Исследование задач оптимального управления динамическими системами дробного порядка методом моментов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.01, кандидат наук Постнов, Сергей Сергеевич

• Постнов, Сергей Сергеевич
• кандидат наук
• 2015

Оглавление диссертации кандидат наук Постнов, Сергей Сергеевич

Оглавление

Введение

1. Обзор основных результатов в области дробного исчисления и теории оптимального управления динамическими системами дробного порядка

1.1. Краткий исторический очерк

1.2. Основные определения и свойства операций дробного порядка

1.3. Элементы теории дифференциальных уравнений и включений дробного порядка

1.4. Элементы теории оптимального управления динамическими системами дробного порядка

1.5. Выводы

2. Исследование применимости метода моментов для динамических систем дробного порядка с сосредоточенными параметрами

2.1. Постановка задач оптимального управления для линейной стационарной системы дробного порядка

2.2. Проблема моментов: общие замечания

2.3. Проблема моментов для линейной сосредоточенной стационарной системы дробного порядка

2.3.1. Одномерный случай

2.3.2. Многомерный случай

2.4. Вывод!л

3. Исследование задач оптимального управления системами

дробного порядка с сосредоточенными параметрами

3.1. Задача оптимального управления для одномерных линейных стационарных систем дробного порядка

3.1.1. Одиночный интегратор дробного порядка

3.1.2. Одномерная система общего вида

3.2. Задача оптимального управления для двумерных линейных систем дробного порядка

3.2.1. Двойной интегратор дробного порядка

3.2.1.1. Случай и{Ь) € Ьх[0,Т]

3.2.1.2. Случай и(Ь) е Ь2[0,Т]

3.2.1.3. Результаты расчётов

3.2.2. Маятник дробного порядка

3.3. Выводы

4. Исследование задач оптимального управления распределёнными системами дробного порядка с помощью метода

моментов

4.1. Проблема моментов для линейной распределённой системы дробного порядка

4.1.1. Общие замечания

4.1.2. Представление задачи оптимального управления в форме проблемы моментов

4.2. Исследование корректности и разрешимости проблемы моментов

4.3. Пример расчёта граничного управления для системы, описываемой уравнением переноса

4.4. Выводы

Практические рекомендации

Заключение

Библиография

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Исследование задач оптимального управления динамическими системами дробного порядка методом моментов»

Введение

Актуальность работы

Дробное интегро-дифферепциал ьиое исчисление (дробное исчисление, ДИ) имеет достаточно долгую и богатую историю развития [52,55.153,171]. Па сегодня весьма полно проработаны фундаментальные математические вопросы ДИ и теории дифференциальных (иптегро-диффереициальных) уравнений дробного порядка [52,132,171]. Немало работ посвящено и приложениям дифференциальных уравнений дробного порядка к моделированию различных явлений [13,44,54.55,132,147,171]. Здесь можно указать самые разнообразные системы и процессы. Во-первых, это механические системы, в которых присутствуют вязкоупругие элементы. Такие системы (и само явление вязкоупругости) изучаются с 20-х гг. XX века и для них многими авторами показано наличие эффектов степенной релаксации, корректное описание которых возможно лишь с использованием аппарата ДИ [55, 147, 153]. Аналогичные эффекты степенной релаксации проявляются и в поведении диэлектриков и электролитов [55, 58]. Накоплен значительный объём экспериментальных и теоретических данных и относительно других физических систем: плазмоподобпые среды (в том числе, неупорядоченные полупроводники), космические лучи, поверхностные явления и т.д.

В упомянутых выше примерах описания физических систем и процессов с помощью аппарата ДИ. как правило, рассмотрение проводится для неуправляемых систем. Только в последние годы стали активно развиваться исследования в области динамики систем дробного порядка с управлением и изучение вопросов оптимального управления [87,102,154]. Извест-

но, что на сегодня не существует конструктивных методов исследования задачи оптимального управления для динамических систем дробного порядка. аналогичных принципу максимума Л.С. Понтрягина. Полученные в этой области результаты базируются, в основном, на применении вариационных методов, обладающих рядом серьёзных ограничений. В частности, данный подход не позволяет явным образом учитывать ограничения на норму управлений и работать с разрывными управлениями.

Разумной альтернативой упомянутым методам исследования задач оп-тимльного управления (по крайней мере, для линейных систем) является метод моментов. Он обладает следующими преимуществами по сравнению с вариационным подходом: 1) определяет необходимые и достаточные условия оптимальности; 2) определяет единую вычислительную процедуру поиска оптимального управления; 3) даёт условия оптимальности для разрывных (в общем случае измеримых по Лебегу) управляющих воздействий; 4) позволяет учитывать ограничения на норму управления. Кроме того, этот метод даёт единую процедуру решения двухточечной краевой задачи — задачи, вызывающей большие трудности при использовании принципа максимума Л.С. Понтрягина.

В связи с вышеизложенным целью диссертационной работы является: применение метода моментов для исследования задач оптимального управления динамическими системами дробного порядка с сосредоточенными и распределёнными параметрами.

Достижение поставленной цели предполагает решение следующих задач:

сведение задач оптимального управления линейными динамическими системами с сосредоточенными параметрами к проблеме моментов, анализ и вывод условий, определяющих корректность и разрешимость последней;

исследование и решение задач оптимального управления некоторыми частными системами /фобного порядка с сосредоточенными параметрами: анализ качественной динамики систем дробного порядка с сосредоточенными параметрами:

сведение задач оптимального управления к проблеме моментов для линейной динамической системы дробного порядка с распределёнными па-

рамстрами, описываемой уравнением типа уравнения диффузии, анализ и вывод условий, определяющих корректность и разрешимость проблемы моментов;

исследование и решение задач оптимального управления для частных случаев системы с распределёнными параметрами.

Основные результаты, выносимые на защиту

Поставлены задачи оптимального управления линейными динамическими системами дробного порядка с сосредоточенными и распределёнными параметрами.

Продемонстрирована возможность сведения поставленных задач оптимального управления к классической проблеме моментов. Выведены условия, определяющие корректность и разрешимость соответствующей проблемы моментов.

Получены явные решения в аналитическом виде задач оптимального управления для систем, описываемых одномерными и двумерными уравнениями: одиночного интегратора, одномерной линейной системы, двойного интегратора, маятника. Исследованы зависимости нормы управления и минимального времени управления от показателей дробного дифференцирования указанных систем.

Проведено исследование качественная динамика динамических систем дробного порядка с сосредоточенными параметрами. В частности, показано, что границы интегральной воронки дифференциального включения, соответствующего системам дробного порядка, оказываются уже, чем в случае систем целого порядка. Также показано, что в динамике двойного интегратора дробного порядка при показателе дифференцирования первого звена интегратора, отличном от 1, проявляется эффект перерегулирования.

Поставлена задача оптимального управления для линейных систем с распределёнными параметрами, которые описываются уравнением типа уравнения диффузии. Продемонстрирована возможность сведения поставленной задачи к бесконечномерной проблеме моментов. Выведены условия.

определяющие корректность и разрешимость соответствующей проблемы моментов.

Для линейной динамической системы дробного порядка с распределёнными параметрами, описываемой уравнением типа уравнения диффузии рассмотрена задача граничного управления, для которой найдено решение для случая, когда бесконечномерная проблема моментов аппроксимируется конечномерной. Исследована зависимость нормы управления от показателя дробного дифференцирования.

Рассмотрены возможности практического использования полученных результатов.

Научная новизна работы

В работе впервые предложено и исследовано применение метода моментов для исследования и решения задач оптимального управления системами дробного порядка. Рассмотрено две постановки задач оптимального управления: управление с минимальной нормой при заданном времени управления и управление с минимальным временем при заданном ограничении на норму управления. Возможность сведения задач оптимального управления к проблеме моментов продемонстрирована для систем дробного порядка как с сосредоточенными, так и с распределёнными параметрами.

Для многомерных линейных стационарных систем дробного порядка с сосредоточенными параметрами выведены условия, при которых соответствующая проблема моментов является корректной и ра зренптмой. В случае сисхем с распределёнными парамехрами аналогичные условия выведены для одномерных линейных стационарных систем, описываемых уравнением типа уравнения диффузии с дробной производной по времени, в случае счетно:о числа момептных уравнений. В опубликованных па сегодня работах других авторов эти вопросы не рассматривались.

Рассмотрен ряд задач оптимального управления одно- и двумерными системами дробного порядка с сосредоточенными параметрами частного вида: одиночным интегратором, одномерной системой общего вида, двойным интегратором и маятником. Получены явные аналитические решения

задач оптимального управления для упомянутых систем, неопубликованные ранее. Исследовано поведение нормы и времени управления от показателей дробных производных в уравнениях динамики систем. Получены аналитические выражения, определяющие граничные фазовые траектории для исследуемых систем. Также получены явные аналитические выражения для законов движения систем в режиме оптимального управления.

