Представления групп кос и группы узлов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, кандидат наук Михальчишина, Юлия Андреевна

• Михальчишина, Юлия Андреевна
• кандидат наук
• 2018

Оглавление диссертации кандидат наук Михальчишина, Юлия Андреевна

Оглавление

Введение

Глава 1. Предварительные сведения

1.1 Группа кос и ее обобщения

1.2 Представления классических кос автоморфизмами

1.3 Представления виртуальных кос автоморфизмами

1.4 Метод Магнуса

1.5 Группа классического зацепления

Глава 2. Представления кос автоморфизмами

2.1 Представления виртуальных кос автоморфизмами

2.1.1 Новое представление группы виртуальных кос

2.1.2 Продолжения представлений Вады на группу УВп

2.1.3 Сравнение известных представлений

2.2 Представления кос со спайками автоморфизмами

2.3 Линейные представления группы кос

2.3.1 Локальные представления группы

2.3.2 Локальные однородные представления группы Вп

2.3.3 Линейные представления, построенные по представлениям Вады

Глава 3. Группы узлов и зацеплений

3.1 Группы виртуальных зацеплений

3.1.1 Косовый подход

3.1.2 Диаграммный подход

3.1.3 Группы, построенные по представлениям Вады

3.2 Примеры вычисления групп зацеплений

3.2.1 Группы зацеплений, построенные по представлениям Вады

3.2.2 Группы виртуального трилистника

Заключение

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Представления групп кос и группы узлов»

Введение

Актуальность и степень разработанности темы исследования

Теория узлов играет значимую роль в современной математике. Как математическая теория, теория узлов восходит к концу восемнадцатого века. Важный вклад в развитие теории узлов внесли Гаусс, Клейн, Ден, Ар-тин, Виртингер, Марков и другие. Прорыв в теории узлов, приведший к современному ее состоянию, решению многих открытых проблем, был осуществлен в последние несколько десятилетий, и связан с именами Джонса, Конвея, Васильева, Концевича, Тураева, Гусарова, Бирман, Кауффмана, Бар-Натана и многих других. Теория узлов продолжает активно развиваться. За открытия в теории узлов Джонс, Виттен и Концевич были удостоены высших математических наград - Филдсовских медалей.

Напомним, что узел - это гладкое вложение ориентированной окружности 81 в трехмерную сферу §3 = М3 и оо. Два узла называются эквивалентными, если существует сохраняющий ориентацию гомеоморфизм трехмерной сферы на себя, переводящий один узел в другой. Под зацеплением мы будем понимать гладкое вложение нескольких несвязных окружностей в §3. Хотя узлы являются частным случаем зацеплений, традиционно принято говорить о «теории узлов», подразумевая, что зацепления входят в множество объектов, которые изучает эта теория. Поэтому в термин «узел», мы будем включать более общее понятие «зацепление».

Основная проблема теории узлов - классификация узлов с точностью до эквивалентности. Ключевую роль в ее решении играют инварианты узлов - функции, определенные на множестве узлов, значения которых совпадают на класса эквивалентных узлов.

Одним из инвариантов узлов является группа узла С(К) = тг\ (§3\/Г), т. е. фундаментальная группа дополнения узла К в трехмерной сфере §3. Группа С(К) является очень сильным инвариантом. Она распознает триви-

альный узел и тривиальное зацепление (теорема Дена), т. е. (¿-компонентное зацепление Ь тривиально тогда и только тогда, когда его группа С(Ь) изоморфна свободной группе ранга (1 [4, 4.2]. Теорема Дена сводит проблему распознавания тривиального зацепления к проблеме распознавания свободной группы. В общем случае эта проблема неразрешима.

Результат Райдемайстера (1926) позволил свести изучение узлов к изучению их проекций на плоскость. Диаграммой узла называется регулярная проекция узла на плоскость, с дополнительной информацией в двойных точках о том, какая дуга проходит сверху (снизу). Райдемайстер доказал, что два узла эквивалентны тогда и только тогда, когда диаграмму одного из них можно преобразовать в диаграмму другого посредством плоской изотопии и конечной последовательности преобразований Райдемайстера [22, 2.1.2]. Эта теорема позволяет строить инварианты узлов.

Наряду с диаграммами, для изучения узлов используются косы. Алгебраическая теория кос была разработана Артином в двадцатых годах прошлого века. С алгебраической точки зрения группа кос Вп на п нитях, п > 1, задается порождающими сг^, г = 1,... ,п — 1, и определяющими соотношениями

аг°3 = аЗаг ПРИ К ~ М > (!)

(Уг(Уг^\(Уг = СГг+1(7г(7г+1 При % = 1, 2, . . . , П ~ 2. (2)

Теорема Артина утверждает, что две геометрические косы эквивалентны тогда и только тогда, когда слова в алфавите {с^1,..., я"^}, отвечающие этим косам равны в группе Вп [11, 1.4]. Артин построил точное представление группы Вп в группу автоморфизмов свободной группы, которое позволяет решать проблему равенства слов в Вп. По представлению Ар-тина строится линейное представление группы кос (представление Бурау). Долгое время существовала гипотеза, что представление Бурау является точным, однако, к настоящему времени доказано, что оно не точное при

п > 4 [22, 3.2]. Тем не менее представление Бурау используется для построения полинома Александера.

