Описание следов, характеризация главных частей в разложении Лорана классов мероморфных функций с ограничениями на рост характеристики Р. Неванлинны тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат физико-математических наук Беднаж, Вера Аркадьевна

• Беднаж, Вера Аркадьевна
• кандидат физико-математических наук
• 2007

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Беднаж, Вера Аркадьевна

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА I. Кратная интерполяции в некоторых классах аналитических в круге функций.

§1.1.0 кратной интерполяции в пространстве функций ограниченного вида.

§1.2. Решение задачи кратной интерполяции в классах аналитических в единичном круге функций конечного порядка и нормального типа вблизи единичной окружности.

§1.3. Построение линейного оператора, решающего задачу кратной интерполяции в классах голоморфных в единичном круге функций, имеющих степенной рост вблизи единичной окружности.

ГЛАВА И. Характеризация главных частей в разложении Лорана мероморфных функций с ограничениями на характеристику Неванлинны.

§2.1. О характеризации главных частей функций, принадлежащих классу

Неванлинны - Джрбашяна.

§2.2. Об инвариантности класса И™ относительно оператора дифференцирования.

§2.3. О характеризации главных частей функций, принадлежащих классу

§2.4. О некоторых задачах в классах И.И. Привалова.

§2.5. О характеризации главных частей функций конечного порядка и нормального типа в окрестности особых точек.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Описание следов, характеризация главных частей в разложении Лорана классов мероморфных функций с ограничениями на рост характеристики Р. Неванлинны»

Актуальность темы. В комплексном анализе особое место занимает теория мероморфных функций. Систематическое построение этой теории связано с классическими работами Р. Неванлинны. Методы теории мероморфных функций имеют многочисленные приложения не только в теории функций, но и в других областях математики. Поэтому открытие новых закономерностей справедливых для важных подклассов классов мероморфных функций является актуальной задачей современного комплексного анализа. Ряд важных проблем в теории классов мероморфных функций сводится к решению интерполяционных задач в соответствующих классах голоморфных функций. Теория интерполяции в классах голоморфных в круге функций интенсивно развивалась после основополагающей работы Л. Карлесона о свободной интерполяции в классе ограниченных аналитических в круге функций. В течение нескольких последних десятилетий удалось разрешить много задач такого рода как в более широких классах голоморфных функций, чем класс ограниченных аналитических функций, так и более узких классах: классах аналитических в круге функций гладких вплоть до его границ. Здесь, прежде всего, отметим фундаментальные работы Г.Шапиро, А. Шилдса (см.[53]), С.А. Виноградова, Е.М. Дынькина (см.[20]), H.A. Широкова (см.[37]), A.M. Коточигова (см.[21], [22]), К. Сейпа (см.[51]). Эти результаты изложены в хорошо известных обзорах С.А. Виноградова, В.П. Хавина (см.[12]), в монографиях К. Гофмана (см.[13]), П. Кусиса (см.[23]), Д. Гарнетта (см.[14]), X. Хеденмальма, Б. Коренблюма и К. Жу (см.[46]).

Однако решение задач такого рода в классах функций с различными ограничениями на характеристику Р. Неванлинны мало изучены.

Цель работы. 1)Найти явное решение задачи кратной интерполяции в пространстве функций ограниченного вида и в классе аналитических в единичном круге функций, имеющих вблизи единичной окружности конечный порядок и нормальный тип.

2)Построение линейного оператора, решающего задачу кратной интерполяции в классах аналитических в единичном круге функций, имеющих степенной рост вблизи единичной окружности.

3)Установить, что класс мероморфных в единичном круге функций, имеющих вблизи единичной окружности конечный положительный порядок и нормальный тип, в отличие от класса Р. Неванлинны, инвариантен относительно оператора дифференцирования.

4)Получить описание главных частей в разложении Лорана мероморфных в единичном круге функций, имеющих вблизи единичной окружности конечный порядок и нормальный тип, а также в классах мероморфных функций, принадлежащих классу Неванлинны - Джрбашяна.

5)Описать главные части в разложении Лорана мероморфных в конечной плоскости функций конечного порядка и нормального типа в окрестности особых точек.

Методы исследования. В работе применялись общие методы комплексного и функционального анализа. Важную роль играют факторизационные представления исследуемых классов.

