ВМО-регулярность в решётках измеримых функций и интерполяция классов Харди тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат физико-математических наук Руцкий, Дмитрий Владимирович

• Руцкий, Дмитрий Владимирович
• кандидат физико-математических наук
• 2011

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Руцкий, Дмитрий Владимирович

Введение

Интерполяция аналитических пространств.

ВМО-регулярность в решётках на пространствах однородного типа.

Интерполяция пространств, порождённых квазирегулярным проектором.

Теорема о короне и аналитическое разложение единицы.

Сводка основных результатов.

Общая характеристика работы.

Содержание работы.

1 Общие сведения

1.1 Решётки измеримых функций.

1.1.1 Основные определения и свойства.

1.1.2 Алгебра решёток измеримых функций.

1.1.3 Решётки со смешанной нормой.

1.2 Объекты гармонического анализа.

1.2.1 Пространства однородного типа и максимальные операторы

1.2.2 Веса Макенхаупта.

1.2.3 Ар-ограниченные отображения и операторы Кальдерона-Зигмунда.

1.2.4 А2-невырожденные отображения

1.3 Разное.

1.3.1 "Шары" класса Ар.

1.3.2 Теорема Гротендика и теорема о неподвижной точке

1.3.3 Пространства типа Харди и АК-устойчивость

2 Задача о короне

2.1 Векторнозначная задача о короне.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «ВМО-регулярность в решётках измеримых функций и интерполяция классов Харди»

Интерполяция аналитических пространств

Пусть X и У — квазибанаховы решётки измеримых функций на окружности Т с мерой Лебега (все основные используемые понятия будут формально введены далее в главе 1). В них естественным образом вводятся аналитические подпространства Хл и Уд, Xл = X П X"1" и У а = У П состоящие из сужений на границу аналитических функций из класса Смирнова, которые лежат также в X и У соответственно. Например, аналитические подпространства для классов Лебега Ьр — это просто классы Харди (ЬР)А = Как устроены интерполяционные пространства между Ха и Уд? Разумеется, для всякого интерполяционного функтора Т в категории банаховых пространств верно соотношение

Т{{Ха,Уа))^{Т{{Х,У)))а.

Обратное включение, т. е. равенство

Т{{Хл,Уа)) = {Т{(Х,У)))а, мы будем называть "правильной", или "хорошей" интерполяцией для пары (Ха,Уа) по понятным причинам; это явление ещё называется устойчивостью интерполяции Т для пары пространств (Ха,Уа)• Для пространств Лебега Ьр (вещественная и комплексная интерполяция которых, как хорошо известно, в рассматриваемых далее случаях снова даёт пространства Лебега) эти соотношения для вещественной интерполяции (при естественном выборе показателя г) принимают вид

Нр, Иц)гв = Нг, ^ = ^ + (1) для комплексной интерполяции, соответственно, Q Q

Hp, = Hr, - = —— + (2)

Для пары (Хд, YX) хорошая интерполяция (с произвольным методом F) легко получается, если эта пара является ретрактом пары (X, Y) в категории пар банаховых пространств, т. е. если существует некоторый линейный ограниченный проектор Р : X + Y н->- Хл + Уд, одновременно проектирующий X на Хд и У на Уд, т. е. если пространства Хд и Ya дополняемы в X и Y соответственно, с одним и тем же проектором. Разумеется, во многих интересных случаях это не выполнено; например, как хорошо известно (см., например, [12]), пространства Нр не дополняемы в Lj, при р Е {1, оо}. Поскольку проектор Рисса Р проектирует пространства Lp на Нр при 1 < р < оо, при 1 < р, q < оо пара (Нр, Нд) является ретрактом пары (LP,L(/), и поэтому на ней любой интерполяционный метод устойчив. В частности, при 1 < р, q < оо соотношения (1) и (2) автоматически выполнены. Но нередко бывают интересны как раз крайние значения показателей. П. Джонс ещё в начале 80-х годов прошлого столетия показал (см. [19], [18], [15]), что хорошая интерполяция имеет место для обычных пространств Харди Нр, 1 ^ р ^ оо, и вещественного и комплексного методов интерполяции — т. е. в интерполяционном смысле шкала пространств Нр при 1 ^ р ^ оо ведёт себя так же, как и шкала пространств Lp.

Интерес к вопросам, связанным с интерполяцией аналитических пространств, усилившийся к концу 80-х, обусловлен, в частности, исследованиями свойств диск-алгебры Сд и классов Харди Нр как банаховых пространств; см. обзоры [56] и [17, Chapter 16]. "Упомянем работу Ж. Бур-гейна [20] 1984 г., где, в частности, для диск-алгебры С л был установлен аналог теоремы Гротендика о том, что всякий ограниченный оператор из Сд в Li является 2-суммирующим. С. В. Кисляков в [25] 1989 г. нашёл простые доказательства для этих результатов, фактически основывающиеся на интерполяции для весовых пространств Ы;). В то же время К. Шу (используя некоторые идеи Ж. Пизье) в [46] привёл простые доказательства упомянутых теорем П. Джонса о правильной интерполяции в шкале Нр.

Примерно в это время стало понятно (первым это заметил, по-видимому, Ж. Пизье в работе [39]), что естественным подходом к подобным вопросам для вещественной интерполяции является исследование К-замкнутости соответствующей пары. Вещественные интерполяционные пространства описываются в терминах К-функционала

К(1,/;Х,У) = Ы{\\д\\х+ЩЦу\/ = д + к}, * > О, /еХ + У

Подпара (Е, Е) пары (Х,У) банаховых пространств называется К-за-мкнутой в (Х,У), если К(г,/;Е,Е) < СК(Ь,/;Х,У) для всех I > 0 и / € Е + Р с некоторой константой С, не зависящей от I и /. Свойство К-замкнутости допускает следующие простые переформулировки (см., например, [14]), из которых ясна его связь с интерполяцией и аппроксимацией.

• Это свойство зачастую наиболее удобно. Для всякого разложения функции / сумму / = д0 + Н0, д0 е X, Н0 е У, найдётся разложение в сумму / = д + к, д Е Е, к Е Е, такое, что 1Ыи ^ С||<7о||х и ||/г.]|у < С||Л0||у с некоторой константой С, не зависящей от /, до, ^о

• Для всякой функции / Е X П У найдётся одновременное хорошее приближение дёЕПРвХиУс некоторой константой С, не зависящей от /, т. е.

• Для всякой функции / е (X/ Е) П (У/Е) найдётся такая функция д € X ПУ, что / ~ д Е Е П Е, т. е. функция д представляет класс функции / в соответствующих фактор-пространствах, и выполнены оценки ||£г||л' ^ СЦ/Цд'/в и ||<?||у < С\\}\\у/Р с некоторой константой С, не зависящей от /.

Естественно, из К-замкнутости пары (Хд,Уа) в паре (X, У), которую мы, следуя статье [27], будем называть АК-устойчивостью (аналитической К-устойчивостью) пары (X, У), вытекает хорошая вещественная интерполяция для этой пары. Отметим ещё одно интересное свойство. Подпара (Е,Е) пары (Х,У) называется ретрактной нодпарой пары (X, У), если для всякого элемента / Е Е + -Р1 существует линейный оператор

T:X + Y—>E + F, такой, что \\Т\\Х^Е ^ С, \\T\\Y^F < С и Т/ — /, для некоторой константы С, не зависящей от /. Легко видеть, что если пара (E,F) является ретрактной ггодпарой пары (X,У), то пара (E,F) К-замкнута в (X, У), но неясно, верно ли обратное утверждение в общем случае. Нетрудно проверить, что для хорошей интерполяции (любым интерполяционным методом) достаточно, чтобы пара (Х^, Ул) была ретрактной подпарой пары (X,У) (см., например, |22, Corollary 2.1]).

Ж. Пизье (см. [39], [38], [40]) показал в 1991 г., что для классов Хар-ди АК-устойчивость имеет место, а также получил некоторые вектор-нозначные и некоммутативные обобщения этих результатов. Эти результаты также охватывают случай показателей, меньших единицы. Примерно в то же время К. Шу в [48] также получил некоторые результаты для хорошей вещественной интерполяции векторнозначных классов Нр. Далее, К. Шу показал в [47], что для перестановочно инвариантных банаховых решёток X и У пара (Ха,Уа) является ретрактной подпарой пары (X,У), и, таким образом, для таких решёток, и, в частности, для пар классов Харди Нр при 1 ^ р ^ со, имеется хорошая интерполяция. П. Мюллер в [35] (см. также [34]) получил хорошую комплексную интерполяцию между Hi и 1ICXJ с помощью комплексных мартингалов Н. Варопулоса. С. В. Кисляков и К. Шу в [59] показали, в частности, как можно получить ретрактность пары (H^Hqq) в паре (L^L^) только из усиленной некоторым образом АК-устойчивости пары (L^Lqo) (а именно, из АК-устойчивости пары (Li (Z°°), L^ (Z£°)); ниже мы подробнее рассмотрим пары такого вида).

