Полулинейные вырожденные эволюционные уравнения с дробными производными. Задачи оптимального управления тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат наук Байбулатова Гузель Дамировна

• Байбулатова Гузель Дамировна
• кандидат наук
• 2021

Оглавление диссертации кандидат наук Байбулатова Гузель Дамировна

Цели и задачи

Научная новизна

Теоретическая и практическая значимость работы

Методология и методы исследования

Положения, выносимые на защиту

Степень достоверности и апробация результатов

О содержании работы

1 Разрешимость в смысле классических решений

1.1 Пространства функций со значениями

в банаховых пространствах

1.2 Дробные интегралы и производные

1.3 Задача Коши для нелинейного уравнения,

разрешенного относительной старшей дробной производной

1.4 Модифицированное уравнение

Осколкова — Бенджамина — Бона — Махони — Бюргерса

1.5 Дополнительная гладкость решения

1.6 Линейное вырожденное уравнение

1.7 Полулинейное вырожденное уравнение с условием

на образ нелинейного оператора

1.8 Пример уравнения с образом нелинейного оператора в У1

1.9 Нелинейный оператор не зависит от элементов подпространства вырождения

1.10 Одна система уравнений из теории вязкоупругости

1.11 Уравнение с нелинейным оператором, зависящим

только от элементов подпространства вырождения

1.12 Начально-краевая задача

для нелинейного интегро-дифференциального уравнения

1.13 Начально-краевая задача с нелинейным оператором, зависящим от элементов подпространства вырождения

2 Сильные решения

2.1 Линейное невырожденное уравнение

2.2 Задача Коши для нелинейного невырожденного уравнения

2.3 Начально-краевая задача для линейного уравнения

с несколькими дробными производными по времени

2.4 Дополнительная гладкость сильных решений

2.5 Вырожденное уравнение с ограничением

на образ нелинейного оператора

2.6 Вырожденное линейное уравнение с ограничением на образ

2.7 Пример вырожденного уравнения с ограничением на образ

2.8 Вырожденное уравнение с нелинейным оператором,

не зависящим от элементов подпространства вырождения

2.9 Система Соболева дробного порядка по времени

2.10 Начально-краевые задачи для уравнений с многочленами

от самосопряженного эллиптического оператора

2.11 Начально-краевые задачи для уравнений с многочленами

от операторов дифференцирования первого порядка

3 Задачи оптимального управления

3.1 Специальные функциональные пространства

3.2 Распределенное управление невырожденных уравнений

3.3 Распределенное управление

для линейных невырожденных уравнений

3.4 Распределенное управление вырожденных уравнений

3.5 Ослабление требований на нелинейный оператор

3.6 Задача управления для одной системы уравнений

дробной динамики вязкоупругой жидкости

3.7 Стартовое управление. Невырожденный случай

3.8 Стартовое управление. Вырожденный случай

3.9 Стартовое управление

для вырожденного линейного уравнения

3.10 Пример задачи стартового управления

Заключение

Обозначения и соглашения

Список литературы

Введение

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Полулинейные вырожденные эволюционные уравнения с дробными производными. Задачи оптимального управления»

Актуальность темы исследования

Современные математические теории посвящены поискам новых инструментов исследования различных реальных процессов. С одной стороны это вызвано достаточной полнотой и завершенностью исследования известных математических моделей, с другой — новыми задачами, новыми возможностями информационных технологий. Теория дробного исчисления, активно развивающаяся в последние десятилетия, позволила открыть новые свойства систем, описывающих сложные физические процессы: процессы с памятью, процессы во фрактальных средах и многое другое. Применению дробного исчисления для различных приложений посвящено множество работ (см. [25, 26, 62, 63, 85, 94, 115] и многие др.). Теоретические аспекты дробного интегро-дифференциального исчисления исследовались в монографиях [9,33,36,87,97,104] и продолжают изучаться многими авторами.

Степень разработанности темы исследования

Тема диссертационной работы содержит в себе две составляющие — вырожденные эволюционные уравнения и уравнения с дробными производными. Поэтому и описание степени разработанности темы исследования будет состоять из двух соответствующих частей.

Уравнениями соболевского типа называют уравнения, не разрешенные относительно старшей производной по времени. Основной объект исследования данной диссертационной работы — уравнения соболевского типа с вырожденным оператором при старшей производной, т. е. уравнения, в принципе не разрешимые относительно старшей производной по времени. Такие уравнения часто называют вырожденными эволюционными уравнениями. Исследования уравнений такого класса проводили А. Пуанкаре [105], C. W. Oseen [98], J. Leray [92], E. Hopf [84], О. А. Ладыженская [23] в связи с изучением системы уравнений Навье — Стокса, описывающей динамику вязкой несжимаемой

жидкости. Уравнениями соболевского типа данный класс уравнений стали называть после цикла работ С. Л. Соболева [40-43], посвященных динамике идеальной равномерно вращающейся жидкости. Полученные результаты вызвали активный рост количества исследований уравнений, называемых теперь уравнениями соболевского типа. Среди современных работ в этом направлении отметим работы Я. Е. БЬошаНе [112], Н. А. Сидорова, Б. В. Логинова, М. В. Фалалеева [38,39,45,111], Г. В. Демиденко, С. В. Успенского, И. И. Матвеевой [7,8,67,68,72], Ю. Е. Бояринцева, В. Ф. Чистякова, М. В. Булатова, А. А. Щегловой [1-3,57], А. И. Кожанова [14-18], И. Е. Егорова, С. В. Попова, С. Г. Пяткова и его учеников [10,35,108], А. Г. Свешникова, М. О. Корпусова, А. Б. Альшина, Ю. Д. Плетнера [19,20,22,88] и их учеников (см. [58,59] и др.), И. А. Шишмарева, Е. И. Кайкиной, П. И. Наумкина [12,13].

Существует несколько подходов к изучению вырожденных эволюционных уравнений и систем уравнений в частных производных целого порядка по выделенной переменной. Один из них, наиболее близкий к используемым в данной диссертационной работе методам, основан на редукции к уравнению первого порядка в банаховом пространстве с необратимым оператором при старшей производной, исследуемому затем методами теории полугрупп операторов. Он используется в работах различных авторов: А. Рау1ш, А. Уа§1 [75-77], Г. А. Свиридюка [37], И. В. Мельниковой [91], В. Е. Федорова и его учеников [46-50,79-82], М. В. Фалалеева [44,45,74].

Уравнения дробного порядка первым изучал, по-видимому, Абель, работая над задачей о таутохроне. Исследования дробных производных и соответствующих дифференциальных уравнений связаны с также именами Я. Бер-нулли, Лейбница, Лопиталя, Лагранжа, Эйлера, Лапласа, Фурье, Лиувилля, Римана, Грюнвальда, Летникова, Хэвисайда, Зигмунда, Куранта. В середине XX века дробное исчисление активно применяется в задачах механики сплошных сред. Исследования эредитарных механических систем [5, 9496, 109, 110] придали новый толчок развитию теории дробного исчисления. Большой вклад в изучение теории дробных дифференциальных уравнений

внесли такие современные авторы как М. М. Джрбашян [9], K. B. Oldham, J. Spanier [97], А. М. Нахушев [25,26], С. Г. Самко, А. А. Килбас, О. И. Мари-чев [36], H. M. Srivastava, J. J. Trujillo [87], А. В. Псху [33], K. Diethelm [73]. Тем не менее, законченной теории для дифференциальных уравнений с дробными производными к настоящему времени не существует. В настоящее время продолжаются как теоретические исследования дифференциальных уравнений дробного порядка, обыкновенных и в частных производных, так и исследование дробно-дифференциальных математических моделей различных процессов. Отметим, что существует немало определений различных дробных производных и современные исследования посвящены не только различным типам уравнений, но и различным типам дробного дифференцирования.

