Классификация виртуальных узлов рода 1 малой сложности тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.04, кандидат наук Акимова, Алена Андреевна

• Акимова, Алена Андреевна
• кандидат наук
• 2015

Оглавление диссертации кандидат наук Акимова, Алена Андреевна

Оглавление

Список сокращений и условных обозначений

Введение

1 Классификация примарных проекций на торе Т

1.1 Перечисление проекций, имеющих п < 5 перекрестков

1.2 Перечисление октаэдральных проекций

2 Классификация виртуальных узлов рода 1

2.1 Перечисление диаграмм на торе Т

2.2 Доказательство неэквивалентности диаграмм на торе Т

2.3 Доказательство примарности узлов

2.4 Построение виртуальных диаграмм

Заключение

Список литературы

Приложения

Список сокращений и условных обозначений

дБ2 — край диска

оо{0) — число скручивания диаграммы И В — диаграмма D2 — двумерный диск С — проекция I — отрезок [0,1] К — узел

МР3 — проективное пространство

М" — стандартное евклидово пространство размерности п 5 — состояние диаграммы О 5" — п—мерная сфера 5 — поверхность 5 х / — утолщенная поверхность Т — тор

Т X / — уТОЛЩСННЫЙ ТО])

«Двуугольник» — двуугольная грань проекции С

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Классификация виртуальных узлов рода 1 малой сложности»

Введение

Напомним, что классический узел, представляет собой произвольную простую замкнутую кривую в трёхмерном пространстве При изображении классических узлов удобно использовать их ■п/роекцич/, на плоскость. При этом 'перекрестками называются 'точки плоскости, в которые проектируются две различные точки узла. Диаграмм,а узла получается из проекции указанием (путем разрыва нити в окрестности каждого перекрестка), какой из участков узла проходит выше другого. На Рис. 1 показан пример классического узла, лежащего в трёхмерной сфере 5'3, и его проекция и диаграмма на плоскости.

Рис. 1: Пример: трилистник, его проекция и диаграмма на плоскости

Естественный алгоритм классификации классических узлов следующий.

]. Составить список всех плоских проекций, слоэююстъ (число перекрестков) которых не превосходит выбранного числа п.

2. Преобразовать каждую проекцию в набор диаграмм, выбрав для каждого перекрестка проекции один из двух возможных типов.

3. Исключить из построенного списка диаграмм дубликаты, представляющие один и точ' же узел в трёхмерной сфере 5-1.

Основные результаты классификации классических узлов отражены в ни-жес л еду ющ и х р аботах.

• [19]-[21] (1876 — 1884). Первая официальная таблица альтернированных диаграмм узлов с не более чем 10 перекрестками, опубликованная П. Тэй-том. Напомним, что аяътернировапиость подразумевает, что при любом обходе диаграммы прохождение перекрестков происходит поочередно то сверху, то снизу.

• [14, 15, 16] (1889 — 1899). Таблицы альтернированных диаграмм узлов с 11 перекрестками и неальтернированных - с п < 10 перекрестками, составленные К. Литтлом.

• [6| (1918). Зеркальные узлы с 12 перекрестками, классифицироваиныс М.Хасмэн. Напомним, что зеркальный узел изотопен своему зеркальному отражению.

• |18| (1976). Узлы сложности п < 10 классифицированы Д. Ролфсеном.

• |7| (1998). Узлы с п < 16 перекрестками (1 701 936 узлов), классифицированные Дж. Хосте. М. Фиселисвейт и Дж.Викс.

• [24] Интернет-ресурс таблиц классических узлов со значениями их инвариантов.

Конечно, направления исследований в теории узлов давно не ограничиваются рассмотрением классического узла. Тенденция к развитию теории узлов в трехмерных многообразиях, отличных от трёхмерного пространства М3, на.-блюдающаяся в последние годы, привела к задаче классификации этих узлов. Полученные к настоящему моменту результаты представлены в нижеследующих работах.

• [4| (1994). Зацепления в проективном пространстве ШР3, имеющие диаграммы с не более чем 6 перекрестками, перечислены Ю.В. Дроботухи-ной. Напомним, что зацеплением в КР3 называется одномерное замкнутое гладкое подмногообразие, которое обозначается L С ШР3.

• |23| (2004). Таблица виртуальных узлов, имеющих диаграммы с п < 4 классическими перекрестками, со значениями их инвариантов, составленная Дж. Грином.

• |5| (2012). Узлы в полном торе, имеющие диаграммы с п < 6 перекрестками, классифицированы Б. Грабровсек и М. Мрокзковскп.