А что с весовыми пространствами Харди, образованными из весовых пространств Лебега Lp (w) = {/ | w~x J 6 Lp] с соответствующей квазинормой? Мы будем рассматривать только весовые пространства Харди Нр (w) с весом log w е Li; тогда их молено определить как

Нр И = W~lYíp = {W~lg \ge Нр} , где W — внешняя функция, такая, что | = w почти всюду. В 1990 г. М. Цвикель, Дж. Е. Маккарти и Т. Вольф показали в [6], что пространство Нр (wq~0Wi), 0 < 0 < 1, 1 ^р^ оо, является интерполяционным пространством степени 9 для пары (Нр (w0), Н7, (гуг)) (как стало ясно несколько позже, для весовых пространств Харди это свойство эквивалентно хорошей вещественной или комплексной интерполяции соответствующих весовых классов Нр(гу), т. е. соотношениям вида (1) или (2)) тогда и только тогда, когда выполнено условие log ^ е ВМО. Они также показали, что если это условие на веса не выполнено, то пространство Нр (wq~6Wi) всё равно может оказаться интерполяционным для пары (Нр (щ), Нр (wl)), что, конечно, ещё ничего не говорит о возможности хорошей интерполяции для этой пары для каких-то интерполяционных функторов: хотя по известной теореме Ароншайна-Гальярдо (см., например, [3, 2.5]) тогда найдётся функтор, реализующий такую интерполяцию для этой конкретной пары, неясно, будет ли у него хорошая аналитическая интерполяция для других пар. Далее, С. В. Кисляков и К. Шу показали в [23], что то же самое условие log ^ является необходимым и достаточным для хорошей вещественной или комплексной интерполяции для пары (Нр (-Шо), Нд (wi)) и при разных показателях 1 < р, q ^ со, а также получили некоторые результаты для векторнозначных классов Харди.

ВМО-регулярность — относительно новое поиятие, которое в явном виде было введено Н. Кальтоном в [21] в связи с рассматриваемым вопросом (в более общей постановке), хотя, как стало ясно позднее, оно неявно играло роль и в более ранних работах. Решётка X (пока, по-прежнему, речь идёт об измеримых функциях на окружности) называется ВМО-регулярной, если для всякой функции / Ф 0 найдётся мажоранта g £ X, g ^ |/|, такая, что ^ m\\f\\x и logg е ВМО, ][logp||bmo ^ С, где константы m и С не зависят от /. Определение пространства ВМО см. в §1.2.1. Н. Кальтон, в частности, доказал (см. [21, Theorem 5.12]), что если решётки 1и Y суперрефлексивны и решётка X ВМО-регулярна, то хорошая комплексная интерполяция для пары (Хд, Уд), т. е. соотношение

XA,YA)e = ((X,Y)o)A, (3) имеет место при некотором (эквивалентно, при всех) 0 < в < 1 тогда и только тогда, когда решётка Y также ВМО-регулярна. Кроме того, при тех же ограничениях на решётку X её ВМО-регулярность эквивалентна ограниченности проектора Рисса Р в пространстве Х°Ъ2 " при некотором 0 < а < 1. Отсюда видно, что условие ВМО-регулярности встречается довольно часто. Также в [21] приведены некоторые обобщения этих результатов на векторнозначный случай. Таким образом, ВМОрегулярность оказалась тесно связанной с хорошей комплексной интерполяцией. Однако, несмотря на всю общность результатов Н. Кальтона, следует отметить, что суперрефлексивность — тяжёлое условие, которое исключает из рассмотрения едва ли не самые интересные случаи решёток Lx и Lqo. Снять эти ограничения в характеризации соотношения (3) пока не удалось. Однако, о чём пойдёт речь чуть далее, для результата о связи ВМО-регулярности решётки X с ограниченностью проектора Рисса Р в пространстве X" при некотором 0 < о; < 1 достаточно лишь свойства Фату, и сам этот результат в действительности устанавливается вещественными методами и имеет место для широкого класса сингулярных интегральных операторов вместо Р на общих пространствах однородного типа вместо Т.

Чтобы охватить случай пространств векторнозначных функций, естественно работать с квазибанаховыми решётками измеримых функций на измеримом пространстве (Т, т) х (Г1,¡i), где <т-конечное пространство (£1, ц) играет роль пространства "побочных" переменных. Тогда условие II bgflf||BMO ^ С в определении ВМО-регулярности следует понимать как равномерное условие по второй переменной, т. е. ess sup || log#(-, ш)||Вмо < С.

Естественно определить ВМО-регулярность для пары решёток следующим образом: пара решёток (X, У) измеримых функций на измеримом пространстве Т х fi называется ВМО-регулярной с константами (С,гп), если для любой пары функций (f,g), / £ X, у € У, отличных от нуля, существует такая пара функций (u, v). и 6 X, v € Y, называющаяся ВМО-мажорантой для пары (f,g), что ||?/||x ^ т||/||х, 1М|у < ™\\д\\у и esssupwefí || log(n(-,ш))||Вмо ^ С- С. В. Кисля-ков в обзоре [22] показал, что ВМО-регулярность пары решёток является достаточным условием для АК-устойчивости и хорошей вещественной и (при некоторых ограничениях — значительно менее тяжёлых, чем у Н. Кальтона в [21]) комплексной интерполяции аналитических пространств. Легко проверить, что при наличии ВМО-регулярности вопрос об АК-устойчивости некоторой пары легко сводится к вопросу об АК-устойчивости весовой пары (Leo (и), Ьто (v)), где в роли весов выступают соответствующие ВМО-мажоранты. На последний вопрос ответ, как уже говорилось, известен. Вот более детальное рассуждение: если пара решёток (X, Y) ВМО-регулярна с константами (С, т), то для любой пары функций / 6 X, g £ У, такой, что / + g G Xa + Ya, и соответствующих ВМО-мажораит u ^ |/|, v ^ имеем f + g Е Н^ (и) + Н^ (v). Пара (Loo (и) ,Loo (•?;)) АК-устойчива с константой, зависящей только от величины и(-,ш) ess sup шея log С, (4) вмо v(-,u) поэтому найдутся такие функции F £ Н^ (и) С ХА, G £ Ноо (v) С Уд, что f + g = F + G, и имеют место оценки

II^IIlcoH ^ c||/||Loo(u) < с,

И^Ць^н ^ c||p||Loo(tp) ^ с для некоторой константы с, не зависящей от / и д. Отсюда сразу получаем, что

Таким образом, пара (X, У) АК-устойчива, если она ВМО-регулярна.

Ранее в 1997 г. С. В. Кисляков показал, что при условии (4) (и только при этом условии) пара (Нр (и) ,Н9 (и)), 1 < р, q < оо, является ретрак-том пары (Ър (и) , LQ (v)), причем для фиксированных весов соответствующий общий проектор, называющийся проектором Бургейна, действует сразу при всех р и q. Далее, С. В. Кисляков и К. Шу показали в работах [22] и [24], что условие (4) на веса и и v необходимо (и, разумеется, достаточно) для того, чтобы пара (Нр (и) ,Н9(и)) была ретрактной подпарой пары (hp (и) ,Ly (v)) при всех 1 ^ р, q ^ оо (при крайних значениях показателей настоящей ретракции, разумеется, нет), причём в некоторых случаях это верно и для конечных семейств весовых пространств Лебега (например, при одинаковых показателях; о том, как понимать в этом случае ВМО-регулярность, см. [24]). С помощью этого результата можно очень просто получить устойчивость комплексной интерполяции для ВМО-регулярной пары решёток (X, У), т. е. формулу (3), лишь в предположении, что решётка Xl~eY9 обладает иорядково непрерывной нормой (см. [24, Corollary 2]).

Нетрудно проверить, что пара (Lp (u) ,Lq(v)) ВМО-регулярна тогда и только тогда, когда для весов и и v выполнено условие (4); таким образом, для пар весовых пространств Лебега АК-устойчивость равносильна ВМО-регулярности. Верно ли это для произвольной пары квазибанаховых решёток — пока остаётся открытым вопросом, для которого, впрочем, есть некоторое количество частных положительных результатов. В 2001 г. С. В. Кисляков получил в [50] следующий критерий. Свойство Фату решётки X означает замкнутость единичного шара Вх = {/ G X | ||/|U ^ 1} по мере, т. е. относительно сходимости по мере на множествах конечной меры, что эквивалентно следующему естественному свойству: если последовательность /„ € X такова, что fn—>f почти всюду и ||/„||х ^ 1, то / 6 I и II/ILy ^ 1- Свойство (*) также довольно естественно — оно обеспечивает, среди прочего, невырожденность пространства Хл и означает, что для каждой функции / Е X, f ф 0, найдётся мажоранта g € X, g ^ |/|, такая, что log.g(-,w) G Li при почти всех uj Е Обозначим через /д = lp(Xj) решётку Р с весом j \J.

Теорема С. Пусть пространство дискретно (т. е. мера /х состоит из не более чем счётного числа атомов) и банахова решётка X на Т х удовлетворяет условию (*). Следующие условия эквивалентны.

1. Решетка X ВМО-регулярна.

2. Для некоторого (эквивалентно, для всех) г G [1,оо) и А > 1 пара (ХА (Г), Ноо (¿а°)) К-замкнута в {X (Г), L^ (т. е. пара (X (Г),Loo (¿Г)) Ак-устойчива).

