Меандрические диаграммы узлов, зацеплений и пространственных графов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Белоусов Юрий Станиславович

• Белоусов Юрий Станиславович
• кандидат наук
• 2023

Оглавление диссертации кандидат наук Белоусов Юрий Станиславович

1.4 Доказательство теоремы

1.4.1 Тэнгл-графы

1.5 Доказательство теоремы

1.6 Доказательство теоремы

1.6.1 Методы построения полумеандрических диаграмм

1.6.2 Построение полумеандрических диаграмм из минимальных

1.7 Доказательство теоремы

1.8 Доказательство теоремы

1.9 Доказательство теоремы

Заключение

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Меандрические диаграммы узлов, зацеплений и пространственных графов»

Введение

Настоящая работа относится к теории узлов и зацеплений — разделу маломерной топологии, изучающему вложения одномерных многообразий в трехмерные. Узлом мы будем называть пару (Б3,Б1), где б"3 — трехмерная сфера, а Б1 — образ окружности, гладко вложенной в Б3; узел рассматривается с точностью до гомеоморфизма пары. Узлы являются первой интересной парой многообразий. Действительно, предыдущая нетривиальная пара — (Б2,Б1) — классифицирована теоремой Шёнфлиса (все такие пары эквивалентны).

Теория узлов — это богатая область исследований, изобилующая красивыми и глубокими результатами, а многие фундаментальные вопросы этой теории до сих пор открыты (например, задача эффективного распознавания узлов). При этом теория узлов имеет обширные связи с другими областями математики. Например, любое связное замкнутое ориентируемое трехмерное многообразие можно однозначно задать, используя зацепление (теорема Ликориша-Уоллеса). Исчисление Кирби является примером применения теории узлов в топологии трехмерных и четырехмерных многообразий.

Классический способ задавать узлы — использовать плоские диаграммы (подробные определения см. в разделе 1.1). Теорема Рейдемей-стера утверждает, что две диаграммы представляют один и тот же узел тогда и только тогда, когда они связаны последовательностью локальных движений (движений Рейдемейстера)1. При этом во многих задачах

хТак как мы рассматриваем неориентированные узлы, то следует также добавить зеркальное отражение.

(например, при построении инвариантов узлов) удобно рассматривать не все диаграммы, а лишь диаграммы определенного типа (например, диаграммы, являющиеся замыканиями диаграмм кос, или так называемые прямоугольные диаграммы). Интересным вопросом является исследование универсальных классов диаграмм (класс диаграмм узлов называется универсальным, если он содержит диаграммы всех узлов). Отметим, что два уже упоминавшихся класса диаграмм — диаграммы, являющиеся замыканиями диаграмм кос, и прямоугольные диаграммы — универсальны.

Отправной точкой настоящего исследования послужила работа [1], где были выдвинуты три гипотезы о меандрических и полумеандрических диаграммах (определения см. в разделе 1.2). Первые две гипотезы утверждали универсальность классов полумеандрических и меандрических диаграмм соответственно. Третья гипотеза утверждала, что у каждого двухмостового узла среди его минимальных (по числу перекрестков) диаграмм найдется полумеандрическая.

В настоящей работе приведены доказательства обобщенных версий первых двух гипотез (в необобщенном виде первые две гипотезы выводятся из не широко известных результатов нескольких работ), а также доказана третья гипотеза, остававшаяся до недавнего времени открытой. Кроме того, используя свойство универсальности полумеандрических диаграмм, автор определяет семейство новых инвариантов узлов (к-дуговые числа перекрестков) и исследует их связь с классическим числом перекрестков узла.

Основные результаты работы составляют теоремы 1-6, опубликованные в работах [2, 3, 4, 5].

Основная часть

1.1 Определения

Сперва введем необходимые определения.

