Изучение элементов четырехмерной евклидовой геометрии на факультативных занятиях в старших классах средней школы тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 13.00.02, кандидат педагогических наук Макаровская, Татьяна Григорьевна

• Макаровская, Татьяна Григорьевна
• кандидат педагогических наук
• 1999

Оглавление диссертации кандидат педагогических наук Макаровская, Татьяна Григорьевна

Введение

Глава I. Парадигма построения факультативного курса «Элементы четырехмерной евклидовой геометрии.

§1. Идея многомерных пространств в современной науке.

§2. Краткий исторический очерк развития понятия многомерных пространств, обзор литературы и диссертационных работ

§3. Психологические особенности восприятия идей четырехмерной геометрии.

§4. Принципы отбора содержания факультативного курса

Элементы четырехмерной евклидовой геометрии».43 '

Глава II. Содержание факультативного курса «Элементы четырехмерной евклидовой геометрии».

§ 1. Теория параллельности в четырехмерном евклидовом пространстве. п. 1 .Первоначальные понятия и аксиомы пространства Е4. п.2.Взаимное расположение прямых в четырехмерном пространстве Е4. п.З.Взаимное расположение двух пространств. Признак их параллельности. п.4.Параллельность прямой и пространства. Признак их параллельности. п.5.Взаимное расположение плоскости и пространства. п. 6.Взаимное расположение прямой и плоскости.

Признак скрещивающихся прямой и плоскости. п.7.Взаимное расположение двух плоскостей. Виды параллельности плоскостей. Признак слабой параллельности плоскостей. п.8. Признак параллельности плоскости и пространства.

Теоремы о сильной параллельности плоскостей.

Задачи к главе (параграф 1).

§2. Векторы и перпендикулярность в четырехмерном евклидовом пространстве. п.9. Понятие вектора. п. 10. Линейная зависимость векторов. п.11 .Перпендикулярность прямых, прямой и плоскости в четырехмерном пространстве. п. 12.Перпендикулярность прямой и пространства. п. 13.Перпендикулярность плоскостей в пространстве Е4. t п. 14Перпендикулярность плоскости и пространства. п. 15.Перпендикулярность пространств. п. 16.Ортогональное проектирование в четырехмерном пространстве. Расстояние между фигурами. п. 17.Четырехмерный куб и четырехмерный симплекс.

Задачи к главе II (параграф 2).

§3. Организация и результаты экспериментальной работы.122 п. 18. Организация констатирующего эксперимента и его результаты. п. 19.Организация обучающего эксперимента и его результаты

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Изучение элементов четырехмерной евклидовой геометрии на факультативных занятиях в старших классах средней школы»

В настоящее время необычайно возросла роль математики в современной науке и технике. Будущим инженерам, экономистам, химикам, биологам, социологам, психологам необходима серьёзная математическая подготовка, которая давала бы возможность математическими методами исследовать широкий круг новых проблем, использовать теоретические достижения в практике.

В проекте Стандарта среднего математического образования подчёркивается, что «обучение математике в школе ставит своей целью обеспечение некоторого гарантированного уровня математической подготовки, отвечающего требованиям современного общества и открывающего каждому выпускнику школы возможность свободной самореализации и продуктивной деятельности в его последующей взрослой жизни. Изучение математики вносит значительный вклад в интеллектуальное развитие учащихся, формируя у них качества мышления, характерные для математической деятельности и необходимые человеку для полноценного функционирования в обществе. Изучение математики способствует становлению гуманитарной культуры человека, раскрывая представления о математике как форме описания и методе познания действительности, как части общечеловеческой культуры, о значимости математики для общественного прогресса» (115, с. 10).

Следовательно, становление и развитие творческой личности -является главной целью общего математического образования. Раскрытие творческих способностей человека и их воплощение в жизнь является благом и для общества и для человека.

Необходимо развивать познавательную активность учащихся, самостоятельность их логического и эвристического видов мышления, пробуждать жажду новых знаний, стремлений, формировать навыки самостоятельной учебной работы с тем, чтобы наше молодое поколение в течение всей трудовой жизни было на уровне достижений науки, техники и культуры.

Решать эти задачи в некоторой степени помогают и факультативные занятия, которые были введены в наших школах с 1966 года. Вот уже четвёртое десятилетие факультативы доказывают своё право на существование.

Факультативные занятия были организованы не только для"* углубления знаний учащихся, но и для развития их разносторонних интересов и способностей, сознательного отношения к учёбе, умения самостоятельно пополнять знания, ориентироваться в научной информации, знакомиться с важнейшими достижениями науки, то есть удовлетворять тем требованиям, которые ставит наше общество перед школой по вопросам гуманизации математического образования. ^

За время существования факультативов миллионы учащихся углубили свои знания основ наук, развили свои способности и интересы, расширили свой кругозор, выбрали свой жизненный путь с учётом опыта изучения на факультативных занятиях тех или иных предметов.

Как известно, курс математики в учебном плане средней школы, а особенно в классах и школах с углубленным изучением математики, занимает значительное место, поэтому факультативные занятия по математике выделяются среди общей системы факультативов по числу учащихся, принимающих участие в их работе. В основе выбора учениками факультативного курса по математике, также как и по другим предметам, лежит интерес к ней и её приложениям, понимание необходимости овладения математическими знаниями, которые нужны для изучения смежных дисциплин и для продолжения образования.