Рассмотрена задача граничного управления для систем, описываемых уравнением типа уравнения диффузии с дробной производной по времени. Получены приближённые явные аналитические решения задачи оптимального управления в случае, когда управление непосредственно входит в одно из граничных условий и в случае, когда управление является дробной производной от некоторой функции, входящей в упомянутое условие. Исследовано поведение нормы управления от показателя дробного дифференцирования.

Практическая значимость

Практическая значимость работы заключается в обосновании возможности использования метода моментов для получения явных законов управления системами дробного порядка, позволяющих проводить синтез систем управления.

Полученные зависимости нормы и времени управления от показателей дробных производных в уравнениях динамики систем могут быть полезны при выборе параметров систем управления и расчёте поведения систем.

Апробация работы и публикации

Основные результаты диссертационной работы доложены и обсуждены на Всероссийской конференции «Управление в технических, эргатиче-ских, организационных и сетевых системах» (Санкт-Петербург, 2012); VII Всероссийской конференции «Необратимые процессы в природе и технике» (Москва, 2013); Международной конференции "Матсматиче-

скос моделирование и вычислительная физика" ("Mathematical Modeling and Computational Physics") (Дубна, 2013); Международной научно-технической конференции «Нигматуллинские чтения - 2013» (Казань,

2013); XII Всероссийском совещании по проблемам управления (Москва,

2014); Международной научной конференции "Физико-математические проблемы создания новой техники"(Москва, 2014); X Международной научной конференции "Идентификация систем и задачи управле-ния"(Москва, 2015); VIII Всероссийской конференции «Необратимые процессы в природе и технике» (Москва, 2015).

По теме диссертации опубликовано 7 печатных работ в профильных журналах из перечня ВАК.

Структура диссертации

Диссертация изложена на 132 страницах текста и состоит из введения, 4-х глав, практических рекомендаций, заключения и библиографии. Работа иллюстрирована 33 рисунками. Библиография включает 58 отечественных и 137 иностранных источников. Весь материал, представленный в диссертации, получен, обработай и проанализирован автором лично.

Благодарности

Автор выражает благодарность научному руководителю работы д.т.п. В.А. Кубыпткину, главному научному сотруднику лаборатории № G д.ф-м.н. Э.М. Солнечному, старшему научному сотруднику лаборатории N° 43 к.ф.-м.н. А.II. Агаджапову и заведующему лабораторией Ne G Института проблем управления им. В.А. Трапезникова д.ф.-м.н. А.Р. Кушнеру за внимательное отношение к данной работе и активное обсуждение её результатов.

Глава 1

Обзор ОСНОВНЫХ

результатов в области дробного исчисления и теории оптимального управления динамическими системами дробного порядка.

1.1. Краткий исторический очерк.

В истории развития ДИ можно условно выделить ряд стадий: от абстрактного изучения вопросов существования и общих свойств операций нецелого порядка до построения моделей физических и технических систем, описание которых более адекватно проводить с позиций ДИ [52.153].

Этап возникновения и первичного развития ДИ связан с общими математическими постановками задач о том, будет ли иметь смысл такое

понятие, как производная или интеграл порядка 1/2 или другого порядка. представляющего собой нецелое (и необязательно вещественное) число. Этот период в основном относится к концу XVII - середине XIX вв. и связан с работами Г. Лейбница. П. Лапласа. Л. Эйлера, Ж. Фурье, Н. Абеля и Ж. Лиувилля [52,153].

На протяжении XVIII-XIX вв. исследователи использовали для представления операций дробного порядка формализм интегральных операторов: обобщение операции интегрирования строилось на базе обобщения формулы Коши, позволяющей сводить кратный интеграл к одиночному (т.е. дробное интегрирование вводится здесь фактически как интеграл нецелого порядка), а обобщение операции дифференцирования строится на основе композиции оператора дифференцирования целого порядка с оператором интегрирования нецелого порядка. В середине XIX века получил развитие другой, коиечпо-разпостпый, подход к определению операций интегрирования и дифференцирования нецелого порядка. Идея такого подхода высказывалась ещё в работах Ж. Лиувилля, по его масштабная проработка была проведена позднее в работах А. Грюпвальда и A.B. Лст-никова [42,115].

И. Абелю приписывается [153, р. 3] первое применение дробных операций как вычислительного инструментария, сделанное им в 1823 г. при решении задачи о таутохроне. В работе Ж. Лиувилля [138], опубликованной в 1832 г., впервые дан систематический перечень приложений дробного ин-тегродифферепцировапия в различных задачах геометрии и механики. Во второй половине XIX - начале XX вв. наблюдается переход от абстрактных математических задач, связанных с развитием фундаментальных основ ДИ, к приложениям. Развиваются попытки использования ДИ для описания различных физических систем, в основном в области электромагнетизма и механики сплошных сред. На рубеже веков появляется работа О. Хе-висайда, в которой он показывает, что однородная резистивно-ёмкостная линия передачи (полубсскоисчиый RC-кабель) является простейшим примером дифференциатора порядка 1/2 [119]. Позднее эти вычисления были более строго обоснованы в работах Т. Бромвича [83].

В XX веке тенденция развития прикладных аспектов ДИ, наряду с

продолжением фундаментальных математических исследований, всё более крепнет. Расширяется круг приложений и происходит переход от более абстрактных физических систем, в отношении которых ДИ используется как метод описания и качественного прогнозирования, к более конкретным физико-техническим системам, для которых ДИ используется уже как инструмент не только качественного, но и количественного моделирования и прогнозирования. Так, проводятся масштабные исследования процессов релаксации вязкоупругих сред сложной структуры: экспериментально демонстрируется, что в таких средах релаксация носит степенной, а не экспоненциальный характер [24,51,55,112,114,147,158-100], что подтверждается результатами теоретических исследований |24, 51, 55, 77-79,88. 89,112,114, 147,177], учитывающими наличие в среде эффектов памяти, описываемых в терминах интегро-дифферициальных операторов, сводящихся к операторам дробного порядка. Наблюдение и теоретическое описание аналогичных процессов степенной релаксации в экспериментах с диэлектриками, начатое в экспериментах по изучению эффекта Кюри-фон Швайдлера [101,180], в XX веке развилось в мощное направление по изучению процессов неде-баевской релаксации и законов универсального отклика [55,128,129,193]. В области математических исследований рассматриваются уже не только дробные, но и иррациональные и комплексные значения порядка дифференцирования или интегрирования. В связи с этим появляются более уместные, но до сих менее используемые термины «иитегро-диффереициалыюе исчисление произвольного порядка», «интегро-дифференциальиое исчисление нецелого порядка» или «обобщённое интегро-дифференциалыюе исчисление» [52,153,173].

В середине XX века появляются первые работы по применению ДИ в теории систем (в том числе, систем автоматического управления). Появляется ряд работ, посвященных аппаратной реализации операций дробного интегрирования и дифференцирования на электрических [149,150] и электрохимических [ 14,15,40—48] элементах. Во второй половине XX века публикуется ряд полноценных монографий (первая из них вышла в 1974 году), посвященных проблемам ДИ и его приложений [52,133,153,103,171], проводятся международные конференции по данной тематике. Продолжается

расширение сферы приложений ДИ и начинается активное исследование проблемы интерпретации (физической, а позднее геометрической и вероятностной) дробных операторов, которое до сих пор далеко от завершения [19,31,45.53.55,145,156,172.178].

В конце XX века зарождается векторное обобщение ДИ. обусловленное как продолжающимся развитием фундаментальных математических исследований в данной области, так и развитием приложений ДИ (в основном, в области электродинамики неоднородных сред) [181]. Также в 90-е гг. XX века появляются первые работы по дробным контроллерам, их аппаратной реализации и методикам настройки [143.104-167,170,175). Продолжается развитие исследований по аппаратной реализации операций дробного порядка на электрических элементах [11,20.25,134]. В связи с развитием оптических технологий и тенденциями поиска альтернативной элементной базы для реализации вычислительных устройств, появляется ряд работ по оптической [20,130,141] и оптоволоконной [20.98-100] реализации дробных операций.

В XXI веке исследователи, работающие в области ДИ, уделяют большое внимание развитию векторного обобщения ДИ и поиску интерпретации дробных операторов, аналогичной той, что существует для операторов целого порядка. Развивается новый раздел теории динамических систем -«дробная динамика», изучающая поведение динамических систем, описываемых уравнениями, содержащими дробные интегро-дифференциальные операторы [135,182.195]. В области математических исследований таких уравнений, помимо постоянно нарастающего потока публикаций по поиску и проверке единственности решений, появляются работы по теоретико-групповым или симметрийным свойствам данных уравнений [22.23,27,84. 109-111,118,122,123,192,194].

