Многокомпонентные зацепления, свободные зацепления и обобщенная алгебра Конвея тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.04, кандидат наук Ким Сончжон

• Ким Сончжон
• кандидат наук
• 2018

Оглавление диссертации кандидат наук Ким Сончжон

Оглавление

1 Введение

2 Инвариант кос, который строится с помощью групп О? и О?

2.1 Основные понятия

2.2 Инвариант для свободных зацеплений со значением в О?

2.2.1 Диаграммы свободных зацеплений без чистых перекрестков

2.2.2 Инвариант свободнных зацеплений со значением в свободном произведении нескольких экземпляров группы Ъ2

2.3 Инвариант со значением в группе О? с четностью и с точками

2.3.1 Группа О? с дополнительными структурами

2.3.2 Связь между группами О? 3 и 0^+1

2.4 Инвариант крашеных кос со значением О? р и О? ^ и брунновы косы

2.4.1 Брунновы косы из РВп и брунновы элементы из ОП

2.4.2 Индексы для образующих из ОП и ОП

2.4.3 Отображение из О:П+1 в О?р

3 Алгебра Конвея

3.1 Алгебра Конвея и инвариант ориентированных классических зацеплений со значением в алгебре Конвея

3.2 Обобщенная алгебра Конвея и инвариант со значением в обобщенной алгебре Конвея

Глава

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Многокомпонентные зацепления, свободные зацепления и обобщенная алгебра Конвея»

Введение

Актуальность и история

В 2014-ом году в работе [19] В.О.Мантуровым определены группы СП для пар целых чисел п и к таких, что п > к, и сформулирован следующий принцип: если для динамик движения п точек имеется хорошее свойство коразмерности один, регулируемое к точками, то такие динамики допускают естественный топологический инвариант со значениями в группах Скп. В работе [24] В.О.Мантуров и И.М.Никонов построили первые явные примеры, отвечающие движениям точек на плоскости для к = 3 и к = 4, приводящие к гомоморфизмам из группы РВП крашеных кос из п нитей в группы О'П и СП. Если рассматривать движение п попарно различных точек на плоскости и свойство "некоторые три точки лежат на одной прямой", то мы получим гомоморфизм из группы РВп крашеных кос из п нитей в группу О'П. Если рассматривается свойство "некоторые четыре точки лежат на одной окружности или прямой", то получается гомоморфизм из группы РВп крашеных кос из п нитей в группу СП. Авторами построено отображение из группы СП в свободное произведение нескольких экземпляров группы Ъ2. Композицией этих отображений получен инвариант крашеных кос со значением в свободном произведении нескольких экземпляров группы Ъ2. Его просто вычислять и с ним удобно работать. В работе [23] В.О.Мантуровым построен гомоморфизм из фундаментальной группы усеченного конфигурационного пространства (к — 1)-мерного евклидова пространства в

группу СП.

Брунновой косой в из п нитей называется крашеная коса в такая, что любая коса, полученная из косы в удалением любой одной нити, является тривиальной косой. Брунновы косы тесно связаны с различными проблемами в геометрии, топологии, криптографии, и в особенности, с гомотопическими группами сфер, [4], [5], [6].

С другой стороны после открытия понятия «четность» в работе [20] В.О.Мантуровым были резко усилены инварианты виртуальных зацеплений: построены новые инварианты виртуальных узлов и близких к ним объектов со значениями в «картинках». В работе [21] построена проекция с виртуальных узлов на классические узлы посредством четности и доказано, что классические узлы вкладываются в виртуальные узлы. В работе [22] постро-

ен инвариант свободных узлов со значением на диаграммном уровне — скобка четности (свободный узел - резкое упрощение виртуального узла; долгое время думали, что все свободные узлы тривиальны), и сформулирован следующий принцип: если свободный узел достаточно сложен, то он реализует сам себя. В работе [8] Д.А.Федосеев и В.О.Мантуров применяли четность в случае классических кос из п нитей. Авторами было показано, что четность для классических кос можно определять посредством формально геометрического понятия — количества точек на нитях.

Полином Джонса, построенный Джонсом в 1984-ом году [11], является инвариантом классических ориентированных зацеплений со значением в алгебре полиномов Лорана. Он определяется посредством следа Маркова, определенного в алгебре Темперли-Либа [11]. Полином Джонса может быть вычислен также с помощью скобки Кауфмана[15]. С помощью скобки Кауфмана раскрывается взаимосвязь между теорией узлов и статической механикой и строится инвариант трехмерных многообразий.

