Воспроизводящие ядра, преобразование Коши линейных непрерывных функционалов в весовых пространствах голоморфных функций тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат физико-математических наук Антоненкова, Ольга Евгеньевна

• Антоненкова, Ольга Евгеньевна
• кандидат физико-математических наук
• 2005

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Антоненкова, Ольга Евгеньевна

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА I. Преобразование Коши линейных непрерывных функционалов и проекторы в весовых пространствах голоморфных в шаре функций.

§1.1. Формулировка и доказательство вспомогательных утверждений.

§ 1.2. Ограниченные проекторы в весовых пространствах голоморфных в шаре функций со смешанной нормой.

§1.3. Преобразование Коши линейных непрерывных функционалов в пространствах Ap,q{p) при 1 < p,q<+ оо.

§ 1.4. Преобразование Коши линейных непрерывных функционалов в пространствах Ар,д(а>) при 0 < min{/?,^}< 1.

ГЛАВА II. Теплицевы операторы в весовых анизотропных пространствах голоморфных в шаре функций.

§2.1. Теплицевы операторы в пространствах Ap'q(a).

§2.2. О теплицевых операторах в пространствах Харди-Соболева.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Воспроизводящие ядра, преобразование Коши линейных непрерывных функционалов в весовых пространствах голоморфных функций»

Актуальность темы. Хорошо известно, что пространства Харди и Бергмана занимают особое место в общей теории функциональных пространств. Методы, разработанные при исследовании этих пространств, нашли существенное применение в современной теории функций и функциональном анализе. Они оказались очень важными как при исследовании свойств рядов и интегралов Фурье, так и в других разделах гармонического и комплексного анализа. Поэтому представляется актуальным исследование свойств многомерных пространств типа Харди и Бергмана. Актуальность данной тематики подтверждается и тем, что в последние годы, как в нашей стране, так и за рубежом публикуется много научных статей в этом направлении. Кроме того, в последнее время было издано несколько монографий по теории пространств Бергмана, операторов Теплица и функциональным пространствам аналитических функций.

Цель работы. 1) Построить линейный ограниченный проектор из весовых анизотропных пространств измеримых в шаре функций на соответствующее пространство голоморфных функций, а также из весовых пространств п-гармонических в шаре функций на пространство аналитических функций.

2) Описать преобразование Коши линейных непрерывных функционалов в весовых анизотропных пространствах голоморфных в шаре функций со смешанной нормой.

3) Дать характеризацию тех символов, при которых оператор Теплица с соответствующим символом действует в пространствах Харди-Соболева и в весовых пространствах голоморфных в шаре функций.

4) Решить задачу Глисона в пространствах голоморфных в шаре функций со смешанной нормой.

5) Построить линейный ограниченный проектор и получить описание сопряженных пространств к весовым анизотропным пространствам голоморфных в поликруге функций.

Методы исследования. В работе применялись общие методы комплексного и функционального анализа, теории сингулярных интегральных операторов. Важную роль играют интегральные представления исследуемых классов.

Научная новизна. В диссертации получены следующие новые результаты:

- построен линейный ограниченный проектор из весовых анизотропных пространств измеримых в шаре функций на соответствующее пространство голоморфных функций, а также из весовых пространств «-гармонических в шаре функций на пространство аналитических функций;

- получено полное описание преобразования Коши линейных непрерывных функционалов в весовых анизотропных пространствах голоморфных в шаре функций со смешанной нормой;

- описаны те символы, при которых теплицев оператор действует в пространствах Харди-Соболева и в весовых пространствах голоморфных в шаре функций со смешанной нормой;

- решена проблема Глисона в исследуемых пространствах голоморфных в шаре функций.

- построен линейный ограниченный проектор из весовых пространств измеримых в поликруге функций на соответствующее пространство голоморфных функций и на этой основе получено описание линейных непрерывных функционалов в изучаемых пространствах.

Теоретическая значимость. В диссертации исследуются весовые анизотропные пространства голоморфных в шаре и в поликруге функций со смешанной нормой, изучается поведения теплицевых операторов в анизотропных цро-странствах голоморфных в шаре функций, решается проблема Глисона в рассматриваемых пространствах. Впервые охарактеризовано преобразование Коши линейных непрерывных функционалов в классических весовых пространствах голоморфных в шаре функций со смешанной нормой типа пространств Бергмана.

Практическая значимость. Полученные в диссертации результаты могут быть применены в многомерном гармоническом анализе, в теории операторов, в теории функциональных пространств, в теории сингулярных интегральных операторов.

Рекомендации по использованию. Результаты диссертации могут быть использованы при чтении спецкурсов для студентов математических специальностей университетов. Также они могут быть использованы специалистами комплексного и функционального анализа при исследовании вопросов представления и описания двойственных пространств, вопросов аппроксимации, при изучении операторов сдвига в весовых пространствах аналитических функций.

