. ГГ1 Горбачук В. И., Горбачук М. Л. Граничные задачи для дифференциально-операторных уравнений. -Киев: Наукова. думка, 1984.-284с. ГЛ1 Герштейн Л. М. О связанной системе абстрактных дифференциальных уравнений типа уравнений термоупругости //Укр. мат. журнал.-1993. -45.-N8.--С.1162-1165

ГЛ2 Герштейн Л. М. О разрешимости полного дифференциального уравнения второго порядка в банаховом пространстве //Укр. мат. журнал.-1993.-45.-N10.-С.1449-1454 ГЛЗ Герштейн Л. М. Об одной связанной системе дифференциальных уравнений в банаховом пространстве //Укр. мат. журнал.-1989. -41. -N7.-С.898-906 ГН1 Гольдберг В.Н., Неймарк Ю. И. Корректность постановки нелинейной смешанной задачи для волнового уравнения на плоскости //Мат. сборник. -1965.-т.67. Г01 Годунов O.K. Элементы механики сплошной среды.-М.:

Наука.-1976.-304с. ГС1 Герштейн Л.М., Сильченко Ю. Т., Соболевский П. Е. 0 полугрупповых подходах к исследованию задач термоупругости //Методы исследования дифференциальных и интегральных уравнений.-Киев; Наукова думка, 1989.-С. 46-54 ГФ1 Горбачук М.Л., Федак И. В. Задача Коши для дифференциально-операторного уравнения, связанного с колебаниями стратифицированных жидкостей //ДАН СССР.--1987.-297.-N1.-С.14-17 ДИ1 Дьярмати И. Неравновесная термодинамика.-М:Мир.-1974. --304с.

ИК1 Иосида К. Функциональный анализ .-М.:Мир.-1967.-624с. КА1 Коваленко А. Д. Основы термоупругости. Киев: Наукова

думка.-1970.-. 350с. КА2 Котсиолис A.A. Аттракторы 'для начально-граничной задачи для уравнений движения жидкости Джеффри-Олдройда //Зап. науч. сем. П0МИ.-1993.-208.-С. 186-192 КВ1 Карнаухов В.А. Связанные задачи термовязкоупругости.-

Киев: Наукова думка. -1982. -260с. КК1 Копачевский Н.Д., Крейн С.Г., Нго Зуй Кан. Опреаторные методы в линейной гидродинамике. -М.: Наука. -1989.-416с. КМ1 Колтунов А. Д., Кравчук A.C., Майборода В. П. Прикладная

механика деформируемого твердого тела. - М.: Вычшая школа. -1983.-350с.

К01 Копачевский Н.Д. 0 свойствах базисности системы собственных и присоединённых векторов самосопряжённого операторного пучка I- \j\ - , //Функц. анализ и его прил. - 1981. -Т. 15, в. 2. -С. 77-78

К02 Копачевский Н.Д. 0 р-базисности системы корневых векторов самосопряжённого операторного пучка //Функц. анализ и прикладная математика. -Киев: Наукова думка, 1982.С.55-70

КР1 Красносельский М.А., Забрейко П.П., Пустыльник Е.И., Соболевский П.Е. Интегральные операторы в пространстве суммируемых функций. -М.:Н.-1966.-500с.

KCl Котсиолис A.A., Осколков А.П. 0 разрешимости основной начально- граничной задачи для уравнения движения жидкости Олдройда и поведение решений при ~t 00 -//Записки научных семинаров ЛОМИ.-1986.-Т.150.-N6.-С. 48-52

КС2 Котсиолис A.A., Осколков А.П.Начально-краевые задачи для уравнений слабо сжимаемой жидкости Джеффри-Олдройда //Зап. науч. сем. П0МИ.-1993.-208.-С. 200-218

К1 Крейн С.Г. 0 функциональных свойствах операторов векторного анализа //ДАН СССР.-1953.-Т. 93, N6.-С. 969-972.

К2 Крейн С.Р. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве. -М.: Наука. -1986. -464с.

КЗ Крейн С. Г. Дифференциальные уравнения в банаховом пространстве и их приложения в гидромеханике //УМН.--1957.-Т.12, вып.1.-С.208-211

КШ1 Костюченко А.Г., Шкаликов A.A. К теории самосопряжённых пучков операторов //Вестн. МГУ, cepl. Математика, механика. -1983. -N6. - С. 40-51 .