В работе [9] Фрейдом, Йеттером, Госте, Ликоришем, Миллетом и Йоконумой и в работе [27] Пржитицкий и Трачиком был построен инвариант классических ориентированных зацеплений со значением в алгебре полиномов Лорана от двух переменных, называемый полиномом НошАур1. Полином Иошйур1 является сильным инвариантом классических ориентированных зацеплений и является обобщением не только полинома Джонса, но и полинома Александера[1]. Полином Иошйур1 строится с помощью следа Окнеану т, определенного в алгебре Ивахори-Гекке типа А [12]. Он может быть построен посредством так называемого скейн-соотношения.

С другой стороны, в работе [27] Пржитицкий и Трачик построили алгебраическую структуру, называемую алгеброй Конвея, с бинарными операциями о и /. Авторы построили инвариант ориентированных классических зацеплений со значением в алгебре Конвея, удовлетворяющий скейн-соотношению, полученному посредством бинарных операций о и /; в частности, полином Иошйур1 является частым случаем инварианта со значением в алгебре Конвея.

В 1960-ом году в работе [31] Т. Йоконума построил новую алгебру, являющуюся обобщением алгебры Ивахори-Гекке типа А применением группы Шевалле. Она называется алгеброй Йоконумы-Гекке Уп,а(я). В работе [13] Х. Хуйумайи определены след Маркова Ьга на Уп,а(я) и инвариант оснащенных зацеплений посредством алгебры Йоконумы-Гекке

Но в работе [14] указано, что невозможно переписать ¿г^ способом, который был бы инвариантен как относительно положительной, так и относительно отрицательной стабилизации кос, аналогично следу Окнеану и полиному Иошйур1.

В работе [3] Хлувераки, Хуйумайя, Карвунис, Ламбропулу и Ликориш показали, что для ориентированного классического узла полином Иошйур1 может получен из инварианта ориентированных классических зацеплений, полученного из следа Маркова ¿г^ на Уп,а(я), подстановкой. Доказано, что у этого многочлена в разных случаях имеют место разные скейн-соотношения. На основе этих наблюдений авторы обобщили полином Иошйур1 до инварианта классических зацеплений со значением в алгебре полиномов Ло-

рана от трех переменных. В частности, их инвариант со значением в алгебре полиномов Лорана от трех переменных удовлетворяет формуле Ликориша. В работе [16] Кауфман и Ламбропулу обобщили полином Иошйур1 до инварианта со значением в полиномах от четырех переменных. В частности, их инвариант со значением в полиномах от четырех переменных удовлетворяет формуле Ликориша.

Заметим, что полином Иошйур1 был построен посредством скейн-соотношения в 1987-ом году, а затем математики не задумывались о том, что можно использовать и применять разные скейн-соотношения вместе к перекресткам разного вида. Далее в 2017-ом году Кауфман и Ламбропулу построили инвариант зацеплений со значением в алгебре полиномов Лорана применением разных скейн-соотношений к перекресткам разного вида, и диссертант строит инвариант зацеплений с двумя разными скейн-соотношениями.

Цель диссертационной работы

Диссертационная работа состоит из введения и двух глав.

Во введении освящены история вопроса, цель и результаты исследования и метод исследования.

Целью главы 2 являются обсуждение и обобщение инварианта крашеных кос, введенного в [24]. Вначале инвариант, построенный в [24], обобщен крашеных кос до инварианта так называемых хороших свободных п — п танглов без чистых перекрестков. Затем диссертантом указаны некоторые недостатки инварианта крашеных кос, введенного в [24], и он усилен с помощью групп 02п с дополнительными структурами — четностью и точками на нитях.

Целью главы 3 являются исследование алгебраической структуры, так называемой алгебры Конвея, которая приводит к инвариантам зацеплений со значением в алгебре полиномов Лорана, и построение более сильной алгебраической структуры, являющейся обобщением алгебры Конвея. Построен инвариант классических зацеплений со значением в обобщенной алгебре Конвея, для которого имеют место два разные скейн-соотношения для перекрестков разного вида. Посредством обобщенного инварианта могут быть приведены более тонкие инварианты классических зацеплений.

Полученные в главе 2 результаты относятся к группам классических кос, но могут быть также применены для изучения различных конфигурационных пространств. Аналогично они относятся к группам СП. Полученные в главе 3 результаты могут быть полезны при решении задач про распознавания многокомпонентных зацеплений, не различаемых полиномиальными инвариантами, а также при исследовании структур неассоциативных алгебр, близких к структуре алгебры Конвея.