В последние 10-15 лет наблюдается устойчивый рост числа публикаций по использованию аппарата ДИ не только в задачах моделирования различных физических и технических систем, по и в задачах управления такими системами. Сформулированы базовые определения основных понятий теории систем и теории управления для систем, описываемых в терминах дробных операторов [20.31.87.102,146.154,157] (см. далее.

раздел 1.4). В области прикладных исследований всё большую актуальность приобретают исследования дробных контроллеров различного типа [20, 61, 81, 82, 87, 97, 102,131, 154, 169-171, 184]. Исследуются методики настройки таких устройств, их возможные архитектуры и свойства при использовании в системах управления системами нецелого и целого порядков. В частности, есть целый ряд примеров, демонстрирующих большую эффективность дробных контроллеров при управлении системами не только нецелого, но и целого порядка.

1.2. Основные определения и свойства операций дробного порядка

В данном разделе приведены строгие формулировки основных определений и описаны свойства операций дробного порядка, которые будут использоваться в настоящей работе. Рассматриваются функции из функциональных пространств двух типов: пространства Ь1(а.Ь) функций, суммируемых на некотором интервале вещественной оси, и пространство АС^+1(а, Ь) абсолютно непрерывных, [а] + 1 раз дифференцируемых функций. Здесь и далее {а} и [а] - соответственно дробная и целая части числа а.

Определение 1.1. ¡52,54,55,132,182/ Лево- и правосторонним дробным 'интегралом Римана-Лиувилля произвольного порядка а > 0 от функции /(х) 6 Ь1(а,Ь), а, Ь £ Я1 'называются соответственно величины:

Определение 1.2. ¡52, 54, 55.132, 182] Лево- и правосторонней дробной производной Римана-Лиувилля произвольного 'порядка а > 0 от функции

(1.1)

а

ь

(1.2)

/'(;/;) 6 L[(a,b), а,Ъ <G Rl называются соответственно величины:

= U-3)

a

r(l-{a})drH+1 J (х-0{пГ

x

Определение 1.3. [54,55,132,182] Лево- и правосторонней дробной производной Капута произвольного порядка а > 0 от функции /(х) С-АС^+1(а.Ь), а,Ь 6 Л1 называются, соответственно величины:

с ¡у. Нх) = 1 [ к (15)

" гП'> г(1 — {о}).1 <геы+' (.г-е)<°>' 1 '

cDo f(r) - (-|)'"'+1 f dH+1f(0 di

x

В определениях (1.1-1.3) указаны конкретные функциональные пространства. для элементов которых вводимые операции определены почти всюду на рассматриваемом отрезке. В дальнейшем будут рассматриваться и функции, не относящиеся к упомянутым пространствам, но будет предполагаться, тем не менее, что эти функции обладают всеми необходимыми свойствами для существования производных и интегралов дробного порядка от них.

Свойства операторов дробного порядка достаточно полно изучены и описаны в обширной литературе [52,54,132,153,103,171,182]. Ниже приведены некоторые из них, необходимые в дальнейшем. Поскольку, как правило, свойства, справедливые для левосторонних интегралов и производных, справедливы и для правосторонних, здесь и далее будут рассматриваться только первые из них.

Дробное интегрирование и дифференцирование являются линейными операциями. Операция инверсии аргумента переводит левостороннюю про-

изводную соответствующего типа в правостороннюю [52,54,55,103, 1 32,153, 171,182]. Инверсия показателя переводит дробную производную Римана-Лиувилля в дробный интеграл Римана-Лиувилля:

ПЬ Г)—а _ га

Дробные производные Римана-Лиувилля и Капуто обладают свойством дуальности [91]:

Как видно из приведенных определений (1.1-1.3), производные Римана-Лиувилля и Капуто могут быть выражены как композиция оператора интегрирования Римана-Лиувилля и оператора дифференцирования целого порядка следующим образом [54,55,132,182]:

л[а]+1

Я£г)« _ _ 7-1-М

а '' 1 -г 1

./[а] I 1 Спа _ г!~Ы а

" х ах <Ы«П-1'

Для дробных интегралов Римнна-Лиувилля справедливо полугрупповое свойство [52|:

(1.7)

Для дробных производных Римана-Лиувилля и Капуто полугрупповое свойство типа (1.7) в общем случае не выполняется, хотя существует ряд случаев, когда оно оказывается справедливым |52,54,103,153,182]. Например, в случае производной Римана-Лиувилля полугрупповос свойство выполняется для функций /'(х) таких, что /(х) — а1^+13у(х)} д(х) <Е Ьу{а1Ь) [52,54,103,182]. Для производной Капуто полугрупповое свойство в виде, аналогичном (1.7), выполняется для функций /(х) Е Ск'[а,Ь], к Е N при а, а- -I 0е[1- 1.1): I |103].

В общем случае дробные производные Римана-Лиувилля и Капуто связаны следующей формулой [54,55,132,182]:

cDa fix) = RLDaf(x) - V " а})~П (^M « "xi V ) a КЧ r(J _ cv + 1) dxj

(1.8)

j-=a

Для дробной производной Капуто и дробного интеграла Римана-Лиувилля справедлива обычная (формула Ныотопа-Лейбница [54,182]:

al^D«fix) = .f(x)-f(a). (1.9)

Кроме того, справедливы следующие формулы интегрирования по частям [52]:

■С x

I №а1?д{1)<1Ь = I (1.10)

а а

х х

У 1)си = у д^И^т. (1.11)

и а

Из формул (1.10-1.11) и (1.8) можно получить формулу интегрирования по частям для производной Капуто [65]:

/ №СаЩ9№- / g(t)?Ln[;.f{t)dt+Ys

I a J=0

(1.12)

Здесь подстановка понимается в смысле разности пределов соответствующего выражения при t —;> х и i —> а.

Также для дробных производных Капуто и Римана-Лиувилля справедлив так называемый "дробный принцип сравнения "("fractional comparison principle") [137, Lemma 10]. Приведём здесь его формулировку в более сильной форме [13G, Property 4].

Теорема 1.1. Пусть фу ищу a q(t) il r(t) определены о некоторой области и для них существует дробная производная Капуто. Пусть справедливы неравенства q Dfq{t) >q D?r(t) и q(0) > r(0). Тогда справедливо

неравенство: д(1) > г{Ь).

Замечание 1.1. Данная теорема справедлива и для случая, когда дробная производная, понимается в смысле Римана-Лиувилля ¡136].

Одной из центральных проблем дробного исчисления является отсутствие единого определения операций дробного порядка. На сегодня опубликовано большое количество работ, в которых предложены и исследованы различные способы определения данных операций, но ни одно из этих определений пока не стало общепринятым. В связи с этим, приведём здесь некоторые соображения, в соответствии с которыми в настоящей работе дробная производная рассматривается в смысле Капуто.

Дробная производная Капуто, как отмечается в ряде работ [54,55,103, 171], в большей степени соответствует по своим свойствам обычной производной и обладает более ясным физическим смыслом. В частности, это выражается в том, что производная Капуто от константы равна нулю (в отличие от производной Римаиа-Лиувилля, что очевидно из приведённых выше определений). Кроме того, для производной Капуто доказан принцип экстремума: теорема о неотрицательности производной Капуто в точке максимума некоторой функции, определённой на отрезке вещественной оси [142|. Немаловажным отличительным свойством производной Капуто является и справедливость классической формулы Ныотопа-Лейбница для композиции оператора интегрирования Римана-Лиувилля с оператором дифференцирования Капуто [54].

В теории дифференциальных уравнений дробного порядка, о которой речь пойдёт в следующем разделе, показано, что для уравнений с производной Капуто возможна постановка граничных и начальных условий "классическогомтипа - для однозначного определения решения необходимо и достаточно задать значения самой функции, входящей в уравнение, и некоторого числа её производных целого порядка в начальный момент времени и/или на границе рассматриваемой области пространства. Для уравнений с производными Римаиа-Лиувилля начальные и граничные условия определяются через значения операторов дробного порядка (производных

и интегралов) в начальный момент времени и/или на границе рассматриваемой области пространства. Если в первом случае поставленные начальные и/или граничные условия имеют вполне ясный смысл, как и для задач с уравнениями целого порядка, то во втором случае смысл и способ постановки данных условий не всегда ясны [120,171].

В целом ряде физических моделей операторы и уравнения дробного порядка возникают именно в форме производной Капуто, т.е. свёртки первой производной некоторой функции с дробно-степенной функцией [24,55.89,90,171]. Основной мотивацией построения данного типа дробной производной как раз явилось её лучшее соответствие экспериментальным данным 188, 89]. С другой стороны, есть достаточно много случаев, когда описание тех же процессов в терминах производных Римаиа-Лиувилля оказывается эквивалентным и имеет также вполне ясный физический смысл [120,147|. Это даёт основание, многим исследователям утверждать, что решающим фактором, определяющим широкое использование производной Капуто, является её большее соответствие классической производной, делающее более удобными выкладки.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Постнов, Сергей Сергеевич, 2015 год

Библиография

[1] Агаджанов, А.Н. Фрактальные и бесконечно дифференцируемые функции в задачах финитного управления гиперболическими распределенными системами / А.Н. Агаджанов // Доклады Академии наук. - 2008. - Т. 418, № 5. - С. 583-586.