Стоит отметить также список проекций тэнглов, имеющих п < 7 перекрестков, опубликованный в статье |2] в 2012 г. Напомним, что тэнгло.м, называется собственное вложение несвязного объединения дуг (и, возможно, окружностей) в стандартный трехмерный шар В3.

Теория виртуальных узлов была предложена Л. Ка.уффманом в 1996 году в работе |Л01- как естественное обобщение теории классических узлов. В настоящее время она разработана достаточно хорошо. Однако, такое направление, как классификация виртуальных узлов и составление таблиц значений их инвариантов, практически не было представлено в мировой литературе, за исключением таблицы [23] в интернет-ресурсе. Это контрастирует с тем, что в классической теории узлов классификация играет весьма важную роль, и демонстрирует актуальность задачи классификации виртуальных узлов.

Здесь уместно заметить, что выполненная в рамках настоящей диссертации классификация виртуальных узлов с учетом двух параметров (рода виртуального узла и числа истинных перекрестков в его виртуальной диаграмме) естественнее и перспективнее классификации с учетом только второго параметра. В Таблице 5 представлен список из 21 примарного виртуального узла рода 1, включенного в таблицу (23| в интернет-ресурсе.

Сама по себе задача классификации узлов, которую называют центральной проблемой теории узлов, чрезвычайно сложна. В первую очередь это связано с вопросом о нахождении метода, позволяющего для двух данных узлов однозначно сказать, являются ли они эквивалентными.

В настоящей диссертации роль инварианта, различающего узлы при классификации, играет обобщенный полином Кауффмана. Аналогичный инварианту, рассматриваемому в статье |25], он представляет собой продолжение на случай узлов в утолщенном торе Т х / скобки Кауффмана классических узлов, предложенной 15 работе |9|.

Напомним, что скобка Кауффмана с точностью до замены переменных эквивалентна полиному Джонса, построенному в статье |8].

Стоит отметить следующие два обобщения скобки Кауффмана узлов в трехмерных многообразиях, отличных от трехмерной сферы Так, 10. Дробо-тухина [1| рассмотрела обобщение полинома Джонса на случай зацеплений 15 проективном пространстве МР3. В работе [10| Л. Кауффман определил такой инвариант для виртуальных узлов, предложив не обращать внимания на виртуальные перекрестки. Оба указанных обобщенных инварианта, как и классическая скобка Кауффмана. зависят от единственной переменной.

В настоящей диссертации рассматривается полином от двух переменных. Введение второй переменной позволяет различать типы окружностей на торе. Заметим, что обобщенная нормализованная скобка Кауффмана узлов в полном торе, зависящая от- двух переменных, оказалась весьма полезной при классификации. проведенной в работе [5]. Полином от двух переменных имеет место также в [3], где скобка Кауффмана обобщается на случай зацеплений, лежащих в таких трехмерных многообразиях, как ориентируемые 1-расслоения над замкнутыми (но необязательно ориентируемыми) поверхностями.

Цели и задачи. Первой целью настоящей диссертации является классификация примарных проекций на торе Т узлов в утолщенном торе Т х / малой сложности. Для этого 13 настоящей диссертации решаются следующие задачи.

1. Составление таблицы всех абстрактных связных регулярных графов валентности 4, имеющих п < 5 верили-! и без петель.

2. Рассмотрение вложений указанных графов и графа одномерного остова, октаэдра в тор Т. дающих примарные проекции на торе Т, соответственно, сложности п < 5 и октаэдральные.

3. Доказательство различности всех построенных проекций.

Второй целыо настоящей диссертации является классификация примарных виртуальных узлов рода 1 малой сложности: имеющих диаграммы с п < 5 перекрестками и с п = 6 специального вида. Для этого в настоящей диссертации решаются следующие задачи.

1. Построение всех примарных диаграмм па торе Т сложности п < 5 и мп-н и м ал ь н ы х о к таэд р ал I ь н ы х.

(a) Преобразование каждой примарной проекции в набор соответствующих ей диаграмм путем указания типов перекрестков.

(b) Группировка построенных диаграмм узлов по классам эквивалентности и доказательство примарности для каждого класса.

2. Преобразование полученных диаграмм на торе Т в виртуальные диаграммы тех же узлов.

Научная новизна работы состоит в составлении таблиц малой сложности

• примарных проекций на торе Т узлов в утолщенном торе Т х /.

• примарных диаграмм на торе Т узлов в утолщенном торе Т х I.

• примарных виртуальных узлов рода 1.