Научная новизна

Основные результаты диссертационной работы состоят в следующем.

1. Построен инвариант свободных п — п танглов со значением в свободном произведении нескольких экземпляров группы (лемма 2.2.7).

2. Определены группа 02п р с четностью и группа 02п л с точками. Исследованы связи

между группой G2, группой G2np с четностью и группой G2n d с точками (лемма 2.3.2, теорема 2.3.7 и лемма 2.3.8).

3. Построено отображение из группы G2n p в свободное произведение нескольких экземпляров группы Z2 (лемма 2.4.12) с целью усиления инварианта крашеных кос, введенного в [24]. Определены группа G2 p с четностью и отображение из группы G2+1 в группу G2p (лемма 2.4.19). Построено отображение из группы G2p в свободное произведение нескольких экземпляров группы Z2 (лемма 2.4.20).

4. Самым главным результатом диссертации является следующий. Построено обобщение алгебры Конвея такое, что инвариант зацеплений со значением в ней имеет два разные скейн-соотношения, применяемые к перекресткам разных видов (теорема 3.2.3). Диссертантом приведен инвариант классических зацеплений со значением в обобщенной алгебре Конвея, имеющий два скейн-соотношения нелинейного вида (пример 3.2.6).

Теоретическая и практическая значимость

Работа носит теоретический характер. Полученные результаты в первой части могут быть полезны при исследовании различных конфигурационных пространств, в особенности, для конфигурационных пространств для двумерных поверхностей. Полученные результаты во второй части могут быть полезны при решении задач распознавания ориентированных многокомпонентных зацеплений, не отличаемых друг от друга инвариантами со значением в полиномах. Они также могут быть полезны для изучения проблем тождеств в неассоциативных алгебрах с несколькими операциями, получаемыми обобщениями алгебры Конвея.

В МГУ имени М.В.Ломоносова результаты диссертанта могут быть полезны при обсуждении неассоциативных групп таких, как алгебра Конвея. В МГТУ имени Н.Э.Баумана результаты диссертанта могут быть полезны при обсуждении квантовой теории поля в теоретической физике, так как известно, что полином Джонса и его обобщения тесно связны с квантовой теорией поля [30].

Методология и методы исследования

Результаты были получены с помощью теории четностей, теории свободных танглов, теории групп G2 и теории скейн-соотношений из теории узлов. Были частично использованы теория групп и теория общей алгебры.

Апробация работы

Основные результаты работы докладывались на семинарах и на международных конференциях:

- Семинар «Узлы и теория представлений» под руководством В.О. Мантурова, Д.П. Ильютко, И.М. Никонова и Д.А. Федосеева. (механико-математический факультет « Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова», май и октябрь, 2015);

- Международная конференция «The second China-Russia workshop on Knot theory and

related topics» (НГУ, 2015);

- Семинар «Современные геометрические методы» под руководством А.Т. Фоменко, А.В. Болсинова, А.С. Мищенко, А.А. Ошемкова, Е.А. Кудрявцевы и И.М. Никонова, (механико-математический факультет, «Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова», 2016)

- Семинар «Узлы и теория представлений» под руководством В.О. Мантурова, Д.П. Ильютко, И.М. Никонова и Д.А. Федосеева. (механико-математический факультет «Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова», март и ноябрь 2016);

- Международная конференция «The third China-Russia workshop on Knot theory and related topics» (Сучжоу, Китай, 2016);

- Международная конференция «The 8th TAPU-KOOK Joint Seminar on Knots and Related Topics» (Пусан, Корея, 2016);

- Международная конференция «The fourth Russia-China workshop on Knot theory and related topics» (МГТУ, 2017);

- Семинар «Семинар по теории узлов» под руководством В.О. Мантурова. (МГТУ, 2017);

- Семинар «Дифференциальная геометрия и приложения» под руководством академика РАН А.Т. Фоменко. (механико-математический факультет «Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова», 2018).

Публикации

Материалы диссертации опубликованы в работах [32, 33, 34, 35], из них три статьи ([33, 34, 35]) напечатаны в рецензируемых научных изданиях, индексируемых в базах данных SCOPUS, и одна статья ([32]) напечатана в издании из рекомендованных Минобрнауки РФ.

Структура и объём диссертации

Диссертация состоит из введения, двух глав и библиографии. Общий объём диссертации составляет 92 страниц. Библиография содержит 35 наименований, в число которых включены четыре работы диссертанта по теме диссертации.

Содержание работы

Работа состоит из введения, двух глав и библиографии.

