Характеризация следов и преобразование Коши линейных непрерывных функционалов в весовых анизотропных пространствах аналитических функций со смешанными нормами тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат наук Повприц, Елена Викторовна

• Повприц, Елена Викторовна
• кандидат наук
• 2015

Оглавление диссертации кандидат наук Повприц, Елена Викторовна

Содержание

Введение

1 Диагональное отображение и теорема типа Харди-Литтлвуда в весовых анизотропных пространствах аналитических в поликруге функций со смешанной нормой

1.1 Теорема об ограниченном проекторе в весовых анизотропных пространствах голоморфных функций со смешанной нормой

1.2 Диагональное отображение в анизотропных пространствах аналитических в поликруге функций со смешанной нормой

1.3 Теорема типа Харди-Литтлвуда в весовых анизотропных пространствах аналитических функций в поликруге

2 Линейные непрерывные функционалы и тёплицевы операторы

в пространствах аналитических в поликруге функций

2.1 Линейные непрерывные функционалы в пространствах A™{Un)

при 1 < р, q < +оо

2.2 Линейные непрерывные функционалы в пространствах Apjq(Un)

при 0 < min (p,q) < 1

2.3 Критерии огранниченности тёплицева оператора в весовых анизотропных пространствах типа Соболева голоморфных в поликруге функций и делимость аналитических функций

Список литературы

110

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Характеризация следов и преобразование Коши линейных непрерывных функционалов в весовых анизотропных пространствах аналитических функций со смешанными нормами»

Введение

Актуальность темы. В комплексном анализе и его многочисленных приложениях важную роль играют пространства Харди и Бергмана. Методы, разработанные в процессе решения задач, связанных с этими пространствами, нашли существенные приложения в теории рядов и интегралов Фурье, в теории сингулярных интегральных операторов и в других разделах комплексного и гармонического анализа. В последние десятилетия по этому направлению опубликовано несколько монографий. Среди них отметим монографии У. Рудина [11], [12], А. Е. Джрбашяна и Ф. А. Шамояна [30], X. Хеденмальма, Б. И. Ко-ренблюма и К. Жу [34], Н. К. Никольского [41], К. Сейпа [43], Ф. А. Шамояна и Е. Н. Шубабко [24].

В одномерном случае пространства Харди и Бергмана исследованы довольно полно, в то же время ряд важных вопросов, относящихся к весовым пространствам аналитических функций типа Харди и Бергмана в поликруге, сравнительно мало изучен. При этом задачи, связанные с указанными пространствами, имеют широкие приложения в теории кратных тригонометрических рядов и других вопросах многомерного гармонического и комплексного анализа, теории функциональных пространств. Поэтому тематика диссертационной работы весьма актуальна.

Приведём обзор некоторых результатов, тесно связанных с тематикой диссертационной работы. Для этого введем необходимые определения и обозначения.

Пусть

ип = {г = (гь ъ, гп) : \г,\ <1,1 <3<п] (0.1)

- единичный поликруг п-мерного комплексного пространства С"',

Тп = {г = (гъ г2,гп) : \г,\ = 1,1 <3<п] (0.2)

- единичный тор (остов поликруга ип), Н{11п) - множество всех аналитических в ип функций, и = (со>1, ...,шп) - некоторая вектор-функция, заданная на дп = [0; 1)п, Нр{ип) - класс Харди в ип.

Обозначим через О множество всех положительных функций ш, суммируемых на интервале (0,1) для которых существуют положительные числа тш,

Мш, такие, что mw, qu G (0,1) и

< -yf - < Mw,

w(r)

Vr G (0,1), Л G 1]. Простым примером таких функций является функция вида: а;(ж) = £а(1п1п... 1п где С - положительное число, которое не зависит от х, а > —1, /3 G R.

Пусть wgO, тогда aw := Д, :=

Яш

Если г = {zu...,zn) G Cn, г, = г^, С = (Сь-, С») G Cn, Ci = Pie*', a = (ai, ..., an) G Kn, тогда za = z011 ■ ... • zan, \a\ := a\ + ... + OLn,

n n

(1 - \z\2)a := П(1 - kil2)a', (1 - C*)a ■= П(1 - здесь и везде ни-

3=1 3=1

же выбрана главная ветвь степенной функции. Также, если и — (со^,..., со„),

п п

ujj eiï,j = 1,..., n, тогда wn( 1 -r):=ll Wj( 1 - rj), ¿4(1 - r) := Ц coU 1 - r^),

j=i j=i

Vs G R, r = (rb...,rn) G Qn.

Через Lftq(Un) обозначим класс измеримых по Лебегу в Un функций /, для которых

W = ( J wn(l - r) ( J \f(rw)\pdmn(w) j dr j < +oo, 0 < p, q < +oo,

где dmn есть мера Лебега на Тп.

Здесь и в дальнейшем для краткости изложения мы будем называть II/IIjtp.ï нормой и в том случае, когда min(p, q) < 1, хотя по существу отображение / —> ||/||¿р.? является нормой только, когда 1 < p, q < +оо.

Теория функциональных пространств со смешанными нормами типа Lpjq(Un) берет свое начало в 60-х годах прошлого столетия из работ А. Бене-дека и Р. Панцоне [26]. По этим вопросам опубликован ряд фундаментальных трудов. Полученные результаты освещены в хорошо известных монографиях С. М. Никольского [10], О. В. Бесова, В. П. Ильина, С. М. Никольского [3], X. Трибеля [13].

Положим Apjq(Un) = H(Un) П Lpjq(Un) с соответствующей квази-нормой. Ясно, что, если / принадлежит Hp(Un) или Ap>q(Un), то функция D(f)(z) := f(z, ...,z) является аналитической функцией в U := U1. Естествен-

но возникает вопрос о полной характеризации таких аналитических в круге функций, то есть описание следов классов Харди на диагонали поликруга Un. Проблема характеризации следов функции из класса Харди Hp(Un) на диагонали поликруга впервые была поставлена и исследована в классической монографии У. Рудина [11]. Он установил, что если / £ Hl{U2), то D(f) G A\l(U)\ если / б H\U2), то D(f) Е A2{2{U) и при этом DH2(U2) = A2{2(U). Здесь существенно было использовано то, что H2(U2) является гильбертовым пространством. В указанной монографии У. Рудиным были поставлены следующие проблемы:

1. отображает ли оператор D Hl{U2) на А}'1 (С/);

2. как охарактеризовать сужение классов Харди Hp(Un) на диагональ полидиска при п > 2,0 < р < +оо.

