Классические конформные блоки и AdS3/CFT2 соответствие тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат наук Павлов Михаил Михайлович

• Павлов Михаил Михайлович
• кандидат наук
• 2022

Оглавление диссертации кандидат наук Павлов Михаил Михайлович

Введение

Глава 1. Классические конформные блоки

1.1 Двумерная коформная теория поля

1.2 Классические конформные блоки и монодромный метод

1.3 Голографические переменные и униформизация

1.4 Классические конформные блоки с двумя тяжелыми операторами

1.4.1 3-точечный блок

1.4.2 4-точечный блок

1.4.3 5-точечные единичные блоки

1.4.4 6-точечные единичные блоки

1.5 Классические конформные блоки с тремя тяжелыми операторами

1.5.1 4-точечный блок

1.5.2 5-точечный блок

1.6 Факторизация единичных блоков с двумя тяжелыми операторами

1.6.1 Факторизационное соотношение

1.6.2 Блоки с несколькими единичными операторами

1.7 Оверхлегкое приближение для классических конформных блоков

1.7.1 5-точечные блоки с сверхлегкими операторами

1.7.2 6-точечный блок с двумя сверхлегкими операторами

1.7.3 (2М + 2)-точечный блок с сверхлегкими операторами

1.8 Выводы

Глава 2. Голографическое описание тяжелого сектора

2.1 Дуальное описание двух и трех тяжелых операторов

2.1.1 Метрика Баньядоса и конформные отображения

2.1.2 Два тяжелых оператора

2.1.3 Три тяжелых оператора

2.2 Произвольное число тяжелых операторов и классические блоки типа ЬНп-к

2.3 Выводы

Глава 3. Голографическое описание легкого сектора

3.1 Деревья Штейнера

3.1.1 Построение деревьев Штейнера

3.1.2 Голографические деревья Штейнера на диске Пуанкаре

3.1.3 Разрезы и объединения деревьев Штейнера

3.2 N = 2,3,4 голографические деревья Штейнера

3.2.1 N = 2 голографические деревья

3.2.2 N = 3 и N = 4 голографические деревья Штейнера

3.3 Деревья Штейнера в сверхлегком приближении

3.3.1 N = 4, 5 неидеальные деревья Штейнера в сверхлегком приближении

3.3.2 (2М + 1)-точечное дерево со сверхлегкими весами

3.4 Выводы

Заключение

Список литературы

Список рисунков

Список таблиц

Приложение А. Пертурбативное разложение 4-точечного

блока в ^-параметризации

Приложение Б. Доказательство соотношения (1.6.2) для

произвольного й

Приложение В. Регуляризация длин голографических

деревьев Штейнера

Приложение Г. Точка Ферма-Торричелли и конформные

преобразования

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Классические конформные блоки и AdS3/CFT2 соответствие»

Актуальность темы. Одной из задач современной физики является создание фундаментальной теории, которая могла бы согласованно описывать физику на любых энергетических масштабах. Предполагается, что это может быть достигнуто путем построения единой квантовой теории поля, объединяющей четыре известные на данный момент фундаментальные взаимодействия. Подобного рода описание сильного, слабого и электромагнитного взаимодействий было найдено в рамках Стандартной Модели, разработанной в 60-70-х годах прошлого века. Стандартная Модель формулируется на фоне плоского пространства-времени и по построению не включает гравитацию.

На классическом уровне гравитационные взаимодействия описываются общей теорией относительности, инвариантной относительно пространственно-временных диффеоморфизмов. Однако, попытки построения квантовой гравитации наталкиваются на серьезные трудности, так как квантовополевые обобщения общей теории относительности являются неперенормируемыми теориями поля. Введение суперсимметрии [1—3], подразумевающей расширение алгебры симметрий антикоммутирующими генераторами, не привело к решению данной проблемы. В частности, было обнаружено, что М = 1 супергравитация непере-нормируема [4; 5].1

Теория (супер)струн [7; 8] рассматривалась как основной кандидат на роль квантовой гравитации. В рамках данной теории частицы могут быть описаны как возбуждения струн, в частности, было показано, что теория (супер)струн содержит гравитон [9—11] и частицы с полуцелым спином [12]. Помимо этого, теория (супер)струн представляет концептуальный теоретический интерес благодаря наличию дуальностей [13; 14], которые изначально понимались как преобразования, связывающее различные десятимерные формулировки теории суперструн. Открытие данных дуальностей позволило сформулировать единую М-теорию суперструн в И = 11 и показать, что все десятимерные суперструнные теории могут быть получены редукцией М-теории.

Сасскиндом и т'Хоофтом было предложено понятие голографической дуальности [15; 16], в рамках которого постулировалось, что квантовая теория

хНесмотря на это, есть основания полагать, что максимальная N =8 суперсимметричная гравитация является конечной перенормируемой теорией в ультрафиолетовом пределе [6].

гравитации в объеме определяется динамикой конформной теории без гравитационных степеней свободы на границе этого объема. В контексте теории струн важным примером такой дуальности является соответствие между струнами на фоне пространства анти-де Ситтера (Л<!8) и конформной теорией поля, заданной на границе (ОРТ) [17]. Технически AdS/CFT соответствие можно понимать в рамках прескрипции Губсера, Клебанова, Полякова и Виттена (СКР"), которая содержит словарь терминов, связывающий гравитационные объекты с объектами конформной теории поля. Согласно этой прескрипции, производящий функционал теории гравитации на фоне AdS,i+1 равен производящему функционалу конформной теории в размерности ё,, если граничные значения полей в объеме отождествить с операторами на границе [18—20].2 Дальнейшие исследования AdS/CFT соответствия затрагивали, в том числе, анализ струнных поправок к классической гравитации для изучения теории на границе [17]. Помимо этого, AdS/CFT соответствие порождает вычислительную концепцию, когда корреляционные функции в граничной теории определяются геометрическими объектами в объеме, и обратно: результаты, полученные в граничной теории, могут быть использованы для реконструкции квантовой гравитации в объеме.

