Алгебраические системы, возникающие при решении уравнения Янга-Бакстера, их приложения и свойства тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, доктор наук Насыбуллов Тимур Ринатович

• Насыбуллов Тимур Ринатович
• доктор наук
• 2022

Оглавление диссертации доктор наук Насыбуллов Тимур Ринатович

Оглавление

Глава 1. Введение

1.1 Общая характеристика результатов работы

1.2 Уравнение Янга-Бакстера и алгебраические системы

1.3 Обозначения из общей теории групп

Глава 2. Мультп-переключателп и представления групп кос

2.1 Предварительные сведения о группах кос

2.2 Переключатели и представления групп кос автоморфизмами алгебраических систем

2.3 Мульти-переключатели и виртуальные мульти-переключатели

2.3.1 Мульти-переключатели

2.3.2 Виртуальные мульти-переключатели

2.4 Мульти-переключатели и представления групп кос

2.4.1 Общая конструкция

2.4.2 Представление автоморфизмами квандла

2.5 Мульти-переключатели и линейные представления групп кос

2.5.1 Известные результаты и общие факты

2.5.2 Линейные представления классических групп кос

2.5.3 Линейные представления групп виртуальных кос ... 86 Глава 3. Мульти-переключатели и инварианты зацеплений

3.1 Узлы и зацепления

3.1.1 Диаграммы узлов и зацеплений

3.1.2 Связь зацеплений с группами кос

3.2 Мульти-переключатели и инварианты зацеплений

3.2.1 Переключатели и инварианты зацеплений

3.2.2 Мульти-переключатели и инварианты зацеплений: общая конструкция

3.2.3 Связь общей конструкции с группами кос

3.2.4 Квандловый инвариант для виртуальных зацеплений . 125 Глава 4. Классификация зацеплений с двойными спайками

4.1 Отображение UVBж ^ UVPTO, не меняющее замыкания косы

4.2 Полный инвариант для зацеплений с двойными спайками

4.2.1 Достаточное условие

4.2.2 Необходимое условие

Глава 5. Виртуальный квандл для зацеплений в линзовых пространствах

5.1 Диаграммы зацеплений в линзовых пространствах

5.2 Виртуальные квандлы и их расщепляющие автоморфизмы

5.3 Виртуальный квандл для зацеплений в L(p, 1)

5.4 Свойства виртуального квандла для зацеплений в L(p, 1) . . 178 Глава 6. Связи между аддитивной и мультипликативной группами косых брэйсов

6.1 Косые брэйсы: примеры и контрпримеры

6.2 Известные результаты о косых брэйсах

6.3 Основные результаты о двусторонних косых брэйсах

Глава 7. Классы скрученной сопряженности в линейных алгебраических группах

7.1 Необходимые сведения о классах скрученной сопряженности и классах изоградиентности

7.1.1 Классы скрученной сопряженности

7.1.2 Классы изоградиентности

7.2 Необходимые сведения из теории колец и полей

7.3 Необходимые сведения о группах Шевалле

7.4 Группы Шевалле над полем F с tr.defqF < ж

7.5 Группы Шевалле над полем F с tr.defqF = ж

7.5.1 Необходимые сведения из теории моделей

7.5.2 Общая и специальная линейные группы

7.5.3 Ортогональные группы

7.5.4 Симплектпческпе группы

7.5.5 Группы Шевалле

7.6 Редуктивные линейные алгебраические группы

7.7 Группы унитреугольных матриц

Глава 8. Классы скрученной сопряженности единичного элемента

8.1 Известные результаты и примеры

8.2 Строение нижнего центрального ряда

8.3 Строение группы

8.4 Расширения абелевых групп при помощи циклических групп

8.5 Класс [1П]^ в группе )

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Алгебраические системы, возникающие при решении уравнения Янга-Бакстера, их приложения и свойства»

Глава 1. Введение

1.1. Общая характеристика результатов работы

Актуальность и степень разработанности темы. Пусть V - векторное пространство над полем Г. Линейный изоморфизм

Я : V < V ^ V < V

тензорного квадрата V < V называется решением уравнения Янга-Бакстера, если выполнено следующее равенство линейных преобразований пространства V < V < V

(Я < г()(г( < Я)(Я < г() = (К < Я)(Я < г()(г( < Я), (1.1)

где (Я< 1(1)(п<V <и) = Я(и<V) <и, (%(<Я)(и<V <и) = и<Я(у <и) для векторов и, V, и из V. Равенство (1.1) в этом случае называется уравнением Янга-Бакстера или квантовым уравнением Янга-Бакстера. Это уравнение получило свое имя от независимых работ Ч. Н. Янга [137] и Р. Д. Баксте-ра [41,42], относящихся соответственно к теоретической физике и статистической механике.

В. Г. Дринфельд ввел понятие теоретико-множественного уравнения Янга-Бакстера, которое обобщает уравнение (1.1) Пусть X - произвольное множество, а Б : X2 ^ X2 - обратимое отображение. Говорят, что отображение Б является решением теоретико-множественного уравнения Янга-Бакстера на X, если выполнено следующее равенство

(8 х г()(г( х Б)(Б х г() = (г( х Б)(Б х г()(г( х 8), (1.2)

где (Б х %()(х,у,х) = (Б(х,у),г), (г( х Б)(х,у,г) = (х,Б(у, г)) для элементов х,у,г из X. Равенство (1.2) в этом случае называется теоретико-множественным уравнением Янга-Бакстера. Решения теоретико-множественного уравнения Янга-Бакстера на X называются также переключателями на X [71].

Если в уравнении (1.2) множество X есть векторное пространство над полем Г, а Б - линейный изоморфизм, то уравнение (1.2) есть квантовое уравнение Янга-Бакстера, т. е. теоретико-множественное уравнение Янга-Бакстера обобщает классическое уравнение Янга-Бакстера. С другой стороны, пусть Б - переключатель на множестве X, и пусть V - векторное пространство над алгебраически замкнутым полем Г характеристики ноль, порожденное множеством X. Тогда отображение Б : X2 ^ X2 может быть по линейности продолжено до линейного изоморфизма Я : V 0 V ^ V 0 V. Отображение Я : V 0 V ^ V 0 Vв этом случае будет решением квантового уравнения Янга-Бакстера, т. е. решение теоретико-множественного уравнения Янга-Бакстера на множестве X ведет к решению квантового уравнения Янга-Бакстера на V. Таким образом, квантовое уравнение Янга-Бакстера и теоретико-множественное уравнение Янга-Бакстера тесно связаны.

В. Г. Дринфельд в работе [63] сформулировал вопрос о классификации всех решений теоретико-множественного уравнения Янга-Бакстера. Эта задача в общей формулировке является очень сложной. Об этом говорит, в частности, тот факт, что полная классификация решений квантового уравнения Янга-Бакстера (1.1) известна лишь в случае, когда размерность векторного пространства V равна двум [85]. Ввиду практической невозможности классификации всех решений теоретико-множественного уравнения Янга-Бакстера, на протяжении десятилетий различные авторы стремились классифицировать решения теоретико-множественного уравнения Янга-Бакстера, лежащие в некоторых специальных классах. Напомним определения двух классов решений, представляющих особый интерес.

Пусть Б : X2 ^ X2 - такое решение теоретико множественного уравнения Янга-Бакстера, что Б(х,у) = (Б1 (х,у),Бг(х,у)) для всех элементов х,у € X. Решение Б называется невырожденным, если для фиксированных

элементов а,Ь Е X отображения Б1а,Б1 : X ^ X, заданные формулами

Ба(х) Б (а, х), Б г (х) Б (х, Ь),

обратимы. Решение Б называется инволютивным, если Б2 = г(. Невырожденные и инволютивные переключатели представляют особый интерес при изучении уравнения Янга-Бакстера.

Как правило, при изучении решений теоретико-множественного уравнения Янга-Бакстера, удовлетворяющих тому или иному специальному свойству, в качестве множества X берется не просто множество, а некоторая алгебраическая система. Часто используются такие алгебраические системы как группа, модуль, векторное пространство, квандл, биквандл, брэйс, косой брэйс и т. д.

В диссертации исследуются свойства различных алгебраических систем, возникающих при решении теоретико-множественного уравнения Янга-Бакстера, а также изучаются приложения этих алгебраических систем и решений теоретико-множественного уравнения Янга-Бакстера на этих алгебраических системах в различных областях алгебры и топологии: представления групп кос и групп виртуальных кос, инварианты узлов, виртуальных узлов, узлов с двойными спайками и узлов в линзовых пространствах, аддитивные и мультипликативные группы косых брэйсов, классы скрученной сопряженности в группах.

Представления групп кос. Классические группы кос Вп впервые появились в работе Э. Артина [31] как инструмент для работы с узлами в

Вп

п нитях называется группа с порождающими элементами а1,а2,..., ап-х и определяющими соотношениями

ег^г+^г = ^+1, г = 1, 2,... ,п - 2, (Ьх)

ага3 = аг, \г - ] \> 2.

Группа Вп широко используется в теории узлов, т. к. проблема классификации узлов сводится (по теореме А. А. Маркова) к ряду алгебраических проблем, связанных с группами В2,В3,...

Важную роль при изучении групп кос играют представления групп кос. Используя представления групп кос автоморфизмами групп, были установлены, например, разрешимость проблемы равенства в группе кос и финитная аппроксимируемость групп кос. Также с помощью представлений групп кос были построены сильные инварианты теории классических узлов. Первое представление группы кос автоморфизмами было сконструировано Э. Артином [45, следствие 1.8.3]. Он построил представление : Вп ^ Аи1;(Гп) группы кос Вп на п нитях в группу автоморфизмов свободной группы Гп с п порождающими, которое задано на порождающих а1, а2,... , ап-1 следующим образом

Представление Артина является точным.