В этом направлении одновременно и независимо друг от друга работали несколько специалистов комплексного анализа.

Пусть hp(Un) - класс Харди n-гармонических в поликруге Un функций, то есть множество всех п-гармонических в Un функций, для которых

sup / \u(rQ\pdmn(Q < +оо. 0<г<1J

fn

В работе [31] П. Дьюрен и А. Шилдс установили, что если и G hp(Un), причем 2 < р < +оо, то D{u) Е ЬР(У,1Лп), где dfin{Q - (1 - |C|)n"2<WO, dm^0 ~ плоская мера Лебега на U.

В статье [19] Ф. А. Шамоян получил следующие результаты: Пусть /л - конечная мера в круге С/, тогда следующие утверждения эквивалентны:

i) Оператор диагонального отображения D отображает класс hp(Un) в LP(U, dfi), для некоторого pq, 1 < ро < +оо;

ii) Это утверждение справедливо для всех 1 < р < +оо;

iii) Существует константа А, такая что /¿(Д/(С)) ^

V( G Т1 = Т, 0 < I < 1, где А/(С) - прямоугольник Карлесона: Д/(С) = {z е и : I argC - argzl < 1 - / < |г| < 1}.

При этом было установлено, что указанное утверждение неверно при 0 < р < 1.

Очевидно, что мера с?//(г, ф) = (1 — г)п~2г(1гс1(р удовлетворяет условию 111).

На основе этих результатов Ф. А. Шамоян установил, что ВНр{ип) = Арп_2(и) при всех 0 < р < +оо.

Одновременно с Ф. А. Шамояном и независимо от него другими методами последний результат в частном случае при р > 1 был получен в работе [35] С. Горовица и Е. Оберлина. В [29] Дж. Детрас были переоткрыты результаты Ф.А. Шамояна при 0 < р < 1,п = 2. Диагональное отображение в пространстве А%р(ип) при а = (ах,..., ап), 0 < р < +оо было исследовано в [22] Ф. А. Шамояном.

Впервые задача о диагональном отображении в пространствах со смешанными нормами была решена в работах Ф. А. Шамояна и О. В. Яро-славцевой в работе [44]. В их работах рассматривалась следующая задача: Пусть ^ = (р1,...,р„), 0 < р3 < +оо, 1 < з < п, и = (и)1,...,шп),

__п—1 0 2а -4

ир{£) = 0Лг(£) П ^ [0; 1)' - пространство голоморфных в

3=1

ип функций /, для которых

Н/11д?(£/«) =( / - 1^1) ( J 1(1 - кп-1|)-Х и и

х(/\/(г)\Р1со1(1 - \zl\)dm2{z1)y\.Лm2{zn_l)yn-1 (1т2(2п)уп < +оо. и

И А^ Ш) - пространство голоморфных в С/ функций /, для которых

11/Ц =(/ 1/(^)1^(1 - < +оо.

и

Тогда оператор В отображает А^(ип) на А?{и), то есть £>Д^([/П) = А?(С/), где И - оператор диагонального отображения.

В дальнейшем, Г. Рен и Дж. Ши в [42] исследовали задачу о диагональном отображении в пространствах Ар'д(11п) при = 3 = 1,...,п. Однако методы, применяемые в этой работе, не проходят в случае общих весовых пространств. Указанные методы уже неприменимы даже в случае, когда

= , t € (0;1), 3 = 1, ...,72. Поэтому вопрос о характеризации

следов аналитических функций из весовых анизотропных пространств со смешанными нормами на диагонали полидиска оставался открытым.

Хорошо известно, что для изучения весовых пространств аналитических функций важное значение имеет описание линейных непрерывных функционалов этих пространств в терминах соответствующих пространств аналитических функций. Результаты, связанные с данной тематикой, имеют обширные приложения в различных вопросах комплексного и гармонического анализа: теории аппроксимации и интерполяции, описании инвариантных подпространств оператора сдвига, теории операторов и т.д. Этим вопросам посвящены работы В. П. Захарюта и В. И. Юдовича [7], П. Дьюрена, А. Шилдса, Б. Ромберга[46], А. Фразье [33], К. Хана и Дж. Мичелл [39], Ф. А. Шамояна [17], [22].

Вопрос об описании линейных непрерывных функционалов в многомерных анизотропных весовых пространствах А™ аналитических функций со смешанными нормами при всех 0 < р, ц < +оо по-прежнему остаётся весьма актуальным.

В теории классов Харди существенную роль играет внешне-внутренняя факторизация, построенная еще в начале 20-го столетия в классических работах Г. Сегё, М. Рисса, Р. Неванлинны, В. И. Смирнова.

Отметим, что хорошо известно следующее мультипликативное представление класса Харди Нр для одномерного случая: / Е Нр(и) тогда и только тогда, когда / допускает факторизацию:

+оо _ _ ( пг гв \

£-1 4 -7Г 7

{7Г -ч

— 7Г '

где {г/с}^ - произвольная последовательность из единичного круга £/, удовле-

оо

творяющая условию Бляшке, то есть — 1^1) < +оо;

к=1

¿[1 - неотрицательная сингулярная мера на (—7г; 7г], т Е \С\ = 1.

Функция

г

называется внутренней часть функции /, а

= ехр <

2тг

— 7Г

- внешней частью /.

Говорят, что внутренняя функция 1\ делит внутреннюю функцию /2, если £ 6 Я°°.

Одно из основных свойств факторизации (0.3) заключается в том, что если / Е Нр(и) и I делит внутреннюю часть /, то е Яр(см. [5]).