Результаты такого вида естественно называть критериями ВМО-регулярности в терминах АК-устойчивости с дополнительной переменной. Наиболее интересным следствием из этого результата является самодвойственность ВМО-регулярности, т. е. то, что в условиях этой теоремы решётки X и X' ВМО-регулярны лишь одновременно. Решётка X', по-рядково сопряжённая с решёткой X, состоит по определению из таких измеримых фуикций д, что /т \/д\ < оо при всех / из X. Используя самодвойствепность ВМО-регулярности, С. В. Кисляков получил в [50] характеризацию ВМО-регулярности решётки X в терминах ограниченности проектора Рисса (или оператора гармонического сопряжения) в решётке X L2 при некотором (эквивалентно, при всех достаточно малых) 0 < а < 1. По сравнению с упоминавшимся результатом Н. Кальто-на [21] суперрефлексивность не нужна и достаточно лишь условия Фату. Доказательство теоремы С (а точнее, перехода от 2 к 1 в ней) потребовало привлечения теоремы о неподвижной точке и нетривиальной техники построения некоторого аналитического разложения единицы. Далее, в [51] С. В. Кисляков показал, что условие К-замкнутости в этой теореме эквивалентно условию замкнутости пространства ХА (lr)+H<x (¿а°) в пространстве X (Г) + Loo (¿л°) ПРИ всех г > 0 (таким образом, и в теореме С можно брать любые показатели 0 < г < оо), а в [27] он же с помощью этого результата доказал (снова в предположении дискретности пространства Í2), что АК-устойчивость вытекает из некоторого ослабления требования ВМО-регулярности для пары (это новое свойство получило название слабой ВМО-регулярности), а также привёл некоторые обобщения теоремы С. В работе [27] также продемонстрировано, как самодвойственность свойства ВМО-регулярности для банаховых решёток влечёт так называемую делимость этого свойства (т. е. то, что из ВМО-регулярности решёток XY и Y следует ВМО-регулярность решётки X). Упомянутая слабая ВМО-регулярность для пар банаховых решёток (X, У) вводится так: требуется, чтобы для некоторой ВМО-регулярной пары (Е, F) и числа а > 0 пара (Xa E,YaF) была ВМО-регулярна. В условиях теоремы С на решётки X и Y это свойство эквивалентно любому из следующих двух условий.

• Пара píLj,yLi) ВМО-регулярна.

• Решётка XY' ВМО-регулярна.

Там же (в [27]) доказано, что при тех же ограничениях па измеримое пространство Q слабая ВМО-регулярность для пар обладает самодвой-ственностыо и делимостью, а также достаточна для хорошей аналитической интерполяции, и высказана гипотеза о том, что слабая ВМО-регулярность для пар эквивалентна обычной.

Итак, мы видим, что для решёток измеримых функций на окружности (в действительности на измеримом пространстве Т х Í2, но роль пространства О. в этих вопросах в какой-то мере вспомогательная) имеется развитая теория, в которой переплетены интерполяция аналитических подпространств типа Харди и фундаментальные свойства решёток,

Интерполяция аналитических пространств на окружности и ВМО-регулярность: что известно на момент написания работы. Пунктирные и точечные стрелки означают, что данный переход известен (или справедлив) только при некоторых ограничениях, либо лишь в отдельных нетривиальных случаях. породивших эти подпространства, центральное место среди которых занимают различные варианты ВМО-регулярности. В части этой работы мы развиваем и дополняем упомянутую теорию, не покидая окружности. Мы докажем гипотезу, упомянутую в предыдущем абзаце (и даже более общее утверждение для пространств с мерой однородного типа, о котором написано ниже). Кроме того, мы обобщим теорему С на случай г = оо и на случай произвольного ег-копечного (не обязательно дискретного) измеримого пространства (íí,/i) (что требует лишь изменения одной технической детали в оригинальном доказательстве в работе [50]; это изменение, впрочем, не лежит на поверхности). При этом мы несколько разовьём технику работы с АК-устойчивостью и ВМО-регулярностью из работ [50] и [27] и докажем, что в условиях теоремы С (без предположения о дискретности пространства ВМО-регулярность решётки X также эквивалентна АК-устойчивости пары (Х(1г), L^ {I00))- Мы также приведём прямое доказательство С. В. Кислякова для случая г = оо в теореме С. Из этого случая легко получается следующее интересное следствие: если при некоторых дополнительных предположениях пара (Хд,Уд) является ретрактом (X, Y) в катеогории пар банаховых пространств, т. е. пространства Хл и YÁ дополняемы в решётках X и Y соответственно одним и тем же проектором, то пара (X, Y) ВМО-регулярна. Это немного напоминает методы работы [21], где также использовалась дополняемость для перехода к ВМО-регулярности.

Мы приведём полное доказательство сформулированного в [22] утверждения о том, что хорошая интерполяция степени 0 < 9 < 1 пары весовых пространств Нр на измеримом пространстве Т х Q влечёт ВМО-регулярность этой пары. До этого оно имелось в [23] лишь в случае одной переменной, т. е. когда измеримое пространство Í1 состоит из одной точки. Обобщение этого доказательства получается естественным, но не вполне тривиальным образом. Наконец, мы покажем, что условие АК-устойчивости пары (Lp(.),Loo), в которой фигурирует пространство Лебега Ьр(.) с переменным показателем р(-), влечёт некоторые слабые условия гладкости типа логарифмического условия Гёльдера для показателя р(-); в частности, из них следует, что для кусочно-логарифмически-гёльдеровых показателей р(-), 0 < essinfp(-) < esssupp(-) < оо (например, для кусочно-постоянных показателей р(-))> рассматриваемая АК-устойчивость пары (Lp(.),Loo) эквивалентна отсутствию разрывов у показателя р(-), а значит, ВМО-регулярности решётки Ьр(.). Мы также приводим новые доказательства некоторых известных утверждений. К сожалению, на вопрос о необходимости условия ВМО-регулярности для хорошей вещественной интерполяции в общем случае пока ответ получить не удалось, однако разработанные методы также интересны в связи с некоторыми другими приложениями. Однако, главные, на взгляд автора, результаты работы состоят в том, что, как оказалось, можно покинуть окружность и развить содержательную теорию ВМО-регулярных решёток измеримых функций на пространствах с мерой однородного типа (например, на Мп). Приступим к описанию этой части работы.

ВМО-регулярность в решётках на пространствах однородного типа

Ценность упомянутых в предыдущем разделе результатов состоит ещё и в том, что ВМО-регулярные решётки (пока по-прежнему на окружности, точнее, на измеримом пространстве ТхГ2) встречаются удивительно часто. Сформулируем одно общее утверждение (которое упоминалось ранее), подтверждающее это, и в то же время дающее представление о том, как строить решётки, не являющиеся ВМО-регулярными (для этого удобнее всего добиваться нарушения условия 3 ниже). Предположим, что решётка X банахова и обладает свойством Фату. Пусть ещё зафиксировано число 0 < ¡3 < 1.

Теорема А. Следующие условия эквивалентны.

1. Решётка X ВМО -регулярна.

2. Решётка X' ВМО -регулярна.

3. Для всех достаточно малых чисел а, 0 < а < 1, оператор гармо

В случае решёток на Т х П, разумеется, оператор гармонического сопряжения действует здесь по первой переменной. Тем самым выясняется, что условие ВМО-регулярности для решётки X тесно связано с хорошим поведением оператора гармонического сопряжения на некоторых нического сопряжения ограничен в пространстве решётках, производных от X, что делает класс ВМО-регулярных решёток интересным и вне связи с интерполяцией пространств типа Харди.

Теорема А — глубокий результат. Впервые он был доказан в [50], причём одним из основных моментов в рассуждении была теорема Ки Фана-Какутани о неподвижной точке для многозначных отображений. Другим, как казалось, существенным моментом был комплексный анализ: хотя пространства вида Ха не входят в формулировку, в доказательстве использовалась сформулированная ранее теорема С. В настоящей работе мы, среди прочего, докажем теорему А чисто вещественными методами. Автор нашёл этот способ доказательства, решая (и решив) упомянутый ранее вопрос о связи между слабой ВМО-регулярностью и обычной. Самое важное, однако, состоит в том, что вещественные методы позволяют покинуть окружность и доказать результат для других пространств с мерой — таких, на которых естественно вводится класс ВМО. Сформулируем основной результат в случае пространства R". По аналогии с окружностью, назовём квазибанахову решётку X измеримых функций на Кп ВМО-регулярной, если для всякой функции 0 ф f 6 X найдётся такая мажоранта g ^ |/[, что \\g\\x ^ C||/IU и ]| log б?||вмо ^ С. Мы по-прежнему предполагаем, что решётка X обладает свойством Фату; пусть, как и раньше, задано число 0 < /? < 1.

Теорема В. Следующие условия эквивалентны.

1. Решётка X ВМО -регулярна.

2. Решётка X' ВМО -регулярна.

3. Максимальный оператор Харди-Литлвуда ограничен в пространстве при всех достаточно малых значениях числа а, 0 < а < 1.

4- Все сингулярные интегральные операторы типа Кальдерона-Зигмунда ограничены в пространстве но малых значениях а, 0 < а < 1.

5. Одно из преобразований Рисса ограничено в пространстве ^Х^Ьх хотя бы при одном значении числа а, 0 < а < 1.

Хотя в случае М" пока не видно, связано ли как-нибудь условие ВМО-регулярности с интерполяцией, теорема В показывает, что оно в простых терминах выражает некое фундаментальное свойство решётки X и что его стоит изучать. Что касается доказательства, то теорема Ки Фана -Какутани в нём по-прежнему участвует. Однако при проверке эквивалентности условий 5 и 1 приходится привлекать ещё и неравенство Гро-тендика. Впрочем, польза от него в этих вопросах была известна давно — впервые в близком контексте его применил ещё Рубио де Франсиа в [42]. Отметим, что в [50] комплексные методы позволили избежать неравенства Гротендика, но в их отсутствии к нему придётся вернуться.