Правда, в последнее время в некоторых школах факультативы пытаются превратить в репетиционные занятия по математике, на которых решаются задачи, предлагаемые на вступительных экзаменах в высших учебных заведениях. Конечно, программой факультативных занятий предусматривается проведение факультатива по математике по решению конкурсных задач, но, если ограничиться только таким видом этих занятий, то останется в стороне такая важная цель их, как расширение знаний учащихся за счёт изучения вопросов, не вошедших в обязательную программу по математике. «В обязательных программах должны даваться лишь основы, знание которых необходимо каждому современному образованному человеку. Более сложный, но не проверенный на доступность учебный материал следует изучать факультативно с учащимися, проявляющими к нему повышенный интерес» (107, с. 15).

На протяжении этих тридцати с лишним лет велась большая работа по п разработке программ факультативных курсов. Они постоянно изменялись и дополнялись в соответствии с требованиями современной школы. Как отмечается в (103, с. 2), «работа на факультативных занятиях по математике по всем основным направлениям (углубление основного курса, развитие интереса к математшсе, расширение кругозора и формирование мировоззрения, раскрытие прикладных аспектов математики, (профориентация) может и должна быть обеспечена не одной, а несколькими программами. Учитель может работать по любой из опубликованных программ, а также по программе, составленной им самим».

Факультативные занятия по математшсе являются одним из средств гуманизации образования. Гуманистические принципы позволяют создать условия для развития способностей учащихся и их самореализации. Образование на современном этапе характеризуется усилением внимания к ученику. Учебный процесс строится так, чтобы знания, получаемые учеником, имели бы для него личностный смысл, сам ученик был бы в центре процесса обучения. Полноценное образование человека возможно лишь в условиях гуманизации и гуманитаризации. «Гуманизация предполагает сформировать у учащихся личностио значимые для него знания и способы деятельности, а гуманитаризация образования -вооружить школьника основами творческой деятельности» (113, с. 26).

В российской образовательной системе сделано немало для реализации идей гуманизации математического образования. Это и профилезация средней школы, и открытие школ и классов с углубленным изучением предметов. Проведение факультативных занятий способствует дифференциации в обучении математике, цель которой состоит в развитии j личности ученика с учётом его индивидуальных особенностей.

Разработанный нами факультативный курс «Элементы четырёхмерной евклидовой геометрии» позволяет углубить материал обязательного курса. Рассматривая с учащимися теоретические вопросы факультатива, учитель получает возможность придать большую законченность разделам школьной математики, показать их связь с математикой-наукой, показать перспективы этого курса и возможности развития его содержания.

Предлагаемый факультатив можно проводить полностью или частично в X и XI классах, используя часы, отведенные в программе на рассмотрение геометрического материала.

По словам А.Д.Александрова, «понятие n-мерного пространства действительно очень абстрактно, но оно тем не менее имеет вполне реальное содержание, понять которое не так уж трудно» (63, с. 6).

Немецкий математик Ганс Хан считает, что многомерную геометрию можно изучать в школе также, как изучается в ней сейчас трехмерная геометрия.

Как известно, геометрия многомерных пространств играет важную роль как в самой математике, так и в механике, в теоретической физике, химии, в линейном программировании. Многомерное пространство и его геометрия стали одним из орудий математического исследования. Математическим аппаратом общей теории относительности служит одна из форм неевклидовой геометрии четырехмерного пространства. До самого конца XIX века в науке сохранялось убеждение в том, что мировое пространство в своей сущности таково, каким мы его воспринимаем посредством наших органов чувств. Самые характерные черты чувственно воспринимаемого пространства заключаются в том, что оно имеет три измерения и описывается геометрической теорией Евклида. Но если мировое пространство действительно таково, то размеры и формы тел должны быть неизменными, не зависящими от выбора системы отсчета. Г. Минковский понял, что «чувственно воспринимаемое пространство - это только внешняя видимость, форма проявления иных геометрических свойств реального мирового пространства. На самом деле мировое пространство лишь кажется трехмерным и евклидовым. Объективные линейные и метрические свойства мира, не зависящие от выбора координатной системы, мы находим в четырехмерном псевдоевклидовом пространстве» (112 с. 5, 215).

Ознакомление учащихся старших классов средних школ, гимназий или лицеев с основными понятиями многомерной геометрии естественно начать с евклидовой геометрии четырехмерного пространства.

Можно предложить три пути для знакомства с элементами многомерной геометрии: 1) аналитический, 2) векторный, 3) конструктивно-геометрический, йспользующий в максимальной степени пространственную интуицию и систему аксиом, обобщающую аксиоматику Гильберта или какую-нибудь другую аксиоматику. Мы останавливаемся на аксиоматике, предложенной А.НКолмогоровым, хотя в 90-х годах его учебники подверглись резкой критике, и попытка использования учебников геометрии под редакцией А.Н Колмогорова оказалась неудачной. Но мы полностью согласны с мнением Г.И.Саранцева, что «наиболее серьезная попытка подойти к проблеме отбора содержания обучения математике, отправляясь от структуры личности, закономерностей развития мышления, была предпринята А.Н.Колмогоровым при подготовке учебника геометрии, в основе которого заметны идеи Ж.Пиаже о структурах математического мышления и их соответствии топологической, алгебраической и порядковым структурам и идеи В.В.Давыдова о приоритетном развитии в обучении теоретическому мышлению» (113, с. 37).

