О гладкости решений эволюционных уравнений с вырождением тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Ярцева, Наталия Алексеевна

• Ярцева, Наталия Алексеевна
• кандидат физико-математических наук
• 2005

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Ярцева, Наталия Алексеевна

Оглавление

Введение

Глава I. Элементы теории эволюционных уравнений.

§1.1. Основные обозначения и определения

§1.2. Эллиптические операторы

§1.3. Оператор-функции и полугруппы.

§1.4. Позитивные операторы и неравенства.

§1.5. Задача Коши для дифференциальных уравнений первого порядка

Глава II. Уравнение параболического типа с оператором Келдыша - Феллера.

§2.1. Некоторые характеристики оператора L.

§2.2. Интегральные тождества

§2.3. Исследование решений стационарного уравнения на полуоси —

§2.4. Применение к эволюционному уравнению.

§2.5. Примеры

Глава III. Эллиптическая периодическая задача с вырождением

§3.1. Пространства периодических функций.

§3.2. Эллиптический оператор с вырождением по одной переменной. Оценка первых производных решений

§3.3. Об одной эллиптической задаче с вырождением в Lp.

§3.4. Решение периодической задачи.

§3.5. Существование решения задачи (3.3.4),(3.3.5).

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «О гладкости решений эволюционных уравнений с вырождением»

Вопросы общей теории уравнений в частных производных с переменными коэффициентами являются основными в случае, когда тип изучаемого уравнения меняется в рассматриваемой области. И этому направлению посвящены многочисленные работы.

Так, в известной работе М.В.Келдыша [10] впервые рассматривается задача Дирихле для уравнения второго порядка эллиптического типа, вырождающегося в уравнение параболического типа на части границы, являющейся характеристическим многообразием для этого уравнения.

Основополагающие исследования по изучению вырождающихся уравнений проведены Ф.Трикоми, В.Феллером, В.И.Смирновым, С.Г.Михли-ным, М.И.Вишиком и др.

Фундаментальные результаты в этом направлении получены воронежскими математиками, где основное место занимают работы В.П.Глушко и его учеников О.М.Смелянского, А.В.Глушака, Ю.Б.Савченко и др.

Развивая одно из главных направлений в теории уравнений с частными производными, такое, как сведение этих уравнений к обыкновенным дифференциальным уравнениям в банаховом пространстве с неограниченными операторными коэффициентами, были применены эти методы и для изучения вырождающихся уравнений. Здесь весьма плодотворным явился переход к дифференциальным уравнениям в банаховом пространстве.

С этой точки зрения сингулярные дифференциальные уравнения исследовались во многих работах как в нашей стране, так и за рубежом.

Так, работы В.П.Глушко посвящены изучению гладкости решений вырождающихся дифференциальных уравнений вида с непрерывным при всех t Е [О, Т] оператором B(t), действующим в банаховом пространстве Е.

Различные результаты, полученные при изучении вырождающихся дифференциальных уравнений, содержатся в обзорной работе В.П.Глушко и Ю.Б.Савченко [8].

В используемой методике особое значение имеет коэрцитивная разрешимость соответствующих абстрактных задач, поскольку она дает необходимые и достаточные условия корректной разрешимости таких задач, а также позволяет исследовать нелинейные задачи и задачи с возмущением.

Исследованию этих вопросов посвящены работы С.Г.Крейна и его учеников, а также работы П.Е.Соболевского, В.П.Орлова, В.П.Глушко, О.М.Смелянского и др.

В этих исследованиях важную роль играют спектральные свойства операторов, в частности, характер убывания нормы их резольвенты при больших значениях аргумента. Эти результаты позволяют при исследовании, например, уравнений параболического типа вида использовать хорошо развитый аппарат теории полугрупп, где основную роль играют позитивные, сильно позитивные операторы, а также произa(t)u\t) + B(t)u(t) = f(t), 0 < t < Т,

0.1) u'(t) = Lu{t) + f(t)

0.2) водящие операторы сильно непрерывных полугрупп.

Диссертация посвящена исследованию корректной разрешимости начально-краевых задач для уравнений параболического и эллиптического типов с вырождающимися коэффициентами.

Работа состоит из введения и трех глав.

• Первая глава содержит необходимые сведения из теории уравнений с частными производными, а также абстрактных дифференциальных уравнений в банаховом пространстве.

Основные результаты содержатся во второй и третьей главах.