Как наиболее близкие к тематике диссертационной работы отметим результаты об интегральных и дифференциальных уравнениях в банаховых пространствах, полученные в работах J. Prüss, E.G. Bajlekova, M. Kostic, A. Debbouche, В. Е. Федорова, М. В. Плехановой. Чуть подробней остановимся на некоторых результатах перечисленных авторов.

В монографии J. Prüss [106] изучены вопросы существования и единственности решений линейных эволюционных интегральных уравнений в банаховых пространствах, в терминах резольвенты линейного замкнутого оператора получены критерии существования их разрешающих семейств операторов. Отметим, что к таким уравнениям могут быть сведены многие дифференциальные уравнения дробного порядка.

E.G. Bajlekova [64,65] рассматривает линейные уравнения в банаховых пространствах с производной Герасимова — Капуто. Исследованы вопросы однозначной разрешимости задачи Коши для них в терминах разрешающих семейств операторов, сильно непрерывных, аналитических. Доказан принцип субординации для дробных дифференциальных уравнений, изучены связанные с ним вопросы.

M. KostiC [89,90] исследует различные классы разрешающих семейств операторов дифференциальных уравнений дробного порядка в банаховых и

локально выпуклых пространствах, как разрешенные относительно старшей производной, так и вырожденные.

В работах В.Е. Федорова, М.В. Плехановой и их соавторов (см. [28, 29,51-53,81,82,100, 102,103] и др.) исследуются вопросы однозначной разрешимости начальных задач для линейных и полулиненых эволюционных уравнений в банаховых пространствах, линейная часть которых порождает разрешающее семейство операторов того или иного класса. Рассматриваются как уравнения дробного или распределенного порядка, разрешенные относительно производной Герасимова — Капуто, Римана — Лиувилля или соответствующей распределенной производной, так и вырожденные уравнения.

М.В. Плехановой исследуются также вопросы разрешимости различных задач оптимального управления для распределенных систем, состояние которых описывается начальными задачами для линейных и полулинейных дробных дифференциальных уравнений [30,32,99,101]. Отметим работы других авторов [61,70,71,116], также посвященные задачам управления для дифференциальных уравнений дробного порядка.

Цели и задачи

Цель диссертационной работы — исследование вопросов однозначной разрешимости в классическом и сильном смысле начальных задач для линейных и полулинейных уравнений в банаховых пространствах с несколькими дробными производными Герасимова — Капуто и с необратимым оператором при старшей из них, а также разрешимости задач оптимального управления для систем, состояние которых описывается такими задачами. Полученные результаты используются при исследовании начально-краевых задач для уравнений и систем уравнений в частных производных с несколькими дробными производными по времени, а также задач оптимального управления для соответствующих распределенных систем управления.

Научная новизна

Главным объектом исследования в современном дробно-дифференциальном исчислении являются уравнения различных типов, разрешенные относительно старшей дробной производной. Совсем немного работ посвящены дробным дифференциальным уравнениям, не разрешенным относительно старшей производной. Среди них значительную часть составляют работы с условием непрерывной или даже компактной обратимости оператора при старшей производной [71,78,86]. В отличие от них, в данной диссертации исследуются вырожденные эволюционные уравнения, т. е. уравнения с необратимым линейным оператором при старшей дробной производной.

Второй отличительной чертой данной работы является исследование уравнений, содержащих несколько дробных производных произвольных порядков, в отличие от близких по тематике работ [32,99,100,102], в которых рассматриваются только уравнения с младшими производными целого порядка. И если линейные уравнения с несколькими дробными производными произвольных порядков (multi-term fractional differential equations) исследовались рядом авторов ранее [25,34,79,83,93,107], то исследования нелинейных уравнений — по-видимому, первые в своем роде. При этом полученные в данной работе результаты для линейных уравнений в вырожденном и невырожденном случае, в отличие от результатов упомянутых работ, касаются нестационарных уравнений, когда операторы в них зависят от времени, и поэтому тоже являются новыми.

Что касается оптимального управления для уравнений с дробными производными, то ранее некоторые задачи управления исследовались только для дробных уравнений соболевского типа с непрерывно обратимым оператором при старшей производной (см. работы [71,78] и билиографию в них), поэтому соответствующие результаты данной диссертации также не имеют аналогов в математической литературе.

Тем самым, полученные в данной диссертационной работе результаты об однозначной разрешимости начальных задач для линейных и полулиней-

ных уравнений с несколькими дробными производными произвольных порядков и о разрешимости различных задач управления для соответствующих систем вносят вклад в теорию дифференциальных уравнений с дробными производными и в теорию оптимального управления.

Теоретическая и практическая значимость работы

Качественное исследование вырожденных эволюционных уравнений позволяет изучить вопросы однозначной разрешимости для широкого класса начально-краевых задач для уравнений дробного порядка. Результаты работы дополняют теорию вырожденных эволюционных уравнений, а также обобщают результаты теории вырожденных полугрупп операторов на случай уравнений дробного порядка, и, тем самым, вносят вклад в соответствующий раздел функционального анализа.

Прикладные задачи с уравнениями дробного порядка, которые позволяет исследовать развитая в работе теория, играют значимую роль в физике, биологии, медицине и др. областях науки. Результаты диссертационной работы, в частности, могут быть применены при выборе корректной постановки начально-краевых задач для дробно-дифференциальных математических моделей, при численном исследовании таких моделей.

Методология и методы исследования

Алгоритм исследования в диссертационной работе разбит на несколько этапов. Прежде всего рассматривается задача Коши для разрешенного относительно старшей дробной производной уравнения в банаховом пространстве с нелинейностью, зависящей от нескольких дробных производных произвольных порядков. Полученные результаты используются при исследовании начальных задач для вырожденных эволюционных уравнений с несколькими типами условий на нелинейный оператор. При этом в первой главе доказывается существование и единственность классических решений таких задач, во второй главе аналогичные утверждения доказываются для сильных ре-

шений. В третьей главе существование единственного сильного решения таких начальных задач используется при доказательстве разрешимости задач управления соответствующими системами. Рассматриваются различные типы управляющего воздействия — распределенное, стартовое управление, а также различные типы целевых функционалов — компромиссный и жесткий (без учета затрат на управление).