Связь между зацеплениями и косами задается двумя теоремами -Александера и Маркова [11, 2.1 - 2.2]. Теорема Александера утверждает, что любое зацепление можно представить в виде замыкания косы. Теорема Маркова сводит проблему классификации зацеплений к ряду алгебраических проблем для групп кос {Вп}™=1.

В последние десятилетия возникли некоторые обобщения теории узлов. Одним из таких обобщений является теория виртуальных узлов, введенная Кауффманом в 1996 году [23]. Кауффман определил группу виртуальных кос, которая играет ту же роль в теории виртуальных узлов, что и классическая группа кос в теории узлов. Для виртуальных узлов доказаны аналоги теорем Александера и Маркова [21,23,27].

Как было отмечено выше, группа узла является сильным инвариантом классических узлов. Естественно попробовать определить аналог этого инварианта для виртуального узла. Существует несколько подходов к определению группы виртуальных узлов и зацеплений. Первое определение было дано Кауфманом в 1996, но определенная им группа не отличала виртуальный трилистник от тривиального узла. В работе Бардакова [9] группы виртуальных узлов независимо определялись при помощи представления группы виртуальных кос автоморфизмами свободной группы. Далее было дано определение Сильвера и Вильяме [31,32] и затем Боден, Диес, Годро, Герлингс, Харпер, Никас [12]. Цели и задачи

К основным целям диссертации относятся:

1. Построение представлений группы виртуальных кос автоморфизмами некоторых групп.

2. Дать определение групп виртуальных зацеплений, являющихся инвариантами зацеплений.

3. Вычисление групп некоторых классических и виртуальных узлов. Основные результаты диссертации

1. Построено представление группы виртуальных кос в группу автоморфизмов свободного произведения свободной и свободной абелевой групп, обобщающее все ранее известные представления [37].

2. Построены продолжения представлений Вады на группу виртуальных кос [38].

3. По каждому из построенных представлений определяется группа виртуального зацепления и доказывается, что она является инвариантом виртуального зацепления [37-39].

Научная новизна и значимость работы

Работа носит теоретический характер. Все основные результаты диссертации являются новыми. Полученные результаты и методы могут найти применение в дальнейших исследованиях по теории групп, маломерной топологии и теории узлов. Многие доказанные в диссертации утверждения могут быть включены в спецкурсы для студентов и аспирантов. Методы исследования

В работе используются методы комбинаторной теории групп, теории линейных групп и теория узлов. Апробация работы

Результаты диссертации докладывались на международной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс» (Новосибирск, 2006); международной конференции «Мальцевские чтения» (Новосибирск, 2012); международной летней школе-конференции «Пограничные вопросы теории моделей и универсальной алгебры» (республика Алтай, 2013, 2015, 2017); международной научной конференции «Алгебра и логика, теория и приложения», посвященной 80-летию Владимира Петровича Шун-кова (Красноярск, 2013); международной конференции «Winter Braids IV»

(Франция, Дижон, 2014); международной молодежной школе-конференции «Алгоритмические вопросы теории групп и смежных областей» (Новосибирск, 2014); «Первой российско-китайской конференции по теории узлов и смежным вопросам» (Китай, Пекин, 2014); международной конференции «Knots, Braids and Automorphism Groups» (Новосибирск, 2014); международной конференции «Groups and Graphs, Algorithms and Automata» (Екатеринбург, 2015); «Второй российско-китайской конференции по теории узлов и смежным вопросам» (Новосибирск, 2015).

Результаты диссертации неоднократно обсуждались на семинаре «Эварист Галуа».

Публикации

Результаты автора по теме диссертации опубликованы в работах [36-41], при этом работы [36-39] опубликованы в изданиях, которые входят в перечень ВАК российских рецензируемых научных журналов, в которых должны быть опубликованы основные результаты диссертаций на соискание ученых степеней доктора и кандидата наук. Результаты работ [37,39] получены в неразделимом соавторстве с В. Г. Бардаковым и М. В. Негцади-мом.

Благодарности

Автор выражает глубокую признательность своему научному руководителю В. Г. Бардакову за поставленные задачи, неоценимую помощь в работе и всестороннюю поддержку.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, 3 глав, заключения и списка литературы. Она изложена на 84 страницах, включает 1 таблицу и 17 рисунков. Главы диссертации подразделяются на параграфы. Все утверждения (теоремы, предложения, леммы и следствия) имеют одинарную сквозную нумерацию. Формулы имеют двойную нумерацию: первое число - номер главы, второе - номер формулы в текущей главе. Список литературы содержит 41

наименование. Работы автора по теме диссертации приведены отдельным списком.

Глава 1. Предварительные сведения

В работе используются следующие обозначения. Если a, b - элементы некоторой группы G, то аь = Ъ~1аЪ — сопряжение элемента а при помощи элемента 6; [а, Ь] = a~lb~lab — коммутатор элементов а и Ь.

Напомним известные результаты о группе классических кос, группах виртуальных кос и кос со спайками, которые можно найти в [4,11,16,22,27].