Во второй главе с помощью аппарата теории полугрупп исследуется задача Коши для параболического уравнения вида

Чг1=+"M^tr1+^ = ^ и(:с,0) = д{х), (—оо < ri < х < Г2 < +оо). (0.4)

Как известно, в связи с этим уравнением В.Феллером и А.Д.Вентцелем дано полно описание всех дополнительных (граничных) условий, совместно с которыми оператор, заданный дифференциальным выражением L из (0.3), является генератором полугруппы класса Со в пространствах непрерывных и ограниченных на интервале —oo<ri<x<r2< +со функций и(х) с нормой

11/11= sup |/(*)|. хе(гьг2)

При этом выяснилось, что эти условия могут носить нелокальный характер, и, следовательно, классические условия вида аци'(п) + Аи(г<) = 0, (г = 1, 2) (0.5) могут не иметь смысла.

В [27], [28] рассматриваются частные случаи оператора L вида

L\u = т(х)[(х — а){(3 — х)и"х) + Ь(х)и'(х)],

0.6) и'(х) ,

0.7) где гп(х), Ъ(х) - действительные положительные функции на ограниченном отрезке [а,/3]. Кроме того, функция Ь(х) удовлетворяет условию Гельдера на концах отрезка [а,(3].

В этих работах исследовался вопрос о поведении решения задачи Ко-ши в окрестности границы. Однако вопрос об оценке производных решения сответствующей задачи Коши в них не рассматривался.

Для весьма частного случая а(х) — х, Ь(х) = 6 = const > 0 в [26] получена оценка на производные решения задачи Коши вида

В диссертации вводятся некоторые характеристики V+ и VL операторов Lu = а(х)и"(х) + Ь(х)и'(х), где а(х) >0,жб [0, оо).

Определение 2.1.1. Дифференциальное выражение L имеет тип V+, (L G V+) или VL, (L G V), если существуют функции

0.8)

0.9) или

0.10) Ч соответственно, где Т+(к,х) = ка(х) + Ь(х), если ^^ > ко > — оо, и T(fc, ж) = ка(х) - 6(х), если ^ < ко < оо.

Достаточным условием существования функций V+(k), V-(k) является отличие от тождественного нуля функций:

Т+{к)= inf [ка{х) + b[x)], если L G V+, х€(0,оо)

Т-(к) = inf [ка{х) - Ь(х)], если LeV1. х€(0,оо)

Для дифференциального оператора L = а(х)-£з + ri = О, Г2 = оо, в диссертации получены следующие теоремы:

Теорема 2.3.1. Если L е VI, Т-(к) ^ 0, то уравнение

Lu — \и = f (0.11) при любом Л > 0 и / Е23[о,оо) имееет однопараметрическое семейство решений и £23, и для того, чтобы какое-либо из них удовлетворяло неравенствам

IMIb < Ц^, (0.12)

II»'»» < 2[ЛГ-Л(Л)1"||/1к (0.13) необходимо и достаточно, чтобы для него

Ц0)| < М» л

Теорема 2.3.2. Если выполнены условия теоремы 2.3.1, то при любом к > 0 имеет место неравенство

IKII® < 2&||и||<в + V-(k)\\Lu\\<s- (0.14)

Теорема 2.3.3. Если L G V+ и £ [о,х0]> ( хо £ (0» )> то уравнение (0.11) имеет единственное решение и еЯЗ1 и для него справедливы неравенства (0.12) и (0.13).

Теорема 2.3.4. Пусть Rt - область значений функции уцщ, тогда, если в условиях теоремы 2.3.3 6 £ [0, жо], то уравнение (0.11) имеет однопараметрическое семейство решений и G031 , причем для решений с начальными данными, удовлетворяющими условию

5иЩ - Л«(0)| < и/Ню, справедливы оценки

11 л® м»< Л

91

WW* <

2Ц/11» где а) Л > 0, если 0 < 5 < inf Rt; б) Л > 8Т^(6), если S е RT;

Для дифференциального уравнения ди ,

Yt = А**, (0-15) и(Ъ,х)=д(х), (0.16) где As - оператор, определенный дифференциальным выражением Lu = Г1 = 0, Г2 = оо, и областью определения D(A$), состоящей из функций д{х) таких, что

ЬдеЪ, \im[Lg-5g'{x)}'=0.

Справедлива

Теорема 2.4.1. Если L 6 |} ££[0,я0], 9 е D(AS), то задача (0.15),(0.16) имеет единственное решение u(t) = U(t)g со следующими свойствами: а) U(t) - сильно непрерывная полугруппа операторов; б) suPx6[0,oo) < sup х€[0,оо) du{t, x) дх -exp{ut)[\\Lg\\<B + и\\д\\ъ].

Теорема 2.4.2. Если в условиях теоремы 2.4.1. е£[0,ссо], то задача (0.15)^(0.16) имеет единственное решение, удовлетворяющее условию Иго^о u'x(t, х) = 0, и для его производной выполняется оценка ди дх т£[2%||в + ^+(А:)||Ь«||»]. g fc>l)

В § 2.5 расматриваются некоторые конкретные примеры приложения полученных результатов.