Интересно отметить, что в переходах к условию 3 в теореме В сингулярные интегральные операторы в этом условии можно заменить на более общие отображения, для которых выполнены некоторые весовые оценки в Ьр (например, если соответствующее отображение равномерно ограничено в пространствах (го) для всех весов ги из класса Макен-хаупта Ах с ограниченной константой). В этом смысле соответствующие переходы теоремы В являются вариантом известной техники экстраполяции; соответствующие ссылки и применение к пространствам Ьр(.) с большим количеством примеров конкретных "классических" отображений и векторнозначными оценками можно найти в [5]. Многие модулярные решётки, обычно обладающие свойством Фату, можно представить в виде и таким образом свести вопрос об исследовании ограниченности сингулярных операторов в них к вопросу об Ар-регулярности соответствующих решёток X.

Интерполяция пространств, порождённых квазирегулярным проектором

Остановимся на одном важном семействе подпространств в решётках измеримых функций. Аналитические классы Харди, обсуждавшиеся ранее, тоже можно вписать в этот более общий контекст. Нас снова будет интересовать интерполяция — однако в общем случае удаётся сказать про неё значительно меньше, чем про пространства Хд в решётках измеримых функций на окружности. Главная причина состоит в том, что аналитичность не разрушается при перемножении функций, и это доставляет дополнительный ресурс при работе с пространствами вида Ха ■

Пусть ф — сингулярный интегральный оператор Кальдерона-Зигмун-да (не обязательно скалярный), исходно заданный на множестве В0 ограниченных функций с ограниченным носителем на пространстве однородного типа = Мп или = Тп с мерой Лебега, продолжающийся до ограниченного оператора на Ьр(<з) для некоторого показателя р(ф) > 1, и являющийся проектором, т. е. соотношение С/2 = <5 выполнено по крайней мере на множестве 1)о- Нас будут интересовать решётки измеримых функций на Если множество Д) П X плотно в решётке X (что эквивалентно тому, что решётка X обладает порядково непрерывной нормой; например, X = Ър при 1 ^ р < оо) то соответствующее пространство X®, порождённое проектором С}, можно задать как как замыкание множества е X | <?/ = /} (5) в пространстве X. Для весовой решётки (си) соответствующее пространство можно задать через двойственность как

Ь«Н=(ь(-*>-1))±; (6) в этом случае достаточно лишь того, чтобы оператор (3* был оператором Кальдерона-Зигмунда. При этом можно проверить, что для функций / € Ь^ (ш) П соотношение С}/ — / будет выполнено. Легко видеть, что в обоих случаях Хд является замкнутым подпространством пространства X. Многие интересные пространства укладываются в эту конструкцию (см. [22]). Сейчас мы приведём основные примеры (см. также [14]).

• Комплексные классы Харди на окружности Нг, и вообще пространства Ха (если множество плотно в X) представляются в виде Ха = Хр, где Р — проектор Рисса.

• Аналогично, пространства Харди Нр (Вп) на единичном шаре Вп пространства С", понимаемые в смысле их граничных значений на сфере §п = с®п, имеют вид (5), где в роли ф выступает проектор Коши.

• Тесно связанные с пространствами Соболева (Т") множества Хр ~ I $ е (Тп)| также могут быть представлены в виде (5) или (6), поскольку можно проверить, что при р = 2 соответствующий ортогональный проектор на пространство Х2 в Ьг является оператором Кальдерона-Зигмунда.

• Пространства вида х п т^х п. п т^х = {/ е х | т\/ е х,. е х}, где Т = {Т,}^! — некоторый конечный набор операторов Кальдерона-Зигмунда, могут быть представлены в виде первой координаты от Х^ (Кп+1) для проектора

С/, х1,.,хп) = (/, ТУ/', ., Тдг/') .

• Вещественный класс Харди Нг (К") имеет именно такой вид для Т = где Я.^ — преобразования Рисса.

Нас интересует следующий вопрос: для каких пар решёток (X, У) и проекторов С} рассматриваемого вида имеет место хорошая вещественная интерполяция для пары (Х^У*3), т. е. формула

Естественным подходом является сведение к вопросу о К-замкнутости пары

Xе* в паре (X, У), который, как обсуждалось ранее, интересен и сам по себе (кстати, один родственный вопрос рассматривался также в [57]). Случай классов Лебега X = Ьр представляет наибольший интерес. В 1996 г. в работе [59] С. В. Кисляков и К. Шу получили следующий результат.

Теорема К. 1. Если проектор С^ является оператором Кальдерона-Зигмунда, то пара К-замкнута в паре (Ь.9,1^) при всех 1

2. Если проектор <5* является оператором Кальдерона-Зигмунда, то пара К-замкнута в паре (Ц,.,!^) при всех р{Я*У ^ М ^ оо.

3. Если оба проектора и С}* являются операторами Кальдерона-Зигмунда, то пара К-замкиута в паре (Ьь,Ь4) при всех

1 ^ в, Ь ^ сю.

Этот результат также имеется в обзоре [22]. Естественно, в утверждениях такого рода не возникает никаких проблем, если показатели 5 и £ не принимают крайние значения 1 или оо, поскольку тогда проектор <2 действует в соответствующих пространствах, и рассматриваемая подпара будет ретрактом в соответствующей паре; как раз крайние значения и представляют поэтому особый интерес. Основную роль в этом результате играет разложение Кальдеропа-Зигмунда. На нём основан метод Ж. Бургейна, который приводит к доказательству пункта 1. Пункт 2 получается по двойственности. Пункт 3 получается "склейкой" результатов пунктов 1 и 2 с помощью теоремы, похожей на известное утверждение Т. Вольфа о "склейке" интерполяционных шкал.

А что с интерполяцией весовых пространств Ь® (го)? По сравнению с аналитическими пространствами на окружности, вопрос о достаточных условиях для хорошей вещественной интерполяции пары весовых пространств Ь« (ги), по-видимому, является довольно трудной проблемой из-за несовершенства имеющихся методов, которые, насколько известно автору, сводятся к тому, что было использовано в теореме К. Тем не менее, кое-что эти методы дают. В 2004 г. Д. Анисимов и С. В. Кис-ляков в работе [49] получили аналог разложения Кальдерона-Зигмунда для окаймлённого оператора С}ид = и^С^^д] с весом а, т. е. в пространстве (а-1), если веса а и ги = ^ удовлетворяют условиям ^ £ А1 и а £ Ас». Окаймление соответствует преобразованию / = ид в паре, что позволяет с помощью замены плотности получить аналог первых двух утверждений теоремы К для весовых пар ^Ь^ (ад-1), Ь^ ^а1-^-ш-1^ и ^ , Ь^ (ш)^ при достаточно малых значениях £ > 1 и больших значениях 5 < со соответственно.

В настоящей работе мы получим с помощью метода склейки интервалов весовой аналог утверждения 3 теоремы К для весовой пары к1),^ Ы), если то, Ы1 £ Ах и щии1 £ Аоо с соответствующей оценкой на константу К-замкнутости в терминах констант весов щ, и)\ и -щиь- Отсюда легко получить, аналогично переходу от ВМО-регулярности к АК-устойчивости, приведённому ранее, что для любой Ах-регулярной решётки X (т. е. такой, в которой ограниченно действует максимальный оператор Харди-Литлвуда М) пара К-замкиута в паре (Ь1,Х). В частности, отсюда получается хорошая вещественная интерполяция для вещественных классов Харди и для пространств Соболева на торе для пространств Лебега X = Ьр(.) с переменным показателем р(-) (при "стандартных" условиях на этот показатель, которые гарантируют А^-регулярность пространства Ьр(.)). Например, так получается хорошая вещественная интерполяция пары (Нх, Ьр(.)) при условии, что максимальный оператор М ограничен в пространствах Ьр(.) и Ь7/(-)- Отметим, что хорошая комплексная интерполяция для пары (Н!,ЬР(.)) была получена в 2009 г. Т. Копа-лиани в работе [30] при условии, что максимальный оператор ограничен в пространстве Ьр(.). Комплексные интерполяционные пространства для пары пространств Лебега Ьр(.) с переменным показателем р(-) вычисляются так же, как и в случае постоянного показателя р(-) (т. е. для них справедлив аналог интерполяционной теоремы Рисса-Торина; см., например, [7]), однако на момент написания этой работы вещественные интерполяционные пространства или аналог интерполяционной теоремы Марцинкевича для такой пары неизвестны.

Мы также обсудим, как можно задавать пространства X® для произвольных Ах-регулярных решёток измеримых функций. Эта процедура даёт то же, что и естественный способ, указанный ранее, когда он применим, а также обеспечивает некоторые результаты типа К-замкнутости для соответствующих пар. Она была предложена автору С. В. Кисляко-вым.

Теорема о короне и аналитическое разложение единицы

Последний сюжет, о котором мы упомянем, снова относится к граничным пространствам аналитических функций на окружности. С помощью "классической" теоремы о короне Л. Карлесона [4] в упомянутой ранее работе [6] была впервые получена хорошая аналитическая интерполяция степени 9 для весовых пространств Харди Нр (гу) (с одинаковым р). Точно так же получается и АК-устойчивость соответствующей пары; это доказательство довольно коротко. В работе [26] С. В. Кисляков получил характеризацию условия log w £ ВМО в терминах аналитического разложения единицы {yn}neZj согласованного с весом w. Чтобы не запутывать читателя раньше времени, скажем лишь, что это аналитический аналог естественного разложения единицы еп = ^{2n5giu<2n+1}) т. е. функции ipn аналитичны, образуют разложение единицы, и ведут себя примерно как еп. Оба перехода — от условия log го £ ВМО к аналитическому разложению единицы, согласованному с весом w, и обратно — довольно нетривиальны; обратный переход получается из построения проектора Бургейна с помощью аналитического разложения единицы и привлечения затем критерия необходимости условия (4) для хорошей интерполяции степени 9, а прямой переход получается не очень короткой конструкцией с многократным привлечением АК-устойчивости пары весовых пространств Нто.