Можно осуществить два основных подхода к построению курса геометрии в школе: 1) классический, в основу которого положены модернизированные «Начала» Евклида, 2) современный, фундаментом которого являются теоретико-множественные представления и идея геометрических преобразований. Второй подход был реализован в ходе реформы школьного математического образования 70-х годов. Была усилена роль аксиоматического метода, предложена четкая и строгая система аксиом, усилена логическая составляющая курса геометрии. В качестве ведущей идеи были включены геометрические преобразования, в частности, перемещения плоскости. «Хочется обратить внимание на оригинальность аксиомы подвижности плоскости, являющейся столь сильным допущением в геометрии, что ею, по существу, постулировано существование всех видов перемещений плоскости» (25, с. 15). Векторы представлены как один из частных видов перемещений плоскости и пространства, при дальнейшем изложении курса широко использовался векторный аппарат как средство решения задач и доказательства теорем. Эти идеи были реализованы в учебниках геометрии для средней школы под редакцией академика А.Н.Колмогорова, по «идейному насыщению которых нет равных на сегодняшний день в мировой практике создания учебников геометрии» (113, с. 37).

Академик А.Д.Александров считает, что «задача преподавания геометрии - развить у учащихся три качества: пространственное воображение, практическое понимание и логическое мышление» (1, с. 56). Задачи, которые мы ставим, приступая к изучению факультативного курса

Элементы четырехмерной евклидовой геометрии», совпадают с задачами преподавания школьного курса геометрии.

Во-первых, возникают большие возможности для развития логического мышления учащихся. Научить школьников активно и самостоятельно мыслить, это значит выработать умение сознательно оперировать понятиями, сравнивать, выделять существенное, абстрагироваться от несущественных свойств предметов, правильно делать выводы и обобщения из наблюдений и фактов, учить учащихся убедительно доказывать истинность своих суждений и опровергать ложные умозаключения.

Во-вторых, развивается творческая активность учащихся, фантазия, интерес к математике. Воспитывать творческую активность подрастающего поколения - это значит возбуждать жажду к новым знаниям, приучать к умственным усилиям, способствовать развитию желания познать тайны окружающей действительности. При правильном руководстве творческой работой учащихся они учатся подмечать различные закономерности, взаимосвязи, аналогии, что в свою очередь усиливает интерес к изучаемому предмету. По словам известного математика и педагога Д.Пойа, «учащийся должен сам открывать такую часть изучаемого материала, какая только достижима при данных обстоятельствах» (94, с. 82).

Такие особенности, возникающие при изучении четырехмерной геометрии, как новизна, необычность, неожиданность, странность, несоответствие ранее изученному - все это не только вызывает мгновенный интерес, но и возбуждает желание изучить материал более глубоко, то есть содействует устойчивости интереса.

В-третьих, обогащаются пространственные представления учащихся и развивается пространственное воображение, которое характеризуется умением мыслить пространственными образами геометрических фигур, символами, умением воссоздать в воображении то, что не воспринимается человеком непосредственно, склонность к фантазии. «Восприятие пространства и пространственные представления являются одним из показателей уровня развития психической деятельности человека» (25, с. 6).

В-четвертых, предоставляются широкие возможности для формирования у учащихся научного мировоззрения. Развитие математических понятий происходит в борьбе противоположных тенденций. Известные ранее понятия вступают в противоречие с новыми требованиями науки и практики, и оно разрешается путем расширения смысла понятий. Вопросы, связанные с популяризацией идей многомерной геометрии пробуждают у учащихся интерес к истории математики, к возникновению и развитию новых идей в науке.

В-пятых, как известно, факультативные занятия по математике посещают те учащиеся, которые интересуются математикой или её приложениями. Поэтому это позволяет в рамках факультативных занятий рассматривать понятия многомерной геометрии на достаточно высоком уровне преподавания.

Проблема исследования заключается в поиске путей совершенствования среднего математического образования посредством специальных факультативных курсов, отвечающих целям математического образования: углублению основного курса, способствующего продолжению образования в любой из форм непрерывного образования; формированию логического, эвристического и алгориметрического мышления, рассмотрению логической и эвристической составляющих математической деятельности в диалектическом единстве, развитию пространственных представлений учащихся, овладению культурой мышления и т.д.

Целью нашего исследования являлась разработка содержания факультативного курса «Элементы четырехмерной евклидовой геометрии» и методики его изучения.

Объектом исследования явился процесс обучения геометрии в старших классах средней школы, а также в школах и классах с углубленным изучением математики.

Предметом исследования явилось содержание, методы, формы, средства изучения факультативного курса «Элементы четырехмерной евклидовой геометрии».

Гипотеза исследования: если разработать содержание факультатива, доступного учащимся старших классов средней школы и школ с углубленным изучением математики, ориентированного на развитие: 1) представления о пространстве; 2) представления о методе изучения математшси; 3) развития пространственного воображения; 4) приобретения навыков логического и эвристического мышления, то внедрение такого курса в процесс обучения учащихся средней школы повысит качество математической подготовки выпускников средней школы.

Разработка проблемы исследования потребовала решения следующих частных задач: разработать принципы отбора содержания факультативного курса; ® разработать содержание факультативного курса по изучению элементов четырехмерной евклидовой геометрии; © исследовать психологические особенности восприятия идей четырехмерной евклидовой геометрии; © разработать методику изложения этого факультатива; © разработать средства внедрения факультативного курса в учебный процесс; определить содержание и объем самостоятельной работы учащихся в процессе овладения знаниями по геометрии четырехмерного пространства; провести апробацию разработанной методики обучения элементам четырёхмерной геометрии с учащимися старших классов.