1.1. Группа кос и ее обобщения

Группа кос £>n, п > 2, на п нитях была введена Артином. Она задается порождающими элементами <ri, 02,..., (Уп-1 и определяющими соотношени-

ями

(Уг(У'^\(Уг = СГг+1СГг(7г+1 При % = 1, 2, . . . , П ~ 2, (1.1)

(у{(уу = <уу<уг при \г — ] | > 2. (1.2)

Существует гомоморфизм группы Вп на группу подстановок переводящий порождающий а^ в транспозицию (¿,¿ + 1), % = 1,2,... ,п — 1. Ядро этого гомоморфизма называется группой крашеных кос и обозначается символом Рп. Группа Рп порождается элементами \ < г <] < п, которые выражаются через порождающие группы Вп следующим образом

«и+1 = сгг2 при г = 1,2,... ,п - 1,

йу = (Уу—\(Уу—2 ... ■ ■ ■ при 1<г<з — 1<п — 1.

Группа виртуальных кос УВп введена в работе Кауффмана [23], там же выписана её система порождающих и определяющих соотношений. В работе Вершинина [34] построена более компактная система соотношений (приведенная ниже). Группа УВп задается порождающими (сгь ... , (У'п—1 > Р\> ~,рп-1), где {01,... , сгп_ 1} - порождающие группы кос Вп, удовлетворяющие соотношениям (1.1), (1-2), {р\}рп-\} - порождающие

симметрической группы удовлетворяющие следующим соотношениям:

Р? = 1

РгРз = РзРг Р1Р1+\Р1 = Рг+ХРгРг+Х

при I = 1, 2, . . . , П — 1, при |г — >2, при г = 1, 2,..., п — 2.

(1.3)

(1.4)

(1.5)

Остальные определяющие соотношения группы УВп являются смешанными и имеют вид

°гРз = Рз°г

Р%Р%+= ^г+ХРгРг+Х

при \г — >2, при г = 1, 2,..., п — 2.

(1.6) (1.7)

Отметим, что последнее соотношение равносильно такому:

Pi+lPiO'i+l — ViPi+lPi

при г = 1, 2,..., п — 2.

(1.8)

Как было замечено в работе Гусарова, Поляка и Виро [19] в группе

УВп не выполняются соотношения

: = (ТгСТг+хРг,

при г = 1, 2,..., п — 2, при г = 1, 2,..., п — 2.

Рис. 1.1. Запрещенные преобразования

Они называются запрещенными соотношениями и соответствуют запрещенным преобразованиям (см. рис. 1.1).

В работе Фенна, Римани и Рурке [18] введена группа кос со спайками \¥Вп, которая порождается элементами а¿,0^, г = 1,2,..., п — 1. Группа,

порожденная элементами сг^ является классической группой кос Вп. Группа, порожденная элементами оц является группой подстановок и при этом выполняются смешанные соотношения

ац= при \% — > 2, (1.9)

{ = апри г = 1, 2,... , п — 2, (1.10)

агаг+1сгг = аг+1(7гаг+1 при г = 1, 2,..., п - 2. (1.11)

Сравнивая соотношения групп УВп и \¥Вп, видим, что \¥Вп получается из УВп введением дополнительного соотношения (1.11), которое соответствует запрещенному соотношению Т\. Следовательно существует гомоморфизм

(рущ- ■ УВп —\УВП)

переводящий (7( в а, и ^ в оц при всех %. Таким образом, \¥Вп является гомоморфным образом группы УВп.

1.2. Представления классических кос автоморфизмами

Напомним, что представление (р : Вп —> Аиt(Fn), где Рп = (^1,^2, ..., хп) - свободная группа ранга п, называется локальным, если

I хг\—>Х(хг,хг+1),

у хг+1 I—> р,{хг}хг+1),

где Л, р, - приведенные слова в свободной группе, порожденной Хг и Здесь и далее мы указываем только нетривиальное действие на порождающих, подразумевая, что остальные порождающие остаются на месте.

Представление группы кос Вп в группу автоморфизмов свободной группы Рп = (х\,..., хп), задающееся следующим образом

. Х{ 1 У ,

1РА{(7ъ) ■

Х'1-\-1 1 ^ Х{)

где г = 1,... ,п — 1, называется представлением Артина. Оно является точным (т. е. имеет тривиальное ядро) и позволяет решить проблему равенства в группе Вп. Также представление Артина позволяет построить линейное представление группы кос (представление Бурау) и линейное представление группы крашенных кос (представление Гаснера).

В работе Вады [35] построены семь типов локальных представлений группы кос Вп в группу АиЬ(Гп). Вада высказал предположение, что ими исчерпываются все возможные локальные представления группы кос Вп в группу А\11{Рп). Это предположение доказал Ито [20]. Из этих семи типов четыре являются точными (см. [30]). Приведем эти представления

1. Представление и)\;Г,г Е Ж, г > 0, определяется формулой:

I; I У ,

и)!>г(<Тг) I <

[ хг+1 I—> хг.

Отметим, что при г = 1 это представление Артина.

2. Представление ии2 определяется формулой:

I Гу . I_V Гу . Гу 1 Гу .

\ <лу% 1 7

™2{(?г) ■ <

хг+1 I—> хг.

3. Представление ии^ определяется формулой:

Г 2

I Х{ I У Щ{(7г) <

I Х'1-\-\ I У Х^^Х^ Х{-\-\.

4. Представление ии^ определяется формулой:

I Х{ 1 У Х{Х{-^-\Х{) т4(аг) : <

у хг+1 I—> хг .