Пусть оператор А задается дифференциальным выражением L — хаШ> + х £ [0) и областью определения

D(A) = {и: и €.©[o|0o)j Lu g ©[о|0о), Ь = const, 0 < а < 1, 0 е R\g е D{A).}

Рассматривается задача Коши du(t) Au{t).

2.5.1)

2.5.2) dt

0) = g.

Определение 2.5.1. Решением задачи (2.5.1)- (2.5.2) будем называть функцию u(t, х) такую, что при каждом t > 0 u(t, х) G D[A) непрерывно дифференцируема по t, удовлетворяющую уравнению (2.5.1) и такую, что lim ||u(£, ж) -0(я)||в = 0.

Справедливы следующие теоремы.

Теорема 2.5.1. Если Ь>0и/3>0на + {3> 1, то задача (2.5.1)-(2.5.2) имеет единственное решение u(t, х) gSSjqJx,) при каждом t > 0 и справедлива оценки du(t, ж) дх а+0 а+20 c(a,l3)\\9\m\Lg\\%

Теорема 2.5.2. Если в условиях теоремы 2.5.1. /3<Оиа + /3<1, то для решения задачи (2.5.1)-(2.5.2) справедлива оценка du(t, х) дх

1-а

05 с{а}Р)Ь^\\Ьд\\ъ где с(а,/3) = suPse[0iOo) f exp [xl~^a - s1"^]

В [26] в случае оператора L = х-^ + b-^, b > 0 для производной решения задачи (2.5.1)-(2.5.2) получена оценка ди du(t, х) дх

2\\Lu\\ в

Ш Ь

Из результатов, полученных в диссертации, в этом случае следует оценка du(t, х) дх Lu\

03

93 и показывается, что константа 1/6 точная.

В третьей главе рассматривается эллиптическое уравнение с существенно переменным коэффициентом по одной переменной t € (0,оо), стоящим при производных по этой переменой. Предполагается, что этот коэффициент положителен при всех t £ (0, оо), слабо вырождается при t -> 0+ и достаточно быстро стремится к оо при t —> +00. По остальным переменным у = (2/1, •••2/n-i) £ Rn~l предполагается периодичность с периодом 2-7Г.

Доказываются следующие теоремы.

Теорема 3.2.1. Пусть у) G С*((0, 00) х Qn~i), 1 < к,т < п, выполнены условия (3.2.5)-(3.2.9), f{t,y) G .^((О, 00) х Qn-i). Тогда при q = \q\el9, 0 < \9\ < 7г/2, Req > qo > 0, для любого решения задачи (3.2.10)-(3.2.11) справедлива оценка а dv dt п-1 £ i=i dv dyj (Req)2\\v\\2 < 2 +

3.2.12)

Теорема 3.5.1. Пусть 1 < p < 00 и a(t) удовлетворяет (3.3.1). Тогда при выполнении условия А для любой f{y,t) 6 L*pa{Gn) существует единственное решение u(y,t) задачи (3.3.4),(3.3.5), причем справедлива оценка

Е р

М+сгп<т т-\а\-ап)/т

JT My. а ( д\°п ( г) д\ НУ и^<Сь(-МЬ)Ш)и-Хи

3.5.1) где Л = ре1(0+тп/2\ р > 0, |0| < -к — е. Постоянная С > 0 зависит лишь ОТ 771, п,р и в.

Условие А в теореме 3.5.1 имеет вид

При любых К, 77) £ Rn И А = р^+ттг/^ р > О, |6>| < 7Г - £ > 0 многочлен L{j~,r)) — Л не обращается в ноль при |£| 2 + г]2 + р2/т > 0.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Ярцева, Наталия Алексеевна, 2005 год

1. Беккенбах Э. Неравенства / Э. Беккенбах, Р. Беллман. - М. : Мир, 1965. -276 с.

2. Вентцель А.Д. Полугруппы операторов, соответствующие обобщенному дифференциальному оператору 2-го порядка / А.Д. Вентцель. ДАН СССР. -№1Ц, 1956, С. 269 -272.

3. Вентцель А.Д. О граничных условиях для многомерных диффузионных процессов / А.Д. Вентцель // Теория вероятностей и ее приложения. Т. 4, вып. 2,1959.-С. 172-185.

4. Глушко В.П. Линейные дифференциальные уравнения / В.П. Глушко. -Воронеж : ВГУ, 1972. 193 с.

5. Глушко В.П. О вырождающихся линейных дифференциальных уравнениях в банаховом пространстве / В.П. Глушко, С.Г. Крейн. ДАН СССР. -181, №4, 1968.-С. 784-787.