Для решения поставленных выше задач мы использовали следующие методы исследования: анализ научно-педагогической, методической, психологической и методической литературы, программ, учебников, учебных и методических пособий по теме и близких к теме исследования; © беседы с учителями о состоянии преподавания факультативных курсов в школе и о возможности проведения разработанного факультатива в старших классах средней школы; © выяснение знаний учащихся о четырехмерной геометрии и о желании посещать факультативные занятия, на которых они познакомятся с элементами многомерной геометрии; о проведение констатирующего, поискового и обучающего экспериментов с учащимися старших классов; © обсуждение материалов исследования на научных конференциях и методических семинарах.

Исследование проводилось поэтапно.

На первом этапе осуществлялся анализ психолого-дидактической и методической литературы с целью выявления трактовок логического построения многомерной евклидовой геометрии, проводился констатирующий эксперимент.

На втором этапе было разработано содержание факультативного курса «Элементы четырехмерной евклидовой геометрии», разработана методика изложения этого курса, разработана система задач, наглядных чертежей, контрольных заданий, определены содержание и формы самостоятельной работы учащихся в процессе овладения знаниями по геометрии четырехмерного пространства.

На третьем этапе проводился обучающий эксперимент с целью проверки эффективности разработанной методики.

Научная новизна исследования состоит в том, что развитие пространственных представлений, логического и эвристического мышления учащихся осуществляется на принципиально новой основе - посредством факультативного курса «Элементы четырехмерной евклидовой геометрии».

Теоретическая значимость исследования заключается в разработке концепции конструирования факультативных курсов адекватных современным целям математического образования, направленных на целостное формирование личности.

Практическая значимость результатов исследования состоит в возможности использования разработанной методики изложения факультативного курса учителями математики в средней школе и в школах, и классах с углубленным изучением математики, а также спецкурсов и спецсеминаров для студентов педагогических институтов и университетов.

Разработанные содержание и методика изучения факультатива «Элементы четырехмерной евклидовой геометрии» могут быть использованы учителями школ при проведении факультативных занятий по разработанной тематике, а также преподавателями педагогических институтов и университетов при подготовке студентов к проведению факультативных занятий в школе.

На защиту выносятся следующие положения:

1. Изучение факультативного курса «Элементы четырехмерной евклидовой геометрии» позволяет совершенствовать процесс обучения математике в старших классах средней школы, способствует развитию личности и ее творческих способностей.

2. Содержание факультативного курса, ориентированного на ознакомление учащихся с элементами геометрии четырехмерного пространства обусловлено принципами: принципом достаточности или соответствия целям обучения; © принципом целостности; • принципом преемственности; © принципом непрерывности; © принципом интеллектуального развития; © принципом познавательности; ® диагностико-прогностическим принципом; ® принципом перспективности; принципом общекультурной ценности отбираемых компонентов содержания.

3. Изучение факультативного курса способствует систематизации геометрических знаний, их обобщению, развитию геометрического мышления (нахождению аналогий, выдвижению гипотез, высказыванию обобщений и т.д.), развивает мотивацию учебной деятельности.

4. Практическая реализация результатов исследования требует специальной подготовки будущих учителей математики.

Обоснованность и достоверность проведенного исследования, его результатов и выводов обусловлены опорой на теорию развития личности, психологию развития мышления, новые образовательные идеи, деятельностный подход в обучении теории формирования математических понятий, роли задач в обучении математике, а также итогами проведения эксперимента.

Апробация результатов проводилась в виде докладов и выступлений на заседаниях научно-методического семинара кафедры общей математики Кубанского госуниверситета (1989 - 1998 гг.), на научно-методической конференции преподавателей математических кафедр (Киров, 1990 г.), на межрегиональной научной конференции (Киров, 1998 г.), на Всероссийской научной конференции (Саранск, 1998 г.). По теме исследования имеется 7 публикаций.

Внедрение разработанных методических рекомендаций осуществлялось в ходе экспериментальной проверки в процессе преподавания геометрии в средней школе, в математической школе, на спецкурсах и в период педагогической практики со студентами университета. В эксперименте участвовали учителя школ городов Новороссийска и Краснодара.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, двух глав, заключения, списка литературы и приложения. Во введении обоснована актуальность исследования, определена проблема научного поиска, намечены задачи теоретического и экспериментального характера, раскрыта новизна, теоретическая и практическая значимость работы, сформулированы предложения, выносимые на защиту, перечислены этапы и методы исследования.

Заключение диссертации по теме «Теория и методика обучения и воспитания (по областям и уровням образования)», Макаровская, Татьяна Григорьевна

ВЫВОДЫ ПО ГЛАВЕ.

1. Разработан факультативный курс «Элементы четырёхмерной евклидовой геометрии», включающий в себя теорию параллельности и перпендикулярности в четырёхмерном евклидовом пространстве. Геометрия четырёхмерного пространства строится на основе системы аксиом А.Н. Колмогорова, базирующийся на основных понятиях «точка», «прямая», «плоскость», «трёхмерное пространство» и «расстояние».

2. Разработана методика изложения факультативного курса и средства внедрения его в учебный процесс, определено содержание и объём самостоятельной работы учащихся в процессе овладения знаниями по геометрии четырёхмерного евклидова пространства.