КШ2 Костюченко А.Г., Шкаликов A.A. Самосопряжённые квадратичные пучки операторов и эллиптические задачи//Функц. анализ и его приложение.-1983.-Т.17. -N2.-С.38-61

ЛА1 Ларькин Н. А., Новиков В. А., Яненко Н. Н. Нелинейные уравнения переменного типа. -Новосибирск: Наука. -1983.-270с.

ЛВ1 Литвинов В.Г. Об операторных уравнениях, описывающих стационарные течения нелинейной вязко-упругой жидкости.-Киев.-1988.-58с. - (Препринт АН УССР, Ин-т математики АН УССР.-N88.46)

ЛВ2 Литвинов В.Г. Движение нелинейно-вязкой жидкости. -М. :Наука. -1982.-376с.

ЛЖ1 Лионе Ж. -П. некоторые методы решения нелинейных краевых задач.М:Мир.-1972.-588с.

Л01 Ладыженская 0. А. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости.-М. : Наука.-1961. -204с.

Л02 Ладыженская 0. А. Смешанная задача для гиперболического уравнения. -М: Гостехиздат.-1953.-280с.

ЛОЗ Ладыженская 0. А., Солонников В. А., Уральцева Н. И. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. -М. : Наука. -1973. -73с.

Л04 Ладыженская 0.А., Уральцева H. H. Уравнения эллиптического типа.-М. : Наука.-1973.-576с.

ЛУ1 Лурье А.И. Нелинейная теория упругости.-М. : Наука. -1980.-512с.

MAI Марковский А.Н. Об Lp-L<^ оценках некоторых решений гиперболических уравнений //Укр. мат. журнал.-1993.--45.-N7.-C. 992 -1008

МК1 Миранда К. Уравнения с частными производными эллиптического типа. -М. : ИЛ, 1957. -226с.

MCI Михлин С.Г. Спектр пучка операторов теории упругости //Успехи мат. наук.-1973.-28.-3.-С. 43-82

НМ1 Маслов В.П., Мосолов П. П. Уравнения одномерного баротропного газа. -Москва: Наука. -216с.

0А1 Осколков А.П. 0 нестационарных течениях упруговязких жидкостей. Л.-1980.-39с. (Препринт ЛОМИ Р-20-80)

0А2 Осколков А.П. 0 нестационарных течениях вязкоупругих жидкостей //Тр.МИАН СССР. -1983. -Т.159.-С.101-131

ОАЗ Осколков А.П. Функциональные методы в теории нестационарных течений линейных вязкоупругих жидкостей.-Л.-1983.-65с. (Препринт ЛОМИ Р-2-83)

0A4 Осколков А. П. Начально-краевые задачи для уравнений движений жидкостей Кельвина-Фойгхта и жидкостей Олдройда. //Труды МИАН СССР. -1988. -Т. 179. -в. 13. -С. 126-164

П01 Прилепко А.И. Орловский Д. Г. Об определении параметра эволюционного уравнения и обратных задач математической физики. I.-Дифференциальные уравнения.-1985.-N1.С.119-129

П02 Прилепко А. И. Орловский Д.Г. Об определении параметра

эволюционного уравнения и обратных задач математической физики.II.-Дифференциальные уравнения. -1985. -N4.С.694-701

ПОЗ Прилепко А.И. Орловский Д.Г. Об определении параметра эволюционного уравнения и обратных задач математической физики.III. -Дифференциальные уравнения. -1987. -N8. С. 1343-1353

РС1 Рисс Ф., Секефальви-Надь Б. Лекции по функциональному

анализу.-М.: ИЛ.-1954.-500с. РЯ Рождественский Б.Л., Яненко Н. Н. Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике.-М.: Наука. -688с.

COI Солонников В. А. Разрешимость задачи о движении вязкой несжимаемой жидкости, ограниченной свободной поверхностью //Известия АН СССР. сер), мат. -1977. -т. 41. -С. 1388-1424

С02 Солонников В. А. Оценки тензоров Грина для некоторых граничных задач //Доклады АН СССР.-1960.-т. 126.-С. 988-991

СОЗ Солонников В. А. Разрешимость задачи об эволюции изолированного объема вязкой несжимаемой капиллярной жидкости //Зап. научн. сем. ЛОМИ.-1984.-т.140.-С. 179-186 С04 Солонников В. А. Об оценках в решений эллип-