Несмотря на значительный прогресс, AdS/CFT соответствие имеет статус хорошо проверенной гипотезы. На данный момент не найдено ни одного точно доказанного примера такой дуальности, что связано с тем, что производящие функционалы в объеме/на границе по большей части неизвестны. Однако для теорий, обладающих высокими симметриями, производящие функционалы (или корреляционные функции), могут быть найдены точно, что даст возможность явно вывести AdS/CFT соответствие и глубже, чем на уровне равенства производящих функционалов, понять его структуру.

В этом контексте перспективным направлением исследования представляется AdSз/CFT2 соответствие [23; 24]. В этом случае3 симметрией двумерной конформной теории на границе является бесконечномерная (в отличии от теорий в старших измерениях) алгебра Вирасоро. Трехмерная гравитация, в свою очередь, не содержит распространяющихся степеней свободы, поэтому динамика определяется границей и топологическими дефектами в объеме [27—30].

2Аналогичная связь между теорией высших спинов в AdS4 и свободной/критической О(М) векторной моделью рассматривалась в [21; 22].

3Исследования этого вопроса в контексте теории струн также проводились в [25; 26].

При изучении А(183/ОРТ2 соответствия были получены такие результаты как соответствие между теориями Черна-Саймонса и Весса-Зумино-Виттена [31], предписание для вычисления энтропии запутывания [32; 33] и доказательство свойства ее универсальности [34] в случае сферической топологии, формулировка р-адического А(183/ОРТ2 соответствия [35].

Недавно было показано, что А(Б/ОРТ соответствие можно понимать на более глубоком, чем равенство производящих функционалов/корреляционных функций, уровне. Более точно, имеет место соответствие между базисными элементами (конформными блоками) в пространстве корреляторов граничной теории и геодезическими диаграммами Виттена в объеме [36; 37]. В настоящей диссертационной работе исследуется А(Б3/ОРТ2 соответствие между конформными блоками на сфере и геодезическими сетями, которые представляют частный случай геодезических диаграмм Виттена. Актуальной задачей диссертации является проверка А(183/ОРТ2 в различных пределах путем получения и сравнения явных выражений как на границе, так и в теории гравитации в объеме.

Степень разработанности темы. Изучение А(Б3/ОРТ2 соответствия представляется интересным ещё и потому, что конформная теория поля, как и гравитация в трёхмерном пространстве-времени, рассматривались задолго до открытия голографической дуальности. Описание конформной симметрии берет свое начало с работы Ли [38], двумерные теории поля были впервые введены в [39; 40]. В рамках бутстрапного подхода [41], конформная теория задается спектром примарных операторов, которые характеризуются конформными размерностями (А) и структурными константами, определяемыми трёхточечными корреляционными функциями. Корреляционные функции примарных операторов в двумерной конформной теории поля могут быть разложены в конформные блоки [42; 43], которые определяются только алгеброй симметрий. В этом смысле анализ корреляционных функций сводится к изучению данных блоков. Важным примером двумерной конформной теории с непрерывным спектром и симметрией Вирасоро является теория Лиувилля,4 так как вертексные операторы в данной модели являются примарными, а непрерывный спектр модели допускает рассмотрение различных приближений.

4 Эта теория возникает при рассмотрении гравитации в двух измерениях, а также в рамках формулировки теории струн в терминах континуального интеграла [44].

Конформные блоки, соответствующие корреляционной функции примар-ных операторов, являются голоморфными функциями координат примарных операторов и парамерически зависят от их конформных размерностей операторов теории и от центрального заряда алгебры Вирасоро с. На данный момент, п > 4-точечные конформные блоки на сфере найдены только в виде рядов (см. также [37; 45—48]), поэтому для получения явных функций блоков рассматриваются различные приближения. В классическом пределе с ^ то, одновременно полагая конформные размерности пропорциональными с, конформный блок упрощается и может быть представлен в виде экспоненты от произведения центрального заряда на т.н. классический конформный блок [49], который не зависит от центрального заряда. Помимо этого, в вычислениях прибегают к дополнительному приближению легких и тяжелых операторов (ИЬ), где конформные размерности части операторов считаются много меньшими, чем конформные размерности оставшихся операторов. В рамках упомянутых выше приближений удается получить явные функции классических блоков.

Наиболее простым и разработанным является приближение двух тяжелых операторов [34; 50—56], в рамках которого в первом порядке ИЬ приближения были явно найдены 4-точечные блоки с двумя тяжелыми операторами. Для п-точечного классического блока с двумя тяжелыми операторами с использованием монодромного метода получена система уравнений, определяющая данный блок [57]. Однако функция п-точечного классического блока с двумя тяжелыми операторами пока неизвестна в замкнутом виде и получение данной функции является одной из целей настоящей диссертации. Для многоточечных классических блоков также можно рассматривать другие конфигурации легких/тяжелых операторов, в частности, включающие три и более тяжелых оператора. Для анализа классических блоков с произвольным числом тяжелых операторов нужно обобщить монодромный метод вычисления п-точечных блоков с двумя тяжелыми операторами, что является одной из целей данной диссертационной работы.

Другим направлением исследований в контексте получения явных результатов является рассмотрение единичных (вакуумных) классических блоков, получающихся при обнулении одной или нескольких конформных размерностей. Было показано [34], что данные блоки связаны с энтропией запутывания, однако, обобщение этого утверждения на произвольные классические блоки по-

ка неизвестно. В свете этого, одними из целей данной диссертации являются вычисление многоточечных единичных блоков и построение теории возмущения над этими блоками. Пример подобной теории возмущений изучался в [54], где рассматривалось приближение сверхлегких операторов ^Ь), конформные размерности которых полагаются много меньшими конформных размерностей легких операторов.

Как было упомянуто ранее, в контексте AdS3/CFT2 соответствия конформной теории поля на границе соответствует топологическая теория гравитации в трёхмерном пространстве времени. Классический предел отвечает малой гравитационной константе для теории в объеме согласно соотношению Брауна-Анно с = 3Я/2С^, где Я - радиус AdS3 [23]. В данном пределе примарным операторам граничной теории соответствуют частицы в AdS3 с массами А/с, которые являются конечными в данном пределе. Дуальная реализация ИЬ приближения, в свою очередь, разделяет эти частицы на тяжелые и легкие, причем тяжелые интерпретируются как топологические дефекты геометрии, а легкие - как пробные частицы, распространяющиеся на фоне геометрии, порожденной тяжелыми.