3. Проведены констатирующий, поисковый и обучающий эксперименты с учащимися старших классов, которые показали, что разработанный факультативный курс усваивается учащимися, несмотря на встречающиеся трудности, которые объясняются тем, что многомерная геометрия выводит учеников за пределы чувственного восприятия.

4. Обработка результатов контрольного эксперимента с применением методов математической статистики, направленного на проверку развития пространственных представлений, логического и эвристического мышления учащихся, показала целесообразность проведённого факультатива.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Проделанное теоретическое исследование поставленной проблемы, а также результаты экспериментальной проверки основных идей диссертации позволяют сформулировать следующие общие выводы.

1. На основании теоретического и экспериментального исследования доказана возможность и педагогическая целесообразность проведения факультатива по теме: «Элементы четырехмерной евклидовой геометрии.

2. Разработаны структура и содержание факультативного курса, доступного учащимся старших классов средней школы, определен его объем. Выделены принципы отбора содержания факультатива.

3. Изучение факультативного курса «Элементы четырехмерной евклидовой геометрии» способствует развитию логического и эвристического мышления учащихся, пространственного воображения, творческих способностей, интереса к предмету, расширяет кругозор учащихся. Переход от планиметрических и стереометрических теорем к теоремам четырехмерной евклидовой геометрии дает им возможность пользоваться одним из методов научного исследования - аналогией.

4. Разработана методика проведения факультативных занятий по выбранной тематике. Ее экспериментальная проверка подтвердила справедливость гипотезы исследования и доказала, что изучение элементов четырехмерной евклидовой геометрии позволяет совершенствовать процесс обучения математике, способствует развитию личности и ее творческих способностей.

5. Овладение понятием четырехмерного пространства способствует развитию многомерных геометрических представлений, необходимых для понимания приложений в алгебре, геометрии, анализе, а так же в физике, химии, линейном программировании, психологии и т.д.

6. Изучение в школе разработанного факультативного курса создает условия для возможности успешного продолжения образования в высшей школе.

7. В перспективе полученные результаты могут быть использованы при определении содержания факультативных занятий для учащихся старших классов средней школы, а также при проведении спецкурсов и спецсеминаров для студентов педагогических институтов и университетов.

Список литературы диссертационного исследования кандидат педагогических наук Макаровская, Татьяна Григорьевна, 1999 год

1. Александров А.Д. О геометрии. // Математика в школе. - 1980. - № 3. -С. 56-57.

2. Александров А.Д., Вернер A.JL, Рыжик В.И. Геометрия. Учебник для 8 9 кл. средней школы. - М.: Просвещение, 1995. - 210 с.

3. Аргунов Б.И., Балк М.Б. Элементарная геометрия: Учебное пособие для пед. ин-тов. М.: Просвещение, 1966. - 336 с.

4. Атанасян JI.C. Геометрия, ч. I. М.: Просвещение, 1973. - 480 с.

5. Атанасян JI.C., Гуревич Г.Б. Геометрия, ч. II. М.: Просвещение, 1978. -447 с.

6. Атанасян JI.C. и др. Геометрия. Учебник для 7-9 кл. средней школы. М.: Просвещение, 1995. -310 с.

7. Атанасян JI.C. Основы многомерной геометрии. Учебное пособие для студентов физ.-мат. фак. пед. ин-тов. М.: Изд-во Московского гос. пед. ин-таим. В.И.Ленина, 1963. -273 с.

8. Базылев В.Т., Дуничев К.И., Иваницкая В.П. Геометрия I. М.: Просвещение, 1974. -351 с.

9. Базылев В.Т., Дуничев К.И. Геометрия II. М.: Просвещение, 1975.367 с.

10. Ю.Бахман Ф. Построение геометрии на основе понятия симметрии. М.: Наука, 1969.-379 с.

11. П.БескинН.И. Изображение пространственных фигур. -М.: Наука, 1971. -80 с.

12. Бим-Бад Б.М., Петровский А.В. Образование в контексте социализации // Педагогика. 1996. - №1. - С.З - 17.

13. Боковнев О.А. Система изучения векторных пространств и линейного программирования на специальном факультативном курсе в старшихклассах средней общеобразовательной школы. Дне. . канд. пед. наук. -М„ 1969. - 162 с.

14. Бондарев екая Е.В. Гуманистическая парадигма личностно ориентированного образования //Педагогика. 1997. -№4. С. 11 - 17.

15. Бронштейн И.М., Лопшиц A.M. Не изгонять из школы идей аксиоматического метода // Математическое просвещение: Математика, ее преподавание, приложения и история. Вып. 4. - 1959. - С. 151 - 152.

16. Брунер Джером С. Психология познания. М.: Прогресс, 1977. - 412 с.

17. Вернер А.Л. Аксиоматическое построение геометрии. Л.: Изд-во ЛГУ, 1978.-48 с.

18. Виноградова Л.В. Развитие мышления учащихся при обучении математике. Петрозаводск: Карелия, 1989. 175 с.

19. Власов А.К. Какие стороны элементарной математики представляют ценность для общего образования? // Математическое образование. -1997.-№3,-С. 66-74.

20. Волович М.В. Математика без перегрузок. М.: Педагогика, 1991. 144 с.

21. Волович М.В. Наука обучать: технология преподавания математики. М.: LINKA-PRESS, 1995. 279 с.

22. Воробьев Н.В. Умозаключения по аналогии. М.: Изд-во МГУ, 1963. -26 с.