тических и параболических систем //Труды МИАН. -т.20.--1967.-С.137-160 СП Соболевский П.Е. О дифференциальных уравнениях второго порядка в банаховых пространствах //Дан СССР.-1962.--146.-N4.-С.774-777 СП1 Соболевский П. Е. Неравенства коэрцитивности для абстрактных параболических уравнений //ДАН СССР.-1964. -Т.157.-N1.-С.52-55 СП2 Соболевский П.Е. О нестационарных уравнениях

гидродинамики //ДАН СССР.-1959.-Т.128.-N3.-С.45-48 СПЗ Соболевский П.Е. О гладкости обобщенных решений уравнений Навье-Стокса //ДАН СССР.-1960.-Т. 131.-С. 758-760 СП4 Соболевский П.Е. О дробных нормах в банаховом пространстве, порожденном неограниченным оператором //УМН.--1964. -т. 19. -N6. -С. 219-222 СПб Соболевский П.Е., Погореленко В.А. О разрешимости смешанных задач для одномерных квазилинейных

гиперболических уравнений //Укр. мат. журнал.-1970. --N1.-С.114-121

СПб Соболевский П.Е., Погореленко В.А. Гиперболические

уравнения в банаховом пространстве //УМН.-1967.-N1 CCI Соболев С.Л. Некоторые применения функционального

анализа в математической физике.-Ленинград:ЛГУ.-1950 СЮ1 Сильченко Ю. Т. Об одном классе линейных дифференциальных уравнений в банаховом пространстве //ДАНУССР.-сер. А.-1989.-N7.-С. 23-25 ТХ1 Трибель X. Теория интерполяции, функциональные пространства, дифференциальные операторы. М. : Мир. -1980.-664с. ТС1 Тихонов А.Н., Самарский А. А. Уравнения математической

физики.-M: Н.-1972.-736с. ФА1 Филиппов А. Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной

правой частью. -М. : Наука, 1985. -224с. ФГ1 Фихтенгольц Г.М. Курс математического анализа. -М.: Наука.-1969г.-т. 3.-604с. ХД1 Хенри Д. Геометрическая теория полулинейных параболических уравнений. -М. : Мир. -1985. -376с. ХФ1 Хилле Э., Филлипс Р. Функциональный анализ и полугруппы.-М. : Мир.-1992. ША1 Шкляр А. Я. Совместный спектр коммутирующих самосопряжённых операторов и критерии корректности и устойчивости для дифференциально-операторных уравнений //Укр.мат.журнал.-Т.43.-N3.-С. 406-412. ША2 Шкляр А. Я.

//Укр. мат. журнал. -1993. Т. 45. N5. -С. 704-714 ЮВ1 Юдович В.И. Метод . линеаризации в гидродинамической теории устойчивости.-Ростов: Изд-во Ростовского ун-та.--1984.-192с.

ЯС1 Якубов С.Я. 0 задаче Коши для дифференциальных уравнений второго порядка в банаховом пространстве//ДАНСССР. -1966.-168.-N4.-С.759-762.

AS1 Agranovich Yu.Ya., Sobolevskii P.E. Motion of nonlinear visco-elastic fluid p.1-12 BF1 Benabidallah R., Fujita-Yashima H. Solution locale pour l'équation d'un gaz visqueux isotherme//Rend.Ac. Naz.Sc., Math. -1993. -111. -v. 17. -f. -1. -p. 49-81 BF2 Benabidallah R., Fujita-Yashima H. Unicité de la

solution de'l equation monodimensionnele on asymétrie d'un gaz visqueux et calorifere//lend.Cire. Mat. Palermo. -1993. -2. -t. 17. -p. 195-218 BF3 Benabidallah R., Pujita-Yashima H. Equation a symetrie spherique d'un gaz visqueux et calorifere avec la surface 1ibre //Ann. Mat. pure ed ap.-1995.-168.-7. p. 75-117

BV1 Beirao de Veiga H. The stability of one-dimensional stationary flows of compressible viscouos fluids //Ann. Inst. Poincare-1990.-7. -N4.-p.259-269 CA1 Chrzeszczyk A some existence results indynamical ther-

moelasticity l/7Arch.Mech.-1987.-39.-N6.-P.605-617 CA2 Chrzeszczyk A some existence results indynamical ther-

moelasticity //Arch.Mech.-1987.-39.-N6.-P.619-632 CK1 Chelminski K. Remarks on the semigroup method in linear thermoviscoelasticity //Arch. Mech.-1983.-v. 35. -P.603-612