и в разработке ряда приемов

• построения проекций узлов в утолщенном торе Т х I.

• минимизации перебора .¡диаграмм, соответствующих данной проекции.

Теоретическая и практическая значимость работы. Работа имеет теоретический характер. Результаты и методы диссертации могут быть использованы для систематизации дальнейших исследований узлов в трехмерных многообразиях. Разделы диссертации могут составить содержание специальных курсов и семинаров для студентов и аспирантов математических специальностей.

Методология и методы исследования. В процессе работы над диссертацией применялись результаты и методы маломерной топологии, представленные 13 работах отечественных и зарубежных авторов. В том числе, методы табул и ро ван и я к л асс и ч ее к и х узлов.

Положения, выносимые на защиту.

1. Классификация примарных проекций узлов в Т х /, которые

(a) или имеют п < 5 перекрестков,

(b) или являются вложением одномерного остова октаэдра в тор Т.

2. Классификация примарных виртуальных узлов рода 1, минимальные виртуальные диаграммы которых

(a) или имеют п < 5 классических перекрестков,

(b) или соответствуют проекциям, в которых ребра, соединяющие классические перекрестки, образуют одномерный остов октаэдра.

Апробация результатов. Все основные результаты, выносимые на защиту, являются новыми. Достоверность изложенных в работе результатов обеспечивается строгими математическими доказательствами всех утверждений, приведённых в диссертации, в то время как необходимые значения инвариантов подтверждаются п рограм м н ы м и вы ч и ел ен ия м и.

Основные результаты работы докладывались и обсуждались на следующих сем и нарах:

1. в ЧелГУ на семинаре под руководством C.B. Матвеева,

2. в МГУ на спецсеминаре «Узлы и теория представлений» под руководством В.О. Мантурова, Д.П. Илыотко и И.М. Никонова,

3. в МГУ на семинаре «Современные геометрические методы» под руководством А.Т. Фоменко, A.B. Болсинова, A.C. Мищенко, A.A. Ошемкова, Е.А. Кудрявцевой, И.М. Никонова,

4. в ИММ УрО РАН на семинаре отдела алгебры и топологии под руководством A.A. Махнева.

Результаты диссертации в качестве докладов были представлены на следующих ко н ф е р е н ц и я х :

• Меж дун ародн ых:

1. «Современные проблемы математики и её приложении» (Екатеринбург, 2012, 2013):

2. «Александровские чтения» (Москва. 2012);

3. «Дни геометрии в Новосибирске» (2013):

4. «Квантовая топология» (Магнитогорск, 2014);

5. «Наука будущего» (Санкт-Петербург, 2014);

6. «Квантовая и классическая топология трехмерных многообразий» (Челябинск, 2015).

• Конференция аспирантов и докторантов ЮУрГУ (Челябинск, 2014).

Содержание работы отражено в публикациях |25| — |34|, в том числе в |25|, |26] и [27] в журналах, включенных в перечень ВАК для кандидатских диссертации.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, двух глав, разбитых на параграфы, заключения, списка сокращений и условных обозначений, списка литературы из 34 наименований, приложения. Нумерация теорем, лемм и т.п. в каждой главе своя. Работа изложена на 77 страницах, снабжена 37 рисунками и 5 таблицами.

Краткое содержание работы. В главе 1 классифицируются примарные проекции узлов в утолщенном торе Т х I. которые или имеют п < 5 перекрестков, или являются вложением одномерного остова октаэдра в тор Т.

У том,~и ценным тором, называется многообразие типа, прямое произведение Т х I, где тор Т = 51 х 51 - прямое произведение двух экземпляров окружности 51, а / - отрезок [0,1]. Под узлом, К понимается произвольная простая замкнутая кривая, лежащая в утолщенном торе: К С Т х I.

Узлы в утолщенном торе Т х I, как и классические узлы, могут быть представлены своими проекциями. Отличие в том, что узел проектируется не на плоскость, а на тор Т. Под проекцией понимается регулярный граф С С Т валентности 4 такой," что прохождение графа С по правилу «прямо вперед» определяет обход, составленный из всех ребер графа С и отвечающий узлу. Две проекции С и С называются эквивалентными, если пары (Т. С) и (Т'.С) гомеоморфы ы.

Тор Т принято изображать в виде квадрата с отождествленными противоположными сторонами. В этом случае проекция узла в утолщенном торе Т х / представляет собой такой набор трансверсально пересекающихся дуг в квадрате, что отождествление противоположных сторон квадрата, соединяет концы дуг, определяя вложенный граф С С Т.