[2] Агаджанов, А.Н. Идентификация фрактальных управлений Бутковского-Бэра в задачах управления колебательными распределёнными системами / А.Н. Агаджанов // Труды IX Международной конференции "Идентификация систем и задачи управле-ния"(81СР1Ю'12). - М.: ИПУ РАН, 2012. - С. 82-91.

[3] Агаджанов, А.Н. Суперфрактальные финитные управления и принцип Бэра в распределенных колебательных системах / А.Н. Агаджанов // Доклады Академии наук. - 2013. - Т. 449, № 4. - С. 379-383.

[4] Агаджанов, А.Н. Сингулярные функции, не имеющие интервалов монотонности, в задачах финитного управления распределенными системами / А.Н. Агаджанов // Доклады Академии наук. - 2014. - Т. 454, № 5. С. 503-506.

[5| Агаджанов, А.Н. Теоретико-числовые закономерности и фрактальные функции сингулярного типа в задачах финитного управления распределёнными колебательными системами / А.Н. Агаджанов // Труды XII Всероссийского совещания по проблемам управления. -М.: ИПУ РАН, 2014. - С. 2505-2510.

[6] Агаджанов, А.Н. Идентификация аппроксимативно фрактальных функций управления распределёнными системами методом Фурье-

Рисса / А.Ы. Агаджанов // Труды X Международной конференции "Идентификация систем и задачи управлеиия"(81СРГЮ'15). - М.: ИПУ РАН, 2015. - С. 2G0-2G9.

[7] Агаджанов, А.Н. Трансцендентные числа и фрактальные функции в задачах финитного управления распределенными системами / А.Н. Агаджанов, А.Г. Бутковский // Доклады Академии наук. - 2008. - Т. 420, № 5. - С. 604-606.

[8] Агаджанов, А.Н. Фрактальные финитные управления и управления со всюду расходящимися рядами Фурье в гиперболических распределённых системах / А.II. Агаджанов, А.Г. Бутковский // Труды VIII Международной конференции "Идентификация систем и задачи управления"(SICPRO'09). - М.: ИПУ РАН, 2009. - С. 1297-1307.

[9] Агаджанов, А.Н. Фрактальные финитные управления с множеством корней мощности континуума в распределённых системах / А.Н. Агаджанов, А.Г. Бутковский // Проблемы аналитической механики и теории устойчивости: сборник статей. - М.: Физматлит, 2009. - С. 208-217.

[10| Агаджанов, А.Н. Фрактальные управления и квазнаиалитические классы функций в задаче Коши для уравнения диффузии дробного порядка / A.II. Агаджанов, А.Г. Бутковский // Доклады Академии наук. - 2010. - Т. 434, № 3. - С. 295-298.

[И] Афанасьев, В.В. Методы анализа, диагностики и управления поведением нелинейных устройств и систем с фрактальными процессами и хаотической динамикой: монография / В.В. Афанасьев, Ю.Е. Польский. - Казань: КГТУ. 2004. - 218 с.

[12| Ахиезер, Н.И. Классическая проблема моментов и некоторые вопросы анализа, связанные с нею: монография / Н.И. Ахиезер. - М.: Физмат-гиз. 1961. - 310 с.

[13] Бабенко, Ю.И. Метод дробного дифференцирования в прикладных задачах теории тепломассообмена: монография / Ю.И. Бабенко. -СПб.: НПО "Профессионал 2009. - 584 с.

[14] Белавип, В.А. Исследование платин но-водород но го электролитического конденсатора / В.А. Белавип // Труды КАИ. - 1908. - Вып. 94. - С. 104-109.

[15] Белавип. В.А. Применение электролиического аналога полубескоеч-ного КС-кабеля для формирования степенных функций / В.А. Бела-вин // Труды КАИ. - 1968. - Вып. 94. - С. 174-178.

[16] Бутковекий, А.Г. Структурная теория распределённых систем: монография / А.Г. Бутковекий. - М.: Наука, 1977. - 320 с.

[17] Бутковекий, А.Г. Методы управления системами с распределёнными параметрами: монография / А.Г. Бутковекий. - М.: Паука, 1975. 568 с.

[18] Бутковекий, А.Г. Фазовые портреты управляемых динамических систем: монография / А.Г. Бутковекий. - М.: Наука, 1985. - 136 с.

[19] Бутковекий, А.Г. Дробное интегро-дифференциальное исчисление и его приложения в теории управления. I. Математические основы и проблема интерпретации. / А.Г. Бутковекий, С.С. Постпов, Е.А. Постнова // Автоматика и Телемеханика. — 2013. - № 4. - С. 3-42.

[20] Бутковекий, А.Г. Дробное интегро-дифференциальное исчисление и его приложения в теории управления. II. Дробные динамические системы: моделирование и аппаратная реализация. / А.Г. Бутковекий, С.С. Постнов, Е.А. Постнова // Автоматика и Телемеханика. - 2013. - № 5. - С. 3-34.

[21] Витюк, А.Н. Существование решений дифференциальных включений с частными производными дробных порядков / А.Н. Витюк // Изв. ВУЗов. Математика. - 1997. - № 8 (423). - С. 13-19.

[22] Газизов, P.K. Непрерывные группы преобразований дифференциальных уравнений дробного порядка / Р.К. Газизов, A.A. Касаткин, С.Ю. Лукащук // Вести. УГАТУ. - 2007. - Т. 9, № 3 (21). - С. 125-135.

[23] Газизов, Р.К. Симметрийиый подход к дифференциальным уравнениям дробного порядка / Р.К. Газизов, A.A. Касаткин, С.Ю. Лукащук // Труды 5 Всерос. научн. конф. «Математическое моделирование и краевые задачи». Ч. 3 «Дифференциальные уравнения и краевые задачи». - Самара: СамГУ, 2008. - С. 59-61.

[24] Герасимов, А.Н. Обобщение линейных законов деформирования и его применение к задачам внутреннего трения / А.Н. Герасимов // При-кл. Матем. Мех. 1948. - Т. 12. - С. 251-260.

[25] Гильмутдипов, А.Х. Резистивно-емкостные элементы с распределёнными параметрами: анализ, синтез и применение: монография / А.Х. Гильмутдипов. - Казань: КГТУ, 2005. - 350 с.

[26] Егоров, А.И. Оптимальное управление тепловыми и диффузионными процессами: монография /А.И. Егоров. - М.: Наука, 1978. - 464 с.

[27] Касаткин, A.A. Симметрийные свойства систем двух обыкновенных дифференциальных уравнений дробного порядка / A.A. Касаткин // Уфимский матем. журнал. - 2012. — Т. 4, № 1. - С. 71-81.

[28] Колмогоров, А.Н. Элементы теории функций и функционального анализа: учебник / А.Н. Колмогоров, C.B. Фомин. М.: Наука, 1976. -544 с.

[29] Красовский. H.H. Теория управления движением: монография / H.H. Красовский. М.: Наука, 1968. - 476 с.

[30] Крейн, М.Г. Проблема моментов Маркова и экстремальные задачи. (Идеи и проблем!,I П.Л. Чебышсва и A.A. Маркова и их дальнейшее развитие): монография / М.Г. Крейн, A.A. Нудсльмаи. - М.: Наука, 1973. - 552 с.

(31] Кубышкин, В.Л. Дробное интегро-диффсрснциальное исчисление и его приложения в теории управления: монография / В.А. Кубышкин. С.С. Постнов. - М.: ИПУ РАН, 2014. - 154 с.

[32| Кубышкин, В. А. Задача оптимального управления в форме проблемы моментов для одиночного и двойного интеграторов дробного порядка / В.А. Кубышкин, С.С. Постнов // Материалы конференции «Управление в технических, эргатических, организационных и сетевых системах» (УТЭОСС-2012). - СПб.: ГНЦ РФ ОАО «Концерн «ЦНИИ «Электроприбор», 2012. С. 155-158.

[33] Кубышкин, В.А. Задача оптимального управления для линейных распределённых систем дробного порядка / В.А. Кубышкин, С.С. Пост-нов // Вестник РУДН. Сер. Математика, физика, информатика. -2014. № 2. С. 381-385.

[34] Кубышкин, В.А. Задача оптимального управления линейной стационарной системой дробного порядка: постановка и исследование / В.А. Кубышкин, С.С. Постнов // Автоматика и телемеханика. — 2014.

№ 5. - С. 3-17.

