Методы дуальности в гравитационных моделях и фундаментальные проблемы физики черных дыр тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, доктор физико-математических наук Солодухин, Сергей Николаевич

• Солодухин, Сергей Николаевич
• доктор физико-математических наук
• 2006

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Солодухин, Сергей Николаевич

Содержание i

1 Термодинамика черных дыр: квантовые аспекты, перенормировка и двумерные модели

1.1 Квантовые поправки к энтропии черной

1.1.1 Введение.

1.1.2 Евклидов функциональный интеграл и геометрическая энтропия

1.1.3 Вычисление геометрической энтропии.

1.2 Перенормировка квантовой энтропии

1.2.1 Формулировка результата

1.2.2 Доказательство в случае неминимальной связи.

1.2.3 Соотношение геоме1рической энтропии и термодинамической энтропии черной дыры.

1.3 Вычисление энтропии в методе 'тХоофта: двумерный пример

1.4 Ло1арифмические поправки к энтропии черной дыры.

1.4.1 Энтропия черной дыры Шварцшильда, соответствие между черной дырой и струной

1.4.2 Универсальность квантовой энтропии в экстремальном пределе

1.5 Геометрия и термодинамика квантовокорректированной черной дыры в двумерных моделях.

1 5.1 RST модель.

1.5.2 Сферически симметричная редукция 4-морной теории Эйнштейна-Максвелла.

2 Дуальность между пространством-временем анти-де Ситтера и конформной теорией поля

2.1 Идея голографической дуальности.

2.2 Асимптотическое решение уравнений Эйнштейна.

2.3 Расходимости, контр-члены и голографический тензор энергии-импульса

2.4 Взаимодействие с материей, тождества

Уорда.

2.4.1 Граничная проблема Дирихле для скалярного поля в фиксированном гравитационном поле

2 4.2 Гравитирующее скалярное поле, тождества Уорда.

3 Обобщения дуального описания

3.1 Дуальное конформное описание вблизи горизонта.

3.1.1 Формулировка правил дуального описания на горизонте

3.1.2 Общий вид метрики и асимпютические симметрии.

3.1.3 Восстановление скалярного поля в объеме.

3.1.4 Восстановление метрики.

3.2 Дуальное конформное описание пространства-времени Минков-ского.

3.2 1 Расслоение пространства Минковского поверхностями постоянной кривизны.

3.2.2 Скалярное поле в пространстве Минковского.

3.2.3 Функции Грина и S-матрица в пространстве Минковскою

4 Гравитационные эффекты на плоских и кривых мембранах

4.1 Эффективные уравнения гравитационного поля локализованного на мембране

4.2 Локализация гравитационного поля на деситтеровской браие . . .118 4.2.1 Введение.

4.2.2 Формулировка модели.

4.2 3 Пропагатор.

4.2.4 Плоские браны.

4.2 5 Браны де Ситтера.

4.2 6 Зависимость гравитации на бране от маснпаба.

5 Описание черной дыры в терминах конформной теории поля

5.1 Конформная симметрия вблизи горизонта: алгебра Вирасоро и энтропия

5.1.1 Введение.

5 1.2 Граничное условие горизонта и 2-мерная конформная группа симметрии

5.1 3 Эшропия Бекенштейна-Хокинга и ценхральный заряд в ал1 ебре Вирасоро.

5.1.4 Обобщение на случай d > 4 и d = 3.

5.2 Конформное описание излучения Хокинга в терминах корреляторов в модели

Лиувилля.

5.3 Квази-нормальные моды как полюса

З-ючечной функции в модели Лиувилля.

5.3.1 Волновое уравнение и Римановы поверхности.

5.3.2 Предел инхенсивного затухания.

5 3.3 Эффективная конформная теория.

6 Процесс релаксации и квантовая унитарность в черных дырах и дуальной конформной теории поля

6.1 Введение.

6.2 Линейная теория релаксации: 2-точечная корреляционная функция

6.3 Процесс релаксации в черной дыре: квази-нормальные моды и их конформная интерпретация

6.4 Релаксация в конечном объеме и анализ проблемы унитарности.

6.4.1 Релаксация в 2-мерной конформной теории поля.

6.4.2 Релаксация в конформная теории поля дуальной ACIS3: фазовый переход Хокинга-Пейджа.

6.4.3 Унитарность в черной дыре: режим конечных значений к

А: Тензоры кривизны на коническом пространстве Еа

В: Разложение ядра теплопроводности для оператора (-□ + на коническом пространстве Еа

С: Коэффициенты асимптотическою разложения метрики.

D: Расходящиеся члены действия.

Е: Свойства ассоциированных функций Лежандра.

F: 3-точечная функция в модели Лиувилля.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Методы дуальности в гравитационных моделях и фундаментальные проблемы физики черных дыр»

Современная эпоха представляет собой интересный этап в развитии фундаментальной физики. Он отмечен появившимися, а также ожидаемыми в ближайшее время, новыми экспериментальными данными, представляющими информацию о юм, как природа организована на совершенно различных масштабах от размера Вселенной до фундаментального размера элементарных частиц Это, прежде всего, новые космологические данные, фактически подтвердившие во многих деталях предсказания инфляционной модели. Сюда же относится и замечательное открытие ненулевой, хотя и удивительно малой по величине, космологической постоянной Это открытие вновь поставило научное сообщество перед вопросом, правильно ли мы понимаем те фундаментальные процессы, которые лежат в основе наблюдаемых явлений. Тот факт, что теоретические предсказания "из первых принципов" для космологической постоянной на много порядков отличаются от того, чю на самом деле наблюдается, по-видимому означает, что существующие теоретические модели и наше понимание того, чю они описывают, далеко не совершенны. Однако, уже сейчас ясно, что описание физики на самом большом, космологическом, масштабе невозможно без вовлечения физики на самым малых, возможно планковских, масштабах. В ближайшие годы гравитационные эксперименты на LIGO и LISA, где уже достигнута фантастическая точность, должны подтвердить одно из наиболее ожидаемых предсказаний теории гравитации Эйнштейна о существовании волн геометрии, т.е. гравитационных волн С другой стороны, ускоритель нового поколения LHC, который, как ожидается, начнет действовать в конце 2007 года в CERN позволит сделать первые шаги в изучении физики элементарных частиц за пределами Стандартной Модели.

Все это говорит о том, что в ближайшее время увеличится роль формальных теоретических концепций и их стыковок с феноменологией. В этих условиях важно охватить свежим непредвзятым взглядом существующие теории, претендующие на формулировку единого представления об известных фундаментальных явлениях. Наиболее гармонично и математически непротиворечиво единая точка зрения на фундаментальные процессы сформулирована в рамках теории струн. Однако, эта теория не дает четких и однозначных объяснений возникновения наблюдаемой ускоренно расширяющейся Вселенной. Более юго, само сущесхвование такого основополагающего способа описания квантовой эволюции как 5-матрица является далеко не очевидным в такой Вселенной, современная фаза расширения которой может быть приближена геомехрией пространства-времени де Ситтера. Основной особенностью этого пространства является существование космоло1 ического горизонта и отсутствие асимптотических областей, где асимптотические квантовые состояния взаимодействующих объектов могли бы быть определены.

