Скобочные структуры в теории узлов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.04, кандидат физико-математических наук Мантуров, Василий Олегович

• Мантуров, Василий Олегович
• кандидат физико-математических наук
• 2002

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Мантуров, Василий Олегович

0. Введение

0.1. Методы диссертации.

0.2. Научная новизна.

0.3. Структура и объем диссертации

0.4. Благодарности.

0.5. Основные результаты.

0.6. Публикации

0.7. Апробация работы.

1. Атомы и узлы

1.1. Основные определения

1.2. Теорема об атомах и узлах.

1.3. Кодирование узлов (¿-диаграммами.

1.4. Полином Джонса и теорема Мурасуги.

1.5. Сингулярные узлы и инварианты конечного порядка.

1.5.1. Основные определения и классические теоремы

1.5.2. Обобщение кодировки ¿-диаграммами на сингулярные узлы.

2. Длинные зацепления и скобочные структуры

2.1. Полугруппа длинных зацеплений.

2.2. Плоские схемы длинных зацеплений.

2.2.1. Обобщенные графы.

2.3. Способы заданий полугрупп посредством образующих и соотношений.

2.4. Основные полугруппы, встречающиеся в дальнейшем.

2.4.1. Полугруппы Я, ^ Г'.

2.4.2. Длинные ¿-диаграммы.

2.4.3. Построение связных плоских схем длинных зацеплений по меченым длинным ¿-диаграммам.

2.5. Конструкция.

2.5.1. Примитивные плоские схемы.

2.5.2. Отображение ф.

2.5.3. О соотношениях в полугруппах S' и S, порождающих К.

2.5.4. Длинные ¿-диаграммы и связные плоские схемы

2.6. Преобразования в Sинвариантные относительно ф'.

2.7. Соотношения на S1, не меняющие плоской схемы зацепления

2.8. Первое, второе и третье движения Рейдемейстера в терминах правильных двухскобочных структур.

2.8.1. Первое движение Рейдемейстера

2.8.2. Второе движение Рейдемейстера.

2.8.3. Третье движение Рейдемейстера

2.8.4. Теорема о глобальных соотношениях.

2.9. Упрощение соотношений Y.

3. Квазиторические косы

3.1. Основные конструкции теории кос.

3.2. Квазиторические косы.

3.3. Квазиторические косы и ¿-диаграммы.

4. Хордовые диаграммы и инвариантные тензоры

4.1. Введение. Алгебры хордовых и китайских диаграмм.

4.1.1. Конструкция (частный случай общей конструкции Бар

Натана)

4.2. Присоединенное представление алгебр Ли серий si и so

4.2.1. Случай s/(n).

4.2.2. Случай so(n).

4.3. Случай присоединенного представления алгебры Ли sl(n) и инварианты элементов алгебры хордовых диаграмм.

Глава 0.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Скобочные структуры в теории узлов»

В последние годы особенную роль в современной геометрии и топологии стала играть теория узлов и их инвариантов.

На протяжении всей диссертации мы будем иметь дело лишь с ручными узлами и зацеплениями.

Ручной) узел представляет собой образ гладкого вложения окружности в трехмерное пространство К3, который рассматривается с точностью до сохраняющего ориентацию гомеоморфизма пространства на себя. Каждый такой гомеоморфизм гомотопен тождественному отображению в классе гомеоморфизмов. В дальнейшем под узлом мы будем понимать ручной узел. Процесс изменения узла при такой гомотопии называется изотопией узла. Наряду с узлами рассматриваются также зацепления. Зацепление есть образ вложения несвязного объединения нескольких окружностей в К3. Аналогично определяется изотопия зацеплений. Образ каждой окружности представляет собой узел, называемый компонентой зацепления. Каждый узел является однокомпонентным зацеплением.

Иногда рассматривают ориентированные зацепления — зацепления, на каждой компоненте которых выбрана ориентация (направление обхода). При этом два ориентированных зацепления считаются изотопными, если существует изотопия, переводящая одно из них в другое и сохраняющая ориентацию каждой компоненты.

Как правило, узлы (а также зацепления) задаются посредством так называемых плоских диаграмм или плоских схем, представляющих собой набор замкнутых кривых, погруженных в плоскость с двойными точками трансверсального пересечения с указанием в точках пересечения какая часть кривой идет выше (образует переход), а какая — ниже (образует проход). Проекция без указания структуры проходов и переходов называется тенью зацепления.

Зеркальным образом зацепления называется зацепление, полученное из данного отражением в некоторой плоскости К,2 С К3.