[35] Кубышкин, В.Л. Исследование двух задач оптимального управления маятником дробного порядка с помощью метода моментов / В.А. Кубышкин, С.С. Постнов // Проблемы управления. — 2014. - № 3. - С. 14-22.

[36] Кубышкин, В.А. Исследование задачи оптимального управления для одиночного и двойного интеграторов дробного порядка с помощью метода моментов при поиске допустимых управлений / В.А. Кубышкин, С.С. Постнов // Проблемы управления. — 2013. — 3. — С. 9-17.

[37] Кубышкин, В.А. Оптимальное управление линейными динамическими системами нецелого порядка / В.А. Кубышкин, С.С. Постнов // Труды XII Всероссийского совещания по проблемам управления. -М.: ИПУ РАН, 2014. - С. 2562-2574.

[38] Кубышкин, 13.А. Оптимальное управление линейными системами нецелого порядка / В.А. Кубышкин, С.С. Постпов // Труды X Международной конференции «Идентификация систем и задачи управления» SICPROT5. - М.: ИПУ РАН, 2015. - С. 473-498.

[39] Кубышкин, В.А. Оптимальное управление линейными стационарными системами дробного порядка / В.А. Кубышкин, С.С. Постнов // Тезисы докладов Международной научно-технической конференции «Нигматуллинские чтения - 2013». Казань: КГТУ им. А.Н. Туполева, 2013. - С. 97-99.

[40] Кубышкин, В.А. Оптимальное управление маятником нецелого порядка / В.А. Кубышкин, С.С. Постнов // Труды VIII Всероссийской конференции «Необратимые процессы в природе и технике». М.: МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2015. - Ч. I. - С. 96-99.

[41] Кубышкин, В.А. Оптимальное управление распределённой системой нецелого порядка / В.А. Кубышкин, С.С. Постнов // Труды VIII Всероссийской конференции «Необратимые процессы в природе и технике». - М.: МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2015. - Ч. I. - С. 100-103.

[42] Летников, A.B. Теория дифференцирования с произвольным указателем / A.B. Летников // Математический сборник - 1868. — Т. 3. С. 1-68.

[43] Люстерник, Л.А. Элементы функционального анализа: учебник / Л.А. Люстерник, В.И. Соболев. М.: Физматгиз, 1965. 520 с.

[44| Нахушев, A.M. Дробное исчисление и его применение: монография / A.M. Нахушев. - М.: Наука, 2003. - 272 с.

[45] Нигматуллин, P.P. Дробный интеграл и его физическая интерпретация / P.P. Нигматуллин // Теор. матем. физ. - 1992. - Т. 90, № 3. С. 354-368.

[46| Нигматуллин, Р.Ш. Теория электрохимического диода / Р.Ш. Нигматуллин // Доклады АН СССР. - 1963. - Т. 150, 3. - С. 600 603.

[47] Нигматуллин, Р.Ш. О возможности применения полубесконечного RC-кабеля для формирования некоторых специальных функций / Р.Ш. Нигматуллин // Труды КАИ. - 1968. - Вып. 94. - С. 55-59.

[48] Нигматуллин, Р.Ш. Электролитический дробно-дифференцирующий и интегрирующий двухполюсник / Р.Ш. Нигматуллин, В.А. Белавин // Труды КАИ. - 1964. - Вып. 82. - С. 58 67.

[49] Постнов, С.С. Исследование задачи оптимального управления для одиночного и двойного интеграторов дробного порядка с помощью метода моментов / С.С. Постнов // Проблемы управления. — 2012.

- № 5. - С. 9-17.

[501 Постнов, С.С. Использование метода проблемы моментов для исследования задачи об оптимальном управлении линейными стационарными динамическими системами нецелого порядка / С.С. Постнов // Труды VII Всероссийской конференции «Необратимые процессы в природе и технике». - М.: МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2013. - Ч. II. -С. 25-27.

[51] Работпов, Ю.Н. Ползучесть элементов конструкций: монография / Ю.Н. Работнов. - М.: Наука, 1966. - 752 с.

[52] Самко, С.Г. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения: монография / С.Г. Самко, A.A. Килбас, О.И. Мари-чсв. — Ми.: Наука и техника, 1987. - 688 с.

[53] Станиславский, A.A. Вероятностная интерпретация интеграла дробного порядка / A.A. Станиславский // Теор. матем. физ. - 2004. — Т. 138, № 3. - С. 491-507.

[54] Тарасов, В.Е. Модели теоретической физики с интегро-дифференцированием дробного порядка: монография / В.Е. Тарасов

- Ижевск: РХД, 2011.- 568 с.

[55] Учайкин, В.В. Метод дробных производных: монография / В.В. Учайкин. - Ульяновск: Артишок, 2008. - 512 с.

[56] Фельдбаум, А.А. Оптимальные процессы в системах автоматического регулирования / А.А. Фельдбаум // Автоматика и телемеханика. -1953. - Т. 14. N° 6. - С. 712-728.

[57] Фельдбаум, А.А. Методы теории автоматического управления: монография / А.А. Фельдбаум, А.Г. Бутковский - М.: Наука, 1971. - 744 с.

[58] Фракталы и дробные операторы: монография / под общ. ред. А.Х. Гильмутдинова. Казань: изд-во «Феи» Академии наук РТ, 2010. 488 с.

[59] Agarwal, R.P. A Survey on Semilinear Differential Equations and Inclusions Involving Riemann-Liouville Fractional Derivative / R.P. Agarwal, M. Belmekki, M. Benchohra // Adv. Dili. Eq. - 2009.

- Vol. 2009. - Article ID 981728 (47 pages).

[60] Agarwal, R.P. A Survey on Existence Results for Boundary Value Problems of Nonlinear Fractional Differential Equations and Inclusions / R.P. Agarwal, M. Benchohra, S. Ilamani // Acta Appl. Math. — 2010.

- Vol. 109. - P. 973-1033.

|61| Aghababa, M.P. A switching fractional calculus-based controller for normal non-linear dynamical systems / M.P. Aghababa // Nonlin. Dyn.

- 2014. Vol. 75. - P. 577-588.

[62] Agrawal, O.P. Formulation of Euler-Lagrange Equations for Fractional Variational Problems / O.P Agrawal // J. Math. Anal. Appl. - 2002. -Vol. 272. - P. 368-379.

[63] Agrawal, O.P. A General Formulation and Solution Scheme for Fractional Optimal Control Problems / O.P Agrawal // Nonlin. Dyn. - 2004. - V. 38. - P. 323-337.

164] Agrawal, O.P. Fractional Variational Calculus and the Transversality Conditions / O.P Agrawal //J. Phys. A: Math. Gen. - 2006. - V. 39. -P. 10375-10384.

[G5] Agrawal, O.P. Fractional Variational Calculus in Terms of Ricsz Fractional Derivatives / O.P Agrawal //J. Phys. A: Math. Theor. -2007. - V. 40. - P. 6287-G303.

[G6] Agrawal, O.P. A Formulation and Numerical Scheme for Fractional Optimal Control Problems / O.P Agrawal // J. Vibr. Control. - 2008.

- V. 14, No. 9-10. - P. 1291-1299.

|G7] Agrawal, O.P. Generalized Multiparameters Fractional Variational Calculus / O.P Agrawal // Int. J. Diff. Eq. 2012. V. 2012. Article ID 521750 (38 pages).

|68] Agrawal, O.P. Generalized Variational Calculus in Terms of MultiParameters Fractional Derivatives / O.P Agrawal, S.I. Muslih, D. Baleanu // Commun. Nonlin. Sci. Nuiner. Simulat. 2011. - V. 16. - P. 4756-4767.

[G9] Almeida, R. Fractional variational problems with the Riesz-Caputo derivative / R. Almeida // Appl. Math. Lett. 2012. - - Vol. 25. - P. 142-148.

[70] Almeida, R. General necessary conditions for infinite horizon fractional variational problems / R. Almeida // Appl. Math. Lett. - 2013. — Vol. 26. - P. 787-793.

171] Almeida, R. A fractional calculus of variations for multiple integrals with application to vibrating string / R. Almeida, A.B. Malinowska, D.F.M. Torres //J. Math. Phys. - 2010. - Vol. 51. - P. 033503 (12 pages).

[72| Almeida, R. Fractional variational problems depending on indefinite integrals / R. Almeida, S. Pooseli, D.F.M. Torres // Nonlin. Anal.: Theory Meth.&Appl. - 2012. - Vol. 75, No. 3. - P. 1009-1025.

[73] Almeida, R. Calculus of variations with fractional derivatives and fractional integrals / R. Almeida, D.F.M. Torres // Appl. Math. Lett.

- 2009. - Vol. 22. - P. 1816-1820.

[74] Almeida, R. Leitmann's direct method for fractional optimization problems / R. Almeida, D.F.M. Torres // Appl. Math. Comp. — 2010. — Vol. 217. - P. 95G-962.