Новая парадигма, которая была выдвинута в последнее десятилетие для решения широкого круга проблем, это голография (holography). Она представляет собой совершенно новый способ соединения в одно целое гравитации, фундаментальных взаимодействий и квантовой механики. Наиболее успешной реализацией голографической идеи является AdS/CFT соответствие, которое представляет собой инструмент для объяснения гравитационных явлений в терминах унитарной конформной теории поля. Это соответствие первоначально было сформулировано для пространства-времени с отрицательной кривизной. Важной проблемой является обобщение этого соответствия на случай реалис-шчных, космологически интересных, пространств.

Черные дыры являются объектами, идеально подходящими для проверки непротиворечивости существующих фундаментальных физических концепций. Само существование черных дыр, как оно видится нам сейчас, является результатом сложных процессов, вовлекающих сильное гравитационное взаимодействие и типично квантовое поведение. Интересна история изучения черных дыр. Открытые в 1916 юду Карлом Шварцшильдом, находящимся в то время вместе с немецкой армией в России, как решение нелинейных уравнений предложенных Эйннпейном, они долгое время рассматривались скорее как своеобразный курьез, чем нечто реальное. Систематическое изучение черных дыр инициировалось в конце 50-х Уилером, который, собственно, и предложил название "черные дыры". В середине 60-х Вернер Израэль доказал ряд важных теорем, показывающих, что черная дыра является объектом с очень немногими параметрами. Только масса, электрический заряд и, возможно, угловой момент -вот все, что может характеризовать черную дыру. Рассматривая возможность возникновения черной дыры в результате гравитационного коллапса, получается, что многочисленные детали, характеризующие коллапсирующий объект, теряются после того, как образуется черная дыра. Следующий важный шаг был сделан Якобом Бекешптейном в 1972 году, который, рассматривая различные мысленные эксперименты, приводящие к нарушению 2-го закона термодинамики в присутствии черной дыры, пришел к выводу, что единственный способ сохранить 2-ой закон это предположить, что сама черная дыра имеет энтропию, пропорциональную площади ее поверхности. Это предположение было вскоре подтверждено Стивеном Хокинюм, открывшим явление квантового испарения черной дыры. Согласно Хокингу, черная дыра, как хорошо разогретая печка, излучает частицы распределенные по тепловому закону. Соответствующая температура, и шестная теперь как температура Хокинга, была вычислена, что позволило определить энтропию излучающего объекта, те. черной дыры. Энтропия оказалась такой, как предсказывал Бекенштейн. Точный коэффициент пропорциональности между энтропией и площадью поверхности черной дыры был, таким образом, определен. Сам факт, что решение классических уравнений поля, чем, собственно, и является черная дыра, может иметь какую-то энтропию, удивителен. Учитывая, что эта энтропия, по сухи, огромна и превышает эшропию каких-либо ранее известных в природе обьектов, очевидно, что проблема объяснения этой энтропии оказывается ключевой. Более юго, как было вскоре высказано Хокишом, черные дыры, по-видимому, нарушают квантовую унитарность. Действительно, кажеюя возможным, что чистое состояние может перейти в смешанное состояние теплового газа путем коллапса в промежуточное состояние черной дыры, которая впоследствии полностью испаряется и оставляет после себя только тепловой газ. Очевидно, что такой процесс, если он реализуется, противоречил бы основным принципам квантовой механики, в которой временная эволюция описывается унитарным оператором.

Таким образом, имеются, по крайней мере, две фундаментальные проблемы в физике черных дыр:

• Объяснить энтропию черной дыры через число возможных состояний, дать соответствующее квантово-механическое описание состояний черной дыры.

• Решить проблему квантовой унитарности в процессах с участием черных дыр.

Исследование этого Kpyia вопросов является центральным в настоящей диссертации. Следует отметить, что в последние годы достигну! определенный прогресс в решении проблемы энтронии черной дыры. В теории струн было предложено соответствующее вычисление числа состояний определенного класса экстремальных и около-экстремальных черных дыр. Важную роль в этом вычислении играют конформная симметрия и известные методы подсчета вырождения в конформной теории поля. Однако, применение этих методов, как и само существование конформной симметрии, в случае, скажем, незаряженной черной дыры является далеко не очевидным. В данной диссертации показывается, что конформная симметрия является тем универсальным элементом, который, в конечном счете, объясняет многие свойства черных дыр Ключевым в подходе к решению отмеченных проблем является идея существования дуального (голографического) описания гравитационных явлений в терминах дуальной, вообще говоря Hei равитационной, теории. В зависимости от тою, где дуальная теория определена, на бесконечности или же вблизи горизонта, де1али голографического описания MoiyT различаться. В обоих случаях, однако, конформная симметрия, как показывается в данной диссертации, играет важную роль.

Диссертация организована следующим образом. В первой главе формулируется подход к вычислению, так называемой, entanglement энтропии черной дыры. Он заключается в вычислении функционального инте[рала по квантовым возбуждениям полей материи и гравитационною поля методом конической сингулярности. Вычисляются UV расходимости в энтропии, выясняется их общая структура и показывается, что эти расходимосш убираю 1ся путем стандартной перенормировки эффективного действия. Entanglement энтропия, таким образом, имеет естественную интерпретацию как квантовой поправки к классической (или древесной) энтропии Бекенштейна-Хокинга. Обсуждаются также UV конечные поправки к энтропии. Особое внимание уделяется поправкам, которые логарифмически зависят от площади гориюнта черной дыры. На примере двумерных моделей исследуется самосогласованный подход, в котором учитывается обратное влияние излучения Хокинга на геометрию черной дыры и на модификацию выражений для вычисления энтропии.

Во второй главе исследуются геометрические аспекты дуального описания пространства анти-де Ситтера в терминах конформной теории поля на границе. Рассматривается проблема Дирихле для гравитационного поля (метрики), описываемого уравнениями Эйнштейна с отрицательной космологической постоянной и принимающего фиксированное значение на границе (граничная метрика). Анализ проводится с использованием разложения Феффермана-Грема для метрики в объеме. Показывается, что метрика в объеме может быть полностью восстановлена по данным на границе: граничной метрике и вакуумному ожиданию тензора энер1 ии-импульса в дуальной конформной теории поля. Исследуются расходимости в гравитационном действии и их перенормировка путем добавления контр-членов, определенных на границе.

Третья глава посвящена обобщениям дуального описания для пространств, не являющихся асимптотически пространством анти-де Ситтера. Рассмотрено асимптотически плоское пространство-время, для которого дуальное описание сформулировано на границе светового конуса. В случае, когда пространство-время имеет юризонт, показано, что описание в терминах конформной теории поля естественно возникает на горизонте (horizon holography).