Рис. 0.1. Движения Рейдемейстера

Очевидными преобразованиями плоских схем зацеплений являются их плоские изотопии. Назовем две схемы ¿2 длинных зацеплений плоскоизотопными, если существует диффеоморфизм / плоскости на себя, гомотопный тождественному диффеоморфизму в классе диффеоморфизмов такой, что /(-£1) = -^2, причем переходы отображаются в переходы, а проходы — в проходы.

Будем говорить также, что две плоско-изотопные схемы зацеплений имеют один и тот же комбинаторный тип.

Такой способ описания узла (зацепления) представляет собой проекцию вложения окружности (нескольких окружностей) в К3 на подходящую плоскость.

Теорема 0.1 (Теорема Рейдемейстера, [Г1е1]). Две плоские схемы зацеплений задают изотопные зацепления в том и только в том случае, когда одна из них получается из другой последовательным применением плоских изотопий и движений Рейдемейстера.

Движения Рейдемейстера Г^, 0,2, ^з представляют собой преобразования плоской схемы зацепления лишь внутри некоторого малого диска, оставляя ее неизменной вне и на границе этого диска. Преобразования Рейдемейстера внутри таких дисков изображены на рис. 0.1.

Также как и третье движение Рейдемейстера, указанным на рис. 0.1, к изотопии узлов приводит и аналогичное преобразование, отличающееся от данного типом перекрестка в вершине, "над которой" проходит дуга, содержащая два перекрестка. Оказывается, это движение можно не включать в список преобразований по следующей причине.

Замечание 0.1. Аналог третьего движения Рейдемейстера, указанный в верхней части рис. 0.2 выражается через движения Г^^з и плоскую изотопию, см. рис. 0.2.

Теорема Рейдемейстера верна как для ориентированных, так и для неориентированных диаграмм зацеплений; в последнем случае нужно лишь согласованно расставить ориентацию на фрагментах диаграмм до и после применения каждого из движений.

Диаграмма (ориентированного или неориентированного) зацепления называется альтернированной, если при прохождении вдоль любой компоненты в любом из направлений проходы чередуются с переходами.

Очевидно, что для каждой связной проекции (плоской диаграммы) зацепления существуют ровно две альтернированные диаграммы, соответствующие этой проекции: зафиксировав один перекресток одним из двух возможных способов, все остальные перекрестки восстанавливаются однозначно из соображений альтернированности.

Рассмотрим ориентируемую диаграмму зацепления L и сопоставим ей число w(L) следующим образом. Каждому ее перекрестку поставим соответствие плюс или минус единицу (это число называется local writhe number), так, как это показано на рис. 0.3. Знак + выбирается в том случае если направление поворота в перекрестке от перехода к проходу производится по часовой стрелке; в противном случае выбирается знак "—".

Суммируя эти числа, мы и получаем значение w(L).

Нетрудно показать (см., напр., [ПС]), что число w(L) инвариантно относительно движений н0 не инвариантно относительно fill.

Существуют и другие способы задания узлов и зацеплений, отличные от плоских диаграмм: задание так называемыми гауссовыми диаграммами и задание посредством замыкания кос.

Все эти способы по разным причинам довольно неудобны. Так, например, не каждая гауссова диаграмма задает узел, а для задания узлов по

V/ \/ l\ /-V\

Рис. 0.3. Положительные и отрицательные перекрестки средством замыканий кос требуется, вообще говоря, неограниченное сверху количество букв (образующих стабильной группы кос).

Для более удобного изучения основного объекта теории узлов желательно было бы иметь более удобный способ задания узлов и зацеплений.

В последние годы А.Т. Фоменко [F] ввел понятия атома и молекулы для классификации гамильтоновых систем малой сложности.

Атом описывает поведение функции Морса на двумерном многообразии в окрестности связной компоненты особого уровня, содержащего несколько седловых особых точек. Более точно, атом представляет собой пару: (поверхность с краем — связная компонента прообраза малой окрестности критической точки; граф — связная компонента прообраза критической -точки) с указанием способа вложения графа в поверхность с краем. Вершинами этого графа являются седловые особые точки, а ребрами — связные компоненты дополнения к вершинам.

Рассматриваемые с точностью до естественного изоморфизма, атомы являются комбинаторными объектами, задаваемый графами простого ви-1 да. Как оказалось, понятие атома тесно связано с различными областями математики.

Автором установлена связь между теорией узлов и теорией атомов.