Достоверность научных результатов обеспечена математической строгостью изложения основных результатов диссертации в виде теорем с подробными доказательствами и адекватным использованием основных, общеизвестных положений и методов комплексного и функционального анализа, теории интег-ро-дифференциальных операторов.

Основные положения диссертации, выносимые на защиту.

- построение линейных ограниченных проекторов из весовых анизотропных пространств измеримых в шаре функций на соответствующее пространство голоморфных функций, а также из весовых пространств w-гармонических в шаре функций на пространство аналитических функций;

- описание преобразования Коши линейных непрерывных функционалов в пространствах Ap,q(o)) при всех наборах 0 < p,q< +00;

- характеризация тех символов на единичной сфере, при которых соответствующий оператор Теплица действует в пространствах Харди-Соболева и в весовых пространствах голоморфных в шаре функций со смешанной нормой;

- решение задачи Глисона в пространствах Ap,q{co) при всех 0 < p,q < +00;

- построение линейных ограниченных проекторов и описание сопряженных пространств к весовым пространствам голоморфных в поликруге функций.

Личный вклад соискателя. Все основные результаты диссертации получены автором самостоятельно.

Апробация результатов диссертации. Основные результаты диссертации неоднократно докладывались на научных семинарах кафедры математического анализа Брянского государственного университета имени академика И.Г. Петровского (2002 - 2005 гг.); на Воронежской весенней математической школе «Современные методы теории краевых задач» (Воронеж, 2003 г.); на XXVI конференции молодых ученых механико-математического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова (Москва, 2004 г.); на 12-й Саратовской зимней школе «Современные проблемы теории функций и их приложения» (Саратов, 2004 г.); на международной конференции «Системы компьютерной математики и их приложения» (Смоленск, 2004, 2005 гг.); на международной конференции «Актуальные проблемы математики и механики» (Казань, 2004 г.).

Публикации. По теме диссертации опубликованы работы [2] - [10].

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, разбитых в общей сложности на 9 параграфов, и списка использованной литературы. Работа занимает 135 страниц. Библиография содержит 44 наименования.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Антоненкова, Ольга Евгеньевна, 2005 год

1. Александров А.Б. Теория функций в шаре // Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. - 1985. - Т. 8.-С. 115-186.

2. Антоненкова О.Е. Ограниченные проекторы и описание линейных непрерывных функционалов в весовых пространствах аналитических в поликруге функций со смешанной нормой // Деп. в ВИНИТИ 29.01.2004. №167-В2004. - 43 с.

3. Антоненкова О.Е., Шамоян Ф.А. Ограниченные проекторы в весовых пространствах аналитических в шаре функций со смешанной нормой // Системы компьютерной математики и их приложения: Материалы международной конференции. Смоленск. -2004. - С. 116-118.

4. Антоненкова О.Е. Об ограниченности теплицевых операторов в пространствах голоморфных в шаре функций со смешанной нормой // Материалы международной конференции «Актуальные проблемы математики и механики». Казань. - 2004. - С.235-236.

5. Антоненкова О.Е. Теплицевы операторы в пространствах голоморфных в шаре функций со смешанной нормой // Системы компьютерной математики и их приложения: Материалы международной конференции. Смоленск. -2005.-С. 112-114.

6. Антоненкова О.Е., Шамоян Ф.А. Описание линейных непрерывных функционалов в весовых пространствах аналитических в шаре функций со смешанной нормой // Успехи мат. наук 2005. - Т. 60. - Вып. 4. - С. 217-218.

7. Бесов О.В., Ильин В.П., Никольский С.М. Интегральные представления функций и теоремы вложения. М.: Наука, 1975. - 480 с.

8. Виноградов С.А. Свойства мультипликаторов интеграла Коши-Стилтьеса и некоторые задачи факторизации аналитических функций // Теория функций и функциональный анализ. М., ЦЭМИ АН СССР. - 1976. - С. 5-39.

9. Гарнетт Дж. Ограниченные аналитические функции. — М.: Мир, 1984. 469с.М.Джрбашян М.М. О каноническом представлении мероморфных в единичномкруге функций // ДАН Арм.ССР. 1945. - Т.З. - №1. - С. 3-4.

10. Джрбашян М.М. К проблеме представимости аналитических функций // Со-общ. ин-та математики и механики АН Арм.ССР. 1948. - Вып. 2. — С. 3-35.

11. Дынькин Е.М. Гладкие функции на плоских множествах // Доклады АН СССР. 1973. -Т. 208. -№ 1. - С. 25-27.

12. Пеллер В.В., Хрущев С.В. Операторы Ганкеля. Наилучшие приближения и стационарные гауссовские процессы // Успехи мат. наук 1982. - Т. 38. - № 1.-С. 53-124.