Результаты, полученные во второй главе, применяются в четвертой главе для получения уравнений гравитационного поля, индуцированного на 4-мерной бране, помещенной в 5-мерное пространство-время различной кривизны. Особый акцент делается на изучение искривленных бран, в частности, бран с геометрией пространства де Ситтера. Исследуется локализация гравитационного поля на такой бране и обсуждается обнаруженный эффект масштабной зависимости гравитационного взаимодействия на бране. Обсуждаегся возможная роль этого эффекта в объяснении малой космологической посгоянной.

В пятой главе исследуется двумерная конформная симметрия вблизи горизонта черной дыры. Вычисляется центральный заряд в соответствующей алгебре Вирасоро и показывается, чю он определяется площадью поверхности горизонт. Предлагается конформное описание различных явлений в черной дыре в терминах корреляторов в [раничной модели Лиувилля. Рождение частиц Хокинга, в частноеIи, в этой картине описывается в терминах 1-точечной корреляционной функции. Описание в терминах модели Лиувилля обобщается на случай режима сильного затухания. В этом случае показывается, что квазинормальные моды черной дыры описываются как полюса в 3-точечной функции в модели Лиувилля.

В шестой главе рассматривается процесс релаксации в 3-мерной черной дыре BTZ и в дуальной конформной теории поля. Для черной дыры релаксация управляется бесконечным набором комплексных квазинормальных мод, ко-юрые вычисляются для полей различного спина. В дуальной CFT этот процесс описывается запаздывающей 2-точечной корреляционной функцией дуальных операторов. Показывается, что бесконечный набор полюсов в импульсном представлении корреляционной функции в теории на границе в точности совпадает с набором квазинормальных мод черной дыры в балке Исследуется вопрос о временной зависимости корреляционной функции при конечной температуре и в конечном объеме. Показывается, что имеет место фазовый переход от релаксации осциллирующего характера при низкой температуре к экспоненциально затухающему типу релаксации при высокой температуре. Это соответствует фазовому переходу Хокиша-Пейджа в гравитационной теории.

В заключении перечислены основные результаты, выносимые на защиту.

Результаты диссертации докладывались и обсуждались на семинарах Лаборатории теоре1ической физики им. Н Н. Боголюбова ОИЯИ, в Физическом институте им. П.Н. Лебедева РАН (Москва), в институте теоретической физики им. Л.Д. Ландау РАН (Черноголовка), в теоретическом отделе CERN (Женева), в Кавли институте теоретической физики университета Калифорнии (Санта-Барбара), в Периметр институте теоретической физики (Ватерлоо), в Макс Планк институте гравитационной фишки (Потсдам), в Высшей нормальной школе ENS (Лион), в университетах в городах Ватерлоо, Эдмонтон (Канада), Утрехт, Амстердам (Голландия), Ахен, Мюнхен, Гамбург, Йена, Кельн, Бремен (Германия), Брюссель (Бельгия), Копенгаген (Дания), Хельсинки (Финляндия), Кембридж (Англия), Провиденс, Стони-Брук, Сиракюз, Нью-Йорк, Лос-Анджелес, Девис (США). По теме диссертации опубликовано 51 работа.

Заключение диссертации по теме «Теоретическая физика», Солодухин, Сергей Николаевич

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертации получены следующие основные резулыаты.

1. Развит математический аппарат для вычисления квантовых поправок к энтропии черной дыры. Получена общая структура ультра-фиолетовых расходимостей в квантовой энтропии черной дыры и показано, что неренормировка энтропии достигается стандартной перенормировкой констант связи (постоянной Ньютона и констант перед квадратичными по кривизне членами в действии).

2. Выявлено соотношение и продемонстрирована на двумерном примере точная эквивалентность различных подходов к определению энтропии черной дыры: как энтропии ашосферы квантовых возбуждений вне горизонта черной дыры: как entanglement энтропии, которая есть мера корреляции между квантами поля вне и внутри горизонта, и как термодинамической энтропии, определенной в терминах стагисгической суммы по ансамблю 1еометрий (с коническую сингулярностью на юризонте) при конечной температуре.

3. Изучены лоырифмические поправки к энтропии черной дыры. В рамках соответствия между черной дырой и струной предложена связь логарифмически зависящих от массы черной дыры членов в энтропии и саблидирующих членов в выражении для числа состояний квантовой струны. Для заряженной черной дыры изучено универсальное поведение полной квантовой энтропии, представляющей собой сумму конечной и ультра-фиолетово расходящейся частей, в пределе экстремальности, когда внутренний и внешний горизонты совпадают. Для двумерных "игрушечных моделей" исследована роль квантовых поправок в модификации геометрии черной дыры и ее термодинамики. Для модели, являющейся сферически-симметричной редукцией 4-мерной гравитации, получены поправки к энтропии и энергии заряженной черной дыры Рейсснера-Нордстрема

4. Исследовано i еометрическое описание i олографической дуальности между пространством-временем, асимптотическим к пространству анти-де Ситтера, и конформной теорией поля, определенной на границе. Изучена проблема типа Дирихле для метрики, являющейся решением уравнений Эйнштейна с отрицательной космологической постоянной. С помощью разложения Феффермана-Грема показано, что для полного восстановления метрики в объеме по данным на границе необходимо фиксировать как метрику, представляющую конформный класс метрик на границе, гак и вакуумное ожидание для тензора энергии-импульса дуальной конформной теории поля. Получены явные выражения для тензора энергии-импульса конформной теории поля в терминах коэффициентов асимптотического разложения метрики. Изучены расходимости в гравитационном действии на пространстве, асимптотическом к пространству анти-де Сигтера, и получены точные выражения для геометрических контр-членов, которые следует добавить к действию, чтобы сократить расходимости.

5 Предложены обобщения дуального описания. Для пространства-времени с горизонтом предложено, что конформная теория поля определена на горизонте черной дыры или космологическом горизонте. Сформулированы правила дуального соответствия и вычислены корреляционные функции на горизонте. С другой стороны, для пространства-времени Минковского сформулирована новая дуальнойь, в которой процессы, происходящие в объеме, описываются в терминах корреляционных функций конформной теории, определенной на границе светового конуса. Сформулированы правила для вычисления корреляционных функций конформных операторов, соответствующих плоским волновым решениям уравнений поля в объеме. Показано, что S-матрица в пространстве Минковского может быть восстановлены в терминах корреляционных функций в конформной теории ноля на границе светово! о конуса.

6. Изучена проблема локализации гравитационного поля на бране, помещенной в 5-мерное пространсхво-время. Найдены эффективные уравнения фавихационного поля, которые индуцируются на бране, погруженной в эйнштейново пространство-время с отрицательной космологической постоянной. Для браны де Ситтера, погруженной в пространство-время с отрицательной и нулевой кривизной, исследовано явление масштабной зависимости типа переносчика гравитационного взаимодействия вдоль браны и соответствующей зависимости гравитационной константы связи (постоянной Ньютона).