Разрешимость задачи Коши для нелинейного невырожденного уравнения доказана с помощью теоремы о сжимающем отображении, при этом доказывается результат о возможности перехода от дифференциального уравнения к интегро-дифференциальному. Исследование уравнений, не разрешимых относительно старшей дробной производной по времени, опирается на теорию вырожденных эволюционных уравнений. При выполнении условия (Ь, р)-ограниченности оператора М осуществляется переход от исходного уравнения

дЬх(г) = Мх(г) + N(¿,да1 х(г),...,дапх(г)),

где Ь, М : X ^ У — линейные операторы, N — нелинейный оператор, X, У — банаховы пространства, Д — производные Герасимова — Капуто, к уравнениям на двух подпространствах. На одном из подпространств (подпространстве без вырождения) получаем уравнение, разрешенное относительно старшей дробной производной, на подпространстве вырождения же — уравнение с нильпотентным степени р оператором при старшей дробной производной, либо при р = 0 — алгебраическое уравнение.

В работе рассматривается три типа условий на нелинейный оператор: образ нелинейного оператора лежит в подпространстве без вырождения, нелинейный оператор зависит только от элементов подпространства без вырождения или подпространства вырождения. В первых двух случаях удается поочередно установить разрешимость начальных задач для упомянутых уравнений на подпространствах, при этом используются доказанные здесь же теоремы о дополнительной гладкости решения. В случае зависимости нелинейного оператора от элементов подпространства вырождения доказательство использу-

ет теорему о неявной функции.

Исследование задач оптимального управления опирается на результаты А.В. Фурсикова об абстрактных задачах управления для систем с линейным и нелинейным уравнением состояния [54]. Решение задачи оптимального управления понимается как пара состояние-управление, минимизирующая функционал качества. Множество допустимых пар — это пары, состоящие из функции управления из множества допустимых управлений (непустого, выпуклого и замкнутого, а также ограниченного в случае задач без учета затрат на управление) и решения начальной задачи, ему соответствующего. Общую схему исследования задач оптимального управления коротко можно описать как доказательство непустоты множества допустимых пар, проверки свойств оператора состояния системы, свойств функционала в выбранных функциональных пространствах и условия компактности в нелинейном случае. Условия, обеспечивающие непустоту множества допустимых пар, определяются условиями существования сильного решения при хотя бы одном допустимом управлении.

Методология исследования начально-краевых задач и задач управления для соответствующих систем заключается в их редукции к соответствующей абстрактной задаче путем выбора подходящих функциональных пространств. Такой подход позволяет применять один абстрактный результат для целого ряд однотипных задач.

Положения, выносимые на защиту

1. Найдены условия однозначной разрешимости в смысле классических и сильных решений задачи Коши для нелинейных уравнений в банаховых пространствах с несколькими дробными производными Герасимова — Капуто, разрешенных относительно производной старшего порядка.

2. Доказаны теоремы о существовании и единственности классического и сильного решения обобщённой задачи Шоуолтера — Сидорова для полу-

линейных уравнений в банаховых пространствах с вырожденным оператором при старшей производной дробного порядка. Исследован частный случай линейных нестационарных вырожденных уравнений с несколькими дробными производными.

3. Доказана разрешимость задач оптимального управления системами, состояние которых описывается уравнениями в банаховых пространствах указанных классов, с различными функционалами стоимости. Рассмотрены задачи с распределённым, стартовым управлением, задачи без учета затрат на управление.

4. Абстрактные результаты применены для исследования однозначной разрешимости начально-краевых задач для встречающихся при математическом моделировании в естественных и технических науках линейных и нелинейных уравнений и систем уравнений в частных производных, как разрешенных относительно старшей дробной производной по времени, так и не разрешимых относительно нее. Доказана разрешимость некоторых задач оптимального управления распределёнными системами, описываемыми такими начально-краевыми задачами.

Степень достоверности и апробация результатов

Достоверность полученных результатов обоснована строгостью применяемых математических методов исследования, корректностью использования математического аппарата.

Результаты диссертации докладывались и обсуждались на семинарах кафедры математического анализа Челябинского государственного университета (руководитель проф. В. Е. Федоров), на конференциях:

Международная научная конференция «Комплексный анализ, математическая физика и нелинейные уравнения», Уфа, 2018, 2021;

Международная научная конференция «Актуальные проблемы прикладной математики», Нальчик, Эльбрус, 2018;

International Conference in Nonlinear Analysis and Boundary Value Problems, Santiago de Compostela, Spain, 2018;

Международная школа-конференция «Соболевские чтения», посвященная 110-летию со дня рождения С. Л. Соболева, Новосибирск, 2018;

International Conference on Mathematical Modelling in Applied Sciences ICMMAS'19, Белгород, 2019;

International Conference «Mathematical Optimization Theory and Operations Research», Ekaterinburg, 2019.

Исследования по теме диссертации поддержаны грантом РФФИ конкурса на лучшие проекты фундаментальных научных исследований, выполняемые молодыми учеными, обучающимися в аспирантуре («Аспиранты»), код проекта 20-31-90015, тема «Вырожденные эволюционные уравнения с дробными производными и задачи управления» под руководством М. В. Плехановой, 2020-2022 гг.

Основные результаты диссертации опубликованы в 15 работах [117131], из которых 8 статей [117-124] опубликованы в журналах, входящих в перечень рецензируемых научных изданий ВАК, базы данных Web of Science и Scopus. Во всех работах, выполненных в соавторстве с научным руководителем, последнему принадлежит постановка задачи и общее руководство. Из работ, выполненных в соавторстве с Б.Т. Киен [117], П.Н. Давыдовым [124] и В.Е.Федоровым [128] в диссертацию вошли только результаты, принадлежащие лично автору диссертации.

О содержании работы

Диссертационная работа объемом в 137 страниц содержит введение, 3 главы, заключение, список обозначений и соглашений, список литературы, состоящий из 131 источника.

В первой главе исследуются вопросы локального существования и единственности классического решения начальных задач для полулинейных уравнений с несколькими производными Герасимова — Капуто в банаховых про-

странствах: задачи Коши для уравнения, разрешенного относительно старшей производной, и обобщенной задачи Шоуолтера — Сидорова для уравнений с вырожденным оператором Ь при старшей производной при условии (Ь, р)-ограниченности линейного замкнутого оператора при искомой функции в уравнении. Абстрактные результаты используются при исследовании однозначной разрешимости начально-краевых задач для уравнений и систем уравнений с несколькими дробными производными по времени, разрешенными относительно старшей из них или не разрешимые относительно этой производной.

Во второй главе все те же вопросы рассматриваются в контексте понятия сильного решения на заданном временном отрезке. При этом отметим также результаты о линейных нестационарных уравнениях, разрешенных относительно старшей производной и вырожденных, которые рассмотрены, как и в первой главе, как частные случаи соответствующих полулинейных уравнений. Вторая глава также содержит приложения результатов об абстрактных уравнениях в банаховых пространствах к начально-краевым задачам для уравнений и систем уравнений в частных производных с несколькими дробными производными Герасимова — Капуто по времени.

В третьей главе исследуется разрешимость задач оптимального управления для систем, состояние которых описывается начальными задачами, изученными в предыдущих главах. Рассмотрены задачи с распределенным и стартовым управлением, с компромиссными функционалами и задачи жесткого управления. При этом используются результаты второй главы о существовании сильного решения начальной задачи. Кроме того, предложен подход, при котором в случае, если существование решения начальной задачи хотя бы при одном допустимом управлении очевидно, ослаблены требования на нелинейный оператор в уравнении, задающем состояние системы — вместо равномерной липшицевости используется его локальная липшицевость. Все общие результаты проиллюстрированы на содержательных примерах задач оптимального управления для распределенных систем управления, описыва-

емых уравнениями и системами уравнений в частных производных с несколькими дробными производными по времени.