[75] Almeida, R. Necessary and sufficient conditions for the fractional calculus of variations with Caputo derivatives / R. Almeida. D.F.M. Torres // Coramun. Nonlin. Sci. Numer. Simula!. 2011. Vol. 16. P. 1490-1500.

[76j Arshad, S. //-solutions for fractional integral equations / S. Arshad, V. Lupulcscu, D. O'Regan // Frac. Calc. Appl. Anal. - 2014. - Vol. 17, № 1. - P. 259-276.

[77] Bagley, R.L. A theoretical basis for application of fractional calculus to viscoelasticity / R.L. Bagley, P.J. Torvik // J. Rheol. - 1983. - Vol. 27. № 3. - P. 201-210.

[78] Bagley, R.L. Fractional calculus in the transient analysis of viscoelastically damped structures / R.L. Bagley, P.J. Torvik // AIAA J. - 1985. - V. 23. - P. 918-925.

[79] Bagley, R.L. On the fractional calculus model of viscoelastic behavior / R.L. Bagley, P.J. Torvik // J. Rheol. - 1986. - Vol. 30, № 1. - P. 133-155.

[80] Balachandran, K. Controllability of Fractional Integrodifferential Systems in Banach Spaces / K. Balachandran, J.Y. Park // Nonlin. Anal.: Ilybr. Syst. - 2009. - V. 3. - P. 363-367.

[81] Beltayeb, M. Fractional IMC-PID-iilter controllers design for non integer order systems / M. Bettayeb, R. Mansouri // J. Proc. Contr. 2014. -Vol. 24. - P. 261-271.

[82] Bettayeb, M. IMC-PlD-fractional-order-filter controllers design for integer order systems / M. Bettayeb, R. Mansouri // ISA Trans. - 2014.

Vol. 53. No. 5. P. 1620-1628.

[83] Bromwich, T.J. Examples of operational methods 111 mathematical physics / T.J. Bromwich // Phylos. Mag. - 1919. - Vol. 37. - P. 407-419.

[84] Buckwar, E. Invariance of a partial differential equation of fractional order under the Lie group of scaling transformations / E. Buckwar, Y. Luchko //J. Math. Anal. Appl. - 1998. Vol. 227. - P. 81-97.

[85] Burton, T.A. //-solutions of fractional differential equations / T.A. Burton, B. Zhang // Nonlin. Stud. - 2012. - Vol. 19, № 2. - P. 161-177.

|86) Cai, X. Numerical Simulation of the Fractional-Order Control System / X. Cai, F. Liu // J. Appl. Math. Comp. - 2007. - V. 23, No. 1-2. - P. 229 241.

[87] Caponctto, R. Fractional Order Systems. Modeling and Control Applications: monograph / R. Caponctto, G. Dongola, L. Fortuna, I. Petras. - Singapore: World Scientific;, 2010. - 195 pages.

[88] Caputo, M. Linear models of dissipation whose Q is almost frequency independent - II / M. Caputo // Geophys. J. Roy. Astron. Soc. — 1967. - Vol. 13. P. 529-539.

[89] Caputo, M. A new dissipation model based 011 memory mechanism / M. Caputo, F. Mainardi // Pure Appl. Geophys. - 1971. Vol. 91. - P. 134 147.

[90] Caputo, M. Free modes splitting and alterations of electrochemically polarizable media / M. Caputo // Rend. Fis. Acc. Lincei. - 1993. - Ser. 9, vol. 4. P. 89-98.

[91] Caputo, M. Duality for the left and right fractional derivatives / M. Caputo, D.F.M. Torres // Signal Processing - 2015. - Vol. 107. -P. 265-271.

[92] Cernea, A. Continuous version of Filippov's theorem for fractional

differential inclusions / A. Cernea // Nonlin. Anal. - 2010. - Vol. 72. P. 204-208.

193] Chang, Y.-K. Controllability of Evolution Differential Inclusions in Banach Spaces / Y.-K. Chang, W.-T. Li, J.J. Nieto // Nonlin. Anal.

- 2007. - V. 67. - P. 623-632.

[94] Chen, L. A Bounded Optimal Control for Maximizing the Reliability of Randomly Excited Nonlinear Oscillators with Fractional Derivative Damping / L. Chen, Q. Lou, Q. Zhuang, W. Zhu // Acta Mech. - 2012.

- Vol. 223. P. 2703-2721.

[95] Chen, L. Stochastic dynamics and fractional optimal control of quasi inlegrable Hamiltonian systems with fractional derivative damping / L. Chen, F. Hu, W. Zhu // Frac. Calc. Appl. Anal. - 2013. - Vol. 16, No. 1. P. 189-225.

[96] Chen, Y.Q. Robust Controllability of Interval Fractional Order Linear Time Invariant Systems / Y.Q. Chen, H.-S. Aim, D. Xuc // Signal Processing. - 2006. - V. 86. - P. 2794-2802.

[97] Chen, Y.Q. Fractional Order Control - A Tutorial / Y.Q. Chen, I. Petras, D. Xuc // Proc. 2009 Amer. Control Conf. - St. Louis, 2009. - P. 1397-1411.

[98] Cuadrado-Laborde, C. All-optical ultrafast fractional differentiator / C. Cuadrado-Laborde // Opt. Quant. Electron. - 2008. - Vol. 40. - P. 983-990.

[99] Cuadrado-Laborde, C. In-fiber all-optical fractional differentiator / C. Cuadrado-Laborde, M.V. Andres // Opt. Lett. - 2009. - Vol. 34, № 6. - P. 833-835.

[100] Cuadrado-Laborde, C. Proposal and design of an in-fiber all-optical fractional integrator / C. Cuadrado-Laborde, M.V. Andres // Opt. Commun. - 2010. - Vol. 283. - P. 5012-5015.

[101] Curie, J. Recherchcs sur la conductibilite dcs corps cristallises / J. Curie // Ann ales de Chimic ct de Physique. - 1889. — V. 18, No. 6. — P. 203-269.

[102] Das, S. Functional Fractional Calculus for System Identification and Controls: monograph / S. Das. - Berlin: Springer, 2008. — 250 pages.

[103] Diethelm, K. The Analysis of Fractional Differential Equations: monoraph / K. Diethelm. — Berlin: Springer, 2010. - 247 pages.

[104] Dorville, R. Optimal control of a nonhomogeneous Dirichlet boundary fractional diffusion equation / R. Dorville, G.M. Mophou, V.S. Valmorin // Comput. Math. Appl. - 2011. - Vol. 62. - P. 1472-1481.

[105] Frederico, G.S.F. Formulation of Noether's Theorem for Fractional Problems of the Calculus of Variations / G.S.F. Frederico, D.F.M. Torres //J. Math. Anal. Appl. 2007. V. 334. P. 834 846.

[106] Frederico, G.S.F. Fractional Conservation Laws in Optimal Control Theory / G.S.F. Frederico, D.F.M. Torres // Nonlin. Dyn. - 2008. -V. 53. - P. 215-222.

[107] Frederico, G.S.F. Fractional Optimal Control in the Sense of Caputo and the Fractional Noether's Theorem / G.S.F. Frederico, D.F.M. Torres // Int. Math. Forum. - 2008. - V. 3, No. 10. P. 479 - 493.

[108] Frederico, G.S.F. Fractional Noether's theorem in the Riesz-Caputo sense / G.S.F. Frederico, D.F.M. Torres // Appl. Math. Comp. - 2010. Vol. 217. - P. 1023-1033.

[109] Gazizov, R.K. Symmetries and group-invariant, solutions of nonlinear fractional differential equations / R.K. Gazizov, A.A. Kasatkin, S.Yu. Lukashchuk // Proc. Int. Workshop on New Trends in Science and Technology. - Ankara, 2008. - Paper ID 53 (6 pages).

[110] Gazizov, R.K. Symmetry properties of fractional diffusion equations /

R.K. Gazizov, A.A. Kasatkin, S.Yu. Lukashchuk // Physica Scripta. -2009. - Vol. T13G. - Paper ID 01401G (5 pages).

[lllj Gazizov, R.K. Construction of exact solutions for fractional differential equations by the invariant subspace method / R.K. Gazizov, A.A. Kasatkin // Comp. Math. Appl. - 2013. - Vol. 66, issue 5. — P. 576-584.

[112] Gomant, A. A method of analyzing experimental results obtained from elastoviscous bodies / A. Gemant // Physics. - 1936. - V. 7. - P. 311-317.

[113] Guo, T.L. The Necessary Conditions of Fractional Optimal Control in the Sense of Caputo / T.L. Guo // J. Optim. Theory Appl. 2013. - Vol. 156. P. 115-126.

[114] Gross, B. On creep and relaxation / G. Gross // J. Appl. Phys. - 1947.

Vol. 18. P. 212 221.