6. Глушко В.П. Об одной эллиптической периодической задаче с вырождением в Lp / В.П. Глушко, Н.А. Ярцева. Матем. заметки, Т. 63,вып. 4, апрель 1998, С. 628 - 632.

7. Глушко В.П. / В.П. Глушко, О.П. Малютина. Тр. матем. ф-та № 1.Воронеж : ВГУ, 1997. С. 29 -34.

8. Глушко В.П. Вырождающиеся эллиптические уравнения высокого порядка: пространства, операторы, граничные задачи / В.П. Глушко, Ю.Б. Савченко. Итоги науки и техн. Матем. анализ. - Т. 23. М. : ВИНИТИ, 1985.-С. 125-218.

9. Колмогоров А.Н. Элементы теории функций и функционального анализа / А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин. М.: Наука, 1972. - 496 с.

10. З.Костин В.А. О гладкости решений некоторых уравнений параболического типа /В. А Костин. -Диф. уравнения. -Т.ХН,№ 8, 1976.-С. 1495- 1506.

11. Костин В.А. Об одном эволюционном уравнении с вырождением / В.А. Костин.-Диф. уравнения.-Т.Х,№ 9, 1974.-С. 1607- 1615.

12. Костин В.А. О равномерно корректной разрешимости краевых задач для абстрактных уравнений с оператором Келдыша Феллера / В.А. Костин. - Диф. уравнения. -Т. 7, 31, № 8. - С. 1419 - 1425.

13. Костин В.А. К теореме Соломяка Иосиды для аналитических полугрупп / В.А. Костин. - Алгебра и анализ.- Т. 11, вып. 1, 1999. - С. 118 -140.

14. Красносельский М.А. Интегральные операторы в пространствах суммируемых функций / М.А. Красносельский и др. М. : Наука, 1966. -499 с.

15. Крейн С.Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве / С.Г. Крейн. М.: Наука, 1967. - 464 с.

16. Люстерник А.А. Элементы функционального анализа/ А.А. Люстерник, В.И. Соболев. М.: Наука, 1965.-517 с.

17. Михлин С.Г. Вырождающиеся эллиптические уравнения / С.Г. Михлин. -Вестник ЛГУ.- №8,1954. С.19 - 48.

18. Орлов В.П. Сингулярно вырождающиеся дифференциальные операторы высокого порядка с неограниченным операторным коэффициентом / В.П. Орлов. Диф. уравнения. - Т. XII, № 2, 1978. - С. 272 - 280.

19. Феллер В. Параболические дифференциальные уравнения и соответствующие им полугруппы преобразований / В. Феллер. -Математика, 1:4, 1957.-С. 105- 153.

20. Функциональный анализ / под ред. С.Г. Крейна. М.:Наука, 1979. - 418 с.

21. Хилле Э. Функциональный анализ и полугруппы / Э. Хилле, Р. Филлипс. М.: Изд-во иностранной литературы, 1962. - 829 с.

22. Brezis Н. On a degenerate elliptie-paraboli equation occuring in the theorery of probability / H. Brezis, W. Rosenkratz and B. Singer Comm.on pur appl., math., Vd. 24, 395-416, 1971.

23. Metafiine G. Analyticity for sume degenerate one dimen - sional evolution equations / G. Metafune, Studia mathematica, 127 (3) (1998), p. 251 - 276.

24. Campiti M. One Dimensional Feller Semigroups with Reflecting Barriers / M. Campiti, G. Metafune and Pallara D. Journ of Mathem. Analysis and Applic. ООО 1 - 18 (2000).

25. Ярцева H.A. О спектральных свойствах граничной задачи для одного класса эллиптических уравнений второго порядка с вырождением / Н.А. Ярцева. Сб. «Понтрягинские чтения — X», тез. докл. - Воронеж : ВГУ, 1999.-С. 274.

26. Ярцева Н.А. Об одном вырождающемся дифференциальном уравнении в гильбертовом пространстве / Н.А. Ярцева. Сб. «Математическое моделирование в естественных и гуманитарных науках», тез. докл. -Воронеж : ВГУ, 2000. - С. 239.

27. Ярцева Н.А. О гладкости решений обратного уравнения Колмогорова с оператором Феллера / Н.А. Ярцева. Труды Воронежской зимней математической школы - 2004. - Воронеж : ВГУ, 2004. - С. 199 -205.

28. Ярцева Н.А. О гладкости решения задачи Коши для уравнений Колмогорова с оператором Феллера / Н.А. Ярцева. Современные методы теории функций и смежные проблемы. - Воронеж: ВГУ, 2005. -С. 259-269.