В настоящей работе мы покажем, как эту характеризацию можно непосредственно получить из векторнозначной теоремы о короне. При этом нам не понадобится никакой новой техники, это доказательство можно считать несколько более прозрачным (и коротким) вариантом той же самой конструкции из [26]. Как следствие, мы получаем компактное доказательство того, что ВМО-регулярность влечёт АК-утойчивость, использующее теорему о короне, но не опирающееся явно на АК-устойчивость весовых классов Харди. Конечно, следует иметь в виду, что АК-устойчивость весовых классов Харди получается вполне элементарными методами (см. [22]), в то время как теорема о короне — довольно сложный и глубокий результат. Стоит ещё отметить, что сама постановка задачи о короне даётся в терминах поведения аналитических функций на всём единичном круге Ш>, и не известно её доказательств, избегающих выхода в круг. В то же время АК-устойчивость можно изучать, не покидая единичной окружности (см. [22] и другие источники, цитированные ранее). Поэтому "упр°ш;ение"> основанное на использовании теоремы о короне, носит, скорее, психологический характер.

Вместе с этим мы обсудим векторнозначную теорему о короне в более общем виде, в котором фигурируют последовательности из Is при любом 0 < s ^ оо, а не только I2. А именно, мы рассматриваем уравнение fj9j = 1 относительно последовательности {gj} функций, аналитических в круге D, которое и называется задачей о короне, и исследуем вопрос о разрешимости этого уравнения с оценками в терминах нормы Ноо (1Г), 0 < г ^ оо, в предположениях / € Н00(/'7), 0 < р ^ оо, и \f(z)\p ^ 5 при всех zGD. Исходное (и сложное) доказательство JI. Кар-лесона годилось только для конечного числа функций. Доказательство Т. Вольфа, появившееся в 1979 г., довольно быстро привело к вектор-нозначному обобщению при р — q = г = 2 в 1980 г. одновременно и независимо В. А. Толоконниковым в [65] и М. Розенблюмом в [41] (и далее оценки в этом результате улучшались рядом авторов вплоть до работы [44]); в то же время А. Учияма в работе [45] показал, как исходное доказательство JI. Карлесона обобщается на случай счётного числа функций при р = д = ооиг = 1.В. А. Толоконников также получил разрешимость в случае 2 < р = q < оо. г = р', но при этом р должно было быть целым чётным (его доказательство этого утверждения, видимо, не было опубликовано). Сведения, имеющиеся на момент написания этой работы относительно разрешимости векторнозначной задачи о короне в рассматриваемой постановке при других значениях показателей р, q я г, неполны, и, в частности, пока ничего не известно про разрешимость при p = q< 2.

Кроме обычной задачи о короне, рассматривается также её более слабый вариант, называющийся Нр задачей о короне: разрешимость уравнения Yljfjdj = h Для G Нр относительно функций {¿¡г,-} 6 Нр(Г) с соответствующими оценками на норму решения. Под теоремой о разрешимости мы понимаем доказательство существования решения при естественном необходимом условии sup2GD |{/j(z)}|jf ^ S > 0. При р = г = 2 соответствующий результат тесно связан с так называемой тёплицевой теоремой о короне, и обычная Ноо теорема о короне получается из неё с помощью теоремы о подъёме коммутанта (см. по этому поводу, например, [36, Appendix 3]). Естественно, разрешимость Ноо задачи о короне влечёт разрешимость Нр задачи о короне. Поэтому кажется, что Нр задача о короне должна быть проще. В этой работе мы покажем, что так оно и есть: доказательство Т. Вольфа разрешимости Ноо задачи о короне можно адаптировать к Н2 задаче о короне, и при этом оно значительно упростится: в нём не понадобится использовать ни построение внешних функций, ни оценки с мерами Карлесона в каком-либо виде, а все оценки выглядят просто и естественно. Правда, при этом получается довольно грубая оценка на константу разрешимости. Вероятно, это рассуждение было известно и ранее, однако готовых ссылок найти не удалось. См., впрочем, [44], где непосредственно получена наилучшая из известных в настоящий момент оценка в Н2 задаче о короне, что, видимо, несовместимо с упомянутыми упрощениями.

В этой работе мы также покажем, что разрешимость векторнознач-ной Нр задачи о короне (даже, по существу, в более общей постановке, чем было указано выше) влечёт разрешимость Н,^ задачи о короне с той же константой, и более того, для широкого класса решёток X разрешимость векторнозначной Ха задачи о короне (т. е. если пространство Нр везде заменить на Ха) точно так же влечёт разрешимость Ноо задачи о короне. Этот результат является хорошей иллюстрацией применения теоремы о неподвижной точке, которая является ключевым ингридиен-том в основных результатах этой работы. Пока, впрочем, неясно, имеются ли у этого результата какие-нибудь интересные применения (ведь, как уже упоминалось, в стандартном случае эквивалентность Н2 и Н^ задач о короне можно установить с помощью теоремы о подъёме коммутанта). Новым на данный момент, по-видимому, является только то, что константы в Нр и I I ^ векторнозначных задачах о короне совпадают при всех р, и что вместо Нр можно использовать очень широкий класс решёток для попыток улучшения этой константы. С. В. Кисляков внёс значительные улучшения в исходное доказательство автора.

Сводка основных результатов

В этот раздел вынесены точные формулировки основных результатов этой работы со ссылками на соответствующие утверждения в тексте. Здесь мы лишь вкратце объясняем суть дела; определения используемых понятий даются в соответствующих разделах.

Интерполяция аналитических пространств. Пусть Л > 0 — некоторое число. Обозначим через /д = решётку 1Р с весом j Следующий результат даёт характеризацию ВМО-регулярности пар решёток в терминах АК-устойчивости некоторых пар с дополнительной переменной.

Теорема. (5.5.1) Пусть (Х,У) - пара решёток измеримых функций на измеримом пространстве (ТхП,тх/л), обладающих свойством Фату и свойством (*), причём XV является банаховой решёткой. Следующие условия эквивалентны.

1. Пара (X, У) ВМО-регулярна.

2. Пара (Х(/д), У(1д)) АК-устойчива при некоторых 1 ^ д ^ р ^ оо и Л > 1.

3. Пара (Х(/д), У(1Я)) АК-устойчива при всех

4. Пара (Х(1°°),У(11)) АК-устойчива.

По сравнению с результатами, полученными в [27] и [50], новой здесь является достаточность условия 2 при р = д, достаточность условия 4 и то, что мы рассматриваем произвольное ст-конечное измеримое пространство (в упомянутых работах оно предполагалось дискретным).

Следует отметить интересное следствие этого результата.

Предложение. (5.5.6) Пусть X и У — банаховы решётки измеримых функций на измеримом пространстве (ТхП,тх ц), обладающие свойством Фату и свойством (*), причём решётка XV банахова. Пусть пара (Хд,Ул) является ретрактом пары (Х,У), т. е. некоторый проектор Ц : X 4- У —> Хд + У а переводит X в Ха, У в У а, и ограничен в решётках X и У. Тогда пара (Х,У) ВМО -регулярна.

ВМО-регулярность в решётках на пространствах однородного типа. А,(-регулярность решётки X означает, что для всякой функции / € X найдётся некоторая мажоранта д ^ |/|, такая, что ||<7||л- ^ с||/||х и д 6 Ар с некоторой константой С, причём величины с и С не зависят от функции /. Под Ар понимается известное условие Макенхаупта, а также класс функций, удовлетворяющих этому условию; см. §1-2.2.

Теорема. (3.3.1) Пусть X — банахова решётка измеримых функций на измеримом пространстве (5" х С1,и х ц), обладающая свойством Фату, а решётка ХЬЧ, 1 < д < оо, также является банаховой и Ар-регулярна при некотором 1 ^ р < оо. Тогда решётка X Ар+\-регулярна.

ВМО-регулярность решётки X означает, что для всякой ненулевой функции / £ X найдётся некоторая мажоранта д ^ |/|, такая, что 1Ы1л: ^ с\Ц\\х и \iogg € ВМО с некоторой константой С, причём величины с и С не зависят от функции /.

Теорема. (3.4.1) Пусть X — банахова решётка измеримых функций на измеримом пространстве (¿э х Г2, и х ¡л), обладающая свойством Фату. Пусть 0 < Р < 1. Следующие утверждения эквивалентны.

1. Решётка X ВМО -регулярна.

2. Решётка ХЪд ВМО -регулярна при некотором 0 < д < оо. чении 0 < а ^ 1.

5. Решётка X' ВМО -регулярна.

Отображение Т называется Аг-ограниченным, если для него имеются весовые оценки в пространстве L2 с весами, удовлетворяющими условию Макенхаупта А2 и соответствующими оценками констант. Отображение Т называется слабо А2-ограпиченным, если соответствующие весовые оценки выполнены с весами, удовлетворяющими условию Макенхаупта Ах и соответствующими оценками констант. Отображение Т называется ВМО-невырожденным, если из наличия для него весовой L2 оценки с весом w вытекает, что выполнено условие log w б ВМО с соответствующей оценкой константы.