Определение 1.1. Проекция узла С С Т измывается составной, если, выполнено по крайней мере одно из следунпи;ах усл.овий:

1. Существует та,кой диск О2 С Т. что его ■край дО2 пересекает, -ребра, проекции С транс в ер сально в двух точках, и, пересечеп'ае С Г\ О2 содер-э/сит, вер'ш,и,н,ы, проек/и,и,и С.

2. Существуют та,кие две отдельные н,етри,виал:ьны,е окруэ/сиости па Т. что каждая, из них пересекаетребра С тра,псверсал:ьн,о в одной точке. и оба, кольца, на которые окруэюиости, разби,ва,ют тор Т. содерэ/стп вер'Ш'апы, С.

Будем говорить, что проекция С С В допускает, дестабали,заи1и,ю. если дополнение к ней Т\С содержит нетривиальную окружность.

Определение 1.2. Проекция, С называется, примарной. если, она не составная, и не допускает дестаби,л,изаций.

В параграфе 1.1 перечисляются примарпые проекции, имеющие п < 5 перекрестков. При построении проекций узлов в утолщенном торе Т х I сложности 7?, рассматриваются вложения абстрактных связных регулярных графов валентности 4. имеющих п вершин, в тор Т. Для построения примарных проекций достаточно рассмотреть вложения графов, не имеющих петель.

Лемма 1.1. Суи^еспгвуют 'ровно 11 абстрактных связных регулярных графов валентности, 4 без петель, имеющих не бол,ее 5 вершин,.

Теорема 1.1. Существуют ровно разл/и/ч.ных пр-амариых проекций и,а торе Т. имеющих п < 5 перекрестков, см. Рис. 2.12.

При доказательстве Теоремы 1.1 весьма полезным средством оказался прием устранения двуугольной грани проекции узла на тюре Т. Этот- прием представляет- собой аналог для кривых второго движения Рейдемейстера. В результате такого устранения слоэюность проекащи (число ее перекрестков) уменьшается на 2. Таким образом, перечисление проекций сложности ?/, < 5, имеющих двуугольные грани, сводится к перечислению проекций сложности т < 3 и применению операции восстановления двуутольных граней всеми возможными способами (их немного). Оказалось, что, кроме 3 исключений, .любая проекция из таблицы может быть получена указанной операцией из (необязательно включенной в таблицу) проекции сложности т, < 3 в силу того, что большинство графов, вложения которых рассматриваются, содержит двойные ребра.

Разумеется, нужно проверить, что построенная таблица проекций не содержит дубликатов. Это доказывается с помощью сопоставления каждой проекции G ее /-вектора, в качестве координат которого берутся числа углов в гранях рассматриваемой проекции G. Этот метод позволил доказать различность большинства проекций. В немногих оставшихся случаях оказалось достаточным сравнить числа углов в гранях, примыкающих к вершинам.

Ручное перечисление проекций примарных узлов в утолщенном торе Т х / сложности более 5 уже затруднительно — их очень много. С другой стороны, некоторый задел в этом направлении необходим для дальней! и их исследований. С целыо создания такого задела в параграфе 1.2 классифицируются ^ примарные октаэдральные проекции узлов в Т х I. т.е. примарные проекции,

представляющие собой вложение одномерного остова октаэдра в тор Т.

Теорема 1.2. Существуют ровно 8 'различных прилшрпых октаэдральных проекций на торе Т. см. Рис. 1.13.

При доказательстве Теоремы 1.2 весьма полезным оказался прием устранения трех треугольных граней проекции на. торе Т. В результате такого устранения сложность проекции уменьшается на 4. Таким образом, перечисление октаэдральных проекций сложности п = 6, имеющих три треугольные грани, сводится к перечислению проекций сложности т = 2 и применению операции восстановления трех треугольных граней всеми возможными способами (их немного).

Отсутствие дубликатов, как и раньше, доказывается с помощью сопоставления каждой проекции G ее /-вектора, в качестве координат которого берутся числа углов в гранях рассматриваемой проекции G. Этот метод позволил доказать различность большинства проекций. В двух оставшихся случаях оказалось достаточным сравнить числа углов в гранях, примыкающих к вершинам.

В главе 2 строятся все примарные узлы в утолщенном торе Т х I, которые имеют диаграммы или с п < 5 перекрестками, пли октаэдральные. Построение проводится в два этапа, ч 1. Преобразование каждой из проекций, построенных в предыдущей главе,

в набор соответствующих ей диаграмм путем выбора, для каждого перекрестка одного из двух возможных типов. Исключение всех замеченных дубликатов и непримарных узлов.