Во введении описываются структура диссертации и история рассматриваемых вопросов, обосновываются актуальность темы и научная новизна полученных результатов, и описываются основные результаты диссертации.

В главе 2 обсуждаются инвариант свободных танглов и инвариант крашеных кос со значением в свободном произведении нескольких экземпляров группы Z2, которые построены посредством группы G2n, группы G^, и группы G2n с дополнительными структурами.

Начинается глава с основных понятий группы G^, группы крашеных (свободных) кос, и свободных танглов. Вводится понятие группы G^.

Группа G^n для пар положительных целых чисел n и к, таких, что n > к, определя-

ется копредставлением с образующими {am | m С {1,..., n}, |m| = k} и со следующими соотношениями:

1. (am)2 = 1 для m С {1, ■ ■ ■ , n}, таких, что |m| = k,

2. amam/ = am/am для m, m' С {1, ■ ■ ■ , n}, таких, что |m П m'| < k — 1,

3. ami ■ ■ ■ amfc+i = amfc+i ■ ■ ■ ami для U = {i1, ■ ■ ■ , ik+1} С {1, ■ ■ ■ , n} и m1 = U\{ii}.

Далее рассматриваются определения (свободных) тангла и (свободных) кос:

Определение. 2.1.2. Диаграммой виртуального тангла называется вложенный в R х R граф, удовлетворяющий следующим свойствам:

1. Все вершины имеют кратность 4 кроме 2n вершин, имеющих кратность 1.

2. Для каждой вершины кратности четыре ребра, инцидентные этой вершине, разбиты на две пары, причем ребра из одной пары называются противоположными. Мы будем изображать противоположные ребра на плоскости под углом п, как изображено на рис. 2.1.

3. Каждая вершина либо имеет информацию «проход/переход», как изображено на рис. 2.2, либо изображается кружочком, как изображено на рис. 2.3. Вершина с информацией «проход/переход» называется классическим перекрестком. Вершина с кружочком называется виртуальным перекрестком.

Допускается также, что диаграмма представляет собой несвязную сумму диаграммы вида, указанного выше, и нескольких окружностей (без вершин и без концевых точек). В этом случае каждая окружность считается единственным (циркулярным) ребром. Если диаграмма состоит лишь из несвязного объединения окружностей, то она называется тривиальной диаграммой танглов без концевых точек (или тривиальной диаграммой зацеплений).

b а

c d

Рис.2.1: Ребра а и с противоположны, а ребра Ь и d противоположны

Определение. 2.1.3. Уникурсальной компонентой (или просто компонентой) диаграммы тангла называется класс эквивалентности набора ребер графа: два ребра е и е' эквивалентны, если существуют набор ребёр е = в1, • • • , ек = е' и набор вершин VI, • • • , ьк-1 кратности 4 (некоторые вершины из них могут совпадать) в графе, такие, что для каждого

Рис.2.2:Классический перекресток Рис.2.3:Виртуальный перекресток

к = 1, • • • ,к — 1 ребра вг, вг+\ являются противоположными в вершине уг. Уникурсаль-ным циклом оснащенного 4-графа с концевыми точками называется уникурсальная компонента такая, что У\ = у^ь Если диаграмма имеет несвязное объединение нескольких компонент-окружностей, то каждая такая компонента-окружность считается уникурсаль-ной компонентой.

Перекресток, образованный разными компонентами, называется смешанным. Перекресток, образованный одной и той же компонентой, называется чистым.

Диграмма тангла с занумерованными компонентами — это диаграмма тангла, в которой уникурсальные компоненты занумерованы. Диаграмма п — п тангла — это диаграмма тангла в М. х [0,1] с концевыми точками {р0, • • • ,рП} в К х {0} и {р^, • • • ,рП} в М. х {1} такой, что каждая компонента имеет одну концевую точку вида р0 и одну концевую точку вида р1. Компонента п — п диаграммы тангла называется нитью.

Определение. 2.1.4. Тангл есть класс эквивалентности диаграмм танглов относительно движений Рейдемейстера для виртуальных танглов, изображенных на рис. 2.4. .Зацеплением называется тангл без концевых точек. п — п танглом называется тангл с концевыми точками {р0, • • • ,рП} в К х {0} и (р\, • • • ,рП} в К х {1} такой, что каждая компонента имеет одну концевую точку вида р0 и одну концевую точку вида р1. Классическим зацеплением называется класс эквивалентности диаграмм танглов без концевых точек и без виртуальных перекрестков относительно движений Рейдемейстера для виртуальных танглов.