В. Бурау построил линейное представление ^в : Вп ^ СЬп(Ж[£,£-1]) [45, раздел 3]. Образ порождающего а^ группы к ос Вп относительно представления ^в имеет вид

Долгое время существовала гипотеза о том, что представление Бурау является точным. В 1991 году Д. Муди [112] опроверг эту гипотезу, построив нетривиальный элемент, принадлежащий ядру гомоморфизма в при п > 9. Позднее Д. Лонг и М. Патон [106] установили, что представление Бурау не является точным при п > 6, а С. Бигелоу [43] снизил эту границу до п > 5. Вопрос о точности представления Бурау при п = 4 до сих пор открыт.

)=< хг, к = г + 1,

Хк,

к = г,г +1.

V

В 1961 году Б. Гасснер [78] построила представление группы крашеных кос (£с : Рп ^ СЬп(Ж[£±х,£±х,...,£±х]), которое обобщает представление Бурау. На данный момент вопрос о точности представления Гасснер открыт.

Окончательный ответ на вопрос о линейности групп кос был получен независимо С. Бигелоу [44] и Д. Краммером [101], которые доказали, что представление рьКВ : Вп ^ СЬп(п-1)/2(Ж[д±х,¿±х]), построенное Р. Лоуренц в [103], является точным. Представление рькв называется представлением Лоуренц-Бигелоу-Краммера.

Л. Кауффман в работе [96] ввел понятие виртуального узла, после чего в работах [91,97,98,135] по аналогии с классическими группами кос были введены виртуальные группы кос УВп. Напомним определение. Группой виртуальных кос УВп па п нитях называется группа с порождающими элементами ах,а2,..., 7п-1, рх, р2,..., рп-1, соотношениями (Ьх), (Ь2) и дополнительными соотношениями

ргрг+1рг = рг+1ргрг+1, г =1,...,П - 2, (уЬ1)

РгРз = рЗрг,, \г - 3 \> 2, (уЬ2)

р2 = 1, г = 1,..., п - 1, (уЬз)

агрз = рз<7г, \г - 3\> 2, (уЬ4)

ргрг+1°г = <г+1ргрг+1, г =1,...,П - 2. (уЬ5)

Легко проверить, что подгруппа в УВп7 порожденная элементами р1,р2,..., рп-1, изоморфна группе подетановок Бп на п символах. Также известно, что элементы 71,72,... ,7п-1 порождают в группе виртуальных кос УВп подгруппу, изоморфную группе кос Вп.

Представления групп виртуальных кос играют важную роль при изучении этих групп. Первые представления групп виртуальных кос автоморфизмами были построены В. В. Вершининым в работе [135]. Он построил представления рА : УВп ^ Аи1(^п), рв : УВп ^ СЬп {Ъ[1,1-1\)которые расширяют, соответственно, представление Артина ра и представление

9

Бурау с группы классических кос Вп < УВп на группу виртуальных кос ^Вп. Приведем все известные на данный момент представления групп виртуальных кос автоморфизмами групп.

Пусть ¥п - свободная группа со свободными порождающими ж2, ..., жп, Жп+1 - свободная абелева группа с канонической системой порождающих ... ,мп. Д. Сильвер и С. Вильяме в работе [128] по-

строили представление : ^Вп I АШ;(^п * Жп+1) группы УВп автоморфизмами группы * Жп+1. Это представление задано на порождающих а1, а2,... , ап—1? р1, р2,..., рп-1 группы УВп следующим образом

. I_V /у* . /у* - /у* 1

•^г 1 ' ^г ;

Жг+1 ^ , Пг I Мг+1,

^бш (Рг) : <

Жг I ^ Хг+1 1 ^

(1.3)

V

(здесь и далее подразумевается, что все порождающие, которые не указаны явно в формулах, остаются неподвижными).

Пусть ^п, - свободная группа со свободными порождающими х1, ж2,... , жп, Ж2 - свободная абелева группа с каноническими порождающими В работе [46] X. Воден, Е. Диес, А. Годро, А. Герлингс, Е. Харпер и А. Никас построили представление : ^Вп I Аи;(^п * Ж2) группы ^Вп автоморфизмами группы * Ж2. Это представление задано на порождающих а1, а2,..., 0"п—1, р1, р2,..., рп—1 группы УВп следующим образом

хг 1 у хгхг+1хг

^вд (рг) :

. I_V

г

г+1

(1.4)

Хг+1 I ^ Ж , I Хг+1 I ^ Ж«.

Пусть - свободная группа со свободными порождающими ж1,ж2,...,жп Ж2п+1 - свободная абелева группа с каноническими порождающими м1,м2,... ,мп, ..., "ип. В. Г. Бардаков, Ю. В. Михальчишина и М. В. Нещадим [38] построили представление ^м : ^Вп I АШ;(^п*Ж2п+1)

10

1

группы УВп автоморфизмами свободного произведепия^п*Ж2п+1. Это пред-

ставление задано на порождающих 71, 72, УВп следующим образом

7п-1, р1,р2,... , рп-1 ГруППЫ

гр . I_V гу . гу 1 гр

гг

Щ -«0^+1

гхг+1хг ,

рм(7г) : <

хг+1 ^ х1°,

иг ^ Пг+1,

Чг+1 ^ иг,

у г ^ Уг+1,

1

Гр . I_V Гр 1

и^г ' ' ^ г+11

Щ+1

рм(рг) : <

хг+1 ' ^ х

иг ^ иг+1,

иг+1 ^ иг,

У г ^ Уг+1,

(1.5)

Уг+1 ^ У г, Уг+1 ^ У г.

V

Представление рм : УВп ^ Аи1(^п * Ж2п+1) обобщает оба представления рем : УВп ^ А^(Гп*Жп+1), рвв : УВп ^ АиЬ(Гп*Ж2) [38, предложение 2].

Пусть Еп - свободная группа со свободными порождающими х1,х2,... ,хп, Ъп - свободная абелева группа с каноническими порождающими у1,у2,... ,уп. В. Г. Бардаков, Ю. В. Михальчишипа и М. В. Нещадим в работе [38] построили представление рм : УВп ^ Аи1(^п * Жп), которое

задано на порождающих 71, 72, ющим образом

7п-1, р1,р2,..., рп-1 групп ы УВп следу-

рм(7г) : <

хг ' ^ хгхг+1хг , хг+1 1 ^ xг, у г ^ Уг+ъ

рм (рг) : <

хг ^ Угхг+1у-\

хг+1 ^ у-^гуг+ь у г ^ уг+1, уг+1 ^ у г.

(1.6)

уг+1 ^ угп

рм

ние рм эквивалентны, т. е. ядра этих представлений совпадают. В работе [2 представления рм, рм используются для построения групповых инвариантов для виртуальных зацеплений.

В работе [71] отмечено, что если Б - переключатель па множестве X.

то с помощью Б можно построить представления групп Вп, УВп подстановками множества Хп. Более того, если X - некоторая алгебраическая система, то при дополнительных ограничениях переключатель Б на X может быть использовать для построения представлений групп Вп, УВп автоморфизмами алгебраической системы X. Приведем указанные конструкции.

Пусть X - некоторое множество, Б : X2 I X2 - переключатель на множестве X. Для г = 1, 2,..., п — 1 обозначим через Бг отображение

Бг = (г^)г—1 х Б х (г^)п—г—1

на множестве Xп. Т. к. Б - переключатель на множестве X, для всех индексов г = 1, 2,..., п — 1 отображение Бг очевидно является биекцией на множестве Xп. Из определяющих соотношений (62) группы кос Вп и того факта, что Б - переключатель на множестве X, следует, что отображение, переводящее в Бг для г = 1, 2,...,п — 1, продолжается до гомоморфизма Вп I Вуш^п) из группы кос Вп в группу симметрий Sym(Xп) множества Xп.

Пусть Т : X2 I X2 - переключатель на множестве X, заданный формулой Т(ж, у) = (у, ж) для ж, у € X. Для г = 1, 2,... , п — 1 обозначим через У отображение

у = (г^)г—1 х Т х (г^)п—г—1

на множестве Xп. Очевидно, что дл я всех г = 1, 2,...,п — 1 справедливо равенство у2 = г^. Из определяющих соотношений (61), (62), (^61), ("у62), ("у6з), (^64), (^65) группы виртуальных кос УВп следует, что отображение

I Бг, рг I У, г = 1, 2,...,п — 1

продолжается до гомоморфизма УВп I Sym(Xп) из группы виртуальных кос УВп в группу симметрий Sym(Xп) множества Xп. Таким образом, любое решение теоретико-множественного уравнения Янга-Бакстера на мно-

жестве X может быть использован для построения представлений групп Вп, УВп перестановками множества Xп.

Пусть теперь X - алгебраическая система с порождающими ж1,ж2, ..., жп, и пусть Б - такой переключатель на алгебраической системе X, что

Б (а, 6) = (Б1 (а,6),Бг (а, 6))

для всех элементов а, 6 € X. Для г = 1, 2,..., п — 1 обозначим символом Бг отображение Бг : {ж1 , ж2, ..., жп} I X, заданное правилом

Бг(Жк) = <

Б (ж¿,ж¿+l), к —

Бг (Жг,Жг+1), к = г + 1, (1.7)

Жк, к = г,г + 1.

Если отображение Бг индуцирует автоморфизм алгебраической системы X для всех г = 1, 2,..., п — 1, то отображение

I Бг, г = 1, 2,...,п — 1

индуцирует представление Вп I Aut(X) группы кос Вп автоморфизмами алгебраической системы X. Представление Артина и представление Бурау могут быть получены этим способом. Действительно, если X — — свободная группа со свободными порождающими ж1, ж2, ... , жп, и Б переключатель, заданный формулой

Б(ж,у) = (жуж—1, ж) (1.8)

для ж, у € X, то применяя процедуру, описанную выше, к данному переключателю для г = 1, 2,..., п — 1, приходим к представлению Артина. Если X - свободный модуль с базисом ж1, ж2, ..., жп над кольцом ¿—1 ], а Б переключатель, заданный правилом

Б (ж, у) = ((1 — ¿)ж + ¿у, ж) 13

для х,у Е X, то, применяя процедуру, описанную выше, к данному переключателю, приходим к представлению Бурау.

Для г = 1, 2,... ,п - 1 обозначим через Уг : {х1, х2,..., хп} ^ X отображение, заданное правилом

Уг(хк) = <

хг+1, к — i,

хг, к = г + 1, (1-9)

хк, к = г,г +1.