Ранее данные дуальные геометрии были изучены для случая двух тяжелых операторов [50] и было показано, что в зависимости от размерностей тяжелых операторов они определяются метрикой конической сингулярности или БТЗ черной дыры [58]. В общем случае5 дуальная трехмерная геометрия может быть описана метрикой Баньядоса [61], которая задает решение уравнений Эйнштейна с конформной симметрией на границе. Данная метрика параметризуется (анти)голоморфной функцией, которая в дуальной реализации ИЬ приближения полагается равной вкладу тяжелых операторов в тензор энергии-импульса граничной теории. Описание дуальных геометрий для случая более чем двух тяжелых операторов в контексте AdS3/CFT2 соответствия для классических конформных блоков с произвольным количеством тяжелых операторов неизвестно. Простейшим случаем является конфигурация трёх тяжелых операторов, которая исследуется в данной диссертационной работе. Также рассматривается метрика, генерируемая (п — к) тяжелыми операторами.

Легкие операторы с точки зрения AdS3/CFT2 соответствия дуальны пробным частицам, живущим на фоне AdS3 с дефектами. Согласно голографической

5Заметим, что рассматривается и обратная задача, а именно построение дуальной геометрии исходя из конформных блоков [59; 60].

прескрипции, действие таких частиц как функции граничных условий равно вкладу легких операторов в классический конформный блок (с точностью до конформного преобразования специального вида). Для п-точечных классических конформных блоков с двумя тяжелыми операторами доказана теорема, утверждающая, что они голографически дуальны специальным геодезическим сетям, растянутым на двумерной гиперболической геометрии [57] с весами, равными массами пробных частиц. Данные геодезические сети состоят из 2п — 5 сегментов мировых линий частиц, которые пересекаются в трехвалентных вершинах, координаты которых определяются условиями, следующими из минимальности длины сети. Однако, пока не найдены способы вычисления длин геодезических сетей, соответствующих классическим конформным блокам.

Перспективным направлением исследований является чисто геометрическая формулировка проблемы вычисления взвешенной длины геодезической сети. Оказывается, что задача о вычислении длины данной сети является задачей о дереве Штейнера на модели диска Пуанкаре, что позволяет использовать известные геометрические и тригонометрические подходы к этой задаче. Существенной проблемой является то, что вычисление длины сети, дуальной п-точечному классическому блоку, представляет собой проблему, которая, по-видимому, может быть решена только в определенных приближениях. Одним из таких приближений оказывается приближение малых промежуточных весов [54], которое со стороны дуальной теории отвечает сверхлегкому приближению. Для полученных классических конформных блоков/длин геодезических сетей представляется возможным явно проверить А(Б3/ОРТ2 соответствие.

Таким образом, целями данной диссертационной работы являются:

1. Развитие методов вычисления и получение явных функций классических конформных блоков, ассоциированных с алгеброй Вирасоро.

2. Построение дуальных трехмерных геометрий, голографически описывающих тяжелые операторы в классическом конформном блоке.

3. Анализ деревьев Штейнера на двумерных геометриях, вычисление их длин. Явная проверка дуальности между классическими конформными блоками и длинами данных деревьев.

Для достижения поставленной цели необходимо было решить следующие задачи:

1. Разработать методы вычисления многоточечных классических конформных блоков с тремя и более тяжелыми операторами.

2. Получить явный вид функций единичных многоточечных классических блоков с двумя тяжелыми операторами.

3. Разработать процедуру вычисления поправок к п-точечным единичным классическим блокам в сверхлегком приближении.

4. Описать трёхмерную дуальную геометрию, продуцируемую тяжелыми операторами в граничной теории.

5. Сформулировать дуальное описание легких операторов в граничной теории.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Формулировка монодромного метода вычисления п-точечных классических конформных блоков с произвольным числом тяжелых операторов.

2. Явные выражения для функций п-точечных единичных классических блоков с двумя тяжелыми операторами, процедура факторизации п-точечных единичных классических блоков.

3. Поправки к многоточечным единичным классическим блокам в сверхлегком приближении.

4. Конструкция трёхмерной геометрии, порождаемой тремя и более тяжелыми операторами на границе.

5. Описание легких операторов классического блока в терминах деревьев Штейнера, явные выражения для длин данных деревьев.

Научная новизна, достоверность и личный вклад автора. Новизна рассматриваемых вопросов, а также достоверность полученных результатов привели к продвижению в понимании А(Б3/ОРТ2 соответствия в классическом пределе. Все представленные в диссертации результаты являются оригинальными и получены автором лично или при его непосредственном участии. Приведенные в диссертации результаты являются актуальными, используются и развиваются как российскими, так и зарубежными научными группами.

Научная и практическая значимость. Изучаемые в диссертации проблемы представляют научный интерес в области теоретической и математической физики. Полученные в работе выражения для классических конформных блоков могут быть использованы для вычисления энтропии запутывания, кор-

реляторов ОТОС, анализа феномена скрамблинга [62; 63], а также для вычислений в теории Лиувилля. Конструкции, связанные с монодромным методом, могут быть перенесены на случаи конформных блоков, которые ассоциированы с Wn [64] и BMS3 алгебрами [65; 66]. Методы построения трехмерных геометрий, продуцируемых тяжелыми операторами, могут быть использованы для анализа дуальной реализации HL приближения в следующих порядках. Разработанные методы вычисления длин геодезических сетей могут быть использованы для дальнейшей проверки AdS3/CFT2 соответствия в различных приближениях.

Апробация работы. Основные результаты работы опубликованы в 4 статьях [67—70] в журналах, индексируемых Web of Science и Scopus. Помимо этого, основные результаты диссертации докладывались на семинарах ОТФ ФИАН, а также на следующих конференциях:

1. Международная научная конференция студентов, аспирантов и молодых учёных «Ломоносов-2017» (МГУ, 10 - 14 апреля 2017, Москва, Россия)

2. Молодежная конференция по теоретической и экспериментальной физике (Институт теоретической и экспериментальной физики имени А.И. Алиханова (ИТЭФ), 25 - 28 ноября 2019, Москва, Россия)

3. Международная конференция «Hamilton School on Mathematical Physics» (Trinity College Dublin, 24 - 28 августа 2020, Дублин, Ирландия)

4. Международная конференция «Strings and Fields 2020» (Институт теоретической физики им. Х. Юкавы (YITP), 16 - 20 ноября 2020, Киото, Япония)

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, трёх глав, заключения и четырех приложений. Полный объём диссертации составляет 106 страниц с 21 рисунком и одной таблицей. Список литературы содержит 110 наименований.