(1)

(2)

(3)

(2')

(3')

(3'')

Рис. 2.4: Движения Рейдемейстера для виртуальных танглов

Известно, что для классических зацеплений движения (1), (2) и (3) на рис 2.4, которые называются движениями Рейдемейстера, хватаются. Точнее говоря, имеет место следующая теорема.

Теорема. 2.1.5. [10] Если две диаграммы танглов без концевых точек и без виртуальных перекрестков эквивалентны относительно движений Рейдемейстера для виртуальных танглов, то они эквивалентны относительно движений (1),(2) и (3) на рис 2.4.

Определение. 2.1.6. Диаграммой свободного тангла называется диаграмма тангла без информации «проход/переход». Вершина без кружочка называется перекрестком. Свободный тангл есть класс эквивалентности диаграмм свободных танглов относительно движений Рейдемейстера для свободных танглов, изображенных на рис 2.5, и виртуализации, изобарженной на рис. 2.6. Аналогичным образом определяются свободное зацепление и п — п свободный тангл.

(1)

(2)

(3)

(3')

(3'')

Рис. 2.5: Движения Рейдемейстера для свободных танглов

2

3

о

1

4

4

2

3

1

Рис. 2.6: Виртуализация

Определение. 2.1.7. Диаграмма свободной косы из п нитей — это диаграмма п — п свободного тангла в К х [0,1] со следующими свойствами:

1. Вершины кратности 1 — это точки (г, 0) и (г, 1), г = 1, • • • , п;

2. Нити являются монотонно нисходящими относительно координаты у Е [0,1].

Для диаграммы свободной косы из п нитей если концы (г, 0) и (г, 1) лежат на одной и той же нити для каждого индекса г Е {1, • • • , п}, то эта диаграмма называется крашеной диаграммой свободной косы. Для крашеной косы будем нумеровать нить согласно номеру её конца: так, номер г будут иметь концы (г, 0) и (г, 1).

Определение. 2.1.8. Свободная коса из п нитей есть класс эквивалентности диаграмм свободных кос из п нитей относительно движений Артина для свободных кос, изображенных на рис. 2.7, и виртуализации, изображенной на рис. 2.6.

Рис. 2.7: Движения Артина для свободных кос

Крашеная свободная коса из п нитей определяется классом эквивалентности крашеных диаграмм свободных кос из п нитей относительно движений Артина для свободных кос и виртуализации.

Нетрудно заметить, что перекресток крашеной свободной косы из п нитей, который образован г-ой и ]-ой нитями, отвечает образующей а{г.} группы СП, а движения Артина для свободных кос соответствуют соотношениям группы СП. .

Определение. 2.1.11. [29] Группой РВп крашеных классических кос из п нитей называется группа, заданная копредставлением с образующими {Ь. }1<г<7<п и со следующими соотношениями:

1. Ь.Ьк1 = Ьк1 Ь. для г,к, I Е {1, • • • , п}, таких, что г < ] < к < I или г < к < I < ];

2. ЬуЬгкЬ^ = ЬгкЬ^Ь. = Ь^Ь^Ьц^ для г,к Е {1, • • • , п}, таких, что г < ] < к;

3. ЬгкЬ^Ь^Ь— = Ь.кЬ^Ь^Ьцг для г,к, I Е {1, • • • , п}, таких, что г < ] < к < /. Для различных г,^ таких, что 1 < г,^ < п, положим

п .-1

°г,з = П ГГ аг.1'

г=7+1 г=1

Рассмотрим теперь гомоморфизм из группы РВп крашеных кос из п нитей в группу О'П, построенный В.О.Мантуровым и И.М.Никоновым в работе [24].

Теорема. 2.1.12. [24] Отображение фП : РВП ^ СП, определенное формулой

Фп{Ь^) = ) 1(с^+2) 1 ' ' ' (с^-1) 1 (с^)2Сг,^ -1 ■ ■ ■ с^+2с^+1,

является корректно определенным гомоморфизмом.

Рассматривается отображение из группы СП в свободное произведение Z2 * ■ ■ ■ * Z2 нескольких экземпляров группы Z2, построенный В.О. Мантуровым и И.М. Никоновым в работе [24] следующим образом. Для фиксированного т С {1,... , п}, такого, что |т| = к, и для в из группы СП вхождения образующей ат в слово в соответствуют образующим свободного произведения нескольких экземпляров группы Z2. Композицией отображения фП и отображения из группы О'П в группу Z2 * ■ ■ ■ * Z2 получается инвариант крашеных кос со значением в группе Z2 * ■ ■ ■ * Z2, который мы назовем МН-инвариантом.