Если для всех г = 1, 2,... ,п - 1 отображения Бг, заданные формулой (1.7),

Уг

алгебраической системы X, то отображение

<г ^ Бг, рг ^ Уг, г = 1, 2,...,п - 1

продолжается до гомоморфизма УВп ^ Aut(X) группы виртуальных кос УВп в группу автоморфизмов алгебраической системы X. Расширенное представление Артина рА : УВп ^ А^(^п) и расширенное представление Бурау ррв : УВп ^ ОЬп(Е[1,1-1]) могут быть получены этим способом.

Б

на алгебраической системе X может быть использован для построения представлений групп Вп, УВп автоморфизмами алгебраической системы X. Не смотря па то, что некоторые представления группы виртуальных кос УВп автоморфизмами некоторой алгебраической системы X могут быть получены из переключателей па X с помощью процедуры, описанной выше, большинство известных представлений УВп ^ А^(О), где О - группа, не могут быть получены с помощью указанной процедуры. Действительно, обозначим через р : УВп ^ А^(О) любое из представлений рвв,

рм-> рм (здесь О - одна из групп Еп * Ъп+\ Еп * Ж2, Еп * Ъ2п+\ Еп * Ъп).

О п р

не может быть получено с помощью процедуры, описанной выше, ни для какого переключателя Б на С.

В диссертации введено понятие мульти-переключателя, которое обобщает понятие переключателя, а также разработан метод мульти-переключателей, который позволяет по специальным решениям теоретико-множественного уравнения Янга-Бакстера на алгебраических системах строить представления групп Вп, УВп автоморфизмами этих алгебраических систем. С помощью этого метода построены новые представления групп Вп,УВп автоморфизмами, а также установлено, что все известные на данный момент представления групп Вп,УВп автоморфизмами групп могут быть построены с помощью данного метода.

Инварианты узлов и зацеплений. Узлом в классической теории

Б1

евклидово пространство К3, или, что эквивалентно, в трехмерную сферу Б3 (которая является одноточечной компактификацией пространства К3). Для целого п > 1 зацеплением с п компонентами называется вложение п непересекающихся ориентированных окружностей Б1 в К3. Очевидно, что узел - это зацепление с одной компонентой, поэтому мы будем использовать слова «узел» и «зацепление» как синонимы.

Два зацепления Ь1? Ь2 называются эквивалентными, если существует такой гомеоморфизм ^ : К3 I К3, сохраняющий ориентацию пространства К3, что ^(Ь1) = Ь2. Одной из центральных задач в теории узлов является задача распознавания эквивалентности двух наперед заданных зацеплений в К3.

Обычно зацепления задаются посредством так называемых диаграмм зацеплений, т. е. проекций зацеплений на некоторую плоскость. Примеры диаграмм зацеплений изображены на рисунке 1.1. В 1927 году К. РиПлемя истер доказал, что две диаграммы задают эквивалентные зацепления тогда и только тогда, когда их можно получить одну из другой с помощью

оэ

©

(а)

(Ь)

(с)

Рис. 1.1. Примеры диаграмм зацеплений.

плоских изотопий и конечного числа преобразований Райдемайстера, т. е преобразований, изображенных на рисунке 1.2 [24, теорема 1.7].

Рис. 1.2. Преобразования Райдемайстера.

Теорема Райдемайстера отчасти дает ответ на вопрос о распознавании эквивалентности двух зацеплений: зацепления Ь1, Ь2 эквивалентны тогда и только тогда, когда диаграмма Д^ зацепления Ь1 может быть переведена в диаграмму Д^2 зацепления Ь2 посредством плоских изотопий и преобразований Райдемайстера Л1,Л2,Л3. Однако, непонятно как использовать эту теорему. Если нам удалось построить последовательность преобразований Райдемайстера, которая переводит диаграмму Д1 в диаграмму Д2, то эти диаграммы представляют эквивалентные узлы. Но как понять, что две диаграммы представляют разные узлы? Одним из возможных подходов к решению этой проблемы является построение инвариантов.

Пусть А - некоторое множество. Отображение / из множества всех зацеплений в множество А называется инвариантом узлов, если для любых эквивалентных зацеплений Ь1, Ь2 выполнено равенство ](Ь1) = f (Ь2). Отсюда следует, в частности, что если /(Ь1) = /(Ь2), то зацепления Ь1,Ь2 неэквивалентны. Таким образом, построение инваиантов играет очень важную роль при решении вопроса о распознавании эквивалентности двух

зацеплений. Отметим, что если / - инвариант зацеплений, то равенство /(Ь1) = /(Ь2) не обязательно влечет эквивалентность зацеплений Ь1,Ь2. Инвариант / называется полным, если равенство /(Ь1) = /(Ь2) выполнено тогда и только тогда, когда Ь1 и Ь2 эквивалентны.

В 1999 году в работе [96] Л. Кауффман ввел теорию виртуальных

п

п

касания, имеет лишь конечное число точек пересечения, в каждой точке пересечения пересекаются ровно две кривые, и каждый перекресток является либо классическим (с указанием того, какая кривая проходит сверху, а какая снизу), либо виртуальным (см. рисунок 1.3 (с)).

Рис. 1.3. Перекрестки в диаграмме виртуального узла.

Диаграмма виртуального зацепления с одной компонентой называется диаграммой виртуального узла. Примеры диаграмм виртуальных зацеплений изображены на рисунке 1.4.

Рис. 1.4. Примеры диаграмм виртуальных зацеплений.

Диаграммы 02 виртуальных зацеплений называются эквивалентными, если диаграмма может быть переведена в диаграмму 02 посредством плоских изотопий и обобщенных преобразования Райдемайсте-

(а)

(Ь)

(с)

ра, которые включают в себя классические преобразования Райдемайсте-ра Я^Я2,Я3 (рисунок 1.2), виртуальные преобразования Райдемайстера , ^Я3 (рисунок 1.5) и смешанные преобразования Райдемайстера УЯ4 (рисунок 1.6). Класс эквивалентности диаграммы виртуального

Рис. 1.5. Виртуальный преобразования Райдемайстера.

Рис. 1.6. Смешанные преобразования Райдемайстера.

зацепления с п компонентами называется виртуальным зацеплением с п компонентами. Виртуальное зацепление с одной компонентой называется виртуальным узлом.

Диаграмма виртуального зацепления, которая не содержит виртуальных перекрестков выглядит в точности как диаграмма классического зацепления. М. Гусаров, М. Поляк и О. Виро в работе [83] установили, что если диаграммы виртуальных зацеплений Д1, Д2 не имеют виртуальных перекрестков, то Д1, Д2 эквивалентны (т. е. Д1 может быть переведена в Д2 с помощью преобразований Я1? Я2, Я3, УЯ1? УЯ2, ^Я3, ^Я4) тогда и только

Д1 Д2 Я1 Я2 Я3

ления без виртуальных перекрестков, не просто выглядит как диаграмма классического зацепления, а является диаграммой классического зацепления. Этот факт говорит о том, что теория виртуальных узлов содержит в себе классическую теорию узлов. Поэтому для теории виртуальных узлов

также важно изучать проблему эквивалентности и строить инварианты. Инварианты со значениями в множестве алгебраических систем из некоторой фиксированной категории представляют особый интерес, т. к. обычно эти инварианты являются сильными (например, фундаментальный квандл узла является «почти полным» инвариантом для классических узлов [20,89]), и с помощью этих инвариантов можно строить новые инварианты, которые легко вычислять и сравнивать [58,61,71].

В работе [71] Р. Фенна, М. Джордан-Сантаны и Л. Кауффмана приведен способ, как переключатели, удовлетворяющие специальным условиям, могут быть использованы для построения инвариантов виртуальных узлов, со значениями в множестве Ъ целых чисел. Пусть Б - такой переключатель па множестве X, что

Б (а,Ь) = (Б1 (а,Ъ),Бг (а,Ъ))

для отображений Б1 ,БГ : X2 ^ X и а, Ъ Е X. Пусть обратное к Б отображение Б-1 : X2 ^ X2 имеет вид

Б-1(а,Ъ) = (О (а,Ъ),Ог (а,Ъ))

для отображений О1 г : X2 ^ X и а, Ъ Е X.

Пусть О - диаграмма виртуального зацепления. Назовем дугой в диаграмме О участок кривой па О, идущий от одного перекрестка (классического или виртуального) к другому перекрестку (классическому или виртуальному). Раскраской диаграммы О элементами множества X называется такая разметка дуг диаграммы О элементами множества X, что в окрестности каждого перекрестка в диаграмме О разметка дуг имеет вид, изображенный на рисунке 1.7. Множество всех раскрасок диаграммы О элементами множества X обозначается сим волом 1аЪ(х,5) (О). Есл и X - конечное множество, то множество раскрасок 1аЪ(х,Б)(О) также конечно.

Р. Фенн, И. Джордан-Сантана и Л. Кауффман в работе [71, теорема 6.12] установили, что если О1? О2 - эквивалентные диаграммы виртуаль-

а Ь \

Б1 (а, Ь) Бг(а, Ь) Я1(а,Ь) Я"(а,Ь) Ь

Рис. 1.7. Разметка дуг в диаграмме О в окрестности фиксированного перекрестка.

Ь

Ь

а

а

а

ных зацеплений, то по каждой раскраске диаграммы О можно построить единственную раскраску диаграммы О2. В частности, если X - конечное множество, то |1аЪ(Х,5)(О1 )| = |1аЪ(Х,5)(О2}|, т. е. целое число |1аЪ(Х,5)(О}| является инвариантом виртуальных зацеплений.

В диссертации разработан метод мульти-переключателей, который позволяет по специальным решениям теоретико-множественного уравнения Янга-Бакстера строить инварианты классических и виртуальных зацеплений, которые являются алгебраическими системами. С помощью этого метода построены новые инварианты классических и виртуальных зацеплений, а также установлено, что многие известные инварианты, которые являются алгебраическими системами, могут быть получены, используя данный метод.