2. Группировка построенных диаграмм узлов по классам эквивалентности и доказательство примарности для каждого класса.

Наконец, преобразовать полученные диаграммы на торе Т узлов в утолщенном торе Т х / в виртуальные диаграммы тех же узлов.

Определение 2.1. Узел, К С Тх1 'называется составным, если выполнено по крайней мере одно из следующих условий:

1. К является связной сумм,ой петрив'аальпого узла в утоллценпом торе Т х I и, нетри.ви.ального узла, в трехмерной сфере 5'3.

2. К является, нетривиальной круговой связной сумм,ой двух узлов вТ х /.

Определение 2.2. Узел, К С Т х I называется, примарным. если он, не

составной и дополнение к нем/у Т х 1\К не содержит кольца, //, х / С Т х /. где р, С Т — некоторая, нет'р'авиальная, окружность на торе Т.

Аналогично классическому случаю, узлы г. утолщенном торе Т х I задаются своими диаграммами, т.е. проекциями на тор Т с указанием типа каждого перекрестка, определяющего, какой из участков узла проходит выше другого в смысле величины координаты /; € I. При этом классические преобразования Рейдемейстера сохраняю'1' свою роль: два узла в утолщенном торе Т х I изотопны тогда, и только тогда, когда их диаграммы можно соединить последовательностью преобразований Рейдемейстера. —

Две диаграммы О и V называются жвивале'н:п1пьш,и. если пары (Т. И) и (Т', И') гомеоморфны, при этом дополнительно разрешается одновременная смена типов всех перекрестков на противоположные.

Диаграмма узла К С Т х I называется м.инилшльной. если её сложность (число перекрестков) не превосходит сложности любой диаграммы каждого узла, эквивалентного К. Диаграмма Ю С Т примарна, если она соответствует некоторому примарному .узлу К С Т х I.

Составные и октаэдральные диаграммы, получаются из соответствующих проекций указанием типов перекрестков.

В параграфе 2.1 каждая из проекций на торе Т. построенная в главе 1 и имеющая п < 6 перекрестков, преобразуется в набор из 2" диаграмм на, торе Т. В силу того, что заведомо эквивалентные или неминимальные диаграммы не представляют интереса, этот перебор можно удержать в разумных пределах за счет следующих соображений.

1. Одновременная смена типа каждого перекрестка на противоположный определяет диаграмму, эквивалентную исходной.

2. Фрагмент1 проекции, имеющий один из четырех специальных видов, может быть преобразован во фрагмент' соответствующей диаграммы только двумя способами.

Конечно, составленный список диаграмм ещё содержит большое количество дубликатов. Чтобы выявить их, в параграфе 2.2 вычисляется обобщенная нормализованная скобка Кауффмана каждой диаграммы. Точная формула следующая:

(К) = J2 "nW~/J('s)(-"2 ~ a"2)(2.1)

S

Здесь a(s) и j3(s) — числа сглаживаний типов А и В в данном состоянии s, 7(s) и <5(s) — числа тривиальных и нетривиальных окружностей наборе Ds, полученном на торе Т в результате разрешения диаграммы согласно данному состоянию s, и)(К) — число скручивания диаграммы. Сумма берется по всем состояниям s.

Замечание 2.1. Доказательство ин.вар'ааитн,ост/а. 'рассмотренной конструкции мооюно провесит аналогично соответствую'ш,ем;у доказательству для скобки Кауффмана классических узлов, поскольку число нетр'ав'аальных кривых в наборах DS; соответствуют/их состояниям д'ааграмм. отличающихся, только фрагментам,и, двиэ/сений fii — одинаково.

После вычисления обобщенной нормализованной скобки Кауффмана каждой из построенных в параграфе 2.1 диаграмм доказывается эквивалентность диаграмм, имеющих одинаковое значение инварианта.

Прямые вычисления, проверенные программой «Manifold Recognizer» (22|, показывают, что все обобщенные нормализованные скобки Кауффмана диаграмм узлов, изображенных на Рис. 2.13 и Рис. 2.14, различны. Поэт-ому соответствующие узлы в утолщенном торе Т х I также различны.

Замечание 2.2. Как и, в классическом случае, та/кие преобразования, диаграммы, как ее зеркальное отраэ/сение ил,и одновременная см,ей,а типов всех ее перекрестков на, противополоо/сиый. влечет замену переменной а —> а,~] в обобщенной •>шрмализоватюй скобке Кауффмачi,a.