CK2 Chelminski K. A mixed boundary value problem in linear thermoviscoelasticity //Arch. Mech.-1987.-39. -Nl-2.-P. 95-102

CPl Clement Ph., Pruss J. On second order differential equation in Hilbert space //Bolletino U.H.I.-1989.--3b. -N7. -P. 623-638 DW Day W.A. A commentary on thermodynamics. N.Y.: Springer.-1988

FG1 Fernandez-Cara E., GullienF. , Ortega R. Existence et unicité de solution forte locale en temps pour des fluides non newtoniens ue type Oldroid (version - ) //C.r. Acad. sci.-Ser 1.-1994.-319.-N4.-P. 411-416 FH1 Fattorini H.O. Second order linear differential

equations in Banach space. -Amsterdam.-1985 FI1 Fabiano R., Ito K. Semigroup theory and numerical approximation for equations in linear viscoelasticity //SIAM Journ.Math. Anal. -1990. -21. -N2.-P.374-393 FUI Fujita-Yashima H., Padula H., Novotny S. Equation mo-nod imensionnel le d'un gaz visquenx et calorifere avec des conditions initiales moins restrictives //Rie. Mat. -1993. -42. -2. -p. 199-248 FZ1 Fiszdon W., Zajaczkowski W. Existence and uniqueness of the initial boundary value problem for the flow of

a barotropic viscous fluid, local in time //Arch. Mech.-1983 -v.35.-N4.-P.497-516 FZ2 Fiszdon W., Zajaczkowski W. Existence and uniqueness of the initial boundary value problem for the flow of a barotropic viscous fluid, local in time //Arch. Mech. -1983. -v. 35. -N4. -P. 517-532 GL1 Grippenberg G., Londen S.-0., Staffans 0. Vol terra Integral and Functional Equations. Cambridge.-1990. -701p. GP1 Gurtin M., Pipkin A. A general theory of heat conduction with finite wave speeds //Arch, of Mech.-1968.-31. -p.113-126

GS1 Gorbachuk M. L., Shklyar k.Ya. Equations connected with the stratisfied fluid motion //Nonlinear and turbulent processes in Physics.-Proceedings of the 3 International Workshop, Kiev, 1987.-Kiev: Naukova dumka.-1988.-v. 2. -P. 32-35

GS2 Gerstein L.M., Sobolevskii P.E. "Commutant Method" in the theory of operators and the theory of differential equations with operator coeffitiens //Integr. Equat. Oper. Th. -1993. -v. 16. -P. 400-429 HS1 Hansen S.Exponential decay in linear thermoelastic rod //Journ. Math. Anal. and Appl.-1992.-167.-N2.-p. 429-442 HS Hanson Scott W. Exponential energy decay in linear thermoelastic rod //Journ.Math. Anal, and Appl.-1992.--v. 167.-N2.-P. 429-442 HT Hrusa W., Tarabek M. On smooth solution of the Cauchy problem in one-dimensional nonlinear thermoelasticity //Quart. Appl. Math. -1939. -v. 47. -N4. -P. 631-644 KJ1 Kim J. Global ehistence of solution of the equations of one-dimensional thermoelasticity with initial data in BV and //Ann. Sc. Norm. Sup. Pisa. -1983. -10. -N3.

-p.357-427

KS1 Krzyzanski, J. Schauder. Quasilineare Differential gleiduingen zweiter Ordunny vom hyperbolischen Typus Gemichte Randwertanfgaben//Studia Math.-1936.-v. 6 NC Navarro C. Asymptotic stability in linear thermovisco-elasticity //Journ.Math.Anal. Appl.-1978. -v.65. -P. 339-431

PA1 Pazy A. Semigroup of linear operators and applications to partial differential equations. Springer.-1983.-

-280р.

PJ1 Pruess J. Evolutionary Integral Equations and

Applications. Springer 1993.-366p.

PJ2 Da Prato G., Janelli M. Linear integro-differential

equations in Banach space //Rend. Sem.Math. Univ. Padova.