В Главе 1 рассматриваются многоточечные классические конформные блоки с произвольным числом тяжелых операторов. Для вычисления данных блоков в рамках HL приближения формулируется монодромный метод. Оказывается, что монодромные уравнения, определяющие классический конформный

блок, упрощаются, если ввести голографические переменные, рассмотренные в Разделе 1.3.

Для случая двух и трёх тяжелых операторов система монодромных уравнений рассматривается в Разделах 1.4. и 1.5. В Разделе 1.6. доказано фак-торизационное соотношение для единичных многоточечных блоков. Дальнейшим развитием методов вычисления данных блоков является рассмотрение дополнительного сверхлегкого приближения в Разделе 1.7. В этом приближении был вычислен ряд классических блоков общего положения, в частности, (2М + 2)-точечные блоки с сверхлегкими операторами, где М = 3,4,...

В Главе 2 описана дуальная интерпретация тяжелых операторов классических конформных блоков, рассмотренных в Главе 1. Проанализирован случай двух и трёх тяжелых операторов и построены соответствующие трёхмерные геометрии. Для метрики, генерируемой (п — к) тяжелыми операторами, было найдено описание в терминах конических дефектов. Также вычислены длины простейших геодезических на данной геометрии и показано их соответствие (п — к + 1)-точечным классическим конформным блокам ЬНп—к.

В Главе 3 рассматривается дуальное описание легких операторов классических конформных блоков. Базируясь на доказанной в [57] теореме о дуальности классических конформных блоков и геодезических сетей, формулируется геометрический подход к вычислению таких сетей. Строятся основные объекты, аналогичные геодезическим сетям - голографические деревья Штейнера. Длины таких деревьев вычисляются методами гиперболической тригонометрии и явной проверкой показывается дуальность длин данных деревьев соответствующим классическим конформным блокам. Также строится теория возмущения, отвечающая БЬ приближению в граничной теории и вычисляются длины полученных деформированных деревьев Штейнера.

В приложениях А - Г собраны вспомогательные результаты по каждой из глав, включающие доказательства и технические детали.

Благодарности. Я хотел бы выразить признательность и поблагодарить моего научного руководителя Алкалаева Константина Борисовича, без консультаций и советов которого данная работа была бы невозможна.

Заключение диссертации по теме «Теоретическая физика», Павлов Михаил Михайлович

Заключение

Перечислим основные результаты диссертационной работы:

1. Развит монодромный метод вычисления п-точечных классических конформных блоков с произвольным числом тяжелых операторов. Введены голографические переменные, существенно упрощающие монодром-ные уравнения, определяющие п-точечный классический конформный блок. Установлено и доказано свойство униформизации легкого сектора классических конформных блоков с использованием голографических переменных.

2. Найдены 5,6-точечные единичные блоки с двумя тяжелыми операторами и 4, 5-точечные блоки с тремя тяжелыми операторами. Доказана теорема о факторизации и явно найдены единичные п-точечные блоки с двумя тяжелыми операторами.

3. Построены классические конформные блоки с сверхлегкими промежуточными операторами в рамках теории возмущения над единичными блоками. В сверхлегком приближении вычислены поправки к п-точечным единичным блокам.

4. Описана дуальная геометрия, соответствующая тяжелому сектору классических конформных блоков. Явно построены дуальные геометрии, генерируемые тремя тяжелыми операторами и предложено обобщение данной конструкции на произвольное число тяжелых операторов.

5. Построены голографические деревья Штейнера на диске Пуанкаре, дуальные классическим конформным блокам. Найдены длины деревьев с п < 5 внешними вершинами. Вычислены длины деревьев с (2М + 1) внешними вершинами в дополнительном приближении сверхлегких весов. Явно показано равенство длин деревьев соответствующим классическим конформным блокам.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Павлов Михаил Михайлович, 2022 год

Список литературы

1. Golfand Y. A, Likhtman E. P. Extension of the Algebra of Poincare Group Generators and Violation of p Invariance // JETP Lett. — 1971. — т. 13. — с. 323—326.

2. Wess J., Zumino B. A Lagrangian Model Invariant Under Supergauge Transformations // Phys. Lett. B. — 1974. — т. 49. — с. 52. — DOI: 10. 1016/0370-2693(74)90578-4.

3. Wess J., Zumino B. Supergauge Transformations in Four-Dimensions // Nucl. Phys. B / под ред. A. Salam, E. Sezgin. — 1974. — т. 70. — с. 39—50. — DOI: 10.1016/0550-3213(74)90355-1.

4. Freedman D. Z, Nieuwenhuizen P. van, Ferrara S. Progress Toward a Theory of Supergravity // Phys. Rev. D. — 1976. — т. 13. — с. 3214—3218. — DOI: 10.1103/PhysRevD.13.3214.

5. Van Nieuwenhuizen P. Supergravity // Phys. Rept. — 1981. — т. 68. — с. 189—398. — DOI: 10.1016/0370-1573(81)90157-5.

6. Bern Z, Dixon L. J., Roiban R. Is N = 8 supergravity ultraviolet finite? // Phys. Lett. B. — 2007. — т. 644. — с. 265—271. — DOI: 10.1016/j.physletb. 2006.11.030. — arXiv: hep-th/0611086.

7. Green M. B, Schwarz J. H, Witten E. SUPERSTRING THEORY. VOL. 2: LOOP AMPLITUDES, ANOMALIES AND PHENOMENOLOGY. — 07.1988. — ISBN 978-0-521-35753-1.

8. Green M. B, Schwarz J. H, Witten E. SUPERSTRING THEORY. VOL. 1: INTRODUCTION. — 07.1988. — (Cambridge Monographs on Mathematical Physics). — ISBN 978-0-521-35752-4.

9. Yoneya T. Connection of Dual Models to Electrodynamics and Gravidynamics // Prog. Theor. Phys. — 1974. — т. 51. — с. 1907— 1920. — DOI: 10.1143/PTP.51.1907.