Отметим важную особенность: указанным свойством обладают не только функции из класса Нр(и), но и гораздо более узкие классы аналитических функций в единичном круге, гладкие вплоть до его границы (см. [28], [8], [9]). Как установили В.П. Хавин [15] и Ф.А. Шамоян [16] в этих вопросах существенную роль играет ограниченность тёплицевых операторов вида

Тк{1){г) = геи, Кен™

т

в соотвествующих пространствах при условии, что символ к оператора принадлежит (см. [17], [18], [21], [25]).

Другие подходы к вопросам деления предложены в работах С. А. Виноградова и Н. А. Широкова (см. [4], [47]), К. М. Дьяконова (см. [32]). Обзор этих и других результатов приведен в монографиях [47], [24].

Операторы Тд применяются не только в теории факторизации, они также имеют широкие приложения во многих областях комплексного и функционального анализа таких, как исследование замкнутых идеалов в алгебрах аналитических функций, изучение инвариантных подпространств оператора сдвига, в вопросах исследования метрических проекций и др. Кроме того тёплицевы операторы находят своё применение в прикладной математике и физике [27],

[40], [41]. Таким образом, естественно возникает задача получения многомерных аналогов этих результатов, в том числе в классах голоморфных в поликруге функций и гладких вплоть до его границы.

Однако следует отметить, что поведение кратных тёп лицевых операторов существенно отличается от одномерного случая. Так, например, аналог классической теоремы И. И. Привалова об ограниченности интегралов типа Коши в гёльдеровких классах, как установила в [37] Б. Ёрикке, в случае единичного тора не имеет места.

Цель работы.

1. Дать полное описание следов весовых анизотропных пространств аналитических в поликруге функций со смешанной нормой на диагонали поликруга.

2. Получить полную характеризацию преобразования Коши линейных непрерывных функционалов в весовых анизотропных пространствах голоморфных в поликруге функций со смешанной нормой.

3. Дать полную характеризацию тех плюригармонических символов, при которых кратный тёплицев оператор с соответствующим символом действует в весовом анизотропном пространстве Соболева аналитических в поликруге функций.

Методы исследования. В работе применялись общие методы комплексного и функционального анализа, теории сингулярных интегральных операторов. Важную роль играют интегральные представления исследуемых классов.

Научная новизна. В диссертационной работе получены следующие новые результаты:

1. Получена полная характеризация следов весовых анизотропных пространств аналитических в поликруге функций со смешанной нормой на диагонали поликруга.

2. Получено полное описание преобразования Коши линейных непрерывных функционалов в весовых анизотропных пространствах голоморфных в поликруге функций со смешанной нормой.

3. Описаны те плюригармонические символы, при которых кратный тёплицев оператор с соответствующим символом действует в весовом анизотропном пространстве Соболева аналитических в поликруге функций.

Практическая и теоретическая значимость.

Диссертационная работа носит теоретический характер. Результаты исследования могут быть использованы в многомерном гармоническом анализе, в теории функциональных пространств, в теории сингулярных интегральных операторов, при исследовании вопросов представления и описания двойственных пространств, вопросов аппроксимации, при изучении операторов сдвига в весовых пространствах аналитических функций, а также могут быть использованы при чтении спецкурсов для студентов математических специальностей университетов.

Апробация результатов диссертации.

Основные результаты диссертации докладывались на международных научных конференциях «Лобачевские чтения» (г. Казань, 2011 г.), «Системы компьютерной математики и их приложения» (Смоленск, 2011 г.-2013 г.), «Комплексный анализ и приложения» (Петрозаводск, 2012 г.), на Воронежской весенней математической школе «Современные методы теории краевых задач» (2014 г.), а также неоднократно на семинарах по комплексному анализу Брянского государственного университета имени академика И.Г. Петровского.

Часть исследований, результаты которых представлены в диссертации, поддержана грантами Российского Фонда Фундаментальных исследований (проект №13-353 01-97508) и Министерства образования и науки РФ (проект М.1704.2014К).

Публикации.

Результаты исследований нашли отражение в работах: [49]—[58]. Работы [49]-[51] опубликованы в журналах из перечня рецензируемых научных журналов и изданий, рекомендованных ВАК Минобрнауки РФ. В совместных работах [50, 51, 55, 57, 58] научному руководителю принадлежат постановка задачи и идея доказательства.

Структура и объем диссертации. Работа состоит из введения, двух глав, разбитых в общей сложности на 6 параграфов, списка использованной литературы и занимает 116 страниц. Библиография содержит 48 наименований.

Содержание диссертации.

Первая глава диссертационной работы посвящена вопросам диагонального отображения и эквивалентности норм в анизотропных аналитических про-

странствах со смешанными нормами в поликруге ип.

Для формулировки основных результатов введем дополнительные обозначения.

Будем писать /(£) < д{(),( £ Е, если существует положительное число А > 0, такое что /(С) < Ад(£)Х £ Е, где / и д - две вещественнозначные функции с общей областью определения Е. Скажем также / « д на Е, если

+оо

Если / е Н(ип), ¡{г) = ¡(гъ...,гп) = £ а^^.-.г^ и

к1,...,кп=0

/3 = (/31;..., /Зп), ¡3] > — 1, 1 < з < +оо, то назовем дробной производной порядка ¡3 в смысле Римана-Лиувилля следующую голоморфную функцию:

п

где \к\ = к! + ... + кп, Г - функция Эйлера, Г(к + Р + 1)= П + Рз + 1)-

3 = 1

Ясно, что если / € Я(С/П), тогда И13¡(г) £ Н(11п), для всех /3.

Пусть / 6 АР^(ип), 0 < р, д < +оо и £>(/)(*) = ы, £ О,

I < 3 < п, пусть далее г Е 17,

= г £ (о, 1).

3=1

Через А™(и) обозначим весовой класс аналитических в единичном круге

II функций /, для которых

^ =

1 / "" \ р \ я

J J \/{гъи)\рс1т(и))\ <1г\ <+оо, 0<р,д<+оо.