На протяжении многих лет, исходя из различных соображений, были введены новые обобщения и упрощения классических и виртуальных узлов: сингулярные узлы [6,45], узлы со спайками [72], узлы с двойными спайками [37,90,94], и т. д. Проблема эквивалентности является одной из центральных проблем во всех этих теориях.

Если к определению эквивалентности диаграмм виртуальных зацеплений добавить преобразования W1, W2, изображенные на рисунке 1.8, то придем к теории узлов с двойными спайками [37,90,94].

\

/

/ \

Рис. 1.8. Преобразования W1, Ж2.

Проблема эквивалентности для узлов с двойными спайками, изучалась, например, в работах [32,74,93]. Следующий результат, установленный Т. Каненобу в работе [93], говорит о том, что любой узел (т. е. зацепление с одной компонентой) в теории узлов с двойными спайками тривиален. ТЕОРЕМА 1. Пусть К - узел с двойными спайками. Тогда К - тривиальный узел.

Этот результат говорит о том, что при исследовании проблемы эквивалентности для зацеплений с двойными спайками стоит обращать внимание лишь на зацепления с более чем одной компонентой. А. Фиш и Е. Кейман в работе [74] установили следующий результат, который дает классификацию узлов с двойными спайками, у которых нет виртуальных перекрестков, используя очень простой инвариант классических узлов коэффициент зацеплений.

К

К

фициентами зацеплений между своими компонентами.

В диссертации построен полный быстро вычислимый инвариант для узлов с двойными спайками со значениями в свободной абелевой группе бесконечного ранга. Конструкция построенного инварианта влечет теорему 1 и теорему 2.

Л. Кауффман нашел геометрическую интерпретацию виртуальных узлов и зацеплений. Он установил, что виртуальные зацепления можно понимать геометрически как зацепления внутри утолщенных поверхностей [96]. С развитием теории трехмерных многообразий все больше внимания стало

уделяться зацеплениям в различных трехмерных многообразиях: расслоениях Зейферта [75] (в частности, в линзовых пространствах [51-53,86,108]), утолщенных поверхностях [88,96], произвольных трехмерных многообразиях [73,102].

Одним из наиболее содержательных направлений в теории узлов в трехмерных многообразиях является теория узлов в линзовых пространствах. Это связано, в первую очередь, с тем, что линзовые пространства являются наиболее простыми (после трехмерной сферы Б3) трехмерными многообразиями, а именно, линзовое пространство Ь(р, д) может быть получено из трехмерной сферы Б3 при помощи хирургии Дэна на тривиальном узле, в то время как другие трехмерные многообразия могут быть получены из трехмерной сферы Б3 при помощи хирургии Дэна на гораздо более сложных узлах и зацеплениях. Более того, изучение зацеплений в линзовых пространствах мотивировано также тем фактом, что они связаны с другими науками: в работе [132] зацепления в линзовых пространствах используются для описания топологической теории струн, а в работе [47] зацепления в линзовых пространствах используются для описания решения проблемы биологической рекомбинации ДНК. Задача построения и изучения инвариантов для зацеплений в линзовых пространствах играет ключевую роль в теории.

Хорошо известно, что универсальным накрывающим пространством линзового пространства Ь(р, д) для любой пары (р, д) взаимно простых чисел является трехмерная сфера Б3. Пусть р : Б3 ^ Ь(р,д) - универсальное накрытие. Для зацепления К С Ь(р,д) обозначим через р-1(К) прообраз зацепления К в Б3, тогда К - зацепление в Б3 (или, что эквивалентно, в К3). Понятно, что если К1, К2 - эквивалентные зацепления в Ь(р,д), то зацепления р-1(К1) р-1(К2) эквивалентны в Б3, т. е. отображение К ^ р-1(К) является инвариантом для зацеплений в Ь(р, д) со значениями в множестве зацеплений в Б3. Пусть А - некоторое множество, и / - инвариант для за-

цеплений в Б3 со значения ми в А Тогда отображение /, переводящее зацепление К С Ь(р, д) в элемент /(р-1(К)) множества А, является инвариантом дла зацеплений в Ь(р, д) со значениями в множестве А, таким образом любой инвариант для зацеплений в трехмерной сфере Б3 может быть расширен до инварианта для зацеплений в линзовых пространствах Ь(р, д). Так, такие инварианты зацеплений в Б3, как полином Кауффмана [86], гомологии Флера [33] и НОМПУ-РТ полином [59] были расширены до инвариантов зацеплений в линзовых пространствах. В работе Ю. В. Дроботухиной [9] были построены некоторые другие инварианты для зацеплений в линзовом пространстве Ь(2,1) (которое является проективным пространством КР3).

Не смотря на то, что многие инварианты зацеплений в Б3 могут быть обобщены на зацепления в линзовых пространствах, многие из этих инвариантов весьма сложно использовать. Так, например, фундаментальный квандл зацепления, который имеет очень простое геометрическое описание для зацеплении в Б3, естественным образом (используя это геометрическое описание) обобщается на зацепления в линзовых пространствах Р(р, д). Однако, явная запись этого квандла с помощью порождающих и соотношений по диаграмме конкретного зацепления в Р(р, д) известна лишь в случае, когда (р, д) = (2,1) (т. е. в случае проективного пространства КР3) [8]. Другой существенный недостаток фундаментального квадла для зацеплений в линзовых пространствах Р(р, д) состоит в том, что фундаментальный квандл зацепления К С Р(р, д) изоморфен фундаментальному квандлу его поднятия р-1(К) С Б3, где р : Б3 ^ Р(р, д) обозначает универсальное накрытие. Таким образом, фундаментальный квандл зацеплений в Р(р, д) не отличает зацепления с эквивалентными накрытиями [52] (в то время, как фундаментальный квандл для зацеплений в К3 является «почти полным» инвариантом).

В диссертации построен виртуальный квандл для зацеплений в линзовых пространствах. Порождающие и определяющие соотношения этого вир-

туального квадла могут быть напрямую найдены из диаграммы зацепления в L(p,q). Более того, этот виртуальный квандл может отличать зацепления с эквивалентными поднятиями. Виртуальные квандлы были введены В. О. Мантуровым в работах [18,109] как обобщение квандлов [20,89] с теории классических узлов на виртуальные узлы. Таким образом, конструкция построенного виртуального квандла использует идеи виртуальной теории узлов, что является нестандартным подходом, т. к. обычно для построения инвариантов для зацеплений в линзовых пространствах используются какие-то известные инварианты для классических узлов.

Аддитивная и мультипликативная группы косых брэйсов. Косым брэйсом называется алгебраическая система A = (A, 0, ©) с двумя такими бинарными алгебраическими операциями 0 ©, что алгебраические системы A0 = (A, 0), A© = (A, ©) являются группами и равенство

a © (b 0 c) = (a © b) © a 0 (a © c) (1.10)

выполняется для всех a,b,c E A, гдe ©a обозначает элемент из A обратный к a то отношению к one рации 0. Груп па A0 называется аддитивной группой

A A©

A

Если аддитивная группа A0 косого брэйса A абелева, то косой брэйс

A

лись в работе В. Румпа [126] как инструмент для конструирования невырожденных инволютивных решений теоретико-множественного уравнения Янга-Бакстера. Косые брэйсы были введены Л. Гуарниери и Л. Вендра-мином в работе [84] как инструмент для конструирования невырожденных решений теоретико-множественного уравнения Янга-Бакстера, которые не обязательно инволютивны. Пусть X - косой брэйс, тогда отображение

Б : X2 ^ X2, заданное правилом

Б(ж, у) = ( © х 0 (ж © у), (©ж © (ж © у))-1 © х © у) (1.11)

для ж, у € X, является решением теоретико множественного уравнения Янга-Бакстера.

В. Румп в работе [126] установил, что если косой брэйс X является классическим брэйсом (т. е. косым брэйсом с абелевой аддитивной группой), то решение Б, заданное формулой (1.11), является инволютивным. Более того, неявно в работе Румпа [126], после чего явно в работе Ф. Седо, Э. Ясперс и Я. Окински [55, теорема 1] установлено, что если Б - невырожденный инволютивный переключатель на конечном множестве X, т0 на X можно так задать структуру классического брэйса, что Б будет совпадать с решением (1.11). В этом смысле решение (1.11) универсально в классе невырожденных инволютивных переключателей на конечном множестве.

А

дптивную группу А© и мультипликативную группу А© косого брэйса А тесно связанными друг с другом. Так, Л. Вендрамином, А. Смоктунович и В. Лебедь в Коуровской тетради были сформулированы следующие вопросы [14, вопросы 19.49, 19.90].

А

А

ченная? А

А

А

А

А. Смоктунович и Л. Вендрамин в работе [129, следствие 1.23] получили следующий результат, который можно воспринимать, как положитель-

н ы и ответ на второй вопрос из списка выше в частном случае (в случае, когда |А| < то и группа Аф не просто разрешима, а нильпотентна).

А

Ае косого брэйса А нильпотентна, то мультипликативная группа А0 А

Следующий результат был сформулирован Н. Бьоттом и Л. Вендра-мином в работе [129, теорема А.9] в терминах косых брэйсов и доказан в работе [49, теорема 2] в терминах структур Хопфа-Галуа.

А

группа А0 косого брэйса А абелева, то мультипликативная группа Ае А

Этот результат можно воспринимать, как положительный ответ на третий вопрос из списка выше в частном случае (в случае, когда |А| < то и группа Аф не просто нильпотентна, а абелева). Положительный ответ на третий вопрос из списка выше для конечных косых брэйсов был получен С. Цанг и Ч. Цинь в работе [133]. Они установили следующую теорему.

А

нал группа А0 косого брэ йса А нильпотентна, то аддитивная группа Ае А

В диссертации вопросы [14, вопросы 19.49, 19.90] из Коуровской тетради исследуются для косых брэйсов, которые не обязательно конечны. В общем случае построены примеры, дающие отрицательные ответы на первый и второй вопросы из списка выше. В случае двусторонних косых брэйсов получены сильные положительные результаты.