Определения (плоские кривые). В настоящей работе под замкнутой плоской кривои понимается гладкое погружение окружности S1 в плоскость R2 (или в сферу S2) и его образ. Под незамкнутой плоской кривой понимается гладкое погружение отрезка в плоскость R2 (или в сферу S2) и его образ. Все рассматриваемые кривые находятся в общем положении, т. е. не имеют точек самопересечения кратности большей двух, число двойных точек у каждой кривой конечно, во всех этих точках ветви кривой пересекаются трансверсально (нет точек самокасания), а концевые точки (в случае незамкнутой кривой) не являются точками самопересечения. Если дана плоская кривая, то дугой на ней мы называем сужение погружения (и образ этого сужения) на некоторое подмножество, гомеоморфное отрезку. Кривая (в частности — дуга) называется простой, если она является вложением.

Напомним теперь ряд определений из теории узлов и зацеплений. Более полную систему определений можно найти в работах [6, 7, 8].

Определения (узлы, зацепления и тэнглы). В настоящей работе узлом называется гладкое вложение окружности S1 в трехмерное пространство R3 (или в трехмерную сферу S3) и его образ, рассматриваемый с точностью до (не обязательно сохраняющего ориентацию) автодиффеоморфизма объемлющего пространства. Узел K С S3 называется тривиальным, если он лежит на некоторой сфере S2 С S3. Узел K С S3

называется составным, если найдется сфера Б2 С Б3, пересекающая К трансверсально в двух точках, причем ни одна из пар (В1,В1 П К) и (В2, В2 П К), где В1 и В2 — шары, на которые Б2 разрезает Б3, не диф-феоморфна паре (шар, диаметр). Узел называется простым, если он не является ни составным, ни тривиальным.

Под тэнглом мы имеем в виду пару (В3,Т), где В3 есть трехмерный шар, а Т — гладкое компактное правильное одномерное подмногообразие (с краем или без) в В3. Тэнгл будем называть зацеплением, если Т есть многообразие без края. Компонента I С Т тэнгла называется неза-узленной, если существует правильное вложение Г двумерного диска В2 в В3, такое что I С Г (В2) (здесь Г (В2) может пересекать компоненты подмногообразия Т \ I).

Определения (диаграммы). Диаграммой узла называют плоскую кривую общего положения, являющуюся проекцией узла на плоскость или двумерную сферу и снабженную дополнительной информацией о проходах и переходах в двойных точках (их называют перекрестками диаграммы). Диаграмма узла называется минимальной, если ни одна другая диаграмма, представляющая тот же узел, не имеет меньшего числа перекрестков, чем данная. Числом перекрестков узла называется число перекрестков в его минимальной диаграмме. Для числа перекрестков узла К используется обозначение сг(К).

Определение диаграммы узла естественным образом переносится на случай тэнглов и зацеплений. А именно, пусть (В3, Т) — это тэнгл; если В3 вложен в К3 как евклидов шар, такой что 5Т лежит на большой окружности Б1 на 5В3 и проекция р: Т ^ В2 (где В2 — это евклидов двумерный шар 5В2 = Б1) регулярна, мы говорим, что р(Т), лежащая на В2, с дополнительной информацией о проходах/переходах — это диаграмма тэнгла Т.

Определения (пространственные графы). В настоящей работе графом мы называем конечный одномерный клеточный комплекс: нульмерные клетки называются вершинами, а одномерные клетки — ребрами. Пространственный граф — это такое подмножество пространства К3, что (1) оно объемлемо изотопно объединению конечного числа отрезков, (2)

оно снабжено структурой графа. Два пространственных графа называются эквивалентными, если они связаны пространственной изотопией, сохраняющей структуру графа. Петлей в пространственном графе называем ребро, замыкание которого — окружность. Заузленная петля — это ребро, замыкание которого — нетривиальный узел. Как и в случае узлов, пространственные графы удобно изучать с помощью плоских диаграмм. Диаграмма пространственного графа О — это образ проекции общего положения графа О на плоскость, снабженный дополнительной информацией о проходах и переходах в двойных точках. Образ ребра на диаграмме пространственного графа называем главной дугой, если соответствующее ребро не является заузленной петлей, и исключительной дугой — иначе.