В первом параграфе первой главы установлен результат, который, наряду с другими вспомогательными утверждениями, используется при доказательстве основных теорем. Однако, на наш взгляд, это утверждение имеет также самостоятельный интерес.

Теорема 1.1. Пусть ил,- £ О, = ) , £ £ (0,1), 1 ^ з ^ п,

а > аш, 1 < р, д < +оо. Тогда оператор

Та(т = / 7гЙВ/К)(<т2"К)' * е иП

ип

отображает пространство Ц^ч{ип) в пространство А™{ип), причем

\\Та1\\лЦ < ||/||Я*.

Отметим, что указанный результат является точным. Во втором параграфе первой главы получена полная характеризация следов функций из пространства А™(ип) на диагонали поликруга, а именно установлен следующий результат:

Теорема 1.2. Пусть из3 Е О, 1 < з < п, 0 < р, д < +оо. Тогда следующие утверждения равносильны:

1) функция д Е Н(1/) представима в виде д(г) = г Е II,

/ е л™^);

2) д Е А™(1Г), то есть ОА™(ип) = А™(и). Напомним, что £>(/)(*) = /(*,..., г), г Е С/, / Е

Последний параграф первой главы посвящен проблеме, связанной с хорошо известной теоремой Харди-Литтлвуда, об оценке Ц^4 - нормы аналитической функции через норму ее производной. Указанная теорема обобщается по трем направлениям: во-первых, теорема распространяется на многомерный случай, во-вторых, используется дробная производная любого порядка, и, в третьих, устанавливаются соответствующие оценки в случае смешанных норм. Введём дополнительные обозначения.

Пусть = {х = (хъ...,хп) Е Еп : х3 > 0, з = т = (гпх,...,тп) Е М+, ш = ...,шп), и3 Е О, тогда определим

= п^сдгл ¿,€(0,1), 7 = 1,...,п.

3 = 1

В третьем параграфе первой главы, в частности, установлена справедливость следующего утверждения:

Теорема 1.3. Пусть / Е А™(ип), т = (тъ...,тп) Е

О < р, ц < -Ьоо, тогда справедливы следующие оценки

£ 11/11 £ (0.5)

Первый параграф второй главы диссертационной работы посвящен решению задачи, связанная с описанием линейных непрерывных функционалов в терминах преобразования Коши в пространствах аналитических функций со смешанной нормой при 1 < р, д < +оо.

Напомним, что, если Ф Е (А^'9([/п))*, то преобразованием Коши этого функционала называется следующая функция:

1 п

д{г) = Ф(ег), где ег(С) := - = П

^ 3=1

1

1 - Ся/

Ясно, что функция д является аналитической в ип функцией. Отметим, что в случае, когда р, # принадлежат (1,+оо), или (0,1], а также, в случае, когда один из параметров принадлежит интервалу (0,1], а другой - интервалу (1;+оо), характеризация преобразования Коши имеет совершенно различное описание. При 1 < р, <? < +оо справедливо следующее утверждение:

Теорема 2.1. Пусть Ф - линейный непрерывный функционал на А%(1(ип), и д(г) = Ф(ег), е,(С) := ^г^, г е ип, 1 < р,д < +оо. Тогда д Е Н{11п) и

Оа+1д Е А^'(ип) для а > р = ^ Я = = ш{г) ^ , Ь Е

Функционал Ф представим в виде

Ф(/) = I ¡(рОд(рС^тп(() (0.6)

(2тг)

уп

и справедливы оценки

\\Оа+1д\\АР>,><\т<\\0^д\\ (0.7)

/ /

Верно и обратное: любая д Е Н(ип) такая, что Ба+1д Е Арш^ по формуле (0.6) порождает линейный непрерывный функционал на А™(ип) для ко-

торого справедливы оценки (0.7).

Для формулировки следующего утверждения нам потребуются еще некоторые определения и обозначения.

Пусть 0 < р, д < 1, обозначим через класс аналитических в ип функций д, для которых

\Р,Ч

эир

гег/п

1 1

4(1 - И)

+2

эир

;=1 ш'Л1-\г,\)

< +оо,

где а, > ^^ + ± - 2, 1 <з<п.

Если 0 < р < 1, 1 < д < +оо, обозначим через множество всех голоморфных в ип функций д, для которых

Ыъ* =

I

(1 -г)

ад

Оп ^ (1 " г)

яир \Оа+1д{гг)\ ) Ыг ] = хетп

(1 - О-)

IП

Ч?в ^ ш? (1 - г3)

X

х| эир \Ва+1д{г1гъ...,гпгп)|) г^.т^п.-Агп] <+оо,

гДе Ч > ^ + \ - Л - 1, 1 <з<п.

И наконец, если 1 < р < +оо, 0 < д < 1, обозначим через Аш множество всех голоморфных в ип функций д, для которых

=р,Я = вир Лы гедп

(1-г)

а-1+1

I а;« (1 - г)

I\Па+1д(г()\г'с1тп(()

вир

г=(гь...,гп) еЯп

и>](1 -г3)

х

х

р

чуп

< +оо,

где сх5 > ^^ -2, 1 < з < п.

Для краткости введем также следующее обозначение

А™ =

и>

\Р,Ч ш ' если 0<р,Я< 1;

1 если 0 < р < 1, 1 < д < +оо;

К » если 1 < р < +оо, 0 < д < 1.

Хорошо известно, что если один из параметров р или д меньше единицы, то любой непрерывный функционал в пространстве Ц^д{ип) тождественно нулевой. В случае аналитических функций указанное утверждение, разумеется, неверно: например, линейным непрерывным функционалом в этих пространствах является значение функции / Е А%д(ип) в точке Фго(/) = /(¿о), ¿о £ ип. В рассматриваемом случае верно утверждение, установленное во втором параграфе второй главы:

Теорема 2.2. Пусть р, д принадлежат (0,1] или один из параметров принадлежит интервалу (0,1]; а другой - интервалу (1; +оо), и^- £ = 1, п. Если Ф - линейный непрерывный функционал на А™(ип) и д(г) = Ф(е2), еЛ0 := С, * е ип1 тогда д Е Л™.