Каждая из трех глав начинается с развернутого описания полученных в ней результатов.

В заключении говорится о перспективах использования результатов диссертационной работы и развития ее тематики.

Используемые по умолчанию в тексте диссертации обозначения и соглашения перечислены в списке обозначений и соглашений.

Список литературы содержит цитированные в работе литературные источники. В конце списка приведены все публикации автора по теме диссертационной работы.

1 Разрешимость в смысле классических решений

Цель первой главы диссертации — вывод условий разрешимости в классическом смысле начальных задач для уравнения

DtaLx(t) = Mx(t) + N (t,Dtai x(t),Df x(t),..., Dta" x(t)), (1.0.1)

где 0 < a\ < a2 < ••• < an < a, m — 1 < a < m G N, mn — 1 < an < mn G N, Df, D^1,... Dta" — дробные производные Герасимова — Капуто, X, Y — банаховы пространства, L G L(X; Y), ker L = {0}, M G Cl(X; Y), N : R x Xn ^ Y.

Параграфы 1.1, 1.2 содержат основные определения используемых пространств, раскрывают понятие дробной производной и ее свойства. В частности определяется интеграл Бохнера, формулируются основные его свойства, определение и основные свойства пространств Лебега — Бохнера, Соболева и некоторых других пространств функций со значениями в банаховом пространстве. Параграф 1.2 посвящен определению и описанию свойств дробного интеграла Римана — Лиувилля и дробных производных Римана — Лиувилля и Герасимова — Капуто. Здесь же сформулирована теорема о разрешимости задачи Коши для линейного уравнения с дробной производной Герасимова — Капуто.

Невырожденное уравнение (1.0.1), т.е. при X = Y, L = I, рассматривается в §1.3. Сначала получены вспомогательные, в некотором смысле ключевые утверждения о существовании и дифференцируемости производной Герасимова — Капуто функций определенного класса гладкости, а также лемма о переходе от задачи Коши для исходного дробного дифференциального уравнения к интегро-дифференциальному. Основной результат здесь — теорема о существовании локального классического решения, доказанная с помощью применения теоремы о сжимающем отображении в пространстве непрерывно дифференцируемых функций к упомянутому интегро-дифференциальному уравнению. Пример использования абстрактных результатов приведен в четвертом параграфе главы. Однозначная разрешимость начально-краевой зада-

чи для одной модификации псевдопараболического уравнения Осколкова — Бенджамина — Бона — Махони — Бюргерса с дробными производными по времени исследована с помощью редукции начально-краевой задачи к соответствующей начальной задаче.

При дальнейшем рассмотрении вырожденных эволюционных уравнений в некоторых случаях требуется дополнительная гладкость классического решения задачи Коши для уравнения, разрешенного относительно старшей дробной производной. Условия наличия дополнительной гладкости решения невырожденного уравнения установлены в пятом параграфе.

Далее рассматривается уравнение (1.0.1) в случае кегЬ = {0}, называемое вырожденным. При исследовании вырожденных уравнений используется условие (Ь,р)-ограниченности оператора М при р € N0, которое является в определённом смысле обобщением на случай пар операторов понятия ограниченного оператора. §1.6 содержит определение и свойства (Ь,р)-ограниченного оператора, теорему о существовании пар инвариантных подпространств, а также результат об однозначной разрешимости вырожденного линейного уравнения с нильпотентным оператором при старшей дробной производной.

Один из основных подходов к исследованию разрешимости уравнений дробного порядка основан на переходе к интегральному уравнению Вольтер-ра второго рода. Из-за наличия необратимого оператора при старшей дробной производной в рассматриваемом здесь уравнении подобный метод не применим. Идея исследования вырожденных уравнений здесь позаимствована из теории вырожденных эволюционных уравнений и заключается в возможной при условии (Ь,р)-ограниченности оператора М в силу теоремы о существовании пар инвариантных подпространств редукции исходного уравнения к двум уравнениям на взаимно дополнительных подпространствах. На подпространстве вырождения X0 однородной части исходного уравнения получается уравнение с нильпотентным оператором при старшей дробной производной, либо при р = 0 — алгебраическое уравнение. На дополнении X1 к подпро-

странству вырождения при этом получается уравнение, разрешенное относительно старшей дробной производной. Далее используются различные типы условий на нелинейный оператор, фактически определяющие вид получаемых при редукции уравнений на подпространствах.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Байбулатова Гузель Дамировна, 2021 год

Список литературы

[1] Бояринцев, Ю. Е. Линейные и нелинейные алгебро-дифференциальные системы / Ю. Е. Бояринцев. — Новосибирск: Наука, 2000. — 223 с.

[2] Бояринцев, Ю. Е. Алгебро-дифференциальные системы: Методы решения и исследования / Ю. Е. Бояринцев, В. Ф. Чистяков. — Новосибирск: Наука, 1998. — 224 с.

[3] Булатов, М. В. О преобразовании алгебро-дифференциальных систем уравнений / М. В. Булатов // Журн. вычислит. математики и мат. физики. — 1994. — Т. 34, № 3. — С. 360-372.

[4] Бейтмен, Г. Высшие трансцендентные функции. Том 3. Эллиптические и автоморфные функции. Функции Ламе и Матье / Г. Бейтмен, А. Эр-дейи. — М.: Наука, 1967. — 300 с.

[5] Герасимов, А. Н. Обобщение линейных законов деформации и их приложение к задачам внутреннего трения / А. Н. Герасимов // Прикл. математика и механика. — 1948. — Т. 12. — С. 529-539.

[6] Гордиевских, Д. М. Решения начально-краевых задач для некоторых вырожденных систем уравнениий дробного порядка по времени / Д. М. Гордиевских, В. Е. Федоров // Изв. Иркут. гос. ун-та. Сер. «Математика». — 2015. — Т. 12. — С.12-22.

[7] Демиденко, Г. В. Краевые задачи в четверти пространства для систем не типа Коши — Ковалевской / Г. В. Демиденко, И. И. Матвеева // Тр. Ин-та математики СО РАН. — 1994. — Т. 26. — С.42-76.

[8] Демиденко, Г. В. Уравнения и системы, не разрешённые относительно старшей производной / Г. В. Демиденко, С. В. Успенский. — Новосибирск: Науч. кн., 1998. — 438 с.

[9] Джрбашян, М. М. Интегральные преобразования и представления функций в комплексной области / М. М. Джрбашян. — М.: Наука. — 1968. — 672 с.

[10] Егоров, И. Е. Неклассические дифференциально-операторные уравнения / И. Е. Егоров, С. Г. Пятков, С. В. Попов. — Новосибирск: Наука, 2000. — 336 с.

[11] Иосида, К. Функциональный анализ / К. Иосида. — М.: Мир, 1967. — 624 с.