23. Гайбуллаев Н. Формирование геометрических представлений учащихся средней школы при изучении евклидовой геометрии и неевклидовых геометрий: Автореф. дис. канд. пед. наук. Ташкент, 1972. - 39 с.

24. Гарднер М. Этот правый, левый мир. -М.: Мир, 1967. 265 с.

25. Глейзер Г.Д. Каким быть школьному курсу геометрии // Математика в школе. 1991. - №4. - С.68 - 71.

26. Глейзер Г.Д. Развитие пространственных представлений школьников при обучении геометрии. М.: Педагогика, 1978. - 104 с.

27. Гнеденко Б.В. Математика в современном мире. М.: Просвещение, 1980. -128 с.

28. Грабарь М.И., Краснянская К.А. Применение математической статистики в педагогических исследованиях. -М.: Педагогика, 1977. 136 с.

29. Григорьева Т.П., Иванова Т.А. и др. Основы технологии развивающего обучения математике / Учебное пособие. Н.Новгород: НГПУ, 1997. — 134 с.

30. Груденов Я.И. Психолого-дидактические основы методики обучения математике. -М.: Педагогика, 1987. 160 с.

31. Гулак Н.И. Опыт геометрии о четырех измерениях. Геометрия синтетическая. Тифлис, 1877. - 161 с.

32. Гуманизация и гуманитаризация математического образования в школе и вузе: Тез. докл. Всероссийская науч. конф. Саранск: Изд-во Морд, гос.пед. ин-та, 1998. - 253 с.

33. Гусев В.А., Тхамафокова С.Т. Преобразование пространства: / Пособие для учителей. -М.: Просвещение, 1979. 94 с.

34. Далингер В.А. Об аналогиях в планиметрии и стереометрии // Математика в школе. 1995. - №6. - С. 16 - 21.

35. Добротин Д.А. Основы линейной алгебры и аналитической геометрии. -Л.: Изд-во ЛГУ, 1977.-119 с.

36. Добрынин Н.Ф., Бардин A.M., Лаврова Н.В. Возрастная психология. -М.: Просвещение, 1965.-295 с.

37. Долбин Н.П. Правильные системы (Введение в математическую кристаллографию). -М.: Знание, 1978. 64 с.

38. Дорофеев Г.В. О принципах отбора содержания школьного математического образования // Математика в школе. 1990. - № 6. -С. 2-5.

39. Дорофеев Г.В. Гуманитарно-ориентированный курс основа учебного предмета «математика» в общеобразовательной школе // Математика в школе. - 1997. - № 4. - С. 59 - 66.

40. Дьедонне Ж. Линейная алгебра и элементарная геометрия. М: Наука, 1972.-335 с.

41. Ермолаева Н.А., Маслова Г.Г. Новое в курсе математики средней школы. -М.: Просвещение, 1978. 128 с.

42. Епишева О.Б. Некоторые методические приемы проведения факультативных занятий // Математика в школе. 1978. - № 3. -С.65 - 68.

43. Ефимов Н.В. Высшая геометрия. М.: Наука, 1971. - 576 с.

44. Ефимов Н.В., Розендорн Э.Р. Линейная алгебра и многометрная геометрия. -М.: Наука, 1970. 527 с.45.3азуляк Б.М. Формирование геометрических представлений и развитие пространственного воображения учащихся.: Автореф. дис. канд.пед.наук. -Киев, 1971.-18 с.

45. Иванова Т.А. Гуманитаризация математического образования: Монография. Н.Новгород: Изд - во НГПУ, 1998. - 206 с.

46. Игнациус Г. Ветви геометрии. М.: Знание, 1963. - 56 с.

47. Из опыта преподавания математики в средней школе /Сост.: А.В.Соколова, В.В.Пикан, В.А. Оганесян. М.: Просвещение, 1979, 192 с.

48. Изучение возможностей школьников в усвоении математики / Под ред Ю.К.Бабанского. Сб научных трудов. - М., 1977.

49. Ильина Т.И. Вопросы теории и методики педагогического эксперимента. -М.: Знание, 1975.- 123 с.

50. Интеллектуальное развитие школьников в процессе обучения математике: Тез. докл. Межрегиональные пед. чтения. Н.Новгород, 1993.-47 с.

51. Клопский В.М., Скопец З.А., Ягодовский М.И. Геометрия: Учеб. пособие для 9-10-х кл. сред, школы / В.М.Клопский, З.А.Скопец, М.И. Ягодовский; Под ред. З.А.Скопеца. -М.: Просвещение, 1982. -256 с.

52. Кокстер Г.С. Введение в геометрию. М.: Наука, 1966. - 648 с.

53. Колмогоров А.Н., Семенович А.Ф., Черкасов Р.С. Геометрия 6 8. - М.: Просвещение, 1979. -381 с.

54. Кольман Э. Четвертое измерение. М.: Наука, 1970. - 95 с.

55. Крамор B.C. Повторяем и систематизируем школьный курс геометрии, -М.: Просвещение, 1992. 320 с.

56. Крутецкий В.А. Психология математических способностей школьников. -М.: Просвещение, 1968. -431 с.

57. Крыговская 3. Геометрия. Основные свойства плоскости. М.: Просвещение, 1971. -212 с.

58. Кудрявцев Л.Д. Современная математика и ее преподавание. М.: Наука, 1985.- 176 с.

59. Кузнецов Б.Н. Воспитание интереса к изучению математшси в школе. -Иркутск, 1989.- 131 с.