Функционал Ф представим в виде

41) = 11{рС,)д{р1)<1тп{С), (0.8)

^п

и справедливы оценки

< ||ф|| < (0.9)

Верно и обратное: любая д Е по формуле (0.8) д порождает линейный непрерывный функционал на А™{ип) для которого справедливы оценки (0.9).

Описание линейных непрерывных функционалов находит свое приложе-

ние в исследованиях, посвященных изучению тёплицевых операторов в пространствах аналитических функций.

Для изложения следующих результатов введём дополнительные обозначения и определения:

Анизотропным пространством Соболева Аи(а1т) назовём пространство голоморфных в поликруге Un функций /, для которых

ll/lk(a,m) = j \Dmf(z)\uu(l - \z\)( 1 - \z\)a-ldm2n{z) < +oo, (0.10)

l/n

m = (mb ...,mn) G Nn, a = (ab ...,an) e г = (гг, ...,zn) G Un.

Обозначим через RP(Un) - класс суммируемых на торе Тп функций h, коэффициенты Фурье которых равны нулю вне множества Yn = Z+ U ITl (Z™ = Z+ х ... х Z+, аналогично Z1 = Z_ x ... x Z_), то есть класс функций представимых на торе в виде h(Q = f(Q +д(£), f,g £ Hl{Un). Ясно, что эти функции являются граничными значениями плюригармонических в единичном поликруге функций.

Кратным операторм Тёплица назовем интегральный оператор вида

= / ^f^C. г = .....г») 6 (°Л1)

где h G Ll(Tn), f G CA{Un), CA(Un) = C(Un U dUn) П H(Un).

Пусть ш = (oj\,..., шп) - вектор-функция типа модуля непрерывности, то есть ujj -неубывающие неотрицательные на R+ = (0, +оо) функции, такие что функции tj —> не возрастают на М+.

Если (ki,..., кп) некоторая перестановка чисел (1,2,..., n), п G N, 1 < г < п. Тогда кортежем порядка г назовем вектор с координатами (к\,..., кг), множество всех кортежей порядка г обозначим через Кг. Ясно, что, если 1 < г, m < п, то (ki,..., kr) = (si, ...,sm) тогда и только тогда, когда г = т, Si — ki, i — 1,..., v.

И, наконец, если X - некоторое квазинормированное пространство, то через L(X) обозначим множество линейных непрерывных операторов, действующих в пространстве X.

В третьем параграфе второй главы найден критерий ограниченности one-

ратора Тёплица в весовом анизотропном пространстве Соболева голоморфных в поликруге функций. Установлены утверждения:

Теорема 2.3. Пусть т = (т1,...,шп) € а = (аг,...,ап) Е М+, со— функция типа модуля непрерывности на С}п, К— функция из класса ]ЦР{ип),

о

1. Если т^ < с^-, з = то следующие утверждения равносильны:

a. Тн Е Ь(Аш{а,т));

b. функция К допускает представление

МО = /11(0 + Ш, С = (СьСп) е тп,

где ¡1\, /¿2 являются граничными значениями функций, голоморфных в ип, при этом - мультипликатор пространства Аи}(а,т), В~тК2 Е где В~т— оператор, обратный к оператору Бт.

2. Если ту > с^- + 2, з = 1, ...,п, то следующие утверждения равносильны:

a. Тн Е Ь(Аш(а,тп));

b. И допускает представление

МО = лх(0 + МО, С = (Сь С») € г»,

где /11 Е Л,(а,т),й2 е #°°(С/П).

В случае, когда га., = а^ + 1, ] = 1 ,...,п возникают дополнительные ограничения на функцию /г, а именно справедливо следующее утверждение:

Теорема 2.4. Пусть к Е Я1^71), т = (тпх,..., тп) Е Мп, а = («1,..., о;п) Е К+ м т^- = а^ + 1, ^ = 1,...,п; тогда следующие утверждения равносильны:

1. Т^ является ограниченным оператором в пространстве Аш(а,т);

2. функция К Е Н°°(ип), причем для любого кортежа к = (А^,..., кр) Е Кр

справедлива оценка

вир

геип

дрН(гъ...,гп)

дгк1...дгкр

А и-М2

I /

{и)

и<

с1и}< +оо,

(0.12)

1-1^,1

г= (г1,...,гп) Е ип.

Теоремы 2.3 и 2.4 имеют интересные приложения в теории факторизации. А именно справедлива следующая теорема о делении аналитической функции:

Для формулировки следующего результата сначала приведем некоторые определения.

Скажем, что функция J Е Н°°(ип) называется внутренней, если 1*7(01 = 1» почти всюду по мере Лебега на Тп.

Пусть и 32 две внутренние функции в ип. Скажем, что внутренняя функция 3\ делится на если ^ Е Н°°{ип). Также скажем, что функция / £ Н1(ип) делится на внутреннюю функцию 3, если ^ Е Н1 (£/").

Теорема 2.5. Пусть ^ £ Н1(ип) П Аш(а,т) причем Р{г) = 3(г)/(г), г Е ип. Тогда если / Е Н1{ип), то % = / Е Н\ип) П Аш{а, т).

Автор выражает искреннюю благодарность своему научному руководителю профессору Ф.А. Шамояну за постановку задач и постоянное внимание к работе.

1 Диагональное отображение и теорема типа Харди-Литтлвуда в весовых анизотропных пространствах аналитических в поликруге функций со смешанной нормой

Первая глава диссертационной работы посвящена вопросам диагонального отбражения и оценке норм в анизотропных аналитических пространствах со смешанными нормами в 11п. В первом параграфе главы решается задача, связанная с построением оператора, который отображает пространство функций, интегрируемых по Лебегу на пространство голоморфных в поликруге функций. Второй параграф этой главы посвящен вопросам полной характеризации аналитических функций из единичного круга, которые являются сужением на диагонали поликруга аналитических функций из весовых анизотропных пространств со смешанной нормой, т.е. из А%д(ип). В третьем параграфе устанавливается теорема об оценке смешанных норм аналитических в 11п функций через соотвествующие нормы их производных.