7. Показано, что вблизи горизонта черной дыры существует асимптотическая конформная группа симметрии, генерируемая алгеброй Вирасоро. Найдено представление этой алгебры в терминах 2-мерной конформной теории поля лиувиллевского типа. Показано, что соответствующий центральный заряд пропорционален энтропии площади горизонта черной дыры, так что энхропия Бекенштейна-Хокинга может быть интерпрехирована в терминах конформной теории поля на горизонте.

8. Предложено конформное описание излучения Хокинга в терминах 2-мерной конформной теории Лиувилля, описывающей, эффективно, струну, распространяющуюся вблизи горизонта. Введено понятие " горизонт ного состояния" по аналоги с граничным состоянием в модели Лиувилля. Предложена новая интерпретация излучения Хокинга как перехода между горизонтным состоянием и состояниями, которые могут распространяться произвольно далеко от горизонта. Показано, что эгог переход описывается в терминах 1-точечной корреляционной функции в граничной модели Лиувилля. На основе этой ин-терпретции получена «'-модификация теплового спектра излучения Хокинга. С другой сшроны, 2-точечная функция в возмущенной модели Лиувилля описывает прохождение частиц Хокинга через потенциальный радиальный барьер. При этом предлагается, что полюса в 2-точечной функции описывают квазинормальные моды черной дыры.

9. В, так называемом, пределе интенсивного затухания найдено эффективное струнное описание черной дыры в терминах модели Лиувилля. Моды, распространяющиеся на асимптотической бесконечности или вблизи горизонта представлены вершинными операторами подходящей конформной размерности, тогда как моды вблизи сишулярности представлены оператором нунктуры. Показано, что квази-нормальные моды черной дыры в этом пределе возникают как полюса в соответствующей 3-точечной корреляционной функции в модели Лиувилля.

10. Изучен процесс релаксации в 3-мерной черной дыре BTZ и в 2-мерной конформной теории поля в рамках AdS/CFT соответствия. Для черной дыры релаксация в состояние тепловою равновесия, после применения малого возбуждения, описывается набором квази-нормальных мод. Продемонстрирована интерпретация этих квази-нормальных мод как полюсов в запаздывающей 2-точечной корреляционной функции для возмущений в конформной теории поля на границе. Этим дана еще одна нетривиальная количественная проверка AdS/CFT соответствия. Показано, что i равитационный фазовый переход Хокинга-Пейджа в терминах дуальной конформной теории поля есть переход от осциллирующего характера релаксации при низких температурах к экспоненциально затухающему поведению при высоких температурах. Обсуждена возможность разрешения информационного парадокса черной дыры в рамках AdS/CFT соответствия.

В заключение я хотел бы выразить искреннюю благодарность моим соавторам Д Бирмингему, Я. Дебуру, В. Израэлю, Д.И. Казакову, К. Краснову, М. Парикху, К. Скендересу, Ю. Обухову, Р. Манну, И. Саксу, В.П. Фролову и Д.В. Фурсаеву за плодотворное сотрудничество. Я также благодарен А. Бар-винскому, Г. 'тХоофту, Р. Майерсу и В. Муханову за внимание к моей работе и много полезных обсуждений.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Солодухин, Сергей Николаевич, 2006 год

1. J. D. Bekenstein, "Black Holes And The Second Law," Lett. Nuovo Cim. 4, 737 (1972).

2. J. D. Bekenstein, "Black Holes And Entropy," Phys. Rev. D 7, 2333 (1973).

3. J. D. Beken&tein, "Generalized Second Law Of Thermodynamics In Black Hole Physics," Phys. Rev. D 9, 3292 (1974).

4. S. W. Hawking, "Particle Creation By Black Holes," Commun. Math. Phys. 43, 199 (1975).

5. G. 't Hooft, "On The Quantum Structure Of A Black Hole," Nucl. Phys. В 256, 727 (1985).

6. M. Srednicki, "Entropy and area," Phys. Rev. Lett. 71, 666 (1993) arXiv:hep-th/9303048].

7. L. Bombelli, R. K. Koul, J. H. Lee and R. D. Sorkin, "A Quantum Source Of Entropy For Black Holes," Phys. Rev. D 34, 373 (1986).

8. V. P. Frolov and I. Novikov, "Dynamical origin of the entropy of a black hole," Phys. Rev. D 48, 4545 (1993).

9. C. G. Callan and F. Wilczek, "On geometric entropy," Phys. Lett. В 333, 55 (1994).

10. D. Kabat and M. J. Strassler, "A Comment on entropy and area," Phys. Lett. В 329, 46 (1994).

11. L. Susskind and J. Uglum, "Black hole entropy in canonical quantum gravity and superstring theory," Phys,. Rev. D 50, 2700 (1994).

12. J. D. Bekenstein and V. F. Mukhanov, "Spectroscopy of the quantum black hole," Phys. Lett. В 360, 7 (1995).

13. Т. Jacobson, "Black hole entropy and induced gravity," arXiv:gr-qc/9404039.

14. D. V. Fursaev, "Black hole thermodynamics and renormalization," Mod. Phys. Lett. A 10, 649 (1995).

15. S. P. de Alwis and N. Ohta, "On the entropy of quantum fields in black hole backgrounds," arXiv:hep-th/9412027.

16. G. Cognola, L. Van/o and S. Zerbini, "One loop quantum corrections to the entropy for a four-dimensional eternal black hole," Class. Quant. Grav. 12, 1927 (1995).

17. A. 0. Barvinsky, V. P. Frolov and A. I. Zelnikov, "Wave function of a black hole and the dynamical origin of entropy," Phys. Rev. D 51, 1741 (1995).

18. M. S. Volkov and D. V. Galtsov, "Nonabelian Einstein Yang-Mills Black Holes," JETP Lett. 50 (1989) 346 Pisma Zh. Eksp. Teor. Fiz. 50 (1989) 312].

19. M. S Volkov and D. V. Galtsov, "Black Holes In Einstein Yang-Mills Theory," Sov. J. Nucl. Phys. 51 (1990) 747 Yad. Fiz. 51 (1990) 1171].

20. T. Jacobson, "A Note on Hartle-Hawking vacua," Phys. Rev. D 50, 6031 (1994).

21. D. V. Fursaev, "Spectral geometry and one loop divergences on manifolds with conical singularities," Phys. Lett. В 334, 53 (1994).

22. J. S. Dowker, "Heat kernels on curved cones," Class. Quant. Grav. 11, L137 (1994).

23. S. Carlip and C. Teitelboim, "The Off-shell black hole," Class. Quant. Grav. 12, 1699 (1995).

24. M. Banados, C. Teitelboim and J. Zanelli, "Black hole entropy and the dimensional continuation of the Gauss-Bonnet theorem," Phys. Rev. Lett. 72, 957 (1994).

25. R. M. Wald, "Black hole entropy in the Noether charge," Phys. Rev. D 48, 3427 (1993).

26. V. Iyer and R. M. Wald, "Some properties of Noether charge and a proposal for dynamical black hole entropy," Phys. Rev. D 50, 846 (1994).