В частности, нами изучен класс так называемых высотных атомов. Высотным атомом называется атом, порожденный функцией высоты при вложении двумерного многообразия в трехмерное евклидово пространство. Автором доказан критерий высотности атома в терминах планарности некоторого графа, однозначно восстанавливаемого по атому.

Показано, что каждый изотопический класс зацепления может быть задан некоторым высотным атомом (не однозначно).

Такое кодирование узлов с помощью высотных атомов может быть упрощено; оно подводит к понятию ¿-диаграммы.

В статье [Ош] A.A. Ошемков формализовал понятие атома, введя понятия f-графа. По заданному атому /-граф восстанавливается однозначно; этот /-граф состоит из послекритических окружностей, каждая из которых ориентирована некоторым образом, а также сепаратрисных ребер, проходящих через вершины атома и соединяющих эти окружности. На каждом сепаратрисном ребре стоит метка, равная ±1 в зависимости от согласованности локальных ориентации частей окружностей, которые она соединяет. По /-графу атом восстанавливается однозначно с точностью до изоморфизма. Если атом ориентированный, удобно считать все окружности ориентированными одинаково, а все метки равными плюс единице (в этом случае ориентации окружностей, а также метки на неориентированных ребрах не пишутся).

В теории узлов центральным является понятие хордовой диаграммы, см., напр., [ВЫ]; на формальном языке хордовых диаграмм описана структура всех инвариантов конечного порядка узлов (инвариантов Васильева). В [МаЗ] было введено понятие ¿¿-диаграммы, с помощью которого был решен ряд задач.

Были решены задачи из теории узлов, как то: доказана теорема о ква-зиторических косах, теор. 3.3, стр. 116, приведено новое доказательство теоремы Мурасуги 1.11,стр. 39 (последнее — с использованием метода диаграмм). Основная теорема последней главы (4.4, стр. 139) также является результатом из области теории узлов, при этом в ней явным образом фигурирует понятие (¿-диаграмм.

Кроме того, с помощью метода ¿-диаграмм во второй главе описана структура скобочной полугруппы узлов.

В третьей главе выделен малый класс (¿-диаграмм, кодирующий все изотопические классы узлов (теорема 3.5,стр. 122). Этот результат опирается на теорему о квазиторических косах.

Перейдем теперь к понятиям хордовой диаграммы и (¿-диаграммы.

Замечание 0.2. В дальнейшем подграфом будем понимать конечный граф

Хордовой диаграммой называется граф, состоящий из ориентированного цикла (называемого окружностью) и неориентированных ребер (называемых хордами, соединяющих вершины на этом цикле, так что каждая вершина графа инцидентна может быть концом ровно одного неориентированного ребра графа.

Поддиаграммой V хордовой диаграммы Б будем понимать ее подграф, содержащий ориентированную окружность. Этот подграф сам является хордовой диаграммой, если не учитывать его двухвалентных вершин, лежащих на окружности (концов хорд изначальной диаграммы не вошедших в £>'), считая их внутренними точками лежащих на окружности ребер.

Также хордовой диаграммой будем называть ориентированную окруж

Рис. 0.4. ¿-диаграммы

Рис. 0.5. Хордовые диаграммы, не являющиеся ¿-диаграммами ность (хордовая диаграмма без хорд). Будем считать ее поддиаграммой любой хордовой диаграммы.

Хордовые диаграммы удобно изображать на плоскости следующим образом: ориентированный цикл изображается как окружность х2 + у2 — 1, а хорды — прямолинейными хордами, соединяющими точки на окружности. При таком изображении (погружении) некоторые пары прямолинейных хорд имеют точки пересечения. Назовем прообраз каждой такой пары на хордовой диаграмме также пересекающимися хордами. d-Диаграммой называется хордовая диаграмма, хорды которой могут быть разбиты на два семейства, каждое из которых состоит из попарно непересекающихся хорд.

По каждой d-диаграмме можно построить плоскую диаграмму зацепления следующим образом. Разобьем хорды (¿-диаграммы на два семейства ("внешние" и "внутренние").

Вложим ¿-диаграмму в плоскость как граф, располагая образы внешних хорд вне образа окружности (¿-диаграммы, а образы внутренних хорд — внутри образа этой окружности, см рис. 0.7. Затем заменим образ каждой хорды вместе с кусочками дуг, прилегающими к его концам, двумя пересекающимися линиями, образующими перекресток узла, см. рис. 0.6. Из

Рис. 0.6. Построение перекрестка зацепления по хорде

Рис. 0.7. Построение диаграммы зацепления по ¿-диаграмме четырех углов, возникающих в перекрестке, назовем малыми те, которые опираются на малые выкинутые дуги.