В параграфе 2.3 доказывается примарность всех построенных узлов. Для этого, согласно Определению 2.2, достаточно показать, что каждый из них не эквивалентен некоторому узлу К, который либо является составным, либо имеет диаграмму, допускающую дестабилизацию по нетривиальной окружности //,.

Для всех узлов, за исключением семи, достаточно показалъ, что обобщенный полипом Кауффмана любого составного узла является приводимым, и убедиться, что полиномы построенных узлов не обладают этим свойством.

Лемма 2.1.2.1 Пусть узел К С Т х / является связной сум,,м,ой К = КфК2 узлов К] с Т х / и К2 С 53; тогда Х{К) = Х{Кх) ■ Х(К2).

Лемма 2.2Пусгпь узел, К в у7полт,енн,ом, торе Т х I является, круговой связной суммой К — К[#К2 двух узлов в Т х I. Тогда Х(К) = Ш±йА11}А ^

Таким образом, обобщенная нормализованная скобка Кауффмана составного узла допускает разложение на произведение полиномов. Заметим, что это утверждение справедливо в рамках гипотезы, утверждающей, что (обобщенный) полином Кауффмана каждого нетривиального узла в Т х I пли в S'! является многочленом. В общем случае существование нетривиального узла, (обобщенный) полином Кауффмана которого является одночленом, не опровергнуто. Тем не менее, среди узлов в утолщенном торе Т х I до сложности 5 и в трехмерной сфере S3 до сложности 16 таких примеров пет.

Используя функцию Factor в пакете Mathenialica. можно убедиться, что все узлы, за исключением семи, имеют неприводимые полиномы, а потому не могут быть составными.

Лемма 2.3 Пусть узел, К С Т х / имеет диаграмму D С Т 'такую, что существует нетривиальная окружность рь С Т. пересекаюищя. D трансвер-сально и, ровно в одной, точ.ке. Тогда Х(К) — Р(а) ■ х.

Заметим, что .любой узел К, являющийся нетривиальной круговой связной суммой двух узлов в Т х I, удовлетворяет условию Леммы 2.3, а потому его обобщенный полином Кауффмана имеет вид: Х(К) = Р(а) ■ х. Таким образом, узлы, полиномы которых имеют другой вид, не являются нетривиальной круговой связной суммой двух узлов в Т х I.

Рассмотрим более сильное обобщение нормализованной скобки Кауффмана, вычисление которого также реализовано в программе |22|. Точная формула следующая:

Х{К) = - а"2)^^, су)^. (1)

А

Единственное оглнчис от представленной в параграфе 2.2 обобщенной нормализованной скобки Кауффмана Х(К) (2.1) состоит в том. что теперь нетривиальные окружности рассматриваются с точностью до изотопии на торе Т. Здесь множитель х(р,д) соответствует нетривиальной окружности типа (р,с/) на торе Т, делающей р оборотов вокруг параллели и г/ оборотов вокруг меридиана тора Т. а <5(-5') — число таких нетривиальных окружностей в наборе полученном на торе Т в результате разрешения диаграммы И согласно состоянию 5.

Две обобщенные нормализованные скобки Кауффмана (с учетом изотопических типов нетривиальных окружностей) эквивалентны тогда и только тогда, когда существует гомеоморфизм тора на себя, переводящий набор кривых (р7, д,), соответствующий слаитемым в нервом полиноме, в набор кривых (р^.ср). соответствующий слагаемым во втором полиноме, с сохранением полиномиальных коэффициентов для всех г.

Лемма 2.4 Обоби^еннпя нормализованная, скобка Ка,уффм,ан,а (с учетом, •азотопи,ческих 'типов 71,ет'ри,виал,ым,х округлаюстеи,) является и/11,ва'ри,анто.м, узлов в утолщенном торе Т х I.

Лемма 2.5 Пусть узел, К С Т х I является связной суммой, К = К\#К-2 узла Кх СТ х / и узла К2 С 53. Тогда, Х{К) = Х{К{) ■ Х(К2).

Следствие 2.1 Пусть Х(К) = ' -г'(УЛ; ■ Если пол,и,номы, Р,(а)

не имеют нетривиального общего делителя для, всех г. то узел, К С Т х / не может быть представлен в виде иетр'ав'аальной связней суммы узла, в утолщением, торе Т х I и узла в трехмерной сфере 53.