Классы скрученной сопряженности в группах. Пусть С - группа, р - некоторый автоморфизм группы С. Элементы х и у группы С называются скрученно р-сопряженными (или просто р-сопряженными), если для некоторого элемента £ группы С выполнено равенство х = гур(г-1).

Обозначим символом Я(у) число классов эквивалентности отношения у-сопряженности. Это число либо конечно и принадлежит М, либо бесконечно, и в этом случае мы пишем Я(у) = то.

Соотношения ^-сопряженности возникают при построении решений теоретико-множественного уравнения Янга-Бакстера. Так, если О - группа, у _ автоморфизм группы О, то отображение Б : О х О ^ О х О, заданное правилом

Б (ж,у) = (жуу(ж)-1 ,у(ж)) (1.12)

для ж, у € О, является невырожденным решением теоретико-множественного уравнения Янга-Бакстера. Если при этом у - тождественный автоморфизм, то построенное решение является решением (1.8), используемым для построения представления Артина группы кос Вп автоморфизмами свободной группы Варьируя группу О и автоморфизм у, можно получить множество невырожденных решений теоретико-множественного уравнения Янга-Бакстера, удовлетворяющих тем или иным специальным свойствам.

Помимо решений теоретико-множественного уравнения Янга-

у

математики. Одной из областей, где соотношения скрученной сопряженности играют наиболее ощутимую роль, является топологическая теория неподвижных точек отображений, именуемая также теорией Нильсена-Райдемайстера. В 1927-1932 в цикле статей [119-121] Я. Нильсен ввел классы неподвижных точек гомеоморфизмов поверхностей. Впоследствии К. Райдемайстер разработал алгебраические основания для теории Нильсена в случае произвольного компактного многогранника [123]. В этой работе появляются классы скрученной сопряженности групп гомеоморфизмов.

Пусть / : X ^ X - отображение компактного топологического пространства X на себя, р : X ^ X - универсальное накрытие пространства X и / : X ^ X - поднятие отображения /, т. е.р о / = / о р. Подмно-

жество р(¥]х.(/)) называется классом неподвижных точек отображения /, определенным классом поднятия [/]. Класс неподвижных точек называется существенным, если его индекс отличен от нуля. Число классов поднятий отображения / (и, следовательно, число классов неподвижных точек) называется числом Райдемайстера отображения / и обозначается Я(/). Число существенных классов неподвижных точек называется числом Нильсена отображения / и обозначается N(/). При этом чиела N(/) и Я(/) являются гомотопическими инвариантами отображения /. Числа N(/) и Я(/) тесно связаны между собой и являются главными объектами изучения теории Нильсена-Райдемайстера.

С другой стороны отображению / соответствует эндоморфизм р = / (автоморфизм, в случае когда / - гомеоморфизм) фундаментальной группы п1(Х). При этом число классов р-сопряженности эндоморфизма р совпада-

Я(/)

ра эндоморфизма р и обозначается символом Я(р). Таким образом тополо-

Я(/)

Я(р)

С

С

классов эквивалентности ее неприводимых комплексных (и, следовательно, унитарных) представлений. В настоящее время активно изучается аналог

Я(р)

с числом неподвижных точек отображения, индуцированного автоморфиз-р

С

Я(р) р

такие группы говорят, что они обладают свойством Ято. Некоторые аспекты свойства Ято, а именно, связь с неабелевыми когомологиями, связь с классами изоградиентности и связь с теорией представлений описаны в работе [67].

Вопрос о том, какие группы обладают свойством Ято сформулировали А. Фельштын и Р. Хилл [68]. Данный вопрос привлекал многих исследователей, среди которых можно отметить А. Фелынтына, Р. Хилла, Е. Троицкого, Г. Левитта, М. Люстига, В. Романькова, Д. Гонзалвеса, К. Декимпе, П. Санкарана и т. д. [26,60,62,69,70,81,104,105,110,111,125]. В разное время разными авторами было установлено, что неэлементарные гиперболические (по Громову) группы, группы Баумслага-Солитера и обобщенные группы Бамуслага-Солитера, группы Григорчука и группы Гупты-Сидки, некоторые свободные, свободные нильпотентные и свободные разрешимые группы, конечно порожденные финитно аппроксимируемые неаменабельные группы все обладают свойством Ято. Приведем несколько результатов более подробно.

В. А. Романьков в работе [125, теорема 4.3 и следствие 5.2] установил следующее утверждение, которое говорит о том, когда свободные нильпотентные группы обладают свойством Ято.

ТЕОРЕМА 6. Пусть Хг,с - свободная нильпотснтная группа ранга, г > 27 ступени с > 2. Если выполнено одно из условий

1. г = 3 и с > 2г7

2. г = 3 и с > 12,

то Ыгс обладает свойством Ято.

Для группы О обозначим символом 8ресд(О) множество всех чисел Райдемайстера Л(у) автоморфизмов группы О

8ресд(О) = (Я(у) | у € ЛШ;(О)} С N и {то}.

Множество Вресд(О) называется спектром Райдемайстера группы О. Определение спектра Райдемайстера было предложено В. А. Романьковым и Е. Г. Кукиной. В случаях групп Х2,2, N2,3, N3,2, не покрытых теоремой 6, в работе [125, §3] было описано множество всех чисел Райдемайстера автоморфизмов этих групп.

ТЕОРЕМА 7. Пусть NrcC - свободная нильпотентная группа ранга, г, ступени с. Тогда,

1. 8реед(^,2) = 2М и {то},

2. 8реед(^,з) = {2п2 | п е М} и {то}

3. 8реед(^,2) = {2п - 1 | п е М} и {4п | п е М} и {то}.

К. Декимпе и Д. Гонзалвес в работе [62, теорема 2.1] обобщили результат теоремы 6, доказав следующее утверждение.

ТЕОРЕМА 8. Свободная нильпотентная группа ранг а г > 2, ступени с > 2 обладает свойством Ято тогда и только тогда, когда с > 2г.

Г.-Я. Дюгардейн в своей диссертации [64, теорема 9.2.11], установил следующее утверждение.

ТЕОРЕМА 9. Группа ит4 (Ж) обладает свойс твом Ято.

В своей кандидатской диссертации автор настоящей диссертации изучал классы скрученной сопряженности и свойство Ято в группах Шевалле над кольцами и полями. Группы Шевалле являются естественным продолжением как алгебраических групп, так и классических линейных групп над коммутативными кольцами. Частными случаями групп Шевалле являются многие классические группы матриц, такие как8Ьп(Я), 80п(Я) и 8р2п(Я). Изучением групп Шевалле занимались такие известные математики, как К. Шевалле, Э. Абе, Р. Стейнберг, Дж. Хамфри, И. Вавилов, В. Левчук, С. Колесников и многие другие.

Основные результаты кандидатской диссертации автора были опубликованы в работах [3,21,22]. Они могут быть сформулированы в виде следующих теорем.

Я

одической группой автоморфизмов. Тогда,

1. Группа СЬп(Я) обладает свойс твом Ято.

2. Группы Шевалле типа Ап над Я обладают свойством Ято.

3. Если Я - локальное кольцо с обратимой двойкой, то группы Шевалле типов Вп Вп над Я обладают свойством Ято.

4- Если Я - локальное кольцо, то группы Шевалле типов Сп над Я обладают свойством Ято.

Я

с групп Шевалле классических серий Ап,Вп,Сп,Дп можно расширить на все группы Шевалле нормального типа.

ТЕОРЕМА 11. Пусть О — группа Шевалле типа Ф = А1 над пол ем Р нулевой характеристики. Если группа автоморфизмов поля Р периодическая, то О обладает свойством Ято.

ТЕОРЕМА 12. Пусть О — группа Шевалле типа Ф = А1 над пол ем Р нулевой характеристики, причем, степень трансцендентности Р над Q конечна. Тогда,

1. Если Ф имеет один из типов Ап(п > 2), Вп(п > 4), Е8, О2? то О обладает свойством Ято.

2. Если, более того в поле Р уравнение Т^ = а разрешимо для любого а, где натуральное число к (в зависим,ост,и от Ф) имеет вид

Ф В1 С А Еб Ет

к 2 2 2 3 2

то О обладает свойством Ято и в случае корневых систем типов Вп(п = 2,3), Сп(1 > 3), Дп(п > 4), Ее, Ет.

Условие того, что основное поле (кольцо) имеет нулевую характеристику, нельзя отбросить при исследовании групп Шевалле на свойство Ято. Это следует из результата Р. Стейнберга [131, теорема 10.1] о том,

что связная линейная алгебраическая группа над алгебраически замкну-

у

ных точек, совпадает с множеством элементов видажу(ж-1), т. е. с классом

р Я(р) = 1

группа не может обладать свойством Ято. Для групп Шевалле над полем

р

морфизм Фробениуса).

В Настоящей диссертации свойство Ято изучается для редуктивных линейных алгебраических групп, а также для групп Шевалле над алгебраически замкнутыми полями нулевой характеристики, степень трансцендентности которых над 0) бесконечна. Полученные результаты существенно обобщают и расширяют результаты кандидатской диссертации автора.

Помимо теоретико-множественного уравнения Янга-Бакстера, топологической теории неподвижных точек Нильсена-Райдемайстера и свойства Ято, соотношения скрученной сопряженности могут быть использованы в теории групп напрямую. Например, опираясь на свойства класса скрученной сопряженности единичного элемента группы, можно делать выводы о числе классов скрученной сопряженности и о свойствах самой группы. Следующая гипотеза, сформулированная Бардаковым, Насыбулловым и Неща-димом в [3, гипотеза 1], внесена в Коуровскую тетрадь [14, проблема 18.14]. ГИПОТЕЗА 1. Если класс скрученной сопряженности [е]^ единичного элемента е группы С является подгруппой в С для любого автоморфизма р е АШ;(С), то груп па С нильпотентна.

С

матрешек нормальных ПОдгрупп (условию Мш-п), если для любой матрешки Н1 > Н2 > Н3 > ... нормальных подгрупп группы С существует такой номер п, что Нп = Нп+1 = ... Говорят, что группа С удовлетворяет условию обрыва возрастающих матрешек нормальных ПОдгрупп (условию Мах-п), если для любой матрешки Н1 < Н2 < Н3 < ... нормальных ПОдгрупп группы С существует такой помер п, что Нп = Нп+1 = ... Следующее утверждение, установленное в [3, теорема 3], дает частичный положительный ответ к гипотезе 1.