1.1 Теорема об ограниченном проекторе в весовых анизотропных пространствах голоморфных функций со смешанной нормой

Доказательства основных результатов первой главы потребуются некоторые вспомогательные результаты. С этой целью определим следующую фу як-

го

цию Х-у(р) '■= —■= П —Чг, 0 < 7 < =7, р' = ^т-

А7ЧК; (1-р)да /=1 (!-Рз)™ РР Р

Лемма 1.1 (см. [23]). Пусть Е О, и 0 < < 1 — /3Ш], а3 > —1 3 = 1,п, тогда

Г шп(1 - р)х-у(р)Лр < шп(1 - г)х7(г)

У (1 - гр)«+1 (1 - г)а ' 1 ' ;

<Эп

г = (гь ...,гп) Е Яп.

В этом параграфе мы изучаем поведение некоторых интегральных

операторов в пространствах Ь%<1(ип) при 1 < р, д < +оо. Аналог рассматриваемого результата в частном случае, когда р = д, был доказан ранее в работе [23].

Теорема 1.1. Пусть е Г2, = ш^) | ) , ^ е (0,1), 1 ^ ^ ^ п, а > аш, 1 < р, д < +оо. Тогда оператор

"п(1 - К1)

Т,

кт = /

ЦП

(1 - £г)а+2

1№т2п(0, г е иг

отображает пространство Ь%я(ип) в пространство причем

\\Tafl\A™ ^ „, и их

ТР>Я.

Доказательство. Предположим, что / € тогда, применяя неравен-

ство Минковского, имеем

I \Та(/)(г0\Чтп(0Х-

^грп

III

Яп Тп

(1 - гр(Ш)а+2'

(1тп(0 <

<

НИ

Яп

т^ггл!{ри))(1тп(и))

у1п

(1 - гр(,й))а+2'

¿тп( С) р(1р.

Затем мы применим неравенство Гельдера с р =

Яп тп тп

х

Г ып(1 ~ р) У \l-rpCw

|1 - гр(й)\а+2

¿тп(ы) дтп{С) рйр.

Легко видеть, что

д,тп(ги) 1

/

|1 -грС^|а+2 ~ (1 -гр)а+1'

уп

Тогда, принимая это во внимание и меняя порядок интегрирования получаем

1

77

[ ^(/хгогАпло )'< / "й(1 Л* * У ¿(1-гр)'

XI узда-р)!/^)!'!£

Чуп уп /

г 4(1-рК(1-Р)

</ (1 -Гр) *

х| I= I ( / рйр.

\Тп / дп /

Возводим в степень 1 < д < +оо и интегрируем полученную оценку по кубу фп

/:= I "«(1-г)( I \Та(/)(гО\Чтп( С) | тч*г

<

Яп

< Iшв(1-г)( I (^П_(1г~)а1 ( / г^г.

Далее, умножаем и делим правую часть последнего неравенства на функцию х-у(р)у после чего применяем неравенство Гельдера с показателем д' =

1</««(1-г) / (1" (/

х

( [шп(1-р)4(р) , , .

I / -Тл--Р^Р I

(1 - гРу+1

Согласно (1.1) получаем

/ <

(1-г)- ) У

1 \ / п

(¿п(1 - р)

(1 - гр)«+1ХЪ(р)

X

X

J \ рв,рг(1г.

\грп

Очевидно, что

- г)

V и-О*

= а;п(1 - г)

(1 -г)°

- О

(1.2)

^п(1 - г) (1 -г)°

9-1

= (1-г)ах?(г), геЯг

Тогда (1.2) примет вид

/ <

/

Яп

(1 - гУх^г)

(1 - гр)а+1

/

^Яг,

^п(1 ~ р)

хЪ)

J \f(pw)\pdmn(w) | pdp

rdr.

Далее меняем порядок интегрирования и в соответствии с формулой (1.1) получим

1<1 "п(1-р)( / \Прш)\Чтп{Ш)Урйр.

Яп

Ч^п

Итак, \\ТаДАрЛ{Ша) < Ц/Ид«.

□

1.2 Диагональное отображение в анизотропных пространствах аналитических в поликруге функций со смешанной нормой

В следующей теореме даётся полная характеризация следов функций из пространства А™{ип) на диагонали поликруга, а именно установливает резуль-

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Повприц, Елена Викторовна, 2015 год

Список литературы

1. Антоненкова, О. Е. Преобразование Коши линейных непрерывных функционалов и проекторы в весовых пространствах аналитических функций / О. Е. Антоненкова, Ф. А. Шамоян // Сибирский математический журнал. - 2005. - Т. 46. - № 6. - С. 1208-1234.

2. Бейтмен, Г. Высшие трансцендентные функции / Г. Бейтмен, А. Эр-дейи / Пер. с англ. / Н. Я. Виленкин — М.: Наука, 1965. — 294 с.

3. Бесов, О. В. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения / О. В. Бесов, В. П. Ильин, С. М. Никольский. — М.: Наука, 1975. — 480 с.

4. Виноградов, С. А. О факторизации функций с производной из Нр / С. А. Виноградов, Н. А. Широков // Записки научных семинаров ПОМИ. - 1971. - Т. 22. - № 0. - С. 8—27.

5. Гарнетт, Дж. Ограниченные аналитические функции / Дж. Гарнетт / Пер. с англ. / В. П. Хавин (ред.); Е. М. Данькина (пер.) — М.: Мир, 1984. — 469 с.

6. Джрбашян, М. М. Интегральные преобразования и представления функций в комплексной области / М. М. Джрбашян. — М.: Наука, ГИТТЛ, 1966. - 671 с.

7. Захарюта, В. П. Общий вид линейного функционала в Нр> / В. П. Заха-рюта, В. И. Юдович // Успехи математических наук. — 1964. — Т. 19. — № 2(116). - С. 139-142.

8. Коренблюм, Б. И. Об одном экстремальном свойстве внешних функций / Б. И. Коренблюм // Математические заметки. — 1971. — Т. 10. — № 1. - С. 53-56.