1.2 Гипотезы Яблана—Радович и их обобщения

Перейдем теперь к основному предмету данной работы: гипотезам Яблана-Радович, выдвинутым в работе [1], и их обобщениям. Нам понадобится ряд дополнительных определений.

Определение 1. Диаграмма О узла называется полумеандрической, если О есть объединение двух гладких простых дуг.

Определение 2. Диаграмма О узла называется меандрической, если О есть объединение двух гладких простых дуг, таких что их общие концы могут быть соединены дугой, внутренность которой не пересекает диаграмму О.

Обобщим эти определения на случай пространственных графов.

Определение 3. Диаграмма пространственного графа называется полумеандрической, если все ее главные дуги представлены гладкими простыми кривыми, а все ее исключительные дуги составлены из двух гладких простых дуг.

Определение 4. Полумеандрическая диаграмма пространственного графа называется меандрической, если (1) все ее вершины лежат на границе выпуклой оболочки диаграммы, (2) каждая исключительная дуга разделена на две простые дуги точкой (не являющейся перекрестком), лежащей на границе выпуклой оболочки диаграммы.

Гипотеза 1 ([1]). У каждого узла имеется полумеандрическая диаграмма.

Гипотеза 2 ([1]). У каждого узла имеется меандрическая диаграмма.

Перед тем, как сформулировать третью гипотезу, напомним определения.

Определения. Простая дуга на диаграмме узла называется мостом, если у нее нет проходов. Узел называется двухмостовым, если у него найдется диаграмма с двумя мостами, содержащими все перекрестки диаграммы.

Гипотеза 3 ([1]). Множество минимальных диаграмм двухмостового узла содержит полумеандрическую диаграмму.

Утверждения, влекущие справедливость гипотезы 1, были независимо доказаны в работах [9, 10, 11, 12, 13]. То же для гипотезы 2 — в работах [14, 13]. Гипотеза 3 до недавнего времени оставалась открытой.

В работе [4] А. В. Малютина и автора была доказана теорема, обобщающая гипотезы 1 и 2, а также доказана гипотеза 3. Сформулируем эти результаты в виде теорем.

Теорема 1 ([4]). У любого пространственного графа найдется меандрическая диаграмма.

Теорема 2 ([4]). Множество минимальных диаграмм двухмостового узла содержит полумеандрическую диаграмму.

1.3 к-Дуговое число перекрестков

Из результатов предыдущего пункта следует, что если к — натуральное число, большее единицы, то у каждого узла найдется диаграмма, составленная из к гладких простых дуг. Возникает естественный вопрос: насколько диаграмма узла, составленная из к гладких простых дуг, сложнее минимальной диаграммы того же узла? Введем следующее понятие.

Определение 5. Минимальное число перекрестков среди всех диаграмм узла К, которые представимы объединением не более чем к гладких простых дуг, назовем к-дуговым числом перекрестков узла К (обозначение ег^.(К)). При этом 2-дуговое число перекрестков будем также называть полумеандрическим числом перекрестков.

В работе [3] автора исследуется связь между к-дуговыми числами перекрестков и классическим числом перекрестков узла. В частности, доказаны следующие теоремы:

Теорема 3 ([3]). Для любого узла К справедливо неравенство

ег2 (К) ^

Теорема 4 ([3]). Для любого узла К и для любого натурального к ^ 2 справедливо неравенство

егк(К) « егк+1(К) + ^^^.

Замечание. Очевидно, что для фиксированного узла К числа ег^(К) образуют невозрастающую последовательность. Приняв обозначение

р*(К) = ш1п(к | егк(К) = ег(К)},

получаем следующую цепочку неравенств:

ег2(К) ^ егз(К) ^ ■ ■ ■ ^ егр*(кМ(К) > > егр*(к)(К) = егр*(к)+1(К) = ...