Научная новизна. В работе получены следующие новые результаты:

- найдено в явном виде решение задачи кратной интерполяции в пространстве функций ограниченного вида;

- найдено решение задачи кратной интерполяции в классе аналитических в единичном круге функций, имеющих вблизи единичной окружности конечный порядок и нормальный тип;

- построен линейный оператор, решающий задачу кратной интерполяции в классах аналитических в единичном круге функций, имеющих степенной рост вблизи единичной окружности;

- получена характеризация главных частей мероморфных в единичном круге функций, имеющих вблизи единичной окружности конечный порядок и нормальный тип и мероморфных функций, принадлежащих классу Неванлинны - Джрбашяна;

- установлено, что класс мероморфных в единичном круге функций, имеющих вблизи единичной окружности конечный порядок и нормальный тип инвариантен относительно оператора дифференцирования;

- описаны главные части в разложении Лорана мероморфных функций конечного порядка и нормального типа в окрестности особых точек.

Практическая и теоретическая ценность. Работа носит теоретический характер. Результаты диссертации могут найти приложение в общей теории функций комплексного переменного и его приложениях.

Апробация работы. Основные результаты диссертации неоднократно докладывались на научных семинарах кафедры математического анализа Брянского государственного университета имени академика И.Г. Петровского (2001 - 2007 гг.); на Воронежской зимней математической школе «Современные методы теории краевых задач» (Воронеж, 2001 г.); на научной конференции, посвященной 100 -летию со дня рождения акад. И.Г. Петровскому (Брянск, 2001 г.); на международной конференции, посвященной 200-летию Казанского университета «Геометрическая теория функций и краевые задачи» (Казань, 2002 г.); на международной конференции «Системы компьютерной математики и их приложения» (Смоленск, 2005, 2007 гг.); на Воронежской весенней математической школе «Понтрягинские чтения-17» (Воронеж, 2006 г.); на Воронежской зимней математической школе «Современные методы теории функций и смежные проблемы» (Воронеж, 2007 г.).

Содержание диссертации.

Для изложения содержания диссертации вначале приведем обзор некоторых результатов, связанных с тематикой работы. Пусть В = : \г\ < 1} - единичный круг на комплексной плоскости, - множество всех голоморфных в В функций, М(£>) - множество всех мероморфных в Б функций, / еМ(£>). Характеристикой Р. Неванлинны функции / называется выражение

2тг

-к \ ( \ ГГП(^СО) ~ п(0,оо) где г е (ОД), А/"(г,/) = —------'-(И - усредненная считающая функция

• t о 1 последовательности полюсов функции /, я (г, со) = Ьк, < г|, Ь^ - полюса функции / в Э, л (0,оо) - кратность полюса / в начале координат.

В классических работах Р. Неванлинны и В.И. Смирнова были исследованы вопросы факторизации функций ограниченного вида. Напомним, что функция / называется функцией ограниченного вида, если характеристика Р. Неванлинны этой функции ограничена на интервале (ОД). Этот класс называют классом Р. Неванлинны и обозначают символом N. Из результатов Р. Неванлинны следует, что класс N совпадает с классом мероморфных функций, являющихся отношением двух ограниченных аналитических в единичном круге функций.

Одним из важных результатов теории мероморфных функций является построение факторизационных представлений класса мероморфных функций Ыа, а > -1, введенного Р. Неванлинной в 40-х годах прошлого столетия. Это класс мероморфных в £> функций, для которых характеристика Г (г,/) подчинена ограничению 1

1 - г)а Т(г,/)с1г < +оо. о

В дальнейшем Ф.А. Шамоян (1978 г.) охарактеризовал корневые множества и множество полюсов функции из класса Иа, построил параметрическое представление этого класса. Указанное факторизационное представление существенно используется при решении кратной интерполяционной задачи в классах

Перейдем к постановке вышеуказанной интерполяционной задачи в классах Нр, Харди, 0 < р <+оо. Пусть {ак}™ ,ак е Д & = 1,2,., и {/ь}™ - произвольные последовательности комплексных чисел и я - > 1, у > 1, - кратность появления числа а^ на отрезке {} ^. Требуется выявить критерии для [а^и ук , обеспечивающие существование функции / е Нр, Харди, 0 < р < +оо, удовлетворяющей интерполяционным условиям

У^"1\ак) = ук,к=1,2,., (0.1) и построить аппарат для явного представления решений такого рода.

Общая задача кратной интерполяции была поставлена и решена в классе гу

Харди, Н , в работе М.М. Джрбашана [18].