[12] Кайкина, Е. И. Задача Коши для уравнения типа Соболева со степенной нелинейностью / Е. И. Кайкина, П. И. Наумкин, И. А. Шишмарёв // Изв. РАН. Сер. мат. — 2005. — Т. 69, № 1. — С. 61-114.

[13] Кайкина, Е. И. Периодическая задача для нелинейного уравнения Соболева / Е. И. Кайкина, П. И. Наумкин, И. А. Шишмарёв // Функц. анализ и его приложения. — 2010. — Т. 44, № 3. — С. 14-26.

[14] Кожанов, А. И. О краевых задачах для некоторых классов уравнений высокого порядка, не разрешенных относительно старшей производной / А. И. Кожанов // Сиб. мат. журн. — 1994. — Т. 35, № 2. — С. 359-376.

[15] Кожанов, А. И. Задача с косой производной для некоторых псевдопараболических и близких к ним уравнений / А. И. Кожанов // Сиб. мат. журн. — 1996. — Т. 37, № 6. — С. 1335-1346.

[16] Кожанов, А. И. Начально-краевая задача для уравнения типа обобщённого уравнения Буссинеска с нелинейным источником / А. И. Кожанов // Мат. заметки. — 1999. — Т. 65, № 1. — С. 70-75.

[17] Кожанов, А. И. Смешанная задача для одного класса сильно-нелинейных уравнений соболевского типа высокого порядка / А. И. Кожанов // Докл. Акад. наук. — 2013. — Т. 451, № 5. — С. 492-494.

[18] Кожанов, А. И. Разрешимость нелокальной задачи с интегральными условиями для дифференциальных уравнений соболевского типа третьего порядка / А. И. Кожанов, А. В. Дюжева // Мат. заметки СВФУ. — 2020. — Том. 27, вып. 4. — С. 30-42.

[19] Корпусов, М. О. Разрушение в неклассических волновых уравнениях / М. О. Корпусов. — М.: Книжный дом «Либроком», 2010. — 240 с.

[20] Корпусов, М. О. Разрушение в неклассических нелокальных уравнениях / М. О. Корпусов. — М.: Книжный дом «Либроком», 2011. — 376 с.

[21] Корпусов, М. О. Нелинейный функциональный анализ и математическое моделирование в физике: Геометрические и топологические свойства линейных пространств / М. О. Корпусов, А. Г. Свешников. — М.: Красанд, 2011. — 416 с.

[22] Линейные и нелинейные уравнения соболевского типа / А. Г. Свешников, А. Б. Альшин, М. О. Корпусов, Ю. Д. Плетнер. — М.: Физматлит, 2007. — 736 с.

[23] Ладыженская, О. А. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости / О. А. Ладыженская. — М.: Гос. изд-во физ.-мат. лит., 1961. — 204 с.

[24] Лионс, Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач / Ж.-Л. Лионс. — М.: Мир, 1972. — 588 с.

[25] Нахушев, А. М. Дробное исчисление и его применение / А. М. Наху-шев. — М.: Физматлит, 2003. — 272 с.

[26] Нахушев, А. М. Уравнения математической биологии / А. М. Нахушев. — М.: Высш. шк., 1995. — 301 с.

[27] Осколков, А. П. Начально-краевые задачи для уравнений движения жидкостей Кельвина — Фойгта и жидкостей Олдройта / А. П. Осколков // Тр. Мат. ин-та АН СССР. — 1988. — Т. 179. — С. 126-164.

[28] Плеханова, М. В. Квазилинейные уравнения, не разрешимые относительно старшей производной по времени / М. В. Плеханова // Сиб. мат. журн. — 2015. — Т. 56, № 4. — С. 909-921.

[29] Плеханова М. В. Сильные решения нелинейного вырожденного эволюционного уравнения дробного порядка / М. В. Плеханова // Сиб. журн. чистой и приклад. математики. — 2016. — Т. 16, № 3. — С. 61-74.

[30] Плеханова, М. В. Задачи стартового управления для эволюционных уравнений дробного порядка / М. В. Плеханова // Челяб. физ.-мат. журн. — 2016. — Т. 1, вып. 3. — С. 16-37.

[31] Плеханова, М. В. Нелинейные вырожденные эволюционные уравнения дробного порядка. Разрешимость задач оптимального управления / М. В. Плеханова. — Дисс. ... докт. физ.-мат. наук. — Челябинск: Челяб. гос. ун-т, 2017.

[32] Плеханова, М. В. Разрешимость задач управления для вырожденных эволюционных уравнений дробного порядка / М. В. Плеханова // Че-ляб. физ.-мат. журн. — 2017. — Т. 2, вып. 1. — С. 53-65.

[33] Псху, А. В. Уравнения в частных производных дробного порядка / А. В. Псху. — М.: Наука, 2005. — 199 с.

[34] Псху, А. В. Начальная задача для линейного обыкновенного дифференциального уравнения дробного порядка / А. В. Псху // Мат. сб. — 2011. — Т. 202, № 4. — С. 111-122.

[35] Пятков, С. Г. Разрешимость краевых задач для операторно-дифференци-альных уравнений смешанного типа. Вырожденный случай / С. Г. Пятков, Н. Л. Абашеева // Сиб. мат. журн. — 2002. — Т. 43, № 3. — С. 678-693.

[36] Самко, С. Г. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения / С. Г. Самко, А. А. Килбас, О. И. Маричев. — Минск: Наука и техника, 1987. — 688 с.

[37] Свиридюк, Г. А. К общей теории полугрупп операторов / Г. А. Свири-дюк // Успехи мат. наук. — 1994. — Т. 49, вып. 4 (298). — С. 47-74.

[38] Сидоров, Н. А. Об одном классе вырожденных дифференциальных уравнений с конвергенцией / Н. А. Сидоров // Мат. заметки. — 1984. — Т. 25, № 4. — С. 569-578.

[39] Сидоров, Н. А. Обобщенные решения дифференциальных уравнений с фредгольмовым оператором при производной / Н. А. Сидоров, М. В. Фа-лалеев // Дифференц. уравнения. — 1987. — Т. 23, № 4. — С. 726-728.

[40] Соболев, С. Л. Об одной новой задаче для систем уравнений в частных производных / С. Л. Соболев // Докл. АН СССР. — 1951. — Т. 81, № 6. — С.1007-1009.

[41] Соболев, С. Л. Задача Коши для частного случая систем, не принадлежащих типу Ковалевской / С. Л. Соболев // Докл. АН СССР. — 1952. — Т. 82, № 2. — С. 205-208.

[42] Соболев, С. Л. Об одной новой задаче математической физики / С. Л. Соболев // Изв. АН СССР. Сер. мат. — 1954. — Т. 18. — С. 3-50.

[43] Соболев, С. Л. О движении симметрического волчка с полостью, наполненной жидкостью / С. Л. Соболев // Прикл. механика и тех. физика. — 1960. — № 3. — С. 20-55.

[44] Фалалеев, М. В. Фундаментальные оператор-функции сингулярных дифференциальных операторов в условиях секториальности и радиальности / М. В. Фалалеев // Изв. вузов. Математика. — 2006. — № 10. — С. 68-75.

[45] Фалалеев, М. В. Вырожденные интегро-дифференциальные уравнения специального вида в банаховых пространствах и их приложения / М. В. Фалалеев, С. С. Орлов // Вестник Южно-Уральск. гос. ун-та. Сер.