О

для каждого внутреннего автоморфизма у группы О класс [в]^ является ОО

Любая конечная группа удовлетворяет условиям М111-11 и Мах-п. Следовательно, из теоремы 13 вытекает, в частности, следующее утверждение, которое положительно решает гипотезу 1 в случае конечных ГруПп.

О

внутреннего автоморфизма у группы О клас с [в]^ является подгруппой ОО

В диссертации изучается связь класса скрученной сопряженности еди-

О

Цель работы. Целью диссертации является исследование свойств различных алгебраических систем, возникающих при решении теоретико-множественного уравнения Янга-Бакстера, а также изучение приложений этих алгебраических систем и решений теоретико-множественного уравнения Янга-Бакстера на этих алгебраических системах в различных областях алгебры и топологии: представления групп кос и групп виртуальных кос, инварианты узлов, виртуальных узлов, узлов с двойными спайками и узлов в линзовых пространствах, аддитивные и мультипликативные группы косых брэйсов, классы скрученной сопряженности в линейных группах. Основные результаты диссертации. 1. Разработан метод мульти-переключателей построения по специальным решениям уравнения Янга-Бакстера представлений групп (виртуальных) кос автоморфизмами алгебраических систем, и инвариантов (виртуальных) зацеплений, которые являются алгебраическими системами.

С помощью этого метода построены новые представления групп (виртуальных) кос автоморфизмами, и новые инварианты (виртуальных) зацеплений.

2. Построен полный инвариант для зацеплений с двойными спайками.

А

типликативная группа А0 ннльпотентна ступени к, то аддитивная группа Аф разрешима ступени не выше 2к.

С

Ап, Вп, Сп, Оп над алгебраически замкнутым полем Г характеристики ноль, то С обладает свойством Ято тогда и только тогда, когда степень трансцендентности Г над 0 конечна.

Научная новизна и значимость работы. Работа носит теоретический характер. Все основные результаты диссертации являются новыми. Полученные результаты и методы могут найти применение в дальнейших исследованиях по теории ГруПп, алгебраической топологии и теории неподвижных точек Нильсена-Райдемайстера. Многие доказанные в диссертации утверждения могут быть включены в спецкурсы для студентов и аспирантов.

Методы исследования. В работе используются методы комбинаторной теории групп, теории линейных групп, универсальной алгебры, маломерной топологии, теории моделей. В ходе работы используются многие классические результаты: при работе с группами (виртуальных) кос и их представлениями используются как представления этих групп при помощи порождающих и соотношений, так и геометрическая интерпретация элементов этих групп, при работе с (виртуальными) узлами и зацеплениями активно используется теорема Райдемайстера, которая описывает диаграммы эквивалентных зацеплений, а также теоремы Александера и Маркова, которые связывают (виртуальные) зацепления с элементами групп кос, при работе с автоморфизмами групп Шевалле активно используется теорема Стейнберга о строении групп автоморфизмов группы Шевалле над полями и ее аналоги для групп Шевалле над различными кольцами. Кроме того, в работе используются оригинальные методы, разработанные автором.

Апробация. Результаты диссертации докладывались на международной молодежной школе-конференции «Алгоритмические вопросы теории групп и смежных областей» (2016, Новосибирск, Россия), международной школе-конференции «Graphs and groups, spectra and symmetries» (2016, Новосибирск, Россия), международной конференции «Nielsen theory and related topics» (2016, Рио Кларо, Бразилия), международной школе-конференции «Groups and graphs, metrics and manifolds» (2017, Екатеринбург, Россия), международной конференции по теории групп «Groups St Andrews 2017 in Birmingham» (2017, Бирмингем, Великобритания), седьмой международной восточноазиатской конференции по алгебраической топологии ЕАСАТ7 (2017, Мохали, Индия), международной конференции, посвященной семидесятилетию дипломатических отношений между Индией и Россией (2017, Мохали, Индия), международной конференции «Мальцев-ские чтения» (2017, 2018, 2021, Новосибирск, Россия), международной конференции «Braid groups, configuration spaces and homotopy theory» (2018, Сальвадор, Бразилия), международной школе-конференции «Graphs and groups, representations and relations» (2018, Новосибирск, Россия), международной конференции «Zeta functions of groups and dynamical systems» (2018, Дюссельдорф, Германия), международной конференции «Rings and associated structures» (2019, Спа, Бельгия), международной конференции «Nielsen theory and related topics in Kortrijk» (2019, Кортрейк, Бельгия), онлайн конференции «Conference on Physical Knotting, Vortices and Surgery in Nature», международной конференции «Дни геометрии в Новосибирске» (2020, 2021, Новосибирск, Россия), международной конференции «Groups and quandles in low-dimensional topology» (2020, Томск, Россия) а также на семинаре «Теория групп» Института математики им. С. Л. Соболева, семинаре по теории колец им. А. И. Ширшова Института математики им. С. Л. Соболева, семинаре «Эварист Галуа» Новосибирского государственного университета, топологическом семинаре университета Болоньи (Ита-

лия), семинаре аспирантов университета Франш-Комте (Франция), семинаре «Knot theory» университета Женевы (Швейцария), семинаре исследовательской группы алгебраической топологии и теории групп Католического Университета Левена (Бельгия), семинаре «Algebra and geometry» университета Сан-Паулу (Бразилия), семинаре «Seminario do DMAT-UFBA» университета Сальвадора (Бразилия), семинаре «Seminar Oberseminar Gruppen und Geometrie» университета Билефельда (Германия) и математическом семинаре Индийского Института науки, образования и исследований Мохали (Индия).

Публикации. Результаты автора по теме диссертации опубликованы в виде 12 статей [4,39,40,54,66,82,113-118]. Результаты работ [113-118] получены автором самостоятельно, результаты работ [4,39,40] получены в неразделимом соавторстве с В. Г. Бардаковым (ИМ СО РАН), результаты работы [81] получены в неразделимом соавторстве с Д. Гонзалвесом (Университет Сан Паулу, Бразилия), результаты работы [54] получены в неразделимом соавторстве с А. Каттабрига (Университет Болоньи, Италия), и результаты работы [66] получены в неразделимом соавторстве с А. Л. Фель-штыным (Университет Щецина, Польша).

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из восьми глав, включая введение, и списка литературы. Главы разбиты на разделы, разделы на подразделы. Все нумеруемые сущности разбиты на категории: определение, пример, предложение, лемма, теорема, следствие, вопрос, гипотеза. Для утверждений из каждой категории ведется своя сквозная нумерация. Диссертация содержит 55 рисунков и изложена на 321 странице. Список литературы содержит 138 наименований.

Благодарности. Я выражаю искреннюю благодарность своему научному консультанту Валерию Георгиевичу Бардакову за неизменную всестороннюю помощь и поддержку. Его вклад в мое развитие как математика, а также постоянная поддержка неоценимы. Я также искренне благодарю

Евгения Петровича Вдовина за регулярную помощь и консультации в ходе выполнения работы, а также за увлекательные беседы о математике в целом. Большая часть работы была выполнена во время моей стажировки в университете Болоньи (Италия) и Католическом университете Левена (Бельгия), и я благодарен этим университетам, всем сотрудникам и студентам кафедр алгебры, геометрии и топологии этих университетов и, особенно, профессору М. Мулацани (университет Болоньи) и профессору К. Декимпе (Католический университет Левена) за их помощь и поддержку. Я также признателен всем сотрудникам лаборатории теории групп Института математики им. С. Л. Соболева и кафедры алгебры и логики Новосибирского государственного университета. Присущая этим коллективам творческая и благожелательная атмосфера располагает к плодотворной научной деятельности.

Список литературы диссертационного исследования доктор наук Насыбуллов Тимур Ринатович, 2022 год

Литература

1. Э. Артин. Геометрическая алгебра. - М.: Наука. - 1969.

2. В. Г. Бардаков, Ю. В. Михальчишииа, М. В. Негцадим. Группы виртуальных зацеплений // Сиб. мат. журн. - Т. 58, № 5. - 2017. - С. 989 1003.

3. В. Г. Бардаков, Т. Р. Насыбуллов, М. В. Нещадим. Классы скрученной сопряженности единичного элемента // Сиб. мат. журн. - Т. 54, № 1. - 2013. - С. 20-34.

4. В. Бардаков, Т. Насыбуллов. Мультп-переключателп, представления виртуальных кос и инварианты виртуальных узлов // Алгебра и Логика - Т. 59, № 4. - 2020. - С. 500-506.

5. К. С. Браун. Когомологии групп. - М.: Наука. - 1987.

6. В. А. Васильев. Топология дополнений к дискриминантам. - М.: Фазис. - 1997.

7. В. В. Воеводин. Вычислительные основы линейной алгебры. М.: Наука. - 1977.

8. Д. В. Горковец. Дистрибутивные группоиды для узлов в проективном пространстве // Вестник ЧелГУ. - Т. 10. - 2008. - С. 89-93.

9. Ю. В. Дроботухина. Аналог полинома Джонса для зацеплений вКР3 и обобщение теоремы Кауффмана-Мурасуги // Алгебра и анализ. -Т. 2, № 3. - 1991. - С. 613-630.

10. Ж. Дьедонне. Геометрия классических групп. М.: Мир. - 1974.

11. Ю. Л. Ершов, Е. А. 11апо! ин. Математическая логика. - М.: Наука. -1987.

12. М. И. Каргаполов, Ю. И. Мерзляков. Основы теории групп. - М.: Наука. - 1982.

13. А. А. Кириллов. Элементы теории представлений. - М.: Наука. - 1978.

14. Коуровская тетрадь. Нерешенные вопросы теории ГруПп. Под ред.