В случае, когда, {сск}™, сск е Д к = 1,2,., попарно различны (то есть =1, у > 1) эта задача сводится к интерполяционной задаче ак) = ук,к=1,2,., (0.2) с простыми узлами [оск]^.

Критерии существования решения задачи (0.2) в классе ограниченных в единичном круге функций либо в классах Нр, Харди, 0 < р < +оо, были установлены в работах Л. Карлесона, Д. Ньюмана, Г. Шапиро и А. Шилдса, В. Ка-байла; в классах гармонических в круге функций - в работе Дж. Гарнета (см. [44]).

В цикле работ М.М. Джрбашяна, Ф.А. Шамояна, В.М. Мартиросяна (см.[18], [19], [28], [35]).было получено полное решение задачи (0.1) в классах Нр в круге. Явное построение решения интерполяционной задачи в случае простых узлов {сск}™получено П. Джонсом (см.[23], [47]).

В последние десятилетия задача интерполяции в случае простых узлов была решена в классах голоморфных в круге функций, принадлежащих весовым классам Бергмана, и в классах голоморфных в круге функций, имеющих степенной рост вблизи единичной окружности. Эти результаты подробно изложены в монографии X. Хеденмальма, Б. Коренблюма и К. Жу (см.[46]). Перейдем к обзору основных результатов диссертации по главам. В первой главе диссертации в явном виде строится решение задачи кратной интерполяции при условии, что узлы интерполяции находятся в конечном числе углов Штольца и вместо известного условия Л. Карлесона а ;-аъ П j*k

1 -ajak ô> О

0.3) возникает совершенно другое.

В § 1.1. главы I рассматриваемая задача решается в классах функций ограниченного вида, то есть d(p < +оо e#(D):sup fin+ f(rei(p)

0<r<l i X '

L. —71

Кроме введенного параметра s • >1, j > 1, обозначим через pj кратность появления числа ctj во всей последовательности

Последовательность комплексных чисел {ак}™ из единичного круга D, оо подчинённая условию Бляшке ^(l - \ак < +оо, принадлежит классу Ар, если выполняются условия: к= 1 оо п

7=1 ccj*ak aj

1- akâj ехр

О-Ы) ё>0, к> 1

Основной результат этого параграфа содержится в теореме 1.1.

Теорема 1.1. Пусть последовательность комплексных чисел {<%к}™ е Ар, точки ак, к=1,2,., находятся в конечном числе углов Штольца Г(б^), 1,2,.,и; тогда для любой последовательности {ук]™ так°й, что m

Ы^ехр<

1-Ы) к=1,2,., можно построить в явном виде функцию /, / е NА, являющуюся решением интерполяционной задачи к (ак) = ук, к=1,2,.

В § 1.2. главы I строится решение задачи кратной интерполяции в пространствах Хр аналитических в Э функций /, имеющих вблизи единичной окружности конечный порядок р и нормальный тип, то есть существуют константы сх > 0, с2 > 0 такие, что

2)|-с1ехР

1-И)'

Справедлива следующая теорема.

Теорема 1.2. Пусть последовательность аке.В, к=1,2,., удовлеоо творяетусловию - \ак< +оо; точки ак, к=1,2,., находятся в конечном к=1 числе углов Штольца Г (вт), т = 1,2,., п;

С0 П

7=1 сс]*ак ак-а]

1 -ака] ехр

1-К1У

0.4) к> 1 тогда для произвольной последовательности {сок}™ такой, что

I I с(0))

С1"К1) можно построить в явном виде функцию /, / е Хр, являющуюся решением интерполяционной задачи ^ = 0)к, к=1,2,.

В этом же параграфе устанавливается, что условие (0.4) в известном смысле является необходимым.

В § 1.3. главы I построен линейный оператор, решающий задачу кратной интерполяции в классах голоморфных в единичном круге функций, имеющих степенной рост вблизи единичной окружности, то есть в классах Ат (£)) множества функций / е//(/)) таких, что с,

1/М1 т <еЯ,.

1-иг

Последовательность комплексных чисел {оск}™, удовлетворяющих условиям тГ к> 1 П

7=1 у

1- 8> 0, к> 1 отнесем к классу А р.

Теорема 1.4. Пусть последовательность комплексных чисел \аке Ар, тогда для любой последовательности {ук такой что п n

1-к1)

1П+Як

-р к 1,2, ряд / (г) = ^^ук0.к (г), г&Э, сходится абсолютно и равномерно внутри едик=1 ничного круга и определяет функцию / е Ат, удовлетворяющую интерполяционным условиям ^(ак)=:ук, к=1,2,. д. (г)| - специальная система аналитических в Э функций, построенная в явном виде и ассоцированная с последовательностью •

В случае, когда =1, к = 1,2,., задача в классах Ат решена в работе [51].