Мат. моделирование и программирование. — 2011. — Вып. 7, № 4 (211). — С. 100-110.

[46] Федоров, В. Е. О гладкости решений линейных уравнений соболевского типа / В. Е. Федоров // Дифференц. уравнения. — 2001. — Т. 37, № 12. — С. 1646-1649.

[47] Федоров, В. Е. Голоморфные разрешающие полугруппы уравнений соболевского типа в локально выпуклых пространствах / В. Е. Федоров // Мат. сб. — 2004. — Т. 195, № 8. — С. 131-160.

[48] Федоров, В. Е. Обобщение теоремы Хилле — Иосиды на случай вырожденных полугрупп в локально выпуклых пространствах / В. Е. Федоров // Сиб. мат. журн. — 2005. — Т. 46, № 2. — С. 426-448.

[49] Федоров, В. Е. Вырожденные сильно непрерывные полугруппы операторов / В. Е. Федоров // Алгебра и анализ. — 2000. — Т. 12, № 3. — С. 173-200.

[50] Федоров, В. Е. Оптимальное управление линейными уравнениями соболевского типа / В. Е. Федоров, М. В. Плеханова // Дифференц. уравнения. — 2004. — Т. 40, № 11. — С. 1548-1556.

[51] Федоров, В.Е. Уравнения в банаховых пространствах с вырожденным оператором под знаком дробной производной / В. Е. Федоров, Д. М. Гор-диевских, М. В. Плеханова // Дифференц. уравнения. — 2015. — Т. 51, № 10. — С. 1367-1375.

[52] Федоров, В.Е. Линейные вырожденные эволюционные уравнения с дробной производной Римана — Лиувилля / В. Е. Федоров, М. В. Плеханова, Р. Р. Нажимов // Сиб. мат. журн. — 2018. — Т. 59, № 1. — С. 136-146.

[53] Федоров, В.Е. Задача типа Коши для вырожденного уравнения с производной Римана — Лиувилля в секториальном случае / В. Е. Федоров , А. С. Авилович // Сиб. мат. журн. — 2019. — Т. 60, № 2. — С. 461-477.

[54] Фурсиков, А. В. Оптимальное управление распределенными системами. Теория и приложения / А. В. Фурсиков. — Новосибирск: Науч. кн., 1999. — 350 с.

[55] Хэссард, Б. Теория и приложения бифуркации рождения цикла / Б. Хэс-сард, Н. Казаринов, И. Вэн. — М.: Мир, 1985. — 280 с.

[56] Хилле, Э. Функциональный анализ и полугруппы / Э. Хилле, Р. Фил-липс. — М.: Изд-во иностр. лит., 1962. — 830 с.

[57] Чистяков, В. Ф. Избранные главы теории алгебро-дифференциальных систем / В. Ф. Чистяков, А. А. Щеглова. — Новосибирск: Наука, 2003. — 320 с.

[58] Чубенко, П. А. Разрушение решения одного нелинейного нелокального уравнения соболевского типа / П. А. Чубенко // Дифференц. уравнения. — 2009. — Т. 45, № 2. — С. 211-219.

[59] Юшков, Е. В. О разрушении решения нелокальной системы уравнений гидродинамического типа / Е. В. Юшков // Изв. РАН. Сер. мат. — 2009. — Т. 76, № 1. — С. 201-224.

[60] Эдвардс, Р. Функциональный анализ / Р. Эдвардс. — М.: Мир, 1969. — 1072 с.

[61] Agrawal, O. P. A quadratic numerical scheme for fractional optimal control problems / O. P. Agrawal // Journal of Dynamic Systems, Measurement, and Control. — 2008. — Vol. 130, no. 1. — P. 011010.

[62] Area, I. On a fractional order Ebola epidemic model / I. Area // Advances in Difference Equations. — 2015. — Vol. 278. — P. 1-12.

[63] Alshomrani, A. S. Caputo SIR model for COVID-19 under optimized fractional order / A. S. Alshomrani, M. Z. Ullah, D. Baleanu // Advances in Difference Equations. — Vol. 2021, iss. 1. — 2021. — P. 185.

[64] Bajlekova, E. G. Fractional Evolution Equations in Banach Spaces. PhD thesis / E. G. Bajlekova. — Eindhoven University of Technology, Eindhoven: University Press Facilities, 2001.

[65] Bajlekova, E. G. The abstract Cauchy problem for the fractional evolution equation / E.G. Bajlekova // Fractional Calculus and Applied Analysis. — 1998. — Vol. 1, iss.3. — P. 255-270.

[66] Benjamin, T. B. Model equations for long waves in nonlinear dispersive systems / T. B. Benjamin, J. L. Bona, J. J. Mahony // Philosophical Transactions of the Royal Society A . — 1972. — Vol. 272, iss. 1220. — P. 4778.

[67] Bondar, L. N. Solvability of the Cauchy problem for a pseudohyperbolic system / L. N. Bondar , G. V. Demidenko // Complex Variables and Elliptic Equations. — Vol. 66, iss. 6-7. — 2021. — P. 1084-1099.

[68] Bondar, L. N. Asymptotic behavior at infinity of solutions to the nonhomogeneous Sobolev equation / L. N. Bondar, G. V. Demidenko // Siberian Mathematical Journal. — Vol. 59, iss. 5. — 2018. — P. 786-798.

[69] Caputo, M. Linear model of dissipation whose Q is almost frequancy independent. II / M. Caputo // Geophysical Journal of the Royal Astronomical Society. — 1967. — Vol. 13. — P. 529-539.

[70] Dassios, I. Optimal solutions for singular linear systems of Caputo fractional differential equations / I. Dassios, D. Baleanu // Mathematical Methods in the Applied Sciences. — Vol. 44, iss. 10. — 2021. — P. 7884-7896.

[71] Debbouche, A. Sobolev type fractional dynamic equations and optimal multi-integral controls with fractional nonlocal conditions / A. Debbouche, D. F. M. Torres // Fractional Calculus and Applied Analysis. — 2015. — Vol. 18. — P. 95-121.

[72] Demidenko, G. V. On mixed boundary value problems for pseudoparabolic systems / G. V. Demidenko, I. I. Matveeva // J. of Applied and Industrial Mathematics. - 2007. - Vol. 1, iss. 1. - P. 18-32.

[73] Diethelm, K. The Analysis of Fractional Differential Equations. An Application-Oriented Exposition Using Differential Operators of Caputo Type. — Berlin; Heidelberg: Springer, 2010. — 247 p.

[74] Falaleev, M. V. To the theory of solvability of degenerate integro-differential equations in Banach spaces / M. V. Falaleev // Journal of Physics: Conference Series. — Vol. 1847, iss. 1. — 2021. — P. 012002.

[75] Favini, A. Laplace transform method for a class of degenerate evolution problems / A. Favini // Rendiconti di Matematica e delle sue Applicazioni. — 1979. — Vol. 12, no. 3-4. — P. 511-536.

[76] Favini, A. Multivalued linear operators and degenerate evolution equations / A. Favini, A. Yagi // Annali di Matematica Pura ed Applicata. — 1993. — Vol. CLXIII. — P. 353-384.