ч

=сг(К)

Рис. 1.1: Примеры узлов, у которых р*(К) = сг(3к).

В этом контексте удобно интерпретировать сг(К) как сг^(К).

Замечание. Ясно, что для любого нетривиального узла К верно неравенство р*(К) ^ 2сг(К). При этом верхняя оценка на р* (К) не может расти медленнее, чем линейная функция от сг(К). Это доказывают примеры на рис. 1.1: диаграммы, изображенные там (и подобные им), являются единственными (с точностью до изотопии) минимальными диаграммами соответствующих узлов (по третьей гипотезе Тейта, см. [15, 16]), но ни одну из этих диаграмм нельзя разбить менее чем на

сг(К)

з гладких простых дуг.

Замечание. Используя теорему 4, можно улучшить оценку на полумеандрическое число перекрестков для некоторых классов узлов. А именно, если рассмотреть узлы, у которых р*(К) ^ п, где п - некоторое фиксированное число, то для них сг2(К) оценивается полиномом степени не выше 2П-2 от сг(К). Это, однако, не позволяет улучшить оценку на полумеандрическое число перекрестков для всех узлов (см. предыдущее замечание).

Для доказательства теорем 3 и 4 использовался результат, доказанный в работе [2] А. В. Малютина и автора:

Теорема 5 ([2]). У любого узла с числом перекрестков, большим десяти, найдется минимальная диаграмма, содержащая простую дугу,

проходящую через восемь перекрестков.

Техника полумеандрических диаграмм была использована автором для доказательства следующий теоремы.

Теорема 6 ([5]). Из любого нетривиального узла К, используя одну ленточную перестройку2, можно получить двухкомпонентное брун-ново зацепление Ь такое, что

ег(Ь) ^ 4лУбСг(К) + 2.

1.4 Доказательство теоремы 1

Приведем сперва ряд технических определений, необходимых для доказательства.

1.4.1 Тэнгл-графы

Пусть К+ обозначает полупространство {(х,у,г) € К3: г > 0} в пространстве К3. Будем говорить, что пространственный граф Т С К3 является тэнгл-графом, если (1) Т С и (11) пересечение Т П д— это подмножество множества вершин графа Т валентности один.

Два тэнгл-графа называются ТГ-эквивалентными, если они связаны изотопией объемлющего пространства неподвижной на крае д ТГ-диаграмма тэнгл-графа Т — это диаграмма тэнгл-графа Т, лежащая в ди полученная из тэнгл-графа, который ТГ-эквивалентен тэнгл-графу Т.

Пусть т — положительное натуральное число. Тогда т-звездным тэнгл-графом называется связный тэнгл-граф на т +1 вершине с одной вершиной валентности т, лежащей в \ ди с т вершинами валентности 1, лежащими в д

т-звездный тэнг-граф будем называть незаузленным, если он ТГ-эквивалентен т-звездному тэнгл-графу, все ребра которого — отрезки.

2Определение ленточной перестройки см. в разделе 1.9.

Скажем, что т-звездный тэнгл-граф Т монотонен, если ортогональная проекция каждого его ребра на ось г инъективна. ТГдиаграмму О т-звездного тэнгл-графа Т назовем монотонной, если (1) каждое ребро графа Т представлено простой дугой, (11) существует нумерация ребер графа Т, такая что в каждом перекрестке диаграммы О дуга, представляющая ребро с большим номером, проходит над дугой, представляющей ребро с меньшим номером.

Приведем теперь результаты, использующиеся в доказательстве. В работе [17] была доказана следующая теорема.

Теорема 7 ([17]). Пусть С — это пространственный граф, и для любых г = ] пространственные графы Нь ..., Нп — это пространственные подграфы графа С. Предположим, что пересечение Н П Н содержится в множестве вершин графа С. Предположим, что ..., Оп -это произвольно выбранные диаграммы графов Н,..., Нп соответственно. Тогда существует диаграмма О пространственного графа С, ограничения которой на подграфы Н,..., Нп изотопны диаграммам О1,..., Оп соответственно.