Теорема. (3.6.3) Пусть X — банахова решётка измеримых функций на измеримом пространстве (S х Q, их р.), обладающая свойством Фату. Следующие условия эквивалентны.

1. Решётка X ВМО -регулярна.

2. Некоторый слабо А2-ограниченный и ВМО-невырожденный линейный оператор Т ограничен в решётке ^Xah\ 2 при некотором значении 0 < а. < 1.

3. Максимальный оператор М ограничен в решётке всех достаточно малых значениях 0 < а ^ 1.

4. Оператор М ограничен в решётке

3. Все слабо ограниченные отображения Т ограничены в решётке ^X^Li при всех достаточно малых значениях 0 < а < 1.

ВМО-регулярность пары решёток (X, Y) означает, что для всяких ненулевых функций / б X и g € Y найдутся некоторые мажоранты и > |/| и V > \д\, такие, что \\и\\х ^ c\\f\\x, \\v\\Y ^ c\\g\\Y и log^ е ВМО с некоторой константой С, причём величины с и С не зависят от функций / и р.

Теорема. (3.8.8) Пусть X uY — банаховы решётки измеримых функций на измеримом пространстве (S х Q, и х р), обладающие свойством Фату. Следующие условия эквивалентны.

1. Пара (X, Y) ВМО -регулярна.

2. Пара {Xh,nYLq) ВМО -регулярна при некотором (эквивалентно, при всех) 0 < q ^ оо.

3. Пара (X',Y') ВМО -регулярна.

4. Решётка XY' ВМО -регулярна.

Интерполяция пространств, определяемых через квазирегулярный проектор. Напомним, что для решётки X измеримых функций и проектора Q через Xе2 мы обозначаем множество тех функций / из решётки X, для которых выполнено соотношение Qf = / в некотором смысле.

Теорема. (4.2.4) Пусть X — Ai-регулярная решётка измеримых функций на измеримом пространстве S = К" или S = Т" с мерой Лебега, причём множество X П Li плотно в X, a Q — оператор Кальдерона-Зигмунда, являющийся проектором. Тогда пара ^ К-замкнута в паре (Li,X) с константой, зависящей лишь от константы А.\-регуля-рности решётки X и свойств проектора Q.

Теорема о короне. Пусть Е и J3* — решётки измеримых функций на измеримых пространствах //) и соответственно. Задачей о короне с данными Е £ Нос (Е —»• Е*) называется уравнение Ед = / относительно аналитической функции д со значениями в Е. Эта задача называется разрешимой в решётке Ха, если для любой функции / £ Хд(Е) найдётся соответствующая функция д £ Xл(), такая, что Ед = / и имеет место оценка ||<7||х(.е) ^ С||/||х(£.) с некоторой константой С, не зависящей от /.

Теорема. (2.3.4) Пусть банахова решётка измеримых функций X на измеримом пространстве Т с мерой Лебега обладает свойством (*) и свойством Фату. Пусть банахова решётка Е конечномерна. Пусть заданы данные задачи о короне Е £ Н^ (Е —» Е»). Тогда следующие условия эквивалентны с равенством констант.

1. Ха задача о короне с данными Е разрешима для любой решётки X с условием (*).

2. Ха задача о короне с данными -Р разрешима для некоторой решётки X с условием (*) и свойством Фату.

3. Нх задача о короне с данными Е разрешима.

4. Ноо задача о короне с данными Е разрешима.

Общая характеристика работы

Объект исследования и научные положения, выносимые на защиту. Исследуется свойство ВМО-регулярности решёток, свойство А1-регулярности решёток, ограниченность операторов в решётках и формулы для вещественной интерполяции пространств, порождённых квазирегулярным проектором, а также пространств типа Харди.

1. Свойства самодвойственности, делимости, и характеризация ВМО-регулярности решёток в терминах ограниченности сингулярных интегральных операторов имеют чисто вещественные доказательства, которые работают и в общем случае пространств однородного типа вроде М", а не только на окружности Т. ВМО-регулярность для пар решёток на пространстве однородного типа также обладает свойствами самодвойственности и делимости.

2. Теорема о неподвижной точке Ки Фана - Какутани — мощный инструмент, который можно применять в таких вопросах анализа, как переход от разрешимости Нр задачи о короне к разрешимости Ноо задачи о короне, проверка самодвойственности и делимости свойства ВМО-регулярности, и проверка критерия ВМО-регулярности решётки в терминах АК-устойчивости некоторой пары решёток с дополнительной переменной.

Цели и задачи диссертации. В этой работе автор ставит перед собой цель продемонстрировать и математически строго доказать новые закономерности, позволяющие лучше понять внутреннюю структуру таких важных инструментов функционального анализа, комплексного анализа и теории функций, как теория интерполяции, сингулярные интегральные операторы, решётки измеримых функций, теорема о короне, а также связанных с ними понятий.

Методы исследования. Основные результаты о ВМО-регулярности получены с помощью теоремы о неподвижной точке, методов теории банаховых решёток (включая известную теорему Г. Я. Лозановского о факторизации), весовых классов Макенхаупта, и одного известного результата, опирающегося на теорему Гротендика. Результаты о хорошей интерполяции А]-регулярных решёток получены с помощью методов весовых оценок и теории сингулярных интегральных операторов Кальдерона-Зигмунда.

Достоверность научных положений. Все результаты, выносимые на защиту, являются математически достоверными фактами. Они были опубликованы в рецензируемых журналах, а их доказательства неоднократно проверялись специалистами в той области, к которой эти результаты относятся (имеется в виду функциональный анализ и теория интерполяции).

Научная новизна. Все результаты, выносимые на защиту, являются новыми.

Актуальность, практическая ценность и область применения результатов. Вопрос о взаимной характеризации пространств и операторов (классических и не очень) в терминах ограниченности данного оператора в данном пространстве занимает важное место в анализе и активно исследовался по меньшей мере с тех пор, как понятие оператора и линейного топологического пространства распространилось в математике, т. е. со становлением и развитием функционального анализа. Новые сведения, методы и закономерности, описанные в этой диссертации, могут быть использованы для получения новых результатов в этой области или в близких к ней, таких как вопросы теории аналитических функций и т. д.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на общегородском семинаре по линейному и комплексному анализу в Санкт-Петербурге.

Публикации. Результаты, выносимые на защиту, опубликованы в работах [62], [63], [64] и препринте [58]. Все три статьи [62], [63] и [64] напечатаны в журналах из списка ВАК.

Содержание работы

В первой главе будут описаны общие понятия и методы, использующиеся в работе, которые удобно изложить отдельно: решётки измеримых функций, пространства однородного типа, сингулярные интегральные операторы типа Кальдерона-Зигмунда, класс ВМО, веса Макенхаупта, теорема о неподвижной точке, теорема Грогендика, классы тина Харди, АК-устойчивость. Приводится ряд вспомогательных результатов общего характера.

В §1.1 мы приведём основные сведения о решётках измеримых функций, которые нам понадобятся. В §1.1.1 мы определим банаховы и квазибанаховы решётки измеримых функций, свойство Фату и свойство порядковой непрерывности. Мы приведём теорему о центрированных семействах выпуклых множеств, замкнутых по мере, и следствия из неё. В §1.1.2 мы введём понятия произведения и степени для квазибанаховых решёток измеримых функций, и рассмотрим их свойства. Мы определим соответствующие весовые решётки. В качестве основного иллюстративного примера мы будем рассмотривать пространства Лебега Ьр(.) с переменным показателем р(-). Наконец, в §1.1.3 мы определим решётки с смешанной нормой и проверим их простые свойства. Мы подробно обсудим естественную формулу

Х(Ф)К(Ф) = (ХУ)(ФФ) для решёток с смешанной нормой.

В §1.2 обсуждаются основные объекты теории сингулярных интегральных операторов. В §1.2.1 вводится понятие пространства однородного типа, определяются максимальные функции Харди-Литлвуда и Феффермана-Стейна, определяется класс ВМО, и приводятся некоторые их простейшие свойства. В §1.2.2 приводятся основные сведения из теории весов Макенхаупта. В §1.2.3 вводится понятия А^-ограниченного и слабо Ар-ограниченного отображения — это те отображения, для которых выполняются соответствующие весовые оценки с контролем над нормой. Вводится понятие сингулярных интегральных операторов Кальде-рона-Зигмунда и приводятся их простейшие свойства. В §1.2.4 вводятся понятия Аг-невырожденного и ВМО-невырожденного отображения — это такие отображения, для которых из наличия весовых оценок в пространстве (со) с весом ш вытекает, что ш е А2 и к^ы е ВМО соответственно. Мы покажем, что Аг-невырождепность и ВМО-невырожден-ность линейных операторов, действующих только по первой переменной в решётках на измеримом пространстве 5 х Г2, достаточно проверять на функциях от одной переменной. Мы подробно рассмотрим невырожденность операторов Кальдерона-Зигмунда.

В §1.3 мы обсудим различные сведения вспомогательного характера, которые нам понадобятся. В §1.3.1 мы проверим основные свойства множеств весов Ар с ограниченной константой: выпуклость, логарифмическую выпуклость и замкнутость по мере. В §1.3.2 мы приведём формулировку теоремы Гротендика о решётках и теорему Ки Фана - Какутани о неподвижной точке. В §1.3.3 мы определим пространства типа Харди, введём свойство (*) и опишем его простые следствия. Затем мы определим свойства АК-устойчивости и сильной АК-устойчивости и приведём простые факты о них.

Вторая глава посвящена векторнозначной задаче о короне, её приложению к характеризации весов с логарифмом в ВМО и связи между Хд (в частности, Нр) и Ноо задачами о короне.