Крпсп и Парис [14] доказали, что существует автоморфизм % : Гп —> Гп такой, что

где ¡1 : Вп —> Вп - инволюция, посылающая сг^^ в (71 .

1.3. Представления виртуальных кос автоморфизмами

В настоящем параграфе мы перечислим известные представления группы виртуальных кос УВп автоморфизмами.

Представление группы виртуальных кос срА '■ УВп —> А\1Ь(Гп+1) в группу автоморфизмов свободной группы = хп,у) ранга

п + 1 было рассмотрено в работе Бардакова [9]. Мантуров [3] изучал инварианты кос. Из его работы можно получить <ра-

{-1 ( у-1

Х{ I У Х{Х{-, I Х{ I У

Ч>А\Рг) ■ <

хг+1 I—> хг, у хг+1 I—> х\,

Представление <ра является продолжает представление Артина на группу виртуальных кос УВп.

Для пары натуральных чисел пик определим группу = Рп * Ък как свободное произведение свободной группы ранга п и свободной абелевой группы ранга к. Будем считать, что Гп свободно порождается элементами

ОС ^ ОС 2 ^ * * * ) 1 ^

Z свободно порождается элементами V, щ, щ, ■ ■ ■ , ии~\- Отметим, что = Рп+\.

Представлением Сильвера-Вильямс [31] будем называть представление (рзш '■ УВп —> АиЬ(Гп^п+1) группы виртуальных кос УВп в группу автоморфизмов группы .РП;П+1, определенное действием на порождающих

{Щ —гОЩ+1 I

Х{ I г , I Щ I г 11{-1-1,

хг+1 I—> х", у иг+1 I—> щ,

, ч I хг\—> х1+1, I щ I—>иг+1,

<Р£№{Ръ) ■ < <Р£!МГ{Ръ) ■ <

Хг+1 I-> Хг, у иг+1 I-> Щ,

Легко проверить, что элементу сг-1 отвечает автоморфизм

, _ь ) Х%] / -ь I иг1-

<Рш(*г ) : <; , ч „гД ) : <

Хг+1 1-> X х%х

г+1) ' I и%+1 1 *и%-

г

-1

Покажем, что представление ^вш обобщает представление (рА, определенное в начале параграфа. Если положить

щ=щ = ... = ип = у,у = у \

и вместо порождающих х\) х2, ■ ■ ■, хп ввести новые порождающие:

_ _ У _ У2 _ у™-1

Х\ — Х\, Х2 — , — Xз , . . . , Хп — Хп ,

то полученная группа будет изоморфна Рп+\.

На порождающих х\, х2}..., хп представление Спльвера-Впльямс действует по правилу

[ X; I-> Х;Х;+\Х~1, [ X; I-> ХУ-,Л ,

у хг+1 I—> хг} у хг+1 I—> х\,

а это и есть представление <ра-

Представление Бодена - Диес - Годро - Герлингс - Харпер - Никас было построено в работе [12]. Будем обозначать его символом (рвБ- Пусть = ^п * где Гп свободно порождается элементами х\, х2)..., хп, а И? свободно порождается элементами Представление (рвБ УВп —> Аи^^^) определяется действием на порождающих:

. Х{ I У Х{Х{-\-\Х^ , I Х{ I У

^ВБУСГг) ■ \ (РЕШУРг) ■ <

хг+1 I—у хг+1 I—> хуг.

1.4. Метод Магнуса

Напомним определения и основные свойства производных Фокса [11, гл. 3].

Пусть С - группа, Ъ - кольцо целых чисел, ЪС - групповое кольцо группы С. Для каждого ] = 1, 2, ...,п определим отображение

д ОХу

следующими правилами

дхг I 1 при г =

у 0 в противном случае,

дх~1 _ I -х'1 при % = з, дхз 1 0 в противном случае,

з) ж

с/2 с/2 с/д

2)

4> Щ = «г е 6

где т : ЪРп —> Ъ - операция тривиализации, посылающая все порождающие группы Гп в единицу кольца Ъ.

Пусть ср - гомоморфизм группы Гп в некоторую группу С. Символом обозначим образ группы Гп при гомоморфизме ср. Пусть А^ такая подгруппа группы для которой справедливы равенства

х* = (у

при всех х Е Рп и а Е А^. Сопоставим автоморфизму а Е А^ матрицу

а =

' дх\ дхj

а\ V

Ь3 =1

порядка п с элементами из Построенное таким образом отображение

р : А9 —> СЬп(%Е%)

называется представлением Магнуса группы А^. По теореме Артпна [11] группа Вп является подгруппой АиЬ(Гп). В частности, если в качестве ср взять гомоморфизм группы Гп на бесконечную циклическую группу с порождающим £ и положить х^ = г = 1, 2, ...,п, то мы получим представление Бурау

Рв '■ Вп —> вЬп{Щ±1\).

п

Рв((?г) =

\

Ii-1 0 0 0

0 1 -t t 0

0 1 0 0

0 0 0 I-ri — i—l

i = 1,2,.... п — 1.