27. T. Jacobson, G. Kang and R. C. Myers, "On black hole entropy," Phys. Rev. D 49, 6587 (1994).

28. V. Iyer and R. M. Wald, "A Comparison of Noether charge and Euclidean methods for computing the entropy of stationary black holes," Phys. Rev. D 52, 4430 (1995).

29. J. G. Demers, R. Lafrance and R. C. Myers, "Black hole entropy without brick walls," Phys. Rev. D 52, 2245 (1995).

30. J. S. Dowker and G. Kennedy, "Finite Temperature And Boundary Effects In Static Space-Times," J Phys. A 11, 895 (1978).

31. B. Allen and A. C. Ottewill, "Effects Of Curvature Couplings For Quantum Fields On Cosmic String Space-Times," Phys. Rev. D 42, 2669 (1990).

32. D. Kabat, "Black hole entropy and entropy of entanglement," Nucl. Phys. В 453, 281 (1995).

33. R. C. Myers, "Black hole entropy in two-dimensions," Phys. Rev. D 50, 6412 (1994) arXiv:hep-th/9405162.

34. N.D.Birrell, P.C.W.Davies, Quantum Fields m Curved Space, (Cambridge University Press, Cambridge, 1982).

35. А. О Barvinsky and G. A. Vilkovisky, "The Generalized Schwinger-Dewitt Technique In Gauge Theories And Quantum Gravity," Phys. Rept. 119 (1985) 1.

36. A. 0. Barvinsky and G. A. Vilkovisky, "Beyond The Schwinger-Dewitt Technique: Converting Loops Into Trees And In-In Currents," Nucl. Phys. В 282 (1987) 163.

37. A. 0. Barvinsky and G. A. Vilkovisky, "Covariant Perturbation Theory. 2: Second Order In The Curvature. General Algorithms," Nucl. Phys. В 333 (1990) 471.

38. A. O. Barvinsky and G. A. Vilkovisky, "Covariant Perturbation Theory. 3: Spectral Representations Of The Third Order Form-Factors," Nucl. Phys. В 333 (1990) 512.

39. S. M. Chri&tensen and M. J. Duff, "Axial And Conformal Anomalies For Arbitrary Spin In Gravity And Supergravity," Phys. Lett. В 76, 571 (1978).

40. M. J. Duff, "Twenty years of the Weyl anomaly," Class. Quant. Grav. 11,1387 (1994).

41. Antoniadis, E. Gava and K. S. Narain, "Moduli corrections to gravitational couplings from string loops," Phys. Lett. В 283, 209 (1992).

42. M. Green, J. Schwarz and E. Witten, Superstrmg Theory, vol.1 к 2, Cambridge University Press. (1987).

43. D. V. Fursaev, "Temperature and entropy of a quantum black hole and confor-mal anomaly," Phys. Rev. D 51, 5352 (1995).

44. О. B. Zaslavsky, "Role of a boundary in the relationship between black hole temperature and the trace anomaly," Phys. Rev. D 53, 4691 (1996).

45. I. Kani and C. Vafa, "Asymptotic Mass Degeneracies In Conformal Field Theories," Commun. Math. Phys. 130, 529 (1990).

46. G. T. Horowitz and J. Polchinski, "A correspondence principle for black holes and strings," Phys. Rev. D 55, 6189 (1997).

47. О. B. Zaslavsky, "Geometry of nonextreme black holes near the extreme state," Phys Rev. D 56, 2188 (1997).

48. V. P. Frolov, D. V. Fursaev and A. I. Zelnikov, "Statistical origin of black hole entropy in induced gravity," Nucl. Phys. В 486, 339 (1997).

49. V. P. Frolov and D. V. Fursaev, "Mechanism of generation of black hole entropy in Sakharov's induced gravity," Phys Rev. D 56, 2212 (1997).

50. V. P. Frolov and D. V. Fursaev, "Statistical mechanics on axially-symmetric space-times with the Killing hori/on and entropy of rotating black holes in induced gravity," Phys. Rev. D 61, 024007 (2000).

51. R. Camporesi, "Harmonic Analysis And Propagators On Homogeneous Spaces," Phys. Rept. 196 (1990) 1.

52. V. P. Frolov and G. A. Vilkovisky, "Spherically Symmetric Collapse In Quantum Gravity," Phys. Lett. В 106 (1981) 307.

53. J. A. Harvey and A. Strominger, "Quantum aspects of black holes," arXiv:hep-th/9209055.

54. S. B. Giddings, "Toy models for black hole evaporation," arXiv:hep-th/9209113.

55. G. Mandal, A. M. Sengupta and S. R. Wadia, "Classical solutions of two-dimensional string theory," Mod. Phys. Lett. A 6, 1685 (1991).

56. E. Witten, "On string theory and black holes," Phys. Rev. D 44, 314 (1991).

57. C. G. Callan, S. B. Giddings, J. A. Harvey and A. Strominger, "Evanescent black holes," Phys. Rev. D 45, 1005 (1992).

58. Т. Banks, A. Dabholkar, М. R. Douglas and M. O'Loughlin, "Are horned particles the climax of Hawking evaporation?," Phys. Rev. D 45, 3607 (1992).

59. M. 0. Katanaev and I. V. Volovich, "Two-Dimensional Gravity With Dynamical Torsion And Strings," Annals Phys. 197, 1 (1990).

60. M. 0. Katanaev and I. V. Volovich, "String Model With Dynamical Geometry And Torsion," Phys. Lett. В 175, 413 (1986).

61. M. 0. Katanaev, "Complete Integrability Of Two-Dimensional Gravity With Dynamical Torsion," J. Math. Phys. 31, 882 (1990).

62. J. G. Russo, L. Susskind and L. Thorlacius, "The Endpoint of Hawking radiation," Phys. Rev. D 46, 3444 (1992).

63. J. G. Rus&o, L. Susskind and L. Thorlacius, "Cosmic censorship in two-dimensional gravity," Phys Rev. D 47, 533 (1993).

64. D. A. Lowe, "Semiclassical approach to black hole evaporation," Phys. Rev. D 47, 2446 (1993).

65. R Dijkgraaf, H. L. Verlinde and E. P. Verlinde, "String propagation in a black hole geometry," Nucl. Phys. В 371, 269 (1992).

66. В. Birnir, S. B. Giddings, J. A. Harvey and A. Strominger, "Quantum black holes," Phys. Rev. D 46, 638 (1992).

67. S. W. Hawking, "Evaporation of two-dimensional black holes," Phys. Rev. Lett. 69, 406 (1992).

68. S. N. Solodukhin, "The Conical singularity and quantum corrections to entropy of black hole," Phys. Rev. D 51, 609 (1995).

69. S. N. Solodukhin, "On 'Nongeometric' contribution to the entropy of black hole due to quantum corrections," Phys. Rev. D 51, 618 (1995).

70. D. V. Fursaev and S. N. Solodukhin, "On one loop renormalization of black hole entropy," Phys. Lett. В 365, 51 (1996).

71. D. V. Fursaev and S. N. Solodukhin, "On the description of the Riemannian geometry in the presence of conical defects," Phys. Rev. D 52, 2133 (1995).