Из теоремы 7 следует следующая теорема, обобщающая гипотезу 1 на случай пространственных графов.

Теорема 8. У любого пространственного графа найдется полумеандрическая диаграмма.

Доказательство. Из теоремы 7 следует, что любой пространственный граф, не имеющий заузленных петель, имеет полумеандрическую диаграмму. Действительно, разложим пространственный граф в подграфы, каждый из которых состоит из единственного ребра.

Следовательно, у любого пространственного графа с заузленными петлями также имеется полумеандрическая диаграмма, потому что добавление новой вершины валентности два на каждом ребре, являющемся заузленной петлей, сводит проблему к случаю без заузленных петель. □

Другой необходимый нам результат касается т-звездных тэнгл-графов.

Лемма 1. Всякий монотонный тэнгл-граф является незаузленным.

Доказательство. Доказательство строится на так называемом «трюке Денна-Салливана», описанном в работе [18]. Он позволяет построить объемлющую изотопию, которая выпрямляет ребра графа T и трансформирует граф T в m-звездный тэнгл-граф, все ребра которого — отрезки. Денн и Салливан использовали эту технику, чтобы доказать лемму 2, из которой вытекает лемма 1. □

Лемма 2 ([18, Lemma 4.1]). Пусть B — это евклидов шар с центром в точке p, и пусть пространственные графы Г и Г' таковы, что каждый из них состоит из n ребер, начинающихся в точке p и заканчивающихся на крае dB. Пусть, кроме того, все ребра в каждой точке трансверсальны коцентрическим сферам с центром в точке p. Тогда Г и Г' пространственно изотопны посредством изотопии, не выходящей за границы шара B.

Теперь перейдем к доказательству теоремы 1. Теорема 8 утверждает, что у каждого пространственного графа имеется полумеандрическая диаграмма. Кроме того, заметим, что добавление вершины валентности два на каждое ребро, являющееся заузленной петлей, сводит задачу к отысканию меандрической диаграммы пространственного графа без заузленных петель. Таким образом, чтобы завершить доказательство теоремы 1, достаточно предъявить универсальную процедуру, которая трансформирует полумеандрическую диаграмму D (не являющуюся меандрической) пространственного графа в полумеандрическую диаграмму D' того же графа, такую, что число вершин, лежащих на границе выпуклой оболочки диаграммы D', превосходит число таких вершин в диаграмме D. Затем применяем индукцию, чтобы получить утверждение теоремы.

Перейдем теперь к описанию процедуры. Пусть G — это пространственный граф без заузленных петель, и пусть D' — его полумеандрическая (но не меандрическая) диаграмма. Обозначим через V множество вершин диаграммы D', а через Vext — подмножество в V, состоящее из вершин, лежащих на границе выпуклой оболочки диаграммы D . Так

Рис. 1.2: Преобразование пространственного графа.

как диаграмма О' не меандрическая, то найдется вершина зд € Не умаляя общности мы можем считать, что диаграмма О' содержится в евклидовом диске В2 таком, что дВ2 П О' = Рассмотрим произвольную точку V € дВ2 \ О'. Наш план состоит в том, чтобы трансформировать диаграмму О' таким образом, чтобы вершина Vo переместилась в точку V. (Преобразования (Ь)^(е) и (е)^(ё) на рис. 1.2 — примеры таких трансформаций.)

Подходящая трансформация может быть описана следующим образом: возьмем достаточно маленький топологический замкнутый 2-диск В С В2 такой, что (1) v0 — это единственная вершина диаграммы О', лежащая внутри диска В; (11) тройка (В, В ПО', зд) гомеоморфна тройке (В2, 5^агт, 0), где В2 — это евклидов 2-диск, 0 — это центр В2, т — это валентность вершины v0, а $£агт — это объединение т радиу-

сов диска В2. т-Звезда3 В П О' — это та часть диаграммы О', которую мы собираемся переместить. Нам потребуются дополнительные обозначения. Пусть р1,... ,рт — это точки, лежащие в множестве дВ П О', и пусть дуги «1,... , ат — это ноги в т-звезде В П О', где а соответствует ноге с концами в точках рг и v0. Пусть А1,... , Ат — это главные дуги диаграммы О', содержащие точки р1,... ,рт соответственно. Заметим, что если для г = ^ точки рг и рз- лежат на одной и той же петле, то

Аг = А3.