[115] Griinwald, A.K. Uber "begrenzte" Derivationen und deren Anwendung / A.K. Griinwald // Z. angew. Math, und Phys. - 1867. - Bd. 12. S. 441-480.

[116] Han, Y. Maximum Principle for General Controlled Systems Driven by Fractional Brownian Motions / Y. Han, Y. Hu, J. Song // Appl. Math. Optim. - 2013. - Vol. 67. - P. 279-322.

[117| Hartley, T.T. Dynamics and Control of Initialized Fractional-Order Systems / T.T. Hartley , C.F. Lorenzo // Nonlin. Dyn. 2002. V. 29, No. 1-4. - P. 201-233.

[118] Hashemi, M.S. Group analysis and exact solutions of the time fractional Fokker-Planck equation /' M.S. Hashemi // Physica A. - 2015. - Vol. 417. - P. 141-149.

[119] Heaviside, O. Electrical papers: selected transactions / O. Heaviside. -London: Macmillan, 1892. - 524 pages.

[120] Heymans, N. Physical interpretation of initial conditions for fractional differential equations with Riemann-Liouville fractional derivatives / N. Heymans, I. Podlubny // Rheol. Acta. - - 2006. - Vol. 45. - P. 765-771.

[121] Hu, F. Stochastic Fractional Optimal Control of Quasi-integrable Hamiltonian System with Fractional Derivative Damping / F. Hu, W. Zhu, L. Chen // Nonlin. Dyn. - 2012. - Vol. 70. - P. 1459-1472.

[122] Hu, J. Lie symmetry analysis of the time fractional KdV-type equation / J. Hu, Y. Ye, S. Shen, J. Zhang // Appl. Math. Comp. - 2014. - Vol. 233. - P. 439-444.

[123] Huang, Q. Symmetries and exact solutions of the time fractional Harry-Dym equation with Riemann-Liouville derivative / Q. Huang, R. Zhdanov // Physica A. - 2014. - Vol. 409. - P. 110-118.

[124] Jarad, F. Fractional Variational Optimal Control Problems with Delayed Arguments / F. Jarad, T. Abdcljawad, D. Baleanu // Nonlin. Dyn. -2010. - V. 62. - P. 609 614.

[125] Jarad, F. Higher Order Fractional Variational Optimal Control Problems with Delayed Arguments / F. Jarad, T. Abdcljawad, D. Baleanu // Appl. Math. Comput,. - 2012. - Vol. 218. - P. 9234-9240.

[126] Jelicic, Z.D. Optimality Conditions and a Solution Scheme for Fractional Optimal Control Problems / Z.D. Jelicic, N. Petrovacki // Struct. Multidisc. Optim. - 2009. - V. 38. - P. 571-581.

[127] Ji, S. Approximate controllability of semilinear nonlocal fractional differential systems via an approximating method / S. Ji // Appl. Math. Comp. - 2014. - Vol. 236. - P. 43-53.

[128] Jonscher, A.K. Universal Relaxation Law: monograph / A.K. Jonscher. — London: Chelsea Dielectric Press, 1996. - 415 pages.

[129] Jonscher, A.K. Stochastic schemes of dielectric relaxation in correlated-elnster systems / A.K. Jonscher, A. Jurlewicz, K. Weron // Contemporary Physics. - 2003. - Vol. 44. - P. 329-339.

[130] Kasprzak, H. Differentiation of a noninteger order and its optical implementation / H. Kasprzak // Appl. Opt. - 1982. Vol. 21. - P. 3287-3291.

[131] Kesarkar, A.A. A novel framework to design and compare limit cycle minimizing controllers: demonstration with integer and fractional-order controllers / A.A. Kesarkar, N. Selvaganesan, 14. Priyaclarshan // Nonlin. Dyn. 2014. - Vol. 78. - P. 2871-2882.

[132] Kilbas, A.A. Theory and applications of fractional differential equations: monograph / A.A. Kilbas, H.M. Srivastava, J.J. Trujillo. - Amsterdam: Elsevier, 2006. - 541 pages.

[133] Kiryakova, V.S. Generalized Fractional Calculus and Applications: monograph / V.S. Kiryakova. - New York: Longman Sci. Tech. & J. Wiley, 1994. - 388 pages.

[134| Krishna, B.T. Studies on Fractional Order Differentiators and Integrators: A Survey / B.T. Krishna // Signal Processing. - 2011. - V. 91. - P. 386-426.

[135] Lakshmikantham, V. Theory of Fractional Dynamic Systems: monograph / V. Lakshmikantham, S. Leela, D.J. Vasundhara. - Cambridge: Cambridge Academic Publishers, 2009. - 176 pages.

[136] Li. C. On Riemann-Liouville and Caputo Derivatives / C. Li, D. Qian. Y.Q. Chen // Discrete Dynamics in Nature and Society. - 2011. - Vol. 2011. - Article ID 562494 (15 pages).

[137] Li, Y. Mittag-Leffler stability of fractional order nonlinear dynamic-systems / Y. Li, Y.Q. Chen, I. Podlubny // Automatica. 2009. Vol. 45. - P. 1965-1969.

[138] Liouville, J. Memoire sur quelques questions de gcoinetrie et de mechaniquc, et sur un nouveau genre de caleui pour resoudre ees questions / J. Liouville // J. l'Ecole Roy. Politechn. - 1832. - Bd. 13, sect. 21. -P. 1-69.

[139] Lotfi, A. A numerical technique for solving fractional optimal control problems / A. Lotfi, M. Dehghanb, S.A. Yousefi // Coinp. Math. Appl.

- 2011. - Vol. 62, No. 3. - P. 1055-1067.

[140] Lotfi, A. Numerical solution of a class of fractional optimal control problems via the Legcndre orthonormal basis combined with the operational matrix and the Gauss quadrature rule / A. Lotfi, S.A. Yousefi, M. Dehghanb // J. Comput. Appl. Math. - 2013. - Vol. 250. - P. 143-160.

[141] Lohmami; A. W. Fractional transformation in optics / A.W. Lolnnann, D. Mendlovic, V. Zalevsky // Progress in Optics. - 1998. - Vol. XXXVIII.

- P. 263-342.

[142] Luchko, Y. Maximum principle and its application for the time-fractional diffusion equations / Y. Luchko // Frac. Gale. Appl. Anal. 2011. - Vol. 14,№ 1. - P. 110-124.

[143] Lurie, B.J. Three-Parameters Tunable Tilt-Integral-Derivative (TID) Controller / B.J. Lurie. - U.S. Patent 5371670, 1994.

[144] Lii, Q. Bang-Bang Principle of Time Optimal Controls and Null Controllability of Fractional Order Parabolic Equations / Q. Lii // Acta Math. Sinica, Engl. Ser. - 2010. V. 26, No. 12. - P. 2377-2386.

[145] Machado, J.A.T. A probabilistic interpretation of the fractional-order differentiation / J.A.T. Machado // Frac. Calc. Appl. Anal. - 2003. -Vol. 6, № 1. - P. 73-80.

[146] Magin, R. On the fractional signals and systems / R. Magin. M.D. Ortigueira, I. Podlubny, J. Trujillo // Signal Processing. - 2011. — Vol. 91. - P. 350-371.

[147| Mainardi, F. Fractional Calculus and waves in linear viscoelasticity: monograph. / F. Mainardi. - London: Imperial College Press, 2010. -347 pages.

[1481 Malinowska, A.B. Generalized natural boundary conditions for fractional variational problems in terms of the Caputo derivative / A.B. Malinowska, D.F.M. Torres // Comput. Math. Appl. - 2010. - Vol. 59. - P. 3110-3116.

[140J Manabe, S. The Non-integer Integral and its Application to Control Systems / S. Manabe // ETJ of Japan. - 1961. - Vol. 6, № 3/4. -P. 83-87.

[150] Manabe, S. The System Design by Use of a Model Consisting of a Saturation and Noninteger Integrals / S. Manabe // ETJ of Japan. -1963. - Vol. 8, № 3/4. - P. 147-150.

[151] Matar, M. Controllability of Fractional Semilinear Mixed Volterra-Fredholm Integrodifferential Equations with Nonlocal Conditions / M. Matar // Int. J. Math. Anal. - 2010. - V. 4, No. 23. P. 1105-1116.

1152] Matingnon, D. Stability Properties for Generalized Fractional Differential Systems / D. Matingnon // Proc. Colloq. Fractional Differential Systems: Models, Methods and Applications. Paris, 1998. - V. 5. - P. 145-158.

[153] Miller, K.S. An Introduction to the Fractional Calculus and Fractional Differential Equations: monograph / K.S. Miller, B. Ross. - New York: John Wiley&Sons, 1993. - 366 pages.