/

где 1т - единичная матрица порядка т. Представление : Вп —> СЬп(С) называется локальным, если

=

/

V

k-l 0 0 0

0 * * 0

0 * * 0

0 0 0 I-ri — i — l

\

/

/ h-l 0 0

0 Ri 0

V 0 0 I-ri — i — l

, г = 1,2, ...,п - 1,

/

где - матрица порядка 2.

Локальное линейное представление называется однородным, если Д1 = #2 = ••• = Дп-1.

Очевидно, что представление Бурау является локальным однородным. 1.5. Группа классического зацепления

Напомним определение группы зацепления [16]. Пусть L - классическое зацепление в §3 = М3 U оо, его группой G(L) называется фундаментальная группа 7Ti (S3 \ L) дополнения L в §3.

Чтобы найти порождающие и соотношения группы G(L) можно использовать либо диаграмму зацепления, либо представить зацепление как замыкание косы и использовать представление Артина.

Опишем подход Виртингера, позволяющий по диаграмме найти группу зацепления. Пусть D(L) - некоторая диаграмма зацепления L. Каждой компоненте связности диаграммы сопоставим порождающий, а каждому перекрестку сопоставим соотношение с = abaдля положительного пере-

\

крестка (см. рис. 1.2 слева) и с = Ь~1аЬ для отрицательного перекрестка (см. рис. 1.2 справа).

Тогда группа С(Ь) задается порождающими а, 6, с,... и системой соотношений по всем перекресткам диаграммы.

Одна и та же группа может быть задана различными системами порождающих и соотношений. При этом они связаны преобразованиями Тит-це. Пусть группа С имеет следующее представление в виде системы порождающих и определяющих соотношений:

С = (ЖЬ . . . ,Хп || 7*1 = 1, . . . ,П = 1).

Теорема Титце [16, гл. IV] утверждает, что это представление группы С может быть преобразовано в любое другое представление группы С применением конечной последовательности операций следующего типа и обратных к ним, называемых преобразованиями Титце:

1) Добавление соотношения г = 1, являющегося следствием соотношений п = 1,..., Гг = 1, к множеству соотношений, что приводит к представлению

(х1,...,хп || 7*1 = 1,... ,п = 1,7* = 1).

2) Добавление нового порождающего х и нового соотношения хио~1 = 1, где 1и - это любое слово в алфавите ж^1,..., ж^1, что приводит к пред-

ставлению

-i

... ,хп,х II Г\ = 1,... ,rt = l,xw = 1).

Глава 2. Представления кос автоморфизмами

2.1. Представления виртуальных кос автоморфизмами

В настоящем параграфе мы определим представление группы виртуальных кос УВп автоморфизмами, обобщающее все предыдущие, перечисленные в главе 1. Затем мы покажем, что известные представления не являются точными при п > 4.

2.1.1. Новое представление группы виртуальных кос

Здесь мы определим новое представление группы УВП1 которое обобщает представления (рвш, ^вб, введенные в параграфе 1.3. Рассмотрим группу РЩ2п+1 = ^п где 1?п+1 - свободная абелева группа с базисом

щ, • • • , ип, г>о, г>1, г>2,... , г>п. Справедлива

теорема 1 Отображение (рм УВп —> А.\\1{Рп^п+\), заданное действием на порождающих

, ч , ^ I-> ХгХ^Х~ЩЩ+1, I Щ\-> Пг+1,

Ч>м{(?1) ■ \ Vм{(?1) ■ <

Хг+1 I-> ХУг% Пг+1 I-> Щ,

.-1

<Рм(рг) ■

Х{ 1 У .

^г+1 i-> X

«¿+1

У г '-> Уг+1,

<Рм(рг) ■

Щ I—> Пг+1,

иг+1 i-> щ,

<Рм(рг) ■

Уг I-> г>г+1>

1-»

определяет представление группы УВп в группу АиЬ(ГЩ2п+1) ■ Заметим, что отображение <рм является локальным, т. е. каждый из порождающих <71 и р1 нетривиально действует только на элементах хг,хг+\, иг,иг+1, Уг,Уг+1.

Доказательство. Отображение является автоморфизмом. Легко

проверить, что элемент действует на порождающих группы Гп по

правилу

Х{ i У 0 ,

_г;о 1 ™ ™Щ

1

Vм{(Уг ъ

Х'1-\-1 1 у (

Надо проверить, что при действии отображения срм соотношения группы УВп переходят в соотношения. Легко проверить, что для соотношений коммутативности это так в силу того, что представление срм является локальным.

Проверим справедливость соотношения

Для этого найдем действие автоморфизма 1Рм{сГ'1)1Рм{сп+1)1Рм{сГ'1) на порождающих XI,..., хп. Здесь и далее действие будет слева направо. Имеем

™ ,_V ™ щщ+1 -щщ+2у0 -щ+2у0

хг 7 хгхг+1хг+2 г+1 г '

гр. л ,_V (гр.гр^

•^г+1 1 7 V « г+1 г / )

«о

Хг+2 1-> Хг°,

Аналогично, находим действие автоморфизма

X г

/ г

«¿+1 ^-Мг+г'Уо

+2 1 ,1

Хг+2 1 ^ ^ ,

Сравнивая полученные автоморфизмы, видим, что длинное соотношение группы кос выполняется на группе Рп. То, что соотношение выполняется при действии на подгруппах, порожденных элементами и^ и Vj следует из того, что на этих порождающих автоморфизмы <рм{&г) действуют перестановками.