72. S. N. Solodukhin, "One loop renormalization of black hole entropy due to non-minimally coupled matter," Phys. Rev. D 52, 7046 (1995).

73. S. N. Solodukhin, "Black hole entropy: statistical mechanics agrees thermodynamics," Phys. Rev. D 54, 3900 (1996).

74. R. B. Mann and S. N. Solodukhin, "Conical geometry and quantum entropy of a charged Kerr black hole," Phys. Rev. D 54, 3932 (1996).

75. S. N. Solodukhin, "Brick wall and quantum statistical entropy of black hole," in Proceedings of 2nd International Sakharov Conference On Physics, pages 324-327, World Scientific, 1997; arXiv:hep-th/9607166.

76. R. B. Mann and S. N. Solodukhin, "Quantum scalar field on three-dimensional (BTZ) black hole instanton: Heat kernel, effective action and thermodynamics," Phys. Rev. D 55, 3622 (1997).

77. S. N. Solodukhin, "Non-minimal coupling and quantum entropy of black hole," Phys Rev. D 56, 4968 (1997).

78. S. N. Solodukhin, "Entropy of Schwarzschild black hole and string-black hole correspondence," Phys. Rev. D 57, 2410 (1998).

79. R. B. Mann and S. N. Solodukhin, "Universality of quantum entropy for extreme black holes," Nucl. Phys. В 523, 293 (1998).

80. V. P. Frolov, W. Israel and S. N. Solodukhin, "On One-loop Quantum Corrections to the Thermodynamics of Charged Black Holes," Phys. Rev. D 54, 2732 (1996).

81. Yu. N. Obukhov, S. N. Solodukhin and E. W. Mielke, "Coupling of lineal Poincare gauge gravity to scalar fields," Class. Quant. Grav. 11, 3069 (1994).

82. S. N. Solodukhin, "Two-dimensional quantum corrected eternal black hole," Phys. Rev. D 53, 824 (1996).

83. S. N. Solodukhin, "Two-dimensional exactly solvable models of gravity," in Proceedings of International Workshop on Geometry and Integrable Models, pages 96-117, World Scientific, 1996.

84. S. N. Solodukhin, "Black hole solution in 2-D gravity with torsion," Письма в ЖЭТФ 57, 317 (1993).

85. S. N. Solodukhin, "On higher derivative gravity in two-dimensions," Phys. Rev. D 51, 591 (1995).

86. S. N. Solodukhin, "Exact solution of 2-D Poincare gravity coupled to fermion matter," Phys. Rev. D 51, 603 (1995).

87. S. N. Solodukhin, "On exact integrability of 2-D Poincare gravity," Mod. Phys. Lett. A 9, 2817 (1994).

88. S. N. Solodukhin, "Cosmological solutions in 2-D Poincare gravity," Int. J. Mod. Phys. D 3, 269 (1994).

89. S. N. Solodukhin, "Topological 2-D Riemann-Cartan-Weyl gravity," Class. Quant. Grav. 10, 1011 (1993).

90. D. I. Kazakov and S. N. Solodukhin, "On Quantum deformation of the Schwarz-schild solution," Nucl. Phys. В 429, 153 (1994).

91. S. N. Solodukhin, "Two-dimensional black hole with torsion," Phys. Lett. В 319, 87 (1993).

92. Yu. N. Obukhov and S. N. Solodukhin, "Dynamical Gravity And Conforinal And Lorentz Anomalies In Two-Dimensions," Class. Quant. Grav. 7, 2045 (1990).

93. S. N. Solodukhin, "How to make the gravitational action on non-compact space finite," Phys. Rev. D 62, 044016 (2000).

94. K. Skenderis and S. N. Solodukhin, "Quantum effective action from the AdS/CFT correspondence," Phys. Lett. В 472, 316 (2000).

95. S. de Haro, S. N. Solodukhin and K. Skenderis, "Holographic reconstruction of spacetime and renormalization in the AdS/CFT correspondence," Commun. Math. Phys. 217, 595 (2001).

96. Sachs and S. N. Solodukhin, "Horizon holography," Phys. Rev. D 64, 124023 (2001).

97. J. de Boer and S. N. Solodukhin, "A holographic reduction of Minkowski space-time," Nucl. Phys. В 665, 545 (2003).

98. S. N. Solodukhin, "Reconstructing Minkowski space-time," in 73rd Meeting Between Theoretical Physicists And Mathematicians: (A)Ds-CFT Correspondence, pages 123-163, European Mathematical Society, 2005; arXiv:hep-th/0405252.

99. S. N. Solodukhin, "Holography with gravitational Chern-Simons," arXivhep-th/0509148; принято к публикации в Phys. Rev. D.

100. S. N. Solodukhin, "Holographic description of gravitational anomalies," J. High Energy Phys. 7, 003 (2006).

101. S. N. Solodukhin, "Restoring unitarity in BTZ black hole," Phys. Rev. D 71, 064006 (2005).

102. S. N. Solodukhin, "Can black hole relax unitarily?," in Vrnjacka Banja 2003, Mathematical, theoretical and phenomenological challenges beyond the standard model, pages 109-121, World Scientific, 2005, arXiv:hep-th/0406130.

103. D. Birmingham, I. Sachs and S. N. Solodukhin, "Relaxation in conformal field theory, Hawking-Page transition, and quasinormal/normal modes," Phys Rev. D 67, 104026 (2003).

104. D. Birmingham, I. Sachs and S. N. Solodukhin, "Conformal field theory interpretation of black hole quasi-normal modes," Phys. Rev. Lett. 88, 151301 (2002).

105. S. N. Solodukhin, "Conformal description of horizon's states," Phys. Lett. В 454, 213 (1999).

106. S. N. Solodukhin, "Horizon state, Hawking radiation and boundary Liouville model," Phys. Rev. Lett. 92, 061302 (2004).

107. K. Krasnov and S. N. Solodukhin, "Effective stringy description of Schwarz-schild black holes," Adv. Theor. Math. Phys. 8, 421 (2004).

108. S. de Наго, K. Skenderis and S. N. Solodukhin, "Gravity in warped com-pactifications and the holographic stress tensor," Class. Quant. Grav. 18, 3171 (2001).

109. M. K. Parikh and S. N. Solodukhin, "De Sitter brane gravity: From close-up to panorama," Phys. Lett. В 503, 384 (2001).

110. S. N. Solodukhin, "Black hole production via quantum tunneling," in 3rd International Sakharov Conference on Physics, pages 829-834, World Scientific, 2003; arXiv:hep-th/0212001.

111. S. N. Solodukhin, "Classical and quantum cross-section for black hole production in particle collisions," Phys. Lett. В 533, 153 (2002)

112. С. H. Солодухин, "Двумерная калибровочная аномалия как кривизна," Ядерная Физика 50, 1192 (1989).

113. S. N. Solodukhin, "Boundary conditions and the entropy bound," Phys. Rev. D 63, 044002 (2001).

114. С. H. Солодухин, "Струны и антисимметричные тензорные поля," Вестник Московского Университета (физика) 29, 78 (1988).