Во второй главе, исходя из результатов о кратной интерполяции в единичном круге, даётся полная характеристика главных частей мероморфных функций при условии, что особые точки мероморфных функций удовлетворяют условию Л. Карлесона. Отметим, что впервые задача такого рода в классе функций ограниченного вида была поставлена и решена, без явного построения решения, в работе А.Г. Нафталевича (см. [29]).

В § 2.1 главы II получена характеризация главных частей мероморфных в Б функций, принадлежащих классу Неванлинны - Джрбашяна Иа (а > -1).

Следуя Р. Неванлинни, обозначим Иа (а > -1) - класс мероморфных в В функций /, для которых 1

1-г2)а -Г(г,/)й?г<+оо. о

Теорема 2.1. Пусть последовательность {гудовлетворяет условию Л. Карлесона. Тогда для того, чтобы существовала функция е Ма, г е В, с главными частями

Н (г,гк,ак) =-!-+-!-Г + . + 7-—г, к = 1,2,., необходимо и достаточно, чтобы

Д1" Ы) 111 "Г---^-<+00,1 = 1,2,.,л. Ц-\2к\2

В § 2.2 главы II, используя параметрическое представление класса мероморфных в единичном круге функций, имеющих вблизи единичной окружности конечный порядок и нормальный тип, А^, а > 0, а еМ(£):Г(г,/)<7-^7; 0<г<1

1 -Г)с полученное в работе [52], устанавливается следующий результат, который играет существенную роль при характеризации главных частей функций рассматриваемого класса.

Теорема 2.3. Класс при любых а > О инвариантен относительно оператора дифференцирования.

Интересно, что класс Р. Неванлинны N = не инвариантен относительно оператора дифференцирования. Проблема об инвариантности класса N относительно оператора дифференцирования была поставлена Р. Неванлинной в работе [48]. Указанная гипотеза была опровергнута в работе [43].

В § 2.3 главы II дается полная характеристика главных частей функций из класса А^, а > 0.

Следуя М.М. Джрбашяну, введем бесконечное произведение

Мг>п)=П к=1 12 V

Ук ехр<

10

1п 1 ре рйрйв >

Ук которое равномерно сходится внутри £) тогда и только тогда, когда

Р+2

ЕО-ЫГ

Теорема 2.4. Пусть последовательность {гк ]г|° удовлетворяет условию

Л. Карлесона. Тогда для того, чтобы существовала функция g е с главными частями тт( \ ак,п ак,п-\

Н{г,гк,ак) =-+ • - 2к Т (г-чГ] необходимо и достаточно, чтобы . + , акЛ ,, к = 1,2,., г~2кУ

00 а+1 I \

ЕО-ЫГ" 1п+<+с°>/=1,2,.,и. к=1

В § 2.4 главы II изучаются свойства корневых множеств класса И.И. Привалова П(р), 0 < р < 1. Рассматриваемый класс функций был впервые введен в работе [31]. Скажем, что функция / принадлежит классу И.И. Привалова П(/?), если

8ир ] (1п+1й<р + N(r,/) < -к».

0<г<1 Л,

Очевидно, что при р = 1, класс И.И. Привалова совпадает с классом Р. Не-ванлинны. Нетрудно доказать, что при р' > р П(//) с: П(/>). Поэтому, если оо р > 1, то корневые множества описаны условием Бляшке -< +оо, но к=1 при р < 1 условие Бляшке уже не является необходимым условием для корневых множеств класса И.И. Привалова.

Теорема 2.5. Если/еП (/?), 0</?<1 и /(гк) = 0, к = 1,2,., то ряд оо 1 оо при произвольном £ >0. Обратно, существует / е П(/>) и к=1 последовательность , гк еИ, к-1,2,., такие, что /(гк) = 0, к-1,2,., г ^ гк, к = 1,2,., при этом

ЛЧФ-ъ р к=\

1 ! n

V1 —1^1 V +00 .

В § 2.5 главы II получена характеризация главных частей мероморфной в конечной плоскости функции конечного порядка и нормального типа в окрестности особых точек.

Пусть С - комплексная плоскость, М(С) - множество всех мероморфных функций на С, / е М{С), Т(г,/) - как и прежде характеристика Р. Неванлин-ны.