Правило для выбора прохода и перехода (фактически указанное на рис. 0.6) таково: движение внутри малого угла против часовой стрелки должно идти по направлению от перехода к проходу. Полученная диаграмма зацепления показана на рис. 0.7 справа.

Приведенный способ кодирования зацеплений с помощью ¿/-диаграмм не зависит от разбиения множества хорд ¿¿-диаграммы на два семейства, см. главу 1.

Нами показано, что все изотопические классы зацеплений задаются с помощью ¿-диаграмм таким образом.

Если на (¿-диаграмме выбрать разбиение хорд на два семейства непересекающихся и зафиксировать точку на окружности, отличную от конца хорд, ее можно однозначно закодировать правильной двухскобочной структурой — словом в алфавите из четырех скобок ( , ) , [, ], в котором для каждого начального подслова количество закрывающихся круглых скобок не превышает количество открывающихся круглых скобок, количество закрывающихся квадратных скобок не превышает количества открывающихся квадратных скобок, а для самого слова эти неравенства превращаются в равенства.

Пример 0.1. Слово ( [ ) ] является правильной двухскобочной структурой, а слово [) (] — нет.

Обратно, по каждой правильной двухскобочной структуре восстанавливается (¿-диаграмма, ее порождающая с указанием разбиения множества всех хорд на два семейства непересекающихся.

Таким образом, все изотопические классы зацеплений 1 могут быть закодированы словами в конечном алфавите.

Авторское кодирование узлов ¿-диаграммами и правильными двухско-бочными структурами имеет еще одну наглядную интерпретацию: каждый изотопический класс зацепления может быть задан ориентированной ломаной петлей на клетчатой бумаге (координатной плоскости), расположенной

1 точнее, зацеплений с выделенной ориентированной компонентой и отмеченной точкой на ней т

Рис. 0.8. Левый и правый трилистники внутри первого квадранта, выходящей из точки (0,0), каждое звено которой представляет собой горизонтальный или вертикальный отрезок длины один. Звенья ломаной соответствуют скобкам. На рис. 0.8 показаны ломаные, соответствующие левому и правому трилистнику, которые задаются правильными двухскобочными структурами (((([))))]и(([[))]]] соответственно.

Доказана [Ма7] теорема о том, что полугруппа узлов 2, рассматриваемая относительно связной суммы вложима в конечнопорожденную полугруппу; это вложение приведено конструктивно. При этом вложении удобным способом выписаны схемы соотношений, происходящие из плоских диаграмм зацеплений и движений Рейдемейстера.

Отметим, что аналогичная задача рассматривалась И.А. Дынниковым в [Д]. Он доказывал вложения полугрупп, связанных с узлами, в конечно-определенные полугруппы. Но как известно, полугруппа длинных зацеплений, рассматриваемая относительно операции взятия связной суммы, так и рассматриваемая в [Д] полугруппа D\ зацеплений с несвязной суммой в качестве полугрупповой операции, являются бесконечно порожденными. Поэтому описывать какие-либо образующие (в конечном числе) можно лишь при вложении одной из полугрупп в другую, более или менее естественную с геометрической точки зрения. В работе [Д] использовалась "трехстра-ничное" задание зацеплений, предложенное Г. Брунном [Вг1898] и вложение полугруппы D\ в конечнопорожденный моноид танглов D^. Мы же в своих кодированиях исходим из метода (¿-диаграмм. Основная полугруппа Дынникова D\ естественным геометрическим способом вкладывается в описанную в главе 2 полугруппу К длинных зацеплений. Конечнопоро-жденная полугруппа танглов (плетений) естественным образом содержит в себе полугруппу К.

Кодирование узлов с помощью ¿¿-диаграмм и слов в конечном алфавите

2точнее, полугруппа зацеплений с выделенной ориентированной компонентой легко обобщается на многие другие объекты: сингулярные узлы, хордовые диаграммы, и т.д.

Предъявляемое в диссертации кодирование всех хордовых диаграмм с помощью ¿-диаграмм позволяет сделать следующее утверждение.

Любой топологический объект, описываемый хордовыми диаграммами может быть записан «¿-диаграммами, и, следовательно, словами в конечном алфавите. Существенную роль здесь играет кодирование (сингулярных) узлов (¿-диаграммами.