Таким образом, узлы, которые не удовлетворяют условию Следствия 2.1. не являются нетривиальной связной суммой узла в утолщенном торс Т х I и узла в трехмерной сфере

Лемма 2.6 Пусть узел, К С Т х I имеет д'и,а,грам,м,у В С Т такую, что существует нетривиал,ы¡,а,я, окруэююсть р С Т. плгресека.юищя. И трансвер-салъио в одной точке. Тогда Х(К) = ^ Р,(а) ■ х{\.ц,).

Таким образом, узлы, не удовлетворяющие условию Следствия 2.6, не являются круговой связной суммой двух узлов в утолщенном торе.

То. что оставшиеся три узла также не являются составными,можно проверить в рамках гипотезы, которая утверждает, что сложность составного узла равна сумме сложностей слагаемых.

Показано, что ни один из узлов, изображенных на Рис. 2.13 и Рис. 2.14, не имеет диаграммы, допускающей дестабилизацию по некоторой нетривиальной окружности на торе Т.

Лемма 2.7 Если Х{К) узла К С Т х I содержит по крайней мере два элемента вида х(р,д) и х(р'.д'). для которых выполняется, хотя, бы, одно из условий р ф р', д ф д'. то ни одна и,з диаграмм, узла, К не допускает дестабилизацию.

ч Таким образом, для того, чтобы показать, что пи одна из диаграмм, изобра-

женных на Рис. 2.13 и Рис. 2.14, не эквивалентна некоторой диаграмме, допускающей дестабилизацию, достаточно вычислить их обобщенные нормализованные скобки Кауффмана (с учетом изотопических типов нетривиальных окружностей). Такая возможность реализована в программе |22|. Соответствующие значения инварианта приведены в Таблице 3 и Таблице 4. Легко видеть, что во всех полиномах присутствуют элементы, отвечающие различным изотопическим типам нетривиальных окружностей на торе Т, а потому соответствующие узлы не могут быть расположены в утолщенном кольце.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Акимова, Алена Андреевна, 2015 год

Список литературы

(1| Дроботухина, Ю. В. Аналог многочлена Джоунса для зацеплений в RP3 и обобщение теоремы Кауффмана-Мурасуги /Ю. В. Дроботухина// Алгебра и анализ. - 1990. - Т.2, Аг°3. - С.171 — 191.

[2] Bogdanov, A. Enumerating the k-tangle projections/A. Bogdanov, V. Meshkov, A. Omelchenko, M. Petrov // J. of Knot Theory and its Ramifications. - 2012. - V.21, N.7.

|3) Bourgoin, M. O. Twisted Link Theoiy/M.O. Bourgoin// arxiv: math. GT/0608233.

|4] Drobotukhina, Yn.V. Classification of links in MP3 with at most six crossings,/Yu.V. Drobotukhina// Advances in Soviet, Mathematics. - 1994. -V.18, N.l. - pp. 87 — 121.

|5] Gabrovsek, B. Knots in the solid torus up to С crossings/B. Gabrovsek. M. Mroczkowski//Journal of Knot Theory a.nd Its Ramifications. - 2012. -V.21. N.ll.

|6] Haseman, M. On knots, with a census of the amphicherials with twelve crossings/M. Haseman// Trans. Roy. Soc. Edinburgh. - 1918. - V.52, N.2. -pp.235-255.

[7] Hoste, J. The First 1,701,936 Knots /.J.Hoste, M.Thistlethwaite, J. Weeks// The Mathematical Intelligencer. - 1998. - V.20, N.4. - pp.33-47.

|8] Jones, F.R. A polynomial invariant for knots via von Neumann algebras/F.R. Jones// Bull. Amer. Math. Soc. - 1985. - V.12, N.l. -pp.103-111.

[9] Kauffman, L.H. State models and the Jones polynomial/L.H. Kauffman// Topology. - 1987. - V.26, N.3. - pp.395 — 407.

¡10} Kauffman, L.H. Virtual knot theory/L.H. Kauffman// Eur. J. Comb. - 1999. -V. 20, N.7. - pp. 663 — 691.

[11] Kauffman, L. H. Virtual Knots and Links/L. H. Kauffman, V. O. Manturov// Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics. - 2006. - V. 252. -pp. 104 — 121.

[13

[14

[15

|16

| IT

[18

[19

[20

|21

|22

[23 [24

Korablev, Ph. Reductions of Knots in Thickened Surfaces and Virtual Knots/Ph. Korablev, S. Matveev// Dokladv Mathematics. - 2011. - V.83, N.2.

- pp. 262-264.