В §2.1 мы обсудим векторнозначную задачу о короне с Г-оценками на норму решения. Мы покажем, что можно получить в этом направлении вполне элементарными методами из известных результатов.

В §2.2 мы введём понятие аналитического разложения единицы, согласованного с заданным весом ю, и покажем, как с помощью вектор-позначной теоремы о короне можно непосредственно получить известный результат о том, что условие к^ яи £ ВМО влечёт существование аналитического разложения единицы, согласованного с весом ги.

В §2.3 мы обсудим связь между Хд и Н^ (т. е. обычной) вектор-нозначными задачами о короне. Мы покажем, как из разрешимости Хл задачи о короне следует разрешимость Н1 задачи о короне. Далее, с помощью теоремы о неподвижной точке мы получим из неё разрешимость Ноо задачи о короне с соответствующей оценкой константы разрешимости через константу разрешимости Хл задачи о короне.

В §2.4 мы приведём доказательство Т. Вольфа разрешимости стандартной векторнозначной задачи о короне, адаптированное к случаю соответствующей Н2 задачи о короне и значительно упрощённое. Этим способом мы получаем значительно более грубую оценку на норму решения, имеющую порядок зато все рассуждения вполне элементарны.

В третьей главе мы изложим основные результаты о ВМО-регулярно-сти на общих пространствах с мерой однородного типа, включая эквивалентность слабой и обычной ВМО-регулярности для пар решёток.

В §3.1 мы введём понятие ВМО-регулярности и его уточнение — понятие Ар-регулярности. Мы изложим простые свойства этих понятий, в том числе эквивалентность Ах-регулярности ограниченности максимального оператора, и докажем ВМО-регулярность перестановочно инвариантных решёток.

В §3.2 мы рассмотрим простые свойства множеств Ар-мажорапт и с их помощью покажем, что Ар-регулярность, а значит, и ВМО-регулярность, в решётках со свойством Фату достаточно проверять на функциях из некоторого множества, плотного по мере в соответствующей решётке.

Далее, в §3.3 мы сформулируем и докажем теорему 3.3.1 о том, что при наличии свойства Фату у решётки X Ар-регулярность решётки ХЬР, если она банахова, влечёт Ар+1-регулярность решётки X.

В §3.4 мы проверим с помощью этой теоремы самодвойственность и делимость свойства ВМО-регулярности для банаховых решёток, обладающих свойством Фату, и обсудим некоторые простые следствия, включая критерий ВМО-регулярности пространств Лебега Ьр(.) с переменным показателем р(-).

В §3.5 мы приводим, с небольшими уточнениями, доказательство из ¡22] известного результата о том, что если линейный оператор Т ограничен в банаховой решётке У^ с порядково непрерывной нормой, то у функций / из решётки У имеются мажоранты го € У соизмеримой нороценка для нормы оператора Т в этом пространстве не зависит от /.

В §3.6 мы исследуем связь между ВМО-регулярностью и ограниченностью некоторых отображений в соответствующих решётках. В частности, мы покажем, что если банахова решётка X ВМО-регулярна и обладает свойством Фату, а отображение Т слабо Ар-ограничено, то для всех достаточно малых значений 0 < а < 1 отображение Т ограничено в решётке С другой стороны, для ВМО-невырожденных линейных операторов верно и обратное утверждение.

В §3.7 мы покажем, что если квазинормированная решётка X ВМО-регулярна, то решётка X (lq) также ВМО-регулярна. Это естественно вытекает из ВМО-регулярности решётки L^ (lq), которая получается с помощью двойственности. Мы частично исследуем вопрос об Ар-регулярности решёток вида L^ (I

В §3.8 мы рассмотрим свойство ВМО-регулярности для пар решёток, приведём простейшие утверждения о нём, проверим его самодвойственность и устойчивость относительно делимости, и проведём с его помощью альтернативное доказательство теоремы 3.3.1.

В четвёртой главе будет показано, как А]-регулярность можно применить к интерполяции пространств, порождённых квазирегулярным проектором.

В §4.1 мы определим весовое разложение типа Кальдерона-Зигмунда и покажем, как из него следует стандартный весовой слабый тип (1 — 1) и хорошая вещественная интерполяция (метод Бургейна). Далее, мы получим весовое разложение типа Кальдерона-Зигмунда для "окаймлённого" оператора Кальдерона-Зигмунда в соответствии с [49] (но в несколько мы, такие, что оператор Т ограничен в пространстве причем более общем виде).

В §4.2 мы получим, используя метод Бургейна и теорему типа Вольфа, основные результаты о К-замкнутости весовой пары lÍK1),^ М) в паре (L! , Loo (^í)) с Для весов wQ и щ, таких, что Wq,vji Е Аг и WqWi Е Аоо, и приведём основной результат — К-замкнутость пары ^L^, в паре (L), X) для A i-регулярных решёток X, а также простое следствие для К-замкнутости пары ^L® , [Х*]^ в паре (L^, X*). Коротко рассматривается ещё один способ задания пространств XQ для Ai-регулярных решёток X, для которого также получается К-замкнутость пары (bf, Х*^ в соответствующей паре при всех достаточно малых показателях 1 ^ t < оо.

В пятой главе мы вернёмся на окружность. Будут изложены некоторые новые результаты и новые доказательства, относящиеся к вещественной интерполяции аналитических пространств типа Харди.

В §5.1 вводится понятие ограниченной АК-устойчивости — ещё одно естественное усиление свойства АК-устойчивости, когда в свойстве аналитической К-устойчивости для пары функций (/, д) можно брать разбиение вида (/ + g)U + {f + д){1 — U), где U — ограниченная аналитическая функция. Ограниченная АК-устойчивость тоже следует из ВМО-регулярности. Если пара решёток (X, Y) ограниченно АК-устойчива, то пара (vYá,Fd) также ограниченно АК-устойчива при всех 0 < 5 ^ 1. Ограниченная АК-устойчивость для пары, как и обычная, выдерживает умножение на решётку. Для пары решёток (X, Loo) ПРИ некоторых дополнительных условиях ограниченная АК-устойчивость совпадает с обычной, что даёт удобную характеризацию АК-устойчивости решётки X. Наконец, мы покажем, что при наличии свойства Фату и свойства (*) АК-устойчивость пары банаховых решёток (X, Y) влечёт ограниченную АК-устойчивость пары (XL¡i,YL¡i).

В §5.2 мы покажем, как АК-устойчивость ВМО-регулярпой решётки можно получить непосредственно из аналитического разложения единицы, согласованного с соответствующими ВМО-мажорантами.

В §5.3 мы приведём результат о характеризации хорошей интерполяции степени 9 пар весовых классов Харди Нр (Т х Г2, т х ¡i) в терминах их ВМО-регулярности, и проведём доказательство перехода от хорошей интерполяции степени в к ВМО-регулярности в общем случае, которое ранее в литературе присутствовало лишь в случае одной переменной, т. е. в случае классов Харди на измеримом пространстве Т.

В §5.4 мы приведём известные критерии ВМО-регулярности решётки X измеримых функций на измеримом пространстве (Т х Г2, т х ц) в терминах АК-устойчивости пары (Х(/л), L^ (где — пространство последовательностей 1°° с весом j AJ), когда решётка X обладает свойством Фату и некоторыми другими свойствами. Мы распространим этот критерий на случай произвольного (а не только дискретного) измеримого пространства Q, исправив одну деталь в доказательстве из работы [50], а также приведём непосредственное доказательство этого критерия для случая s = оо, предоставленное С. В. Кисляковым.

В §5.5 мы несколько обобщим результат из предыдущего раздела §5.4 при помощи некоторых конструкций, которые выявляют определённую связь между весовой и векторнозначной АК-устойчивостью. А именно, мы покажем, что из АК-устойчивости решётки X (1%°) (т. е. АК-устойчивости пары (X (/д°) , Lqo)) следует, что решётка X(w) также АК-устойчива с надлежащими оценками для любого веса w, такого, что log w G ВМО. Это значит, что при этих условиях решётка XF также будет АК-устойчивой для любой ВМО-регулярной решётки F. В качестве следствия основного результата этого раздела мы получим, что при некоторых условиях на решётки X и У из того, что пара (Ха,Уа) является ретрактом пары (Х,У), следует, что пара (X,У) ВМО-регулярна.

В §5.6 мы рассмотрим свойство АК-устойчивости для решёток, обладающих следующим свойством суммирования: если то если решётка X

V,- |/j| ^ С |<7j| (число А > 1 фиксировано). Мы покажем, что

АК-устойчива и обладает этим свойством суммирования, то при некоторых дополнительных ограничениях из этого следует, что решётка ХР также АК-устойчива для любой ВМО-регулярной решётки Р, т. е. для таких решёток АК-устойчивость выдерживает умножение на ВМО-регулярные решётки. Это свойство (т. е. сохранение АК-устойчивости при умножении на ВМО-регулярные решётки) интересно, в частности, тем, что если оно выполнено для решётки Х(1°°), а решётка X АК-устойчива, то по результатам §5.5 отсюда сразу следует, что решётка X ВМО-регулярна. К сожалению, осталось невыясненным, обладают ли этим свойством суммирования какие-либо решётки, кроме весовых пространств Lр.