В параграфе 2.2.1 рассматривается инвариант [ ■ ] свободных танглов со значением в картинках, определенный следующим образом. Определим эквивалентность = на множестве диаграмм свободных танглов следующим образом: две диаграммы Т и Т' свободных танглов д-эквивалентны, если существует последовательность {Т^П=0 диаграмм свободных танглов такая, что Т0 = Т, ТП = Т', и получена из Т.1 применением одного из движений Рейдемейстера для свободных диаграмм или виртуализации, причем у каждой диаграммы нет чистых перекрестков.

Пусть Т — множество классов эквивалентности диаграмм свободных танглов без чистых перекрестков относительно g-эквивалентности. Рассмотрим линейное пространство Z2[T], порожденное Т. Рассмотрим следующую сумму

[Т] = ^{з-чет.,п комп.}Т ^ Z2[T]

всех диаграмм Т8, полученных разведениями всех чистых перекрестков и имеющих ровно п компонент. Далее приводится следующая лемма.

Лемма. 2.2.3. [34] Скобка [ ■ ] для свободных танглов является инвариантом относительно движений Рейдемейстера для свободных диаграмм и виртуализации.

С помощью этой скобки доказывается, что свободные танглы без чистых перекрестков вкладываются в свободные танглы, см. теорему 2.2.5.

Теорема. 2.2.5. Если две диаграммы свободных танглов, не имеющие чистых перекрестков, эквивалентны, то они g-эквивалентны.

В параграфе 2.2.2 рассматривается инвариант ^^ свободных п — п танглов с занумерованными компонентами без чистых перекрестков со значением в свободном произведении нескольких экземпляров группы Z2, построенный посредством «индекса» перекрестка С типа (г,]) свободного п — п тангла.

Пусть Ь — диаграмма ориентированного п — п свободного тангла с занумерованными компонентами без чистых перекрестков. Если количество перекрестков (г, ) диаграммы

L для каждой пары г, j Е {1, • • • , n} является четным, то мы назовем диаграмму L хорошей. Допустим, что L является хорошей диаграммой. Пусть C — перекресток типа (i,j) диаграммы L. Для к Е {1, 2, ••• , n}\{i,j} определим 1кС (к) количеством всех перекрестков типа (г, к), которые встречаются при обходе г-ой компоненты Ti от точки p0 до перекрестка C. Определим индекс /кс(к) перекрестка C относительно к как сумму 1кс(к) = /к^(к) + 1кj(к) mod Z2. Далее мы докажем следующую лемму.

Лемма. 2.2.7. [34] Для положительного целого числа n и для i,j Е {1, ••• , n}, таких, что г = j, является инвариантом для хороших диаграмм ориентированных n — n

свободных танглов с занумерованными компонентами без чистых перекрестков.

В параграфах 2.3.1 и 2.3.2 рассматриваются группы с дополнительными структурами — группа G2n p с четностью и группа d с точками. Вводятся понятия группы G^. p с четностью и группы G^ d с точками.

Определение. 2.3.1. Группа G^p с четностью определяется копредставлением с образующими j} | {г, j} С {1,... , n}, |{г, j}| = 2, е Е {0,1}} и со следующими соотношениями:

P1 (a^ j})2 = 1 для е Е {0,1} и для различных г, j Е {1, • • • , n}; P2 a^a^} = a^aj для различных г, j, к, / Е {1, • • • , n};

P3 a{jj}a (?fc}a j} = a{jfc}a (?fc}a {j для различных ^ ^ к Е {1, • • • , n}, где eij + eifc + j = 0

mod 2.

Далее мы отождествляем aj := a{ij}.

Определение. 2.3.4. Группа G2nd с точками определяется копредставлением с образующими {a{i,j} | {¿,j} С {1,...,n}, |{ г, j }| = 2} и {ri | г Е {1, ••• ,n}} и со следующими соотношениями:

D1 a{i j} = 1 для различных г, j Е {1,... , n};

D2 a{i ,j}a{k , ^ = a{k , 1}a{i ,j} для попарно различных г, j, к, / Е {1,..., n};

D3 a{i,j}a{i,k}a{j,fc} = a{j,k}a{i,k}a{i,j} для попарно различных г, j, к Е {1,..., n};

D4 г2 = 1 для г Е {1,... , n};

D5 TiTj = TjTi для различных г, j Е {1,... , n};

D6 TiTja{i,j}TjTi = a{i,j} для различных г, j Е {1,... , n};

D7 a{i,j}Tk = Tka{i,j} для различных г, j, к Е {1,..., n}.