115. Ю. Н. Обухов, С. Н. Солодухин, "Редукция уравнения Дирака и его связь с уравнением Иваненко-Ландау-Келера," Теоретическая и математическая физика 94, 276 (1993).

116. S. N. Solodukhin, "Planckian AdS(2) х S(2) space is an exact solution of the semiclassical Einstein equations," Phys. Lett. В 448, 209 (1999).

117. S. N. Solodukhin, "Correlation functions of boundary field theory from bulk Green's functions and phases in the boundary theory," Nucl. Phys. В 539, 403 (1999).

118. S. N. Solodukhin, "Exact solution for a quantum field with delta-like interaction," Nucl. Phys. В 541, 461 (1999).

119. G. 't Hooft, "Dimensional reduction in quantum gravity," arXiv:gr-qc/9310026

120. L. Susskind, "The World as a hologram," J. Math. Phys. 36, 6377 (1995).

121. J. M. Maldacena, "The large N limit of superconformal field theories and supergravity," Adv. Theor. Math. Phys. 2, 231 (1998).

122. E. Witten, "Anti-de Sitter space and holography," Adv. Theor. Math. Phys. 2, 253 (1998).

123. L. Susskind and E. Witten, "The holographic bound in anti-de Sitter space," arXiv:hep-th/9805114.

124. S. S. Gubser, I. R. Klebanov and A. M. Polyakov, "Gauge theory correlators from non-critical string theory," Phys. Lett. В 428, 105 (1998).

125. J. D. Brown and M. Henneaux, "Central Charges In The Canonical Realization Of Asymptotic Symmetries: An Example From Three-Diinensional Gravity," Commun. Math. Phys. 104, 207 (1986).

126. C. Fefferman and C. R. Graham: "Conformal Invariants". In: Elie Cartan et les Mathematiques d'aujord'hui, (Asterisque, 1985), 95.

127. V. Balasubramanian and P. Kraus, "A stress tensor for anti-de Sitter gravity," Commun. Math. Phys. 208, 413 (1999).

128. H. L. Verlinde, "Holography and compactification," Nucl. Phys В 580, 264 (2000).

129. S. S. Gubser, "AdS/CFT and gravity," Phys. Rev. D 63, 084017 (2001).

130. F. Oberhettinger, Tables of Melhn Transforms, Springer Verlag, New York, 1974.

131. R. M. Wald, General Relativity (University of Chicago Press, Chicago, 1984).1761 N. Arkani-Hamed, S. Dirnopoulos and G. R. Dvali, "The hierarchy problem and new dimensions at a millimeter," Phys. Lett В 429, 263 (1998).

132. V. A. Rubakov, "Large and infinite extra dimensions: An introduction," Phys Usp. 44, 871 (2001) Usp. Fiz. Nauk 171, 913 (2001)].

133. A. 0. Barvinsky, "Cosmological branes and macroscopic extra dimensions," Phys. Usp. 48 (2005) 545 Usp. Fiz. Nauk 175 (2005) 569].

134. S. K. Blau, E. I. Guendelman and A. H. Guth, "The Dynamics Of False Vacuum Bubbles," Phys. Rev. D 35, 1747 (1987).

135. R. Gregory, V. A. Rubakov and S. M. Sibiryakov, "Opening up extra dimensions at ultra-large scales," Phys. Rev. Lett. 84, 5928 (2000).

136. C. Csaki, J. Erlich and T. J. Hollowood, "Quasi-localization of gravity by resonant modes," Phys. Rev. Lett. 84, 5932 (2000).

137. G. R. Dvali, G. Gabadadze and M. Porrati, "Metastable gravitons and infinite volume extra dimensions," Phys. Lett. В 484, 112 (2000).

138. I. Y. Aref'eva, M. G. Ivanov, W. Muck, K. S. Viswanathan and I. V. Volovich, "Consistent linearized gravity in brane backgrounds," Nucl. Phys. В 590, 273 (2000).

139. S. W. Hawking, T. Hertog and H. S. Reall, "Brane new world," Phys. Rev. D 62, 043501 (2000).

140. M. J. Duff and J. T. Liu, "Complementarity of the Maldacena and Randall-Sundrum pictures," Phys. Rev. Lett. 85, 2052 (2000).

141. L. Anchordoqui, C. Nunez and K. Olsen, "Quantum cosmology and AdS/CFT," JHEP 0010, 050 (2000).

142. S. B. Giddings and E. Katz, "Effective theories and black hole production in warped compactifications," J. Math. Phys. 42, 3082 (2001).

143. N. S. Deger and A. Kaya, "AdS/CFT and Randall-Sundrum model without a brane," JHEP 0105, 030 (2001).

144. T. Shiromizu, K. i. Maeda and M. Sasaki, "The Einstein equations on the 3-brane world," Phys. Rev. D 62, 024012 (2000).

145. G. R. Dvali, G. Gabadadze and M. Porrati, "4D gravity on a brane in 5D Minkowski space," Phys. Lett. В 485, 208 (2000).

146. I. I. Kogan and G. G. Ross, "Brane universe and multigravity: Modification of gravity at large and small distances," Phys. Lett. В 485, 255 (2000).

147. E. Witten, "The cosmological constant from the viewpoint of string theory," arXiv:hep-ph/0002297.

148. J. Garriga and M. Sasaki, "Brane-world creation and black holes," Phys Rev. D 62, 043523 (2000).

149. S. B. Giddings, E. Katz and L. Randall, "Linearized gravity in brane backgrounds," JHEP 0003, 023 (2000).

150. S. Dimopoulos and G. Landsberg, "Black holes at the LHC," Phys Rev. Lett. 87, 161602 (2001).

151. S. B. Giddings and S. D. Thomas, "High energy colliders as black hole factories: The end of short distance physics," Phys. Rev. D 65, 056010 (2002).

152. J. W. York, "Dynamical Origin Of Black Hole Radiance," Phys Rev. D 28, 2929 (1983).

153. W. H. Zurek and K. S. Thorne, "Statistical Mechanical Origin Of The Entropy Of A Rotating, Charged Black Hole," Phys. Rev. Lett. 54, 2171 (1985).

154. A. Strominger and C. Vafa, "Microscopic Origin of the Bekenstein-Hawking Entropy," Phys. Lett. В 379, 99 (1996).

155. M. Banados, C. Teitelboim and J. Zanelli, "The Black hole in three-dimensional space-time," Phys. Rev. Lett. 69, 1849 (1992).

156. S. Carlip, "The Statistical mechanics of the (2+l)-dimensional black hole," Phys. Rev. D 51, 632 (1995).

157. A. Strominger, "Black hole entropy from near-horizon microstates," JHEP 9802, 009 (1998).

158. O. Coussaert, M. Henneaux and P. van Driel, "The Asymptotic dynamics of three-dimensional Einstein gravity with a negative cosmological constant," Class. Quant. Grav. 12, 2961 (1995).