Наконец, в §5.7 мы рассмотрим вопрос о том, какие условия на показатель р(-) налагает АК-устойчивость пространства Лебега Lp(.) с переменным показателем />(•). Пользуясь только свойством ограниченной АК-устойчивости и теоремой единственности для граничных значений аналитических функций, мы получим, что при некоторых априорных ограничениях на показатель р(-) для него будет выполнен некоторый слабый аналог логарифмического условия Гёльдера, которое является известным достаточным условием для ограниченности максимального оператора Харди-Литлвуда в решётке Lp(.) (а значит, и для ВМО-регулярности этой решётки). В частности, из этого условия следует, что решётка Lp(.) с кусочно-постоянным показателем р(-) АК-устойчива тогда и только тогда, когда р(-) = const.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Руцкий, Дмитрий Владимирович, 2011 год

1. Bastero J. and Milman M. and Ruiz F. J. Reverse Holder inequalities and interpolation. 1.rael Math. Conf. In Proceedings, volume 13, pages 11-23, 1999.

2. Benyamini Y. and Sternfeld Y. Spheres in infinite-dimensional normed spaces are Lipschitz contractible. Proc. Am. Math. Soc., 88(3):439-445, 1983.

3. Bergh J. and Lófstrom J. Interpolation spaces. An introduction. Springer-Verlag, 1976.

4. Carleson L. Interpolations by bounded analytic functions and the corona problem. Ann. Math., 76(2):547-559, 1962.

5. Cruz-Uribe D., SFO, Fiorenza A., Martell J. M. and Pérez C. The boundedness of classical operators on variable LP spaces. Annates Academiae Scientiarum Fennicae Mathematica, 31:239-264, 2006.

6. Cwikel M., McCarthy J. E. and Wolff T. H. Interpolation between Weighted Hardy Spaces. Proc. Am. Math. Soc., 116(2):381-388, 1992.

7. Diening L., Harjulehto P. , Hásto P. and Rúzicka M. Lebesgue and Sobolev spaces with variable exponents, Lecture Notes in Mathematics, vol. 2017. Springer-Verlag, Berlin, 2011.

8. Diening L., Hásto P. and Nekvinda A. Open problems in variable exponent Lebesgue and Sobolev spaces. In FSDONA 2004 Proceedings (Drabek and Rakosnik (eds.); Milovy, Czech Republic, 2004), pages 3858, 2004.

9. Deng Donggao and Han Yongsheng. Harmonic Analysis on Spaces of Homogeneous Type. Springer, 2009.

10. Fan Ky. Fixed-point and minimax theorems in locally convex topological linear spaces. Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A., 38:121-126, 1952.

11. J. B. Garnett. Bounded analytic functions. Academic Press New York, 1981.

12. Hoffman K. Banach spaces of analytic functions. Prentice Hall, Englewood Cliffs, N.J., 1962.

13. Tuomas P. Hytonen. The sharp weighted bound for general Calderon-Zygmund operators. preprint, http://arxiv.org/abs/l007.4330, July 2010.

14. Janson S. Interpolation of subcouples and quotient couples. Ark. Mat., 31:307-338, 1993.

15. Janson S. and Jones P. W. Interpolation between Hp spaces: The complex method. J. Fund. Anal., 48:58-80, 1982.

16. Jawerth B. and Torchinsky A. Local Sharp Maximal Functions. J. Approx. Theory, 43:231-270, 1985.

17. Johnson W. B. and Lindenstrauss J. (editors). Handbook of the geometry of Banach spaces, volume 1. Elsevier Science B. V., 2001.

18. Jones P. Interpolation between Hardy spaces. In Conference on Harmonic Analysis in honor of Antoni Zygmund, volume 2, pages 437451, 1983.

19. Jones P. W. L°° estimates of the 9-problem in a half-plane. Acta Math., 150:138-152, 1983.

20. Jones P. W. New Banach space properties of the disc algebra and H°°. Acta Math., 152:1-48, 1984.

21. Kalton N. J. Complex interpolation of Hardy-type subspaces. Math. Nachr., 171:227-258, 1995.

22. Kisliakov S. V. Interpolation of //^-spaces: some recent developments. Israel Math. Conf., 13:102-140, 1999.

23. Kisliakov S. V. and Xu Quanhua. Interpolation of weighted and vector-valued Hardy spaces. Trans. Am. Math. Soc., 343(l):l-34, 1994.

24. Kisliakov S. V. and Xu Quanhua. Partial retractions for weighted Hardy spaces. Stud. Math., 138(3):251-264, 2000.

25. Kislyakov S. V. Truncating functions in weighted Hp and two theorems of J. Bourgain. In Dept. Math., Uppsala Univ., Report No. 10, 1989.

26. Kislyakov S. V. Bourgain's analytic projection revisited. Proe. Am. Math. Soc., 126(11):3307-3314, 1998.

27. Kislyakov S. V. On BMO-regular couples of lattices of measurable functions. Stud. Math., 159(2):277-289, 2003.

28. Kokilashvili V. and Paatashvili V. On variable Hardy and Smirnov classes of analytic functions. Georgian International Journal of Science, Technology; Nova Science Publishers, Inc., 1(2):181-195, 2008.

29. Koosis Paul. Introduction to Hp Spaces. Second edition, corrected and augmented. With two appendices by V. P. Havin. Cambridge University Press, 1998.

30. Kopaliani T. Interpolation theorems for variable exponent Lebesgue spaces. Georgian International of Science Nova Science Publishers, Inc., 257(11):3541-3551, 2009.

31. Krivine J. L. Théorèmes de factorisation dans les espaces réticulés. Seminaire Maurey-Schwartz, Exposés 23 et 24, École Polytéchnique, Paris, 1973-1974.

32. Lerner A. K. Weighted Norm Inequalities for the Local Sharp Maximal Function. The Journal of Fourier Analysis and Applications, 10(5):465-474, 2004.

33. Joram Lindenstrauss and Lior Tzafriri. Classical Banach Spaces I and II. Springer, 1996.

34. Müller P. F. X. Holomorphic martingales and interpolation between Hardy spaces. J.'Analyse Math., 61:327-337, 1993.

35. Müller P. F. X. Holomorphic martingales and interpolation between Hardy spaces: the complex method. Trans. Am. Math. Soc., 347(5):1787-1792, 1995.

36. Nikol'skii N. K. Treatise on the Shift Operator. Springer-Verlag, 1986.

37. Joan Orobitg and Carlos Pérez. Ap weights for nondoubling measures in Rn and applications. Trans. Am. Math. Soc., 354:2013-2033, 2002.

38. Pisier G. A simple proof of a theorem of J. Bourgain. Michigan Math. J., 39:475-484, 1992.

39. Pisier G. Interpolation between Hp spaces and noncommutative generalizations. I. Pacific J. Math., 155:341-368, 1992.

40. Pisier G. Interpolation between Hp spaces and noncommutative generalizations. II. Revista Mathemática Iberoamericana, 2:281-291, 1993.

41. Rosenblum M. A corona theorem for countably many functions. Integral equations and operator theory, 3(1): 125-137, 1980.

42. Rubio de Francia J. L. Operators in Banach lattices and L2-inequalities. Math. Nachr., 133:197-209, 1987.

43. Elias M. Stein. Harmonic Analysis: Real-Variable Methods, Orthogonality, and Oscillatory Integrals. Princeton University Press, 1993.

44. Treil S. and Wick B. D. The matrix-valued Hp corona problem in the disk and polydisk. J. Fund. Anal., 226(1): 138-172, 2005.

45. Uchiyama A. Corona theorems for countably many functions and estimates for their solutions, preprint, UCLA, 1980.

46. Xu Quan Hua. Elementary proofs of two theorems by P. W. Jones on interpolation of Hardy spaces. Ann. Inst. Fourier (Grenoble), 42:875889, 1992.

47. Xu Quan Hua. Notes on interpolation of Hardy spaces. Ann. Inst. Fourier, 42:875-889, 1992.

48. Xu Quan Hua. Real interpolation of some Banach lattices valued Hardy spaces. Bull. Sei. Math., 116:227-246, 1992.

49. Анисимов Д. С. и Кисляков С. В. Двойные сингулярные интегралы: интерполяция и исправление. Алгебра и Анализ, 16(5):1—33, 2004.

50. Кисляков С. В. О ВМО-регулярных решетках измеримых функций. Алгебра и Анализ, 14(2):117-135, 2002.

51. Кисляков С. В. О ВМО-регулярных решетках измеримых функций. И. Записки научных семинаров ПОМИ., 303(31):161-168, 2003.

52. Дынькин Е. М., Осиленкер Б. П. Весовые оценки сингулярных интегралов и их приложения. Итоги науки и техн. Сер. Мат. анал., 21:42-129, 1983.

53. Привалов И. И. Граничные свойства аналитических функций. ГИТТЛ, 1950.

54. Иосида К. Функциональный анализ. Москва, издательство «Мир», 1967.

55. Канторович Л. В., Акилов Г. П. Функциональный анализ. БХВ-Петербург, 2004.

56. Кисляков С. В. Абсолютно суммирующие операторы на диск-алгебре. Алгебра и Анализ, 3(4):705-774, 1991.

57. Кисляков С. В. и Кругляк Н. Я. Устойчивость аппроксимации под действием сингулярных интегральных операторов. Функциональный анализ и его приложения, 40(4):49-64, 2006.

58. Кисляков С. В. и Руцкий Д. В. Несколько замечаний к теореме о короне. Препринт ПОМИ Р-1-20П, 2011.

59. Кисляков С. В. и Шу Куанхуа. Вещественная интерполяция и сингулярные интегралы. Алгебра и Анализ, 8(4):75-109, 1996.щ