Заметим, что все дуги А1,... , Ат просты и каждая из них имеет не более одной общей точки с границей д В2 и множество В2 \ (Аг\аг) линейно связано. Отсюда следует, что существует простая дуга вг с концами в точках рг и V, такая что (1) вг не пересекает дугу Аг \аг; (11) вг лежит в диске В2 и вгПдВ2 = {V}. Также заметим, что если для г = ] две точки рг и рз- лежат на одной и той же главной дуге (т. е. Аг = Аз-), то дуги вг и вз могут быть выбраны так, чтобы вг П вз = {V} в дополнение к условиям (1) и (11). Теперь выберем набор дуг в = {в1, ... , вт}, удовлетворяющих всем вышеперечисленным условиям и находящихся в общем положении. Рассмотрим диаграмму О , полученную из диаграммы О следующим образом: (1) вершина v0 заменена вершиной V, (11) дуги аг заменены дугами вг. При этом все новые перекрестки в диаграмме О'' устроены следующим образом: (1) для всех перекрестков между дугами из множества в и дугами диаграммы О считаем, что дуги из множества в лежат над диаграммой О'; (11) для всех перекрестков между дугами вг и вз, где г < ], считаем, что дуга вз лежит над дугой вг. По построению диаграмма О'' является полумеандрической, а множество Уехг и {V} лежит на границе выпуклой оболочки диаграммы О . Осталось показать, что диаграмма О является диаграммой того же пространственного графа, что и диаграмма О'. Мы выведем это из леммы 1 следующим образом.

Заметим, что в диаграмме О поддиаграмма, составленная из дуг в1,..., вт, является монотонной ТГ-диаграммой т-звездного тэнгл-графа. То же самое верно и для поддиаграммы, составленной из дуг а1,... , ат.

3Под m-звездой имеется в виду топологическое пространство, гомеоморф-ное Starm; подмножества, отвечающие радиусам множества Starm, называют ногами m-звезды.

Нетрудно заметить, что каждый т-звездный тэнгл-граф с монотонной ТГ-диаграммой ТГ-эквивалентен монотонному т-звездному тэнгл-графу. Следовательно, любые два т-звездных тэнгл-графа с одним и тем же множеством вершин валентности один и обладающие монотонными ТГ-диаграммами незаузлены (см. лемму 1), а значит ТГ-эквивалентны. Отсюда следует, что диаграмма О" представляет тот же пространственный граф, что и О'. Теорема 1 доказана.

1.5 Доказательство теоремы 2

Введем дополнительное определение. Под короткой диаграммой узла мы имеем в виду плоскую диаграмму узла, составленную из четырех нитей — простых дуг, каждая из которых является графиком гладкой функции [0,1] ^ [0,1]. Пример короткой диаграммы представлен на рис. 1.3.

зЗамечание. То, что мы называем короткой диаграммой, является частным случаем диаграмм узлов, которые получены из диаграмм кос так называемым коротким замыканием (см. [8]).

В работе [19] доказано, что у любого двухмостового узла найдется короткая диаграмма, являющаяся минимальной диаграммой этого узла.

Пусть К — двухмостовый узел, и пусть О С К2 — минимальная диаграмма узла К, являющаяся короткой диаграммой.

Без потери общности можно считать, что никакие два перекрестка диаграммы не лежат на одной вертикальной прямой. Мы скажем, что кольцо А С К2 специальное (относительно диаграммы О), если (1) край дА кольца А пересекает диаграмму О трансверсально, (11) кольцо А содержит ровно один перекресток диаграммы О, и (111) для любой нити Б диаграммы О пересечение А П Б — это дуга, концы которой лежат на разных компонентах связности края дА.