Kuperberg, G. What is a virtual link? /G. Kuperberg// Algebraic: and Geometric Topology. - 2003. - V.3. - pp.587 — 591.

Little, C. N. Non alternate knots of orders eight and nine/C.N. Little// Trans. Roy. Soc. Edinburgh. - 1889. - V.35. - pp. 663-664.

Little, C.N. Alternate -¡-/-Knots of order eleven/C.N.Little// Trans. Royal. Soc. Edinburgh. - 1890. - V.36. - pp. 253-255.

Little, C.N. Non Alternate Knots/C.N. Little// Trans. Roy. Soc. Edin. - 1899.

- V. 39 (III), N.30. - pp.771-781.

Matveev, S.V. Prime decompositions of knots in T x 7/S.V. Matveev// Topology and its Applications. -2011. - V.159, N.7. - pp. 1820 — 1824.

Rolfsen, D. Knots and Links/D. Rolfsen// Berkeley, CA : Publish or Perish. -1976. - 450 pp.

Tait.P.G. On knots I/P.G.Ta.it// Trans. Roy. Soc. Edinburgh. - 1876. - V.28. -pp. 145-190.

Tait.P.G. On knots II/P.G.Tait// Trans. Roy. Soc. Edinburgh. - 1883. - V.32.

- pp. 327-342.

Tait.P.G. On knots III/P.G.Tait// Trans. Roy. Soc. Edinburgh. - 1884. - V.32.

- pp. 493-506.

Tarkaev, V.V. Manifold Recognizer/V.V. Tarkaev//

http: //www. matlas. math. csu.ru/?page=recognizer.

http://katlas.math.toronto.edu/wiki/Main_Page.

h 11 p: / / ka 11 as. o i • g /vv i k i / M a i n _ P age.

Список публикаций автора по теме диссертации

Публикации в изданиях, включенных в перечень ВАК:

|25] Акимова.А.А. Классификация узлов малой сложности в утолщенном торе/А.А. Акимова, C.B. Матвеев // Вестник H ГУ. Серия «Математика. Механика. Информатика». - 2012. - Т. 12. №.3. - С. 10-21.

[26] Акимова.А.А. Классификация узлов в утолщенном торс, минимальные диаграммы которых не лежат в кольце и имеют' пять перекрестков/А. А. Акимова // Вестник ЮУрГУ. Серия «Математика. Механика. Физика». - 2013. - Т.5. Ж1. - С. 8-11.

¡27] Акимова. А.А. Классификация узлов в утолщенном торс, минимальные октаэдральные диаграммы которых не лежат' в кольце/А.А. Акимова// Вестник ЮУрГУ. Серим «Математика. Механика. Физика». - 2015. - Т. 7, № 1. - С. 5-10.

Публикации в других изданиях:

[28] Akimova. A.A. Classification of genus 1 virtual knots having at most five1 classical crossings/A.A. Akimova. S.V. Matvcev// Journal of Knot Theory and Its Ramifications. - 2014. - V. 23, no. 6. - pp.1450031-1 - 1450031-19.

[29] Akimova, A.A. Classification of Knots of Small Complexity in Thickened Tori/A.A. Akimova, S.V. Matveev// Journal of Mathematical Scicnccs. - 2014.

- V.202, no.l. - P. 1- 12 (является переводом статьи [25]). Тезисы докладов:

[30] Акимова, А.А. Классификация узлов малой сложности в утолщенном торе/А.А.Акимова//Тез. Мсждунар. (43-й Всерос.) молодёжной школы-конф. - Екатеринбург, 2012. - С.172-174.

¡31] Акимова, А.А. Классификация узлов малой сложности в утолщенном торе/А. А. Акпмова//Всерос. конкурс научно-исследовательских работ студентов и аспирантов в области математических наук: сб. работ победителей / под общ. ред. А.С. Андреева. - Ульяновск, 2012. - С.5-6. |32] Акимова, А.А. Классификация виртуальных узлов рода 1 малой сложности /А.А. Акимова //Тез. Мсждунар. (44-й Всерос.) молодёжной школы-копф.

- Екатеринбург, 2013. - С.173-175.

[33] Акимова, А.А. Классификация виртуальных узлов рода 1 малой сложности /А.А. Акимова //Дни геометрии в Новосибирске, 2013: тез. мсждунар. конф. - Новосибирск, 2013. - С.9-10

[34[ Akimova, A.A. Classification of low complexity knots in the thickened torus/A.A. Akimova, S.V. Matveev//Abstracts of International Topological Conference «Alexanchoff Readings». - Moscow. 2012. - pp.8.