-1980.-62.-p.191-206

RR1 Racke R. L»-Le estimates for solutions of

P V

linear thermoelastisity in exterior domain //Asymptotic Anal. -1990.-v. 3. -N2. -P. 105-132 RSI Racke R., Shibata Y. Global smooth solutions and asimptotical stability in one-dimensional nonlinear thermoelasticity //Arch. Rat. Mech. Ap.-1991.-T,116. -Nl. -P. 1-34

SAl Shklyar A,Ya. Tests for correctness and weak correctness of the Cauchy problem for complete second order linear differential equation in Hilbert space. -Kiev. -1993. -33p. (Preprint 93.3.- In-t of Math, of the Acad, of Sci.of Ukraine) SJ1 Song Jiang. Global existence and asymptotic behavior of smooth solutions in ohedimensional nonlinear thermoelasticity //Bonn. math. Schr.-1989.-N192.-P. 1-16 SJ2 Song Jiang. Global existence of smooth solutions in one-dimensional nonlinear thermoelasticity //Proc. Roy. Soc. Edinburg.-1190.-115A.-P. 257-274 SMI Slemrod M. Global ehistencn, uniqueness and asymptotical stability of classical smooth solution in one-dimensional nonlinear thermoelasticity//Arch. Rat. Mech. Anal.-1981.-76.-Р.-Э7-134 S01 Sobolevskii P.E. Stabilisation of viscoelastic fluid motion (Oldroud's mathematical model)//Diff.and Int. Eq.-1994.-7.-N6.-1597-1612 SP1 Sprekels J. Global solution in onedimensional magnito-thermoviscoelasticity //Eur. J. Appl. Mech.-1991.-v. 2. --Nl.-P.83-96

SRI Seley R. Fractional Powers of boundary problems//Proc. Intern.Congr. Math. -Nice. -1970. -P. 795-801

0B1 Орлов В.П. Устойчивость нулевого решения одномерной математической модели термоупругости //Украинский мат. журнал. 1993.-Т. 45. -N9. -С.1247-1260

0В2 Орлов В.П. Устойчивость некоторых моделей термовязкоупругости //Моделирование в механике.-1992.-Т. 6.-N4. --С41-46

ОВЗ Орлов В.П. Исследование математической модели термо-

вязкоупругости //ДАН РАН.-1995.-Т. 343.-N3.-С.320-323 0В4 Орлов В.П. Устойчивость нулевого решения математической модели многомерной вязкоупругой среды //ДАН НАН Украины.- .-1995.- N12.-0.15-17. 0В5 Орлов В.П. Об одной задаче термоупругости //ДАН РАН.

-1996. -Т. 346. -Nl. -C.AS'ZO 0В6 Орлов В.П. Локальная разрешимость связанной задачи термовязкоупругости //Дифференциальные уравнения. -1995.-Т. N10. -С/1743 -4749 0В7 Орлов В.П. Устойчивость нулевого решения математической -модели вязкоупругой жидкости //Известия высших учебных заведений. Математика.-1995.-N3.-С.82-84 0В8 Орлов В. П. Исследование математических моделей термовязкоупругости //Успехи математических наук. --1995.-Т. 50.-в. 4.-С. 114 . 0В9 Орлов В.П. Сингулярно вырождающиеся дифференциальные операторы высокого порядка с неограниченным операторным коэффициентом //Дифференциальные уравнения.--1976. -N2. -С. 272-280 0С1 Орлов В. П., Соболевский П. Е. Разрешимость одномерной задачи термоупругости //ДАН СССР.-1989.-Т.304.-N5.--С.1105-1109

0С2 Орлов В.П., Соболевский П. Е. Исследование^ математических моделей вязкоупругости //ДАН УССРрШр. А. --N10.-С.31-35

0S1 Orlov V. Р., Sobolevskii Р. Е. On mathematical model of viscoelasticity with a memory //Differential and Integral Equations.-1991.-v. 4.-Nl.-p. 103-115 0V3 Orlov V.P. On the stability of the zero solution of a one-dimensional mathematical model of viscoelasticity //Differential and Integral Equations.-1991.-v. 4.-Nl.--P. 89-101

0V2 Orlov V.P. Local solvability of one-dimensional problem of thermoviscoelasticity //Israel Journalof Mathematics. -1992. -v. 78. -P. 51-54 0V3 Orlov V.P. Local solvability of one problem ofthermo-

viscoelasticity //International Congress of Mathematicians. Zurich, 3-11 August, 1994: Abstracts of Short Communications. -P. 178 0V4 Orlov V.P. Investigation of a mathematical model of thermoelasticity//International Conference "Functional Differential Equations and Applications". Moscow, 1421 August 1994.-Abstracts.-P. 65 0V5 Orlov V.P. Properties of solutions mathematical model of viscoelasticity //International Conference "Nonlinear Differential Equations".-Kiev, August 21-27, 1995.-p. 121 _ ___