[154] Monje, C.A. Fractional-order Systems and Controls: Fundamentals and Applications: monograph / C.A. Monje, Y.Q. Chen, B.M. Vinagre. D. Xue, V. Feliu. - London: Springer-Verlag, 2010. - 429 pages.

[155] Mophou, G.M. Opt imal Control of Fractional Diffusion Equation / G.M. Mophou // Comput. Math. Appl. 2011. V. 61. P. 68 78.

[15G] Moslirefi-Torbati, M. Pliysical and geometrical interpretation of fractional operators / M. Moslirefi-Torbati, J.K. Hammond // J. Franklin Inst. -1998. - Vol. 335B, № G. P. 1077-1086.

[157] Mozyrska, D. Modified Optimal Energy and Initial Memory of Fractional Continuous-Time Linear Systems / D. Mozyrska, D.F.M. Torres // Signal Processing - 2011. - V. 91. - P. 379-385.

[158] Nutting, P.G. A new general law of deformation / P.G. Nutting // J. Franklin Inst. 1921. V. 191. P. 679 685.

[159] Nutting, P.G. A general stress-strain-time formula / P.G. Nutting //J. Franklin Inst. - 1943. - V. 235. - P. 513-524.

1160] Nutting, P.G. Deformation in relation to time, pressure and temperature / P.G. Nutting // J. Franklin Inst. - 1946. V. 242. - P. 449-458.

[161] Odzijewicz, T. Fractional variational calculus with classical and combined Caputo derivatives / T. Odzijewicz, A.B. Malinowska, D.F.M. Torres // Nonlin. Anal.: Theory Methods&Appl. - 2012. - Vol. 75, No. 3. - P. 1507-1515.

[162] Odzijewicz, T. Generalized fractional calculus with applications to the calculus of variations / T. Odzijewicz, A.B. Malinowska, D.F.M. Torres // Comput. Math. Appl. 2012. - Vol. 64, No. 10. P. 3351-3366.

[163] Oldham, K.B. The Fractional Calculus: monograph / K.B. Oldham, J. Spanier. San Diego: Academic Press, 1974. 234 pages.

[164| Oustaloup, A. La Commade CRONE: Commande Robuste d'Ordre Non Entier: monograph / A. Oustaloup. - Hermes: Paris, 1991. - 315 pages.

[165] Oustaloup, A. The CRONE Control of Resonance Plants: Application to a Flexibile Transmission / A. Oustaloup, P. Melchoir, P. Lanusse // Eur. J. of Control. - 1995. - V. 1, No. 2. - P. 113-121.

[16G] Oustaloup, A. The CRONE Suspension / A. Oustaloup, X. Moreau, M. Nouillant // Control Eng. Pract. - 199C. - V. 4, No. 8. - P. 1101-1108.

[167] Oustaloup, A. From Fractional Robustness to CRONE Control / A. Oustaloup, J. Sabaticr, P. Lanusse // Frac. Calc. Appl. Anal. - 1999.

- V. 2, No. 1. - P. 1-30.

[168] Özdemir, N. Fractional Optimal Control Problem of a Distributed System in Cylindrical Coordinates / N. Özdemir, D. Karadeniz, B.B. Iskcnder // Phys. Lett. A. 2009. - V. 373. - P. 221 226.

[169] Padula, F. Tuning Rules for Optimal PID and Fractional-Order PID Controllers / F. Padula, A. Visioli // J. Proc. Contr. - 2011. - V. 21.

- P. 69-81.

[1701 Petras, I. The Fractional-Order Controllers: Methods for Their Synthesis and Application / I. Petras // J. Eleetr. Eng. - 1999. - V. 50, No. 9-10.

- P. 284-288.

[171] Podlubny, I. Fractional Differential Equations: monograph / I. Podlubny.

- San Diego: Academic Press, 1999. - 341 pages.

[172] Podlubny I. Geometrical and physical interpretation of fractional integration and fractional differentiation / I. Podlubny // Frac. Calc. Appl. Anal. - 2002. - Vol. 5, № 4. P. 367-386.

[173] Post, E.L. Generalized differentiation / E.L. Post // Trans, of Amer. Math. Soc. - 1930. - V. 32, № 4. P. 723-781.

[174] Rapaic, M.R. Optimal control of a class of fractional heat diffusion systems / M.R. Rapaic, Z.D. Jelicic // Nonlin. Dyn. 2010. Vol. 62.

P. 39 51.

[175] Raynaud, II.F., State-Space Representation for Fractional Order Controllers / H.F. Raynaud, A. Zergainoh // Automatica. - 2000. - V. 36. - P. 1017-1021.

[176] Razminia, A. Conditional Optimization Problems: Fractional Order Case / A. Razminia, D. Baleanu. V.J. Ma.jd // J. Optirn. Theory Appl. - 2013.

- Vol. 156. - P. 45-55.

[177] Rogers, L. Operators and fractional derivatives for viscoelastic constitutive equations / L. Rogers j j J. Rheol. - 1983. - V. 27. - R 351-372.

[178] Rutrnan, R.S. On physical interpretations of fractional integration and differentiation / R.S. Rutman j j Teop. MaTeM. (\ms. 1995. — T. 105, N° 3. - C. 393-404.

[179] Sakthivel, 11. On the Approximate Controllability of Semilinear Fractional Differential Systems / R. Sakthivel, Y. Ren, N.I. Mahmudov // Comp. Math. Appl. - 2011. - V. 62. - P. 1451 1459.

[180] von Schweidler, E.R. Studien uber anomalien im verhalten dcr dielektrika / E.R. von Schweidler // Ann. der Physik. - 1907. - V. 329, No. 14. -P. 711-770.

[1811 Tarasov, V.E. Fractional vector calculus and fractional Maxwell's equations / V.E. Tarasov // Annals of Physics. 2008. - Vol. 323. - P. 2756-2778.

[182] Tarasov, V.E. Fractional Dynamics: monograph / V.E. Tarasov. — Berlin: Springer, 2010. — 450 pages.

[183] Tavazoei, M.S. Notes on Integral Performance Indices in Fractional-Order Control Systems / M.S. Tavazoei // J. Proc. Contr. - 2010. - V. 20. -P. 285 291.

[184| Tavazoei, M.S. Time response analysis of fractional-order control systems: a survey on recent results / M.S. Tavazoei // Frac. Calc. Appl. Anal. 2014. - Vol. 17, No. 2. - P. 440-461.

[185] Tomovski, Z. Exact solutions for fractional diffusion equation in a bounded domain with different boundary conditions / Z. Tomovski, T. Sandev // Nonlin. Dyn. - 2013. Vol. 71. - P. 671-683.

[186] Tricaud. C. Time-Optimal Control of Systems with Fractional Dynamics

/ C. Tri can d, Y.Q. Chen // Int. J. Diff. Eq. - 2Ü1Ü. - V. 2010. - Article ID 461048 (16 pages).

[187] Tricaud, C. An Approximate Method for Numerically Solving Fractional Order Optimal Control Problems of General Form / C. Tricaud, Y.Q. Chen // Comput. Math. Appl. - 2010. - V. 59. - P. 1644-1655.

[188] Wang, J.R. Nonlocal Problems for Fractional Integrodifferential Equations via Fractional Operators and Optimal Controls / J.R. Wang. Y. Zhou, W. Wei, H. Xu // Comp. Math. Appl. - 2011. - V. 62. - P. 1427 1441.

[189] Wang, J.R. Analysis of Nonlinear Fractional Conlrol Systems in Banach Spaces / J.R. Wang, Y. Zhou // Nonlin. Anal. - 2011. V. 74. P. 5929-5942.

[ 190] Wang, J.R. Optimal feedback control for semilinear fractional evolution equations in Banach spaces / J.R. Wang. Y. Zhou, W. Wei // Systeins&Control Lett. - 2012. - Vol. 61. P. 472-476.

[191] Wang, J.R. On the Solvability and Optimal Controls of Fractional Integrodifferential Evolution Systems with Infinite Delay / J.R. Wang, Y. Zhou, M. Medved"' // J. Optim. Theory Appl. - 2012. - Vol. 152. -P. 31 50.

[192] Wang, G.-w. Lie symmetry analysis to the time fractional generalized fifth-order KdV equation / G.-w. Wang, X.-q. Liu, Y.-y. Zhang // Commun. Nonlin. Sei. Numer. Sirnulat. - 2013. - Vol. 18. - P. 23212326.

j 193] Westcrlund, S. Dead matter has memory! / S. Westerland // Physica Scripta. 1991. - Vol. 43. - P. 174-179.

[194] Wu. G. A Fractional Lie Group Method For Anomalous Diffusion Equations / G. Wu. /7 Commun. Frac. Calc. 2010. Vol. 1. P. 27 - 31.

[1951 Zaslavsky, G.M. Ilamiltonian Chaos and Fractional Dynamics monograph / G.M. Zaslavsky. - Oxford: Oxford University Press, 2008 — 432 pages.