9. Коренблюм, Б. И. О функциях, голоморфных в круге и гладких вплоть до его границы / Б. И. Коренблюм // Докл. АН СССР. - 1971. - Т. 200. -№ 1. - С. 24-27.

10. Никольский, С. М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения / С. М. Никольский. — М.: Наука, 1969. — 480 с.

11. Рудин, У. Теория функций в поликруге / У. Рудин / Пер. с англ. / И. В. Островский (ред.); В. Э. Кацнельсон, И. Е. Овчаренко (пер.) — М.: Мир, 1974. - 160 с.

12. Рудин, У. Функциональный анализ / У. Рудин / Пер. с англ. / Е. А. Горин (ред.); В. Я. Лин (пер.) - М.: Мир, 1975. - 443 с.

13. Трибель, X. Теория функциональных пространств / X. Трибель / Пер. с англ. / В. И. Авербух (ред.); П. И. Лизоркин (пер.) — М.: Мир, 1986. — 448 с.

14. Хавин, В. П. Пространства аналитических функций / В. П. Хавин// Итоги науки и техники. Серия «Математический анализ». — 1966. — № 0. — С. 76-164.

15. Хавин, В. П. О факторизации аналитических функций гладких вплоть до границы / В. П. Хавин // Записки научных семинаров ПОМИ. — 1971. — Т. 22. - № 0. - С. 202-205.

16. Шамоян, Ф. А. Деление на внутреннюю функцию в некоторых пространствах функций, аналитических в круге / Ф. А. Шамоян // Записки научных семинаров ПОМИ. - 1971. - Т. 22. - № 0. - С. 206—208.

17. Шамоян, Ф. А. Об ограниченности одного класса операторов, связанных с делимостью аналитических функций / Ф. А. Шамоян // Изв. АН АрмССР. Сер. мат. - 1973. - Т. 8. - № 6. - С. 474-490.

18. Шамоян, Ф. А. Об одном классе операторов, связанных с факторизацией аналитических функций / Ф. А. Шамоян // Записки научных семинаров ПОМИ. - 1974. - Т. 39. - № 0. - С. 200—205.

19. Шамоян, Ф. А. Теорема вложения в пространствах п-гармонических функций и некоторые приложения / Ф. А. Шамоян // ДАН АрмССР. — 1976. — Т. 62. — № 1. - С. 10-14.

20. Шамоян, Ф. А. Теоремы вложения и характеристика следов в пространствах Нр(ип) / Ф. А. Шамоян // Математический сборник. — 1978. — Т. 107(149). - № 3(11). - С. 446-462.

21. Шамоян, Ф. А. Тёплицевы операторы и деление на внутреннюю функцию в некоторых пространствах аналитических функций / Ф. А. Шамоян // Изв. АН АрмССР. - 1983. - Т. 76. - № 3. - С. 215-219.

22. Шамоян, Ф. А. Диагональные отображения и вопросы представления в анизотропных пространствах голоморфных функций / Ф. А. Шамоян // ДАН АрмССР. - 1987. - Т. 85. - № 1. -С. - .

23. Шамоян, Ф. А. Диагональное отображение и вопросы представления в анизотропных пространствах голоморфных в полидиске функций / Ф. А. Шамоян // Сибирский математический журнал. — 1990. — Т.31. - № 2. -С. 474-494.

24. Шамоян, Ф. А. Введение в теорию весовых //-классов мероморфных функций / Ф. А. Шамоян, Е. Н. Шубабко. — Брянск: Группа компаний «Десяточка», 2009. — 152 с.

25. Шамоян, Ф. А. Об ограниченности тёплицевых операторов в весовых соболевских пространствах голоморфных в круге функции / Ф. А. Шамоян // Записки научных семинаров ПОМИ. — 2011. — Т. 389. - ff? 0. -С. 257—282.

26. Benedek, A. The space LP with mixed norm / A. Benedek, R. Panzone // Duke Mathematical Journal. - 1961. - V. 28. - № 3. - P. 301-324.

27. Böttcher, A. Analysis of Toeplitz Operators / A. Böttcher, В. Silberman — Berlin: Springer Verlag, 1990. — 665 p.

28. Carleson, L. On the zeros of functions with bounded Dirichlet integrals / L. Carleson // Mathematische Zeitschrift. — 1952. — V. 56. - № 3. -P. 289-295.

29. Detras, J. Restrictions a la diagonale desclasses de Hardy du luelisque / J. Detras // C.R. Acacl. Sei Paris. - 1978. - V. 287. -№ 7. - P. 997-999.

30. Djrbashian, A. E. Topics in the Theory of Apa spaces / A. E. Djrbashian, F. A. Shamoyan — Leipzig: Teubner, Teubner-Texte Zur Math., 1988. - 200 p.

31. Duren, P. L. Restrictions Hp functions to the diagonal of the polydisc / P. L. Duren, A. L. Shields // Duke Mathematical Journal. —

1975. - V. 42. - № 4. - P. 751-753.

32. Dyakonov, K. M. Division and multiplication by inner functions and embedding theorems for star-invariant subspaces / K. M. Dyakonov // American Journal of Mathematics. - 1993. - V. 115. - № 4. — P. 881-902.

33. Frazier, A. P. The dual space of Hp of the polydisc for 0 < p < 1 / A. P. Frazier // Duke Mathematical Journal. — 1972. — V. 39. - № 2. - P. 369-379.

34. Hedenmalm, H. Theory of Bergman spaces / H. Hedenmalm, B. Korenblum, K. Zhu — Berlin: Springer Verlag, Graduate Texts in mathematics, 2000. — 199 p.

35. Horowitz, C. Restrictions to diagonal of Un / C. Horowitz, E. Oberlin // Indiana University Mathematics Journal. —

1976. - V. 24. - № 7. - P. 767-772.

36. Jonson, S. On the action of Hankel and Toeplitz operators on some function spaces / S. Jonson, J. Peetre, A. Semmes // Duke Mathematical Journal. — 1984. - V. 51. - № 4. - P. 937-958.

37. Joricke, B. The multidimensional analog of the Privalov theorem / B. Joricke // Math. Nachr., Bd. - 1982. - V. 107. - P. 221-233.