60. Куликов С.М. Введение в начертательную геометрию многомерных пространств. -М.: Наука, 1970. 84 с.

61. Кузичева З.А. Векторы, алгебры, пространства. -М.: Знание, 1970. 63 с.

62. Леднев B.C. Содержание общего среднего образования: Проблемы структуры. М., 1980. - 264 с.

63. Лернер И.Я. Процесс обучения и его закономерности. М.: Знание, 1980. -96 с.

64. Лоповок Л.М. Факультативные задания по геометрии для 7-11 классов. -Киев, 1990.- 127 с.

65. Лопшиц A.M. Аналитическая геометрия. -М.: Учпедгиз, 1948. 576 с.

66. Лямин А.А. 1. He-Эвклидова геометрия. 2. Четвертое измерение. М., 1914.-89 с.

67. Лященко Е.И. Взаимосвязь теоретических знаний и математических задач // Методика преподавания математики в средней школе. Сб. Научных трудов. - Свердловск, 1986. - С. 3 - 10.

68. Макаров екая Т.Г. О некоторых аспектах проведения факультативных занятий по геометрии / Математический вестник педвузов Волго -Вятского региона, вып. 2. Киров: Изд - во Вятского госпедуниверситета, 1999. - 160 с.

69. Мейдер В.А. К вопросу о формировании научного мировоззрения в процессе преподавания математики // Математика в школе. 1977. - № 6. - С.12 - 15.

70. Менчинская Н.А. Проблемы учения и умственного развития школьника. -М.: Педагогика, 1989. 224 с.

71. Методика преподавания математики в средней школе: Общая методика: Учеб. пособ. для студентов пед. ин тов / Блох А.Я., Канин Е.С. и др. / Сост. Р.С.Черкасов, А.А.Столяр. -М.: Просвещение, 1985. - 336 с.

72. Методика преподавания математики в средней школе: Част, методика: (Для физ,- мат. спец. / А.Я.Блох и др.); Сост. В.И.Мшпин. М.: Просвещение, 1987. -414 с.

73. Методика факультативных занятий в 9 10 классах. М.: Просвещение, 1983. - 176 с.

74. Моиз Э.Э. и Дауне Ф.Л. Геометрия. М.: Просвещение, 1972. 662 с.

75. Монахова Н.И. Из опыта обучения геометрии в старших классах (9 кл.). -М.: Просвещение, 1979. 96 с.

76. Мостепаненко A.M., Мостепаненко М.В. Четырехмерность пространства и времени. -М.: Наука, 1966. 190 с.

77. Нестерова Л.Ю. Преемственность в обучении математике в средней школе и педвузе: Дис. . канд. пед. наук. Арзамас, 1997. 153 с.

78. Общая психология. / Под ред. А.В.Петровского. М.: Просвещение, 1977.-469 с.

79. Общая психология: Курс лекций для первой ступени педагогического образования / Сост. Е.И.Рогов. М.: ВЛАДОС, 1995. - 448 с.86.0кунев А.А. Углубленное изучение геометрии в 8 классе. М.: Просвещение, 1996. - 175 с.

80. Павлов Ю.В. Статистическая обработка результатов педагогического эксперимента. М.: Знание, 1972. - 31 с.

81. Паповский В.М. Углубленное изучение геометрии в 10-11 классах. М.: Просвещение, 1993. -223 с.

82. Перепелкин Д.И. Курс элементарной геометрии: ч. I. Геометрия на плоскости. М. - Л.: Государственное изд-во технико-теоретической литературы, 1949. - 347 с.

83. Перепелкин Д.И. Курс элементарной геометрии: ч. II. Геометрия в пространстве. М. - Л.: Государственное изд-во технико-теоретической литературы, 1949. - 347 с.

84. Платунов К.Н. Пространство четырех измерений. Брюссель, 1920.-36 с.

85. Погорелов А.В. Основания геометрии. -М.: Наука, 1979. 151 с.

86. Погорелов А.В. Геометрия. Учебник для 7-11 классов средней школы. -М.: Просвещение, 1988. 303 с.

87. Подходова Н.С. Теоретические основы построения курса геометрии 1-6 классов / Целостный подход в обучении геометрии // Наука и школа. -1999. -№ 1. -С.20-26.

88. Пойа Д. Как решать задачу? М.: Учпедгиз, 1961. - 147 с.

89. Пойа Д. Математика и правдоподобные рассуждения. Пер. с англ. 2-е изд., перераб. -М.: Наука, 1975. - 463 с.

90. Полякова Т.С. Методика обучения геометрии в основной школе: Учебное пособие для студентов педвузов и педколледжей. Ростов н/Д: РГПУ, 1996.-96 с.

91. Потапова Г.В. Элементы многомерной геометрии и методика их изучения на факультативных занятиях в старших классах средней школы. Дис. . канд.пед.наук. -М., 1975. - 155 с.

92. Потоскуев Е.В. Векторно-координатный метод при решении стереометрических задач // Математика в школе. 1995. - № 1.-С. 23-25.

93. Преемственность в обучении математике: Пособие для учителей. -/Сб. статей. Сост. А.М.Пышкало. -М.: Просвещение, 1978. 239 с.

94. Проблемы мышления в современной науке / Под ред. П.В.Копнина и М.Б.Вильницкого. -М.: Мысль, 1964. -470 с.

95. Программы средней образовательной школы. Математика. М.: Просвещение, 1998. - с. 147.