B. Д. Мазурова и Е. И. Хухро // 13-е изд. - 2018. - Новосибирск: Институт математики им. С. Л. Соболева.

15. В. М. Левчук. Связи унитреугольной группы с некоторыми кольцами. II. Группы автоморфизмов // Сиб. мат. жури. - Т. 24, № 4. - 1983. -

C. 543-557.

16. С. Лен г. Алгебра. - М.: Мир. - 1968.

17. В. Магнус, А. Каррас, Д. Солитэр. Комбинаторная теория групп. Представление групп в терминах образующих и определяющих соотношений. - М.: Наука. - 1974.

18. В. О. Мантуров. Инварианты виртуальных зацеплений // Докл. РАН.

- Т. 384, № 1. - 2002. - С. 11-13.

19. А. А. Марков. О свободной эквивалентности замкнутых кос // Матем. сб. - Т. 1, № 43. - 1936. - С. 73-78.

20. С. В. Матвеев. Дистрибутивные группоиды в теории узлов // Матем. сб. - Т. 119(161), № 1(9). - 1982. - С. 78-88.

21. Т. Р. Насыбуллов. Классы скрученной сопряженности в общей и специальной линейных группах // Алгебра и Логика. - Т. 51, №3. - 2012.

- С. 331-346.

22. Т. Р. Насыбуллов. Классы скрученной сопряженности в группах Ше-валле // Алгебра и Логика. - Т. 53, № 6. - 2014. - С. 735-763.

23. В. Л. Нисневич. О группах изоморфно представимых матрицами над коммутативным полем // Мат. сб. - Т. 8, № 3. - 1940. - С. 405-422.

24. В. В. Прасолов, А. Б. Сосинский. Узлы, зацепления, косы и трехмерные многообразия. - М.: МЦНМО. - 1997.

25. Р. Стейнберг. Лекции о группах Шевалле. - М.: Мир. - 1975.

26. А. Л. Фельштын. Число Райдемайстера любого автоморфизма громов-ской гиперболической группы бесконечно // Зап. научн. сем. ПОМИ.

- Т. 279. - 2001. - С. 229-240.

27. Дж. Хамфри. Линейные алгебраические группы. - М.: Наука. - 1980.

28. Дж. Хамфрпс. Введение в теорию алгебр Ли и их представлений. -М.: МЦНМО. - 2003.

29. М. Albar, D. Johnson. The centre of the circular braid group // Math. Jpn. - V. 30. - 1985. - P. 641-645.

30. J. W. Alexander. A lemma on systems of knotted curves // Proc. Natl. Acad. Sci. USA. - V. 9, № 3. - 1923. - P. 93-95.

31. E. Artin. Theorie der Zopfe // Abh. Math. Sem. Hamburg Univ. - V. 4.

- 1925. - P. 47-72.

32. B. Audoux, P. Bellingeri, J.-B. Meilhan, E. Wagner. Extensions of some classical local moves on knot diagrams // Michigan Math. J. - V. 67, № 3.

- 2018. - P. 647-672.

33. K. Baker, J. Grigsby, M. Hedden. Grid diagrams for lens spaces and combinatorial knot Floer homology // Int. Math. Res. Not. IMRN - № 10.

- 2008.

34. V. Bardakov. The virtual and universal braids // Fundamenta Mathematicae. - V. 184, № 1. - 2004. - P. 1-18.

35. V. Bardakov. Extending representations of braid groups to the automorphism groups of free groups // J. Knot Theory Ramifications. - V. 14, № 8. - 2005. - P. 1087-1098.

36. V. Bardakov, P. Bellingeri. Combinatorial properties of virtual braids // Topology Appl. - V. 156, № 6. - 2009. - P. 1071-1082.

37. V. Bardakov, P. Bellingeri, C. Damiani. Unrestricted virtual braids, fused links and other quotients of virtual braid groups // J. Knot Theory Ramifications. - V. 24, № 12. - 2015.

38. V. Bardakov, Yu. Mikhalchishina, M. Neshchadim. Representations of virtual braids by automorphisms and virtual knot groups // J. Knot Theory Ramifications. - V. 26, № 1. - 2017.

39. V. Bardakov, T. Nasybullov. Embeddings of quandles into groups // J. Algebra Appl. - V. 19, № 7. - 2020.

40. V. Bardakov, T. Nasybullov. Multi-switches and virtual knot invariants // Topology Appl. - V. 293. - 2021.

41. R. Baxter. Partition function of the eight-vertex lattice model // Ann. Physics. - V. 70. - 1972. - P. 193-228.

42. R. Baxter. Exactly solved models in statistical mechanics. - Academic Press, Inc., London. - 1982.

43. S. Bigelow. The Burau representation is not faithful for n > 5 // Geom. Topology. V. 3. 1999. - P. 397-404.

44. S. Bigelow. Braid groups are linear //J. Amer. Math. Soc. - V. 14, № 2. - 2001. - P. 471-486.

45. J. Birman. Braids, links, and mapping class groups, Annals of Math. Studies 82, Princeton University Press, 1974.

46. H. Boden, E. Dies, A. Gaudreau, A. Gerlings, E. Harper, A. Nicas. Alexander invariants for virtual knots //J. Knot Theory Ramifications. -V. 24, № 3. - 2015.

47. D. Buck, M. Mauricio. Connect sum of lens spaces surgeries: application to Hin recombination // Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. - V. 150. -2011. - P. 505-525.

48. W. Burau. Uber Zopfgruppen und gleichsinnig verdrillte Verkettungen // Abh. Math. Semin. Hamburg Univ. - V. 11. - 1936. - P. 179-186.

49. N. Byott. Solubility criteria for Hopf-Galois structures // New York J. Math. - V. 21. - 2015. - P. 883-903.

50. R. W. Carter. Simple groups of Lie type. - Wiley, London et al. - 1989.

51. A. Cattabriga, E. Manfredi, M. Mulazzani. On knots and links in lens spaces // Topology Appl. - V. 160. - 2013. - P. 430-442.

52. A. Cattabriga, E. Manfredi, L. Rigolli. Equivalence of two diagram representations of links in lens spaces and essential invariants // Acta Math. Hungar. - V. 146, № 1. - 2015. - P. 168-201.

53. A. Cattabriga, E. Manfredi. Diffeomorphic vs isotopic links in lens spaces // Mediterr. J. Math. - V. 15, № 4. - 2018.

54. A. Cattabriga, T. Nasybullov, Virtual quandle for links in lens spaces // Rev. R. Acad. Cienc. Exactas Fis. Nat. Ser. A Mat. RACSAM. - V. 112, № 3. - 2018. - P. 657-669.

55. F. Cedo, E. Jespers, J. Okniriski. Braces and the Yang-Baxter Equation // Commun. Math. Phys. - V 327. - 2014. - P. 101-116.

56. F. Cedo, A. Smoktunowicz, L. Vendramin. Skew left braces of nilpotent type // Proc. London Math. Soc. - V. 118, № 3. - 2019. - P. 1367-1392.

57. M. Choi, Z. Huang, C. Li, N. Sze. Every invertible matrix is diagonally equivalent to a matrix with distinct eigenvalues // Linear Algebra Appl. - V. 436, № 9. - 2012. - P. 3773-3776.

58. E. Clark, M. Saito, L. Vendramin. Quandle coloring and cocycle invariants of composite knots and abelian extensions //J. Knot Theory Ramifications. - V. 25, № 5. - 2016.

59. C. Cornwell. A polynomial invariant for links in lens spaces //J. Knot Theory Ramifications. - V. 21. - 2012.

60. C. G. Cox. Twisted conjugacy in Houghton's groups // J. Algebra. -V. 490. - 2017. - P. 390-436.

61. A. Crans, A. Henrich, S. Nelson. Polynomial knot and link invariants from the virtual biquandle //J. Knot Theory Ramifications. - V. 22, № 4. -

2013.

62. K. Dekimpe, D. Gongalves. The RTO-property for free groups, free nilpotent groups and free solvable groups // Bull. Lond. Math. Soc. - V. 46, № 4. -

2014. - P. 737-746.

63. V. Drinfel'd. On some unsolved problems in quantum group theory, Quantum groups (Leningrad, 1990), 1-8, Lecture Notes in Math., 1510, Springer, Berlin, 1992.

64. G.-J. Dugardein. Nielsen fixed and periodic point theory on infra-nilmanifolds. - PhD thesis, KU Leuven. - Aug. 2016.

65. A. Fel'shtyn, E. Troitsky. Twisted Burnside-Frobenius theory for discrete groups //J. reine angew. Math. - V. 614. - 2007. - P. 193-210.

66. A. Fel'shtyn, T. Nasybullov. The and properties for linear algebraic groups // J. Group Theory. - V. 19, № 5. - 2016. - P. 901-921.

67. A. Fel'shtyn, E. Troitsky. Aspects of the property //J. Group Theory.

- V. 18, № 6. - 2015. - P. 1021-1034.

68. A. Fel'shtyn, R. Hill. The Reidemeister zeta function with applications to Nielsen theory and a connection with Reidemeister torsion // K-Theory.

- V. 8, № 4. - 1994. - P. 367-393.

69. A. Fel'shtyn, D. Goncalves. Reidemeister numbers of any automorphism of Baumslag-Solitar group is infinite // Geometry and Dynamics of Groups and Spaces, Progress in Mathematics. - V. 265. - 2008. - P. 286-306.

70. A. Fel'shtyn, Yu. Leonov, E. Troitsky. Twisted conjugacy classes in saturated weakly branch groups // Geom. Dedicata. - V. 134. - 2008.

- P. 61-73.

71. R. Fenn, M. Jordan-Santana, L. Kauffman. Biquandles and virtual links // Topology Appl. - V. 145, № 1-3. - 2004. - P. 157-175.

72. R. Fenn, R. Rimanyi, C. Rourke. The braid-permutation group // Topology. - V. 36, № 1. - 1997. - P. 123-135.

73. R. Fenn, C. Rourke. Racks and links in codimension two //J. Knot Theory Ramifications. - V. 1, № 4. - 1992. - P. 343-406.