Проверим справедливость смешанного соотношения:

г

Для этого найдем действие автоморфизма рм{Р'1)Рм{Р'1,+1)Рм{&'1) на порождающих х\, ..., хп. Имеем

Рм(рг)рм(рг+1)рм((?г) ■ <

XI I У Х-_|_2 ,

/ щ —Щ+ 1«о\г;»+2 ^г+1 1 т- ^

¿1+2 1 ^ ¿г

Аналогично, находим действие автоморфизма рм{сп+1)Рм{Р'1)Рм{Р'1,+1)- Получим

Рм{(?г+1)рм{рг)рм{рг+1

ч+л1

Гр . I_V Гр ± 1

.-1

: <

™ ,_V ,3+2

¿1+2 1 ^

Сравнивая полученные автоморфизмы, видим, что смешанное соотношение группы кос выполняется на порождающих группы Рп. То, что соотношение выполняется при действии на подгруппах, порожденных элементами и^ и -исследует из того, что на этих порождающих автоморфизмы и рм(р^ действуют перестановками.

Остальные соотношения проверяются аналогично. □

Покажем, что представление рм обобщает представление рвш и представление рвв- Справедливо

Предложение 1 1) Если в группе Рп,2п+\ положить

VI = у2 = ... = Уп = V'1, У0 = 1,

и ввести новые порождающие

= жь = х1, г3 = х1

„п-1

-1,

- ОС ^ } % - ^ ) ^

= 1,2,

то получим группу Рп,п+ь на которой представление рм индуцирует представление рвш ■

2) Если в группе Рп,2п+\ положить

щ = и2 = ... = ип = 1, Vo = и, VI = У2 = ■ ■ ■ = уп = V,

/

V

г

то получим группу на которой представление (рм индуцирует представление <р>во-

Доказательство. 1) Заметим, что на новых порождающих ..., хп автоморфизмы (рм^г) и <рм{рг) действуют по правилу

/ ч I Яг1 ^^А+Х^г 4+15 / ч I 1 > ¿г+ь

<Рм{(7г) ■ < 1Рм(рг) ■ <

у гг+1 i—> у гг+1 i—> гг.

Полагая ии^ = г = 1,2,...,п, получим представление Спльвера-

Впльямс.

Вторая часть утверждения проверяется аналогично. □

Группа виртуальных крашеных кос УРп является ядром гомоморфизма УВп -> Зп, при котором

аг I—> рг, рг I—> рг, г = 1, 2,... ,п - 1.

Как было установлено в [8], группа УРп порождается элементами

Х,г+1 = рг О-'1, Хг+1,г = Рг^г,г+1 рг = О-'1 рг, % = 1, 2, . . . , П ~ 1,

'Ч? = Рз~ 1 Рз~2 ' ' ' Рг+1 • • • Р]~2 Р^'-Ь

А^ = Р]—2 ■ ■ ■ Рг+1 Аг+1,г Рг+1 ■ ■ ■ Р3-2 1<г<.7'-1<П-1.

Найдем образы порождающих Л^, А^, 1 < г > ^ < п, при отображении (рм-Справедливо

предложение 2 Представление (рм действует на порождающих груп-

пы УРп по формулам

/ -I Щ+1\и: V,1,

Гр . I_V I Гр Гр . Гр х | 1

^г 7 \ г+1 г г+1/ '

VI,

Рм{ А

г+1,г

^г+1 1 ^ ^¿+1 жг i-у x: ,

-1 Хг+1

гр. Л ,_Ч | —

•¿-г+1 7 у-^г I 1

1 / ^ ^ .Лу^ЛУ j

Хп i-> Хл%

хг I—> х3,

/у> . I_V I г»^ гр

"Ъ т \ %

-1 „.-1

м- 1г!г+1...г!;?-_1

(У? I . . . «У о _

где \ <1 <] — \ <п — \ .

Построенное представление срм не является продолжением представления Артина, которое, как мы знаем, точно на подгруппе Вп. Покажем, что представление срм равносильно более простому представлению, которое является продолжением представления Артина. Положим ¥П1П = ¥п*Ъп^ где ¥п = (у1,у2,---,уп) - свободная группа ранга п, а Ъп = (г;ь ■ ■ ■, уп) -свободная абелева группа ранга п. Справедлива

ТЕОРЕМА 2 Представление р>м УВп —> Аи 1{Рщп), заданное действием на порождающих

, , | 1—>«>.+ъ

У г+1 1-^ Ун

Уг+1 '->

^м(рг) ■

У г ^ Уг+1:

^м(рг) ■

Уг+1 '->

Уг+1 '-> Уг

равносильно представлению р>м, ш. е. = 1 тогда и только тогда,

когда фм(Р) = 1 для некоторой косы (3 Е Вп.

Доказательство этой теоремы вытекает из следующих лемм.