Хордовые диаграммы играют важную роль в описании разнообразных топологических объектов, описываемых следующим образом. Предположим, что некоторый объект описывается образом окружности, которая проходит некоторым образом по объекту, образуя некоторое количество точек двойного самопересечения. Тогда по этой окружности можно восстановить хордовую диаграмму, соединив хордами пары точек, имеющих одинаковый образ.

В этом случае можно сказать, что задан обход объекта.

Таким образом, все объекты, допускающие какой-либо обход и описываемые этим обходом, могут быть описаны в терминах (¿-диаграмм, а значит, словами в конечном алфавите.

В диссертации рассмотрена также тема кодирования узлов замыканиями кос и доказано, что все изотопические классы зацеплений задаются замыканиями так называемых квазиторических кос. Квазиторической называется коса, получаемая из стандартной диаграммы торической косы заменой некоторых типов перекрестков.

Из этого следует возможность задания всех изотопических классов узлов очень небольшим множеством (¿-диаграмм, которые допускают простое описание.

В терминах (/-диаграмм найдено новое доказательство теоремы Мура-суги о длине полинома Джонса. Эта теорема решает проблему Тейта об альтернированных зацеплениях; гипотеза Тейта просуществовала 89 лет и была доказана лишь в 1987 году.

Конструкции, возникающие в предлагаемом доказательстве этой теоремы, естественным образом связаны с понятиями атома, высотного атома и ¿-диаграммы.

Теория узлов оказывается тесно связанной с теорией представлений групп и алгебр Ли. Д. Бар-Натан предложил конструкцию, которая связывает инварианты Васильева (более точно — элементы алгебры хордовых диаграмм) с представлениями алгебр Ли.

Последняя глава диссертации посвящена изучению конструкции Бар

Натана. Приведены явные формулы для вычисления элементов алгебры лс хордовых диаграмм, соответствующих присоединенным представлениям алгебр Ли серий sl(n) и so(n).

Оказалось, что в теории Бар-Натана понятие d-диаграммы также возникает естественным образом. А именно, доказана теорема о том, что в любом базисе В линейного пространства Лсп хордовых диаграмм порядка п, состоящем из хордовых диаграмм, по крайней мере одна диаграмма будет являться ¿/-диаграммой.

0.1. Методы диссертации

В диссертации разработан новый метод кодирования узлов посредством ^-диаграмм. Большинство результатов получено с использованием этого метода. Результаты последней главы и часть результатов третьей главы получены классическими методами.

0.2. Научная новизна

Все основные результаты диссертации являются новыми и принадлежат автору.

Все результаты диссертации носят теоретический характер. 0.3. Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, четырех глав и списка литературы. Общий объем диссертации составляет 145 страниц. Общий список литературы содержит 40 наименований.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Мантуров, Василий Олегович, 2002 год

1. МаО. В. О. Мантуров, Лекции по теории узлов и их инвариантов, М.:1. УРСС, 2001 (304 с).

2. Mal. В. О. Мантуров,Бифуркации, атомы и узлы. Вестник МГУ, сер. матем. , 2000, N . 1, сс. 3-8.

3. Ма2. В. О. Мантуров, Атомы, высотные атомы, хордовые диаграммы иузлы. Перечисление атомов малой сложности с использованием языка

4. Mathematica 3. О, Топологические методы в теории Гамильтоновых1. Систем, 1998 сс. 203-212

5. МаЗ. В. О. Мантуров, Скобочная полугруппа узлов. Мат. заметки, 2000,т.67. , вып. 4, сс. 549-562.

6. Ма4. V . О. Manturov, d-Diagrams, Chord Diagrams, and Knots, Запискинаучных семинаров ПОМП 267, 2000, Геометрия и топология 5, сс. 170-194.

7. Ма5. V . O . Manturov, А Combinatorial Representation of Links by Quasitoric

8. Braids, European J. Combinatorics, 2002. Vol. 23, N . 2, pp. 207-212

9. Ma6. V.O.Manturov, Chord Diagrams and Invariant Tensors, Proceedings ofthe 1st Colloquium on Lie Theory and Applications, Vigo (Spain), 2002, pp. 117-125.

10. Ma7. B.C.Мантуров, Соотношения в скобочной полугруппе, деп. в ВИНИ

11. ТИ 03.10.2002, No. 1672-В2002 (58 с).