74. A. Fish, E. Keyman. Classifying links under fused isotopy //J. Knot Theory Ramifications. - V. 25, № 7. - 2016.

75. B. Gabrovsek, E. Manfredi. On the Seifert fibered space link group // Topology Appl. - V. 206. - 2016. - P. 255-275.

76. B. Gabrovsek, E. Manfredi. On the KBSM of links in lens spaces //J. Knot Theory Ramifications. - V. 27, № 3. - 2018.

77. W. Gaschütz. Kohomologische Trivialitäten und äussere Automorphismen von pGruppen // Math. Z. - V. 88. - 1965. - P. 432-433.

78. B. Gassner. On braid groups // Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg. - V. 25.

- 1961. - P. 10-22.

79. M. Golasinski, D. Gongalves. On automorphisms of split metacyclic groups // Manuscripta Math. - V. 128, № 2, - 2009. - P. 251-273.

80. D. Gongalves, P. Wong. Twisted conjugacy classes in nilpotent groups // J. Reine Angew. Math. - V. 633. - 2009. - P. 11-27.

81. D. Gongalves, P. Sankaran. Twisted conjugacy in PL-homeomorphism groups of the circle // Geom. Dedicata. - V. 202. - 2019. - P. 311-320.

82. D. Gongalves, T. Nasybullov. On groups where the twisted conjugacy class of the unit element is a subgroup // Comm. Algebra. - V. 47, № 3. - 2019.

- P. 930-944.

83. M. Goussarov, M Polyak, O. Viro. Finite-type invariants of classical and virtual knots // Topology. - V. 39, № 5. - 2000. - P. 1045-1068.

84. L. Guarnieri, L. Vendramin. Skew braces and the Yang-Baxter equation // Math. Comp. - V. 86, № 307. - 2017. - P. 2519-2534.

85. J. Hietarinta. All solutions to the constant quantum Yang-Baxter equation in two dimensions // Phys. Lett. A. - V. 165, № 3. - 1992. - P. 245-251.

86. J. Hoste, J. Przytycki. The (2, TO))-skein module of lens spaces, a generalization of the Jones polynomial //J. Knot Theory Ramifications.

- V. 2. - 1993. - P. 321-333.

87. J. E. Humphreys. On the automorphisms of infinite Chevalley groups // Canad. J. Math. - V. 21. - 1969. - P. 908-911.

88. D. Ilyutko, V. Manturov. Virtual knots: The state of the art. - World Scientific Publishing Co, Singapore. - 2013.

89. D. Joyce. A classifying invariant of knots, the knot quandle //J. Pure Appl. Algebra. - V. 23. - 1982. - P. 37-65.

90. Z. Kadar, P. Martin, E. Rowell, Z. Wang. Local representations of the loop braid group // Glasgow Math. J. - V. 59. - 2017. - P. 359-378.

91. S. Kamada. Braid presentation of virtual knots and welded knots // Osaka J. Math. - V. 44, № 2. - 2007. - P. 441-458.

92. S. Kamada. Invariants of virtual braids and a remark on left stabilisations and virtual exchange moves // Kobe J. Math. - V. 21. - 2004. - P. 33-49.

93. T. Kanenobu. Forbidden moves unknot a virtual knot //J. Knot Theory Ramifications. - V. 10, № 1. - 2001. - P. 89-96.

94. L. Kauffman, S. Lambropoulou. Virtual braids // Fund. Math. - V. 184.

- 2004. - P. 159-186.

95. L. Kauffman, S. Lambropoulou. TheL-Move and virtual braids //J. Knot Theory Ramifications. - V. 15, № 6. - 2006. - P. 773-811.

96. L. Kauffman. Virtual knot theory // Eur. J. Comb. - V. 20. - 1999. -P. 663-690.

97. L. Kauffman, S. Lambropoulou. Virtual braids // Fund. Math. - V. 184.

- 2004. - P. 159-186.

98. L. Kauffman, S. Lambropoulou. Virtual braids and theL-move //J. Knot Theory Ramifications. - V. 15, № 6. - 2006. - P. 773-811.

99. R. Kent, D. Peifer. A geometric and algebraic description of annular braid groups // J. Algebra Comput. - V. 12, № 1-2. - 2002. - P. 85-97.

100. K. Knudson. On the kernel of the Gassner representation // Arch. Math.

- V. 85, № 2. - 2005. - P. 108-117.

101. D. Krammer. Braid groups are linear // Ann. of Math. - V. 155, № 1. -2002. - P. 131-156.

102. S. Lambropoulou, C. Rourke. Markov's theorem in 3-manifolds // Topology Appl. - V. 78. - 1997. - P. 95-122.

103. R. Lawrence. Homological representations of the Hecke algebra // Comm. Math. Phys. - V. 135, № 1. - 1990. - P. 141-191.

104. G. Levitt, M. Lustig. Most automorphisms of a hyperbolic group have very simple dynamics // Ann. Scient. Ec. Norm. Sup. - V. 33. - 2000. -P. 507-517.

105. G. Levitt. On the automorphism group of generalised Baumslag-Solitar groups // Geom. Topol. - V. 11. - 2007. - P. 473-515.

106. D. D. Long, M. Paton. The Burau representation is not faithful forn > 6 // Topology. - V. 32, № 2. - 1993. - P. 439-447.

107. A. Mahalanobis. The automorphism group of the group of unitriangular matrices over a field // Int. J. Algebra. - V. 7, № 13-16. - 2013. - P. 723733.

108. E. Manfredi. Lift in the 3-sphere of knots and links in lens spaces //J. Knot Theory Ramifications. - V. 23, № 5. - 2014.

109. V. Manturov. On invariants of virtual links // Acta Appl. Math. - V. 72, № 3. - 2002. - P. 295-309.

110. T. Mubeena, P. Sankaran. Twisted conjugacy classes in abelian extensions of certain linear groups // Canad. Math. Bull. - V. 57, № 1. - 2014. -P. 132-140.

111. T. Mubeena, P. Sankaran. Twisted conjugacy and quasi-isometric rigidity of irreducible lattices in semisimple Lie groups // Indian J. Pure Appl. Math. - V. 50, № 2. - 2019. - P. 403-412.

112. J. A. Moody. The Burau representation of the braid group Bn is unfaithful for large n // Bull. Amer. Math. Soc. - V. 25, № 2. - 1991. - P. 379-384.

113. T. Nasybullov. The RTO-property for Chevalley groups of types B/5 C/, D over integral domains //J. Algebra. - V. 446. - 2016. - P. 489-498.

114. T. Nasybullov. Twisted conjugacy classes in unitriangular groups // J. Group Theory. - V. 22, № 2. - 2019. - P. 253-266.

115. T. Nasybullov. Reidemeister spectrum of special and general linear groups over some fields contains 1 // J. Algebra Appl. - V. 18, № 8. - 2019.

116. T. Nasybullov. Chevalley groups of types Bn, Cn, Dn over certain fields do not possess the RTO-property // Topol. Methods Nonlinear Anal. - V. 56, № 2. - 2020. - P. 401-417.

117. T. Nasybullov. Connections between properties of the additive and the multiplicative groups of a two-sided skew brace //J. Algebra. - V. 540. -2019. - P. 156-167.

118. T. Nasybullov. Classification of fused links // J. Knot Theory Ramifications. - V. 25, № 14. - 2016.

119. J. Nielsen. Untersuchungen zur Topologie der geschlossenen zweiseitigen Flachen I // Acta Math. - V. 50. - 1927. - P. 189-358.

120. J. Nielsen. Untersuchungen zur Topologie der geschlossenen zweiseitigen Flachen II // Acta Math. - V. 53. - 1929. - P. 1-76.

121. J. Nielsen. Untersuchungen zur Topologie der geschlossenen zweiseitigen Flachen III // Acta Math. - V. 58. - 1932. - P. 87-167.

122. L. Rabenda. Mémoire de DEA (Master thesis). - Université de Bourgogne. - 2003.

123. K. Reidemeister. Automorphismen von Homotopiekettenringen // Ann. Math. - V. 112. - 1936. - P. 586-593.

124. D. J. S. Robinson. A course in the theory of groups. Second edition. -Springer-Verlag, New York. - 1996.

125. V. Roman'kov. Twisted conjugacy classes in nilpotent groups // J. Pure Appl. Alg. - V. 215, № 4. - 2011. - P. 664-671.

126. W. Rump. Braces, radical rings, and the quantum Yang-Baxter equation // J. Algebra. - V. 307, № 1. - 2007. - P. 153-170.

127. W. Rump. Modules over braces // Algebra Discrete Math. - № 2. - 2006. - P. 127-137.

128. D. Silver, S. Williams. Alexander groups and virtual links //J. Knot Theory Ramifications. - V. 10, № 1. - 2001. - P. 151-160.

129. A. Smoktunowicz, L. Vendramin. On skew braces (with an appendix by N. Byott and L. Vendramin) //J. Comb. Algebra. - V. 2, № 1. - 2018. -P. 47-86.

130. R. Steinberg. Automorphisms of finite linear groups // Canad. J. Math. -V. 121. - 1960. - P. 606-615.

131. R. Steinberg. Endomorphisms of Linear Algebraic Groups. - Memoirs of AMS. - V. 80. - 1968.

132. S. Stevan. Torus knots in lens spaces and topological strings // Ann. Henri Poincare. - V. 16, № 8. - 2015. - P. 1937-1967.

133. C. Tsang, Q. Chao. On the solvability of regular subgroups in the holomorph of a finite solvable group // Internat. J. Algebra Comput. -V. 30, № 2. - 2020. - P. 253-265.

134. V. Turaev. The Yang-Baxter equation and invariants of links // Invent Math. - V. 92, № 3. - 1988. - P. 527-553.

135. V. Vershinin. On homology of virtual braids and Burau representation // J. Knot Theory Ramifications - V. 10, N. 5. - 2001. - P. 795-812.

136. P. B. Yale. Automorphisms of the complex numbers // Math. Mag. -V. 39, №. 3. - 1966. - P. 135-141.

137. C. Yang. Some exact results for the many-body problem in one dimension with repulsive delta-function interaction // Phys. Rev. Lett. - V. 19. -1967. - P. 1312-1315.

138. H. Zassenhaus. The theory of groups. - Chelsea, New York. - 1958.