[77] Favini, A. Degenerate Differential Equations in Banach Spaces / A. Favini, A. Yagi. — New York, etc.: Marcel Dekker Inc., 1999. — 324 p.

[78] Feckan, M. Controllability of fractional functional evolution equations of Sobolev type via characteristic solution operators / M. Feckan, J. Wang, Y. Zhou // Journal of Optimization Theory and Applications. — 2013. — Vol. 156, no. 1. — P. 79-95.

[79] Fedorov, V. E. On a class of abstract degenerate multi-term fractional differential equations in locally convex spaces / V. E. Fedorov, M. Kostic // Eurasian Mathematical Journal. — 2018. — Vol. 9, no. 3. — P. 33-57.

[80] Fedorov, V. E. Analytic in a sector resolving families of operators for degenerate evolution fractional equations / V. E. Fedorov, E. A. Romanova,

A. Debbouche // Journal of Mathematical Sciences. — 2018. — Vol. 228, iss. 4. — P. 380-394.

[81] Fedorov, V. E. Generators of analytic resolving families for distributed order equations and perturbations / V. E. Fedorov // Mathematics. — 2020. — Vol. 8, no. 1306. — 15 p.

[82] Fedorov, V. E. Inverse problems for a class of degenerate evolution equations with Riemann — Liouville derivative / V. E. Fedorov , R. R. Nazhimov // Fractional Calculus and Applied Analysis. — 2019. — Vol. 22, no. 2. — P.271-286.

[83] Hadid, S. B. An operational method for solving fractional differential equations of an arbitrary real order / S. B. Hadid , Yu. F. Luchko // Panamerican Mathematical Journal. — 1996. — Vol. 6, no. 1. — P. 57-73.

[84] Hopf, E. Uber die Anfangswertaufgabe für die hydrodynamischen Grundgleichungen / E. Hopf // Mathematische Nachrichten. — 1950-1951. — Vol. 4. — P. 213-231.

[85] Jaishankar, A. Power-law rheology in the bulk and at the interface: quasi-properties and fractional constitutive equations / A. Jaishankar, G. H. McKinley // Proceedings of The Royal Society A. Mathematical Physical and Engineering Sciences. — 2013. — Vol. 469. — P. 2149.

[86] Jelassi, M. Fractional Sobolev type spaces associated with a singular differential operator and applications / M. Jelassi, H. Mejjaoli // Fractional Calculus and Applied Analysis. — 2014. — Vol. 17, no. 2. — P. 401-423.

[87] Kilbas, A. A. Theory and Applications of Fractional Differential Equations / A. A. Kilbas, H. M. Srivastava, J. J. Trujillo. — Amsterdam; Boston; Heidelberg: Elsevier Science Publishing, 2006. — 541 p.

[88] Korpusov, M. O. Blow-up of solutions of a class of strongly non-linear dissipative wave equations of Sobolev type with sources / M. O. Korpusov,

A. G. Sveshnikov // Izvestiya: Mathematics. — 2005. — Vol. 69, iss. 4. — P. 733-770.

[89] KostiC, M. Disjoint hypercyclic and disjoint topologically mixing properties of degenerate fractional differential equations / M. Kostic, V. E. Fedorov // Russian Mathematics. — 2018. — Vol. 62, iss. 7. — P. 31-46.

[90] Kostic, M. Abstract Volterra Integro-Differential Equations. — Boca Raton: CRC Press, 2015. — 516 p.

[91] Melnikova, I. V. Abstract Cauchy Problems: Three Approahes / I. V. Melnikova, A. Filinkov. — Boca Raton; London; New York; Washington: Chapman & Hall / CRC, 2001. — 242 p.

[92] Leray, J. Essai sur le mouvement plans d'un liquide visqueux que limitent des parois / J. Leray // Journal de Mathematiques Pures et Appliquees. — 1934. — Ser. IX, vol. XIII, fasc. 4. — P. 331-418.

[93] Luchko, Yu.F. The exact solution of certain differential equations of fractional order by using operational calculus / Yu. F. Luchko, H. M. Srivastava // Computers & Mathematics with Applications. — 1995. — Vol. 29, no. 8. — P. 73-85.

[94] Mainardi, F. Creep, Relaxation and viscosity properties for basic fractional models in rheology / F. Mainardi, G. Spada // The European Physical Journal Special Topics. — 2011. — Vol. 193. — P. 133-160.

[95] Meshkov, S. I. Internal Friction described with the aid of fractionally-exponential kernels / S. I. Meshkov, G. N. Pachevskaya, T. D. Shermergor // Journal of Applied Mechanics and Technical Physics. — 1966. — Vol. 7, iss. 3. — P. 63-65.

[96] Meshkov, S. I. Temperature dependence of the damping coefficients for a dynamical system with a singular kernel / S. I. Meshkov, Y. A. Rossikhin //

Journal of Engineering Physics and Thermophysics. — 1971. — Vol. 21, iss. 2. — P. 1090.

[97] Oldham, K. B. The Fractional Calculus / K. B. Oldham, J. Spanier. — Boston: Academic Press, 1974. — 234 p.

[98] Oseen, C. W. Hydrodynamik / C. W. Oseen. — Leipzig: Akad. Verl.-Ges., 1927. — 337 p.

[99] Plekhanova, M. V. Degenerate distributed control systems with fractional time derivative / M. V. Plekhanova // Ural Mathematical Journal. — 2016. — Vol. 2, iss. 2. — P. 58-71.

[100] Plekhanova, M. V. Nonlinear equations with degenerate operator at fractional Caputo derivative / M. V. Plekhanova // Mathematical Methods in the Applied Sciences. — 2016. — Vol. 40. — P. 41-44.

[101] Plekhanova, M. V. Distributed control problems for a class of degenerate semilinear evolution equations / M. V. Plekhanova // Journal of Computational and Applied Mathematics. — 2017. — Vol. 312. — P. 39-46.

[102] Plekhanova, M. V. Sobolev type equations of time-fractional order with periodical boundary conditions / M. V. Plekhanova // AIP Conf. Proc. — 2016. — Vol. 1759. — P. 020101-1-020101-4.

[103] Plekhanova, M. V. Strong solutions of quasilinear equations in Banach spaces not solvable with respect to the highest-order derivative / M. V. Plekhanova // Discrete and Continuous Dynamical systems. Series S. — 2016. — Vol. 9, iss. 3. — P. 833-847.

[104] Podlubny, I. Fractional Differential Equations / I. Podlubny. — San Diego; Boston: Academic Press, 1999. — 340 p.

[105] Poincare, H. Sur l'equilibre d'une masse fluide animee d'unmouvement de rotation / H. Poincare // Acta Mathematica. — 1885. — Vol. 7. — P. 259-380.

[106] Prüss, J. Evolutionary Integral Equations and Applications / J. Prüss. — Basel: Springer, 1993.

[107] Pskhu, A. V. Transmutations for multiterm fractional operators / A.V. Pskhu // Trends in Mathematics. — 2020. — P. 603-614.