ЛЕММА 1 Если в группе ЕП2П+\ ввести новые порождающие у^ =

{^¡и^ Vд

-(¿-1)

Щ = ЪгУц1, г = 1,... ,п, вместо порождающих

г = 1,..., п, то представление

СРм ■ УВп -> Аи1] )

будет действовать на новых порождающих у1,...,уп, г»о, г^ь ..., следующим образом

-1

, . , Уг 1—^ 2/г2/г+12/г , , 2/г+1 1-^ У г,

<Рм(рг) ■

Уг ^ У ъ+1 ,

2/г+1 ^ 2/Г+15

ум(а) :

I—> Пг+1,

I—иг, иг I—Мг+1,

Ум (А) :

|—> иг

г-,

И)г I->

Ыг+\ i-> К),,,

Ч),, I-> П)г+1,

1-» ^г-

Доказательство. Найдем действие автоморфизма ум(с"г) на Уг-, у%+1, ш ^¿+1, ^ = — 1. Имеем

<Рм((Гъ)(Уъ) =

уХ^И^ уХ^И^ уХ^И^ уХ^И^

-1 -1 -1 -1

Хг+1ЩУ0 иг+1хг У0иг+ \иг+1У0

хг+1 щ+1щу0 хг

^охг+1Пг^0 \ 1Уоигхг

-1

-(¿-1)

У0 " го

= УгУг+1У

-1

Хг+\иг+1 Г {ХгЩ

;о =

= У г

<Рм((?г)(Уг+1) = (Жг+1^1^0 Т° '-^ {ХТи7 У0 = (ХгЩ )

Ум(^г)(™г+1) = ^г+1^0 1 '-^ ^(Г1 =

Найдем действие автоморфизма ум(р») на у^, Уг+\, ии^, ии^, г = 1,..., п — 1. Имеем

<рМ(рг)(Уг) = (хгиг \

, «Г1 -1 -1\«-(<_1)

-(¿-1)

(ж^ГЛ^Г0"4"4 =

4+1^+1 и0

к1 Уг+1 >

<рм{рг){и)г) =угу011—Уг+1У0 1 = и;г+ь

Ум(А)(^г+1) = Ъг+^й1 I-= И)г.

о

1

V

□

В силу доказанной леммы подгруппы К,п = <Уь • • • • • • ,№„) , IV = (ил,... ,И)п) , и = (щ,... ,ип) , Уо = (у0)

группы РЩ2п+1 инвариантны относительно действия представления срм- В частности, представление р>м индуцирует представление р>м группы УВп в группу Аи1(Гщп). Отметим также, что и ^м(а)? Г'1 = 1, • • • — 1,

действуют на ЦТ и II перестановкой порождающих. Отсюда следует

ЛЕММА 2 Представления р>м и р>м равносильны, т. е. = 1 тогда

и только тогда, когда рм(Р) = 1 для некоторого /3 Е УВп. Из доказанных лемм 1 и 2 следует теорема 2.

Таким образом, представление р>м обобщает ранее известные представления.

2.1.2. Продолжения представлений Вады на группу УВп

Будем обозначать символом иц, I = 1,..., 4, представления Вады (см. стр. 13), полагая и)\ = «^г, г Е Ъ, г > 0. Так как Вп является подгруппой УВп, то естественно попытаться построить продолжения представлений и)1 на группу УВп. Построим отображение

\¥Г.УВп^ Аи1(^п), / = 1,...,4,

действующее на а г так же как представление Вады иц, а образ = 1,..., п — 1, является автоморфизмом

I ^¿+1

хг+1 I—хгг+1.

Нетрудно проверить, что образ отображения, заданного таким образом, является автоморфизмом группы ¥пп.

Справедлива

ТЕОРЕМА 3 Отображение I = 1,...,4, является представлением УВп в Аи 1{Рщп), где Гщп = Рп^гЕа, 7И1 = (г>1, г>2,... ,г>п) - свободная абелева группа ранга п.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Михальчишина, Юлия Андреевна, 2018 год

Список литературы

1. В. Г. Бардаков. Строение группы сопрягающих автоморфизмов // Алгебра и логика. - Т. 42, №5. - 2003. - С. 515-541.

2. В. Магнус, А. Каррас, Д. Солитер. Комбинаторная теория групп / М: Наука. - 1974.

3. В. О. мантуров. О распознавании виртуальных кос // Зап. науч. сем. поми РАН. - Т. 299, №8. - 2003. - С. 267-286.

4. В. О. мантуров. Теория узлов / Москва-Ижевск: Инст. комп. ис-след. - 2005.

5. А. А. марков. Основы алгебраической теории кос // Тр. Мат. ин-та им. Стеклова АН СССР. - Т. 16. - 1945. - С. 1-54.

6. А. Г. савушкина. О группе сопрягающих автоморфизмов свободной группы // Мат. Заметки. - Т. 60, №1. - 1996. - С. 92-108.

7. А. Г. савушкина. Сопрягающие базис автоморфизмы свободной группы // Вест. Моск. Ун-та. - Сер. 1. мат. мех, №4. - 1996. - С. 17-21.

8. V. G. bardakov. The virtual and universal braids // Fund. Math. -V. 181. - 2004. -P. 1-18.

9. V. g. bardakov. Virtual and welded links and their invariants // Sib. Elektron. Mat. Izv. - V. 2. - 2005 - P. 196-199.

10. V. G. bardakov, P. Bellingeri. Groups of virtual and welded links //J. Knot Theory Ramifications. - V. 23, №3. - 2014. - 1450014. - 23p.

11. J. S. blrman. Braids, Links, and Mapping Class Groups / Annals of Math. Studies, Princeton University Press. - V. 82. - 1974.