Далее мы отождествляем aij := a{i,j}.

1 i ]

Рис. 2.25: Геометрические смыслы образующих и т,

Мы называем т, образующей для точки на 1-ой компоненте, или проще говоря, точкой на г-ой компоненте. Геометрически, а^ изображается 4-валентной вершиной, а т, изображается точкой на ¿-ой нити любой свободной косы, см. рис. 2.25.

Следующие три утверждения устанавливают связи между группой группой 02пр с четностью и группой 02п а с точками.

Лемма. 2.3.2. [32] Гомоморфизм г : С2п ^ С2пр, определенный формулой ¿(а^) = а0 является инъективным.

Отображение р : С2п ^ определенное формулой

. . I а,7-, если е = 0, р(а^-) = <

I 1, если е =1,

является обратным гомоморфизмом к гомоморфизму г : 02п ^ р, и лемма 2.3.2 доказана. Определим отображение ф из группы в группу 02п а формулой

а^, если е = 0;

И) = "I 1

1 т,-а,л т,, если е =1.

ф(<?-)

Геометрический образ образующей а 1 является перекрестком между ¿-ой и ^-ой нитями косы с двумя точками, расположенными перед этим перекрестком и после него на ¿-ой нити, см. рис. 2.26.

1

п

п

а

Рис. 2.26: Геометрический смысл ф(а-)

п

п

1

а

1]

Пусть H2,d = {в Е G;n,d | Ni(e) = 0 mod 2, г Е {1, • • • , n}}, где Ni(e) — это количество вхождений буквы Ti в косу в. Тогда Д^ является подгруппой группы G^d и образы отображения ф входят в подгруппу H^ d группы G^d. В частности, имеет место следующая теорема.

Теорема. 2.3.7. [32] Группа G;,p и группа H^ d С Gjj d изоморфны.

Определим отображение ф из группы G;+1 в группу G;; d формулой

Тогда имеет место следующая лемма.

Лемма. 2.3.8. [32] Отображение ф из группы СП+1 в группу СПЛ корректно определено. В параграфе 2.4 исследовано усиление МН-инварианта, полученное с использованием

Определение. 2.4.1 Брунновой косой в из п нитей называется крашеная коса в такая, что любая коса, полученная из косы в удалением любой одной нити, является тривиальной косой.

В параграфе 2.4.2 диссертантом показано, что МН-инвариант не отличает брунновых кос от тривиальных. В параграфе 2.4.2 мы рассматриваем усиление МН-инварианта с помощью группы СП р и приводится пример брунновы косы, отличающей от тривиальной косы, используя усиленный МН-инвариант. В конце главы вводится понятие группы СП с четностью с целью распознавания брунновых кос от тривиальной.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Ким Сончжон, 2018 год

Литература

[1] J.W. Alexander Topological invariants of knots and links, Trans. Amer. Math. Soc. 30 (2), 275-306.

[2] E. Artin Theorie der zopfe, Hamburg Abh., 1926, 4:539-549.

[3] M.Chlouveraki, J.Juyumaya, K.Karvounis, S.Lambropoulou with an appendix by W.B.R.Lickorish, Identifying the invariants for classical knots and links from the Yokonuma-Hecke algebras, arXiv:1505.06666v4 [math.GT] 8 Jun 2016, 57 pages.

[4] V.G. Bardakov, V. V. Vershinin, J. Wu, On Cohen braids, Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics October 2014, Volume 286, Issue 1, 16-32 pp..

[5] V.G. Bardakov, R. Mikhailov, V. V. Vershinin, J. Wu, On the Pure Virtual Braid Group PV3, Communications in Algebra(2016), Vol. 44, Issue 3, 22 Feb 2016, 1350-1378 pp..

[6] V.G. Bardakov, R. Mikhailov, V. V. Vershinin, J. Wu, Brunnian braids on surfaces, Algebraic and Geometric, 12 (2012), 1607-1648 pp..

[7] R.H. Bruck, Some results in the theory of quasigroups, Trans. Amer. Math. Soc., 55 (1), 1944, 19-52 pp..

[8] D.A. Fedoseev, V.O. Manturov, Z. Cheng, On marked braid groups, Journal of Knot Theory and Its Ramifications, 2015, vol. 24, no. 13, 1541005, 12 pages.