10. Scherk J., Schwarz J. H. Dual Models for Nonhadrons // Nucl. Phys. B. — 1974. — т. 81. — с. 118—144. — DOI: 10.1016/0550-3213(74)90010-8.

11. Scherk J., Schwarz J. H. Dual Models and the Geometry of Space-Time // Phys. Lett. B. — 1974. — t. 52. — c. 347—350. — DOI: 10.1016/0370-2693(74) 90059-8.

12. Preitschopf C. R, Thorn C. B, Yost S. A. SUPERSTRING FIELD THEORY // Nucl. Phys. B. — 1990. — t. 337. — c. 363—433. — DOI: 10.1016/0550-3213(90)90276-J.

13. Witten E. String theory dynamics in various dimensions // Nucl. Phys. B. — 1995. — t. 443. — c. 85—126. — DOI: 10.1016/0550-3213(95)00158-0. — arXiv: hep-th/9503124.

14. Horava P., Witten E. Eleven-dimensional supergravity on a manifold with boundary // Nucl. Phys. B. — 1996. — t. 475. — c. 94—114. — DOI: 10.1016/ 0550-3213(96)00308-2. — arXiv: hep-th/9603142.

15. 't Hooft G. Dimensional reduction in quantum gravity // Conf. Proc. C. — 1993. — t. 930308. — c. 284—296. — arXiv: gr-qc/9310026.

16. Susskind L. The World as a hologram //J. Math. Phys. — 1995. — t. 36. — c. 6377—6396. — DOI: 10.1063/1.531249. — arXiv: hep-th/9409089.

17. Maldacena J. M. The Large N limit of superconformal field theories and supergravity // Adv.Theor.Math.Phys. — 1998. — t. 2. — c. 231—252. — DOI: 10.1023/A: 1026654312961,10.1023/A: 1026654312961. — arXiv: hep-th/9711200 [hep-th].

18. Gubser S. S., Klebanov I. R., Polyakov A. M. Gauge theory correlators from noncritical string theory // Phys. Lett. B. — 1998. — t. 428. — c. 105—114. — DOI: 10.1016/S0370-2693(98)00377-3. — arXiv: hep-th/9802109.

19. Witten E. Anti-de Sitter space and holography // Adv. Theor. Math. Phys. — 1998. — t. 2. — c. 253—291. — DOI: 10.4310/ATMP.1998.v2.n2.a2. — arXiv: hep-th/9802150.

20. Klebanov I. R., Witten E. AdS / CFT correspondence and symmetry breaking // Nucl. Phys. B. — 1999. — t. 556. — c. 89—114. — DOI: 10. 1016/S0550-3213(99)00387-9. — arXiv: hep-th/9905104.

21. Klebanov I. R., Polyakov A. M. AdS dual of the critical O(N) vector model // Phys. Lett. B. — 2002. — t. 550. — c. 213—219. — DOI: 10. 1016/S0370-2693(02)02980-5. — arXiv: hep-th/0210114.

22. Petkou A. C. Evaluating the AdS dual of the critical O(N) vector model // JHEP. — 2003. — т. 03. — с. 049. — DOI: 10.1088/1126-6708/2003/03/049. — arXiv: hep-th/0302063.

23. Brown J. D., Henneaux M. Central Charges in the Canonical Realization of Asymptotic Symmetries: An Example from Three-Dimensional Gravity // Commun.Math.Phys. — 1986. — т. 104. — с. 207—226. — DOI: 10.1007/ BF01211590.

24. Coussaert O, Henneaux M, Driel P. van. The Asymptotic dynamics of three-dimensional Einstein gravity with a negative cosmological constant // Class. Quant. Grav. — 1995. — т. 12. — с. 2961—2966. — DOI: 10. 1088/02649381/12/12/012. — arXiv: gr-qc/9506019.

25. Eberhardt L., Gaberdiel M. R., Gopakumar R. Deriving the AdS3/CFT2 correspondence // JHEP. — 2020. — т. 02. — с. 136. — DOI: 10.1007/ JHEP02(2020)136. — arXiv: 1911.00378 [hep-th].

26. Eberhardt L. AdSa/CFT2 at higher genus // JHEP. — 2020. — т. 05. — с. 150. — DOI: 10.1007/JHEP05(2020)150. — arXiv: 2002.11729 [hep-th].

27. Deser S, Jackiw R. Three-Dimensional Cosmological Gravity: Dynamics of Constant Curvature // Annals Phys. — 1984. — т. 153. — с. 405—416. — DOI: 10.1016/0003-4916(84)90025-3.

28. Deser S, Jackiw R., 't Hooft G. Three-Dimensional Einstein Gravity: Dynamics of Flat Space // Annals Phys. — 1984. — т. 152. — с. 220. — DOI: 10.1016/0003-4916(84)90085-X.

29. Witten E. (2+1)-Dimensional Gravity as an Exactly Soluble System // Nucl. Phys. B. — 1988. — т. 311. — с. 46. — DOI: 10.1016/0550-3213(88)90143-5.

30. Witten E. Three-Dimensional Gravity Revisited. — 2007. — июнь. — arXiv: 0706.3359 [hep-th].

31. Witten E. Quantum Field Theory and the Jones Polynomial // Commun. Math. Phys. / под ред. A. N. Mitra. — 1989. — т. 121. — с. 351—399. — DOI: 10.1007/BF01217730.

32. Ryu S., Takayanagi T. Holographic derivation of entanglement entropy from AdS/CFT // Phys. Rev. Lett. — 2006. — т. 96. — с. 181602. — DOI: 10.1103/ PhysRevLett.96.181602. — arXiv: hep-th/0603001.

33. Hubeny V. E, Rangamani M., Takayanagi T. A Covariant holographic entanglement entropy proposal // JHEP. — 2007. — т. 07. — с. 062. — DOI: 10.1088/1126-6708/2007/07/062. — arXiv: 0705.0016 [hep-th].

34. Hartman T. Entanglement Entropy at Large Central Charge. — 2013. — arXiv: 1303.6955 [hep-th].

35. Gubser S. S. A p-adic version of AdS/CFT // Adv. Theor. Math. Phys. — 2017. — т. 21. — с. 1655—1678. — DOI: 10.4310/ATMP.2017.v21.n7.a3. — arXiv: 1705.00373 [hep-th].