13. Рудин У. Теория функций в единичном шаре из С". — М.: Мир, 1984. 456 с.

14. Сенета Е. Правильно изменяющиеся функции. — М.: Наука, 1985. — 141 с.

15. Стейн И. Сингулярные интегралы и дифференциальные свойства функций. -М.: Мир, 1973.-342 с.

16. Хавин В.П. Пространства аналитических функций // Мат. анализ. 1964. Итоги науки ВИНИТИ АН СССР. М. - 1966. - С. 76-164.

17. Хенкин Г.М. The approximation of functions in pseudoconvex domains and a theorem of A.L. Leibenson // Bull. Acad. Polon. Sci. Ser. Math. Astron. Phys. -1971.-V. 19.-P. 37-42.

18. Шамоян Ф.А. Диагональное отображение и вопросы представления в анизотропных пространствах голоморфных в полидиске функций // Сиб. мат. журн. 1990. - Т. 31. - № 2. - С. 197-215.

19. Шамоян Ф.А., Ярославцева О.В. Непрерывные проекторы, двойственность и диагональное отображение в некоторых пространствах голоморфных функций со смешанной нормой // Зап. научн. семин. ПОМИ. 1997. - Т. 247. - С. 268-275.

20. Шамоян Ф.А., Часова Н.А. Диагональное отображение в обобщенных пространствах Харди в поликруге // Зап. научн. семин. ПОМИ. 2003. - Т. 303. -С. 218-222.

21. Шамоян Ф.А. Об ограниченности одного класса операторов, связанных с делимостью аналитических функций // Изв. АН Арм.ССР. Серия Математика. 1973. - Т. 8. - №6 - С. 474-494.

22. Шамоян Ф.А., Арутюнян А.В. Теплицевы операторы в анизотропных пространствах голоморфных в полидиске функций // Доклады АН Армении. — 1990.— Т. 91.-№4.-С. 147-151.

23. Шамоян Ф.А., Часова Н.А. О теплицевых операторах в пространствах Хар-ди-Соболева // Интегральные преобразования и специальные функции. — 2003. — Т. 4. -№ 1.-С. 46-54.

24. Широков Н.А. Обобщение теоремы Литтлвуда-Пэли // Зап. научн. семин. ЛОМИ.- 1972.-Т.30.-С. 179-180.

25. Ahern P.R., Sehneider R. Holomorphic Lipshitz functions in pseudoconvex domains // Amer. J. Math. 1979. - V. 101. - P. 543-565.

26. Ahern P., Bruna J. Maximal and area Integral characterizations of Hardy-Sobolevspaces in unit ball of С" II Rev. Math. Ieroamericana. 1988. - V. 4. - P. 123153.

27. Aleksandrov A.B. On the boundary decay in the mean of harmonic functions // Алгебра и анализ. 1995. - Т. 7. - Вып. 4. - С. 507-541.

28. Benedek A., Panzone R. The spaces LP with mixed norm // Duke Math. J. 1961. -V. 28.-№3.-P. 301-324.

29. Djrbashian M.M., Shamoyan F.A. Topics in the theory of Ap spaces. Leipzig: Teubner-Texte, 1988. - P. 200.

30. Forelli F., Rudin W. Projection spaces of holomorphic functions in balls // Indiana Univ. Math. J. 1974. - V.24. - P. 596-602.

31. Fefferman C., Stein E. Hp spaces of several variables // Acta Math. 1972. - V. 129.-P. 137-193.

32. Gadbois S. Mixed norm generalization of Bergman spaces and duality // Proc. Amer. Math. Soc.-1988-V. 104.-№ 4. P. 1171-1180.

33. Hedenmalm H., Korenblum В., К. Zhu. Theory of Bergman spaces, Springer 2000, New York, Heidel, 285 p.

34. Jevtic M. On the Carleson measure characterization of BMOA functions on the unit ball // Proc. Amer. Math. Soc. 1992. - V. 114. - № 2. - P. 379-386.

35. Kehe Zhu. The Bergman spaces, the Bloch spaces, and Gleason's problem // American Math. Soc. 1988. - V. 309. - №1 - P. 253-266.

36. Kahane J.P. Best approximation in L1(t) II Bull. Amer. Math. Soc. 1974. - V. 80(5).-P. 788-804.

37. Nikolski N.K. Operators, Functions, and Systems // AMS. Math. Surv. and monograph. 2002. - V. 92. - P. 461.

38. Shamoyan F.A. Teoplitz operators and division by inner function in some spaces of analytic functions // Amer. Math. Soc. Transl. 1986. - V. 133. - P. 4-9.

39. Shirokov N.A. Division and multiplication by inner functions in spaces of analytic functions smooth up to boundary // Complex analysis and spectral theory. Lecture Notes in Math. V. 864. - Sptinger-Verlad. - 1981. - P. 413-439.