[9] P. Freyd, D. Yetter, J. Hoste, W.B.R. Lickorish, K. Millett, A. Ocneanu, A New Polynomial Invariant of Knots and Links, Bulletin of the American Mathematical Society, 1985, 12 (2), 239-246 pp..

[10] M.Goussarov, M.Polyak, O.Viro, Finite-type invariants of classical and virtual knots, Topology, Sep 2000 Volume 39, Issue 5, 1045-1068 pp..

[11] V.F.R. Jones, A polynomial invariant for knots via von Neumann algebra, Bull. Amer. Math. Soc. 12 (1985), 103-111 pp..

[12] V.F.R. Jones, Hecke algebra representations of braid groups and link polynomials, Annals of Math. 126 (1987), no. 2, 335-388 pp..

[13] J. Juyumaya, Markov trace on the Yokonuma-Hecke algebra, Journal of Knot Theory and Its Ramifications, 13 (2004), 25-39 pp..

15

16

17

18

19

20 21

22

23

24

25

26

27

28

29

J. Juyumaya, S. Lambropoulou, p-adic framed braids II, Advances in Mathematics 234 (2013), 149-191 pp..

L.H. Kauffman, An invariant of regular isotopy, Transactions of the American Mathematical Society. 318 (2), 417-471 pp..

L.H. Kauffman, S. Lambropoulou, New invariants of links and their state sum models, arXiv:1703.03655v2 [math.GT] 15 Mar 2017, 41 pages.

V.O. Manturov, D.P. Ilyutko, Virtual knots:The state of the art, World Scientific, Singapore, 2013.

В.О. Мантуров, Теория узлов , Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2005.

V.O. Manturov, Non-Reidemeister knot theory and its applications in dynamical systems, geometry, and topology, arXiv:1501.05208v1 [math.GT] 21 Jan 2015, 10 pages.

V.O. Manturov, Free knots and parity, arXiv:0912.5348v1 [math.GT] 29 Dec 2009, 18 pages.

V.O. Manturov, Parity and projection from virtual knots to classical knots, Journal of Knot Theory and Its Ramifications, 22, 1350044 (2013), 20 pages.

V.O. Manturov, Parity in knot theory, Mat. Sb., 201:5 (2010), 65-110 pp..

V.O. Manturov, The groups G^ and fundamental groups of configuration spaces, Journal of Knot Theory and Its Ramifications, 26, 1742004 (2017), 6 pages.

V.O. Manturov, I.M. Nikonov, On braids and groups G^, Journal of Knot Theory and Its Ramifications, 2015, vol. 24, 1541009, 16 pages.

D.C. Murdoch, Structure of abelian quasigroups, Trans. Amer. Math. Soc., 49 (3), 1941 392-409 pp..

J.H. Przytyski, KNOTS From combinatorics of knot diagrams to combinatorial topology based on knots, Warszawa, November 30, 1984 - Bethesda, September 7, 2012.

J.H. Przytyski, P. Traczyk, Invariants of links of Conway type, Kobe Journal of Mathematics, 4 (1989) 115-139 pp..

K. Toyoda On axioms of linear functions, Proc. Imp. Acad. Tokyo, 17 (7), 1941, 221-227 pp..

V.V. Vershinin, Braid groups, their properties and generalizations, Handbook of algebra, vol. 4, Elzseier, Amsterdam a.o. 2006, 427-465 pp..

E. Witten, Quantum field theory and the Jones polynomial, Commun. Math. Phys. 121, No.3, 1989, 351-399 pp..

[31] T. Yokonuma, Sur la structure des anneaux de Hecke d'un groupe de Chevalley fini, C.R. Acad. Sc. Paris, 264, 344-347 pp. (1967).

Публикации автора в изданиях из рекомендованных Минобр-науки РФ

[32] Ким Сончжон, Группы G^, с дополнительными структурами, Математические заметки, том 103, выпуск 4, 2018, 549-567.

Публикации автора в рецензируемых научных изданиях, индексируемых в базах данных SCOPUS

[33] S. Kim, On the generalization of Conway algebra, Journal of Knot Theory and Its Ramifications, 2018, vol.27, No. 2, 1850014, 20 pages.

[34] S. Kim, V.O. Manturov, The group G2n and invariants of free links valued in free groups, Journal of Knot Theory and Its Ramifications, 2015, vol. 24, No.13, 1541010, 15 pages.

[35] S. Kim, V.O. Manturov, On groups G^, braids and Brunnian braids, Journal of Knot Theory and Its Ramifications, 2016, vol.25, No.13, 1650078, 17 pages.