38. Li, S. Volterra type operators from Zygmund space into Bloch spaces / S. Li, S. Stevic // J. Concr. Appl. Math. - 2008. - V. 6. - № 2. -P. 199-207.

39. Mitchell, J. Representation of linear functionals in Hp spaces over bounded symmetric domains in Cn / J. Mitchell, K. T. Hahn // Journal of Mathematical Analysis and Applications. - 1976. - V. 56. - № 2. - P. 379-396.

40. Nikolski, N. K. Treatise on the Shift Operator / N. K. Nikolski — Berlin: Springer Verlag, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 1986. — 491 p.

41. Nikolski, N. К. Operators, Functions, and Systems-An Easy Reading: Hardy, Hankel, and Toeplitz / N. K. Nikolski — American Mathematical Society, Mathematical Surveys and Monographs, 2002. — 461 p.

42. Ren, G. The diagonal mapping in mixed norm spaces / G. Ren, J. Shi // Studia Mathematica. - 2004. - V. 163. - № 2. - R 103-117.

43. Seip, K. Interpolating and sampling in spaces of analytic functions / K. Seip.'— American Mathematical Society,University Lecture Series, 2004. — 183 p.

44. Shamoyan, F. A. Continuous projections, duality, and the diagonal mapping in weighted spaces of holomorphic functions with mixed norm / F. A. Shamoyan, О. V. Yaroslavtseva // Journal of Mathematical Sciences. — 2000. - V. 101. - № 3. - R 3211-3215.

45. Shapiro, J. H. Mackey topologies, reproducing kernels, and diagonal maps on the Hardy and Bergman spaces / J. H. Shapiro // Duke Mathematical Journal. - 1976. - V. 43. - № 1. - P. 187-202.

46. Shields, A. L. Linear functionals on Hp spaces with 0 < p < 1 / A. L. Shields, P. L. Duren, B. W. Romberg // Journal fiir die reine und angewandte Mathematik. — 1969. — V. 238. — P. 32-60.

47. Shirokov, N. A. Analytic functions smooth up to the boundary / N. A. Shirokov — Berlin: Springer Verlag, Lecture Notes in Mathematics, 1988. — 222 p.

48. Zhu, K. Multipliers of BMO in the Bergman metric with applications to Toeplitz operators / K. Zhu // Journal of Functional Analysis. — 1989. — V. 87. — № 1. - P. 31-50.

Публикации автора по теме диссертации

Статьи, опубликованные в журналах из перечня ведущих рецензируемых научных снсурналов и изданий, рекомендованных ВАК Минобрнауки РФ

49. Мишина, Е. В. Оценка смешанных норм в весовом анизотропном пространстве типа Соболева аналитических в полидиске функций / Е. В. Мишина // Вестник Брянского государственного университета: точные и естественные науки. - Брянск: Изд. БГУ. - 2011. - № 4. - С. 28-36.

50. Povprits, E. V. Representation of continuous linear functional in anisotropic weighted spaces of analytic functions in the polydisc with mixed norm / F. A. Shamoyan, E. V. Povprits // Complex Variables and Elliptic Equations: An International Journal. — Taylor and Francis. — 2014. — V. 59. — № 4. - P. 462-483.

51. Povprits, E. V. Diagonal mapping in anisotropic spaces of analytic functions in polydisc with mixed norm / F. A. Shamoyan, E. V. Povprits // Complex Analysis and Operator Theory. — Birkhauser Verlag Viaduktstr. — 2014. — V. 8. - № 6. - P. 1383-1403.

Статьи в других научных изданиях

52. Мишина, Е. В. К вопросу об оценках в весовом анизотропном пространстве Соболева смешанных норм функций, аналитических в полидиске / Е. В. Мишина // Труды математического центра имени Н.И. Лобачевского: материалы молодежной научной школы-конференции «Лобочевские чтения» — Казань: Казан, матем. об-во. — 2011. — Т. 44. — С. 214-216.

53. Мишина, Е. В. Об одном весовом анизотропном пространстве типа Соболева аналитических в полидиске функций / Е. В. Мишина // Материалы международной коныеренции «Российско-Белорусско-Украинское пограни-чье: 25-летие экологических и социально-педагогических проблем в постчернобыльский период». — Новозыбков: Изд. РИО БГУ— 2011. —С. 455461.

54. Мишина, Е. В. О весовых анизотропных пространствах типа Соболева аналитических в полидиске функций / Е. В. Мишина // Материалы XII международной научной конференции «Системы компьютерной математики и их приложения» — Смоленск: СмолГУ. — 2011. — Вып. 12. — С. 215-216.

55. Повприц, Е. В. О представлении линейных непрерывных функционалов в весовых анизотропных пространствах аналитических в полидиске функций со смешанной нормой / Ф. А. Шамоян, Е. В. Повприц // Материалы VI Петрозаводской международной конференции «Комплексный анализ и приложения» — Петрозаводск: ПетрГУ. — 2012. — С. 82-86.

56. Повприц, Е. В. Об ограниченности одного класса интегральных операторов в весовых классах п-гармонических в/поликруге функций / Е. В. Повприц // Материалы XII международной научной конференции «Системы компьютерной математики и их приложения» — Смоленск: СмолГУ. — 2012. - Вып. 13. - С. 185-187.

57. Повприц, Е. В. Диагональное отображение в анизотропных пространствах аналитических в полидиске функций со смешанной нормой / Ф. А. Шамо-ян, Е. В. Повприц // Материалы XII международной научной конференции «Системы компьютерной математики и их приложения» — Смоленск: СмолГУ. - 2013. - Вып. 14. - С. 173-175.

58. Повприц, Е. В. Об ограниченности тёплицева оператора в одном весовом анизотропном пространстве аналитических функций в поликруге / Ф. А. Шамоян, Е. В. Повприц // Современные методы теории краевых задач: материалы Воронежской весенней математической школы «Понтря-гинские чтения — XXV» —Воронеж: изд. центр «Научная книга». — 2014. — С. 197-199.