Если С — это простая замкнутая кривая в К2, пересекающая квадрат [0,1] х [0,1] вдоль вертикального отрезка, содержащего перекресток

Рис. 1.3: Короткая диаграмма с выделенной нитью и системой специальных колец.

диаграммы О, то достаточно малая регулярная окрестность кривой С — это специальное кольцо (см. рис. 1.3).

Заметим, что, если А — специальное кольцо, то пара (А, А П О) выглядит так, как изображено на рис. 1.4. Из рис. 1.3 ясно, что для диаграммы О (как и для любой короткой диаграммы, перекрестки которой не лежат на одной вертикальной прямой) существует система непересекающихся специальных колец А такая, что каждый перекресток х диаграммы О содержится в соответствующем кольце Ах С А.

Пусть Б — это одна из четырех нитей диаграммы О. Если Б содержит все перекрестки диаграммы О, то О — полумеандрическая диаграмма. Если же множество перекрестков X С О \ Б не пусто, то для того, чтобы получить минимальную полумеандрическую диаграмму узла К, преобразуем диаграмму О используя флайпы. Флайп — это преобразование, представленное на рис. 1.4. Ясно, что две диаграммы, связанные цепочкой флайпов, являются диаграммами одного и того же

Рис. 1.4: Флайп.

узла, а также имеют одно и то же число перекрестков. Если х — перекресток, не лежащий на нити Б, и специальное кольцо А содержит перекресток х, то применение флайпа, соответствующего специальному кольцу А, заменяет перекресток х на перекресток, лежащий на нити Б.

Для каждого перекрестка х С X выполним флайп, который соответствует специальному кольцу Ах С А. Получившаяся диаграмма О' уже не будет короткой диаграммой, однако, по конструкции, она составлена из четырех простых дуг, одна из которых содержит все перекрестки диаграммы О , т. е. О является полумеандрической диаграммой. Так как диаграмма О была минимальной диаграммой узла К, то и диаграмма О является минимальной диаграммой того же узла. Теорема доказана.

1.6 Доказательство теоремы 3

Доказательство строится в два этапа. На первом этапе будут описаны преобразования, позволяющие из произвольной диаграммы получить полумеандрическую диаграмму того же узла. На втором этапе, используя эти преобразования, мы покажем, как из минимальной диаграммы получить полумеандрическую, количество перекрестков которой не )

превышает у 6 .

1.6.1 Методы построения полумеандрических диаграмм

Пусть дана диаграмма О некоторого узла К. Зафиксируем параметризацию этой диаграммы отрезком: ^: [0,1] ^ О, такую что ^(0) = ^(1) и ^(0) не является перекрестком диаграммы. Кроме того, выберем интервал [а,Ь] С (0,1), такой что 3 = ^([а,Ь]) — это простая дуга, ни одна из концевых точек которой не является перекрестком диаграммы. Пусть п — число перекрестков диаграммы О, а т — количество перекрестков, лежащих на дуге 3. Если т = п, то диаграмма — уже полумеандрическая. В противном случае (если т < п) покажем, что найдется диаграмма О' узла К, содержащая дугу 3 и такая, что число перекрестков диаграммы О', лежащих на О' \ 3, не превышает п — т — 1 (при этом общее количество перекрестков диаграммы О' может превышать п). Далее приведено два различных метода построения О', которые мы называем приемом I и приемом II. В сущности, для получения полумеандрической диаграммы достаточно приема I, однако для доказательства неравенства из теоремы 3 его уже недостаточно.