159. J. G. Russo, "Entropy and black hole horizons," Phys. Lett. В 359, 69 (1995).

160. J. G. Russo and A. A. Tseythn, "Scalar tensor quantum gravity in two-dimensions," Nucl. Phys. В 382, 259 (1992).

161. J. L. Cardy, "Boundary Conditions, Fusion Rules And The Verlinde Formula," Nucl. Phys. В 324, 581 (1989).

162. S. Ghoshal and A. B. Zamolodchikov, "Boundary S matrix and boundary state in two-dimensional integrable quantum field theory," Int. J. Mod. Phys. A 9, 3841 (1994) Erratum-ibid. A 9, 4353 (1994)]

163. S. Carlip, "Black hole entropy from conformal field theory in any dimension," Phys. Rev. Lett. 82, 2828 (1999)

164. J. M. Maldacena and A. Strominger, "Black hole greybody factors and D-brane spectroscopy," Phys. Rev. D 55, 861 (1997).

165. J. M. Maldacena and A. Strominger, "Universal low-energy dynamics for rotating black holes," Phys. Rev. D 56, 4975 (1997).

166. A. B. Zamolodchikov and A. B. Zamolodchikov, "Structure constants and conformal bootstrap in Liouville field theory," Nucl. Phys. В 477, 577 (1996).

167. V. Fateev, A. B. Zamolodchikov and A. B. Zamolodchikov, "Boundary Liouville field theory. I: Boundary state and boundary two-point function," arXiv:hep-th/0001012.

168. M. Gutperle and A. Strominger, "Timelike boundary Liouville theory," Phys. Rev. D 67, 126002 (2003).

169. A. Strominger and T. Takayanagi, "Correlators in timelike bulk Liouville theory," Adv. Theor. Math. Phys. 7, 2 (2003).

170. С. M. Chen, D. V. Gal'tsov and M. Gutperle, "S-brane solutions in super-gravity theories," Phys. Rev. D 66, 024043 (2002).

171. V. Schomerus, "Rolling tachyons from Liouville theory," arXiv:hep-th/0306026;

172. S. Fredenhagen and V. Schomerus, "On minisuperspace models of S-branes," arXiv:hep-th/0308205.

173. V. Frolov, D. Fursaev, J. Gegenberg and G. Kunstatter, "Thermodynamics and statistical mechanics of induced Liouville gravity," Phys. Rev. D 60, 024016 (1999).

174. S. Hod, "Bohr's correspondence principle and the area spectrum of quantum black holes," Phys. Rev. Lett. 81, 4293 (1998).

175. L. Motl and A. Neitzke, "Asymptotic black hole quasinormal frequencies," Adv. Theor. Math. Phys. 7, 307 (2003).

176. S. Musiri and G. Siopsis, "Perturbative calculation of quasi-normal modes of Schwarzschild black holes," Class. Quant. Grav. 20, L285 (2003).

177. R. Kubo, M. Toda and N. Hashitsume, "Statistical Physics II", Springer Ver-lag, Berlin (1985).

178. A.L. Fetter and J.D. Walecka, "Quantum Theory of Many-particle Systems," McGraw-Hill Book Company (1971).

179. G. T. Horowitz and V. E. Hubeny, "Quasinormal modes of AdS black holes and the approach to thermal equilibrium," Phys. Rev. D 62, 024027 (2000).

180. J. S. F. Chan and R. B. Mann, "Scalar wave falloff in asymptotically anti-de Sitter backgrounds," Phys. Rev. D 55, 7546 (1997).

181. B. Wang, C. Y. Lin and E. Abdalla, "Quasinormal modes of Reissner-Nordstroem anti-de Sitter black holes," Phys. Lett. В 481, 79 (2000).

182. Т. R. Govindarajan and V. Suneeta, "Quasi-normal modes of AdS black holes: A superpotential approach," Class. Quant. Grav. 18, 265 (2001).

183. V. Cardoso and J. P. S. Lemos, "Scalar, electromagnetic and Weyl perturbations of BTZ black holes: Quasi normal modes," Phys. Rev. D 63, 124015 (2001).

184. V. Cardoso and J. P. S. Lemos, "Quasi-normal modes of Schwarzschild anti-de Sitter black holes: Electromagnetic and gravitational perturbations," Phys. Rev. D 64, 084017 (2001).

185. J. L. Cardy, "Operator Content Of Two-Dimensional Conformally Invariant Theories," Nucl. Phys. В 270, 186 (1986).

186. S. S. Gubser, "Absorption of photons and fermions by black holes in four dimensions," Phys. Rev. D 56, 7854 (1997).

187. J. de Boer, "Six-dimensional supergravity on S**3 x AdS(3) and 2d conformal field theory," Nucl. Phys. В 548, 139 (1999).

188. D. Birmingham, I. Sachs and S. Sen, "Exact results for the BTZ black hole," Int. J. Mod. Phys. D 10, 833 (2001).

189. D. Birmingham, "Choptuik scaling and quasinormal modes in the AdS/CFT correspondence," Phys. Rev. D 64, 064024 (2001).

190. S. Das and A. Dasgupta, "Black hole emission rates and the AdS/CFT correspondence," JHEP 9910, 025 (1999).

191. L. Dyson, J. Lindesay and L. Susskind, "Is there really a de Sitter/CFT duality," JHEP 0208, 045 (2002).

192. L. Dyson, M. Kleban and L. Susskind, "Disturbing implications of a cosmo-logical constant," JHEP 0210, 011 (2002).

193. N. Goheer, M. Kleban and L. Susskind, "The trouble with de Sitter space," JHEP 0307, 056 (2003).

194. P. Di Francesco, P. Mathieu and D. Senechal, "Conformal Field Theory," New York, USA: Springer (1997).

195. U. H. Danielsson, E. Keski-Vakkuri and M. Kruczenski, "Spherically collapsing matter in AdS, holography, and shellons," Nucl. Phys. В 563, 279 (1999).

196. J. M. Maldacena, "Eternal black holes in Anti-de-Sitter," JHEP 0304, 021 (2003).

197. J. M. Maldacena and A. Strominger, "AdS(3) black holes and a stringy exclusion principle," JHEP 9812, 005 (1998).

198. R. Dijkgraaf, J. M. Maldacena, G. W. Moore and E. P. Verlinde, "A black hole farey tail," arXiv:hep-th/0005003.

199. S. Carlip and C. Teitelboim, "Aspects of black hole quantum mechanics and thermodynamics in (2+l)-dimensions," Phys. Rev. D 51, 622 (1995).

200. E. Keski-Vakkuri, "Bulk and boundary dynamics in BTZ black holes," Phys. Rev. D 59, 104001 (1999).

201. L. Chekhov, "AdS/CFT correspondence on torus," arXiv:hep-th/9811146.

202. L. Chekhov, "AdS(3)/CFT(2) correspondence at finite temperature," Mod. Phys. Lett. A 14, 2157 (1999).

203. R. R. Metsaev, "Light cone form of field dynamics in anti-de Sitter spacetime and AdS/CFT correspondence," Nucl. Phys В 563, 295 (1999).