36. Penedones J. Writing CFT correlation functions as AdS scattering amplitudes // JHEP. — 2011. — т. 03. — с. 025. — DOI: 10. 1007 / JHEP03(2011)025. — arXiv: 1011.1485 [hep-th].

37. Witten Diagrams Revisited: The AdS Geometry of Conformal Blocks / E. Hijano [и др.] // JHEP. — 2016. — т. 01. — с. 146. — DOI: 10.1007/ JHEP01(2016)146. — arXiv: 1508.00501 [hep-th].

38. Lie S. Theorie der Transformationsgruppen Abschn. 3. — Leipzig : Teubner, 1893. — URL: http://eudml.org/doc/202686.

39. Polyakov A. M. Conformal symmetry of critical fluctuations // JETP Lett. — 1970. — т. 12. — с. 381—383.

40. Luscher M., Mack G. Global Conformal Invariance in Quantum Field Theory // Commun. Math. Phys. — 1975. — т. 41. — с. 203—234. — DOI: 10.1007/BF01608988.

41. Polyakov A. M. Nonhamiltonian approach to conformal quantum field theory // Zh. Eksp. Teor. Fiz. — 1974. — т. 66. — с. 23—42.

42. Zamolodchikov A. Two-dimensional conformal symmetry and critical four-spin correlation functions in the Ashkin-Teller model // Zh. Eksp. Teor. Fiz. — 1986. — т. 90. — с. 1808—1818.

43. Dolan F. A., Osborn H. Conformal partial waves and the operator product expansion // Nucl. Phys. B. — 2004. — т. 678. — с. 491—507. — DOI: 10. 1016/j.nuclphysb.2003.11.016. — arXiv: hep-th/0309180.

44. Polyakov A. M. Quantum Geometry of Bosonic Strings // Phys. Lett. B / под ред. I. M. Khalatnikov, V. P. Mineev. — 1981. — т. 103. — с. 207—210. — DOI: 10.1016/0370-2693(81)90743-7.

45. Zamolodchikov A. B. Conformal symmetry in two-dimensional space: recursion representation of conformal block // Theor.Math.Phys. — 1987. — t. 73. — c. 1088. — DOI: 10.1007/BF01022967.

46. Fateev V., Ribault S. The Large central charge limit of conformal blocks // JHEP. — 2012. — t. 02. — c. 001. — DOI: 10.1007/JHEP02(2012)001. — arXiv: 1109.6764 [hep-th].

47. Perlmutter E. Virasoro conformal blocks in closed form // JHEP. — 2015. — t. 08. — c. 088. — DOI: 10.1007/JHEP08(2015)088. — arXiv: 1502.07742 [hep-th].

48. Exact Virasoro Blocks from Wilson Lines and Background-Independent Operators / A. L. Fitzpatrick [h gp.] // JHEP. — 2017. — t. 07. — c. 092. — DOI: 10.1007/JHEP07(2017)092. — arXiv: 1612.06385 [hep-th].

49. Belavin A., Polyakov A. M., Zamolodchikov A. Infinite Conformal Symmetry in Two-Dimensional Quantum Field Theory // Nucl.Phys. — 1984. — t. B241. — c. 333—380. — DOI: 10.1016/0550-3213(84)90052-X.

50. Fitzpatrick A. L, Kaplan J., Walters M. T. Universality of Long-Distance AdS Physics from the CFT Bootstrap // JHEP. — 2014. — t. 1408. — c. 145. — DOI: 10.1007/JHEP08(2014)145. — arXiv: 1403.6829 [hep-th].

51. Fitzpatrick A. L, Kaplan J., Walters M. T. Virasoro Conformal Blocks and Thermality from Classical Background Fields // JHEP. — 2015. — t. 11. — c. 200. — DOI: 10.1007/JHEP11(2015)200. — arXiv: 1501.05315 [hep-th].

52. Alkalaev K. B., Belavin V. A. From global to heavy-light: 5-point conformal blocks // JHEP. — 2016. — t. 03. — c. 184. — DOI: 10.1007/JHEP03(2016) 184. — arXiv: 1512.07627 [hep-th].

53. Hawking from Catalan / A. L. Fitzpatrick [h gp.] // JHEP. — 2016. — t. 05. — c. 069. — DOI: 10.1007/JHEP05(2016)069. — arXiv: 1510.00014 [hep-th].

54. Alkalaev K. B., Belavin V. A. Monodromic vs geodesic computation of Virasoro classical conformal blocks // Nucl. Phys. — 2016. — t. B904. — c. 367—385. — DOI: 10.1016/j.nuclphysb.2016.01.019. — arXiv: 1510.06685 [hep-th].

55. Alkalaev K. B., Belavin V. A. Classical conformal blocks via AdS/CFT correspondence // JHEP. — 2015. — t. 08. — c. 049. — DOI: 10.1007/ JHEP08(2015)049. — arXiv: 1504.05943 [hep-th].

56. Banerjee P., Datta S., Sinha R. Higher-point conformal blocks and entanglement entropy in heavy states // JHEP. — 2016. — t. 05. — c. 127. — DOI: 10.1007/JHEP05(2016)127. — arXiv: 1601.06794 [hep-th].

57. Alkalaev K. B. Many-point classical conformal blocks and geodesic networks on the hyperbolic plane // JHEP. — 2016. — t. 12. — c. 070. — DOI: 10. 1007/JHEP12(2016)070. — arXiv: 1610.06717 [hep-th].

58. Banados M., Teitelboim C., Zanelli J. The Black hole in three-dimensional space-time // Phys. Rev. Lett. — 1992. — t. 69. — c. 1849—1851. — DOI: 10.1103/PhysRevLett.69.1849. — arXiv: hep-th/9204099.

59. Hulik O, Prochazka T, Raeymaekers J. Multi-centered AdS3 solutions from Virasoro conformal blocks // JHEP. — 2017. — t. 03. — c. 129. — DOI: 10.1007/JHEP03(2017)129. — arXiv: 1612.03879 [hep-th].