Прием I. Итак, пусть п > т. Тогда существует £ Е (0,1) такое, что либо ^(Ь + £) - перекресток, лежащий на О \ 3, а дуга ^([а, Ь + £)) не содержит перекрестков, лежащих на О \ 3, либо ^(а — £) - перекресток, лежащий на О \ 3, а дуга ^((а — Ь]) не содержит перекрестков,

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Белоусов Юрий Станиславович, 2023 год

Список литературы

[1] Radovic Ljiljana, Jablan Slavik. Meander knots and links // Filo-mat. —2015.—Vol. 29, no. 10. —P. 2381-2392.

[2] Юрий Белоусов, Андрей Малютин. Простые дуги в плоских кривых и в диаграммах узлов // Труды Института математики и механики УрО РАН. — 2017. — Т. 23, № 4. — С. 63-76.

[3] Белоусов Юрий. Полумеандрическое число перекрестков узла и родственные инварианты // Записки научных семинаров ПОМИ. — 2018. —Т. 476. —С. 20-33.

[4] Belousov Yury, Malyutin Andrei. Meander diagrams of knots and spatial graphs: Proofs of generalized Jablan-RadoviC conjectures // Topology and its Applications. — 2020.— Vol. 274. —P. 107-122.

[5] Лернейские узлы и вложенные перестройки / Белоусов Юрий, Карев Максим, Малютин Андрей, Миллер Алексей и Фоминых Евгений // Алгебра и анализ. — 2021. — Т. 33, № 1. — С. 30-66.

[6] Adams Colin. The knot book.—American Mathematical Soc., 1994.

[7] Rolfsen Dale. Knots and links. — American Mathematical Soc., 2003.—Vol. 346.

[8] Burde Gerhard, Zieschang Heiner, Heusener Michael. Knots. — Walter de Gruyter, 2013. —Vol. 5.

[9] Von Hotz Günter. Arkadenfadendarstellung von Knoten und eine neue Darstellung der Knotengruppe // Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universitat Hamburg / Springer. — 1960. — Vol. 24. —P. 132-148.

[10] Makanin Gennadiy. On an analogue of the Alexander-Markov theorem // Mathematics of the USSR-Izvestiya. — 1990. —Vol. 34, no. 1. —P. 201.

[11] Kneissler Jan. Woven braids and their closures // Journal of Knot Theory and Its Ramifications. — 1999.— Vol. 8, no. 02. —P. 201-214.

[12] Ozawa Makoto. Edge number of knots and links // arXiv preprint arXiv:0705.4348. — 2007.

[13] Owad Nicholas. Straight knots // arXiv preprint arXiv:1801.10428. — 2018.

[14] Adams Colin, Shinjo Reiko, Tanaka Kokoro. Complementary regions of knot and link diagrams // Annals of Combinatorics. — 2011. — Vol. 15, no. 4. —P. 549-563.

[15] Menasco William, Thistlethwaite Morwen. The Tait flyping conjecture // Bulletin of the American Mathematical Society. — 1991. — Vol. 25, no. 2.—P. 403-412.

[16] Menasco William, Thistlethwaite Morwen. The classification of alternating links // Annals of Mathematics. — 1993. — P. 113-171.

[17] Shinjo Reiko. An Extention of Lee-Jin's result to Regular Diagrams of Spatial Graphs // Academic studies. Mathematics. — 2004. — no. 53. —P. 67-71.

[18] Denne Elizabeth, Sullivan John. Convergence and isotopy type for graphs of finite total curvature // Discrete differential geometry. — 2008. —P. 163-174.

[19] Kauffman Louis, Lambropoulou Sofia. On the classification of rational tangles // Advances in Applied Mathematics. — 2004.—Vol. 33, no. 2. —P. 199-237.

[20] Дужин Сергей. Комбинаторные аспекты теории инвариантов Васильева : дис. ... докт. физ.-мат. наук ; Санкт-Петербургский государственный университет. — 2011. — С. 167.

[21] Belousov Yury. Alpha strings enumerations. github.com/YuryBelousov/Alpha-strings. — 2018.

[22] Belousov Yury. Curves enumeration. github.com/YuryBelousov/curves. — 2017.