[108] Pyatkov, S. G. Inverse problems for some Sobolev-type mathematical models / S. G. Pyatkov, S. N. Shergin // Вестн. Юж.-Урал. гос. ун-та. Сер. Мат. моделирование и программирование. — 2016. — Т. 9, № 2. — C. 75-89.

[109] Rossikhin, Y. A. Comparative analysis of viscoelastic viscoelastic models involving fractional derivatives of different orders / Y. A.Rossikhin, M. V. Shitikova // Fractional Calculus and Applied Analysis. — 2007. — Vol. 10, iss. 2. — P. 111-121.

[110] Rabotnov, Y. N. Creep Problems in Structural Members / Y. N. Rabotnov. — Amsterdam: North- Holland Publ., 1969. — 822 p.

[111] Lyapunov — Schmidt Methods in Nonlinear Analysis and Applications / N. Sidorov, B. Loginov, A. Sinitsyn, M. Falaleev. — Dordrecht; Boston; London: Kluwer Academic Publ., 2002. — 568 p.

[112] Showalter, R. E. Nonlinear degenerate evolution equations and partial differential equations of mixed type / R. E. Showalter // SIAM Journal of Mathematical Analysis. — 1975. — Vol. 6, no. 1. — P. 25-42.

[113] Sviridyuk, G. A. Linear Sobolev Type Equations and Degenerate Semigroups of Operators / G. A. Sviridyuk, V. E. Fedorov. — Utrecht; Boston: VSP. — 216 p.

[114] Triebel, H. Interpolation Theory, Function Spaces, Differential Operators / H. Triebel. — Berlin: VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, 1978. — 528 p.

[115] Uchaikin, V. V. Fractional phenomenology of cosmic ray anomalous diffusion / V. V. Uchaikin // Physics: Uspekhi. — 2013. — Vol. 56, iss. 11. — P. 1074-1119.

[116] Wang, J. Time optimal control problem of a class of fractional distributed systems / J. Wang // International Journal of Dynamical Systems and Differential Equations. — 2011. — Vol. 3, no. 3. — P. 363-382.

Список работ автора по теме диссертации в журналах, входящих в перечень ВАК, базы данных Web of Science и Scopus

[117] Плеханова, М. В. Распределенное управление для полулинейных уравнений с производными Герасимова — Капуто / М. В. Плеханова, Г. Д. Байбулатова, Б. Т. Киен // Мат. заметки СВФУ. — 2021. — Т. 28, № 2. — С. 47-67.

[118] Байбулатова, Г. Д. Задачи стартового управления для одного класса вырожденных уравнений с младшими дробными производными / Г. Д. Байбулатова // Челяб. физ.-мат. журн. — 2020. — Т. 5, вып. 3. — С. 271-284.

[119] Baybulatova, G. D. An initial problem for a class of weakly degenerate semilinear equations with lower order fractional derivatives / G. D. Baybulatova, M. V. Plekhanova // Bulletin of Irkutsk State University. Series Mathematics. — 2021. — Vol. 35. — P. 34-48.

[120] Plekhanova, M. V. Multi-term fractional degenerate evolution equations and optimal control problems / M. V. Plekhanova, G. D. Baybulatova // Mathematics. — 2020. — Vol. 8, no. 4. — P. 483-491.

[121] Plekhanova, M. V. Strong solutions of semilinear equations with lower fractional derivatives / M. V. Plekhanova, G. D. Baybulatova // Transmutation Operators and Applications. — Switzerland: Springer Nature, 2020. — P. 329-341.

[122] Plekhanova, M. V. Problems of hard control for a class of degenerate fractional order evolution equations / M. V. Plekhanova, G. D. Baybulatova // Mathematical Optimization Theory and Operations Research (MOTOR 2019), Yekaterinburg, Russia, 08-12 July, 2019. Proceedings, ed. by M. Khachay, Y. Kochetov, P. Pardalos. — Lecture Notes in Computer Science. — 2019. — Vol. 11548. — P. 501-512.

[123] Plekhanova, M. V. Semilinear equations in Banach spaces with lower fractional derivatives / M. V. Plekhanova, G. D. Baybulatova // Nonlinear Analysis and Boundary Value Problems, NABVP 2018, Santiago de Compostela, Spain, September 4-7, ed. by I. Area, A. Cabada, J. A. Cid etc. — Springer Proceedings in Mathematics and Statistics. — 2019. — Vol. 292. — P. 81-93.

[124] Plekhanova, M. V. Numerical solution of an optimal control problem for Oskolkov's system / M. V. Plekhanova, G. D. Baybulatova, P. N. Davydov // Mathematical Methods in the Applied Sciences. — 2018. — Vol. 41, iss. 18. — P. 9071-9080.

Публикации по теме диссертации, примыкающие к основным

[125] Байбулатова, Г. Д. Разрешимость одной начально-краевой задачи для уравнения с несколькими производными / Г. Д. Байбулатова // Комплексный анализ, математическая физика и нелинейные уравнения: сб. тез. междунар. конф., 15-19 марта, 2021, оз. Банное, Уфа. — С. 16-17.

[126] Байбулатова, Г. Д. Вопросы разрешимости задач оптимального управления для вырожденных эволюционных уравнений дробного порядка / Г. Д. Байбулатова // Актуальные проблемы прикладной математики: тез. докл. междунар. конф., Нальчик, Эльбрус, Россия, 22-26 мая 2018. — С. 208.

[127] Байбулатова, Г.Д. Задача управления для дробного уравнения с многочленами от оператора дифференцирования / Г.Д. Байбулатова,

М.В. Плеханова // Комплексный анализ, математическая физика и нелинейные уравнения: сб. тез. междунар. конф., 12 - 16 марта, 2018, оз. Банное, Уфа. — Уфа: Изд-во БГПУ. — С. 19-20

[128] Байбулатова, Г. Д. Вырожденное эволюционное уравнение с несколькими производными по времени дробного порядка / Г. Д. Байбулатова, М. В. Плеханова, В. Е. Федоров // Соболевские чтения: тез. докл. междунар. шк.-конф., посвящ. 110-летию со дня рождения С.Л. Соболева, Новосибирск, Россия, 10-16 декабря 2018. — Новосибирск: Изд-во Ин-та математики им. С. Л. Соболева СО РАН, 2018. — С. 57.

[129] Plekhanova, M. V. A class of semilinear degenerate equations with fractional lower order derivatives / M. V. Plekhanova, G. D. Baybulatova // Stability, Control and Differential Games, ed. by A. M. Tarasyev et al. — Lecture Notes in Control and Information Sciences. — 2020. — P. 203-212.

[130] Plekhanova, M. V. Strong solutions for a lass of semilinear equations with lower fractional derivatives / M. V. Plekhanova, G. D. Baybulatova // 2nd International Conference on Mathematical Modeling in Applied Sciences. Book of Abstracts. 20-24 August, 2019, Belgorod, Russia. — P. 115-116.

[131] Plekhanova, M. V. Problems of hard control for a class of degenerate fractional order evolution equations / M. V. Plekhanova, G. D. Baybulatova // Abstracts of XVIII International Conference "Mathematical Optimization Theory and Operations Research" (MOTOR 2019), ed. by M. Khachay, Y. Kochetov. — Ekaterinburg: Ural Federal University, 2019. — P. 96.