96. Программы средней общеобразовательной школы. Факультативные курсы. М.: Просвещение, 1990. - 142 с.

97. Программы факультативных курсов. М.: Просвещение, 1973. - 126 с.

98. Постников М.М. Аналитическая геометрия. -М.: Наука, 1973. 752 с.

99. Рашевский П.К. Риманова геометрия и тензорный анализ. Изд-е 3-е, М.: Наука, 1967.-664 с.

100. Рогановский Н.М., Столяр А.А. Векторное построение стереометрии. -Минск: Нар. асвета, 1974. 127 с.

101. Рогановский Н.М. Методика преподавания математики в средней школе. Минск, 1990. - 226 с.

102. Розенфельд Б.А. Многомерные пространства. М.: Наука, 1966. -647 с.

103. Рузавин Г.И. Философские проблемы оснований математики. М., 1983.-302 с.

104. Рыжик В.И. Использование аксиоматики евклидова пространства для изучения геометрии в школе. Дис. . канд.пед.наук. - JL, 1975. - 159 с.

105. Сазанов А.А. Четырехмерный мир Минковского. М.: Наука, 1988. -224 с.

106. Саранцев Г.И. Гуманизация образования и актуальные проблемы методики преподавания математики // Математика в школе. 1995. -№ 5. -С.36-39.

107. Саранцев Г.И.Общая методика преподавания математики: Учеб. Пособие для студентов мат. спец. пед. вузов и университетов. Саранск: Тип. «Крас. Окт.», 1999.-208 с.

108. Семенов Е.Е. Размышления об эвристиках // Математика в школе. -1995.-№5.-С. 39-43.

109. Стандарты среднего математического образования // Математика в школе. 1993. - № 3. - С. 10 - 13.

110. Столяр А.А. Педагогика математики. Мн.: Высш.школа, 1974. -382 с.

111. Тесленко И.Ф. О преподавании геометрии. М.: Просвещение, 1985. -95 с.

112. Тихомиров В.М. Геометрия в современной математике и математическом образовании // Математика в школе. 1993. - № 4.- С. 3 -9.

113. Федин Н.Г. Геометрия: Учебн. Пособие для техникумов / Под ред. О.В.Мантурова. -М.: Высшая школа, 1978. 272 с.

114. Фетисов А.И. Очерки по евклидовой и неевклидовой геометрии. М.: Просвещение, 1965. -235 с.

115. Фирсов В.В., Боковнев О.А., Шварцбурд С.И. Состояние и перспективы факультативных занятий по математике. М.: Просвещение, 1977. - 48 с.

116. Фридман JT.M. Психолого-педагогические основы обучения математике в школе. М.: Просвещение, 1983. - 160 с.

117. Фридман JI.M., Кулагина И.Ю. Психологический справочник учителя.- М.: Изд во «Совершенство», 1998. - 432 с.

118. Фройденталь Г. Математика как педагогическая задача. Ч. 1: Пособие для учителей / Под ред. Н.Я.Виленкина. М.: Просвещение, 1982.-208 с.

119. Хинтон Ч.Х. Воспитание воображения и четвертое измерение. -Петроград: Литературная книжная лавка, 1915.-57 с.

120. Черкасов Р.С. К вопросу о роли обобщений в преподавании геометрии // Математика в школе. 1996. - № 4. - С. 23 - 26

121. Четырехмерная риманова геометрия: Пер. с англ. М.: Мир, 1985. -334 с.

122. Чудаков В.Н. Физико-математические основы теории мышления: Учебное пособие. Ч. 1. Харьков, 1977. - 102 с.

123. Шаталов В.Ф. Путь поиска. СПб: Лань, 1996. 64 с.

124. Шестакова Л.Г. Математика в гуманитарных классах // Математика в школе. 1996. - № 1. - С. 10 - 13.

125. Шоке Г. Геометрия. М.: Мир, 1970. - 239 с.

126. Шофильд А.Т. Иной мир или четырехмерное пространство. Киев -Харьков: Южно - русское издательство, 1899. - 95 с.

127. Щербаков Р.Н., Пичурин Л.Ф. От проективной геометрии к неевклидовой (вокруг абсолюта): Кн. Для внеклассного чтения. IX, X кл. -М.: Просвещение, 1979. - 158 с.

128. Эббот Э.Э., Бюргер Д. Флатландия. Сферландия. М.: Мир, 1976. -360 с.

129. Эрдниев П.М. Аналогия в математике. М.: Знание, 1970. - 27 с.

130. Эрдниев П.М. Сравнение и обобщение при обучении математике. М.: Учпедгиз, 1960. 152 с.

131. Юсупов В.З. Педагогические инновации в гимназиях и лицеях Кировской области. Киров: Киров. Обл. ИУУ, 1995. - 62 с.

132. Якушина Е.В. Об изучении векторов в планиметрии и стереометрии // Математика в школе. 1996. - № 3. - С. 29 - 32.

133. Якиманская И.С. Развивающее обучение. М.: Педагогика, 1979. -144 с.

134. Henry R. Manning. The four dimension simply explained. New York, 1960.-320 c.

135. Henry R. Manning. Geometry of four dimensions. New York, 1914. -170 c.

136. Henderson, Pingry, Robinson. Modern geometry, it's structure and function. New York, 1962. - 280 c.

137. Clayton W. Dodge euclidian geometry and transformation. London, 1972. -145 c.

138. Sommerville D.M. An introduction to the geometry of n dimentions. New York, 1958.-240 c.