12. Д р у г и е ц и т и р у е м ы е р а б о т ы :

13. Art. Е. Art in , Theorie der Zöpfe. Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg 4 (1925),2772.

14. BN. D. Bar-Natan, On the Vassiliev Knot invariants, Topology 34 (1995), pp.423-475.

15. BN2. D.Bar-Natan, Lie Algebras and The Four Colour Problem, Combinatorica, 17-1 (1997), pp. 43-52. 'Brl898. H.Brunn, Über verknotene Kurven, Mathematiker-Kongress Zürich 1897, Leipzig, 1898, ss. 256-259.

16. CV. S.V.Chmutov and A.N.Varchenko, Remarks on the Vassihev Knot Invariants Coming from sh, Topology, 36 (1997), pp.153-178.

17. F. A . T. Fomenko A . T, The Theory of Multidimensional Integrable Hamiltonian Systems (with Arbitrary many Degrees of Freedom). Molecular

18. Table of A l l Integrable Systems with Two Degrees of Freedom, A D V .

19. SOV. M A T H . 1991. vol 6, pp. 1-35.

20. Jon. V . F . R. Jones, A polynomial invariant for links via Neumann algebras.

21. Bull . Amer. Math. Soc. 129 (1985), pp. 103-112.

22. Jon2. V . F . R. Jones, Hecke algebra representations of braid groups and linkpolynomials. Annals of Mathematics. 126 (1987), pp. 335-388.

23. Jon3. V . F . R. Jones, On knot invariants related to some statistical mechanicalmodels, Pacific J. Math. 137 2 (1989), pp. 311-334.

24. K . L . H . Kauffman, State Models and the Jones Polynomial, Topology 26(1987), pp. 395-407.

25. Ka l . L . H . Kauffman, On Knots, Annals of Math Studies, Princeton University1. Press, 1987.

26. Ka2. L . H . Kauffman, Knots and Physics, Word Scientific, 1991.

27. KaV. L.H.Kauffman, Virtual knot theory, European Journal of Combinatorics

29. Kon. M . Kontsevich, Vassiliev's knot invariants, Adv. in Soviet Math. 16(2)(1993), pp. 137-150.

30. Mor. H . R. Morton, Threading knot diagrams. Math. Proc. Cambridge Phil .

32. Mur. K . Murasugi, The Jones polynomial and classical conjectures in knottheory. Topology 26 (1987), pp. 187-194.

33. Rei. K . Reidemeister, Knot Theory, Chelsea Publ. Co.,New York, 1948.

34. Tait. P. G . Tait, On Knots, Scientific paper I, pp. 273-274, Cambridge University Press, London, 1898.

35. Thi. M.Thistletwaite, A spanning tree expansion for the Jones polynomial.

37. Vas. V . A . Vassiliev, Cohomology of knot spaces, in Theory of Singularities andits applications. Advances in Soviet Mathematics, vol. 1, 1990, p. 23-70.

38. Vas2. V . A . Vassihev, Complements of Discriminants of Smooth maps: Topology and Applications, Revised Edition, Amer. Math. Soc. , Providence, 1. R. I. , 1994.

39. Vog. P. Vogel, Representations of links by braids: A new algorithm, Comm.

41. БФ. А.В.Болсинов, А.Т.Фоменко. Интегрируемые гамильтоновы системы. Геометрия, топология, классификация., М., изд. Регулярная и хаотическая динамика, 1999.

42. Д. И.А. Дынников. Трехстраничное задание узлов. Кодировка и локальные соотношения. Функциональный анализ и его приложения, 1999, 1. N.6.

43. Вас. В.А.Васильев, Топология дополнений к дискриминантам, изд. ФА1. ЗИС, Москва, 1997.

44. Кас. К. Кассель, Квантовые группы, изд. ФАЗИС, Москва, 1999.

45. КП. А.Клиффорд, Г.Престон, Алгебраическая теория полугрупп., М.,1972

46. Мак. Г.С. Маканин, Об одном аналоге теоремы Алексанедра-Маркова,

47. Изв. АН СССР, Т, 53., N.1 , 1989, сс. 200-210.

48. Map. А. А. Марков, Основы алгебраической теории кос. Труды МИАН 16(1945), сс. 1-54.

49. МФ. В.Матвеев, А.Т.Фоменко, Алгоритмические и компьютерные методы в трехмерной топологии, изд. МГУ, 1991.

50. Ош. А.А.Ошемков, Функции Морса на двумерных поверхностях. Кодирование особенностей// Труды математического института им.

51. В.А.Стеклова, т.205, сс. 131-140.

52. ПС. В. В. Прасолов, А. Б. Сосинский, Узлы, зацепления, косы и трехмерные многообразия, изд. МЦНМО, 1997.