60. Hulik O, Raeymaekers J., Vasilakis O. Multi-centered higher spin solutions from WN conformal blocks // JHEP. — 2018. — t. 11. — c. 101. — DOI: 10.1007/JHEP11(2018)101. — arXiv: 1809.01387 [hep-th].

61. Banados M. Three-dimensional quantum geometry and black holes. — 1998. — DOI: 10.1063/1.59661. — arXiv: hep-th/9901148 [hep-th]. — [AIP Conf. Proc.484,147(1999)].

62. Shenker S. H, Stanford D. Black holes and the butterfly effect // JHEP. — 2014. — t. 03. — c. 067. — DOI: 10.1007/JHEP03(2014)067. — arXiv: 1306. 0622 [hep-th].

63. Roberts D. A., Stanford D., Susskind L. Localized shocks // JHEP. — 2015. — t. 03. — c. 051. — DOI: 10.1007/JHEP03(2015)051. — arXiv: 1409.8180 [hep-th].

64. Higher spin entanglement and WN conformal blocks / J. de Boer [h gp.] // JHEP. — 2015. — t. 07. — c. 168. — DOI: 10.1007/JHEP07(2015) 168. — arXiv: 1412.7520 [hep-th].

65. Arcioni G, Dappiaggi C. Exploring the holographic principle in asymptotically flat space-times via the BMS group // Nucl. Phys. B. — 2003. — t. 674. — c. 553—592. — DOI: 10.1016/j.nuclphysb.2003.09.051. — arXiv: hep-th/0306142.

66. Hijano E. Flat space physics from AdS/CFT // JHEP. — 2019. — t. 07. — c. 132. — DOI: 10.1007/JHEP07(2019)132. — arXiv: 1905.02729 [hep-th].

67. Alkalaev K., Pavlov M. Perturbative classical conformal blocks as Steiner trees on the hyperbolic disk // JHEP. — 2019. — t. 02. — c. 023. — DOI: 10.1007/JHEP02(2019)023. — arXiv: 1810.07741 [hep-th].

68. Alkalaev K. B., Pavlov M. Four-point conformal blocks with three heavy background operators // JHEP. — 2019. — t. 08. — c. 038. — DOI: 10.1007/ JHEP08(2019)038. — arXiv: 1905.03195 [hep-th].

69. Alkalaev K., Pavlov M. Holographic variables for CFT2 conformal blocks with heavy operators // Nucl. Phys. B. — 2020. — t. 956. — c. 115018. — DOI: 10.1016/j.nuclphysb.2020.115018. — arXiv: 2001.02604 [hep-th].

70. Pavlov M. Large- c conformal (n < 6)-point blocks with superlight weights and holographic Steiner trees // Phys. Lett. B. — 2021. — t. 816. — c. 136273. — DOI: 10.1016/j .physletb. 2021. 136273. — arXiv: 2101.04513 [hep-th].

71. Di Francesco P., Mathieu P., Senechal D. Conformal Field Theory. — New York : Springer-Verlag, 1997. — (Graduate Texts in Contemporary Physics). — ISBN 9780387947853, 9781461274759. — DOI: 10.1007/978-1-4612-2256-9. — URL: http: //www- spires.fnal.gov/spires/find/books/www?cl=QC174. 52. C66D5::1997.

72. Hadasz L, Jaskolski Z, Piatek M. Classical geometry from the quantum Liouville theory // Nucl. Phys. B. — 2005. — t. 724. — c. 529—554. — DOI: 10.1016/j.nuclphysb.2005.07.003. — arXiv: hep-th/0504204.

73. Be§ken M, Datta S., Kraus P. Semi-classical Virasoro blocks: proof of exponentiation // JHEP. — 2020. — t. 01. — c. 109. — DOI: 10.1007/ JHEP01(2020)109. — arXiv: 1910.04169 [hep-th].

74. Harlow D., Maltz J., Witten E. Analytic Continuation of Liouville Theory // JHEP. — 2011. — t. 1112. — c. 071. — DOI: 10.1007/JHEP12(2011)071. — arXiv: 1108.4417 [hep-th].

75. Classical Conformal Blocks and Painleve VI / A. Litvinov [h gp.] // JHEP. — 2014. — t. 07. — c. 144. — DOI: 10.1007/JHEP07(2014)144. — arXiv: 1309. 4700 [hep-th].

76. Hijano E., Kraus P., Snively R. Worldline approach to semi-classical conformal blocks // JHEP. — 2015. — t. 07. — c. 131. — DOI: 10.1007/ JHEP07(2015)131. — arXiv: 1501.02260 [hep-th].

77. Black Hole Collapse in the 1/c Expansion / T. Anous [h gp.] // JHEP. — 2016. — t. 07. — c. 123. — DOI: 10.1007/JHEP07(2016)123. — arXiv: 1603. 04856 [hep-th].

78. From Conformal Blocks to Path Integrals in the Vaidya Geometry / T. Anous [h gp.] // JHEP. — 2017. — t. 09. — c. 009. — DOI: 10.1007/JHEP09(2017) 009. — arXiv: 1706.02668 [hep-th].

79. Kusuki Y. Large c Virasoro Blocks from Monodromy Method beyond Known Limits // JHEP. — 2018. — t. 08. — c. 161. — DOI: 10.1007/JHEP08(2018) 161. — arXiv: 1806.04352 [hep-th].

80. Nehari Z. Conformal Mapping. — Dover Publications, 2012. — (Dover Books on Mathematics). — ISBN 9780486145037. — URL: https://books.google.ru/ books?id=ZEVosWb9CnAC.

81. Holographic Entanglement Entropy from 2d CFT: Heavy States and Local Quenches / C. T. Asplund [h gp.] // JHEP. — 2015. — t. 1502. — c. 171. — DOI: 10.1007/JHEP02(2015)171. — arXiv: 1410.1392 [hep-th].

82. Brill D. R. Geometry of black holes and multi - black holes in (2+1)-dimensions // Gravitation and cosmology. Proceedings, Conference, ICGC'95, Pune, India, December 13-19, 1995. — 12.1995. — arXiv: gr-qc/ 9607026.

83. Coussaert O, Henneaux M. Nonexistence of static multi black hole solutions in (2+1)-dimensions // Geometry of constrained dynamical systems. Proceedings, Conference, Cambridge, UK, June 15-18, 1994. — 1994. — c. 150—157.