Функция / еМ(С) имеет конечный порядокр и нормальный тип, если существует су е я+ такая, что

Т(г,/)<С/гр, г>1, р > 0.

14

Множество таких функций обозначим через М(уС>;+оо), а класс целых функций конечного порядка/? и нормального типа - Н(р;+ оо).

Как следовало ожидать, такие задачи сводятся к соответствующей интерполяционной задаче в классе Н(р;+ оо). Полная характеризация интерполяционных множеств в этом классе получена в работах А.Ф. Леонтьева, A.B. Братищева, Ю.Ф. Коробейника (см.[11], [27]).

Справедлива следующая теорема.

Теорема 2.6. Пусть последовательность [zk - интерполяционная в классе #(/?;+со). Тогда для того, чтобы существовала функция g еМ(р;+ оо) с главными частями а

1,1 а к, 2 .+

Я*.

Рк

-**) (z-zk)2 - (z-zkyb в окрестности точки z,, необходимо и достаточно, чтобы lim k-++оо

In а к л

4оо,/ = 1 ,рк.

Автор выражает искреннюю благодарность своему научному руководителю профессору Ф.А. Шамояну за постановку задачи и постоянное внимание к работе.

15

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Беднаж, Вера Аркадьевна, 2007 год

1. Беднаж В.А. О кратной интерполяции в пространстве функций ограниченного вида // Тезисы докладов научной конференции, посвященной 100 -летию со дня рождения акад. И.Г. Петровского. Брянск: Изд-во БГПУ. -2001. - С.32-33.

2. Беднаж В.А., Шамоян Ф.А. Описание главных частей в разложении Лорана некоторых классов мероморфных в круге функций // Вестник Брянского государственного университета. № 4(2004): Естественные и точные науки. - Брянск: Изд-во БГУ. - С. 84-92.

3. Беднаж В.А. О характеризации главных частей функций, принадлежащих классу Ы™ // Вестник Брянского государственного университета. -№ 4(2005): Естественные и точные науки. Брянск: Изд-во БГУ. - С.153-159.

4. Беднаж В.А. О характеризации главных частей мероморфных функций конечного порядка и нормального типа // Современные методы теории краевых задач: Материалы Воронежской весенней математической школы «Пон-трягинские чтения-17». Воронеж. - 2006. - С. 21-22.

5. Беднаж В.А. О характеризации главных частей мероморфных функций конечного порядка и нормального типа в окрестности особых точек // Зап. научн. семин. ПОМИ. 2007. - Т. 345 - С. 51-54.

6. З.Гофман К. Банаховы пространства аналитических функций- М.: Мир, 1963.

7. Гарнетт Дж. Ограниченные аналитические функции. М.: Мир, 1984. -469с.

8. Гольдберг A.A., Островский И.В. Распределение значений мероморфных функций. М.: Мир, 1970.

9. Гришин А.Ф., РуссаковскийА.М. Свободная интерполяция целыми функциями // Теория функций, функцион. анализ и их прил. 1985. - Вып.44.С. 32-42.

10. Джрбашян М.М. К проблеме представимости аналитических функций // Сообщ. института математики и механики АН Арм.ССР. Вып. 2 1948.С.3-55.

11. Джрбашян М.М. Биортогональные системы и решение интерполяционной задачи с узлами ограниченной кратности в классе Н II Изв. АН Арм.ССР. Серия Математика. 1974. - Т.9. - № 5. с. 339-373.

12. Джрбашян М.М. Базисность некоторых биортогональных систем и решение кратной интерполяционной задачи в классах Нр в полуплоскости // Изв. АН СССР. Серия Математика. 1978. - Т.43. - № 6. - С. 1327 - 1384.

13. Дынькин Е.М. Множества свободной интерполяции в классах Гёльдера // Математический сборник. 1979.-Т. 109-№ 1. - С. 107-128.

14. Коточигов A.M. Интерполяция аналитическими функциями, гладкими вплоть до границы // Зап. научн. семин. ЛОМИ. 1976. - Т. 56. - С. 186-187.

15. Коточигов A.M., Широков H.A. Свободная интерполяция для классов Гельдера в жордановых областях // Проблемы математического анализа. -Т.1 -Изд-во СПбГУ, 1995. С.109-138.

16. Кусис П. Введение в теорию пространств Нр с приложением доказательства Волффа теоремы о короне М: Мир, 1984. - 368с.