12. H. U. Boden, E. Dies, A. I. Gaudreau, A. Gerlings, E. Harper, A. J. nlcas. Alexander invariants for virtual knots //J. Knot Theory Ramifications. - V. 24, №3. - 2015. - 1550009. - 62p.

13. J. S. Carter, D. Silver, S. Williams. Invariants of links in thickened surfaces // Algebr. Geom. Topol. - V. 14, №3. - 2014. - P. 1377-1394.

14. J. Chrisp, L. Paris. Representations of the braid group by automorphisms of groups, invariants of links, and Garside groups // Pacific J. Math. - V. 221, №1. - 2005. - P. 1-27.

15. O. Chterental. Virtual braids and virtual curve diagrams //J. Knot Theory Ramifications. - V. 24, №13. - 2015. - 1541001. - 24p.

16. R. crowell, R. Fox. Introduction to knot theory / Graduate Texts in Mathematics. - V. 57. - 1977.

17. M. Elhamdadi, M. Saito, J. S. Carter, D. Silver and S. Williams. Virtual knot invariants from group biquandles and their cocycles //J. Knot Theory Ramifications. - V. 18, №7. - 2009. - P. 957972.

18. R. Fenn, R. Rimanyi, C. Rourke. The braid-permutation group // Topology. - V. 36, №1. - 1997. - P. 123-135.

19. M. Goussarov, M. Polyak, O. Viro. Finite type invariants of classical and virtual knots // Topology. - V. 39. - 2000. - P. 1045-1068.

20. T. Ito. The classification of Wada-type representations of braid groups //J. Pure Appl. Algebra. - V. 217, №9. - 2013. - P. 1754-1763.

21. S. kamada. Invariants of virtual braids and a remark on left stabilisations and virtual exchange moves // Kobe J. Math. - V. 21. - 2004. - P. 33-49.

22. C. kassel, V. turaev. Braid groups / Graduate Texts in Mathematics. - №217. - 2008.

23. L. H. Kauffman. Virtual knot theory // Eur. J. Comb. - V. 20, №7-1999. - P. 663-690.

24. L. H. Kauffman, S. Lambropoulou. The L-Move and Virtual Braids //J. Knot Theory Ramifications. - V. 15, №6. - 2006. - P. 773-811.

25. T. klshlno, S. Satoh. A note on non-classical virtual knots // J. Knot Theory Ramifications. - V. 13, №7. - 2004. - P. 845-856.

26. X. Lin, S. Nelson. On generalized knot groups //J. Knot Theory Raminifications. - V. 17, №3. - 2008. - P. 263-272.

27. V. O. manturov, D. P. Ilyutko. Virtual Knots. The State of the Art / Singapore, World Scientific Press. - 2013.

28. J. McCool. On basis-conjugating automorphisms of free groups // Canad. J. Math. - V. 38, №6. - 1986. - P. 1525-1529.

29. S. Nelson, W. Neumann. The 2-generalized knot group determines the knot // Commun. Contemp. Math. - V. 10, suppl.l. - 2008. - P. 843-847.

30. V. Shpilrain. Representing braids by automorphisms // Intern. J. Algebra Comput. - V. 11, №6. - 2001. P. 773-777.

31. D. Silver, S. G. Williams. Alexander groups and virtual links // J. Knot Theory Ramifications. - V. 10, №1. - 2001. - P. 151-160.

32. D. Silver, S. G. Williams. Alexander groups of long virtual knots // J. Knot Theory Ramifications. - V. 15, №1. - 2006. - P. 43-52.

33. D. Tong, Sh. Yang, Zh. Ma. A new class of representations of braid groups // Commun. Theor. Phys. - V. 26,№4. - 1996. -P. 483-486.

34. V. V. Vershinin. On homology of virtual braids and Burau representation //J. Knot Theory Raminifications. - V. 10, №5. - 2001. -P. 795-812.

35. M. wada. Group invariants of links // Topology. - V. 31, №2. - 1992. -P. 399-406.

Работы автора по теме диссертации, опубликованные в

журналах из списка ВАК

36. Ю. А. михальчишина. Локальные представления групп кос // Сиб. матем. журн. - т. 54, №4. - 2013. - С. 838-851.

37. V. G. Bardakov, Yu. A. Mikhalchishina, М. V. Neshchadim. Representations of virtual braids by automorphisms and virtual knot

groups //J. Knot Theory Raminifications. - V. 26, №1. - 2017. - 1750003.

- 17p.

38. Ю. А. михальчишина. Обобщения представлений Вады и группы виртуальных зацеплений // Сиб. матем. журн. - Т. 58, №3. - 2017. -С. 641-659.

39. В. Г. Бардаков, Ю. А. Михальчишина, М. В. Нещадим. Группы виртуальных зацеплений // Сиб. матем. журн. - Т. 58, №5. - 2017.

- С. 989-1003.

Тезисы конференций

40. Ю. А. Михальчишина. Локальные представления группы кос // Межд. конф. Мальц. чтения. - 2012. - С. 70.

41. Yu. A. mlkhalchlshlna. Representations of virtual braids by automorphisms and virtual knot groups // Groups and graphs, algorithms and automata: Abstracts of the International conf. and PhD Summer School. - 2015. - P. 74.