84. Belavin V. A., Geiko R. V. Geodesic description of Heavy-Light Virasoro blocks // JHEP. — 2017. — т. 08. — с. 125. — DOI: 10.1007/JHEP08(2017) 125. — arXiv: 1705.10950 [hep-th].

85. Hirai H, Tamaoka K., Yokoya T. Towards Entanglement of Purification for Conformal Field Theories // PTEP. — 2018. — т. 2018, № 6. — 063B03. — DOI: 10.1093/ptep/pty063. — arXiv: 1803.10539 [hep-th].

86. Welling M. Explicit solutions for point particles and black holes in spaces of constant curvature in (2+1)-Dimensional gravity // Nucl.Phys. — 1998. — т. B515. — с. 436—452. — DOI: 10.1016/S0550-3213(98)00008-X. — arXiv: hep-th/9706021 [hep-th].

87. Welling M. Two particle quantum mechanics in (2+1) gravity using noncommuting coordinates // Class. Quant. Grav. — 1997. — т. 14. — с. 3313—3326. — DOI: 10.1088/0264-9381/14/12/015. — arXiv: gr-qc/ 9703058.

88. Balasubramanian V., Kraus P. A Stress tensor for Anti-de Sitter gravity // Commun. Math. Phys. — 1999. — т. 208. — с. 413—428. — DOI: 10.1007/ s002200050764. — arXiv: hep-th/9902121 [hep-th].

89. Hille E. Ordinary Differential Equations in the Complex Domain. — Dover Publications, 1997. — (Dover books on mathematics). — ISBN 9780486696201. — URL: https://books.google.ru/books?id=I1OR4t8UZCgC.

90. Roberts M. M. Time evolution of entanglement entropy from a pulse // JHEP. — 2012. — т. 1212. — с. 027. — DOI: 10.1007/JHEP12(2012)027. — arXiv: 1204.1982 [hep-th].

91. Cresswell J. C, Jardine I. T, Peet A. W. Holographic relations for OPE blocks in excited states // JHEP. — 2019. — т. 03. — с. 058. — DOI: 10.1007/ JHEP03(2019)058. — arXiv: 1809.09107 [hep-th].

92. Фукс Б. А. Неевклидова геометрия в теории конформных и псевдоконформных отображений. — Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1951. — 148 с.

93. Krasnov K. Holography and Riemann surfaces // Adv. Theor. Math. Phys. — 2000. — т. 4. — с. 929—979. — arXiv: hep-th/0005106 [hep-th].

94. Krasnov K. 3-D gravity, point particles and Liouville theory // Class. Quant. Grav. — 2001. — т. 18. — с. 1291—1304. — DOI: 10.1088/0264-9381/18/7/ 311. — arXiv: hep-th/0008253 [hep-th].

95. Chang C.-M, Lin Y.-H. Bootstrap, universality and horizons // JHEP. — 2016. — т. 10. — с. 068. — DOI: 10.1007/JHEP10(2016)068. — arXiv: 1604. 01774 [hep-th].

96. Jarnik V., Kossler M. O minimalnich grafech, obsahujicich n danych bodu // Casopis pro pestovani matematiky a fysiky. — 1934. — т. 063, № 8. — с. 223— 235. — URL: http://eudml.org/doc/25703.

97. Протасов В. Ю. Максимумы и минимумы в геометрии. — Москва : МЦ-НМО, 2012. — 56 с.

98. Ivanov A., Tuzhilin A. Minimal Networks. The Steiner Problem and Its Generalizations. — CRC Press, 1994.

99. Courant R., Robbins H. What is mathematics? An elementary introduction to ideas and methods. — Oxford University Press, 1941.

100. Gueron S., Tessler R. The Fermat-Steiner Problem // The American Mathematical Monthly. — 2002. — т. 109, № 5. — с. 443—451. — URL: http: //www.jstor.org/stable/2695644.

101. Link M. The Fermat problem of a hyperbolic triangle // B.A., Bellarmine University. — 2006.

102. Zachos A. N. Location of the weighted Fermat-Torricelli point on the K-plane (Part II) // Analysis. — 2014. — т. 34. — с. 111—120. — URL: https://doi. org/10.1515/anly-2013-1231.

103. Rate of cluster decomposition via Fermat-Steiner point / A. Avdoshkin [и др.] // JHEP. — 2019. — т. 04. — с. 128. — DOI: 10.1007/JHEP04(2019) 128. — arXiv: 1811.03633 [hep-th].

104. Anderson J. A. Hyperbolic Geometry. — Springer, 1999. — ISBN 978-1-84628-220-1.

105. Alkalaev K. B., Belavin V. A. Holographic interpretation of 1-point toroidal block in the semiclassical limit // JHEP. — 2016. — т. 06. — с. 183. — DOI: 10.1007/JHEP06(2016)183. — arXiv: 1603.08440 [hep-th].

106. Alkalaev K. B., Geiko R. V., Rappoport V. A. Various semiclassical limits of torus conformal blocks // JHEP. — 2017. — t. 04. — c. 070. — DOI: 10.1007/JHEP04(2017)070. — arXiv: 1612.05891 [hep-th].

107. Alkalaev K. B., Belavin V. A. Holographic duals of large-c torus conformal blocks // JHEP. — 2017. — t. 10. — c. 140. — DOI: 10.1007/JHEP10(2017) 140. — arXiv: 1707.09311 [hep-th].

108. Alkalaev K., Belavin V. Large-c superconformal torus blocks // JHEP. — 2018. — t. 08. — c. 042. — DOI: 10.1007/JHEP08(2018)042. — arXiv: 1805. 12585 [hep-th].

109. Ramos Cabezas J. Semiclassical torus blocks in the t-channel // JHEP. — 2020. — t. 08. — c. 151. — DOI: 10.1007/JHEP08(2020)151. — arXiv: 2005. 04128 [hep-th].

110. Gerbershagen M. Monodromy methods for torus conformal blocks and entanglement entropy at large central charge // JHEP. — 2021. — t. 08. — c. 143. — DOI: 10.1007/JHEP08(2021)143. — arXiv: 2101.11642 [hep-th].