17. Лаптева В.А., Шамоян Ф.А. Об интерполяции в некоторых классах аналитических в круге функций // Труды математического центра имени Н.И. Лобачевского. 2002. - Т. 13. - С. 102-105.

18. Лаптева В.А., Шамоян Ф.А. О характеризации главных частей некоторых классов мероморфных в круге функций // Деп. в ВИНИТИ 29.01.2004. -№166-В2004. 30 с.

19. Леонтьев А.Ф. Последовательность полиномов из экспонент. М.: Наука, 1980.

20. Леонтьев А.Ф.Разрешимость интерполяционной задачи в классе целых функций // ДАН СССР 1949. - Т. 66. - С. 33-34.

21. Мартиросян В.М. Эффективное решение интерполяционной задачи с узлами ограниченной кратности Я00// ДАН СССР 1982. - Т. 263. - С. 805 -808.

22. Нафталевич А.Г. Об интерполировании функций ограниченного вида // Ученые записки Вильнюсского университета. 1956 - С. 5-27.

23. Неванлинна Р. Однозначные аналитические функции. М.: Гостехиздат. 1941.

24. Привалов И.И. Субгармонические функции. М.: Гостехиздат. 1937.

25. Привалов И.И. Граничные свойства однозначных аналитических функций- М.: Изд-во МГУ, 1941.

26. Фирсакова О.С. Некоторые вопросы интерполирования с помощью целых функций // ДАН СССР 1958. - Т. 120. - № 3. - С. 477-480.

27. Шамоян Ф.А. Факторизационная теорема М.М. Джрбашяна и характеристика нулей аналитических в круге функций с мажорантой конечного роста // Изв. АН Арм.ССР. Серия Математика. 1978. - Т. 13. - №№ 5-6 - С. 405 -422.

28. Шамоян Ф.А. Теоремы вложения, связанные с задачей кратного интерполирования в пространствах Нр II Изв. АН Арм.ССР. Серия Математика. -1976.-T.il -№2-С.124-131.

29. Шамоян Ф.А., Курсина И.С. Об инвариантности некоторых классов голоморфных функций относительно интегро- дифференциальных операторов // Зап. научн. семин. ПОМИ. 1998. - Т. 255. - С. 184-197.

30. Широков Н.А. Свободная интерполяция в пространствах СА * // Матемаг,сотический сборник. 1982 - Т. 117. - № 3. - С. 337-358.

31. Branges L. Hilbert spaces of entire functions. Prentice - Hall, Inc., Engle-wood Cliffs, N.J., 1968. - P.326.

32. Bruna J., Pascuas D. Interpolation in II bond. Math. Soc. 1989. - V. 40. -P. 452-466.

33. Carleson L. An interpolation problem for bounded analytic functions // Amer. J. Math. 1958- V. 80. - P. 921-930.

34. Chalmers B.L. Some interpolation problems in Hilbert spaces // Mich. Math. J.- 1971-V. 18. № 3 - P. 41-50

35. Djrbashian M.M., Shamoyan F.A. Topics in the theory of A? spaces. Leipzig: Teubner-Texte, 1988.-V.105. - P. 200.

36. Frostman O. On analytic functions with bounded characteristic // Bull. Amer. Math. Soc. 1946- V. 52. - № 8. - P. 694-699.

37. Garnet J. Interpolating sequences for bounded harmonic functions // Indiana Univ. Math. Journal 1971-V. 21. - P. 187-192.

38. Hahn L. On the Bloch Nevanlinna problem // Proc. Amer. Math. Soc. - 1972— V. 32.-№ l.-P. 221-224.

39. Hedenmalm H., Korenblum and K. Zhu. Theory of Bergman Spaces. . Heidelberg, Sprenger - Verlag, 2000.

40. Jones P. JT estimates for the O - problem. Preprint, Dept. Math. Univ. Chicago, 1980.

41. Nevanlinna R. Le thoreme de Picard Borel et la functions meromorphes. -Paris: Gauthier - Villars, 1929 vii - P. 1799.

42. Rosenbaum J.T. Simultaneous interpolation inT // Mich. Math. J. 1967- V.14.-№ 1 P. 65-70.

43. Rosenbaum J.T. Simultaneous interpolation inH MI // Pacif. Math. J. 1967V. 27. № 3 - P. 607-610.

44. Shapiro H.S., Shields A. On some interpolation problems for analytic functions //Amer. J. Math. 1961-V. 83.-P. 513-532.